Tarefa 2 Resolvida -2022 2

UAB UFBA LICENCIATURA EM MATEMATICA A DISTANCIA or Sr or DIscIPLINA Algebra Linear II SEMESTRE 20222 Cert PROFESSOR Jotlson Oliveira Ribeiro CS ALUNOA LITT POLo TAREFA 2 Data limite para entrega 03042023 Questao 1Seja V R equipado com o produto interno usual e B 1 2 2 3 12 1 10 uma base de V Use 0 processo de ortonalizagao de GramSchimidt para obter uma base ortogonal Questdo 2 Seja V P2R equipado com o produto interno pq J pxqxdz e B 12xx uma base de V Use 0 processo de ortonalizagao de GramSchimidt para obter uma base ortogonal Questao 3 Determinar a projecao ortogonal do vetor 1101 R sobre 0 subespacgo W azy2ta y2z022t O Questao 4 Seja W o subespaco de R gerado pelos vetores 10 12e2 10 1 com o produto interno usual a Determine o vetor em W mais proximo do vetor 43 21 b Determinar uma base para W e a dimensdo de W c Determine os tinicos vetores w W e w2 W tal que 43 21 w wr Questdo 5 Suponha que W é um subespaco de V Prove que W 0 se e somente se WV Questao 6 Prove que W é sempre um subespaco de V 1 Questao 7 Para cada matriz determine os autovalores e para cada autovalor dˆe uma base para o autoespaco correspondente a 1 4 2 3 4 0 3 1 3 b 0 0 2 1 2 1 1 0 3 c 2 4 3 4 6 3 3 3 1 Questao 8 Considere a matriz 1 3 3 3 5 3 6 6 4 a Determine os seus autovalores b Determine o autoespaco associado a cada autovalor c Determine sendo possıvel uma matriz U tal que U 1AU seja diagonal Questao 9 Seja T R3 R3 a transformacao linear definida por Tx y z y z 2y 2z y 2z a Calcule o polinˆomio caracterıstico de T b Calcule os autovalores e os autoespacos de T c Determine uma base de R3 constituıda por autovetores de T Qual a representacao matricial de T nesta base d Designando por A a matriz que representa T na base canˆonica de R3 determine uma matriz de mudanca de base de S e uma matriz diagonal D tais que D S1AS Questao 10 A matriz simetrica A 2 2 2 5 tem autovalores λ 6 1 a Encontre uma base ortonormal de R2 formado por autovetores b Encontre uma matriz P ortogonal tal que P tAP e diagonal Qual e a matriz diagonal c Calcule An n N 2 Lista de Exercicios Algebra Linear Problema 1 Resposta O primeiro vetor é 122 MS 37373 usando GramSchimidt para projetar o segundo vetor temos 12 2 U2 3 1 2 3 1 2 U1 Uy 3 1 2 3 5 3 2 l 0 que normalizado é 2 1 0 U2 TS 9 S AVS V5 e a tltima projegao é U3 l 0 l 0 U1 Uy A l 0 U2 U2 1 1045 353 AG U3 9 49 op 599 hUv LU DDDUCUmr 3333 VBS VW v3 99 99 0 19 29 29 65 35 0 10 U3 045 5445 3545 2745 iB 0 445 845 1045 que normalizado é 2 4 5 U3 Ee 5 Fo 35 3V5 35 Agora a base ortonormal é uz U2 us Problema 2 Resposta O vetor inicial é vy 1 que normalizado fica 1 1 v1 dx 1l2 1 1 1 ue U1 1 Jul V2 O segundo vetor i 1 d 1 1 af 1 Ug x xd x4 2 2 1 v2 V2 V2 1 V2 que normalizado é 1 1 ait 2 u I xxdx af 3 V6 uw 1 9 rv por tltimo 1 1 1 1 v6 v6 2 2 2 U3 2 x dx xx dx2x L 3 v2 L 2 2 1 2 1 2 e 2 OE 973 3 que normalizado é 1 2 1 8 2 2 dr ors 83 a5 45 4 1 uga 8 3 A base ortonormal é w1 U2 us Problema 3 Resposta Primeiramente podemos encontrar uma base para o subespago W através da resolucao do sistema de equagoes que define W ryz0 z2t0 Isolando y e x em termos de z e t respectivamente obtemos z 2t y x 2t 2 Portanto podemos escolher como base para W os vetores 0221 e 1100 Para encontrar a projecao ortogonal do vetor 1101 em relagéo a W precisamos projetalo em cada um dos vetores da base de W e somar as projecoes projwv projur v proj ua v onde uw 2100 e ug 0 1 12 Calculando as projegdes temos 1 10 1 0 2 2 1 221 projr 9 5 94 0 222 1 projur v 0 23 23 13 Para o vetor v2 1 10 1 1 10 0 Ss 11 00 11 00 proj ua v 1 10 0 4 100 945 9 45U Portanto a projegao ortogonal de 1101 sobre W é dada por projwv 023 23 13 1100 1 53 23 13 Problema 4 Resposta a Basta tomar as projecoes de 43 21 sobre o subespaco gerado por W 43211012 projy 282 AE0 8B G0 124 V6 43212101 ra 9 9 9 2 9 9 ig 10 1 V6 4 10 5 2 1 1012 2101 4 1012 22101 4255 b Como estamos no R entao 4 dimR dimW dimW 2dimWt Usando o que fizemos no primeiro item temos um vetor 484 0 U1 27 3 3 e por intercalagao pode ser 4 4 8 0 U2 5 37 3 que resulta na base 3 u1 ua c A decomposigao é dada por 5 2 1 484 43214 0 4 43 3 5 9555 Problema 5 Resposta Seo vetor W V entao se w 40 W seria tal que wv 0 para todo uv V Mas isto contradiz ww w 4 0 Assim concluimos que se W V temos W 0 Por outro lado se W 0 temos que para todo v V v00 Assim V C W CV Portanto W V Problema 6 Resposta Basta mostrar que se uv W entao ucvue Ww onde c R Note que um elemento w W se ucvw0Vw W e observe que ucvwuwcvw 0 Assim ucv Wt Problema 7 Resposta 4 a O polinémio caracteristico dado por 74 4A 0 8 0 573 4A A 1 1 3a3 alt3 4 que resulta em pA 1 A4 A 8 A 128 A 23 4 34 A PA A 1A 2A 3 os autovalores sao A 1 Az 2 A3 3 b O polinémio caracteristico dado por y2A 1 all 1 5L 2A PIA 0 ry vftA1 0 que resulta em pA A A 2 os autovalores sao A 1 Az 2 A3 2 c O polinémio caracteristico dado por 9 6 A 3 4 83 4 6 POA 2 3 arl tls aalt 3 3 3 que resulta em pA A 1A 2 os autovalores sao A 1 Ag 2A3 2 Problema 8 Resposta a Tratase o mesmo processo de encontrar o polinémio caracteristico 1A 8 3 pAdet 3 5A 8 6 6 4A pA A 4 1 4 4 4 que tem raizes 4 4e X 2 b Cada autovalor é associado a um autoespaco 5 i O sistema associado é x 3y 3z 4x 3x 5y 3z 4y 6x 6y 4z 4z resulta em x y z 0 x 3y z 0 x y 0 que escalonado fica x y z 0 4y 2z 0 2y z 0 E dá o autovetor v1 1 1 2 ii O sistema associado é x 3y 3z 2x 3x 5y 3z 2y 6x 6y 4z 2z resulta em 3x 3y 3z 0 3x 3y 3z 0 6x 6y 6z 0 que é apenas o plano xy z 0 e tem autovetores v2 1 1 0 e v3 0 1 1 c Basta colocar U 1 1 0 1 1 1 2 0 1 que permite fazer U 1AU 4 0 0 0 2 0 0 0 2 Problema 9 Resposta 6 a Calculando o polinômio característico temos pλ det 0 λ 1 1 0 2 λ 2 0 1 2 λ que permite calcular pλ λ2 λ2 2 λλ2 4λ 2 b Com autovalores λ1 0 λ 2 2 c Os autoespaços são associados a cada autovalor i Para λ 0 temos y z 0 y z 2y 2z 0 e com a última equação temos y 2z z 2z z 0 O autovetor associado é 1 0 0 ii Para λ 2 2 temos 2y 2z 2y 2y z 2y2 y z 2x 2x x 1 2y y 2z 2z 2z O autovetor associado é 1 2 2 iii Para λ 2 2 temos 2y 2z 2y 2y z 2y2 y z 2x 2x x 1 2y y 2z 2z 2z O autovetor associado é 1 2 2 7 Jad a matriz nessa base é 0 0 0 0 2Vv2 0 0 0 2Vv2 d Basta pegar os autovetores nas colunas 1 1 1 S0 2 2 0 V2 v2 é a mudanga de base Problema 10 Resposta a O polinémio caracteristico é pA 7 7A 6 que tem autovalores e TEV7416 745 2 2 com raizes A 6 e A 1 Para encontra a base fazemos 2x2y 2r5y y que resulta em x 2y que da o vetor v 21 e o ortonormal ja que a matriz é simétrica é vo 1 2 b A mudanga de base é 2 1 P 3 ve V5 e a matriz diagonal é 1 0 r c Usando a propriedade temos 2 Ly of ror8 Ap ol fe v5 v5 v5 V5 8