Maquinas Hidraulicas Teoria y Problemas - Blas Zamora Parra Antonio Viedma Robles

Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Blas Zamora Parra Antonio Viedma Robles External users are users who need email mailbox access to send and receive email messages within the organization that is sharing the resource but who do not have a mailbox within the same Microsoft 365 or Office 365 organization as the resource requestor External users can have an Azure Active Directory Azure AD organizational account or a Microsoft account For example an external user can be A consultant with an Azure AD organizational account in another Microsoft 365 or Office 365 organization A partner with a Microsoft account A supplier with a Microsoft account A customer with an Azure AD organizational account in another Microsoft 365 or Office 365 organization An external user cannot use a federated identity to access shared resources in another organization such as an identity federated with AD FS Active Directory Federation Services This topic covers external users of SharePoint and OneDrive 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Teoría y Problemas Contenido PRÓLOGO ix LISTA DE SÍMBOLOS xi BLOQUE I INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRÁULICAS 1 1 GENERALIDADES SOBRE LAS MÁQUINAS HIDRÁULICAS ENERGÍA HIDRÁULICA 2 11 Introducción a las máquinas hidráulicas 2 12 Clasificación de las máquinas de fluidos 4 13 Elementos característicos de una turbomáquina hidráulica 6 14 Clasificación y tipos de turbomáquinas hidráulicas 7 141 Clasificación de las turbomáquinas según la dirección del flujo 7 142 Tipos y denominaciones característicos de turbinas hidráulicas 7 143 Otros criterios de clasificación 9 15 La Energía Hidráulica 9 151 Energía Hidráulica Convencional 10 152 Las Energías Hidráulica Minihidráulica y Microhidráulica 11 153 La Energía del Mar 11 154 El Recurso Hidráulico 12 155 La Energía Hidráulica como energía renovable 12 Bibliografía consultada 13 2 BALANCE ENERGÉTICO DE UNA MÁQUINA HIDRÁULICA INSTALACIONES DE BOMBEO Y TURBINADO 14 21 Introducción 14 i Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 22 Ecuación de conservación de la energía 14 23 Ecuación de conservación de la energía interna 17 24 Ecuación de conservación de la energía mecánica 18 25 Balance de energía mecánica y rendimientos en bombas hidráulicas 18 26 Balance de energía mecánica y rendimientos en turbinas hidráulicas 20 27 Instalaciones de bombeo y turbinado 22 271 Instalaciones de bombeo Cálculo de las pérdidas de carga 22 272 Instalaciones de turbinado 24 273 Punto de funcionamiento de una instalación hidráulica 25 Bibliografía consultada 25 3 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA FÍSICA EN TURBOMÁQUINAS 29 31 Introducción a la herramienta de la semejanza física 29 32 Variables de funcionamiento en una turbomáquina 30 33 Reducción del número de parámetros adimensionales Efecto de la viscosidad 31 34 Curvas características de bombas hidráulicas 32 35 Curvas características de turbinas hidráulicas 35 36 Coeficientes adimensionales Velocidad específica y potencia específica 37 37 Diámetro específico Diagrama de Cordier 39 Bibliografía consultada 40 PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE I 42 PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE I 58 Bloque II TEORÍA DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 65 4 TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 66 41 Introducción a la teoría general de turbomáquinas 66 411 Tratamiento general de las turbomáquinas hidráulicas 66 412 Enfoque de flujo ideal 67 42 Sistemas de referencia 67 43 Triángulos de velocidades 69 44 Volumen de control Ecuación de continuidad 70 45 Ecuación de conservación del momento cinético Teorema de Euler 71 46 Discusión de la Ecuación de Euler 72 461 Forma alternativa de la Ecuación de Euler 74 462 Formas particulares de la Ecuación de Euler 74 47 Ecuación de Bernoulli en el movimiento relativo 75 ii Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 471 Flujo ideal a través del rodete 75 472 Flujo real a través del rodete 76 48 Grado de reacción 77 Bibliografía consultada 78 5 TEORÍA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 79 51 Hipótesis y objetivos de la teoría unidimensional 79 52 Ecuación de continuidad Distribución de velocidad meridiana 80 53 Ecuación de Euler Distribución de velocidad acimutal 83 54 Teoría unidimensional para turbomáquinas axiales 84 55 Aplicación al estudio del comportamiento de una bomba centrífuga 86 Bibliografía consultada 88 6 TEORÍA BIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS RADIALES 89 61 Introducción Influencia del número de álabes 89 62 Flujo a través del canal de paso en un rodete centrífugo 90 621 Ecuaciones del movimiento 90 622 Sistema de coordenadas intrínseco 91 623 Forma final de las ecuaciones y del perfil de velocidad relativa 93 63 Desviación angular del flujo en un rodete centrífugo 94 64 Correcciones de la teoría unidimensional Stodola Pfleiderer y Eck 95 641 Corrección de Stodola 95 642 Corrección de Pfleiderer 96 643 Coeficiente de disminución de trabajo Corrección de Eck 97 Bibliografía consultada 98 7 TEORÍA BIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS AXIALES 99 71 Hipótesis de la teoría bidimensional de turbomáquinas axiales 99 72 Flujo ideal en una cascada de álabes fija 100 721 Conceptos sobre la teoría del álabe aislado 101 722 Teorema de KuttaJoukowski para una cascada de álabes 102 723 Solución teórica de Weining para una cascada de placas planas 103 724 Consideraciones sobre el flujo bidimensional a través de una cascada 104 73 Flujo ideal a través de una cascada de álabes móvil 105 74 Flujo ideal en un escalón rotorestátor Grado de reacción 106 75 Equilibrio radial en una turbomáquina axial Ecuación fundamental del álabe 108 Bibliografía consultada 110 iii Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE II 111 PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE II 126 Bloque III FLUJO REAL PÉRDIDAS Y CAVITACIÓN EN TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 132 8 FLUJO REAL EN TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 133 81 Introducción a los efectos reales en turbomáquinas 133 82 Los efectos viscosos en las turbomáquinas hidráulicas 134 83 Capas límite y flujos secundarios en turbomáquinas radiales 135 831 Ecuaciones del movimiento medio 135 832 Ecuaciones de la capa límite junto al álabe 137 833 Desprendimientos de la corriente 137 834 Flujo en las paredes laterales del rodete 139 835 Otros flujos secundarios 141 84 Capas límite y flujos secundarios en turbomáquinas axiales 141 841 Flujos secundarios en las paredes de los álabes 142 842 Flujos secundarios en la raíz de los álabes 144 843 Flujos secundarios globales 144 Bibliografía consultada 145 9 PÉRDIDAS Y CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS Y TURBINAS DE REACCIÓN 147 91 Introducción 147 92 Pérdidas por fricción en el disco y por fugas en una bomba centrífuga 147 921 Pérdidas por fricción en el disco 147 922 Pérdidas por fugas 149 93 Pérdidas rendimientos y curvas características en una bomba centrífuga 151 931 Pérdidas por fricción 151 932 Pérdidas por incidencia fuera del punto de diseño o por choque 152 933 Curva característica real de una bomba centrífuga 152 94 Curvas de rendimiento en una bomba centrífuga 154 95 Curvas características de bombas axiales y de flujo mixto 155 96 Curvas características de las turbinas de reacción en función del caudal 155 97 Curvas características de las turbinas de reacción en función del régimen de giro 158 98 Flujo real en una cascada de álabes 159 Bibliografía consultada 161 10 FENÓMENOS DE CAVITACIÓN EN TURBOMÁQUINAS 162 101 Fundamentos y efectos de la cavitación 162 iv Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 102 Altura neta de aspiración y NPSH 163 103 Condiciones de cavitación en una turbomáquina hidráulica 165 104 Semejanza física y cavitación Parámetro de Thoma 166 105 Velocidad específica de aspiración 168 106 Cavitación en turbinas 169 Bibliografía consultada 171 PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE III 172 PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE III 187 Bloque IV CÁLCULO DE MÁQUINAS HIDRÁULICAS Y DE SUS INSTALACIONES 194 11 ELEMENTOS PARA EL CÁLCULO DE BOMBAS E INSTALACIONES DE BOMBEO 195 111 Introducción 195 112 Instalación de bombeo Punto de funcionamiento 195 113 Regulación del punto de funcionamiento 197 1131 Regulación por estrangulamiento a velocidad de giro constante 197 1132 Regulación por variación del régimen de giro 198 1133 Regulación por variación de los álabes del distribuidor o del rodete 198 114 Acoplamiento de bombas en serie y en paralelo 199 1141 Acoplamiento en serie 199 1142 Acoplamiento en paralelo 199 115 Aspectos del diseño de las bombas centrífugas 200 1151 Elección del número de álabes 201 1152 Trazado del álabe mediante arcos o espiral logarítmica 202 1153 Trazado del álabe por puntos 203 116 Elementos complementarios de las bombas centrífugas 204 1161 Conducto de aspiración 204 1162 Difusor 204 1163 Voluta 206 Bibliografía consultada 207 12 ELEMENTOS PARA EL CÁLCULO E INSTALACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS TURBINAS DE ACCIÓN 208 121 Introducción 208 122 Selección e instalación de turbinas hidráulicas 209 123 Efecto del distribuidor de álabes orientables 211 1231 Efecto sobre las características a velocidad de giro constante 211 1232 Efecto sobre las características a altura neta constante 212 v Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1233 Efecto del distribuidor sobre los triángulos de velocidad en una turbina Francis 214 124 Aspectos del diseño de las turbinas Francis 214 125 Aspectos del diseño de las turbinas Kaplan 216 126 Turbinas de acción o impulso 217 1261 Tratamiento general de las turbinas de acción 217 1262 Estudio particular de las turbinas Pelton 219 1263 Regulación y curvas características de las turbinas Pelton 223 1264 Estudio particular de las turbinas Turgo 224 1265 Estudio particular de las turbinas BankiMitchell 226 Bibliografía consultada 228 13 CENTRALES HIDROELÉCTRICAS I INSTALACIONES HIDRÁULICAS 230 131 Introducción 230 132 Clasificación y descripción general de centrales presas y embalses 231 1321 Centrales hidroeléctricas 231 1322 Embalses 232 1323 Presas 233 1324 Aliviaderos 235 133 Instalaciones hidráulicas de alimentación de las turbinas 235 1331 Conducciones de agua 235 1332 Rejillas 236 1333 Dispositivos de abertura cierre y regulación del paso de agua 236 1334 Tuberías forzadas 238 134 Golpe de ariete 239 1341 Efectos de compresibilidad en el flujo de líquidos en tuberías 239 1342 Velocidad de propagación de las ondas de presión 240 1343 Descripción del golpe de ariete 241 1344 Cálculo práctico del golpe de ariete en función del tipo de cierre 242 1345 Golpe de ariete en bombas y en turbinas 244 135 Chimeneas de equilibrio 244 1351 Movimiento del fluido en una chimenea de equilibrio no vertiente 245 1352 Tipos de chimeneas de equilibrio 247 Bibliografía consultada 248 14 CENTRALES HIDROELÉCTRICAS II TIPOS DE CENTRALES Y REGULACIÓN 249 141 Centrales reversibles Máquinas reversibles 249 vi Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 142 Tipos especiales Centrales de acumulación por bombeo 250 143 Tipos especiales Centrales mareomotrices 251 1431 Características principales de las centrales mareomotrices 251 1432 Ciclos posibles de funcionamiento 252 1433 Breve descripción de la Central de Rance 252 144 Aprovechamiento hidráulico y regulación de un río 253 1441 Aforo de un río 253 1442 Curvas características de un río 253 1443 Tipos de curvas cronológicas fluviales 255 1444 Regulación de un río Determinación del embalse necesario 255 145 Caudal de diseño o de equipamiento Caudal ecológico 258 1451 Curva de caudales ordenados Caudal ecológico y otros caudales 258 1452 Elección del caudal de equipamiento 259 146 Producción y consumo de energía hidroeléctrica 260 1461 Las centrales hidroeléctricas en el sistema de producción de energía 260 1462 Potencia rendimientos y producción en una central hidroeléctrica 261 147 El problema de la regulación de una central hidroeléctrica 262 148 Sistema eléctrico Generadores Automatización 263 1481 Multiplicadores de velocidad 263 1482 Generadores eléctricos 264 1483 Automatización 265 149 Procedimientos administrativos Impacto ambiental 266 1491 Permiso de uso del agua 266 1492 Estudio de impacto ambiental 266 1493 Guía para un estudio de impacto ambiental 266 Bibliografía consultada 268 15 MÁQUINAS DE FLUIDOS DE COMPRESIBILIDAD DESPRECIABLE 269 151 Ventiladores Ideas generales y clasificación 269 152 Parámetros significativos de los ventiladores en función del salto de presión 270 153 Rotores y curvas características de ventiladores 272 1531 Ventiladores centrífugos 272 1532 Ventiladores axiales 274 154 Aplicaciones de los ventiladores Tiro natural o autotiro 275 155 Aeroturbinas Conceptos generales 276 vii Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 156 Aeroturbinas de eje horizontal 277 1561 Teoría de Betz o del disco actuador 278 1562 Curva de potencia de una aeroturbina de eje horizontal 279 1563 Nociones aerodinámicas básicas de las aeroturbinas de eje horizontal 280 Bibliografía consultada 281 16 MÁQUINAS DE DESPLAZAMENTO POSITIVO Y TRANSMISIONES HIDRÁULICAS 282 161 Máquinas de desplazamiento positivo Tipos y clasificación 282 162 Bombas hidráulicas alternativas y rotativas Curvas características 283 1621 Bombas hidráulicas alternativas 283 1622 Bombas hidráulicas rotativas 285 163 Motores hidráulicos de desplazamiento positivo Curvas características 286 164 Transmisiones hidráulicas y acoplamientos hidráulicos 287 1641 Transmisiones hidráulicas 287 1642 Acoplamientos hidráulicos 288 165 Convertidor de par Curvas características 290 166 Bombas de desplazamiento positivo en sistemas oleohidráulicos 292 Bibliografía consultada 294 PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE IV 295 PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE IV 306 BIBLIOGRAFÍA 315 ANEXOS 318 ANEXO A1 Turbinas de reacción pura 319 ANEXO A2 Ecuaciones de la capa límite en una turbomáquina radial 321 ANEXO A3 Tablas y diagramas 323 ANEXO A4 Glosario de términos en inglés 326 viii Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas PRÓLOGO El texto al que estas líneas quieren hacer de pórtico nació como muchos otros en el ámbito universitario por la necesidad de establecer el contenido de la asignatura de Máquinas Hidráulicas en las titulaciones vinculadas con Ingeniería Industrial Es a su vez fruto de un compromiso entre dos ideas contrapuestas Por un lado la formación universitaria debe llevar asociada la familiaridad con los textos científicos y técnicos más importantes en la materia y el alumno debe adquirir soltura en la búsqueda selección y aprovechamiento de la consulta en textos de autores nomenclatura y enfoques diferentes Por otro el ritmo impuesto por los planes actuales con gran número de asignaturas impartidas simultáneamente y por un período cuatrimestral apenas permite la tranquilidad necesaria para la lectura contrastada de los textos recomendados En esta tesitura el profesor que ha definido el contenido de la materia en el concurso con el que obtuvo la plaza y que hizo también una gran revisión bibliográfica durante la preparación del mismo tiene que seguir un difícil equilibrio entre lo deseable y lo materialmente posible Por eso en muchos casos opta por definir en unos apuntes por él preparados el contenido mínimo y exigible de la materia fruto de sus propias notas de preparación de las clases Un aspecto de crucial importancia que en muchas ocasiones es desatendida por los textos docentes es la aplicación de la teoría en los ejercicios o problemas Éstos son los que realmente dan la capacidad al estudiante de pasar de las presentaciones y razonamientos teóricos al mundo aplicado del cálculo el diseño y la predicción de las actuaciones de las Máquinas Hidráulicas y de sus instalaciones Después del estudio y asimilación personal de los principios físicos que se deben emplear estas capacidades serán las que distingan al Ingeniero y significarán la transformación del joven que unos años antes se sentó por primera vez en un aula universitaria en un profesional capacitado Después de tres ediciones en papel se presenta esta edición electrónica con el ánimo de facilitar el acceso a cualquier lector interesado en las Máquinas Hidráulicas Se ha prestado mayor atención a los aspectos energéticos y a las Centrales Hidroeléctricas buscando una respuesta adecuada a las nuevas necesidades competenciales de los Másteres relacionados con la Energía en particular los relacionados con las Energías Renovables además de los más generalistas y con atribuciones profesionales como el Máster en Ingeniería Industrial El contenido se ha dividido en 4 grandes bloques I Generalidades sobre las máquinas hidráulicas Energía hidráulica II Teoría general de turbomáquinas hidráulicas III Flujo real pérdidas y cavitación en turbomáquinas IV Cálculo de turbomáquinas y de sus instalaciones Otras máquinas hidráulicas ix Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Cada uno de los bloques anteriores está compuesto por varios capítulos hasta un total de 16 Después de cada bloque se presentan diversos problemas resueltos y otros propuestos con indicación de los resultados numéricos finales preparados para el aprendizaje de los contenidos teóricos fundamentales Los autores Cartagena septiembre de 2016 x Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas LISTA DE SÍMBOLOS Caracteres latinos a velocidad de propagación del sonido en un fluido a anchura de la sección anular de fugas volumétricas aV relación de velocidades V2V1 en un rotor eólico ax abertura adimensional del inyector de una turbina Pelton abc constantes de ajuste de la curva característica a una parábola At área de la sección transversal b altura o anchura del álabe B holgura lateral entre el rodete y la carcasa c calor específico c celeridad o velocidad de las ondas de presión en un líquido C constante en general o bien factor de fricción en holguras C πCf10 D C coeficiente de resistencia de un perfil Cf coeficiente de fricción CL coeficiente de sustentación de un perfil CT coeficiente adimensional de par CW coeficiente adimensional de potencia d deslizamiento en un acoplamiento hidráulico D diámetro normalmente del rodete o interior de una tubería D1 diámetro del inyector en una turbina Pelton Dm diámetro medio en una rueda Pelton e energía interna e espesor efectivo del disco de un rodete e espesor de la pared de una tubería θe e e r x vectores unitarios para las coordenadas cilíndricas ortogonales n s x e e e vectores unitarios para las coordenadas intrínsecas ortogonales E energía mecánica específica E módulo de elasticidad del material de una tubería E0 módulo de elasticidad de un líquido f frecuencia de oscilación de la corriente alterna o de un órgano alternante fu factor de utilización de una central hidroeléctrica mf vector de fuerzas másicas F fuerza en general FD fuerza de resistencia sobre un perfil L F fuerza de sustentación sobre un perfil xi Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles g aceleración de la gravedad G gasto másico h entalpía hΩ factor de rotación inducida en el rotor de un aerogenerador H energía mecánica específica en altura o carga H0 altura manométrica para caudal nulo o nominal en algunos casos Hb altura bruta en una instalación de turbinado Hg altura geométrica o geodésica en una instalación de bombeo Hinst altura resistente o altura de una instalación normalmente de bombeo H altura de pérdida de carga Hi altura de pérdidas hidráulicas internas en una máquina hidráulica Hinst altura de pérdidas hidráulicas en una instalación Hm altura manométrica Hn altura neta Ht altura teórica o de Euler o altura del rotor Hu altura útil o de Euler H altura neta de aspiración i ángulo de ataque de la pala de un aerogenerador i I α I ángulo de inclinación de la pala de un aerogenerador entre w y u k rugosidad absoluta de una superficie K coeficiente de pérdida localizada o secundaria K1 K2 factores de pérdidas hidráulicas internas por fricción y por choque l cuerda de un álabe en una máquina axial cl longitud característica L longitud en general también carrera de un émbolo n velocidad de giro en revoluciones por minuto np numero de pares de polos de un alternador s n coordenadas intrínsecas normal y tangencial a la línea de corriente N número de álabes del rodete de una turbomáquina p presión o presión reducida ap presión ambiente o atmosférica 0p presión de remanso vp presión de saturación del vapor de agua xp presión mínima en el interior de una bomba o de una turbina p presión de referencia q caudal adimensional 3 Q ΩD q flujo de calor por conducción Q caudal Q0 caudal para altura nula o bien caudal nominal en algunos casos QV calor por unidad de tiempo y por unidad de volumen Qr calor generado internamente por unidad de tiempo y por unidad de volumen QV calor total por unidad de tiempo recibido en el volumen de control Q1 caudal medio o módulo de un río r radio xrθ coordenadas cilíndricas ortogonales Rc radio de curvatura Re número de Reynolds Re ρVDµ xii Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas S superficie S velocidad específica de aspiración t separación o paso entre dos álabes en una cascada máquinas axiales ti separación o paso entre dos álabes en la entrada de un rotor centrífugo t tiempo ivt tiempo de ida y vuelta de las ondas de presión en una tubería ot tiempo característico o tiempo de cierre de una válvula rt tiempo de residencia de una partícula fluida T temperatura T par 0 T par de arranque u velocidad de arrastre u Ωr U velocidad de arrastre fuera de la capa límite cuando se estudia el flujo real P U potencial de fuerzas másicas u vector velocidad de arrastre v velocidad absoluta 1v velocidad del chorro en el inyector de una turbina Pelton av velocidad axial meridiana en turbomáquinas axiales m v velocidad meridiana V velocidad absoluta fuera de la capa límite cuando se estudia el flujo real c V volumen de control f V volumen fluido v vector velocidad absoluta cv vector velocidad de las superficies del volumen de control w velocidad relativa W velocidad relativa fuera de la capa límite cuando se estudia el flujo real W potencia en general B W potencia necesaria en una bomba e W potencia eléctrica i W potencia interna en una máquina hidráulica f W potencia perdida por fricción en el disco del rodete de una turbomáquina o W potencia mecánica orgánica perdida S W coeficiente adimensional de potencia específica turbinas u W potencia útil en bombas y en turbinas T W potencia producida por una turbina potencia en el eje V W potencia necesaria para un ventilador w vector velocidad relativa x y z coordenadas cartesianas x vector de posición Símbolos griegos α ángulo de calado de un perfil en una turbomáquina axial α ángulo entre la velocidad absoluta y la de arrastre ángulo del flujo a α ángulo de ataque entre V y la línea de sustentación nula de un perfil α α F ángulo entre V y la dirección acimutal β ángulo formado entre w y u ángulo del álabe Γ circulación de la velocidad alrededor de un perfil en una cascada de álabes 0 Γ circulación de la velocidad alrededor de un perfil aislado xiii Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles δ espesor de la capa límite incremento en general diámetro específico ε coeficiente de corrección de Stodola ε factor de disminución de presión en el estudio de la cavitación ζ coeficiente de pérdidas por fricción en la cuchara de una turbina Pelton r ζ coeficiente de pérdidas por fricción en una cascada de álabes c η rendimiento global de una central hidroeléctrica e η rendimiento eléctrico h η rendimiento hidráulico ηhc rendimiento hidráulico de la cuchara en una turbina Pelton ηhi rendimiento hidráulico del inyector en una turbina Pelton m η rendimiento manométrico o hidráulico en bombas o η rendimiento orgánico tη rendimiento total v η rendimiento volumétrico λ coeficiente de pérdida de presión de Darcy 0 λ velocidad específica para aeroturbinas µ viscosidad dinámica µ coeficiente de disminución de trabajo tµ coeficiente de torsión para ventiladores ν viscosidad cinemática ξ ángulo de planeo de un perfil en una cascada ρ densidad σ parámetro de cavitación de Thoma R σ grado de reacción en una turbomáquina τ tensor de esfuerzos viscosos p τ esfuerzo cortante en la pared φ coeficiente de velocidad en máquinas axiales va u V φ potencia de deformación de las fuerzas viscosas por unidad de volumen V Φ potencia de deformación de las fuerzas viscosas en el volumen de control χ factor de corrección en la teoría bidimensional de turbomáquinas ψ factor de corrección de Pfleiderer ψ coeficiente de presión en máquinas axiales ψ p coeficiente de presión en ventiladores Ψ función de corriente ω frecuencia de oscilación Ω velocidad de giro 0 Ω rotación inducida en la pala de una aeroturbina S Ω velocidad específica adimensional ΩSt potencia específica para turbinas adimensional Subíndices 0 perfil aislado 0 entrada al distribuidor 0 condiciones nominales o bien condiciones de caudal nulo 1 entrada al álabe rodete 2 salida del álabe rodete xiv Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 3 salida del difusor 4 salida de la voluta en una bomba asp aspiración c cuchara de una rueda Pelton d salto de presión dinámica des descarga D disponible e entrada de la máquina hidráulica e salto de presión estática ecol caudal ecológico eq caudal de equipamiento ext exterior o externo exp experimental i cavitación incipiente interno pérdidas hidráulicas internas i inyector de una turbina Pelton int interior interno inst instalación máx máximo rendimiento máximo mín mínimo mt caudal mínimo técnico N número de álabes finito N necesario o requerido p punta del álabe en una turbomáquina axial p eje primario en un acoplamiento hidráulico r raíz del álabe en una turbomáquina axial R rodete s salida de la máquina hidráulica s eje secundario en un acoplamiento hidráulico t teórico t total t turbina también salto de presión total número de álabes infinito θu proyección en la dirección acimutal Superíndices corrección por desviación del flujo cuando éste no está perfectamente guiado por los álabes en determinados problemas también indica alguna condición alternativa de funcionamiento Abreviaturas asp aspiración bombas cte constante des descarga turbinas EIA Estudio de Impacto Ambiental m ca metros de columna de agua NPSE Net Positive Suction Energy NPSH Net Positive Suction Head rpm revoluciones por minuto xv Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles xvi Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas BLOQUE I INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS HIDRÁULICAS 1 Generalidades sobre las máquinas hidráulicas Energía hidráulica 2 Balance energético de una máquina hidráulica Instalaciones de bombeo y turbinado 3 Análisis dimensional y semejanza física en turbomáquinas Problemas resueltos Bloque I Problemas propuestos Bloque I A Leonhard Euler 17071783 se le debe la ecuación de comportamiento más importante para el estudio de las turbomáquinas hidráulicas la Ecuación de Euler cuya lectura constituye el Teorema de Euler 1 Leonhard Euler Wikipedia La enciclopedia libre Fecha de consulta 3 octubre 2016 de httpseswikipediaorgwikiLeonhardEuler Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1 GENERALIDADES SOBRE LAS MÁQUINAS HIDRÁULICAS ENERGÍA HIDRÁULICA 11 Introducción a las máquinas hidráulicas Con carácter general puede decirse que una máquina de fluido es un sistema mecánico que intercambia energía mecánica con el fluido que está contenido o que circula a través de él En este texto se tratan las máquinas hidráulicas que pueden considerarse máquinas de fluidos en las que los efectos de compresibilidad del fluido son despreciables en la Sección 12 se tratará esto con mayor detalle Las máquinas de fluidos y particularmente las máquinas hidráulicas han sido utilizadas desde tiempos históricos La bomba es uno de los ingenios más antiguos que se conocen para intercambiar energía mecánica con un fluido La noria y el tornillo de Arquímedes por ejemplo se emplean desde varios siglos antes de Jesucristo En concreto la rueda hidráulica de paletas auténtica precursora de las actuales turbomáquinas hidráulicas se desarrolló en Egipto Mesopotamia y China al menos mil años antes de la era cristiana Se conoce también que en la Persia y China antiguas se desarrollaron molinos eólicos para aprovechar la fuerza del viento Al parecer las panémonas chinas construidas con madera y tela pudieron ser los primeros ingenios eólicos antecesores de los molinos persas Posteriormente se emplearon con profusión en el mundo islámico a partir del siglo VII Ya en épocas más modernas en el Renacimiento puede atribuirse a Leonardo da Vinci 1452 1519 la invención de la primera bomba centrífuga Sin embargo fue en el siglo XVIII cuando el estudio de las máquinas hidráulicas y en particular de las turbomáquinas adquirió categoría de ciencia o rama de la Ingeniería a raíz de la publicación en 1754 de los estudios de Leonhard Euler 17071783 sobre esta materia Como se verá más adelante se debe a Euler la ecuación de comportamiento más importante en turbomáquinas hidráulicas Por supuesto las máquinas de fluidos constituyeron uno de los motores de la Revolución Industrial Las contribuciones de ingenieros tales como Burdin Fourneyron Sablukow Pelton Francis o Kaplan sobre todo a lo largo de los siglos XIX y XX fueron decisivas para la fabricación de máquinas hidráulicas de elevado rendimiento Algunos de ellos han dado sus nombres a distintos tipos de turbinas hidráulicas tales como Pelton Kaplan o Francis Cabe señalar la primera patente de una bomba centrífuga multietapa similar a las actuales debida a Osborne Reynolds 18421912 En la actualidad los procesos de mejora y perfeccionamiento de nuevos modelos son incesantes El estudio de la materia de interés debe partir del conocimiento de las ecuaciones generales de conservación de la Mecánica de Fluidos de modo que puede considerarse a las máquinas hidráulicas como un aspecto particular de esta ciencia Aunque en el texto se comienza presentando a las máquinas hidráulicas directamente se explicarán aquellas 2 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas partes y ecuaciones de la Mecánica de Fluidos necesarias para la comprensión de la materia que se va a exponer El flujo del fluido a través de una máquina hidráulica puede ser laminar en cuyo caso las partículas fluidas siguen trayectorias ordenadas y pueden determinarse en algunos casos soluciones analíticas o turbulento en cuyo caso las trayectorias fluidas son aparentemente desordenadas con un fuerte incremento de los fenómenos de transporte y difusión de las propiedades fluidas no pudiendo encontrarse una solución analítica El número de Reynolds es el parámetro adimensional que relaciona los efectos convectivos y difusivos de modo que por encima de un cierto valor crítico puede decirse que el flujo pasa de laminar a turbulento En las máquinas hidráulicas particularmente en aquellas en las que el intercambio de energía tiene lugar en un elemento giratorio llamado rodete turbomáquinas el flujo es en general a altos números de Reynolds En estas condiciones el flujo del fluido que atraviesa una máquina hidráulica es normalmente turbulento tridimensional y no estacionario no existiendo en general soluciones exactas de las ecuaciones de NavierStokes ecuaciones de continuidad y de conservación de la cantidad de movimiento Pueden efectuarse distintas simplificaciones como por ejemplo considerar el flujo casiestacionario al estudiarlo en un intervalo de tiempo lo suficientemente grande como para que las magnitudes fluidas promediadas puedan considerarse constantes con el tiempo Cabe destacar el distinto enfoque que debe darse por un lado al análisis y por el otro al diseño de las máquinas hidráulicas El análisis del comportamiento de una máquina hidráulica puede realizarse con ayuda de las teorías simplificadas que se han comentado anteriormente Sin embargo el diseño debe apoyarse en la experimentación previa de máquinas ya construidas que funcionen de forma satisfactoria El análisis y estudio del flujo en las máquinas hidráulicas puede llevarse a cabo mediante técnicas de análisis dimensional y semejanza física o bien mediante teorías simplificadas teorías unidimensional y bidimensional El primer enfoque consiste en poder predecir mediante técnicas de semejanza física el comportamiento de una máquina a partir de las condiciones de otra máquina en un punto de funcionamiento dado Lógicamente el problema del diseño de una máquina nueva no se resuelve con la técnica que se acaba de comentar sino que es preciso un segundo enfoque consistente en la suposición de flujo unidimensional es decir perfectamente guiado por los álabes de una turbomáquina esta teoría se ve ampliada con la teoría bidimensional que supone el flujo en superficies bidimensionales de revolución concéntricas con el eje máquinas axiales o perpendiculares a éste máquinas radiales En estas teorías clásicas resulta imprescindible utilizar datos experimentales que acercan la idealidad de las mismas a la realidad del funcionamiento de las máquinas hidráulicas lo que hace que estas teorías no sean lo suficientemente generales En los últimos años se ha avanzado de forma considerable en el estudio de las máquinas hidráulicas El hecho de considerar por ejemplo ciertos efectos tridimensionales aun suponiendo flujo ideal o de intentar evaluar los efectos de pérdidas por efectos de fricción y turbulencia han supuesto aportaciones importantes No obstante la extraordinaria complejidad del flujo en estas máquinas convierte estos temas en materia de investigación en los campos analítico numérico y experimental lo que cae fuera de los límites de este texto Hasta el momento todo lo comentado se refiere principalmente al tipo de máquina hidráulica llamada turbomáquina cuyas características comienzan a estudiarse en la siguiente sección En este texto el estudio de las máquinas hidráulicas se realizará siguiendo un esquema similar al expuesto en esta introducción Se aplicarán las ecuaciones de conservación de la Mecánica de Fluidos en forma integral a las máquinas hidráulicas y se definirán los distintos rendimientos se aplicarán las herramientas del análisis dimensional y de la semejanza física se expondrán las teorías unidimensional y bidimensional con un enfoque en primer lugar ideal tanto a bombas como a turbinas y para máquinas axiales y 3 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles radiales más adelante se clasifican las máquinas hidráulicas y se explican estos tipos y posteriormente se expondrán distintos aspectos del comportamiento real y del diseño de bombas y turbinas Se analizarán con mayor detalle las turbomáquinas puesto que son las máquinas hidráulicas más utilizadas y son además las más interesantes desde el punto de vista fluidomecánico Las máquinas hidráulicas denominadas de desplazamiento positivo o volumétricas y las transmisiones hidráulicas recibirán en este texto una atención más limitada Con el objeto de asentar los conocimientos que se vierten a lo largo del texto al final de cada bloque se presentan una serie de problemas propuestos y otros resueltos se ha pretendido que estos fueran lo suficientemente representativos 12 Clasificación de las máquinas de fluidos Las máquinas de fluidos pueden clasificarse siguiendo distintos criterios Se han escogido los tres normalmente más utilizados según el sentido de la transmisión de la energía entre el fluido y la máquina según la compresibilidad del fluido de trabajo y según el principio de funcionamiento SEGÚN EL SENTIDO DE LA TRANSMISIÓN DE LA ENERGÍA pueden distinguirse los siguientes tipos Máquinas generadoras Comunican energía mecánica al fluido como ocurre con las bombas los compresores los ventiladores y las hélices1 La energía mecánica que consume una máquina generadora debe ser suministrada por un motor Máquinas motoras Extraen energía mecánica del fluido como ocurre con las turbinas hidráulicas las turbinas de vapor las turbinas de gas y las aeroturbinas Máquinas reversibles Su diseño les permite funcionar alternativamente como máquinas generadoras o motoras como por ejemplo los grupos turbinabomba de las centrales de acumulación por bombeo Máquinas transmisoras Transmiten la energía entre dos sistemas mecánicos o dos fluidos combinando una máquina motora y otra generadora Pueden citarse los acoplamientos fluidos los convertidores de par las transmisiones hidráulicas y neumáticas o los turbocompresores La función de estas máquinas puede ser la transmisión o el cambio de un par o el cambio de una velocidad de giro evitando la transmisión de vibraciones y otros problemas de las conexiones mecánicas El esquema de funcionamiento de estas máquinas puede ser ejebombafluidoturbinaeje véase la Figura 11 o fluidoturbinaejebombafluido Motor Bomba Turbina Fluido Fluido Figura 11 Esquema de una transmisión hidráulica 1 En realidad en las hélices marinas y aéreas el objetivo es conseguir un empuje sobre el cuerpo un buque un avión que se mueve dentro del fluido 4 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas SEGÚN LA COMPRESIBILIDAD DEL FLUIDO la clasificación clásica atiende a la modificación de la densidad del fluido al atravesar la máquina Si el fluido es un líquido sin cambio de fase o un gas en el que las diferencias de presión y los efectos térmicos al atravesar la máquina son despreciables la máquina en cuestión se denomina máquina hidráulica Si por el contrario el líquido sufre un cambio de fase o el gas sufre cambios importantes de presión o temperatura que modifican de forma apreciable su densidad se aplicará la denominación habitual de máquina térmica aunque su función principal no sea la transmisión de energía térmica Esta nomenclatura puede parecer contradictoria al mezclar de algún modo líquidos y gases por ejemplo una turbina de vapor que funciona con agua que es un líquido en condiciones atmosféricas sería una máquina térmica y no una máquina hidráulica Una aeroturbina que funciona con aire que es un gas sería una máquina hidráulica y no una máquina térmica En definitiva la frontera entre flujo compresible e incompresible no es muy clara Como criterio podría establecerse que por debajo de velocidades de trabajo del 30 de la velocidad del sonido los efectos de compresibilidad pueden considerarse despreciables En este texto se estudiarán las máquinas hidráulicas bien de líquidos considerados estos con densidad estrictamente constante bien de gases con cambios de densidad despreciables al atravesar la máquina como ocurre por ejemplo con el aire al atravesar el rotor de una aeroturbina SEGÚN EL PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA MÁQUINA pueden distinguirse los siguientes tipos Máquinas rotodinámicas o turbomáquinas en las que se produce un intercambio de cantidad de movimiento entre el fluido y la máquina a través de una pieza giratoria llamada rotor o rodete véase la Figura 12 El fluido circula de forma continua a través de los canales que forman los álabes del rotor Las fuerzas son sobre todo de dirección tangencial por lo que hay un cambio en el momento cinético del fluido cuando atraviesa el rotor y por ello se transmite un par entre el rotor y el fluido y un intercambio de energía mecánica Rodete Distribuidor Voluta Aspiración Impulsión Máquinas de desplazamiento positivo o volumétricas en las que el intercambio de energía es sobre todo en forma de presión mediante el paso del fluido a través de una cámara de trabajo en la que entra y sale en un proceso alternativo El órgano de trabajo es el elemento desplazador y no hay conexión simultánea a través del fluido entre la entrada y la salida Existe una fuerza entre el fluido y otros órganos móviles que da lugar al intercambio de energía Estas máquinas se pueden clasificar a su vez en alternativas por ejemplo de émbolo véase la Figura 13a que requieren válvulas de admisión y expulsión y giratorias o rotativas de engranajes levas tornillos véanse Figura 12 Esquema de una bomba centrífuga El distribuidor puede consistir únicamente en un tubo de entrada o disponer de álabes guía que conducen el flujo hacia el rodete En la salida se dispone a menudo de una corona de álabes fijos denominada difusor Sus álabes pueden ser orientables aunque esto es muy poco frecuente en bombas Por su forma característica la voluta también recibe la denominación de caracol 5 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles las Figuras 13b y 14 cuyo diseño evita la necesidad de colocar válvulas de paso a las cámaras Máquinas gravimétricas Aunque actualmente son de menor interés se puede completar la clasificación con aquellas máquinas cuyo intercambio de energía sea sobre todo de tipo potencial gravitatoria como los elevadores de cangilones la rueda hidráulica o el tornillo de Arquímedes Embolo Succión Descarga Fluido Válvula de admisión Válvula de descarga Succión Descarga Engranaje a b Figura 13 Máquinas volumétricas o de desplazamiento positivo a Alternativa de émbolo b Rotativa de engranajes Excentricidad Aspiración Impulsión Rotor Fluido a b Figura 14 Bombas volumétricas rotativas a De tornillo sin fin b Excéntrica de paletas deslizantes 13 Elementos característicos de una turbomáquina hidráulica Una turbomáquina hidráulica es una máquina rotodinámica de fluido incompresible Este tipo de máquina puede tener una sola etapa o célula o varias dispuestas en serie cada etapa está compuesta por un elemento fijo estátor y otro móvil rotor o rodete El rodete o rotor es el elemento principal de una turbomáquina hidráulica y es donde se produce fundamentalmente el intercambio de energía entre el fluido y la máquina Según el modo con el que el fluido atraviesa el rodete se pueden clasificar las turbomáquinas hidráulicas en radiales axiales o mixtas como se verá en la sección siguiente En el estátor pueden distinguirse a su vez varios componentes El distribuidor que es el elemento que conduce al fluido hacia la sección de entrada del rodete en dirección y magnitud apropiadas En algunas turbinas es un conjunto de álabes fijos en el sentido de no giratorios pero regulables en orientación para controlar el caudal En otros casos como en las bombas es un simple conducto de admisión o de aspiración El difusor que recoge el fluido que sale del rodete y lo guía en ocasiones mediante álabes de forma eficiente para que reduzca su energía cinética y recupere presión Eje motor Aspiración Impulsión Tornillo sinfín 6 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas estática En las turbinas se le denomina también tubo de aspiración pues desagua y crea depresión en la salida del rodete La voluta consistente en un canal de sección creciente bombas o decreciente turbinas que rodea al rodete recogiendo el fluido que sale del mismo en el caso de las bombas o distribuyéndolo en la periferia de las turbinas En turbinas es frecuente llamarle caja espiral Por su forma característica a veces se le denomina simplemente caracol No todas las turbomáquinas han de tener todos estos elementos fijos Así en muchas de ellas no existe distribuidor o voluta e incluso en algunas turbomáquinas como en las aeroturbinas o en las hélices no hay ni distribuidor ni voluta ni difusor consistiendo la máquina únicamente en el rotor En el caso de contar con todos los elementos mencionados en una bomba el fluido atraviesa por orden el distribuidor el rodete el difusor y la voluta en una turbina el orden es caja espiral o voluta distribuidor rodete y tubo difusor 14 Clasificación y tipos de turbomáquinas hidráulicas 141 Clasificación de las turbomáquinas según la dirección del flujo Según la dirección que el flujo sigue en el elemento principal de la turbomáquina el rodete se puede clasificar a éste y por extensión a toda la turbomáquina Así pueden distinguirse los tipos siguientes Máquinas radiales en las que las trayectorias de las partículas fluidas están contenidas principalmente en planos perpendiculares al eje como ocurre en las bombas centrífugas véase la Figura 15 y en las turbinas centrípetas Máquinas axiales en las que las líneas de corriente están contenidas en superficies de revolución paralelas al eje esto es cilíndricas Máquinas mixtas o helicocentrífugas en bombas o helicocentrípetas en turbinas En estas máquinas las trayectorias están contenidas en superficies de revolución no cilíndricas por lo que se acercan o alejan del eje a la vez que tienen una componente importante paralela a dicho eje 142 Tipos y denominaciones característicos de turbinas hidráulicas Además de los ya expuestos existe un criterio adicional de clasificación de las turbinas que junto con alguno de los anteriores dan lugar a tipos muy concretos que reciben el nombre de sus primeros diseñadores Así puede distinguirse en primer lugar entre turbinas de acción o impulso por un lado y turbinas de reacción por otro Álabe Eje de giro Aspiración Impulsión Figura 15 Trayectorias que siguen las partículas fluidas al atravesar el rodete de una bomba centrífuga El flujo del fluido tiene lugar en planos perpendiculares al eje de la máquina fundamentalmente con dos componentes de velocidad radial y acimutal se estudiará con mayor detalle más adelante 7 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En las TURBINAS DE ACCIÓN O IMPULSO no se produce variación de presión estática a través del rotor por lo que el fluido no precisa llenar todo el espacio entre álabes Figura 16 Toda la caída de presión estática se sitúa en la tobera del inyector y el agua sólo incide sobre los sucesivos álabes en forma de uno o varios chorros discretos con gran energía cinética Este tipo el más conocido de las turbinas de acción se denomina turbina Pelton en honor a Lester A Pelton 18291908 que la patentó hacia 18802 Son características de saltos con desniveles superiores a 400 m y presentan algunos elementos característicos como son la válvula de aguja del inyector para regular el caudal el deflector para desviar el chorro si la carga disminuye rápidamente y un contrachorro para frenar la turbina rápidamente cuando sea preciso Este tipo de turbina carece de difusor por lo que se denominan también de escape libre Por la forma de incidir el chorro de agua sobre el rodete en algunos textos reciben igualmente la denominación de tangenciales Cucharas Inyector Válvula de agüja Chorro Rueda Figura 16 Esquema básico de una turbina de acción tipo Pelton En las TURBINAS DE REACCIÓN se produce una caída de presión estática en el rotor por lo que el líquido debe llenar todo el canal entre álabes Figura 17 Según la dirección del fluido se pueden distinguir a su vez entre los siguientes tipos Turbinas radiales o Francis Aunque el primer diseño de James B Francis 18151892 de 1849 era una turbina estrictamente de flujo radial con bordes de entrada y de salida paralelos al eje hoy en día la mayor parte de los diseños bajo esta denominación son helicocentrípetos mixtos teniendo en la salida del rotor componentes axiales y radiales de velocidad Son características de saltos entre 40 y 500 m por lo que son las más frecuentemente empleadas Algunos diseños especiales en que los álabes son orientables reciben la denominación de turbinas Deriaz Distribuidor Rodete Difusor Voluta o caja espiral o tubo de aspiración Línea de corriente proyectada Figura 17 Esquema básico de una turbina de reacción Francis típica 2 La principal novedad de este diseño consistía en una arista que separaba en dos partes el flujo incidente el diseño elipsoidal de la cuchara que conocemos actualmente se debe a WA Doble 8 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Rodete Distribuidor Voluta Línea de corriente proyectada Tubo difusor Turbinas axiales o Kaplan En estas máquinas el flujo es totalmente axial y los álabes son fijos en cuyo caso se denominan turbinas de hélice o bien orientables para regular la carga turbinas Kaplan3 véase la Figura 18 Se emplean cuando el salto es muy pequeño inferior a 60 m Si además no existe voluta y la turbina de hélice o Kaplan está colocada axialmente en el centro de un conducto forzado se denominan turbinas tubulares o de bulbo estas turbinas se emplean en los casos con saltos muy pequeños entre 2 y 15 m Las turbinas tubulares presentan ventajas adicionales como abaratar el coste de producción disminuir el impacto ambiental y poder funcionar como máquinas reversibles indistintamente como turbinas o como bombas 143 Otros criterios de clasificación Además de los tipos anteriores se pueden distinguir entre las turbomáquinas de una sola etapa o escalón y las multicelulares o multietapa Como se ha explicado anteriormente en estas últimas el caudal que pasa por cada etapa es el mismo pero la carga producida o absorbida es la suma de la proporcionada por cada una de las etapas También se puede señalar la posible clasificación en turbomáquinas de aspiración simple en las que el fluido entra sólo por un lado del rotor y turbomáquinas de aspiración doble en las que el fluido entra por ambos lados del rotor Estas últimas tienen la ventaja de su simetría por lo que se equilibra y compensa el empuje axial Pueden clasificarse incluso las turbomáquinas hidráulicas según la proporción de energía de presión estática intercambiada en el rodete y la energía mecánica total lo que se conoce como grado de reacción este concepto se estudiará con mayor detalle más adelante Puede adelantarse que las turbinas Pelton se mueven como consecuencia de la variación del momento cinético que se produce en el rodete al incidir un chorro con una energía cinética elevada sobre las cucharas dispuestas en la periferia de la rueda este tipo de máquinas tiene un grado de reacción nulo Las turbinas Francis en cambio son máquinas con un grado de reacción no nulo porque intercambian presión estática en el rodete 15 La Energía Hidráulica Dentro del término general de Energía Hidráulica es decir de energía relacionada con el agua del griego ϋδωρ hydor hidro se agrupan distintos conceptos que conviene distinguir la Energía Hidráulica Convencional o Hidroeléctrica con sus variantes Minihidráulica o Microhidráulica o las diversas y novedosas tecnologías incluidas en la 3 En la década de 1920 Victor Kaplan 18761934 construyó la primera turbina de estas características Figura 18 Dibujo esquemático de una turbina Kaplan de eje vertical Como en las turbinas de tipo Francis el agua es conducida hacia el rodete de forma apropiada mediante la voluta o caja espiral El distribuidor consiste normalmente en una corona de palas o álabes orientables no rotativos constituyendo el principal órgano de regulación de la turbomáquina 9 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles denominación general de Energía del Mar Además conceptos como el Recurso Hidráulico o la consideración de la Energía Hidráulica dentro de las Energías Renovables también merecen atención Todas estas cuestiones se tratarán brevemente a continuación 151 Energía Hidráulica Convencional Las caídas de masas de agua producidas por los desniveles existentes en los cauces por donde estas aguas discurren han sido utilizadas desde la antigüedad para producir energía mecánica por medio de ruedas de paletas y de cajones que aunque eran artefactos rudimentarios tenían aplicaciones tales como elevar agua de riego o mover molinos de grano Figura 19 Central hidroeléctrica con turbina de tipo Francis Figura 110 Central hidroeléctrica con turbina de tipo Kaplan Figura 111 Central hidroeléctrica con turbina de acción o de tipo Pelton 10 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Actualmente el aprovechamiento de la energía hidráulica disponible en los saltos de agua mediante turbinas en las centrales hidroeléctricas constituye un importante recurso para la producción de energía eléctrica y una de las principales aplicaciones de la maquinaria hidráulica Figuras 19 110 y 111 Podría decirse que esta es la forma más conocida de aprovechamiento de la energía hidráulica La energía hidráulica convencional se ha relacionado tradicionalmente con la energía potencial disponible en un salto o desnivel entre masas de agua La denominación Energía Hidroeléctrica se asocia entonces a la obtención de energía mecánica en un sistema rodeteeje aprovechada en un generador eléctrico Es la conocida como Energía Hidráulica Convencional Existen dos formas básicas de aprovechamiento de la energía hidráulica convencional La primera es la interceptación de la corriente a través de una presa lo que da lugar a las clásicas centrales a pie de presa La segunda es la desviación de la corriente fluida lo que origina las llamadas centrales en derivación o en ocasiones centrales fluyentes Se ha incorporado en los últimos años un tercer tipo consistente en la interceptación de la corriente en sistemas de redes de agua Está relacionada con la obtención de potencias reducidas y por tanto se asocia a las Energías Minihidráulica y Microhidráulica Presentan algunas diferencias significativas con respecto a la Energía Hidráulica Convencional aunque realmente los principios de funcionamiento son los mismos como se comenta a continuación 152 Las Energías Hidráulica Minihidráulica y Microhidráulica Puede establecerse una diferenciación entre las Energías Hidráulica Minihidráulica y Microhidráulica en función del umbral de potencia obtenida de la central Una minicentral hidroeléctrica tiene por convenio una potencia instalada inferior a 10 MW Por encima de este nivel de referencia se sigue la denominación tradicional de central hidroeléctrica En general una central hidroeléctrica requerirá forzosamente la construcción de un embalse o de un canal en derivación desde el que se conducirá el agua a través de tuberías forzadas hasta la estación de turbinado Así pues la obra civil y el impacto ambiental serán grandes condicionantes en el diseño y construcción de estas centrales Las grandes centrales hidroeléctricas compuestas por varias turbinas en paralelo pueden producir varios gigawatios de potencia En una minicentral sin embargo puede estar presente un embalse o bien no ser necesario al obtenerse el salto de energía directamente sobre el curso de un río por ejemplo Aparte de estos condicionantes no existe ninguna razón técnica de diferenciación entre la Energía Hidráulica y la Energía Minihidráulica En los últimos años la denominación de Energía Microhidráulica se ha aplicado a las centrales de abastecimiento eléctrico muy localizado con máquinas de potencia del orden o inferior incluso a 1 kW por ejemplo ruedas Pelton domésticas que aprovechan cursos hidráulicos de montaña de poco caudal para el abastecimiento eléctrico de una casa rural en realidad estos sistemas de producción distribuida en escalas pequeñas han existido desde muchos años atrás Otra aplicación interesante puesta en boga en los últimos tiempos consiste en aprovechar energéticamente los sistemas de reparto de agua agua potable de riego Por ejemplo en los puntos en los que forzosamente debe bajarse la presión en sistemas de abastecimiento de agua potable la válvula de reducción o de rotura de carga puede sustituirse por una pequeña turbina En este caso sí que se establecen diferencias técnicas significativas con la Energía Hidráulica Convencional puesto que se puede recurrir a turbinas hidráulicas con diseños especiales 153 La Energía del Mar La Energía Hidráulica podría definirse en realidad de un modo más genérico si tenemos en cuenta que son posibles diferentes modos de aprovechamiento de la energía de una masa 11 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles de agua potencial cinética de agitación olas ondas térmica La denominación entonces será válida siempre que en la instalación energética el agua se mantenga como un fluido incompresible con densidad fundamentalmente constante Las distintas denominaciones aparecen como consecuencia de los distintos niveles de potencia o del tipo de la energía aprovechada Con este planteamiento general la denominada Energía Maremotriz o Energía del Mar debería considerarse fundamentalmente como una Energía Hidráulica aunque por desarrollarse en el mar y aprovechar otros modos distintos de energía a la Hidráulica Convencional hasta el momento ha merecido una atención separada De entre los distintos modos de aprovechamiento de la energía hidráulica de origen marino la mareomotriz energía de las mareas la undimotriz energía de agitación de las olas y la energía de las corrientes marinas aprovechamiento de las corrientes marinas de poca profundidad pueden incorporar turbinas hidráulicas con diseños similares a los utilizados en la Energía Hidráulica convencional Otros modos de aprovechamiento como la energía térmica oceánica aprovechamiento del gradiente térmico con la profundidad a través de ciclos termodinámicos o la energía osmótica o azul potencia osmótica entre volúmenes de agua con diferente salinidad están más alejados de la Energía Hidráulica clásica 154 El Recurso Hidráulico Es habitual denominar a la cantidad de agua aprovechable o bien a la potencia que se estima aprovechable mediante algún tipo de instalación Recurso Hidráulico La Energía Hidráulica es por supuesto una energía renovable puesto que aprovecha un recurso el hidráulico en un ciclo inagotable Como cualquier otro tipo de energía renovable el recurso hidráulico procede del Sol efectivamente nuestro astro da lugar al llamado ciclo hidrológico así como a otros tipos de movimientos de gran escala como las mareas que pueden ser aprovechados en las centrales mareomotrices Para la determinación del recurso hidrológico en la Energía Hidráulica convencional es preciso efectuar un estudio hidrológico de la zona de interés es decir un análisis de las entradas y salidas de los volúmenes de agua en una zona que forma una cuenca vertiente que puede entenderse como la porción de terreno en la que el agua drena hacia un cierto curso fluvial en la que puede almacenarse una cierta cantidad de agua para posteriormente ser turbinada en una cota inferior Por tanto en la Energía Hidráulica terrestre convencional la Hidrología es un ingrediente importante en la determinación del recurso hidráulico En el campo de la Energía del Mar sería preciso estimar por ejemplo la altura media de oleaje o más importante la altura significativa de ola relacionada con la energía concernida en un área dada del océano o la velocidad y regularidad de las corrientes submarinas 155 La Energía Hidráulica como energía renovable La Energía Hidráulica sigue siendo hoy en día la energía renovable más importante a nivel mundial Existen países en América del Sur y en el Norte de Europa que consiguen más del 70 de su producción total de electricidad a partir de la Energía Hidráulica En términos totales las Energías Eólica e Hidráulica son junto con la Biomasa las energías renovables que copan prácticamente la producción europea Lógicamente en los países con más horas de sol anuales la Energía Solar ocupa una posición cada vez más relevante Los países europeos con mayor producción hidráulica son Francia Suecia Italia Austria y España estos países superan conjuntamente como media el 80 de la producción en Europa En España la Energía Hidráulica ha sido tradicionalmente la principal fuente de energía renovable actualmente tiene una importancia relativa equiparable a la Energía Eólica que ha experimentado un avance muy significativo en los últimos años Como término medio en los últimos años la producción de electricidad procedente de la Energía Hidráulica se aproxima al 15 El Real Decreto 6612007 de Régimen Especial de Producción de 12 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Electricidad concede el régimen de tarificación especial a la Energía Hidráulica con una potencia instalada inferior a 10 MW es decir considera como energía estrictamente renovable a la Energía Minihidráulica aunque se mantiene la tarificación especial hasta el nivel de potencia de 50 MW Esta consideración también se ha visto reflejada en el Plan de Energías Renovables PER 20052010 y en su sucesor el PER 20112020 En ambos planes se clasifica a la Gran Hidráulica con potencias superiores a 50 MW Hidráulica a aquella con potencias en el rango 10 a 50 MW y Minihidráulica a aquella con potencia inferior a 10 MW El PER 20112020 sigue apostando por el incremento de la potencia instalada en Energía Minihidráulica En este sentido apunta que se primará la rehabilitación de centrales abandonadas así como el desarrollo de sistemas de turbinado con acumulación por bombeo Por otro lado efectúa una firme apuesta por el desarrollo de los sistemas de aprovechamiento de la Energía del Mar Cabe indicar no obstante que las previsiones de producción de Energía Minihidráulica fueron más optimistas que lo conseguido hasta la fecha y que es preciso seguir los planes de implantación y desarrollo pertinentes Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Charlier RH y Finkl CW Ocean energy SpringerVerlag Berlin 2009 Fernández Díez P Energía del mar wwwespfernandezdiezes edición electrónica 2016 Henry P Turbomachines hydrauliques Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1992 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Lecuona A y Nogueira JI Turbomáquinas Ariel Ciencia y Tecnología Barcelona 2000 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 McNaughton K Bombas Selección uso y mantenimiento McGrawHill 1987 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 13 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 BALANCE ENERGÉTICO DE UNA MÁQUINA HIDRÁULICA INSTALACIONES DE BOMBEO Y TURBINADO 21 Introducción Después de haber introducido a las máquinas hidráulicas como sistemas que intercambian energía mecánica entre el fluido y el exterior con la restricción de que los cambios de densidad deben ser nulos o despreciables se aborda en este capítulo el balance energético de una máquina hidráulica utilizando para ello las ecuaciones generales de conservación en forma integral para un volumen de control convenientemente elegido Se entiende como tal un volumen definido entre las secciones de entrada y de salida de la máquina y que contiene a todo el fluido del interior de la máquina por lo que las superficies interiores sólidas fijas y móviles en contacto con el fluido lo serán también del volumen de control La posición exacta y la interpretación de estas superficies de control habrá de dejarse para cada caso y tipo de máquina en particular pero las ideas generales que se van a desarrollar serán válidas con independencia de la morfología de la máquina También se utilizará la hipótesis de condición globalmente estacionaria o casiestacionaria que para turbomáquinas resulta apropiada en la mayoría de ocasiones Igual que en el caso de máquinas de desplazamiento positivo la hipótesis mencionada será válida si se considera un promediado temporal lo suficientemente amplio como para que las condiciones en la entrada y en la salida del sistema sean constantes con la suficiente aproximación sin acumulación de masa o energía en el interior Si esto no fuera posible sería necesario conservar los términos no estacionarios y el análisis que se desarrolla a lo largo del capítulo no sería aplicable La obtención de relaciones simplificadas de balance o de conservación de las propiedades permitirá la definición de una serie de rendimientos que contribuyen a la caracterización de la turbomáquina estudiada siendo el más representativo el rendimiento hidráulico que como se verá más adelante recibe también la denominación de rendimiento manométrico en el caso de las bombas 22 Ecuación de conservación de la energía El teorema del transporte de Reynolds permite expresar la variación respecto del tiempo de la energía total térmica y cinética en un volumen fluido Vft en función de su variación 14 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas respecto del tiempo en un volumen de control arbitrariamente definido Vct y de su flujo a través de la superficie de éste Sct de la forma siguiente 2 2 1 2 2 1 2 2 1 d d d d d d d d d d d d Vc t r Sc t Vc t m Sc t t Sc c Sc t Vc t t Vf V Q q n S v V f v S n n v S p n S v v v e V v e t V v e t ρ τ ρ ρ ρ 21 donde ρ es la densidad del fluido p la presión e la energía interna v la velocidad del fluido cv la velocidad de las superficies del volumen de control τ el tensor de esfuerzos viscosos mf las fuerzas másicas por unidad de masa q el flujo de calor por conducción y Qr la potencia calorífica generada internamente por reacción química Las fuerzas másicas pueden ponerse en general como sigue v x x t a g fm Ω ΩΩ Ω 2 d d 0 siendo g la aceleración de la gravedad 0a la aceleración del sistema de referencia Ω la velocidad de giro del rodete o la frecuencia de oscilación de un mecanismo alternativo y x una cierta coordenada sobre la que se toma un vector de posición En la mayoría de los casos la velocidad de giro puede suponerse constante y a0 0 de modo que salvo la fuerza de Coriolis v 2Ω puede suponerse que p m U f con UP gz Ω2r22 es decir que las fuerzas másicas derivan de un potencial Up en el que intervienen únicamente fuerzas gravitatorias y centrífugas Resulta entonces que la única fuerza de inercia que no deriva de un potencial es la de Coriolis que a su vez no realiza trabajo por ser perpendicular a la velocidad Mediante operaciones vectoriales puede ponerse el trabajo de las fuerzas másicas sobre una partícula fluida de la forma P P P m vU v U U v v f ρ ρ ρ ρ 22 y teniendo en cuenta por la ecuación de continuidad que t v ρ ρ puede ponerse4 p p m vU t U v f ρ ρ ρ 23 con lo que el trabajo para todo el volumen de control es utilizando el teorema de Gauss Ostrogradsky d d d d d d d Vc t Sct c P P Vf t P Vc t Vc t P P m n S v v U V U dt d V U t V U v t U v V f ρ ρ ρ ρ ρ ρ 24 Introduciendo la expresión anterior en la ecuación de conservación de la energía en forma integral resulta d d d d d d d d 2 2 1 2 2 1 Vc t r Sc t Sc t t Sc c Sc t p Vc t p V Q q n S v S n n v S p n S v v U v e V U v e t τ ρ ρ 25 La Ecuación 25 indica que la variación en el volumen de control de la suma de la energía total energía interna más energía cinética y de la energía potencial más el flujo de esta cantidad a través de la superficie del volumen de control está producida por el trabajo 4 Puede suponerse que Up no depende del tiempo Up no depende entonces de las variables fluidas sino de las geométricas Posteriormente la condición de flujo casiestacionario se impone con carácter general de modo que la variación temporal de cualquier variable fluida se tomará despreciable 15 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sobre la superficie del volumen de control de las fuerzas superficiales presión y esfuerzos viscosos y por el calor recibido por conducción o generado en el interior del volumen por una posible reacción química o de alguna otra naturaleza Si se aplica esta ecuación a un volumen de control en una turbomáquina pueden distinguirse en la superficie de control tres partes diferentes véase la Figura 21 e s f S m S S S Si se toma como hipótesis que el flujo es globalmente estacionario las integrales sobre el volumen de control de las energías térmica cinética y potencial no variarán con el tiempo Si además se supone que en las secciones de entrada y de salida las condiciones del flujo son uniformes por lo que los efectos viscosos pueden considerarse despreciables puede tomarse entonces un valor constante en estas secciones para cada variable fluida de modo que la Ecuación 25 se transforma en Vc r Sc Sm c e e e P e s s s P s V Q q n dS S v n n p v A U v h v A U v h d d 2 2 1 2 2 1 τ ρ ρ 26 Se ha utilizado en la expresión anterior la condición de que la velocidad del fluido en las superficies sólidas fijas es nula e igual a vc en aquellas superficies móviles del volumen de control por la condición de adherencia Además el trabajo de la presión en la entrada y en salida se ha agrupado con la energía interna para formar la entalpía h e pρ Puede agruparse también el trabajo por unidad de tiempo sobre las superficies móviles de la presión y de los esfuerzos viscosos en un término W que será el trabajo por unidad de tiempo que las partes móviles realizan sobre el fluido al que se le denominará potencia útil y que puede ser tanto positivo como negativo De igual modo todo el calor recibido por el fluido a través de la superficie del volumen de control o el generado en su interior se agrupa en el término V Q Si además se hace uso de la ecuación integral de continuidad se obtiene que por no variar la masa en el interior del volumen el gasto másico de entrada y salida se mantiene e e e s s s v A v A G ρ ρ 27 igualdad que se puede incluir en la ecuación de la energía para indicar que el producto del gasto másico por la variación entre la salida y la entrada de la suma de la entalpía energía cinética y energía potencial es el trabajo recibido por unidad de tiempo más el calor por unidad de tiempo recibido por el fluido en el interior de la turbomáquina 2 2 1 2 2 1 V e P P s Q W U v h U v G h 28 Figura 21 Superficies de control en una turbomáquina hidráulica Secciones fijas de entrada y de salida SS y Se únicas en las que existe intercambio de masa con el exterior Paredes fijas Sf en el interior de la máquina en contacto con el fluido Paredes móviles Sm del rotor o de otros elementos móviles 16 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Si se divide por el gasto la ecuación anterior se obtiene que la suma de todo tipo de energía por unidad de masa es el trabajo y el calor recibido también por unidad de masa G Q W U v h U v h V e P s P 2 2 2 2 29 Si en la salida el flujo resulta con turbulencia alta aunque su velocidad media pueda considerarse uniforme al evaluar la energía cinética debe considerarse también la energía cinética de la fluctuación turbulenta promediada de salida de modo que la ecuación anterior resultaría 2 2 2 de salida turbulenta energía 2 2 2 s V e P s P v G Q W U v h U v h 210 23 Ecuación de conservación de la energía interna Con el objeto de separar los aspectos térmicos de los mecánicos se plantea ahora la ecuación integral de la energía interna Se puede partir de la ecuación de conservación de la energía interna en forma diferencial que puede ponerse del modo siguiente r V Q q v p e v t e φ ρ 211 siendo φV la potencia de deformación de los esfuerzos viscosos por unidad de volumen Puesto que sólo se consideran fluidos incompresibles puede eliminarse el trabajo de compresión el primero de los sumandos a la derecha de la ecuación Extendiendo ahora esta ecuación a un volumen fluido y por el teorema del transporte de Reynolds aplicado al volumen de control establecido en la máquina se obtiene d d d d d d d Vc t r Sc t Vc t V c Sc t Vc t V Q q n S V n S v e v e V t φ ρ ρ 212 Se supondrá una situación casi estacionaria y que por tanto la energía interna del fluido en el interior no cambia con el tiempo De igual modo el flujo convectivo de energía interna solo existe en la entrada y en la salida que es donde hay intercambio de masa Suponiendo como antes condiciones uniformes y denominando respectivamente por ΦV y V Q a las integrales correspondientes a toda la disipación viscosa en el volumen y a todo el calor recibido por el fluido respectivamente resulta V V e s Q e G e Φ 213 lo que indica que el fluido varía su energía interna se calienta o se enfría por dos razones por la energía específica disipada por efectos viscosos y por el calor recibido por unidad de masa El primero de los efectos es siempre positivo esto es de calentamiento mientras que el segundo depende del sentido de la transmisión del calor EVALUACIÓN DEL CALENTAMIENTO EN BOMBAS Y TURBINAS HIDRÁULICAS La ecuación de la energía interna permite obtener el calentamiento del fluido que atraviesa la máquina hidráulica como se verá a continuación Suponiendo que la energía interna es e cT siendo c el calor específico del fluido se tiene que tanto para una bomba como para una turbina Gc Q T T V V e s Φ 17 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En una máquina hidráulica normalmente no se producen procesos de calentamiento o de enfriamiento por lo que se puede suponer que V Q es nulo La variación de temperatura será por tanto sólo debida a la disipación viscosa y puede demostrarse que es muy pequeña Así por ejemplo en una turbina de agua con altura neta que se definirá más adelante aunque puede adelantarse que representa el salto energético total a través de la máquina expresado en unidades de longitud del orden de 100 m y una altura de pérdidas internas puede apuntarse que se definirá a partir de la potencia de disipación viscosa de un 10 de la altura neta la gran capacidad calorífica del agua hace que el aumento de temperatura de la misma sea solamente del orden de 102 K es decir el término ΦV Gc normalmente es muy pequeño en máquinas hidráulicas Por lo tanto las pérdidas por disipación viscosa y la turbulencia excesivamente alta en la salida que se había asimilado también a este tipo de pérdidas por disipación pueden tener gran importancia en cuanto a las características mecánicas de la máquina pero son totalmente despreciables en cuanto al efecto térmico sobre el líquido que se mueve a través de ella En adelante y a lo largo de todo el texto se despreciará cualquier tipo de efecto térmico en una máquina hidráulica 24 Ecuación de conservación de la energía mecánica Restando de la Ecuación 29 de la energía total la Ecuación 213 de la energía interna se obtiene la ecuación de la energía mecánica Definiendo la energía mecánica específica por 2 2 UP v p E ρ 214 la ecuación integral de la energía mecánica proporciona el incremento de energía mecánica específica a través de la máquina resultando igual al trabajo recibido por unidad de masa menos la energía específica disipada por efectos viscosos 2 2 2 2 G W U v p U v p E E V e P s P e s Φ ρ ρ 215 Esta ecuación solo es válida para fluidos incompresibles y si la viscosidad presente en la función de disipación fuese independiente de la temperatura el problema mecánico aparecería completamente desacoplado del térmico Una vez resuelto el problema mecánico se podrá obtener el incremento de la temperatura del fluido haciendo un balance energético mediante la ecuación integral de la energía interna en el caso de que fuera de interés Si en la salida el movimiento fuese muy turbulento la energía cinética de la fluctuación de velocidad turbulenta aparecería como una disminución de la energía mecánica suministrada al fluido de forma similar a como se ha puesto anteriormente 2 2 2 2 2 2 s V e P s P e s v G W U v p U v p E E Φ ρ ρ 216 25 Balance de energía mecánica y rendimientos en bombas hidráulicas Si la máquina que se considera es una bomba la potencia útil comunicada W es positiva y según la ecuación anterior esta potencia se emplea en aumentar por un lado la energía 18 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas mecánica específica y por el otro en lo que puede llamarse pérdidas por disipación viscosa y turbulenta en el interior y por turbulencia presente en la salida Es decir en el término ΦV G interviene la energía mecánica degradada en el interior de la máquina por disipación viscosa por un lado y por disipación turbulenta por el otro mientras que en el término sv2 2 se incluye la energía cinética turbulenta en la salida Como esta energía residual finalmente se disipará en forma de calor aguas abajo podría englobarse en cualquier caso dentro del término de disipación viscosa Por otra parte aunque el aumento de la energía específica puede ser en forma de presión energía cinética o potencial se suele emplear el término de altura manométrica para denominar a este incremento midiéndolo en unidades de longitud utilizando la constante de la gravedad Se define por tanto la altura manométrica Hm suministrada por la bomba como 2 2 s e P m U v p gH ρ 217 Si también se mide la energía mecánica específica que significan las pérdidas por disipación y turbulencia en la salida en altura puede definirse la altura de pérdidas internas Hi como 2 2 s V i v G g H Φ 218 lo que permite poner la potencia que recibe el fluido5 como la suma de la empleada en la altura manométrica conseguida y de la correspondiente a las pérdidas internas i m H Gg H W 219 Se puede así definir el rendimiento hidráulico o manométrico como el cociente entre la potencia manométrica realmente comunicada al fluido y la suma de ésta con las pérdidas internas i m m s V m m h m H H H Gv GgH GgH Φ 2 2 η η 220 Por otro lado aunque el gasto que impulsa la bomba es G por el rotor de la misma es preciso considerar que pasa un gasto mayor suma de éste más el de fugas tanto hacia el exterior Gfe como el de recirculación en el interior Gfi es decir que el gasto total de fugas es Gf Gfe Gfi véase la Figura 22 Se puede definir el rendimiento volumétrico como el cociente entre el gasto realmente impulsado por la bomba y el total que pasa por el rotor f f v Q Q Q G G G η 221 donde la segunda igualdad se pone como consecuencia de la consideración de fluido de densidad constante de modo que el caudal o gasto volumétrico es Q Gρ siendo la densidad ρ una constante propia del fluido Hoy en día en cualquier máquina hidráulica las fugas al exterior son prácticamente nulas de modo que el rendimiento volumétrico evalúa sobre todo la parte de caudal que permanece residual en el interior de la bomba pero que 5 Por coherencia con la denominación para turbinas que se verá más adelante debiera llamarse a esta potencia potencia útil y hacer Hu Hm Hi lo que puede conducir a equívocos pues la verdadera potencia útil es la manométrica diferencia entre las energías mecánicas específicas de salida y de entrada 19 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles no contribuye a elevar la energía mecánica del fluido que la atraviesa Podría definirse entonces un cierto gasto interno Gi G Gfi que coincide aproximadamente en la mayor parte de ocasiones con G Gf G fi fe G G G fe G fi G G Gfe G fe fi G G fe G G G fi G fe G Figura 22 Gastos másicos en una bomba hidráulica rotodinámica Figura 23 Gastos másicos en una turbina hidráulica rotodinámica La potencia que el rotor precisa y que puede llamarse potencia interna es superior a la que recibe el fluido que sale de la bomba y viene dada por lo tanto por i m f i H g H G G W 222 Además existirán unas pérdidas mecánicas también llamadas orgánicas WO por el rozamiento del eje con los prensaestopas los cojinetes o el fluido en las holguras entre el rodete y la carcasa Todo esto hace que la potencia que es preciso suministrar en el eje de la bomba sea mayor Se definirá por tanto el rendimiento orgánico como el cociente entre la potencia interna y la suministrada al eje de la bomba WB Wi WO O i i B i o W W W W W η 223 Puede definirse finalmente el rendimiento total como sigue B i m f f i m m B m t W H g H G G G G G H H H W GgH η 224 es decir como el cociente entre la potencia manométrica suministrada al caudal de fluido que sale de la bomba6 y la total suministrada al eje de la misma Puede comprobarse además que el rendimiento total se puede poner como el producto de los rendimientos hidráulico volumétrico y orgánico o v h t η η η η 225 26 Balance de energía mecánica y rendimientos en turbinas hidráulicas Una turbina es un sistema mecánico que extrae energía del fluido circulante a través de él Cuando la potencia comunicada al fluido es negativa esto es se extrae el incremento de la energía mecánica específica será también negativo Esta diferencia cambiada de signo 6 Esta potencia GgHm es realmente una potencia útil puesto que se invierte en elevar la energía mecánica del fluido impulsado entre las secciones de entrada y de salida de la bomba Puede denominarse también potencia fluida aunque esta denominación es poco rigurosa o potencia manométrica 20 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas para tratar con términos positivos se mide también en altura y se define así la altura neta de la turbina como 2 2 e s P s e n U v p E E gH ρ 226 La altura neta representa la energía aprovechable por la turbina a partir de la disponible en una central salto hidráulico o altura bruta descontando las pérdidas exteriores a la misma turbina tuberías de conexión etc Comparando la definición que se acaba de efectuar con la Ecuación 217 puede decirse que la altura neta en turbinas es equivalente a la altura manométrica en bombas aunque como se deduce de sus definiciones respectivas la primera es una energía mecánica puesta a disposición de la máquina mientras que la segunda es una energía mecánica que comunica la máquina al fluido Llamando igual que en el caso de bombas gHi a la energía específica perdida por disipación viscosa y por disipación turbulenta en el interior de la máquina la relación entre la potencia extraída del fluido que ahora recibe apropiadamente el nombre de potencia útil y las alturas neta y de pérdidas será i n u u H Gg H W GgH W 227 Se ha englobado por simplicidad el término de turbulencia en la salida sv2 2 en el de gHi Se puede definir por lo tanto el rendimiento hidráulico como el cociente entre la potencia útil extraída por el rotor del fluido y la neta disponible i u u n u s e u h H H H H H E G E W η 228 Por otra parte por los álabes de la turbina no pasa todo el gasto G que entra en la máquina Es preciso considerar la existencia de unas fugas exteriores e interiores véase la Figura 23 y se puede definir por lo tanto un rendimiento volumétrico Q Q Q G G G f f v η 229 La potencia que recibe el rotor de la turbina y que puede llamarse potencia interna vendrá dada por el gasto real que pasa entre los álabes y la energía específica útil absorbida u f i gH G G W 230 Pero la potencia realmente disponible en el eje de la turbina WT será la interna menos todas las pérdidas mecánicas por rozamiento con los cojinetes cierres laberínticos con el líquido entre el rotor y la carcasa etc y a las que se les puede llamar potencia orgánica perdida WO Así se tendrá un rendimiento orgánico definido por O T T i T o W W W W W η 231 Al igual que en bombas puede definirse finalmente el rendimiento total como el cociente entre la potencia obtenida realmente en el eje y la originalmente disponible por la altura neta entre la entrada y la salida de la turbina7 7 Esta potencia GgHn puede llamarse potencia neta 21 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles i n f T f n i n n T t H g H G G W G G G H H H GgH W η 232 que con todas las definiciones anteriores se puede también expresar como el producto de los rendimiento hidráulico volumétrico y orgánico o v h t η η η η 233 que es una expresión idéntica a la 225 aunque lógicamente las definiciones de los rendimientos hidráulico volumétrico y orgánico son diferentes Los balances energéticos que se han llevado a cabo pueden representarse de forma gráfica mediante un tipo de diagrama llamado de Sankey Se han incluido al final de este capítulo 27 Instalaciones de bombeo y turbinado Se han definido distintos parámetros característicos de funcionamiento de las bombas y de las turbinas tales como las alturas manométrica y neta Sin embargo los parámetros de funcionamiento reales de las máquinas hidráulicas vienen condicionados por los requerimientos de la instalación en la que están dispuestas En esta sección se introducirán los parámetros básicos de funcionamiento de bombas y turbinas instaladas 271 Instalaciones de bombeo Cálculo de las pérdidas de carga En una bomba la energía suministrada al fluido se invierte a menudo simplemente en vencer una diferencia de cotas como ocurre en la instalación de la Figura 24 La bomba B impulsa agua desde el depósito abierto 1 al depósito 2 La condición de funcionamiento consiste en que la altura manométrica suministrada por la bomba tiene que ser igual a la denominada altura resistente de la instalación Hinst esta última se compone de dos partes una diferencia de cotas fija Hg que en este texto se denominará altura geométrica o también altura geodésica y otra parte de pérdidas por fricción del fluido con las tuberías y pérdidas secundarias en codos válvulas etc que depende cuadráticamente suponiendo flujo turbulento del caudal que circula por la tubería inst g inst m H H H H 234 B Hg 1 2 Figura 24 Esquema de una estación de bombeo La Ecuación 234 simplemente expresa una condición de conservación global de la energía mecánica en la instalación de bombeo y en su punto de funcionamiento Las pérdidas en la instalación se calculan utilizando la expresión general de DarcyWeisbach 2 2 g V K D L H i i inst Σ λ 235 22 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas siendo λ el coeficiente de pérdida de presión por fricción8 o pérdida de carga primaria L y D la longitud y el diámetro9 de la tubería respectivamente K es el coeficiente de pérdida de presión por torbellinos desprendimientos etc o pérdida de carga secundaria o localizada en los elementos singulares tales como codos cambios de sección válvulas o descarga en un depósito y V es la velocidad media en la tubería calculada a partir del caudal El coeficiente de pérdida de presión conocido como de Darcy 2 2 1 D V p L ρ λ 236 se lee en general en el diagrama teóricoexperimental de Moody en función del número de Reynolds Re ρVDµ siendo µ la viscosidad dinámica y de la rugosidad relativa de la tubería Existen fórmulas analíticas que representan parcialmente los resultados del diagrama de Moody como la siguiente 80 087 lnRe 1 λ λ 237 válida para tubo liso Para un tubo muy rugoso es decir en la parte del diagrama de Moody en la que λ no depende del número de Reynolds 114 087 ln 1 k D λ 238 siendo k la rugosidad absoluta de la tubería En la Tabla A43 del Apéndice pueden encontrarse algunos valores característicos de rugosidad para distintos materiales Para situaciones intermedias entre rugoso y liso se utiliza frecuentemente la fórmula de Darcy Colebrook Re 251 371 087 ln 1 λ λ k D 239 Existen otras expresiones más sencillas de manejar que las anteriores Para tubo liso Blasius ha demostrado que de forma muy aproximada se puede calcular el coeficiente de fricción por 3000 Re 100000 Re 0316 14 λ 240 Otras ecuaciones también aproximadas para tubo liso son las siguientes 00056 05 Re 0184 Re 0 32 15 λ λ 241 para el intervalo 105 Re 106 Para tubo rugoso una fórmula muy aproximada es la que sigue 2000 20 016 0 31 D k D k λ 242 8 Puede encontrarse en la bibliografía que a λ se le denomina simplemente factor de fricción denotándole también como f No hay que confundir con el coeficiente de fricción Cf 2τpρV2 siendo τp el esfuerzo cortante en la pared cuya relación con λ es Cf λ4 en conductos de sección circular 9 Se entiende que D es el diámetro de una tubería de sección circular Para cualquier otra sección es preciso emplear el diámetro equivalente Deq 4 rh con el radio hidráulico rh área de la secciónperímetro de la sección 23 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Pueden encontrarse en la bibliografía sobre Mecánica de Fluidos expresiones alternativas a las Ecuaciones 237242 para el cálculo del coeficiente de pérdida de presión así como el diagrama de Moody que puede encontrarse en el Anexo A3 De la misma manera será preciso encontrar en la bibliografía gráficas y ábacos que permitan conocer los coeficientes de pérdida de carga de los elementos singulares que pueden aparecer en general en cualquier instalación hidráulica Tabla A34 del Anexo A3 Un ejemplo de cálculo del coeficiente de pérdida de presión puede encontrarse en el Problema I6 272 Instalaciones de turbinado En una central hidroeléctrica la turbina aprovecha un salto hidráulico natural Esta energía bruta aprovechable se caracteriza mediante la denominada altura bruta o salto bruto que puede definirse como la diferencia de cotas entre la superficie libre del agua en el embalse y la superficie libre en el canal de restitución o desagüe en el que la turbina descarga el agua Es decir la altura bruta Hb es la energía potencial máxima aprovechable por la turbina y puede medirse geométricamente en un salto hidráulico natural La altura neta Hn que se pone a disposición entre la entrada y la salida de la turbina se ve disminuida por las pérdidas en la instalación Hinst inst b n H H H 243 En este texto se considerará que el sistema llamado turbina incluye al difusor Es decir el tubo difusor también llamado de aspiración que descarga el agua desde la salida del rodete hacia el canal de restitución forma parte de la turbina como pueden hacerlo la caja espiral o el distribuidor De esta manera las pérdidas en la instalación Hinst se calcularán sobre los sistemas de tuberías que conducen el agua a la entrada de la turbina tuberías forzadas galerías de presión colectores etc no incluyendo los tubos de descarga que se encuentran situados después de que el agua atraviese el rodete Las pérdidas producidas en el difusor deberán ser cuantificadas como pérdidas hidráulicas internas de la turbina Este es el enfoque adoptado en los problemas resueltos y propuestos de este texto H H n b T Canal de restitución Tubería forzada Difusor Embalse Hinst Central Es preciso tener en cuenta que en general Hg y Hb no tienen por qué deberse únicamente a una diferencia de potencial gravitatorio aunque cualquier otro tipo de diferencia de energía mecánica puesta en juego puede asimilarse a una diferencia de alturas En cuanto al cálculo de las pérdidas de carga en la instalación se realizará como se ha indicado en la sección anterior Figura 25 Esquema básico de una estación de turbinado 24 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 273 Punto de funcionamiento de una instalación hidráulica El comportamiento de bombas y turbinas viene dado por la curva característica que relaciona la altura manométrica o la altura neta en función del caudal trasegado por la máquina es decir Hm fQ y Hn fQ manteniendo constantes el resto de parámetros que pueden intervenir Suponiendo que la máquina se ha ensayado en el laboratorio la curva característica vendrá dada en forma de gráfica de modo que el punto de funcionamiento de la máquina en la instalación es decir el caudal y la altura con la que está funcionando podrá determinarse gráficamente mediante la intersección con la curva resistente De forma analítica el punto de funcionamiento viene dado por Q H H Q H Q H inst g inst m 244 para el caso de bombas y por Q H H Q H Q H inst b inst n 245 para el caso de turbinas En la Figura 26 se ha representado gráficamente el punto de funcionamiento en una instalación de bombeo con una bomba centrífuga Q m3s 000 002 004 006 008 010 H m 10 15 20 25 30 35 40 Curva característica de la bomba Curva resistente de la instalación PUNTO DE FUNCIONAMIENTO Hg Figura 26 Curva característica típica de una bomba centrífuga La intersección de la curva resistente de la instalación con la curva característica proporciona el punto de equilibrio o de funcionamiento del sistema Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Crane Flujo de Fluidos McGrawHill 1992 Crespo A Mecánica de fluidos Thomson 2006 Hernández J y Crespo A Problemas de Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas UNED Madrid 1996 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 25 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 Yeaple F Fluid Power Design Handbook 3ª ed Dekker 1995 26 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas DIAGRAMA ENERGÉTICO DE SANKEY PARA BOMBAS HIDRÁULICAS 27 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles DIAGRAMA ENERGÉTICO DE SANKEY PARA TURBINAS HIDRÁULICAS 28 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 3 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA FÍSICA EN TURBOMÁQUINAS 31 Introducción a la herramienta de la semejanza física En este capítulo se va a utilizar la técnica del análisis dimensional para obtener las relaciones funcionales entre las variables y los parámetros de funcionamiento de una turbomáquina hidráulica con objeto de poder caracterizar correctamente su comportamiento y por extensión de cualquier tipo de máquina hidráulica10 Se verá por tanto que el modo idóneo de presentar este comportamiento es mediante la confección teórica o experimental de las llamadas curvas características en forma adimensional Una vez determinados los parámetros adimensionales relevantes mediante las leyes de semejanza física podrá predecirse el comportamiento de una turbomáquina a partir de los datos de otra turbomáquina previamente estudiada físicamente semejante aunque pueda tener un tamaño distinto o girar con diferente velocidad Por otra parte la utilización de parámetros en forma adimensional conlleva un importante ahorro de tiempo y esfuerzo en las mediciones experimentales en el laboratorio a la hora de caracterizar una máquina Como se verá a lo largo del capítulo se supondrá válida la hipótesis simplificadora de despreciar la influencia del número de Reynolds por ser en general muy elevado sobre todo en el caso de las turbomáquinas en las que los efectos convectivos son predominantes No obstante se apuntará una corrección tomada de la bibliografía para tener en cuenta la influencia de los efectos viscosos en casos con bajos números de Reynolds También se despreciará el efecto de la rugosidad de las superficies fijas y móviles que conforman la máquina hidráulica Algún otro efecto real como la aparición e influencia de la cavitación será estudiado más adelante En cuanto a los rendimientos definidos en el Capítulo 2 se considerará que los rendimientos hidráulico y volumétrico por su naturaleza fluidomecánica vendrán dados por los mismos parámetros adimensionales que el resto de las variables fluidas En cambio el rendimiento orgánico o mecánico es de distinta naturaleza por lo que no tiene porqué seguir las mismas leyes de semejanza 10 Tradicionalmente las relaciones adimensionales se han desarrollado para turbomáquinas La técnica empleada es general por lo que resulta de aplicación para cualquier máquina hidráulica a través de una adecuada selección de parámetros De esta manera la velocidad de giro Ω podrá ser sustituida por la frecuencia de oscilación en una máquina volumétrica alternativa o la altura manométrica por el salto de presiones característico de una bomba de engranajes por ejemplo 29 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 32 Variables de funcionamiento en una turbomáquina Para aplicar el análisis adimensional es preciso comenzar recopilando las variables y parámetros que intervienen Si por una máquina de forma y tamaño dados cuyas partes móviles giran a velocidad angular Ω circula un líquido de densidad ρ y viscosidad µ y se conoce el campo de presiones y de velocidades en la entrada las ecuaciones de continuidad y de conservación de la cantidad de movimiento permiten obtener puesto que la ecuación de la energía está desacoplada de la de cantidad de movimiento en un líquido y por ello el problema térmico está desacoplado del mecánico el campo fluido en el interior de la máquina y en la salida de la misma El conjunto de variables y de parámetros del problema fluidodinámico planteado es por tanto el siguiente El tamaño global de la máquina caracterizado por una longitud típica D La forma geométrica y la posición de posibles elementos móviles por ejemplo la cascada de álabes orientables en el distribuidor recogidas por una serie de longitudes Li y de ángulos αi La rugosidad de las superficies internas en contacto con el líquido que se caracteriza por su valor k Las propiedades físicas del líquido ρ y µ que aparecen en la ecuación de cantidad de movimiento Las fuerzas másicas por unidad de masa que aparecen en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento y que por considerar la máquina en un sistema ligado a tierra son sólo las correspondientes a la gravedad Por tanto puede ponerse que derivan del potencial de fuerzas gravitatorias gz g x U p 31 siendo z una coordenada vertical medida desde un cierto plano de referencia el suelo por ejemplo de esta manera el efecto de las fuerzas másicas se asocia al de la presión usando como variable a la presión motriz p ρUp La presión motriz en la entrada p ρUpe que se considera uniforme al igual que en la salida En realidad no es necesario conocer su valor puesto que al aparecer en las ecuaciones de conservación siempre dentro de un diferencial únicamente cuentan los incrementos Sólo si se produce cavitación el valor absoluto en la entrada aparecerá como variable a tener en cuenta se verá en el Capítulo 10 La velocidad de entrada que se supondrá uniforme y que será una variable fundamental Se utilizará habitualmente su equivalente para una geometría dada el gasto volumétrico o caudal Q La velocidad angular de giro Ω que se considera constante o de variación mucho menor que el tiempo de residencia de una partícula fluida en la máquina A la vista de todo lo anterior las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad junto con las condiciones de contorno permiten establecer que la solución del campo de velocidad y presiones relativas al valor de la presión en la entrada es de la forma 1 k D L Q f x v i αi ρ µ Ω 32 2 k D L Q x f U p i i x P e α ρ µ ρ Ω 33 Una vez conocidos los campos de velocidades y de presiones se puede calcular cualquier otra variable global de la máquina como el par la potencia el rendimiento o el incremento total de presiones la potencia W puede hallarse una vez obtenidas las 30 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas velocidades y las presiones como se vio en el Capítulo 2 y el par T puede determinarse a partir de W y Ω Estas variables globales ya no serán función de la posición x 2 3 2 k D L Q f v U p g H E i i s e p α ρ µ ρ ρ ρ ρ Ω 34 4 k D L Q f T i αi ρ µ Ω 35 5 k D L Q f W i αi ρ µ Ω 36 6 k D L Q f i αi ρ µ η Ω 37 El incremento total de energía mecánica específica presión motriz más energía cinética se expresa habitualmente en forma de altura manométrica para las bombas o de altura neta para las turbinas por la relación 2 2 s e P v U p gH ρ ρ ρ 38 donde el signo más es para las bombas y el menos para las turbinas 33 Reducción del número de parámetros adimensionales Efecto de la viscosidad Aplicando el Teorema Π de Buckingham a las relaciones funcionales anteriores se obtiene que el número de parámetros adimensionales independientes es igual a nueve variables intervinientes menos tres magnitudes dimensionalmente independientes longitud masa tiempo es decir séis números Π o grupos adimensionales Eligiendo D ρ y Ω como las tres variables dimensionalmente independientes en representación de la longitud la masa y el tiempo respectivamente se obtienen las relaciones siguientes 2 3 1 2 2 Ω Ω Ω D k D L D D Q D gH i αi µ ρ ϕ 39 2 3 2 5 2 Ω Ω Ω D k D L D D Q D T i αi µ ρ ϕ ρ 310 2 3 3 5 3 Ω Ω Ω D k D L D D Q D W i αi µ ρ ϕ ρ 311 2 3 4 Ω Ω D k D L D D Q i αi µ ρ ϕ η 312 Pueden hacerse ahora algunas consideraciones para reducir el número de parámetros presentes en las relaciones anteriores En realidad las funciones ϕ2 y ϕ3 son iguales puesto que W ΩT por lo que sólo se considerará en adelante la función de potencia adimensionalizada entendiendo que el par se obtiene fácilmente por la expresión anterior Por otra parte si se habla de una misma máquina trabajando en condiciones de giro caudal o diferencias de presiones diversas o de máquinas geométricamente semejantes 31 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles pero de tamaño diferente las longitudes adimensionalizadas con el tamaño característico D son iguales y se pueden eliminar de la relación funcional que será sólo válida para esa familia de máquinas En cuanto a αi en bombas su influencia es despreciable en la mayoría de los casos por no disponer constructivamente de sistemas de orientación de los álabes En turbinas en general sí es preciso retenerlo Así en la mayoría de turbinas tipo Francis el distribuidor es una corona de álabes orientables que sirven para regular el gasto En otras como en algunas de tipo Kaplan los álabes del rotor son también orientables aunque su posición y la del distribuidor están ligadas Se mantendrá por tanto para turbinas en general el parámetro αi para recoger este grado de libertad adicional La rugosidad relativa kD es naturalmente constante en una misma máquina y en máquinas geométricamente semejantes se va a considerar en principio que no afecta a sus características Por último en las relaciones funcionales anteriores aparece el número de Reynolds De alguna manera el efecto de la viscosidad está representado por este número adimensional que relaciona efectos convectivos y efectos viscosos En la mayoría de los casos el número de Reynolds es muy grande y el comportamiento de la máquina es prácticamente independiente de este número adimensional es decir se supone que los efectos convectivos son siempre preponderantes sobre los viscosos Esta suposición es más aproximada a la realidad en el caso de turbomáquinas mientras que en el caso de las máquinas de desplazamiento positivo es más discutible teniendo que estudiarse cada caso concreto Puede indicarse que cuando se utiliza la técnica de la semejanza física y la reducción de tamaño entre el prototipo y el modelo es muy grande el rendimiento no se mantiene aunque sí lo haga la igualdad de números adimensionales11 al producirse una diferencia excesivamente grande en el modo en que la presencia de la viscosidad afecta al comportamiento de la máquina Moody ha propuesto la siguiente expresión 5 1 1 1 1 1 D D η η 313 que tiene en cuenta los efectos viscosos cuando el tamaño del rodete en una bomba llega a ser muy pequeño el subíndice 1 corresponde al modelo 34 Curvas características de bombas hidráulicas Con todas las consideraciones de la sección anterior y para una familia de bombas determinada pueden simplificarse las relaciones funcionales expuestas dejando a la altura manométrica de la bomba y a la potencia adimensionalizada así como al rendimiento en función de un sólo parámetro adimensional correspondiente al caudal 3 1 2 2 Ω Ω D Q D gH ϕ 314 3 2 5 3 Ω Ω D Q D W ϕ ρ 315 3 3 Ω D Q ϕ η 316 11 Obsérvese que la aplicación de la semejanza física lleva a conseguir puntos de funcionamiento homólogos o del mismo rendimiento Ecuación 312 Esta condición puede cumplirse de forma más o menos aproximada en la práctica pero en general la consecución de puntos homólogos dependerá de las posibilidades de actuación sobre la instalación en la que está instalada la máquina hidráulica 32 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Conviene fijar el nombre de los parámetros adimensionales anteriores Así el coeficiente de gasto o caudal es D3 Q Ω 317 El coeficiente manométrico o de altura 2D2 gH Ω 318 y el coeficiente de potencia para bombas 3D5 W Ω ρ 319 En las máquinas axiales se suele reemplazar los coeficientes de altura y de gasto por sus equivalentes respectivos el coeficiente de presión p0ρv2 siendo p0 la presión de remanso y el coeficiente de velocidad vaΩR relación entre las componentes axial va y periférica u ΩR de la velocidad En cualquier caso puede representarse por lo tanto todas las magnitudes adimensionales como función de una sola variable adimensional en un gráfico en el que se recogen las curvas características de la familia de bombas en cuestión Su forma típica para una bomba centrífuga puede observarse en la Figura 31 η Q W D gH Ω 2 5 ρ Ω D 3 3 Ω D 2 Figura 31 Ejemplo de curvas características adimensionales de una bomba centrífuga Q D gH Ω 2 Ω D 3 2 n rpm 12 n rpm 15 n rpm Figura 32 Valores adimensionales obtenidos en ensayos formando la curva característica de una bomba 33 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Las curvas características adimensionalizadas no son sólo válidas para la predicción de actuaciones sino que además los resultados de todos los ensayos que se realicen en un laboratorio a una determinada máquina o máquinas físicamente semejantes adimensionalizados en la forma expuesta vendrán a formar aproximadamente una única curva como se puede ver en la Figura 32 Las diferencias entre puntos provienen sobre todo de la dependencia respecto del número de Reynolds que se ha despreciado en primera aproximación Q m3s 000 002 004 006 008 010 012 H m 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Hinst PUNTO NOMINAL DE FUNCIONAMIENTO Q0 H0 Hm n rpm Hm 08 n rpm Hm 125 n rpm P P P CURVA DE PUNTOS HOMÓLOGOS a Q m3s 000 002 004 006 008 010 012 014 016 H m 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Hinst PUNTO NOMINAL DE FUNCIONAMIENTO Q0 H0 Hm D Hm 08 D Hm 125 D P P P CURVA DE PUNTOS HOMÓLOGOS b Figura 33 a Curvas características dimensionales a diferentes regímenes de giro en una bomba centrífuga Las curvas correspondientes a 125n y 08n se han hallado por semejanza física a partir de la curva correspondiente a n rpm Los puntos P y P son homólogos al punto P de modo que la curva que definen es una parábola que pasa por el origen b Análogo a lo anterior pero variando el diámetro del rodete es decir el tamaño de la bomba con velocidad de giro constante 34 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Para una determinada máquina D cte y para comodidad de cálculo y operación se puede deshacer la adimensionalización y dibujar las curvas dimensionales HQ para distintos regímenes de giro Figura 33 Si 1 y 2 son dos puntos distintos de funcionamiento la imposición de las condiciones de semejanza física dadas por las Ecuaciones 312 ó 316 lleva a que se obtenga el mismo rendimiento Los puntos 1 y 2 se denominan entonces homólogos como se ha apuntado anteriormente siendo entonces la condición necesaria la siguiente 3 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 D Q D Q D gH D gH Ω Ω Ω Ω 320 por lo que puede ponerse D1 D2 2 2 2 2 1 1 Q H Q H 321 de modo que los puntos homólogos se sitúan en curvas de la forma12 cte Q2 H 322 cuando varía la velocidad de giro En la Figura 33a se ha representado la curva característica de una bomba centrífuga ajustada a una ecuación parábolica del tipo Hm H0 1 QQ02 Las curvas correspondientes a 125n y 08n se han obtenido a través de las relaciones de semejanza física Los puntos homólogos o del mismo rendimiento que el P son P y P respectivamente Como se acaba de demostrar estos puntos están situados sobre una parábola que teóricamente pasa por el origen Esta curva de puntos homólogos puede ser muy diferente a la curva de la instalación sobre la que forzosamente debe estar el punto de funcionamiento13 de esta manera puede ser imposible reproducir en la realidad los puntos proyectados por la herramienta del análisis dimensional Este extremo debe tenerse en cuenta en la operación con la máquina hidráulica En la Figura 33b se ha realizado un proceso análogo pero variando el diámetro del rodete el tamaño de la bomba manteniendo constante la velocidad de giro 35 Curvas características de turbinas hidráulicas Como se vio anteriormente aunque se desprecie el efecto del número de Reynolds y de la rugosidad relativa en turbinas es necesario retener en principio un parámetro α derivado de las características internas propias de la máquina por ejemplo la apertura del distribuidor En lugar de elegir como variables dimensionalmente homogéneas a D ρ y Ω como en bombas es más conveniente y usual tomar el trío D ρ y gH para que en las curvas aparezcan el caudal la potencia y el rendimiento adimensional en función de la altura neta Quedan por tanto las relaciones funcionales siguientes 1 2 1 1 2 2 Ω α ψ gH D gH D Q 323 12 En principio esta curva parabólica parte del origen Una simplificación que puede hacerse es que los puntos homólogos estén sobre una línea recta que parte del origen Lógicamente esta simplificación lleva a cometer un error tanto más alto cuanto mayor es la curvatura de la curva característica 13 Téngase en cuenta que a pesar de que varía el caudal la curva resistente de la instalación siempre puede aproximarse como una parte constante más otra parte creciente con el caudal normalmente proporcional al caudal al cuadrado 35 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1 2 2 3 2 2 Ω α ψ ρ gH D gH D W 324 1 2 3 3 Ω α ψ ρ gH D gHD T 325 1 2 4 Ω α ψ η gH D 326 Como se ha hecho en el caso de las bombas se fijará el nombre de los parámetros adimensionales anteriores El coeficiente de apertura o de gasto en turbinas es D2 gH 1 2 Q 327 El coeficiente de velocidad de giro gH 1 2 ΩD 328 y el coeficiente de potencia en turbinas D2 gH 3 2 W ρ 329 A diferencia de las bombas las curvas características que se obtienen de estas relaciones funcionales dependerán de dos parámetros Así por ejemplo en la Figura 34 se tiene la potencia el par y el caudal adimensionalizados y el rendimiento en función del régimen de giro adimensionalizado todo ello para una posición dada de los álabes del distribuidor o de cualquier otro tipo de álabe orientable que pueda alterar la geometría de la máquina dada por α En la Figura 35 se tiene la potencia adimensionalizada también en función del régimen de giro adimensionalizado para varios valores del parámetro α lo que da origen a varias curvas η Ω ρ ρ D g D g H W Q 2 3 2 T HD 32 D gH 12 gH 12 Figura 34 Curvas características típicas en una turbina de reacción para una posición fija de los álabes del distribuidor 36 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas α W ρ D2 gH32 Ω D 12 gH Figura 35 Curvas características de potencia para una turbina de reacción en función del régimen de giro y de la apertura del distribuidor 36 Coeficientes adimensionales Velocidad específica y potencia específica Mediante el análisis adimensional por lo tanto se pueden obtener las características de funcionamiento de una bomba o de una turbina en condiciones diferentes de las originales para las que se caracterizó la máquina También permite utilizar los resultados obtenidos en ensayos en un modelo para predecir las características de una máquina semejante a dicho modelo pero por ejemplo a otra escala En cualquier caso los ensayos experimentales son necesarios y deben realizarse en modelos apropiados por diversas razones Comprobación del diseño y verificación de las predicciones teóricas que necesariamente incluyen simplificaciones o inexactitudes El ensayo experimental es el único modo de ajustar correctamente la tendencia de una determinada curva característica predicha de forma teórica Evaluación de actuaciones en condiciones especiales cavitación por ejemplo Evaluación de las cargas hidrodinámicas que se necesitan para el diseño mecánico En estos ensayos y en general en la expresión de las actuaciones de una turbomáquina se emplearán los parámetros y coeficientes adimensionales que se han introducido hasta ahora Por otra parte estos coeficientes no son los únicos que se pueden definir Si se centra la atención en el punto de la curva característica correspondiente a rendimiento máximo y con los valores que tienen esos parámetros en ese punto óptimo se elimina el tamaño de la máquina dado por su diámetro D se obtienen la velocidad específica y la potencia específica Como se verá a continuación por el modo como se obtienen la velocidad específica es en principio apropiada para bombas y la potencia específica para turbinas La velocidad específica ΩS puede obtenerse a partir del coeficiente de altura o coeficiente manométrico y del coeficiente de gasto como sigue máx 3 4 2 2 1 2 3 η D gH D Q S Ω Ω Ω 330 resultando 37 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles máx 4 3 2 1 η gH Q S Ω Ω 331 La potencia específica WS puede obtenerse a partir del coeficiente de potencia para turbinas y del coeficiente de velocidad de giro haciendo lo siguiente máx 2 1 2 1 3 2 2 η ρ Ω gH D gH D W WS 332 resultando máx 5 4 2 1 2 1 η ρ gH W WS Ω 333 también denotada por ΩSt La velocidad específica y la potencia específica pueden utilizarse indistintamente para bombas y para turbinas aunque es preciso tener en cuenta que en una bomba el rendimiento es ηt ρQgHmWB mientras que en una turbina es ηt WTρQgHn de donde se puede comprobar que en bombas la relación entre los dos parámetros adimensionales anteriores es 2 1 S S t W Ω η 334 mientras que en turbinas se cumple que 2 1 S S t W Ω η 335 Como se ha eliminado el diámetro y se restringe el estudio a la situación de rendimiento máximo la velocidad específica será por tanto un valor característico del diseño Así los rotores de los distintos tipos de turbomáquinas están caracterizados por la velocidad específica con la que obtienen el rendimiento máximo y para la que fueron diseñados BOMBAS máx 4 3 2 1 η m S gH ΩQ Ω Bombas centrífugas 02 20 Ω S Bombas semiaxiales 04 31 Ω S Bombas axiales 06 03 Ω S TURBINAS máx 4 5 2 1 η ρ n t S t S gH W W Ω Ω Turbinas de impulso Pelton 30 0 02 WS Turbinas centrípetas Francis 52 30 WS Turbinas axiales Kaplan 06 32 WS Tabla 31 Rangos de valores usuales de la velocidad específica y de la potencia específica para diferentes tipos de turbomáquinas 38 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Se convierte así la velocidad específica en la expresión idónea del tipo de diseño realizado Existe una evolución continua entre los rotores de velocidad específica pequeña pequeño caudal y gran altura que son claramente radiales hasta los rotores de gran velocidad específica gran caudal y baja altura que son claramente axiales Los rangos de valores usuales de la velocidad específica para bombas o de potencia específica para turbinas según el tipo correspondiente de turbomáquina se recogen en la Tabla 31 La velocidad específica es un parámetro adimensional por lo que su valor numérico debiera ser independiente del sistema de unidades utilizado Lamentablemente la práctica y la tradición en Ingeniería llevan a que en muchas ocasiones el sistema de unidades no sea coherente y que se entiendan la densidad del agua y la gravedad como constantes implícitas En la Tabla 32 se puede encontrar la relación entre las expresiones dimensionales utilizadas habitualmente y el valor adimensional correspondiente de la velocidad específica DEFINICIÓN DIMENSIONAL VALOR ADIMENSIONAL 4 3 12 1 ft x rpm cfs 129 1x ΩS 4 3 12 2 ft x rpm gpm 2730 2x ΩS 54 12 3 ft x rpm hp 42 3x WS 4 5 12 4 m x rpm metric hp 187 4x WS 4 3 12 3 5 m x rpm m s 53 5x ΩS 4 5 12 6 m x rpm cv 193 6x WS Tabla 32 Relación entre los valores adimensionales y dimensionales de la velocidad específica para turbomáquinas gpm galón US por minuto cfs cubic feet per second ft foot 37 Diámetro específico Diagrama de Cordier La idea de calcular los coeficientes adimensionales en el punto de la curva característica correspondiente a rendimiento óptimo y relacionarlos con el diseño no se limita a la velocidad específica antes comentada Así se pueden encontrar en la literatura referencias a otros números que como se ha comentado antes no suelen ser adimensionales En estos números aparece el tamaño de la máquina evaluado mediante un diámetro típico D es decir el diámetro exterior del rodete De este modo se suele utilizar el número de flujo en realidad el coeficiente adimensional de gasto pero con la velocidad de giro n expresada en rpm máx 3 nD η Q 336 También se emplea el número de altura o de energía específica coeficiente de altura óptimo con la energía específica E gH 39 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles máx 2 2 n D η E 337 Y por último el diámetro específico que sí es adimensional se define por máx 2 1 4 1 η Q DE 338 Los valores de estos parámetros forman una serie tan consistentemente relacionada con el diseño como la velocidad específica Por esto pueden considerarse como funciones de ella Quizá la más representativa de estas relaciones es el diagrama de Cordier véase la Figura 36 que relaciona el diámetro específico con la velocidad específica y que es muy útil para el diseño de bombas hidráulicas Existen en la literatura sobre máquinas hidráulicas otros diagramas de diseño que son necesarios para completar la teoría desarrollada hasta el momento Normalmente estos diagramas son experimentales y ofrecen datos contrastados con los diseños de familias de máquinas que funcionan en buenas condiciones También es posible conocer por ejemplo el rendimiento máximo que se puede alcanzar en función de la velocidad específica para diversas familias de turbomáquinas En algún caso puede ser interesante sacrificar rendimiento para alcanzar por ejemplo diámetros más pequeños o un menor nivel de ruido Figura 36 Diagrama de Cordier para bombas hidráulicas Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Crespo A Mecánica de fluidos Thomson 2006 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Lewis RI Turbomachinery Performance Analysis Arnold 1996 Potter MC y Wiggert DC Mechanics of fluids PrenticeHall 1991 03 06 01 02 04 03 20 s 4 1 08 2 3 8 6 10 50 30 40 20 30 10 4 5 3 2 1 05 40 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 41 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE I Problema I1 RESUELTO La bomba utilizada para llenar el depósito de la instalación de la figura inicialmente vacío tiene la siguiente curva característica para una cierta velocidad de giro n Q en m3s y H en m m s 30 36 m con 1 3 0 0 2 0 0 Q H Q Q H H La pérdida de altura en la instalación viene dada por Hinst 500 Q2 m El área de la sección horizontal del depósito es A 1 m2 B h SOLUCIÓN a La altura manométrica que suministra la bomba debe ser igual a la altura geométrica h más la altura de pérdidas de la instalación Hinst 500 Q2 por lo que puede ponerse 2 2 0 0 500 1 Q h Q Q H De la ecuación anterior puede hallarse el caudal bombeado Q 2 1 2 0 0 0 500 Q H h H Q Por otra parte suponiendo que el proceso es casiestacionario por continuidad debe cumplirse que a Calcular el tiempo necesario para alcanzar h 20 m en el depósito b Determinar la nueva curva característica de la bomba si se la hace girar con una velocidad igual a 2n c Determinar las curvas características correspondientes a los acoplamientos en serie y en paralelo de dos bombas idénticas a la mencionada girando a una velocidad de giro n 42 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas d d t Q A h siendo h la coordenada vertical medida desde el fondo del depósito hasta la superficie libre del agua Operando resulta d 500 1 d 0 1 2 2 0 0 0 1 2 0 t h t Q H h H h de donde se halla que el tiempo necesario para alcanzar una altura h 20 m en el depósito es t 120 s b Suponiendo que existe semejanza física entre una condición de funcionamiento 1 cuando la bomba gira a n rpm y otra condición de funcionamiento 2 cuando gira a 2n rpm deben cumplirse las relaciones siguientes 1 3 2 3 1 2 2 2 2 2 Ω Ω Ω Ω D Q D Q D gH D gH Es fácil deducir entonces que la curva característica de la bomba girando a 2n rpm es 4 2 0 0 Q Q H H c Cuando las dos bombas funcionan en serie la altura total bombeada es HT H1 H2 2H1 mientras que el caudal total bombeado es el mismo que el bombeado por cada máquina Cuando funcionan en paralelo el caudal total es QT Q1 Q2 2Q1 mientras que la altura total comunicada es la misma que la comunicada por cada bomba Por tanto resulta 2 0 0 2 0 0 4 1 1 1 2 Q Q H H Q Q H H T T T T para los acoplamientos en serie y en paralelo respectivamente Problema I2 RESUELTO Una bomba centrífuga de velocidad específica ΩS 06 eleva agua desde un depósito a otro suministrando un caudal Q 140 litross bajo una altura manométrica Hm 306 m consumiendo el motor eléctrico de accionamiento una potencia de 63 kW El rendimiento del motor eléctrico es ηe 09 y los rendimientos volumétrico y orgánico de la bomba son respectivamente ηv 094 y ηo 096 La velocidad de giro es de 1500 rpm Calcular el rendimiento hidráulico o manométrico Razonar si con las condiciones de funcionamiento citadas la bomba funciona con rendimiento máximo SOLUCIÓN El rendimiento total de la bomba ηt en ocasiones se denota simplemente por η puede calcularse por 43 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 0 741 90 63000 W s 9 81 ms 30 6 m 000 kgm 014 m 1 2 3 3 e e m t W QgH η ρ η El rendimiento manométrico o hidráulico puede determinarse como sigue 0 821 0 94 0 96 0 741 o v t h η η η η Si la bomba está funcionando en condiciones de rendimiento máximo debe cumplirse que el valor de la velocidad específica sea igual al valor dado en el enunciado ΩS 06 Por tanto se calculará el valor de ΩS 0 815 9 81 ms 30 6 m s 014 m rads 30 1 500 34 2 12 3 máx 4 3 1 2 Ω Ω π η m S gH Q distinto de 06 por lo que puede decirse que la bomba no está funcionando en condiciones de rendimiento máximo Problema I3 RESUELTO Se desea prediseñar una bomba que impulse un caudal de agua de 0007 m3s a una altura de 12 m en el punto de funcionamiento de máximo rendimiento Seleccionar el tipo de bomba a utilizar se recomienda una bomba centrífuga Estimar la forma y el tamaño del rodete y la velocidad de giro del mismo SOLUCIÓN En este problema se utilizan tablas y diagramas de diseño y selección de bombas El resultado es simplemente una estimación del tipo de bomba a diseñar y de sus principales características Por ejemplo un valor de la velocidad específica ΩS 0 54 es típico para un rodete de tipo centrífugo Este valor escogido de la velocidad específica es un valor intermedio propio de las máquinas llamadas normales haciendo referencia a que la velocidad de giro en este tipo de máquinas suele ser intermedia los fabricantes recomiendan para este tipo de bomba una relación entre el diámetro exterior del rodete D2 y el diámetro interior del mismo D1 de 18 a 22 Puede escogerse un valor típico 2 1 2 D D Por otro lado en el diagrama de Cordier Capítulo 3 Figura 36 entrando con un valor de la velocidad específica de 054 se determina aproximadamente un valor del diámetro específico definido por máx 2 1 1 4 2 η Q gH D m igual a 52 Sustituyendo Q 0007 m3s Hm 12 m 52 y g 981 ms2 en la expresión anterior se halla el valor del diámetro exterior D2 132 mm y por consiguiente de acuerdo con la elección hecha anteriormente 44 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas D2 66 mm Por último puede hallarse el valor de la velocidad de giro de la bomba a partir de la velocidad específica de modo que de la siguiente expresión se halla la velocidad Ω máx 4 3 2 1 η m S gH Q Ω Ω Puede comprobarse que se obtiene 2 200 rpm 30 Ω π n Problema I4 RESUELTO Una bomba centrífuga impulsa un caudal de 5 m3s de agua Las presiones relativas medidas en las secciones de entrada y de salida de la máquina son 01 kgcm2 y 1 kgcm2 respectivamente La potencia perdida por disipación viscosa es el 5 de la potencia total suministrada a la bomba Determinar a La potencia suministrada a la bomba b El incremento de temperatura que experimenta el fluido debido a la disipación viscosa c La altura manométrica y la altura de pérdidas internas d El rendimiento manométrico o hidráulico e La potencia del motor de accionamiento de la bomba si el rendimiento orgánico es ηo 097 f El rendimiento total de la bomba SOLUCIÓN a La ecuación de conservación de la energía mecánica específica E para una máquina hidráulica puede ponerse de la forma siguiente G W U v p E E V s e p e s Φ 2 2 ρ Suponiendo que las diferencias de energía cinética v22 y de energía potencial UP entre las secciones de entrada y de salida son despreciables y puesto que la potencia perdida por disipación viscosa ΦV es el 5 de la potencia total suministrada a la bomba W puede ponerse 0 05 1 e s p Q p W siendo Q el caudal impulsado por la bomba Q Gρ 5 m3s y ps y pe las presiones relativas en la salida y en la entrada respectivamente ps 1 kgcm2 y pe 01 kgcm2 datos del problema Operando se obtiene W 4647 kW b La ecuación de conservación de la energía interna para una máquina hidráulica puede ponerse como sigue V V e s Q e G e Φ 45 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Se supone que el calor V Q es despreciable La diferencia de energía interna puede calcularse por es ee cTs Te siendo c el calor específico del agua que se toma igual a 4180 JkgK Sustituyendo valores numéricos resulta un incremento de temperatura Ts Te 112 103 K c La altura manométrica Hm y la altura de pérdidas internas Hi pueden hallarse a partir de sus respectivas definiciones 2 2 G g H U v p gH V i s e p m Φ ρ Como se ha dicho anteriormente las diferencias de energías cinética y potencial entre la entrada y la salida son despreciables Para calcular el gasto G ρQ se supondrá que la densidad del agua es igual a 1000 kgm3 Operando se obtiene Hm 9 m Hi 04737 m d El rendimiento hidráulico ηh se calcula por 0 95 0 4737 m 9 m 9 m i m m h H H H η e La potencia del motor de accionamiento de la bomba WB puede hallarse por o h v m B GgH W η η η Tomando el rendimiento volumétrico igual a la unidad en la expresión anterior y sustituyendo los valores numéricos apropiados resulta que la potencia consumida por la bomba es WB 4791 kW f El rendimiento total es ηt ηvηhηo 1 095 097 09215 Problema I5 RESUELTO A la velocidad de funcionamiento de 1500 rpm la curva HmQ de una bomba centrífuga es una parábola de eje vertical La altura máxima es de 50 m para un caudal de 15 litross siendo la correspondiente potencia consumida de 125 kW La altura se anula para un caudal de 40 litross La potencia consumida varía linealmente con el caudal siendo de 5 kW para caudal nulo a Determinar las funciones HmQ WQ y ηQ b La bomba se utiliza para elevar agua a un depósito situado a 23 m por encima del nivel de aspiración La tubería de impulsión tiene 400 m de longitud y 16 cm de diámetro Supóngase un coeficiente de pérdida de presión constante λ 0025 Determinar el punto de funcionamiento SOLUCIÓN a Puesto que la curva característica de la bomba es una parábola de eje vertical esta curva debe ser de la forma 46 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 c bQ aQ H m de modo que se han de determinar las constantes a b y c Para ello se tendrá en cuenta que para un caudal de 15 litross se obtiene una altura manométrica de 50 m por lo que puede ponerse lo siguiente en lo que sigue la altura se expresa en m ca el caudal en litros por segundo la potencia en kW y el rendimiento en tanto por ciento 15 15 50 2 c b a Además para este caudal de 15 litross se obtiene la altura manométrica máxima por lo que 0 2 15 2 d d b a b aQ Q H m Por último se conoce que la altura se anula para un caudal de 40 litross por lo que puede ponerse 40 40 0 2 c b a Las tres últimas ecuaciones constituyen un sistema del que pueden obtenerse las constantes a b y c Sustituyendo el valor de estas constantes en la curva característica Hm Q de la bomba resulta 32 42 0 08 2 Q Q H m En cuanto a la potencia consumida se sabe que varía linealmente con el caudal para Q 15 litross la potencia consumida es de 125 kW y para Q 0 es de 5 kW Es fácil comprobar que la curva de potencia es como sigue 50 5 Q WB La curva de rendimiento expresado en puede obtenerse a partir de su definición 100 B m W ρQgH η Sustituyendo las curvas HmQ y WBQ en la expresión anterior se obtiene 196210 Q QH m η b El punto de funcionamiento de la instalación es el punto de intersección entre la curva característica de la bomba y la curva de la instalación La curva característica HmQ ha sido determinada anteriormente La curva de la instalación Hinst proporciona la altura que debe vencer la bomba para cada caudal de funcionamiento Generalmente esta curva es la suma de una parte constante la altura geométrica Hg Hg 23 m en este problema más otra parte Hinst debida a las pérdidas por fricción y a las pérdidas locales y que depende del cuadrado del caudal siendo el flujo turbulento en este problema únicamente existen pérdidas por fricción de modo que utilizando la ecuación de Darcy 8 2 4 2 2 2 D g Q D L g v D L H inst π λ λ 47 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles siendo λ el coeficiente de pérdidas de presión por fricción en este problema es constante e igual a 0025 L la longitud de la tubería 400 m y D el diámetro de la misma 016 m Por tanto el punto de funcionamiento viene dado por inst g m H H H 8 4 2 2 2 D g Q D L H c bQ aQ g π λ Sustituyendo valores numéricos se llega a la siguiente ecuación de segundo grado para el caudal 0 102 4 2731 2 Q Q que tiene por solución válida Q 3065 litross de modo que sustituyendo este valor del caudal en las curvas características de la bomba que se han encontrado en el apartado anterior se obtienen los siguientes resultados 2033 KW 4498 30 4 m η B m W H que determinan totalmente el punto de funcionamiento de la bomba Problema I6 RESUELTO En la instalación que se muestra en la figura la bomba B se utiliza para enviar el agua desde un depósito a otro situado a una cota superior La diferencia de cotas entre las superficies libres de los dos depósitos es Hg La longitud de la tubería que conecta los depósitos es L 1150 m el diámetro D 20 cm y la rugosidad interior k 015 mm En la conducción existen dos codos con idéntica constante de pérdida secundaria Kc 05 en la salida del primer depósito KS 05 en la entrada del segundo depósito Ke 03 inicialmente la válvula de regulación está abierta siendo la constante de pérdida KV 4 La bomba gira a 2200 rpm siendo sus curvas de altura manométrica y de rendimiento en función del caudal como siguen Hm H0 1 QQ02 η 4η0 QQ0 QQ02 con H0 36 m y Q0 005 m3s a Calcular el caudal que circula por la tubería y la altura manométrica que está suministrando la bomba cuando Hg 28 m b Determinar el rendimiento máximo de la bomba ηo y su velocidad específica si la potencia consumida por la bomba en estas condiciones es de 77 kW Indicar de qué tipo de bomba se trata En una condición límite de funcionamiento la diferencia de cotas entre las superficies libres llega a ser Hg 72 m La bomba se hace girar en este caso a 15 veces la velocidad nominal de giro de 2200 rpm c Encontrar las curvas características de la bomba con este nuevo régimen de giro d La válvula de regulación puede cerrarse progresivamente de modo que varía su constante de pérdida KV Determinar el valor de KV necesario para mantener el mismo caudal circulando por la tubería que el obtenido en el apartado a 48 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas e Calcular la potencia consumida por la bomba en estas condiciones Razonar por qué se obtiene un menor rendimiento que el obtenido en las condiciones de funcionamiento de los apartados a y b B K K K K K H c c s e v g a La altura manométrica que suministra la bomba Hm debe ser igual a la altura geométrica Hg más la altura de pérdidas en la instalación a la que se llamará Hinst inst g m H H H La altura geométrica o geodésica es decir la diferencia de cotas entre las superficies libres de los dos depósitos es Hg 28 m mientras que la altura de pérdidas en la instalación se calcula por la ecuación de DarcyWeisbach como sigue 8 2 4 2 2 2 inst D g Q K D L g v K D L H i i i i π λ λ Σ Σ En la expresión anterior el primer sumando del término entre paréntesis se debe a las pérdidas por fricción o primarias y el segundo término a las pérdidas localizadas o secundarias El coeficiente de pérdida de presión por fricción λ se halla en el diagrama de Moody Anexo 3 en función de la rugosidad de la tubería y del número de Reynolds Re Como Re depende de la velocidad del fluido en la tubería y por tanto del caudal y éste está sin determinar es preciso suponer en primer lugar un valor de λ e iterar hasta encontrar una solución suficientemente aproximada Se supone normalmente un valor de λ del diagrama de Moody en la zona donde λ no depende de Re es decir para Re muy altos En esta zona para una rugosidad relativa 0 00075 02 m 0 00015 m D k ε se encuentra un valor de λ aproximadamente igual a 00183 Este valor de λ debe sustituirse en la ecuación que proporciona el punto de funcionamiento de la bomba 8 1 2 1 4 2 2 2 0 0 D g Q K K K K D L H Q Q H e c v s g π λ en la que se ha tenido en cuenta la pérdida de energía cinética del agua en la entrada del depósito introduciendo un 1 en el sumatorio Esta ecuación sustituyendo valores numéricos puede ponerse en función de λ de la forma siguiente 14750 296900 8 1 2 λ Q 49 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Después de sustituir λ 00183 en la ecuación anterior se obtiene un caudal Q 00199 m3s y por tanto una velocidad del fluido en la tubería v 0633 ms y un valor del número de Reynolds se supondrá que la viscosidad cinemática del agua es ν 106 m2s 1 27 10 s 10 m 0 633 ms02 m Re 5 2 6 ν vD Entrando de nuevo en el diagrama de Moody con el valor de Re anterior y el mismo valor de la rugosidad relativa calculada más arriba se obtiene un valor de λ aproximadamente igual a 00207 que difiere del primer valor supuesto Por tanto es preciso iterar de nuevo la segunda iteración se hace adoptando este nuevo valor de λ Puede comprobarse que esta segunda iteración arroja un resultado satisfactorio que se acepta como bueno El caudal resultante es Q 00196 m3s Sustituyendo este valor del caudal en la curva característica de la bomba se obtiene que la altura manométrica proporcionada es Hm 3047 m b El rendimiento total de la bomba para la condición de funcionamiento calculada en el apartado a puede calcularse de la forma 0 761 7700 W s 9 81 ms 3047 m 000 kgm 0 0196 m 1 2 3 3 B m t W ρQgH η Sustituyendo este valor del rendimiento obtenido para un caudal Q 00196 m3s en la ecuación que proporciona el rendimiento de la bomba en función del caudal véase el enunciado puede hallarse el valor del rendimiento máximo η0 que resulta η0 0798 El caudal para el que se obtiene el rendimiento máximo puede hallarse derivando la ecuación del rendimiento respecto del caudal e igualando a cero Puede comprobarse que este caudal de rendimiento máximo es igual a Q02 y que la altura manométrica correspondiente es igual a 34H0 Así pues puede calcularse ahora la velocidad específica que está definida para las condiciones de rendimiento máximo 0 555 4 3 2 3 4 0 1 2 0 máx 4 3 1 2 Ω Ω Ω H g Q gH Q m S η c Como se ha indicado en problemas anteriores puede suponerse que existe semejanza física entre una condición de funcionamiento en la que la bomba gira a n rpm y otra condición de funcionamiento cuando la bomba gira a 15n rpm Por tanto son de aplicación las conocidas relaciones de semejanza física para una turbomáquina a partir de las que puede deducirse que las nuevas curvas características de la bomba girando a 15n rpm son las siguientes 0 444 0 667 4 25 2 2 0 0 0 2 0 0 Q Q Q Q Q Q H H m η η d Puesto que el caudal se mantiene constante el número de Reynolds se mantiene constante y por tanto también lo es λ Así pues los valores de Q y de λ son los obtenidos 50 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas en el apartado a Por tanto en la ecuación siguiente la única incógnita es KV téngase en cuenta que Hg es ahora igual a 72 m 8 1 2 2 25 4 2 2 2 0 0 D g Q K K K K D L H Q Q H e c v s g π λ de donde se obtiene tras sustituir valores numéricos Kv 531 e En las condiciones del apartado anterior puede comprobarse que la altura comunicada por la bomba es Hm 7547 m y que el rendimiento es η 0616 Puede calcularse entonces la potencia consumida por la bomba como sigue 2356 KW 0616 s 981 ms 7547 m 1000 kgm 0 0196 m 2 3 3 t m B QgH W η ρ El rendimiento obtenido en esta condición de funcionamiento 616 es inferior al obtenido en el apartado b 761 Esto puede justificarse como se explica a continuación Para la segunda condición de funcionamiento se ha visto que la ecuación para el rendimiento resulta 0 444 0 667 4 2 0 0 0 Q Q Q Q η η Derivando esta ecuación respecto de Q e igualando a cero se obtiene que el rendimiento máximo tiene lugar para un caudal Qη máx 34Q0 Comparando con la primera condición de funcionamiento en la que Qη máx Q02 y puesto que en ambas condiciones de funcionamiento se tiene que 0 392 005 m s s 0196 m 0 3 3 0 Q Q se deduce que se obtiene un peor rendimiento en la segunda condición de funcionamiento debido a que en esta condición el punto de funcionamiento está más alejado del de rendimiento máximo que para la primera condición Problema I7 RESUELTO Una de las instalaciones complementarias de una central minihidráulica es una impulsión de agua para riego en la que se tiene que vencer una altura geodésica de 20 m mediante una bomba centrífuga cuyas curvas características para n 1500 rpm son las siguientes 1 4 1 0 0 0 2 0 0 Q Q Q Q Q Q H H t m η η con Q0 01356 m3s H0 4320 m y η0 0777 La constante global de pérdidas de la tubería es de 4936 m cam3s2 a Determinar en primer lugar la potencia consumida por la bomba en la instalación de bombeo b Estimar el diámetro del rodete mediante el diagrama de Cordier Se plantea la posibilidad de cambiar la bomba descrita por otra semejante de tamaño diferente para que funcione en condiciones de rendimiento máximo 51 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles c Calcular el factor de semejanza geométrica necesario para cumplir esta condición SOLUCIÓN a Es necesario determinar en primer lugar el punto de funcionamiento de la bomba en la instalación de modo que debe cumplirse inst g m H H H La curva característica de la bomba está dada por 1 2 0 0 Q Q H H m y por otro lado la altura geodésica Hg 20 m con la altura de pérdidas dada por 8 2 inst 4 2 2 inst Q K H D g Q K D L H global π λ de manera que en el problema considerado Kglobal 4936 m cam3s2 Sustituyendo los valores del problema en la primera ecuación expuesta se obtiene que el caudal de funcionamiento es Q 009033 m3s lo que corresponde a una altura Hm 2403 m Sustituyendo el caudal de funcionamiento en la expresión del rendimiento 0 0 0 1 4 Q Q Q Q t η η se obtiene ηt 06912 Puede calcularse entonces la potencia consumida por 3081 kW t m B gQH W η ρ b Las condiciones de rendimiento máximo se obtienen de la condición dηtdQ 0 Puede comprobarse que el caudal debe cumplir QQ0 12 y que HmH0 34 Con los valores obtenidos para esta condición Q 006780 m3s y Hm 3240 m véase que no son los de funcionamiento en la instalación se obtiene la velocidad específica 0 5433 máx 4 3 1 2 Ω Ω η m s gH Q que se corresponde con un diámetro específico en el diagrama de Cordier Figura 36 en torno a 5 De la definición de diámetro específico resulta fácil obtener un diámetro exterior del rodete igual a 03083 m por supuesto es aproximado c En este apartado el primer paso a realizar consiste en la obtención de las curvas características homólogas para un tamaño diámetro 2 a partir de un tamaño diámetro 1 Por tanto de las relaciones de homología 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 D D H H D D Q Q η η Estas relaciones deben sustituirse en las curvas características de la bomba de tamaño 1 de modo que se obtiene 52 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 1 2 0 3 2 0 2 2 2 0 1 0 1 Λ Λ Q Q H H Q Q H H Λ Λ 0 3 2 0 3 2 0 2 0 1 0 1 0 1 1 4 1 4 Q Q Q Q Q Q Q Q η η η η siendo Λ D2D1 el factor de semejanza geométrico El segundo paso consiste en imponer la condición de funcionamiento de la nueva bomba semejante 2 en la instalación actual 2 2 2 0 3 2 0 2 2 inst 2 1 Q K H Q Q H H H H H global g g Λ Λ En la ecuación anterior aparecen como incógnitas el caudal para la nueva condición de funcionamiento 2 Q2 y el factor de semejanza geométrico Λ Por tanto el tercer paso debe consistir en imponer una determinada condición para obtener una única solución de la ecuación anterior Leyendo en el enunciado esta condición es para dη2dQ2 0 de modo que derivando en la expresión de más arriba se obtiene 2 1 max 0 3 2 Λ η Q Q Esta condición debe sustituirse en la ecuación para el nuevo punto de funcionamiento de donde puede obtenerse una relación geométrica resulta una ecuación polinómica que puede tratarse por tanteo Λ 0 797 luego la bomba 1 debería sustituirse por otra bomba 2 en torno a un 80 más pequeña para obtener una condición de funcionamiento de máximo rendimiento en la misma instalación Problema I8 RESUELTO 0 0 En la instalación que se muestra en la figura la bomba B de curva característica H H0 1 QQ02 bombea agua a los depósitos 1 y 2 El diámetro de todos los tramos de tubería es constante D 150 mm Se supone que el flujo es turbulento y que es dominante el efecto de la rugosidad Se supondrá que la rugosidad relativa es ε kD 0001 en todos los tramos de tubería De la bomba se conoce que proporciona una altura manométrica de 58 m ca para caudal nulo y que su rendimiento dado por la expresión η 4η QQ01 QQ0 con η 085 es máximo cuando la velocidad de giro es de 1500 rpm Cuando la válvula V1 está abierta constante de pérdida localizada KV 45 y la V2 cerrada se conocen las presiones absolutas en las bridas de salida y de entrada de la bomba ps 37 kgcm2 y pe 02 kgcm 2 respectivamente En estas condiciones se pide a Determinar H0 Q0 la altura manométrica y el caudal suministrados por la bomba b Calcular la potencia consumida por la bomba y la potencia que consumiría en condiciones de máximo rendimiento c Indicar el tipo de bomba utilizada 53 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles d Hasta qué altura h se podría elevar la bomba sin que exista peligro de cavitación La presión de saturación de vapor es pv 0017 bar Supóngase ahora que se abre la válvula V2 KV 45 e Plantear las ecuaciones que permitan calcular los caudales Q Q1 y Q2 f Razonar por qué se cumple que Q Q1 Q2 25 m 25 m 5 m 15 m 5 m 10 m 10 m V V h 1 m 1 2 Q Q Q 1 2 B 1 2 s e K 05 K 05 K 3 SOLUCIÓN a Puede suponerse que las diferencias de energías cinética y potencial entre las secciones de entrada y de salida de la bomba son despreciables de modo que la altura manométrica que proporciona la máquina se debe únicamente al incremento de presión que se produce a través de la misma g p p H e s m ρ donde ps 37 kgcm2 y pe 02 kgcm2 Sustituyendo valores se tomará la densidad del agua ρ 1000 kgm3 se obtiene Hm 35 m Esta altura manométrica debe ser igual a la suma de la altura geométrica Hg 10 m 10 m 5 m 25 m más la altura de pérdidas en la instalación 4 2 2 inst 8 D g Q K D L H i i π λ Σ En esta ecuación el coeficiente de pérdida por fricción λ se halla en el diagrama de Moody Anexo A3 Puesto que se supone que el flujo está dominado por la rugosidad λ no depende de Re de modo que entrando en el diagrama de Moody con la rugosidad relativa ε 0001 en la zona donde λ no depende de Re se encuentra que λ 00196 Puede comprobarse que la longitud total de la tubería es L 1 m 10 m 25 m 10 m 46 m Los coeficientes de pérdida localizada teniendo en cuenta la pérdida de energía cinética del chorro de agua en la entrada del depósito 1 son los siguientes 54 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 50 54 3 Σ iKi Así pues de la relación inst g m H H H puede hallarse el caudal bombeado sustituyendo valores numéricos resulta Q 006389 m3s De la relación 1 2 0 0 Q Q H H m puede encontrarse el valor de Q0 puesto que el resto de valores es ya conocido Haciendo operaciones resulta Q0 01015 m3s b Para calcular la potencia consumida por la bomba se hallará en primer lugar el rendimiento de la misma para un caudal de 006389 m3s mediante la expresión dada en el enunciado Sustituyendo valores se obtiene un rendimiento ηt 0793 La potencia consumida se calcula entonces por 2766 kW 0793 000 Kgm 0 06389 m s981 ms 35 m 1 2 3 3 t m B QgH W η ρ Para calcular la potencia que la bomba consumiría en condiciones de rendimiento máximo es preciso determinar dichas condiciones Derivando la expresión para el rendimiento respecto de Q e igualando a cero se obtiene que el caudal con el que se obtiene el rendimiento máximo es Qmáx Q02 y que dicho rendimiento máximo es η0 085 Puede comprobarse también que la altura manométrica para rendimiento máximo es Hmmáx 34H0 Puede hallarse entonces la potencia consumida correspondiente a rendimiento máximo WBmáx como sigue 4 2 3 0 0 0 máx η ρ η H g Q WB Sustituyendo valores numéricos en esta expresión se obtiene 2548 kW máx WB η c Puede estimarse el tipo de bomba utilizada a partir del valor de la velocidad específica de la máquina definida por máx 4 3 2 1 η m S gH Q Ω Ω Sustituyendo valores numéricos en la ecuación anterior téngase en cuenta que el caudal Q y la altura manométrica Hm deben ser los correspondientes a rendimiento máximo se obtiene una velocidad específica ΩS 0377 lo que indica que la bomba es de flujo radial o centrífuga 55 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles d Existirán condiciones de cavitación en aquel punto en el que la presión absoluta sea inferior a la presión de saturación de vapor14 El punto más desfavorable punto de mínima presión es la sección de entrada de la bomba Puede plantearse la ecuación de Bernoulli teniendo en cuenta las pérdidas entre el punto de entrada y un punto de la superficie libre del agua en el que la velocidad es nula y la presión es la atmosférica 2 2 asp a e e H g p h g v g p ρ ρ en la que Hasp es la altura de pérdidas en la tubería de aspiración 8 4 2 2 D g Q K D L H i asp i asp asp π λ Σ La longitud de la tubería de aspiración es Lasp h 1 m El sumatorio queda reducido al valor de la constante de pérdida secundaria del filtro de pie K 3 El caudal Q es conocido puesto que se ha calculado en el apartado a además la velocidad de entrada ve se determina por ve 4QπD2 En el caso más desfavorable la presión en la entrada se iguala a la presión de vapor pe pv Con esta condición y después de sustituir los valores numéricos en la primera expresión de este apartado se llega a que la altura h debe ser igual a 6508 m Es decir si la bomba se sitúa a más de 6508 m de la superficie libre del agua respetando todo lo demás la bomba entraría en cavitación A esta altura se le llamará hmáx Así pues hmáx 6508 m Puede comprobarse que para que la presión en la entrada sea pe 02 kgcm2 es el valor dado inicialmente en el enunciado la altura h necesaria sería de 4828 m e Cuando se abre la válvula V2 la bomba eleva agua a los depósitos 1 y 2 mediante dos conducciones que puede considerarse que están en paralelo La altura manométrica suministrada por la bomba es común para las dos ramas 1 2 0 0 Q Q H H m de modo que Hm tiene que ser igual a la altura requerida por la instalación por cada una de las ramas Si la rama 0 es el tramo de conducción desde la aspiración de la bomba hasta la separación en las ramas 1 y 2 puede ponerse 8 8 4 2 2 1 1 4 2 2 0 1 D g Q K D L D g Q K D L H H i i i i g m π λ π λ Σ Σ 8 8 4 2 2 2 2 4 2 2 0 2 D g Q K D L D g Q K D L H H i i i i g m π λ π λ Σ Σ donde Hg1 25 m y Hg2 30 m Por otra parte debe cumplirse la ecuación de continuidad que aplicada a la bifurcación en forma de T resulta Q Q1 Q2 14 En el Capítulo 10 se estudiarán en detalle los fenómenos de cavitación en las turbomáquinas No obstante este apartado d puede hacerse sin ninguna dificultad leyendo atentamente las explicaciones que se van proporcionando 56 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Las tres ecuaciones anteriores constituyen un sistema del que se puede obtener las tres incógnitas Q Q1 y Q2 Sustituyendo valores numéricos las dos primeras ecuaciones del sistema anterior quedan como sigue 1 726 724 2 25 5 630 58 2 1 2 2 Q Q Q 1 832 724 2 30 5 630 58 2 2 2 2 Q Q Q El sistema de ecuaciones puede resolverse por tanteo no se pedía su resolución en el enunciado del problema obteniéndose de forma aproximada 0 0110 m s 0 0555 m s 0 0665 m s 3 2 3 1 3 Q Q Q f El caudal Q es mayor que Q1 y Q2 porque debe cumplirse que Q Q1 Q2 Además como el depósito 2 está más elevado que el depósito 1 y la rama correspondiente tiene una mayor longitud lo que se traduce en mayores pérdidas por fricción resulta que la altura total requerida por la rama 2 es mayor que la requerida por la rama 1 Como ambas ramas están en paralelo y reciben la misma altura manométrica suministrada por la bomba el caudal debe ser menor en aquella rama en la que existe un mayor requerimiento de altura es decir Q2 Q1 57 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE I Problema I9 PROPUESTO Una turbina hidráulica se diseña para producir 27 MW funcionando a 937 rpm con un salto de 165 m Una turbina modelo de 375 kW se prueba bajo condiciones dinámicamente semejantes bajo un salto de 49 m a Calcular la velocidad de giro del modelo y el factor de semejanza geométrico b Suponiendo un rendimiento total en el modelo del 88 hallar el caudal trasegado por el modelo SOLUCIÓN a nmodelo 5512 rpm DprototipoDmodelo 1079 b Qmodelo 08865 m3s Problema I10 PROPUESTO Una bomba está recomendada para elevar un caudal de 5 m3hora a 9 m ca con una velocidad de giro de 1450 rpm Determinar el punto de funcionamiento recomendado si se hace girar a 2900 rpm Comprobar finalmente que la velocidad específica no ha variado SOLUCIÓN Q 10 m3hora y Hm 36 m ca ΩS 0196 para ambas condiciones de funcionamiento Problema I11 PROPUESTO Se tienen los siguientes datos de una bomba de agua centrífuga con un rodete de 40 cm de diámetro que gira a 2000 rpm Q litross 0 40 80 120 160 200 Hm m 120 110 100 85 60 40 W kW 100 105 110 115 120 125 Se pide determinar de entre los dados el punto de máximo rendimiento o de diseño y la velocidad específica de la bomba SOLUCIÓN El cuarto siendo ΩS 0468 58 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Problema I12 PROPUESTO Una bomba centrífuga 1 de diámetro Dm 350 mm y velocidad de giro de 2900 rpm tiene una curva característica dada por Q litross 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Hm m 15 20 23 25 24 21 15 8 0 η 0 27 47 60 64 60 47 27 0 Se desea que otra bomba 2 dinámicamente semejante a la anterior funcione en su punto nominal con la mitad de revoluciones y con un caudal de 100 litross Se pide calcular el diámetro de la bomba 2 así como la potencia que consume Hallar además los coeficientes de velocidad específica y de potencia específica de las bombas 1 y 2 SOLUCIÓN D2 754 mm WB2 4267 kW ΩS 0715 WS 0893 Problema I13 PROPUESTO Una bomba semiaxial ΩS 25 ηt 85 de curva característica H H01 QQ02 con H0 25 m ca y Q0 02 m3s para una velocidad de giro n 2900 rpm funciona en una instalación dada girando con n 1450 rpm venciendo una diferencia de cotas de 45 m Las pérdidas en la instalación son de 1 m ca cuando el caudal trasegado es de 015 m3s Indicar si la bomba funciona en condiciones óptimas Calcular en cualquier caso la potencia del motor de accionamiento SOLUCIÓN No funciona en condiciones óptimas WB 2724 KW Problema I14 PROPUESTO Una turbina está funcionando con un gasto de 6 kgs de agua un 2 del gasto total de agua se pierde en fugas al exterior En la sección de entrada de la turbina la presión relativa es 2 kgcm2 y la velocidad 30 ms En la sección de salida de la turbina la presión es la atmosférica y la velocidad es igual a 1 ms Calcular a El rendimiento volumétrico de la turbina b La altura neta c La altura de pérdidas internas si el rendimiento hidráulico es ηh 089 d Si el rendimiento total de la turbina es ηt 082 determinar el rendimiento orgánico ηo y la potencia que se obtiene en el eje de la turbina SOLUCIÓN a ηv 098 b Hn 9582 m c Hi 1054 m d ηo 094 WT 4625 kW Problema I15 PROPUESTO La estación de bombeo de la rambla de Algeciras Alhama de Murcia tiene un esquema simplificado como se indica en la figura con tres bombas en paralelo que alimentan una 59 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles tubería de 13 m de diámetro y 400 m de longitud El agua se toma de una balsa cuya superficie libre está en la cota 235 m y se bombea hasta el embalse cuya superficie libre puede variar según la cantidad de agua entre 233 y 265 m Cada bomba tiene unas curvas características que responden a la forma 1 4 1 0 0 máx 2 0 0 Q Q Q Q Q Q H H η η donde H0 y Q0 son constantes para el modelo concreto de la familia que se ha instalado De la placa de características de la bomba se obtiene la información de que el punto nominal de funcionamiento o de diseño rendimiento máximo corresponde a un caudal por bomba de 5250 m3hora y a una altura manométrica de Hm 325 m condición en la que la potencia consumida es de 5054 kW En esta situación se pide a Determinar los valores H0 y Q0 del modelo de bomba instalado y el valor del rendimiento máximo b Para un nivel del embalse intermedio entre su máximo y su mínimo obtener la curva de altura necesaria en función del caudal para la conducción definida Se puede tomar λ constante e igual al que corresponde al doble del caudal nominal de una bomba c Obtener el caudal total el rendimiento y la potencia total consumida si en la situación antes descrita se tiene una dos o las tres bombas funcionando d Fijar cuántas bombas se conectarían si se siguiera cada uno de estos dos criterios 1 Que cada bomba esté funcionado en el mejor rendimiento posible 2 Que el costo por metro cúbico bombeado sea mínimo 235 m 265 m 233 m K L 05 K 05 K 02 400 m SOLUCIÓN a H0 4333 m Q0 2917 m3s ηmáx 092 b Hinst m 14 015 Q2 con Q en m3s c Con una bomba funcionando Q 2366 m3s η 0564 WB 6107 kW Con dos bombas funcionando Q 4540 m3s η 0635 WB 1199 kW Con tres bombas funcionando Q 6402 m3s η 0723 WB 1750 kW d Según el criterio de mejor rendimiento posible se elegirían tres bombas funcionando Según el criterio de menor costo por metro cúbico bombeado se elegiría una única bomba funcionando Problema I16 PROPUESTO Se quiere analizar el sistema de purificación del agua de una piscina representado esquemáticamente en la figura adjunta En condiciones óptimas el chorro generado en la boquilla de retorno del agua a la piscina que tiene 5 cm de diámetro es de 20 ms en la 60 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas sección de salida La instalación consta de una rejilla de salida Kr 05 un conducto sin rugosidad apreciable de 10 cm de diámetro y 30 m de longitud con tres codos de Kc 03 un filtro cuyas características se describen a continuación y la boquilla de retorno del agua a la piscina descrita anteriormente En cuanto al filtro compuesto de un material poroso se conoce que su comportamiento resistente al paso del fluido es equivalente a un millón de tubitos de 1 m de largo y 1 mm de diámetro15 A medida que se va ensuciando su comportamiento se modifica como si un cierto número de estos capilares se obstruyera Se considera que el filtro ha llegado a su límite de validez cuando sólo queda un 1 de capilares libres para el paso del fluido Con estas hipótesis se pide a En condiciones de filtro limpio calcular el caudal y la diferencia de presión nominal a través de la bomba de la instalación b Suponiendo que la curva característica de la bomba es de una familia de curvas de la forma 1 63 1 0 0 2 0 0 Q Q Q Q Q Q H H η determinar las constantes H0 y Q0 de modo que la bomba funcione en óptimo rendimiento en las condiciones de filtro limpio Qué potencia consume en esas condiciones c Cuando el filtro está en su límite de sustitución calcular el caudal Q que atraviesa el circuito la velocidad inicial del chorro en la piscina la diferencia de presión entre la salida y la entrada de la bomba y la potencia consumida por la misma en estas condiciones Filtro Bomba K K r c K c K c Boquilla SOLUCIÓN a Q 003927 m3s p 2678 105 Nm2 b Q0 007854 m3s H0 364 m WB 1169 KW c Q 00315 m3s v 1604 ms p 2954 105 Nm2 WB 1103 kW 15 Debido a la reducción de la sección de paso de fluido y a la correspondiente disminución del caudal unitario de cada tubito el flujo puede pasar de régimen turbulento a régimen laminar Suponiendo entonces que se establece una corriente de Hagen Pouiseuille en cada uno de los tubitos que forman el filtro el efecto de la pérdida de carga laminar se puede incorporar a la ecuación de conservación total teniendo en cuenta lo siguiente tubito 4 tubito con 8 2 Re 64 L p P P D N Q l l µ π λ 61 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Problema I17 PROPUESTO Se dispone de una bomba cuyo rotor tiene un diámetro D0 y cuyas curvas características para una velocidad angular Ω0 del motor eléctrico que la mueve están dadas por las expresiones 1 4 1 0 0 0 2 0 0 Q Q Q Q Q Q H H m η η donde Hm es la altura manométrica suministrada por la bomba Q el caudal y η el rendimiento total siendo H0 Q0 y η0 constantes conocidas Mediante esta bomba se sube agua hasta una altura H por un tubo vertical de diámetro D El movimiento en el tubo es turbulento sin influencia de la viscosidad en la pérdida de carga λ es constante y conocido Sin sustitución de los valores de las constantes conocidas se pide determinar a El caudal Q que suministra la bomba acoplada al circuito Con qué rendimiento está funcionando b La velocidad de giro del motor eléctrico para que el punto de funcionamiento de la bomba acoplada al circuito sea el de rendimiento máximo Si se hace aplicación de los resultados anteriores a un caso en el que los valores de las constantes son Ω0 2500 rpm H0 30 m Hg 20 m D 20 cm λ 002 Q0 150 litross η0 09 se pide c Resolver el apartado a con estos valores d Régimen de giro en rpm a que debiera ponerse el motor para las condiciones del apartado b e Velocidad específica de la máquina H B Problema I18 PROPUESTO Se dispone de una instalación de bombeo para trasvasar agua desde dos depósitos A y B con superficie libre situada respectivamente en cotas de 25 y 10 m hasta un tercer depósito SOLUCIÓN a 1 1 1 2 1 8 0 0 0 4 2 2 0 D H gD H Q g g H H Q Q λ π b 1 2 1 2 4 3 0 0 0 0 4 2 2 0 Ω Ω D H H gD Q g g H H λ π c Q 008197 m3s d 0 2 404 rpm Ω e ΩS 1252 62 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas C con cota de superficie libre 150 m A la salida de cada uno de los depósitos se dispone de sendas bombas idénticas de curvas características dadas por las expresiones siguientes 1 2 0 0 Q Q H H Q Q Q Qo t 2 0 η0 4 β η con H0 300 m y Q0 3 m3s Las tuberías procedentes de los depósitos A y B se unen en un punto intermedio para conectar con una tercera tubería que es la que llega hasta el tercer depósito Los datos de longitud diámetro y rugosidad de las tuberías se incluyen en la tabla siguiente Tubería Longitud Diámetro Rugosidad 1 600 m 045 m 0018 cm 2 480 m 045 m 0018 cm 3 1200 m 070 m 0035 cm Se desea que el caudal bombeado del depósito A sea el doble del extraído del depósito B y para ello se dispone en el tramo 2 de una llave para ajustar esta proporción a la deseada Se pide en estas condiciones a Caudales en cada tramo de tubería Q1 Q2 Q3 b Alturas manométricas proporcionadas por cada una de las bombas c Valor de la constante de pérdidas que debe tener la válvula del tramo 2 para que los caudales estén en la proporción requerida Si las potencias consumidas por las bombas son W1 3980 kW y W2 3369 kW respectivamente se pide d Valores que deben tener los parámetros β y ηo e Rendimiento máximo y tipo centrífugas axiales mixtas etc más adecuado de las bombas La velocidad de giro es de 1500 rpm 150 m 25 m 10 m K 1 2 A B C Q Q Q 3 1 2 SOLUCIÓN a Q1 1327 m3s Q2 06635 m3s Q3 199 m3s b Hm1 2413 m Hm2 2853 m c K 1008 d β 1 ηo 08 e ηo 08 ΩS 0597 bombas centrífugas 63 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Problema I19 PROPUESTO Para conocer las prestaciones de una bomba que se va construir y que llamaremos prototipo se ha ensayado una bomba modelo semejante a la anterior a escala 18 que ha proporcionado unas curvas características a 2900 rpm dadas por 420000 1 420 14 5 Q2 Q H m 128000 640 Q2 Q η con Q en m3s y Hm en m La bomba prototipo se va a utilizar para el bombeo de agua para riego desde un río a la cota 235 m hasta un embalse natural a la cota 440 m a través de una tubería de impulsión de 30 km de longitud 1 m de diámetro y factor de pérdida de presión por fricción λ 002 se despreciará cualquier tipo de pérdida secundaria La velocidad de rotación de esta bomba será de 1450 rpm a Determinar el tipo de bomba que se va a construir b Calcular el punto de funcionamiento de la bomba prototipo en la instalación Dar los valores de altura caudal rendimiento y potencia consumida c Comprobar que el punto de funcionamiento anterior no se corresponde con el de rendimiento máximo d Se contempla la posibilidad de sustituir la bomba por otra semejante de menor tamaño para hacerla funcionar en su punto de rendimiento máximo en la instalación anterior Ver si esto es posible y en caso afirmativo determinar este nuevo punto de funcionamiento dando los valores del caudal altura rendimiento y potencia consumida Cuál es la reducción necesaria en el tamaño característico de la máquina SOLUCIÓN a Centrífuga lenta ΩS 0352 b Hmp 2371 m Qp 08041 m3s ηp 0747 WBp 2504 kW c Qη máx 064 m3s Qp d Q 05374 m3s Hm 2193 m η 08 WB 1445 kW reducción 57 64 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Bloque II TEORÍA DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 4 Teoría general de turbomáquinas hidráulicas 5 Teoría unidimensional de turbomáquinas hidráulicas 6 Teoría bidimensional de turbomáquinas radiales 7 Teoría bidimensional de turbomáquinas axiales Problemas resueltos Bloque II Problemas propuestos Bloque II A Aurel Stodola 18591942 foto y Carl Pfleiderer 18811960 se les debe diversos e importantes estudios sobre turbomaquinaria y sobre todo sendas correcciones de la teoría unidimensional para aproximarse al flujo bidimensional en bombas 65 Aurel Stodola Wikipedia La enciclopedia libre Fecha de consulta 3 octubre 2016 de httpsenwikipediaorgwikiAurelStodola Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 4 TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 41 Introducción a la teoría general de turbomáquinas Después de haber aplicado en el Capítulo 3 las técnicas de análisis dimensional y semejanza física para expresar de modo simplificado las relaciones funcionales entre las variables de operación y las geométricas en una turbomáquina se emprende ahora la tarea de desarrollar la teoría en la que haciendo uso de la Mecánica de Fluidos se llegue a poder predecir el comportamiento de una turbomáquina de geometría definida y proporcionar las herramientas que faciliten el diseño de máquinas nuevas El rotor de una turbomáquina es el causante de las características básicas de la misma La presencia de la carcasa y el hecho de que las condiciones de funcionamiento no siempre son aquellas para las que se diseñó el rotor modifican el flujo desviándolo de la condición hipotética para la que se diseñó el rotor y haciendo disminuir el rendimiento como ya se adelantó en el Capítulo 3 Pero antes de analizar el flujo en otras condiciones es preciso conocer a fondo como es éste para la condición original de diseño La teoría general de turbomáquinas es esencialmente la teoría del elemento rotatorio de las mismas en su punto de diseño 411 Tratamiento general de las turbomáquinas hidráulicas Para el desarrollo de la teoría general de turbomáquinas se utilizará el método de análisis integral aplicando las ecuaciones de conservación de la Mecánica de Fluidos en forma integral a volúmenes de control apropiados que permiten describir el comportamiento global sin necesidad de conocer en forma detallada el flujo en todos los puntos de su interior Se busca por lo tanto establecer las relaciones entre los siguientes parámetros Las condiciones de funcionamiento de la máquina tales como la velocidad de giro Ω el par T el caudal Q y el incremento de la energía mecánica específica medido en altura gH Las condiciones del flujo en las secciones de entrada y de salida de la máquina y en particular del rodete Al centrar la atención en el elemento giratorio se entenderá a lo largo de este capítulo que las secciones de entrada y de salida son las del rodete Parámetros geométricos característicos del canal de paso del líquido a través del rodete La teoría general permite sentar las bases para un estudio más detallado del flujo a través de una turbomáquina En los siguientes capítulos se abordarán dos enfoques de la teoría general las teorías unidimensional y bidimensional 66 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 412 Enfoque de flujo ideal El tratamiento del flujo en las teorías expuestas es fundamentalmente ideal en el sentido por un lado de considerar a las máquinas trabajando en su punto de diseño sin desprendimientos o recirculaciones de la corriente que puedan alterar la morfología del flujo incialmente supuesto y por el otro de suponer despreciables cualquier tipo de pérdida hidráulica interna de la máquina para poder llegar a expresiones y conclusiones suficientemente simplificadas Por tanto la teoría desarrollada en el Bloque II puede considerarse como la Teoría Ideal de Turbomáquinas aunque muchos de sus resultados sean extrapolables al flujo real Los efectos reales serán tratados más detalladamente en el Bloque III 42 Sistemas de referencia Puesto que el rodete de una turbomáquina es axilsimétrico el sistema de coordenadas más apropiado para expresar las componentes de velocidad del flujo a través del rotor es el cilíndrico ortogonal En la Figura 41 puede observarse el sistema escogido con referencia a un sistema cartesiano xyz El eje de revolución del elemento rotatorio es el x de modo que la velocidad de giro Ω es positiva en el sentido positivo de x según la regla de la mano derecha puede comprobarse entonces que el sistema xyz es dextrógiro es decir z y x e e e El sistema cilíndrico ortogonal xrθ es también dextrógiro θe e e r x estando el versor xe sobre el eje x y siendo el sentido positivo del versor θe según la velocidad de giro Ω En algunos casos será necesario trabajar con un sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal de tipo intrínseco xsn siendo s una coordenada tangencial en cada punto a la línea de corriente fluida y n la coordenada normal a la misma positiva desde el centro de curvatura hacia el punto considerado de modo que n s x e e e Esto último se verá con más detalle en el Capítulo 6 x e e x e r θ Ω z y θ A continuación para el sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal xrθ se establecerán los dos sistemas particulares que se van a emplear a lo largo del texto el fijo o ligado a tierra y el relativo o solidario con el rodete de la turbomáquina Se fijará igualmente la nomenclatura seguida para las componentes de la velocidad del fluido SISTEMA DE REFERENCIA LIGADO A TIERRA que se llamará absoluto La velocidad del fluido en un punto de este sistema y respecto de él se denominará velocidad absoluta v El vector velocidad absoluta tiene las tres componentes siguientes vx proyección del vector velocidad absoluta en la dirección del eje de giro del rodete Figura 41 Sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal xrθ que se utilizará a lo largo del texto 67 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles vr proyección del vector velocidad absoluta según la dirección radial vθ proyección del vector velocidad absoluta en dirección perpendicular al plano meridional es decir al plano que contiene al eje de giro SISTEMA DE REFERENCIA LIGADO AL ROTOR que se llamará relativo La velocidad del fluido respecto a este sistema se denomina velocidad relativa w La diferencia entre ambos es la velocidad de arrastre que está dada por x u Ω siendo x el vector de posición correspondiente Como se ha tomando el mismo origen y el mismo eje axial para ambos sistemas de referencia la velocidad de arrastre sólo tiene componente acimutal y por ello la relación entre los dos sistemas de referencia puede expresarse como sigue r w v w v w v u w v r r x x Ω θ θ 41 siendo wθ la proyección de la componente relativa de la velocidad sobre u es decir en sentido contrario al versor θe 16 A la proyección del vector velocidad sobre el plano meridiano se le denomina velocidad meridiana y es igual tanto para el movimiento absoluto como para el relativo 1 2 2 2 r x m m r r x x m m v v w v v e v e w v 42 Es práctica común en lugar de utilizar el subíndice θ para la componente acimutal utilizar el subíndice u puesto que la velocidad de arrastre se define siempre sobre la dirección del versor θe De esta manera pueden resumirse las relaciones vectoriales entre los dos sistemas de referencia por θ θ w e w w v e v v r w v u w v u m u m u u Ω 43 A B O O v v v v v v r r v v v 1 2 1 2 u m x r r u x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x Rodete Canal de paso del fluido Ω Tanto en bombas como en turbinas se denominará con los subíndices 1 y 2 a las secciones de entrada y de salida del rodete respectivamente Los subíndices 0 y 3 serán respectivamente los correspondientes a las secciones de entrada del distribuidor y de salida 16 Esta definición de la proyección de la velocidad relativa lleva a que en las Ecuaciones 41 y 43 wθ wu aparezca con signo negativo La razón de esta definición contraria es por simplicidad en la operación con los triángulos de velocidad y por coherencia en la definición de los ángulos del flujo y del álabe todo esto será explicado con mayor detalle más adelante Figura 42 Componentes genéricas de velocidad en la salida 2 y en la entrada 1 del rodete de una bomba helicentrífuga o de flujo mixto 68 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas del difusor Se admite implícitamente entonces que la sección de salida del distribuidor coincide con la entrada del rodete y que la sección de salida de éste coincide con la entrada del difusor Esta suposición es aplicable en un gran número de turbomáquinas radiales y en algunas axiales sin embargo en el caso de las turbinas Kaplan existe en la mayoría de ellas una separación física apreciable entre la salida de las palas del distribuidor y la entrada de los álabes del rodete En la Figura 42 se representa una perspectiva esquemática de las componentes de velocidad en la entrada y en la salida del rodete de una bomba helicocentrífuga 43 Triángulos de velocidades Los dos casos extremos que se consideraron en el Capítulo 1 correspondientes a flujos radial y axial puros son movimientos en los que serán nulos por lo tanto las componentes vx y vr respectivamente El enfoque de este texto consiste en tratar de forma separada las máquinas axiales en las que se desprecia la influencia de las componentes radiales de velocidad y las máquinas radiales en las que se hace lo propio con las componentes axiales De este modo el problema cinemático tridimensional se reduce a un problema bidimensional simplificándose el paralelepípedo de velocidades de la Figura 42 y dando paso a triángulos de velocidades como los que aparecen en las Figuras 43 y 44 para el caso de máquinas radiales Para máquinas axiales se obtendría una composición similar como se verá más adelante17 Se verá ahora la construcción de un triángulo de velocidad típico o estándar para el caso de una turbomáquina radial como puede ser una bomba centrífuga suponiendo que vx 0 en cualquier punto del rodete y que las componentes de velocidad son esencialmente las mismas para cualquier plano perpendicular al eje x Puede verse en la Figura 43 un triángulo de velocidad estándar para la máquina planteada u v w v v u m α β wu π β Cabe destacar los siguientes puntos orientados a la construcción sistemática de los triángulos de velocidad El ángulo entre la velocidad absoluta y la de arrastre es α y se le denomina normalmente ángulo del flujo El ángulo entre la velocidad relativa y la de arrastre cambiada de signo u es β llamado normalmente ángulo de los álabes esto último porque se admite la hipótesis de que la velocidad relativa es perfectamente tangente al álabe lo que constituye uno de los preceptos de la teoría unidimensional que se tratará en el siguiente capítulo 17 Con este planteamiento simplificado pueden tratarse incluso a las máquinas que son claramente diagonales teniendo en cuenta que los triángulos de velocidades simplificados construidos con la suposición de máquina axial o radial según el caso pueden modificarse para tener en cuenta en la medida de lo posible la influencia de la geometría real de la máquina considerada Un tratamiento más detallado del flujo mixto geométricamente real a través de la turbomáquina cae fuera de los límites de este texto Figura 43 Triángulo de velocidades típico y nomenclatura utilizada para las velocidades en el rodete de una turbomáquina 69 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles La componente acimutal de la velocidad absoluta es vu v cos α La componente acimutal de la velocidad relativa es wu w cos π β es decir wu w cos β Con las definiciones expuestas de α β vu y wu se cumple que u vu wu La velocidad meridiana representa la altura del triángulo de velocidad y divide a dicho triángulo en general no rectángulo en otros dos triángulos rectángulos Con los ángulos definidos como se ha descrito la representación típica de los triángulos de velocidad es como se muestra en la Figura 43 con α y β menores de 90º No obstante como cabía esperar α y β pueden ser mayores de 90º o alternativamente iguales a 90º Aunque la teoría de turbomáquinas axiales será expuesta en los Capítulos 5 y 7 puede adelantarse que la construcción de los triángulos de velocidades para máquinas axiales es del todo similar a como se ha descrito teniendo que cuenta que debe cumplirse que vr 0 y que normalmente la velocidad meridiana pasa a llamarse habitualmente velocidad axial va Con los criterios que se acaban de exponer se han representado los triángulos de velocidad en la entrada 1 y en la salida 2 del rodete de una bomba centrífuga en la Figura 44 u v w r r O 2 2 2 1 2 Ω u v α β2 2 vu vm w1 1 1 vm2 vu2 1 1 β1 α1 álabe móvil álabe fijo RODETE DIFUSOR Figura 44 Ángulos significativos entre las componentes de la velocidad en el conjunto rodetedifusor de una bomba centrífuga 44 Volumen de control Ecuación de continuidad En el análisis integral que sigue se aplica a un volumen de control los principios de conservación de la masa o de continuidad y del momento cinético Estos principios están referidos a la velocidad absoluta del fluido pues están enunciados en ejes ligados a tierra18 Cuando sea necesario pasará a operarse con velocidades relativas Si se toma como volumen de control el comprendido entre las secciones de entrada y de salida del rodete dicho volumen tendrá las siguientes superficies véase la Figura 45 18 En un sistema de referencia absoluto la única fuerza másica que interviene es la gravedad pero en general el flujo es no estacionario En un sistema de referencia relativo aparecen fuerzas de inercia centrífugas y de Coriolis siendo el flujo estacionario 70 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Superficies S1 y S2 de entrada y de salida respectivamente Son superficies de revolución siendo las únicas en las que entra y sale el fluido del volumen de control Superficies laterales interiores de contacto con los álabes del rodete Sa Superficies móviles internas de los discos que soportan los álabes Sd y que junto con estos forman los canales de paso del fluido Superficies fijas de la carcasa Scr En el caso de que los canales sean abiertos estos están limitados por las superficies internas de la carcasa en la zona correspondiente Si los canales son cerrados estas superficies son móviles 1 2 cr a Salida Sd S S S S Rodete Eje de giro Entrada Canal de paso Al aplicar a este volumen de control la ecuación integral de conservación de la masa y suponer el problema globalmente estacionario19 resulta 0 d d 1 1 2 2 1 2 S n v S n v S S 44 con la normal n hacia fuera de la superficie que delimita el volumen de control La Ecuación 44 indica simplemente que la integral de n v en las secciones de entrada y de salida tiene en módulo el mismo valor el caudal Q En adelante se denotará por vn al valor absoluto de la componente normal de la velocidad v respecto de la superficie de control Si esta componente normal fuese uniforme en cada una de las secciones de entrada y de salida de la ecuación de continuidad se obtiene 0 1 1 2 2 v A A v n n y por tanto 1 1 2 2 v A A v Q n n 45 donde A1 y A2 son las áreas de las secciones de entrada y de salida respectivamente Obsérvese que si las secciones de entrada y de salida de la máquina son las de entrada y salida del rodete la componente normal de la velocidad coincide con la velocidad meridiana en el rodete definida en la Sección 42 45 Ecuación de conservación del momento cinético Teorema de Euler Se aplica ahora al volumen de control definido anteriormente el principio de conservación del momento cinético20 o momento de la cantidad de movimiento Al igual que antes el término no estacionario es nulo de modo que puede ponerse d d d d c c c c V m S S S c V f x S n x pn S x S n v v v x ρ τ ρ 46 19 Al efectuar un análisis integral y hacerse un promediado de las variables fluidas en un intervalo de tiempo lo suficientemente grande el problema puede considerarse estacionario 20 Las ecuaciones de conservación que se aplican son únicamente las de continuidad y de conservación de la cantidad de movimiento al estar desacopladas de la ecuación de conservación de la energía la ecuación de conservación del momento cinético es en realidad la de cantidad de movimiento habiendo tomado momentos respecto de un mismo punto o eje de referencia Figura 45 Superficies del volumen de control considerado en un rodete genérico 71 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En la Ecuación 46 pueden hacerse las consideraciones siguientes a Aunque la ecuación anterior está referida al momento respecto al origen del sistema la simetría del volumen alrededor del eje de giro hace que sólo pueda ser distinta de cero la componente del momento en la dirección del eje b La velocidad vc del movimiento de la superficie de control sólo es distinta de cero en las superficies móviles del rotor pero allí coincide con la velocidad v del fluido por la condición de adherencia Por esto en la integral del flujo de momento cinético a través de las superficies del volumen de control sólo cuentan las superficies de entrada y de salida puesto que en el resto de las superficies o bien la velocidad del fluido es nula o bien es igual a la de la superficie de control Este término convectivo quedará de la forma d d 1 2 1 1 1 2 2 2 S n u S n u S r v v S r v v ρ ρ 47 Se puede observar que sólo la componente acimutal de la velocidad absoluta es la que produce momento c En el término correspondiente al momento de las fuerzas de presión puede distinguirse por un lado entre las superficies de entrada y de salida junto con las posibles superficies de control que limitan al fluido con la carcasa y por otro las superficies de los álabes y del disco del rotor Sobre el primer grupo de superficies las fuerzas de presión no producen momento puesto que las superficies son de revolución Sobre el rodete en especial en los álabes las fuerzas de presión sí que producen un momento d En cuanto al momento de los esfuerzos viscosos se puede considerar que por estar desarrollando una teoría ideal son despreciables En este caso todas las acciones derivadas de las fuerzas de superficie serían debidas únicamente a la presión En general puede distinguirse al igual que antes por un lado entre las superficies de entrada y de salida y las de contacto con la carcasa en las que sí se desprecia por ahora su efecto21 y por el otro en las superficies de los álabes y en el resto de las superficies del rodete en las que el momento de los esfuerzos viscosos se puede sumar al momento de las fuerzas de presión y englobarlo todo en un momento total T e Las fuerzas másicas aplicadas al volumen de control no producen momento por la simetría del volumen alrededor del eje respecto del que se toman Con todas estas consideraciones y teniendo presente que la componente de momento que interesa es según el eje x puede ponerse a éste en función de la diferencia entre el flujo de momento cinético en las secciones de entrada y de salida d d 1 2 1 1 1 2 2 2 S n u S n u S r v v S r v v T ρ ρ 48 A la ecuación anterior se le denomina Ecuación de Euler y es la expresión del Teorema de Euler este puede enunciarse como sigue el par transmitido entre el rodete y el fluido que circula a través de él es igual a la variación del momento cinético que experimenta el fluido entre las secciones de entrada y de salida 46 Discusión de la Ecuación de Euler A la vista del teorema Ecuación 48 y de su deducción pueden hacerse las siguientes consideraciones 21 Esta suposición es aproximada para el caso de las secciones de entrada y de salida en las que las propiedades fluidas pueden ser suficientemente uniformes y por tanto el término viscoso muy pequeño 72 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas a En la deducción del teorema anterior no se ha hecho hipótesis sobre la forma de los álabes Su forma puede ser cualquiera b Tampoco se han hecho hipótesis restrictivas sobre el efecto de la viscosidad del fluido en el flujo por los que es válido tanto para flujo viscoso como ideal si los canales son abiertos tan sólo se ha despreciado el esfuerzo viscoso sobre la carcasa ya que el momento del esfuerzo viscoso en la entrada y de salida es siempre de poca importancia como se ha indicado anteriormente Esto no significa que el movimiento sea el mismo tanto para un fluido ideal como para uno viscoso sino que dado el campo de velocidades en la entrada y en la salida en cada caso el par sobre el eje vendría dado por la misma expresión22 c La Ecuación de Euler puede aplicarse sin ninguna modificación a cascadas de álabes fijos El par será en este caso estático y deberá soportarlo la estructura del sistema de álabes Multiplicando la Ecuación de Euler por la velocidad de giro Ω y expresando el producto de la velocidad normal a la superficie como el diferencial del caudal es decir dQ vn2 dS2 vn1 dS1 puede ponerse la potencia que el rodete suministra al fluido de la forma d d 1 2 1 1 2 2 Ω Ω Ω S u S u Q r v Q r v T W ρ ρ 49 El producto de la velocidad de giro por el radio es en cada punto la velocidad de arrastre u Por otra parte la potencia se puede poner como el producto del gasto por la energía específica comunicada ρQgH Eliminando la densidad que es constante y dividiendo por el caudal puede ponerse la altura comunicada al fluido como d d 1 1 2 1 1 2 2 S u S u Q u v Q u v Q gH 410 Si se centra la atención únicamente en una superficie de corriente y se considera que la componente acimutal de la velocidad es uniforme a lo largo de dicha superficie se puede definir la altura intercambiada entre el rodete y el fluido como la potencia comunicada al fluido por unidad de gasto másico y vendrá dada en función de las velocidades absoluta y de arrastre en las secciones de entrada y de salida En el caso de que las secciones de entrada y de salida sean paralelas al eje este es el caso de una máquina puramente radial y que la velocidad sea uniforme en las mismas la expresión será válida para todo el fluido que atraviesa el rotor de modo que operando puede ponerse d d 1 1 2 2 1 1 2 2 g u v u v H u v u v gH Q W u u t u u t ρ 411 donde el subíndice t indica que la altura es teórica23 y que al hacer la hipótesis de uniformidad acimutal de la velocidad es como si se considerara el caso hipotético de que el número de álabes del rodete fuera infinito24 No obstante puesto que la ecuación que se ha 22 Más adelante se verá que la diferencia de presiones ideal entre la entrada y la salida del rodete que precisamente no interviene en la Ecuación de Euler se ve modificada al considerar los efectos de las pérdidas viscosas 23 Se han utilizado principios de conservación integrales para llegar a la Ecuación de Euler de modo que no ha sido preciso efectuar hipótesis de lo que ocurre en el interior del rodete así pues los triángulos de velocidades obtenidos mediante la Ecuación de Euler son los de diseño o teóricos que relacionan directamente las componentes de velocidad con la geometría de los álabes en la entrada y en la salida En adelante se entenderá como altura de Euler o altura teórica a la altura intercambiada entre el rodete y el fluido tanto en bombas como en turbinas Como se explicó en el Capítulo 2 a esta altura también se le denomina habitualmente altura útil 24 No debe entenderse sin embargo que la Ecuación de Euler es únicamente válida cuando el número de álabes es muy grande Puesto que la Ecuación de Euler expresa una condición de conservación se obtendrán resultados correctos también para un número de álabes finito en este caso sería necesario efectuar un promediado adecuado de la velocidad acimutal Estas y otras consideraciones se plantean en la Sección 46 73 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles obtenido es también válida para un número de álabes finito en adelante se eliminará el subíndice y se denominará con carácter general a la altura obtenida con la Ecuación de Euler por Ht En caso de las turbinas todas las expresiones anteriores llevan a obtener una altura negativa por lo que dicha altura debe cambiarse de signo para mantener las definiciones establecidas Puede adelantarse aquí que en el caso de máquinas axiales en las que las superficies de entrada y de salida resultan perpendiculares y no paralelas al eje la Ecuación de Euler sólo tendría validez para una superficie de corriente cilíndrica concéntrica con el eje Además la validez de la Ecuación de Eurler únicamente se extendería para todo el rodete en el caso de que la distribución de velocidad acimutal cumpliera una cierta condición esto se expondrá con mayor detalle en el Capítulo 6 461 Forma alternativa de la Ecuación de Euler Los triángulos de velocidades de las Figuras 43 y 44 permiten obtener la siguiente relación válida tanto en la entrada como en la salida del rodete cos 2 2 2 2 1 w u v uv α 412 de modo que puede ponerse la altura teórica de la forma 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 g w w u u v v H t 413 En bombas en las que la altura suministrada es positiva el incremento se consigue por las tres desigualdades siguientes 1 2 v v es decir por el aumento de la velocidad absoluta en la salida 1 2 u u por el aumento de la velocidad de arrastre que se obtiene por ser mayor el radio de salida que el de entrada en el caso de las máquinas radiales 2 1 w w por la disminución de la velocidad relativa que se consigue mediante canales de paso divergentes en el rodete En turbinas las desigualdades serían a la inversa para obtener una mayor altura negativa Los tres términos que se suman en la ecuación anterior no tienen que ser todos positivos o todos negativos Se pueden realizar diseños de bombas o de turbinas en los que las contribuciones de los mismos sean positivas o negativas y se compensen parcialmente 462 Formas particulares de la Ecuación de Euler La Ecuación de Euler es válida para todo tipo de máquinas centrífugas axiales o mixtas helicocentrífugas o helicocentrípetas pero toma formas más simplificadas en algunos casos Así en máquinas centrífugas puras como la que se muestra esquemáticamente en la Figura 44 las superficies de entrada y de salida se pueden tomar como cilindros paralelos al eje de radios r1 y r2 y las superficies de corriente serán planos perpendiculares al mismo siendo uniforme la altura o anchura del rotor b Las relaciones se simplifican de la forma 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 sen 2 sen 2 2 2 α π α π π π r bv r bv r bv r bv Q r r 414 cos cos 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 α α r v r v r v r v gH u u t Ω Ω 415 En estas condiciones la altura teórica es la misma para todas las superficies de corriente y la expresión anterior es válida para la totalidad del flujo 74 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas En máquinas axiales para cada superficie de corriente la velocidad de arrastre es distinta pero igual en la entrada que en la salida del álabe pues 2 1 r u u u Ω 416 y la altura teórica para cada superficie de corriente viene dada por 1 2 u u t v u v gH 417 Como se ha adelantado antes en general en máquinas axiales y mixtas el radio de cada superficie de corriente es distinto luego no se pueden simplificar las ecuaciones y obtener ecuaciones globales La altura teórica será distinta para cada superficie de corriente y será indispensable calcular cada capa por separado para obtener o analizar el diseño global de la máquina teniendo en cuenta que el salto disponible es común a las distintas capas en el caso de turbinas en bombas el objetivo debe ser normalmente la uniformidad de la altura comunicada al fluido Si no se hace así se introducen importantes perturbaciones que afectan al comportamiento global de la máquina y por tanto a su rendimiento También se puede hacer la observación común para todos los casos que en bombas la mayor altura se obtendrá cuando vu1 v1 cos α1 0 esto es cuando no exista prerrotación del flujo En turbinas la mayor potencia se obtiene cuando se cumple que vu2 v2 cos α2 0 lo que puede conseguirse ajustando la orientación de los álabes del distribuidor Esta condición de ausencia de prerrotación vu1 0 en bombas y de momento cinético en la salida del rodete vu2 0 en turbinas es una condición habitual de diseño 47 Ecuación de Bernoulli en el movimiento relativo 471 Flujo ideal a través del rodete Hasta el momento mediante la Ecuación de Euler se ha podido expresar el salto energético a través del rodete en función de las velocidades de entrada y de salida del elemente rotatorio Se trata ahora de averiguar qué papel juega el salto de presiones a través del rotor Para poder relacionar las velocidades en la entrada y en la salida del rotor con las presiones se puede utilizar la ecuación de Bernoulli en ejes relativos bajo ciertas condiciones como se verá a continuación La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un fluido ideal en el movimiento relativo estacionario puede ponerse como sigue 2 2 fm p w w w ρ 418 En las fuerzas másicas no se incluyen las debidas a la gravedad puesto que por ser el tamaño de la máquina pequeño comparado con los desniveles de altura no se producen diferencias apreciables de potencial gravitatorio entre la entrada y la salida ya se vio anteriormente que las fuerzas gravitatorias no producen momento de modo que teniendo en cuenta que el régimen de giro es constante estas fuerzas másicas sólo se deben a las fuerzas centrífuga y de Coriolis 2 2 2 2 2 1 w r w x fm Ω Ω Ω Ω Ω 419 Para fluidos incompresibles en los que la densidad es constante y por tanto puede ponerse dentro del gradiente de presión multiplicando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento por el vector unitario tangente a una línea de corriente resulta que 75 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles para cada una de estas líneas de corriente se cumple la ecuación de Bernoulli de modo que de la Ecuación 418 puede obtenerse 0 2 2 d d 2 2 2 Ω r w p s ρ 420 donde ds es el elemento diferencial a lo largo de la línea de corriente Integrando entre la entrada y la salida del rotor y teniendo en cuenta que Ωr es igual a la velocidad de arrastre u en cada punto resulta 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 w w u u p p ρ 421 Esta expresión además de proporcionar la diferencia de presiones en función de las velocidades en la entrada y en salida del rotor para el caso de un fluido ideal puede sustituirse en la ecuación de la altura teórica Ecuación 413 obteniéndose lo siguiente 2 2 1 2 2 1 2 v v p p gH t ρ 422 es decir la altura teórica puede calcularse mediante la diferencia de presiones y de energía cinética del movimiento absoluto entre la entrada y la salida Téngase en cuenta que en la expresión anterior el término gravitatoiro gz2 z1 debe ser incluido en el término de la derecha en el caso de ser importante 472 Flujo real a través del rodete Si se quiere incluir en el análisis las posibles pérdidas en el rodete aproximando el flujo más a la realidad ha de tenerse en cuenta que lo que se obtiene con el Teorema de Euler es la altura comunicada entre el rodete y el flujo que se ha llamado inadecuadamente para el caso de bombas altura útil 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 w w u u v v gH gH u t 423 siendo el signo positivo para bombas y el negativo para turbinas Puesto que se supone que el campo de velocidades disponible es el ideal la ecuación de Bernoulli no se cumple al tener en cuenta las pérdidas energéticas 0 2 2 d d 2 2 2 Ω r w p s ρ 424 de modo que la diferencia de presión entre la entrada y la salida está disminuida en lo que se llama la altura de pérdidas internas en el rotor HiR en la forma 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 g Hi R w w u u p p ρ 425 Sustituyendo la Ecuación 425 en la 422 se tiene que i R i R u H v v p p H v v p p gH 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ρ ρ 426 76 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Puesto que la cantidad 2 2 1 2 2 1 2 v v p p ρ 427 es la altura manométrica para bombas empleando el signo positivo o la altura neta para turbinas empleando el signo negativo25 puede decirse que en el rodete la altura útil es la manométrica más la altura de pérdidas en bombas o la neta menos la altura de pérdidas internas en turbinas s en turbina bombas en i R n u t i R m u t H H H H H H H H 428 Si la turbomáquina hidráulica estuviera compuesta únicamente por el rodete la altura de pérdidas en el rodete se podría cuantificar directamente a través del rendimiento hidráulico tal como se definió en el Capítulo 226 48 Grado de reacción De lo visto en la sección anterior se deduce que la energía mecánica específica comunicada al fluido en bombas y extraída del fluido en turbinas se distribuye entre una variación de la energía de presión por un lado y por otro en un aumento o disminución de la energía cinética Para cuantificar cómo se reparte la energía intercambiada en la máquina se define el grado de reacción σR como la porción de energía mecánica específica comunicada o extraída en forma de presión frente a la total Esta definición puede aplicarse al conjunto de la máquina hidráulica o bien solamente al rodete como elemento en el que tiene lugar el intercambio principal de energía Si nos centramos en el rodete el grado de reación se define por 1 2 u R gH p p ρ σ 429 siendo el signo más para bombas y el menos para turbinas La definición dada por 429 es general y puede tener en cuenta o no las pérdidas hidráulicas En general se deberá llevar a cabo el balance energético 426 para relacionar el salto de presión con la altura teórica No obstante se puede llegar a expresiones suficientemente simplificadas si se hacen las aproximaciones apropiadas CASO PARTICULAR MÁQUINA ELEMENTAL Considerando el balance energético de la Ecuación 426 pero suponiendo que las pérdidas hidráulicas internas tienen lugar exclusivamente en el rodete máquina elemental se puede poner 25Se está suponiendo por tanto que no existen pérdidas ni antes ni después del rodete Se identifica de esta manera la entrada de la máquina con la entrada del rotor y la salida de la máquina con la salida del rotor Esta sería una máquina elemental en la que únicamente existe el rodete como elemento constituyente Evidentemente en la mayoría de las turbomáquinas esto no es así existiendo como mínimo el distribuidor el rodete y el difusor en este caso las pérdidas hidráulicas deben calcularse no sólo en el rodete sino en cada uno de los elementos constituyentes de modo que la suma total de las pérdidas forma la cantidad Hi 26 En ausencia de pérdidas hidráulicas internas las definiciones de altura teórica de Euler y de altura manométrica en bombas y de altura neta en turbinas coinciden como es obvio esto es equivalente a decir que el rendimiento hidráulico es la unidad En una máquina elemental como la que se acaba de describir en el rendimiento hidráulico se tienen en cuenta únicamente las pérdidas en el rodete en una máquina general las pérdidas hidráulicas que se cuantifican en el rendimiento hidráulico son las de todos los elementos que conforman la turbomáquina desde la brida de entrada hasta la brida de salida 77 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 1 1 2 1 s en turbina 2 1 2 1 bombas en 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 n h i t t R m h i t t R gH v v g H gH v v gH gH v v g H gH v v gH η σ η σ 430 CASO PARTICULAR MÁQUINA AXIAL IDEAL En máquinas axiales considerando sólo una superficie de corriente teniendo en cuenta que por continuidad la componente axial es igual en la entrada y en la salida y que la velocidad de arrastre es u1 u2 u se puede llegar a una expresión simplificada del grado de reacción en el caso de suponer despreciables las pérdidas hidráulicas con objeto de llegar a una expresión cinemática en la que no interviene el rendimiento 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 u w u w w w u w w w w w v u v w w v u v w w u u u u u u u u u u u u u u u R σ 431 Es más frecuente hablar de grado de reacción en turbinas que en bombas No obstante puede decirse que en bombas un grado de reacción alto normalmente está asociado a rendimientos hidráulicos elevados diferencia de presiones elevada El grado de reacción también se relaciona con el diseño de la máquina por ejemplo un grado de reacción bajo indica que en la salida de la bomba existe una energía cinética alta y por tanto se hace necesario utilizar un difusor para recuperar energía de presión y así elevar el rendimiento de la máquina En turbinas como ya se vio anteriormente el grado de reacción permite efectuar una clasificación por un lado entre turbinas de acción o impulso σR 0 en las que no existe variación de presión como ocurre en las turbinas tipo Pelton también llamadas tangenciales y por otro en turbinas de reacción en las que σR 0 como en las turbinas tipos Francis o Kaplan Los rodetes de bombas y turbinas deben diseñarse en general con valores del grado de reacción comprendidos entre 0 y 1 Los valores extremos corresponden por un lado a las turbinas Pelton σR 0 como se acaba de indicar y por el otro a las denominadas turbinas de reacción pura σR 1 Las primeras serán estudiadas en el Capítulo 12 mientras que en el Anexo A1 se hace un breve análisis de las segundas sobre todo por su valor didáctico puesto que no tienen una clara utilización práctica en la actualidad Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Stepanoff AJ Centrifugal and axial flow pumps Wiley 1957 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 78 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 5 TEORÍA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 51 Hipótesis y objetivos de la teoría unidimensional La teoría unidimensional busca describir la relación que existe entre las condiciones globales de operación de la turbomáquina tales como la velocidad de giro el par o el caudal por ejemplo y las velocidades medias en la entrada y en la salida tanto del rotor y como de los álabes guías Se busca además la relación existente entre las variables anteriores con la forma y el tamaño de las zonas de paso del fluido mediante una teoría simplificada unidimensional basada en el concepto de velocidad media La velocidad media se obtendrá mediante un promediado sobre una región particular de la máquina considerada Las secciones transversales de paso se relacionan con la velocidad media por medio de la ecuación de continuidad Para resolver el problema y obtener las relaciones que se acaban de enunciar se necesitan distintas hipótesis simplificadoras que se describen a continuación HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS a La dirección de la velocidad media absoluta en la zona de álabes fijos se supone que coincide con la dirección de los mismos En el rotor será la dirección de la velocidad media relativa la que coincida con la dirección de los álabes Por lo tanto las superficies de corriente del flujo absoluto o del relativo son paralelas a las superficies de los álabes fijos o de los móviles respectivamente Esta hipótesis será tanto más cierta cuanto mayor sea el número de álabes de modo que puede decirse que la teoría unidimensional es la teoría correspondiente a un número de álabes infinito en la que el flujo relativo sigue exactamente la dirección que le marcan los álabes27 Las velocidades medias son estacionarias y no cambian con el tiempo b En el rotor de una turbomáquina y en otros elementos como pueden ser el distribuidor o el difusor si tienen también simetría de revolución los conductos de paso del fluido forman un volumen de revolución solo interrumpido por los álabes La teoría unidimensional considera que la velocidad es uniforme a lo largo de circunferencias concéntricas con el eje de giro con la excepción de donde estas circunferencias cortan a los álabes Como se expuso en el Capítulo 4 el vector velocidad se puede siempre descomponer por un lado en la velocidad meridiana contenida en el plano que pasa por el eje como es conocido la velocidad meridiana puede descomponerse en las componentes radial y 27 La denominación unidimensional proviene precisamente de lo que se expone el flujo relativo tiene lugar en una dirección determinada en general curvilínea 79 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles axial y por otro en la velocidad acimutal perpendicular a dicho plano véase la Figura 51 θ θ v e v e v e v e v v u r r x x u m 51 v v v v v r u m x r x x θ Rodete Canal de paso c Se toma también como hipótesis que la velocidad meridiana es uniforme en cada sección transversal de paso entendiendo como secciones de paso las perpendiculares a los planos meridianos y al vector velocidad meridiana d En cuanto a la velocidad acimutal se supone también uniforme en cada sección transversal de paso en máquinas radiales mientras que en máquinas axiales o mixtas esta teoría unidimensional sólo es aplicable a superficies cilíndricas coaxiales con el eje de giro y tan solo en rodetes con un número elevado de álabes OBJETIVOS Y REALIZACIÓN DE PREDISEÑOS Los objetivos que persigue la teoría unidimensional precisan de un desarrollo en varias etapas que a continuación se enuncian En primer lugar y utilizando la ecuación de continuidad se determina la distribución de velocidad meridiana en las secciones de entrada y de salida del rodete a partir del caudal que circula por el mismo y de la forma geométrica de las secciones de entrada y de salida A continuación se determina la velocidad acimutal en las secciones de entrada y de salida del rotor a partir de las condiciones de funcionamiento par o altura y velocidad de giro usando el Teorema de Euler y la distribución de velocidad meridiana antes hallada Por último se trata de establecer la relación entre el comportamiento general de la máquina esto es la variación de las propiedades del flujo entre la entrada y la salida con la forma de los álabes y de los conductos de paso tratando de establecer las limitaciones de la teoría unidimensional a distintos tipos de máquinas 52 Ecuación de continuidad Distribución de velocidad meridiana De acuerdo con la hipótesis de flujo unidimensional la velocidad meridiana es uniforme en cada sección transversal de paso y perpendicular a ésta de modo que la ecuación de continuidad aplicada a través del rodete indica que d d t m At At m v A S v S v n Q 52 Figura 51 Descomposición de la velocidad en sus componentes meridiana y acimutal en un rodete genérico de una turbomáquina 80 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Aplicando esta última expresión a las secciones de entrada y de salida de áreas transversales 1 y 2 t t A A respectivamente Figura 52 puede obtenerse la velocidad meridiana en estas secciones 2 2 1 1 t m t m A Q v A Q v 53 v v m m2 1 1 2 A A t t Rodete Carcasa Eje de modo que puede decirse en la práctica que la velocidad meridiana es la que produce caudal a través de la máquina DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD MERIDIANA RED DE CORRIENTE Puede darse un paso más y hallar la distribución de velocidad meridiana a través de la sección de paso del flujo bajo ciertas hipótesis De esta manera aún utilizando una teoría simplificada como es la unidimensional es posible avanzar en el prediseño del rodete Para determinar la distribución de velocidad en el interior del canal de paso es preciso utilizar la ecuación de continuidad en forma diferencial para un líquido dada por 0 v 54 Según las hipótesis realizadas ninguna de las componentes de la velocidad depende de la coordenada acimutal θ de modo que la ecuación anterior se puede escribir en coordenadas cilíndricas de la forma 0 1 x rv r rv r x r 55 Esta ecuación se cumple automáticamente introduciendo una función Ψxr que cumpla las condiciones siguientes r rv x rv x r Ψ Ψ 56 Las superficies en las que esta función Ψ denominada función de corriente es constante son superficies de corriente y además de revolución Conocer la función de corriente es equivalente a conocer las dos componentes de la velocidad según r y x y por tanto la velocidad meridiana Se puede fácilmente comprobar que la relación entre la velocidad meridiana y la función de corriente viene dada por 1 n r vm Ψ 57 donde n es la coordenada normal a la dirección de la corriente en cada punto El caudal y la función de corriente están relacionados entre sí puesto que Figura 52 Velocidad meridiana promediada en las secciones de entrada y de salida de un rodete centrífugo 81 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 d 2 d d 2 d d 2 d A B At At At At r x x x r r x rv r rv S v n Q Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ π π π π 58 donde ΨA y ΨB son los valores que la función de corriente toma en las dos líneas de corriente que delimitan el canal de paso del fluido en el plano meridiano En la expresión anterior se ha tomado la normal a la superficie de revolución dS 2πr ds como r x s e x s e r n d d d d véase la Figura 53a Dada una determinada geometría del canal de paso en una máquina dada y sabiendo el caudal que la atraviesa en una determinada condición el cálculo de la función de corriente o de la velocidad meridiana es un problema totalmente definido que puede resolverse por el método de dividir las secciones en un número finito de capas finas véase la Figura 53b y proceder de forma iterativa del modo siguiente 1 En la sección de entrada se suponen una serie de capas longitudinales de pequeño espesor n identificas por el subíndice i cada una de ellas con un caudal Qi Obviamente se cumple que i Qi Q Σ 59 Ψ Ψ j i b b v nij mj rij 1 2 n s A B δ δn rvm δ δn rvm1 2 Ψ Ψ a b Figura 53 a Elemento diferencial de superficie comprendido entre superficies de función de corriente constante b Esquema para la determinación de las líneas de corriente y de la distribución de velocidad meridiana 2 Se sitúan distintas secciones transversales perpendiculares a las líneas de corriente a lo largo del canal identificadas por el subíndice j en las que se supone uniforme la velocidad meridiana Se puede calcular entonces la velocidad meridiana en cada una de estas secciones de área Atj por t j m j A Q v 510 3 En cada sección transversal j y para cada capa longitudinal i se debe cumplir que B Ψ A Ψ ds n dr x d 82 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 i j j i i m j n r Q v π 511 de donde se puede hallar la distancia nij que en cada punto separan las líneas de corriente que definen cada una de las capas Se cumplirá naturalmente que la altura transversal del canal de paso en el plano es 2 m j j i i i i j i t j r v Q n b π Σ Σ 512 4 Obtenidas así las líneas de corriente se puede corregir la posición de las secciones transversales a lo largo del canal y modificar a su vez las velocidades meridianas calculadas en el punto 2 El proceso iterativo sigue hasta converger y fijar las líneas de corriente y la distribución de la velocidad meridiana en todo el canal Finalmente el resultado es una red de corriente formada por líneas de corriente longitudinales y por las secciones transversales correspondientes es decir por líneas perpendiculares en cada punto a las líneas de corriente que resultan ser líneas de potencial de velocidad constante El flujo así descrito es efectivamente irrotacional como se puede deducir del proceso de construcción de la red de corriente 53 Ecuación de Euler Distribución de velocidad acimutal Si el flujo a través de la sección de paso del rodete se adaptara a la descripción del campo fluido realizada en la red de corriente no se conseguiría ningún par resultante en el eje de la máquina hidráulica Como la Ecuación de Euler muestra es preciso la imposición de un salto de momento cinético a través del rodete para que exista un intercambio de energía neto a través del mismo De esta manera la distribución de velocidad acimutal se impone mediante la Ecuación de Euler con una cierta hipótesis La hipótesis más utilizada consiste en la suposición de uniformidad de salto energético a través del rodete entre cualquier punto de las secciones de entrada y de salida Si existen unos álabes fijos antes de la entrada al rodete el ángulo α que forma en el plano tangente a la superficie de corriente la velocidad absoluta con la dirección acimutal permite obtener a partir de la velocidad meridiana ya conocida y para un salto energético dado por gHt el módulo del vector velocidad y la componente acimutal mediante las relaciones siguientes véase la Figura 54 tan sen α α m u m v v v v 513 u v w v v α β u m Ωr Si no hay álabes fijos antes del rotor y se puede considerar que no hay prerrotación se cumple que α1 π2 y la velocidad acimutal absoluta es nula La dirección de los álabes del rotor en la entrada del mismo coincide con la dirección dada por la velocidad relativa y por Figura 54 Triángulo de velocidades típico en una turbomáquina hidráulica según la teoría ideal unidimensional 83 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles tanto el ángulo β entre la velocidad relativa y la dirección circunferencial en sentido de u están relacionados por cotan sen β β m u m v u v v w 514 Esta relación es válida también para el triángulo de velocidades en la salida del rotor donde se conoce la velocidad meridiana y la velocidad de arrastre u Ωr lo que significa que si el ángulo β es conocido es posible determinar las velocidades relativa y acimutal o bien si ésta última está determinada sería posible fijar el ángulo del álabe Por otra parte como la Ecuación de Euler relaciona las velocidades acimutales en la entrada y en la salida del rotor con la energía mecánica específica suministrada al fluido medida en altura teórica28 1 1 2 2 u u t u v u v gH 515 puede plantearse el análisis de la velocidad acimutal según los dos casos siguientes a La geometría del rotor ángulos β en la entrada y en la salida es conocida por lo que a partir de las condiciones en la entrada y en la salida pueden obtenerse las velocidades acimutales absolutas y mediante la Ecuación de Euler calcular la altura comunicada al fluido b La energía mecánica específica altura comunicada al fluido es conocida y las condiciones en la entrada también Suponiendo en este caso por ejemplo que no existen álabes guía y que no hay por lo tanto prerrotación puede obtenerse la velocidad acimutal absoluta y a partir de los triángulos de velocidades fijar en el rotor los ángulos β de entrada y de salida del álabe La determinación de las magnitudes citadas en puntos de la sección de paso del fluido distintos de la entrada o de la salida del rotor no es posible con la teoría unidimensional a menos que se conozca la variación de la altura comunicada a lo largo de la sección de paso a través del rotor o la forma de los álabes manteniendo las hipótesis unidimensionales a lo largo de todo el rodete Cabe indicar por otro lado que se ha recuperado el subíndice para la altura de Euler puesto que la teoría que se está desarrollando es válida estrictamente para un número de álabes infinito En el Capítulo 6 se verá cómo puede utilizarse también la Ecuación de Euler cuando el número de álabes es finito Si la sección de entrada del rotor no está a la misma distancia radial del eje de la máquina la velocidad de arrastre u y la componente acimutal vu variarán a lo largo de esta sección lo mismo puede decirse de la sección de salida del rotor Además los bordes de entrada y de salida no tienen porqué coincidir con secciones transversales normales a las superficies de corriente Estas dos razones pueden obligar a que se tenga que repetir la construcción de triángulos de velocidades para varias superficies de corriente a lo largo de las secciones de entrada y de salida 54 Teoría unidimensional para turbomáquinas axiales En rotores puramente axiales las superficies de corriente que deben considerarse son cilindros paralelos al eje de modo que las líneas de corriente en el plano meridiano son líneas paralelas al eje de rotación de la máquina Las condiciones del flujo relativo a los álabes se estudian desarrollando estas superficies cilíndricas de modo que los álabes 28 Se añade el subíndice porque se está suponiendo un número infinito de álabes 84 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas aparecen como una cascada de perfiles paralelos como se muestra en las Figuras 55 y 56 a desarrollar álabe superficie v w u u w v v v α β α β 2 2 2 2 a 1 1 a 1 1 Figura 55 Superficie de corriente concéntrica con el eje que se desarrolla en un rotor axial Figura 56 Desarrollo de la superficie cilíndrica paralela al eje de un rotor axial Triángulos de velocidades de entrada y de salida La ecuación de continuidad y la condición de paralelismo de las líneas de corriente llevan a que la velocidad meridiana sea igual en la entrada y en la salida A esta velocidad meridiana se la denominará velocidad axial 2 1 a m m v v v 516 Al ser cilíndricas las superficies de corriente la velocidad de arrastre u Ωr es igual en la entrada y en la salida de modo que los triángulos de velocidad pueden definirse como muestran las Figuras 56 y 57 u w w v v va vu vu vu vu 2 1 2 1 1 2 1 2 wu wu 1 2 Si se considera que el salto energético debe ser constante para todas las superficies concéntricas con el eje que se puedan definir la altura manométrica comunicada al fluido debe ser también constante para todas las secciones cilíndricas a través de rotor axial cte cte por lo que 1 2 1 2 u u u u t v r v v r v gH Ω 517 Si la energía está uniformemente distribuida en la entrada es decir rvu1 cte en muchas ocasiones vu1 es nula debe conseguirse que rvu2 cte lo que significa que los ángulos de salida de los álabes deben seguir una cierta ley con el radio cte cte tan Ω 2 Ω r rv r r v v u v a a u m β 518 Figura 57 Triángulos de velocidades en la entrada y en la salida de un rotor axial Obsérvese que la construcción de los triángulos sigue el procedimiento expuesto para máquinas radiales en el Capítulo 4 85 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Esta expresión se puede extender a álabes de forma general máquinas de flujo mixto Además de que la velocidad meridiana debe ser uniforme en la entrada la energía también debe estar uniformemente distribuida es decir rvu1 cte1 Para que en la salida también la energía esté uniformemente distribuida debe cumplirse que rvu2 cte2 Así la geometría del álabe tendrá que ser tal que las distribuciones de los ángulos en la salida y en la entrada estén dadas por en la salida cte en la entrada y tan cte tan 2 2 2 1 2 1 Ω Ω r rv r r rv r a a β β 519 55 Aplicación al estudio del comportamiento de una bomba centrífuga Como ejemplo de que la teoría unidimensional permite relacionar las características del diseño con el funcionamiento de la máquina se va a suponer una bomba sin prerrotación del flujo en la entrada del álabe por lo que vu1 0 de modo que la energía mecánica específica altura comunicada al fluido es por lo tanto cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 β α w u u u v u v gH u t 520 Puesto que w2 sen 2 β v2 sen α2 vm2 puede escribirse tan 1 2 2 2 2 2 β u v u gH m t 521 El cociente entre la velocidad meridiana y la velocidad periférica de arrastre es proporcional al parámetro de gasto QΩD3 a este cociente se le llamará q Por otro lado el cociente entre la altura comunicada y la velocidad de arrastre al cuadrado es salvo una constante lo que se había llamado coeficiente manométrico gHΩ2D2 Lo que se tiene por tanto es una expresión de la curva característica de la bomba para esta teoría unidimensional en función del ángulo geométrico de salida del álabe tan 1 2 2 2 β q u gH t 522 En las Figuras 58 y 59 se han representado esquemáticamente las curvas características ideales de una bomba para tres casos distintos en función del ángulo de salida del álabe β2 1 q gHt u2 2 οο β β β 2 2 2 π 2 π 2 π 2 q β β β 2 2 2 π 2 π 2 π 2 W ρ Ω3D 5 Figura 58 Coeficiente manométrico en función del caudal según el ángulo de salida de los álabes Figura 59 Coeficiente de potencia en función del caudal según el ángulo de salida de los álabes 86 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas En la Figura 58 se puede apreciar que si el ángulo de los álabes β2 es mayor que π2 álabes curvados hacia adelante la altura comunicada aumenta con el caudal Si el ángulo es recto la altura permanece constante y si es menor de π2 álabes curvados hacia atrás disminuye El primer tipo de los mencionados con pendiente positiva puede dar lugar a una operación inestable de la bomba por lo que se suele preferir los álabes curvados hacia atrás con valores de β2 comprendidos entre 15º y 35º aunque usualmente varían entre 20º y 25º El ángulo del álabe en la entrada suele tener una variación más amplia entre 15º y 50º Se ha visto que la elección del ángulo de salida del álabe β2 es fundamental en el diseño de una bomba centrífuga Por esa razón se analiza a continuación el comportamiento de la altura teórica y del grado de reacción en función de β2 El grado de reacción puede calcularse por 2 2 2 2 1 2 2 2 2 g u v g v v g v u u u R σ 523 habiéndose supuesto que no existe prerrotación en la entrada del rodete Si además por razones de simplicidad se hace la suposición que la velocidad meridiana se mantiene a través del rotor vm1 vm2 puede comprobarse que se obtiene 2 1 2 2 u vu R σ 524 pudiéndose calcular la velocidad vu2 mediante la relación vu2 u2 vm2tan β2 El valor máximo que puede alcanzar β2 se determina imponiendo que el grado de reacción sea nulo tan 0 2 2 2 u vm máx R β σ 525 mientras que el valor mínimo del mismo ángulo se calcula con la condición de altura teórica nula tan 0 2 2 2 u v H m mín t β 526 de modo que ambos valores corresponden lógicamente a ángulos suplementarios Para un valor de β2 90º vu2 u2 obteniéndose un grado de reacción igual a 05 Este valor es frecuentemente utilizado en el diseño de turbinas pero es poco usual en el caso de bombas Por otro lado puede sustituirse la relación 525 en la 521 obteniéndose el valor máximo de la altura teórica para el valor máximo de β2 2 2 2 g u H máx t 527 y de manera semejante el valor máximo del grado de reacción se obtiene sustituyendo el valor dado por 526 en 524 es decir para el valor mínimo del ángulo de salida del álabe se cumple que 1 σR máx 528 87 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En estas condiciones es posible representar las funciones 521 y 524 en función del ángulo β2 dando lugar a un gráfico muy utilizado en el diseño de bombas centrífugas Figura 510 2 ο 0º R σ u 180º 90º β 2 2 0 mín máx 0 1 05 gHt 2 ο 2 ο u gHt 2 ο R σ 1 Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Potter MC y Wiggert DC Mechanics of fluids PrenticeHall 1991 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Turton RK Principles of turbomachinery E FN Spon London 1984 Turton RKa Rotodynamic pump design Cambridge University Press 1994 Figura 510 Variación de la altura teórica y del grado de reacción en función del valor del ángulo de salida del álabe en una bomba centrífuga en la que se ha supuesto que no existe prerrotación y en la que la velocidad meridiana se mantiene uniforme en el rodete 88 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 6 TEORÍA BIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS RADIALES 61 Introducción Influencia del número de álabes La teoría unidimensional que se ha planteado en el Capítulo 5 toma como hipótesis de partida que el fluido sigue la dirección de los álabes en toda la anchura del canal de paso entre ellos por lo que la velocidad es la misma a lo largo de una circunferencia concéntrica con el eje En particular se ha supuesto que el ángulo de salida del flujo relativo es igual al geométrico del álabe Esto sería estrictamente cierto si el número de álabes fuera infinito y el flujo estuviera perfectamente guiado por ellos por esta razón a la altura comunicada al fluido dentro de esta teoría se le ha llamado teórica Ht La primera aproximación que puede hacerse a la realidad del complejo flujo existente en el interior de la turbomáquina es cuantificar el efecto del número finito de álabes Aunque se mantenga la hipótesis de flujo ideal y por tanto sin efecto de la viscosidad y sin ningún otro tipo de pérdidas es necesario considerar que la presión no permanece uniforme transversalmente en el canal entre álabes si lo hiciera no se podría comunicar un par al rotor29 por lo que la velocidad tampoco será uniforme en el canal Por esto la velocidad no será uniforme en la salida y la velocidad media no será la teórica con un número infinito de álabes de modo que se modifica el triángulo de velocidades en la salida respecto del triángulo correspondiente al caso de número infinito de álabes tal como se muestra en la Figura 61 En adelante se diferenciarán los valores corregidos bidimensionales de los unidimensionales mediante una prima De esta manera la componente acimutal de la velocidad absoluta pasa a ser 2 uv Además el ángulo de salida del flujo relativo al rodete no es el teórico definido por la geometría sino otro normalmente más pequeño 2 β Como se verá más adelante los métodos que proponen la corrección del flujo unidimensional para llegar al flujo bidimensional se basan en la determinación de la relación entre las componentes unidimensional y bidimensional de la componente acimutal de la velocidad 2 2 2 u u u v v v Para analizar estas desviaciones es preciso abandonar varias de las hipótesis unidimensionales que se efectuaron en el Capítulo 5 y plantear el movimiento en una superficie bidimensional de corriente Como los distintos tipos de rotores tienen particularidades diferentes siendo necesario introducir resultados semiempíricos conviene centrar la atención en un tipo simple de rotor por lo que en este capítulo se tratarán los rotores puramente radiales en los que la superficie de corriente es un plano perpendicular al eje dejando para el Capítulo 7 el estudio de los rotores axiales 29 Precisamente son las diferencias de presión entre las caras de presión y de succión de los álabes las que motivan la aparición de un momento resultante 89 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles u v w v v 2 2 2 u2 m2 β 2 v2 w2 β 2 Por otra parte el efecto del número finito de álabes es menos importante en turbinas radiales en las que el flujo es esencialmente centrípeto que en bombas ya que esta desviación de la teoría unidimensional es efectiva en la sección de salida y en las turbinas esta sección está situada donde los radios son más pequeños y los álabes está más próximos entre sí Esto conduce a centrar la atención en bombas centrífugas a las que fundamentalmente se refiere lo que sigue 62 Flujo a través del canal de paso en un rodete centrífugo 621 Ecuaciones del movimiento Se plantearán a continuación las ecuaciones del movimiento para un líquido en el canal entre álabes Se considerará un rodete centrífugo de altura del álabe constante para que el movimiento sea estrictamente bidimensional La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un líquido en ejes relativos al rodete puede ponerse en forma diferencial como sigue mf v w p w w w t w ρ 2 1 2 61 siendo mf el vector de fuerzas másicas en el que intervienen las fuerzas de gravedad y las fuerzas derivadas de la rotación del sistema de referencia con una velocidad de giro constante Ω w x g f m Ω Ω Ω 2 62 y que pueden ponerse como sigue 2 w x x g x fm Ω Ω Ω 63 Aunque el movimiento absoluto es claramente no estacionario el movimiento relativo es estacionario de modo que el término w t puede despreciarse Por otra parte se considera que el número de Reynolds es suficientemente alto como para despreciar el término viscoso w v En coordenadas cilíndricas ortogonales θe e e r x se tiene que r re x y xe Ω Ω véase la Figura 62 Puede ponerse entonces la ecuación de cantidad de movimiento como sigue 2 2 2 2 2 2 w w w r g x p w Ω Ω ρ ρ 64 donde g x p ρ es la presión reducida que incluye el efecto del campo gravitatorio no obstante por comodidad se denotará en adelante a la presión reducida simplemente por p Figura 61 Triángulo de velocidades en la salida del rodete con desviación angular del flujo por efecto de un número finito de álabes valores con prima y comparación con el unidimensional 90 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Puesto que la velocidad de arrastre es u Ωr puede sustituirse el término Ω2r22 por u22 en la expresión anterior que resulta w w w u p w Ω 2 2 2 2 2 ρ 65 622 Sistema de coordenadas intrínseco Para una mejor interpretación del movimiento resulta conveniente obtener las componentes de la ecuación anterior en los ejes intrínsecos s y n como se expuso en el Capítulo 4 s es una coordenada tangente en cada punto a la línea de corriente y n es la coordenada perpendicular dirigida desde el centro de curvatura de la línea de corriente hacia el punto considerado La relación entre estas coordenadas y las cilíndricas véase la Figura 62 puede ponerse como sigue θe e e e e r n s x 66 β β θ β β d sen d cos d cos d d sen d n s r n s r 67 β β θ cos sen w w w wr 68 O Ω es en er eθ β Línea de corriente Álabe Álabe Rc Centro de curvatura w ex ex wθ wr Introduciendo las relaciones anteriores en la Ecuación 65 se obtendrían las componentes s y n de la ecuación de cantidad de movimiento Otra alternativa es proyectar la Ecuación 65 sobre el eje s obteniendo s s s e w e w w e u p w Ω 2 2 2 2 2 ρ 69 de modo que puesto que son nulos los dos términos del segundo miembro productos escalares de vectores que son perpendiculares entre sí se obtiene lo siguiente 0 2 2 2 2 u p w s ρ 610 por lo que puede ponerse que Figura 62 Sistemas de referencia cilíndrico e intrínseco en un rodete centrífugo 91 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles cte 2 2 2 u w p ρ 611 siendo en general esta constante cte distinta para cada línea de corriente A este resultado ya se llegó en el Capítulo 4 con objeto de relacionar el salto de presiones a través del rodete con los campos de velocidad de entrada y de salida Proyectando la Ecuación 65 sobre la dirección normal n n n e w e w w e u p w Ω 2 2 2 2 2 ρ 612 de modo que se tiene que n n w w w n u u p n n w w 2 Ω ρ 613 Derivando la Ecuación 611 respecto de n suponiendo que cten 0 es decir que todas las líneas de corriente provienen de un mismo punto resulta 0 n u u p n n w w ρ 614 por lo que debe cumplirse lo siguiente 0 2 Ω n n w w w 615 Por un lado se tiene que la vorticidad de una partícula fluida en el movimiento relativo w puede demostrarse que es igual a x c w n e w R 30 siendo Rc el radio de curvatura de modo que se cumple n w w w R w w c n Por otro lado el término de Coriolis resulta w w n Ω Ω 2 2 de modo que sustituyendo todo lo anterior se tiene 0 2 Ω w n w R w w c 616 y entonces se cumple lo siguiente Ω Vorticidad 2 1 n w R w c 617 es decir se llega al resultado de que el giro como sólido rígido de una partícula fluida en el movimiento relativo que es la mitad de su vorticidad es igual y de sentido contrario a la velocidad de giro del rodete Ω Por otra parte retomando la Ecuación 613 ésta puede ponerse de la forma w n w w R w n u u p n n w w c Ω 2 2 ρ 618 30 Aunque se da como resultado se indica que puede llegarse a esta expresión calculando el rotacional de la velocidad a través de la circulación de la velocidad relativa entre dos líneas de corriente separadas un n a lo largo de un s de modo que los otros dos lados que cierran el dominio de la integral de línea serían s sn n y n ns s respectivamente Completando el procedimiento con algunas operaciones matemáticas se comprueba finalmente el resultado 92 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas y simplificando 0 2 2 2 2 Ω w R w u p n c ρ 619 623 Forma final de las ecuaciones y del perfil de velocidad relativa Las dos componentes de la ecuación de cantidad de movimiento para el movimiento relativo bidimensional son entonces las siguientes 0 2 2 s w w u p s ρ 620 0 2 2 2 2 Ω w R w u p n c ρ 621 Por otro lado la Ecuación 616 puede utilizarse para resolver el flujo relativo pues si se escribe de la forma d 2 d n R w w c Ω 622 puede integrarse el perfil de velocidad en una sección como la AB Figura 63 que corta ortogonalmente a las líneas de corriente Suponiendo un valor dado de la velocidad relativa w en A y un radio de curvatura Rcn puede integrarse el perfil de velocidad hasta B Por continuidad la integral n w n B A d 623 debe ser igual al caudal que pasa por el canal en el movimiento relativo Si no se cumple lo anterior se corrige el valor de w en A Se puede repetir esto en varias secciones y corregir a su vez la suposición de radios de curvatura Este método iterativo se puede incluso refinar añadiendo el cálculo de las líneas de corriente más allá del rotor hasta una zona en la que la velocidad sea ya uniforme Normalmente el efecto de la rotación domina sobre la curvatura de la línea de corriente de modo que la velocidad relativa en la cara convexa punto B es menor que en la cóncava A Esto también se aplica en los casos más usuales de ángulo del álabe β menor de 90º a dos puntos del mismo radio a ambos lados del álabe por la ecuación de Bernoulli la presión en la cara convexa punto C de la Figura 63 es mayor que en la cóncava31 punto D Esta diferencia de presión es necesaria para proporcionar un par al fluido en la bomba considerada es justamente lo contrario de lo que ocurre entre el extradós y el intradós de un perfil con curvatura En el borde de salida del álabe la presión de ambas caras se iguala y por tanto en teoría ideal se iguala la velocidad El ángulo de la corriente real no variará por lo tanto demasiado a lo largo del canal aunque sea diferente del geométrico del álabe Los métodos para calcular desde un punto de vista práctico esta desviación angular del triángulo de velocidad promediado en la salida del álabe se exponen en la sección siguiente 31 Obsérvese que la suma de las diferencias de presión en todos los álabes daría lugar a un par en sentido contrario al supuesto para la velocidad de giro como se está suponiendo que la máquina es una bomba el par que se confiere a través del motor debe ser igual y de sentido contrario al anterior para impulsar al fluido 93 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles O Ω Α Β Ε C D 63 Desviación angular del flujo en un rodete centrífugo Los métodos para obtener la corrección de la teoría unidimensional por este efecto de la desviación angular del flujo en la salida del álabe se pueden dividir en los tres tipos siguientes a Métodos basados en la rotación de la corriente relativa La corrección más conocida de este tipo es la debida a Aurel Stodola 18591942 b Métodos que parten del valor medio de la diferencia de presiones para calcular mediante la ecuación de Bernoulli la variación en la velocidad relativa a través del canal del álabe La corrección de este tipo más conocida es la de Carl Pfleiderer 18811960 c Métodos basados en el cálculo exacto del flujo utilizando la teoría bidimensional e irrotacional de un fluido sin viscosidad planteada en la sección anterior Volviendo al triángulo de velocidades en la salida del rotor de la Figura 61 por el Teorema de Euler puede evaluarse la energía mecánica específica comunicada al fluido para el caso de número de álabes finito que se denotará por HtN por similitud a la calculada mediante la teoría unidimensional Ht 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 u t u u u u u t N v u gH u v v u v u v u v gH 624 Las correcciones de Stodola y Pfleiderer suponen que 2 2 u vu χ aunque como se acaba de exponer ambas correcciones tienen un origen distinto En la Sección 64 se exponen las correcciones de Stodola Pfleiderer y Eck Se explica a continuación de forma breve el método c que resulta claramente diferente a los métodos a y b MÉTODO DE SOLUCIÓN DEL FLUJO BIDIMENSIONAL En cuanto al tercer tipo de los métodos mencionados consistente en solucionar el movimiento bidimensional e irrotacional del fluido en el sistema absoluto parte de descomponer el flujo en dos véase la Figura 64 El primer flujo consiste en el movimiento sin giro y por tanto irrotacional con un caudal correspondiente al caso que se quiere estudiar El segundo flujo consistiría en el movimiento en un rotor sin caudal neto de paso en el que el fluido por efecto del giro existe vorticidad en el sistema relativo adquiere un movimiento circular en el canal entre los álabes El movimiento total sería la suma de estos dos Existe una solución general para el caso de álabes radiales con forma de espirales logarítmicas en los que el ángulo que forma el álabe con la dirección circunferencial es constante debida a Busemann pero cae fuera de los límites de este texto Figura 63 Integración transversal al canal de paso del campo de velocidad relativa en un rodete centrífugo 94 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Figura 64 Descomposición del movimiento relativo a través de un rotor girando 64 Correcciones de la teoría unidimensional Stodola Pfleiderer y Eck 641 Corrección de Stodola La corrección de Stodola esta relacionada con la diferencia de velocidades en dirección transversal al canal Figura 63 La distancia entre A y B es aproximadamente sen 2 2 2 β π N r d AB 625 siendo N el número de álabes Si se integra la ecuación diferencial para w que se ha planteado anteriormente Ecuación 622 entre A y B suponiendo un radio de curvatura infinito resulta 2 AB B A d w w Ω 626 por lo que se puede poner téngase en cuenta que sen 2 β N dAB2πr2 4 sen 2 1 2 2 2 2 B A AB u w w d r N u v Ω Ω ε ε β ε π χ 627 Por tanto el factor χ de Stodola sen β2 ε π χ N 628 depende del número de álabes del ángulo de salida del álabe y del factor ε Este último factor debe determinarse de forma experimental los valores propuestos por Stodola pueden observarse en la Tabla 61 a su vez en función del número de álabes y del ángulo de salida del álabe razón por la que en alguna ocasión será preciso iterar cuanto se emplea la corrección de Stodola en el prediseño de una bomba FACTOR ε DE LA CORRECCIÓN DE STODOLA β2 20º β2 30º β2 40º β2 60º β2 90º N 4 a 8 110 090 075 060 055 N 8 a 16 115 100 085 070 065 Tabla 61 Factor ε Ecuación 629 de la corrección de Stodola La corrección de Stodola lleva a establecer la relación entre la altura comunicada al fluido con un número finito de álabes y la correspondiente a un número infinito esta relación está dada por 95 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sen 2 2 2 β π u ε N gH gH t t N 629 de modo que gHtN es una línea paralela a gHt en la gráfica de actuaciones ideales de la bomba en función del caudal La línea gHtN está por debajo de la gHt siendo la distancia entre ambas independiente del caudal como se deduce de la Ecuación 629 642 Corrección de Pfleiderer El modo de llegar a la corrección de Pfleiderer es un tanto más complejo Supóngase que se tienen álabes radiales de altura b con una diferencia de presión p entre sus caras de presión y de succión por lo que el conjunto de todos los álabes comunicarían respectivamente un par y una potencia 2 d 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 t N m t N r r gH r bv QgH T W r Nb p r br p r N T ρ π ρ Ω 630 Operando con las dos expresiones anteriores se obtiene que la diferencia de presión media a través del canal resulta 4 2 1 2 2 2 2 r r r v N gH p m t N Ω π ρ 631 A su vez la diferencia de presión media a través del canal se puede relacionar mediante la ecuación de Bernoulli con las velocidades en ambos lados del canal Figura 63 Si se considera que la velocidad relativa w2 es la media de las velocidades en ambos lados del canal puede ponerse 2 2 2 2 2 2 2 2 w w w w w w w w w w w w p A E A E A E A E A ρ 632 La desviación de la velocidad de salida vu2 χu2 es función de wA w2 y de β2 por lo que incluyendo un coeficiente corrector k función de β2 se obtiene sen 2 sen 2 2 2 2 2 2 2 β ρ β β β χ w p k w w k u A 633 Si se sustituye en esta última ecuación la diferencia de presión media que se ha estimado antes y haciendo uso de datos empíricos para el coeficiente corrector se llega a la corrección propuesta por Pfleiderer 1 2 2 2 1 2 2 r r N u gH t N ψ χ 634 con el factor de Pfleiderer ψ 055 065 06 sen β2 061 sen β2 Como en el caso de la corrección de Stodola es posible relacionar en la corrección de Pfleiderer las alturas correspondientes a un número finito y a un número infinito de álabes del modo siguiente 2 2 u gH gH t t N χ 635 y sustituyendo en esta ecuación la 634 se obtiene 96 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 2 1 2 2 1 r r N gH gH t N t ψ 636 Puede observarse que ahora las alturas gHt y gHtN son líneas de distintas pendiente 643 Coeficiente de disminución de trabajo Corrección de Eck En la práctica puesto que en muchos casos no existe prerrotación en bombas o puede despreciarse por ser pequeña la componente acimutal de la velocidad absoluta en la entrada del rodete puede definirse el denominado coeficiente de disminución de trabajo que se denotará por µ a partir del cociente entre la altura teórica con número finito de álabes y la altura teórica con número infinito de álabes 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 u u u u u u t t N v v v u v u v u v u gH gH µ 637 de modo que si se conocen valores para este coeficiente estos valores deben ser experimentales y dependerán en general del tipo de bomba puede efectuarse una corrección por desviación de flujo rápida aunque muy aproximada Nekrasov aconseja los valores que aparecen en la Tabla 62 para el coeficiente de disminución de trabajo en función únicamente del número de álabes COEFICIENTE DE DISMINUCIÓN DE TRABAJO N 4 6 8 10 12 16 24 µ 0624 0714 0768 0806 0834 0870 0908 Tabla 62 Coeficiente de disminución de trabajo para bombas centrífugas Eck ha propuesto los siguientes valores del coeficiente de trabajo en función del número de álabes y también de β2 sen 1 β2 π µ N 638 para r1 r2 pequeños y sen 3 4 1 β2 π µ N 639 para 50 2 1 r r Cabe indicar que con el coeficiente de disminución de trabajo se está efectuando una corrección del tipo de la propuesta por Pfleiderer DESVIACIÓN DEL FLUJO EN TURBINAS Como se ha indicado anteriormente la desviación del flujo unidimensional es menos importante en el caso de turbinas que en el caso de bombas No obstante puede decirse que en el caso de turbinas radiales tipo Francis puesto que normalmente en el diseño se impone la condición de no existencia de momento cinético en la salida del rodete se comprueba experimentalmente que la desviación respecto de esta suposición se traduce en un momento cinético en la salida del orden del 10 respecto del momento cinético en la entrada del rodete 97 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Bibliografía consultada Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Nekrasov B Hidráulica Mir Moscú 1968 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Stepanoff AJ Centrifugal and axial flow pumps Wiley 1957 Turton RK Principles of turbomachinery E FN Spon London 1984 98 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 7 TEORÍA BIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS AXIALES 71 Hipótesis de la teoría bidimensional de turbomáquinas axiales Una máquina axial típica como la que se muestra de forma esquemática en la Figura 71 tiene la estructura de un eje central cuya dirección es la que sigue principalmente la corriente al atravesar la máquina y de una o varias cascadas de álabes algunas fijas estátores como las correspondientes al distribuidor de entrada o al difusor de salida en la figura y otras móviles rotores que giran solidariamente con el eje La complejidad de este esquema puede variar desde un único rotor sin ningún estátor hasta varias etapas o escalones de conjuntos rotorestátor Cuando ocurre esto último normalmente se estudia y determina el comportamiento de cada etapa o escalón rotorestátor Rotor Distribuidor Difusor Carcasa Superficie de corriente Eje v vu x El movimiento del fluido en turbomáquinas axiales puede simplificarse si se considera que las partículas fluidas se mueven en superficies de corriente cilíndricas y que no modifican por lo tanto su distancia al eje El campo de velocidades se reduce a las componentes axial y circunferencial pues la componente radial se supone nula en cualquier punto Esta hipótesis es suficientemente aproximada siempre que la máquina esté funcionando cerca de su punto de diseño habiéndose realizado este diseño tratando de obtener normalmente un intercambio de energía mecánica específica uniforme para todas las superficies de corriente Se supondrá que en cada superficie de corriente cilíndrica coaxial el flujo relativo está perfectamente guiado por los álabes De esta manera se adopta el enfoque unidimensional El análisis del comportamiento de la turbomáquina puede hacerse estudiando distintas superficies cilíndricas desde la raíz a la punta de los álabes como se verá en las siguientes secciones A lo largo de la coordenada radial la forma de los triángulos de velocidad variará por el hecho de variar de un lado la velocidad de arrastre y de otro por la torsión de los álabes El flujo total obtenido es entonces bidimensional aunque se considere guiado o Figura 71 Elementos típicos de una turbomáquina axial pura compuesta por un único rodete difusor y distribuidor 99 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles unidimensional en cada superficie de corriente cilíndrica Se puede concluir que el carácter bidimensional del flujo en las máquinas axiales que se supone en este texto es diferente al de las máquinas radiales en estas últimas el flujo en las superficies de corriente perpendiculares al eje se suponía invariable con la coordenada axial pudiéndose calcular la desviación angular del flujo mediante alguna de las teorías de flujo bidimensional como las de Stodola o Pfleiderer Si la superficie de corriente cilíndrica se desarrolla en un plano se tiene el flujo a través de una cascada de álabes fija o móvil Para que el movimiento a través de una cascada sea estacionario se debe estudiar en velocidades absolutas en el caso de una cascada fija o en velocidades relativas para el caso de los rotores La velocidad acimutal entre un caso y otro se diferenciará en la de arrastre u Ωr pero la forma final de las ecuaciones de conservación es igual pues en el sistema relativo móvil las fuerzas de inercia centrífuga y de Coriolis que intervienen y que no lo hacen en el caso de tomar un sistema de referencia fijo son perpendiculares a la superficie de corriente considerada razón por la que no realizan trabajo no cambiando entonces el balance de energía intercambiada 72 Flujo ideal en una cascada de álabes fija Si el flujo atraviesa una cascada fija el movimiento en el plano obtenido al desarrollar la superficie de corriente cilíndrica tiene unos triángulos de velocidad como los que se representan esquemáticamente en la Figura 7232 Se supone que el flujo está completamente guiado por los álabes de modo que como se ha indicado más arriba los triángulos de velocidades serían para cada superficie cilíndrica de corriente unidimensionales Por continuidad vx1 vx2 va siendo va la velocidad axial La circulación de la velocidad d Γ L l v 71 a lo largo de la línea cerrada L formada por las líneas de corriente medias y los tramos circunferenciales por delante y por detrás del álabe véase la Figura 72 resulta 2 2 1 2 1 u u u u v t v v v N r Γ π 72 donde t es el espaciado o paso entre los álabes y r el radio de la superficie de corriente considerada Si al volumen definido por la línea cerrada L se aplica la ecuación de conservación de la cantidad del movimiento en forma integral se obtiene la fuerza que sobre el álabe ejerce el fluido contenido en esta superficie de corriente de espesor diferencial 2 1 2 1 u u u a x e v v t v p e t p F ρ 73 Manteniendo la hipótesis de fluido ideal puede utilizarse la ecuación de Bernoulli esta ecuación relaciona el salto de presiones con el de velocidades 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 v p v p ρ ρ 74 luego se tiene que 32 En esta figura α es el ángulo entre la línea de referencia del perfil sobre la que se mide la cuerda l y la dirección acimutal Este ángulo se conoce como ángulo de calado o de inclinación 100 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 u u u u u u v v v v v v p p ρ ρ 75 Las componentes axial y circunferencial de la fuerza sobre el álabe se obtienen combinando las Ecuaciones 73 y 75 2 2 1 u a u u u u x v v t F v t v v F ρ ρ 76 donde 1 2 u u u v v v v vu v 1 2 1 t l α α 1 vx1 αF Volumen de control F Fu Fx αF vx2 vu2 α2 οο v Puede obtenerse ahora el módulo y la dirección de la fuerza F La dirección se fija con el ángulo αF que forma la fuerza con el eje de la máquina tg 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 1 2 2 1 4 1 2 2 1 2 2 u u a x u F u u a u u u a x u v v v F F v v v v t v v v F F F Γ α ρ ρ 77 721 Conceptos sobre la teoría del álabe aislado Considérese el perfil aerodinámico de la Figura 73 que puede suponerse con luz infinita es decir sin bordes que generen efectos tridimensionales El fluido incide sobre el perfil con una velocidad v formando un cierto ángulo de ataque αa con respecto de la llamada línea de sustentación nula En un perfil simétrico la dirección de sustentación nula es el eje de simetría pero en general esta dirección dependerá de la forma del perfil Suponiendo que el flujo es perfectamente ideal si el ángulo de ataque es nulo el fluido no ejerce fuerza alguna sobre el perfil Puede comprobarse en este caso que no existe circulación de la velocidad alrededor del perfil El flujo que partiendo del reposo v 0 era inicialmente potencial se mantiene entonces potencial Sin embargo si la corriente fluida llega al perfil con un cierto ángulo de ataque respecto de la dirección de sustentación nula se genera una circulación del flujo alrededor del perfil que según la teoría ideal de KuttaJoukowski induce una fuerza en dirección perpendicular Figura 72 Esquema del flujo a través de una cascada de álabes fija 101 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles a la corriente incidente dada por Γ v FL ρ el subíndice L proviene del inglés lift sustentación siendo Γ la circulación de la velocidad alrededor del perfil Por tanto FD 0 y F FL El flujo sigue siendo globalmente potencial pero en este caso la circulación Γ generada sobre el perfil se equilibra con la circulación en sentido contrario Γ generada en el remolino desprendido desde el borde de salida del perfil v Línea de sustentación nula oo α a Línea de referencia l Cuerda FL FD F En flujo ideal la acción del fluido sobre el perfil se debe a las fuerzas de presión de modo que la resultante de las fuerzas de presión sobre el intradós del perfil es mayor que la correspondiente sobre el extradós del perfil Si se tiene en cuenta el efecto de las fuerzas viscosas sobre el perfil entonces la fuerza en dirección de la corriente incidente FD no es nula Aunque en general en un perfil aerodinámico FL debe ser considerablemente mayor que FD en algunos casos la fuerza de resistencia o pérdida FD el subíndice D proviene del inglés drag puede llegar a ser importante Para evaluar el comportamiento del perfil suelen definirse los coeficientes de sustentación v l F C L L 2 2 ρ y de resistencia v l F C D D 2 2 ρ Los valores que toman estos coeficientes para cada perfil dependen fundamentalmente del ángulo de ataque αa 722 Teorema de KuttaJoukowski para una cascada de álabes La circulación del fluido alrededor de un perfil en el seno de una cascada de álabes viene dada por la relación cinemática 72 Además la aplicación de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento ha proporcionado las relaciones dadas por la Ecuación 77 De esta manera puede establecerse la teoría ideal de KuttaJoukowski para un álabe inserto en una cascada de álabes a partir de las relaciones para el álabe aislado dadas en la sección anterior La velocidad en el infinito v es la suma vectorial de la velocidad axial y de una velocidad acimutal vu media de las velocidades acimutales antes y después de la cascada véase la Figura 74 por lo que puede ponerse tan con 2 1 2 1 2 1 2 1 u a u u a u u u u u x a v v v v v v v v e v v e v α 78 Por ser la fuerza resultante F perpendicular a v con flujo ideal lógicamente debe cumplirse que el ángulo α de la Figura 74 es igual al αF definido en la Figura 72 Por supuesto en general α no coincide con el ángulo de calado α α pudiéndose denominar ángulo de incidencia a la diferencia entre ambos Para cada perfil y en función Figura 73 Ángulo de ataque del perfil aislado basado en la línea de sustentación nula 102 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas de la definición que se haga del ángulo de ataque este ángulo de incidencia está relacionado o puede coincidir con el mismo ángulo de ataque Más adelante se explica con más detalle este extremo El coeficiente de sustentación para un perfil en el seno de una cascada es entonces 2 2 2 1 l t v v v l F C v v t F F u L L u L ρ ρ 79 donde l es la cuerda del perfil Figuras 72 y 73 Las expresiones 78 y 79 constituyen la teoría de KuttaJoukowski para una cascada de álabes Cuando la separación entre álabes tiende a ser muy grande manteniendo la circulación alrededor del perfil constante las diferencias entre las componentes acimutales de velocidad se aproximan a cero resultando entonces la teoría del perfil aislado vu v v v va vu vu α α α 1 2 2 1 2 1 οο οο Se ha llegado por tanto a relacionar el efecto de la cascada de álabes fija consistente en una variación de la velocidad acimutal del flujo sobre el coeficiente de sustentación del perfil del álabe Este coeficiente para un perfil aislado es sólo función del ángulo de ataque αa que es normalmente el ángulo que forma la dirección de la corriente incidente en el infinito con la dirección de sustentación nula como se visto anteriormente véase la Figura 7333 Lógicamente el comportamiento del perfil situado en el seno de una cascada es diferente y el valor del coeficiente de sustentación será distinto al correspondiente al perfil aislado la determinación de su valor es un problema de cálculo complejo del que existen unas pocas soluciones analíticas Entre ellas se verá en la siguiente sección la de Weining Por último la consideración de las pérdidas que se producen en un caso real hace que las relaciones que se han determinado deban cambiar Como se ha explicado antes es preciso retener la presencia de una fuerza de arrastre o resistencia FD esto se tratará más detenidamente en el Capítulo 8 723 Solución teórica de Weining para una cascada de placas planas En el caso de un perfil aislado subíndice 0 en adelante la teoría del flujo potencial sin circulación indica que la fuerza sobre el perfil tal como se ha indicado anteriormente es Γ v F ρ 0 710 siendo la circulación 33 Una definición alternativa del ángulo de ataque sería la correspondiente al ángulo comprendido entre la línea de referencia del perfil que une los extremos del mismo y sobre la que se define la cuerda y la dirección de la velocidad incidente Con esta definición αa es directamente la diferencia entre α y α y generalmente forma un ángulo negativo α0 con la línea de sustentación nula entre 0 y 4º en la mayoría de perfiles Figura 74 Triángulos de velocidad en una cascada de álabes fija 103 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sen cte a v l α Γ 711 donde la constante cte depende de la forma del perfil Como se ha explicado esta fuerza es perpendicular a la dirección de la corriente incidente en régimen ideal En el caso de una placa plana puede comprobarse que la constante es igual a π de modo que el coeficiente de sustentación es sen 2 2 2 1 0 0 a L L lv F C α π ρ 712 existiendo una solución teórica para el coeficiente de sustentación CL del perfil en una cascada de álabes debida a Weining que proporciona un coeficiente de corrección CLCL0 como función k de la relación entre el paso entre los perfiles t la cuerda del perfil l y el ángulo de calado α Figuras 75 y 76 sen 2 de donde 0 a L L L k C l k t C C α π α 713 t l α v o o a α k t l α 1 Figura 75 Cascada de placas planas para la solución teórica de Weining Figura 76 Esquema del diagrama de Weining para la función k correspondiente a la cascada de placas planas de la Figura 75 724 Consideraciones sobre el flujo bidimensional a través de una cascada En general para perfiles de curvatura y espesor cualquiera puede deducirse por análisis dimensional que el coeficiente de sustentación resulta a L L t l C C α α de modo que debe obtenerse bien experimentalmente bien mediante métodos computacionales complejos para resolver el flujo Se puede afirmar no obstante que para valores del paso relativamente pequeños número de álabes N muy grande la dirección de salida del flujo es casi independiente de la velocidad incidente obteniéndose un efecto director del flujo muy acusado y cercano al predicho por la teoría unidimensional es decir el flujo relativo a través de cada una de las superficies de corriente está determinado por la dirección de los álabes en dicha superficie cilíndrica En el caso de una cascada de placas planas esto se traduciría en que la velocidad de salida sería la de inclinación de las placas α α 2 lo que significa que sen 1 2 α π l t k 714 104 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas que se corresponde con las rectas que parten del origen variando α en la solución de Weining Figura 76 apartándose la solución general de esta aproximación a medida que el paso relativo tl es mayor A medida que tl aumenta el número de álabes disminuye y baja por tanto el efecto de guiado existiendo de este modo un movimiento en general bidimensional en cada superficie de corriente considerada No existe sin embargo una teoría general simplificada del tipo de la Pfleiderer o Stodola que sea aplicable a las turbomáquinas axiales para poder calcular la desviación angular del flujo respecto de la teoría unidimensional para cada superficie cilíndrica de corriente que se quiera considerar 73 Flujo ideal a través de una cascada de álabes móvil Se desea analizar ahora el movimiento relativo entre los álabes de una cascada móvil por lo que es necesario formar los triángulos de velocidades añadiendo a la velocidad acimutal la de arrastre como se muestra en la Figura 77 en el caso del elemento móvil el rotor w v3 t l β α 1 va Volumen de control F D FL va vu α3 ο ο v 3 va v2 α2 u 1 v1 α 1 u va β2 2 α w2 v2 οο β F α β ο Estátor Rotor Figura 77 Triángulos de velocidades en una cascada de álabes móvil rotor y en una cascada de álabes fija estátor En esta figura se ha dibujado una componente FD de la fuerza F que aparecería en el caso de considerar flujo con pérdidas En este capítulo se considera flujo ideal de modo que FD 0 y F FL resultando esta fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad incidente desde el infinito Se considerará el flujo real con FD 0 en el Capítulo 9 Como ya se ha explicado anteriormente el hecho de plantear el problema en un sistema relativo no modifica las ecuaciones ya que las fuerzas de inercia no afectan al movimiento bidimensional Serán válidas todas las relaciones obtenidas hasta ahora w 105 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sustituyendo por supuesto la velocidad absoluta por la relativa a excepción de la componente axial que no es necesario modificar La circulación de la velocidad relativa en torno al álabe puede ponerse como sigue 2 d 2 1 2 1 u u u u L w w N r e w e w t l w Γ π 715 expresión que arroja una circulación negativa es decir en sentido contrario al antihorario acordado como positivo en este texto puesto que u u e w w e 2 1 La última igualdad de la ecuación anterior es cierta porque u u w e w 1 1 y u u e w w 2 2 según la notación seguida En cualquier caso la circulación puede plantearse también en términos de la velocidad absoluta puesto que se cumple que u u v w esto puede demostrarse simplemente observando los triángulos de velocidades34 La diferencia de presión puede ponerse 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 u u u u u w w w w w p p ρ ρ 716 y las componentes de la fuerza 2 2 1 u a u u u u x w v t F w t w w F ρ ρ 717 con wu wu2 wu1 La velocidad incidente es con 2 1 2 1 u u u u u a x w w w e w v e w 718 de modo que puede expresarse la fuerza sobre el perfil como sigue u L w t w F F ρ 719 y el coeficiente de sustentación 2 2 2 1 l t w w w l F C u L L ρ 720 En el rodete el coeficiente de sustentación del álabe se relaciona directamente con el salto energético a través del mismo Puesto que la Ecuación de Euler proporciona la energía mecánica específica comunicada del modo siguiente 4 2 π C w lN tl u C w w u v u gH L L u u t Ω 721 es necesario resolver el flujo calculando la modificación de la componente acimutal para poder evaluar el valor de gHt en función del coeficiente de sustentación del álabe 74 Flujo ideal en un escalón rotorestátor Grado de reacción En muchos casos las máquinas axiales están formadas por uno o más conjuntos rotor estátor Al atravesar el fluido un conjunto rotorestátor los triángulos de velocidades toman la forma que se muestra en la Figura 77 34 Según el criterio seguido a lo largo del texto u vu wu luego se cumple que vu wu siendo lógicamente iguales en valor absoluto 106 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Para llegar a expresiones suficientemente simplificadas se seguirá suponiendo en esta sección que el flujo es ideal es decir que las pérdidas hidráulicas internas son despreciables Aplicando la ecuación de Bernoulli en el movimiento relativo Ecuación 421 la diferencia de presión entre la entrada y la salida del rotor puede ponerse 2 2 2 1 2 1 1 2 w w p p ρ 722 A través del estátor la diferencia de presión es 2 3 2 2 2 1 2 3 v v p p ρ 723 La diferencia de presión total a través del conjunto rotorestátor puede expresarse mediante un coeficiente de presión definido por 2 1 3 u p p P ρ ψ 724 Por otro lado el coeficiente de velocidad puede definirse por u φ va 725 La función del estátor situado tras el rotor es recuperar energía de presión a costa de energía cinética es decir maximizar el coeficiente de presión y dejar el flujo con una dirección semejante a la de entrada Puede suponerse por tanto que α1 α3 lo que significa que v1 v3 El aumento de energía mecánica específica total se debe en este caso únicamente a la diferencia de presión como se demuestra a continuación 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 1 3 u u u u w w v v w w v v p p p p p p ρ ρ 726 de modo que 1 2 1 3 u u u u v v u v p p ρ ρ 727 lo que significa que el coeficiente de presión se puede poner en función de los ángulos de la velocidad absoluta antes y después del rotor cotan cotan 1 2 α α ψ u v u v a u P 728 Si además se utiliza la relación obtenida del triángulo de velocidades cotan cotan 2 2 α β av u 729 resulta una relación entre el coeficiente de presión y el de velocidad de la forma35 cotan cotan 1 2 1 β α φ ψ P 730 expresión que puede entenderse como un conjunto de curvas características semejantes a las ideales para máquinas radiales y que se representan esquemáticamente en la Figura 78 Para cotan α1 cotan β2 0 el funcionamiento es estable y para cotan α1 cotan β2 0 el funcionamiento llega a ser inestable Existe por tanto una cierta analogía con la 35 Téngase en cuenta que la Ecuación 730 sólo es válida si se cumple la condición expuesta anteriormente α1 α3 107 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles condición de estabilidad de una bomba centrífuga en función del valor del ángulo β2 en la salida del rodete ψ φ α β cotan 1 cotan 2 α β cotan 1 cotan 2 α β cotan 1 cotan 2 α β cotan 1 cotan 2 0 05 05 1 1 GRADO DE REACCIÓN Manteniendo la suposición de flujo ideal ya se vio en el Capítulo 4 que podía llegarse a una expresión simplificada de carácter cinemático Ahora una vez definidos w wu y β puede ponerse cotan 2 2 2 2 1 1 2 β ρ σ u v u w u v w w gH p p a u u t R 731 Teniendo en cuenta que 2 cotan cotan cotan 2 1 β β β y empleando la relación 729 entre α y β se puede llegar a la siguiente expresión del grado de reacción 2 cotan cotan 2 1 2 1 β α σ u va R 732 Un objetivo muy común en el diseño del rotor o al menos de su sección media ya que los triángulos de velocidad y el grado de reacción varían en general a lo largo del mismo es que se cumpla que los triángulos sean simétricos con respecto al eje velocidad axial esto es β1 α2 y β2 α1 con lo que el grado de reacción es 05 Con las suposiciones realizadas puede comprobarse que los triángulos así obtenidos son efectivamente simétricos de modo que los módulos de las distintas componentes de velocidad coinciden en la entrada y en la salida Debe recordarse que la expresión 732 es estrictamente válida para flujo ideal 75 Equilibrio radial en una turbomáquina axial Ecuación fundamental del álabe La teoría que se ha desarrollado consiste en suponer que el flujo tiene lugar en superficies cilíndricas coaxiales en las que el movimiento está guiado por los álabes como se expuso en la Sección 71 El flujo así supuesto es similar en cuantas superficies de corriente coaxiales se consideren Es decir tanto en álabes fijos como móviles el comportamiento del flujo es parecido desde la raíz a la punta del álabe aunque las componentes de la velocidad lógicamente varíen El flujo es estrictamente bidimensional puesto que sólo pueden existir componentes axiales y acimutales de velocidad Para que esta hipótesis sea cierta es preciso imponer una cierta condición de equilibrio en dirección radial Como se verá a continuación la consideración de uniformidad transversal de energía es la más empleada en el diseño Esta condición lleva a que no existan desequilibrios radiales de energía que provocarían la aparición de un campo de velocidad radial lo que a su vez invalidaría la suposición de flujo estrictamente bidimensional Figura 78 Relación ideal entre el coeficiente de presión y el de velocidad en varios casos para una turbomáquina axial 108 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas El flujo del fluido al salir del rotor deberá cumplir la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento que en el movimiento absoluto y en dirección radial sistema de ejes cilíndrico ortogonal puede ponerse r m r u r x r u r r F r p f r v x v v v r v r v v 2 τ ρ θ ρ 733 siendo fmr la componente radial de las fuerzas másicas solo intervienen las fuerzas gravitatorias en el movimiento absoluto de modo que se pueden agrupar en el término de presión y Fτr la componente radial de la fuerza ejercida por los efectos viscosos que puede suponerse despreciable consiguiendo así una mayor simplicidad Puesto que la componente radial de velocidad vr es nula existiendo además simetría en dirección acimutal la Ecuación 733 resulta simplemente como sigue 2 r v r p ρ u 734 Si se quiere que la energía mecánica comunicada también sea uniforme para todas las superficies de corriente36 se tiene que 0 2 2 2 2 2 2 u a v v p r v p r ρ ρ 735 por lo que al sustituir el gradiente radial de presión dado por la Ecuación 734 se obtiene la siguiente condición cinemática 0 2 r v v r v v r v a a u u u 736 Si previamente en las cascadas de álabes la velocidad axial era uniforme en dirección radial y se quiere mantener la hipótesis de movimiento bidimensional por continuidad en la salida será también uniforme radialmente la velocidad axial lo que significa que 0 1 r rv r r v r v u u u 737 En consecuencia el flujo que sale de la máquina axial debe tener una distribución de velocidad acimutal que cumpla que rvu cte es decir un momento cinético uniforme formando lo que se denomina torbellino libre siendo una consideración importante en el análisis de las distintas superficies de corriente del álabe Puede comprobarse mediante la Ecuación de Euler37 que para que se cumpla la uniformidad de momento cinético es necesario que CLlw se mantenga constante para cada superficie de corriente considerada es decir constante con el radio r a lo largo del álabe como w aumenta con r lo que se hace normalmente es disminuir tanto CL disminuyendo el ángulo de ataque de la corriente sobre el álabe es decir torsionando el álabe gradualmente con el radio como la cuerda l esta es la razón por la que la mayoría de los álabes son más anchos en la raíz que en la punta La condición consistente en que CLlw constante radialmente a lo largo del álabe constituye una ecuación de diseño para el mismo por lo que se la conoce como ecuación fundamental del álabe 36 Por tanto se impone la uniformidad de la altura calculada con la Ecuación de Euler 37 La Ecuación 721 puede ponerse por 4gπΩNHt CLlw 109 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Esta condición de uniformidad de momento cinético no es la única posibilidad Por ejemplo la condición de vórtice o torbellino forzado se consigue por vur cte y de modo general vurn cte En un movimiento plano la condición de torbellino forzado simula el flujo del fluido rotando en torno al eje de la turbomáquina como un sólido rígido En general distribuciones de velocidad acimutal diferentes a la correspondiente a torbellino libre conducen a que la velocidad axial deja de ser uniforme o a distribuciones de energía mecánica específica no uniformes lo que puede repercutir en condiciones de funcionamiento no estables Si por ejemplo se impone la condición de que la altura comunicada por la Ecuación de Euler sea uniforme pero sin obligar a que la velocidad axial lo sea también el caudal total que atraviesa el rotor debe calcularse mediante una integración punta raíz d 2 r r a r r r v Q π 738 Si por el contrario se impone la uniformidad de la velocidad axial pero no así la uniformidad de la energía mecánica intercambiada la altura de Euler media t H se debe encontrar mediante una integración a lo largo de todo el álabe d 2 punta raíz 2 raíz 2 punta r r t t H r r r H r r π π 739 Bibliografía consultada Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Crespo A Mecánica de Fluidos Thomson 2006 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Turton RK Principles of turbomachinery E FN Spon London 1984 Turton RKa Rotodynamic pump design Cambridge University Press 1994 110 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE II Problema II1 RESUELTO En las bridas de entrada y de salida de una bomba centrífuga ΩS 06 se han medido las presiones relativas pe 04 m ca y ps 20 m ca respectivamente Los correspondientes diámetros de las tuberías son De 50 mm y Ds 40 mm Los diámetros interior y exterior del rodete son respectivamente D1 95 mm y D2 240 mm siendo la anchura del álabe b1 b2 42 mm En la salida los álabes están curvados hacia atrás β2 30º La bomba gira a 1500 rpm En estas condiciones el rendimiento hidráulico es 078 Puede suponerse que la componente acimutal de la velocidad en la entrada del rodete es despreciable para cualquier condición de funcionamiento Utilizando la teoría unidimensional se pide a Determinar la curva de altura teórica de la bomba en función del caudal b Calcular el caudal y la altura manométrica que está suministrando la bomba c Comprobar si el punto de funcionamiento obtenido es el nominal rendimiento máximo d Calcular el ángulo del álabe β1 en la entrada del rodete e Mediante ensayos se ha determinado que el punto de rendimiento máximo se obtiene con un caudal de 0056 m3s Calcular el rendimiento hidráulico en estas condiciones f Ajustar el comportamiento de la bomba a una curva del tipo Hm H0 1 QQ02 encontrando los valores de H0 y Q0 Comentar los resultados obtenidos SOLUCIÓN a La ecuación de conservación del momento cinético para una turbomáquina Ecuación de Euler puede ponerse como sigue 1 1 2 2 u u t u v u v gH siendo Ht la altura teórica que en este problema es igual a Ht puesto que se emplea la teoría unidimensional Se seguirá denotando entonces por Ht Puesto que la componente acimutal de velocidad en la entrada del rodete vu1 es despreciable resulta 2 2 g u v H u t La velocidad de arrastre u2 se calcula por u2 ΩD22 y la componente acimutal de la velocidad en la salida del rodete se calcula con ayuda de las relaciones trigonométricas que se obtienen del triángulo de velocidades que se representa en la figura adjunta 111 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles u v w v v 2 2 2 u2 m2 α β 2 2 En la práctica puede decirse que la componente meridiana de velocidad es la que proporciona caudal a través del rodete por lo que puede ponerse 2 2 2 D b Q vm π Con todo lo anterior ya es posible poner la altura teórica con número infinito de álabes en función del caudal como sigue tan 2 2 2 2 2 2 2 Ω Ω β π D b Q D g D H t Sustituyendo valores numéricos en la ecuación anterior se obtiene 105 1 3622 Q H t b La altura manométrica que está suministrando la bomba puede obtenerse a partir de su definición se supone que son despreciables las fuerzas másicas 2 2 2 g v v g p p H e s e s m ρ donde psρg 20 m ca y peρg 04 m ca Las velocidades en las secciones de entrada y de salida pueden ponerse en función del caudal del modo siguiente 4 4 2 2 s s e e D Q v D Q v π π respectivamente Por otra parte la altura manométrica se relaciona con la altura teórica a través del rendimiento hidráulico o manométrico t h m H H η donde el rendimiento hidráulico es conocido ηh 078 Operando de forma conveniente la ecuación anterior queda entonces únicamente en función del caudal Sustituyendo valores numéricos se obtiene una ecuación de segundo grado para Q 0 4121 10 4 303 10 4 3 2 Q Q que tiene por solución válida 0 01826 m s 3 Q La altura manométrica que se obtiene con este valor del caudal es Puede comprobarse que vu2 es tan 2 2 2 2 β m u v u v siendo vm2 la componente meridiana de la velocidad 112 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Hm 2675 m c En el punto nominal de funcionamiento el rendimiento es el más alto posible La velocidad específica ΩS es un parámetro de diseño de la máquina que define el punto de funcionamiento nominal Por tanto si el caudal y la altura manométrica obtenidos en el apartado b fuesen los nominales se debería cumplir que la velocidad específica máx 4 3 2 1 η m s gH Q Ω Ω calculada con Ω 1500π30 rads Q 001826 m3s y Hm 2675 m fuese igual a 06 como indica el enunciado Sin embargo puede comprobarse que se obtiene un valor de 0326 por lo que puede afirmarse que el punto de funcionamiento anterior no es el nominal La bomba está funcionando en un punto de funcionamiento distinto con un rendimiento que no es el óptimo d El ángulo del álabe en la entrada del rodete puede calcularse a partir del triángulo de velocidades véase la figura adjunta Lógicamente como vu1 0 se tiene que α1 90º vm1 v1 y 2 tan 1 1 1 1 1 1 D D b Q u vm Ω π β de donde se obtiene 05º β1 11 u w v vm α β 1 1 1 1 1 1 e Como se ha explicado anteriormente debe cumplirse que ΩS 06 en el punto de funcionamiento nominal Por tanto de la ecuación 60 9 81 ms s 1 500 30 rads 0 056 m 3 4 2 1 2 3 Ω m S H π puede hallarse la altura manométrica correspondiente al punto nominal de funcionamiento resultando Hm 2499 m Por otro lado la altura teórica nominal puede determinarse mediante la ecuación hallada en el apartado a resultando Ht 3033 m El rendimiento nominal o máximo se obtiene entonces como sigue 0 824 3023 m 2499 m t m h H H η f Se han determinado dos puntos de funcionamiento Así pues puede ponerse 0 056 1 2499 0 01826 1 75 26 2 0 0 2 0 0 Q H Q H de donde se obtiene 2696 m 0 2072 m s 0 3 0 H Q 113 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Así pues el ajuste se ha realizado mediante dos únicos puntos de funcionamiento Esto quiere decir que probablemente la curva encontrada no describa correctamente el comportamiento de la bomba Incluso esta curva podría dar lugar a puntos de funcionamiento con un mayor rendimiento que el nominal lo que lógicamente no sería coherente con el desarrollo del problema Esto se deriva de la simplificación que se hace al ajustar a una curva tan sencilla como la propuesta y a que no se dispone de los datos correspondientes a otros puntos de funcionamiento Problema II2 RESUELTO La máquina hidráulica radial instalada en la central de Bajina Basta Serbia puede funcionar como bomba y como turbina y tiene los siguientes puntos nominales de funcionamiento Funcionamiento como bomba Funcionamiento como turbina Hm m 602 Hn m 5541 Q m3s 418 Q m3s 618 W MW 281 W MW 294 Sus características geométricas son diámetro exterior del rotor 4728 m diámetro interior del rotor 2180 m número de álabes 6 ángulo β del álabe en el borde exterior 13º altura del álabe en ese mismo punto 0312 m y velocidad de rotación 4286 rpm Se pide analizar el movimiento en el interior de la máquina obteniendo la siguiente información a Obtener el rendimiento total de la máquina como bomba y como turbina en estos puntos de funcionamiento nominal b Cuando funciona como bomba se puede suponer un rendimiento volumétrico de 097 Determinar la velocidad meridiana en la salida del rotor c Suponiendo que no existe prerrotación obtener la altura teórica con infinito número de álabes y la corregida por Stodola tómese ε 07 A este último valor se le puede considerar como la altura intercambiada entre rotor y fluido altura útil por lo que se pide evaluar el rendimiento hidráulico d Con los resultados anteriores se pide obtener el rendimiento orgánico de la máquina funcionando como bomba e Si en el funcionamiento como turbina se considera que los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales que funcionando como bomba se pide determinar el rendimiento hidráulico y la velocidad meridiana en la entrada del fluido al rotor f Suponiendo que la turbina deja el fluido sin momento cinético cuando sale de ella y que no es preciso hacer corrección por desviación del flujo se pide determinar el ángulo α con que los álabes del distribuidor deben dejar la corriente en la entrada al rotor y el ángulo de incidencia del flujo sobre los álabes de este último Dibujar también el triángulo de velocidades en la entrada del rotor en esta situación SOLUCIÓN a Funcionando como bomba el rendimiento total puede calcularse como sigue 0 878 281 10 W s 981 ms 602 m 000 kg m 418 m 1 6 2 3 3 W QgH m t ρ η Funcionando como turbina el rendimiento total resulta 114 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 0 875 s 981 ms 554 1 m 1 000 kgm 61 8 m 10 W 294 2 3 3 6 n t QgH W ρ η b Cuando funciona como bomba en el interior de la máquina se trasiega un caudal Qi mayor que el que realmente se está bombeando a la instalación Q de modo que 4309 m s 097 s 8 m 41 3 3 v i Q Q η Puede calcularse ahora la velocidad meridiana en la salida del rodete como sigue 9 299 ms 4728 m0312 m s 4309 m 3 2 2 2 π π D b Q v i m c En este apartado se sigue suponiendo que la máquina funciona como bomba Mediante la Ecuación de Euler utilizando las velocidades halladas mediante la teoría unidimensional puede calcularse la altura teórica con infinito número de álabes 1 1 2 2 g u v u v H u u t En esta ecuación vu1 0 puesto que no existe prerrotación del flujo en la entrada del rodete y u2 y vu2 se calculan como sigue 106 1 ms 2 4 728 m rads 30 428 6 2 2 2 Ω π D u 6583 ms tan 13º 9 299 ms 106 1 ms tan 2 2 2 2 β m u v u v La altura teórica con infinito número de álabes resulta 712 m 981 ms 6583 ms106 1 ms 2 Ht Mediante la corrección de Stodola se modifica la altura anterior para tener en cuenta la existencia de un número finito de álabes corrigiendo la componente acimutal de la velocidad en la salida del rodete mediante un coeficiente χ que tiene en cuenta la desviación del flujo véase la figura adjunta sen 2 2 2 β ε π χ N u vu u v w v v 2 2 2 u2 m2 α β 2 2 v2 w2 Así pues la componente acimutal corregida de la velocidad en la salida es con ε dependiente del número de álabes N 6 dato del enunciado y del ángulo del álabe en la salida del rodete en este problema se toma ε 07 En adelante se denotarán con primas las magnitudes corregidas es decir las obtenidas mediante la teoría bidimensional 115 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 2 2 u u u v v v Sustituyendo valores numéricos en la expresión anterior se obtiene uv 2 5708 ms La altura teórica con número finito de álabes Ht puede calcularse a partir de la Ecuación de Euler utilizando las velocidades corregidas por desviación de flujo como sigue 617 3 m 981 ms 106 1 ms5708 ms 2 2 g u v H u t y el rendimiento hidráulico o manométrico con número finito de álabes 0 975 6173 m 602 m t m h H H η Obsérvese que el rendimiento obtenido es mayor al que se obtiene a partir de la altura teórica con número infinito de álabes 0 846 712 m m 602 t m h H H η d El rendimiento orgánico puede calcularse teniendo en cuenta que el rendimiento total es o h v t η η η η de modo que puede comprobarse que el rendimiento orgánico resulta 0 928 ηo e En este apartado y en el siguiente se supone que la máquina funciona como turbina El rendimiento hidráulico se calcula ahora como sigue 0 972 0 97 0 928 0 875 o v t h η η η η Por otro lado de la definición de rendimiento volumétrico para una turbina Q ηv Qi puede hallarse el caudal interno Qi para calcular el valor de la velocidad meridiana en la entrada del rotor vm1 Puede comprobarse que Qi resulta igual a 5995 m3s Téngase en cuenta además que las magnitudes con subíndice 2 pertenecientes en el caso de comportamiento como bomba a la sección de salida del rodete pasan a denotarse con subíndice 1 en el caso de comportamiento como turbina siendo correspondientes a la sección de entrada del rodete La velocidad vm1 es 1294 ms 4728 m 0 312 m s 5995 m 3 1 1 1 π π D b Q v i m f La Ecuación de Euler para una turbina puede ponerse de la forma siguiente obsérvese que no es preciso hacer corrección por desviación del flujo 116 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 2 1 1 g u v u v H u u t Como no existe momento cinético en la salida vu2 0 Además Ht puede calcularse como sigue 0 972554 1 m 5386 m n h t H H η de modo que de la Ecuación de Euler puede determinarse la componente acimutal de velocidad en la entrada vu1 Puede comprobarse que se obtiene vu1 498 ms Es posible ahora con ayuda de las relaciones trigonométricas del triángulo de velocidades en la entrada del rotor véase la figura adjunta calcular los ángulos que se piden en el enunciado u w v vm α β 1 1 1 1 1 1 v u1 Sustituyendo valores numéricos en las expresiones anteriores se obtiene 1294º 1456 º 1 1 β α El primero de estos ángulos es con el que los álabes del distribuidor deben dejar la corriente en la entrada del rotor El ángulo de incidencia del flujo sobre los álabes del rotor es la diferencia entre el ángulo del álabe en el borde exterior 13º y el valor encontrado para β1 1294º resultando 13º 1294º 006º Problema II3 RESUELTO En un embalse se quiere instalar una turbina con una altura bruta en el salto de 200 m La tubería forzada que llevará un caudal nominal de 16 m3s hasta la turbina tiene una longitud de 600 m un diámetro de 2 m y una rugosidad k 02 mm Las pérdidas localizadas se deben a una rejilla en la entrada al conducto desde el embalse con K 1 y a cuatro codos con K 015 cada uno Se pide a Obtener la altura neta de la turbina para el caudal nominal b Suponiendo que el grupo alternador requiere que la turbina gire a 375 rpm elegir la familia de turbinas adecuada de la siguiente lista que ofrece un fabricante Tipo Pelton Francis lenta Francis media Francis rápida Kaplan S Ω 01 06 10 16 25 Para obtener las curvas características de la turbina el fabricante realizó un ensayo en un modelo semejante al elegido pero a escala con un diámetro exterior del rotor m 50 1 D y una altura neta Hn 10 m obteniendo una curva de rendimiento total en función del parámetro adimensional de vueltas ω definido por ω ΩD1gHn12 que puede ser ajustada por ηt 023 ω 4 ω Con esta información se pide Los ángulos del flujo α1 y del álabe β1 pueden hallarse como sigue tan tan 1 1 1 1 1 1 1 u m u m v u v v v β α 117 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles c Determinar el diámetro exterior del rotor que debe darse a la turbina real para que en condiciones nominales trabaje en óptimo rendimiento Cual sería la potencia producida en estas condiciones d Si para el diseño elegido la altura del álabe en la entrada es b1 015 D1 y el ángulo del álabe en la entrada es β1 14º determinar la posición nominal definida a través del ángulo αN α1nominal de la corona de álabes del distribuidor e Si se cierra parcialmente el distribuidor diminuyendo su ángulo en 10º cuál es el caudal y la potencia obtenida en estas nuevas condiciones Supóngase que el rendimiento respecto del obtenido en el ensayo varía con la abertura del distribuidor en la forma 2 N N N t t α α α α η α η SOLUCIÓN a La altura neta se calcula por inst b n H H H siendo Hb la altura bruta y Hinst la altura de pérdidas de la instalación tubería forzada La altura bruta es igual a 200 m y la altura de pérdidas en la tubería forzada se calcula como sigue 8 2 4 2 2 2 inst D g Q K D L g v K D L H i i i i π λ λ Σ Σ siendo Q 16 m3s D 2 m L 600 m ΣiKi 1 4 015 y λ el coeficiente de pérdida de presión por fricción que se determina en el diagrama de Moody Apéndice A4 a través del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubería 1 02 10 10 m s 5 093 ms 2 m Re 7 2 6 ν vD 0 0001 2 m 0 0002 m D k ε obteniéndose un valor de λ aproximadamente igual a 0012 Operando la altura de pérdidas en la tubería forzada resulta Hinst 6 875 m de modo que la altura neta es 193 1 m 6 875 m 200 m Hn b Cada una de las familias de turbinas está caracterizada por un valor de la velocidad específica Suponiendo que la turbina funciona en condiciones nominales de funcionamiento es decir con rendimiento máximo la velocidad específica ΩS resulta 0 547 9 81 ms 193 1 m s 16 m 375 30 rads 3 4 2 1 2 3 máx 4 3 1 2 Ω Ω π η n S gH Q 118 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas de modo que a la vista de la información recogida en la tabla del enunciado se elige una turbina Francis lenta c La curva de rendimiento total en función del parámetro ω es una parábola de eje vertical que corta al eje de abscisas para ω 0 y 4 y que tiene su máximo en ω 2 El valor del rendimiento máximo es por tanto 0 92 2 0 23 2 4 máx tη Para que la turbina real trabaje en condiciones de máximo rendimiento por semejanza física debe cumplirse que en el punto de funcionamiento el parámetro adimensional ω sea también igual a 2 es decir 2 11 2 Ω n gH D ω de donde puede encontrarse el diámetro D1 Sustituyendo valores numéricos resulta D1 2217 m que es el diámetro del rotor necesario para que el punto de funcionamiento de la turbina real sea el nominal La potencia que se produce en estas condiciones se calcula por 2789 MW s 9 81 ms 193 1 m 000 kgm 16 m 1 0 92 2 3 3 n t T QgH W η ρ d Se trata de calcular con ayuda de las relaciones trigonométricas del triángulo de velocidades en la entrada de la turbina el ángulo α1 véase la figura adjunta u w v vm α β 1 1 1 1 1 1 v u1 y la componente acimutal de la velocidad tan 1 1 1 1 β m u v u v siendo u1 Ω D12 Sustituyendo valores numéricos se obtiene uv 1 1582 ms Puede calcularse ahora el ángulo que forman los álabes del distribuidor por 1582 m 6 908 m tan 1 1 1 u m v v α obteniéndose α1 2359º Este valor del ángulo es el nominal de la corona de álabes puesto que se ha obtenido en condiciones nominales de funcionamiento La velocidad meridiana vm1 puede calcularse por 6 908 ms 015 2217 m 2 217 m s 16 m 3 1 1 1 π π D b Q vm 119 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles e El distribuidor es un elemento de regulación del funcionamiento de la turbina El cierre de la corona de álabes hará disminuir el caudal que trasiega la máquina y actuará sobre el triángulo de velocidades haciendo variar el punto de funcionamiento de la máquina En adelante se notarán con primas las magnitudes que han variado respecto del punto de funcionamiento nominal El nuevo valor del ángulo α es el siguiente 1359 º 2359º 10º 10º αN α mientras que el ángulo β se mantiene lógicamente los álabes del rotor no giran y la dirección de la velocidad relativa a los mismos se mantiene La velocidad de arrastre u1 sólo depende de Ω y de D1 y su valor sigue siendo el nominal Así pues utilizando las relaciones trigonométricas apropiadas se llega a que la velocidad meridiana varía precisamente por variar el ángulo de los álabes del distribuidor 1 tan tan 1 1 1 1 1 β α u vm obteniéndose vm1 5 343 ms menor que el valor nominal que se ha calculado antes Esquemáticamente puede representarse la variación que ha experimentado el triángulo de velocidades véase la figura adjunta u w v vm α β 1 1 1 1 1 1 α 1 v1 vm 1 w1 Para encontrar la potencia obtenida en estas condiciones es preciso tener en cuenta que la altura neta varía como consecuencia de variar la altura de pérdidas en la tubería forzada por variar a su vez el caudal Volviendo a calcular Hinst con el nuevo valor del caudal se obtiene 4116 m Hinst de modo que la altura neta es ahora Hn 195 8 m El rendimiento también ha cambiado Mediante la expresión dada en el enunciado puede calcularse su nuevo valor 0 755 2359º 1359º 2359º 2 0 921359º ηt Puede calcularse ya la potencia que se obtiene en estas condiciones 1795 MW 000 kgm 1238 m s 9 81 ms 195 8 m 1 0 755 2 3 3 n t T Q gH W η ρ El nuevo caudal se calcula a partir de la nueva velocidad meridiana 1 1 1 D b vm Q π Sustituyendo valores numéricos se obtiene 1238 m s 3 Q 120 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Problema II4 RESUELTO La curva característica de una bomba centrífuga de velocidad específica ΩS 0543 es una parábola de eje vertical se conoce que la altura manométrica es de 35 m para caudal nulo que el caudal para altura nula es de 0499 m3s y que en el punto de rendimiento máximo η 85 Q 00523 m3s y Hm 40 m La bomba trasiega agua entre dos depósitos a la misma cota venciendo las pérdidas que se producen en la conducción de 10 cm de diámetro longitud 20 m y factor de pérdida de presión por fricción constante λ 002 que conecta ambos depósitos En la conducción se ha intercalado una válvula de regulación de constante de pérdida secundaria K 15 en posición completamente abierta a Determinar en primer lugar la curva característica de la bomba b Hallar el punto de funcionamiento de la bomba en la instalación descrita con la válvula completamente abierta c Calcular el valor de la constante de pérdida secundaria en la válvula para que la bomba funcionara en condiciones de rendimiento máximo d Calcular en la condición del apartado anterior la potencia y el par que consumiría la bomba e Utilizando el diagrama de Cordier suponiendo que la altura del rodete es el 10 del diámetro exterior de la bomba y que no existe prerrotación en la entrada encontrar los valores de los ángulos α2 y β2 en la salida del rodete f Cuál es la altura máxima que podría proporcionar la bomba g Calcular el nuevo punto de funcionamiento de la bomba en la instalación descrita con la válvula complemente abierta si se la hace girar al doble de velocidad SOLUCIÓN a Se planteará que la curva de altura manométrica de la bomba es de la forma cQ2 bQ a H m siendo a b y c constantes a determinar del enunciado del problema se obtienen tres puntos de la curva anterior Q 0 Hm 35 m Q 0499 m3s Hm 0 dηdQ 0 para Q 00523 m3s con Hm 40 m obteniéndose 371 115 35 Q2 Q H m b El punto de funcionamiento de la bomba se determina como sigue 4 2 2 8 gD Q K D L H i i m π λ Σ siendo λ 002 L 20 m D 01 m y Σi Ki 15 1 Operando se obtiene 4228 m 0 08871 m 3 Hm s Q c Imponiendo Hm 40 m en la ecuación anterior se obtiene que la constante de pérdida de la válvula deber ser 127 d En condiciones de rendimiento máximo Q 00523 m3s Hm 40 m y puesto que debe cumplirse que 121 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 0 543 máx 4 3 1 2 Ω Ω η m s gH Q se tiene que la velocidad de giro de la bomba debe ser de 2000 rpm La potencia consumida por la bomba el rendimiento total es de 085 se calcula por 2414 kW 1 m B gQH W ρ η y el par T WBΩ 1153 Nm e Entrando con una velocidad específica de 0543 se obtiene en el diagrama de Cordier Figura 36 un diámetro específico de 52 aproximadamente de modo que a partir de la definición del diámetro específico se calcula un diámetro exterior D2 02672 m Suponiendo que no existe prerrotación y que el rendimiento total es igual al rendimiento hidráulico es decir que los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales a la unidad se puede poner la Ecuación de Euler como sigue g v u H H u h m t 2 2 η y haciendo uso del triángulo de velocidades en la salida del rodete tan tan 2 2 2 2 2 2 2 u m m u v v v u v α β se obtiene β2 1148º y α2 8045º f La altura máxima que proporciona la bomba se determina por 0 742 115 d d Q Q H m de donde se obtiene que el caudal correspondiente a la altura máxima es de 0155 m3s y la altura 4391 m g Si nos referimos a la bomba funcionando con una velocidad de giro n con el subíndice 1 y girando con 2n con el subíndice 2 aplicando las relaciones de semejanza física para bombas puede comprobarse que 2 4 1 2 1 2 Q Q H H de donde se tiene que la nueva curva característica de la bomba girando a 2n es 371 230 140 Q2 Q H m e imponiendo la misma condición del apartado b se determina el nuevo punto de funcionamiento 169 1 m 01775 m 2 3 2 Hm s Q Problema II5 RESUELTO Se dispone de una bomba axial formada por un rotor y un estátor aguas abajo del primero de la que se conocen las siguientes características geométricas 122 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Diámetro del cuerpo central raíz de los álabes Dr 072 m Diámetro externo punta de los álabes Dp 18 m Ángulo de salida del rotor en la altura media del álabe β2 30º Ángulo de entrada del estátor en la altura media del álabe α2 40º Régimen de giro Ω 250 rpm Se pide determinar los siguientes parámetros de funcionamiento de la bomba suponiendo que no existe prerrotación en ningún punto de la sección de entrada a Velocidad axial a la altura media del álabe b Suponiendo que la velocidad axial es uniforme para todas las superficies de corriente determinar el caudal Q que impulsa la bomba c Determinar el incremento de energía mecánica específica en la superficie de corriente a la altura media del álabe y suponiendo que este incremento es el mismo para todas las superficies de corriente determinar la potencia WB y el par T que precisan la bomba d La distribución a lo largo del álabe dar valores en la raíz en la sección media y en la punta de los ángulos que forma con el eje de la bomba la dirección tangente al álabe del rotor en el borde de ataque y en el de salida β1 y β2 e Determinar la distribución en la raíz en la sección media y en la punta del ángulo que debe tener el estátor en la entrada y en la salida para hacer máximo el coeficiente de presión y conseguir el equilibrio radial del flujo en la salida del mismo SOLUCIÓN a Se supondrá que la velocidad axial se mantiene uniforme a través de todo el rodete pudiéndose calcular por 4 2 2 r p a D D Q v π es decir la sección de paso del fluido despreciando el espesor de los álabes resulta una corona circular de diámetros Dp y Dr La teoría bidimensional de turbomáquinas axiales propone resolver el flujo en cada una de las superficies cilíndricas coaxiales que se quieran definir El flujo resulta perfectamente guiado por los álabes en cada una de estas superficies pudiéndose calcular en ellas los triángulos de velocidad como unidimensionales como se aprecia en la figura adjunta De esta manera puesto que u1 u2 u vu2 wu2 y haciendo tan α2 vavu2 y tan β2 vawu2 se tiene tan 1 tan 1 2 2 β α u va de donde sustituyendo valores numéricos se obtiene va 5641 ms Debe tenerse en cuenta que u se ha calculado para la sección media u ΩDp Dr22 1649 ms b Puede sustituirse ahora el valor de va en la primera expresión del apartado anterior y encontrar el valor del caudal Q 1206 m3s 123 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles w v3 β 1 va va vu α3 3 u 1 v1 α 1 u va β2 2 α w2 v2 Estátor Rotor c El intercambio de energía mecánica específica a través del rodete es simplemente gHt que puede calcularse por la Ecuación de Euler 1 2 u u t v u v gH de modo que sustituyendo vu2 6723 ms y vu1 0 se obtiene gHt 1109 m2s2 Si este valor se mantiene constante para todas las superficies cilíndricas comprendidas entre la raíz y la punta del álabe se asegura la uniformidad radial de la transmisión de energía entre el rodete y el fluido Suponiendo además que todos los rendimientos son la unidad la potencia necesaria es como sigue 1 337 kW 000 kgm 1206 m s1109 m s 1 2 2 3 3 t B QgH W ρ y el par necesario en el eje T WBΩ 51070 Nm d Para que se cumpla la distribución uniforme de energía mecánica en dirección radial manteniendo las hipótesis establecidas en la teoría bidimensional de turbomáquinas axiales es preciso una cierta distribución de los ángulos de entrada y de salida del álabe desde la raíz a la punta Puesto que va 5641 ms cte y gHt 1109 m2s2 cte y vu1 0 para cualquier posición radial del álabe puede comprobarse que se cumple 1 tan tan tan 2 1 2 1 u gH u v t a β β β y sustituyendo valores numéricos 124 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 0 6472 1 tan 0 4309 tan tan 2 1 2 1 D D β β β de modo que los resultados pueden tabularse como sigue Sección Diámetro β1 β2 Raíz 072 m 3090º 6745º Media 126 m 1888º 30º Punta 180 m 1346º 1665º e La condición de equilibrio radial se consigue imponiendo rvu3 cte en el estátor denotando el subíndice 3 la sección de salida del mismo la sección de entrada coincide con la de salida del rotor 2 La condición de optimización del coeficiente de presión Ψp p3 p1ρu2 se consigue intentando maximizar el salto de presión total a través de la etapa rotor estátor Puesto que los parámetros generales de funcionamiento de la turbomáquina están definidos y deben mantenerse constantes debe actuarse sobre el triángulo de velocidades en la salida del estátor Allí puede hacerse vu3 0 para cualquier valor del radio manteniéndose va constante y minimizar de este modo la energía cinética que se perdería en la salida del difusor De esta manera se obtiene 0 6658 tan 2 2 D v v u a α es decir Sección Diámetro α2 α3 Raíz 072 m 2561º 90º Media 126 m 40º 90º Punta 180 m 5016º 90º 125 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE II Problema II6 PROPUESTO Una bomba semiaxial ΩS 16 tiene las siguientes características D2 55 cm D1 25 cm β2 30º vm2 20 ms n 2000 rpm Mediante simulación numérica se ha obtenido un valor promedio de la componente acimutal del flujo en la salida del rodete de 182 ms En la brida de salida de la bomba se ha medido una presión manométrica de 85 bares Hallar el rendimiento hidráulico el coeficiente de disminución de trabajo µ y la altura del rodete en la salida considérese que la bomba se comporta como una máquina radial SOLUCIÓN ηh 0811 µ 0793 b2 42 cm Problema II7 PROPUESTO El diseño básico de una bomba centrífuga tiene las siguientes características Velocidad específica ΩS 047 Los álabes del rodete están curvados hacia delante β2 120º La altura de los álabes del rodete b tanto en la entrada como en la salida es de 110 del diámetro exterior D2 El diámetro interior es la mitad del exterior D1 D22 Los álabes ocupan un 6 de la sección de paso del fluido a través del rodete El rendimiento hidráulico es igual a 076 y el volumétrico a 096 La bomba se utiliza para bombear un caudal Q 40 litross a una cota de 35 m Las tuberías de aspiración y de impulsión tienen una longitud conjunta de 40 m un diámetro de 150 mm y un coeficiente adimensional de pérdida de presión λ 002 que se considera constante Las pérdidas secundarias a lo largo de las conducciones representan un total de tres veces la energía cinética del flujo El difusor de la bomba consta de una corona fija de álabes Suponiendo que no existe prerrotación en el fluido se pide a Determinar la altura manométrica que suministra la bomba b Calcular la velocidad de giro c Determinar el diámetro exterior del rodete D2 d Hallar la relación entre las velocidades relativas de entrada y de salida del rodete e Cual es el ángulo de entrada en los álabes del difusor 126 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas f Dibujar el triángulo de velocidades en la salida del rodete g Indicar la forma de la curva característica de altura teórica de la bomba h Comparar el diámetro obtenido en el apartado c con la estimación que puede hacerse utilizando el diagrama de Cordier SOLUCIÓN a Hm 3718 m b Ω 1961 rads c D2 0215 m d w1w2 355 e α2 7332º h D2 0265 según el diagrama de Cordier Problema II8 PROPUESTO Las turbinas que están instaladas en el embalse del Talave Albacete tienen el punto de máximo rendimiento total ηt 093 cuando funcionan acopladas a un generador de 375 rpm en las siguientes condiciones Q 7 m3s Hn 40 m La geometría de este tipo de rotores es la siguiente Diámetro exterior en la entrada y en la salida aproximadamente iguales D 123 m Diámetro interior en la salida d 05 m Altura de los álabes del distribuidor igual a la de los álabes del rotor en la entrada b1 032 m D d b1 Distribuidor Rodete Tubo difusor En la situación de rendimiento óptimo se puede suponer que el flujo no tiene componente acimutal de velocidad en la salida del rotor en esa situación y suponiendo que los rendimientos orgánico y volumétrico son ambos iguales a 098 se pide a Determinar el ángulo α1 que debe tener el distribuidor en estas condiciones b Determinar él ángulo que debe tener el álabe en su borde de entrada β1 para que el flujo incida de modo tangente al mismo c Suponiendo que el diseño del canal de paso mantiene la velocidad meridiana igual en todos los puntos del mismo determinar el ángulo β2 del álabe en función del radio en cada punto de su borde de salida en particular en los extremos exterior e interior 127 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles d El caudal máximo y mínimo considerados para la turbina son respectivamente 763 y 3 m3s Calcular en consecuencia el rango que debe tener el ángulo de distribuidor para que el flujo incida en cada instante tangente al álabe SOLUCIÓN a α1 1942º b β1 3339º c tan β2 02825D2 d α1 2199 6602º Problema II9 RESUELTO La curva característica de una bomba con rodete de diámetro 70 cm está dada por la tabla siguiente Q m3min 0 7 14 21 28 35 42 49 56 Hm m 40 406 404 393 380 336 256 145 0 η 0 41 60 74 83 83 74 51 0 La velocidad del motor de accionamiento es de 750 rpm En primer lugar se quiere utilizar esta bomba para traspasar agua entre dos depósitos que se encuentran a la misma cota En la conducción que une los dos depósitos se sabe que las pérdidas son de 35 m ca cuando el caudal trasegado es de 25 m3min a Determinar el punto de funcionamiento de la bomba dando los valores del caudal altura manométrica y rendimiento b Suponiendo que no existe prerrotación determinar la componente acimutal de la velocidad en la salida del rodete obténgase el punto nominal de forma aproximada En segundo lugar se quiere utilizar la bomba para traspasar agua de un depósito a otro que está a una cota 15 m por encima La longitud de la conducción de diámetro 45 cm que conecta ambos depósitos es de 93 m el coeficiente de pérdida de presión por fricción en la tubería es λ 0016 y los coeficientes de pérdida secundaria en salida de un depósito y en la entrada del otro son 05 y 1 respectivamente c Determinar el nuevo punto de funcionamiento Hallar también la potencia consumida por la bomba en estas condiciones Supóngase ahora que la bomba se cambia por otra semejante con un diámetro de 51 cm y una velocidad de giro de 975 rpm d Determinar el punto de funcionamiento de esta bomba en la instalación de los depósitos desnivelados Hallar también la potencia consumida e Indicar de qué tipo de bomba puede ser la caracterizada por la tabla expuesta SOLUCIÓN a Q 26 m3min Hm 383 m η 81 b uv 2 1388 ms c Q 45 m3min m H 204 m η 684 B W 2194 kW d Q 2375 m3min m H 165 m η 624 B W 1027 kW e Centrífuga 128 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Problema II10 PROPUESTO Una bomba centrífuga suministra a una instalación hidráulica un caudal de 8 m3s con una altura manométrica de 300 m ca Para encontrar el diseño óptimo de la bomba se ensayaron modelos a escala reducida con un diámetro Dm 350 mm y una velocidad de giro de 1450 rpm Se eligió como modelo óptimo el que tenía una curva característica dada por Q litross 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Hm m 15 20 23 25 24 21 15 8 0 η 0 20 35 48 55 48 35 20 0 La bomba real de la instalación se desea construir con semejanza física del modelo óptimo escogido Se pide a Calcular la velocidad específica de la bomba de tamaño real b Determinar el diámetro y la velocidad de giro que debe tener la bomba de la instalación real para que las condiciones de funcionamiento dadas más arriba sean las nominales rendimiento máximo c Par que debe suministrar el motor eléctrico a la bomba Con las condiciones nominales del apartado b los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales a 096 Los álabes del rodete están curvados hacia atrás β2 28º y su altura en la salida es de b2 004 D2 siendo D2 el diámetro exterior del rodete calculado en el apartado b Suponiendo que el agua entra radialmente al rodete y que la bomba ha sido calculada empleando la corrección de Stodola por desviación del flujo ε 11 se pide calcular d El rendimiento manométrico e El número de álabes del rodete f La velocidad absoluta y la velocidad relativa de salida SOLUCIÓN a ΩS 0357 b D 3721 m n 4829 rpm c T 846500 Nm d ηm 0597 e N 5 f 4193 ms 5264 ms 2 2 w v Problema II11 PROPUESTO Una turbina Francis de potencia específica WS 116 y altura bruta Hb 216 m tiene los siguientes parámetros de diseño β1 52º α1 185º U1 u12gHn12 0787 V1 v12gHu12 0677 b1D1 0315 D2D1 06 b2b1 125 Las pérdidas en la tubería forzada constituyen el 8 de la altura neta El número de pares de polos38 del alternador es np 8 El rendimiento volumétrico puede suponerse igual a la unidad SUPOSICIÓN DE FLUJO ESTRICTAMENTE RADIAL A TRAVÉS DEL RODETE Se pide a Calcular el valor de la velocidad meridiana en la entrada del rodete 38 Se cumple que Ω 2πfnp con f 50 Hz se expone en la Sección 122 129 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles b Hallar los rendimientos hidráulico orgánico y total así como la producción anual de la central c Calcular los ángulos del álabe y del flujo en la salida del rodete APROXIMACIÓN A FLUJO MIXTO en la que suponiendo que los triángulos de velocidades siguen siendo radiales se intenta tener en cuenta la geometría real de la sección de paso del fluido a través del rodete Se supondrá que los parámetros geométricos de entrada del rodete el caudal y la altura neta se mantienen constantes Sin embargo se considerará que en la salida del rodete el diámetro D2 anterior es el diámetro medio de la sección siendo el diámetro exterior D2ext 14 D2 y el diámetro interior D2int 06 D2 Por otro lado se registra una producción adicional del 60 del momento cinético en la salida calculado en la situación radial estricta La altura teórica se seguirá calculando a partir del diámetro medio D2 Con estas aproximaciones se pide d Calcular los nuevos valores de V1 α2 β2 ηh y WS en la sección media de salida Comentar los resultados obtenidos dibujando los triángulos de velocidades en esta sección en la situación estrictamente radial y con la aproximación a flujo mixto SOLUCIÓN a vm1 1308 ms b ηh 0945 η0 0983 ηt 0929 P 1303 1012 Whaño c β2 3279º α2 8183º d 1 0 685 V 2 8203 º α 2 4822 º β ηh 0 922 W S 1146 Problema II12 PROPUESTO Se tiene una conducción para el bombeo de agua de 30 m de longitud diámetro 150 mm y rugosidad 01 mm con los siguientes elementos singulares válvula de pie K 15 válvula de retención K 15 y una válvula de regulación coeficiente de pérdida secundaria cuando la válvula está abierta al 100 KV 2 La bomba centrífuga instalada velocidad de giro n 1450 rpm tiene una altura manométrica nominal de 2375 m ca y un rendimiento máximo del 78 La curva característica de la bomba se adjunta en la gráfica adjunta También se adjunta la relación entre el factor KVK en función del grado de apertura de la válvula de regulación a Determinar el grado de apertura de la válvula de regulación para que la bomba eleve el agua a una altura de 16 m cuando existe un salto de presión entre las bridas de salida y entrada de 248 m b Hallar el grado de apertura de la válvula para conseguir que la bomba funcione en condiciones óptimas con una elevación de agua de 15 m Calcularla velocidad específica y la potencia consumida en este punto de funcionamiento c En el caso de que el grado de apertura de la válvula de regulación se fijara en el 40 hallar el punto de funcionamiento obtenido especificando altura y caudal se mantendrá la elevación de 15 m d Suponiendo que se quiere elevar el agua ahora hasta los 30 m determinar el grado de apertura mínimo de la válvula que aseguraría una condición estable de funcionamiento e Para las condiciones nominales del apartado b si el coeficiente de disminución de trabajo es igual a 08 hallar el diámetro exterior del rodete si el número de álabes es de 5 y el ángulo de salida de los mismos es de 30º 130 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas f Comparar el resultado obtenido con el que se encontraría utilizando el diagrama de Cordier Comentar esta comparación e indicar cómo se podría obtener de alguna manera el mismo resultado Caudal m3s 000 002 004 006 008 010 Altura manométrica m ca 8 12 16 20 24 28 32 36 Grado de apertura 00 02 04 06 08 10 KVK 00 02 04 06 08 10 SOLUCIÓN a KVK 0433 apertura 89 b Apertura 95 WB 2116 kW ΩS 0677 c Q 00465 m3s Hm 302 m ca d KVK 00249 apertura 7 e D2 0217 m f D2 Cordier 0286 m 131 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Bloque III FLUJO REAL PÉRDIDAS Y CAVITACIÓN EN TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 8 Flujo real en turbomáquinas hidráulicas 9 Pérdidas y curvas características de bombas y turbinas de reacción 10 Fenómenos de cavitación en turbomáquinas Problemas resueltos Bloque III Problemas propuestos Bloque III A Ludwing Prandtl 18751953 se le debe quizá la teoría más importante de la Mecánica de Fluidos la Teoría de la Capa Límite 1904 Sin sus postulados no sería posible explicar el comportamiento real del fluido en el interior de una turbomáquina hidráulica 132 Ludwing Prandtl Wikipedia La enciclopedia libre Fecha de consulta 3 octubre 2016 de httpsenwikipediaorgwikiLudwigPrandtl Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 8 FLUJO REAL EN TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 81 Introducción a los efectos reales en turbomáquinas Hasta el momento en el que comienza a estudiarse este capítulo en la teoría desarrollada para turbomáquinas se ha mantenido fundamentalmente la hipótesis de flujo ideal despreciando por tanto los efectos disipativos en el movimiento del fluido esta hipótesis se justificaba porque en la mayoría de los casos el número de Reynolds es suficientemente alto Además se suponía que el punto de funcionamiento que se estaba analizando era el de diseño de modo que la orientación relativa de los álabes respecto del flujo incidente era la óptima es decir teóricamente el diseño debía asegurar que por ejemplo no aparecieran desprendimientos de capas límite que dieran lugar a efectos de disipación viscosa importantes De este modo aunque en ocasiones se han tenido en cuenta las pérdidas hidraúlicas del flujo a través de la máquina los efectos reales se despreciaron en la mayoría de veces para poder estudiar lo esencial del flujo y llegar a expresiones sencillas de cálculo Ahora bien la condición de isoentropía del flujo a través de la turbomáquina que resulta de la teoría ideal no se verifica estrictamente Como consecuencia de la disipación viscosa aparece un incremento de entropía de las partículas a la salida de la máquina que no aparece en la teoría ideal Por otro lado la energía cinética del flujo medio en la sección de salida debería incrementarse con la energía cinética turbulenta que el fluido tiene en esta sección tal como se planteó en el Capítulo 2 Evidentemente estos efectos llevan a que el rendimiento hidráulico de la turbomáquina no sea igual a la unidad como consecuencia de la energía mecánica perdida Aunque en capítulos anteriores se han considerado las pérdidas hidráulicas internas y los rendimientos un estudio más en detalle debe conducir al análisis del flujo interno de la turbomáquina Deben analizarse los tipos de pérdidas que pueden producirse tales como las pérdidas por fricción en los álabes y en el disco del rodete o las llamadas pérdidas por choque que se producen fuera del punto de diseño Esto se estudiará en el Capítulo 9 La consideración de la existencia de capas límite lleva a estudiar los desprendimientos y las recirculaciones que pueden producirse este es el objetivo principal del presente capítulo Desde un punto de vista práctico la evaluación de las pérdidas conduce a obtener de modo más o menos aproximado la curva característica real de la turbomáquina a partir de la curva característica teórica calculada mediante la Ecuación de Euler esto último se llevará a cabo en el Capítulo 9 133 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 82 Los efectos viscosos en las turbomáquinas hidráulicas En este apartado se considera el flujo bidimensional en un plano meridiano de la turbomáquina de modo que esencialmente se desprecian los efectos tridimensionales posteriormente se expondrán algunos de estos efectos Conviene distinguir entre los efectos derivados de la desviación del flujo respecto de la teoría unidimensional en la que se supone que el flujo es perfectamente guiado por los álabes y los efectos derivados de la consideración de los efectos viscosos y de la presencia de capas límite junto a las paredes de los álabes y de otras paredes de la máquina Así por ejemplo puede suponerse que se ha realizado con anterioridad un estudio bidimensional de la turbomáquina en máquinas axiales debe haberse calculado el ángulo de desviación diferencia entre la dirección de salida de los álabes y la dirección real de la corriente relativa en la salida de la cascada en máquinas radiales puede descomponerse el flujo total en el flujo irrotacional que se obtiene cuando la velocidad de giro Ω es nula más el flujo con vorticidad 2Ω que tiene un caudal nulo lo que se traduce en una desviación angular del flujo en la salida calculable de un modo aproximado por ejemplo por las hipótesis de Stodola o Pfleiderer como se ha visto en el Capítulo 6 La consideración de los efectos viscosos lleva a la presencia de capas límite sobre los álabes y otras superficies mojadas de la máquina en la capa límite la velocidad relativa del fluido pasa desde el valor calculado mediante la teoría unidimensional o bidimensional a un valor nulo en la superficie de los álabes y de las superficies mojadas Quizá el aspecto más importante de estos efectos de fricción no sea la consideración de las pérdidas de carga sino el cambio de la configuración del flujo que se supuso con la teoría ideal Cuando la capa límite y por tanto los efectos viscosos cubren la mayor parte del campo fluido la teoría ideal falla En turbomáquinas axiales el estudio de las capas límite sobre las caras de presión y de succión de los álabes y de las estelas que se forman aguas abajo puede llegar a ser muy complejo Existen además otros mecanismos de generación de pérdidas viscosas como las capas límites existentes en las paredes interiores y exteriores que delimitan el flujo en el eje y en la carcasa y que pueden dar lugar a flujos secundarios tridimensionales Ω chorro estela cara de presión cara de succión w En las turbomáquinas radiales igual que ocurre en máquinas axiales aparecen capas límite sobre los álabes y sobre otras partes mojadas Los problemas de desprendimiento de la capa límite y los flujos secundarios complican el estudio En lo que sigue en lo que a máquinas radiales se refiere se centra la atención sobre todo en bombas centrífugas siendo el estudio análogo en el caso de turbinas Normalmente el flujo en una bomba centrífuga se separa en las caras de succión produciendo una importante estela en cada uno de los álabes El flujo se acelera en el resto de la sección de paso de modo que la estructura del flujo en la descarga es de chorrosestelas véase la Figura 81 en esta figura puede observarse que la Figura 81 Estructura de chorrosestelas en la salida del rodete de una bomba centrífuga que contrarresta de alguna manera la desviación angular del flujo propuesta por la teoría bidimensional 134 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas estructura comentada tiende a contrarrestar la desviación del flujo de la teoría bidimensional Por otra parte los posibles flujos secundarios pueden ejercer un efecto sustancial sobre el desarrollo de las estelas y por tanto sobre la estructura de chorrosestelas que se ha descrito Por otro lado tanto para máquinas axiales como radiales la rotación del fluido junto a las superficies pasivas de la máquina da lugar a la aparición de esfuerzos cortantes lo que conduce a las llamadas pérdidas por fricción en el disco Incluso los flujos de fugas que en el caso de las bombas pasan desde la impulsión a la aspiración o de una etapa a otra en el caso de las máquinas multietapa dan lugar a otras pérdidas efectivas que deben incluirse en una evaluación realista de las pérdidas globales en una turbomáquina 83 Capas límite y flujos secundarios en turbomáquinas radiales Si el número de Reynolds es suficientemente alto y la longitud del canal de paso del fluido entre los álabes es pequeña frente a la distancia entre los mismos las capas límite junto a los álabes prácticamente no se interfieren y pueden estudiarse de forma separada El flujo exterior podría calcularse entonces engrosando el espesor de los álabes con una cierta cantidad el espesor de desplazamiento que tuviera en cuenta el efecto de la capa límite En cualquier caso siguiendo la teoría de la capa límite formulada en 1904 por Ludwing Prandtl 1875 1953 conviene separar el estudio del flujo en las dos zonas comentadas capa límite donde los efectos viscosos son importantes y movimiento medio o exterior a la capa límite donde los efectos viscosos pierden importancia a favor de los convectivos al ser el flujo a altos números de Reynolds 831 Ecuaciones del movimiento medio Se plantearán a continuación las ecuaciones del movimiento para un líquido en el canal entre álabes fuera de la capa límite Se considerará un rodete centrífugo de altura del álabe constante para que el movimiento sea estrictamente bidimensional La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un líquido en ejes relativos al rodete puede ponerse como sigue39 mf v W p W W W t W ρ 2 2 1 81 siendo W la velocidad relativa del fluido exterior a la capa límite véase la Figura 82 El desarrollo que debe hacerse a continuación es como el que se efectuó en el Capítulo 6 a través de las Ecuaciones 61 a 619 de modo que se llega a las dos siguientes componentes de la ecuación de cantidad de movimiento para el movimiento relativo exterior a la capa límite 0 2 2 s W W U p s ρ 82 39 La Ecuación 81 tiene la misma forma que la Ecuación 61 salvo que se ha denotado a la velocidad relativa con mayúsculas W en lugar de minúsculas w Esto se explica porque en este capítulo es preciso distinguir entre el flujo del movimiento medio y el flujo en la capa límite En adelante pero únicamente en este capítulo se denotará por W a la velocidad relativa fuera de la capa límite y por w a la velocidad relativa dentro de la capa límite Por coherencia se hará lo mismo con el resto de las componentes de velocidad V y v U y u En realidad no sería preciso efectuar distinción entre U y u puesto que su valor es invariable e igual a Ωr A partir del Capítulo 9 la notación volverá a ser la habitual en este texto 135 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 0 2 2 2 2 Ω W R W U p n c ρ 83 que son las equivalentes a las Ecuaciones 620 y 621 salvo que se ha cambiado w por W y u por U O Ω es en er eθ β Línea de corriente Rc Centro de curvatura W ex ex El objetivo ahora es estudiar la capa límite Aunque más adelante se llega a la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en dirección s dentro de la capa límite puede adelantarse en este apartado la componente en dirección n La componente de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en dirección normal en el movimiento exterior también debe cumplirse en la capa límite sobre el álabe si los álabes tienen una curvatura moderada el término W2Rc puede despreciarse frente al resto de los términos denotando a la velocidad relativa en el interior de la capa límite por w para distinguirla de la velocidad exterior W tal como se ha explicado antes puede ponerse 0 2 2 2 Ω w U p n ρ 84 álabe flujo exterior p 2 cte 2 ρ δ n W U e se w capa límite Figura 83 Capa límite y líneas de presión constante incluyendo el potencial correspondiente a la fuerza centrífuga junto al álabe La distribución de velocidad en la capa límite es como la que se muestra en la Figura 83 La condición de adherencia en la pared tiene que cumplirse por lo que Figura 82 Sistemas de referencia cilíndrico ortogonal e intrínseco en un rodete centrífugo para el establecimiento de las ecuaciones de conservación para el movimiento medio y para la capa límite 136 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 0 2 2 p U n ρ 85 junto a la pared Las líneas de presión motriz constante incluyendo el potencial correspondiente a la fuerza centrífuga son entonces perpendiculares a la pared del álabe Figura 83 832 Ecuaciones de la capa límite junto al álabe Para seguir con el análisis se plantearán ahora con generalidad las ecuaciones propias de la capa límite junto al álabe Las ecuaciones del movimiento en un sistema de coordenadas intrínseco adaptado a la superficie de un cuerpo pueden deducirse a partir de las ecuaciones de NavierStokes expresadas en un sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal Aunque la velocidad relativa en el flujo exterior es W siendo perfectamente tangente a la línea de corriente debe admitirse la hipótesis de que en la capa límite la velocidad relativa w véase la Figura 83 tenga una componente principal según la dirección tangente a la línea de corriente ws y otra secundaria normal a la misma wn normalmente muy pequeña Puede comprobarse que la ecuación de continuidad resulta 0 n w s w n s 86 mientras que la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede ponerse por 2 2 2 2 n w v U p s n w w s w w s s n s s ρ 87 Se observa que la forma de las ecuaciones obtenidas es la misma que la correspondiente a un flujo sobre una placa plana Lógicamente como consecuencia de la rotación del sistema de referencia se ha incluido el potencial debido a la fuerza centrífuga Los pasos a seguir para la obtención de las Ecuaciones 86 y 87 se han indicado en el Anexo A2 Un procedimiento similar al desarrollado en este anexo debe conducir a obtener la componente n de la ecuación de cantidad de movimiento ya planteada anteriormente Ecuación 84 833 Desprendimientos de la corriente La Ecuación 82 puede ponerse como sigue s W W U p s ρ 2 2 88 y sustituyendo en la Ecuación 87 se tiene finalmente 2 2 n w v s W W n w w s w w s s n s s 89 A partir de esta forma de la ecuación de la capa límite junto al álabe pueden extraerse algunas conclusiones interesantes Por ejemplo se deduce de la expresión anterior que cuando W decrece con s las condiciones son análogas a las de un movimiento divergente existiendo riesgo de desprendimiento de la capa límite Así pues el crecimiento o decrecimiento de la velocidad exterior W es determinante para prever los posibles desprendimientos interesará por tanto que W crezca con la coordenada longitudinal s 137 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1 2 0 W W s W 810 es decir que la velocidad relativa en la salida de canal entre álabes sea igual o superior a la de la entrada En el flujo exterior se cumple40 Ω 2 Rc W n W 811 y puesto que el radio de curvatura suele ser grande puede decirse que la cantidad Wn depende sobre todo de la velocidad de giro Ω por lo que en la Figura 84 se cumplen las siguientes desigualdades B B A A W W W W 812 s W W W A B B A 1 2 B B A A 2 1 Ω Figura 84 Perfil deseable de velocidad relativa a ambos lados del álabe en una bomba centrífuga para evitar desprendimientos de la corriente Si la condición anterior no se cumple aparece en el flujo real una zona de recirculación cerrada hacia el final del canal en la cara de presión del álabe véase la Figura 85a sobre todo para caudales pequeños tomando el flujo una configuración semejante a la situación de caudal nulo En la práctica el punto de desprendimiento de la capa límite suele adelantarse Figura 85b y la zona de recirculación se abre en la salida del rodete incluso puede aparecer otro desprendimiento en el borde de ataque en la cara de succión cuyo desarrollo puede llegar a perturbar todo el flujo Ω Ω Ω a b c Figura 85 Zonas probables de desprendimientos de la corriente en una bomba centrífuga a y b Para caudales pequeños c Para caudales elevados Para caudales elevados a la vez que las velocidades medias en el canal aumentan las diferencias de velocidad entre las dos caras del álabe disminuyen y por tanto disminuye el 40 Véase la Ecuación 622 138 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas par sobre el rodete En la entrada la velocidad W1 aumenta pero en menor medida que lo hace el caudal es decir la velocidad meridiana de modo que en la entrada existe una cierta aceleración del fluido que atenúa los desprendimientos que se han visto anteriormente por el estrechamiento de la sección de paso en la entrada del canal véase el desprendimiento que se produce en la Figura 85c Se ha visto hasta el momento que los desprendimientos más importantes aparecen en general a bajos caudales Para evitar los desprendimientos es conveniente atenuar la deceleración que sufre el fluido en el movimiento relativo e incluso imponer una aceleración si es posible Ecuación 810 Para disminuir el valor de W1 se deduce del triángulo de velocidades en la entrada que existen dos posibilidades Por un lado puede disminuirse U1 lo que es equivalente a reducir el diámetro de entrada esta alternativa no resulta apropiada puesto que una reducción de la sección de paso del conducto de admisión lleva a aumentar excesivamente la velocidad en la entrada y pueden aparecer desprendimientos en el conducto curvo que guía el fluido hacia la entrada del rodete Por otro lado puede reducirse la velocidad absoluta suponiendo que no existe prerrotación en la entrada la velocidad absoluta coincide con la velocidad meridiana lo que equivale para un mismo caudal a aumentar la altura del álabe b1 Esta es la razón por la que en la mayoría de los casos b1 b2 el rodete no es entonces estrictamente radial al no ser la altura del álabe constante Para aumentar el valor de W2 se deduce del triángulo de velocidades en la entrada que para una velocidad de rotación U2 dada debe disminuir Vu2 es decir la altura demandada o bien aumentar la velocidad meridiana Vm2 lo que es equivalente a reducir la altura del álabe b2 la otra opción posible aumentar β2 reduce la longitud del canal de paso del fluido lo que resulta al final desfavorable en parte porque aumentan las diferencias de velocidad entre las caras de los álabes En general conviene que el rodete tenga un número de álabes suficiente para reducir las diferencias de velocidad entre las caras de presión y de succión el inconveniente de esto último es el aumento de fricción en todos los regímenes de funcionamiento Lógicamente existirá en cada caso un número óptimo de álabes que resulta de un compromiso entre la reducción del rozamiento y el aumento de los desprendimientos sobre todo para caudales reducidos 834 Flujo en las paredes laterales del rodete Llamamos paredes laterales del rodete a las paredes que cierran lateralmente los canales de paso del fluido entre los álabes En estas paredes existen igualmente capas límite Si la rueda es suficientemente grande puede considerarse que el espesor de la capa límite junto a la pared lateral rotatoria se mantiene pequeño y que existe por tanto una zona de flujo exterior no perturbado por esta capa límite en el canal entre álabes El objetivo ahora es estudiar brevemente estas capas límite laterales En dirección del eje de giro la presión se transmite sin cambios desde el flujo medio hasta las paredes La distribución de presión en la capa límite está impuesta por el fluido exterior de modo que a lo largo de una normal como la BB véase la Figura 86 el movimiento está regido por la ecuación 0 2 2 2 2 Ω W R W U p n c ρ 813 por lo que puede decirse que el gradiente de presión y de fuerza centrífuga de arrastre está en principio compensada por la fuerza centrífuga relativa y por la fuerza de Coriolis En la capa límite de los laterales W se reduce y llega a hacerse nula en las paredes de modo que el término W R W c 2Ω 2 no equilibra al primer término de la ecuación anterior Esto significa que las líneas de corriente de la capa límite en los laterales no son perpendiculares a BB Figura 84 como lo son las líneas de corriente del flujo medio en el canal entre álabes sino 139 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles que existe una desviación de las líneas de corriente en estos laterales impuesta por el gradiente de presión y de fuerza centrífuga de arrastre 0 2 2 p U n ρ 814 Teniendo en cuenta que n W R W c 2Ω la Ecuación 813 puede ponerse como sigue 0 2 1 2 2 2 W n U p n ρ 815 por lo que se deduce que el término ausente en las paredes laterales del rodete es precisamente el gradiente de energía cinética relativa En la Figura 86 puede observarse que las líneas de corriente del flujo medio en el canal entre álabes se van curvando desde las flechas f1 a las flechas f2 a medida que se acercan a las paredes laterales del rodete Ω f f 2 1 B C B C T T 1 2 B Figura 86 Flujo secundario en las paredes laterales del rodete de una bomba centrífuga U W V V Vu2 2 2 2 m 2 T1 2 T El engrosamiento de la capa límite que se produce en puntos como el B en la salida de los canales móviles lleva a la aparición de un movimiento secundario como el que aparece en la Figura 86 Para continuar con el análisis se analizará la evolución del triángulo de velocidades en la salida del rodete entre un plano central tal como el T1 y otro cerca de la pared lateral T2 Figura 86 Esta evolución puede verse reflejada en la Figura 87 en la que se observa cómo la velocidad absoluta aumenta a medida que nos acercamos a la pared lateral aproximándose en este extremo al valor de U2 La dirección de la velocidad relativa W2 tiende a ser perpendicular a U2 y a anularse junto a la pared lateral Como en esta pared lateral la velocidad absoluta es U2 que es la mayor de todas las velocidades absolutas que pueden darse puede decirse que los planos cercanos a las paredes laterales tienen una mayor energía cinética absoluta que los planos intermedios Figura 87 Evolución del triángulo de velocidades desde el plano central hacia la pared lateral del rodete de una bomba centrífuga 140 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 835 Otros flujos secundarios Existen fundamentalmente dos tipos de flujo rotacional que pueden estar presentes en la entrada de una bomba centrífuga Uno de ellos es la prerrotación y el otro es el flujo de pérdidas que pone en contacto la impulsión con la aspiración de la bomba La prerrotación de entrada aparece cuando por ejemplo la bomba toma el fluido de un depósito con una superficie libre Es inevitable que las escalas grandes del flujo en la aspiración tengan perturbaciones que den lugar a un flujo con vorticidad en la entrada de la bomba Aunque estas nouniformidades sean pequeñas cuando las líneas de corriente se estrechan a medida que el fluido entra en la máquina la vorticidad se amplía considerablemente adquiriendo el fluido la conocida prerrotación en la entrada de los álabes Por otro lado el flujo de pérdidas internas que se produce en la impulsión de la bomba que circula por el espacio entre el rodete y las paredes fijas de la carcasa y que es impulsado por la sobrepresión existente en la impulsión puede descargar en la aspiración de la bomba dando lugar a un flujo hacia atrás con vorticidad Este flujo claramente tridimensional puede dar lugar a una distorsión de los ángulos de incidencia sobre los álabes y por tanto a un mal funcionamiento de la bomba Este efecto se hace más pronunciado a medida que aumenta la diferencia de presión entre la salida de los álabes y la aspiración rodete pérdidas externas difusor álabe guía distribuidor carcasa pérdidas internas canal de paso del fluido eje En la Figura 88 aparecen los flujos secundarios que pueden estar presentes en una bomba centrífuga que funciona fuera del punto de diseño se observa el flujo secundario al que da lugar al caudal de pérdidas internas y que posteriormente pone en contacto la aspiración con la impulsión de la bomba Los flujos secundarios que pueden aparecer en la voluta tienen lugar normalmente en la zona de unión entre la caja espiral y el conducto de impulsión la zona de recirculación se sitúa en la parte de la caja espiral cuando la bomba funciona con caudales por encima del de diseño y en la parte del conducto de impulsión cuando el caudal es menor que el de diseño Por otra parte como en todo conducto curvo en la voluta aparece un movimiento secundario superpuesto al movimiento principal debido al desequilibrio entre el gradiente de presión y la fuerza centrífuga cerca de las paredes 84 Capas límite y flujos secundarios en turbomáquinas axiales En la Sección 81 se efectuaron unas breves indicaciones sobre los problemas que plantean los efectos viscosos en las turbomáquinas axiales En este apartado se tratará algo más detenidamente este problema aunque sin pretender entrar en un estudio cuantitativo que necesariamente es complejo Como en las máquinas radiales que se han tratado anteriormente también se pueden producir desprendimientos en los rotores axiales En determinadas condiciones al modificar el Figura 88 Esquema de los flujos secundarios globales que pueden aparecer en una bomba centrífuga 141 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles caudal o el requerimiento de energía mecánica se va incrementando la sustentación requerida en los álabes y por tanto el ángulo de ataque αa al que se ven sometidos Figura 89a Los perfiles tienen un ángulo de ataque límite por encima del cual entran en pérdida disminuyendo bruscamente el coeficiente de sustentación CL Figura 89b El coeficiente de resistencia CD aumenta considerablemente como consecuencia del desprendimiento de la capa límite en un punto dado del extradós en el que existe un gradiente adverso de presión este punto se acerca al borde de ataque del álabe a medida que aumenta αa produciéndose una estela gruesa con gran aumento de la pérdida de la energía mecánica y degradación de las características de funcionamiento de la máquina Obviamente el ángulo de ataque límite para un perfil en una cascada es diferente del correspondiente a un ensayo con un álabe aislado por lo es necesario utilizar datos experimentales o métodos numéricos elaborados para predecir el comportamiento que se acaba de describir Existen en la bibliografía distintas aproximaciones para detectar el punto de aparición de desprendimientos de la corriente en máquinas axiales Una de las más conocidas es el factor de difusión de Lieblein 2 1 1 1 2 t l W W W W D u de modo que por encima de un cierto valor de este parámetro normalmente en torno a 06 pueden aparecer desprendimientos de importancia que modifican el flujo planteado en el prediseño línea de sustentación nula Voo a α C C D L αa estela a b Figura 89 a Desprendimiento de la capa límite en el extradós de un álabe de un rotor axial b Coeficientes de sustentación y de resistencia en función del ángulo de ataque Por otro lado como es lógico suponer son las bombas en las que el aumento global de presión es positivo donde estos efectos de desprendimiento de la capa límite son más peligrosos En turbinas también pueden existir estos problemas pero resulta más fácil mantenerla con un espesor relativamente pequeño y pegada a la superficie de los álabes 841 Flujos secundarios en las paredes de los álabes Para estudiar la aparición de algunos flujos secundarios en las turbomáquinas axiales se tomará un sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal x r θ que gire solidariamente con el rodete El vector de fuerzas másicas es 2 W x g fm Ω Ω Ω 816 La contribución de la gravedad puede despreciarse o bien introducirse mediante la presión reducida La contribución debida al giro del sistema con una velocidad de giro Ω constante puede comprobarse que resulta 2 re r x Ω Ω Ω 817 142 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas La contribución debida a la fuerza de Coriolis es téngase en cuenta que la componente acimutal de la velocidad relativa Wu tiene sentido contrario a la velocidad de arrastre U W θe W e W r u r Ω Ω Ω 2 2 2 818 Introduciendo las fuerzas másicas la componente radial de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede ponerse como sigue u u r z r u r r W r r p r W z W V W r W r W W Ω Ω 2 1 2 2 ρ θ 819 Suponiendo que el movimiento es estrictamente bidimensional Wr 0 y que existe simetría acimutal la ecuación anterior resulta u u W r r W r p Ω Ω 2 1 2 2 ρ 820 y puesto que r U Ω puede ponerse de la forma siguiente r W U r U r W r p u u ρ ρ ρ 2 2 2 821 región de capa límite zona central región de interferencia rodete carcasa álabe baja presión alta presión Por tanto en el movimiento medio el gradiente de presión en dirección radial p r está equilibrado con fuerzas centrífugas r U Wu 2 2 ρ y con fuerzas centrípetas 2ρWuUr En el fluido próximo a las paredes de los álabes el gradiente de presión no está equilibrado de igual manera La velocidad relativa del fluido junto a la pared es nula y en la capa límite es menor que en el movimiento medio entre álabes De esta manera si bien la fuerza centrífuga debida al movimiento de arrastre del rodete ρU2r se mantiene en la capa límite la debida a la componente acimutal de la velocidad de arrastre r wu ρ 2 y la fuerza centrípeta de Coriolis 2ρwuU r son menores a los valores correspondientes en el flujo exterior la primera de ellas en mayor medida por ser wu Wu Así existe en la capa límite un gradiente de presión radial adicional como consecuencia del desequilibrio de fuerzas que lleva a que las líneas de corriente próximas a la pared se curven hacia la punta de los álabes Visto de otro modo aparece una fuerza centrífuga descompensada que empuja al fluido a curvar su trayectoria hacia fuera es decir hacia la punta de los álabes en la vecindad de las paredes que los conforman véase la Figura 810 Este fenómeno se conoce con el nombre de barrido En el movimiento exterior a la capa límite aparece una fuerza centrípeta que compensa el desequilibrio existente en la capa límite El flujo así establecido deja de ser bidimensional Figura 810 Esquema frontal de los flujos secundarios que pueden aparecer en un rotor axial e indicación de las distintas regiones características del flujo 143 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sobre una superficie cilíndrica coaxial Más adelante se apuntará la idea del warping o alabeo de la superficie bidimensional de corriente 842 Flujos secundarios en la raíz de los álabes Por otro lado a lo largo de la superficie del cubo del rodete en el espacio comprendido entre la raíz de un álabe y la raíz del siguiente álabe también existen capas límite La fuerza centrífuga de arrastre tiene dirección radial así como la fuerza de Coriolis si se supone que Wr 0 De este modo el gradiente de presión entre las caras de presión y de succión de los dos álabes que forman el canal de paso debe ser compensado por la curvatura necesaria de las líneas de corriente del movimiento medio exterior a la capa límite W W w δ cara de succión cara de presión Ahora bien la velocidad relativa en la capa límite es menor que en el flujo exterior y este equilibrio de fuerzas se ve modificado Las partículas fluidas en la capa límite tienen una menor energía cinética relativa de modo que las líneas de corriente en la capa límite se curvan desde la cara de presión a la cara de succión situada enfrente siendo esta curvatura más acentuada a medida que nos acercamos a la pared Figura 811 Este alabeo del perfil de velocidad en la base del canal hace que se produzca una acumulación de fluido en el extradós de los álabes en la raíz que lleva a la aparición de desprendimientos por un lado y por otro a la aparición de un flujo secundario recirculatorio véase la Figura 812 843 Flujos secundarios globales Los flujos secundarios descritos pueden observarse en las Figuras 810 y 812 En la Figura 810 se aprecia cómo el barrido de la base de los álabes se une al barrido hacia la punta de los álabes motivando un flujo recirculatorio global además de posibles desprendimientos de la corriente Para estudiar más en detalle los flujos secundarios que aparecen en un rotor axial puede dividirse el espacio bidimensional entre dos álabes en tres zonas Figura 810 una zona central unas regiones de capa límite en las caras de presión y de succión y una región de interferencia cerca de la carcasa de la máquina Como puede observarse en esta figura existe un flujo de pérdidas internas en la punta de los álabes debido a la diferencia de presión entre la cara de presión y la de succión y que puede dar lugar a un flujo secundario en las dos caras del álabe El flujo de pérdidas aumenta considerablemente a medida que el punto de funcionamiento se aleja del nominal de la máquina Por otro lado el engrosamiento de la capa límite en la punta de los álabes como consecuencia del fenómeno del barrido que se ha descrito puede causar un desprendimiento de la capa límite y la interacción Figura 811 Perfil de velocidad en la raíz de los álabes en una turbomáquina axial curvado como consecuencia del desequilibrio de fuerzas entre el flujo medio y el flujo en la capa límite 144 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas consiguiente con el flujo de pérdidas cruzado entre las caras de presión y de succión en la punta de los álabes puede dar lugar a importantes flujos secundarios tridimensionales También existe una región de recirculación en la parte inferior de los álabes que aparece como consecuencia del flujo cruzado desde la cara de presión a la de succión en la raíz de los álabes descrito anteriormente La recirculación en la región de interferencia tiene sin embargo un carácter intermitente capa límite flujo de fugas flujo secundario estelas capa límite Figura 812 Esquema de los flujos secundarios globales que pueden aparecer en un rotor axial La característica más definitoria de la tridimensionalidad del flujo motivada por los desprendimientos y por los flujos secundarios es el fenómeno del alabeo warping de las superficies de corriente que invalidan claramente las teorías bidimensionales Figura 813 Una descripción detallada del flujo real a través de las turbomáquinas puede encontrarse por ejemplo en los textos de Sédille 1966 y Lakshminarayana 1986 superficie de corriente Bibliografía consultada AGARD Lecture Series No 167 Blading Design for Axial Turbomachines AGARD 1989 Brennen CE Hydrodynamics of pumps Concepts ETI Oxford University Press 1994 Lakshminarayana GF Fluid Dynamics of Inducers Encyclopaedia of Fluid Mechanics NP Cheremisinoff Ed Vol 2 Cap 40 pp 11521186 Gulf Publishing Company 1986 Figura 813 Fenómeno del warping o alabeo de las superficies bidimensionales de corriente en un rotor axial 145 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Schlichting H Boundary Layer Theory 7ª ed McGrawHill 1979 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 146 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 9 PÉRDIDAS Y CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS Y TURBINAS DE REACCIÓN 91 Introducción En capítulos anteriores se ha expuesto la forma que pueden tomar las curvas características dimensionales y adimensionales de bombas y turbinas hidráulicas sin justificar su procedencia Después de exponer el flujo real que tiene lugar en una turbomáquina se desarrolla en este capítulo el modo de cuantificar los distintos tipos de pérdidas que pueden aparecer y que se concretan en las curvas características reales de altura manométrica en el caso de bombas y de altura neta en el caso de turbinas a partir de las curvas teóricas calculadas con la Ecuación de Euler Se centra la atención fundamentalmente en bombas centrífugas y en turbinas de reacción El efecto del distribuidor de álabes orientables que es especialmente importante para las turbinas se expondrá en el Capítulo 12 como parte importante de la regulación del funcionamiento de las centrales hidroeléctricas Las turbinas de acción o impulso tipos Pelton Turgo o BankiMitchell cuyo funcionamiento y morfología son distintas merecen una atención particular y se estudiarán separadamente también en el Capítulo 12 92 Pérdidas por fricción en el disco y por fugas en una bomba centrífuga 921 Pérdidas por fricción en el disco En las superficies exteriores de los rodetes la fricción viscosa puede dar lugar a pérdidas de cierta importancia Para evaluar estas pérdidas se considerará un modelo simplificado en el que el disco gira entre las paredes fijas de la carcasa En general el movimiento es turbulento de modo que puede suponerse que el esfuerzo cortante en la pared del disco τp es proporcional al cuadrado de la velocidad de rotación del rodete 2 U 2 C f p ρ τ 91 donde Cf es el coeficiente de fricción que en general depende del número de Reynolds de la rugosidad de las superficies en contacto con el fluido y de la geometría considerada y U es la velocidad de arrastre U Ωr Suponiendo que el coeficiente Cf se mantiene constante en 147 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles toda la superficie del disco puede ponerse la potencia perdida por fricción en las dos caras laterales del disco como sigue d 2 d 2 2 0 4 3 Ω 2 Ω D f S p f r r C r s W πρ τ 92 de modo que operando y teniendo en cuenta que 2 2 2 D U Ω se tiene que 2 2 3 C U2D W f ρ 93 siendo C πCf10 La integral de la Ecuación 92 se ha realizado entre 0 y D22 porque se ha supuesto que el cubo central de la rueda es de pequeño tamaño y que en esta zona la pérdida es mucho menor que en la periferia las velocidades periféricas son menores y la pérdida depende del cubo de la velocidad como se comprueba en la ecuación anterior Existirá además una pérdida adicional por el rozamiento en la superficie periférica del disco que puede calcularse por 2 2 D e U W p f π τ 94 donde e es el espesor efectivo del disco Figura 91 Introduciendo en esta expresión el valor de τp dado por 91 así como la constante C se puede poner C U D e W f 2 3 5 ρ 2 95 U U U e 1 2 0 2 p2 p 2 B pB p2 p2 pA Rodete D 1 D1 0 D e2 L a La potencia total perdida por rozamiento se puede poner entonces e C U D D W W W f f f 5 2 2 3 2 ρ 96 De alguna manera se debe tener en cuenta la influencia del número de Reynolds de la rugosidad de las superficies y de la geometría del problema evaluada por ejemplo mediante la relación BD2 siendo B la holgura entre el rodete y la carcasa Figura 91 Tomando un número de Reynolds característico del disco expresado a partir de la velocidad periférica de arrastre U2 y de D2 ν ν 2 2 2 2 2 2 Re D D U Ω 97 puede encontrarse el valor de C a través de la experimentación Figura 92 El mínimo que aparece en la Figura 92 para la curva que corresponde a un valor fijo del número de Reynolds se debe a lo siguiente para bajos valores de B se obtienen coeficientes de rozamiento típicos para juntas estrechas con flujo laminar de modo que C es descendente con BD2 para mayores valores de esta relación intervienen los movimientos secundarios Figura 91 Sección transversal del rodete Distribución de presión en la holgura entre el rodete y la carcasa en una bomba centrífuga 148 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas por lo que al aumentar BD2 aumenta el coeficiente de rozamiento después de pasar por un mínimo En esta misma figura puede observarse que el coeficiente de rozamiento disminuye en general con el número de Reynolds para un mismo valor de BD2 de forma semejante a como ocurre con el flujo turbulento en tuberías y que C aumenta con BD2 para un mismo número de Reynolds tanto para paredes lisas como rugosas Los flujos secundarios que se han comentado tienen lugar como consecuencia del arrastre debido a la fuerza centrífuga en las paredes exteriores del disco y al flujo en sentido centrípeto junto a las paredes fijas de la carcasa estos dos flujos configuran un flujo secundario recirculatorio que junto con el movimiento de giro del rodete da lugar a un movimiento tridimensional en el que las partículas que están junto a la pared del disco describen espirales centrífugas y las partículas que se hallan junto a las paredes fijas describen espirales centrípetas Aunque por continuidad estos dos flujos deberían estar equilibrados resulta que como consecuencia del flujo de pérdidas procedente de la punta de los álabes la componente centrípeta de este flujo secundario tiene una mayor importancia Re BD BD fBD Re cte f Re 2 2 C 2 Liso Rugoso Respecto de la cuantificación de las pérdidas desde un punto de vista práctico pueden tenerse en cuenta mediante el rendimiento orgánico o rendimiento mecánico tal como se definió en el Capítulo 2 suponiendo que la potencia mecánica perdida Wo puede aproximarse a Wf Un cálculo más detallado de este rendimiento podría consistir en lo siguiente o η puede dividirse en un rendimiento o η que tenga en cuenta la potencia mecánica perdida en los prensaestopas o en los cojinetes por ejemplo y en un rendimiento o η que cuantifique los efectos de la potencia perdida Wf por el rozamiento del fluido contra el disco que es lo que se acaba de describir De esta manera el rendimiento orgánico o mecánico total se calcula por o o o η η η y en Wo se englobarían las pérdidas en los cojinetes y otros elementos mecánicos además de Wf En general los valores del rendimiento orgánico suelen ser altos superiores al 90 en la mayoría de los casos Pueden encontrarse en la literatura correlaciones de ηo en función de la velocidad específica y del caudal Normalmente puede decirse que ηo aumenta si ΩS y Q aumentan 922 Pérdidas por fugas Se trata de evaluar en esta sección el caudal fugado al exterior que hace que el caudal real trasegado por la turbomáquina sea distinto al nominal Estas pérdidas se evalúan en la práctica mediante el rendimiento volumétrico definido en el Capítulo 2 Se vio en aquel capítulo que en general el rendimiento volumétrico cuantifica el caudal perdido tanto por fugas externas como por fugas internas o recirculatorias En esta sección se efectúa una aproximación al cálculo del caudal de fugas externas Una técnica muy simplificada para el cálculo del caudal fugado al exterior es la que se va a describir a continuación La pérdida de carga H que se produce en un conducto por el que el caudal tiene una velocidad media ν puede calcularse mediante la expresión de DarcyWeisbach Figura 92 Factor de fricción en holguras C en función de BD2 y del número de Reynolds dado por Pfleiderer 149 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles g v d L g P H 2 51 2 λ ρ 98 donde el factor de 15 se debe a la pérdida de energía cinética v22g que se produce en la salida incrementada en 05 v22g por la contracción que tiene lugar en la entrada En la expresión anterior L es la longitud de la sección en la que tiene lugar el flujo de fugas y d es el diámetro hidráulico téngase en cuenta que la sección de fugas es anular véase la Figura 91 2 perímetro 4 área a d 99 siendo a la altura de la sección Operando v puede ponerse en función de la pérdida de carga 2 51 2 1 1 2 1 2 H g a L v λ 910 velocidad a partir de la que puede calcularse el caudal de fugas supuesta conocida la pérdida de carga H Da H g a L Da v Q fe π λ π 1 2 1 2 2 51 2 1 911 siendo D el diámetro medio de la sección donde se produce la fuga Para calcular el salto de presión que da lugar a la fuga H es preciso conocer al menos de forma aproximada la distribución de presión que existe en el espacio entre los laterales del disco y las paredes fijas de la carcasa Se supone que en este espacio se cumple de forma aproximada la ecuación cte 2 2 p U ρ 912 es decir que la presión está compensada con la fuerza centrífuga debida al arrastre del disco Ahora bien el fluido se mueve a una velocidad U junto a la pared del rodete y está quieto junto a la pared fija Si suponemos que esta masa fluida gira con una velocidad media Ω2 puede ponerse lo siguiente véase la Figura 91 2 4 1 2 0 2 2 2 U U p pA ρ 913 y entonces H pρg pA pextρg siendo pext la presión exterior a la bomba normalmente la presión ambiente También puede ponerse para el otro lado lo siguiente 2 4 1 2 1 2 2 2 U U p pB ρ 914 de manera que como puede observarse en la Figura 91 la distribución de presión en el fluido situado en los laterales del disco toma una forma parabólica El factor de pérdida de presión λ debe determinarse de forma aproximada o bien de manera experimental Pueden efectuarse estudios más detallados por ejemplo teniendo en 150 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas cuenta el tipo de cierre en la holgura cierres laberínticos u otros o bien considerando la geometría de los rodetes por ejemplo rodetes sin pared lateral etcétera Los cierres laberínticos actuales persiguen aumentar de forma importante la pérdida de carga a lo largo del cierre de modo que el caudal de fugas tienda a cero De esta manera el rendimiento volumétrico resulta simplemente ηv QQi estimándose normalmente a través de correlaciones prácticas en función de la velocidad específica En general al igual que el rendimiento orgánico puede decirse que el rendimiento volumétrico aumenta si aumentan tanto la velocidad específica como el caudal 93 Pérdidas rendimientos y curvas características en una bomba centrífuga En el Capítulo 8 se han estudiado los efectos de fricción la aparición de desprendimientos de la capa límite y la existencia de flujos secundarios además se han considerado en este capítulo las pérdidas por rozamiento en el disco y la presencia de fugas de caudal Todos estos efectos modifican el comportamiento de la máquina hidráulica que se ha supuesto por las teorías unidimensional y bidimensional La influencia que ejercen los efectos comentados se ha ido exponiendo a lo largo del presente trabajo Sin embargo desde un punto de visto práctico es preciso cuantificar estos efectos sobre la curva característica de la turbomáquina En esta sección se plantea este problema tomando como punto de referencia una bomba centrífuga La aplicación del Teorema de Euler en la teoría unidimensional suponiendo además que no existe prerrotación del fluido en la entrada de la máquina ofrece el siguiente resultado g u v H u t 2 2 915 pero como 2 2 2 2 tan β m u v u v y 2 2 2 D b Q vm π se tiene 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 tan β π β π D b u Q g u g D b u Q g u Ht 916 expresión que si β2 π2 para que el funcionamiento sea estable resulta una recta con pendiente negativa Esta recta debe corregirse por el efecto de la desviación del flujo al pasar a la teoría bidimensional Utilizando por ejemplo la corrección de Stodola Capítulo 6 se tiene que sen 2 2 2 β π U ε N gH gH t t N 917 Se obtiene entonces una recta paralela a la anterior y por debajo de ella en un caso real en general ni son paralelas ni se cortan en un punto dado esto último ocurre si se aplica la corrección de Pfleiderer Esta curva de altura teórica debe modificarse para tener en cuenta las denominadas pérdidas hidráulicas que tradicionalmente se han dividido en pérdidas por fricción y en pérdidas por choque 931 Pérdidas por fricción En esta sección deben incluirse todas las pérdidas derivadas de la fricción viscosa en las paredes que forman los canales de paso del fluido a través de la máquina no se incluyen aquí las pérdidas por fricción en el disco Como es conocido el flujo es principalmente turbulento Cualitativamente las pérdidas por fricción deben ser proporcionales al cuadrado de la velocidad o lo que es lo mismo al cuadrado del caudal 151 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 1 1 H K Q 918 expresión que es suficientemente aproximada Por simplicidad se denotará por H1 a las pérdidas hidráulicas por fricción obviando el subíndice i que necesariamente haría referencia al carácter interno a la máquina hidráulica de dichas pérdidas 932 Pérdidas por incidencia fuera del punto de diseño o por choque En estas pérdidas deben incluirse todas las pérdidas asociadas a los desprendimientos derivados de los ángulos de incidencia inadecuados a los choques y cambios bruscos de la dirección del fluido a una deficiente recuperación de energía cinética en el caracol de la voluta a los flujos secundarios que se hacen más importantes en condiciones de funcionamiento fuera del punto de diseño etcétera Tradicionalmente estas pérdidas han recibido el nombre de pérdidas por choque En teoría estas pérdidas deben ser nulas en el punto de diseño si se supone además que aumentan con el cuadrado de la diferencia entre el caudal de funcionamiento y el de diseño puede ponerse lo siguiente 2 0 2 2 Q Q K H 919 siendo Q0 el caudal de diseño esta expresión está suficientemente corroborada por la práctica Por simplicidad como se ha hecho anteriormente con H1 se denotará por H2 a las pérdidas por choque pero debe tenerse en cuenta y recordar el carácter interno de dichas pérdidas Desde el punto de vista del diseño geométrico de la bomba en el punto de máximo rendimiento el agua debe entrar sin choque es decir radialmente sin prerrotación al rodete y debe salir con la misma dirección que la de los álabes en la entrada del difusor para ello puede comprobarse que debe cumplirse la siguiente relación geométrica 2 3 2 1 2 2 1 2 1 cotan cotan tan β α β D D b b 920 siendo α3 el ángulo de entrada de los álabes del difusor Para llegar a esta expresión basta con igualar el caudal necesario para que el agua entre radialmente al rodete al caudal necesario para que el agua salga del rodete con un ángulo igual al de entrada de los álabes del difusor α3 y haciendo uso de las relaciones de los triángulos de velocidades en la entrada y en la salida del rodete 933 Curva característica real de una bomba centrífuga Según la definición de rendimiento hidráulico que se efectuó en el Capítulo 2 se tiene que debe cumplirse ηh HmHm H1 H2 o dicho de otro modo las pérdidas hidráulicas internas pueden calcularse como la suma de las pérdidas hidráulicas por fricción y por choque producidas en todos los elementos internos de la bomba Hi H1 H2 Así pues la altura manométrica real que suministra la bomba se determina restando a la altura teórica las pérdidas por fricción y las pérdidas por choque pérdidas por incidencia fuera del punto de diseño 2 0 2 1 2 Q K Q K Q H H t m 921 expresión que se ha representado en la Figura 93 para un caso real Las constantes dimensionales K1 y K2 deben determinarse de modo experimental para cada caso o al menos para cada familia de turbomáquinas Resulta conveniente no obstante disponer de expresiones lo suficientemente aproximadas y generalizadas como las propuestas por Pfleiderer 1960 para estimar directamente las curvas de altura de pérdidas 152 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 2 0 1 Q Q H H h t η 922 1 2 2 0 2 2 2 1 2 Q Q u u g H µ ϕ 923 con ϕ 05 07 µ el coeficiente de disminución de trabajo y Q0 el caudal de rendimiento máximo De las expresiones anteriores se deduce que Pfleiderer propone que 2 0 1 H Q K i y 2 0 2 2 2 Q g K u Las Ecuaciones 922 y 923 tienen como principal inconveniente la necesidad de estimar previamente el rendimiento hidráulico Figura 93 Curvas típicas de pérdidas internas altura teórica unidimensional y bidimensional altura manométrica y de rendimiento hidráulico para una bomba centrífuga para un caso real En la Figura 93 puede observarse que en general el punto real de máximo rendimiento es distinto al teórico para el que se anulan las pérdidas por choque aunque esta diferencia no suele ser relevante Para caudal nulo se está proporcionando una altura manométrica elevada que dista de ser nula el rendimiento para caudal nulo sin embargo debe ser estrictamente igual a cero Esta paradoja puede explicarse por el hecho de que para caudales muy pequeños los desprendimientos de las capas límite y los flujos secundarios que se producen en la bomba consumen una cierta potencia que no se está teniendo en cuenta Así en los ensayos experimentales puede determinarse una altura teórica experimental Htexp que se halla a partir de la altura manométrica real y del rendimiento hidráulico real lógicamente la curva así hallada coincide con la curva Ht salvo para caudales suficientemente pequeños para los que Htexp tiende a ser muy elevada Lo que se acaba de describir puede interpretarse de alguna manera como una medida de la intensidad del flujo turbulento secundario que se superpone al movimiento principal Puede comprobarse que la curva de potencia necesaria para proporcionar la curva de altura teórica la denominada potencia útil corregida por la desviación de flujo de la teoría bidimensional tiene la siguiente forma 2 2 2 1 cte cte Q Q Wu Ω Ω 924 Q m3s 00 02 04 06 08 10 12 H m ca 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ηh 05 06 07 08 09 10 Hm HtN H2 Ht H1 ηh 153 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles en la que cte2 es dependiente del ángulo del álabe β2 La forma que puede tomar la curva de potencia se ha mostrado en la Figura 94 en función de β2 Aunque teóricamente las curvas arrancan en el origen en realidad es preciso modificarlas líneas a trazos para tener en cuenta la potencia disipada para caudales pequeños como se ha visto anteriormente En esta figura puede observarse que se requiere una menor potencia para un mismo caudal en el caso correspondiente a β2 90º Q Wu β β β 90º 90º 2 2 90º 2 94 Curvas de rendimiento en una bomba centrífuga Finalmente para concluir la descripción del comportamiento real de la bomba es preciso tener en cuenta por un lado el caudal de fugas que hace que el caudal interno de la bomba sea superior al caudal que se bombea y por otro la pérdida de energía mecánica derivada de la fricción en el disco y en los elementos mecánicos de la bomba La cuantificación del caudal de fugas distorsiona ligeramente la curva de altura manométrica de la bomba de forma que existe un decalaje entre las curvas representadas en función del caudal interno y del caudal en la impulsión de la bomba Por otro lado la curva de rendimiento se hace mas achatada si además de las pérdidas hidráulicas se tienen en cuenta las pérdidas por fugas mediante el rendimiento volumétrico y las pérdidas por fricción en el disco y otros elementos mecánicos mediante el rendimiento orgánico o mecánico resultando entonces la curva de rendimiento total de la bomba Hm Q Q η H 0 Hm 0 Ω η 0 η Si a partir de unas curvas características adimensionales se desea reconstruir el funcionamiento de una máquina dada a distintos regímenes de giro ya se expuso que las curvas de rendimiento constante corresponden en teoría a parejas de parábolas Sección 34 Sin embargo los efectos de la viscosidad del fluido de la rugosidad de las paredes y de la cavitación hacen que estas parábolas se aproximen por su parte inferior pequeños caudales y alturas y por su parte superior grandes alturas y caudales Así véase la Figura 94 Curvas de potencia útil en función del ángulo de salida del álabe en una bomba centrífuga Figura 95 Forma típica de las colinas de rendimientos líneas de isorrendimiento para una bomba centrífuga 154 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Figura 95 las líneas de rendimiento constante aparecen como curvas cerradas y toman la denominación de colinas de rendimientos por su analogía con la descripción topográfica de una colina Como se observa en la Figura 95 la zona del rendimiento máximo se encuentra en la cima de la colina central 95 Curvas características de bombas axiales y de flujo mixto Todo lo expuesto anteriormente es general para cualquier tipo de bomba aunque en principio las formas de las curvas características que se han dibujado corresponden típicamente a una bomba centrífuga Q η m funcionamiento inestable m η H H punto nominal Sin embargo cuando el flujo es mixto o completamente axial la forma de las curvas características puede cambiar En las máquinas en las que el flujo predominante es axial la presencia de las capas límite adjuntas a las paredes de los álabes conduce a la reducción del área de paso efectiva del fluido a través del canal de paso además de la modificación del flujo inicialmente supuesto sobre superficies cilíndricas coaxiales con el eje fenómeno del warping expuesto en el Capítulo 8 La distribución de velocidad meridiana axial llega a ser menos uniforme a través de la sección de paso que en el caso de las máquinas radiales Este fenómeno afecta a las curvas características reales de la máquina sobre todo en un determinado rango de valores del caudal normalmente por debajo del caudal nominal de la bomba La reducción local de la altura manométrica obtenida da lugar a una forma característica de silla como puede verse en la Figura 96 En la parte ascendente de la curva de altura que tiene lugar tras el mínimo local el funcionamiento puede ser inestable 96 Curvas características de las turbinas de reacción en función del caudal Las turbinas hidráulicas están instaladas salvo casos particulares en saltos de agua determinados funcionando en general a una altura constante o con muy poca variación Por otra parte el régimen de giro es también constante pues están conectadas mecánicamente a un alternador de frecuencia fija El único grado de libertad posible por lo tanto es el gasto que atraviesa la turbina y que producirá una potencia variable en la forma gH Q W n t t η ρ 925 Figura 96 Forma típica de las curvas características de una bomba axial o de flujo mixto 155 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Será necesario por lo tanto disponer de órganos de regulación que en el caso de las turbinas Francis y Kaplan son los distribuidores de álabes orientables cuyo efecto se verá más adelante Para estudiar cómo se modifica el funcionamiento de la turbina cuando a régimen de giro constante se varía el gasto se plantean los triángulos de velocidad en el caso de una turbina Francis radial suponiendo condiciones uniformes en las secciones de entrada y de salida Figura 97 Se cumplen las siguientes relaciones 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 tan tan tan β α α m u u m u m v u v v v v v 926 v1 v w 1 u α1 β1 1 v2 α2 v w β2 2 2 u m 1 m2 1 2 Figura 97 Triángulos de velocidad en una turbina de reacción de tipo radial Por la Ecuación de Euler la energía mecánica específica extraída por la turbina altura útil con signo ya cambiado para que sea positiva es tan tan 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 β α m m u u u v u u v u u v u v gH 927 Utilizando la ecuación de continuidad 2 2 2 2 2 1 1 1 m m r b v r b v Q π π puede llegarse a la expresión siguiente tan 1 tan 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 Q b b r u u gH u β α π 928 La Ecuación 928 válida en sentido estricto para una turbina radial y a la que habría que corregir para un número finito de álabes indica que la variación de la altura teórica en cualquier turbina de reacción es lineal con el caudal Figura 98 B Q A H u Ω Ω 2 929 La potencia extraída tendrá la forma de la curva anterior multiplicada por el caudal lo que hace que incluso tenga signo negativo para caudales muy pequeños lo que significaría funcionar como una bomba41 Figura 99 2 2 B Q Q A W Ω Ω 930 41 Lógicamente la turbina no puede llegar a funcionar como bomba puesto que sería necesario cambiar de forma significativa la instalación entradas salidas En el aspecto práctico el comportamiento de la altura y de la potencia en función del caudal en turbinas se traduce en la existencia de un cierto caudal de funcionamiento mínimo o caudal de arranque 156 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Para obtener la altura neta y por tanto toda la variación de energía mecánica específica entre la entrada y la salida habrá que sumar a esta altura que corresponde a la útil las pérdidas hidráulicas que al igual que en bombas son las debidas a fricción del flujo en el canal crecientes con el cuadrado del caudal y las producidas por incidencia inadecuada en los álabes variables con el cuadrado de la diferencia entre el caudal real y el de diseño como se muestra en la Figura 910 2 0 2 2 2 1 Q D Q CQ B Q A H H H H u n Ω Ω 931 Q A Ω2 gHu W Q Figura 98 Energía mecánica específica teórica en una turbina de reacción en función del caudal para una posición fija del distribuidor Figura 99 Potencia extraída en función del caudal para una posición fija del distribuidor en una turbina de reacción Q m3s 5 10 15 20 25 30 H m ca 25 0 25 50 75 100 125 150 25 0 25 50 75 100 125 150 ηh 00 02 04 06 08 10 Hn Ht Hi ηh Figura 910 Curvas típicas de pérdidas internas alturas teórica y neta y de rendimiento hidráulico para una turbina de reacción 157 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 97 Curvas características de las turbinas de reacción en función del régimen de giro El análisis dimensional y las leyes de semejanza física pueden servir para trazar las curvas de actuaciones a velocidades de rotación Ω para máquinas semejantes de distinto tamaño característico D Para ello es necesario trazar las curvas características en la forma 1 2 1 1 2 2 Ω α ϕ n n gH D gH D Q 932 1 2 2 3 2 2 Ω α ϕ ρ n n gH D gH D W 933 1 2 3 Ω α ϕ η gHn D 934 Si se modifica el régimen de giro se podrían utilizar las curvas adimensionales para relacionar caudales y alturas de puntos homólogos de igual manera que se hace con bombas Sin embargo un modo muy usual de presentar las características de una turbina es en función del régimen de giro para una altura constante Esto proviene del modo como son ensayadas sobre modelos reducidos de laboratorio donde la potencia se mide con un freno mecánico hidráulico o eléctrico Colocando el distribuidor en una posición determinada y haciendo variar el par resistente del freno para barrer todos los regímenes de giro se obtienen las curvas representadas en la Figura 911 T0 W T Ω Ω Ω a b c Q Ω 0 Ω e η b a c Figura 911 Curvas de ensayos de una turbina de reacción en función de la velocidad de giro 158 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas En la representación gráfica T Ω Figura 911a aparecen algunos valores característicos que merece la pena señalar T0 par motor de arranque a velocidad de giro nula Ωe velocidad de embalamiento para la que se anula el par motor es la que se alcanza para un determinado salto tras la aceleración que se produciría si se desconecta de la red En el gráfico Q Ω Figura 911b el tipo de curva depende del tipo de turbina a Caudal Q creciente turbinas Francis rápidas velocidad específica alta b Caudal Q constante turbinas Francis medias y turbinas Pelton c Caudal Q decreciente turbinas Francis lentas El rendimiento puede deducirse de las gráficas anteriores por gH Q T n ρ η Ω 935 y tendrá su máximo para una velocidad de giro óptima Ω0 para la altura constante a la que se realiza el ensayo Las velocidades de embalamiento están relacionadas con la óptima en general por relaciones como las siguientes 81 Ω0 Ωe 936 para las turbinas Pelton y 02 Ω0 Ωe 937 para las turbinas Francis llegando hasta 25Ω0 para las de velocidad específica elevada Ciertos autores recomiendan la siguiente fórmula general para la velocidad de embalamiento 4 2 3 0 Ω Ω Ω s e 938 98 Flujo real en una cascada de álabes En el Capítulo 7 se desarrolló la teoría ideal en un rotor axial llegando al conocido resultado de que la fuerza sobre el perfil se debe únicamente al efecto de sustentación que tiene dirección perpendicular a la velocidad V definida ésta por u u u a x e V V V e V 2 1 1 2 939 resultando la fuerza de sustentación Γ V V tV F u L ρ ρ 940 siendo t la separación entre dos álabes y Γ la circulación alrededor del perfil el coeficiente de sustentación puede ponerse entonces como sigue l t V V V l F C u L L 2 2 2 1 ρ 941 159 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles siendo l la cuerda del perfil En el flujo real si las condiciones para esta capa límite producen un desprendimiento la estela turbulenta formada modificará de modo importante el flujo tras la cascada Aunque no se llegue a desprender la corriente la fuerza sobre los álabes no tiene la dirección normal a la corriente incidente sino que aparece una componente paralela a la dirección de la corriente debido a los efectos de fricción Se descompone así la fuerza en sustentación y en resistencia Figura 912 Este esquema y todo lo que se va a plantear a continuación sirve tanto para cascadas fijas o móviles para las primeras se emplea la velocidad absoluta y para las segundas la velocidad relativa en lo que sigue se emplearán velocidades absolutas Las componentes de la fuerza según las direcciones axial y radial son respectivamente sen cos α α D L x F F F 942 cos sen α α D L u F F F 943 V Va ο ο α ο ο F F F L D 1 2 La aplicación de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento sobre un volumen de control como el de la Figura 912 proporciona que la fuerza del fluido sobre el álabe es 2 1 2 1 u u u a x e V V t V p e t p F ρ 944 Por tanto 2 1 u a u x V t V F p t p F ρ 945 Lógicamente ahora no es aplicable la ecuación de Bernoulli para calcular la diferencia de presión 2 1 p p sí se aplica en teoría ideal es preciso introducir una altura de pérdidas debidas a fricción desprendimientos parciales o estelas por ejemplo Esta pérdida puede expresarse como un coeficiente de pérdidas ζr que puede relacionarse con la altura de pérdidas internas en el rodete puesto que se demuestra que es igual a 2gHiRV2 multiplicado por la presión dinámica correspondiente a V de modo que 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 V V V p p r ρ ζ ρ 946 Dividiendo las Ecuaciones 942 y 943 por 2 V 2l 1 ρ sustituyendo en ellas las expresiones de Fx y Fu dadas en 945 y teniendo en cuenta que cos sen 1 2 2 1 2 12 2 12 V V V V V V l F C V l F C u u a D D L L α α ρ ρ 947 Figura 912 Flujo real en una cascada de álabes Volumen de control a trazos para la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento 160 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas y operando42 resulta sen cos cos 2 2 12 α α ζ α ρ D L r u x C C l t V V l t V l F 948 cos sen sen 2 2 12 α α α ρ D L u u C C V V l t V l F 949 de donde se puede fácilmente despejar los coeficientes de sustentación CL y de resistencia CD α ζ α ζ cos 2 cos 2 r u L r u L V V t C l V V t C l 950 sen α ζ r t CD l 951 Se han obtenido por tanto las relaciones entre los coeficientes de sustentación y de resistencia del perfil del álabe por un lado y el coeficiente de pérdidas y la deflexión de la corriente es decir la variación de la velocidad acimutal producida por otro A partir de aquí podrían desarrollarse procedimientos de análisis o de diseño utilizando cálculos teóricos o resultados experimentales para aproximarse en mayor medida al flujo real Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 42 Se emplea la Ecuación 946 para eliminar la diferencia de presiones 161 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 10 FENÓMENOS DE CAVITACIÓN EN TURBOMÁQUINAS 101 Fundamentos y efectos de la cavitación Dentro de la aproximación al flujo real en una turbomáquina hidráulica quizá el fenómeno que puede llegar a ser más significativo es el de la cavitación Este fenómeno se produce por la vaporización localizada de líquido a causa de la reducción de la presión por efectos dinámicos en una cierta zona del campo fluido El fenómeno se caracteriza por la formación de burbujas de vapor en el interior del flujo o sobre las superficies sólidas en contacto con él La condición física general para que aparezca la cavitación es que la presión absoluta del líquido se reduzca al nivel de la presión de vapor correspondiente a la temperatura a que está dicho líquido Esta reducción debe ser por efectos dinámicos si está acompañada por ejemplo de adición de calor se trata de un fenómeno distinto Dado que las diferencias de presión dinámica en las máquinas de fluidos son del orden de la presión absoluta es fácil que se alcance la presión de vapor en algún punto del fluido Las burbujas formadas son arrastradas por el flujo y al llegar a las zonas de alta presión colapsan produciendo altas presiones y un sonido característico de la cavitación Los cálculos relativos al colapso de las burbujas muestran que las presiones producidas son muy elevadas del orden de 104 atmósferas y que se producen fuertes impactos con aplicación repetida que dan lugar a fatiga de tal modo que la zona sometida a estas condiciones presenta una rápida erosión y un picado muy característico Se estima que el ciclo medio de vida de una burbuja con cavitación desarrollada es del orden de 0003 segundos La nucleación de las burbujas su crecimiento y colapso final así como el efecto combinado de la tensión superficial el impacto mecánico durante el colapso la acción química e incluso térmica sobre la superficie del sólido durante el fenómeno de la cavitación son temas complejos y objeto aún de investigación Se conoce por experiencia que el uso prolongado y continuo de las máquinas hidráulicas bajo los efectos de la cavitación produce un efecto erosivo que puede llegar incluso a la completa destrucción de las partes vitales de la máquina sometidas a su acción en especial en el rotor También la cavitación produce fuertes vibraciones que pueden poner en peligro la integridad mecánica de la máquina Pero además de estos aspectos destructivos la cavitación modifica el funcionamiento de las máquinas hidráulicas En turbinas la cavitación da lugar a una caída de la potencia obtenida y del rendimiento En bombas se produce una disminución del salto de presión producido y del correspondiente rendimiento Estos efectos hidráulicos son fáciles de entender si se tiene en cuenta que las burbujas dan lugar a una contracción de las secciones vitales de paso y si la cavitación está suficientemente desarrollada pueden producir un fallo completo del funcionamiento de la máquina 162 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Todo lo expuesto está referido a turbomáquinas comunes En algunos casos como en las hélices propulsoras el funcionamiento con cavitación es usual Las burbujas formadas dejan la hélice y como al colapsar no tienen paredes sólidas cercanas no hay por tanto efectos tan negativos El estudio que sigue a continuación se refiere a bombas Al final del capítulo se particulariza para el caso de turbinas 102 Altura neta de aspiración y NPSH Es de esperar que la cavitación se presente en la parte de baja presión de una máquina es decir en la entrada de una bomba por ejemplo o cerca de ella Pero la presencia de cavitación no sólo es función de la máquina sino también de la instalación por lo que su análisis hay que realizarlo conjuntamente con la misma Supóngase que una bomba cuya entrada está en una cota ze toma fluido de un depósito con superficie libre a una cota z0 como se indica en la Figura 101 p z z e 0 a px p e ve Bomba Filtro Impulsión La presión absoluta en la sección de entrada e de la bomba viene dada por la ecuación 0 2 2 1 asp a e e e g H gz p gz v p ρ ρ ρ ρ 101 donde ρgHasp es la pérdida de presión en todo el conducto desde el depósito a la entrada de la bomba La presión mínima sin embargo no se produce en la entrada de la bomba sino en algún punto de su interior El punto indefinido en principio de la cara de baja presión de los álabes donde la velocidad absoluta sea máxima tendrá el valor de presión mínima que se denominará px La diferencia de presión entre la sección de entrada y este punto de presión mínima dependerá del diseño y de las condiciones de funcionamiento de la máquina y puede considerarse en principio proporcional a la energía cinética de la velocidad relativa en la entrada del rotor de la forma 2 1 2 1 w p p x e ρ ε 102 siendo ε un coeficiente que dependerá de cada tipo de máquina y del punto de funcionamiento La presión absoluta mínima alcanzada por lo tanto en algún punto del interior de la máquina puede ponerse por 2 1 2 1 2 2 1 0 w v g H z g z p p e asp e a x ρ ε ρ ρ ρ 103 La condición para que no exista cavitación es que la presión se mantenga siempre por encima de la presión de saturación del vapor de agua a la temperatura considerada esto es v x p p 104 Figura 101 Esquema de instalación de una bomba para el análisis de la cavitación parte de aspiración 163 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Si se eleva progresivamente la posición de la bomba respecto del depósito va disminuyendo la presión mínima en la misma hasta que al alcanzar niveles tan bajos como la de vapor se produce la cavitación Se denomina altura máxima de aspiración a este desnivel máximo libre de cavitación De la Ecuación 104 se deberá cumplir que 2 1 2 1 2 2 1 0 v e asp e a p w v g H z g z p ρ ε ρ ρ ρ 105 luego la altura máxima de aspiración será 2 2 2 1 2 0 g w g v H g p p z z z e asp v a asp máx máx e ε ρ 106 Planteándolo de otro modo la energía mecánica específica que se necesita en la entrada de la bomba para que no se produzca cavitación HeN puede ponerse 2 2 2 2 1 2 2 g w g v g p g v g p H e v N e e e N ε ρ ρ 107 mientras que la disponible en una instalación HeD dada es la definida por 2 2 asp asp a D e e e D H z g p g v g p H ρ ρ 108 La condición para evitar la cavitación es que la energía mecánica específica disponible sea mayor que la necesaria es decir HeD HeN lo que es otra forma de expresar la desigualdad que se ha planteado más arriba HeN es función de la bomba y HeD es función de la instalación Si lo que interesa son las alturas relativas sobre la presión de vapor pueden definirse las alturas netas de aspiración necesaria y disponible g w g v g v g p p H e N e v e N 2 2 2 2 1 2 2 ε ρ 109 2 2 asp asp v a D e v e D H z g p p g v g p p H ρ ρ 1010 respectivamente A este valor de altura neta de aspiración en sus dos acepciones La disponible en la entrada como una función de la instalación D H también dependiente de la naturaleza del fluido La necesaria como función de la bomba N H se le llama con las siglas inglesas NPSH net positive suction head Es un dato esencial para la selección de la bomba y que es necesario tener en cuenta para evitar la cavitación Siendo coherentes con el razonamiento anterior puede concluirse que para que no aparezca cavitación se requiere un NPSH necesario NPHSN menor que el disponible NPHSD El NPSH debe interpretarse desde un punto de vista energético aunque se exprese en unidades de longitud altura Es una medida de la energía disponible para evitar o para provocar la cavitación en una turbomáquina De hecho en determinada bibliografía se han cambiado las siglas tradicionales de NPSH por NPSE correspondiente la E a energy en sustitución de H head El valor del NPHSN expresa la energía que la bomba precisa en la entrada para que no se produzca cavitación por esta razón es el valor de referencia que el fabricante debe suministrar en las características del equipo 164 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 103 Condiciones de cavitación en una turbomáquina hidráulica Tanto la altura neta de aspiración disponible como la necesaria no son valores fijos sino que dependen de la condición de funcionamiento de la bomba en particular del caudal El NPSH disponible disminuye al aumentar el caudal por ser mayor la pérdida de carga en el conducto desde el depósito esta pérdida de carga aumenta con el cuadrado del caudal El NPSH necesario en la bomba se comporta sin embargo de modo diferente la curva ve 22g es siempre creciente cuadráticamente con el caudal mientras que la curva εw1 22g puede tener una forma más compleja al aumentar para caudales superiores o inferiores a los de diseño véase la Figura 102 En función del punto de intersección de las curvas de NPSHN y NPSHD una determinada bomba en una instalación dada puede presentar cavitación por encima de un determinado caudal de funcionamiento La cuestión de si una bomba en una determinada instalación va a presentar cavitación no es por tanto una cuestión que se resuelva con un sí o un no dependerá de la condición de funcionamiento de la misma es decir del punto de sus curvas características en que se sitúe por supuesto las curvas características se verán modificadas por la presencia de cavitación Q Cavitación H H N D ε ve 2 2 w1 2 2 Q Q diseño cavitación g g La presencia de cavitación en una máquina además del ruido y de las vibraciones que produce y que en ocasiones son los primeros síntomas se traducirá antes o después en una modificación de las actuaciones de la misma Los ensayos de cavitación se pueden realizar como se describen a continuación 1 Manteniendo Q y Ω constantes se modifica el NPSHD bajando por ejemplo el nivel relativo del depósito o estrangulando la aspiración hasta que la altura o el rendimiento caen véase la Figura 103 Se obtienen así los dos siguientes valores de altura neta de aspiración disponible HD i valor del NPSH para el que se inicia la cavitación para el valor dado de Q HD0 valor del NPSH mínimo para poder proporcionar el gasto Q aunque sea con altura o rendimiento nulos 2 Para un determinado régimen de giro se obtiene la curva característica H fQ para distintos valores del NPSH Para cada uno de ellos a un cierto valor de Q la curva cae separándose de la curva con altura de aspiración disponible infinita Este punto de separación es a valores de Q tanto más bajos cuanto menor es el NPSH disponible en la instalación Figura 104 Lo mismo se puede decir de la curva de rendimiento De modo análogo al caso anterior para cada valor del NPSH se pueden definir los dos siguientes valores del caudal Figura 102 Variación con el caudal de los valores de NPSH necesario y disponible Caudal de cavitación por intersección de las curvas 165 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles iQ valor del caudal para el que se inicia la cavitación a ese valor del NPSH para cada régimen de giro 0 Q valor máximo del caudal que se puede dar con el correspondiente valor del NPSH para cada régimen de giro H H D Di HD0 H η H Q Ω Q Q i 0 Figura 103 Ensayo de cavitación con caudal y velocidad de giro constantes variando el NPSH disponible Figura 104 Ensayo de cavitación a velocidad de giro constante por modificación de las curvas características Ambos métodos tendrán que dar valores relacionados entre sí aunque el segundo de ellos es menos reproducible y por tanto más impreciso En la Figura 105 se recoge un ejemplo del primero de ellos para una bomba axial Se observa que justo antes de disminuir la altura comunicada al fluido existe incluso un máximo relativo debido a la disminución de la fricción sobre los álabes por la ligera capa de vapor formada en la cavitación incipiente H HD m 104 Semejanza física y cavitación Parámetro de Thoma Si se quieren aplicar las técnicas de análisis dimensional y de la semejanza física al estudio completo y exhaustivo del flujo en una turbomáquina bajo las condiciones de cavitación habría que incluir como parámetros o variables a la tensión de vapor la tensión superficial la compresibilidad del vapor etc Si únicamente se quiere determinar en las curvas características la condición de inicio de la cavitación sólo es preciso añadir a las variables usuales el valor del NPSH disponible en la entrada Resultan por tanto las relaciones funcionales siguientes Ω D gH gHD f Q 1 ρ 1011 Ω D gH gHD f W 2 ρ 1012 Figura 105 Ensayo de cavitación típico en una bomba axial manteniendo el caudal y la velocidad de giro constantes 166 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Ω D gH gHD f 3 ρ η 1013 Aplicando el Teorema Π las relaciones anteriores se pueden expresar para turbinas de la forma siguiente 1 2 1 1 2 2 Ω H H gH D gH D Q D ϕ 1014 1 2 2 3 2 2 Ω H H gH D gH D W D ϕ ρ 1015 1 2 3 Ω H H gH D D ϕ η 1016 Para bombas las relaciones anteriores pueden ponerse 3 1 2 2 Ω Ω H H D Q D gH D ϕ 1017 3 2 5 3 Ω Ω H H D Q D W D ϕ ρ 1018 3 3 Ω H H D Q D ϕ η 1019 De esta manera los coeficientes de abertura en turbinas o de altura en bombas y de potencia y el rendimiento no sólo son función de los coeficientes de velocidad en turbinas o de caudal en bombas sino también del cociente entre la altura neta de aspiración y la altura neta en turbinas o la altura manométrica en bombas A este coeficiente se le denomina parámetro de Thoma H H σ 1020 En la definición anterior del parámetro de Thoma se ha prescindido de los subíndices D disponible o N necesario porque es ambivalente su interpretación Si se quiere generar la familia de curvas características de una bomba en una determinada instalación el parámetro de Thoma tendrá la acepción de la proporción del NPSH disponible en la instalación respecto de la altura dada por la bomba La cavitación aparece cuando esta altura neta de aspiración disponible se reduce al nivel de la necesaria función ésta de la bomba y por esta razón el parámetro de Thoma es escogiendo la acepción del NPSH necesario un parámetro de la bomba Llamando por lo tanto σi al valor del parámetro de Thoma en el punto de iniciarse la cavitación en el que cualquiera de las dos definiciones coincide resultará función exclusiva de cada una de las magnitudes adimensionales en juego esto es 3 3 2 1 2 1 Ω Ω ψ η ψ ψ σ D Q gH D i 1021 como se ha mostrado en la Figura 106 167 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Q Cavitación H H N D Ω 3 Ω Ω 2 2 D D2 2 Q Ω 3 D Q Ω 3 D HD Ω2D2 σ σ i σi Q Ω 3 D η σi máx η a b c ηmáx η η σi máx g g g m Figura 106 Curvas características adimensionales de cavitación en bombas Se ha indicado la definición gráfica del parámetro de Thoma de cavitación incipiente y de rendimiento máximo 105 Velocidad específica de aspiración Si ahora se centra la atención en el punto de máximo rendimiento Figura 106c el parámetro de Thoma correspondiente a máximo rendimiento σimáx será único para el diseño de que se trate esto es será una función de la velocidad específica La Figura 107 muestra que la relación entre este valor del parámetro de Thoma de cavitación incipiente a rendimiento máximo y la velocidad específica de la familia de turbomáquinas guardan una relación experimental cte 3 4 Ω máx i s σ 1022 por lo que se puede definir el parámetro adimensional 4 3 4 3 4 3 2 1 4 3 2 1 σ s D D H H gH Q gH Q S Ω Ω Ω 1023 168 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas que se llama velocidad específica de aspiración El valor de este parámetro en la condición de cavitación incipiente y de rendimiento máximo será Simáx cumpliéndose además que 3 4 máx imáx s iS σ Ω 1024 La velocidad específica de aspiración describe las condiciones en la zona de baja presión de la turbomáquina de forma análoga al parámetro de Thoma con la diferencia de ser prácticamente independiente de la velocidad específica y por tanto del tipo y diseño de la máquina El valor de Simáx no es estrictamente constante pero varía en un estrecho margen entre 25 y 35 aproximadamente para cualquier tipo de bomba y entre 35 y 52 aproximadamente para cualquier tipo de turbina Es decir la constante cte que aparece en la Ecuación 1022 varía relativamente poco entre los distintos tipos de turbomáquinas La gráfica de la Figura 107 recoge un promediado experimental de la relación entre la velocidad específica y el parámetro de Thoma para distintos tipos de bombas La zona de seguridad está situada para cada valor de la velocidad específica por encima de la curva Figura 107 Relación entre el parámetro de Thoma de cavitación incipiente y de rendimiento máximo y la velocidad específica para bombas 106 Cavitación en turbinas Aunque lo expuesto hasta el momento es válido tanto para bombas como para turbinas se ha centrado más la atención en las condiciones de cavitación de una bomba Conviene tener en cuenta ciertas salvedades que se producen en las turbinas de reacción43 En primer lugar la cavitación en turbinas se produce en la parte de baja presión de los álabes en la salida del rodete donde la presión estática es baja y la velocidad absoluta elevada En la instalación de la Figura 108 planteando la ecuación de conservación de la energía mecánica entre los puntos s salida del rodete de la turbinaentrada al tubo difusor y 0 superficie del agua en el canal de desagüe se tiene que 43 Por su propio funcionamiento la cavitación no aparece en general en las turbinas de acción 001 01 1 10 VELOCIDAD ESPECIFICA 001 01 1 PARAMETRO DE THOMA ZONA DE SEGURIDAD ΩS σimáx 169 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 2 g v H z g p g p s des des a s ρ ρ 1025 siendo zdes la diferencia de cotas entre los puntos s y 0 y Hdes la pérdida de carga entre dichos puntos es decir en la descarga de la turbina La presión mínima que se tiene en un punto en la cara de baja presión del álabe en la sección de salida puede ponerse 2 2 2 1 w p p s x ε 1026 0 s z tubo de aspiración canal de desagüe rodete tubería forzada des siendo w2 la velocidad relativa de salida del rodete Para que no exista cavitación px pv de modo que 2 2 2 2 2 g p g w g v H z g p v s des des a ρ ε ρ 1027 es decir que el término de pérdidas ayuda a diferencia de lo que ocurre en bombas a que no se produzca cavitación La expresión anterior puede ponerse del siguiente modo 2 2 2 2 2 des s des v a H g w g v z g p p ε ρ 1028 lo que lleva a definir en este caso el NPSHD por pa pvρg zdes y el parámetro de Thoma para turbinas σt por 1 n des v a t H z g p p ρ σ 1029 La altura máxima en la descarga zdesmáx es para la condición de cavitación incipiente 1 n n des máx v a t i H H H z g p p ρ σ 1030 por lo que n t i v a des máx H g p p z σ ρ 1031 que indica que cuando la altura neta aumenta debe descender la altura máxima en la descarga zdesmáx es decir debe descender la elevación de la turbina respecto del nivel del agua en el canal de desagüe incluso para alturas netas muy elevadas zdesmáx puede llegar a ser negativa lo que implica que es preciso colocar la turbina por debajo del nivel del agua en el canal se llama entonces sumergida Figura 108 Esquema de la instalación de una turbina de reacción para el análisis de la cavitación parte de la descarga o desagüe 170 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas La definición de velocidad específica de aspiración es igual que en el caso de las bombas En la Figura 109 puede observarse la relación existente entre el parámetro de Thoma y la velocidad específica para distintos tipos de turbinas La zona de seguridad se encuentra por encima de las tres curvas que aparecen en esta gráfica Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Cherkasski VM Bombas ventiladores y compresores Mir Moscú 1986 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Nekrasov B Hidráulica Mir Moscú 1968 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Potter MC y Wiggert DC Mechanics of fluids PrenticeHall 1991 Sayers AT Hydraulic and compressible flow turbomachines McGrawHill 1990 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Stepanoff AJ Centrifugal and axial flow pumps Wiley 1957 Turton RKa Rotodynamic pump design Cambridge University Press 1994 Zipparro VJ y Hasen H Eds Davis Handbook of Applied Hydraulics McGrawHill 1993 Wislicenus GF Fluid mechanics of turbomachinery Dover 1965 01 1 10 VELOCIDAD ESPECIFICA 001 01 1 PARAMETRO DE THOMA ZONA DE SEGURIDAD FRANCIS HELICE KAPLAN ΩS σimáx Figura 109 Relación entre el parámetro de Thoma de cavitación incipiente y de rendimiento máximo y la velocidad específica en turbinas de reacción 171 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE III Problema III1 RESUELTO Una bomba centrífuga de velocidad específica ΩS 0588 bombea en condiciones nominales de funcionamiento un caudal de agua de 780 litross suministrando una altura manométrica Hm 325 m Los diámetros exterior e interior del rodete son D2 1086 mm y D1 540 mm respectivamente Los correspondientes espesores de los álabes son b2 625 mm y b1 100 mm El agua entra radialmente al rodete En la salida los álabes están curvados hacia atrás β2 22º a Determinar la velocidad de giro de la bomba El rodete tiene 5 álabes y ha sido diseñado utilizando la corrección de Pfleiderer con ψ 0584 1 sen β2 b Calcular el rendimiento hidráulico en condiciones nominales de funcionamiento Se desea determinar la curva característica de la bomba La bomba se ha diseñado suponiendo que las pérdidas por choque son nulas en el punto de funcionamiento nominal Se conoce que el rendimiento hidráulico correspondiente a caudal nulo es ηh0 0695 c Hallar las curvas de altura teórica con número infinito de álabes y con número finito de álabes en función del caudal d Encontrar las constantes K1 y K2 que permiten determinar las curvas de altura de pérdidas por fricción y de pérdidas por choque e Determinar la curva característica HmQ de la bomba Representar gráficamente esta curva y las de los apartados anteriores SOLUCIÓN a La velocidad de giro de la bomba puede determinarse a partir de la velocidad específica como sigue 480 rpm 5023 rads s 0 78 m 0 588 9 81 ms 32 5 m 1 2 3 3 4 2 2 1 3 4 Ω Ω Q gH m S b Mediante la corrección de Pfleiderer se corrige la altura teórica para tener en cuenta el efecto de un número finito de álabes 1 2 1 2 2 1 r r N gH gH t t ψ 172 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas donde sen 22º 08028 0 584 1 ψ y r2 D22 r1 D12 y N el número de álabes igual a 5 Operando se obtiene 701 0 t t H H donde Ht se halla mediante la Ecuación de Euler 1 1 2 2 g u v u v H u u t siendo vu1 0 puesto que el agua entra radialmente al rodete Por otro lado vu2 se determina mediante las relaciones trigonométricas del triángulo de velocidades en la salida del rodete tan 2 tan 2 2 2 2 2 2 2 2 β π β D b Q D v u v m u Ω Operando con las relaciones anteriores y sustituyendo los valores numéricos correspondientes Ω 5023 rads D2 1086 m b2 00625 m se obtiene el valor de la altura teórica Ht 35 5 m El rendimiento hidráulico puede determinarse a partir de su definición 0 915 355 m 32 5 m t m h H H η c La curva de altura teórica con número infinito de álabes se determina mediante la Ecuación de Euler del modo siguiente tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 g D b Q D D g u v H u t β π Ω Ω de donde sustituyendo valores numéricos se obtiene 3227 7583 Q H t que es una recta con pendiente negativa La altura teórica con número finito de álabes se obtiene fácilmente como sigue 2262 5316 0 701 Q H H t t que también es una recta con pendiente negativa siendo esta pendiente diferente a la de la recta anterior d La curva de altura manométrica de la bomba se determina restando de la curva de altura teórica las curvas de altura de pérdidas por fricción y de pérdidas por choque es decir 2 1 H H H H H H t i t m 173 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En el punto de diseño las pérdidas por choque son nulas de modo que las pérdidas que se producen se deben únicamente a la fricción Así pues en el punto nominal 32 5 m 3 m 35 5 1 m t i H H H H Puede suponerse que las pérdidas por fricción aumentan cuadráticamente con el caudal siendo nulas para caudal nulo 2 1 1 H K Q de modo que la constante K1 puede determinarse a partir de los datos del punto de funcionamiento nominal en el que H1 3 m y Q 078 m3s La curva de altura de pérdidas por fricción resulta una parábola de la forma 4 931 2 1 Q H Como se ha dicho antes las pérdidas por fricción son nulas para caudal nulo En este punto de funcionamiento las pérdidas que se producen son únicamente por choque La altura teórica para caudal nulo se determina sustituyendo Q 0 en la expresión que se ha hallado anteriormente para Ht resultando 5316 m 0 Ht Puesto que es conocido el rendimiento manométrico hidráulico para caudal nulo puede obtenerse la altura manométrica para caudal nulo del modo siguiente 3695 m 0 695 5316 m 0 0 0 t h m H H η Así pues la constante K2 de la curva de altura de pérdidas por choque 2 0 2 2 Q Q K H puede determinarse con los datos del punto correspondiente a caudal nulo en el que se cumple que 3695 m 1621 m 5316 0 0 2 m t i H H H H y Q 0 Q0 078 m3s Operando la curva de altura de pérdidas por choque resulta 0 78 2664 2 2 Q H e La curva característica real de la bomba que proporciona la altura manométrica suministrada en función del caudal se determina por 2 1 H H H H t m Sustituyendo las curvas de altura de pérdidas por fricción y de pérdidas por choque en la expresión anterior se obtiene 3157 3695 1894 Q2 Q H m Puede comprobarse que para caudal nulo Hm 3695 m en el punto de diseño Q 078 m3s se obtiene Hm 325 m la altura máxima que puede proporcionar la bomba es de 398 m para un caudal en torno a 03 m3s En la figura adjunta se han representado las curvas obtenidas para la bomba 174 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Q m3s 00 02 04 06 08 10 12 H m ca 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Hm HtN H2 Ht H1 Problema III2 RESUELTO Una turbina Kaplan de potencia específica WS 276 está funcionando con las siguientes condiciones nominales de funcionamiento altura neta Hn 40 m altura útil Hu 37 m y caudal Q 506 m3s Los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales respectivamente a 098 y 097 La turbina está conectada a un alternador de rendimiento igual a 093 El diámetro exterior punta del rodete es de 740 m y el interior raíz de 375 m La voluta tiene una sección de entrada de 63 m2 siendo las pérdidas en la misma equivalentes al 13 de las pérdidas totales que se producen en la turbina El tubo difusor tiene un diámetro en su sección de salida de 8 m siendo la presión manométrica en este punto de 00392 bares en la sección de entrada del difusor situada a una altura de 32 m sobre el nivel del agua en el canal de desagüe la presión es de 0510 bares también manométrica Se supondrá que la componente axial de la velocidad es uniforme en todo el rodete y que no es preciso hacer corrección por desviación del flujo Rodete Voluta 32 m Tubo difusor Se pide determinar a El rendimiento total de la turbina b La potencia eléctrica generada por el alternador c La velocidad de giro d Los triángulos de velocidades de entrada y de salida correspondientes a una cierta posición radial en el rodete dada por un diámetro igual a 2Dpunta Draíz5 en la que la componente acimutal de la velocidad absoluta en la sección de salida es igual al 15 de dicha velocidad absoluta Dibújense gráficamente los triángulos de velocidades 175 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles e Pérdidas en el rodete y en el difusor f Presión manométrica en la sección de entrada de la voluta SOLUCIÓN a El rendimiento total de la turbina puede determinarse por 0 879 0 97 0 98 40 m 37 m o v n u o v h t H H η η η η η η b La potencia eléctrica generada por el alternador We puede ponerse T e e W W η siendo WT la potencia obtenida en la turbina 174 5 MW s 9 81 ms 40 m 000 kgm 506 m 1 0 879 2 3 3 n t T QgH W η ρ con lo que teniendo en cuenta que el rendimiento del alternador es ηe 093 se obtiene We 162 3 MW c La velocidad de giro puede obtenerse a partir de la potencia específica 5 4 12 2 1 n T S gH W W Ω ρ de donde sustituyendo valores numéricos se halla la velocidad 110 2 rpm 1154 rads Ω d Los triángulos de velocidades se determinan como se ha hecho en problemas anteriores Es preciso tener en cuenta en este problema que los triángulos se determinan para un diámetro 4 46 m 3 75 m 7 40 m 5 2 5 2 raíz punta D D D y que la velocidad acimutal en la salida del rodete es 015 2 2 v vu Haciendo uso de las relaciones trigonométricas conocidas de la Ecuación de Euler y hallando la velocidad axial por 4 2 2 r p v a D D Q v π η pueden determinarse completamente los triángulos de velocidades Compruébese que 3362º 5932 º 8137 º 4326 º 2569 ms 1551 ms 2 1 2 1 β β α α u va e La altura de pérdidas en la turbina es la suma de las alturas de pérdidas en la voluta en el rodete y en el difusor difusor rodete voluta i i i u n i H H H H H H En primer lugar puede determinarse la altura de pérdidas en el difusor Hidifusor 176 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 difusor difusor difusor 2 i e s H z g v g p ρ donde pedifusor 051 105 Nm2 psdifusor 00392 105 Nm2 zedifusor 32 m zsdifusor 0 y las velocidades correspondientes 1177 ms m 4 47 s 506 m 4 2 3 2 difusor π π ext e D Q v 1007 ms 8 m 4 s 506 m 4 2 3 2 difusor difusor π π s s D Q v Sustituyendo y operando resulta 0 290 m difusor Hi Puesto que la altura de pérdidas en la voluta Hivoluta es el 13 de la altura de pérdidas total se llega a que la altura de pérdidas en el rodete puede ponerse 2320 m 0 290 m 3 m 013 1 difusor voluta rodete i i i i H H H H f La diferencia de energía mecánica específica entre la entrada de la voluta y la salida del difusor es por definición la altura neta La presión y la velocidad en la salida del difusor son conocidas la altura neta es Hn 40 m y la velocidad en la entrada de la voluta es 8 032 ms 63 m s m 506 2 3 voluta ev de modo que suponiendo despreciable la diferencia de cotas entre la entrada y la salida de la máquina puede obtenerse la presión manométrica en la entrada de la turbina Compruébese que 48 m ca 41 voluta g pe ρ Problema III3 RESUELTO Se quiere realizar un nuevo diseño del rotor de la turbina Kaplan de la central hidroeléctrica de Machicura Chile cuyas características en su punto nominal de funcionamiento y sus dimensiones suministradas por el fabricante se resumen en el dibujo Suponiendo que el rendimiento orgánico es de 099 y el volumétrico de 098 obténgase a Rendimiento hidráulico del diseño actual Suponiendo que en el punto nominal de funcionamiento el ángulo del distribuidor sea de 30º el ángulo se mide desde la posición cerrada del distribuidor que sería 0º se pide b Distribución de velocidad acimutal en la entrada de los álabes de rotor y valor de la velocidad axial que se supone uniforme Suponiendo que el flujo queda sin velocidad acimutal a la salida del rotor y aplicando la teoría unidimensional se pide c Ángulos geométricos de entrada y salida del álabe en sus secciones base media y extrema 177 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Si el rendimiento hidráulico se quiere mejorar en dos centésimas y tomando como sección característica la media del álabe donde su cuerda es l 2 m se pide d Calcular los coeficientes de sustentación CL y de resistencia CD que tendría que tener el perfil del álabe en esa sección D D D r p 0 N Dp Dr D0 B0 B0 H 367 m Q 1442 m3s 4840 MW 1875 rpm n f 50 Hz N 4200 m 1932 m 7200 m 1323 m 5 n WT SOLUCIÓN a La potencia obtenida de la turbina puede ponerse como sigue n o v h n t T QgH QgH W η η η ρ η ρ de donde puede obtenerse el valor del rendimiento hidráulico puesto que todo lo demás es conocido véase la información que se da junto al dibujo Sustituyendo los valores numéricos correspondientes ρ 1000 kgm3 WT 484 MW Q 1442 m3s Hn 367 m ηv 098 ηo 099 y g 981 ms2 se obtiene 0 961 ηh b Puesto que se tiene una máquina axial el caudal interno de la turbina Qi puede ponerse 4 2 2 Q D v D Q v a r p i η π de donde puede obtenerse la velocidad axial av 1294 ms supuesta uniforme en todo el rotor u v v 1 a0 0 v α0 En adelante las magnitudes calculadas en el distribuidor se denotarán con el subíndice 0 El triángulo de velocidades en el distribuidor es como se ha dibujado esquemáticamente en la figura adjunta La componente acimutal de velocidad en el distribuidor puede calcularse entonces por tan 0 0 0 α a u v v 178 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas con α0 30º y va0 la velocidad axial en el distribuidor que se calcula por 4 819 ms 72 m 1323 m s 2 m 144 3 0 0 0 π π D B Q va Operando se encuentra el valor de vu0 8 346 ms uv 0 Puede hallarse la distribución de velocidad acimutal en la entrada del rotor imponiendo la condición de equilibrio radial vu r cte por lo que puede ponerse 2 1 0 0 v r D v u u y por tanto la distribución de vu1 resulta 2 05 2 30 1 p r u D r D r v c Para calcular los ángulos geométricos de entrada y de salida del álabe se emplearán las relaciones trigonométricas derivadas de los triángulos de velocidades en la entrada y en la salida del álabe En la figura adjunta se ha dibujado esquemáticamente el triángulo de velocidades en la entrada del rotor para una sección cualquiera del mismo de forma similar se dibujaría el triángulo en la salida del rotor u α β 1 1 v1 w1 vu1 va 3431º 4682 º 2 1 β β La sección media de los álabes tiene un radio r Dp Dr4 42 m 1932 m4 1533 m resultando 2327º 5096 º 2 1 β β Por último la punta de los álabes se caracteriza por un radio r Dp2 42 m2 21 m obteniéndose en este caso 1743º 2568 º 2 1 β β d El nuevo rendimiento hidráulico que se quiere conseguir es 0 981 0 02 0 961 ηh Puede comprobarse que tan tan 2 2 1 1 u a u a v u v v u v β β con vu2 0 como indica el enunciado y u Ωr variando r entre el radio exterior punta del rotor y el radio interior raíz del mismo La raíz o base de los álabes del rotor está dada por r Dr2 1932 m2 0966 m obteniéndose 179 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En adelante se denotarán con primas las magnitudes obtenidas a partir de este nuevo valor del rendimiento hidráulico Como indica el enunciado se trabajará con una sección intermedia del álabe dado por un radio r 1533 m Mediante la Ecuación de Euler que puede ponerse de la forma siguiente g u v H u u puede obtenerse el incremento de la componente acimutal de la velocidad absoluta entre la entrada y la salida del álabe vu Sustituyendo valores téngase en cuenta que n h u H H η se obtiene uv 1173 ms A partir de los triángulos de velocidades en la entrada y en la salida del álabe se obtiene que en módulo u u w v Teniendo en cuenta que la componente acimutal de la velocidad en la salida es nula se comprueba 2 1 1 u w v u w u u u Sustituyendo valores numéricos en las relaciones anteriores se obtiene 30 1 ms 1837 ms 2 1 u u w w Pueden calcularse ahora los coeficientes de sustentación y de resistencia que debe tener el álabe en la sección media para conseguir la mejora del rendimiento hidráulico El coeficiente de sustentación CL se calcula como sigue cos 2 1 α ζ r u L w w l t C En la expresión anterior l es la cuerda l 2 m y t el espaciamiento entre álabes 1926 m 2 N D D t r p π Por otro lado w se define por 2 1 2 1 2 4 1 2 u u a w w v w y el ángulo correspondiente por tan 1 2 2 1 u u a w w v α Sustituyendo valores numéricos se obtiene 281 º 2747 ms α w En cuanto al coeficiente de pérdidas r ζ este está definido por 180 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 2 2 1 w H g i R r ρ ρ ζ donde HiR es la altura de pérdidas en el rodete que puede calcularse al partir del rendimiento hidráulico como sigue 1 n h i R H H η Operando y sustituyendo valores numéricos se obtiene 0 0181 ζr con lo que ya puede hallarse el coeficiente de sustentación que resulta 0 807 CL Por otro lado el coeficiente de resistencia CD se calcula por sen 1 α ζ r D l t C Sustituyendo valores numéricos en la expresión anterior se obtiene 0 00821 CD Problema III4 RESUELTO Se necesita bombear desde un depósito subterráneo un caudal de 30 litross de agua a 60ºC con presión de vapor de 02 bares El análisis de la instalación proporciona el dato de que la bomba ha de tener una altura manométrica de 36 m El motor disponible gira a 1800 rpm y se desea seleccionar la bomba de modo que funcione en su punto de rendimiento máximo y se instale libre de problemas de cavitación El tubo de aspiración tiene una longitud de 10 m un diámetro de 10 cm una válvula de pie con una constante de perdidas K 15 y un codo con una constante K 03 Se conoce que para el tipo de bombas normalmente empleado en estos casos la velocidad específica de aspiración para cavitación incipiente y en el punto de rendimiento máximo es Simáx 3 En estas condiciones se pide a Calcular la velocidad específica de la bomba el parámetro de Thoma y la altura máxima de aspiración b Estimar el diámetro externo del rotor utilizando el diagrama de Cordier y los parámetros geométricos de la entrada al rotor sabiendo que D1D2 04 y b1D2 015 c Determinar el coeficiente ε que fija la mínima presión px en el interior de la máquina Puede suponerse que no existe prerrotación en la entrada del rodete Bomba 181 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles SOLUCIÓN a La velocidad específica se calcula por 40 9 81 ms 36 m 0 003 m s 1 800 30 rads 3 4 2 1 2 3 máx 4 3 1 2 Ω Ω π η n s gH Q A partir de la definición de velocidad específica de aspiración en el punto de rendimiento máximo 3 4 imáx s Simáx σ Ω puede obtenerse el parámetro de Thoma σimáx 0 0681 3 40 43 σimáx que es la relación entre el valor del NPSH disponible o el necesario en condiciones de cavitación incipiente y rendimiento máximo y la altura manométrica La altura máxima de aspiración de la bomba zaspmáx se calculará con la condición de que el NPSH disponible por parte de la instalación sea mayor que el NPSH necesario por parte de la bomba para que no exista cavitación N D HPSH NPSH En el límite cuando la cavitación es incipiente N D HPSH NPSH A partir del parámetro de Thoma 2 452 m 0 068136 m HPSH NPSH máx m i N D H σ Por otra parte de la ecuación de definición del NPSHD 2 NPSH 2 D e v e D g v g p g p ρ ρ donde pv es la presión de saturación de vapor puede hallarse la cantidad D e e g v g p 2 2 ρ mediante la ecuación de conservación de la energía mecánica aplicada entre un punto de la superficie libre del agua y un punto de la entrada de la bomba teniendo en cuenta las pérdidas en el conducto de aspiración Hasp 2 2 asp aspmáx a e e H z g p g v g p ρ ρ siendo pa la presión atmosférica se toma paρg 10 m ca La altura de pérdidas en la aspiración Hasp se calcula por 182 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 8 4 2 2 D g Q K D L H i i asp π λ Σ donde el coeficiente de pérdidas por fricción λ se determina en el diagrama de Moody a partir del número de Reynolds se supondrá que el conducto de aspiración no tiene rugosidad Puede comprobarse que el número de Reynolds es igual a 382 105 y que λ resulta aproximadamente igual a 00138 Teniendo en cuenta que L 10 m D 01 m y que iKi 15 3 sustituyendo valores numéricos en la expresión anterior se obtiene 2 365 m Hasp Puede comprobarse que 7 635 2 2 aspmáx D e e z g v g p ρ con lo que 7 635 NPSH g p z v aspmáx D ρ siendo pv 02 bar De la ecuación anterior puede calcularse zaspmáx que resulta 3144 m zaspmáx b Entrando en el diagrama de Cordier Figura 36 con un valor de la velocidad específica de 04 se determina un diámetro específico 7 Puesto que el diámetro específico es máx 2 1 4 1 η Q gH D m ext puede hallarse el valor del diámetro exterior Dext es decir D2 y con los datos del enunciado también D1 y b1 Operando se obtiene lo siguiente cm 24 11 2 cm 28 cm 1 1 2 b D D c A partir de la definición de NPSHN puede hallarse el valor del coeficiente ε 2 2 NPSH 2 1 2 g w g ve N ε siendo w1 la velocidad relativa en la entrada del rodete Si no existe prerrotación en la entrada del rodete entonces vu1 0 y se cumple que 1 1 1 1 D b Q v v m π obteniéndose v1 2034 ms Por otro lado el valor de la velocidad de arrastre u1 se determina como sigue 183 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1055 ms 2 0 112 m rads 30 1 800 2 1 1 Ω π D u con lo que la velocidad relativa puede calcularse por 2 1 2 1 2 1 1 u v w obteniéndose w1 1074 ms La velocidad en la entrada ve se calcula a partir del caudal 3 82 ms 10 m s 4 0 03 m 4 2 3 2 π πD Q ve Puede determinarse ahora ε como sigue 2 NPSH 2 2 1 2 w g v g N e ε obteniéndose ε 0 291 Problema III5 RESUELTO Una turbina hidráulica Francis produce una potencia de 2 MW girando a 300 rpm bajo una altura neta de 50 m La velocidad absoluta de salida del rodete es de 104 ms sin componente acimutal El diámetro exterior del rodete es de 165 m siendo el ángulo de entrada de los álabes de 22º El rendimiento hidráulico es igual a 081 mientras que los rendimientos volumétrico y orgánico pueden suponerse iguales a la unidad El parámetro de Thoma de cavitación incipiente puede obtenerse de la siguiente tabla suministrada por el fabricante para la gama de turbinas que ofrece ΩSt 0 0308 0603 0905 121 151 σti 0 004 01 018 028 041 La turbina se situará a 6 m sobre el nivel del agua en el canal de desagüe Se pide a Calcular el caudal que trasiega la turbina y la velocidad específica de la misma b Determinar la altura del álabe supuesta igual en las secciones de entrada y de salida y el diámetro interior del rodete c En las condiciones indicadas indicar si la turbina funciona o no en condiciones de cavitación Justifíquese la respuesta d Calcular la altura límite a la que se situaría la turbina para que aparezcan fenómenos de cavitación e Hallar las pérdidas entre la salida del rodete y el canal de desagüe suponiendo que es despreciable la energía cinética residual del agua para las condiciones del apartado anterior f Suponiendo que las pérdidas a través del rodete son iguales a 65 m calcular para la condición del apartado d la presión en la entrada del rodete DATOS presión atmosférica 103 m ca presión de saturación del vapor de agua 4 kPa SOLUCIÓN a Puesto que la potencia producida por la turbina es conocida puede hacerse lo siguiente 184 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 5 034 m s 0 81111000 kgm 9 81 ms 50 m 10 W 2 3 2 3 6 0 n v h T gH W Q η η ρ η La velocidad específica se obtiene de su definición se supone que las condiciones del enunciado son las de rendimiento máximo 0 676 9 81 ms 50 m s 5 034 m rads 30 300 3 4 2 1 2 3 máx 4 3 1 2 Ω Ω π η n S gH Q b Se utilizará la Ecuación de Euler para turbinas teniendo en cuenta además que vu2 0 como especifica el enunciado del problema 1 1 h n u t H g u v H η donde vu1 puede hallarse a partir del triángulo de velocidades en la entrada del rodete como sigue tan 2 tan 1 1 1 1 1 1 1 1 β π β D b Q D v u v m u Ω Operando con las relaciones anteriores y sustituyendo los valores numéricos correspondientes Ω 300 π30 rads D1 165 m β1 22º Hn 50 m ηh 081 Q 5034 m3s se obtiene el valor de la anchura del álabe supuesta uniforme 0 227 m 2 1 b b siendo fácil obtener además que el diámetro del rodete en la salida es D2 0 679 m c Para determinar si la turbina funciona o no en condiciones de cavitación es preciso utilizar la información de la tabla que aparece en el enunciado del problema Se necesita entonces encontrar el valor de la potencia específica puesto que se ha calculado en el apartado a la velocidad específica puede hacerse 0 608 0 676 0 81 1 2 1 2 Ω Ω h S S S t W η valor que puede utilizarse para entrar en la tabla del enunciado El valor de potencia específica más cercano es el de 0603 al que corresponde un valor del parámetro de Thoma para turbinas y condiciones de cavitación incipiente de 01 Por otra parte este coeficiente puede hallarse de forma alternativa con los datos del enunciado 1 des v a n t z g p p H ρ σ expresión de la que si se sustituyen los valores numéricos correspondientes obsérvese que la presión atmosférica está dada en metros de columna de agua mientras que la presión de vapor está en kilopascales con zdes 6 m como se indica en el enunciado para la diferencia de cotas entre la salida de la turbina y el nivel del agua en el canal de restitución se obtiene 10 0 0779 σt 185 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles lo que indica que el NPSH disponible en la instalación es menor que el NPSH necesario para la turbina luego en la condición de funcionamiento que se está estudiando existe cavitación d Precisamente la altura máxima a la que se puede disponer la salida de la turbina respecto del nivel del agua en el desagüe puede hallarse imponiendo la condición de cavitación incipiente en la expresión del parámetro de Thoma para turbinas 1 000 kgm 9 81 ms 4 10 Nm 50 m 10 3 1 10 2 3 2 3 desmáx t z σ de donde desmáx 4 89 m z e Se planteará la ecuación de conservación de la energía mecánica entre la salida de la turbina 2 y la superficie libre del agua en el canal de restitución que supondremos equivalente a la salida del difusor 3 2 2 difusor 3 2 3 3 2 2 2 2 Hi z g v g p z g v g p ρ ρ En esta última expresión se supondrá que la presión en 2 es la presión de vapor puesto que estamos en las mismas condiciones del apartado d en el que la cavitación es incipiente la velocidad en 2 es 104 ms se indica en el enunciado del problema la presión en 3 es la presión atmosférica la velocidad en 3 se desprecia al indicar el enunciado que se pierde la energía cinética residual y por último la diferencia de cotas entre 2 y 3 será desmáx 4 89 m z Operando se obtiene difusor 0 513 m Hi f En esta ocasión se planteará la ecuación de conservación de la energía mecánica entre la entrada al rodete 1 y la salida del mismo 2 teniendo en cuenta que la diferencia entre las energías de entrada y de salida es precisamente la dada por la Ecuación de Euler en un caso real en este intercambio también interviene la energía perdida en el rodete por fricción y desprendimientos de la corriente 2 2 rodete 2 2 2 2 1 2 1 1 i t H H z g v g p z g v g p ρ ρ En la expresión anterior se supondrá que la presión en 2 sigue siendo la presión de vapor La diferencia de cotas puede despreciarse Las pérdidas en el rodete son Hidifusor 65 m En cuanto a las velocidades es preciso hallar v1 del modo siguiente 1 2 2 1 2 1 1 u m v v v calculando la velocidad meridiana a partir del caudal y de la sección de paso del fluido y la velocidad acimutal con ayuda del triángulo de velocidades en la entrada del rodete tal como se ha hecho en problemas anteriores Puede comprobarse que se obtiene ms 1592 ms 1533 4 278 2 1 2 2 1 v y sustituyendo en la ecuación anterior de conservación se obtiene p1 3924 kPa 186 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE III Problema III6 PROPUESTO Se dispone de un diseño de una familia de bombas axiales que se quiere usar para vaciar un dique seco con el siguiente punto de funcionamiento Q 700 litross y Hm 4 m La bomba está compuesta por un rotor y un estátor ambos con perfiles de idénticas características aunque con distinta inclinación respecto del eje Se puede suponer que no existe prerrotación del flujo antes de atravesar el rotor y que el estátor deja también al flujo sin rotación siendo el grado de reacción del rotor igual a 05 El diseño está pensado para que el coeficiente de velocidad φ vau varíe en el rotor cuando la velocidad axial es uniforme entre 12 en la raíz del álabe y 06 en la punta Otras características del diseño disponible son ΩS Número de álabes DraízDpunta del álabe lt característico 36 4 05 18 Con esta información e hipótesis se pide a Determinar en primer lugar la velocidad de giro a la que se debe hacer funcionar la bomba b La velocidad axial del agua a través de la bomba y los diámetros de punta y de raíz del rodete c Definir los valores de los ángulos tangentes a los álabes en la entrada y en la salida del rotor β1 y β2 y en la entrada y en la salida del estátor α2 y α3 para la base del álabe para la sección media y para la punta d Con la distribución de ángulos y velocidades anterior calcular los coeficientes de sustentación y de resistencia que debe producir la sección media de los álabes del estátor con lt característico igual que el rotor para dos casos 1 En el caso ideal 2 En el caso de que existan pérdidas definidas por un coeficiente ζr 01 SOLUCIÓN a n 644 rpm b va 7864 ms Dpunta 389 mm Draíz 194 mm c Raíz α1 β2 90º β1 α2 5019º Sección media α1 β2 90º β1 α2 3865º Punta α1 β2 90º β1 α2 3096º d 1 CL 1178 CD 0 187 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 CL 1149 CD 0047 Problema III7 PROPUESTO Una turbina Francis de eje vertical gira con una velocidad de 375 rpm bajo una altura bruta de 675 m y una altura neta de 62 m véase el esquema de la figura adjunta El diámetro exterior del rodete es D1 15 m y la velocidad específica de la turbina ΩS 088 El agua entra al rodete sin choque con una componente meridiana de velocidad de 9 ms y lo abandona con una velocidad absoluta de 7 ms descargando en el socaz tras atravesar el tubo difusor con una velocidad de 2 ms La sección de entrada del rodete tiene una cota media de 2 m por encima del nivel del agua en el socaz mientras que la sección de salida tiene una cota media de 17 m sobre el mismo nivel En las secciones de entrada y de salida del rodete se han medido presiones relativas de 35 m ca y de 22 m ca respectivamente La relación entre los espesores del álabe en la salida y en la entrada del rodete es b2b1 22 Rodete Socaz Distribuidor Voluta 0 m 675 m Tubo difusor Tubería forzada Suponiendo que el rendimiento hidráulico de la turbina es ηh 09 calcular a El ángulo de salida de los álabes del distribuidor y el ángulo de entrada de los álabes del rodete b Las alturas de pérdidas en la tubería forzada en el conjunto volutadistribuidor en el rodete y en el tubo difusor c La pérdida de energía cinética en la salida del tubo difusor d La potencia obtenida de la turbina e La anchura de los álabes en la entrada y en la salida del rodete y los diámetros de entrada y de salida del tubo difusor SOLUCIÓN a β1 3963º α1 2584º b Htubforzada 55 m Hivoluta 3266 m Hirodete 09366 m Hidifusor 1794 m c 02039 m d WT 4123 kW e b1 01776 m b2 03907 m D2 D3 08766 m D4 219 m Problema III8 PROPUESTO En la gráfica adjunta se han representado las curvas de altura de pérdidas por fricción altura de pérdidas por choque y altura teórica corregida por desviación angular del flujo de 188 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas una bomba centrífuga que gira a 750 rpm provista de un difusor de álabes fijos El diámetro exterior del rodete es de 750 mm y la altura del álabe constante de 70 mm el ángulo del álabe en la entrada del rodete es de 45º El coeficiente de disminución de trabajo es igual a 085 Los rendimientos volumétrico y orgánico pueden tomarse iguales a la unidad y al 92 respectivamente Q m3s 00 02 04 06 08 10 12 14 H m ca 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 H2 Ht H1 a Hallar las expresiones analíticas de las curvas de altura teórica manométrica de pérdidas por choque y de pérdidas por fricción y de rendimiento hidráulico b Representar gráficamente sobre la figura las curvas de altura manométrica y de rendimiento hidráulico c Demuestre que para que el agua entre sin choque tanto al rodete como al difusor tiene que cumplirse la siguiente relación geométrica 2 3 2 1 2 2 1 2 1 cotan cotan tan β α β D D b b siendo α3 el ángulo de entrada de los álabes del difusor d Encontrar los valores numéricos de los ángulos de salida del álabe y del flujo en el rodete y del diámetro interior del mismo Comprobar con estos valores la bondad de la expresión anterior e Calcular la potencia que consumiría la bomba en su punto de funcionamiento nominal si se la hace girar a 1500 rpm SOLUCIÓN a Q H Q H Q H t 2262 5331 0 7813 2761 4 39 2 2 2 1 2 1 H H H H t m t m h η H H d 273 mm 1538 º 1437 º 1 2 2 D β α f W B 2 142 KW Problema III9 PROPUESTO Una turbina Kaplan de eje vertical funciona en las condiciones nominales dadas por la altura caudal y valores de los parámetros adimensionales que se exponen en la siguiente tabla 189 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Hn Q QD2gH12 WρD2gH32 WS DpuntaDraíz 105 m 450 m3s 07 06 45 25 Se conoce además que el rendimiento orgánico es igual al 98 y que en la salida del rodete no existe momento cinético El difusor puede tratarse como un tubo acodado de sección circular con relación entre la sección de entrada y la de salida de 125 Las pérdidas en el interior del difusor constituyen el 8 de la energía cinética en la salida del rodete a Calcular el diámetro exterior de punta del rodete la potencia útil de la turbina y el rendimiento total de la misma b Calcular asimismo el diámetro interior de raíz del rodete la velocidad de giro y el rendimiento hidráulico c Determinar los triángulos de velocidades de entrada y de salida tanto en la raíz como en la punta del álabe d Hallar la altura máxima a la que se puede colocar la salida del rodete entrada del difusor respecto del nivel del agua en el canal de restitución para que no exista cavitación e Suponiendo que las pérdidas hidráulicas en el rodete son iguales a las pérdidas en la caja espiral determinar las pérdidas hidráulicas en el difusor en el rodete y en la caja espiral téngase en cuenta la pérdida de energía cinética en la salida del difusor f Tomando como representativa la sección correspondiente a la altura media del álabe encontrar el valor de los coeficientes de sustentación y de resistencia del mismo lt característico del álabe igual a 075 DATOS Presión de saturación del vapor de agua 2500 Nm2 Presión ambiente 105 Nm2 SOLUCIÓN a 0 857 3 973 10 W 7 959 m t 7 η T p W D b 0 874 7162 rpm 3184 m h r n D η c Raíz 4205º 55 º 1077 ms 94 ms 11 2 1 β α av u Punta 1984º 7436 º 1077 ms 2985 ms 2 1 β α av u d 677 m e 1m 015 m 015 m idifusor icaja espiral irodete H H H f 0 0111 0 651 D L C C Problema III10 PROPUESTO Se desea aprovechar un salto hidráulico bruto de 75 m mediante una turbina Francis de tipo radial La tubería forzada tiene una longitud de 72 m un diámetro de 100 cm un coeficiente de pérdidas por fricción constante de 0022 y una válvula de regulación cuyo coeficiente de pérdida secundaria es de 3 El eje de la turbina debe girar a una velocidad de giro de 375 rpm De entre las ofertas recibidas por los fabricantes se han considerado dos Condiciones nominales Turbina 1 Turbina 2 Altura neta m ca 56 50 Caudal m3s 7 85 Rendimiento total 88 88 D1D2 2 18 D1b1 10 10 190 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas a En primer lugar se desea seleccionar la turbina que resulte más adecuada para el aprovechamiento hidráulico del salto b Hallar la potencia obtenida con la turbina seleccionada la velocidad específica y el coeficiente de potencia específica de la misma c Suponiendo que el diámetro exterior del rodete D1 puede determinarse con ayuda del diagrama de Cordier se pide determinar los triángulos de velocidades en la entrada y en la salida del rodete dando los valores de los ángulos del flujo y de los álabes Para realizar este apartado hacer las simplificaciones que resulten necesarias justificándolas convenientemente d Según información suministrada por los fabricantes en cualquiera de las dos turbinas ofertadas las pérdidas hidráulicas se reparten a partes iguales entre el rodete el distribuidor y la voluta Determínese entonces el salto de presión que se produce a través del rodete en la turbina seleccionada e Supóngase que sea necesario que la turbina seleccionada gire a 325 rpm Si se quiere que la turbina siga funcionando a máximo rendimiento calcular el coeficiente de pérdida secundaria que es preciso conseguir en la válvula de regulación SOLUCIÓN a Turbina 1 b 0 859 0 916 3 384 KW Ω S S T W W c 4304º 90 º 2253 º 2810 º 2 2 1 1 β α β α d 4997 m e K 9 25 Problema III11 PROPUESTO En una central hidroeléctrica se desea instalar una turbina que debe tener su punto de diseño rendimiento máximo para una altura neta de 80 m y un caudal de 10 m3s El eje de la turbina será vertical y se conectará a un alternador que gira a 375 rpm Se espera obtener de la turbina una potencia en el eje de 6500 kW Z Canal de restitución Turbina La presión ambiente a la altitud a la que se sitúa la turbina es de 950 milibares y la presión de vapor a la temperatura a la que está el agua es de 1 kPa Se tiene el dato de que la velocidad específica de aspiración de la turbina es igual a 5 Se pide a Velocidad específica y potencia específica de la turbina Indicar el tipo de turbina b Parámetro de Thoma de cavitación incipiente en rendimiento máximo c Altura máxima Z a la que se puede situar la turbina por encima del nivel del agua libre del canal de restitución para evitar efectos de cavitación 191 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles d Si en el conducto de aspiración se pierde un 5 de la energía cinética en la salida del rodete y la energía cinética residual en el canal de restitución es despreciable determinar el diámetro del conducto en la sección de salida del rodete inicio del conducto de aspiración y localización de la posible cavitación para cumplir los requisitos anteriores de cavitación SOLUCIÓN a ΩS 0838 WS ΩSt 0762 turbina Francis normal b σimáx 00924 c Zmáx 219 m d Dsalida 1015 m Problema III12 PROPUESTO Las condiciones nominales de funcionamiento de una turbina Kaplan de eje vertical conectada a un alternador de rendimiento eléctrico igual al 95 son las siguientes Salto neto 42 m salto útil 39 m caudal de funcionamiento 516 m3s velocidad de giro 1071 rpm producto de rendimientos ηvη0 096 Se conoce además que el diámetro exterior de punta del rodete es de 750 m y el interior de raíz de 385 m Se supondrá que la componente axial de la velocidad absoluta se mantiene uniforme en todo el rodete El área de la sección de entrada en la voluta es de 673 m2 En la sección de salida del difusor el diámetro es D0 8354 m y la presión p0 098 kgcm2 en la sección de entrada del mismo situada a una altura B 27 m por encima del nivel del agua en el canal de restitución la presión es de 050 kgcm2 Las pérdidas en la voluta representan el 15 de las pérdidas hidráulicas totales que se producen en la turbina Supóngase despreciable la pérdida de energía cinética en la salida del tubo de aspiración Se pide determinar a El rendimiento total de la turbina b La potencia eléctrica generada por el alternador c Los triángulos de velocidades de entrada y de salida correspondientes a una posición radial dada por D 04 Dp Dr donde la componente acimutal de la velocidad absoluta en la sección de salida es igual al 10 de dicha velocidad absoluta d Las pérdidas en el rodete y en el difusor e La presión en la entrada de la voluta f Indicar si existe peligro de cavitación Tomese la presión de saturación del vapor de agua igual a 2600 Nm2 SOLUCIÓN a 0892 b 180 MW c 6087º 4365 º 1586 ms 2546 ms 1 1 β α av u 3360º 8426 º 2 2 β α d 0 3361 m 2 214 m idifusor irodete H H e 5062 m f No 192 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Problema III13 PROPUESTO Se desea aprovechar un salto hidráulico bruto de 250 m que se tomará fijo para cualquier condición En función de la disponibilidad de agua en el embalse se contemplan tres caudales de funcionamiento 65 m3s 35 m3s y 11 m3s La conducción forzada tiene una longitud de 750 m y la velocidad máxima prevista en ella es de 12 ms siendo la rugosidad de la tubería de 2 mm El rendimiento mínimo que debe tener la turbina es del 92 y el del alternador 96 La turbina estará acoplada directamente a un alternador con 8 pares de polos a Indicar cuál es el tipo de turbina idóneo para cada caudal Hallar la potencia producida en cada caso b Para un caudal promedio de 55 m3s realizar un prediseño de la turbina utilícese el diagrama de Cordier imponiendo la condición de que el diámetro medio del rodete es de 25 m y que la altura de los álabes se mantiene constante e igual a 16 del diámetro exterior Dar en concreto los valores de los ángulos del álabe y del flujo c En las condiciones del apartado anterior encontrar el valor del parámetro de Thoma para que la turbina pueda situarse por encima de un metro respecto del nivel del agua en el canal de restitución d Calcular el rendimiento global de la instalación e Cómo puede mejorarse este rendimiento global sin actuar sobre la turbina Razone la respuesta mediante un ejemplo numérico DATOS Densidad del agua 1000 kgm3 Viscosidad dinámica del agua 3 10 Pas Presión ambiente 10 m ca Presión de saturación del vapor de agua 2500 Nm2 SOLUCIÓN a Francis media WS 0989 We 1189 108 W Francis lenta WS 0662 Francis lenta o en el límite Pelton WS 036 b 3074º 90 º 17 º 0 561 m 1 635 m 3 365 m 2 2 1 2 1 β α α b D D c 00394 d 785 193 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Bloque IV CÁLCULO DE MÁQUINAS HIDRÁULICAS Y DE SUS INSTALACIONES 11 Elementos para el cálculo de bombas e instalaciones de bombeo 12 Elementos para el cálculo e instalación de turbinas hidráulicas Turbinas de acción 13 Centrales hidroeléctricas I Instalaciones hidráulicas 14 Centrales hidroeléctricas II Tipos de centrales y regulación 15 Máquinas de fluidos de compresibilidad despreciable 16 Máquinas de desplazamiento positivo y transmisiones hidráulicas Problemas resueltos Bloque IV Problemas propuestos Bloque IV James B Francis 18151892 fue un ingeniero civil británico estadounidense inventor de la configuración actual de las turbinas Francis que podemos encontrar en un gran número de centrales hidroeléctricas 194 James B Francis Wikipedia La enciclopedia libre Fecha de consulta 3 octubre 2016 de httpsenwikipediaorgwikiJamesBFrancis Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 11 ELEMENTOS PARA EL CÁLCULO DE BOMBAS E INSTALACIONES DE BOMBEO 111 Introducción En los capítulos anteriores se ha analizado el funcionamiento de las bombas hidráulicas de forma paulatina En primer lugar se realizó un análisis integral y un planteamiento de semejanza física con simplificaciones importantes como prescindir de los efectos de la viscosidad y de la rugosidad A continuación se desarrollaron las teorías unidimensional y bidimensional con un enfoque fundamentalmente ideal y por último se plantearon los efectos de las pérdidas hidráulicas y de los fenómenos de cavitación que modifican lógicamente las curvas características y el comportamiento inicialmente previsto Si se quiere completar la visión del funcionamiento de la máquina es necesario tener en cuenta aspectos que no se han considerado hasta ahora y que serán objeto del Bloque IV En este capítulo se apuntarán además algunos elementos del diseño de las bombas centrífugas aunque por supuesto sería necesaria una revisión más completa de la bibliografía relacionada para emprender con éxito la tarea del diseño de una turbomáquina 112 Instalación de bombeo Punto de funcionamiento Después de haber analizado a la bomba aislada se puede abordar el funcionamiento de la máquina instalada en una determinada instalación Suponiendo que la bomba se emplea para trasvasar fluido desde un depósito a otro de mayor altura se situará lo más baja posible para evitar los problemas de cavitación En la admisión desde el depósito origen Figura 111 se colocará una entrada de tipo colador o alcachofa para evitar que pueda ingerirse cuerpos extraños También se dispondrá en este punto una válvula de pie para impedir que la bomba se descebe se vacíe de fluido mientras está parada La tubería de aspiración termina en el codo o brida de entrada a la bomba Aunque físicamente resulta imposible que no se formen remolinos en la aspiración de la bomba y que se traduzcan posteriormente en una prerrotación indeseable en el rodete se debe hacer lo posible por evitar la formación de estos vórtices Para ello la tubería de aspiración debe estar sumergida en el agua una altura del orden de la energía cinética de succión originada por la bomba al ponerse en marcha En algunos textos esta altura recibe el nombre de sumergencia Por otro lado se intentarán eliminar irregularidades en el depósito de aspiración así como las vibraciones producidas por la misma bomba En la parte de presión de la bomba se instalará una válvula de compuerta y en las bombas de media y alta presión una válvula de retención para evitar el efecto del golpe de 195 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles ariete en paradas bruscas que puedan dañar la máquina La válvula de compuerta se emplea para la puesta en marcha de la bomba que se realiza con la compuerta cerrada Cuando en la caja espiral el agua toma presión se abre lentamente la válvula de compuerta y el fluido empieza a circular por la tubería de impulsión hasta llegar al régimen estacionario Las posiciones parciales de la válvula de compuerta pueden servir de regulación como se verá más adelante Al parar la bomba se cierra la compuerta para descargar la bomba de la presión estática presente en la tubería de impulsión También suelen disponerse otras válvulas de cebado y de purga para llenar inicialmente de líquido la bomba o extraer el aire retenido en la misma respectivamente Tubería de aspiración Válvula de pie Alcachofa Tubería de impulsión Válvula de compuerta Bypass Válvula de retención Conos Bomba Aspiración Rodete Motor eléctrico Eje Voluta Impulsión Cierre laberíntico La determinación del punto de funcionamiento de una instalación de bombeo se realiza por la intersección de la curva característica de la bomba Hm Q con la de la instalación Figura 112 La energía mecánica específica medida en altura necesaria para impulsar un caudal Q por la instalación será en general igual a una parte constante Hg correspondiente a la diferencia de cota más las pérdidas por fricción codos válvulas entradas y salidas de depósitos cambios de sección etc Como en la mayoría de los casos prácticos el movimiento es turbulento estos términos serán aproximadamente proporcionales al cuadrado del caudal Así se tiene que cumplir cte Q2 H Q H g inst 111 relación a la que se llegó en el Capítulo 2 Se puede comprobar así según se tenga el punto de funcionamiento en la zona de máximo rendimiento o alejado de ella si la bomba es la adecuada para la instalación y condición de funcionamiento correspondiente Si la curva característica de la bomba es como la de la Figura 112b se deberá analizar si alguna de las soluciones no es adecuada por inestabilidad El punto 1 es inestable porque las oscilaciones en torno al punto de funcionamiento no se ven compensadas sino ampliadas El punto 2 es Figura 111a Elementos típicos presentes en una instalación de bombeo Figura 111b Elementos típicos presentes en un grupo motobomba la bomba es centrífuga 196 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas estable al encontrarse en la parte descendente de la curva en la que a mayores caudales corresponden menores alturas y viceversa y por tanto las oscilaciones de funcionamiento tienen a compensarse η Conducción Bomba Q η Conducción A Bomba Q Conducción B Curva característica estable Curva característica inestable 1 2 3 Hg η H el punto 1 es inestable a b η H Punto de funcionamiento Hm Hm Figura 112 Determinación del punto de funcionamiento en una instalación de bombeo 113 Regulación del punto de funcionamiento La solución encontrada de caudal y altura manométrica del conjunto bombainstalación puede precisar de regulación esto es de una intervención externa en sus condiciones para ajustar por ejemplo el caudal al valor deseado Se comentarán a continuación de un modo esquemático los modos más habituales de operación sobre el punto de funcionamiento regulación por estrangulamiento cierre de una válvula a vueltas constantes regulación por variación de la velocidad de giro de la bomba y por último regulación por variación de los ángulos orientables del distribuidor o del rodete 1131 Regulación por estrangulamiento a velocidad de giro constante Si se modifica la abertura de la válvula a la salida de la bomba se introduce una pérdida localizada que modifica la función HinstQ de la instalación desplazando el punto de intersección con la curva característica de la bomba véase la Figura 113 η Conducción Bomba Q H Válvula de retención o estrangulamiento η Hm Al cerrar la válvula se tiene que disminuye el caudal aumenta la altura y disminuye la potencia y aunque el rendimiento de la bomba suba o baje según la posición de partida respecto del máximo el procedimiento de manera global no es energéticamente eficiente Figura 113 Regulación del punto de funcionamiento por estrangulación a régimen de giro constante 197 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles ya que se provoca una gran pérdida localizada que derrocha la potencia consumida Sin embargo por su simplicidad es el método más empleado Si la estrangulación se emplazara en la tubería de aspiración se podría provocar cavitación en la bomba por lo que dicha estrangulación siempre se sitúa en la zona de presión 1132 Regulación por variación del régimen de giro Al cambiar el régimen de giro de la bomba se modifica la curva característica y naturalmente el punto de funcionamiento tal como se muestra en la Figura 114 Al aumentar el régimen de giro se tiene que aumentan el caudal la altura y la potencia El rendimiento de la bomba no variará mucho y globalmente el rendimiento energético es alto pues no se introducen pérdidas adicionales El mayor problema es variar el régimen de giro La mayor parte de las bombas pequeñas son movidas por motores de corriente alterna trifásica en cortocircuito que tienen un régimen de giro constante En ocasiones la bomba es movida a través de una transmisión o embrague hidráulico que permite la variación del régimen de giro Actualmente los modernos variadores de velocidad que pueden actuar sobre cualquier tipo de bomba han facilitado en gran medida este tipo de regulación 1133 Regulación por variación de los álabes del distribuidor o del rodete Como por la Ecuación de Euler la altura comunicada depende de las condiciones de entrada al rotor si en el distribuidor hay una corona de álabes orientables la modificación de su ángulo de incidencia modificará a su vez las características de la bomba Figura 115 Los álabes pueden girar alrededor de un eje perpendicular al eje de la máquina y formarán una corona de álabes de eje radial o bien con disposición de ejes paralelos al de la máquina A medida que se cierra la entrada se tiene que disminuye el caudal la altura y la potencia La potencia consumida disminuye bastante tratándose de una regulación económica desde el punto de vista energético aunque compleja mecánicamente La corona de álabes puede servir incluso para cerrar completamente la entrada a la bomba Aunque no es tan corriente como los casos anteriores en las bombas axiales se modifican también las características de funcionamiento y por tanto el caudal al girar los álabes sobre sí mismos de modo análogo a las turbinas Kaplan η Conducción Bomba Q H Ω η Hm Conducción Q H α α W Bomba Bomba W H m Figura 114 Regulación del punto de funcionamiento por variación del régimen de giro Figura 115 Regulación del punto de funcionamiento por variación del ángulo de los álabes del distribuidor 198 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 114 Acoplamiento de bombas en serie y en paralelo 1141 Acoplamiento en serie Si la altura que hay que comunicar al fluido no es alcanzable con una determinada bomba se puede plantear la instalación de dos bombas en serie de modo que el flujo después de pasar por la primera pase por la segunda y la energía mecánica específica aportada por cada una se sumen Figura 116 La curva característica del conjunto de ambas bombas está formada por la suma de la altura manométrica de cada una de ellas para un mismo caudal 2 1 2 1 m m t m t H H H Q Q Q 112 y la obtención del punto de funcionamiento para una determinada instalación será la intersección de esta curva así formada con la de la instalación total El subíndice t hace referencia en este caso al resultado total obtenido en el montaje H H H Q m m1 2 Hm1Hm2 1 2 En el acoplamiento en serie la descarga de la bomba 1 hace que la entrada de la bomba 2 se encuentre a una presión de trabajo mayor que la inicialmente supuesta de modo que la eficiencia del sistema puede llegar a ser significativamente baja en ciertas condiciones de funcionamiento El rendimiento total puede calcularse por W 2 1 2 1 B B m m t W H H gQ η ρ 113 1142 Acoplamiento en paralelo Si el problema que se tiene es la insuficiencia de caudal la solución puede provenir de plantear dos o más bombas en paralelo Figura 117 Los caudales se suman y la altura comunicada por cada una menos la pérdida H desde la bifurcación a la unificación por cada camino ha de ser común 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 Q H Q H H Q Q H H Q Q Q m m t m t 114 de modo que con estas últimas expresiones y partiendo de los valores de las alturas se construye la curva característica general Figura 116 Curva característica de un acoplamiento de bombas en serie 199 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 1 Q H Q Q Q1 2 Hm 1 2 El acoplamiento en paralelo permite que las bombas trabajen en condiciones similares a las de diseño En este sentido el acoplamiento en paralelo funciona mejor que un acoplamiento serie No obstante si las alturas para caudal nulo son diferentes para cada bomba podrá ser que en ciertos rangos sólo una de las bombas sea efectiva mientras que la otra permanece inactiva y es deseable que con las válvulas cerradas Por otro lado téngase en cuenta que este tipo de acoplamiento debe usarse en aplicaciones en las que se requiera seguridad en el servicio puesto que se puede seguir bombeando a la altura geodésica requerida en el caso de fallo de alguna bomba aunque sea con un menor caudal En cualquier caso el rendimiento total del sistema puede calcularse por W 2 1 2 1 B B m t W Q Q gH η ρ 115 115 Aspectos del diseño de las bombas centrífugas Puede decirse que el diseño de una bomba comienza por evaluar la velocidad específica de la misma a partir del caudal y de la altura manométrica requerida La velocidad de giro se elegirá en función del motor disponible o bien a partir de información experimental que pueda encontrarse en la bibliografía El valor de la velocidad específica fijará la forma del rodete de la bomba como se explicó en el Capítulo 3 Para estimar el tamaño exterior del rodete pueden utilizarse diagramas experimentales como el de Cordier aunque existen otros métodos alternativos Una vez determinado el diámetro exterior del rodete D2 pueden encontrarse en la bibliografía relaciones como las que se muestran en la Tabla 111 Tipo de bomba ΩS D2D1 ηv Radial lenta 02048 3522 096 Radial normal 048072 2218 0960985 Radial rápida 072155 1813 0985 Diagonal o helicoidal 155312 1311 09850995 Axial o hélice 311 1 0995 Tabla 111 Estimación de la relación de diámetros del rodete y del rendimiento volumétrico de distintos tipos de bombas en función de la velocidad específica El triángulo de velocidades en la entrada de un rodete centrífugo puede determinarse haciendo que no exista prerrotación α1 90º la altura de los álabes en la entrada se suele tomar mayor que en la entrada por las razones que se explicaron en el Capítulo 8 por otro lado el ángulo del álabe en la entrada suele estar comprendido entre 15 y 20º Figura 117 Curva característica de un acoplamiento de bombas en paralelo 200 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas En el triángulo de velocidades en la salida debe fijarse el valor del ángulo del álabe En general se impondrá que los álabes estén curvados hacia atrás β2 90º Además debe tenerse en cuenta que suponiendo que no existe prerrotación existe un valor del ángulo β2 mínimo para el que la altura teórica sería nula como se deduce de la Ecuación de Euler una vez sustituidos los valores correspondientes del triángulo de velocidad 2 2 2 2 mín 2 2 2 2 2 2 tan tan 1 D b u Q D b u Q g u H t π β β π 116 En la práctica la gama más favorable para β2 se encuentra entre 20 y 30º La velocidad meridiana en la salida se suele escoger por debajo de un 85 de la velocidad meridiana en la entrada 1151 Elección del número de álabes En cuanto al número de álabes la elección de un número pequeño representa tener una reducida superficie de rozamiento además de simplificar la construcción del rodete Sin embargo aumentan las diferencias de presión entre las caras de succión y de presión de los álabes incrementándose los efectos de desprendimientos y pérdidas que se describieron en el Capítulo 8 Como no es posible deducir teóricamente el número óptimo de álabes podemos recurrir a las recomendaciones de Stepanoff 3 N β2 117 con β2 en grados sexagesimales y de Pfleiderer 2 sen 56 2 1 1 2 1 2 β β D D D D N 118 En cualquier caso el proceso de diseño debe ser forzosamente iterativo se supondrán los valores recomendados que se han expuesto en esta sección que son únicamente algunos de los que se pueden encontrar en la bibliografía pero deben cumplirse además las ecuaciones de continuidad y la Ecuación de Euler y además debe conseguirse un cierto rendimiento mínimo COEFICIENTE DE OBSTRUCCIÓN El espesor de los álabes depende lógicamente de los aspectos constructivos de la bomba En principio cuando los rodetes son de fundición el espesor de los álabes puede oscilar entre 4 y 8 mm Este espesor modifica la sección de paso transversal sobre la que se calcula la velocidad meridiana En la figura 118 el espaciamiento o paso entre álabes en la sección de entrada es t1 πD1N pero puesto que la distancia d es d esen β1 entonces la sección de paso se reduce θ 1 β e d Figura 118 La figura representa la zona de entrada en el rodete El espesor de los álabes es e mientras que la distancia d da lugar a un estrechamiento de la sección de paso del fluido 201 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles sen sen 1 1 1 1 1 β π β e N D e t t 119 y entonces definiendo el coeficiente de obstrucción como el área geométrica de paso dividida por el área real resulta sen Coefobs 1 1 1 β π π N e D D 1110 que resulta ser mayor que la unidad En la salida del rodete el coeficiente de obstrucción podría calcularse del mismo modo si los bordes de salida del álabe son afilados entonces e2 e1 y el coeficiente podría tomarse igual a la unidad en la salida A través del coeficiente de obstrucción puede determinarse el área real de paso para el cálculo de las velocidades meridianas Como el área efectiva es menor que la geométrica las velocidades meridianas resultarán mayores que las inicialmente previstas 1152 Trazado del álabe mediante arcos o espiral logarítmica Según la Ecuación de Euler la energía comunicada al fluido debe ser indiferente de la forma en que se unen los extremos de entrada y de salida de los álabes sin embargo como se ha visto en el Capítulo 8 la forma de los álabes influye de forma notable en las pérdidas por rozamiento los desprendimientos de la corriente y en el comportamiento de la bomba frente a la cavitación Generalmente en bombas centrífugas los álabes suelen ser delgados y de espesor constante lo que constituye una ventaja constructiva Existen diversos métodos de trazado de los álabes algunos de los cuales se exponen brevemente a continuación El método de trazado mediante una espiral logarítmica o de Arquímedes44 1 e tan 2 2 β θ r D 1111 sólo es posible en el caso que β1 β2 por lo que no es un método habitual El método de trazado mediante dos arcos de círculo consiste en sustituir la primera parte de la espiral de Arquímedes por un arco de círculo y completar el trazado del álabe mediante un segundo arco de círculo tangente al primero hasta la salida del álabe ρ 2 O 1r β 1 β 2r El trazado del álabe por medio de un solo arco de circunferencia Figura 119 consiste en el problema geométrico de encontrar el centro del círculo que corta a las circunferencias de entrada de diámetro D1 y de salida de diámetro D2 bajo los ángulos β1 y β2 respectivamente Puede demostrarse que el radio de este arco es 44 La espiral de Arquímedes es la curva que hace conservar el momento cinético desde la entrada a la salida Figura 119 Trazado del perfil del álabe por medio de un único arco de círculo 202 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas cos cos 2 1 1 1 2 2 2 1 22 β β r r r r r 1112 La principal ventaja de este trazado estriba en su sencillez y en que no existen cambios de curvatura al estar trazado todo el álabe con el mismo arco 1153 Trazado del álabe por puntos El trazado del álabe por puntos consiste en determinar las coordenadas polares de una serie de puntos que convenientemente unidos forman el perfil del álabe buscado Este método tiene el inconveniente de tener que realizar forzosamente una integración numérica pero sin embargo es el más versátil de los que se han expuesto en esta sección Se describe a continuación este método de forma esquemática véase el texto de Mataix 2009 en el que puede encontrarse una descripción más detallada Por la definición del ángulo del álabe β debe cumplirse en cualquier punto del álabe desde la entrada a la salida w sen β vm 1113 Además se deduce de la Figura 1110 que β r r r r tan d d d d tan ϕ ϕ β 1114 Por tanto el ángulo ϕ en radianes se obtiene en función del ángulo tangente al álabe β para cualquier posición radial r comprendida entre r1 y r2 tan d 1 r r r r β ϕ 1115 que en grados sexagesimales se expresa por r r r r 1 tan d 180 º β π ϕ 1116 Por tanto para cada valor del radio se determina el valor de ϕ que cumple la ecuación anterior El procedimiento entonces puede resumirse como sigue Los radios r1 y r2 deben ser conocidos previamente Se establece una serie de radios ra rb rc repartidos linealmente entre r1 y r2 ϕ dϕ r dϕ β dr Figura 1110 Análisis para el procedimiento de trazado del álabe por puntos ϕ y r son las coordenadas polares del álabe mientras que β es el ángulo tangente al álabe en cada punto 203 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles El espesor del álabe debe imponerse En torno a la línea media calculada mediante el procedimiento de trazado por puntos se reparte el espesor del álabe que puede ser uniforme o variable siguiendo una cierta distribución desde la entrada hasta la salida En cualquier caso se calculará la velocidad meridiana vm para cada radio teniendo en cuenta la reducción del área de paso mediante el coeficiente de obstrucción Las velocidades relativas de entrada y de salida deben ser conocidas w1 y w2 Puede suponerse una distribución lineal en función del radio Conocidas vmr y wr se determina βr y por tanto 1tan βr con lo que ya es posible determinar ϕr resolviendo la integral tan d 1 r r r r r β 1117 lo que puede hacerse de modo aproximado efectuando la representación gráfica de 1r tan βr en función de r El resultado de la integral para un r dado es el área comprendida entre la función y la abscisas correspondiente al radio r Finalmente se dispone de una serie de puntos discretos r ϕ que definen la forma del álabe En la figura se muestra el resultado de un procedimiento real de diseño 116 Elementos complementarios de las bombas centrífugas Toda la teoría desarrollada hasta ahora hace referencia al elemento más importante de la máquina el rodete Es el órgano que determina el funcionamiento de la bomba en sus aspectos generales y cuyo diseño y análisis requerirá la mayor parte del esfuerzo Existen sin embargo otras partes importantes de la turbomáquina de las que conviente exponer al menos sus aspectos más importantes Se tratarán a continuación El conducto de aspiración El difusor La voluta 1161 Conducto de aspiración En la entrada de un rotor centrífugo se supone que la velocidad es uniforme puesto que el flujo procede de un conducto en condiciones normalmente muy turbulentas en el que no existe una rotación previa inducida De esta manera el diseño del conducto de aspiración debe minimizar en la medida de lo posible la prerrotación que pueda arrastrar el fluido como consecuencia de los vórtices generados en la aspiración Para ello en algunas ocasiones se disponen álabes guía Por otro lado no deben colocarse codos demasiado pronunciados o muy cerca de la entrada al rodete que modifiquen el flujo deseado 1162 Difusor El sistema difusor de una bomba está constituido por una corona de álabes en torno al rodete el difusor propiamente dicho la voluta y el cono difusor de salida no tienen por qué estar los tres elementos siempre presentes En cuanto a la corona de álabes del difusor su función es doble Por un lado sirve para guiar al agua hacia la caja espiral o voluta de la forma hidráulicamente más eficiente y por tanto para que no se produzcan grandes pérdidas Por otra parte sirve para disminuir la energía cinética que tiene el fluido en la salida del rodete y convertirla en presión En las bombas de baja presión menos de 20 m ca de altura manométrica no se coloca difusor a la salida del rotor y el líquido pasa directamente a la voluta En cambio en las bombas de 204 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas media y alta presión por encima de 20 m ca y de 60 m ca respectivamente sí se suele incluir un difusor en el diseño Considérese una bomba radial y denomínese con el subíndice 3 a la sección de salida del difusor que se supone de igual altura b que el álabe la ecuación de conservación de la masa proporciona la siguiente ecuación en la que ya se ha tenido en cuenta que la velocidad meridiana es sólo radial 2 2 3 3 2 2 r r r bv r bv Q π π 1118 Si el difusor no tiene álabes o éstos se incluyeran en el diseño para guiado sin intención de modificar el momento cinético del flujo se debería cumplir que r3vu3 r2vu2 esta ecuación junto con la anterior conduce a que las trayectorias de las partículas fluidas son espirales logarítmicas pues 3 2 3 3 2 2 tan tan d d α α θ u r u r u r v v v v v v r r 1119 y por tanto tan 2 2 α θe r r 1120 ecuación equivalente a la 1111 Si se desea reducir la velocidad de un modo más rápido que por simple aumento del radio de giro los álabes tendrán que soportar un par y se diseñarán de modo semejante al rotor con una velocidad en la salida del difusor tal como se indica en la Figura 1111 α2 v2 v3 α3 Puesto que r3 vr3 r2 vr2 se cumple que sen sen 3 3 2 2 2 3 α α r v v r 1121 La diferencia de presión entre la entrada y la salida del difusor puede ponerse sen sen 1 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 i dif i dif H r r g v H g v v g p p α α ρ 1122 donde Hidif son las pérdidas hidráulicas en el difusor En el caso de que los álabes sigan una espiral logarítmica α2 α3 la ecuación anterior se simplifica quedando sólo en función de los radios Figura 1111 Esquema de un difusor de álabes fijos en una bomba centrífuga 205 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1163 Voluta La voluta o caja espiral tiene una doble función por un lado recoge el fluido de la periferia del rotor o del difusor y lo encauza hacia la conducción de salida y por otro actúa también como un difusor puesto que tanto su radio como su sección creciente disminuyen la velocidad y aumentan la presión Suele terminar en un difusor troncocónico y en una brida con la que se conecta la bomba a la instalación de que se trate En condiciones ideales la velocidad acimutal en cualquier punto de la voluta ha de mantener el momento cinético de la salida del difusor luego 2 2 2 3 3 2 2 Γ u u u r v r v rv π π π 1123 es decir se supone que se mantiene la circulación de la velocidad a lo largo de la voluta El caudal que sale radialmente desde el rodete es recogido de forma gradual por la voluta de modo que para la posición angular θ 2π la voluta conduce en su sección de salida un caudal total Q por tanto el caudal que se tiene para cada posición angular es Qθ θ2πQ Si la forma de la voluta viene dada por su altura brθ Figura 1112 se tiene que el caudal que debe conducir en cada posición angular viene dado por r r b r r v b r Q Q R r R r u d 2 d 2 3 3 Γ θ θ θ θ π θ π θ 1124 En el caso más simple de sección de la voluta rectangular y por tanto de altura constante b la integración de la ecuación anterior proporciona la ley del radio externo de la misma 3 b r eQ R Γ θ θ 1125 Para otras formas de la sección escogida para la voluta es necesario resolver la ecuación correspondiente θ b r Rodete Carcasa Voluta Canal de paso En cuanto al efecto como difusor si se evalúa la velocidad media al final de la voluta cuya sección transversal se identifica con el subíndice 4 se puede obtener 1 ln 2 3 4 3 4 3 4 4 Γ r r r r r A Q v π 1126 donde r4 Rθ 2π por tanto 1 1 ln cos 3 4 3 4 3 3 4 r r r r v v α 1127 Para conocer cómo se transforma esta disminución de velocidad en un aumento de presión es necesario aplicar la ecuación de conservación de la energía mecánica Figura 1112 Esquema de una voluta de sección circular en una bomba centrífuga 206 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas También existen diseños con doble voluta que recogen el flujo de medio rotor o incluso de porciones no simétricas del mismo según la necesidad del diseño Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Cherkasski VM Bombas ventiladores y compresores Mir Moscú 1986 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Fernández Díez P Energía del mar wwwespfernandezdiezes edición electrónica 2016 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Japikse D y Baines NC Introduction to Turbomachinery Concepts ETI Oxford 1994 Lobanoff VS y Ross RR Centrifugal Pumps Design Applications 2ª Ed Gulf Publishing Co 1992 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Pfleiderer C Bombas centrífugas y turbocompresores Labor Barcelona 1960 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Potter MC y Wiggert DC Mechanics of fluids PrenticeHall 1991 Radha Krishna HC Ed Hydraulic Design of Hydraulic Machinery Avebury 1997 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Stepanoff AJ Centrifugal and axial flow pumps Wiley 1957 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 207 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 12 ELEMENTOS PARA EL CÁLCULO E INSTALACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS TURBINAS DE ACCIÓN 121 Introducción En este capítulo se tratan algunos conceptos sobre la selección e instalación de turbinas hidráulicas que se verán completados en los siguientes capítulos Se apuntan además algunos aspectos parciales del diseño del rodete de las turbinas de reacción Francis y Kaplan aunque por supuesto será necesaria una revisión más completa de la bibliografía que se lista al final del capítulo para emprender con éxito la tarea del diseño de una turbina hidráulica En el caso de la elección o del diseño de una turbina resulta especialmente influyente la disponibilidad de agua y de energía potencial hidráulica en la zona en la que se desea llevar a cabo el aprovechamiento hidráulico puesto que esta será la principal aplicación de este tipo de turbomáquina Algunos de estos conceptos se revisan en los Capítulos 13 y 14 al tiempo que se tratan las partes características más importantes de una central hidroeléctrica Se ha incluido en este capítulo el estudio particular de las turbinas de acción o impulso centrando la atención en las turbinas tipo Pelton Aunque la teoría desarrollada para las turbomáquinas es general y aplicable a cualquier tipo de turbina las Pelton presentan una serie de particularidades que conviene tener en cuenta y que vienen dadas fundamentalmente por la forma geométrica especial del distribuidor y de los álabes del rodete Merece la pena revisar con carácter previo la utilización de las denominaciones salto o altura en una central de turbinado Como se ha visto anteriormente altura se refiere a una determinada cantidad de energía mecánica específica expresada en unidades de longitud La denominación salto debería usarse solamente cuando la energía está en forma potencial gravitatoria por tanto salto debería referirse solo a la instalación y altura a la turbina De este modo salto bruto debería ser igual a altura bruta aunque si se habla de salto útil este debería ser la parte de salto bruto que finalmente es factible de aprovechar descontando por ejemplo algún tramo de canal abierto o una cámara de puesta en carga Una vez que se descuentan las pérdidas hidráulicas la energía resultante debería llamarse altura neta y no salto neto puesto que es la energía total puesta a disposición de la turbina En la práctica muchas veces las dos denominaciones se utilizan de forma indistinta por lo que conviene inquirir sobre la definición que de cada concepto se realice en cada caso 208 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 122 Selección e instalación de turbinas hidráulicas La selección de las turbinas hidráulicas parte de los datos característicos o de diseño disponibles estos son en general la altura bruta Hb y el caudal disponible Las pérdidas en el conducto de admisión o tubería forzada reducirán la altura bruta a la neta véase la Figura 121 En las pérdidas que se producen en la tubería forzada intervienen la longitud de la conducción la sección de la misma y las características particulares del emplazamiento que puede hacer que existan a lo largo de la conducción codos bifurcaciones y otros elementos singulares La elección del tipo de turbina y su posterior dimensionado y diseño se realizará a partir de estos datos de altura neta Hn y de caudal Q Normalmente las turbinas hidráulicas van directamente acopladas al alternador por lo que deben girar a una velocidad constante para que la frecuencia de la corriente eléctrica no varíe Esta velocidad llamada de sincronismo depende de la frecuencia de la corriente de la red f y del número de pares de polos del alternador síncrono np 2 np πf Ω 121 Con todos estos datos se puede definir la velocidad específica o la potencia específica según se hizo en el Capítulo 3 máx 4 5 2 1 máx 4 3 1 2 η η ρ n T S n S gH W W gH Q Ω Ω Ω 122 H H n b T Canal de restitución Tubería forzada Difusor Embalse Hinst Central v p z e 2 e e g 2g ρ Figura 121 Esquema de una instalación de turbinado Descontando las pérdidas hidráulicas de la instalación de la altura bruta disponible entre el embalse y el canal de restitución se obtiene la altura neta o energía disponible para la turbina Una vez establecida la velocidad o la potencia específicas y teniendo en cuenta de que se desea obtener un rendimiento máximo en estas condiciones nominales el tipo de turbina adecuado se obtiene de una tabla como la 121 La elección definitiva de la velocidad específica puede hacerse con ayuda de gráficos como el de la Figura 122 en la que se establecen los rangos y valores de los rendimientos que pueden obtenerse en función de ΩS En la elección del tipo de turbina no sólo interviene la velocidad específica sino también la altura neta disponible en la instalación como puede verse en la Tabla 1 y gráficamente en la Figura 123 Las alturas más elevadas corresponden a turbinas Pelton y las más bajas a turbinas hélice o Kaplan Como ya se comentó en el Capítulo 1 cuando el salto es muy pequeño la turbina hélice o Kaplan se sitúa en el centro del conducto de paso del fluido formando una turbina tubular o grupo bulbo con el fin de reducir al máximo las pérdidas por 209 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles cambio de dirección del flujo Las turbinas Francis tienen aplicación en general para saltos intermedios El análisis de la instalación o la función y dimensionado de la voluta espiral de entrada a la turbina o del conducto de aspiración o tubo difusor si existen requerirían otras consideraciones en gran parte semejantes al caso de instalación de una bomba El análisis de la cavitación debe hacerse desde el nivel de la superficie libre aguas abajo de la turbina y remontarse aguas arriba por el conducto de aspiración hasta la salida del rodete que es la zona de mínima presión como se planteó en el Capítulo 10 Tipo de turbina Características ΩS Hn m Pelton 1 chorro 234 chorros 005 a 015 015 a 035 250 a 1800 100 a 800 Francis Lenta Normal Rápida 035 a 067 067 a 120 120 a 270 150 a 350 80 a 150 25 a 80 Hélice y Kaplan Lenta Rápida Ultra rápida 160 a 275 275 a 365 365 a 550 18 a 35 12 a 18 5 a 12 Tabla 121 Rangos de velocidad específica y de altura neta para los distintos tipos de turbinas η Tubular Kaplan y hélice Francis Pelton Ωs Figura 122 Estimación del rendimiento en función de la velocidad específica para varios tipos de turbina Francis Pelton Ωs Hn Kaplan Figura 123 Estimación de la velocidad específica límite en función de la altura neta y del tipo de turbina 210 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 123 Efecto del distribuidor de álabes orientables El distribuidor de álabes orientales juega un papel fundamental en la regulación de las turbinas de reacción Su función consiste en adaptar la potencia proporcionada por la turbina a la demanda haciendo variar el gasto o ajustar este último al gasto disponible en el salto que puede ser variable Se comprueba que en las curvas características con distribuidor fijo del Capítulo 9 que para un determinado valor de la altura neta se obtiene un caudal y una potencia dados sin posibilidad de modificar el punto de funcionamiento 1231 Efecto sobre las características a velocidad de giro constante El abrir o cerrar el distribuidor haciendo girar todos sus álabes alrededor de sus ejes respectivos de modo simultáneo véase la Figura 124 se varía el ángulo α1 en el triángulo de velocidades de la entrada La curva característica ideal Ecuación de Euler será ahora una recta que parte del mismo punto del eje ordenadas pero que tiene distinta pendiente según el valor de la abertura α1 Q H H n u α H Figura 124 Giro de los álabes orientables del distribuidor Figura 125 Curvas de altura neta en función del caudal para distintas posiciones del distribuidor a velocidad de giro constante α α α 1 1 máx η W Q Q Hn η Figura 126 Potencia caudal y rendimiento en función de la abertura del distribuidor para altura neta constante Figura 127 Colinas de igual rendimiento en la característica altura netacaudal a velocidad de giro constante y distintas posiciones del distribuidor 211 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Si sobre estas curvas se añaden las pérdidas del flujo real que se han visto anteriormente se obtendrá una familia de curvas características cada una de estas curvas corresponde a una posición del distribuidor Figura 125 Si sobre las curvas características de la Figura 125 se traza una línea horizontal que corresponde a altura neta constante salto de altura bruta determinada sin considerar pérdidas hidráulicas en la conducción forzada desde el embalse hasta la turbina la intersección con cada curva proporciona la abertura del distribuidor el caudal y también el rendimiento y la potencia Así puede obtenerse un gráfico como el de la Figura 126 con Q W y η en función de α1 para ese determinado valor de altura neta También pueden fijarse las líneas de rendimiento constante sobre el gráfico de la Figura 125 Para cada valor de la abertura del distribuidor dado por α1 existe una curva de rendimiento pudiéndose encontrar sobre esta curva dos puntos distintos con la misma eficiencia Uniendo los puntos del gráfico HQ de igual rendimiento aparecen unas colinas de rendimientos llamadas así por su similitud con la representación topográfica de una colina a través de curvas de nivel como se indica en la Figura 127 1232 Efecto sobre las características a altura neta constante Si los ensayos a altura neta constante se repiten de forma sistemática con distintas posiciones del distribuidor se obtendrían las características completas Figuras 128 y 129 de la turbina para la altura Hn constante considerada en la forma Q f1 Ωα W f2 Ωα η f3 Ωα La forma que tengan las colinas de rendimiento puede señalar la adecuación de la turbina a modificaciones del caudal o de la altura Así en la Figura 1210 se presenta dos formas de colinas de rendimiento de máquinas con características diferentes El caso a que corresponde a turbinas Pelton y Francis de baja velocidad específica tendrá buen comportamiento a cargas parciales caudales distintos del óptimo En cambio el caso b para turbinas Francis rápidas y Kaplan será menos sensible a posibles variaciones de altura que se traducirían por semejanza en variaciones del régimen de giro Q Ω η η 0 α1 η máx abertura máxima Ω η α1 máx W η abertura máxima Figura 128 Curva característica de caudal y rendimiento en función de la abertura y del régimen de giro a altura neta constante Figura 129 Curva característica de potencia y rendimiento en función de la abertura y del régimen de giro a altura neta constante 212 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Ω Ω a b η η Figura 1210 Diversas formas de las líneas de isorrendimiento en las curvas características en función del régimen de giro para distintas posiciones del distribuidor a Turbinas Pelton y Francis lentas b Turbinas Kaplan y Francis rápidas Apertura del distribuidor α1 α1 Cierre del distribuidor α1 α1 Figura 1211 Esquema del efecto de la variación del ángulo de los álabes del distribuidor sobre una turbina de reacción de tipo Francis β1 α1 β2 α2 DISTRIBUIDOR RODETE u1 w1 v1 u2 w2 v2 vu1 vm1 1 2 u1 u1 vm1 vm1 w1 w1 v1 v1 vu1 vu1 β1 β1 α1 α1 vm2 vm1 w1 α1 v1 α1 vm1 w1 Ω vu2 vu1 vu1 v1 213 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1233 Efecto del distribuidor sobre los triángulos de velocidad en una turbina Francis El efecto del distribuidor de álabes orientables en una turbina de reacción puede explicarse a través de la variación de los triángulos de velocidad en la entrada del rodete Puede hacerse la simplificación de que la velocidad relativa se mantiene tangente al álabe del rodete para cualquier posición de los álabes de la corona directriz En el caso de mantener constante la velocidad de giro la velocidad de arrastre se mantiene igualmente constante De este modo como se ve en la Figura 1211 el distribuidor actúa sobre el ángulo α1 y puesto que la velocidad de arrastre no varía resulta que si se abre el distribuidor α1 aumenta la condición cinemática dada por el cierre del triángulo de velocidad en la entrada lleva a que la velocidad meridiana aumenta es decir aumenta el caudal y la componente acimutal vu1 disminuye es decir disminuye la altura comunicada El resultado final se observa en la Figura 125 en la que las curvas de altura neta se desplazan hacia la derecha a medida que aumenta la apertura del distribuidor obteniéndose caudales mayores y alturas menores El efecto contrario se produce cuando se cierra el distribuidor α1 disminuye En la Figura 1211 las variables de los triángulos de velocidad que han cambiado con respecto a la posición inicial del distribuidor aparecen subrayadas 124 Aspectos del diseño de las turbinas Francis Existen distintos métodos para el diseño del rodete de las turbinas hidráulicas Para las turbinas Francis uno de los métodos clásicos más utilizados es el de T Bovet Lécole Polytechnique Federale de Lausanne Francia propuesto en la década de los años sesenta véanse los textos de Mataix 2009 y Hernández Krahe 1976 Básicamente el método propone el dimensionado del rodete de la turbina a partir del concepto de perfil hidráulico En una turbina Francis el flujo en el rodete queda limitado por dos superficies de revolución una exterior y otra interior Las intersecciones de estas superficies con un plano meridiano que pasa por el eje de revolución del rodete forman el denominado perfil hidráulico véase la Figura 1212 La corriente fluida entra por la arista o sección de entrada 1 y sale por la arista 2 De este modo todo el espacio que será ocupado por los álabes queda limitado por cuatro superficies de revolución cuyas meridianas son las cuatro líneas que se han dibujado en la Figura 1212 Eje Superficie interior Superficie exterior Sección de salida 2 Sección de entrada 1 Fluido Bovet ha propuesto expresiones analíticas para estas aristas exteriores e interiores del perfil hidráulico parametrizadas en función de la velocidad específica De este modo se muestran perfiles hidráulicos típicos para el canal de paso del fluido entre álabes en función de la velocidad específica Figura 1213 Se aprecia la evolución desde un rodete radial Figura 1212 Perfil hidráulico de Bovet para el diseño de un rodete Francis La superficie plana representada puede interpretarse como la proyección acimutal sobre un plano meridiano de un álabe cuya superficie es en general tridimensional 214 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas para bajas velocidades específicas hasta otro helicocentrípeto para velocidades específicas altas Una vez determinado completamente el perfil hidráulico del rodete el método propone dividir el canal de paso que se ha elegido sin ninguna componente acimutal de velocidad en una serie de canales delimitados por líneas de corriente que dan lugar a turbinas parciales Se supone para ello que el flujo es ideal e irrotacional de modo que el plano del perfil hidráulico es un plano meridiano que contiene por tanto al eje de la máquina como se ha indicado anteriormente De esta manera el método exige la construcción de la denominada red de corriente de un modo similar a como se describió en la Sección 52 es decir del trazado de las líneas de corriente que delimitan las turbinas parciales junto con las líneas equipotenciales perpendiculares a las anteriores El método propone que entre cada dos líneas de corriente la velocidad meridiana sea la misma y que entre cada dos líneas equipotenciales la diferencia de potencial de velocidad sea constante Como resultado de este proceso se obtiene la forma geométrica final del perfil hidráulico junto con la distribución de velocidad meridiana a través de la sección de paso L2 L1 L Curva interior Curva exterior a b Figura 1213 Dos tipos de perfil hidráulico propuestos por Bovet en función de la velocidad específica a Velocidad específica baja ΩS 0298 b Velocidad específica alta ΩS 179 El dimensionado del rodete se completa con la imposición de cesión de energía en forma de momento cinético a partir de la aplicación de la Ecuación de Euler a cada una de las turbinas parciales resultante de la red de corriente Aunque existen más posibilidades la más utilizada y sencilla de aplicar es la condición de cesión gradual de energía para el conjunto de las turbinas parciales desde la sección de entrada a la sección de salida del rodete El campo de velocidad acimutal impuesto al aplicar la condición de cesión de energía cambia el flujo de irrotacional a rotacional y lógicamente produce un alabeo del perfil hidráulico inicialmente supuesto es decir se impone una distribución de ángulos relativos β1 y β2 necesaria para que el salto energético a través del rodete sea la altura útil Ht cumpliendo la ecuación de conservación del momento cinético es decir la Ecuación de Euler ΩS 0298 0596 0894 119 149 179 209 238 L1L 229 144 110 0910 0782 0695 0624 0574 L2L 0152 0288 0408 0512 0600 0672 0728 0768 Tabla 122 Dimensiones relativas de los perfiles hidráulicos propuestos por Bovet para una turbina Francis Figura 1213 215 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 125 Aspectos del diseño de las turbinas Kaplan La teoría del ala de avión o del perfil aerodinámico se ha aplicado al diseño de las turbinas axiales o Kaplan desde principios del siglo XX La relación del comportamiento del álabe situado en una cascada o serie de álabes inmersa en el seno de una corriente fluida con la teoría aerodinámica ideal del álabe aislado de KuttaJoukowski se expuso en el Capítulo 7 Los perfiles NACA de la sociedad norteamericana Nacional Advisory Comittee of Aeronautics se han empleado con éxito en el diseño de los álabes de las turbinas Kaplan Estos perfiles se agrupan en series diferenciadas por el número de dígitos que se utiliza para su designación dando lugar a las series de cuatro de cinco o de seis dígitos La geometría de los perfiles NACA se obtiene combinando una línea media y una cierta distribución de espesores de modo que las ordenadas del perfil se consiguen añadiendo la distribución de espesores a un lado y a otro de la línea media Figura 1214 El estudio sistemático realizado por NACA en los túneles de viento a distintos números de Reynolds y ángulos de ataque de la corriente incidente sobre la línea media del perfil ha permitido conocer en detalle el comportamiento de cada perfil así como la evolución de los coeficientes de sustentación CL y de resistencia CD en función del ángulo de ataque Los perfiles más utilizados en el diseño de las turbinas Kaplan han sido los de cuatro dígitos NACA 6306 6406 6506 6606 6706 por ejemplo A cada tipo de perfil le corresponde un ángulo de ataque óptimo para el que la relación CLCD es máxima Este punto se obtiene gráficamente trazando desde el origen de ordenadas la recta tangente a la curva de CL en función de CD a esta curva se le conoce como curva polar El ángulo de ataque obtenido se le denomina ángulo de planeo ξ que viene dado por tanto por L D C tan ξ C 123 v Línea de sustentación nula oo α a Línea de referencia Cuerda FL FD F l t Paso La relación CLCD recomendada está en el rango 80120 tan ξ en el rango 00125000833 aunque es posible llegar a 0015 en los mejores perfiles Lógicamente la referencia para el diseño del álabe debe ser obtener un valor lo más alto posible de la relación CLCD La relación entre los coeficientes de sustentación y de resistencia con la Figura 1214 Perfiles dispuestos en una cascada de álabes de una turbomáquina axial 216 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas altura útil extraíble de la cascada de álabes y con el rendimiento hidráulico se expuso en los Capítulos 7 y 9 En cuanto a los valores empleados habitualmente de la relación de aspecto del álabe en la cascada lt pueden encontrarse en la bibliografía expresiones tales como pm punta t l t l 095 088 124 para la sección de punta del rodete y pm media t l t l 11 12 125 siendo ltpm el valor promediado desde la raíz a la punta del álabe pudiéndose a su vez estimar por los valores que aparecen en la Tabla 123 ΩS 367 343 315 293 270 261 247 ltpm 10 11 12 13 14 15 16 Tabla 123 Estimación del valor promediado de la relación de aspecto del álabe en una cascada axial en función de la velocidad específica elegida para la turbina 126 Turbinas de acción o impulso Las llamadas ruedas hidráulicas utilizadas desde antiguo aprovechan el empuje cinético de una corriente de agua abierta a la atmósfera o bien su diferencia de potencial gravitatorio No existe en este caso un intercambio claro de cantidad de movimiento cuando el fluido atraviesa la rueda y es por este motivo por el que no pueden considerarse formalmente como turbinas Las turbinas de acción o impulso recuerdan a las ruedas hidráulicas pero en ellas se establece un claro intercambio de momento cinético a través de la rueda El tipo más conocido de turbina de impulso es la Pelton pero existen otros tipos de turbinas de acción que han tomado especial relevancia en los últimos tiempos debido a su aplicación a la energía minihidráulica Estas son las Turgo y las BankiMitchell Las turbinas Turgo parecen cubrir el espacio entre las Pelton y las Francis a partir de un cierto umbral de altura neta mientras que las BankiMitchell lo harían a partir de alturas netas muy bajas Las que presentan más similitudes son las turbinas Pelton y las Turgo al incidir el chorro sobre los álabes de una rueda sin atravesarla como en el caso de las BankiMitchell de forma tangencial en el caso de las Pelton y de forma oblicua en el caso de las Turgo Con todo el principio de funcionamiento de este tipo de turbinas es el mismo y es posible efectuar un planteamiento general que se llevará a cabo en la siguiente sección 1261 Tratamiento general de las turbinas de acción La característica definitoria de las turbinas de acción es que los saltos de presión estática a través del rodete son prácticamente despreciables Por tanto la energía intercambiada se debe sobre todo a la energía cinética de un chorro de agua proporcionado por un sistema inyector en el que la energía disponible en forma de altura es H1 La velocidad de salida del inyector que es la velocidad de entrada en el rodete puede ponerse entonces por n h i gH gH v 2 2 1 1 η 126 siendo ηhi el rendimiento que tiene en cuenta las pérdidas hidráulicas a través del sistema inyector sea como sea su morfología Además es posible suponer que la velocidad relativa 217 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles al álabe se mantiene esto sería cierto si el flujo fuera estrictamente ideal salvo por las pérdidas por fricción g w H w w i alabe 2 con 1 2 1 1 2 ζ ζ 127 La demostración de este resultado se realizará sobre el caso concreto de una turbina Pelton en la siguiente sección Véase que se ha definido un coeficiente adimensional de pérdidas ζ que depende fundamentalmente de la morfología y de la rugosidad del álabe de modo que tomará distintos valores en función del tipo de máquina Se supondrá además que el chorro impacta contra los álabes en un diámetro medio D de manera que las velocidades de arrastre de entrada y de salida son iguales es decir u u1 u2 ΩD2 Bajo determinadas condiciones como antes esto se explicará más en detalle sobre el caso particular de las turbinas Pelton puede aplicarse la Ecuación de Euler al flujo sobre el álabe 2 1 2 2 1 1 g v u v g u v u v H u u u u t 128 que interesa poner en función de las velocidades relativas 127 cos cos 1 1 2 2 1 2 g w u w g w u w H u u t β β 129 de modo que introduciendo la relación entre estas velocidades relativas 1 cos cos 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 2 1 1 1 1 2 1 1 β β ζ α β β ζ β v u g uv u g w u H t 1210 Si se define el rendimiento hidráulico del álabe o de la rueda sobre la que están dispuestos los álabes por 2 2 1 1 g v H H H t t h alabe η 1211 entonces la Ecuación de Euler toma la forma cos cos 1 1 cos 2 1 2 1 1 1 β β ζ α η v u v u h alabe 1212 De esta ecuación pueden obtenerse distintas conclusiones La primera es que manteniendo constante el término entre paréntesis de la derecha se deduce que la condición de rendimiento máximo es para 1 1 2 cos 1 α v u 1213 es decir interesa que el ángulo de ataque del chorro sobre la rueda sea lo menor posible Si es nulo α1 0º la condición de diseño es claramente uv1 05 aunque en la práctica se utilizan valores en el rango 045047 Los ángulos β1 y β2 tomarán en cada caso ciertos rangos de valores apropiados pero de cualquier manera puesto que interesa minimizar la pérdida de energía cinética en la salida de la rueda otra condición de diseño sería que vu2 0 α2 90º aunque esta última condición no siempre es posible aplicarla 218 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1262 Estudio particular de las turbinas Pelton Las turbinas Pelton son turbinas de acción de tipo tangencial puesto que el chorro impacta de forma tangente contra los álabes del rodete que en este caso son cucharas de forma elipsoidal con una arista central dispuestas en la periferia de la rueda véase la Figura 1215 El ángulo del chorro puede suponerse idealmente α1 0º y el de la velocidad relativa en la entrada β1 180º Así véase que la expresión 1212 rendimiento hidráulico del álabe o de la cuchara resulta cos 1 1 1 2 2 1 1 β ζ η η v u v u h cuchara h alabe 1214 Cucharas Inyector Válvula de agüja Chorro Rueda u u w 1 1 v 1 2 w v2 2 β 2 chorro saliente cuchara chorro incidente TURBINAS PELTON PARTICULARIDADES Se efectúa a continuación un plantemiento particularizado para una turbina de acción tipo Pelton Sobre la cuchara las velocidades absolutas y relativas corresponden al esquema de la Figura 1215 El agua deja a la cuchara con un ángulo β2 respecto del eje del chorro incidente y las relaciones son por tanto cos 2 2 2 1 1 β w u v w u v u 1215 Como se ha indicado antes el Teorema de Euler también es válido en este caso Para ello supóngase que se considera un volumen de control fijo rodeando a cada cuchara Dentro de este volumen de control las variaciones de masa y de cantidad de movimiento son cíclicas de modo que el promedio de la masa y de la cantidad de movimiento en su interior se pueden suponer constantes Las cucharas van entrando y saliendo del volumen de control fijo pero en cada instante considerado sólo existe una cuchara recibiendo la acción del chorro Por tanto el comportamiento de una sola cuchara es representativo de toda la rueda La ecuación de conservación del momento cinético puede aplicarse entonces de la misma manera que se realizó en el Capítulo 4 a este volumen de control obteniéndose que la energía mecánica específica comunicada al rotor altura útil será Figura 1215 Esquema de componentes básicos de una turbina Pelton y triángulos de velocidad en una de las cucharas de la rueda 219 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles cos cos 2 2 1 2 2 1 2 1 β β w u w w u u v v u v gH u u u 1216 expresión que es equivalente a la 129 pero particularizada al caso de una turbina Pelton Si se plantea la ecuación de conservación de la energía mecánica en ejes relativos a la cuchara y se considera que por fricción entre el líquido y la propia cuchara existen unas ciertas pérdidas hidráulicas Hicuchara ζ w1 22g puede ponerse 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 w w p w p ζ ρ ρ 1217 Como en este tipo de turbinas la presión es uniforme en todos los puntos e igual aproximadamente a la atmosférica la velocidad relativa con que el flujo deja la cuchara será 1 1 1 2 2 w w ζ 1218 expresión apuntada antes en la Ecuación 127 llevando este resultado a la forma 1216 de la Ecuación de Euler cos 1 1 cos 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 β ζ β ζ u u v uw gHu 1219 expresión equivalente a la más genérica 1210 Por otro lado si se denomina gH1 a la energía mecánica específica del chorro en la salida del inyector la altura neta menos la altura de pérdidas hidráulicas en el propio inyector H1 Hn Hiinyector la velocidad absoluta incidente a la cuchara45 es v1 2gH112 Si se entiende el rendimiento hidráulico de la cuchara como el cociente entre la altura comunicada al rotor y la disponible en el chorro resultante de la válvula de aguja del inyector se puede escribir lo siguiente cos 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 β ζ η v u v u gH gHt h c 1220 que es la misma expresión 1214 adelantada más arriba En estas condiciones n h i h c u H H η η 1221 siendo n h i gH η gH1 1222 el rendimiento hidráulico del conjunto inyectorválvula de aguja como se adelantó también en 126 Si se representa por lo tanto el rendimiento de la cuchara en función del parámetro uv1 suponiendo que ζ y β2 se mantienen constantes se tendrá una parábola como la representada en la Figura 1216 Puede comprobarse que el rendimiento máximo se alcanza para 2 1 1 v u 1223 45 Es decir esta sería la velocidad de descarga desde un depósito que se encontrara a una cota H1 en flujo estrictamente ideal téngase en cuenta que H1 es una altura en la que ya se han descontado tanto las pérdidas en la tubería forzada como en el inyector 220 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas resultado al que ya se llegó en el planteamiento general de las turbinas de acción Interesará por tanto que la rueda tenga un sistema de regulación que controle que su giro sea a velocidad constante e igual a la mitad de la velocidad absoluta del chorro u v1 05 ηhc En la Figura 1216 se muestra que puede obtenerse de la Ecuación 1220 un mismo valor del rendimiento hidráulico de la cuchara a partir de dos valores distintos de uv1 diferentes de 05 El parámetro uv1 es especialmente importante en las turbinas de acción puesto que la velocidad de giro y el tamaño de la rueda determinan el valor de la velocidad de arrastre u mientras que la energía disponible dada por la altura neta Hn se expresa a través de la velocidad del chorro incidente v1 En estas condiciones si no es posible alcanzar el valor teórico uv1 05 se preferirá elegir a igualdad de rendimiento hidráulico el valor de uv1 más pequeño puesto que repercutirá en general en menores tamaños y velocidades de la rueda y por tanto en condiciones de funcionamiento más estables En condiciones reales de funcionamiento el rendimiento total máximo se alcanza en el rango uv1 045 05 que es el recomendado en la bibliografía Con las definiciones anteriores de los rendimientos hidráulicos del inyector y de la cuchara se tiene que el rendimiento hidráulico de la rueda Pelton es h c h i u n n u h H H H H H H 1 1 η η η 1224 En cuanto al flujo de salida relativo a la cuchara las ecuaciones anteriores podrían hacer pensar que el ángulo óptimo es β2 0º pero en ese caso el agua chocaría con el dorso de la cuchara siguiente lo que es perjudicial y empeora el rendimiento Por esta razón los valores usuales de este ángulo están entre 5 y 15º lo que hace que exista una cierta energía cinética residual que se pierde v222g En realidad el rendimiento hidráulico de la cuchara debe tener en cuenta esta energía cinética residual para cumplir el balance energético en el rodete De esta manera el rendimiento hidráulico de la cuchara o de la rueda ηhc debe cumplir la Ecuación 1220 y además la condición 1 2 2 1 2 H g v H H i cuchara h c η 1225 En una turbina Pelton el coeficiente de pérdidas en la cuchara ζ tiene normalmente valores entre 006 y 01 Las pérdidas en el inyector representan en torno al 24 de la potencia total En estas condiciones el rendimiento hidráulico suele tener valores entre 09 y 093 Teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico suele estar comprendido entre 097 y 09 y el orgánico entre 097 y 0995 puede concluirse que el rendimiento total de una turbina Pelton en condiciones óptimas está comprendido entre 086 y 091 Figura 1216 Rendimiento hidráulico de la cuchara en una rueda Pelton en función de la relación entre la velocidad de la cuchara y la del chorro 221 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles TURBINAS PELTON DEFINICIÓN DE LA VELOCIDAD ESPECÍFICA En una instalación de turbinado con turbinas Pelton es posible disponer de varias ruedas en paralelo y a su vez que cada rueda trabaje con varios chorros El diseño se establece de forma unitaria es decir referido a lo que se obtiene por un chorro sobre una rueda De esta manera se hallará la potencia total de la central multiplicando la potencia unitaria por el número de chorros y por el número de ruedas Por coherencia la velocidad específica debe calcularse por máx 4 3 1 2 1 η n chorro S Pelton gH Ω Q Ω 1226 de manera que con esta definición los mayores rendimientos se alcanzan para valores de ΩS en torno a 01 En algunos textos pueden encontrarse definiciones de ΩS con el caudal de todos los chorros existentes en la rueda en este caso su valor puede sobrepasar 03 en turbinas Pelton La idea entonces es disponer el número de chorros necesario para que ΩS 01 o incluso inferior por cada chorro con la definición dada por 1226 TURBINAS PELTON DIÁMETRO ÓPTIMO DEL CHORRO DEL INYECTOR Puede obtenerse una expresión para el valor del diámetro del chorro D1 que maximiza la potencia útil obtenida en una rueda Pelton de un solo chorro bajo ciertas hipótesis simplificadoras La potencia obtenida en la turbina puede ponerse por n t T gQH W η ρ 1227 expresión en la que puede sustituirse la altura neta suponiendo que en la tubería forzada de longitud L y diámetro D0 las pérdidas son únicamente por fricción 2 2 0 0 g v D L H H b n λ 1228 y el caudal 4 4 2 0 0 2 1 1 D v D v Q π π 1229 y puesto que la velocidad en el chorro es 2 1 2 1 2 1 n h i gH v η 1230 la Ecuación 1217 toma la forma 2 4 3 2 1 2 1 2 2 1 n h i t T H g g D W η η ρ π 1231 En esta última ecuación vuelve a aparecer la altura neta que puede ponerse en función del diámetro del chorro haciendo uso de las expresiones anteriores como sigue 4 0 4 1 0 D D H D L H H n h i b n η λ 1232 de modo que 222 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 4 0 4 1 0 D D D L H H i h b n η λ 1233 expresión que puede sustituirse en la 1231 para hacer después 0 d d D1 WT 1234 Lógicamente en esta derivación deben considerarse constantes los rendimientos que intervienen así como λ L D0 y Hb Puede comprobarse que el diámetro del chorro que consigue el máximo de potencia es 2 4 1 5 0 1 L h i D D η λ 1235 y sustituyendo esta expresión en la Ecuación 1223 la altura neta correspondiente es b n H H 3 2 1236 1263 Regulación y curvas características de las turbinas Pelton La función de los álabes del distribuidor de las turbinas de reacción la realiza aquí la aguja del inyector que se desplaza dentro de la tobera convergente del mismo para regular el área de salida y por tanto el caudal véase la Figura 1217 aunque la altura y por ello la velocidad de salida permanezcan constantes De alguna manera puesto que la turbina aprovecha la energía cinética del agua interesa aumentar o disminuir el caudal manteniendo aproximadamente constante la velocidad del chorro en el inyector La variable que indica la posición de la aguja se denominará x x Aguja Tobera Chorro Rueda Cuchara Puede considerarse que el caudal resulta constante e independiente del régimen de giro Para cada valor de x se obtendrá en una gráfica Q fΩ como la de la Figura 911b una recta horizontal a distinto nivel siendo éste función de la posición de la aguja del inyector La potencia y el rendimiento tendrán la forma cercana a una parábola invertida anulándose cuando la velocidad periférica de la rueda u sea igual a la del chorro esta será la velocidad de embalamiento46 La posición de la aguja x dará curvas de distinto máximo pero con los mismos puntos de corte con el eje Figura 1218 46 Uno de los dispositivos característicos de una turbina Pelton es el contrachorro o chorro dirigido en sentido contrario al del inyector para parar la turbina en caso de embalamiento o también para el caso de paradas programadas Figura 1217 Esquema de la válvula de aguja de regulación del inyector en una turbina Pelton La posición relativa de la aguja respecto de la tobera se mide con la coordenada x 223 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles La potencia útil puede ponerse como sigue cos 1 1 1 2 1 2 1 A x v u u v gH Q W u u β ζ ρ ρ 1237 donde Ax es la sección del chorro función de la abertura del inyector De esta ecuación dividiendo por v1 se puede obtener la forma de variar el coeficiente de potencia en función del de velocidad pues cos 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 D A x v u v u gH D Wu β ζ ρ 1238 y prescindiendo de los rendimientos y de las constantes se puede deducir que la curva de la potencia será del tipo Figura 1219 1 1 2 1 2 3 2 2 a x gH D gH D gH D W Ω Ω ρ 1239 siendo ax la abertura adimensional del inyector 2 D A x a x 1240 parámetro válido para todas las turbinas de diseño semejante W x 1 x 05 u v1 η 05 Ω η máx W η abertura máxima abertura del inyector D gH 12 gH 32 D2 ρ Figura 1218 Curva de potencia en función de la velocidad de giro para varias posiciones de la aguja del inyector en una turbina Pelton Figura 1219 Curva de potencia y rendimiento en función de la velocidad de giro y de la posición de la aguja del inyector en una turbina Pelton 1264 Estudio particular de las turbinas Turgo La turbina Turgo es una turbina de acción o impulso en la que el agua impacta con la rueda con una importante componente axial Así pues si en una turbina tipo Pelton el agua impacta tangencialmente sobre los álabes o cucharas en una Turgo el inyector debe estar situado en un plano perpendicular al plano meridiano del rodete para que el agua choque contra los álabes con una cierta componente axial véase la Figura 1220 La velocidad específica tiene valores comprendidos entre los correspondientes a las turbinas Pelton y a las turbinas Francis Puede establecerse entonces un rango característico de velocidades específicas ΩS entre 002 y 07 aproximadamente En cuanto a la eficiencia la curva de respuesta en rendimiento es bastante plana a partir aproximadamente de un 20 de caudal con respecto al caudal nominal Esto quiere decir que el rendimiento se mantiene estable con importantes variaciones de caudal El valor del rendimiento máximo es inferior al que se puede alcanzar por ejemplo con una turbina 224 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Francis para condiciones parecidas pero en cualquier caso es posible alcanzar valores en torno al 80 o incluso superior Figura 1220 Esquema básico de componentes de una turbina Turgo Entre las ventajas específicas que aconsejan la instalación de una turbina Turgo puede citarse por un lado la facilidad de instalación puede ser incluso más sencilla que la de una turbina Pelton y por el otro la posibilidad de trabajar con amplios rangos de caudales Efectivamente según se acaba de indicar una turbina Turgo puede trabajar con más del doble de caudal que una turbina Pelton para condiciones semejantes Dicho de otro modo para un mismo umbral de potencia el diámetro de una rueda Turgo puede ser menos de la mitad que el de una rueda Pelton Como inconveniente principal puede indicarse que para conseguir grandes potencias los esfuerzos que deben soportar los cojinetes de la rueda en dirección axial crecen de forma importante de manera que el funcionamiento mecánico del sistema puede ser más irregular TURBINAS TURGO SISTEMA INYECTOR El inyector de una turbina Turgo es similar al de una Pelton La válvula de aguja del inyector puede avanzar más o menos dentro de la tobera del inyector dando lugar a diferentes caudales de funcionamiento pero intentando mantener la energía cinética del chorro que al fin y al cabo es la energía disponible en la turbina como ocurría con las Pelton La velocidad de salida del chorro es v1 y el ángulo α1 de incidencia con respecto del plano de la rueda suele estar comprendido entre 20 y 25º Lo habitual es disponer únicamente un inyector aunque en turbinas de potencia elevada pueden disponerse dos o cuatro inyectores uniformemente repartidos Lo habitual es que el chorro generado impacte de forma simultánea sobre tres álabes del rodete en contraposición a las Pelton en las que el chorro debería impactar únicamente sobre una cuchara en cada instante De esta manera se consiguen turbinar en el caso de las Turgo caudales mayores sin que las recirculaciones y flujos de interferencia entre los álabes lleguen a ser demasiado desfavorables Ω INYECTOR Chorro Rotor GENERADOR RODETE Álabes 225 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles TURBINAS TURGO RODETE Como se ha indicado anteriormente la aplicación de la Ecuación de Euler a través del rodete Figura 1221 conduce al rendimiento hidráulico del álabe o de la rueda que adopta la expresión genérica ya escrita en la Ecuación 1212 cos cos 1 1 cos 2 1 2 1 1 1 β β ζ α η v u v u h alabe 1241 Los álabes que forman el rodete Turgo recuerdan a media cuchara de los álabes típicos de una rueda Pelton La geometría de los álabes entonces puede seguir una forma elipsoidal aunque también se han aplicado otras formas tales como curvas de Bezier o la curva clotoide o espiral de Cornú Esta última es una curva cuyo radio de curvatura Rc disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia s recorrida sobre ella es decir seguiría una expresión matemática 2 cte Rc s 1242 teniendo entonces la propiedad de que la aceleración de una partícula fluida que siga esta curvatura es constante 1265 Estudio particular de las turbinas BankiMitchell La turbina BankiMitchell es en realidad una turbina de acción de flujo cruzado También recibe el nombre de turbina Ossberger Puede clasificarse como de flujo radial centrípeta centrífuga por el modo en el que el fluido atraviesa el rodete Aunque en la parte de la admisión el agua puede llegar a presurizarse la mayor parte de la energía intercambiada es en forma cinética de modo que su grado de reacción es muy bajo y puede considerarse como una turbina de acción El rodete o rueda está formado por dos discos uno exterior y otro interior entre los que se disponen los álabes su morfología recuerda a un tambor cilíndrico sobre el que flujo incide lateralmente Figura 1222 Estos suelen tener un trazado sencillo arcos de círculo En la primera etapa el agua ataca el rodete de forma centrípeta y en la segunda etapa lo atraviesa de forma centrífuga La descarga es libre a presión β2 α2 INYECTOR RODETE u1 w1 v1 u2 w2 v2 1 2 Ω β1 α1 Anchura del disco Chorro Figura 1221 Estudio del flujo a través de un rodete Turgo Triángulos de velocidades de entrada y de salida 226 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas atmosférica La mayor parte de potencia se intercambia en la primera etapa en torno a 75 mientras que en la segunda etapa se libra el resto 25 Figura 1222 Esquema general de componentes en una turbina BankiMitchell Estudio del flujo a través de la rueda y triángulos de velocidades El rango de aplicación de las turbinas BankiMitchell es amplio Ocupa un lugar intermedio entre las aplicaciones de las turbinas Pelton rápidas y las turbinas Francis lentas con velocidades específicas comprendidas en el rango 02515 aproximadamente Las aplicaciones tradicionales de este tipo de turbinas han sido para la energía minihidráulica actualmente su rango de empleo se está ensanchando y pueden β2 α2 SISTEMA INYECTOR RODETE u1 w1 v1 u2 w2 v2 A 2 Ω w2 u2 v2 β1 α1 β2 α2 α2 B D C β1 w1 u1 v1 α1 α2 Álabe D2 D1 1 1 2 DESCARGA Primera etapa Segunda etapa 227 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles encontrarse situaciones con alturas entre 15 y 200 m caudales entre 02 y 10 m3s y potencias obtenidas de hasta 2 MW Entre las ventajas de las turbinas de flujo cruzado podemos citar por un lado que su instalación es probablemente la más sencilla de todos los tipos estudiados hasta el momento La turbina BankiMitchell es la turbina de las zonas agrarias en las que la instalación debe ser rápida y sencilla y el mantenimiento mínimo Por otro lado se trata de una máquina cuyo diámetro no depende directamente del caudal o de la velocidad específica puesto que la anchura o envergadura del cilindro del rodete puede elegirse a conveniencia en función del caudal o de la potencia a intercambiar con lo que el diámetro del rodete puede mantenerse reducido En cuanto a los rendimientos puede indicarse que al igual que ocurría con las turbinas Turgo la curva de eficiencia es bastante plana de manera que el rendimiento se mantiene muy constante para un amplio rango de caudales de funcionamiento prácticamente desde solo el 10 del caudal nominal Sin embargo no suelen alcanzar rendimientos superiores al 6570 aunque en algunas máquinas especiales se han conseguido rendimientos de hasta el 85 TURBINAS BANKIMITCHELL SISTEMA INYECTOR Como puede verse en la Figura 1222 el sistema inyector se encarga de conducir de forma apropiada el agua hacia la periferia de la rueda Este conducto puede incorporar en ocasiones paletas directrices La admisión de la turbina suele ser parcial normalmente entre 13 y 14 de la circunferencia exterior de la rueda De este modo el chorro impacta sobre varios álabes de forma simultánea Como en el caso de las turbinas Turgo interesa que el ángulo de ataque del chorro en el inyector α1 sea mínimo pero los valores habituales de diseño oscilan entre 16º y 24º El ángulo del álabe en la entrada β1 se puede tomar en torno a 150º el valor óptimo sería 180º TURBINAS BANKIMITCHELL RODETE Para estudiar el comportamiento del flujo a través de la rueda puede suponerse que una partícula fluida que entra por el punto A de la Figura 1222 entrada del rodete 1 con un ángulo de ataque α1 sale por el punto D salida del rodete 2 con un ángulo de salida α2 de manera que β1 180º β2 Evidentemente en un caso real existen interferencias entre las trayectorias fluidas que salen de los álabes de la primera etapa de modo que esta situación ideal no se cumplirá y la trayectoria dibujada con línea discontinua en la Figura 1222 será diferente Sin embargo con estas hipótesis y suponiendo que los puntos B salida de la primera etapa 2 y C entrada de la segunda etapa 1 están ligados por las relaciones 2 1 2 1 2 1 180º β β β β α α 1243 es posible simular con suficiente aproximación las dos etapas del flujo del fluido Como se ha indicado en el caso de las turbinas Turgo la aplicación de la Ecuación de Euler a través del rodete conduce al rendimiento hidráulico del álabe o de la rueda que adopta su expresión genérica 1212 La relación entre los diámetros exterior e interior de la rueda se recomienda D2D1 15 en cuanto al diámetro exterior del rodete se han empleado tradicionalmente rodetes de tamaño reducido desde 02 m para velocidades específicas bajas hasta 05 m para velocidades específicas altas Sin embargo hoy en día se construyen rodetes por encima de 1 m de diámetro El número de álabes suele oscilar entre 22 y 28 Bibliografía consultada Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 228 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Henry P Turbomachines hydrauliques Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1992 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Mockmore CA y Merryfield F The Banki Water Turbine Bulletin Series No 25 Oregon State System of Higher Education Corvallis USA 1949 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Potter MC y Wiggert DC Mechanics of fluids PrenticeHall 1991 Radha Krishna HC Ed Hydraulic Design of Hydraulic Machinery Avebury 1997 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Thake J The microhydro Pelton turbine manual Practical Action Publishing Warwickshire UK 2000 White FM Mecánica de fluidos McGraw Hill 1983 229 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 13 CENTRALES HIDROELÉCTRICAS I INSTALACIONES HIDRÁULICAS 131 Introducción Una central hidroeléctrica convierte la energía hidráulica de tipo potencial almacenada en un embalse en electricidad mediante una turbina hidráulica y un generador eléctrico acoplado al eje de la turbina En este tipo de centrales es donde las turbinas tienen su principal aplicación constituyendo una de las fuentes de producción de energía más extendidas actualmente Las ventajas de la energía hidráulica son numerosas y conocidas Es una de las principales fuentes de energía de tipo renovable como se explicó en el Capítulo 1 En los últimos tiempos se ha orientado hacia la llamada energía minihidráulica cuando se trata de aprovechar saltos pequeños potencias extraídas inferiores a 10000 kW e incluso microhidráulica potencias del orden de kilowatios EMBALSE Compuerta Rejilla Desagüe Turbina Tubo difusor CENTRAL DE TURBINACIÓN TUBERÍAS FORZADAS GALERÍAS DE PRESIÓN CHIMENEA DE EQUILIBRIO PRESA Válvula de regulación Figura 131 Disposición típica de los distintos elementos hidráulicos presentes en una central hidroeléctrica clásica En la Figura 131 se muestra la disposición típica de los distintos elementos hidráulicos presentes en una central hidroeléctrica clásica El agua se almacena en el embalse mediante la interposición de una presa En la zona de toma de agua que puede estar en la misma presa o en un lateral del embalse se dispone una compuerta y una rejilla para evitar la entrada de elementos sólidos en la galería de presión La galería de presión se distingue 230 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas de la tubería forzada en la pendiente La pendiente de la tubería forzada es mayor aunque todo el sistema de tuberías que conduce el agua a la turbina puede llamarse simplemente tubería forzada Pueden existir o no dispositivos de amortiguación del golpe de ariete como la chimenea de equilibrio En cualquier caso se necesita una válvula de regulación antes de la entrada en la turbina esta válvula normalmente incorpora un dispositivo propio de amortiguación de sobrepresiones Las turbinas puede existir una o varias en paralelo junto con el sistema de generación eléctrica y el tubo de descarga o tubo difusor o de aspiración se encuentran en la central de turbinado o casa de máquinas En este capítulo se efectúa una descripción general de los elementos que componen normalmente este tipo de centrales tales como las presas las tuberías forzadas o las chimeneas de equilibrio Se describe a grandes rasgos cómo es su funcionamiento y se hace una introducción además al estudio de los transitorios que pueden tener lugar haciendo especial énfasis en el cálculo del golpe de ariete Se ha dejado para el siguiente capítulo la descripción de algunas centrales particulares así como la regulación de ríos y de las propias centrales 132 Clasificación y descripción general de centrales presas y embalses 1321 Centrales hidroeléctricas El flujo del agua producido por desniveles naturales o artificiales ha sido utilizado desde antiguo para producir energía mecánica por medio de ruedas de paletas y de cajones que aunque eran artefactos rudimentarios tenían adecuadas aplicaciones entre otras para elevar agua de riego o para mover molinos Actualmente el aprovechamiento de la energía hidráulica disponible en los saltos de agua mediante turbinas en las centrales hidroeléctricas constituye un importante recurso para la producción de energía eléctrica Son varias las CLASIFICACIONES que pueden hacerse de las centrales hidroeléctricas Por ejemplo en cuanto a sus características técnicas el tipo de turbina condiciona el diseño de la central por lo que en ocasiones se habla de Central Francis Pelton Kaplan En cuando al asentamiento y morfología de la central pueden distinguirse entre centrales de agua fluente de agua embalsada o integradas en redes de agua A su vez pueden distinguirse subtipos en función de su misión o modo de funcionamiento principal de regulación de acumulación por bombeo En cuanto a la energía intercambiada un cierto umbral de energía o potencia puede dar lugar a otras denominaciones Central Minihidráulica potencia instalada inferior a 10 MW Central Hidráulica Convencional potencia superior a 10 MW Sin embargo lo más habitual es clasificar en este caso a las centrales por la altura del salto que se está aprovechando De modo resumido se tratan algo más en detalle algunas de estas tipologías En primer lugar con respecto a su ASENTAMIENTO y MORFOLOGÍA pueden distinguirse los siguientes tipos Centrales de agua fluente en las que el agua llega por el cauce normal de un río no existiendo por tanto almacenamiento de agua También se denominan de agua corriente o de agua fluyente No cuentan prácticamente con reserva de agua oscilando el caudal suministrado en función del caudal que lleva el río Si la central se dispone sobre un curso artificial desviado del río se denominan centrales en derivación Centrales de agua embalsada en las que el agua llega convenientemente regulada desde un lago o un pantano artificial embalse conseguido mediante la construcción de una presa El embalse almacena los caudales de los ríos afluentes El agua embalsada se utiliza según demanda a través de conductos que la encauzan hacia las turbinas La 231 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles disposición habitual de la turbina es lo más cercana posible a la base de la presa en este caso se llaman centrales a pie de presa Dentro de las centrales de agua embalsada pueden distinguirse los siguientes tipos Centrales de regulación que tienen capacidad para acopiar grandes volúmenes de agua en el embalse Prestan un gran servicio en situaciones de bajos caudales regulándose éstos convenientemente para la producción Se adaptan muy bien para cubrir las horas punta de consumo Centrales de bombeo o centrales de acumulación por bombeo Estas centrales acumulan volúmenes de agua mediante bombeo por lo que su funcionamiento puede compararse a un acumulador de energía potencial A menudo estas centrales cuentan con una máquina reversible que es capaz de funcionar como bomba y como turbina Se describirán más en detalle en el Capítulo 14 Centrales integradas en redes de agua Son normalmente centrales de tamaño reducido y están tomando especial relevancia en el mundo de la energía minihidráulica Pueden instalarse en los sistemas de alimentación de agua potable en los sistemas de depuración de aguas residuales o en los canales de irrigación riego En el caso de los sistemas de reparto de agua potable por ejemplo la turbina se interpone entre el depósito y la instalación de tratamiento previa al abastecimiento de agua De esta manera la necesaria reducción de presión que se efectuaba mediante válvulas de regulación la realiza ahora la turbina consiguiendo de este modo una energía aprovechable En relación con la ALTURA DEL SALTO de agua existente a modo orientativo se tienen las siguientes Centrales de alta presión Aprovechan saltos superiores a los 200 m siendo los caudales relativamente pequeños alrededor de los 20 m3s por máquina Se utilizan turbinas tipos Pelton y Francis que reciben el agua normalmente a través de conducciones de gran longitud Para saltos muy grandes por encima de los 400 m se utilizan principalmente turbinas Pelton Centrales de media presión Aprovechan saltos entre 20 y 200 m aproximadamente desaguando caudales de hasta 200 m3s por turbina Las turbinas utilizadas son preferentemente de tipos Francis y Kaplan Para saltos altos dentro de este rango suelen utilizarse turbinas Francis Centrales de baja presión El salto hidráulico es inferior a los 20 m siendo los caudales por máquina de hasta 300 m3s Para estas alturas y caudales son recomendadas sobre todo las turbinas Kaplan si el salto es muy pequeño se utilizan casi exclusivamente las turbinas tubulares o de bulbo aunque también se montan las de tipo Francis Pueden alcanzarse caudales aún mayores hasta 500 m3s utilizándose en este caso turbinas Kaplan A continuación se describirán brevemente algunos de los elementos característicos de una central hidroeléctrica como el embalse o la presa Obviamente el elemento principal de una central la turbina ya ha sido suficientemente estudiado en los temas anteriores 1322 Embalses Un embalse resulta de almacenar todas las aguas que afluyen del territorio sobre el que está enclavado identificado como cuenca vertiente La función del embalse consiste en encauzar el agua para una adecuada utilización según las necesidades En un embalse es preciso distinguir entre la capacidad útil o cantidad de agua embalsada por encima de la entrada de agua hacia la central y capacidad total o totalidad del agua embalsada es decir la útil más 232 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas la no utilizable véase la Figura 132 Para retener el agua en el embalse es preciso construir al menos una presa que caracteriza al embalse Cimentación Conducción a la turbina Paramento de aguas abajo talud Capacidad útil Capacidad no utilizable Paramento de aguas arriba dorso Coronación Presa Embalse Figura 132 Descripción de las zonas estructurales de una presa 1323 Presas Presa es toda estructura que actúa como barrera interrumpiendo la libre circulación del agua a través de sus cauces normales dependiendo su configuración de la orografía del lugar de asentamiento Se construyen con dos fines principales Obtener una elevación del nivel del agua para formar un salto Crear un depósito de grandes dimensiones para almacenar el agua y regular la utilización de la misma Una de las principales aplicaciones de las presas es la producción de energía eléctrica si bien se utilizan para otras funciones que no son menos importantes como para el abastecimiento de agua a las poblaciones o la regulación de avenidas En las presas que se denominan azudes cuando son de pequeño tamaño se distinguen las siguientes zonas estructurales Cimentación que es la base sobre la que descansa la mayor parte de la presa y que también se denomina fundamento Estribos también llamados apoyos laterales y que son las zonas extremas de la presa que realizan el cierre incrustándose en el terreno de las orillas Coronación o parte superior A menudo se construye una carretera o una vía de acceso sobre ella Paramentos superficies de la presa que reciben el nombre de dorso superficie que recibe a la corriente y talud superficie opuesta a la anterior Existe una amplia clasificación de presas basada en la aplicación de las mismas en los materiales utilizados en su construcción y en la forma adoptada Se citarán a continuación las más significativas En cuanto a la APLICACIÓN DE LA PRESA pueden distinguirse los siguientes tipos Presas de derivación Además de conseguir un salto de agua derivan o desvían los caudales hacia la central Presas de embalse Destinadas principalmente al almacenamiento de agua además obtienen un salto hidráulico Respecto de los MATERIALES UTILIZADOS EN SU CONSTRUCCIÓN se tienen 233 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Presas de materiales sueltos Denominadas también presas de tierra o de escollera Se realizan sobre terreno con suficiente grado de impenetrabilidad al agua situando una pantalla impermeable en el paramento aguas arriba o bien formando un núcleo central y completándose la estructura con un relleno suficientemente compactado de tierra piedras capas de escollera etc Presas de hormigón En cuanto a la CONFIGURACIÓN DE LA PRESA se tienen los tipos siguientes Presas de gravedad En ellas las acciones de vuelco y deslizamiento sobre los cimientos debidas al empuje del agua son contrarrestadas por el propio peso de la presa El perfil suele tener forma triangular o trapezoidal Presas de contrafuertes Son similares a las de gravedad pero su perfil no se mantiene constante puesto que existen una serie de contrafuertes verticales a lo largo de la presa Con este tipo de presas se economizan materiales ya que entre los vanos formados por los contrafuertes la sección transversal de la presa es considerablemente menor razón por la que se les conoce como presas aligeradas Presas de arco La presa tiene una curvatura significativa en dirección horizontal la parte convexa recibe la mayor parte del empuje horizontal Se conocen también como presas de simple curvatura Su sección transversal suele ser prácticamente rectangular Presas de bóveda También se conocen como presas de doble curvatura puesto que tienen una doble curvatura en direcciones vertical y horizontal Presas de arcogravedad que reúnen las características de las presas de arco y de las presas de gravedad Presas de arcos múltiples similares a las presas de contrafuertes y construidas a base de sucesivas bóvedas H F Subpresión h Filtraciones En el CÁLCULO ESTÁTICO DE LAS PRESAS DE GRAVEDAD es preciso considerar por un lado las fuerzas que producen un momento de vuelco y por otro las fuerzas que producen un momento estabilizador Entre las fuerzas que producen un momento de vuelco la más importante es el empuje hidrostático Figura 133 si b es la envergadura de la presa su longitud en dirección perpendicular al papel el empuje puede ponerse 2 g H 2 b F ρ 131 estando situado el punto de aplicación a una distancia de la superficie libre 3 h 2 H 132 La subpresión es el empuje en dirección vertical hacia arriba que aparece como consecuencia de las filtraciones de agua por debajo de la presa Hasta entrado el siglo XX Figura 133 Empuje hidrostático y esquema de las filtraciones que dan lugar al efecto de la subpresión en una presa 234 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas se desconocían los efectos de la subpresión a partir del estudio de las roturas de presas que se producían por este motivo se han desarrollado algunos métodos para el cálculo de este empuje desestabilizador Para evitar las filtraciones a menudo se construyen túneles de drenaje o se inyecta cemento líquido para crear una pantalla impermeabilizante Otras fuerzas desestabilizadoras son los empujes por capas de hielo oleaje o sedimentos en el paramento aguas arriba los temblores sísmicos la depresión que se produce en la lámina vertiente si existe sobre la coronación o la fuerza de rozamiento de esta lámina sobre el paramento aguas abajo Entre las fuerzas que producen un momento estabilizador pueden citarse el peso del muro el peso del fluido sobre el paramento aguas arriba si este tiene inclinación el peso de la lámina vertiente sobre la coronación la cohesión del material el empuje hidrostático del nivel aguas abajo y el peso del fluido sobre el paramento aguas abajo 1324 Aliviaderos Los aliviaderos son elementos de seguridad previstos para evacuar la cantidad de agua que sobrepasa la capacidad del embalse de modo que la presa quede protegida contra la erosión y el arrastre especialmente en zonas tan vulnerables como la cimentación los estribos y la coronación Los aliviaderos de superficie se construyen normalmente en la coronación de la presa Los túneles aliviaderos son conductos enterrados que parten desde el interior del embalse y desaguan en algún punto aguas abajo Los aliviaderos de emergencia se construyen directamente en la presa cerca de la coronación de la misma por encima de los aliviaderos de superficie Otros elementos propios de las presas son los desagües de fondo y medio fondo llamados también desagües del embalse mediante los que se controla y regula la salida del agua las rejillas formadas por barras de acero o de hormigón armado que impiden el paso de brozas y cuerpos extraños en suspensión en las zonas de entrada del agua las galerías de inspección para la inspección del estado de la estructura interior de la presa y para el acceso a los equipos instalados en el interior de la presa o la escala de peces consistente en un canal abierto situado en uno de los márgenes de la presa necesario para conservar la riqueza piscícola de los ríos 133 Instalaciones hidráulicas de alimentación de las turbinas 1331 Conducciones de agua El suministro de agua desde el embalse a la turbina puede hacerse mediante distintos procedimientos como por ejemplo los siguientes Directamente mediante tuberías forzadas que parten de las tomas de agua situadas generalmente en la zona de la presa A través de canales o túneles abiertos que conectados en puntos de la presa o en las laderas del embalse desembocan en un depósito de carga llamado también depósito de extremidad del que derivan las tuberías forzadas Mediante dos tramos distintos en el caso de largas distancias entre el embalse y la central El primer tramo está constituido por una o varias galerías adaptadas a la topografía del terreno llamadas galerías de presión que parten de las tomas El segundo tramo está formado por una o varias tuberías forzadas De lo expuesto se deduce que la central puede encontrarse muy cerca de la presa si es así se denomina central a pie de presa o por el contrario estar alejada de la misma por ejemplo una central en derivación sobre un canal creado artificialmente después de una represa Se destacan a continuación algunas características de los elementos que se han citado más arriba Las tomas de agua captan el agua necesaria para el funcionamiento de 235 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles las turbinas las aperturas por donde entra el agua están protegidas por rejillas que pueden ser de distintos tipos constructivos Las torres de toma son estructuras destinadas a tomar el agua de alimentación cuando por algún motivo la toma quiere hacerse en el interior del agua embalsada o hacia un lateral del embalse lejos de la presa En las mismas suelen instalarse todos los equipos necesarios para controlar el paso del agua a las turbinas Como se ha indicado las tuberías forzadas no parten siempre de modo directo de las tomas de agua sino que pueden derivar de una galería de un pozo de presión o de un colector que alimenta a dos o más tuberías forzadas Las chimeneas de equilibrio cuyo funcionamiento se verá más adelante tienen como misión principal reducir al máximo las consecuencias del golpe de ariete También se denominan cámaras de presión tanques de equilibrio o depósitos de compensación Se instalan principalmente en la zona de unión de las galerías de presión con las tuberías forzadas o bien en la zona de unión de los tubos de aspiración de las turbinas con las galerías o túneles de desagüe de las máquinas 1332 Rejillas Las rejillas que se disponen en las tomas de agua tienen un papel relevante Se trata de disminuir al máximo la cantidad de broza que puede entrar hacia la zona de las turbinas Para ello se instala una reja formada por barrotes sólidos espaciados regularmente Los valores para el espaciamiento de los barrotes están comprendidos entre 2030 mm para las Pelton 4050 mm para las Francis y 80100 mm para las Kaplan La toma y la rejilla deben diseñarse para que la velocidad de entrada del agua en ese punto esté comprendida entre 05 y 15 ms la velocidad de entrada no puede ser demasiado grande para no atraer las brozas del fondo del río o del embalse El mantenimiento de las rejillas es un factor clave En primer lugar deben incorporar un sistema de auto limpiado Este consiste normalmente en un raspador que puede separarse y aproximarse a conveniencia a la rejilla de modo que deslizándose paralelamente a la misma consigue arrastrar las brozas depositadas y llevarlas a un canal de evacuación Por supuesto las rejillas deben ser desmontables puesto que uno de los problemas fundamentales consiste en su colmatación En este caso es posible que requiera el desmontaje de la misma e incluso la intervención de buzos en las grandes centrales En cuanto a la estimación de su pérdida de carga puede utilizarse la fórmula de Kirschmer θ β sen 2 2 3 4 g V a t H 133 siendo t el espesor de las barras en la dirección perpendicular al flujo a la separación entre ellas V la velocidad del flujo incidente θ el ángulo de la rejilla con respecto a la horizontal y β un factor de forma de las barras que oscila desde 242 barras rectangulares a 179 barras circulares Normalmente se instalan inclinadas para facilitar su limpieza θ en torno a 70º 1333 Dispositivos de abertura cierre y regulación del paso de agua Se tienen principalmente dos tipos de dispositivos de regulación del paso del agua las compuertas y las válvulas Aunque su misión es básicamente la misma existen algunas diferencias entre ellas Las COMPUERTAS son dispositivos capaces de retener dejar paso libre o regular el caudal de agua que llega a una apertura sumergida o no o que circula por una conducción abierta o cerrada Las llamadas compuertas para el arranque de la turbina se utilizan para el suministro de agua a las turbinas situadas a pie de presa y en las tomas de agua para las 236 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas tuberías forzadas que llevan el agua a las turbinas En cualquier caso puede efectuarse la siguiente clasificación Giratorias Segmento Taintor El agua se vierte por debajo Sector El agua se vierte por encima Clapeta La compuerta gira sobre un eje longitudinal para dar paso al agua Deslizantes Stoney Deslizan verticalmente sobre un tren de rodillos Vagón Deslizan con rodillos fijos en los laterales de la compuerta Oruga Deslizan con una cadena continua de rodillos en el lateral Bureau Compuerta rectangular deslizante Las ataguías merecen mención aparte puesto que en ocasiones pueden ser consideradas también como compuertas Normalmente se llama así a pequeñas presas de material impermeable en ocasiones de tierra compactada que se utilizan para derivar o controlar el cauce de los ríos durante las construcciones hidráulicas Así pues son estructuras para permitir o no el paso del agua pero son provisionales puesto que finalmente se eliminan En ocasiones estas ataguías se construyen de materiales sólidos y quedan en las obras hidráulicas como compuertas de seguridad acompañando a las compuertas y válvulas de operación norma De este modo también pueden considerarse como reguladoras de caudal Flujo Volante Compuerta Flujo Volante de accionamiento Lenteja a b Flujo Volante Orificio cilíndrico Esfera Cono difusor Nervios de sujección Flujo Cuerpo Obturador b d Figura 134 Distintos tipos de válvulas utilizados en las centrales hidroeléctricas a De compuerta b De mariposa c De esfera o de bola d De chorro hueco Las VÁLVULAS a diferencia de las compuertas se instalan siempre en conductos cerrados Aparecen en cualquier punto de la instalación y pueden ser de distintos tipos siendo los más habituales los siguientes Figura 134 Válvulas de compuerta adecuadas únicamente para las operaciones de apertura y de cierre en posiciones intermedias dan lugar a una gran pérdida de carga 237 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Normalmente incorporan un bypass que equilibra las presiones en ambas caras de la compuerta Válvulas de mariposa que como las anteriores no son aptas para posiciones intermedias La pantalla es un disco que obtura la tubería y que gira en torno a un eje diametral En ocasiones pueden incorporar una contrapesa para facilitar las operaciones de cierre y apertura Válvulas esféricas o de bola en las que el cierre se realiza mediante una esfera con un orificio pasante A menudo se utilizan como válvulas de regulación siendo apropiadas para las tuberías forzadas Válvulas de chorro hueco que deben su nombre al hecho de proyectar un chorro hueco de forma anular Su mecanismo de funcionamiento recuerda al de un tapón El objeto obturador tapón suele tener una forma cónica Su peculiar funcionamiento les hace recomendables por ejemplo para los desagües de fondo 1334 Tuberías forzadas En esta sección se tratarán algo más en detalle a las tuberías forzadas Como se ha dicho anteriormente son conducciones desde la cámara de carga o toma de agua de la presa hasta la entrada al sistema de alimentación de las turbinas a través de un colector general o de colectores individuales En ocasiones la conducción se divide en dos partes la primera de ellas extrae el agua del embalse y la conduce hasta un determinado punto en el que la pendiente de la conducción cambia drásticamente para llevar el agua a la central de turbinación La primera conducción se llama entonces galería de presión y la segunda es propiamente la tubería forzada Estas tuberías soportan elevadas presiones se suelen diseñar con espesor variable para minimizar los costes pudiendo hacerse un trazado aéreo o enterrado según los casos El material empleado puede ser acero en este caso se requiere un control riguroso de las soldaduras fundición fibrocemento hormigón armado o plástico reforzado con fibra de vidrio A menudo se efectúa una protección interior en las conducciones contra corrosión mediante pinturas especiales Las tuberías forzadas siempre deben estar dotadas con dispositivos de protección contra el golpe de ariete CRITERIOS BÁSICOS DE DISEÑO El criterio básico de diseño en las tuberías forzadas consiste en que el coste total compuesto por el coste de amortización de la obra más el coste que supone la existencia de pérdidas hidráulicas que llevan a desperdiciar parte de la potencia aprovechable sea mínimo La norma habitual de diseño es que la pérdida de carga a lo largo de las conducciones esté comprendida entre 2 y el 5 de la altura bruta del salto aunque a veces este rango puede verse ampliado incluso hasta el 10 La pérdida de carga puede depender fuertemente de la rugosidad aunque tradicionalmente se han dispuesto tuberías forzadas de hormigón armado actualmente lo habitual es montarlas de acero que aunque pueden ser más caras ofrecen mejores acabados de rugosidad y comportamientos mecánicos más favorables Las velocidades recomendadas de diseño oscilan entre 4 y 6 ms En ocasiones las velocidades de funcionamiento se elevan hasta los 10 ms con objeto de reducir el tamaño de las tuberías y disminuir el impacto sobre el paisaje El número de conducciones forzadas deberá ser el mínimo posible dependiendo del número de grupos de turbinación instalados y de la necesidad de que estos funcionen de manera independiente Es necesario disponer anclajes para la sujeción de las tuberías forzadas Por ejemplo en los cambios de dirección pueden aparecer empujes debido al cambio en la cantidad de movimiento del fluido los anclajes deben ser capaces de soportar estas fuerzas puesto que de lo contrario la instalación podría verse destruida El cálculo de anclajes para las tuberías 238 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas forzadas debe efectuarse mediante la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento al tramo de tubería que quiere sujetarse El diámetro óptimo es el que hace mínimo el coste total de la instalación En la figura adjunta se ha representado la curva de costes en función del diámetro Lógicamente a medida que aumenta el diámetro las pérdidas por rozamiento son menores mientras que el coste de amortización de la tubería aumenta Estos dos efectos contrapuestos llevan a que la curva de costes totales tenga un mínimo que es el que se corresponde con el llamado diámetro óptimo o económico Diámetro Coste anual Diámetro óptimo Coste de la energía perdida Coste de amortización Coste total El cálculo del diámetro económico es forzosamente iterativo y trabajoso Existen en la bibliografía diversas fórmulas aproximadas del tipo siguiente b a económico C Q H D 134 donde H puede tomarse como la altura bruta y C a y b pueden tener en cuenta distintos factores Puede verse en el texto de Merino Azcárraga 2001 que en el caso de un bombeo H se toma como la altura geométrica y C 126143 a 043 y b 014 Cabe esperar que estos valores no divergan demasiado en el caso de una tubería forzada 134 Golpe de ariete En las centrales hidroeléctricas al producirse un cierre súbito del distribuidor de la turbina lo que ocurre normalmente por variaciones rápidas de la demanda o en el cierre brusco de una válvula la variación súbita de energía cinética se traduce en sobrepresiones o depresiones que se propagan por la tubería en la que está situada la válvula Los efectos de compresibilidad del líquido y de la elasticidad de los materiales de las tuberías son importantes cuando se producen estas variaciones bruscas de presión Este fenómeno transitorio conocido como golpe de ariete genera sobrepresiones y depresiones elevadas que pueden dañar gravemente a las válvulas a las mismas tuberías o a los órganos de entrada de la turbina En el cálculo de las tuberías y demás partes de la central es preciso tener en cuenta el posible golpe de ariete 1341 Efectos de compresibilidad en el flujo de líquidos en tuberías Cuando las sobrepresiones que se producen a lo largo de las tuberías son muy elevadas es preciso abandonar la hipótesis de que el líquido tiene densidad estrictamente constante Además es preciso tener en cuenta los efectos de la dilatación del material que conforma la tubería Supóngase un depósito de grandes dimensiones como el que aparece en la Figura 136 que se descarga a través de una tubería de sección transversal A y longitud L puesto que se supone que L A el flujo puede considerarse unidimensional Se supondrá por simplicidad que el flujo del fluido es ideal Teniendo en cuenta la compresibilidad del fluido y Figura 135 Curva de costes de la conducción forzada en función del diámetro Concepto de diámetro óptimo 239 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles la elasticidad de la tubería el sistema de ecuaciones que resuelve el problema está formado por las ecuaciones de continuidad y de conservación de la cantidad de movimiento que pueden ponerse como sigue 0 1 0 x p x v v t v x vA t A ρ ρ ρ 134 ecuaciones a las que habrá que añadir la ley de la elasticidad del conducto A Ap y la de compresibilidad del líquido ρ ρp más las correspondientes condiciones iniciales y de contorno El efecto de las fuerzas másicas se incluye en el sistema anterior como presión reducida en el término de presión Se podrá obtener entonces el campo de presiones y velocidades pxt y vxt El golpe de ariete es un caso particular del problema que se produce por ejemplo en el caso de un cierre instantáneo en una válvula Se centra por tanto la atención en este fenómeno En esta sección y en la siguiente se describe la solución que se obtiene de las ecuaciones de conservación aunque no se expone la deducción de la misma por caer fuera de los objetivos de este texto No obstante cabe indicar que el problema planteado para el caso límite del golpe de ariete tiene una solución en flujo ideal a través del llamado método de las características obteniéndose una solución sencilla que puede representarse gráficamente Las sobrepresiones que se producen vienen dadas por p ρcv0 denominada solución de Allievi siendo v0 la velocidad inicial del fluido y c la velocidad de propagación de las ondas de presión en el seno del líquido 1342 Velocidad de propagación de las ondas de presión Las ondas de presión se transmiten en el seno de un fluido con una velocidad ρ ρ 0 constante entropía 2 E p a 135 lo que se conoce como velocidad del sonido En el agua teniendo en cuenta que su módulo de elasticidad es aproximadamente E0 2 106 KNm2 y su densidad ρ 1000 kgm3 resulta en torno a 1400 ms Sin embargo los efectos de la elasticidad de la tubería hacen disminuir esta velocidad pudiéndose calcular entonces a través de la expresión de Joukowski 1 2 0 1 2 0 1 Ee D E E c ρ 136 siendo E el módulo de elasticidad del material de la tubería y D y e el diámetro y el espesor de la tubería respectivamente Como se ha indicado anteriormente a menudo se le denomina celeridad a esta velocidad de propagación real denotada ahora por c en lugar de a La expresión anterior para el cálculo de c también se puede poner por eE D a c ρ 2 2 1 1 137 240 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Obsérvese que si el módulo de elasticidad de la tubería es infinito tubería infinitamente rígida la celeridad es igual a la velocidad del sonido Puesto que el módulo de elasticidad del acero es del orden de 2 107 KNm2 se obtiene como valores habituales de c los comprendidos entre 600 y 1200 ms inferiores en cualquier caso a la velocidad del sonido En el caso de que existan varios tramos de tubería con diferentes longitudes diámetros o espesores se calcula la celeridad media por cm Σi LiΣi Lici 1343 Descripción del golpe de ariete Siguiendo con el ejemplo del flujo establecido en un conducto que sale de un depósito se supondrá que la velocidad con la que se mueve inicialmente el fluido en el conducto es v0 y que a la salida descarga mediante un orificio de área As A de manera que se tiene que vs v0 v v A A L H 0 s s La velocidad en la salida es en flujo ideal 2 gH 1 2 vs 138 y puede demostrarse además que por la restricción de salida en todo el conducto existe prácticamente la presión del fondo del depósito Vamos a ver a continuación qué sobrepresiones adicionales sobre la presión en el fondo del depósito crearía el golpe de ariete debido a un cierre brusco véase el texto de Crespo 2006 Inicialmente al cerrar súbitamente la válvula el fluido se queda en reposo produciéndose una onda de compresión que se propaga a la izquierda47 Como se ha indicado anteriormente esta sobrepresión es p ρcv0 siendo c la velocidad de propagación de las ondas de presión en el seno del fluido Esta onda llega hasta el depósito donde se refleja La condición de reflexión es que el fluido debe quedar detrás de la onda a la presión del depósito p 0 pero como delante de la onda el fluido está con p 0 la onda es ahora de expansión48 Cuando esta onda de expansión llega a la válvula se refleja siendo la condición de reflexión que el fluido quede en reposo detrás de la onda Delante de la onda el fluido se mueve a la izquierda con v0 luego la condición de reflexión impone que la onda comunique al fluido un incremento de velocidad hacia la derecha alejándose de la onda por lo que la onda es de expansión y comunica una depresión al fluido dada por p ρcv0 Esta onda llega al depósito y se refleja con la condición de que el fluido quede a la misma presión del depósito p 0 como la presión delante es menor la onda debe ser de compresión y comunica al fluido una velocidad hacia la derecha v v0 Las condiciones p 0 v v0 son las que se tenían inicialmente A partir de este momento el proceso se vuelve a repetir y duraría infinitamente en la práctica los procesos disipativos que se desprecian en la teoría ideal producirían una amortiguación de estas ondas En la Figura 137 se muestra gráficamente el proceso 47 Una onda de compresión produce un incremento de velocidad en el sentido del movimiento de la onda 48 Una onda de expansión comunica al fluido un incremento de velocidad en el sentido de alejarse de ella Figura 136 Esquema de la descarga desde un depósito para describir el fenómeno del golpe de ariete 241 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles v Válvula p ρc v0 0 c p 0 v0 Compresión v Válvula p ρc v0 0 c p 0 v0 Expansión v Válvula p ρc v0 0 c p 0 v0 Expansión v Válvula p ρc v0 0 c p 0 v0 Compresión Figura 137 Secuencia de fases del golpe de ariete producido en una tubería desde depósito en la que se produce el cierre súbito de una válvula Las sobrepresiones generadas deben ser soportadas por el material de la tubería por otro lado si las depresiones son grandes la presión absoluta puede bajar y llegar incluso al valor de la presión de cavitación con lo que el agua herviría apareciendo el fenómeno de la cavitación En la Figura 138 se muestra el diagrama de sobrepresionesdepresiones junto a la válvula en función del tiempo p t 0 Lc Lc Lc Lc 2 3 4 ρc v ρc v0 0 1344 Cálculo práctico del golpe de ariete en función del tipo de cierre El cálculo práctico del golpe de ariete puede establecerse a través de la comparación de los tiempos carácterísticos del problema Si el tiempo de cierre de la válvula t0 es mayor que el tiempo de residencia de una partícula fluida en el conducto tr Lv0 siendo U la velocidad media del fluido en la tubería el término inercial es despreciable en las ecuaciones y no se producen sobrepresiones Este es el cierre lento Si el tiempo de cierre es t0 tr el término inercial no es despreciable siendo las sobrepresiones del orden de ρv02 No obstante los efectos de compresibilidad siguen siendo despreciables Este es el cierre intermedio Figura 138 Diagrama de sobrepresiones y depresiones junto a una válvula que se cierra súbitamente 242 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Si el tiempo de cierre es tr t0 tiv siendo tiv el tiempo de ida y vuelta de las ondas de presión tiv 2Lc se tiene un cierre rápido pero no instantáneo La sobrepresión generada puede calcularse de modo aproximado mediante la fórmula de Michaud suponiendo que la ley de cierre de la válvula es lineal con el tiempo 2 0 0 t Lv p ρ 139 Nótese que en las fórmulas de Michaud interviene el tiempo de cierre de la válvula siendo la sobrepresión inversamente proporcional a este tiempo de cierre y directamente proporcional a la longitud de la tubería En la mayoría de los casos prácticos nos encontraremos con este tipo de cierre de modo que las fórmulas de Michaud suelen ser las más utilizadas Si el cierre no es total sino parcial considerando que la velocidad en la tubería pasa desde una velocidad v0 a otra v1 la sobrepresión puede calcularse por 2 0 1 0 t v L v p ρ 1310 Si el tiempo de cierre es t0 tiv aunque puede aceptarse que basta con que sean del mismo orden se tiene propiamente lo que se conoce por golpe de ariete en este caso el cierre es rápido e instantáneo Este es el tipo de cierre descrito anteriormente La sobrepresión es cv0 p ρ 1311 si el cierre es total expresión de Allievi y 1 0 v c v p ρ 1312 en caso de cierre parcial DIMENSIONADO DE LA TUBERÍA La estimación correcta de las sobrepresiones que puedan alcanzarse resulta fundamental para el dimensionado de la tubería como se va a ver a continuación Haciendo uso de la Resistencia de Materiales puede comprobarse que las tensiones radial y longitudinal que se producen sobre el material de espesor e de una tubería de radio interno R son respectivamente 2 e p R e R p x r τ τ 1313 mientras que la dilatación radial R resulta 2 eE p R R 1314 La tensión radial de la Ecuación 1313 estará presente siempre mientras que la tensión axial aparecerá en el caso de obstrucción total de la tubería En cualquier caso el dimensionado de la tubería debe contemplar que en el supuesto más desfavorable la presión a la que se encuentra sometida es Allievi o Michaud servicio diseño Presión Presión p 1315 243 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1345 Golpe de ariete en bombas y en turbinas La sobrepresión que origina el golpe de ariete no puede producirse en el arranque de una bomba porque la presión producida por la bomba no puede exceder el valor máximo que indica su curva característica En la parada de una bomba se ha de tener la precaución de cerrar antes la válvula de impulsión Si esto se hace a mano el cierre es lento la columna de líquido que llena la tubería se decelera gradualmente y el golpe de ariete no se produce En caso de corte del fluido eléctrico puede producirse el golpe de ariete si no se dispone de algún tipo de mecanismo que cierre gradualmente la válvula de impulsión o por ejemplo de un volante de inercia que reduzca lentamente la velocidad de giro del motor En cualquier caso la tubería de impulsión debe diseñarse con diámetros suficientemente grandes para que las velocidades de funcionamiento del fluido no sean excesivas recuérdese que la sobrepresión por golpe de ariete es proporcional a la velocidad que lleva originariamente el fluido en la tubería En el caso de las turbinas el golpe de ariete puede producirse por un cierre brusco del distribuidor cuando se está funcionando a plena carga Según la expresión de Michaud la sobrepresión generada es tanto mayor cuanto mayor es la longitud de la tubería y menor es el tiempo de cierre así pues los casos más críticos tienen lugar en las centrales de turbinación de mediana y de alta potencia en las que las tuberías forzadas tuberías de alimentación a las turbinas suelen tener una mayor longitud Para evitar el golpe de ariete en el entorno del rodete se utiliza en las turbinas Francis el orificio compensador de presiones en las turbinas Pelton la pantalla deflectora para desviar el chorro del inyector y en ambas las chimeneas de equilibrio en las tuberías forzadas El orificio compensador es esencialmente un orificio obturado con una válvula que cuando la turbina se queda sin carga se abre automáticamente Al abrirse pone en comunicación directamente la cámara espiral con el canal de salida sin pasar por el rodete De esta manera la turbina no se embala A fin de que no se gaste mucha agua el distribuidor se cierra pero de una forma lenta evitándose así el golpe de ariete La pantalla deflectora está permanentemente en contacto con el chorro de agua que le llega al rodete de una turbina Pelton Cuando la turbina se queda sin carga la pantalla desvía el chorro evitando el embalamiento de la turbina el golpe de ariete no se produce porque sigue circulando el agua por el inyector y por la tubería forzada Las chimeneas de equilibrio se estudian más en detalle en la siguiente sección 135 Chimeneas de equilibrio En las centrales hidroeléctricas es preciso efectuar en general una doble regulación de presión y de velocidad La REGULACIÓN DE VELOCIDAD se realiza en primer lugar variando la posición de los álabes del distribuidor actuando sobre el caudal obviamente no es posible mantener la velocidad de giro de la turbina constante igual a la nominal para alcanzar el rendimiento máximo sin un dispositivo especial llamado regulador automático de velocidad o gobernador que actúa en función de la velocidad de giro y de la carga eléctrica sobre el eje de la máquina en cada momento La regulación de velocidad de la turbina es el principal problema de regulación del funcionamiento de una turbina en una central hidroeléctrica y será abordado en el Capítulo 14 En cuanto a la REGULACIÓN DE PRESIÓN hay que tener en cuenta que en condiciones normales las caídas de presión por apertura son controladas rápidamente siendo menores que las sobrepresiones que se producen por cierre brusco de modo que limitando las últimas mediante reguladores de presión se pueden garantizar condiciones de funcionamiento correctas para el gobernador de la turbina Sin embargo hay circunstancias sobre todo en conductos forzados en los que las variaciones de presión son tan grandes que se hace necesaria la presencia de tanques de compensación o chimeneas de equilibrio 244 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas que ejercen una doble función por un lado suministran el gasto requerido por el aumento de carga por otro absorben la onda de sobrepresión o de depresión además de acortar la longitud efectiva de tubería en la que tienen lugar las variaciones de presión En ocasiones en lugar de un tanque de equilibrio puede interponerse un embalse compensador cuya eficacia es tanto mayor cuanto mayor es su área superficial Cuando las depresiones son importantes pueden instalarse tuberías de aireación o ventosas En la Figura 139 puede observarse el esquema simplificado de una chimenea de equilibrio con el que se describirá brevemente el funcionamiento de este tipo de instalaciones Como se explica en el texto de Crespo 2006 la chimenea de equilibrio protege el tramo 12 de las sobrepresiones creadas por cortes bruscos del caudal en la turbina El tramo 12 es aproximadamente horizontal mientras que el 34 tiene una pendiente importante Si se desea proteger el tramo 34 colocando la chimenea en torno al punto 4 sería necesario construir una chimenea de grandes dimensiones con el consiguiente gasto económico por esta razón resulta más práctico construir el tramo de tubería 34 lo suficientemente robusto Un corte brusco del caudal en 4 daría lugar a un golpe de ariete que se propagaría hasta 3 y luego volvería a 4 y así sucesivamente Estas ondas acaban amortiguándose por efecto de la fricción se supone que este tiempo de amortiguación es mucho menor que el tiempo característico de los procesos que tienen lugar en el tramo 12 T h L D A0 y H pa pa 1 2 3 4 Chimenea de equilibrio Embalse v Conducción forzada z Turbina 1351 Movimiento del fluido en una chimenea de equilibrio no vertiente Para estudiar el movimiento del agua en el tramo 12 de la chimenea de equilibrio representada en la Figura 139 se aplicará la ecuación de EulerBernoulli49 teniendo en cuenta las pérdidas por fricción en este tramo 2 2 1 2 1 D v v L z g z p p dt L dv λ ρ 1316 Si el agua se mueve de 1 a 2 se cumple que 2 2 2 1 1 gh p p v gH p p a a ρ ρ ρ 1317 mientras que si se mueve de 2 a 1 2 2 1 2 1 v gh p p gH p p a a ρ ρ ρ 1318 49 Véase el texto de Crespo 2006 Figura 139 Esquema de una chimenea de equilibrio no vertiente instalada en una central hidroeléctrica 245 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles de modo que en general puede ponerse 2 1 2 1 v v h g H p p ρ ρ 1319 siendo v positivo de 1 a 2 Sustituyendo esta última expresión en la 1316 se obtiene 1 2 D L v v gy dt L dv λ 1320 siendo y H z1 h z2 es decir una coordenada que mide la situación de la superficie libre En estado permanente cuando el caudal en la tubería 12 es el mismo que sale por 34 se cumple que 1 2 2 0 0 D L g v y λ 1321 donde v0 e y0 son los valores de v e y en régimen estacionario respectivamente Si se corta el caudal en la turbina caudal en 3 el caudal que estaba pasando por el tramo 12 se desvía hacia la chimenea de equilibrio La inercia del agua hace que ésta suba por encima del nivel del agua en el embalse el nivel en la chimenea es máximo cuando el caudal en 12 se anula posteriormente el agua tiende a bajar por la chimenea y de nuevo hay caudal esta vez de 2 a 1 Este proceso se repetiría indefinidamente de no ser por la existencia de pérdidas Para estudiar el proceso se supondrá que el nivel del agua en el depósito por ser éste muy grande no varía de modo que los incrementos de y se deben exclusivamente a los incrementos de h La ecuación de continuidad resulta d d 4 0 2 Qc t y A D v π 1322 siendo Qc el caudal que sale por 3 La ecuación anterior junto con la 1320 permite conocer yt y vt supuesto conocido Qct para unas condiciones iniciales determinadas Como ejemplo de aplicación se resolverá el problema para el caso particular de cierre brusco de la turbina suponiendo que las pérdidas fuesen despreciables Como el cierre es brusco 0 0 0 y 4 0 2 t Q t D v Qc π 1323 y las condiciones iniciales son 0 0 0 y y v v t 1324 Puede comprobarse que la ecuación a resolver es la siguiente 0 d d 4 2 2 2 0 gy t y D A L π 1325 que con las condiciones iniciales anteriores tiene por solución sen t y y m ω 1326 de modo que sustituyendo la solución en la Ecuación 1325 resulta que la frecuencia de oscilación del movimiento debe ser 246 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 4 0 2 LA gπD ω 1327 y la amplitud 4 0 2 0 gA L D v ym π 1328 En el caso de tener en cuenta las posibles pérdidas hidráulicas en la instalación la amplitud máxima del movimiento suele disminuirse con un factor dependiente de la velocidad del flujo 4 0 0 2 0 C v gA L D v ym π 1329 donde la constante C depende de la instalación Si en lugar de un cierre se tiene una apertura la amplitud aumenta 4 0 1 0 2 0 C v gA L D v ym π 1330 1352 Tipos de chimeneas de equilibrio Pueden distinguirse los siguientes tipos Chimenea de equilibrio vertiente En este tipo de chimenea para sobrepresiones por encima incluso de la de diseño el agua puede derramarse por encima de la chimenea de modo que ésta debe estar provista de un vertedero adecuado de un dispositivo de amortiguación de la energía de caída y de conductos de escurrimiento del agua escapada Este volumen de agua derramado puede vaciarse a un depósito cuyo nivel de fondo sea superior al nivel estable de servicio normal con escapes de fondo que vuelven a la chimenea Figura 1310 Cámara de válvulas Tubería forzada Tanque auxiliar Figura 1310 Chimenea de equilibrio vertiente con tanque auxiliar de retención adosado al terreno Chimenea de equilibrio no vertiente Es el tipo más generalmente empleado se ha representado esquemáticamente en la Figura 139 El diseño de la chimenea debe garantizar que no se produzca en ningún caso el derrame superior del agua la base de la chimenea debe estar a una cota tal que aún en depresiones máximas el nivel del agua en 247 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles la chimenea no deje al descubierto la entrada de la tubería forzada con el fin de evitar la entrada de aire en ésta Chimenea diferencial de equilibrio Consiste en una chimenea central de diámetro aproximadamente igual al del conducto forzado superior con un tanque de almacenamiento de mayor diámetro que rodea a la chimenea central y comunicado al conducto forzado por pequeñas aperturas que ofrecen una notable resistencia al flujo del agua en uno y en otro sentido amortiguando los picos de presión Figura 1311 Debido a esta resistencia el nivel en el tanque de almacenamiento es prácticamente independiente de las variaciones de caudal y demanda en la turbina que sólo dependen del nivel en la chimenea central ésta hace las funciones de tanque simple de compensación Las ventajas que este tipo de chimenea ofrece respecto de las chimeneas simples son tamaño un poco menor y acción amortiguadora mayor en todas las condiciones de operación Sin embargo su cálculo exacto requiere de la utilización de modelos de ensayos y de cálculos por aproximaciones sucesivas Tanque de almacenamiento Chimenea central Conducción forzada Bibliografía consultada Centrales Hidroeléctricas II Turbinas Hidráulicas Hiberdrola Endesa Sevillana de Electricidad Unión Fenosa Paraninfo 1994 Crespo A Mecánica de fluidos Thomson 2006 Cuesta L y Villarino E Aprovechamientos hidroeléctricos Tomos I y II Colegio de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos Madrid 2000 Hernández Krahe JM Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas UNED Madrid 1976 Merino Azcárraga JM Manual de eficiencia energética en instalaciones de bombeo CADEM Grupo EVE Bilbao 2001 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Rojas Rodríguez S y Martín Tejeda V Centrales hidroeléctricas Teoría y problemas Universidad de Extremadura 1997 Santo Pottess E Centrales eléctricas Gustavo Gili Barcelona 1971 Sédille M Turbomachines hydrauliques et thermiques Tomo 2 Masson París 1966 Zoppetti Judez G Centrales hidroeléctricas su estudio montaje y ensayo Gustavo Gili Barcelona 1979 ZuYan M Ed Mechanical Design and Manufacturing of Hydraulic Machinery Avebury 1991 Zipparro VJ y Hasen H Eds Davis Handbook of Applied Hydraulics McGrawHill 1993 Figura 1311 Chimenea diferencial de equilibrio en fase de retardo 248 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 14 CENTRALES HIDROELÉCTRICAS II TIPOS DE CENTRALES Y REGULACIÓN 141 Centrales reversibles Máquinas reversibles En el Capítulo 13 se clasificaron las centrales hidroeléctricas clásicas en función del salto hidráulico disponible y del modo de aprovechamiento del mismo En este capítulo se exponen las características principales de algunos tipos específicos de centrales hidroeléctricas como son las centrales reversibles las de acumulación por bombeo o las maremotrices También se tratan distintos aspectos de la regulación de las centrales así como algunas cuestiones complementarias también importantes como es el impacto sobre el medioambiente Las centrales de producción de energía deben satisfacer la demanda máxima de energía que se requiere en cada momento y además deben ser capaces de disminuir la potencia suministrada en períodos de baja demanda En ocasiones cuando la potencia disponible en la red eléctrica es superior a la requerida puede ser económicamente rentable utilizar la energía eléctrica de la red en estas condiciones de bajo precio para bombear agua hasta un embalse elevado y posteriormente aprovechar esta energía potencial acumulada en horas punta Estas centrales se denominan centrales de acumulación por bombeo Estas centrales y en general cualquier central reversible suelen ser de los dos tipos siguientes De conjuntos de bombas y turbinas en los que son frecuentes la utilización de conjuntos compuestos por una turbina un alternadormotor síncrono y una bomba dispuestos en un mismo árbol véase la Figura 141 También se denominan de grupo ternario Obviamente el funcionamiento puede ser turbinaalternador para suministrar energía eléctrica a la red o bien alternador funcionando como motorbomba para impulsar el agua De máquinas reversibles grupos turbinabomba Existen diversos tipos de máquinas reversibles que pueden funcionar alternativamente como bomba o como turbina También se denominan de grupo binario Están adaptados a diferentes rangos de alturas del salto máquinas radiales derivadas de las turbinas tipo Francis máquinas semiaxiales con distribuidor cónico de álabes fijos y móviles grupos bulbo etc El diseño de este tipo de máquinas es considerablemente más complejo que el de una bomba o una turbina simples Por supuesto el motor debe funcionar también como alternador Los grupos binarios tienen sobre los ternarios las siguientes ventajas Menor obra civil menores dimensiones y menor coste entre otras 249 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Y las siguientes desventajas Menor rendimiento mayor tiempo de maniobra presencia de vibraciones entre otras Los grupos cuaternarios están formados por cuatro grupos diferentes motor generador bomba y turbina aunque realmente son los menos utilizados Además de las centrales de acumulación por bombeo las centrales mareomotrices que aprovechan la energía del mar a través de las mareas constituyen la segunda gran aplicación de las centrales reversibles Ambas se tratan en las siguientes secciones Motoralternador Turbina Acoplamiento desembragable Bomba 142 Tipos especiales Centrales de acumulación por bombeo Se tratarán a continuación más en detalle las centrales de acumulación por bombeo La demanda de electricidad en una determinada red sufre oscilaciones muy notables a lo largo del día y según la época del año Estas grandes variaciones en la energía demandada obliga a un funcionamiento muy irregular del sistema eléctrico suministrador La necesidad de hacer frente por parte de las compañías eléctricas a esta demanda de electricidad tan irregular ha dado lugar a la aparición de las centrales de acumulación por bombeo Como se ha explicado en la sección anterior el funcionamiento de estas centrales consiste en almacenar energía eléctrica en forma de energía potencial hidráulica durante las horas de bajo consumo y devolverla a la red durante las horas punta De entre los diversos tipos de centrales eléctricas las que se adaptan mejor a esta misión de almacenamiento en gran escala son sin duda las centrales hidroeléctricas de acumulación por bombeo cuyo esquema básico se muestra en la Figura 142 Central reversible Embalse superior Embalse inferior Turbinado Bombeo Bombeo Turbinado Figura 141 Esquema de una central reversible Grupo ternario para centrales de acumulación por bombeo Figura 142 Esquema básico de funcionamiento de una central de acumulación por bombeo 250 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Es preciso remarcar que la misión fundamental de una central de este tipo es nivelar la curva de carga la curva de carga proporciona la potencia requerida a la central a lo largo de un período determinado de tiempo que puede ser un día un mes un año etc El rendimiento total mecánicohidráulico de una central de acumulación por bombeo es inferior al 100 normalmente está en el rango 7080 puesto que es preciso invertir más energía en bombear un caudal dado de agua que la que se obtiene turbinando este mismo caudal de agua desde la altura a la que se ha elevado por bombeo Sin embargo la diferencia de precio entre la energía consumida de la red y la energía producida en diferentes períodos del día es el factor que hace que estas centrales lleguen a ser económicamente rentables Otro factor a considerar es la existencia de aportes adicionales de agua que pueden aumentar la relación entre el caudal turbinado y el caudal bombeado En función de lo que se acaba de exponer la eficiencia de una central de acumulación por bombeo debería definirse desde un punto energético como el cociente entre la energía producida en el turbinado y la energía necesaria en el bombeo durante un determinado período de tiempo Existen tres tipos básicos de centrales de acumulación por bombeo en función del tipo de bombeo En las centrales de acumulación por bombeo puro el embalse superior sólo recibe aportaciones de agua por parte del sistema de bombeo En las centrales de bombeo mixto el embalse recibe alguna aportación adicional de agua por medios naturales Por último en las centrales de bombeo diferencial se efectúan bombeos intermedios lo que obliga a su vez al establecimiento de varios embalses intermedios 143 Tipos especiales Centrales mareomotrices 1431 Características principales de las centrales mareomotrices Las principales ventajas de una central mareomotriz derivan del hecho de aprovechar una energía renovable sus principales desventajas estriban en los costes de construcción y en la necesidad de efectuar grandes infraestructuras con gran impacto visual y medioambiental Las centrales mareomotrices aprovechan la energía acumulada en un embalse como consecuencia de la diferencia de cotas entre la pleamar máxima cota del agua y la bajamar cota mínima de las mareas Constan en general de un dique construido normalmente en un estuario en el que se instalan las turbinas El dique dispone además de compuertas apropiadas para el paso del agua durante la fase de flujo pleamar hacia el embalse y para dar paso o no al área de turbinado Se crea entonces un embalse artificial a partir de un estuario ya existente El embalse puede vaciarse durante la fase de reflujo bajamar Puesto que las turbinas necesitan de un cierto salto geodésico mínimo para su arranque en torno a unos 5 m no se suele turbinar directamente la corriente creada durante el flujo o el reflujo sino la corriente de agua procedente del desnivel conseguido de alguna manera entre el dique y los embalses artificiales durante cualquiera de estas dos fases Algunas centrales efectúan un período de bombeo cuando la diferencia de cotas a un lado y a otro es pequeño para luego recuperar esta energía hidráulica en la siguiente fase de turbinado cuando la diferencia de cotas es mayor Este modo de funcionamiento que puede resultar rentable bajo ciertas condiciones como se ha indicado antes la diferencia de precio en la tarifa eléctrica entre horas valle y horas punta y otros condicionantes ecológicos recuerda a las centrales de acumulación por bombeo clásicas De cualquier manera se deduce que para aprovechar todas las posibilidades de funcionamiento en este tipo de centrales la máquina hidráulica debe poder actuar como turbina y como bomba en los dos sentidos del flujo Las únicas máquinas que son capaces de funcionar en estas condiciones son las tubulares con rodete de tipo Kaplan y distribuidor 251 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles ambos de álabes orientables Estos grupos conocidos simplemente como grupos bulbo se desarrollaron para su instalación en la Central Maremotriz de Rance en Francia en 1966 1432 Ciclos posibles de funcionamiento Como se ha indicado es preciso disponer de tanques o depósitos grandes en los que el agua se almacena para su posterior aprovechamiento energético El régimen de llenado y vaciado de los estanques así como de las posibilidades de funcionamiento de las turbinas da lugar a diferentes tipos de esquemas o ciclos para el aprovechamiento energético de la marea Básicamente tenemos los siguientes Ciclo elemental de simple efecto turbinado en la fase de reflujo desde el embalse al mar Ciclo elemental de doble efecto además del turbinado en reflujo se turbina en la fase de flujo desde el mar al embalse Ciclo con acumulación por bombeo bombeo desde el mar al embalse para aumentar la cota de turbinado Ciclo combinado o múltiple combinación de los anteriores con embalses múltiples Como ejemplo se describirá el ciclo elemental de simple efecto que puede considerarse como el básico y el que presenta la mayor eficiencia de modo aislado La energía del agua es utilizada cuando el estanque se vacía es decir en el sentido embalsemar Sus tres fases de funcionamiento son las siguientes a Fase de llenado con las turbinas paradas y las compuertas abiertas durante el flujo o marea ascendente b Fase de espera con las turbinas paradas y las compuertas cerradas durante el reflujo o descenso de la marea en torno a unas 3 horas El nivel del estanque no varía y se está a la espera de iniciar la turbinación en el momento más favorable cuando la diferencia de cota entre el mar y el embalse es la apropiada c Fase de generación o turbinado con las turbinas en marcha y las compuertas cerradas El embalse se vacía y la turbinación puede extenderse durante 5 o 6 horas 1433 Breve descripción de la Central de Rance La central mareomotriz instalada en la desembocadura del río Rance constituye la referencia mundial en este tipo de centrales El río Rance desemboca en la región de Bretaña en Francia formando un estuario La altura media aprovechable de la marea es de 817 m siendo la máxima de 135 m durante las mareas de equinoccio La primera central mareomotriz del mundo se instaló allí en 1966 entrando en producción completa en 1967 Es también la más importante con una potencia total instalada de 240 MW La producción actual es de 540 GWhaño 250000 familias La central sigue un ciclo de doble efecto turbinado en flujo y en reflujo con bombeo de acumulación El estuario está cortado por un dique de 750 m de longitud capaz de contener un gran volumen de agua retenida por compuertas durante las mareas altas Esta represa consigue retener un volumen máximo de 184 108 m3 entre la pleamar y la bajamar El estuario artificial creado se extiende tierra adentro a lo largo de 20 km Las turbinas utilizadas son de tipo bulbo con lo que se puede turbinar el agua en ambos sentidos tanto en el flujo como en el reflujo aprovechando así al máximo las posibilidades energéticas de las mareas Además pueden funcionar como bombas Existen 24 grupos bulbo cada uno de ellos con una turbina del tipo Kaplan de 10 MW con cuatro álabes orientables rango 5º a 35º acoplada directamente a un alternador La velocidad nominal de las turbinas es de 9375 rpm siendo la velocidad máxima de funcionamiento de 260 252 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas rpm El diámetro del rodete es de 535 m El caudal nominal por grupo oscila entre 240 y 285 m3s en función del modo de funcionamiento 144 Aprovechamiento hidráulico y regulación de un río Antes de empezar el proyecto de una central convencional es fundamental conocer a fondo las disponibilidades de agua En el caso del aprovechamiento hidráulico de un río es aconsejable aforar diariamente y confeccionar una estadística de los caudales registrados para después utilizar estos datos cuando sea necesario 1441 Aforo de un río El aforo de los ríos se complica por la heterogeneidad de las velocidades del agua en cada sección aunque es preciso estudiar cada caso en concreto no es posible suponer una velocidad uniforme en un río Entre los diversos modos de aforo de un río puede citarse los siguientes Mediante vertederos de pared delgada Midiendo la velocidad mediante anemómetros en distintos puntos de una misma sección el caudal total será la suma de los caudales parciales calculados multiplicando las velocidades medidas por las divisiones correspondientes de la sección total Mediante la inyección de una cierta cantidad de sustancia soluble la sal común es la más utilizada y posterior medición de la concentración de esta sustancia aguas abajo el caudal es igual al gasto de la sustancia que se inyecta dividido por la concentración aguas abajo Utilizando flotadores lastrados mediante la medida del tiempo que tarda en recorrer el flotador una determinada distancia etcétera En algunos casos puede ser necesario acudir a datos pluviométricos Para calcular el caudal del río mediante la pluviometría de la zona es preciso conocer lo siguiente a Extensión de la cuenca vertiente a partir de los planos topográficos de la zona b Volumen de agua caída por lluvia en la cuenca vertiente en un tiempo dado c Coeficiente de escorrentía del lugar esto es la cantidad de agua de lluvia que llega finalmente al río después de las filtraciones en el terreno Este método proporciona datos interesantes sobre los caudales circulantes por el río pudiendo compararse con los obtenidos mediante alguno de los métodos directos citados más arriba Además es necesario estimar el caudal máximo del río cuando tienen lugar avenidas en épocas de lluvias fuertes 1442 Curvas características de un río La curva característica de un río debe ofrecer la información necesaria para la completa regulación del mismo y su posible aprovechamiento hidroeléctrico La llamada curva de caudales cronológicos Figura 143 muestra la evolución de los caudales medidos diariamente a lo largo de un año A partir de la curva de caudales cronológicos puede hallarse el caudal medio en un tiempo dado un año normalmente Este valor medio se denomina frecuentemente módulo del río Los valores pico máximos y mínimos no tienen demasiada significación Se define normalmente el caudal máximo como el mayor de los caudales que es superado o igualado durante 10 días estos días pueden ser alternos y del mismo modo se define el caudal mínimo El caudal semipermanente es el caudal que es superado o igualado durante 182 253 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles días al año Estos conceptos se comprenden bien en la Figura 144 en la que se ha representado la curva de caudales ordenados Q Enero Diciembre a b c d módulo Q Días 365 10 Qmáx Qmín Qsemipermanente 182 10 Q1 abcd En la curva de caudales ordenados se representan de manera ordenada los caudales que se han ido midiendo diariamente frente al número de días en general no ordenados en los que se han obtenido las medidas Es decir comparando con la Figura 144 se obtendrá un caudal superior al módulo del río Q1 durante un número de días ab cd este es el período total aunque sea en días alternos El caudal semipermanente es en general distinto al módulo del río como aparece en la Figura 144 La curva de caudales ordenados se utiliza habitualmente para determinar el caudal de equipamiento de una posible central hidroeléctrica que aprovechara exclusivamente los caudales del río Volveremos sobre este punto más adelante Para el estudio de la regulación de un río la curva que resulta más interesante es la curva de volúmenes acumulados Figura 145 Esta curva ofrece en cada momento el volumen que ha circulado por el río desde un cierto origen La curva de volúmenes acumulados es la curva integral de la cronológica Por tanto los máximos y mínimos de la curva cronológica se corresponden con los puntos de inflexión de la acumulada de modo que la curva acumulada será siempre creciente pero su curvatura será cóncava hacia arriba cuando la curva cronológica sea creciente y a la inversa cuando sea decreciente Volumen acumulado α 0 P tiempo Figura 144 Curva de caudales ordenados de un río Figura 145 Curva de volúmenes acumulados de un río Figura 143 Regulación de un río curva de caudales cronológicos 254 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Si la curva de volúmenes acumulados se obtiene de la cronológica la constante de integración representaría la ordenada en el origen En la Figura 145 se supone que no existe volumen de agua inicial por lo que la curva empieza desde cero Si se une el punto inicial 0 con el final P se obtiene una recta cuya pendiente tan α es el caudal medio o módulo del río La gran ventaja de la curva de volúmenes acumulados es que se utiliza para determinar la capacidad requerida para el embalse con el que se pretende regular el río 1443 Tipos de curvas cronológicas fluviales Las curvas cronológicas toman distinto aspecto según el tipo de río debido a la gran variación que existe entre los caudales en distintas épocas del año Pueden agruparse a los ríos en tres tipos genéricos pirenaicos litorales e intermedios Las características principales de estos tipos se ven a continuación El río pirenaico o alpino discurre entre montañas de gran altura de modo que la cuenca vertiente está cubierta de nieve durante buena parte del año esta es la razón por la que su caudal presenta un mínimo en invierno alcanzando los máximos caudales en el verano Figura 146 Q Enero Diciembre Julio Q Enero Diciembre Julio Figura 146 Curva cronológica de un río típicamente alpino o pirenaico Figura 147 Curva cronológica de un río típicamente litoral El río litoral discurre en las regiones costeras o próximas a ellas presenta un mínimo en agosto mientras que los máximos caudales se registran en los meses de primavera y de otoño como consecuencia de las lluvias más abundantes En ocasiones estos ríos registran grandes avenidas que suelen aparecer con las lluvias del otoño cuando son especialmente copiosas Figura 147 El río intermedio presenta características intermedias entre los dos anteriores La forma de su curva se aproxima al tipo pirenaico o al tipo litoral según la porción de cuenca vertiente que se encuentra en zona montañosa o en zona litoral 1444 Regulación de un río Determinación del embalse necesario REGULACIONES DIARIA Y SEMANAL La potencia exigida a una central de turbinado a lo largo de un día es muy variable La potencia requerida suele ser mínima en las horas de madrugada y máxima por la tarde En la Figura 148 se muestra cómo el máximo que se alcanza por la tarde es más acentuado que el se alcanza a primera hora de la mañana puesto que es por la tarde cuando más familias están en casa con alumbrado y electrodomésticos conectados a la vez que se enciende el alumbrado público etc Si se toma un día típico aparecen más irregularidades en la curva de consumo de energía que en la curva de caudal del río Por esta razón para conseguir una potencia media de producción equivalente a la potencia hidráulica disponible basta con construir un embalse que acumule la energía hidráulica correspondiente a los 255 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles períodos de bajo consumo de electricidad ab cd ef para luego aportar esta energía en los períodos de máximo consumo bc de Esta regulación está indicada en el caso de las minicentrales y es particularmente interesante en aquellas que están destinadas al abastecimiento del alumbrado público puesto que existe una regulación natural entre la producción y el consumo en invierno se dispone de mayor caudal y el alumbrado es necesario un mayor número de horas mientras que en el verano tanto el caudal como el número de horas de encendido del alumbrado son menores Q 0 24 12 6 18 horas a b c d e f En cuanto a la regulación semanal el sábado y el domingo presentan máximos de mañana y de tarde mucho menos pronunciados que los días laborables Si la central se regula semanalmente se tiene la posibilidad de distribuir la energía hidráulica sobrante el caudal sobrante en sábado y domingo entre el resto de días de la semana Las regulaciones diaria y semanal se emplean únicamente para pequeños embalses mientras que en los de dimensiones mayores se realiza una regulación anual e incluso a lo largo de varios años REGULACIÓN ANUAL CAPACIDAD DEL EMBALSE NECESARIO Para la regulación anual de un río se utiliza la curva de volúmenes acumulados Figura 145 Se supone en un principio que se comienza el año hidrológico sin agua acumulada es decir como si la central fuera de agua fluyente En este tipo de regulación las variaciones diarias de caudal se desprecian Si se consigue que el caudal medio anual del río módulo sea igual al caudal medio requerido para la producción de energía o caudal de equipamiento se habrá conseguido la regulación perfecta anual del río Puesto que la pendiente de la curva de volúmenes acumulados en cada punto es el caudal cronológico puede decirse lo siguiente Si la tangente a la curva es menor que tan α el caudal que lleva el río es menor al requerido por el consumo Si la tangente a la curva es mayor que tan α el caudal que lleva el río es mayor al requerido Los puntos A B y C que aparecen en la Figura 149 tienen tangentes paralelas a la recta que define el módulo del río siendo por tanto el caudal en estos puntos igual al módulo es decir igual al caudal requerido En el tiempo C ha pasado por el río un volumen de agua CC mientras que si hubiera llevado siempre el caudal medio deseable la cantidad de agua sería CC Puesto que existe un defecto CC lo que se hace es iniciar el año con un volumen de agua embalsada igual precisamente a este defecto esto se ve reflejado en la Figura 1410 La distancia OO es igual a CC La recta OD sigue siendo la curva de volúmenes consumidos mientras que la recta OD es paralela a la anterior de modo que la tangente de ambas es igual al módulo Figura 148 Potencia eléctrica requerida a lo largo de un día normal W 256 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Volumen acumulado 0 tiempo A B C C C 1 año Tanto para la regulación anual de los volúmenes de agua en el río como para su posible aprovechamiento hidroeléctrico a través de un turbinado puede ser necesaria la construcción de un embalse Se describe a continuación el método explicado por ejemplo en el texto de Santo Sabrás 1994 Volumen acumulado tiempo A B 0 0 C D D M N B B E E E A A sobra falta α curva de volúmenes consumidos N 1 año Centramos la atención en la gráfica de la Figura 1410 en el tramo OA la cantidad de agua en el embalse va disminuyendo puesto que el caudal que lleva el río es menor que el requerido módulo por ser la tangente a la curva menor que tan α como debe seguir abasteciéndose el caudal requerido es preciso desaguar el embalse por lo que el caudal saliente del mismo es mayor que el caudal entrante aportado por el río En el tramo AE la cantidad de agua embalsada aumenta por lo razonado anteriormente En el punto E el embalse se ha llenado y como la pendiente de la curva de volúmenes acumulados desde E a B sigue siendo mayor que tan α el caudal que llega al embalse es mayor que el saliente que está fijado por el que se necesita pero como el embalse está lleno este exceso no puede almacenarse de modo que es preciso desaguarlo y por tanto se pierde A partir del punto B cambia la pendiente de modo que el caudal que llega al embalse procedente del río es menor que el que debe salir por las necesidades de consumo y el embalse debe suministrar el correspondiente déficit En el momento N el déficit que ha tenido que suministrar el embalse es igual a MN cuando este volumen es igual a OO toda la capacidad del embalse ha sido cedida para el consumo y se ha vaciado A partir de este momento puede decirse que falta agua en el embalse esta situación se mantiene hasta el punto C en el que cambia la pendiente de la curva de volúmenes acumulados y vuelve a tenerse un caudal en el río mayor que el requerido Como conclusión puede decirse que debe construirse un embalse de mayor tamaño con capacidad mínima igual a BB es decir la distancia que existe entre los puntos de Figura 149 Curva de volúmenes acumulados de un río Regulación anual Figura 1410 Regulación y aprovechamiento hidroeléctrico de un río cálculo del volumen de agua necesario en el embalse 257 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles inflexión extremos de la curva de volúmenes acumulados Si este embalse resulta demasiado grande para construirlo sería necesario evaluar otras posibilidades como construir algún embalse intermedio 145 Caudal de diseño o de equipamiento Caudal ecológico El diseño de una central hidroeléctrica debe cumplir con el objetivo global de maximizar la producción de energía eléctrica Aunque los parámetros de diseño y el tiempo de turbinado anual están relacionados resulta lógico pensar que el proceso de optimización puede comenzar por la elección del caudal de diseño nominal o caudal de equipamiento Para ello podemos partir de la idea de aprovechamiento de un río que se ha presentado en la sección anterior Supóngase que se tiene una curva de caudales ordenados anual como la que aparece en la Figura 1411 que puede considerarse como el promedio de una cierta serie histórica puesto que un estudio completo debería contar con los datos hidrológicos del río durante al menos los últimos veinte años hidrológicos 1451 Curva de caudales ordenados Caudal ecológico y otros caudales Pueden tenerse en cuenta los siguientes caudales característicos los tres primeros ya han sido presentados en la sección anterior El caudal máximo o caudal de avenida Qmax es el mínimo de los caudales máximos registrados al menos 10 días durante un año El caudal mínimo o caudal de estío Qmin es el máximo de los caudales mínimos registrados al menos 10 días durante un año El módulo del río Q1 es el caudal medio anual del mismo El caudal de servidumbre Qsr es el caudal mínimo que debe quedar en el cauce del río Este caudal contiene al caudal ecológico Qecol De hecho en la mayoría de ocasiones coinciden ambos caudales Días 365 Curva de caudales clasificados Volumen turbinable a maximizar Q1 A B C D Qsr Qeq Qsr Qsr Qmt A B Figura 1411 Curva de caudales ordenados o clasificados anual de un río Método para la elección del caudal de equipamiento que maximiza la zona rayada 258 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas El caudal ecológico o caudal reservado Qecol o es el mínimo que debe circular por el río para la preservación de la flora y la fauna acuáticas es decir para la conservación del sistema biótico En algunos casos también se tiene en cuenta el impacto paisajístico Este caudal debe ser determinado en cada caso por los órganos de cuenca pertinentes Confederaciones Hidrográficas en España Es importante reseñar que el caudal ecológico no se turbina en sentido estricto debe ser desviado a través de una derivación o bypass es decir se debe cortocircuitar del sistema de turbinado Se han dado algunas estimaciones y valoraciones generales acerca de los valores recomendados para este caudal A falta de otra información se puede estimar el caudal ecológico en torno al 10 del caudal medio o módulo del río En cualquier caso nunca debería ser inferior al caudal medio de estío En la figura la parte rayada inferior por debajo de la línea AB representa el volumen de agua que no se turbina y que queda permanentemente en el cauce del río El caudal de equipamiento Qeq es el caudal de diseño o nominal En principio debería ser el que consiguiera la maximización de la producción En un primer paso este caudal debe maximizar el volumen de agua anual a turbinar Su valor puede ser del orden del caudal medio o módulo del río pero no tienen por qué ser coincidentes como aparece en la figura El caudal mínimo técnico Qmt está relacionado con el caudal de arranque de cada uno de los tipos de turbina Por un lado cada turbina tiene un cierto caudal mínimo por debajo del que la máquina no arranca por otro lado se necesita un cierto umbral de caudal mayor que el de arranque para que la turbina funcione con buenos niveles de rendimiento y sin discontinuidades Por tanto el caudal mínimo técnico puede estimarse a partir de una fracción del caudal de equipamiento como aparece en la Tabla 141 Tipo de turbina QmtQeq Francis 035050 Semi Kaplan 030 Kaplan 015 Pelton 010 Turgo 020 Hélice 075 Tabla 141 Relación entre el caudal mínimo técnico y el caudal de equipamiento para distintos tipos de turbina 1452 Elección del caudal de equipamiento Para un cierto caudal de equipamiento el volumen teórico a calcular sería el comprendido entre los puntos A B C y D de la curva de caudales clasificados de la Figura 1411 Sin embargo la existencia de un caudal mínimo técnico hace que el área ABBA sea inhábil de modo que el volumen realmente turbinado sería el comprendido entre A B C y D Con mayor caudal de equipamiento mayor caudal mínimo técnico de modo que el umbral que se ponga para Qeq debe ser tal que el volumen a turbinar ABCD sea el máximo posible zona rayada de la Figura 1411 El resto del volumen no es turbinado sino que queda en el río por condicionantes estructurales o ecológicos o por incapacidad de turbinado en las máquinas Para obtener la producción eléctrica deben tenerse en cuenta los rendimientos de las turbinas así como del sistema eléctrico En el caso de las turbinas los tipos principales Pelton Francis Kaplan pueden alcanzar rendimientos hasta del 9092 La evolución 259 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles del rendimiento con respecto del caudal de funcionamiento depende de cada tipo de máquina y debería ser proporcionado por el fabricante En la Figura 1412 puede verse una evolución típica del rendimiento con respecto a los valores de caudal de equipamiento Qeq y de rendimiento de equipamiento ηeq En esta gráfica se ha supuesto que el rendimiento máximo se alcanza precisamente para el caudal de diseño o de equipamiento con esta referencia en algunos casos es posible turbinar por encima de este caudal de diseño 10 o 20 de caudal en ocasiones en cuyo caso vuelve a descender el rendimiento Tabla 1412 Estimación de la variación del rendimiento en función del caudal tomando como referencia los valores correspondientes de equipamiento o diseño Caso de una turbina Francis 146 Producción y consumo de energía hidroeléctrica 1461 Las centrales hidroeléctricas en el sistema de producción de energía La energía hidráulica se ha utilizado desde antiguo En un principio la energía hidráulica se transformaba directamente en energía mecánica sin transformaciones intermedias empleándose en mover molinos de harina serrerías fuelles para forjas etc Estas máquinas eran primitivas y de bajo rendimiento Las fábricas estaban obligadas a instalarse cerca de los cauces de los ríos si querían aprovechar la energía del agua Con la Revolución Industrial el aprovechamiento energético cambia radicalmente se perfeccionan las máquinas y la transformación de la energía mecánica en eléctrica lleva a convertir la energía hidráulica en una de las principales fuentes de energía No obstante cada central hidroeléctrica alimentaba únicamente a una industria o a una población cercana Posteriormente con el rápido avance de la industria eléctrica y con el establecimiento de las líneas de alta tensión que transportan la electricidad con un gran rendimiento ha sido posible aprovechar saltos hidráulicos y además conectar todos los grandes centros de producción de electricidad con la red general de distribución En el sistema actual de producción eléctrica en España las centrales térmicas constituyen la base de la generación Si se analizan los datos proporcionados por Red Eléctrica de España en 2015 dentro de las centrales térmicas las de combustible nuclear aportaron el 218 de la producción las de carbón el 203 y las de gas de ciclo combinado el 101 Las centrales térmicas de fueloil han ido desapareciendo paulatinamente Los grados de utilización más altos de los diferentes tipos corresponden a las centrales nucleares y a las de ciclo combinado por sus características particulares A 260 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas pesar de su importancia dentro del sistema de producción se intenta en la medida de lo posible que las centrales térmicas de carbón sean las últimas en incorporarse al sistema de generación continua debido sobre todo a los altos costos y a la emisión de CO2 Con todo si añadimos la cogeneración 101 y la energía obtenida en plantas de residuos 08 se obtiene que la producción eléctrica de origen no renovable fue del 631 en 2015 Así pues la producción eléctrica basada en energías renovables fue del 369 en España en 2015 Dentro de esta parte la energía eólica constituyó el 51 19 del total la solar fotovoltaica el 84 31 del total la solar térmica el 55 2 del total y la hidráulica el 297 11 del total A pesar del descenso del peso relativo de la producción hidroeléctrica dentro de la producción eléctrica total de origen renovable es de esperar que su contribución pueda repuntar siempre que los recursos hidráulicos tiendan a estabilizarse los últimos años hidrológicos no han sido demasiado favorables para el recurso hidráulico turbinable En este complejo sistema de producción que se ha descrito a grandes rasgos uno de los puntos fuertes de las centrales hidroeléctricas es su rapidez y elasticidad en las operaciones de puesta en marcha y de parada Por este motivo la energía hidráulica sigue siendo la más utilizada para adaptar en cada momento la producción a la demanda de modo que puede decirse que las centrales hidroeléctricas juegan un importante papel en el sistema eléctrico global tanto por su contribución neta como por su capacidad de adaptación y regulación 1462 Potencia rendimientos y producción en una central hidroeléctrica La potencia bruta que puede extraerse de un salto hidráulico puede ponerse como sigue b b gQH W ρ 141 siendo Hb el salto bruto disponible y Q el caudal a turbinar Lógicamente en ninguna instalación real se puede aprovechar todo el salto bruto Descontando al salto bruto las pérdidas de carga en las conducciones que llevan el agua desde el embalse hasta la central Hinst se tiene que la turbina o turbinas pueden aprovechar una altura neta Hn Si el rendimiento total del grupo de turbinas es ηt la potencia obtenida en el eje de la turbina es n t T gQH W η ρ 142 A la relación HnHb se le llama habitualmente grado de aprovechamiento de la instalación Por otra parte las pérdidas eléctricas que tienen lugar en el generador pueden tenerse en cuenta a través de un rendimiento global del generador ηe Para calcular la potencia eléctrica que se puede suministrar a los consumidores es preciso tener en cuenta las pérdidas de tipo eléctrico en los transformadores elevadores de la central en las líneas de transmisión de la energía eléctrica y en los transformadores reductores de las subestaciones transformadoras En cualquier caso en el rendimiento del generador pueden incluirse también otras pérdidas que se produzcan en la instalación eléctrica propia de la central hasta el enlace con la red general de distribución La potencia eléctrica obtenida puede ponerse n t e e gQH W η η ρ 143 Siguiendo con el razonamiento anterior puede definirse un rendimiento total de la instalación como el cociente entre la potencia eléctrica entregada a la red y la potencia teórica que podría haberse obtenido del salto hidráulico 1 inst central b t e b e H H W W η η η 144 261 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En cuanto a la producción es habitual expresarla como la potencia desarrollada durante un cierto intervalo de tiempo que por convenio es un año De este modo se suele poner que la producción es n año t e u año e u gQH t f f W t P η η ρ 145 siendo fu un factor de utilización que tiene en cuenta las paradas como consecuencia de falta de agua mantenimiento etc y taño el número de horas correspondiente a un año El resultado es que la potencia suele expresarse en W horaaño en lugar de en Julios Como se ha indicado anteriormente los parámetros de diseño de una central deben conseguir el objetivo de maximizar la producción energética La expresión 145 puede interpretarse como una función objetivo en la que los parámetros que la forman están relacionados entre sí 147 El problema de la regulación de una central hidroeléctrica Como se ha venido explicando una turbina hidráulica funciona en una central hidroeléctrica normalmente a velocidad constante En acoplamiento directo con un generador síncrono esta velocidad de giro debe dar lugar a la velocidad de sincronismo de modo que debe cumplirse que Ω f n p 2π 146 siendo np el número de pares de polos del generador f la frecuencia de producción de la electricidad alterna y Ω la velocidad de giro del rotor Si el generador es asíncrono aunque no es necesaria una velocidad de sincronismo lo cierto es que el sistema se diseña para conectar con la red eléctrica para una cierta velocidad de diseño que normalmente permanece constante Así pues es fundamental que la turbina funcione en un régimen de giro estable con pocas oscilaciones en torno a esta velocidad de diseño Para que esto sea así debe producirse un equilibrio entre el par comunicado por el eje de la máquina al sistema generador TT y el par que la red eléctrica introduce en el generador como una carga TC En los arranques paradas y en general cuando la velocidad de giro varía la ecuación de equilibrio es C T T T dt J d Ω 147 siendo J el momento de inercia de todas las masas giratorias que forman el sistema turbina generador eléctrico con respecto del eje de rotación La carga puede variar por las necesidades de la red y entonces para reestablecer el equilibrio es preciso que la turbina se adapte a la carga requerida variando su par hasta volver a una condición estable de funcionamiento con velocidad de giro constante y otra combinación de altura y caudal intercambiados y por tanto de potencia obtenida se debe intentar además mantener el rendimiento en unos niveles aceptables en los nuevos puntos de funcionamiento que se vayan consiguiendo Para detectar las variaciones de la velocidad de giro como consecuencia de los cambios de carga y actuar en consecuencia sobre el sistema distribuidor se utiliza un sistema medidorregulador que puede ser el clásico mecánico de bolas centrífugas o bien electrónico más moderno y sofisticado Una vez detectado el desequilibrio el mismo sistema acciona el elemento principal de regulación el distribuidor de álabes orientables con objeto de cambiar el funcionamiento de la turbina y adaptarla a las nuevas necesidades Como se ha explicado anteriormente el distribuidor afecta tanto al caudal como a la altura intercambiada en una turbina de reacción 262 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas en turbinas Francis y Kaplan el caudal aumenta y la altura disminuye cuando se abre el distribuidor de álabes orientables y viceversa Por tanto el distribuidor es capaz de generar curvas características múltiples distintas para cada posición de sus álabes En la curva de TΩ para altura neta constante que se muestra en la Figura 1413 podemos suponer que la posición nominal del distribuidor es abierto al 80 En estas condiciones para un cierto nivel de carga dado por TC la turbina funcionará con la velocidad nominal constante para la que fue diseñada siempre que se cumpla la condición de equilibrio TC TT En el caso de producirse un incremento del par de carga TC la turbina se frena TC TT si se mantiene la misma apertura del distribuidor el punto de funcionamiento ahora estaría dado por el cuadradito y es necesario abrir el distribuidor hasta el 100 en el ejemplo que se comenta para conseguir un punto de funcionamiento distinto dado ahora por el circulito más grueso manteniendo la velocidad de giro nominal constante Si por el contrario el par de carga TC disminuye entonces la turbina se embala TC TT en el caso de mantener la misma apertura del 80 el punto de funcionamiento correspondería al cuadradito y en este caso es preciso cerrar el distribuidor para encontrar un punto de funcionamiento alternativo manteniendo constante la velocidad de giro en la Figura 1414 con una apertura del 50 punto de funcionamiento dado por el círculo más grueso n rpm 0 200 400 600 800 1000 T Nm 0 105 2x105 3x105 4x105 5x105 Apertura 50 Apertura 80 Apertura 100 TC TT TC TT TC TT n nominal constante Figura 1413 Curva parvelocidad de giro típica para una turbina Francis velocidad de giro nominal 375 rpm potencia nominal 6500 kW utilizada para el problema de la regulación de una central hidroeléctrica 148 Sistema eléctrico Generadores Automatización 1481 Multiplicadores de velocidad Los multiplicadores de velocidad son utilizados cuando la velocidad de rotación del rodete de la turbina es inferior a la velocidad de giro del rotor del generador eléctrico Hasta hace pocos años la velocidad estándar para el rotor de los generadores era de 10001500 rpm 263 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles mientras que los rodetes más rápidos raramente sobrepasaban las 500 rpm La utilización de multiplicadores originaba diversos inconvenientes entre los que se encuentran la disminución de la eficiencia y los problemas de mantenimiento lubricación refrigeración vibraciones alineamiento Actualmente se fabrican generadores lentos que permiten el acoplamiento directo entre la turbina y el generador a través del mismo eje 1482 Generadores eléctricos El generador eléctrico produce energía eléctrica a partir de la energía mecánica disponible en el eje de la turbina En un principio se utilizaban generadores de corriente continua pero actualmente todos producen corriente alterna trifásica se denominan también alternadores El principio de generación se basa en la ley de inducción electromagnética de Faraday El rotor o inductor móvil gira en el interior del estátor o inducido fijo de modo que se genera una corriente eléctrica aprovechable en las bobinas dispuestas al efecto En general los generadores tienen rendimientos elevados para bajas potencias 10 kW en torno al 90 pero para potencias más altas a partir de unos 100 kW sube al 97 de modo que para grandes potencias los generadores pueden alcanzar rendimientos cercanos al 99 GENERADORES SÍNCRONOS El generador síncrono se denomina así porque el rotor debe girar a la velocidad de sincronismo dada por la expresión escrita antes Efectivamente para que las bobinas arrolladas en los polos del rotor creen un campo magnético se precisa una excitación de corriente continua Antes de ser conectados a la red un sistema de excitación con regulador de tensión genera una corriente con las mismas características que la de red y que suministra además la energía reactiva necesaria una vez conectados Se deduce entonces que este tipo de generador puede funcionar aislado de la red funcionamiento en isla Por este motivo estos generadores eran muy utilizados hace años cuando parte de la energía eléctrica producida era en pequeñas centrales aisladas de la red general Los generadores síncronos necesitan entonces de un sistema de regulación de velocidad como el que se ha descrito anteriormente En general son más caros que los asíncronos y de una operación más compleja Podría pensarse que su utilización hoy en día no debería ser muy elevada pero se siguen empleando abundantemente puesto que en determinadas condiciones pueden tener rendimientos y prestaciones superiores a los asíncronos GENERADORES ASÍNCRONOS Los generadores asíncronos pueden considerarse motores de inducción con rotor en jaula de ardilla funcionando en modo inverso y que giran a una velocidad directamente relacionada con la frecuencia de la red a la que están conectados Extraen de la misma red la corriente de excitación necesaria así como la energía reactiva necesaria para su magnetización Pueden requerir baterías de condensadores para compensar la energía reactiva Se deduce entonces que no pueden producir electricidad si están aislados de la red ya que son incapaces de suministrar su propia corriente de excitación Los generadores asíncronos no precisan entonces de un sistema de regulación de velocidad en la turbina aunque normalmente sí que se instalan puesto que se requiere que la producción sea con una velocidad de giro nominal de la turbina constante La conexión a la red es a través de un interruptor automático una vez que se sobrepasa ligeramente la velocidad de sincronismo En principio los generadores asíncronos son más baratos y robustos que los síncronos 264 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas GENERADORES ALTERNATIVOS Existen otros tipos alternativos de generador tales como el VSG Vector Signal Generator Este tipo más reciente que los anteriores permite generar electricidad con velocidad variable pero manteniendo constantes la tensión y la frecuencia La turbina puede funcionar entonces a diferentes velocidades de giro Estos generadores se sincronizan con la red incluso antes de comenzar a girar Han sido muy experimentados en el mundo de la Energía Eólica pero hasta el momento tienen una expansión limitada en la Hidráulica puesto que tienen un mayor precio y también alguna restricción en cuanto a potencia de generación Por otro lado es preciso tener en cuenta que las turbinas se diseñan para alcanzar los mayores rendimientos a una cierta velocidad nominal TRANSFORMADORES La tensión de generador viene determinada por la potencia del generador Para potencias no muy elevadas hasta unos 1500 kW la generación se suele hacer a 380 V Para potencias mayores la generación se hace normalmente a 60006600 V Teniendo en cuenta que la tensión de transporte de la energía eléctrica puede ser de 132000 V o superior se necesitan transformadores para elevar la tensión desde la generación a la red de transporte 1483 Automatización La automatización de una central hidroeléctrica persigue reducir los costes de operación y mantenimiento aumentar la seguridad de los equipos propios de la central y optimizar el aprovechamiento energético global de las instalaciones El grado de automatización de la central es variable y depende de una serie de factores entre los que se encuentran la ubicación y tipo de la central las posibilidades de regulación del equipamiento instalado y el coste de personal especializado con arreglo al presupuesto disponible La automatización puede acometerse por etapas En primer lugar puede abordarse una automatización parcial en la que se incluyan las alarmas por sobre velocidad de la turbina y la maniobra de parada En una segunda etapa se puede llegar a la automatización total en la que el arranque la regulación y la parada de la instalación estén incluidos La automatización total de la central ya sea de tipo convencional o de tipo digital debe incluir una serie de prestaciones Flexibilidad en las operaciones habituales de control Las operaciones preliminares a la puesta en marcha del grupo tales como el suministro de aceite a presión a los cojinetes y el arranque de la bomba de aceite deben estar totalmente automatizadas En cuanto a la puesta en marcha del grupo debe existir una sincronización perfecta entre las operaciones de apertura de la válvula general de admisión de agua a las turbinas así como de la conexión eléctrica del grupo a la red general Como se ha indicado la regulación del grupo debe ser tal que la turbina gire a un número de vueltas constante por lo que la operación sobre el distribuidor de la turbina debe ser uno de los puntos clave de la automatización Las operaciones de parada normal y de parada de emergencia deben estar contempladas siendo preferible disponer de diversas opciones En cualquier caso la automatización de una central debe perseguir el aprovechamiento óptimo de la misma de modo que en último término debe conseguirse una optimización del funcionamiento en conjunto de toda la instalación 265 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 149 Procedimientos administrativos Impacto ambiental Los procedimientos administrativos necesarios para llevar a cabo una explotación hidráulica son trabajosos y en cualquier caso requieren del estudio de la reglamentación que exista en cada territorio Simplemente se indicará a continuación alguna directiva de carácter general 1491 Permiso de uso del agua En la mayoría de países europeos el primer paso para realizar una explotación hidráulica es obtener el permiso de uso del agua En España la ley de referencia es el correspondiente al RD 12001 de 20 de julio la Ley de Aguas Algunos puntos destacables de esta ley son los siguientes El uso del agua sea para el fin que sea queda absolutamente subordinado al interés general Las concesiones serán para 75 años pero están supeditadas a cualquier tipo de contingencia que sea de interés general y a las modificaciones oportunas de los planes de cuenca En principio para explotaciones de potencia superior a 5000 KVA la concesión correrá a cargo del Gobierno de España Ministerio y para potencias inferiores a las Confederaciones Hidrográficas 1492 Estudio de impacto ambiental Para obtener la utilización del uso del agua es necesario llevar a cabo un Estudio de Impacto Ambiental EIA del proyecto de explotación hidráulica Se entiende a este como un análisis científico y técnico que realiza un inventario de la situación inicial y predice lo que ocurrirá cuando el proyecto esté en explotación El estudio debe incluir como mínimo los siguientes puntos a La evaluación de los efectos previsibles directos e indirectos sobre cualquier tipo de medio o entorno que puede ser afectado por el proyecto b Las medidas previstas para paliar los efectos negativos c Un resumen del estudio y unas conclusiones en términos fácilmente comprensibles d Un programa de vigilancia ambiental En general para cualquier tipo de uso del agua el EIA debe cumplir tres fines fundamentales 1 Conseguir la protección del medio ambiente 2 Dar una información clara y diáfana a las autoridades y al público en general 3 Proporcionar una ayuda a la toma de decisiones tanto de los órganos de la administración como del inversor El estudio de impacto ambiental se somete en España y en la mayoría de países desarrollados a exposición pública Las alegaciones realizadas y en general todo el proceso de información pública está regido por una oficina auditora esta se encarga de efectuar el informe dirigido a la administración competente que finalmente toma la decisión sobre el proyecto presentado 1493 Guía para un estudio de impacto ambiental Centrando la atención en los proyectos de explotación hidroeléctrica los OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE IMPACTO AMBIENTAL previo a la construcción de la central pueden resumirse como sigue 266 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Identificar cualitativa y cuantitativamente todos los posibles impactos ambientales Predecir los impactos ambientales temporalmente es decir en cada fase del proyecto Prevenir en la medida de lo posible todos los impactos identificados Comunicar los impactos ambientales a los agentes sociales y a los órganos gubernamentales Las fases por las que pasa la vida de cualquier central hidroeléctrica se pueden organizar como sigue Fase preoperacional Fase de construcción Fase de explotación Fase de agotamiento El estudio de impacto ambiental exige comparar la situación del entorno en cada una de las fases Una vez seleccionada la mejor alternativa de proyecto desde el punto de vista ambiental se deben diseñar las medidas correctoras y preventivas para reducir el impacto Las FASES DEL ESTUDIO DEL IMPACTO AMBIENTAL son las siguientes 1 Inventario ambiental Se trata de caracterizar el entorno en el que se sitúa el proyecto e inventariar los elementos básicos del medio ambiente clima calidad del aire geología geomorfología hidrología hidrogeología edafología vegetación fauna y ecosistemas El inventario ambiental también debe incluir el estudio correspondiente al medio humano y socioeconómico calidad de vida reacción social aprovechamiento de recursos patrimonio paisaje ruido 2 Análisis del proyecto Se trata de identificar las causas de impacto en las fases de construcción y explotación Los parámetros a estudiar son los objetivos de producción de la central la presencia de otras centrales en el mismo aprovechamiento la potencia instalada los caudales mínimos de equipamiento la presa diseño altura y localización caudales de derivación características de las cámaras de carga y chimeneas de equilibrio la tubería forzadas los edificios a construir la presencia de canales de desagüe de las turbinas el plan de obras y actuaciones de repoblación forestal el movimiento de tierras la disposición y características del tendido eléctrico las épocas de explotación previstas etc 3 Identificación y valoración de impactos Se trata de analizar los posibles impactos que se van a producir y valorar su gravedad En la fase de construcción es preciso valorar la pérdida de suelos y erosión por obras civiles la destrucción de la vegetación y del hábitat natural de los animales los efectos sobre la fauna acuática y las alteraciones paisajísticas En la fase de explotación se debe tener en cuenta la erosión hídrica que producen los caudales turbinados la inmersión de suelos y vegetación la descarga de limos el cambio poblacional de la fauna acuática el impacto sobre las aves por parte del tendido eléctrico los cambios en las vías de acceso la pérdida de zonas de interés paisajístico etc Cada uno de estos efectos debe valorarse de modo apropiado Por ejemplo una clasificación puede ser compatible moderado severo o crítico Toda esta información puesta de forma ordenada da lugar a la llamada matriz de impactos Figura 1414 4 Establecimiento de medidas preventivas y correctoras Por ejemplo en la fase de construcción se puede iniciar la repoblación forestal evitar vertidos accidentales o soterrar las tuberías forzadas entre otras actuaciones 267 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles En la fase de explotación se construye la escala de peces se crean zonas recreativas se reponen vías de acceso alternativas se mantiene un caudal ecológico y de servidumbre o se insonoriza la casa de turbinación por ejemplo 5 Programa de vigilancia ambiental e impactos residuales Se trata de establecer el sistema de control del seguimiento de la evolución de las alteraciones ambientales inducidas por el proyecto incluyendo la eficacia de las medidas preventivas y correctoras Figura 1414 Esquema básico de la matriz de impactos correspondiente a la fase de identificación y valoración de impactos de un estudio de impacto ambiental Información tomada del Instituto para la Diversificación y el Ahorro de Energía IDAE wwwidaees Bibliografía consultada Centrales Hidroeléctricas II Turbinas Hidráulicas Hiberdrola Endesa Sevillana de Electricidad Unión Fenosa Paraninfo 1994 Charlier RH y Finkl CW Ocean energy SpringerVerlag Berlin 2009 Cuesta L y Villarino E Aprovechamientos hidroeléctricos Tomos I y II Colegio de 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Medio físico Inerte Clima Biótico Medios en los que se divide el inventario ambiental Beneficioso adverso directo indirecto temporal permanente local extenso reversible irreversible recuperable irrecuperable Previstas acciones correctoras o no Precisan medidas correctoras o no Compatible moderado severo crítico 268 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 15 MÁQUINAS DE FLUIDOS DE COMPRESIBILIDAD DESPRECIABLE 151 Ventiladores Ideas generales y clasificación Puede definirse un ventilador como una máquina hidráulica generadora para gases Por analogía podría decirse que es una bomba rotodinámica de gas Si el cambio en la densidad del gas es pequeño lo que ocurre normalmente cuando el salto de presión a través de la máquina es pequeño la teoría desarrollada para turbomáquinas hidráulicas será aplicable al estudio de los ventiladores Si el cambio en la densidad del gas no es despreciable la máquina en cuestión es un turbocompresor Normalmente el criterio que permite distinguir un ventilador de un turbocompresor es el de la relación de compresión o salto de presión estática a través de la máquina Cuando la calidad constructiva de estas máquinas no es muy alta pueden considerarse ventiladores si la diferencia de presiones es inferior a 100 mbar cuando la calidad es más alta el límite es más estricto en torno a 30 mbar En general los ventiladores son utilizados en casos en los que es preciso mover un gran caudal de gas normalmente aire o mezclas de aire con otros gases con un pequeño salto de presión Entre las aplicaciones más importantes de los ventiladores puede citarse las siguientes renovación de aire en salas de trabajo y reuniones ventilación en minas túneles y barcos evacuación de humos secado de productos industriales o acondicionamiento de aire Los ventiladores pueden clasificarse según dos criterios principales según el salto de presión total comunicado p y según la dirección del flujo a través de la máquina Según el primer criterio pueden distinguirse Ventiladores de baja presión para p 10 mbar Ventiladores de media presión para 10 mbar p 30 mbar Ventiladores de alta presión para 30 mbar p 100 mbar Se encuentran en el límite de aceptación como máquinas hidráulicas A menudo se les denomina soplantes Según el segundo criterio pueden distinguirse los tipos siguientes Ventiladores centrífugos Por ejemplo en la Figura 151 puede observarse un ventilador centrífugo de tambor Ventiladores axiales Puede observarse un ejemplo en la Figura 152 Ventiladores tangenciales Véase un esquema en la Figura 153 Los ventiladores axiales proporcionan en general mayor caudal y menor salto de presión que los centrífugos siendo por tanto recomendables por ejemplo para la ventilación forzada a través de conductos cortos y de gran diámetro Los ventiladores 269 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles centrífugos en cambio son más apropiados para la ventilación forzada a través de conducciones largas y ramificadas Motor Rodete Rodete 152 Parámetros significativos de los ventiladores en función del salto de presión La teoría desarrollada para las turbomáquinas hidráulicas es aplicable con toda generalidad a los ventiladores a excepción de los fenómenos de cavitación que lógicamente no aparecen en este tipo de máquinas A continuación se exponen ciertas salvedades a tener en cuenta en los ventiladores centrando la atención posteriormente en las características específicas de los tipos centrífugo y axial En general en los ventiladores se habla de saltos de presión p ρgH puesto que no tiene el mismo sentido físico tratar de alturas H cuando el fluido de trabajo es un gas y no un líquido50 Así pues si se considera que el flujo está totalmente guiado número infinito de álabes la Ecuación de Euler resulta 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 w w v v u u u v u v p u u t ρ ρ 151 Este salto de presión teórico con número infinito de álabes pt debe corregirse para tener en cuenta la desviación del flujo por el efecto de un número finito de álabes obteniéndose pt En cualquier caso la Ecuación de Euler es válida de modo que pt 50 En el caso de trabajar con alturas estas se refieren a las medidas mediante manómetros normalmente expresadas en unidades de columna de agua en la mayoría de ocasiones la unidad empleada es el mm En este caso la formulación es idéntica a la definida en el caso de bombas Figura 151 Ventilador centrífugo de tambor Figura 152 Ventilador axial de dos etapas Figura 153 Ventilador de tipo tangencial 270 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas puede hallarse mediante la ecuación anterior pero sustituyendo las componentes de velocidad reales del flujo y no las correspondientes al flujo guiado En adelante se hablará únicamente de pt El salto de presión estática a través del rotor puede ponerse véase la Sección 47 2 2 2 2 1 2 1 2 2 w w u u p e R ρ 152 y el salto de presión dinámica 2 2 1 2 2 v v p d R ρ 153 de modo que el grado de reacción en el rotor puede definirse por t R e d R R e e R R p p p p p σ 154 Por otro lado el salto de presión total o de remanso a través del ventilador que se llamará simplemente p es la diferencia de presión estática más dinámica entre la salida s y la entrada e de la máquina 2 2 2 e s e s i t v v p p p p p ρ 155 siendo pi las pérdidas internas de presión en los diferentes elementos de la máquina Lógicamente la mayor parte de estas pérdidas tienen lugar en el rodete Puede definirse entonces el rendimiento hidráulico por t h p p η 156 Los rendimientos volumétrico y orgánico tienen en los ventiladores la misma definición que en turbomáquinas hidráulicas Lo mismo ocurre con las potencias aunque se ponen a continuación en función de los correspondientes saltos de presión La potencia total comunicada al fluido puede ponerse p Q W 157 La potencia interna es t f i p Q Q W 158 siendo Qf el caudal de fugas externas e internas Por último la potencia de accionamiento en el eje del ventilador WV puede ponerse t o h v V Q p Q p W η η η η 159 es decir que el rendimiento total se define del mismo modo a como se ha hecho anteriormente o h v t η η η η 1510 271 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 153 Rotores y curvas características de ventiladores 1531 Ventiladores centrífugos Los rodetes de los ventiladores centrífugos tienen diversas formas constructivas En lo que se refiere a la forma de los álabes como ocurre en bombas hidráulicas se tienen los tipos siguientes Álabes curvados hacia adelante β2 90º También llamados multipala o tipo Sirocco Figura 154a Álabes radiales β2 90º Son los más simples y también los más clásicos También se les llama de paletas Figura 154b Álabes curvados hacia atrás β2 90º Son los de mayor rendimiento Figura 154c 2 2 2 β β β a b c w w w 2 2 2 Figura 154 Tipos de ventiladores centrífugos a Álabes curvados hacia adelante b Álabes radiales c Álabes curvados hacia atrás β2 µt ηh ψp 90º 1116 060075 060120 90º 085095 065080 060076 90º 050080 070090 035072 Tabla 151 Valores característicos de los coeficientes de presión y de torsión así como del rendimiento hidráulico para ventiladores centrífugos en función del ángulo del álabe en la salida del rodete Un método práctico de estimación de la presión desarrollada por el ventilador es el basado en el denominado coeficiente de presión Definiendo el coeficiente de torsión µt como la relación entre la componente acimutal de la velocidad en la salida y la velocidad de arrastre también en la salida del rodete 2 2 u µt vu 1511 mediante la Ecuación de Euler suponiendo que no existe prerrotación del flujo vu1 0 se obtiene que 2 u2 p h t η µ ρ 1512 de modo que si se define el coeficiente de presión por 2 2 t h p u p η µ ρ ψ 1513 272 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas este coeficiente puede utilizarse para el cálculo aproximado de la presión para los tres tipos de ventiladores en función del tipo de álabe Los valores usuales de ψp son los que aparecen en la Tabla 151 CURVAS CARACTERÍSTICAS En las Figuras 155 y 156 pueden observarse las curvas características de un ventilador con velocidad de giro constante y de un ventilador con velocidad de giro variable respectivamente En la Figura 157 puede verse una curva característica en forma adimensional Q p η WV Q p η WV WV Ω η máx Figura 155 Curva característica de un ventilador centrífugo con velocidad de giro constante Figura 156 Curva característica de un ventilador centrífugo con velocidad de giro variable Las formas que adoptan las curvas características de los ventiladores se determinan principalmente por la relación entre los diámetros exterior e interior del rodete por el ángulo de salida del álabe y por la forma del perfil de dicho álabe En función del tipo de ventilador que se tenga la curva característica pQ toma una forma que se asemeja en mayor o menor medida a la de una bomba sin embargo en ocasiones adopta una forma llamada de silla como la que aparece en la Figura 155 La característica en forma de silla es propia de los ventiladores con altos valores de β2 y pequeña extensión radial de los álabes pequeño valor de D2D1 El funcionamiento de los ventiladores con característica en forma de silla para valores altos de p puede resultar inestable por lo que no es aconsejable su uso Q η Ψ Ω D3 2 Figura 157 Curvas características típicas de un ventilador centrífugo en forma adimensional 273 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 1532 Ventiladores axiales El tipo más común de ventilador axial es el conocido como helicoidal de pala ancha o extractor La teoría desarrollada para turbomáquinas axiales es plenamente válida para los ventiladores axiales de modo que sólo se señalarán algunos aspectos especiales en los ventiladores De la Ecuación de Euler para una superficie de corriente cilíndrica concéntrica con el eje de la máquina axial puede deducirse que tan 1 tan 1 2 1 2 β β ρu φ pt 1514 siendo φ vau y con el ángulo β definido como se recuerda en la Figura 158 u v w v v u m α β En ventiladores axiales dado que muchas veces el rodete se encuentra inmerso en el conducto de ventilación o de extracción se suele definir un parámetro que cuantifica las pérdidas totales en la red llamado efectividad de la red Este parámetro tiene en cuenta tanto las pérdidas hidráulicas que tienen lugar a través del ventilador como las pérdidas hidráulicas que aparecen a lo largo del conducto en el que el ventilador está situado51 El rendimiento hidráulico en ventiladores axiales suele estar comprendido entre 075 y 092 y el total entre 070 y 090 Lógicamente los valores de la efectividad de la red dependen de las características constructivas de los conductos de aspiración o de extracción CURVAS CARACTERÍSTICAS En el caso de los ventiladores centrífugos ya se vio anteriormente que la curva característica pQ puede tener en ocasiones forma de silla para ventiladores con saltos de presión altos En el caso de ventiladores axiales es mucho más frecuente que la curva característica tenga forma de silla caso a de la Figura 159 no obstante en máquinas axiales de salto de presión pequeño es posible encontrar una curva característica de forma decreciente caso b de la Figura 159 El mínimo local que aparece en el caso a de la Figura 159 en la curva característica con forma de silla se debe a la presencia de capas límite sobre las paredes de los álabes Capítulo 8 Esto repercute por un lado en una modificación importante del flujo inicialmente supuesto para un cierto rango de caudales inferiores al nominal y por el otro en la reducción de la fuerza sustentadora de los álabes que se acentúa para elevados ángulos de ataque el mismo efecto fue comentado para el caso de bombas axiales en el Capítulo 9 En los ventiladores axiales la curva de rendimiento normalmente tiene un máximo pronunciado el rendimiento cae por lo tanto bruscamente cuando la máquina funciona en puntos distintos al nominal 51 Obsérvese que si el ventilador propiamente dicho está compuesto por una sola etapa de álabes un conducto de admisión y un difusor de modo que podemos llevar la entrada del ventilador a la entrada de la red y la salida del ventilador a la salida de la red la efectividad de la red es simplemente el rendimiento hidráulico Figura 158 Triángulo de velocidades estándar utilizado a lo largo del texto 274 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Q p a b 154 Aplicaciones de los ventiladores Tiro natural o autotiro Las condiciones de funcionamiento de un ventilador que suministra o extrae aire en una instalación dependen esencialmente de las características de ésta última Las diferencias de densidad del fluido en puntos distintos de la instalación intervienen en el comportamiento del ventilador Esto puede verse con un ejemplo típico de aplicación de los ventiladores Supóngase que un ventilador toma aire del conducto de cola de una caldera y lo envía a través de una chimenea a la atmósfera como muestra el esquema de la Figura 1510 El punto 1 es la entrada del ventilador el punto 2 es la salida del mismo y el punto 3 es la salida de la chimenea El gas que se extrae de la caldera tiene una densidad ρg y el aire del ambiente ρa Puesto que la chimenea suele ser de grandes dimensiones 350400 m en muchas ocasiones la presión ambiente a la altura de salida de la chimenea es considerablemente menor que la presión a ras del suelo p0 de modo que por fluidoestática se cumple que chim 0 chim gH p pH ρ v 1 Caldera Chimenea Ventilador V v3 Hchim p0 1 2 v 2 3 Por otro lado la presión en 2 está dada por 23 chim 3 2 p gH p p g ρ 1515 siendo p23 las pérdidas de presión entre los puntos 2 y 3 El salto de presión a través del ventilador puede calcularse por 12 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 p v p v p p g g ρ ρ 1516 siendo p12 la pérdida de presión entre los puntos 1 y 2 Operando con las Ecuaciones 1515 y 1516 definiendo las presiones relativas en 1 y en 3 por Figura 159 Dos tipos de curvas características típicas de un ventilador axial Figura 1510 Esquema para el estudio del tiro natural o autotiro como aplicación de los ventiladores 275 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles chim 0 3 3 rel 0 1 1 rel gH p p p p p p ρa 1517 y suponiendo que v2 v3 se llega a la siguiente expresión para el salto de presión a través del ventilador chim 2 1 2 3 2 1 1 rel 3 rel j j g a g p gH v v p p p Σ ρ ρ ρ 1518 donde el sumatorio recoge todas las pérdidas de presión entre los puntos 1 y 3 El término chim gH g a ρ ρ 1519 se conoce como tiro natural o autotiro Este es un término que en función del signo que tenga puede disminuir el salto de presión a suministrar por el compresor Se tienen las siguientes posibilidades Si ρa ρg el autotiro es nulo Si ρa ρg es el caso en que el gas de la chimenea está más caliente que el del ambiente el autotiro es positivo de modo que la altura que debe suministrar el ventilador es menor que la del caso de autotiro nulo Si ρa ρg caso en que el gas de la chimenea está más frío que el del ambiente el autotiro es negativo de modo que la altura del ventilador es mayor que la correspondiente a autotiro nulo 155 Aeroturbinas Conceptos generales Los movimientos del aire en la atmósfera producidos por el desigual calentamiento solar de la superficie de la Tierra constituyen una importante fuente de energía que puede ser aprovechada mediante las aeroturbinas Estas máquinas han sido utilizadas desde la antigüedad para bombear agua las panémonas chinas o moler grano molinos de viento por ejemplo Durante el siglo XIX las máquinas eólicas se siguieron perfeccionando multipalas americanas para el bombeo de agua pero puede decirse que el avance fundamental se debe a Paul La Cour 18461908 que construyó la primera turbina eólica generadora de electricidad en 1891 Las modernas aeroturbinas de tres palas y eje horizontal dispuestas sobre parques eólicos en zonas apropiadas para el aprovechamiento de la energía eólica constituyen actualmente una importante fuente generadora de energía eléctrica limpia e inagotable Puede decirse que una aeroturbina es una turbomáquina en la que la ausencia de carcasa lleva a que el efecto del rotor se extienda a puntos alejados del fluido y en la que no aparecen elementos como el distribuidor o el difusor A pesar de la ausencia de estos componentes una aeroturbina puede analizarse como una turbomáquina aplicando los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía al fluido que pasa a través del rotor Los cambios de densidad del aire al atravesar el rotor son despreciables de modo que una aeroturbina puede considerarse en realidad como una máquina hidráulica Si el aire atraviesa el rotor con dirección paralela al eje del rotor la máquina se denomina de eje horizontal véase la Figura 1511a Las aeroturbinas de eje horizontal de 1 2 o 3 palas constituyen la mayoría de aerogeneradores que se construyen en la actualidad Tienen ciertas analogías en su funcionamiento con las turbinas hidráulicas axiales Más adelante se tratará más en detalle el funcionamiento de este tipo de aeroturbina Si la dirección es normal al eje se denominan de eje vertical Figura 1511b Su funcionamiento difiere claramente de las turbinas hidráulicas radiales Entre las eólicas de eje vertical podemos distinguir entre las de tipo Savonius Figura 1511b que cuentan con un rotor formado por un álabe torsionado en forma de S y cuyo principio de funcionamiento 276 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas se basa en la fuerza de resistencia al viento y las de tipo Darrieus52 Figura 1512 en las que la sección recta de las palas es un perfil aerodinámico que se mueve por el efecto de la sustentación En este tipo de turbina los álabes se colocan en el rotor siguiendo una trayectoria circular de modo que el ángulo de ataque es distinto para cada álabe en una misma sección transversal del rotor Para que el rotor produzca un par es necesario que exista siempre una componente de fuerza en la dirección del movimiento En la Figura 1512 puede observarse que existe una componente de la fuerza de sustentación en dirección tangencial para cualquier posición del álabe por lo que se produce un par favorable Rotor Pala a b Figura 1511 a Esquema básico de una aeroturbina de eje horizontal b Modelo de funcionamiento esquemático de una aeroturbina tipo Savonius Rotor Pala Eje de rotación Figura 1512 Esquema básico de funcionamiento de una aeroturbina de eje vertical tipo Darrieus La fuerza de resistencia es Fx y la de sustentación Fz Independientemente de la disposición constructiva en general una aeroturbina debe diseñarse para operar de modo continuo a velocidad de giro constante para distintas condiciones meteorológicas y diversas direcciones y velocidades del viento Esto se verá en la siguiente sección para el caso de las aeroturbinas de eje horizontal 156 Aeroturbinas de eje horizontal En lo que sigue centraremos la atención en las aeroturbinas de eje horizontal puesto que es el tipo de eólica que actualmente consigue las mayores potencias y rendimientos No 52 Si los álabes son cilíndricos se denomina tipo Madaras W V Componente que crea par positivo FZ F F X U F X FZ F W V U Componente que crea par positivo 277 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles obstante algunos de los conceptos que se desarrollan son generales como por ejemplo el límite de potencia obtenible de Betz que se demuestra a continuación 1561 Teoría de Betz o del disco actuador La teoría de Betz o teoría del disco actuador lleva a determinar la máxima potencia extraíble de una vena fluida suponiendo ciertas condiciones ideales El aire es ideal e incompresible Las líneas de corriente que definen el volumen de control separan perfectamente el fluido perturbado del no perturbado La fuerza desarrollada en el rotor es constante El rotor no induce rotación en la estela de salida La presión estática en los puntos 1 y 2 Figura 1513 suficientemente alejados aguas arriba y aguas abajo respectivamente del rotor como para suponer propiedades constantes coincide con la presión estática del fluido sin perturbar Puede simularse el rotor de una aeroturbina como un disco de área A del que se extrae cierta cantidad de energía de la corriente de aire véase la Figura 1513 El disco actuador provoca una divergencia en las líneas de corriente que separan el fluido perturbado del no perturbado y una aceleración del fluido desde la velocidad aguas arriba V1 hasta la velocidad aguas abajo V2 En la sección del actuador la velocidad es V Suponiendo que la densidad del aire es constante por continuidad debe cumplirse que 2 2 1 1 A V AV 1520 La fuerza ejercida por el motor eólico sobre el aire en movimiento puede calcularse por el Teorema de Euler 2 1 2 1 V AV V V Q V FD ρ ρ 1521 y la potencia resulta 2 1 2 V V AV F V W D T ρ 1522 V V V 1 A A 1 2 Disco A 2 Con las condiciones ideales expuestas anteriormente la ecuación de conservación de la energía mecánica resulta 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 12 V AV V V Q V WT ρ ρ 1523 expresión que debe ser forzosamente igual a la anterior de modo que se obtiene 2 2 1 V V V 1524 Sustituyendo el valor de V en 1522 resulta Figura 1513 Esquema de trabajo para la aplicación de la teoría del disco actuador o teoría de Betz en aeroturbinas 278 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 4 1 2 1 2 2 12 V V V AV V WT ρ 1525 Suponiendo que la energía inicial disponible en la vena fluida es la correspondiente a la velocidad V1 del fluido y que ésta se mantiene constante puede derivarse la expresión anterior respecto de V2 con objeto de hallar la potencia máxima disponible 3 0 d d 1 2 2 V V V WT 1526 de donde se obtiene 27 8 3 1 AV W T máx ρ 1527 expresión conocida como límite de Betz Esta fórmula pone de manifiesto que la potencia extraíble depende de la densidad del fluido de la sección del rotor y de la velocidad de la corriente incidente sobre todo de esta última al estar elevada al cubo Puede encontrarse además el valor del rendimiento máximo de la aeroturbina 27 16 12 827 3 1 3 1 AV AV W W inicial T máx ρ ρ 1528 es decir que no es posible obtener un rendimiento superior al 593 tomando como referencia la energía cinética inicial de la vena fluida 1562 Curva de potencia de una aeroturbina de eje horizontal La potencia obtenida de una aeroturbina de eje horizontal en función de la velocidad de viento incidente V1 toma la forma tipo que se muestra en la Figura 1514 V1 ms 0 5 10 15 20 25 30 35 WT KW 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Va Vss Vn Vs Potencia nominal Figura 1514 Curva de potencia típica de una aeroturbina de eje horizontal Pueden distinguirse cuatro velocidades clave Va es la velocidad de arranque a partir de la que el par conseguido es el necesario para empezar a producir por ejemplo energía eléctrica en el generador Vn es la velocidad nominal a la que se alcanza el valor de la potencia de diseño 279 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Vs es la velocidad de parada a la que un dispositivo de seguridad bloquea la aeroturbina para impedir desperfectos cuando el viento es muy elevado Vss es la velocidad de supervivencia por encima de la que la aeroturbina puede recibir daños permanentes En la mayoría de aerogeneradores actuales el sistema de regulación de la turbina hace que la potencia obtenida se mantenga constante entre los valores de Vn y Vs al tiempo que la velocidad de giro también se mantiene constante Para ello es preciso que las palas cambien su orientación respecto de la velocidad del viento variando su sustentación respecto de la corriente incidente De este modo podría asimilarse a una turbina hidráulica del tipo Kaplan 1563 Nociones aerodinámicas básicas de las aeroturbinas de eje horizontal En una aeroturbina de eje horizontal el rotor está formado por palas que pueden ser de diversas formas y disposiciones En realidad una pala no es más que un ala giratoria de modo que los principios básicos de aerodinámica de perfiles y de la teoría del ala de avión son perfectamente aplicables tal como se expuso en el caso de las turbinas hidráulicas tipo Kaplan Se han desarrollado distintas teorías particulares como por ejemplo la teoría turbillonaria de Glauert que tiene en consideración la rotación inducida sobre el flujo al atravesar el rotor Así se supone que en la sección de entrada 1 no existe rotación inducida en la sección de salida se tiene una rotación inducida de Ω0 y en la sección del rotor Ω02 La importancia relativa de esta rotación adicional puede tenerse en cuenta mediante el factor de rotación inducida hΩ 1 0 Ω Ω hΩ 1529 La variación de velocidades antes y después del rotor se tiene en cuenta por 1 2 V aV V 1530 pudiéndose establecer además un parámetro λS similar a la velocidad específica ya conocida definido en general para una sección recta de la pala situada a una distancia r del eje de rotación V1 r S λ Ω 1531 siendo su valor característico λS0 ΩRpV1 con Rp el radio de punta de pala El comportamiento del rotor puede expresarse en función del coeficiente de potencia 12 AV13 W C T W ρ 1532 que puede expresarse para cualquier sección intermedia entre la raíz y la punta del álabe dada por un radio r como sigue 1 2 1 hΩ a C V S W λ 1533 y en función del coeficiente de sustentación 280 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 12 W 2l F C L L ρ 1534 siendo l la cuerda del perfil y W la velocidad relativa véase la Figura 1515 La solución dada por Glauert 1 3 4 3 1 3 2 V V V S a a a λ 1535 proporciona la relación entre los valores de λS y de aV para maximizar el coeficiente de potencia obtenido Le Gourières 1982 desarrolló un ábaco en el que de una manera sencilla puede calcularse el rotor de una turbina eólica siguiendo la teoría turbillonaria de Glauert Básicamente el procedimiento consiste en lo siguiente en función de la posición relativa de la sección de la pala rRp pueden obtenerse los valores del ángulo del perfil I y del factor de sustentación CLNlr siendo N el número de palas para que la eólica obtenga el mejor rendimiento para la velocidad específica λS0 escogida El ángulo de inclinación I es el que forman las velocidades W y U es decir el ángulo entre W y el plano de rotación de la hélice como muestra la Figura 1515 El ángulo de calado α es el que forman la dirección acimutal con la línea de referencia del perfil mientras que el ángulo de ataque i es el formado entre la línea de referencia del perfil y W De esta manera se cumple i I α 1536 Una vez conocido el ángulo de inclinación I puede determinarse el ángulo de ataque de la pala i que debe ser tal que se consigan unos coeficientes de resistencia CD y de sustentación CL que a su vez proporcionen la potencia requerida WT T Ω siendo condición de diseño que ésta sea máxima como se ha indicado anteriormente Bibliografía consultada Cherkasski VM Bombas ventiladores y compresores Mir Moscú 1986 Le Gouriérès D Energía Eólica Masson 1982 Logan E Jr Turbomachinery Basic theory and applications 2ª ed Marcel Dekker 1993 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Pacheco Bertot P Bombas ventiladores y compresores Ediciones ISPJAM Santiago de Cuba 1987 Sánchez Kaiser A y Viedma A Energía Eólica Horacio EscarabajalUniversidad Politécnica de Cartagena 2003 α i I U V W Plano de rotación Dirección de la velocidad relativa Dirección de la cuerda Figura 1515 Velocidades sobre la pala de una aeroturbina de eje horizontal 281 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 16 MÁQUINAS DE DESPLAZAMENTO POSITIVO Y TRANSMISIONES HIDRÁULICAS 161 Máquinas de desplazamiento positivo Tipos y clasificación En las máquinas volumétricas o de desplazamiento positivo el intercambio de energía se realiza sobre todo en forma de presión mediante el paso de porciones de fluido a través de una cámara de trabajo donde entra y sale en un proceso alternativo o periódico El órgano de trabajo es el elemento desplazador y no existe conexión simultánea a través del fluido entre la salida y la entrada de la máquina La cavidad de aspiración debe estar herméticamente aislada de la descarga o impulsión A veces se producen pequeñas filtraciones de líquido a través de las holguras lo que se conoce como deslizamiento El paso del fluido por una máquina volumétrica es fundamentalmente irregular por lo que en general el caudal obtenido es oscilante y deberá considerarse como caudal de servicio el valor promediado en un intervalo de tiempo suficientemente grande Para intentar cuando las necesidades del servicio lo exigen uniformizar la salida de caudal o presión de una bomba de desplazamiento positivo se disponen elementos amortiguadores o bien se eligen máquinas de efecto múltiple En función del sentido de la transmisión de energía las máquinas de desplazamiento positivo se clasifican en Bombas si comunican energía al fluido Motores hidráulicos si obtienen energía del fluido En función del tipo de funcionamiento se clasifican en Rotativas de engranajes de levas de tornillo etc Alternativas de pistones que requieren válvulas de admisión y de expulsión En función de la actuación sobre el elemento desplazador se clasifican en De desplazamiento fijo De desplazamiento variable A su vez las bombas de desplazamiento positivo pueden ser de paletas deslizantes externa de engranajes interna de engranajes de émbolo de lóbulos de tornillo de tubo flexible etcétera dadas las diferencias constructivas entre máquinas que tienen el mismo principio de funcionamiento las clasificaciones se basan sobre todo en la morfología Los motores hidráulicos de desplazamiento positivo pueden ser de pistones en línea de pistones radiales de engranajes de lóbulos de rotor orbital etc En la Figura 161 pueden observarse dos tipos de bombas volumétricas 282 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Embolo Succión Descarga Fluido Válvula de admisión Válvula de descarga Succión Descarga Engranaje a b Figura 161 Esquemas de funcionamiento de máquinas volumétricas o de desplazamiento positivo a Bomba alternativa de émbolo simple efecto b Bomba rotativa de engranajes 162 Bombas hidráulicas alternativas y rotativas Curvas características 1621 Bombas hidráulicas alternativas Las bombas alternativas suelen utilizarse en aplicaciones en que se excede la capacidad de las bombas centrífugas53 en algunas de estas aplicaciones podría utilizarse una bomba centrífuga o rotatoria pero a expensas de un aumento en los requisitos de potencia o de mantenimiento Las principales bombas hidráulicas alternativas son las de pistones o émbolos x p patmosférica 1 2 3 4 D L V V1 2 p2 p1 1 2 3 4 b a Figura 162 a Diagrama de indicador teórico de una bomba de émbolo simple efecto b Diagrama de indicador real de la misma bomba En la Figura 162 se muestra el esquema de una bomba con émbolo de acción unilateral y su diagrama teórico de presiones llamado de indicador Cuando el émbolo se mueve hacia la derecha el fluido que entra por la válvula V1 llena totalmente el pistón En la caja de válvulas la presión es inferior a la atmosférica lo que explica la resistencia hidráulica al avance del pistón Al llegar a la posición 1 el émbolo cambia el sentido del movimiento e inicia la carrera hacia la izquierda cerrándose la válvula 1 automáticamente En el pistón y en la caja de válvulas la presión es la presión de trabajo superior a la atmosférica lo que hace que la válvula de expulsión V2 se abra y dé salida al fluido En la 53 En las bombas volumétricas se producen presiones máximas considerablemente mayores que en la mayoría de bombas centrífugas 283 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles posición extrema izquierda el émbolo cambia de nuevo su sentido de avance y comienza una nueva carrera hacia la derecha cerrándose de este modo el diagrama de indicador El área del diagrama de indicador representa el trabajo por unidad de superficie del pistón realizado por el émbolo en dos carreras El diagrama de indicador real se diferencia del teórico por la existencia de fluctuaciones de la presión al comienzo de la aspiración y de la impulsión CURVAS CARACTERÍSTICAS La expresión general para el caudal de una bomba de émbolo tiene la forma D2Lf K Q ηv 161 donde K es un coeficiente constante que depende del tipo de bomba ηv es el rendimiento volumétrico D es el diámetro del pistón L es la carrera y f es la frecuencia de funcionamiento de la máquina el número de carreras del émbolo por unidad de tiempo El caudal de la bomba puede regularse actuando sobre cualquiera de los parámetros anteriores En la práctica es imposible hacer variar el diámetro del pistón La variación del rendimiento volumétrico mediante las válvulas de aspiración o de impulsión no es energéticamente aconsejable puesto que empeora en general el rendimiento total de la máquina La variación de la carrera del émbolo se logra fácilmente en las bombas del tipo bielamanivela El procedimiento principal de regulación en aquellas bombas en las que es posible actuar sobre el motor de accionamiento y sobre la transmisión consiste en variar el número de carreras por unidad del tiempo del émbolo La estrangulación en cambio es inadmisible en este tipo de bombas puesto que prácticamente no influyen en el caudal y aumentan en cambio la potencia consumida Las curvas características de las bombas alternativas dan la presión obtenida en función del caudal véase la Figura 163 Para una bomba de dimensiones geométricas dadas el caudal no depende de la presión teóricamente Por esta razón la característica es una línea recta y horizontal para una frecuencia de oscilación dada del émbolo Las características reales se desvían de las teóricas como consecuencia del hecho de que al aumentar la presión comunicada aumentan las fugas disminuyendo el rendimiento volumétrico Las curvas características teóricas muestran que para un mismo caudal es posible obtener distintas alturas de presión consumiendo a su vez distintas potencias p Ω Teórico Real η η v Q Q Figura 163 Curvas características típicas de una bomba hidráulica alternativa Entre las bombas alternativas pueden citarse las bombas de membrana en las que el elemento que está en contacto y empuja al fluido es una membrana o diafragma que puede construirse de distintos materiales caucho industrial teflón materiales poliméricos politetrafluoroetileno silicona rígida etc una placa metálica de acero inoxidable etc En 284 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas una bomba de membrana el extremo líquido o extremo mojado54 es el conjunto de piezas o elementos que contiene o de alguna forma está en contacto con el líquido que se bombea El accionamiento de las bombas de membrana puede ser mecánico o hidráulico utilizando por ejemplo aceite o aire a presión para el accionamiento de la bomba 1622 Bombas hidráulicas rotativas Las bombas volumétricas rotativas están ampliamente difundidas en la industria y en el transporte Se emplean en los sistemas de engrase y regulación de los motores compresores y bombas hidráulicas en las transmisiones hidráulicas de potencia y sobre todo en los dispositivos de transmisiones hidráulicas Brevemente se exponen a continuación las características especiales de distintos tipos constructivos Las bombas de engranajes son reversibles Figura 164 es decir al hacer girar los engranajes en sentido contrario la impulsión del líquido cambia de sentido Además son también convertibles es decir pueden funcionar además como motores hidráulicos Las bombas de paletas deslizantes Figura 165 son constructivamente más complicadas que las anteriores Tienen diversos tipos constructivos entre los que cabe destacar aquellos que tienen suministro exterior del fluido y los que tienen suministro interior Engranaje Flujo Figura 164 Bomba rotativa de engranajes Este tipo de máquina también puede funcionar como motor hidráulico Carrera Disco inclinado fijo Zona de impulsión Rotor Resorte Eje Zona de aspiración Deslizadores Figura 165 Bomba alternativa axial de paletas deslizantes de desplazamiento variable Las bombas de émbolo axial son también máquinas convertibles y reversibles al igual que las bombas de émbolo radiales Las bombas helicoidales o bombas de tornillo 54 Se utiliza esta denominación porque precisamente este tipo de máquinas se usan para bombear pastas pinturas lodos y otros líquidos mezclados con sólidos en ocasiones de carácter abrasivo y que son dificultosamente bombeados por otro tipo de máquinas 285 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles helicoidal tienen aplicación en los sistemas de regulación y lubricación de grandes máquinas y motores CURVAS CARACTERÍSTICAS Las curvas características de una bomba rotativa son similares a las de las bombas alternativas véase la Figura 166 Normalmente se especifica una presión límite por encima de la que el rendimiento de la bomba cae rápidamente La desviación de la característica respecto de la línea horizontal se explica por la disminución del rendimiento volumétrico al aumentar la presión Todas las bombas rotativas se pueden regular variando el régimen de giro y derivando el fluido de la impulsión a la aspiración En las bombas de placas deslizantes el caudal puede regularse variando la excentricidad del rotor respecto del estátor lo mismo ocurre en las bombas de émbolo radiales En las bombas de émbolo axiales55 puede regularse haciendo variar el ángulo que forma la junta cardan que une el plato portaémbolos con el plato portapistones Figura 165 p Teórico Real η Q Q p límite W 163 Motores hidráulicos de desplazamiento positivo Curvas características Como se ha indicado en la sección anterior existen diversos tipos de bombas de desplazamiento positivo que son convertibles es decir que pueden funcionar como motores El concepto popular de motor hidráulico consiste en una bomba girando en sentido contrario Existen sin embargo diferencias importantes entre las bombas y los motores de desplazamiento positivo Por ejemplo a diferencia de las bombas los motores trabajan en ocasiones de modo discontinuo y deben girar a veces en sentido contrario al de diseño lo que hace que deban funcionar esporádicamente como bombas Las bombas trabajan preferentemente en condiciones de altura y caudal constantes los motores funcionan a menudo en un rango amplio de caudales y potencias y en ocasiones deben soportar fuertes cambios de temperatura del fluido sobre todo en los arranques después de largos períodos sin funcionamiento En general un motor hidráulico convierte la energía del fluido normalmente en forma de presión en un par en un eje El caudal resulta proporcional al régimen de giro y el par producido es una función directa del salto de presión a través del motor o más correctamente el nivel de presión de entrada del motor es una función del par resistente 55 En este tipo de bombas el mecanismo de transmisión del movimiento es especial las cámaras de trabajo cilíndricas están dispuestas en el rotor de forma paralela al eje de rotación pero los émbolos realizan su movimiento alternativo como consecuencia de estar unidos a un disco cilíndrico fijo no perpendicular al eje sino inclinado un cierto ángulo Véase la Figura 165 Figura 166 Curvas características típicas de una bomba hidráulica rotativa de engranajes 286 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Los motores de alta velocidad operan frecuentemente de modo continuo Suelen ser de desplazamiento fijo Estos motores pueden ser de distintos tipos entre los que puede citarse los de émbolo en línea de émbolo en línea con ángulo de engranajes véase la Figura 164 etc Los motores de baja velocidad y par alto suelen ser de engranajes epicicloidales de rotor orbital etc CURVAS CARACTERÍSTICAS En la Figura 167 puede observarse el par y la potencia que proporciona un motor hidráulico de engranajes en función de la presión de entrada del fluido y del régimen de giro η T Ω Presión de entrada W 164 Transmisiones hidráulicas y acoplamientos hidráulicos 1641 Transmisiones hidráulicas Una transmisión hidráulica es una máquina que sirve para transmitir potencia de un eje conductor a un eje conducido sin acoplamiento rígido alguno por medio de un líquido que absorbe energía en el eje conductor y restituye energía en el eje conducido Como se explicó en el Capítulo 1 el esquema de funcionamiento de estas máquinas puede ser eje bombafluidoturbinaeje Figura 168 Tradicionalmente las transmisiones hidráulicas se han clasificado en transmisiones hidrostáticas compuestas por bombas y motores hidráulicos de desplazamiento positivo e hidrodinámicas basadas en dispositivos de transmisión de energía mediante bombas y turbinas En adelante se centrará la atención en éstas últimas La idea básica de las transmisiones hidrodinámicas fue desarrollada por el ingeniero alemán H Föttinger que recibió el encargo de diseñar una transmisión para el crucero Lübeck en 1902 Los dos tipos básicos de transmisión hidrodinámica son los siguientes Acoplamientos hidrodinámicos Convertidores de par hidrodinámicos A continuación se expondrán las características principales de los acoplamientos hidrodinámicos o hidráulicos y de los convertidores de par hidráulicos La teoría de las transmisiones hidráulicas es la teoría general de las turbomáquinas hidráulicas La Ecuación de Euler se emplea con generalidad para calcular el par transmitido en la parte de la transmisión que funciona como bomba y en aquella que funciona como turbina En las siguientes secciones se reseñarán únicamente algunas relaciones de interés entre las potencias y los pares transmitidos Figura 167 Curvas características típicas de un motor hidráulico de engranajes 287 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Motor Bomba Turbina Fluido Fluido 1642 Acoplamientos hidráulicos La transferencia de energía de un rotor a un fluido puede realizarse por medio de una bomba mientras que la energía de un fluido puede aprovecharse en el eje de un rotor mediante una turbina Conjugando las dos acciones en una sola máquina se puede obtener la transmisión de energía de un eje de potencia a un eje de carga a través de un fluido Esto es en esencia lo que constituye un acoplamiento fluido un conjunto bombaturbina con un fluido de trabajo normalmente aceite entre ambos Como se observa en la Figura 169 el eje de potencia o eje primario mueve el impulsor de la bomba que suele ser de álabes radiales Este comunica una energía al fluido que aumenta con la velocidad de giro hasta ser capaz de arrastrar al rotor de la turbina dispuesto enfrente y con él al eje secundario o de carga a que está ligado El fluido se mueve en una trayectoria toroidal formada por la caja o carcasa que aloja a los dos rotores La conexión entre el eje de potencia y el eje de carga queda realizada a través del fluido de ahí el nombre de acoplamiento fluido o acoplamiento hidráulico El acoplamiento fluido gozará de las mismas propiedades elásticas del fluido Eje primario Bomba Turbina Eje secundario Trayectoria del fluido Carcasa giratoria Entre las ventajas de este tipo de acoplamiento cabe citar las siguientes Fácil alineamiento de los ejes de potencia y de carga Desembrague rápido y control inmediato de la velocidad Amortiguamiento de vibraciones y de sobrecargas Alta relación entre la potencia transmitida y el peso total del acoplamiento Revisiones y mantenimiento mínimos Entre los inconvenientes pueden citarse Rendimiento menor en el punto de diseño que las transmisiones mecánicas Disminución apreciable del rendimiento en puntos distintos al de diseño Dificultad constructiva para las empaquetaduras Necesidad de refrigeración en muchos casos Estas ventajas e inconvenientes son extensibles a los convertidores de par hidráulicos que se verán en la próxima sección Entre las aplicaciones más importantes de los acoplamientos fluidos pueden citarse las siguientes Figura 168 Esquema básico de una transmisión hidrodinámica Figura 169 Esquema básico de un acoplamiento hidráulico 288 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Motores Diesel de alta velocidad empleados en la propulsión de barcos Tracción ferroviaria Industria del automóvil La gama de potencias de estos acoplamientos es muy amplia El calor producido por fricción en el fluido del acoplamiento debe ser disipado por algún sistema de refrigeración o ventilación En ciertos casos de transmisión de grandes potencias es necesario un sistema de enfriamiento por medio de un intercambiador de calor con bomba auxiliar CURVAS CARACTERÍSTICAS Se verá a continuación que el par en el eje primario es igual al par en el eje secundario para cualquier condición de funcionamiento Mediante la Ecuación de Euler puede calcularse el par comunicado por el eje primario conductor en la bomba Bomba 1 1 2 2 u u p r v Q r v T ρ 162 y el par comunicado por el fluido al eje conducido o secundario a través de la turbina Turbina 2 2 1 1 u u s r v Q r v T ρ 163 Como en un acoplamiento fluido no existen elementos que produzcan un par de reacción que pueda reducir o aumentar el momento en el eje primario si se prescinde de los momentos por rozamiento se tiene que T T T s p 164 lo que puede demostrarse fácilmente ya que puesto que la turbina está situada frente a la bomba se tiene que 1 turbina 2 bomba 2 turbina 1 bomba r r r r 165 1 turbina 2 bomba 2 turbina 1 bomba u u u u v v v v 166 con lo que la Ecuación de Euler aplicada a la bomba y la turbina proporciona el mismo par T La existencia de un deslizamiento lleva a que la velocidad de giro en el eje secundario es menor que la del eje primario de modo que el deslizamiento d puede definirse por 1 p s d Ω Ω 167 Si el rendimiento del acoplamiento es 1 d T T W W p s p p s s p s Ω Ω Ω Ω η 168 se comprueba que el rendimiento aumenta a medida que el deslizamiento disminuye Cuando el eje secundario está bloqueado como puede ocurrir en un arranque y se va aumentando la velocidad en el eje primario el par transmitido aumenta véase la Figura 1610a en esta situación el deslizamiento es máximo igual a la unidad y por tanto el rendimiento es mínimo igual a cero A partir de un cierto valor de la velocidad de giro en el primario y por tanto del par transmitido comienza a moverse el eje secundario A partir de este punto el deslizamiento cae rápidamente y por tanto el rendimiento aumenta también rápidamente El valor del rendimiento es tanto mayor cuanto mayor es la relación entre Ωs y Ωp 289 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Las curvas características de los acoplamientos fluidos se dan en ocasiones en función de los coeficientes adimensionales de par CT en la Figura 1610b y de potencia CW en la Figura 1610b Por ejemplo para la bomba se tiene que 5 3 5 2 D gW C D gT C p W p T Ω Ω ρ ρ 169 Ω η T con s 0 T con Ω s 0 d 1 η 1 0 p T Tp Ts Ω d C CT W a b Figura 1610 a Curva de deslizamiento típica de un acoplamiento hidráulico b Curvas características adimensionales de un acoplamiento hidráulico manteniendo constante la velocidad del eje primario Para una velocidad del eje primario constante la potencia y el par aumentan rápidamente con el deslizamiento particularmente para bajos valores de éste 165 Convertidor de par Curvas características El convertidor de par es un acoplamiento fluido en el que se intercalan una serie de álabes fijos a la carcasa a la salida de la turbina y antes de la entrada de la bomba que producen una cambio en la dirección y magnitud de la velocidad del fluido Figura 1610 Esto se traduce en una transformación en el valor del par Ts Tp y de la velocidad de giro en el eje secundario Normalmente el convertidor da lugar a un incremento en el par transmitido y a una reducción de la velocidad de giro La diferencia entre los pares Ts y Tp es soportado por la carcasa y los álabes fijos p s diferencial T T T 1610 Los convertidores de par encuentran aplicación en todos aquellos casos en los que es preciso disponer fuertes pares en el eje de carga y amortiguar al mismo tiempo acciones vibratorias o sacudidas intensas como por ejemplo en hélices de barcos tracción ferroviaria trabajo pesado de bulldozers etc Son varias las disposiciones que suelen adoptarse para la colocación del impulsor de la bomba del rotor de la turbina y de los álabes fijos Lo más usual es que los álabes fijos ocupen la mitad del espacio toroidal como aparece en la Figura 1611 En ocasiones se disponen varios pasos para multiplicar la relación de conversión del par El rendimiento p p s s p s T T W W Ω Ω η 1611 es en general alto a velocidades bajas alcanzando valores del 80 al 85 290 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Eje primario Bomba Turbina Eje secundario Trayectoria del fluido Carcasa fija Álabes fijos CURVAS CARACTERÍSTICAS En la Figura 1612 pueden observarse las curvas características típicas de un convertidor de par para Ωp constante El par en el eje secundario disminuye a medida que aumenta su velocidad Ωs esto resulta ventajoso puesto que facilita el arranque y la aceleración a fuertes cargas La velocidad y el par en el eje primario permanecen constantes para cualquier valor del par y de la velocidad en el eje secundario incluso para Ωs 0 o bloqueo del eje secundario por un exceso de carga En ciertas ocasiones en los automóviles por ejemplo resulta conveniente combinar el acoplamiento fluido con el convertidor de par con objeto de mejorar el valor del rendimiento de una transmisión fluida para distintas condiciones de operación como ocurre por ejemplo en los automóviles Puede observarse en la Figura 1613 que la curva de rendimiento en función de la relación de velocidades del secundario y del primario tiene una forma considerablemente diferente en un acoplamiento y en un convertidor de par Si una máquina con los correspondientes dispositivos especiales puede hacerse funcionar alternativamente como acoplamiento y como convertidor de par puede conseguirse mantener un rendimiento relativamente alto incluso para valores muy pequeños o muy altos de la relación de velocidades de giro Puede disponerse por ejemplo un convertidor de par con álabes fijos o guía ligado a un sistema de embrague y volante con un sólo sentido de giro y que permita el movimiento sólo en el sentido del eje motor Los álabes guía se mantienen estacionarios para valores bajos de la relación ΩsΩp operando el conjunto como un convertidor de par A valores altos de esta relación los álabes guía podrán girar sin producir efecto de reacción con lo que el sistema funcionará como un acoplamiento fluido De esta forma la transmisión funcionará en condiciones de rendimiento aceptable para diferentes valores de la relación de velocidades ΩsΩp T Ωs η s T p Ωp η Ωs Convertidor de par Acoplamiento Figura 1612 Curvas características de un convertidor de par para velocidad del eje primario constante Figura 1613 Combinación de un acoplamiento fluido y de un convertidor de par Figura 1611 Esquema básido de un convertidor de par hidráulico 291 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 166 Bombas de desplazamiento positivo en sistemas oleohidráulicos Puede decirse que la oleohidráulica es la hidráulica del aceite La utilización del aceite en lugar del agua o de otros líquidos en los circuitos hidráulicos se debe principalmente a la propiedad del aceite de lubricar las superficies sobre las que fluye La base sobre la que se asienta la oleohidráulica es el llamado principio de Pascal que no es mas que la aplicación de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos a problemas en los que aparecen fluidos confinados Los sistemas oleohidráulicos se utilizan en múltiples aplicaciones industriales tanto en sistemas de mando como de control Para aplicaciones en las que las fuerzas a desarrollar son pequeñas se emplean en general los circuitos neumáticos mientras que los hidráulicos se utilizan predominantemente en sistemas de potencia Pueden citarse las siguientes características de los circuitos oleohidráulicos y que de alguna manera los diferencian Reversibilidad Posibilidad de protección del circuito mediante válvulas de seguridad amortiguadores etc Posibilidad de paro y arranque en condiciones de carga Variación de la velocidad mediante la regulación del caudal tanto en bombas como en motores de caudal variable Protección de las distintas partes de la instalación Versatilidad Por ejemplo un sólo accionador primario permite mover simultáneamente varios actuadores Motor Bomba Cilindro Tubería Fluido hidráulico Energía eléctrica Energía hidráulica Energía mecánica Figura 1614 Esquema básico de un sistema oleohidráulico En la Figura 1614 se muestra el esquema básico de una instalación oleohidráulica Los componentes elementales de un sistema son las bombas en las que se obtiene energía hidráulica a partir de la energía mecánica introducida por ejemplo por un motor eléctrico los elementos de regulación y control que son los encargados de regular y controlar los parámetros del sistema presión velocidad etc los accionadores que son elementos que vuelven a transformar la energía hidráulica en energía mecánica por ejemplo un pistón y los acondicionadores o accesorios tales como los filtros cambiadores de calor depósitos acumuladores de presión manómetros etc En esta sección se centrará la atención en las bombas Las bombas más utilizadas en estos sistemas son las de desplazamiento positivo o volumétricas Como se ha visto anteriormente Sección 162 en estas bombas el caudal de salida es proporcional al número de ciclos u oscilaciones por unidad de tiempo del elemento accionador y a la capacidad volumétrica del ciclo Las bombas de engranajes son ampliamente utilizadas Figura 164 aunque también se emplean de otros tipos como de émbolo o de lóbulos por ejemplo Figuras 1615 y 1616 El fabricante facilita normalmente una presión de trabajo para un caudal dado y para una velocidad dada en ocasiones 292 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas suministra también una presión máxima de trabajo o incluyen una gráfica presiónvida de la bomba Figura 1617 Cámara de aspiración Cámara de impulsión Válvulas Émbolo Flujo Flujo Figura 1615 Bomba volumétrica alternativa de émbolo de doble efecto Lóbulos giratorios Flujo Figura 1616 Bomba volumétrica rotativa de lóbulos La principal característica de una bomba de desplazamiento positivo que a menudo se denomina bomba hidrostática es que suministra la misma cantidad de líquido en cada ciclo o revolución del elemento de bombeo independientemente de la presión que encuentre el líquido en la salida Si por alguna razón interesa variar el caudal pueden utilizarse bombas de caudal variable en las que el caudal cambia por variar la cilindrada de la bomba También puede necesitarse en alguna ocasión disponer bombas múltiples para dar servicio a más de un circuito las bombas múltiples consisten en varias unidades de bombeo de igual o distinta cilindrada colocadas sobre un mismo cuerpo y accionadas simultáneamente por un mismo eje motriz Presión Vida miles de horas Figura 1617 Gráfico típico presiónvida en una bomba de desplazamiento positivo 293 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Bibliografía consultada Cherkasski VM Bombas ventiladores y compresores Mir Moscú 1986 Comolet R Mécanique expérimentale des fluides Tomo 3 Masson Paris 1963 Karassik IJ et al Manual de bombas McGrawHill 1983 Lambeck RP Hydraulic pumps and motors Marcel Dekker 1983 MacNaughton K Bombas Selección uso y mantenimiento McGrawHill 1987 Mataix C Turbomáquinas hidráulicas 2ª ed ICAIICADE Madrid 2009 Polo Encinas M Turbomáquinas hidráulicas Limusa México 1989 Sayers AT Hydraulic and compressible flow turbomachines McGrawHill 1990 Wislicenus GF Fluid mechanics of turbomachinery Dover 1965 294 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas PROBLEMAS RESUELTOS BLOQUE IV Problema IV1 RESUELTO El sistema de bombeo que aparece en la figura adjunta está compuesto por dos bombas idénticas de velocidad específica 056 y rendimiento máximo individual del 75 dispuestas en serie Los diámetros exterior e interior del rodete de las bombas son 30 y 15 cm respectivamente los álabes están curvados hacia atrás β2 30º y puede considerarse que la altura del álabe se mantiene constante el agua entra al rodete sin prerrotación El NPSH suministrado por el fabricante es de 35 m para cada una de las bombas Las tuberías de aspiración y de impulsión tienen un diámetro de 4 pulgadas un espesor de 8 mm y una rugosidad de 002 mm siendo la longitud total de tubería de 250 m En la aspiración de la bomba se ha dispuesto un filtro y una válvula de pie que tienen un coeficiente de pérdida secundaria total K 25 En la impulsión se dispone de una válvula de esfera abierta roscada a la tubería En la instalación de bombeo como puede observarse en la figura existen tres codos normales a 90º también roscados Las dos bombas giran a n 2800 rpm En los puntos a b y c del grupo de bombeo se han leído presiones manométricas de 03 39 y 67 kgcm2 respectivamente En estas condiciones se ha dispuesto un aprovechamiento hidráulico del embalse superior B mediante turbinación de un caudal de agua de 40 litross obteniendo una potencia de 113 kW con un rendimiento de la turbina del 90 En la tubería forzada que conduce el agua a la turbina T las pérdidas son de 5 m ca a Calcular el caudal total bombeado por el grupo de bombeo b Determinar el rendimiento con que funciona cada una de las bombas y el total del grupo de bombeo supóngase que cada bomba consume la misma potencia c Obtener el valor de la velocidad absoluta en la entrada del rodete de la bomba B1 d Hallar la altura máxima a la que se puede situar el grupo de bombeo para evitar problemas de cavitación y determinar el coeficiente ε que fija la caída de presión en el interior del álabe de la bomba B1 e Calcular el incremento de presión que deben soportar las tuberías de bombeo en caso de cierre súbito de la válvula de esfera DATOS Presión de vapor 2500 Nm2 Presión ambiente 105 Nm2 Velocidad del sonido en el agua a 1400 ms Módulo de elasticidad del material de la tubería 2 1011 Nm2 295 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles K 25 B1 B2 a b c 0 Grupo de bombeo Válvula de esfera B A Tubería forzada Impulsión T 0 SOLUCIÓN a La potencia obtenida en la turbina puede ponerse como sigue n t T gQH W η ρ pudiéndose expresar la altura neta como Hn Hb Hinst Sustituyendo los valores del enunciado del problema en la expresión anterior se obtiene que la altura bruta Hb 37 m y esta altura es igual precisamente a la diferencia de cotas entre la superficie libre en la aspiración de la bomba y la superficie libre en el depósito B es decir Hg 37 m y por tanto se puede plantear ahora para el conjunto de bombas en serie la condición de conservación de la energía mecánica 2 2 g v K D L H H H H i i g inst g m Σ λ siendo L 250 m y D 4 254 mm en el sumatorio de pérdidas secundarias además de 25 filtro y válvula de pie y 1 pérdida de energía cinética en la entrada del depósito es preciso tener en cuenta la pérdida debido a los cuatro codos y a la válvula de bola se puede buscar en la bibliografía específica para los datos del enunciado que la constante para un codo es 064 y para una válvula de esfera 57 La altura manométrica puede obtenerse de su definición 70 m 10 kgm 9 81 ms kgcm 10 cm m 9 81 ms 30 76 2 3 3 2 4 4 4 2 g p p H a c m ρ se han despreciado las diferencias de energías cinética y potencial entre la entrada y la salida del conjunto en serie Trabajando con las dos expresiones anteriores se puede llegar a la siguiente expresión para la velocidad del agua en la tubería de impulsión 0 5668 125 4 33 1 2 λ v de modo que entrando en el diagrama de Moody con una rugosidad relativa 0 000197 10 4 25 4 02 10 0 3 3 ε 296 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas para determinar un coeficiente de fricción aproximado y tras la correspondiente iteración se obtiene 0 03056 m s 3 77 ms 0 014 3 Q v λ b En primer lugar vamos a comprobar en qué condiciones de funcionamiento se encuentra la bomba 1 calculando la altura manométrica 42 m 10 kgm 9 81 ms kgcm 10 cm m 9 81 ms 30 93 2 3 3 2 4 4 4 2 1 g p p H a b m ρ y la velocidad específica 0 56 42 m 9 81 ms s 0 03056 m 2 800 30 rads 34 3 4 2 1 2 3 3 4 1 2 1 1 Ω Ω π m S gH Q es decir resulta igual al valor especificado en el enunciado del problema por tanto la bomba 1 funciona en condiciones nominales o de rendimiento máximo en este caso η1 075 La bomba 2 funciona con una altura manométrica 28 m 10 kgm 9 81 ms kgcm 10 cm m 9 81 ms 93 76 2 3 3 2 4 4 4 2 2 g p p H b c m ρ de modo que puede comprobarse que la velocidad específica resulta en este caso téngase en cuenta que por estar ambas bombas en serie el caudal trasegado es el mismo mientras que la altura total del conjunto es la suma de las alturas proporcionadas individualmente por cada bomba 0175 3 4 2 2 1 2 Ω Ω m s gH Q distinta a 056 lo que significa que la bomba 2 no funciona en condiciones nominales Se hallará a continuación la potencia consumida por la bomba 1 1 1 1 1 m B gQH W η ρ Obteniéndose WB1 1679 KW Imponiendo entonces que la potencia consumida por la bomba 2 es igual a la consumida por la bomba 1 puede hallarse el rendimiento como sigue 2 2 2 B m W η ρgQH obteniéndose 50 η2 El rendimiento total del conjunto puede plantearse así 2 1 2 1 serie B B m m W W H gQ H ρ η y sustituyendo valores numéricos se obtiene ηserie 0 625 c La velocidad absoluta en la entrada del rodete se determina utilizando la Ecuación de Euler junto con las relaciones trigonométricas necesarias de los triángulos de velocidades Se tendrá en cuenta que vu1 0 y que la altura del álabe es constante b1 b2 Se supondrá 297 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles además que los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales a la unidad luego ηt ηh De la Ecuación de Euler se obtiene uv 2 1249 ms y trabajando con el triángulo de velocidades en la salida del rodete vm2 1818 ms y por la ecuación de continuidad 3636 ms 015 m 1818 ms 03 m 1 2 2 1 D D v v m m que es el valor de la velocidad absoluta v1 téngase en cuenta que vu1 0 d De la definición del NPSH necesario por parte de la instalación puede hallarse la altura máxima de aspiración zaspmáx para evitar problemas de cavitación NPSH asp máx N H z g p p asp v a ρ imponiendo la condición de cavitación incipiente NPSHN NPSHD 35 La altura de pérdidas en la aspiración se hallará como sigue 2 981 ms 3 77 ms 0 64 52 254 10 m 0 014 4 2 2 3 máx asp zasp H es decir se supone que la longitud de la tubería de aspiración es igual a la diferencia de cotas entre la superficie libre del agua y la sección de entrada de la bomba Se efectúa esta suposición a falta de otros datos en el enunciado del problema la longitud de la tubería de aspiración es siempre mayor que zasp Puede observarse que en la expresión anterior se ha utilizado el mismo valor del coeficiente de fricción que se ha calculado anteriormente así como la velocidad del agua Puede comprobarse que se obtiene 3 61 m máx zasp En cuanto al coeficiente ε de la definición del NPSH necesario por parte de la bomba g w g ve N 2 2 NPSH 2 1 2 ε sin más que calcular previamente w1 4299 ms se obtiene ε 0 03 e Suponiendo el caso más desfavorable es decir un cierre súbito en el que la sobrepresión que se produce viene dada por la expresión de Allievi cU0 p ρ siendo c la velocidad de las ondas de presión en el seno del fluido celeridad y que se calculará con la expresión de Joukowski 298 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas 1 1 1 2 2 e D E a c ρ con los siguientes valores numéricos 1 000 m s 1 400 ms 3 77 ms 3 0 ρ a U 0 008 m 10 m 4 25 4 10 Nm 2 3 2 11 e D E Efectuando los cálculos se obtiene c 1 320 ms de modo que p 4977 bares Problema IV2 RESUELTO Se dispone de una rueda Pelton con las siguientes características Diámetro al punto central de las cucharas 3 m Velocidad específica de máxima eficiencia ΩS 008 Ángulo 180ºβ2 que forma la tangente de salida de la cuchara con el chorro incidente 170º Coeficiente de pérdidas por fricción en la cuchara ζ 7 Esta rueda se quiere utilizar en una turbina de acción de características nominales Hn 600 m y Q 12 m3s utilizando inyectores de rendimiento hidráulico ηhi 094 Se puede estimar los rendimientos volumétrico y orgánico en los siguientes valores ηv 098 y η0 097 Se pide determinar el resto de los parámetros de la turbina a Régimen de giro de la turbina y el número entero de pares de polos del alternador de 50 Hz que se conecte directamente al eje de la misma b Rendimiento hidráulico de la cuchara ηhc y la velocidad absoluta del agua cuando abandona a la misma c Número de inyectores que se deben usar y diámetro de cada chorro d Potencia nominal obtenida de la turbina y rendimiento total de la misma SOLUCIÓN a Teóricamente el rendimiento máximo en una turbina hidráulica de tipo Pelton se alcanza para una relación entre la velocidad de arrastre u y la velocidad absoluta del chorro v1 igual a 05 Sin embargo en la práctica esta relación suele estar próxima a 045 La velocidad absoluta del chorro puede calcularse por 2 1 2 1 n h i gH v η donde ηhi es el rendimiento hidráulico del inyector La velocidad v1 resulta entonces 105 2 ms 9 81 ms 600 m 0 942 2 1 v con lo que la velocidad de arrastre resulta 4734 ms 0 45 1 v u 299 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Por otro lado el número de pares de polos del alternador np se determina por 9 95 pares 3 m 24734 ms 2 50 Hz 2 Ω π u D f f n p El número de pares de polos tiene que ser forzosamente entero por lo que se aproxima a 10 Debe variar entonces la velocidad de arrastre que se ha estimado anteriormente y por tanto la velocidad de giro Repitiendo los cálculos resulta finalmente 3142 rads 300 rpm 10 pares Ω p b El rendimiento hidráulico de la cuchara ηhc se calcula mediante la expresión siguiente cos 1 1 1 2 2 2 1 1 1 β ζ η v u v u h c siendo ζ el coeficiente de pérdidas por fricción en la cuchara 0 07 1 2 1 2 w w ζ y β2 180º 170º 10º Sustituyendo valores numéricos compruébese que 0 448 u v1 se obtiene 0 964 ηh c Para calcular la velocidad absoluta del agua en la salida de la cuchara v2 se hará uso de las relaciones derivadas de los triángulos de velocidades en la entrada y en la salida de la cuchara véase la figura adjunta u β v w2 2 2 w u 1 v1 La velocidad relativa en la entrada w1 se calcula por 4712 m 5807 ms 2 m 105 1 1 u v w y la velocidad relativa en la salida w2 se determina a partir de w1 como sigue 1 1 1 2 2 w w ζ obteniéndose un valor de 56 ms Puede ahora calcularse la velocidad absoluta en la salida de la cuchara mediante el teorema del coseno véase la figura adjunta cos 2 2 2 2 2 2 2 2 β w u u w v Sustituyendo valores numéricos en la expresión anterior se obtiene v2 1261 ms c En una turbina tipo Pelton se adopta el criterio de que la velocidad específica está referida a un único chorro independientemente del hecho de que la turbina tenga uno o más chorros Teniendo en cuenta esto puesto que la velocidad específica es conocida ΩS 008 puede obtenerse el caudal de un chorro 4 3 1 2 chorro 1 n s gH Ω Ω Q 300 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas de donde se obtiene Q1 chorro 2928 m3s Como el caudal total trasegado por la turbina es de 12 m3s el número se chorros n se calcula por 4 chorros s 2 928 m s m 12 3 3 1chorro Q Q n El diámetro de cada chorro d se determina fácilmente como sigue 01882 m s 1052 m s 4 2 928 m 4 1 2 3 2 1 1 π πv Q d d El rendimiento hidráulico se calcula por 0 906 0 964094 h i h c h η η η de modo que puede calcularse el rendimiento total como sigue 0 861 0906098097 o v h t η η η η La potencia nominal obtenida se calcula entonces por s 9 81 ms 600 m 0 861 1000 kgm 12 m 2 3 3 n t t QgH W η ρ obteniéndose WT 6081 MW Problema IV3 RESUELTO Una turbina Pelton de un solo chorro está instalada para aprovechar un salto hidráulico bruto de 740 m respecto del nivel del agua a la altura del inyector El diámetro de la tubería forzada es de 12 m la longitud de 3050 m y la rugosidad relativa de 0001 El diámetro del chorro de agua en el inyector es de 200 mm siendo las pérdidas hidráulicas en el mismo iguales a 005Vinyector22g El diámetro de la rueda Pelton es de 26 m y el ángulo de salida de la velocidad relativa en la cuchara es igual a 25º La turbina está conectada a un alternador síncrono de 8 pares de polos y rendimiento total del 97 El rendimiento orgánico de la turbina es del 98 Suponiendo que se mantiene la velocidad relativa a lo largo de la cuchara en la rueda Pelton se pide calcular a El caudal de funcionamiento y la velocidad del chorro b Los rendimientos hidráulicos del inyector y de la cuchara y el módulo de la velocidad absoluta de salida c La velocidad específica y el grado de reacción d La fuerza que ejerce el chorro sobre la cuchara e La producción anual en GWh y el rendimiento total de la central SOLUCIÓN a Es preciso plantear la conservación de la energía mecánica para tener en cuenta las pérdidas que se producen en el inyector y que vienen cuantificadas en el enunciado del problema Se denotará por v a la velocidad en la tubería forzada mientras que v1 es la velocidad del chorro en la salida del inyector La altura bruta puede ponerse como 2 2 g v D L H H n b λ 301 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles siendo Hb 740 m m 21 3 050 m y D L Por otro lado puede ponerse 2 2 1 inyector 1 g v H H H n siendo 2 0 05 2 1 inyector g v H Combinando las ecuaciones anteriores y empleando la ecuación de continuidad para expresar una velocidad en función de la otra v v D v D v 36 m 20 m 21 2 1 2 1 puede llegarse a una expresión para la velocidad en la tubería forzada en función de λ 2 541 1 360 14518 1 2 λ v de modo que es preciso hacer al menos una iteración en el diagrama de Moody la rugosidad relativa es 0001 como se ha indicado en problemas anteriores Operando se obtiene 3 628 m 115 5 ms 3 208 ms 0 0196 3 1 s Q v v λ b Para hallar el rendimiento hidráulico del inyector es preciso en primer lugar calcular la altura neta que se obtiene del apartado anterior Hn 7139 m de modo que puede hacerse 0 952 2 2 1 n h i gH v η Para encontrar el valor del rendimiento hidráulico de la cuchara cos 1 1 1 2 2 2 1 1 1 β ζ η v u v u h c se necesita la relación uv1 que se halla sin más que calcular la velocidad de arrastre u para ocho pares de polos se obtiene una velocidad de rotación de la rueda de 375 rpm y haciendo u ΩDm2 siendo Dm el diámetro medio de la rueda Pelton se tiene u 5105 ms Puesto que en el enunciado del problema se advierte que la velocidad relativa a la rueda se mantiene entonces ζ 0 de modo que ya estamos en condiciones de hallar el rendimiento hidráulico de la cuchara ηhc 094 En cuanto a la velocidad absoluta de salida se puede calcular utilizando el teorema del coseno en el triángulo de velocidades en la salida véase el problema anterior teniendo en cuenta además que w2 w1 v1 u 6445 ms v2 2834 ms c La velocidad específica se obtiene de su definición puede comprobarse que se obtiene 00977 El grado de reacción es nulo por tratarse de una turbina de acción d La fuerza del chorro sobre la cuchara puede obtenerse a partir de la potencia obtenida en la rueda Pelton n t T gQH W η ρ 302 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas de modo que tomando el rendimiento volumétrico igual a la unidad y calculando el rendimiento hidráulico por ηh ηhi ηhc se obtiene una potencia de 22280 kW el par total que se ejerce sobre la rueda se halla por 567400 Nm 375 30 rads 22280 KW Ω π WT T y entonces la fuerza media sobre las cucharas se calcula simplemente 436500 N 26 m2 567400 Nm 2 Dm T F e La producción anual de la central se halla multiplicando la potencia que se obtiene de la rueda Pelton por el número de horas anuales de turbinación y por el rendimiento eléctrico del alternador obteniéndose P 1893 GWhaño El rendimiento total de la central se calcula tal como se ha definido en el Capítulo 12 0 821 b n e t c H η η H η Problema IV4 RESUELTO Un ventilador de flujo axial con velocidad específica ΩS 46 funciona con aire desarrollando un rendimiento hidráulico del 92 El diámetro medio del rodete es de 186 m siendo la velocidad axial supuesta uniforme en todo el rodete igual a 40 ms y la velocidad de giro 450 rpm La altura manométrica desarrollada es de 35 m de columna de aire El ventilador debe vencer una altura de 30 m de columna de aire requerida por la instalación a la que está conectado la longitud total de los conductos de la instalación es de 125 m el diámetro es 15 m y el coeficiente de pérdidas por fricción λ 001 que se supondrá constante El número de álabes es 12 y la cuerda de los mismos a la altura correspondiente al diámetro medio es l 33 cm Se conoce además que tanto el rendimiento volumétrico como el orgánico son iguales a 098 Puede considerarse que el aire se comporta como un fluido incompresible por tanto se tratará al ventilador como a una bomba hidráulica axial Se supondrá además que el fluido entra al rodete sin prerrotación Todo lo que se pide a continuación se refiere a la sección dada por el diámetro medio del rodete a Calcular en primer lugar el caudal trasegado por la máquina Cuál es la rugosidad de los conductos de la instalación b Hallar la potencia específica y la potencia consumida por el ventilador c Determinar el valor de la componente acimutal de la velocidad absoluta en la salida del rodete d Encontrar el valor del coeficiente de sustentación del álabe supóngase que el coeficiente de pérdidas en el álabe es nulo e Dar los ángulos del álabe en la entrada y en la salida del rodete y el ángulo que forma la corriente en el infinito con la dirección acimutal α f Determinar los diámetros exterior de punta e interior de raíz del rodete DATOS densidad del aire 125 kgm3 viscosidad cinemática del aire 206 105 m2s SOLUCIÓN a El tratamiento que debe seguirse con los ventiladores es del todo similar al de las bombas debe cuidarse sin embargo el modo de expresar la presión en unidades de 303 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles longitud En problemas anteriores en muchas ocasiones únicamente se ha puesto m metros cuando en realidad se debería haber puesto m ca metros de columna de agua esto se explica porque el fluido por defecto es el agua En este problema el fluido es aire y entonces los metros son de columna de aire sin embargo como la relación entre metros de columna de aire y metros de columna de agua es del orden de 1000 es decir de la relación de densidades a menudo se utilizan metros de columna de agua para expresar las presiones en los ventiladores eliminado así el engorro de manejar números demasiado grandes En este problema se trabajará en términos de metros de columna de aire utilizando una densidad del aire de 125 kgm3 La mayoría de los conceptos que se preguntan en este problema ya han sido tratados en otros problemas por lo que se expondrá la solución de forma más resumida En este primer apartado planteado la ecuación habitual para imponer la conservación de la energía mecánica inst g m H H H se obtiene Q 6063 m3s comprobándose en el diagrama de Moody que los conductos de la instalación son lisos b La velocidad específica y la potencia específica se calculan a partir de su definición obteniéndose 46 y 4874 respectivamente La potencia consumida por el ventilador se halla como sigue 2945 KW o v h m B gQH W η η η ρ c Para determinar vu2 se hará uso de la Ecuación de Euler teniendo en cuenta que no existe prerrotación vu1 0 Puede comprobarse que se obtiene 8 516 ms uv 2 d Operando como se ha hecho en problemas anteriores se halla 0 0 4468 y D L C C e Se emplearán las siguientes relaciones para hallar los ángulos requeridos tan tan tan 2 2 1 1 w v w v w v a u a u a α β β habiéndose obtenido en apartados anteriores que wu1 4383 ms wu2 3531 ms av 40 ms w 5627 ms de modo que sustituyendo todos estos valores en la expresión anterior se obtiene 4530º 4856 º 4238 º 2 1 α β β f Se planteará la ecuación de continuidad 4 2 2 r p a v i D D v Q Q π η que puede ponerse como sigue r m m v a D D D v Q πη 304 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas siendo 2 r p m D D D de modo que leyendo del enunciado que el diámetro medio es igual a 186 se obtiene 2125 m 1595 m p r D D 305 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE IV Problema IV5 PROPUESTO Se quiere utilizar un embalse para alimentar una central hidroeléctrica situada a una cota inferior de 300 m La conexión con la central se realiza mediante tres conductos de 3500 m de longitud cada uno de diámetro en principio indefinido y con rugosidad relativa ε 0004 La pérdida de carga debida a la fricción no debe ser superior a los 40 m y se puede despreciar cualquier otra pérdida localizada La potencia total de la planta se desea que sea como mínimo de 26 MW pero con el fin de que pueda funcionar con caudales muy diversos quiere configurarse montando en paralelo turbinas Pelton de un solo chorro y de potencia específica igual a 023 El régimen de giro será de 600 rpm y la relación entre la velocidad de la cuchara y la del chorro debe ser de 046 El rendimiento hidráulico del inyector es 096 y el general de la rueda 087 Se pide a Número de ruedas Pelton de las características mencionadas que se deben instalar en paralelo b Diámetro que deben tener las ruedas Pelton c Caudal nominal de cada rueda y el general de la instalación d Diámetro de las tuberías que unen el embalse con la central e Si se quisiera ensayar un modelo a escala reducida 12 de una de las ruedas Pelton utilizadas conectada a un alternador de 375 rpm determinar las siguientes condiciones de ensayo altura neta y caudal necesarios en la instalación y potencia que se obtendría suponiendo rendimientos iguales SOLUCIÓN a n 6 b D 1025 m c Q1 rueda 1953 m3s Q 1172 m3s d Dtuberías 1253 m e 3359 kW 01526 m s 2539 m 3 T n W Q H Problema IV6 PROPUESTO La conducción forzada de alimentación a una turbina Pelton de un solo chorro se compone de tres tramos en serie con las siguientes características 306 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Tramo Longitud m Diámetro m Rugosidad mm 1 1250 12 10 2 1100 11 10 3 1960 10 10 La altura bruta del salto es de 465 m y el caudal de 4 m3s La velocidad de rotación de la turbina es de 550 rpm el coeficiente de potencia específica es WS 022 el ángulo de la velocidad relativa en la salida de la cuchara es β2 10º y el coeficiente de pérdidas por fricción en la misma es ζ 007 El rendimiento hidráulico de la cuchara es 097 y los rendimientos volumétrico y orgánico pueden tomarse iguales a la unidad a Calcular la altura neta la potencia desarrollada y el rendimiento total de la turbina b Determinar los diámetros de la rueda Pelton y del chorro c Calcular la velocidad absoluta de salida en la rueda d Si se sustituyera la turbina por otra de potencia específica igual a 026 con el mismo rendimiento teniendo en cuenta que la altura bruta debe conservarse en cualquier caso determinar el caudal con el que debería trabajar la nueva turbina para que funcionara en condiciones de rendimiento máximo Qué potencia produciría en estas condiciones la nueva turbina SOLUCIÓN a 0 842 1267 MW 383 5 m t T n W H η b 0 251 m 131 m 1 D D c v2 8 037 ms d 1378 MW m s 84 3 WT Q Problema IV7 PROPUESTO En la figura adjunta se representa el esquema de una central de acumulación por bombeo en la que se impulsa un caudal de agua Q 520 litross desde una cota de 120 m a un depósito cuya superficie libre se encuentra a la cota 200 m a través de una tubería de acero de diámetro D0 y longitud L0 90 m Desde el depósito hasta la central de turbinación en la que se ha dispuesto una turbina Pelton de un solo chorro existen tres conducciones la primera de ellas es una galería de hormigón longitud L1 2000 m diámetro D1 15 m que une el depósito con una chimenea de equilibrio la segunda conducción es una tubería de acero L2 200 m D2 05 m y la última conducción es otra tubería de acero de dimensiones diferentes L3 40 m D3 03 m que termina en la boquilla del inyector de la turbina Pelton DB 01 m Se supondrá que la rugosidad absoluta del hormigón es k 03 cm y que la del acero es k 0005 cm El coeficiente de pérdida local en la boquilla es KB 002 referido a la velocidad del chorro en la boquilla En la parte de bombeo se tendrán en cuenta las pérdidas localizadas debidas a un filtro y válvula de pie KP 25 y a una válvula de regulación KV 15 además de la pérdida de energía cinética en el depósito En la parte de turbinación se despreciarán todas las pérdidas localizadas salvo la de la boquilla y la energía cinética del chorro de salida que se utiliza precisamente para mover la rueda a Sabiendo que se dispone de un motor eléctrico de 1500 rpm seleccionar el tipo de bomba a instalar si la velocidad máxima recomendada en la tubería de bombeo es de 35 ms b Realizar un prediseño del rodete de la bomba anterior imponiendo que la relación entre los diámetros exterior e interior y entre la anchura del rodete y el diámetro exterior es 307 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles de D2D1 21 y b2D2 b1D2 02 respectivamente Calcular también la energía anual consumida por la bomba en MWh supóngase un rendimiento total del 75 c Calcular el caudal que le llega a la turbina Pelton d Determinar la cota del nivel del agua en la chimenea de equilibrio e Si el rendimiento total de la turbina Pelton es ηt 089 determinar el rendimiento hidráulico de la cuchara y la potencia entregada al alternador f Calcular la producción anual de la central en MWh si se tienen previstos 15 días de paradas para labores de mantenimiento e imprevistos El rendimiento del alternador y conjunto eléctrico es del 96 2 Cota 0 m Rueda Pelton Depósito Chimenea de equilibrio Galería cota 180 m Bomba KP KV Q L D L D Cota 120 m Tubería Tubería L D D K 0 0 2 3 3 B B Boquilla L D1 1 Cota 200 m SOLUCIÓN a Bomba centrífuga de velocidad específica 0731 b 5053 MWh 102 cm 243 cm cm 51 1 2 1 2 P b b D D c 04807 m3s d 19998 m e 8171 kW 09078 T h c W η f P 6589 MWh Problema IV8 PROPUESTO Se ha aprovechado un salto hidráulico bruto de 450 m mediante una turbina Pelton de velocidad específica 0087 El rendimiento global de la central hidroeléctrica es del 78 y el del alternador de 10 pares de polos del 98 Los rendimientos volumétrico orgánico e hidráulico de la turbina se tomarán iguales a 094 098 y 092 respectivamente las pérdidas hidráulicas se reparten por igual entre los inyectores y las cucharas Se conoce que la velocidad absoluta del agua en la salida de la cuchara es de 10 ms y que el ángulo con que sale la velocidad relativa es β2 10º La conducción forzada desde la presa a la central está compuesta por cuatro tuberías en paralelo de diámetro igual a 1 m rugosidad 01 mm y longitud 1250 m cada una de estas tuberías tiene una embocadura desde la torre de toma constante de pérdida secundaria K 12 dos codos K 08 cada uno y un colector de entrada a la central K 18 Se pide calcular 308 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas a Caudal total turbinado b Número de chorros con que funciona la turbina c Potencia total obtenida y producción anual de la central d Factor de pérdidas en la cuchara y diámetro medio de la rueda Pelton e Diámetro de uno de los inyectores SOLUCIÓN a 1634 m3s b 8 chorros c 5029 10 MWh MW 5741 5 P WT d 2 55 m 0 094 0 45 1 D u v ζ e D1 0171 m Problema IV9 PROPUESTO Un sistema de ventilación como el representado esquemáticamente en la figura se utiliza para extraer los gases que se producen en un proceso de extracción de mineral Las pérdidas de presión en los tres tramos que componen la instalación para una densidad del gas de 12 kgm3 están dadas por Tramo Pérdida presión Hinst mm c agua Caudal Q m3s 1 49 100 2 73 100 3 10 200 La curva característica del ventilador también para una densidad del gas de 12 kgm3 está dada para una velocidad de giro de 525 rpm por los siguientes puntos de funcionamiento Caudal Q m3s 0 100 150 200 250 300 350 Altura Hm mm c agua 175 180 175 160 135 100 60 Suponiendo que la densidad del gas se mantiene constante se pide determinar a Caudal y altura manométrica con que funciona el ventilador b La velocidad específica Comprobar que se trata de una turbomáquina axial Se quiere efectuar un prediseño de los álabes del rodete Para ello se imponen los siguientes requerimientos Velocidad acimutal en la entrada nula velocidad periférica máxima 100 ms DpuntaDraíz 28 rendimiento hidráulico requerido 085 Se pide calcular c Valores del factor de velocidad vau en la raíz sección media y punta del álabe d Valores de los factores de resistencia y sustentación lt CD y lt CL en la raíz sección media y punta del álabe V 1 2 3 pa pa pa 309 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles SOLUCIÓN a Q 266 m3s Hm 122 mm ca b 505 c 08213 04322 y 02933 respectivamente d Raíz 1274 y 01250 respectivamente Media 04512 y 003567 respectivamente Punta 02034 y 001075 respectivamente Problema IV10 PROPUESTO La curva de carga diaria de una determinada población puede aproximarse por la figura adjunta Se pretende cubrir la demanda de energía mediante el aprovechamiento de tres saltos hidráulicos cuyas características principales aparecen en la tabla siguiente Salto bruto m Pérdidas en la conducción m Q m3s η grupo turbinación 150 7 20 088 75 4 15 092 75 4 10 090 40000 30000 22000 9000 0 8 16 20 24 t horas Potencia kW a Calcular la energía total y la potencia media consumidas diariamente b Determinar si son suficientes los tres saltos hidráulicos para cubrir la demanda c Indicar los grupos de turbinación que deben funcionar en horas punta y en horas valle d Si los generadores tienen en todos los casos 10 pares de polos Qué tipo de turbina se debe instalar en cada salto e Se quiere efectuar una estimación del diseño de la turbina del último salto hidráulico Suponiendo que 22 2 1 D D 015 1 1 D b y 1 2 51 b b y que no existe componente acimutal de la velocidad en la salida del rodete f Calcular mediante el diagrama de Cordier los diámetros exterior e interior del rodete de la turbina g Hallar los ángulos de entrada y de salida de los álabes del rodete suponiendo que el rendimiento hidráulico es igual a 092 h Determinar el rendimiento orgánico i Qué variación experimentan los ángulos de entrada y de salida del álabe si se toma un diámetro exterior del rodete de 2 m 310 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas SOLUCIÓN a 600000 KWh 25000 KWh b Puede cubrirse la demanda c En horas punta deben funcionar los tres grupos en horas valle basta con el segundo d Turbinas Francis normales en todos los grupos e 1118 m 2 46 m 2 1 D D f 1633º 9 029 º 2 1 β β g 0 978 ηo h 185 en la entrada 75 en la salida Problema IV11 PROPUESTO La central hidroeléctrica de La Grande Québec Canadá tiene una producción eléctrica anual de 123 1012 Wh correspondientes a 240 días al año en funcionamiento continuo y condiciones nominales La central que está formada por 12 turbinas Francis en paralelo tiene un rendimiento total del 80 Las características de cada una de las turbinas para las condiciones de funcionamiento mínimamediamáxima son las siguientes Mínima Media Máxima gHn Jkg 706 778 781 Q m3s 265 272 280 WT MW 169 195 196 n s1 1875 1875 1875 Las dimensiones principales de una de las turbinas de la central se muestran en la figura adjunta Se supondrá que los rendimientos volumétrico y orgánico son iguales ambos a 097 pudiéndose tomar constantes para cualquier condición de funcionamiento Se sabe que en la condición de funcionamiento nominal no existe momento cinético en la salida de los álabes del rodete D D b0 Rodete N 13 1 2e Tubo de aspiración D 2i D0 Distribuidor N 20 Para la condición de funcionamiento nominal se pide a Comprobar que la condición de funcionamiento media se corresponde con la condición nominal o de rendimiento máximo Encontrar los valores de la velocidad específica potencia específica rendimiento eléctrico total de la central y altura bruta con que funciona cada turbina b Calcular el ángulo de entrada del flujo en el rodete supóngase que b0 b1 D0 6680 m D1 5347 m D2i 2670 m 311 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles c Hallar el ángulo con que sale el flujo de los álabes del distribuidor suponiendo que no existen pérdidas energéticas en el flujo entre el distribuidor y el rodete d Suponiendo que la sección de paso entre los álabes del rodete se ha diseñado para que la velocidad meridiana a lo largo de la sección de salida sea el 90 de la velocidad meridiana en la entrada calcular los valores del ángulo del álabe en los puntos extremos correspondientes a D2i y D2e Se desea conocer ahora el comportamiento de la turbina para las condiciones extremas de funcionamiento e Calcular el rango de valores del ángulo con que sale el flujo de los álabes del distribuidor entre las condiciones de funcionamiento mínimamáxima puede realizarse la misma suposición que en 3 f Hallar el valor del momento cinético medio expresado como u2vu2 que se genera56 en la salida de los álabes del rodete en las condiciones de funcionamiento mínimamáxima SOLUCIÓN a ΩS 1319 WS 1266 ηe 0913 Hb 8336 m b 2491º c 2558º d 3276º 1673º β2 e 2484º 2558º y 2644º f 9082 m2s2 0 1211 m2s2 Problema IV12 PROPUESTO En la instalación de la figura la bomba está impulsando el agua desde los depósitos inferiores obsérvese que el nivel de la superficie libre del agua es diferente en estos depósitos al depósito superior con un caudal de 785 litross y girando a 1500 rpm Las longitudes de los tramos de tubería las cotas de puntos significativos y los elementos singulares con pérdida de carga localizada se indican en la figura adjunta la pérdida en la unión en T se refiere a la energía cinética de cualquiera de las ramas en paralelo de la aspiración El diámetro de todas las tuberías es de 5 cm y su rugosidad de 02 mm Puede suponerse que en esta situación la bomba funciona en condiciones nominales con un rendimiento del 70 El NPSH suministrado por el fabricante es igual a 2 m a Calcular el valor que debe tomar la constante de pérdida secundaria en la válvula KV para que el caudal en cada rama de la aspiración sea el mismo b Determinar el valor de las presiones relativas de entrada y de salida de la bomba en las condiciones anteriores c Indicar el tipo de bomba que hay instalada así como la potencia consumida y el NPSH con el que está funcionando Existe peligro de cavitación d Calcular el valor del NPSH en el caso de que la sección de salida de la bomba se colocara 05 m por debajo del codo situado en la impulsión suponiendo que se mantiene de alguna manera constante el caudal de funcionamiento nominal Existiría en estas condiciones peligro de cavitación Se conoce que la anchura del rodete es constante e igual al 20 del diámetro interior del rodete y que los álabes fueron trazados mediante un solo arco de círculo con radio 56 Como se ha indicado anteriormente esta cantidad debe ser nula para la condición de funcionamiento media nominal 312 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas igual a 9 cm El coeficiente de pérdida de presión interior de la bomba que fija la presión mínima interior es ε 05 Suponiendo que no existe momento cinético en la entrada del rodete y que el diámetro exterior del mismo se ha calculado mediante el diagrama de Cordier se pide hallar e El coeficiente de disminución de trabajo sabiendo que en el diseño de la bomba se ha utilizado la corrección de Eck f Estimar el número de álabes del rodete DATOS presión de saturación del vapor de agua pv 0017 bar presión ambiente pa 1 bar B KV 3 m 1 m p p e s L D 4 m 5 cm L 05 Impulsión Aspiración 5 m 6 m 55 m 10 m K 5 m K 05 05 K 05 K 1 K L 1 m 125 m L 4 m 05 K 4 m L 4 m L 1 m Problema IV13 PROPUESTO En un salto hidráulico a pie de presa una turbina Pelton de 90 cm de diámetro medio de la rueda y velocidad específica igual a 0078 está conectada a un alternador de 50 Hz y 4 pares de polos En un punto de funcionamiento dado la turbina funciona con una altura neta de 300 m un caudal de 050 m3s y el diámetro de cada uno de los chorros cuyo número es en principio desconocido de 46 mm Se conoce también que en esta situación la velocidad absoluta de salida del chorro en la cuchara es v2 10 ms y que la velocidad relativa en el mismo punto es w2 092 w1 Para cualquier condición de funcionamiento los rendimientos hidráulico del inyector volumétrico y orgánico se pueden suponer constantes e iguales a 096 098 y 098 respectivamente En estas condiciones se pide a Determinar la velocidad de giro de la rueda y el ángulo de salida de la cuchara b Calcular el rendimiento hidráulico de la cuchara y el total de la turbina c Hallar la potencia total obtenida y el número de chorros que inciden sobre la rueda Compruébese que la turbina no está funcionando en condiciones nominales o de rendimiento máximo Si se quiere que la turbina trabaje en el punto nominal de SOLUCIÓN a 491 b pe 46730 Pa ps 109500 Pa c Bomba radial WB 1806 W NPSHD 6703 m no existe cavitación d NPSHD 07244 existe cavitación e 0807 f 8 313 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles funcionamiento es preciso variar la posición de la aguja del inyector Se conoce que el rendimiento que se alcanza en este punto nominal es ηmax 089 d Altura de pérdidas en la conducción forzada para obtener un rendimiento total de la central hidroléctrica del 77 suponiendo un rendimiento eléctrico total del 92 para altura neta constante e Manteniendo constantes la velocidad de giro y la altura neta calcular el diámetro que deberían tener los chorros para que la turbina funcione en condiciones de rendimiento máximo Calcular la potencia obtenida en estas condiciones f Determinar para la condición de rendimiento máximo los valores de las componentes de velocidad en la cuchara que deben haber variado para conseguir esta condición se supondrá que el ángulo β2 se mantiene constante y que su valor es el calculado en el apartado a g Hallar la expresión de la curva de potencia total obtenida en función del grado de apertura del distribuidor dado por el diámetro de un chorro incidente d manteniendo las hipótesis planteadas en los apartados d y e SOLUCIÓN a n 750 rpm β2 1584º b ηhc 09392 ηh 08659 c 1274 kW 4 chorros d 1901 m ca e d 005165 WT 1650 kW f 2 3881 w ms v2 1078 ms g WT 6018 108 d2 de manera aproximada 314 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas BIBLIOGRAFÍA AGARD Lecture Series No 167 Blading Design for Axial Turbomachines AGARD 1989 Agüera Soriano J Mecánica de fluidos incompresibles y turbomáquinas hidráulicas 5º ed Ciencia Madrid 2002 Brennen CE Hydrodynamics of pumps Concepts ETI Oxford University Press 1994 Centrales Hidroeléctricas II Turbinas Hidráulicas Hiberdrola Endesa Sevillana de Electricidad Unión Fenosa Paraninfo 1994 Charlier RH y Finkl CW Ocean energy SpringerVerlag Berlin 2009 Cherkasski VM Bombas ventiladores 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Hidráulicas Teoría y Problemas ANEXO A1 Turbinas de reacción pura El rodete de una turbina de reacción pura funciona como un aspersor para riego En el peculiar rodete dibujado en la Figura A11 el agua entra por un conducto alineado con el eje de rotación y puede repartirse por uno o más brazos El sistema gira con una velocidad de giro Ω Se supondrá que el caudal entrante es Q y que el sistema tiene un único brazo de radio R por el que sale el agua sale con una velocidad relativa igual a QAt siendo At el área transversal del conducto 2 R Ω At ΩR 1 Q QAt La velocidad de arrastre es ΩR de modo que la velocidad absoluta de salida es tA Q R v 2 Ω A11 en dirección acimutal Si se supone aplicable la Ecuación de Euler haciendo vu1 0 por situarse la entrada al rodete en el mismo eje y vu2 v2 según la ecuación anterior con u2 ΩR se tiene que 2 2 Ω Ω R A Q g R g v u H t u t A12 pudiéndose calcular el par desarrollado en el eje como sigue Ω Ω Ω R A QR Q gQH W T t t ρ ρ A13 El par máximo que puede obtenerse es curiosamente para Ω 0 es decir en condiciones de frenado obteniéndose t máx A Q R T 2 ρ A14 mientras que la velocidad de giro para la que se obtiene la potencia máxima puede calcularse por Figura A11 Esquema del rodete de una turbina de reacción pura dotado de un único brazo de radio R y sección transversal At 319 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles 2 3 4 2 0 d d t máx t W máx A Q W RA Q W ρ Ω Ω A15 En este tipo particular de turbina la altura teórica comunicada se produce por el efecto de la presión del agua sobre las paredes del brazo giratorio resultando entonces un grado de reacción igual a la unidad 320 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas ANEXO A2 Ecuaciones de la capa límite en una turbomáquina radial Siguiendo con el planteamiento de la Sección 832 las ecuaciones del movimiento en un sistema de coordenadas intrínseco adaptado a la superficie de un cuerpo pueden deducirse a partir de las ecuaciones de NavierStokes expresadas en un sistema de coordenadas cilíndrico ortogonal en el que los factores de escala son los siguientes c c R h n n R h s 2 1 A21 Así la ecuación de continuidad 0 2 1 2 2 1 1 h v x h v x A22 resulta 0 n R w n w s w n R R c n n s c c A23 donde wn y ws son respectivamente las componentes normal y tangencial de la velocidad relativa dentro de la capa límite Si lc es una longitud típica en la dirección longitudinal y δ es el espesor de la capa límite la estimación de órdenes de magnitud en la expresión anterior ofrece el siguiente resultado δ δ c n n c s c c R w w l w n R R A24 álabe flujo exterior δ n W e se w capa límite w w w s n se n e Suponiendo que δ Rc 1 y cl 1 δ se puede despreciar el último término de la Ecuación A24 de modo que 0 n w s w n s A25 expresión que es igual a la 86 Las operaciones para llegar a la ecuación de cantidad de movimiento son laboriosas Podemos partir de la ecuación en dirección tangencial a la que llegó Tollmien57 57 Puede encontrarse en el texto de Schlichting 1979 p 68 Figura A21 Capa límite de velocidad relativa junto al álabe Componentes normal y tangencial dentro de la capa límite 321 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles d d d d 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 s w s R n R R n v s w R n R R s w n R R v n R w n w n R n w s w n R R v s p n R R n R w w n w w s w n w R R s c c c n c c c n c c c s s c s s c c c c c n s s n s s c c ρ A26 En la capa límite suponiendo como antes que δ Rc 1 y cl 1 δ y que además el radio de curvatura se mantiene esencialmente constante con s 1 d d s Rc se obtiene lo siguiente téngase en cuenta además que tomado órdenes de magnitud en la ecuación de continuidad se tiene que s c s n w l w w δ 2 2 1 n w v s p n w w s w w s s n s s ρ A27 Se observa que la forma de la ecuación obtenida es la misma que la correspondiente a un flujo sobre una placa plana Lógicamente como consecuencia de la rotación del sistema de referencia debe incluirse el potencial debido a la fuerza centrífuga U22s 2 2 2 2 n w v U p s n w w s w w s s n s s ρ A28 expresión que es igual a la 87 322 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas ANEXO A3 Tablas y diagramas Temperatura ºC Densidad kgm3 Viscosidad cinemática m2s 106 Módulo de elasticidad Kgcm2 Presión de vapor KPa 0 1000 1788 2060 0611 10 1000 1307 2141 1227 20 998 1005 2230 2337 30 996 0802 2294 4242 40 996 0662 2325 7375 50 988 0555 2335 1234 60 984 0477 2325 1990 Tabla A31 Propiedades físicas del agua a la presión ambiente Temperatura ºC Densidad Kgm3 Viscosidad cinemática m2s 105 0 1293 133 10 1247 141 20 1200 150 30 1165 160 40 1127 169 50 1091 179 60 1060 188 Tabla A32 Propiedades físicas del aire a la presión ambiente 323 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles Material Rugosidad mm Vidrio 00003 Tubería estirada 00015 Acero hierro forjado 0046 Hierro fundido asfaltado 012 Hierro galvanizado 015 Hierro fundido 026 Madera cepillada 01809 Hormigón 0330 Acero remachado 0990 Tabla A33 Rugosidades absolutas de algunos materiales Accesorio Pérdida de carga m De depósito a tubería Conexión a ras de la pared Conexión con tubería entrante Conexión suavizada 2 50 12 g V g V 12 2 2 0 05 12 g V De tubería a depósito g V 12 2 Ensanchamiento brusco 2 1 2 1 2 2 2 1 g V D D Estrechamiento brusco 2 0 42 1 2 1 2 2 1 g V D D Codo a 180º normal 2 50 2 g λ V Codo a 90º Suave Normal 2 12 2 g λ V 2 30 2 g λ V Codo a 45º Suave Normal 2 7 2 g λ V 2 16 2 g λ V Conexión en T Flujo directo Flujo desviado a 90º 2 20 2 g λ V 2 60 2 g λ V Filtro 2 1 1 131 2 2 g V r r r área de paso libreárea total Válvulas De esfera abierta De compuerta abierta Antirretorno 2 14 6 2 g V 2 0 25 2 g V 2 2 2 g V Tabla A34 Coeficientes de pérdida de carga en algunos elementos singulares el subíndice 1 se corresponde con la sección de menor diámetro 324 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas DIAGRAMA DE MOODY 325 Blas Zamora Parra y Antonio Viedma Robles ANEXO A4 Glosario de términos en inglés Álabe Blade vane Álabe orientable Adjustable vane wicket gate Aliviadero Spillway Altura columna de líquido Head Altura bruta salto hidráulico Hydraulic jump Altura manométrica bomba Pump head Altura neta turbina Net head turbine head Altura resistente o de la instalación System head Altura útil teórica o de Euler Euler head rotor head Aspiración Suction Ataguía Auxiliare valve gate Bomba Pump Bomba alternativa Reciprocating pump Bomba alternativa de pistones Reciprocating piston pump Bomba de diafragma Diaphragm pump Bomba de engranajes Gear pump Bomba de lóbulos Lobe pump Bomba de tornillo Screw pump Bomba volumétrica Displacement pump Bomba volumétrica rotativa Rotary pump Caja espiral turbina Spiral casing turbine volute Canal abierto Open channel Canal entre álabes Vane blade flow channel Cascada de álabes Blade cascade Caudal Volume flow rate capacity Cavitación Cavitation Chimenea de equilibrio Surge tank Chorro turbina Pelton Jet Coeficiente de resistencia Draft coefficient Coeficiente de sustentación Lift coefficient Compuerta Gate Cuchara turnina Pelton Pelton vane bucket Cuenca vertiente Basin Curva característica Characteristic or performance curve Depósito de agua Water reservoir Descarga turbinación Tail race discharge Diámetro de punta Tip diameter Diámetro de raíz Hub diameter Difusor Diffuser vaneless diffuser Difusor con álabes guía Vaned diffuser Distribuidor con álabes guía Guide vanes Drenaje Drain Embalse Reservoir Estación de turbinado Powerhouse Estátor Stator Flujo mixto Mixedflow Generador alternador Generator Impulsión bomba Discharge Inyector turbina Pelton Nozzle Par Torque 326 Máquinas Hidráulicas Teoría y Problemas Pérdidas hidráulicas Hydraulic losses Pérdidas por choque Secondary flow losses incidence losses Pérdidas por fricción generales Friction losses Perfil aerodinámico Aerofoil Perfil hidrodinámico Hydrofoil Potencia Power Presa Dam Recurso hidráulico Hydraulic resource Rendimiento hidráulico Hydraulic efficiency Riego a plantaciones Irrigation Rodete general Rotor Rodete de una bomba axial Propeller Rodete de una bomba radial Impeller Rodete de una turbina Francis Runner runner turbine Rodete de una turbina Kaplan Propeller propeller turbine Soplante Blower Tubería Pipe Tubería forzada Penstock Tubo difusor Draft tube Turbina Turbine Turbina Pelton Pelton wheel Turbomáquina Turbomachine Válvula Valve Velocidad específica Nondimensional specific speed Velocidad de embalamiento Runaway speed Velocidad de sincronismo Synchronous speed Ventilador Ventilator fan Vertedero Weir Voluta bomba Volute pump casing 327