Transformações de Variáveis Aleatórias: Casos Univariados e Exemplos

Capítulo 1 Transformações de Variáveis e Vetores Aleatórios 11 O Caso Univariado Se X é uma va e h R R é uma função então Y hX é uma va Dada a distribuição de X desejamos determinar a distribução de Y Se PX PY são as distribuições de X e de Y respectivamente Isto é PXB PX B PY B PY B B R Agora Y B hX B X A where A h1B x R hx B Portanto PY B PY B PX A PXA A Teorema 1 Se X é uma va e h R R é uma função tal que Y hX é uma é uma va Então a distribuição PY da va Y é determinada pela distribuição PX da va X como segue Para qualquer subconjunto B R PY B PXA onde A h1B 111 Applicação 1 Transformações de Variáveis Ale atórias Discretas Se X é uma va discreta tomando valores xj j12 e Y hX Então Y também é uma va tomando os valores yj j 1 2 Desejamos determinar fY yj PY yj j 1 2 Fazendo B yj temos A xi hxi yj 1 E consequentemente fy yj PY y Py y PxA 35 fxai onde fle PX 0 7 EXEMPLO 1 Se X toma valores n11n com probabilidade ot ese Y X Entao Y assume os valores 1 4 com probabilidade determinada como seguese Se B r r 1 n entao Ah1B a r 1rr Portanto PyB PxA Pxr Pxr ap an Isto é PY r ir 12n EXEMPLO 2 Se X PA e Y X 2X 3 Entao Y assume os valores y a 2xr 32 012 30512 De v2r3y Temos x 2x7 y 3 0 resultando x 1y4 como xz 0 temos que x 1 y4 Se B y entao AhB 1 Vy4 PyB PY y PxA Ae Corolario 2 Se h S T é injetiva e monótona Então FY y FXx se h é crescente e FY y 1 FXx se h é decrescente onde x h1y e FXx limxyFXy EXEMPLO 3 Se Y hX X2 para y 0 Temos FY y PY y PX2 y Py X y PX y PX y FXy FXy se y 0 e FY y 0 para y 0 EXEMPLO 4 Se X N0 1 então fXx 1 2πe x2 2 Pelo Exemplo 3 Se Y X2 FY y FXy FXy y 0 Logo d dyFXy F Xy d dy y 1 2yfXy 1 2 2πye y 2 e d dyFXy 1 2yF Xy 1 2yfXy 1 2 2πye y 2 Portanto d dyFY y fY y d dyFXy d dyFXy 1 2 1 y 2πe y2 2 1 2 1 y 2πe y2 2 1 y 2πe y2 2 1 y 1 2π2 1 2 e y2 2 1 Γ 1 22 1 2 y 1 2 1e y 2 Y χ2 1 3 Teorema 2 Se uma var aleatoria X tem fdp fy continua no conjunto S onde fx 0 Se y hx é uma transformagao h R R de modo que Y hX seja uma va Suponha que h é injetiva de S para T a imagem de S sob h dessa forma a transformacao inversa x h7y existe para y T Se além disso h for diferencidvel sua derivada continua e nao se anula em T Entao a fdp fy de Y é dada por row grew ver fyy a 0 Caso contrario Afirmagao 3 V7 EXEMPLO 4 Se éuma va X N 107 y hx ax b onde ab Ra 4 0 sao constantes e Y aX b Desejamos determinar a fdp fy de Y Aqui a transformacao h R R satisfaz claramente as condicgoes do Teorema 2 Entao temos yb d il hYy e ghty Portanto 229 fry z 1 yan Viola 2a2o2 Concluise que fy é a fdp de va Y Nb ap ac 12 Exercicios Questao 1 Se X é uma va com fdp f dada por f fe Te 01230a1 Fx 0 Caso contrario Determine a fdp da va Y X 4 Questão 2 Se X Y são va representando as temperatura em de um certo objeto em Graus e Fahrenheit respectivamente sabese Y 9 5X 32 Se X Nµ σ2 determine a fdp de Y primeiro usando a função de densidade e depois diretamente Questão 3 Se uma va X Expλ encontre a fdp de cada uma das va Y eX e Z logX primeiro usando a função de densidade é depois diretamente Questão 4 Se uma va X Uα β Determine a fdp das seguintes va aX ba 0 1X 1 X2 1 eX logX para α 0 primeiro usando a função de densidade é depois diretamente Quais das fdp do item anterior ainda são válidas para α 0 e β 1 Questão 5 Se uma va X U π 2 π 2 mostre que a va Y tgX tem distribuição de Cauchy Encontre também a distribuição da va Z senX Questão 6 Se uma va X Gamaα β e Y 2X β mostre que Y χ2 2α dado que 2α é inteiro Questão 7 Se uma va X χ2 r faça Y X1 X and determine sua fdp Questão 8 Se uma va X tem distribuição de Cauchy Cauchy com µ 0eσ 1 mostre que a va Y tg1X U π 2 π 2 Questão 9 S X é uma va tem fdp f dada por fXx 1 2πx2e 1 2x2 5 mostre que a va Y 1X N01 Questao 10 Suponha que a velocidade X de uma molécula de massa m é uma va com ae distribuigao dada por pdf f given fx 20e 0 oo Dis tribuigéo de Maxwell Encontre a distribuigao da va Y mXY éa energia cinética da molécula Questao 11 Se uma va X N 107 mostra por meio de uma transformacao que a va Y 22H tem distribucao x 13 O Caso Multivariado O que foi discutido na segao anterior pode ser aplicado para o caso multidi mensional com as modificagoes apropriadas Teorema 3 Seja X XX7 um vetor n dimensional e seja h R R uma fungao de modo que Y hX éumr vetor aleatério Entao a distribuicgao Py do vetor aleatorio Y é determinado pela distribuicao Py do vetor aleatério X da seguinte forma para qualquer subconjunto B de R PyB PxA em que A h7B EXEMPLO 6 Sejam X 1 X va independentemente distribuidas com X 1 X Ua 83 Queremos determinar o a fungao de densidade da va Y X1 X2 Nos temos Fyy PX X2 Sy S Ser pgcyy fx x2 01 2de deg Da Figura abaixo obtemos 2ay28 Fyy Gaz onde A éa area da parte do quadrado situada a esquerda da linha 71 22 y Conforme a figura abaixo 6 XQ 28 rry SS t1QyY CX Yo NETTNP 2a 0 se y2a a se 2ayatQ8 Fyy 18 se 2a8y 2 1 se 26 y Observagao A fd de XX2 para quaisquer duas vas independentes nao necessariamente XX2 Ua chamado de convolugao das fds de X X2 e é denotado por Fy 4x Fx Fy Também escrevemos fxi4x2 fx fxg para a correspondente fdp Esses conceitos generalizam para qualquer ntimero finito de vas EXEMPLO 7 Sejam X Bn1p e X2 Bnep e independentes Seja Y X X2 e Y2 Xp Queremos encontrar a fdp conjunta de Z Y1Y2 e também a fdp marginal de Y e e a fdp condicional de Yj dado Y y Fyiyo1 2 PY1 1 Yo yo PX1 1 yo X2 Yr Pois X Y Yo e X Yo Além disso devido a independéncia temos 7 PX 1 Yo X2 y2 PX1 y1 y2 P Xo yp m yiy2 r1y1y2 np p 1 p x pm pe Y2 m1 ne YI 1 pritnreyi Cae CE one P Vejamos agora as condigdes que y e yo devem satisfazer Ll ny tney 2 0 2 yi yo 2 0 3 Yi Yo Sm 4 yo Ng Podemos sintetizar essas 4 condicoes na forma 1 O0y Snr N2 2 w max0y1 11 yo miny1n2 w fyi yy P Y1 Y1 S FyiyoY15 Y2 you n2 Y11 pritney Ny Ng Pn P YO JC y20 mn m n Ik rk Identidade de Vandermonde Usando a Identidade de Vandermonde concluimos que mn n1itn2 fylw 1 2 oma pmtnaw Y Logo Y X X2 Bn ng p Finalmente Ny ng Jperanyenn PY yoli yn 4B AE MT M2 nn apymtnen Y1 ny ng Yi Y2 Y2 mn Y 8 Esta é a fdp da Distribuigao Hipergeométrica que independe de p Teorema 3 Seja uma h uma transformacao definida de R R de modo que Y hX seja um vetor aleatério em R Suponha que A seja injetiva num conjunto S e T hS de modo que a transformagao inversa x hy gygny exista Vy T Supoese ainda que as derivativos parciais existem e sao continuas em T Entao a fdp fy de Y é dada por fyy 4 1X Ay 5 fx aly nly I y ET Y 0 Caso contrario onde o jacobiano J é uma fungao de y e é definido da seguinte maneira Gil Gir Gin ga g s Gan J 21 2 Qni Gn2 Ynn J detJ e é assumido como sendo diferente de 0 em T EXEMPLO 8 Sejam X 1 X va independentemente distribuidas com X 1 X Ua 83 Queremos determinar o a fdp da va Y X X2 Nos temos a 2129 B Ba aS 25 Pxyxa1 22 0 Caso contrario L1 LQ Fazendo Y XX2e Y2 Xo Considere a transformagao hx1 22 v 2 1 Y2 a 122 8 obtendose h g dada por gy1y2 y 2 1 1l cujo Jacobiano é dado por J o 1 J 1 9 x2 Y2 B h B al B v1 2a A XB 38 Yi a Se a S 12a 12 B b T y15Y2i M1 241 2354y2 x2 ComoghteS asyySsbeacp Bp ayBeayyase2ayat Pf e finalmente YwBSyBseat Boy 26 Com estes limites podemos definir as fungoes Boa 2ay 268 aywS8 apwB Syiye Y1 Y2 0 Caso contrario Y1a Yi 20 on dya 3 ay 2a cy Sat fy 1 28 Bua dyg 5 atBym 28 Ba nB 8 a 0 Caso contrario A distribuigao de Y é denominada distribuigao triangular Exemplo 11 Sejam X X2 var aleat independentes X1 X2 N0 1 Mostre que a fdp da va Y X1X tem distribuicdéo de cauchy com UO0ed 1istoé 10 11 fy 1 riggs R tL Fazendo Y a e Y2 Xo Considere a transformagao hx 22 2 2 obtendose h g dada por gy1 ye n cujo Jacobiano é dado 2 YW por J 0 1 J y2 Como oo 2122 0 0O YW Yo oo logo yiy2 43 Fyi2 41 Y2 fxX2 yiy2 y2ye me ly2 E portanto ive 95 1 f wits fy a e yodyp eo 2 yodys 00 0 Fazendo yitDys 2 2t z t temos y FF e 2y2dy2 Pa ou yedy2 pa 0to Com isso a integral resumese a ee dt 1 1 a eta aa7 edt 0 ytl myptl so Como edt1 0 ful Ign R 131 Aplicagao 2 As distribuicoes t e F A Distribucao tStudent A densidade da distribuigaéo t com r graus de liberdade t Sejam X e Y vaindependentes com X N01 e Y x vamos definir a va T da seguinte forma 11 T xJ Ava T conhecida como a distribuigao tStdent com r graus de liberdade e é denotada por t Vamos determinar a fdp de T 1 x fxt yee Fz e 1 y5Ve y 0 fyly T2E 0 y 0 Defina U Y e considere a transformagao hxy htu UY yu Cujo Jacobiano é dado por U t j Ve We Ja oY l Vt Usando o teorema de mudanga de varidveis para t R u 0 temos ea 1 Avr 1 ry u frut u Van 2 rape de 2 J 1p St 1 GDe v Vane rgjae Cove 1 1 4r411 tu Yom Fao 2 e 2e 2 tt Rr e V2ar 23 ue c Portanto 1 1 1 u t t GHD 804 dy m a DE Fazendo z1 temos u 221 eyt du 21 fldz z 0 0 12 3 r11 frt la a ew e dz 0 VanrT22 j1 2 1 2 V2 say zg VOnrT222 fy BysetD Jy Ce MONDE 1 2 rir 1 5 cap tER varg 1 2 A densidade da distribuigao F A densidade da distribuicdo F com rirq gl Se Y e Y sao var aleat independentes com distribuigéo x7 e x2 vamos definir F sp Ava F tem a distribuigaéo F com 1112 graus de liberdade gl e é frequentemente indicado por F Para determinar a sua fdp temos 1 gFVer3 XL 0 fxx no22 0 x0 e FVerF 0 fyy rept 0 y 0 Fagamos Z Y e consideremos a transformacao wa r wz yr2 r2 hxy htu ZY Yue Cujo Jacobiano é dado por My Tay re r2 ee J fs ee Para w z 0 obtemos 1 GY ony loo fwyw2 aa 2w em x Vera x ty T522 r2 322 rp ame rifra WEY cage yy Awe rytr rgyrg29 13 Agora vamos calcular fyyw ftw f frylw2d2 0 ra r2 Fw FY APR 5H g repyrcgy22 Jo Fazendo a substituicao 1 1 T2 T2 r2 Temos fw f fury 2d2 0 TL TI 1 21 rir2 wa 2 t ee 2t w1 e dz P2P2272 Jo rp r r2 2 wot bot 1 3 1pt Zw 1 dz a 2 es Ee T2r2273 z JO i 2 2 2 2w 4 1 TL Ty rir2 wa l crite yy fww ryr2 mae edt 2 2 r 2 aw 1 rife WE DA 7 TP 22 ritr2 3 2w 1 2 Protanto PAS rifr wD my 2 rire fww MG in w nwtl 0 x0 14 14 Exercícios 15 Transformações Lineares de Vetores Alea tórios 15