Exercícios Álgebra Linear 2021 2

2ª Questão 100 Seja V M2R o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre o corpo R e seja W A M2R At A o subconjunto de M2R das matrizes simétricas a 050 Mostre que W é um subespaço de V b 050 Encontre uma base para W e dê a dimensão de W 2 Seja V M2R o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre o corpo R e seja W A M2R At A o subconjunto de M2R das matrizes simétricas a Mostre que W é um subespaço de V Solução Considere α R e A1 A2 W isto é A1 a b e d e b c e f Então A1 A2 a b d e a d b e A1 A2t ou seja A1 A2t A1 A2 Logo A1 A2 W Por fim αA1 αa b αa αb αA1t ou seja αA1 W Portanto W é um subespaço de V b Encontre uma base para W e dê a dimensão de W Solução Sabemos que W A M2R At A ou seja W a b M2R 3 Considere as seguintes bases do R2 B1 u1 12 u2 34 e B2 v1 1 3 v2 3 8 a Ache o vetor coordenada vB1 onde v a b Solução Sabemos que vB1 x1 x2 onde v x1u1 x2u2 Assim a b x112 x234 x12x1 3x24x2 x1 3x22x1 4x2 Daí x1 3x2 a 2x1 4x2 b Portanto vB1 4a3b2 b2a2 Ache o vetor coordenada vB2 onde v a b Solução Sabemos que vB2 x1 x2 onde v x1v1 x2v2 Assim a b x11 3 x23 8 x1 3x1 3x2 8x2 x1 3x2 3x1 8x2 Onde x1 3x2 a 3x1 8x2 b x1 3x2 a x2 3a b x2 b 3a Portanto vB2 3b 8a 3a b Ache a matriz Q de mudança de base de B2 para B1 Solução O raciocínio é análogo ao item 2b Sabemos do item 2c que vB2 3b 8a 3a b onde v a b Logo u1B2 3 2 8 1 3 1 2 14 5 e u2B2 3 4 8 3 3 3 4 36 13 Portanto Q u1B2 u2B2 14 36 5 13 Prove que Q P1 Solução Considere que P1 a b c d Fazendo P P1 I temos 132 18 52 7 a b c d 1 0 0 1 Daí segue que 13a 36c 2 5a 14c 0 e 13b 36d 0 5b 14d 2 Ou seja P1 14 36 5 13 Q Note ainda que P P1 P1 P I Portanto P1 Q é a inversa de P Mostre que PvB2 vB1 Solução Temos que PvB2 132 18 52 7 3b 8a 3a b 1323b 8a 183a b 523b 8a 73a b 1323b 1328a 183a 18b 523b 528a 73a 7b 39b2 104a2 108a2 36b2 15b2 40a2 42a2 14b2 3b2 4a2 b2 2a2 3b 4a2 2a b2 Portanto PvB2 vB1 Mostre que QvB1 vB2 Solução Temos que QvB1 14 36 5 13 4a 3b b 2a 144a 3b 36b 2a 54a 3b 13b 2a 7 4a 7 3b 18 18 2a 28a 21b 18 36a 20a 15b 13b 26a 3b 8a 3a b vB2 Portanto QvB1 vB2