Fundamentos de Física - Décima Edição: Gravitação, Ondas e Termodinâmica

Halliday Resnick FUNDAMENTOS DE FÍSICA O GEN Grupo Editorial Nacional a maior plataforma editorial no segmento CTP científico técnico e profissional publica nas áreas de saúde ciências exatas jurídicas sociais aplicadas humanas e de concursos além de prover serviços direcionados a educação capacitação médica continuada e preparação para concursos Conheça nosso catálogo composto por mais de cinco mil obras e três mil ebooks em wwwgrupogencombr As editoras que integram o GEN respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração Direito Engenharia Enfermagem Fisioterapia Medicina Odontologia Educação Física e muitas outras ciências tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuílo de maneira flexível e conveniente a preços justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e acionistas Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Gravitação Ondas e Termodinâmica JEARL WALKER CLEVELAND STATE UNIVERSITY Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi PhD Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia IME Os autores e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bem vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS VOLUME 1 TENTH EDITION Copyright 2014 2011 2008 2005 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118233764 Volume 1 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Capa MarCom GEN Produção digital Geethik CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ H691f 10 ed v 2 Halliday David 19162010 Fundamentos de física volume 2 gravitação ondas e termodinâmica David Halliday Robert Resnick Jearl Walker tradução Ronaldo Sérgio de Biasi 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 il 28 cm Tradução de Fundamentals of physics 10th ed Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521632061 1 Gravitação 2 Ondas Física 3 Física I Resnick Robert 19232014 II Walker Jearl 1945 III Biasi Ronaldo Sérgio de IV Título 1629720 CDD 530 CDU 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 SUMÁRIO GERAL VOLUME 1 Medição Movimento Retilíneo Vetores Movimento em Duas e Três Dimensões Força e Movimento I Força e Movimento II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas I Ondas II Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 A Lei de Coulomb Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Capacitância Corrente e Resistência Circuitos Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks Léptons e o Big Bang 121 122 123 131 132 133 134 135 136 SUMÁRIO 12 Equilíbrio e Elasticidade EQUILÍBRIO O que É Física Equilíbrio As Condições de Equilíbrio O Centro de Gravidade ALGUNS EXEMPLOS DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático ELASTICIDADE Estruturas Indeterminadas Elasticidade REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 13 Gravitação A LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON O que É Física A Lei da Gravitação de Newton GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Gravitação e o Princípio da Superposição A GRAVITAÇÃO PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA A Gravitação Perto da Superfície da Terra A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA A Gravitação no Interior da Terra ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Energia Potencial Gravitacional PLANETAS E SATÉLITES AS LEIS DE KEPLER Planetas e Satélites As Leis de Kepler 137 138 141 142 143 144 145 146 147 151 SATÉLITES ÓRBITAS E ENERGIAS Satélites Órbitas e Energias EINSTEIN E A GRAVITAÇÃO Einstein e a Gravitação REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 14 Fluidos MASSA ESPECÍFICA E PRESSÃO DOS FLUIDOS O que É Física O que É um Fluido Massa Específica e Pressão FLUIDOS EM REPOUSO Fluidos em Repouso MEDIDORES DE PRESSÃO Medidores de Pressão O PRINCÍPIO DE PASCAL O Princípio de Pascal O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES O Princípio de Arquimedes A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE Fluidos Ideais em Movimento A Equação de Continuidade A EQUAÇÃO DE BERNOULLI A Equação de Bernoulli REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 15 Oscilações MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES O que É Física Movimento Harmônico Simples 152 153 154 155 156 161 162 163 164 165 A Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples A ENERGIA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES A Energia do Movimento Harmônico Simples O OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR SIMPLES O Oscilador Harmônico Angular Simples PÊNDULOS E MOVIMENTO CIRCULAR Pêndulos Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES AMORTECIDO Movimento Harmônico Simples Amortecido OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Oscilações Forçadas e Ressonância REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 16 Ondas I ONDAS TRANSVERSAIS O que É Física Tipos de Ondas Ondas Transversais e Longitudinais Comprimento de Onda e Frequência A Velocidade de uma Onda Progressiva VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA Velocidade da Onda em uma Corda Esticada ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDA PROGRESSIVA EM UMA CORDA Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda A EQUAÇÃO DE ONDA A Equação de Onda INTERFERÊNCIA DE ONDAS O Princípio da Superposição de Ondas Interferência de Ondas 166 167 171 172 173 174 175 176 177 178 181 FASORES Fasores ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA Ondas Estacionárias Ondas Estacionárias e Ressonância REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 17 Ondas II A VELOCIDADE DO SOM O que É Física Ondas Sonoras A Velocidade do Som ONDAS SONORAS PROGRESSIVAS Ondas Sonoras Progressivas INTERFERÊNCIA Interferência INTENSIDADE E NÍVEL SONORO Intensidade e Nível Sonoro FONTES DE SONS MUSICAIS Fontes de Sons Musicais BATIMENTOS Batimentos O EFEITO DOPPLER O Efeito Doppler VELOCIDADES SUPERSÔNICAS E ONDAS DE CHOQUE Velocidades Supersônicas e Ondas de Choque REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 18 Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica TEMPERATURA 182 183 184 185 186 191 192 193 194 195 O que É Física Temperatura A Lei Zero da Termodinâmica Medida da Temperatura AS ESCALAS CELSIUS E FAHRENHEIT As Escalas Celsius e Fahrenheit DILATAÇÃO TÉRMICA Dilatação Térmica ABSORÇÃO DE CALOR Temperatura e Calor A Absorção de Calor por Sólidos e Líquidos A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Calor e Trabalho A Primeira Lei da Termodinâmica Alguns Casos Especiais da Primeira Lei da Termodinâmica MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Mecanismos de Transferência de Calor REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 19 A Teoria Cinética dos Gases O NÚMERO DE AVOGADRO O que É Física O Número de Avogadro GASES IDEAIS Gases Ideais PRESSÃO TEMPERATURA E VELOCIDADE MÉDIA QUADRÁTICA Pressão Temperatura e Velocidade Média Quadrática ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO Energia Cinética de Translação LIVRE CAMINHO MÉDIO Livre Caminho Médio 196 197 198 199 201 202 203 204 A B C D A DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES DAS MOLÉCULAS A Distribuição de Velocidades das Moléculas OS CALORES ESPECÍFICOS MOLARES DE UM GÁS IDEAL Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal GRAUS DE LIBERDADE E CALORES ESPECÍFICOS MOLARES Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares Efeitos Quânticos A EXPANSÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL A Expansão Adiabática de um Gás Ideal REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 20 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica ENTROPIA O que É Física Processos Irreversíveis e Entropia Variação de Entropia A Segunda Lei da Termodinâmica ENTROPIA NO MUNDO REAL MÁQUINAS TÉRMICAS Entropia no Mundo Real Máquinas Térmicas REFRIGERADORES E MÁQUINAS TÉRMICAS REAIS Entropia no Mundo Real Refrigeradores A Eficiência de Máquinas Térmicas Reais UMA VISÃO ESTATÍSTICA DA ENTROPIA Uma Visão Estatística da Entropia REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades SI Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão E F G Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado me perguntou de repente O que isso tem a ver com minha vida Respondi prontamente Sharon isto é física Tem tudo a ver com a sua vida A moça me pediu um exemplo Pensei muito mas não consegui encontrar nenhum Nessa noite criei O Circo Voador da Física para Sharon mas também para mim porque percebi que o problema de Sharon também era meu Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções mas alguma coisa estava faltando A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real A diversão estava faltando Procurei incluir muita física do mundo real neste livro ligandoo à nova edição de O Circo Voador da Física LTC 2012 Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas onde posso julgar pelas expressões e comentários dos alunos quais são os assuntos e as apresentações que funcionam As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário Sim você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão Tive muitos objetivos ao escrever este livro mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos identificar conceitos fundamentais pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos Esse processo não é fácil nem para os alunos nem para os professores Na verdade o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo Entretanto pode ser também um dos mais interessantes pois revela os mecanismos fundamentais do mundo responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia Muitos usuários da nona edição professores e alunos enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição A editora John Wiley Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores Sintase à vontade para enviar sugestões correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley Sons1 ou Jearl Walker endereço postal Physics Department Cleveland State University Cleveland OH 44115 USA endereço do meu site wwwflyingcircusofphysicscom Talvez não seja possível responder a todas as sugestões mas lemos e consideramos cada uma delas O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO Módulos e Objetivos do Aprendizado O que eu deveria ter aprendido nesta seção Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas independentemente de serem bons ou maus alunos O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade Nesta edição para minimizar o problema dividi os capítulos em módulos conceituais dedicados a temas básicos e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideiaschave que também devem ser assimiladas Para você ter uma noção de como o sistema funciona observe o primeiro módulo do Capítulo 16 em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos reescrevi boa parte do texto Assim por exemplo introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideiaschave Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial Atendendo a sugestões de vários professores separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr se assim desejar sem prejudicar a compreensão do assunto Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck Novos Exemplos Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos Além disso cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro a pedido de vários professores 1Sugestões correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltcgrupogencombr AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro SenBen Liao do Lawrence Livermore National Laboratory James Whitenton da Southern Polytechnic State University e Jerry Shi do Pasadena City College foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro Na John Wiley o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson Geraldine Osnato e Aly Rentrop os editores que o supervisionaram do início ao fim Agradecemos a Elizabeth Swain a editora de produção por juntar as peças durante o complexo processo de produção Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa a Lee Goldstein pela diagramação da capa a Helen Walden pelo copidesque e a Lilian Brady pela revisão Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes Tanto a editora John Wiley Sons Inc como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições Jonathan Abramson Portland State University Omar Adawi Parkland College Edward Adelson The Ohio State University Steven R Baker Naval Postgraduate School George Caplan Wellesley College Richard Kass The Ohio State University MR Khoshbin eKhoshnazar Research Institution for Curriculum Development Educational Innovations Teerã Craig Kletzing University of Iowa Stuart Loucks American River College Laurence Lurio Northern Illinois University Ponn Maheswaranathan Winthrop University Joe McCullough Cabrillo College Carl E Mungan U S Naval Academy Don N Page University of Alberta Elie Riachi Fort Scott Community College Andrew G Rinzler University of Florida Dubravka Rupnik Louisiana State University Robert Schabinger Rutgers University Ruth Schwartz Milwaukee School of Engineering Carol Strong University of Alabama at Huntsville Nora Thornber Raritan Valley Community College Frank Wang LaGuardia Community College Graham W Wilson University of Kansas Roland Winkler Northern Illinois University William Zacharias Cleveland State University Ulrich Zurcher Cleveland State University Finalmente nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos Maris A Abolins Michigan State University Edward Adelson Ohio State University Nural Akchurin Texas Tech Yildirim Aktas University of North CarolinaCharlotte Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil Northeastern University Richard Barber Santa Clara University Neil Basecu Westchester Community College Anand Batra Howard University Kenneth Bolland The Ohio State University Richard Bone Florida International University Michael E Browne University of Idaho Timothy J Burns Leeward Community College Joseph Buschi Manhattan College Philip A Casabella Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton Christopher Newport College Roger Clapp University of South Florida W R Conkie Queens University Renate Crawford University of MassachusettsDartmouth Mike Crivello San Diego State University Robert N Davie Jr St Petersburg Junior College Cheryl K Dellai Glendale Community College Eric R Dietz California State University at Chico N John DiNardo Drexel University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnati F Paul Esposito University of Cincinnati Jerry Finkelstein San Jose State University Robert H Good California State UniversityHayward Michael Gorman University of Houston Benjamin Grinstein University of California San Diego John B Gruber San Jose State University Ann Hanks American River College Randy Harris University of CaliforniaDavis Samuel Harris Purdue University Harold B Hart Western Illinois University Rebecca Hartzler Seattle Central Community College John Hubisz North Carolina State University Joey Huston Michigan State University David Ingram Ohio University Shawn Jackson University of Tulsa Hector Jimenez University of Puerto Rico Sudhakar B Joshi York University Leonard M Kahn University of Rhode Island Sudipa Kirtley RoseHulman Institute Leonard Kleinman University of Texas at Austin Craig Kletzing University of Iowa Peter F Koehler University of Pittsburgh Arthur Z Kovacs Rochester Institute of Technology Kenneth Krane Oregon State University Hadley Lawler Vanderbilt University Priscilla Laws Dickinson College Edbertho Leal Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg Rochester Institute of Technology Peter Loly University of Manitoba James MacLaren Tulane University Andreas Mandelis University of Toronto Robert R Marchini Memphis State University Andrea Markelz University at Buffalo SUNY Paul Marquard Caspar College David Marx Illinois State University Dan Mazilu Washington and Lee University James H McGuire Tulane University David M McKinstry Eastern Washington University Jordon Morelli Queens University Eugene Mosca United States Naval Academy Eric R Murray Georgia Institute of Technology School of Physics James Napolitano Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum University of Virginia Michael OShea Kansas State University Patrick Papin San Diego State University Kiumars Parvin San Jose State University Robert Pelcovits Brown University Oren P Quist South Dakota State University Joe Redish University of Maryland Timothy M Ritter University of North Carolina at Pembroke Dan Styer Oberlin College Frank Wang LaGuardia Community College Robert Webb Texas AM University Suzanne Willis Northern Illinois University Shannon Willoughby Montana State University FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Gravitação Ondas e Termodinâmica Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Aulas em PowerPoint restrito a docentes Ensaios de Jearl Walker em pdf acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Manuais das Calculadoras Gráficas TI86 TI89 em pdf acesso livre Respostas das perguntas em pdf restrito a docentes Respostas dos problemas em pdf restrito a docentes Simulações acesso livre Soluções dos Problemas Manual em pdf restrito a docentes Testes Conceituais restrito a docentes Testes em Múltipla Escolha restrito a docentes Testes em PowerPoint restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgen iogrupogencombr GENIO GEN Informação Online é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN Grupo Editorial Nacional maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científicotécnicoprofissional composto por Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método Atlas LTC EPU e Forense Universitária Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem CAPÍTULO 12 Equilíbrio e Elasticidade 121 EQUILÍBRIO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1201 Conhecer a diferença entre equilíbrio e equilíbrio estático 1202 Conhecer as condições do equilíbrio estático 1203 Saber o que é o centro de gravidade e qual é a relação entre o centro de gravidade e o centro de massa 1204 Dada uma distribuição de partículas calcular as coordenadas do centro de gravidade e do centro de massa IdeiasChave Dizemos que um corpo rígido em repouso está em equilíbrio estático Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo é zero Se todas as forças estão no plano xy essa equação vetorial é equivalente a duas equações para as componentes x e y Fresx 0 e Fresy 0 equilíbrio de forças Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo também é zero Se todas as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e essa equação vetorial é equivalente a uma equação para a componente z τresz 0 equilíbrio de torques A força gravitacional atua simultaneamente sobre todos os elementos de massa do corpo O efeito total pode ser calculado imaginando que uma força gravitacional total equivalente age sobre o centro de gravidade do corpo Se a aceleração gravitacional é a mesma para todos os elementos do corpo o centro de gravidade coincide com o centro de massa O que É Física As obras civis devem ser estáveis apesar das forças a que são submetidas Um edifício por exemplo deve permanecer estável mesmo na presença da força da gravidade e da força do vento uma ponte deve permanecer estável mesmo na presença da força da gravidade e dos repetidos solavancos que recebe de carros e caminhões Um dos objetivos da física é conhecer o que faz com que um objeto permaneça estável na presença de 1 2 forças Neste capítulo examinamos os dois aspectos principais da estabilidade o equilíbrio das forças e torques que agem sobre objetos rígidos e a elasticidade dos objetos não rígidos uma propriedade que determina o modo como objetos desse tipo se deformam Quando usada corretamente essa física é assunto de artigos em revistas de física e de engenharia quando usada incorretamente é assunto de manchetes de jornal e pendências judiciais Equilíbrio Considere os seguintes objetos 1 um livro em repouso sobre uma mesa 2 um disco de metal que desliza com velocidade constante em uma superfície sem atrito 3 as pás de um ventilador de teto girando e 4 a roda de uma bicicleta que se move em uma estrada retilínea com velocidade constante Para cada um desses objetos O momento linear de centro de massa é constante O momento angular em relação ao centro de massa ou em relação a qualquer outro ponto também é constante Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio Os dois requisitos para o equilíbrio são portanto Kanwarjit Singh BoparaiShutterstock Figura 121 Uma pedra em equilíbrio Embora a sustentação pareça precária a pedra está em equilíbrio estático Neste capítulo vamos tratar de situações em que as constantes na Eq 121 são nulas ou seja vamos tratar principalmente de objetos que não se movem nem em translação nem em rotação no sistema de referência em que estão sendo observados Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio estático Dos quatro objetos mencionados no início deste módulo apenas um o livro em repouso sobre a mesa está em equilíbrio estático A pedra da Fig 121 é outro exemplo de um objeto que pelo menos no momento em que foi fotografado está em equilíbrio estático Ele compartilha essa propriedade com um número incontável de outras estruturas como catedrais casas mesas de jantar e postos de gasolina que permanecem em repouso por um tempo indefinido Como foi discutido no Módulo 83 se um corpo retorna ao mesmo estado de equilíbrio estático após ter sido deslocado pela ação de uma força dizemos que o corpo está em equilíbrio estático estável Um exemplo é uma bola de gude colocada no fundo de uma vasilha côncava Se por outro lado uma pequena força é suficiente para deslocar o corpo de forma permanente dizemos que o corpo está em equilíbrio estático instável Uma Peça de Dominó Suponha por exemplo que equilibramos uma peça de dominó com o centro de massa na vertical em relação a uma aresta de apoio como na Fig 122a O torque em relação à aresta de apoio devido à força gravitacional g que age sobre o dominó é zero porque a linha de ação de g passa pela aresta Assim o dominó está em equilíbrio Evidentemente basta uma pequena força para romper o equilíbrio Quando a linha de ação de é deslocada para um dos lados da aresta de apoio como na Fig 122b o torque produzido por g faz o dominó girar até atingir uma posição de equilíbrio diferente da anterior Assim o dominó da Fig 122a está em uma situação de equilíbrio estático instável O caso do dominó da Fig 122c é diferente Para que o dominó tombe a força tem que fazêlo girar além da posição de equilíbrio da Fig 122a na qual o centro de massa está acima de uma aresta de apoio Uma força muito pequena não é capaz de derrubar este dominó mas um piparote com o dedo certamente o fará Se arrumarmos vários dominós em fila um piparote no primeiro poderá provocar a queda de toda a fila Um Cubo O cubo de brinquedo da Fig 122d é ainda mais estável já que o centro de massa tem que ser muito deslocado para passar além de uma aresta de apoio Um simples piparote não faz o cubo tombar É por isso que nunca se vê alguém derrubar uma fileira de cubos O operário da Fig 123 tem algo em comum tanto com o dominó como com o cubo Paralelamente à viga os pontos extremos de contato dos pés com a viga estão afastados e o operário está em equilíbrio estável perpendicularmente à viga os pontos extremos de contato estão muito próximos e o operário está em equilíbrio instável e à mercê de uma rajada de vento A análise do equilíbrio estático é muito importante para os engenheiros Um engenheiro projetista precisa identificar todas as forças e torques externos a que uma estrutura pode ser submetida e por meio de um projeto benfeito e uma escolha adequada de materiais assegurar que a estrutura permaneça estável sob o efeito das cargas Uma análise desse tipo é necessária por exemplo para garantir que uma ponte não vai desabar em um dia de ventania e que o trem de pouso de um avião vai resistir a uma aterrissagem forçada Figura 122 a Um dominó equilibrado em uma aresta com o centro de massa verticalmente acima da aresta A linha de ação da força gravitacional g a que o dominó está submetido passa pela aresta de apoio b Se o dominó sofre uma rotação ainda que pequena a partir da orientação de equilíbrio g produz um torque que aumenta a rotação c Um dominó apoiado no lado estreito está em uma situação um pouco mais estável do que a do dominó mostrado em a d Um cubo é ainda mais estável Robert BrennerPhotoEdit Figura 123 Um operário de pé em uma viga está em equilíbrio estático mas sua posição é mais estável na direção paralela à viga que na direção perpendicular As Condições de Equilíbrio O movimento de translação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para translações Eq 9 27 Se o corpo está em equilíbrio para translações ou seja se é uma constante e temos 1 2 O movimento de rotação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para rotações Eq 11 29 Se o corpo está em equilíbrio para rotações ou seja se é uma constante e temos Assim os requisitos para que um corpo esteja em equilíbrio são os seguintes A soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula A soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo medidos em relação a qualquer ponto deve ser nula Esses requisitos obviamente valem para o equilíbrio estático Entretanto valem também para o caso de equilíbrio mais geral no qual e são constantes mas diferentes de zero As Eqs 123 e 125 como qualquer equação vetorial são equivalentes cada uma a três equações independentes uma para cada eixo do sistema de coordenadas As Equações Principais Vamos simplificar o problema considerando apenas situações nas quais as forças que agem sobre o corpo estão no plano xy Isso significa dizer que os torques que agem sobre o corpo tendem a provocar rotações apenas em torno de eixos paralelos ao eixo z Com essa suposição eliminamos uma equação de força e duas equações de torque das Eqs 126 ficando com 3 Aqui é o torque resultante que as forças externas produzem em relação ao eixo z ou em relação a qualquer eixo paralelo ao eixo z Um disco metálico que desliza no gelo com velocidade constante satisfaz as Eqs 127 128 e 129 e está portanto em equilíbrio mas não está em equilíbrio estático Para que o equilíbrio seja estático o momento linear do disco deve ser zero ou seja o disco deve estar em repouso em relação ao gelo Assim existe um outro requisito para o equilíbrio estático O momento linear do corpo deve ser nulo Teste 1 A figura mostra seis vistas superiores de uma barra homogênea sobre a qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente à maior dimensão da barra Se os módulos das forças são ajustados adequadamente mas mantidos diferentes de zero em que situações a barra pode estar em equilíbrio estático O Centro de Gravidade A força gravitacional que age sobre um corpo é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos átomos do corpo Em vez de considerar todos esses elementos podemos dizer o seguinte A força gravitacional g age efetivamente sobre um único ponto de um corpo o chamado centro de gravidade CG do corpo A palavra efetivamente significa que se as forças que agem sobre os elementos do corpo fossem de alguma forma desligadas e uma força aplicada ao centro de gravidade fosse ligada a força resultante e o torque resultante em relação a qualquer ponto seriam os mesmos Até agora supusemos que a força gravitacional era aplicada ao centro de massa CM do corpo Isso equivale a supor que o centro de gravidade coincide com o centro de massa Lembrese de que para um corpo de massa M a força g é igual a M em que é a aceleração que a força produziria se o corpo estivesse em queda livre Na demonstração a seguir provamos que Se é igual para todos os elementos de um corpo o centro de gravidade CG do corpo coincide com o centro de massa CM A hipótese anterior é aproximadamente verdadeira para os objetos comuns já que varia muito pouco na superfície terrestre e diminui apenas ligeiramente com a altitude Assim no caso de objetos como um rato ou um boi podemos supor que a força gravitacional age no centro de massa Após a demonstração a seguir passaremos a usar essa hipótese Figura 124 a Um elemento de massa mi em um corpo de dimensões finitas A força gravitacional gi a que o elemento está submetido tem um braço de alavanca xi em relação à origem O do sistema de coordenadas b Dizemos que a força gravitacional g g a que um corpo está submetido age sobre o centro de gravidade CG do corpo Neste caso o braço de alavanca de g é xCG em relação à origem O Demonstração Vamos considerar primeiro os elementos do corpo A Fig 124a mostra um corpo de massa M e um dos elementos do corpo de massa mi Uma força gravitacional g age sobre o elemento e é igual a mi i O índice de i significa que i é a aceleração da gravidade na posição do elemento i ela pode ser diferente para outros elementos Na Fig 124a cada força gi produz um torque τi sobre o elemento i em relação à origem O com braço de alavanca xi Usando a Eq 1041 τ rF podemos escrever o torque τi na forma O torque resultante para todos os elementos do corpo é portanto Vamos agora considerar o corpo como um todo A Fig 124b mostra a força gravitacional g atuando no centro de gravidade do corpo A força produz um torque τ sobre o corpo em relação a O com um braço de alavanca xCG Usando novamente a Eq 1041 podemos escrever o torque na forma Como a força gravitacional g a que o corpo está submetido é igual à soma das forças gravitacionais gi que agem sobre todos os elementos podemos substituir Fg por ΣFgi na Eq 1212 e escrever Acontece que o torque produzido pela aplicação da força g ao centro de gravidade é igual ao torque resultante das forças gi aplicadas a todos os elementos do corpo Foi assim que definimos o centro de gravidade Assim τ na Eq 1213 é igual a τres na Eq 1211 Combinando as duas equações podemos escrever xCGFgi xiFgi Substituindo Fgi por migi obtemos Vamos agora usar uma ideiachave Se as acelerações gi para todos os elementos são iguais podemos cancelar gi na Eq 214 e escrever Como a soma Σmi das massas dos elementos é a massa M do corpo podemos escrever a Eq 1215 como O lado direito da Eq 1216 é a coordenada xCM do centro de massa do corpo Eq 94 Chegamos portanto à igualdade que queríamos demonstrar Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos de um corpo as coordenadas do centro de massa e do centro de gravidade são iguais 122 ALGUNS EXEMPLOS DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1205 Aplicar as condições de força e de torque para o equilíbrio estático 1206 Saber que uma escolha criteriosa da origem em relação à qual os torques serão calculados pode simplificar os cálculos eliminando uma ou mais forças desconhecidas da equação do torque IdeiasChave Dizemos que um corpo rígido em repouso está em equilíbrio estático Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo é zero Se todas as forças estão no plano xy essa equação vetorial é equivalente a duas equações para as componentes x e y Fresx 0 e Fresy 0 equilíbrio de forças Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo também é zero Se todas as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e essa equação vetorial é equivalente a uma equação para a componente z τresz 0 equilíbrio de torques Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático Neste módulo são discutidos vários problemas que envolvem o equilíbrio estático Em cada um desses problemas aplicamos as equações do equilíbrio Eqs 127 128 e 129 a um sistema constituído por um ou mais objetos As forças envolvidas estão todas no plano xy o que significa que os torques são paralelos ao eixo z Assim ao aplicarmos a Eq 129 que estabelece o equilíbrio dos torques escolhemos um eixo paralelo ao eixo z como referência para calcular os torques Embora a Eq 129 seja satisfeita para qualquer eixo de referência certas escolhas simplificam a aplicação da equação eliminando um ou mais termos associados a forças desconhecidas Teste 2 A figura mostra uma vista de cima de uma barra homogênea em equilíbrio estático a É possível determinar o módulo das forças desconhecidas 1 e 2 equilibrando as forças b Se você está interessado em determinar o módulo da força 2 usando uma equação de equilíbrio de torques onde você deve colocar o eixo de rotação para eliminar 2 da equação c Se o módulo de 2 é 65 N qual é o módulo de 1 Exemplo 1201 Equilíbrio de uma viga horizontal Na Fig 125a uma viga homogênea de comprimento L e massa m 18 kg está apoiada em duas balanças Um bloco homogêneo de massa M 27 kg está apoiado na viga com o centro a uma distância L4 da extremidade esquerda da viga Quais são as leituras das balanças IDEIASCHAVE A melhor tática para resolver qualquer problema de equilíbrio estático consiste em antes de mais nada definir claramente o sistema a ser analisado e a desenhar um diagrama de corpo livre no qual apareçam todas as forças externas que agem sobre o sistema Neste caso vamos escolher o sistema como a viga e o bloco tomados em conjunto As forças que agem sobre o sistema são mostradas no diagrama de corpo livre da Fig 125b Escolher o sistema exige experiência e frequentemente existe mais de uma escolha adequada Como o sistema está em equilíbrio estático podemos usar as equações de equilíbrio de forças Eqs 127 e 128 e a equação de equilíbrio de torques Eq 129 Cálculos As forças normais exercidas pelas balanças sobre a viga são do lado esquerdo e do lado direito As leituras das balanças que desejamos determinar são iguais aos módulos dessas forças A força gravitacional a que a viga está submetida está aplicada ao centro de massa e é igual a Analogamente a força gravitacional a que o bloco está submetido está aplicada ao centro de massa e é igual a Para simplificar a Fig 125b o bloco foi representado por um ponto da viga e foi desenhada com a origem na viga Esse deslocamento do vetor ao longo da linha de ação não altera o torque produzido por em relação a qualquer eixo perpendicular à figura Como as forças não possuem componentes x a Eq 127 Fresx 0 não fornece nenhuma informação No caso das componentes y a Eq 128 Fresy 0 pode ser escrita na forma Como a Eq 1218 contém duas incógnitas as forças Fe e Fd precisamos usar também a Eq 129 a equação de equilíbrio dos torques Podemos aplicála a qualquer eixo de rotação perpendicular ao plano da Fig 125 Vamos escolher um eixo de rotação passando pela extremidade esquerda da viga Usaremos também nossa regra geral para atribuir sinais aos torques Se um torque tende a fazer um corpo inicialmente em repouso girar no sentido horário o torque é negativo se o torque tende a fazer o corpo girar no sentido antihorário o torque é positivo Finalmente vamos escrever os torques na forma rF em que o braço de alavanca r é 0 para L4 para M L2 para m e L para Podemos agora escrever a equação do equilíbrio τresz 0 como 0Fe L4Mg L2mg LFd 0 o que nos dá Explicitando Fe na Eq 1218 e substituindo os valores conhecidos obtemos Figura 125 a Uma viga de massa m sustenta um bloco de massa M b Diagrama de corpo livre mostrando as forças que agem sobre o sistema viga bloco Observe a estratégia usada na solução Quando escrevemos uma equação para o equilíbrio das componentes das forças esbarramos em duas incógnitas Se tivéssemos escrito uma equação para o equilíbrio de torques em torno de um eixo qualquer teríamos esbarrado nas mesmas duas incógnitas Entretanto como escolhemos um eixo que passava pelo ponto de aplicação de uma das forças desconhecidas a dificuldade foi contornada Nossa escolha eliminou da equação do torque permitindo que obtivéssemos o módulo da outra força Fd Em seguida voltamos à equação do equilíbrio de forças para calcular o módulo da outra força Exemplo 1202 Equilíbrio de uma lança de guindaste A Fig 126a mostra um cofre de massa M 430 kg pendurado por uma corda presa a uma lança de guindaste de dimensões a 19 m e b 25 m A lança é composta por uma viga articulada e um cabo horizontal A viga feita de material homogêneo tem massa m de 85 kg as massas do cabo e da corda são desprezíveis a Qual é a tração Tcabo do cabo Em outras palavras qual é o módulo da força exercida pelo cabo sobre a viga IDEIASCHAVE O sistema neste caso é apenas a viga forças a que a viga está submetida são mostradas no diagrama de corpo livre da Fig 126b A força exercida pelo cabo é A força gravitacional que age sobre a viga está aplicada ao centro de massa situado no centro da viga e foi representada pela força equivalente m A componente vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga é e a componente horizontal é A força exercida pela corda que sustenta o cofre é Como a viga a corda e o cofre estão em repouso o módulo de é igual ao peso do cofre Tcorda Mg Posicionamos a origem O de um sistema de coordenadas xy na dobradiça Como o sistema está em equilíbrio estático as equações de equilíbrio podem ser usadas Cálculos Vamos começar pela Eq 129 τresz 0 Note que o enunciado pede o módulo da força mas não os módulos das forças e que agem sobre a dobradiça no ponto O Para eliminar e do cálculo do torque basta determinar os torques em relação a um eixo perpendicular ao papel passando pelo ponto O Nesse caso e têm braços de alavanca nulos As linhas de ação de e m estão indicadas por retas tracejadas na Fig 126b Os braços de alavanca correspondentes são a b e b2 Escrevendo os torques na forma rF e usando nossa regra para os sinais dos torques a equação de equilíbrio τresz 0 se torna Substituindo Tcorda por Mg e explicitando Tcabo obtemos b Determine o módulo F da força exercida pela dobradiça sobre a viga IDEIACHAVE Agora precisamos conhecer Fh e Fv para combinálas e calcular F Como já conhecemos Tcabo vamos aplicar à viga as equações de equilíbrio de forças Cálculos No caso do equilíbrio na horizontal escrevemos Fresx 0 como e portanto Fh Tcabo 6093 N Figura 126 a Um cofre está pendurado em uma lança de guindaste composta por uma viga homogênea e um cabo de aço horizontal b Diagrama de corpo livre da viga No caso do equilíbrio na vertical escrevemos Fresy 0 como Fv mg Tcorda 0 Substituindo Tcorda por Mg e explicitando Fv obtemos Fv m Mg 85 kg 430 kg98 ms2 5047 N De acordo com o teorema de Pitágoras temos Note que F é bem maior que a soma dos pesos do cofre e da viga 5000 N e que a tração do cabo horizontal 6100 N Exemplo 1203 Equilíbrio de uma escada Na Fig 127a uma escada de comprimento L 12 m e massa m 45 kg está encostada em um muro liso sem atrito A extremidade superior da escada está a uma altura h 93 m acima do piso no qual a escada está apoiada existe atrito entre a escada e o piso O centro de massa da escada está a uma distância L3 da extremidade inferior Um bombeiro de massa M 72 kg sobe na escada até que seu centro de massa esteja a uma distância L2 da extremidade inferior Quais são nesse instante os módulos das forças exercidas pelo muro e pelo piso sobre a escada IDEIASCHAVE Para começar escolhemos nosso sistema como o conjunto bombeiroescada e desenhamos o diagrama de corpo livre da Fig 12 7b Como o sistema está em equilíbrio estático as equações de equilíbrio de forças e de torques Eqs 127 a 129 podem ser usadas Cálculos Na Fig 127b o bombeiro está representado por um ponto no meio da escada O peso do bombeiro é representado pelo vetor equivalente M que foi deslocado ao longo da linha de ação para que a origem coincidisse com o ponto que representa o bombeiro Como o deslocamento não altera o torque produzido por M em relação a eixos perpendiculares à figura não afeta a equação de equilíbrio dos torques que será usada a seguir Como não há atrito entre a escada e o muro a única força exercida pelo muro sobre a escada é a força horizontal A força exercida pelo piso sobre a escada tem uma componente horizontal que é uma força de atrito estática e uma componente vertical que é uma força normal Para aplicarmos as equações de equilíbrio vamos começar com a Eq 129 τresz 0 Para escolher o eixo em relação ao qual vamos calcular os torques note que temos forças desconhecidas e nas duas extremidades da escada Para eliminar digamos dos cálculos colocamos o eixo no ponto O perpendicular ao papel Fig 127b Colocamos também a origem de um sistema de coordenadas xy em O Uma escolha criteriosa da origem do sistema de coordenadas pode facilitar consideravelmente o cálculo dos torques Podemos calcular os torques em relação a O usando qualquer uma das Eqs 1039 a 1041 mas a Eq 1041 τ rF é a mais fácil de usar neste caso Para determinar o braço de alavanca r de desenhamos a linha de ação do vetor reta horizontal tracejada da Fig 12 7c r é a distância perpendicular entre O e a linha de ação Na Fig 127c r está no eixo y e é igual à altura h Também desenhamos linhas de ação para M e m e constatamos que os braços de alavanca das duas forças estão no eixo x Para a distância a mostrada na Fig 127a os braços de alavanca são a2 o bombeiro está no ponto médio da escada e a3 o CM da escada está a um terço do comprimento a partir da extremidade inferior respectivamente Os braços de alavanca de e são nulos porque a origem está situada no ponto de aplicação das duas forças Com os torques escritos na forma rF a equação de equilíbrio τresz 0 assume a forma Lembrese da nossa regra um torque positivo corresponde a uma rotação no sentido antihorário e um torque negativo corresponde a uma rotação no sentido horário Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pela escada o muro e o piso na Fig 117a obtemos Assim a Eq 1221 nos dá Figura 127 a Um bombeiro sobe metade de uma escada que está encostada em uma parede sem atrito O piso no qual a escada está apoiada tem atrito b Diagrama de corpo livre mostrando as forças que agem sobre o sistema bombeiro escada A origem O de um sistema de coordenadas é colocada no ponto de aplicação da força desconhecida cujas componentes e aparecem na figura c Cálculo dos torques d Equilíbrio das forças Para determinar a força exercida pelo piso usamos as equações de equilíbrio de forças A equação Fresx 0 nos dá Fm Fpx 0 e portanto Fpx Fm 410 N Resposta A equação Fresy 0 nos dá Fpy Mg mg 0 e portanto Fpy M mg 72 kg 45 kg98 ms2 11466 N 1100 N Resposta Exemplo 1204 Equilíbrio da Torre de Pisa Suponha que a Torre de Pisa seja modelada por um cilindro oco homogêneo de raio R 98 m e altura h 60 m O centro de massa está situado no eixo central do cilindro a uma distância h2 das extremidades Na Fig 128a o cilindro está na vertical Na Fig 128b o cilindro está inclinado para a direita na direção da parede sul da torre fazendo um ângulo θ 55o com a vertical o que desloca o centro de massa de uma distância horizontal d Vamos supor que o solo exerce apenas duas forças sobre a torre Uma força normal age sobre a parede da esquerda norte e uma força normal age sobre a parede da direita sul Qual é o aumento percentual de FND por causa da inclinação da torre IDEIACHAVE Como a torre ainda está de pé ela continua em equilíbrio estático e portanto a soma dos torques em relação a qualquer ponto é zero Cálculos Como estamos interessados em calcular FND a força normal do solo do lado direito e não conhecemos nem estamos interessados em conhecer FNE a força normal do solo do lado esquerdo usamos o ponto de apoio da torre do lado esquerdo como referência para calcular os torques As forças que agiam sobre a torre quando ela estava na posição vertical estão representadas na Fig 128c A força gravitacional m que podemos supor que esteja aplicada ao centro de massa tem uma linha de ação vertical e um braço de alavanca R a distância perpendicular entre o ponto de referência e a linha de ação Como o torque associado a essa força tende a produzir uma rotação em torno do ponto de referência no sentido horário o sinal do torque é negativo A linha de ação da força normal também é vertical e o braço de alavanca em relação ao ponto de referência é 2R Uma vez que o torque associado a essa força tende a produzir uma rotação em torno do ponto de referência no sentido antihorário o sinal do torque é positivo Assim a equação de equilíbrio dos torques τresz 0 é Rmg 2RFNR 0 o que nos dá Esse resultado era previsível Com o centro de massa no eixo central reta de simetria do cilindro o lado direito sustenta metade do peso do cilindro Na Fig 128b o centro de massa foi deslocado de uma distância A únicas mudanças na equação de equilíbrio dos torques são que agora o braço de alavanca da força gravitacional é R d e a força normal do lado direito tem um novo valor FND Fig 128d Assim temos R dmg 2RFND 0 o que nos dá Dividindo o valor da força normal com a torre inclinada pelo valor da força normal com a torre na vertical e substituindo d por seu valor em termos de h e θ temos Figura 128 A Torre de Pisa modelada por um cilindro a na vertical e b inclinada com o centro de massa deslocado para a direita Forças e braços de alavanca usados para calcular os torques em relação ao ponto O c com o cilindro na vertical e d com o cilindro inclinado Fazendo h 60 m R 98 m e θ 55o obtemos Assim de acordo com nosso modelo embora a inclinação tenha sido pequena a força normal aplicada à parede sul da torre aumentou cerca de 30 Um risco associado a esse aumento é que a parede sofra um processo de flambagem e acabe por se romper A inclinação da torre foi causada pela compressibilidade do solo que aumentava cada vez que chovia Recentemente os engenheiros estabilizaram a torre e reverteram parcialmente a inclinação instalando um sistema de drenagem 123 ELASTICIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1207 Explicar o que é uma estrutura indeterminada 1208 No caso de forças de tração e compressão usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de Young 1209 Saber a diferença entre limite elástico e limite de ruptura 1210 No caso de forças de cisalhamento usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de cisalhamento 1211 No caso de forças hidrostáticas usar a equação que relaciona a pressão hidrostática à deformação e ao módulo de elasticidade volumétrico IdeiasChave Três módulos de elasticidade são usados para descrever o comportamento elástico deformação de objetos submetidos a forças A deformação variação relativa de comprimento está relacionada à tensão aplicada força por unidade de área por um módulo de elasticidade segundo a relação geral tensão módulo de elasticidade deformação Quando um objeto é submetido a uma força de tração ou de compressão a relação tensãodeformação assume a forma em que ΔLL é a deformação do objeto F é o módulo da força responsável pela deformação A é a área da seção reta à qual a força é aplicada perpendicularmente à seção reta e E é o módulo de Young do objeto A tensão é dada por FA No momento em que um objeto é submetido a uma força de cisalhamento a relação tensãodeformação assume a forma em que ΔxL é a deformação do objeto Δx é o deslocamento de uma das extremidades do objeto na direção da força aplicada e G é o módulo de cisalhamento do objeto A tensão é dada por FA No momento em que um objeto é submetido a uma força hidrostática a relação tensãodeformação assume a forma em que p é a pressão hidrostática ΔVV é a deformação do objeto e B é o módulo de elasticidade volumétrico do objeto Estruturas Indeterminadas Para resolver os problemas deste capítulo temos apenas três equações independentes à disposição que são em geral duas equações de equilíbrio de forças e uma equação de equilíbrio de torques em relação a um eixo de rotação Assim se um problema tem mais de três incógnitas não podemos resolvêlo Considere o caso de um carro assimetricamente carregado Quais são as forças todas diferentes que agem sobre os quatro pneus O problema não pode ser resolvido usando os métodos discutidos até o momento pois temos apenas três equações independentes para trabalhar Da mesma forma podemos resolver o problema de equilíbrio para uma mesa de três pernas mas não para uma de quatro pernas Problemas como esses nos quais existem mais incógnitas que equações são chamados de indeterminados No mundo real por outro lado sabemos que existem soluções para problemas indeterminados Se apoiarmos os pneus de um carro nos pratos de quatro balanças cada balança fornecerá uma leitura definida e a soma das quatro leituras será o peso do carro O que está faltando em nossos esforços para obter as forças por meio de equações O problema está no fato de que supusemos implicitamente que os corpos aos quais aplicamos as equações do equilíbrio estático são perfeitamente rígidos ou seja não se deformam ao serem submetidos a forças Na verdade nenhum corpo é totalmente rígido Os pneus de um carro por exemplo se deformam facilmente sob a ação de uma carga até que o carro atinja uma posição de equilíbrio estático Todos nós já passamos pela experiência de ocupar uma mesa bamba em um restaurante a qual normalmente nivelamos introduzindo um calço de papel dobrado debaixo de uma das pernas Se colocássemos um elefante no centro de uma dessas mesas sem o calço e a mesa não quebrasse as pernas da mesa se deformariam como os pneus de um carro Todas as pernas tocariam o piso as forças normais do piso sobre as pernas da mesa assumiriam valores definidos e diferentes como na Fig 129 e a mesa não ficaria mais bamba Naturalmente nós e o elefante seríamos imediatamente expulsos do restaurante mas em princípio como podemos calcular os valores das forças em situações como essa em que existem deformações Figura 129 A mesa é uma estrutura indeterminada As quatro forças a que as pernas da mesa estão sujeitas diferem em módulo e não podem ser calculadas usando apenas as leis do equilíbrio estático Para resolver problemas de equilíbrio indeterminado precisamos suplementar as equações de equilíbrio com algum conhecimento de elasticidade o ramo da física e da engenharia que descreve como corpos se deformam quando são submetidos a forças Teste 3 Uma barra horizontal homogênea pesando 10 N está pendurada no teto por dois fios que exercem forças e sobre a barra A figura mostra quatro configurações diferentes dos fios Que configurações são indeterminadas ou seja tornam impossível calcular os valores numéricos de e Figura 1210 Os átomos de um sólido metálico estão dispostos em uma rede regular tridimensional As molas representam forças interatômicas Elasticidade Quando muitos átomos se juntam para formar um sólido metálico como por exemplo um prego de ferro os átomos ocupam posições de equilíbrio em uma rede cristalina tridimensional um arranjo repetitivo no qual cada átomo está a uma distância de equilíbrio bem definida dos vizinhos mais próximos Os átomos são mantidos unidos por forças interatômicas representadas por pequenas molas na Fig 1210 A rede é quase perfeitamente rígida o que é outra forma de dizer que as molas interatômicas são extremamente duras É por essa razão que temos a impressão de que alguns objetos comuns como escadas de metal mesas e colheres são indeformáveis Outros objetos comuns como mangueiras de jardim e luvas de borracha são facilmente deformados Nesses objetos os átomos não formam uma rede rígida como a Fig 1210 mas estão ligados em cadeias moleculares longas e flexíveis que estão ligadas apenas fracamente às cadeias vizinhas Todos os corpos rígidos reais são na verdade ligeiramente elásticos o que significa que podemos mudar ligeiramente as suas dimensões puxandoos empurrandoos torcendoos ou comprimindoos Para você ter uma ideia das ordens de grandeza envolvidas considere uma barra de aço vertical de 1 m de comprimento e 1 cm de diâmetro presa no teto de uma fábrica Se um carro compacto for pendurado na extremidade inferior da barra ela esticará apenas 05 mm o que corresponde a 005 do comprimento original Se o carro for removido o comprimento da barra voltará ao valor inicial Se dois carros forem pendurados na barra ela ficará permanentemente deformada ou seja o comprimento não voltará ao valor inicial quando a carga for removida Se três carros forem pendurados na barra ela arrebentará Imediatamente antes da ruptura o alongamento da barra será menor do que 02 Embora pareçam pequenas deformações dessa ordem são muito importantes para os engenheiros Se a asa de um avião vai se partir ao sofrer uma pequena deformação é obviamente uma questão importante Três Formas A Fig 1211 mostra três formas pelas quais as dimensões de um sólido podem ser modificadas por uma força aplicada Na Fig 1211a um cilindro é alongado Na Fig 1211b um cilindro é deformado por uma força perpendicular ao eixo maior de modo parecido com a deformação de uma pilha de cartas de baralho Na Fig 1211c um objeto sólido mergulhado em um fluido é comprimido uniformemente de todas as direções O que esses três comportamentos têm em comum é que uma tensão força por unidade de área produz uma deformação variação relativa de um comprimento ou de um volume Na Fig 1211 a tensão trativa associada ao alongamento está ilustrada em a a tensão de cisalhamento em b e a tensão hidrostática em c Figura 1211 a Um cilindro submetido a uma tensão trativa sofre um alongamento ΔL b Um cilindro submetido a uma tensão de cisalhamento sofre uma deformação Δx semelhante à de uma pilha de cartas de baralho c Uma esfera maciça submetida a uma tensão hidrostática uniforme aplicada por um fluido sofre uma redução de volume ΔV Todas as deformações estão grandemente exageradas Figura 1212 Corpo de prova usado para obter uma curva tensãodeformação como a da Fig 1213 A variação ΔL que ocorre em um trecho L do corpo de prova é medida em um ensaio de tensãodeformação As tensões e deformações assumem formas diferentes nas três situações da Fig 1211 mas para uma larga faixa de valores tensão e deformação são proporcionais A constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade Temos portanto Em um testepadrão de propriedades elásticas a tensão trativa aplicada a um corpo de prova de forma cilíndrica como o da Fig 1212 é lentamente aumentada de zero até o ponto em que o cilindro se rompe e ao mesmo tempo a deformação é medida O resultado é um gráfico tensãodeformação como o da Fig 1213 Para uma larga faixa de tensões aplicadas a relação tensãodeformação é linear e o corpo de prova recupera as dimensões originais quando a tensão é removida é nessa faixa que a Eq 1222 pode ser usada Se a tensão ultrapassa o limite elástico Sy da amostra a deformação se torna permanente Se a tensão continua a aumentar o corpo de prova acaba por se romper para um valor de tensão conhecido como limite de ruptura Su Figura 1213 Curva tensãodeformação de um corpo de prova de aço como o da Fig 1212 O corpo de prova sofre uma deformação permanente quando a tensão atinge o limite elástico e se rompe quando a tensão atinge o limite de ruptura do material Tração e Compressão No caso de uma tração ou de uma compressão a tensão a que o objeto está submetido é definida como FA em que F é o módulo da força aplicada perpendicularmente a uma área A do objeto A deformação é a grandeza adimensional ΔLL que representa a variação fracionária ou às vezes percentual do comprimento do corpo de prova Se o corpo de prova é uma barra longa e a tensão não ultrapassa o limite elástico não só a barra como um todo como qualquer trecho da barra experimenta a mesma deformação quando uma tensão é aplicada Como a deformação é adimensional o módulo de elasticidade da Eq 1222 tem dimensões da tensão ou seja força por unidade de área O módulo de elasticidade das tensões de tração e de compressão é chamado de módulo de Young e representado pelo símbolo E Substituindo as grandezas da Eq 1222 por símbolos obtemos a seguinte equação A deformação ΔLL de um corpo de prova pode ser medida usando um instrumento conhecido como extensômetro Fig 1214 que é colado no corpo de prova e cujas propriedades elétricas mudam de acordo com a deformação sofrida Mesmo que os módulos de Young de um material para tração e compressão sejam quase iguais o que é comum o limite de ruptura pode ser bem diferente dependendo do tipo de tensão O concreto por exemplo resiste muito bem à compressão mas é tão fraco sob tração que os engenheiros tomam precauções especiais para que o concreto usado nas construções não seja submetido a forças de tração A Tabela 121 mostra o módulo de Young e outras propriedades elásticas de alguns materiais Figura 1214 Um extensômetro de 98 mm por 46 mm usado para medir deformações O dispositivo é colado no corpo cuja deformação se deseja medir e então sofre a mesma deformação que o corpo A resistência elétrica do extensômetro varia com a deformação permitindo que deformações de até 3 sejam medidas Cisalhamento No caso do cisalhamento a tensão também é uma força por unidade de área mas o vetor força está no plano da área e não da direção perpendicular a esse plano A deformação é a razão adimensional ΔxL em que Δx e L são as grandezas mostradas na Fig 1211b O módulo de elasticidade correspondente que é representado pelo símbolo G é chamado de módulo de cisalhamento No caso do cisalhamento a Eq 1222 assume a forma As tensões de cisalhamento exercem um papel importante no empenamento de eixos e na fratura de ossos Tensão Hidrostática Na Fig 1211c a tensão é a pressão p que o fluido exerce sobre o objeto e como veremos no Capítulo 14 pressão é força por unidade de área A deformação é ΔVV em que V é o volume original do corpo de prova e ΔV é o valor absoluto da variação de volume O módulo correspondente representado pelo símbolo B é chamado de módulo de elasticidade volumétrico do material Dizemos que o corpo de prova está sob compressão hidrostática e a pressão pode ser chamada de tensão hidrostática Para essa situação a Eq 1222 pode ser escrita na forma O módulo de elasticidade volumétrico é 22 109 Nm2 para a água e 16 1011 Nm2 para o aço A pressão no fundo do Oceano Pacífico na sua profundidade média de aproximadamente 4000 m é 40 107 Nm2 A compressão fracionária ΔVV da água produzida por essa pressão é 18 a de um objeto de aço é apenas 0025 Em geral os sólidos com suas redes atômicas rígidas são menos compressíveis que os líquidos nos quais os átomos ou moléculas estão mais frouxamente acoplados aos vizinhos Tabela 121 Propriedades Elásticas de Alguns Materiais Material Massa Específica ρ kgm3 Módulo de Young E 109 Nm2 Limite de Ruptura Sr 106 Nm2 Limite de Elasticidade Se 106 Nm2 Açoa 7860 200 400 250 Alumínio 2710 70 110 95 Vidro 2190 65 50b Concretoc 2320 30 40b Madeirad 525 13 50b Osso 1900 9b 170b Poliestireno 1050 3 48 aAço estrutural ASTMA36 bPara compressão cDe alta resistência dPinho Exemplo 1205 Tensão e deformação de uma barra Uma das extremidades de uma barra de aço de raio R 95 mm e comprimento L 81 cm está presa a um torno e uma força F 62 kN uniforme perpendicular à seção reta é aplicada à outra extremidade Quais são a tensão o alongamento ΔL e a deformação da barra IDEIASCHAVE 1 Como a força é perpendicular à seção reta a tensão é a razão entre o módulo F da força aplicada e a área A da seção reta Essa razão é o lado esquerdo da Eq 1223 2 O alongamento ΔL está relacionado à tensão e ao módulo de Young por meio da Eq 1223 FA EΔLL 3 A tensão é a razão entre o alongamento e o comprimento inicial L Cálculos Para determinar a tensão escrevemos Como o limite elástico do aço estrutural é 25 108 Nm2 a barra está perigosamente próxima do limite elástico O valor do módulo de Young do aço é dado na Tabela 121 De acordo com a Eq 1223 o alongamento é A deformação é portanto Exemplo 1206 Nivelando uma mesa bamba Uma mesa tem três pernas com 100 m de comprimento e uma quarta perna com um comprimento adicional d 050 mm que faz com que a mesa fique ligeiramente bamba Um cilindro de aço de massa M 290 kg é colocado na mesa que tem massa muito menor que M comprimindo as quatro pernas sem envergálas e fazendo com a que a mesa fique nivelada As pernas são cilindros de madeira com uma área da seção reta A 10 cm2 o módulo de Young é E 13 1010 Nm2 Qual é o módulo das forças que o chão exerce sobre as pernas da mesa IDEIASCHAVE Tomamos a mesa e o cilindro de aço como nosso sistema A situação é a da Fig 129 exceto pelo fato de que agora temos um cilindro de aço sobre a mesa Se o tampo da mesa permanece nivelado as pernas devem estar comprimidas da seguinte forma Cada uma das pernas mais curtas sofreu o mesmo encurtamento vamos chamálo de ΔL3 e portanto está submetida à mesma força F3 A perna mais comprida sofreu um encurtamento maior ΔL4 e portanto está submetida a uma força F4 maior que F3 Em outras palavras para que a mesa esteja nivelada devemos ter De acordo com a Eq 1223 podemos relacionar uma variação do comprimento à força responsável pela variação usando a equação ΔL FLAE em que L é o comprimento original Podemos usar essa relação para substituir ΔL4 e ΔL3 na Eq 1226 Observe que podemos tomar o comprimento original L como aproximadamente o mesmo para as quatro pernas Cálculos Fazendo essas substituições e essa aproximação podemos escrever Não podemos resolver a Eq 1227 porque ela contém duas incógnitas F4 e F3 Para obter uma segunda equação envolvendo F4 e F3 podemos definir um eixo vertical y e escrever uma equação de equilíbrio para as componentes verticais das forças Fresy 0 na forma em que Mg é o módulo da força gravitacional que age sobre o sistema Três das quatro pernas estão submetidas a uma força Para resolver o sistema de equações 1227 e 1228 para digamos calcular F3 usamos primeiro a Eq 1228 para obter F4 Mg 3F3 Substituindo F4 por seu valor na Eq 1227 obtemos depois de algumas manipulações algébricas Substituindo esse valor na Eq 1228 obtemos É fácil mostrar que quando o equilíbrio é atingido as três pernas curtas estão com uma compressão de 042 mm e a perna mais comprida está com uma compressão de 092 mm Revisão e Resumo Equilíbrio Estático Quando um corpo rígido está em repouso dizemos que ele se encontra em equilíbrio estático A soma vetorial das forças que agem sobre um corpo em equilíbrio estático é zero Se todas as forças estão no plano xy a equação vetorial 123 é equivalente a duas equações para as componentes No caso de um corpo em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo em relação a qualquer ponto também é zero ou seja Se as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e a Eq 125 é equivalente a uma equação para a única componente diferente de zero Centro de Gravidade A força gravitacional age separadamente sobre cada elemento de um corpo O efeito total de todas essas forças pode ser determinado imaginando uma força gravitacional equivalente g aplicada ao centro de gravidade do corpo Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos do corpo a posição do centro de gravidade coincide com a do centro de massa Módulos de Elasticidade Três módulos de elasticidade são usados para descrever o comportamento elástico ou seja as deformações de objetos submetidos a forças A deformação variação relativa do comprimento ou de volume está linearmente relacionada à tensão força por unidade de área por meio de um módulo de elasticidade apropriado de acordo com a relação geral Tração e Compressão Quando um objeto é submetido a uma força de tração ou a uma força de compressão a Eq 1222 é escrita na forma em que ΔLL é a deformação de alongamento ou compressão do objeto F é o módulo da força responsável pela deformação A é a área de seção reta à qual a força é aplicada perpendicularmente a A como na Fig 1211a e E é o módulo de Young do objeto A tensão é FA Cisalhamento Quando um objeto é submetido a uma força de cisalhamento a Eq 1222 é escrita como em que ΔxL é a deformação de cisalhamento do objeto Δx é o deslocamento de uma das extremidades do objeto na direção da força aplicada como na Fig 1211b e G é o módulo de cisalhamento do objeto A tensão é FA Tensão Hidrostática Quando um objeto é submetido a uma força hidrostática devido à pressão exercida pelo fluido no qual ele está submerso a Eq 1222 é escrita na forma em que p é a pressão tensão hidrostática que o fluido exerce sobre o objeto ΔVV deformação é o valor absoluto da variação relativa do volume do objeto produzida por essa pressão e B é o módulo de elasticidade volumétrico do objeto Perguntas 1 A Fig 1215 mostra três situações nas quais a mesma barra horizontal está presa a uma parede por uma dobradiça em uma das extremidades e por uma corda na outra Sem realizar cálculos numéricos ordene as situações de acordo com o módulo a da força que a corda exerce sobre a barra b da força vertical que a dobradiça exerce sobre a barra e c da força horizontal que a dobradiça exerce sobre a barra começando pela maior Figura 1215 Pergunta 1 2 Na Fig 1216 uma trave rígida está presa a dois postes fixos em um piso Um cofre pequeno mas pesado é colocado nas seis posições indicadas uma de cada vez Suponha que a massa da trave seja desprezível em comparação com a do cofre a Ordene as posições de acordo com a força exercida pelo cofre sobre o poste A começando pela maior tensão compressiva e terminando com a maior tensão trativa indique em qual das posições se houver alguma a força é nula b Ordene as posições de acordo com a força exercida sobre o poste B Figura 1216 Pergunta 2 3 A Fig 1217 mostra quatro vistas superiores de discos homogêneos em rotação que estão deslizando em um piso sem atrito Três forças de módulo F 2F ou 3F agem sobre cada disco na borda no centro ou no ponto médio entre a borda e o centro As forças giram com os discos e nos instantâneos da Fig 1217 apontam para a esquerda ou para a direita Quais são os discos que estão em equilíbrio Figura 1217 Pergunta 3 4 Uma escada está apoiada em uma parede sem atrito e não cai por causa do atrito com o piso A base da escada é deslocada em direção à parede Determine se a grandeza a seguir aumenta diminui ou permanece a mesma em módulo a a força normal exercida pelo chão sobre o piso b a força exercida pela parede sobre a escada c a força de atrito estático exercida pelo piso sobre a escada d o valor máximo fsmáx da força de atrito estático 5 A Fig 1218 mostra um móbile de pinguins de brinquedo pendurado em um teto As barras transversais são horizontais têm massa desprezível e o comprimento à direita do fio de sustentação é três vezes maior que o comprimento à esquerda do fio O pinguim 1 tem massa m1 48 kg Quais são as massas a do pinguim 2 b do pinguim 3 e c do pinguim 4 Figura 1218 Pergunta 5 6 A Fig 1219 mostra a vista superior de uma barra homogênea sobre a qual agem quatro forças Suponha que foi escolhido um eixo de rotação passando pelo ponto O que foram calculados os torques produzidos pelas forças em relação a esse eixo e verificouse que o torque resultante é nulo O torque resultante continuará a ser nulo se o eixo de rotação escolhido for a o ponto A situado no interior da barra b o ponto B situado no prolongamento da barra ou c o ponto C ao lado da barra d Suponha que o torque resultante em relação ao ponto O não seja nulo Existe algum ponto em relação ao qual o torque resultante se anula Figura 1219 Pergunta 6 7 Na Fig 1220 uma barra estacionária AC de 5 kg é sustentada de encontro a uma parede por uma corda e pelo atrito entre a barra e a parede A barra homogênea tem 1 m de comprimento e θ 30o a Onde deve ser posicionado um eixo de rotação para determinar o módulo da força exercida pela corda sobre a barra a partir de uma única equação Com essa escolha de eixo e considerando positivos os torques no sentido antihorário qual é o sinal b do torque τp exercido pelo peso sobre a barra e c do torque tc exercido pela corda sobre a barra d O módulo de τc é maior menor ou igual ao módulo de τp Figura 1220 Pergunta 7 8 Três cavalinhos estão pendurados no arranjo em repouso de polias ideais e cordas de massa desprezível da Fig 1221 Uma corda se estende do lado direito do teto até a polia mais baixa à esquerda dando meiavolta em todas as polias Várias cordas menores sustentam as polias e os cavalinhos São dados os pesos em newtons de dois cavalinhos Qual é o peso do terceiro cavalinho Sugestão Uma corda que dá meiavolta em torno de uma polia puxaa com uma força total que é igual a duas vezes a da tração da corda b Qual é a tração da corda T Figura 1221 Pergunta 8 9 Na Fig 1222 uma barra vertical está presa a uma dobradiça na extremidade inferior e a um cabo na extremidade superior Uma força horizontal a é aplicada à barra como mostra a figura Se o ponto de aplicação da força é deslocado para cima ao longo da barra a tração do cabo aumenta diminui ou permanece a mesma Figura 1222 Pergunta 9 10 A Fig 1223 mostra um bloco horizontal suspenso por dois fios A e B que são iguais em tudo exceto no comprimento que tinham antes que o bloco fosse pendurado O centro de massa do bloco está mais próximo do fio B que do fio A a Calculando os torques em relação ao centro de massa do bloco determine se o módulo do torque produzido pelo fio A é maior igual ao menor que o módulo do torque produzido pelo fio B b Qual dos fios exerce mais força sobre o bloco c Se os fios passaram a ter comprimentos iguais depois que o bloco foi pendurado qual dos dois era inicialmente mais curto Figura 1223 Pergunta 10 11 A tabela mostra o comprimento inicial de três barras e a variação de comprimento das barras quando elas são submetidas a uma força de tração Ordene as barras de acordo com a deformação sofrida começando pela maior Comprimento Inicial Variação de Comprimento Barra A 2L0 ΔL0 Barra B 4L0 2ΔL0 Barra C 10L0 4ΔL0 12 Sete pesos estão pendurados no arranjo em repouso de polias ideais e cordas de massa desprezível da Fig 1224 Uma corda comprida passa por todas as polias e cordas menores sustentam as polias e os pesos São dados os pesos em newtons de todos os pesos exceto um a Qual é o peso que falta Sugestão Uma corda que dá meiavolta em torno de uma polia puxaa com uma força total que é igual a duas vezes a da tração da corda b Qual é a tração da corda T Figura 1224 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 121 Equilíbrio 1 Como a constante g é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria da estruturas em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa Neste exemplo fictício porém a variação da constante g é significativa A Fig 1225 mostra um arranjo de seis partículas todas de massa m presas na borda de uma estrutura rígida de massa desprezível A distância entre partículas vizinhas da mesma borda é 200 m A tabela a seguir mostra o valor de g em ms2 na posição de cada partícula Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura determine a a coordenada xCM e b a coordenada yCM do centro de massa do conjunto Em seguida determine c a coordenada xCG e d a coordenada yCG do centro de gravidade do conjunto Figura 1225 Problema 1 Partícula g Partícula g 1 800 4 740 2 780 5 760 3 760 6 780 Módulo 122 Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático 2 A distância entre os eixos dianteiro e traseiro de um automóvel é de 305 m A massa do automóvel é de 1360 kg e o centro de gravidade está situado 178 m atrás do eixo dianteiro Com o automóvel em terreno plano determine o módulo da força exercida pelo solo a sobre cada roda dianteira supondo que as forças exercidas sobre as rodas dianteiras são iguais e b sobre cada roda traseira supondo que as forças exercidas sobre as rodas traseiras são iguais 3 Na Fig 1226 uma esfera homogênea de massa m 085 kg e raio r 42 cm é mantida em repouso por uma corda de massa desprezível presa a uma parede sem atrito a uma distância L 80 cm acima do centro da esfera Determine a a tração da corda e b a força que a parede exerce sobre a esfera Figura 1226 Problema 3 4 A corda de um arco é puxada pelo ponto central até que a tração da corda fique igual à força exercida pelo arqueiro Qual é o ângulo entre as duas partes da corda 5 Uma corda de massa desprezível está esticada horizontalmente entre dois suportes separados por uma distância de 344 m Quando um objeto pesando 3160 N é pendurado no centro da corda ela cede 350 cm Qual é a tração da corda 6 Um andaime com 60 kg de massa e 50 m de comprimento é mantido na horizontal por um cabo vertical em cada extremidade Um lavador de janelas com 80 kg de massa está de pé no andaime a 15 m de distância de uma das extremidades Qual é a tração a do cabo mais próximo e b do cabo mais distante do trabalhador 7 Um lavador de janelas de 75 kg usa uma escada com 10 kg de massa e 50 m de comprimento Ele apoia uma extremidade no piso a 25 m de uma parede encosta a extremidade oposta em uma janela rachada e começa a subir Depois de o lavador percorrer uma distância de 30 m ao longo da escada a janela quebra Despreze o atrito entre a escada e a janela e suponha que a base da escada não escorregue Quando a janela está na iminência de quebrar qual é a o módulo da força que a escada exerce sobre a janela b qual é o módulo da força que o piso exerce sobre a escada e c qual é o ângulo em relação à horizontal da força que o piso exerce sobre a escada 8 Oito alunos de física cujos pesos estão indicados em newtons na Fig 1227 se equilibram em uma gangorra Qual é o número do estudante que produz o maior torque em relação a um eixo de rotação que passa pelo fulcro f no sentido a para fora do papel e b para dentro do papel Figura 1227 Problema 8 9 Uma régua de um metro está em equilíbrio horizontal na lâmina de uma faca na marca de 500 cm Com duas moedas de 500 g empilhadas na marca de 120 cm a régua fica em equilíbrio na marca de 455 cm Qual é a massa da régua 10 O sistema da Fig 1228 está em equilíbrio com a corda do centro exatamente na horizontal O bloco A pesa 40 N o bloco B pesa 50 N e o ângulo ϕ é 35º Determine a a tração T1 b a tração T2 c a tração T3 e d o ângulo θ Figura 1228 Problema 10 11 Um mergulhador com 580 N de peso está em pé na extremidade de um trampolim de comprimento L 45 m e massa desprezível Fig 1229 O trampolim está preso em dois suportes separados por uma distância d 15 m Das forças que agem sobre o trampolim qual é a o módulo e b qual é o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo suporte de trás c Qual é o módulo e d qual o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo suporte da frente e Que pedestal o de trás ou o da frente está sendo tracionado e f que pedestal está sendo comprimido Figura 1229 Problema 11 12 Na Fig 1230 um homem está tentando tirar o carro de um atoleiro no acostamento de uma estrada Para isso ele amarra uma das extremidades de uma corda no parachoque dianteiro e a outra extremidade em um poste a 18 m de distância Em seguida o homem empurra a corda lateralmente no ponto médio com uma força de 550 N deslocando o centro da corda de 030 m em relação à posição anterior e o carro praticamente não se move Qual é a força exercida pela corda sobre o carro A corda sofre um pequeno alongamento Figura 1230 Problema 12 13 A Fig 1231 mostra as estruturas anatômicas da parte inferior da perna e do pé que estão envolvidas quando ficamos na ponta do pé com o calcanhar levemente levantado e o pé fazendo contato com o chão apenas no ponto P Suponha que a 50 cm b 15 cm e o peso da pessoa seja 900 N Das forças que agem sobre o pé qual é a o módulo e b qual é o sentido para cima ou para baixo da força que o músculo da panturrilha exerce sobre o ponto A c Qual é o módulo e d qual é o sentido para cima ou para baixo da força que os ossos da perna exercem sobre o ponto B Figura 1231 Problema 13 14 Na Fig 1232 um andaime horizontal de 200 m de comprimento e massa homogênea de 500 kg está suspenso em um edifício por dois cabos O andaime tem várias latas de tinta empilhadas A massa total das latas de tinta é 750 kg A tração do cabo à direita é 722 N A que distância desse cabo está o centro de massa do sistema de latas de tinta Figura 1232 Problema 14 15 As forças 1 2 e 3 agem sobre a estrutura cuja vista superior aparece na Fig 1233 Desejase colocar a estrutura em equilíbrio aplicando uma quarta força em um ponto como P A quarta força tem componentes vetoriais h e v Sabese que a 20 m b 30 m c 10 m F1 20 N F2 10 N e F3 50 N Determine a Fh b Fv e c d Figura 1233 Problema 15 16 Um caixote cúbico homogêneo com 0750 m de lado e 500 N de peso repousa em um piso com um dos lados da base encostado em um obstáculo fixo de pequena altura A que altura mínima acima do piso deve ser aplicada uma força horizontal de 350 N para virar o caixote 17 Na Fig 1234 uma viga homogênea de 30 m de comprimento e 500 N de peso está suspensa horizontalmente No lado esquerdo está presa a uma parede por uma dobradiça no lado direito é sustentada por um cabo pregado na parede a uma distância D acima da viga A tração de ruptura do cabo é 1200 N a Que valor de D corresponde a essa tração b Para que o cabo não se rompa D deve aumentar ou diminuir em relação a esse valor Figura 1234 Problema 17 18 Na Fig 1235 o andaime horizontal 2 de massa homogênea m2 300 kg e comprimento L2 200 m está pendurado no andaime horizontal 1 de massa homogênea m1 500 kg Uma caixa de pregos de 200 kg está no andaime 2 com o centro a uma distância d 0500 m da extremidade esquerda Qual é a tração T do cabo indicado na figura Figura 1235 Problema 18 19 Para quebrar a casca de uma noz com um quebranozes forças de pelo menos 40 N de módulo devem agir sobre a casca em ambos os lados Para o quebranozes da Fig 1236 com distâncias L 12 cm e d 26 cm quais são as componentes em cada cabo das forças F aplicadas perpendicularmente aos cabos que correspondem a esses 40 N Figura 1236 Problema 19 20 Um jogador segura uma bola de boliche M 72 kg na palma da mão veja a Fig 1235 O braço está na vertical e o antebraço m 18 kg na horizontal Qual é o módulo a da força que o bíceps exerce sobre o antebraço e b da força que os ossos exercem entre si na articulação do cotovelo Figura 1237 Problema 20 21 O sistema na Fig 1238 está em equilíbrio Um bloco de concreto com massa de 225 kg está pendurado na extremidade de uma longarina homogênea com massa de 450 kg Para os ângulos ϕ 300º e θ 450º determine a a tração T do cabo e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a longarina Figura 1238 Problema 21 22 Na Fig 1239 um alpinista de 55 kg está subindo por uma chaminé na pedra com as mãos puxando um lado da chaminé e os pés pressionando o lado oposto A chaminé tem uma largura w 020 m e o centro de massa do alpinista está a uma distância horizontal d 040 m da chaminé O coeficiente de atrito estático entre as mãos e a rocha é μ1 040 e entre as botas e a pedra é μ2 12 a Qual é a menor força horizontal das mãos e dos pés que mantém o alpinista estável b Para a força horizontal do item a qual deve ser a distância vertical h entre as mãos e os pés Se o alpinista encontra uma pedra molhada para a qual os valores de μ1 e μ2 são menores c o que acontece com a resposta do item a e d o que acontece com a resposta do item b Figura 1239 Problema 22 23 Na Fig 1240 uma extremidade de uma viga homogênea de 222 N de peso está presa por uma dobradiça a uma parede a outra extremidade é sustentada por um fio que faz o mesmo ângulo θ 300º com a viga e com a parede Determine a a tração do fio e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1240 Problema 23 24 Na Fig 1241 uma alpinista com 5338 N de peso é sustentada por uma corda de segurança presa a um grampo em uma das extremidades e a um mosquetão na cintura da moça na outra extremidade A linha de ação da força exercida pela corda passa pelo centro de massa da alpinista Os ângulos indicados na figura são θ 400o e ϕ 300o Se os pés da moça estão na iminência de escorregar na parede vertical qual é o coeficiente de atrito estático entre os sapatos de alpinismo e a parede Figura 1241 Problema 24 25 Na Fig 1242 qual é o menor valor do módulo da força horizontal constante aplicada ao eixo da roda que permite à roda ultrapassar um degrau de altura h 300 cm O raio da roda é r 600 cm e a massa da roda é m 0800 kg Figura 1242 Problema 25 26 Na Fig 1243 um alpinista se apoia com as mãos em uma encosta vertical coberta de gelo cujo atrito é desprezível A distância a é 0914 m e a distância L é 210 m O centro de massa do alpinista está a uma distância d 0940 m do ponto de contato dos pés do alpinista com uma plataforma horizontal na pedra Se o alpinista está na iminência de escorregar qual é o coeficiente de atrito estático entre os pés e a pedra Figura 1243 Problema 26 27 Na Fig 1244 um bloco de 15 kg é mantido em repouso por meio de um sistema de polias O braço da pessoa está na vertical o antebraço faz um ângulo θ 30º com a horizontal O antebraço e a mão têm uma massa conjunta de 20 kg com o centro de massa a uma distância d1 15 cm à frente do ponto de contato dos ossos do antebraço com o osso do braço úmero Um músculo o tríceps puxa o antebraço verticalmente para cima com uma força cujo ponto de aplicação está a uma distância d2 25 cm atrás desse ponto de contato A distância d3 é 35 cm Determine a o módulo e b o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo tríceps sobre o antebraço e c o módulo e d o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo úmero sobre o antebraço Figura 1244 Problema 27 28 Na Fig 1245 suponha que o comprimento L da barra homogênea seja de 300 m e peso seja de 200 N Suponha ainda que o bloco tenha um peso de 300 N e que θ 300º O fio pode suportar uma tração máxima de 500 N a Qual é a maior distância x para a qual o fio não arrebenta Com o bloco posicionado nesse valor máximo de x qual é a componente b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A Figura 1245 Problemas 28 e 34 29 Uma porta tem uma altura de 21 m ao longo de um eixo y que se estende verticalmente para cima e uma largura de 091 m ao longo de um eixo x que se estende horizontalmente a partir do lado da porta que está preso com dobradiças Uma das dobradiças está a 030 m da borda superior da porta e outra a 030 m da borda inferior cada uma sustenta metade do peso da porta cuja massa é de 27 kg Na notação dos vetores unitários qual é a força exercida sobre a porta a pela dobradiça superior e b pela dobradiça inferior 30 Na Fig 1246 um cartaz quadrado homogêneo de 500 kg de lado L 200 m está pendurado em uma barra horizontal de comprimento dh 300 m e massa desprezível Um cabo está preso em uma extremidade da barra e em um ponto de uma parede a uma distância dv 400 m acima do ponto onde a outra extremidade da barra está presa na parede por uma dobradiça a Qual é a tração do cabo b Qual é o módulo e c qual o sentido para a esquerda ou para a direita da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a haste d Qual é o módulo e e qual o sentido para cima ou para baixo da componente vertical dessa força Figura 1246 Problema 30 31 Na Fig 1247 uma barra não homogênea está suspensa em repouso na horizontal por duas cordas de massa desprezível Uma corda faz um ângulo θ 369º com a vertical a outra faz um ângulo ϕ 531º com a vertical Se o comprimento L da barra é 610 m calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o centro de massa Figura 1247 Problema 31 32 Na Fig 1248 a motorista de um carro que se move em uma estrada horizontal faz uma parada de emergência aplicando os freios de tal forma que as quatro rodas ficam bloqueadas e derrapam na pista O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a pista é 040 A distância entre os eixos dianteiro e traseiro é L 42 m e o centro de massa do carro está a uma distância d 18 m atrás do eixo dianteiro e a uma altura h 075 m acima da pista O carro pesa 11 kN Determine o módulo a da aceleração do carro durante a frenagem b da força normal a que uma das rodas traseiras é submetida c da força normal a que uma das rodas dianteiras é submetida d da força de frenagem a que uma das rodas traseiras é submetida e e da força de frenagem a que uma das rodas dianteiras é submetida Sugestão Embora o carro não esteja em equilíbrio para translações está em equilíbrio para rotações Figura 1248 Problema 32 33 A Fig 1249a mostra uma viga vertical homogênea de comprimento L que está presa a uma dobradiça na extremidade inferior Uma força horizontal a é aplicada à viga a uma distância y da extremidade inferior A viga permanece na vertical porque há um cabo preso na extremidade superior fazendo um ângulo θ com a horizontal A Fig 1249b mostra a tração T do cabo em função do ponto de aplicação da força dada como uma fração yL do comprimento da barra A escala do eixo vertical é definida por Ts 600 N A Fig 1249c mostra o módulo Fh da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a viga também em função de yL Calcule a o ângulo θ e b o módulo de a Figura 1249 Problema 33 34 Na Fig 1245 uma barra fina AB de peso desprezível e comprimento L está presa a uma parede vertical por uma dobradiça no ponto A e é sustentada no ponto B por um fio fino BC que faz um ângulo θ com a horizontal Um bloco de peso P pode ser deslocado para qualquer posição ao longo da barra sua posição é definida pela distância x da parede ao seu centro de massa Determine em função de x a a tração do fio e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A 35 Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N Desejamos fazer a caixa rolar empurrandoa horizontalmente por uma das bordas superiores a Qual é a menor força necessária b Qual é o menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso c Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando a caixa está prestes a tombar 36 A Fig 1250 mostra uma alpinista de 70 kg sustentada apenas por uma das mãos em uma saliência horizontal de uma encosta vertical uma pegada conhecida como pinça A moça exerce uma força para baixo com os dedos para se segurar Os pés da alpinista tocam a pedra a uma distância H 20 m verticalmente abaixo dos dedos mas não oferecem nenhum apoio o centro da massa da alpinista está a uma distância a 020 m da encosta Suponha que a força que a saliência exerça sobre a mão esteja distribuída igualmente por quatro dedos Determine o valor a da componente horizontal Fh e b da componente vertical Fv da força exercida pela saliência sobre um dos dedos Figura 1250 Problema 36 37 Na Fig 1251 uma prancha homogênea com comprimento L de 610 m e peso de 445 N repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de uma parede de altura h 305 m A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de θ 70º mas escorrega se θ 70º Determine o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão Figura 1251 Problema 37 38 Na Fig 1252 vigas homogêneas A e B estão presas a uma parede por dobradiças e frouxamente rebitadas uma na outra uma não exerce torque sobre a outra A viga A tem comprimento LA 240 m e massa de 540 kg a viga B tem massa de 680 kg As dobradiças estão separadas por uma distância d 180 m Na notação dos vetores unitários qual é a força a sobre a viga A exercida por sua dobradiça b sobre a viga A exercida pelo rebite c sobre a viga B exercida por sua dobradiça e d sobre a viga B exercida pelo rebite Figura 1252 Problema 38 39 Os lados AC e CE da escada da Fig 1253 têm 244 m de comprimento e estão unidos por uma dobradiça no ponto C A barra horizontal BD tem 0762 m de comprimento e está na metade da altura da escada Um homem que pesa 854 N sobe 180 m ao longo da escada Supondo que não há atrito com o piso e desprezando a massa da escada determine a a tensão da barra e o módulo da força que o chão exerce sobre a escada b no ponto A e c no ponto E Sugestão Isole partes da escada ao aplicar as condições de equilíbrio Figura 1253 Problema 39 40 A Fig 1254a mostra uma viga horizontal homogênea de massa mb e comprimento L que é sustentada à esquerda por uma dobradiça presa a uma parede e à direita por um cabo que faz um ângulo θ com a horizontal Um pacote de massa mp está posicionado na viga a uma distância x da extremidade esquerda A massa total é mb mp 6122 kg A Fig 1254b mostra a tração T do cabo em função da posição do pacote dada como uma fração xL do comprimento da viga A escala do eixo das tensões é definida por Ta 500 N e Tb 700 N Calcule a o ângulo θ b a massa mb e c a massa mp Figura 1254 Problema 40 41 Um caixote na forma de um cubo com 12 m de lado contém uma peça de máquina o centro de massa do caixote e do conteúdo está localizado 030 m acima do centro geométrico do caixote O caixote repousa em uma rampa que faz um ângulo θ com a horizontal Quando θ aumenta a partir de zero um valor de ângulo é atingido para o qual o caixote tomba ou desliza pela rampa Se o coeficiente de atrito estático μs entre a rampa e o caixote é 060 a a rampa tomba ou desliza b Para que ângulo θ isso acontece Se μs 070 c o caixote tomba ou desliza d Para que ângulo θ isso acontece Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando o caixote está prestes a tombar 42 No Exemplo 1203 suponha que o coeficiente de atrito estático μs entre a escada e o piso seja 053 A que distância como porcentagem do comprimento total da escada o bombeiro deve subir para que a escada esteja na iminência de escorregar Módulo 123 Elasticidade 43 Uma barra horizontal de alumínio com 48 cm de diâmetro se projeta 53 cm para fora de uma parede Um objeto de 1200 kg está suspenso na extremidade da barra O módulo de cisalhamento do alumínio é 30 1010 Nm2 Desprezando a massa da barra determine a a tensão de cisalhamento que age sobre a barra e b a deflexão vertical da extremidade da barra 44 A Fig 1255 mostra a curva tensãodeformação de um material A escala do eixo das tensões é definida por s 300 em unidades de 106 Nm2 Determine a o módulo de Young e b o valor aproximado do limite elástico do material Figura 1255 Problema 44 45 Na Fig 1256 um tijolo de chumbo repousa horizontalmente nos cilindros A e B As áreas das faces superiores dos cilindros obedecem à relação AA 2AB os módulos de Young dos cilindros obedecem à relação EA 2EB Os cilindros tinham a mesma altura antes que o tijolo fosse colocado sobre eles Que fração da massa do tijolo é sustentada a pelo cilindro A e b pelo cilindro B As distâncias horizontais entre o centro de massa do tijolo e os eixos dos cilindros são dA e dB c Qual é o valor da razão dAdB Figura 1256 Problema 45 46 A Fig 1257 mostra o gráfico tensãodeformação aproximado de um fio de teia de aranha até o ponto em que se rompe com uma deformação de 200 A escala do eixo das tensões é definida por a 012 GNm2 b 030 GNm2 e c 080 GNm2 Suponha que o fio tenha um comprimento inicial de 080 cm uma área da seção reta inicial de 80 1012 m2 e um volume constante durante o alongamento Suponha também que quando um inseto se choca com o fio toda a energia cinética do inseto é usada para alongar o fio a Qual é a energia cinética que coloca o fio na iminência de se romper Qual é a energia cinética b de uma drosófila com uma massa de 600 mg voando a 170 ms e c de uma abelha com massa de 0388 g voando a 0420 ms O fio seria rompido d pela drosófila e e pela abelha Figura 1257 Problema 46 47 Um túnel de comprimento L 150 m altura H 72 m largura de 58 m e teto plano deve ser construído a uma distância d 60 m da superfície Veja a Fig 1258 O teto do túnel deve ser sustentado inteiramente por colunas quadradas de aço com uma seção reta de 960 cm2 A massa de 10 cm3 de solo é 28 g a Qual é o peso total que as colunas do túnel devem sustentar b Quantas colunas são necessárias para manter a tensão compressiva em cada coluna na metade do limite de ruptura Figura 1258 Problema 47 48 A Figura 1259 mostra a curva tensãodeformação de um fio de alumínio ensaiado em uma máquina que puxa as extremidades do fio em sentidos opostos A escala do eixo das tensões é definida por s 70 em unidades de 107 Nm2 O fio tem um comprimento inicial de 0800 m e a área da seção reta inicial é 200 106 m2 Qual é o trabalho realizado pela força que a máquina de ensaios exerce sobre o fio para produzir uma deformação de 100 103 Figura 1259 Problema 48 49 Na Fig 1260 um tronco homogêneo de 103 kg está pendurado por dois fios de aço A e B ambos com 120 mm de raio Inicialmente o fio A tinha 250 m de comprimento e era 200 mm mais curto do que o fio B O tronco agora está na horizontal Qual é o módulo da força exercida sobre o tronco a pelo fio A e b pelo fio B c Qual é o valor da razão dAdB Figura 1260 Problema 49 50 A Fig 1261 mostra um inseto capturado no ponto central do fio de uma teia de aranha O fio se rompe ao ser submetido a uma tração de 820 108 Nm2 e a deformação correspondente é 200 Inicialmente o fio estava na horizontal e tinha um comprimento de 200 cm e uma área da seção reta de 800 1012 m2 Quando o fio cedeu ao peso do inseto o volume permaneceu constante Se o peso do inseto coloca o fio na iminência de se romper qual é a massa do inseto Uma teia de aranha é construída para se romper se um inseto potencialmente perigoso como uma abelha fica preso da teia Figura 1261 Problema 50 51 A Fig 1262 é a vista superior de uma barra rígida que gira em torno de um eixo vertical até entrar em contato com dois batentes de borracha exatamente iguais A e B situados a rA 70 cm e rB 40 cm de distância do eixo Inicialmente os batentes estão encostados nas paredes sem sofrer compressão Em seguida uma força de módulo 220 N é aplicada perpendicularmente à barra a uma distância R 50 cm do eixo Determine o módulo da força que comprime a o batente A e b o batente B Figura 1262 Problema 51 Problemas Adicionais 52 Depois de uma queda um alpinista de 95 kg está pendurado na extremidade de uma corda originalmente com 15 m de comprimento e 96 mm de diâmetro que foi esticada de 28 cm Determine a a tensão b a deformação e c o módulo de Young da corda 53 Na Fig 1263 uma placa retangular de ardósia repousa em uma superfície rochosa com uma inclinação θ 26º A placa tem comprimento L 43 m espessura T 25 m largura W 12 m e 10 cm3 da placa tem massa de 32 g O coeficiente de atrito estático entre a placa e a rocha é 039 a Calcule a componente da força gravitacional que age sobre a placa paralelamente à superfície da rocha b Calcule o módulo da força de atrito estático que a rocha exerce sobre a placa Comparando a e b você pode ver que a placa corre o risco de escorregar o que é evitado apenas pela presença de protuberâncias na rocha c Para estabilizar a placa pinos devem ser instalados perpendicularmente à superfície da rocha dois desses pinos são mostrados na figura Se cada pino tem uma seção reta de 64 cm2 e se rompe ao ser submetido a uma tensão de cisalhamento de 36 108 Nm2 qual é o número mínimo de pinos necessário Suponha que os pinos não alterem a força normal Figura 1263 Problema 53 54 Uma escada homogênea com 50 m de comprimento e 400 N de peso está apoiada em uma parede vertical sem atrito O coeficiente de atrito estático entre o chão e o pé da escada é 046 Qual é a maior distância a que o pé da escada pode estar da base da parede sem que a escada escorregue 55 Na Fig 1264 o bloco A com massa de 10 kg está em repouso mas escorregaria se o bloco B que tem massa de 50 kg fosse mais pesado Se θ 30o qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície na qual está apoiado Figura 1264 Problema 55 56 A Fig 1265a mostra uma rampa homogênea instalada entre dois edifícios que leva em conta a possibilidade de que os edifícios oscilem ao serem submetidos a ventos fortes Na extremidade esquerda a rampa está presa por uma dobradiça à parede de um dos edifícios na extremidade direita tem um rolamento que permite o movimento ao longo da parede do outro edifício A força que o edifício da direita exerce sobre o rolamento não possui componente vertical mas apenas uma força horizontal de módulo Fh A distância horizontal entre os edifícios é D 400 m O desnível entre as extremidades da rampa é h 0490 m Um homem caminha ao longo da rampa a partir da extremidade esquerda A Fig 1265b mostra Fh em função da distância horizontal x entre o homem e o edifício da esquerda A escala do eixo de Fh é definida por a 20 kN e b 25 kN a Qual é a massa da rampa b Qual é a massa do homem Figura 1265 Problema 56 57 Na Fig 1266 uma esfera de 10 kg está presa por um cabo em um plano inclinado sem atrito que faz um ângulo θ 45º com a horizontal O ângulo ϕ é 25º Calcule a tração do cabo Figura 1266 Problema 57 58 Na Fig 1267a uma viga homogênea de 400 kg repousa simetricamente em dois rolamentos As distâncias entre as marcas verticais ao longo da viga são iguais Duas das marcas coincidem com a posição dos rolamentos um pacote de 100 kg é colocado na viga na posição do rolamento B Qual é o módulo da força exercida sobre a viga a pelo rolamento A e b pelo rolamento B A viga é empurrada para a esquerda até que a extremidade direita esteja acima do rolamento B Fig 1267b Qual é o novo módulo da força exercida sobre a viga c pelo rolamento A e d pelo rolamento B Em seguida a viga é empurrada para a direita Suponha que a viga tenha um comprimento de 0800 m e Que distância horizontal entre o pacote e o rolamento B coloca a viga na iminência de perder contato com o rolamento A Figura 1267 Problema 58 59 Na Fig 1268 uma caçamba de 817 kg está suspensa por um cabo A que por sua vez está preso no ponto O a dois outros cabos B e C que fazem ângulos θ1 510º e θ2 660º com a horizontal Determine a tração a do cabo A b do cabo B e c do cabo C Sugestão Para não ter de resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas defina os eixos da forma mostrada na figura Figura 1268 Problema 59 60 Na Fig 1269 um pacote de massa m está pendurado em uma corda que por sua vez está presa à parede pela corda 1 e ao teto pela corda 2 A corda 1 faz um ângulo ϕ 40º com a horizontal a corda 2 faz um ângulo θ a Para que valor de θ a tração da corda 2 é mínima b Qual é a tração mínima em múltiplos de mg Figura 1269 Problema 60 61 A força da Fig 1270 mantém o bloco de 640 kg e as polias em equilíbrio As polias têm massa e atrito desprezíveis Calcule a tração T do cabo de cima Sugestão Quando um cabo dá meiavolta em torno de uma polia como neste problema o módulo da força que exerce sobre a polia é o dobro da tração do cabo Figura 1270 Problema 61 62 Um elevador de mina é sustentado por um único cabo de aço com 25 cm de diâmetro A massa total do elevador e seus ocupantes é 670 kg De quanto o cabo se alonga quando o elevador está pendurado por a 12 m e b 362 m de cabo Despreze a massa do cabo 63 Quatro tijolos de comprimento L iguais e homogêneos são empilhados Fig 1271 de tal forma que parte de cada um se estende além da superfície na qual está apoiado Determine em função de L o valor máximo de a a1 b a2 c a3 d a4 e e h para que a pilha fique em equilíbrio Figura 1271 Problema 63 64 Na Fig 1272 duas esferas iguais homogêneas e sem atrito de massa m repousam em um recipiente retangular rígido A reta que liga os centros das esferas faz 45o com a horizontal Determine o módulo da força exercida a pelo fundo do recipiente sobre a esfera de baixo b pela parede lateral esquerda do recipiente sobre a esfera de baixo c pela parede lateral direita do recipiente sobre a esfera de cima e d por uma das esferas sobre a outra Sugestão A força de uma esfera sobre a outra tem a direção da reta que liga os centros das esferas Figura 1272 Problema 64 65 Na Fig 1273 uma viga homogênea com 60 N de peso e 32 m de comprimento está presa a uma dobradiça na extremidade inferior e uma força horizontal de módulo 50 N age sobre a extremidade superior A viga é mantida na posição vertical por um cabo que faz um ângulo θ 25º com o chão e está preso à viga a uma distância h 20 m do chão a Qual é a tração do cabo e b qual é a força exercida pela dobradiça sobre a viga na notação dos vetores unitários Figura 1273 Problema 65 66 Uma viga homogênea tem 50 m de comprimento e massa de 53 kg Na Fig 1274 a viga está sustentada na posição horizontal por uma dobradiça e um cabo θ 60º Na notação dos vetores unitários qual é a força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1274 Problema 66 67 Um cubo de cobre maciço tem 855 cm de lado Qual é a tensão que deve ser aplicada ao cubo para reduzir o lado para 850 cm O módulo de elasticidade volumétrico do cobre é 14 1011 Nm2 68 Um operário tenta levantar uma viga homogênea do chão até a posição vertical A viga tem 250 m de comprimento e pesa 500 N Em um dado instante o operário mantém a viga momentaneamente em repouso com a extremidade superior a uma distância d 150 m do chão como mostra a Fig 1275 exercendo uma força perpendicular à viga a Qual é o módulo P da força b Qual é o módulo da força resultante que o piso exerce sobre a viga c Qual é o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a viga e o piso para que a viga não escorregue nesse instante Figura 1275 Problema 68 69 Na Fig 1276 uma viga homogênea de massa m está presa a uma parede por uma dobradiça na extremidade inferior enquanto a extremidade superior é sustentada por uma corda presa na parede Se θ1 60º que valor deve ter o ângulo θ2 para que a tração da corda seja mg2 Figura 1276 Problema 69 70 Um homem de 73 kg está em pé em uma ponte horizontal de comprimento L a uma distância L4 de uma das extremidades A ponte é homogênea e pesa 27 kN Qual é o módulo da força vertical exercida sobre a ponte pelos suportes a na extremidade mais afastada do homem e b na extremidade mais próxima do homem 71 Um cubo homogêneo de 80 cm de lado repousa em um piso horizontal O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o piso é μ Uma força horizontal é aplicada perpendicularmente a uma das faces verticais do cubo 70 cm acima do piso em um ponto da reta vertical que passa pelo centro da face do cubo O módulo de é gradualmente aumentado Para que valor de μ o cubo finalmente a começa a escorregar e b começa a tombar Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando o cubo está prestes a tombar 72 O sistema da Fig 1277 está em equilíbrio Os ângulos são θ1 60º e θ2 20º e a bola tem uma massa M 20 kg Qual é a tração a qual a da corda ab e b qual a da corda bc Figura 1277 Problema 72 73 Uma escada homogênea tem 10 m de comprimento e pesa 200 N Na Fig 1278 a escada está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura h 80 m acima do piso Uma força horizontal é aplicada à escada a uma distância d 20 m da base medida ao longo da escada a Se F 50 N qual é a força que o piso exerce sobre a escada na notação dos vetores unitários b Se F 150 N qual é a força que o piso exerce sobre a escada também na notação dos vetores unitários c Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão seja 038 para que valor de F a base da escada está na iminência de se mover em direção à parede Figura 1278 Problema 73 74 Uma balança de pratos consiste em uma barra rígida de massa desprezível e dois pratos pendurados nas extremidades da barra A barra está apoiada em um ponto que não fica do centro da barra em torno do qual pode girar livremente Para que a balança fique em equilíbrio massas diferentes devem ser colocadas nos dois pratos Uma massa m desconhecida colocada no prato da esquerda é equilibrada por uma massa m1 no prato da direita quando a mesma massa m é colocada no prato da direita é equilibrada por uma massa m2 no prato da esquerda Mostre que 75 A armação quadrada rígida da Fig 1279 é formada por quatro barras laterais AB BC CD e DA e duas barras diagonais AC e BD que passam livremente uma pela outra no ponto E A barra AB é submetida a uma tensão trativa pelo esticador G como se as extremidades estivessem submetidas a forças horizontais para fora do quadrado de módulo 535 N a Quais das outras barras também estão sob tração Quais são os módulos b das forças que causam essas trações e c das forças que causam compressão nas outras barras Sugestão Considerações de simetria podem simplificar bastante o problema Figura 1279 Problema 75 76 Uma ginasta com 460 kg de massa está em pé na extremidade de uma trave como mostra a Fig 12 80 A trave tem 500 m de comprimento e massa de 250 kg Os suportes estão a 0540 m das extremidades da trave Na notação dos vetores unitários qual é a força exercida sobre a trave a pelo suporte 1 e b pelo suporte 2 Figura 1280 Problema 76 77 A Fig 1281 mostra um cilindro horizontal de 300 kg sustentado por três fios de aço presos em um teto Os fios 1 e 3 estão nas extremidades do cilindro e o fio 2 está no centro Os fios têm uma seção reta de 200 106 m2 Inicialmente antes de o cilindro ser pendurado os fios 1 e 3 tinham 20000 m de comprimento e o fio 2 era 600 mm mais comprido que os outros dois Agora com o cilindro no lugar os três fios estão esticados Qual é a tração a no fio 1 e b no fio 2 Figura 1281 Problema 77 78 Na Fig 1282 uma viga homogênea de 120 m de comprimento é sustentada por um cabo horizontal e por uma dobradiça e faz um ângulo θ 500º com a horizontal A tração do cabo é 400 N Na notação dos vetores unitários qual é a a força gravitacional a que a viga está submetida e b qual é a força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1282 Problema 78 79 Quatro tijolos iguais e homogêneos de comprimento L são empilhados de duas formas diferentes em uma mesa como mostra a Fig 1283 compare com o Problema 63 Estamos interessados em maximizar a distância h nas duas configurações Determine as distâncias ótimas a1 a2 b1 e b2 e calcule h para os dois arranjos Figura 1283 Problema 79 80 Uma barra cilíndrica homogênea de alumínio com um comprimento inicial de 08000 m e um raio de 10000 μm é fixada em uma extremidade e esticada por uma máquina que puxa a outra extremidade paralelamente à maior dimensão da barra Supondo que a massa específica massa por unidade de volume da barra não varia determine o módulo da força que a máquina deve aplicar à barra para que o raio da barra diminua para 9999 μm O limite elástico não é ultrapassado 81 Uma viga de comprimento L é carregada por três homens um em uma extremidade e os outros dois apoiando a viga entre eles em uma barra transversal posicionada de tal forma que o peso da viga seja dividido igualmente entre os três homens A que distância da extremidade livre da viga está a barra de apoio Despreze a massa da barra de apoio 82 Se a viga quadrada do Exemplo 1202 é feita de pinho qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja 16 do limite de ruptura 83 A Fig 1284 mostra um arranjo estacionário de duas caixas de lápis e três cordas A caixa A tem massa de 110 kg e está em uma rampa de ângulo θ 300º a caixa B tem massa de 700 kg e está pendurada A corda presa à caixa A está paralela à rampa cujo atrito é desprezível a Qual é a tração da corda de cima e b que ângulo essa corda faz com a horizontal Figura 1284 Problema 83 84 Um balanço improvisado foi construído fazendo uma alça em uma das pontas de uma corda e amarrando a outra ponta no galho de uma árvore Uma criança está sentada na alça com a corda na vertical quando o pai da criança a empurra com uma força horizontal deslocandoa para um lado Imediatamente antes de a criança ser liberada a partir do repouso a corda faz um ângulo de 15º com a vertical e a tração da corda é de 280 N a Quanto pesa a criança b Qual é o módulo da força horizontal que o pai está exercendo sobre a criança imediatamente antes de liberála c Se a força máxima que o pai pode exercer sobre a criança é 93 N qual é o maior ângulo com a vertical que a corda pode fazer enquanto o pai empurra horizontalmente a criança 85 A Fig 1285a mostra detalhes de um dos dedos da alpinista da Fig 1250 Um tendão proveniente dos músculos do antebraço está preso na falange distal No caminho o tendão passa por várias estruturas fibrosas chamadas polias A polia A2 está presa na falange proximal a polia A4 está presa na falange medial Para puxar o dedo na direção da palma da mão os músculos do antebraço puxam o tendão mais ou menos do mesmo modo como as cordas de uma marionete são usadas para movimentar os membros do boneco A Fig 1285b é um diagrama simplificado da falange medial que tem um comprimento d A força que o tendão exerce sobre o osso t está aplicada no ponto em que o tendão entra na polia A4 a uma distância d3 da extremidade da falange medial Se as componentes das forças que agem sobre cada um dos dedos em pinça da Fig 1250 são Fh 134 N e Fv 1624 N qual é o módulo de t O resultado é provavelmente tolerável mas se a alpinista ficar pendurada por apenas um ou dois dedos as polias A2 e A4 poderão se romper um problema que frequentemente aflige os alpinistas Figura 1285 Problema 85 86 Um alçapão quadrado em um teto tem 091 m de lado uma massa de 11 kg e está preso por uma dobradiça de um lado e por um ferrolho do lado oposto Se o centro de gravidade do alçapão está a 10 cm do centro em direção ao lado que está preso pela dobradiça qual é o módulo da força exercida pelo alçapão a sobre o ferrolho e b sobre a dobradiça 87 Uma partícula é submetida a forças dadas em newtons por a Qual é a componente x e b qual é a componente y da força 3 que equilibra a resultante das forças 1 e 2 c Qual é o ângulo da força 3 com o semieixo x positivo 88 A Torre de Pisa tem 591 m de altura e 744 m de diâmetro O alto da torre está deslocado 401 m em relação à vertical Modele a torre como um cilindro circular homogêneo a Que deslocamento adicional do alto da torre faria com que a torre ficasse no limiar de tombar b Qual seria o ângulo correspondente da torre em relação à vertical CAPÍTULO 13 Gravitação 131 A LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1301 Usar a lei da gravitação de Newton para relacionar a força gravitacional entre duas partículas à massa das partículas e à distância entre elas 1302 Saber que uma casca esférica homogênea atrai uma partícula situada do lado de fora como se toda a massa estivesse concentrada no centro 1303 Desenhar um diagrama de corpo livre para indicar a força gravitacional exercida sobre uma partícula por outra partícula ou por uma casca esférica homogênea IdeiasChave Toda partícula do universo atrai outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por em que m1 e m2 são as massas das partículas r é a distância entre as partículas e G 667 1011 N m2kg2 é a constante gravitacional A força gravitacional exercida por objetos macroscópicos pode ser calculada somando integrando as forças exercidas pelas partículas que compõem o corpo No caso especial de uma casca esférica homogênea a força gravitacional exercida sobre um objeto situado do lado de fora pode ser calculada como se toda a massa estivesse concentrada no centro do objeto O que É Física Um dos mais antigos objetivos da física é compreender a força gravitacional a força que nos mantém na superfície da Terra que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol A física também se estende a toda a Via Láctea evitando que se dispersem os bilhões e bilhões de estrelas e incontáveis moléculas e partículas isoladas que existem em nossa galáxia Estamos situados perto da borda desse aglomerado de estrelas em forma de disco a 26 104 anosluz 25 1020 m do centro da galáxia em torno do qual giramos lentamente A força gravitacional também se estende ao espaço intergaláctico mantendo unidas as galáxias do Grupo Local que inclui além da Via Láctea a galáxia de Andrômeda Fig 131 a uma distância de 23 106 anosluz da Terra e várias galáxias anãs mais próximas como a Grande Nuvem de Magalhães O Grupo Local faz parte do Superaglomerado Local de galáxias que está sendo atraído pela força gravitacional para uma região do espaço excepcionalmente densa conhecida como Grande Atrator Essa região parece estar a cerca de 30 108 anosluz da Terra do lado oposto da Via Láctea A força gravitacional se estende ainda mais longe já que tenta manter unido o universo inteiro que está se expandindo Essa força também é responsável por uma das entidades mais misteriosas do universo o buraco negro Quando uma estrela consideravelmente maior que o Sol se apaga a força gravitacional entre as partículas que compõem a estrela pode fazer com que a estrela se contraia indefinidamente formando um buraco negro A força gravitacional na superfície de uma estrela desse tipo é tão intensa que nem a luz pode escapar daí o termo buraco negro Qualquer estrela que passe nas proximidades de um buraco negro pode ser despedaçada pela força gravitacional e sugada para o interior do buraco negro Depois de várias capturas desse tipo surge um buraco negro supermaciço Esses monstros misteriosos parecem ser comuns no universo Na verdade tudo indica que no centro da Via Láctea a nossa galáxia existe um buraco negro conhecido como Sagitário A com uma massa equivalente a 37 106 vezes a massa do Sol A força gravitacional nas vizinhanças desse buraco negro é tão intensa que as estrelas mais próximas giram em torno do buraco negro com velocidades extremamente elevadas completando uma órbita em pouco mais de 15 anos Embora a força gravitacional ainda não esteja totalmente compreendida o ponto de partida para nosso entendimento é a lei da gravitação de Isaac Newton Cortesia da NASA Figura 131 A galáxia de Andrômeda Situada a 23 106 anosluz da Terra e fracamente visível a olho nu é muito parecida com a nossa galáxia a Via Láctea Figura 132 a A força gravitacional que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é uma força atrativa porque aponta para a partícula 2 b A força está em um eixo r que passa pelas duas partículas c A força tem o mesmo sentido que o vetor unitário do eixo r A Lei da Gravitação de Newton Antes de trabalhar com as equações da gravitação vamos pensar por um momento em algo que normalmente aceitamos sem discussão Estamos presos à Terra por uma força de intensidade adequada não tão grande que nos faça rastejar para chegar à faculdade embora depois de um exame particularmente difícil você talvez tenha que rastejar para chegar em casa nem tão pequena que você bata com a cabeça no teto cada vez que tenta dar um passo A força também não é suficientemente grande para que as pessoas se atraiam mutuamente o que poderia causar muitas cenas de ciúme ou atraiam outros objetos caso em que a expressão pegar um ônibus teria um sentido literal A atração gravitacional depende claramente da quantidade de matéria que existe em nós e em outros corpos a Terra possui uma grande quantidade de matéria e produz uma grande atração mas uma pessoa possui uma quantidade de matéria relativamente pequena e é por isso que não atrai outras pessoas Além disso a força exercida por essa quantidade de matéria é sempre atrativa não existe o que se poderia chamar de força gravitacional repulsiva No passado as pessoas certamente sabiam que havia uma força que as atraía em direção ao chão especialmente quando tropeçavam e caíam mas pensavam que essa força fosse uma propriedade exclusiva da Terra e não tivesse relação com o movimento dos astros no céu Em 1665 Isaac Newton então com 23 anos prestou uma contribuição fundamental à física ao demonstrar que era essa mesma força que mantinha a Lua em órbita Na verdade Newton sustentou que todos os corpos do universo se atraem mutuamente esse fenômeno é chamado de gravitação e a quantidade de matéria da qual depende a intensidade da força de atração é a massa de cada corpo Se fosse verdadeira a lenda de que foi a queda de uma maçã que inspirou Newton a formular a lei da gravitação a força que ele teria observado seria a que existe entre a massa da maçã e a massa da Terra Essa força pode ser observada porque a massa da Terra é muito grande mas mesmo assim é de apenas 08 N A atração entre duas pessoas em uma fila de supermercado é felizmente muito menor menos de 1 μN e totalmente imperceptível A atração gravitacional entre objetos macroscópicos como duas pessoas por exemplo pode ser difícil de calcular Por enquanto vamos discutir apenas a lei da gravitação de Newton para duas partículas corpos de tamanho desprezível Se as massas das partículas são m1 e m2 e elas estão separadas por uma distância r o módulo da força de atração que uma exerce sobre a outra é dado por em que G é uma constante conhecida como constante gravitacional cujo valor é Na Fig 132a é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 de massa m1 pela partícula 2 de massa m2 A força aponta para a partícula 2 e dizemos que é uma força atrativa porque tende a aproximar a partícula 1 da partícula 2 O módulo da força é dado pela Eq 131 Podemos dizer que aponta no sentido positivo de um eixo r traçado ao longo da reta que liga a partícula 1 à partícula 2 Fig 132b Podemos também representar a força usando um vetor unitário um vetor adimensional de módulo 1 que aponta da partícula 1 para a partícula 2 Fig 132c Nesse caso de acordo com a Eq 13 1 a força que age sobre a partícula 1 é dada por A força gravitacional que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 tem o mesmo módulo que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 e o sentido oposto As duas forças formam um par de forças da terceira lei e podemos falar da força gravitacional entre as duas partículas como tendo um módulo dado pela Eq 131 A força entre duas partículas não é alterada pela presença de outros objetos mesmo que estejam situados entre as partículas Em outras palavras nenhum objeto pode blindar uma das partículas da força gravitacional exercida pela outra partícula A intensidade da força gravitacional ou seja a intensidade da força com a qual duas partículas de massa conhecida e separadas por uma distância conhecida se atraem depende do valor da constante gravitacional G Se G por algum milagre fosse de repente multiplicada por 10 seríamos esmagados contra o chão pela atração da Terra Se G fosse dividida por 10 a atração da Terra se tornaria tão fraca que poderíamos saltar sobre um edifício Corpos Macroscópicos Embora a lei da gravitação de Newton se aplique estritamente a partículas podemos aplicála a objetos reais desde que os tamanhos desses objetos sejam pequenos em comparação com a distância entre eles A Lua e a Terra estão suficientemente distantes uma da outra para que com boa aproximação possam ser tratadas como partículas O que dizer porém do caso de uma maçã e a Terra Do ponto de vista da maçã a Terra extensa e plana que vai até o horizonte certamente não se parece com uma partícula Newton resolveu o problema da atração entre a Terra e a maçã provando um importante teorema conhecido como teorema das cascas Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro A Terra pode ser imaginada como um conjunto de cascas uma dentro da outra cada uma atraindo uma partícula localizada fora da superfície da Terra como se a massa da casca estivesse no centro Assim do ponto de vista da maçã a Terra se comporta como uma partícula localizada no centro da Terra que possui uma massa igual à massa da Terra Par de Forças da Terceira Lei Suponha que como na Fig 133 a Terra atraia uma maçã para baixo com uma força de módulo 080 N Nesse caso a maçã atrai a Terra para cima com uma força de 080 N cujo ponto de aplicação é o centro da Terra Na linguagem do Capítulo 5 essas forças formam um par de forças da terceira lei de Newton Embora tenham o mesmo módulo as forças produzem acelerações diferentes quando a maçã começa a cair A aceleração da maçã é aproximadamente 98 ms2 a aceleração dos corpos em queda livre perto da superfície da Terra A aceleração da Terra medida no referencial do centro de massa do sistema maçãTerra é apenas cerca de 1 1025 ms2 Figura 133 A maçã puxa a Terra para cima com a mesma força com a qual a Terra puxa a maçã para baixo Teste 1 Uma partícula é colocada sucessivamente do lado de fora de quatro objetos todos de massa m 1 uma grande esfera maciça homogênea 2 uma grande casca esférica homogênea 3 uma pequena esfera maciça homogênea e 4 uma pequena casca homogênea Em todos os casos a distância entre a partícula e o centro do objeto é d Ordene os objetos de acordo com o módulo da força gravitacional que eles exercem sobre a partícula em ordem decrescente 132 GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1304 Desenhar um diagrama de corpo livre para uma partícula submetida a várias forças gravitacionais 1305 Determinar a força resultante que age sobre uma partícula submetida a várias forças gravitacionais IdeiasChave A força gravitacional obedece ao princípio da superposição ou seja se n partículas interagem por meio da força gravitacional a força resultante 1res a que está submetida a partícula 1 é a soma das forças exercidas sobre a partícula 1 por todas as outras partículas em que o somatório representa a soma vetorial das forças que as partículas 2 3 n exercem sobre a partícula 1 A força gravitacional 1 que um objeto de dimensões finitas exerce sobre uma partícula pode ser determinada dividindo o objeto em elementos de massa infinitesimal dm cada um dos quais exerce uma força infinitesimal d sobre a partícula e integrando essa força para todos os elementos do objeto Gravitação e o Princípio da Superposição Dado um grupo de partículas podemos determinar a força gravitacional a que uma das partículas está submetida devido à presença das outras usando o princípio da superposição Tratase de um princípio segundo o qual em muitas circunstâncias um efeito total pode ser calculado somando efeitos parciais No caso da gravitação esse princípio pode ser aplicado o que significa que podemos calcular a força total a que uma partícula está submetida somando vetorialmente as forças que todas as outras partículas exercem sobre ela Vamos chamar a atenção para dois pontos importantes da última sentença que talvez tenham passado despercebidos 1 Uma vez que as forças são vetores e podem estar sendo aplicadas em diferentes direções elas devem ser somadas vetorialmente Se duas pessoas puxam você em direções opostas a força total que elas exercem é obviamente diferente da força a que você seria submetido se elas estivessem puxando você na mesma direção 2 As forças exercidas pelas diferentes partículas podem ser somadas Imagine como seria difícil calcular a força resultante se ela dependesse de um fator multiplicativo que variasse de força para força ou se a presença de uma força afetasse de alguma forma a intensidade das outras forças Felizmente o cálculo da força resultante envolve apenas uma soma vetorial das forças envolvidas No caso de n partículas a aplicação do princípio da superposição às forças gravitacionais que agem sobre a partícula 1 permite escrever Aqui 1res é a força resultante a que está submetida a partícula 1 e por exemplo 13 é a força exercida pela partícula 3 sobre a partícula 1 Podemos expressar a Eq 134 de forma mais compacta por meio de um somatório Objetos Reais O que dizer da força gravitacional que um objeto real de dimensões finitas exerce sobre uma partícula Essa força pode ser calculada dividindo o objeto em partes suficientemente pequenas para serem tratadas como partículas e usando a Eq 135 para calcular a soma vetorial das forças exercidas pelas partes sobre a partícula No casolimite podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes infinitesimais de massa dm cada uma delas exerce uma força infinitesimal d sobre a partícula Nesse limite o somatório da Eq 135 se torna uma integral e temos em que a integração é realizada para todo o objeto e omitimos o índice res Se o objeto é uma casca esférica homogênea podemos evitar a integração da Eq 136 supondo que toda a massa está no centro do objeto e usando a Eq 131 Teste 2 A figura mostra quatro arranjos de partículas de mesma massa a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força gravitacional a que está submetida a partícula m começando pelo maior b No arranjo 2 a direção da força resultante está mais próxima da reta de comprimento d ou da reta de comprimento D Exemplo 1301 Força gravitacional resultante para três partículas no mesmo plano A Fig 134a mostra um arranjo de três partículas a partícula 1 de massa m1 60 kg e as partículas 2 e 3 de massa m2 m3 40 kg a 20 cm Qual é a força gravitacional resultante 1res que as outras partículas exercem sobre a partícula 1 IDEIASCHAVE 1 O módulo da força gravitacional que cada uma das outras partículas exerce sobre a partícula 1 é dado pela Eq 131 F Gm1m2r2 2 A direção da força gravitacional é a da reta que liga cada partícula à partícula 1 3 Como as forças não são colineares não podemos simplesmente somar ou subtrair o módulo das forças para obter a força total mas devemos usar uma soma vetorial Cálculos De acordo com a Eq 131 o módulo da força 12 que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é dado por Analogamente o módulo da força 13 que a partícula 3 exerce sobre a partícula 1 é dado por A força 12 aponta no sentido positivo do eixo y Fig 134b e possui apenas a componente y F12 a força 13 aponta no sentido negativo do eixo x e possui apenas a componente x F13 Fig 134c Note algo importante Desenhamos os diagramas de corpo livre com a origem dos vetores na partícula que está sendo representada Desenhar os vetores em outras posições pode ser um convite para cometer erros especialmente em provas finais Para determinar a força resultante 1res a que está submetida a partícula 1 devemos calcular a soma vetorial das duas forças Figs 134d e 134e Isso poderia ser feito usando uma calculadora Acontece porém que F13 e F12 podem ser vistas como as componentes x e y de 1res portanto podemos usar a Eq 36 para determinar o módulo e a orientação de 1res O módulo é A Eq 36 nos dá a orientação de 1res em relação ao semieixo positivo como Esse resultado Fig 134f é razoável Não já que a orientação de 1res deve estar entre as orientações de 12 e 13 Como vimos no Capítulo 3 as calculadoras mostram apenas um dos dois valores possíveis da função tan1 Para obter o outro valor somamos 180o que é Fig 134g uma orientação razoável de 1res Figura 134 a Um arranjo de três partículas A força exercida sobre a partícula 1 b pela partícula 2 e c pela partícula 3 d e e Duas formas diferentes de combinar as duas forças para obter a força resultante f Ângulo da força resultante fornecido por uma calculadora g Ângulo correto da força resultante 133 A GRAVITAÇÃO PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1306 Saber o que é a aceleração da gravidade 1307 Calcular a aceleração da gravidade nas proximidades de um corpo celeste esférico e homogêneo 1308 Saber a diferença entre peso e força gravitacional e entre aceleração de queda livre e aceleração da gravidade IdeiasChave A aceleração da gravidade ag de uma partícula de massa m se deve exclusivamente à força gravitacional a que a partícula é submetida Quando a partícula está a uma distância r do centro de um corpo celeste esférico e homogêneo de massa M a força gravitacional F que age sobre a partícula é dada pela Eq 131 De acordo com a segunda lei de Newton F mag o que nos dá Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme a aceleração da gravidade ag varia ligeiramente de um ponto a outro da superfície terrestre Como a Terra possui um movimento de rotação o peso de uma partícula mg em que g é aceleração de queda livre é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional A Gravitação Perto da Superfície da Terra Vamos supor que a Terra é uma esfera homogênea de massa M O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é dado pela Eq 131 Se a partícula é liberada ela cai em direção ao centro da Terra em consequência da força gravitacional com uma aceleração g que é chamada de aceleração da gravidade De acordo com a segunda lei de Newton os módulos de e g estão relacionados pela equação Substituindo F na Eq 1310 pelo seu valor dado pela Eq 139 e explicitando ag obtemos A Tabela 131 mostra os valores de ag calculados para várias altitudes acima da superfície da Terra Note que ag tem um valor significativo mesmo a 400 km de altura Tabela 131 Variação de ag com a Altitude Altitude km ag ms2 Exemplo de Altitude 0 983 Superfície média da Terra 88 980 Monte Everest 366 971 Recorde para um balão tripulado 400 870 Órbita do ônibus espacial 35700 0225 Satélite de comunicações A partir do Módulo 51 supusemos que a Terra era um referencial inercial desprezando o movimento de rotação do planeta Essa simplificação permitiu supor que a aceleração de queda livre g de uma partícula era igual à aceleração da gravidade que agora chamamos de ag Além disso supusemos que g possuía o valor de 98 ms2 em qualquer ponto da superfície da Terra Na verdade o valor de g medido em um ponto específico da superfície terrestre é diferente do valor de ag calculado usando a Eq 1311 para o mesmo ponto por três razões 1 A massa da Terra não está distribuída uniformemente 2 a Terra não é uma esfera perfeita 3 a Terra está girando Pelas mesmas razões o peso mg de uma partícula é diferente da força calculada usando a Eq 139 Vamos agora discutir essas três razões Figura 135 Massa específica da Terra em função da distância do centro Os limites do núcleo sólido interno do núcleo externo semilíquido e do manto sólido são claramente visíveis mas a crosta da Terra é fina demais para ser mostrada no gráfico 1 2 3 A massa da Terra não está uniformemente distribuída A massa específica massa por unidade de volume da Terra varia com a distância do centro como mostra a Fig 135 e a massa específica da crosta parte mais próxima da superfície varia de ponto a ponto da superfície da Terra Assim g não é igual em todos os pontos da superfície A Terra não é uma esfera A Terra tem a forma aproximada de um elipsoide é achatada nos polos e saliente no equador A diferença entre o raio equatorial distância entre o centro da Terra e o equador e o raio polar distância entre o centro da Terra e os polos é da ordem de 21 km Assim um ponto em um dos polos está mais próximo do centro da Terra do que um ponto no equador Essa é uma das razões pelas quais a aceleração de queda livre g ao nível do mar aumenta à medida que nos afastamos do equador em direção a um dos polos A Terra está girando O eixo de rotação passa pelos polos norte e sul da Terra Um objeto localizado em qualquer lugar da superfície da Terra exceto nos polos descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação e portanto possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência Essa aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta que também está dirigida para o centro Para compreendermos de que forma a rotação da Terra faz com que g seja diferente de ag vamos analisar uma situação simples na qual um caixote de massa m está em uma balança no equador A Fig 13 6a mostra a situação observada de um ponto do espaço acima do polo norte A Fig 136b um diagrama de corpo livre mostra as duas forças que agem sobre o caixote ambas orientadas ao longo da reta que liga o centro da Terra ao caixote A força normal N exercida pela balança sobre o caixote é dirigida para fora da Terra no sentido positivo do eixo r A força gravitacional representada pela força equivalente m g é dirigida para dentro da Terra Como se move em uma circunferência por causa da rotação da Terra o caixote possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da Terra De acordo com a Eq 1023 ar ω2r a aceleração centrípeta do caixote é igual a ω2R em que ω é a velocidade angular da Terra e R é o raio da circunferência aproximadamente o raio da Terra Assim podemos escrever a segunda lei de Newton para as forças ao longo do eixo r Fresr mar na forma Figura 136 a Um caixote em uma balança no equador da Terra visto por um observador posicionado no eixo de rotação da Terra em um ponto acima do polo norte b Diagrama de corpo livre do caixote com um eixo r na direção da reta que liga o caixote ao centro da Terra A força gravitacional que age sobre o caixote está representada pelo vetor m g A força normal exercida pela balança sobre o caixote é N Devido à rotação da Terra o caixote possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da Terra O módulo FN da força normal é igual ao peso mg indicado pela balança Substituindo FN por mg a Eq 1312 se torna ou em palavras Assim a rotação da Terra faz com que o peso medido seja menor que a força gravitacional que age sobre o caixote Diferença das Acelerações Para obter uma expressão correspondente para g e ag cancelamos m na Eq 1313 o que nos dá ou em palavras Assim a rotação da Terra faz com que aceleração de queda livre seja menor que a aceleração da gravidade Equador A diferença entre as acelerações g e ag é igual a ω2R e é máxima no equador já que o raio R da circunferência descrita pelo caixote é máximo no equador Para estimar a diferença podemos usar a Eq 105 ω ΔθΔt e o raio médio da Terra R 637 106 m Para uma rotação da Terra θ 2π rad e o período Δt é aproximadamente 24 h Usando esses valores e convertendo horas para segundos descobrimos que a diferença entre ag e g é apenas cerca de 0034 ms2 um valor muito pequeno em comparação com 98 ms2 Assim desprezar a diferença entre as acelerações g e ag constitui na maioria dos casos uma aproximação razoável Da mesma forma desprezar a diferença entre o peso e o módulo da força gravitacional constitui na maioria das vezes uma aproximação razoável Exemplo 1302 Diferença entre a aceleração da cabeça e a aceleração dos pés a Uma astronauta cuja altura h é 170 m flutua com os pés para baixo em um ônibus espacial em órbita a uma distância r 677 106 m do centro da Terra Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e a aceleração da cabeça da astronauta IDEIASCHAVE Podemos aproximar a Terra por uma esfera homogênea de massa MT De acordo com a Eq 1311 a aceleração gravitacional a qualquer distância r do centro da Terra é Poderíamos simplesmente aplicar essa equação duas vezes primeiro com r 677 106 m para os pés e depois com r 677 106 m 170 m para a cabeça Entretanto como h é muito menor que r uma calculadora forneceria o mesmo valor para ag nos dois casos e portanto obteríamos uma diferença nula Outra abordagem é mais produtiva Como é muito pequena a diferença dr entre a distância dos pés e a distância da cabeça da astronauta e o centro da Terra vamos diferenciar a Eq 1315 em relação a r Cálculos Diferenciando a Eq 1315 obtemos em que dag é o acréscimo da aceleração gravitacional em consequência de um acréscimo dr da distância ao centro da Terra No caso da astronauta dr h e r 677 106 m Substituindo os valores conhecidos na Eq 1316 obtemos em que o valor de MT foi obtido no Apêndice C O resultado significa que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em direção à Terra é ligeiramente maior que a aceleração da cabeça A diferença entre as acelerações conhecida como efeito maré tende a esticar o corpo da astronauta mas é tão pequena que não pode ser percebida b Se a mesma astronauta está de pés para baixo em uma nave espacial em órbita com o mesmo raio r 677 106 m em torno de um buraco negro de massa Mb 199 1031 kg 10 vezes a massa do Sol qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e da cabeça O buraco negro possui uma superfície chamada horizonte de eventos de raio Rb 2GMbc2 148 10 27Mb 295 104 m em que c é a velocidade da luz Nada nem mesmo a luz pode escapar dessa superfície ou de qualquer ponto do interior Note que a astronauta está bem longe do horizonte de eventos r 229Rb Cálculos Mais uma vez temos uma variação dr entre os pés e a cabeça da astronauta e podemos empregar a Eq 1316 Agora porém em vez de MT temos de usar Mb 199 1031 kg O resultado é Isso significa que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em direção ao buraco negro é bem maior que a da cabeça A força resultante seria suportável mas dolorosa Se a astronauta se aproximasse do buraco negro a força de estiramento aumentaria drasticamente 134 A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1309 Saber que é sempre nula a força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da casca 1310 Calcular a força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da esfera IdeiasChave A força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da casca é sempre nula A força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre uma partícula de massa m situada a uma distância r do centro da esfera se deve apenas à massa Mint de uma esfera interna de raio r em que ρ é a massa específica da esfera R é o raio da esfera e M é a massa da esfera Podemos substituir a esfera interna por uma partícula de mesma massa situada no centro da esfera e usar a lei da gravitação de Newton para partículas O resultado é A Gravitação no Interior da Terra O teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual a partícula se encontra no interior de uma casca homogênea para demonstrar o seguinte Uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre uma partícula localizada no interior da casca Figura 137 Uma cápsula de massa m cai a partir do repouso através de um túnel que liga os polos norte e sul da Terra Quando a cápsula está a uma distância r do centro da Terra a parte da massa da Terra que está contida numa esfera com esse raio é Mint Atenção Essa afirmação não significa que as forças gravitacionais exercidas pelas partículas da casca sobre a partícula considerada desaparecem magicamente e sim que a resultante das forças gravitacionais que agem sobre a partícula é nula Se a massa da Terra fosse uniformemente distribuída a força gravitacional que age sobre uma partícula seria máxima na superfície da Terra e decresceria à medida que a partícula se movesse para fora afastandose do planeta Se a partícula se movesse para o interior da Terra penetrando no poço de uma mina por exemplo a força gravitacional mudaria por duas razões 1 tenderia a aumentar porque a partícula estaria se aproximando do centro da Terra 2 tenderia a diminuir porque uma casca de material de espessura cada vez maior localizada do lado de fora da partícula em relação ao centro da Terra deixaria de contribuir para a força gravitacional Para obter uma expressão para a força gravitacional no interior de uma Terra homogênea vamos usar o enredo de De Polo a Polo um conto de ficção científica escrito por George Griffith em 1904 Na história três exploradores usam uma cápsula para viajar em um túnel natural fictício é claro que vai do polo sul ao polo norte A Fig 137 mostra a cápsula de massa m quando está a uma distância r do centro da Terra Nesse instante a força gravitacional resultante que age sobre a cápsula se deve à massa Mint de uma esfera de raio r a massa no interior da linha tracejada e não à massa total da Terra Além disso podemos supor que essa massa está concentrada em uma partícula situada no centro da Terra Assim de acordo com a Eq 131 a força gravitacional que age sobre a cápsula é dada por Supondo que a massa da Terra está uniformemente distribuída podemos igualar a massa específica ρ da esfera de raio r em termos da massa Mint e do raio r à massa específica da Terra inteira em termos da massa total M e do raio R da Terra Explicitando Mint obtemos Substituindo a segunda expressão de Mint na Eq 1317 obtemos o módulo da força gravitacional que age sobre a cápsula em função da distância r entre a cápsula e o centro da Terra De acordo com a história de Griffith à medida que a cápsula se aproxima do centro da Terra a força gravitacional experimentada pelos exploradores aumenta assustadoramente mas desaparece por um momento quando a cápsula atinge o centro da Terra Em seguida a gravidade volta a assumir um valor elevado e começa a diminuir enquanto a cápsula atravessa a outra metade do túnel e chega ao polo norte Com base na Eq 1319 vemos que na realidade a força diminui linearmente com a distância até que exatamente no centro a força se anula voltando a aumentar gradualmente quando a cápsula se afasta do centro Assim Griffith acertou apenas quanto ao fato de a força gravitacional se anular no centro da Terra A Eq 1319 também pode ser escrita em termos do vetor força e do vetor posição da cápsula Representando por K as constantes da Eq 1319 a equação vetorial se torna em que o sinal negativo indica que e têm sentidos opostos A Eq 1320 tem uma forma semelhante à da lei de Hooke Eq 720 k Assim nas condições idealizadas da história de Griffith a cápsula oscilaria como um bloco preso a uma mola com o centro das oscilações no centro da Terra Após ter caído do polo sul até o centro da Terra a cápsula viajaria do centro até o polo norte como Griffith afirmou e depois voltaria ao polo norte repetindo o ciclo para sempre Na Terra de verdade que possui uma distribuição de massa não uniforme Fig 135 a força sobre a cápsula aumentaria inicialmente atingiria um valor máximo a certa profundidade e depois passaria a diminuir até chegar a zero no centro da Terra 135 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1311 Calcular a energia potencial gravitacional de um sistema de partículas ou de esferas homogêneas que podem ser tratadas como partículas 1312 Saber que se uma partícula se desloca de um ponto inicial para um ponto final sob a ação de uma força gravitacional o trabalho realizado pela força e portanto a variação da energia potencial gravitacional não depende da trajetória da partícula 1313 Calcular o trabalho executado pela força gravitacional de um corpo celeste sobre uma partícula 1314 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica que inclui a energia potencial gravitacional ao movimento de uma partícula em relação a um corpo celeste 1315 Calcular a energia necessária para que uma partícula escape da atração gravitacional de um corpo celeste 1316 Calcular a velocidade de escape de uma partícula situada nas proximidades de um corpo celeste IdeiasChave A energia potencial gravitacional Ur de um sistema de duas partículas de massas M e m separadas por uma distância r é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita um valor muito grande para uma distância r Essa energia é dada por Se um sistema contém mais de duas partículas a energia potencial gravitacional total é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas No caso de três partículas de massas m1 m2 e m3 por exemplo Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R ou seja atingirá uma distância infinita se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape fornecida por Energia Potencial Gravitacional No Módulo 81 analisamos a energia potencial gravitacional de um sistema partículaTerra Supusemos que a partícula estava nas proximidades da superfície da Terra para que a força gravitacional fosse aproximadamente constante e escolhemos uma configuração de referência do sistema para a qual a energia potencial gravitacional fosse nula Essa configuração de referência foi tomada como aquela na qual a partícula estava na superfície da Terra Para partículas fora da superfície da Terra a energia potencial gravitacional diminuía quando a distância entre a partícula e a Terra diminuía Vamos agora alargar nossa visão e considerar a energia potencial gravitacional U de duas partículas de massas m e M separadas por uma distância r Mais uma vez vamos escolher uma configuração de referência com U igual a zero Entretanto para simplificar as equações a distância r na configuração de referência agora será tão grande que podemos considerála infinita Como antes a energia potencial gravitacional diminui quando a distância diminui Como U 0 para r a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se torna progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam Figura 138 Um sistema formado por três partículas A energia potencial gravitacional do sistema é a soma das energias potenciais gravitacionais dos três pares de partículas Com esses fatos em mente tomamos como justificaremos a seguir a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas como Note que Ur tende a zero quando r tende a infinito e que para qualquer valor finito de r o valor de Ur é negativo Modos de Falar A energia potencial dada pela Eq 1321 é uma propriedade do sistema de duas partículas e não de cada partícula isoladamente Não é possível dividir essa energia e afirmar que uma parte pertence a uma das partículas e o restante pertence à outra Entretanto se M m como acontece no caso do sistema formado pela Terra de massa M e uma bola de tênis de massa m frequentemente falamos da energia potencial da bola de tênis Podemos falar assim porque quando uma bola de tênis se move nas proximidades da superfície da Terra as variações de energia potencial do sistema bola Terra aparecem quase inteiramente como variações da energia cinética da bola de tênis já que as variações da energia cinética da Terra são pequenas demais para serem medidas Analogamente no Módulo 137 vamos falar da energia potencial de um satélite artificial em órbita da Terra porque a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra Por outro lado quando falamos da energia potencial de corpos de massas comparáveis devemos ter o cuidado de tratálos como um sistema Várias Partículas Se nosso sistema contém mais de duas partículas consideramos cada par de partículas separadamente calculamos a energia potencial gravitacional desse par usando a Eq 1321 como se as outras partículas não estivessem presentes e somamos algebricamente os resultados Aplicando a Eq 1321 a cada um dos três pares de partículas da Fig 138 por exemplo obtemos a seguinte equação para a energia potencial do sistema Figura 139 Uma bola de tênis é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra passando pelo ponto P a uma distância R do centro da Terra A força gravitacional que age sobre a bola e o vetor deslocamento diferencial d estão representados ao longo de um eixo radial r Demonstração da Equação 1321 Suponha que uma bola de tênis seja lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra como na Fig 139 Estamos interessados em obter uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto P da trajetória a uma distância radial R do centro da Terra Para isso calculamos o trabalho W realizado sobre a bola pela força gravitacional enquanto a bola se move do ponto P até uma distância muito grande infinita da Terra Como a força gravitacional r é uma força variável o módulo depende de r devemos usar as técnicas do Módulo 75 para calcular o trabalho Em notação vetorial podemos escrever A integral contém o produto escalar da força r pelo vetor deslocamento diferencial d ao longo da trajetória da bola Expandindo o produto obtemos a equação em que ϕ é o ângulo entre r e d Quando substituímos ϕ por 180 e Fr pelo seu valor dado pela Eq 131 a Eq 1324 se torna em que M é a massa da Terra e m é a massa da bola Substituindo na Eq 1323 e integrando obtemos em que W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P a uma distância R até o infinito A Eq 81 ΔU W nos diz que também podemos escrever esse trabalho em termos de energias potenciais como U U W Como a energia potencial no infinito U é nula U é a energia potencial em P e W é dado pela Eq 1325 essa equação se torna Substituindo R por r obtemos a Eq 1321 que queríamos demonstrar Figura 1310 Perto da superfície da Terra uma bola de tênis é deslocada do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória formada por segmentos radiais e arcos de circunferência Independência da Trajetória Na Fig 1310 deslocamos uma bola de tênis do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória composta por três segmentos radiais e três arcos de circunferência com o centro no centro da Terra Estamos interessados no trabalho total W realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola quando esta se desloca do ponto A até o ponto G O trabalho realizado ao longo dos arcos de circunferência é nulo já que é perpendicular aos arcos em todos os pontos Assim W é a soma apenas dos trabalhos realizados pela força ao longo dos três segmentos radiais Suponha agora que reduzimos mentalmente o comprimento dos arcos para zero Nesse caso estamos deslocando a bola de A para G ao longo de um único segmento radial O valor de W é diferente Não Como nenhum trabalho é realizado ao longo dos arcos sua eliminação não muda o valor do trabalho A trajetória seguida de A a G é diferente mas o trabalho realizado por é o mesmo Esse tipo de resultado foi discutido de forma geral no Módulo 81 O fato é que a força gravitacional é uma força conservativa Assim o trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula que se move de um ponto inicial i para um ponto final f não depende da trajetória seguida entre os pontos De acordo com a Eq 81 a variação ΔU da energia potencial gravitacional do ponto i para o ponto f é dada por Como o trabalho W realizado por uma força conservativa é independente da trajetória seguida pela partícula a variação ΔU da energia potencial gravitacional também é independente da trajetória Energia Potencial e Força Na demonstração da Eq 1321 deduzimos a função energia potencial Ur a partir da função força r Poderíamos ter seguido o caminho inverso ou seja deduzido a função força a partir da função energia potencial Guiados pela Eq 822 Fx dUxdx podemos escrever Essa é a lei da gravitação de Newton Eq 131 O sinal negativo significa que a força exercida sobre a massa m aponta no sentido de valores menores de r em direção à massa M Velocidade de Escape Quando lançamos um projétil para cima normalmente ele diminui de velocidade para momentaneamente e cai de volta na Terra Para velocidades maiores que certo valor porém o projétil continua a subir indefinidamente e sua velocidade somente se anula pelo menos na teoria a uma distância infinita da Terra O menor valor da velocidade para que isso ocorra é chamado de velocidade de escape da Terra Considere um projétil de massa m deixando a superfície de um planeta ou outro astro qualquer com a velocidade de escape v O projétil possui uma energia cinética K dada por e uma energia potencial U dada pela Eq 1321 em que M e R são respectivamente a massa e o raio do planeta Quando o projétil atinge o infinito ele para e portanto não possui mais energia cinética Também não possui energia potencial gravitacional pois uma distância infinita entre dois corpos corresponde à configuração que escolhemos como referência de energia potencial nula A energia total do projétil no infinito é portanto zero De acordo com a lei de conservação da energia a energia total do projétil na superfície do planeta também deve ter sido nula de modo que Isso nos dá Note que v não depende da direção em que o projétil é lançado Entretanto é mais fácil atingir essa velocidade se o projétil for lançado na direção para a qual o local de lançamento está se movendo por causa da rotação do planeta Assim por exemplo os foguetes americanos são lançados na direção leste em Cabo Canaveral para aproveitar a velocidade local para o leste de cerca de 1500 kmh em consequência da rotação da Terra A Eq 1328 pode ser usada para calcular a velocidade de escape de um projétil a partir da superfície de qualquer corpo celeste tomando M como a massa do corpo e R como o raio A Tabela 132 mostra algumas velocidades de escape Tabela 132 Algumas Velocidades de Escape Astro Massa kg Raio m Velocidade de Escape kms Ceresa 117 1021 38 105 064 Luaa 736 1022 174 106 238 Terra 598 1024 637 106 112 Júpiter 190 1027 715 107 595 Sol 199 1030 696 108 618 Sirius Bb 2 1030 1 107 5200 Estrela de nêutronsc 2 1030 1 104 2 105 aO maior asteroide bUma anã branca estrela em um estágio final de evolução que é companheira da estrela Sirius cO núcleo denso de uma estrela que se transformou em supernova Teste 3 Você afasta uma bola de massa m de uma esfera de massa M a A energia potencial gravitacional do sistema bolaesfera aumenta ou diminui b O trabalho realizado pela força gravitacional com a qual a bola e a esfera se atraem é positivo ou negativo Exemplo 1303 Energia mecânica de um asteroide Um asteroide em rota de colisão com a Terra tem uma velocidade de 12 kms em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestres do centro da Terra Desprezando os efeitos da atmosfera sobre o asteroide determine a velocidade do asteroide vf ao atingir a superfície da Terra IDEIASCHAVE Como estamos desprezando os efeitos da atmosfera sobre o asteroide a energia mecânica do sistema asteroideTerra é conservada durante a queda Assim a energia mecânica final no instante em que o asteroide atinge a superfície da Terra é igual à energia mecânica inicial Chamando a energia cinética de K e a energia potencial gravitacional de U essa relação pode ser escrita na forma Supondo que o sistema é isolado o momento linear do sistema também é conservado durante a queda Assim as variações do momento linear do asteroide e da Terra devem ter o mesmo módulo e sinais opostos Entretanto como a massa da Terra é muito maior que a massa do asteroide a variação da velocidade da Terra é desprezível em relação à variação da velocidade do asteroide ou seja a variação da energia cinética da Terra pode ser desprezada Assim podemos supor que as energias cinéticas na Eq 1329 são apenas as do asteroide Cálculos Sejam m a massa do asteroide e M a massa da Terra 598 1024 kg O asteroide está inicialmente a uma distância 10RT do centro da Terra e no final a uma distância RT em que RT é o raio da Terra 637 106 m Substituindo U pelo seu valor dado pela Eq 1321 e K por a Eq 1329 se torna 1 2 3 Reagrupando os termos e substituindo os valores conhecidos obtemos e vf 160 104ms 16 kms Resposta A essa velocidade o asteroide não precisaria ser muito grande para causar danos consideráveis Se tivesse 5 m de diâmetro o choque liberaria aproximadamente tanta energia quanto a explosão nuclear de Hiroshima Na verdade existem cerca de 500 milhões de asteroides desse tamanho nas proximidades da órbita da Terra e em 1994 um deles aparentemente penetrou na atmosfera da Terra e explodiu 20 km acima do Pacífico Sul acionando alarmes de explosão nuclear em seis satélites militares 136 PLANETAS E SATÉLITES AS LEIS DE KEPLER Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1317 Conhecer as três leis de Kepler 1318 Saber qual das leis de Kepler é equivalente à lei de conservação do momento angular 1319 Localizar no desenho de uma órbita elíptica o semieixo maior o periélio o afélio e os pontos focais 1320 Conhecer a relação entre o semieixo maior a excentricidade o periélio e o afélio de uma órbita elíptica 1321 Conhecer a relação entre o período e o raio da órbita de um satélite natural ou artificial em torno de um corpo celeste e a massa do corpo celeste IdeiasChave O movimento de planetas e satélites tanto naturais como artificiais obedece às três leis de Kepler que no caso particular dos planetas do sistema solar podem ser enunciadas da seguinte forma Lei das órbitas Todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos Lei das áreas A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre a mesma área no mesmo intervalo de tempo Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular Lei dos períodos O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita em que M é a massa do Sol Planetas e Satélites As Leis de Kepler Desde tempos imemoriais os movimentos aparentemente aleatórios dos planetas em relação às estrelas intrigaram os observadores do céu O movimento retrógrado de Marte mostrado na Fig 1311 era particularmente enigmático Johannes Kepler 15711630 após uma vida de estudos descobriu as leis empíricas que governam esses movimentos Tycho Brahe 15461601 o último dos grandes astrônomos a fazer observações sem o auxílio de um telescópio compilou uma grande quantidade de dados a partir dos quais Kepler foi capaz de deduzir as três leis do movimento planetário que hoje levam o seu nome Mais tarde Newton 16421727 mostrou que as leis de Kepler são uma consequência da sua lei da gravitação Nesta seção vamos discutir as três leis de Kepler Embora tenham sido aplicadas originalmente ao movimento dos planetas em torno do Sol as mesmas leis podem ser usadas para estudar o movimento de satélites naturais ou artificiais em volta da Terra ou de qualquer outro corpo cuja massa seja muito maior que a do satélite Figura 1311 Trajetória de Marte em relação às estrelas da constelação de Capricórnio durante o ano de 1971 A posição do planeta está assinalada em quatro dias específicos Como tanto Marte como a Terra estão se movendo em torno do Sol o que vemos é a posição de Marte em relação a nós esse movimento relativo faz com que Marte às vezes pareça se mover no sentido oposto ao de sua trajetória normal 1 LEI DAS ÓRBITAS Todos os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos A Fig 1312 mostra um planeta de massa m que se move em órbita em torno do Sol cuja massa é M Sabemos que M m de modo que o centro de massa do sistema planetaSol está aproximadamente no centro do Sol A órbita da Fig 1312 é especificada pelo semieixo maior a e pela excentricidade e a última definida de tal forma que ea é a distância do centro da elipse a um dos focos F ou F9 Uma excentricidade nula corresponde a uma circunferência na qual os dois focos se reduzem a um único ponto central As excentricidades das órbitas dos planetas são tão pequenas que as órbitas parecem circulares se forem desenhadas em escala A excentricidade da elipse da Fig 1312 por exemplo é 074 enquanto a excentricidade da órbita da Terra é apenas 00167 2 LEI DAS ÁREAS A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo iguais ou seja a taxa de variação dAdt da área A com o tempo é constante Figura 1312 Um planeta de massa m em órbita elíptica em torno do Sol O Sol de massa M ocupa um foco F da elipse O outro foco F está localizado no espaço vazio Os dois focos ficam a uma distância ea do centro em que e é a excentricidade e a é o semieixo maior da elipse A distância do periélio Rp ponto mais próximo do Sol e a distância do afélio Ra ponto mais afastado do Sol também são mostradas na figura Qualitativamente a segunda lei nos diz que o planeta se move mais devagar quando está mais distante do Sol e mais depressa quando está mais próximo do Sol Na realidade a segunda lei de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momento angular Vamos provar esse fato A área da cunha sombreada na Fig 1313a é praticamente igual à área varrida no intervalo de tempo Δt pelo segmento de reta entre o Sol e o planeta cujo comprimento é r A área ΔA da cunha é aproximadamente igual à área de um triângulo de base rΔθ e altura r Como a área de um triângulo é igual à metade da base vezes a altura Essa expressão para ΔA se torna mais exata quando Δt e portanto Δθ tende a zero A taxa de variação instantânea é em que ω é a velocidade angular do segmento de reta que liga o Sol ao planeta A Fig 1313b mostra o momento linear do planeta juntamente com as componentes radial e perpendicular De acordo com a Eq 1120 L rp o módulo do momento angular do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e p a componente de perpendicular a r Para um planeta de massa m Figura 1313 a No instante Δt o segmento de reta r que liga o planeta ao Sol se desloca de um ângulo Δθ varrendo uma área ΔA sombreada b O momento linear do planeta e suas componentes em que substituímos v por ωr Eq 1018 Combinando as Eqs 1330 e 1331 obtemos De acordo com a Eq 1332 a afirmação de Kepler de que dAdt é constante equivale a dizer que L é constante ou seja que o momento angular é conservado A segunda lei de Kepler é portanto equivalente à lei de conservação do momento angular Figura 1314 Um planeta de massa m girando em torno do Sol em uma órbita circular de raio r 3 LEI DOS PERÍODOS O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita Para compreender por que isso é verdade considere a órbita circular da Fig 1314 de raio r o raio de uma circunferência é equivalente ao semieixo maior de uma elipse Aplicando a segunda lei de Newton F ma ao planeta em órbita da Fig 1314 obtemos Nesta equação substituímos o módulo da força F pelo seu valor dado pela Eq 131 e usamos a Eq 10 23 para substituir a aceleração centrípeta por ω2r Usando a Eq 1020 para substituir ω por 2πT em que T é o período do movimento obtemos a terceira lei de Kepler para órbitas circulares em que a grandeza entre parênteses é uma constante que depende apenas da massa M do corpo central em torno do qual o planeta gira Essa equação também é válida para órbitas elípticas desde que r seja substituído por a o semieixo maior da elipse o que nos dá Essa lei prevê que a razão T2a3 tem praticamente o mesmo valor para todas as órbitas em torno de um mesmo corpo de grande massa A Tabela 133 mostra que ela é válida para as órbitas de todos os planetas do sistema solar Tabela 133 Aplicação da Terceira Lei de Kepler aos Planetas do Sistema Solar Planeta Semieixo Maior a 1010 m Período T anos T2a3 1034 anos2m3 Mercúrio 579 0241 299 Vênus 108 0615 300 Terra 150 100 296 Marte 228 188 298 Júpiter 778 119 301 Saturno 143 295 298 Urano 287 840 298 Netuno 450 165 299 Plutão 590 248 299 Teste 4 O satélite 1 está em uma órbita circular em torno de um planeta enquanto o satélite 2 está em uma órbita circular de raio maior Qual dos satélites possui a o maior período e b a maior velocidade Exemplo 1304 O cometa de Halley e a lei dos períodos de Kepler O cometa de Halley gira em órbita em torno do Sol com um período de 76 anos em 1986 chegou à menor distância do Sol a distância do periélio Rp que é 89 1010 m A Tabela 133 mostra que essa distância está entre as órbitas de Mercúrio e Vênus a Qual é a maior distância do cometa ao Sol que é chamada de distância do afélio Ra IDEIASCHAVE De acordo com a Fig 1312 Ra Rp 2a em que a é o semieixo maior da órbita Assim podemos calcular Ra se conhecermos a Podemos relacionar a ao período por meio da lei dos períodos Eq 1334 Cálculos Explicitando a na Eq 1334 obtemos Substituindo na Eq 1335 a massa M do Sol 199 1030 kg e o período T do cometa 76 anos ou 24 109 s obtemos a 27 1012 m Isso nos dá A Tabela 133 mostra que esse valor é um pouco menor que o semieixo maior da órbita de Plutão Assim o cometa não se afasta mais do Sol que Plutão b Qual é a excentricidade e da órbita do cometa de Halley IDEIACHAVE Podemos relacionar e a e Rp usando a Fig 1312 na qual vemos que ea a Rp Cálculo Temos Como a excentricidade é quase igual a 1 a órbita do cometa de Halley é uma elipse muito alongada 137 SATÉLITES ÓRBITAS E ENERGIAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1322 Calcular a energia potencial gravitacional a energia cinética e a energia total de um satélite em uma órbita circular em torno de um corpo celeste 1323 Calcular a energia total de um satélite em uma órbita elíptica IdeiasChave Quando um planeta ou satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio r a energia potencial U e a energia cinética K são dadas por A energia mecânica E K U é portanto No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a Satélites Órbitas e Energias Quando um satélite gira em torno da Terra em uma órbita elíptica tanto a velocidade que determina a energia cinética K como a distância ao centro da Terra que determina a energia potencial gravitacional U variam com o tempo Entretanto a energia mecânica E do satélite permanece constante Como a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra atribuímos U e E do sistema satéliteTerra apenas ao satélite Figura 1315 Quatro órbitas com diferentes excentricidades e em torno de um corpo de massa M As quatro órbitas têm o mesmo semieixo maior a e portanto têm a mesma energia mecânica total E A energia potencial do sistema é dada pela Eq 1321 com U 0 para uma distância infinita A variável r é o raio da órbita do satélite que supomos por enquanto que é circular e M e m são as massas da Terra e do satélite respectivamente Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular usamos a segunda lei de Newton F ma para escrever em que v2r é a aceleração centrípeta do satélite De acordo com a Eq 1337 a energia cinética é que mostra que para um satélite em uma órbita circular A energia mecânica total do satélite é ou Esse resultado mostra que para um satélite em uma órbita circular a energia total E é o negativo da energia cinética K Para um satélite em uma órbita elíptica com semieixo maior a podemos substituir r por a na Eq 1340 para obter a energia mecânica De acordo com a Eq 1342 a energia total de um satélite em órbita não depende da excentricidade e Assim por exemplo no caso das quatro órbitas com o mesmo semieixo maior mostradas na Fig 1315 um satélite teria a mesma energia mecânica total E nas quatro órbitas A Fig 1316 mostra a variação de K U e E com r para um satélite em órbita circular em torno de um corpo central de grande massa Note que quanto maior o valor de r menor a energia cinética e portanto menor a velocidade tangencial do satélite Figura 1316 Variação da energia cinética K da energia potencial U e da energia total E com o raio r para um satélite em órbita circular Para qualquer valor de r os valores de U e E são negativos o valor de K é positivo e E K Para r as três curvas tendem a zero Teste 5 Na figura um ônibus espacial está inicialmente em uma órbita circular de raio r em torno da Terra No ponto P o piloto aciona por alguns instantes um retrofoguete para reduzir a energia cinética K e a energia mecânica E do ônibus espacial a Qual das órbitas elípticas tracejadas mostradas na figura o ônibus espacial passa a seguir b O novo período orbital T do ônibus espacial o tempo para retornar ao ponto P é maior menor ou igual ao da órbita circular Exemplo 1305 Energia mecânica de uma bola de boliche em órbita Um astronauta brincalhão lança uma bola de boliche de massa m 720 kg em uma órbita circular em torno da Terra a uma altitude h de 350 km a Qual é a energia mecânica E da bola IDEIACHAVE Podemos calcular E usando a Eq 1340 E GMm2r se conhecermos o raio r da órbita Note que o raio da órbita não é igual à altitude h já que a altitude é medida em relação à superfície da Terra e o raio da órbita é medido em relação ao centro da Terra Cálculos O raio da órbita é dado por r R h 6370 km 350 km 672 106 m em que R é o raio da Terra Assim de acordo com a Eq 1340 a energia mecânica é b Qual é a energia mecânica E0 da bola na plataforma de lançamento de Cabo Canaveral Qual é a variação ΔE da energia mecânica da bola quando ela é transportada da plataforma até a órbita IDEIACHAVE Na plataforma de lançamento a bola não está em órbita logo a Eq 1340 não se aplica Em vez disso devese calcular o valor de E0 K0 U0 em que K0 é a energia cinética da bola e U0 é a energia potencial gravitacional do sistema bolaTerra Cálculos Para obter U0 usamos a Eq 1321 A energia cinética K0 da bola se deve ao movimento da bola com a rotação da Terra É fácil mostrar que K0 é menor que 1 MJ um valor desprezível em comparação com U0 Assim a energia mecânica da bola na plataforma de lançamento é O aumento da energia mecânica da bola da plataforma de lançamento até a órbita é Isso equivale a alguns reais de eletricidade Obviamente o alto custo para colocar objetos em órbita não se deve à energia mecânica necessária Exemplo 1306 Transformação de uma órbita circular em uma órbita elíptica Uma espaçonave de massa m 450 103 kg está em uma órbita circular de período T0 1186 min 7119 103 s quando um retrofoguete é disparado e reduz a velocidade tangencial da espaçonave para 96 do valor original Qual é o período T da órbita elíptica resultante As duas órbitas são mostradas na Fig 1317 IDEIASCHAVE 1 O período de uma órbita elíptica está relacionado com o semieixo maior a pela Eq 1334 T2 4π2a3GM 2 O semieixo maior a está relacionado à energia mecânica total E da espaçonave pela Eq 1342 E GMm2a em que M é a massa da Terra 598 1024 kg 3 A energia potencial da espaçonave a uma distância do centro da Terra é dada pela Eq 1321 U GMmr 4 O raio r de uma órbita circular está relacionado com o período T0 da órbita pela Eq 1334 com a substituído por r o que nos dá Cálculos De acordo com as ideiaschave precisamos calcular a energia total E para obter o semieixo maior a e determinar o período da órbita elíptica Vamos começar pela energia cinética logo após o retrofoguete ser disparado A velocidade v nesse momento é 96 da velocidade inicial v0 que era igual à razão entre a circunferência e o período da órbita circular inicial Assim logo após o disparo do retrofoguete Figura 1317 Um retrofoguete é disparado quando a espaçonave está passando pelo ponto P o que muda a órbita de circular para elíptica Logo após o disparo do retrofoguete a espaçonave ainda está a uma distância do centro da Terra igual ao raio da órbita circular que é dado por r GMT2 04π213 667 1011 N m2kg2598 1024 kg7119 103 s24π213 800 106 m Assim a energia potencial gravitacional da espaçonave é Agora podemos obter o valor do semieixo maior usando a Eq 1342 Uma vez conhecido o valor de a podemos usar a Eq 1334 para obter o novo período Esse é o período da órbita elíptica assumida pela espaçonave depois que o retrofoguete é disparado O novo período é menor que o período inicial T0 por duas razões 1 O comprimento da nova órbita é menor 2 A espaçonave se aproxima mais da Terra em todos os pontos da nova órbita exceto no ponto em que o retrofoguete foi disparado Fig 1317 Isso faz com que a energia potencial gravitacional média aumente e portanto como a energia mecânica total é conservada a energia cinética média e a velocidade tangencial média da espaçonave são maiores na nova órbita 138 EINSTEIN E A GRAVITAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1324 Explicar o princípio de equivalência de Einstein 1325 Saber que o modelo de Einstein para a gravitação envolve a curvatura do espaçotempo IdeiaChave Einstein propôs que a gravitação e a aceleração são equivalentes Esse princípio de equivalência o levou a formular uma teoria da gravitação a teoria da relatividade geral que explica os efeitos gravitacionais em termos da curvatura do espaço tempo Einstein e a Gravitação O Princípio de Equivalência Albert Einstein disse uma vez Eu estava no escritório de patentes em Berna quando de repente me ocorreu um pensamento Uma pessoa em queda livre não sente o próprio peso Fiquei surpreso Essa ideia simples me causou uma profunda impressão Ela me levou à teoria da gravitação Foi assim segundo Einstein que ele começou a formular a teoria da relatividade geral O postulado fundamental dessa teoria da gravitação ou seja da teoria da atração gravitacional entre objetos é o chamado princípio de equivalência segundo o qual a gravitação e a aceleração são equivalentes Se um físico fosse trancado em uma cabine como na Fig 1318 não seria capaz de dizer se a cabine estava em repouso na Terra e sujeita apenas à força gravitacional da Terra como na Fig 1318a ou estava viajando no espaço interestelar com uma aceleração de 98 ms2 e sujeita apenas à força responsável por essa aceleração como na Fig 1318b Nos dois casos o físico teria a mesma sensação e obteria o mesmo valor para o seu peso em uma balança Além disso se ele observasse um objeto em queda o objeto teria a mesma aceleração em relação à cabine nas duas situações A Curvatura do Espaço Até agora explicamos a gravitação como o resultado de uma força entre massas Einstein mostrou que na verdade a gravitação se deve a uma curvatura do espaço causada pelas massas Como será discutido em outro capítulo deste livro espaço e tempo são interdependentes de modo que a curvatura a que Einstein se refere é na verdade uma curvatura do espaçotempo o conjunto das quatro dimensões do nosso universo Figura 1318 a Um físico no interior de uma cabine em repouso em relação à Terra observa um melão cair com uma aceleração a 98 ms2 b Se a cabine estivesse viajando no espaço sideral com uma aceleração de 98 ms2 o melão teria a mesma aceleração em relação ao físico Não é possível para ele por meio de experimentos realizados no interior da cabine dizer qual das duas situações corresponde à realidade A balança de mola da figura por exemplo indicaria o mesmo peso nos dois casos É difícil imaginar de que forma o espaço mesmo vazio pode ter uma curvatura Uma analogia talvez ajude Suponha que estamos em órbita observando uma corrida na qual dois barcos partem do equador da Terra separados por uma distância de 20 km e rumam para o sul Fig 1319a Para os tripulantes os barcos seguem trajetórias planas e paralelas Entretanto com o passar do tempo os barcos vão se aproximando até que ao chegarem ao polo sul acabam por se chocar Os tripulantes dos barcos podem imaginar que essa aproximação foi causada por uma força de atração entre os barcos Observandoos do espaço porém podemos ver que os barcos se aproximaram simplesmente por causa da curvatura da superfície da Terra Podemos constatar esse fato porque estamos observando a corrida do lado de fora da superfície A Fig 1319b mostra uma corrida semelhante Duas maçãs separadas horizontalmente são liberadas da mesma altura acima da superfície da Terra Embora as maçãs pareçam descrever trajetórias paralelas na verdade se aproximam uma da outra porque ambas caem em direção ao centro da Terra Podemos interpretar o movimento das maçãs em termos da força gravitacional exercida pela Terra sobre as maçãs Podemos também interpretar o movimento em termos da curvatura do espaço nas vizinhanças da Terra uma curvatura que se deve à massa da Terra Dessa vez não podemos observar a curvatura porque não podemos nos colocar do lado de fora do espaço curvo como fizemos no exemplo dos barcos Entretanto podemos representar a curvatura por um desenho como o da Fig 1319c no qual as maçãs se movem em uma superfície que se encurva em direção à Terra por causa da massa da Terra Figura 1319 a Dois objetos que se movem ao longo de meridianos em direção ao polo sul convergem por causa da curvatura da superfície da Terra b Dois objetos em queda livre perto da superfície da Terra se movem ao longo de linhas que convergem para o centro da Terra por causa da curvatura do espaço nas proximidades da Terra c Longe da Terra e de outras massas o espaço é plano e as trajetórias paralelas permanecem paralelas Perto da Terra as trajetórias paralelas convergem porque o espaço é encurvado pela massa da Terra Cortesia do National Radio Astronomy Observatory Figura 1320 a A trajetória da luz de um quasar distante se encurva ao passar por uma galáxia ou um buraco negro porque a massa da galáxia ou do buraco negro encurva o espaço próximo Quando a luz é detectada parece ter sido produzida em um ponto situado no prolongamento da trajetória final retas tracejadas b Imagem do anel de Einstein conhecido como MG11310456 na tela do computador de um telescópio A fonte de luz na verdade ondas de rádio que são uma forma invisível de luz está muito atrás da grande galáxia invisível responsável pela formação do anel uma parte da fonte aparece como dois pontos luminosos do anel Quando a luz passa nas vizinhanças da Terra a trajetória da luz se encurva ligeiramente por causa da curvatura do espaço um efeito conhecido como lente gravitacional Quando a luz passa nas proximidades de uma estrutura maior como uma galáxia ou um buraco negro de massa elevada a trajetória pode se encurvar ainda mais Se existe uma estrutura desse tipo entre nós e um quasar uma fonte de luz extremamente brilhante e extremamente distante a luz do quasar pode se encurvar em torno da estrutura e convergir para a Terra Fig 1320a Assim como a luz parece vir de direções diferentes no céu vemos o mesmo quasar em várias posições Em algumas situações as imagens do quasar se juntam para formar um gigantesco arco luminoso que recebe o nome de anel de Einstein Fig 1320b Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaçotempo causada pela presença de massas a uma força entre as massas ou será que ela se deve à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton como propõem algumas teorias da física moderna Embora as teorias de Newton e Einstein tenham sido capazes de descrever com grande precisão a atração de corpos de todos os tamanhos desde maçãs até planetas e estrelas ainda não compreendemos perfeitamente a gravidade nem na escala cosmológica nem na escala da física quântica Revisão e Resumo A Lei da Gravitação Toda partícula do universo atrai as outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por em que m1 e m2 são as massas das partículas r é a distância entre as partículas e G 667 1011 N m2kg2 é a constante gravitacional Comportamento Gravitacional de Cascas Esféricas Homogêneas A força gravitacional entre corpos de dimensões finitas pode ser calculada somando integrando as forças a que estão submetidas as partículas que compõem os corpos Entretanto se um dos corpos é uma casca esférica homogênea ou um corpo maciço homogêneo com simetria esférica a força gravitacional resultante que o corpo exerce sobre um objeto externo pode ser calculada como se toda a massa da casca ou do corpo estivesse localizada no centro Superposição As forças gravitacionais obedecem ao princípio da superposição se n partículas interagem a força resultante 1res que age sobre a partícula 1 é a soma das forças exercidas individualmente sobre ela pelas outras partículas em que o somatório é uma soma vetorial das forças 1i exercidas sobre a partícula 1 pelas partículas 2 3 n A força gravitacional 1 exercida por um corpo de dimensões finitas sobre uma partícula é calculada dividindo o corpo em partículas de massa infinitesimal dm cada uma das quais produz uma força infinitesimal d sobre a partícula e integrando para obter a soma das forças Aceleração Gravitacional A aceleração gravitacional ag de uma partícula de massa m se deve unicamente à força gravitacional que age sobre a partícula Quando uma partícula está a uma distância r do centro de um corpo esférico homogêneo de massa M o módulo F da força gravitacional que age sobre a partícula é dado pela Eq 131 Assim de acordo com a segunda lei de Newton o que nos dá Aceleração de Queda Livre e Peso Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme e a Terra não é perfeitamente esférica a aceleração da gravidade ag varia ligeiramente de um ponto a outro da superfície terrestre Como a Terra possui um movimento de rotação o peso de uma partícula mg em que g é a aceleração de queda livre é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional dado pela Eq 1311 Gravitação no Interior de uma Casca Esférica Uma casca homogênea de matéria não exerce força 1 2 3 gravitacional sobre uma partícula localizada no interior Isso significa que se uma partícula estiver localizada no interior de uma esfera maciça homogênea a uma distância r do centro a força gravitacional exercida sobre a partícula se deve apenas à massa Mint que se encontra no interior de uma esfera de raio r Essa massa é dada por em que ρ é a massa específica da esfera M é a massa da esfera e R é o raio da esfera A força é dada por Energia Potencial Gravitacional A energia potencial gravitacional Ur de um sistema de duas partículas de massas M e m separadas por uma distância r é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita um valor muito grande para uma distância r Essa energia é dada por Energia Potencial de um Sistema Se um sistema contém mais de duas partículas a energia potencial gravitacional U é a soma dos termos que representam as energias potenciais de todos os pares de partículas Por exemplo para três partículas de massas m1 m2 e m3 Velocidade de Escape Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R isto é atingirá uma distância infinita se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape dada por Leis de Kepler O movimento dos satélites tanto naturais como artificiais obedece às três leis de Kepler que no caso particular dos planetas do sistema solar podem ser enunciadas da seguinte forma Lei das órbitas Todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos Lei das áreas A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular Lei dos períodos O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita em que M é a massa do Sol Energia do Movimento Planetário Quando um planeta ou satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio r a energia potencial U e a energia cinética K são dadas por A energia mecânica E K U é portanto No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a Teoria da Gravitação de Einstein Einstein mostrou que gravitação e aceleração são equivalentes Esse princípio de equivalência é a base de uma teoria da gravitação a teoria da relatividade geral que explica os efeitos gravitacionais em termos de uma curvatura do espaço Perguntas 1 Na Fig 1321 uma partícula de massa M está no centro de um arranjo de outras partículas separadas por uma distância d ou uma distância d2 ao longo do perímetro de um quadrado Quais são o módulo e a orientação da força gravitacional resultante a que está sujeita a partícula central Figura 1321 Pergunta 1 2 A Fig 1322 mostra três arranjos de quatro partículas iguais três em uma circunferência com 020 m de raio e a quarta no centro da circunferência a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força gravitacional resultante a que a partícula central está submetida começando pelo maior b Ordene os arranjos de acordo com a energia potencial gravitacional do sistema de quatro partículas começando pela menos negativa Figura 1322 Pergunta 2 3 Na Fig 1323 uma partícula central está cercada por dois anéis circulares de partículas de raios r e R com R r Todas as partículas têm a mesma massa m Quais são o módulo e a orientação da força gravitacional resultante a que está submetida a partícula central Figura 1323 Pergunta 3 4 Na Fig 1324 duas partículas de massas m e 2m estão fixas em um eixo a Em que lugar do eixo uma terceira partícula de massa 3m pode ser colocada excluindo o infinito para que a força gravitacional resultante exercida sobre ela pelas outras duas partículas seja nula à esquerda das partículas à direita das partículas entre as partículas mais perto da partícula de massa maior ou entre as partículas mais perto da partícula de massa menor b A resposta será diferente se a massa da terceira partícula for 16m c Existe algum ponto fora do eixo excluindo o infinito no qual a força resultante exercida sobre a terceira partícula é nula Figura 1324 Pergunta 4 5 A Fig 1325 mostra três situações que envolvem uma partícula pontual P de massa m e cascas esféricas homogêneas de massa M e raios diferentes Ordene as situações de acordo com o módulo da força gravitacional exercida pela casca sobre a partícula P em ordem decrescente Figura 1325 Pergunta 5 6 Na Fig 1326 três partículas são mantidas fixas A massa de B é maior que a massa de C Uma quarta partícula partícula D pode ser colocada em um lugar tal que a força gravitacional resultante exercida sobre a partícula A pelas partículas B C e D seja nula Caso a resposta seja afirmativa em que quadrante a partícula deve ser colocada e nas proximidades de que eixo Figura 1326 Pergunta 6 7 Ordene os quatro sistemas de partículas de mesma massa do Teste 2 de acordo com o valor absoluto da energia potencial gravitacional do sistema começando pelo maior 8 A Fig 1327 mostra a aceleração gravitacional ag de quatro planetas em função da distância r do centro do planeta a partir da superfície do planeta ou seja a partir da distância R1 R2 R3 ou R4 Os gráficos 1 e 2 coincidem para r R2 os gráficos 3 e 4 coincidem para r R4 Ordene os quatro planetas de acordo a com a massa e b com a massa específica em ordem decrescente Figura 1327 Pergunta 8 9 A Fig 1328 mostra três partículas inicialmente mantidas fixas com B e C iguais e posicionadas simetricamente em relação ao eixo y a uma distância d de A a Qual é a orientação da força gravitacional resultante res que age sobre A b Se a partícula C é deslocada radialmente para longe da origem a orientação de res varia Caso a resposta seja afirmativa como varia e qual é o limite da variação Figura 1328 Pergunta 9 10 A Fig 1329 mostra seis trajetórias possíveis para um foguete em órbita em torno de um astro que se desloca do ponto a para o ponto b Ordene as trajetórias de acordo a com a variação da energia potencial gravitacional do sistema fogueteastro e b com o trabalho total realizado sobre o foguete pela força gravitacional do astro em ordem decrescente Figura 1329 Pergunta 10 11 A Fig 1330 mostra três planetas esféricos homogêneos que têm a mesma massa e o mesmo volume Os períodos de rotação T dos planetas são dados e dois pontos da superfície são identificados por letras em cada planeta um no equador e outro no polo norte Ordene os pontos de acordo com o valor local da aceleração de queda livre g em ordem decrescente Figura 1330 Pergunta 11 12 Na Fig 1331 uma partícula de massa m não mostrada pode ser deslocada desde uma distância infinita até uma de três posições possíveis a b e c Duas outras partículas de massas m e 2m são mantidas fixas Ordene as três posições possíveis de acordo com o trabalho realizado pela força gravitacional resultante sobre a partícula móvel durante o deslocamento em ordem decrescente Figura 1331 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 131 A Lei da Gravitação de Newton 1 Uma massa M é dividida em duas partes m e M m que são em seguida separadas por certa distância Qual é a razão mM que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes 2 Influência da Lua Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua Se a Lua está do outro lado da Terra verticalmente abaixo de você e passa para uma posição verticalmente acima da sua cabeça qual é a variação percentual a da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e b do seu peso medido em uma balança de mola Suponha que a distância TerraLua de centro a centro é 382 108 m e que o raio da Terra é 637 106 m 3 Qual deve ser a distância entre uma partícula com 52 kg e uma partícula com 24 kg para que a atração gravitacional entre as partículas tenha um módulo de 23 1012 N 4 Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacional sobre a Lua Qual é a razão FSolFTerra entre as duas forças A distância média entre o Sol e a Lua é igual à distância média entre o Sol e a Terra 5 Miniburacos negros Talvez existam miniburacos negros no universo produzidos logo após o big bang Se um desses objetos com massa de 1 1011 kg e raio de apenas 1 1016 m se aproximasse da Terra a que distância da sua cabeça a força gravitacional exercida sobre você pelo miniburaco seria igual à força gravitacional exercida pela Terra Módulo 132 Gravitação e o Princípio da Superposição 6 Na Fig 1332 um quadrado com 200 cm de lado é formado por quatro esferas de massas m1 500 g m2 300 g m3 100 g e m4 500 g Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa m5 250 g Figura 1332 Problema 6 7 Uma dimensão Na Fig 1333 duas partículas pontuais são mantidas fixas em um eixo x separadas por uma distância d A partícula A tem massa mA e a partícula B tem massa 300mA Uma terceira partícula C de massa 750mA será colocada no eixo x nas proximidades das partículas A e B Qual deve ser a coordenada x da partícula C em termos da distância d para que a força gravitacional total exercida pelas partículas B e C sobre a partícula A seja nula Figura 1333 Problema 7 8 Na Fig 1334 três esferas de 500 kg estão localizadas a distâncias d1 0300 m e d2 0400 m a Qual é o módulo e b qual a orientação em relação ao semieixo x positivo da força gravitacional total que as esferas A e C exercem sobre a esfera B Figura 1334 Problema 8 9 Estamos interessados em posicionar uma sonda espacial entre a Terra e o Sol para observar erupções solares A que distância do centro da Terra deve estar a sonda para que a atração gravitacional exercida pelo Sol seja igual à atração gravitacional exercida pela Terra A Terra a sonda e o Sol estarão em uma mesma linha reta 10 Duas dimensões Na Fig 1335 três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy A partícula A tem massa mA a partícula B tem massa 200mA e a partícula C tem massa 300mA Uma quarta partícula de massa 400mA pode ser colocada nas proximidades das outras três partículas Em termos da distância d em que valor da coordenada a x e b y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B C e D sobre a partícula A seja nula Figura 1335 Problema 10 11 Como mostra a Fig 1336 duas esferas de massa m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo equilátero e uma quarta esfera de massa m4 ocupa o centro do triângulo A força gravitacional total exercida pelas outras três esferas sobre a esfera central é zero a Qual é o valor de M em termos de m b Se o valor de m4 for multiplicado por dois qual será valor da força gravitacional a que estará submetida a esfera central Figura 1336 Problema 11 12 Na Fig 1337a a partícula A é mantida fixa em x 020 m no eixo x e a partícula B com massa de 10 kg é mantida fixa na origem Uma partícula C não mostrada pode ser deslocada ao longo do eixo x entre a partícula B e x A Fig 1337b mostra a componente x Fresx da força gravitacional exercida pelas partículas A e C sobre a partícula B em função da posição x da partícula C O gráfico na verdade se estende indefinidamente para a direita e tende assintoticamente a 417 1010 N para x Qual é a massa a da partícula A e b da partícula C Figura 1337 Problema 12 13 A Fig 1338 mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R 400 cm a superfície da cavidade passa pelo centro da esfera e toca o lado direito da esfera A massa da esfera antes de ser criada a cavidade era M 295 kg Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m 0431 kg que está a uma distância d 900 cm do centro da esfera de chumbo na reta que passa pelo centro das duas esferas e pelo centro da cavidade Figura 1338 Problema 13 14 Três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy Duas delas a partícula A de massa 600 g e a partícula B de massa 120 g são mostradas na Fig 1339 separadas por uma distância dAB 0500 m θ 30 A partícula C cuja massa é 800 g não é mostrada A força gravitacional que as partículas B e C exercem sobre a partícula A tem um módulo de 277 1014 N e faz um ângulo de 1638 com o semieixo x positivo a Qual é a coordenada x e b qual é a coordenada y da partícula C Figura 1339 Problema 14 15 Três dimensões Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz A partícula A na origem tem massa mA A partícula B nas coordenadas 200d 100d 200d tem massa 200mA e a partícula C nas coordenadas 100d 200d 300d tem massa 300mA Uma quarta partícula D de massa 400mA pode ser colocada nas proximidades das outras partículas Em termos da distância d em que coordenada a x b y e c z a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B C e D sobre a partícula A seja nula 16 Na Fig 1340 uma partícula de massa m1 067 kg está a uma distância d 23 cm de uma das extremidades de uma barra homogênea de comprimento L 30 m e massa M 50 kg Qual é o módulo da força gravitacional que a barra exerce sobre a partícula Figura 1340 Problema 16 Módulo 133 A Gravitação Perto da Superfície da Terra 17 a Quanto pesaria na superfície da Lua um objeto que pesa 100 N na superfície da Terra b A quantos raios terrestres o mesmo objeto deveria estar do centro da Terra para ter o mesmo peso que na superfície da Lua 18 Atração de uma montanha Uma grande montanha praticamente não afeta a direção vertical indicada por uma linha de prumo Suponha que uma montanha possa ser modelada por uma esfera de raio R 200 km e massa específica 26 103 kgm3 Suponha também que uma linha de prumo de 050 m de comprimento seja pendurada a uma distância 3R do centro da esfera e que a esfera atraia horizontalmente o peso da linha de prumo Qual será o deslocamento do peso da linha de prumo em direção à esfera 19 A que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é de 49 ms2 20 Edifício de uma milha Em 1956 Frank Lloyd Wright propôs a construção de um edifício com uma milha de altura em Chicago Suponha que o edifício tivesse sido construído Desprezando a rotação da Terra determine a variação do seu peso se você subisse de elevador do andar térreo onde você pesa 600 N até o alto do edifício 21 Acreditase que algumas estrelas de nêutrons estrelas extremamente densas estão girando a cerca de 1 revs Se uma dessas estrelas tem um raio de 20 km qual deve ser no mínimo a massa da estrela para que uma partícula na superfície da estrela permaneça no lugar apesar da rotação 22 O raio Rb e a massa Mb de um buraco negro estão relacionados pela equação Rb 2GMbc2 em que c é a velocidade da luz Suponha que a aceleração gravitacional ag de um objeto a uma distância ro 1001Rb do centro do buraco negro seja dada pela Eq 1311 o que é verdade para buracos negros grandes a Determine o valor de ag a uma distância ro em termos de Mb b O valor de ag à distância ro aumenta ou diminui quando Mb aumenta c Quanto vale ag à distância ro para um buraco negro muito grande cuja massa é 155 1012 vezes a massa solar de 199 1030 kg d Se uma astronauta com 170 m de altura está à distância ro com os pés voltados para o buraco negro qual é a diferença entre a aceleração gravitacional da cabeça e dos pés e A astronauta sente algum desconforto 23 Um planeta é modelado por um núcleo de raio R e massa M cercado por uma casca de raio interno R raio externo 2R e massa 4M Se M 41 1024 kg e R 60 106 m qual é a aceleração gravitacional de uma partícula em pontos situados a uma distância a R e b 3R do centro do planeta Módulo 134 A Gravitação no Interior da Terra 24 A Fig 1341 mostra duas cascas esféricas concêntricas homogêneas de massas M1 e M2 Determine o módulo da força gravitacional a que está sujeita uma partícula de massa m situada a uma distância a a b b e c c do centro comum das cascas Figura 1341 Problema 24 25 Uma esfera maciça homogênea tem uma massa de 10 104 kg e um raio de 10 m Qual é o módulo da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância de a 15 m e b 050 m do centro da esfera c Escreva uma expressão geral para o módulo da força gravitacional que a esfera exerce sobre a partícula a uma distância r 10 m do centro da esfera 26 Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional ag na superfície A que distância do centro da esfera existem pontos a dentro da esfera e b fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é ag3 27 A Fig 1342 mostra fora de escala um corte transversal da Terra O interior da Terra pode ser dividido em três regiões a crosta o manto e o núcleo A figura mostra as dimensões das três regiões e as respectivas massas A Terra tem massa total de 598 1024 kg e raio de 6370 km Despreze a rotação da Terra e suponha que ela tem forma esférica a Calcule ag na superfície b Suponha que seja feita uma perfuração até a interface da crosta com o manto a uma profundidade de 250 km qual é o valor de ag no fundo da perfuração c Suponha que a Terra fosse uma esfera homogênea com a mesma massa total e o mesmo volume Qual seria o valor de ag a uma profundidade de 250 km Medidas precisas de ag ajudam a revelar a estrutura interna da Terra embora os resultados possam ser mascarados por variações locais da distribuição de massa Figura 1342 Problema 27 28 Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R e que de alguma forma o planeta possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta Fig 137 Suponha também que seja possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta Seja FR o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta A que distância da superfície está o ponto no qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é FR2 se a maçã for deslocada a para longe do planeta e b para dentro do túnel Módulo 135 Energia Potencial Gravitacional 29 A Fig 1343 mostra a função energia potencial Ur de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio Rs Qual é a menor energia cinética necessária para que um projétil lançado da superfície escape do planeta Figura 1343 Problemas 29 e 34 30 Para que razão mM a energia potencial gravitacional do sistema do Problema 1 é a menor possível 31 Marte e a Terra têm diâmetros médios de 69 103 km e 13 104 km respectivamente A massa de Marte é 011 vez a massa da Terra a Qual é a razão entre as massas específicas médias de Marte e a da Terra b Qual é o valor da aceleração gravitacional em Marte c Qual é a velocidade de escape em Marte 32 a Qual é a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas do Problema 3 Se você afastar as partículas até que a distância entre elas seja três vezes maior qual será o trabalho realizado b pela força gravitacional entre as partículas e c por você 33 Por qual fator deve ser multiplicada a energia necessária para escapar da Terra a fim de obter a energia necessária para escapar a da Lua e b de Júpiter 34 A Fig 1343 mostra a energia potencial Ur de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio Rs Se o projétil for lançado verticalmente para cima com uma energia mecânica de 20 109 J determine a a energia cinética do projétil a uma distância r 125Rs e b o ponto de retorno veja o Módulo 83 em função de Rs 35 A Fig 1344 mostra quatro partículas todas de massa 200 g que formam um quadrado de lado d 0600 m Se d for reduzido para 0200 m qual será a variação da energia potencial gravitacional do sistema Figura 1344 Problema 35 36 Zero um planeta hipotético tem uma massa de 50 1023 kg um raio de 30 106 m e nenhuma atmosfera Uma sonda espacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da superfície a Se a sonda for lançada com uma energia inicial de 50 107 J qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a 40 106 m do centro de Zero b Com que energia cinética a sonda deverá ser lançada para atingir uma distância máxima de 80 106 m em relação ao centro de Zero 37 As três esferas da Fig 1345 de massas mA 80 g mB 10 g e mC 20 g têm os centros em uma mesma reta com L 12 cm e d 40 cm Você desloca a esfera B ao longo da reta até que a distância entre os centros da esfera B e da esfera C seja d 40 cm Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B a por você e b pela força gravitacional das esferas A e C Figura 1345 Problema 37 38 No espaço sideral a esfera A com 20 kg de massa está na origem de um eixo x e a esfera B com 10 kg de massa está no mesmo eixo em x 080 m A esfera B é liberada a partir do repouso enquanto a esfera A é mantida fixa na origem a Qual é a energia potencial gravitacional do sistema das duas esferas no momento em que a esfera B é liberada b Qual é a energia cinética da esfera B após ter se deslocado 020 m em direção à esfera A 39 a Qual é a velocidade de escape de um asteroide esférico com 500 km de raio se a aceleração gravitacional na superfície é 30 ms2 b A que distância da superfície chegará uma partícula se for lançada da superfície do asteroide com uma velocidade vertical de 1000 ms c Com que velocidade um objeto se chocará com o asteroide se for liberado sem velocidade inicial 1000 km acima da superfície 40 Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra Despreze a rotação da Terra Em múltiplos do raio da Terra RT que distância o projétil atingirá a se a velocidade inicial for 0500 da velocidade de escape da Terra e b se a energia cinética inicial for 0500 da energia cinética necessária para escapar da Terra c Qual é a menor energia mecânica inicial necessária para que o projétil escape da Terra 41 Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 10 1010 m Ambas têm massa de 10 1030 kg e raio de 10 105 m As estrelas se encontram inicialmente em repouso relativo Com que velocidade estarão se movendo em relação a esse referencial de repouso a quando a distância for metade do valor inicial e b quando estiverem na iminência de colidir 42 A Fig 1346a mostra uma partícula A que pode ser deslocada ao longo de um eixo y desde uma distância infinita até a origem A origem está localizada no ponto médio entre as partículas B e C que têm massas iguais e o eixo y é perpendicular à reta que liga as duas partículas A distância D é 03057 m A Fig 1346b mostra a energia potencial U do sistema de três partículas em função da posição da partícula A no eixo y A curva na verdade se estende indefinidamente para a direita e tende assintoticamente a um valor de 27 1011 J para y Qual é a massa a das partículas B e C e b da partícula A Figura 1346 Problema 42 Módulo 136 Planetas e Satélites As Leis de Kepler 43 a Que velocidade tangencial um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160 km acima da superfície da Terra b Qual é o período de revolução 44 Um satélite é colocado em órbita circular em torno da Terra com um raio igual à metade do raio da órbita da Lua Qual é o período de revolução do satélite em meses lunares Um mês lunar é o período de revolução da Lua 45 Fobos um satélite de Marte se move em uma órbita aproximadamente circular com 94 106 m de raio e um período de 7h39min Calcule a massa de Marte a partir dessas informações 46 A primeira colisão conhecida entre um fragmento espacial e um satélite artificial em operação ocorreu em 1996 a uma altitude de 700 km um satélite espião francês com um ano de uso foi atingido por um pedaço de um foguete Ariane Um estabilizador do satélite foi danificado e o satélite passou a girar sem controle Imediatamente antes da colisão e em quilômetros por hora qual era a velocidade do pedaço de foguete em relação ao satélite se ambos estavam em órbita circular a se a colisão foi frontal e b se as trajetórias eram mutuamente perpendiculares 47 O Sol que está a 22 1020 m de distância do centro da Via Láctea completa uma revolução em torno do centro a cada 25 108 anos Supondo que todas as estrelas da galáxia possuem massa igual à massa do Sol 20 1030 kg que as estrelas estão distribuídas uniformemente em uma esfera em torno do centro da galáxia e que o Sol se encontra na borda dessa esfera estime o número de estrelas da galáxia 48 A distância média de Marte ao Sol é 152 vez maior que a distância da Terra ao Sol Use a lei dos períodos de Kepler para calcular o número de anos necessários para que Marte complete uma revolução em torno do Sol compare a resposta com o valor que aparece no Apêndice C 49 Um cometa que foi visto em abril de 574 por astrônomos chineses em um dia conhecido como Woo Woo foi avistado novamente em maio de 1994 Suponha que o intervalo de tempo entre as observações seja o período do cometa e tome a excentricidade da órbita do cometa como de 09932 a Qual é o semieixo maior da órbita do cometa e b qual a maior distância entre o cometa e o Sol em termos do raio médio da órbita de Plutão RP 50 Um satélite em órbita circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra ao longo de toda a órbita Qual é a altitude da órbita que recebe o nome de órbita geoestacionária 51 Um satélite é colocado em uma órbita elíptica cujo ponto mais distante está a 360 km da superfície da Terra e cujo ponto mais próximo está a 180 km da superfície Calcule a o semieixo maior e b a excentricidade da órbita 52 O centro do Sol está em um dos focos da órbita da Terra A que distância desse foco se encontra o outro foco a em metros e b em termos do raio solar 696 108 m A excentricidade da órbita da Terra é 00167 e o semieixo maior é 150 1011 m 53 Um satélite de 20 kg está em uma órbita circular com um período de 24 h e um raio de 80 106 m em torno de um planeta de massa desconhecida Se o módulo da aceleração gravitacional na superfície do planeta é 80 ms2 qual é o raio do planeta 54 Em busca de um buraco negro As observações da luz de uma estrela indicam que ela faz parte de um sistema binário sistema de duas estrelas A estrela visível do par tem uma velocidade orbital v 270 kms um período orbital T 170 dia e uma massa aproximada m1 6MS em que MS é a massa do Sol 199 1030 kg Suponha que as órbitas da estrela e da companheira que é escura e invisível sejam circulares Fig 1347 Qual é a massa m2 da estrela escura em unidades de MS Figura 1347 Problema 54 55 Em 1610 Galileu usou um telescópio que ele próprio havia construído para descobrir quatro satélites de Júpiter cujos raios orbitais médios a e períodos T aparecem na tabela a seguir Nome a 108 m T dias Io 422 177 Europa 671 355 Ganimedes 107 716 Calisto 188 167 a Plote log a eixo y em função de T eixo x e mostre que o resultado é uma linha reta b Meça a inclinação da reta e comparea com o valor previsto pela terceira lei de Kepler c Determine a massa de Júpiter a partir da interseção da reta com o eixo y 56 Em 1993 a sonda Galileu enviou à Terra uma imagem Fig 1348 do asteroide 243 Ida e um minúsculo satélite natural hoje conhecido como Dactyl o primeiro exemplo confirmado de um sistema asteroidesatélite Na imagem o satélite que tem 15 km de largura está a 100 km do centro do asteroide que tem 55 km de comprimento A forma da órbita do satélite não é conhecida com precisão suponha que seja circular com um período de 27 h a Qual é a massa do asteroide b O volume do asteroide medido a partir das imagens da sonda Galileu é 14100 km3 Qual é a massa específica do asteroide Cortesia da NASA Figura 1348 Problema 56 O asteroide 243 Ida e seu pequeno satélite à direita na foto 57 Em um sistema estelar binário as duas estrelas têm massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol Qual é em anos o período de revolução das estrelas 58 Às vezes a existência de um planeta nas vizinhanças de uma estrela pode ser deduzida a partir da observação do movimento da estrela Enquanto a estrela e o planeta giram em torno do centro de massa do sistema estrelaplaneta a estrela se aproxima e se afasta de nós com a chamada velocidade ao longo da linha de visada um movimento que pode ser detectado A Fig 1349 mostra um gráfico da velocidade ao longo da linha de visada em função do tempo para a estrela 14 Herculis Estimase que a massa da estrela seja 090 da massa do Sol Supondo que apenas um planeta gira em torno da estrela e que a Terra está no plano da órbita do planeta determine a a massa do planeta em unidades de mJ a massa de Júpiter e b o raio da órbita do planeta em unidades de rT o raio da órbita da Terra Figura 1349 Problema 58 59 Três estrelas iguais de massa M formam um triângulo equilátero de lado L que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência Qual é a velocidade tangencial das estrelas Módulo 137 Satélites Órbitas e Energias 60 Na Fig 1350 dois satélites A e B ambos de massa m 125 kg ocupam a mesma órbita circular de raio r 787 106 m em torno da Terra e se movem em sentidos opostos estando portanto em rota de colisão a Determine a energia mecânica total EA EB do sistema dos dois satélites e a Terra antes da colisão b Se a colisão é perfeitamente inelástica de modo que os destroços aglomeram em um só bloco de massa 2m determine a energia mecânica total imediatamente após a colisão c Logo depois da colisão os destroços caem em direção ao centro da Terra ou continuam em órbita Figura 1350 Problema 60 61 a A que distância da superfície da Terra a energia necessária para fazer um satélite subir até essa altitude é igual à energia cinética necessária para que o satélite se mantenha em órbita circular na mesma altitude b Em altitudes maiores qual é maior a energia para fazer o satélite subir ou a energia cinética para que ele se mantenha em órbita circular 62 Dois satélites A e B ambos de massa m estão em órbita circular em torno da Terra O satélite A orbita a uma altitude de 6370 km e o satélite B a uma altitude de 19110 km O raio da Terra é de 6370 km a Qual é a razão entre a energia potencial do satélite B e a do satélite A b Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A c Qual dos dois satélites possui maior energia total se ambos têm uma massa de 146 kg d Qual é a diferença entre as energias totais dos dois satélites 63 Um asteroide cuja massa é 20 1024 vezes a massa da Terra gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol a Calcule o período de revolução do asteroide em anos b Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra 64 Um satélite gira em torno de um planeta de massa desconhecida em uma circunferência com 20 107 m de raio O módulo da força gravitacional exercida pelo planeta sobre o satélite é F 80 N a Qual é a energia cinética do satélite b Qual seria o módulo F se o raio da órbita aumentasse para 30 107 m 65 Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra A área A delimitada pela órbita é proporcional a r2 já que A πr2 Determine a forma de variação com r das seguintes propriedades do satélite a o período b a energia cinética c o momento angular e d a velocidade escalar 66 Uma forma de atacar um satélite em órbita da Terra é disparar uma saraivada de projéteis na mesma órbita do satélite no sentido oposto Suponha que um satélite em órbita circular 500 km acima da superfície da Terra colida com um projétil de massa 40 g a Qual é a energia cinética do projétil no referencial do satélite imediatamente antes da colisão b Qual é a razão entre a energia cinética calculada no item a e a energia cinética de uma bala de 40 g disparada por um rifle moderno das forças armadas ao deixar o cano com uma velocidade de 950 ms 67 Qual é a a velocidade e b qual é o período de um satélite de 220 kg em uma órbita aproximadamente circular 640 km acima da superfície da Terra Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de 14 105 J por revolução orbital Usando a aproximação razoável de que a órbita do satélite se torna uma circunferência cujo raio diminui lentamente determine c a altitude d a velocidade e e o período do satélite ao final da revolução número 1500 f Qual é o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite O momento angular em relação à Terra é conservado g para o satélite e h para o sistema satéliteTerra supondo que o sistema é isolado 68 Duas pequenas espaçonaves ambas de massa m 2000 kg estão na órbita circular em torno da Terra da Fig 1351 a uma altitude h de 400 km Kirk o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da órbita 90 s antes de Picard o comandante da segunda nave Determine a o período T0 e b a velocidade v0 das naves No ponto P da Fig 1351 Picard dispara um retrofoguete instantâneo na direção tangencial à órbita reduzindo a velocidade da nave em 100 Depois do disparo a nave assume a órbita elíptica representada na figura por uma linha tracejada Determine c a energia cinética e d a energia potencial da nave imediatamente após o disparo Na nova órbita elíptica de Picard determine e a energia total E f o semieixo maior a e g o período orbital T h Quanto tempo Picard chega ao ponto P antes de Kirk Figura 1351 Problema 68 Módulo 138 Einstein e a Gravitação 69 Na Fig 1318b a leitura da balança usada pelo físico de 60 kg é 220 N Quanto tempo o melão levará para chegar ao chão se o físico o deixar cair sem velocidade inicial em relação ao físico de um ponto 21 m acima do piso Problemas Adicionais 70 O raio Rb de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica chamada horizonte de eventos Nenhuma informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar ao mundo exterior De acordo com a teoria da relatividade geral de Einstein Rb 2GMc2 em que M é a massa do buraco negro e c é a velocidade da luz Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma distância de 50Rb Para evitar efeitos desagradáveis você não quer que a diferença entre a aceleração gravitacional dos seus pés e a da sua cabeça exceda 10 ms2 quando você está com os pés ou a cabeça na direção do buraco negro a Qual é o limite tolerável da massa do buraco negro em unidades da massa MS do Sol Você precisa conhecer sua altura b O limite calculado no item a é um limite superior você pode tolerar massas menores ou um limite inferior você pode tolerar massas maiores 71 Vários planetas Júpiter Saturno Urano possuem anéis talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anel Considere um anel fino homogêneo de massa M e raio externo R Fig 1352 a Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central a uma distância x do centro b Suponha que a partícula do item a seja liberada a partir do repouso Com que velocidade a partícula passa pelo centro do anel Figura 1352 Problema 71 72 Uma estrela de nêutrons típica tem massa igual à do Sol e raio de 10 km a Qual é a aceleração da gravidade na superfície da estrela b Com que velocidade um objeto estaria se movendo se caísse a partir do repouso por uma distância 10 m em direção à estrela Suponha que o movimento de rotação da estrela seja desprezível 73 A Fig 1353 é um gráfico da energia cinética K de um asteroide que cai em linha reta em direção ao centro da Terra em função da distância r entre o asteroide e o centro da Terra a Qual é a massa aproximada do asteroide b Qual é a velocidade do asteroide para r 1945 107 m Figura 1353 Problema 73 74 O visitante misterioso que aparece na encantadora história O Pequeno Príncipe teria vindo de um planeta que era pouco maior do que uma casa Suponha que a massa específica do planeta seja aproximadamente igual à da Terra e que a rotação seja desprezível Determine os valores aproximados a da aceleração de queda livre na superfície do planeta e b da velocidade de escape do planeta 75 As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes 20 kg x 050 m y 10 m 40 kg x 10 m y 10 m 60 kg x 0 m y 050 m Qual é o módulo da força gravitacional que as três esferas exercem sobre uma esfera de 20 kg localizada na origem 76 Um dos primeiros satélites artificiais era apenas um balão esférico de folha de alumínio com 30 m de diâmetro e massa de 20 kg Suponha que um meteoro com massa de 70 kg passe a 30 m da superfície do satélite Qual é o módulo da força gravitacional que o satélite exerce sobre o meteoro no ponto de maior aproximação 77 Quatro esferas homogêneas de massas mA 40 kg mB 35 kg mC 200 kg e mD 50 kg têm coordenadas 0 50 cm 0 0 80 cm 0 e 40 cm 0 respectivamente Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional total que as outras esferas exercem sobre a esfera B 78 a No Problema 77 remova a esfera A e calcule a energia potencial gravitacional do sistema formado pelas outras três partículas b Se a esfera A for introduzida novamente no sistema a energia potencial do sistema de quatro partículas será maior ou menor que a calculada no item a c O trabalho para remover a partícula A do sistema como no item a é positivo ou negativo d O trabalho para recolocar a partícula A no sistema como no item b é positivo ou negativo 79 Um sistema de três estrelas é formado por duas estrelas de massa m girando na mesma órbita circular de raio r em torno de uma estrela central de massa M Fig 1354 As duas estrelas em órbita estão sempre em extremidades opostas de um diâmetro da órbita Escreva uma expressão para o período de revolução das estrelas Figura 1354 Problema 79 80 A maior velocidade de rotação possível de um planeta é aquela para a qual a força gravitacional no equador é igual à força centrípeta Por quê a Mostre que o período de rotação correspondente é dado por em que ρ é a massa específica do planeta esférico e homogêneo b Calcule o período de rotação supondo uma massa específica de 30 gcm3 típica de muitos planetas satélites e asteroides Nunca foi observado um astro com um período de rotação menor que o determinado por essa análise 81 Em um sistema estelar binário duas estrelas de massa 30 1030 kg giram em torno do centro de massa do sistema a uma distância de 10 1011 m a Qual é a velocidade angular das estrelas em relação ao centro de massa b Se um meteorito passa pelo centro de massa do sistema perpendicularmente ao plano da órbita qual a menor velocidade que o meteorito deve ter ao passar pelo centro de massa para poder escapar para o infinito depois de passar pelo sistema binário 82 Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 80 104 s em torno de um planeta de massa 700 1024 kg No afélio a uma distância de 45 107 m do centro do planeta a velocidade angular do satélite é 7158 105 rads Qual é a velocidade angular do satélite no periélio 83 A capitão Janeway está em um ônibus espacial de massa m 3000 kg que descreve uma órbita circular de raio r 420 107 m em torno de um planeta de massa M 950 1025 kg a Qual é o período da órbita e b qual é a velocidade do ônibus espacial Janeway aciona por alguns instantes um retrofoguete reduzindo em 200 a velocidade do ônibus espacial Nesse momento qual é c a velocidade d qual a energia cinética e qual é a energia potencial gravitacional e f qual é a energia mecânica do ônibus espacial g Qual é o semieixo maior da órbita elíptica agora seguida pelo ônibus espacial h Qual é a diferença entre o período da órbita circular original e o da órbita elíptica i Qual das duas órbitas tem o menor período 84 Considere um pulsar uma estrela de densidade extremamente elevada com uma massa M igual à do Sol 198 1030 kg um raio R de apenas 12 km e um período de rotação T de 0041 s Qual é a diferença percentual entre a aceleração de queda livre g e a aceleração gravitacional ag no equador dessa estrela esférica 85 Um projétil é disparado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial de 10 kms Desprezando a resistência do ar qual é a distância máxima acima da superfície da Terra atingida pelo projétil 86 Um objeto no equador da Terra é acelerado a em direção ao centro da Terra porque a Terra gira em torno de si mesma b em direção ao Sol porque a Terra gira em torno do Sol em uma órbita quase circular e c em direção ao centro da galáxia porque o Sol gira em torno do centro da galáxia No último caso o período é 25 108 anos e o raio é 22 1020 m Calcule as três acelerações em unidades de g 98 ms2 87 a Se a lendária maçã de Newton fosse liberada a partir do repouso 2 m acima da superfície de uma estrela de nêutrons com uma massa igual a 15 vez a massa do Sol e um raio de 20 km qual seria a velocidade da maçã ao atingir a superfície da estrela b Se a maçã ficasse em repouso na superfície da estrela qual seria a diferença aproximada entre a aceleração gravitacional no alto e na base da maçã Suponha um tamanho razoável para a maçã a resposta indica que uma maçã não permaneceria intacta nas vizinhanças de uma estrela de nêutrons 88 Se uma carta caísse em um túnel que atravessasse toda a Terra passando pelo centro qual seria a velocidade da carta ao passar pelo centro 89 A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular As distâncias de maior aproximação e maior afastamento são 147 108 km e 152 108 km respectivamente Determine a variação correspondente a da energia total b da energia potencial gravitacional c da energia cinética e d da velocidade orbital Sugestão Use as leis de conservação da energia e do momento angular 90 Um satélite de 50 kg completa uma volta em torno do planeta Cruton a cada 60 h O módulo da força gravitacional que Cruton exerce sobre o satélite é 80 N a Qual é o raio da órbita b Qual é a energia cinética do satélite c Qual é a massa do planeta Cruton 91 Dois astros iguais de massa m A e B são acelerados um em direção ao outro a partir do repouso pela força gravitacional mútua A distância inicial entre os centros dos dois astros é Ri Suponha que um observador se encontra em um referencial inercial estacionário em relação ao centro de massa deste sistema de dois corpos Use a lei de conservação da energia mecânica Kf Uf Ki Ui para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 05Ri a a energia cinética total do sistema b a energia cinética de cada astro c a velocidade escalar de cada astro em relação ao observador e d a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A Em seguida suponha que o referencial do observador está ligado ao astro A ou seja o observador se encontra no astro A Nesse caso o observador vê o corpo B acelerar em sua direção a partir do repouso Nesse referencial use novamente a relação Kf Uf Ki Ui para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 05Ri e a energia cinética do astro B e f a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A g Por que as respostas dos itens d e f são diferentes Qual das duas respostas está correta 92 Um foguete de 1500 kg que se afasta da Terra em linha reta está a uma velocidade de 370 kms quando o motor é desligado 200 km acima da superfície da Terra a Desprezando a resistência do ar determine a energia cinética do foguete quando está 1000 km acima da superfície da Terra b Qual é a altura máxima acima da superfície da Terra atingida pelo foguete 93 O planeta Roton com uma massa de 70 1024 kg e um raio de 1600 km atrai gravitacionalmente um meteorito que está inicialmente em repouso em relação ao planeta a uma distância suficientemente grande para ser considerada infinita O meteorito cai em direção ao planeta Supondo que o planeta não possui atmosfera determine a velocidade do meteorito ao atingir a superfície do planeta 94 Duas esferas de 20 kg são mantidas fixas em um eixo y uma em y 040 m e a outra em y 040 m Uma bola de 10 kg é liberada a partir do repouso em um ponto do eixo x que está a uma grande distância praticamente infinita das esferas Se as únicas forças que agem sobre a bola são as forças gravitacionais exercidas pelas esferas então quando a bola chega ao ponto 030 m 0 qual é a a energia cinética da bola e b qual é a força resultante exercida pelas esferas sobre a bola na notação dos vetores unitários 95 A esfera A com massa de 80 kg está situada na origem de um sistema de coordenadas xy a esfera B com massa de 60 kg está situada nas coordenadas 025 m 0 a esfera C com massa de 020 kg está situada no primeiro quadrante a 020 m de A e 015 m de B Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional total que A e B exercem sobre C 96 No romance de ficção científica Da Terra à Lua escrito em 1865 Júlio Verne conta a história de três astronautas que são lançados em direção à Lua por um gigantesco canhão Segundo Verne a cápsula de alumínio com os astronautas é acelerada por uma carga de algodãopólvora até uma velocidade de 11 kms ao longo dos 220 m do cano do canhão a Qual seria a aceleração média da cápsula e dos astronautas dentro do cano do canhão em unidades de g b Os astronautas poderiam resistir a essa aceleração Uma versão moderna do lançamento de uma espaçonave por um canhão embora sem passageiros foi proposta na década de 1990 Nessa versão moderna chamada de canhão SHARP do inglês Super High Altitude Research Project a combustão de metano empurra um pistão ao longo do tubo do canhão comprimindo o gás hidrogênio que por sua vez impulsiona o foguete O foguete percorre uma distância de 35 km dentro do tubo de lançamento atingindo uma velocidade de 70 kms Uma vez lançado o foguete pode usar motores para ganhar mais velocidade c Qual é a aceleração média do foguete dentro do tubo de lançamento em unidades de g d Que velocidade adicional seria necessária usando motores para que o foguete entrasse em órbita da Terra a uma altitude de 700 km 97 Um objeto de massa m é mantido inicialmente no lugar a uma distância r 3RT do centro da Terra em que RT é o raio da Terra Seja MT a massa da Terra Uma força é aplicada ao objeto para deslocálo até uma distância r 4RT na qual é novamente mantido no lugar Calcule integrando o módulo da força o trabalho realizado pela força durante o deslocamento 98 Para reduzir o congestionamento das estradas entre duas cidades como Boston e Washington os engenheiros propuseram a construção de um túnel de estrada de ferro ligando diretamente as duas cidades Fig 1355 Um trem sem motor partindo do repouso desceria durante a primeira parte da viagem e subiria durante a segunda parte até chegar ao destino Supondo que a Terra é uma esfera homogênea e ignorando as forças de atrito calcule o tempo de duração da viagem Figura 1355 Problema 98 99 Uma barra fina de massa M 500 g tem a forma de uma semicircunferência de raio R 0650 m Fig 1356 a Qual é a força gravitacional que a barra exerce sobre uma partícula de massa m 30 103 kg situada no ponto P o centro do arco b Qual seria a força se a barra tivesse a forma de uma circunferência completa Figura 1356 Problema 99 100 Na Fig 1357 dois blocos de mesma massa m 200 kg estão pendurados em cordas de comprimentos diferentes nas extremidades de uma balança situada na superfície da Terra As cordas têm massa desprezível e a diferença de comprimento entre as cordas é h 500 cm Suponha que a Terra é esférica e homogênea com massa específica ρ 550 gcm3 Qual é a diferença de peso entre os blocos devido ao fato de um dos blocos estar mais próximo do centro da Terra do que o outro Figura 1357 Problema 100 101 Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a nave é zero CAPÍTULO 14 Fluidos 141 MASSA ESPECÍFICA E PRESSÃO DOS FLUIDOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1401 Saber a diferença entre fluidos e sólidos 1402 Conhecer a relação entre massa específica massa e volume para um material homogêneo 1403 Conhecer a relação entre pressão hidrostática força e a área em que a força é aplicada IdeiasChave A massa específica ρ de um material homogêneo é definida como a massa m de uma amostra do material dividida pelo volume V do material Um fluido é uma substância que pode escoar Os fluidos assumem a forma do recipiente que os contém e exercem sobre uma parede plana do recipiente de área A uma pressão dada por em que F é o módulo da força normal que o fluido exerce sobre a parede A força associada à pressão de um fluido em um dado ponto tem o mesmo módulo em todas as direções O que É Física A física dos fluidos é a base da engenharia hidráulica um ramo da engenharia com muitas aplicações práticas Um engenheiro nuclear pode estudar a vazão da água nas tubulações de um reator nuclear após alguns anos de uso enquanto um bioengenheiro pode estudar o fluxo de sangue nas artérias de um paciente idoso Um engenheiro ambiental pode estar preocupado com a contaminação nas vizinhanças de um depósito de lixo ou com a eficiência de um sistema de irrigação Um engenheiro naval pode estar interessado em investigar os riscos de operação de um batiscafo Um engenheiro aeronáutico pode projetar o sistema de controle dos flaps que ajudam um avião a pousar A engenharia hidráulica é usada também em muitos espetáculos da Broadway e de Las Vegas nos quais enormes cenários são rapidamente montados e desmontados por sistemas hidráulicos Antes de estudar essas e outras aplicações da física dos fluidos precisamos responder à seguinte pergunta O que é um fluido O que É um Fluido Um fluido ao contrário de um sólido é uma substância que pode escoar Os fluidos assumem a forma do recipiente em que são colocados eles se comportam dessa forma porque não resistem a forças paralelas à superfície Na linguagem mais formal do Módulo 123 fluidos são substâncias que não resistem a tensões de cisalhamento Algumas substâncias aparentemente sólidas como o piche levam um longo tempo para se amoldar aos contornos de um recipiente mas acabam por fazêlo e por isso também são classificadas como fluidos O leitor talvez se pergunte por que os líquidos e gases são agrupados na mesma categoria e chamados de fluidos Afinal pode pensar a água é tão diferente do vapor quanto do gelo Isso não é verdade Os átomos do gelo como os de outros sólidos cristalinos formam um arranjo tridimensional regular que recebe o nome de rede cristalina Nem no vapor nem na água existe um arranjo como o do gelo com ordem de longo alcance Massa Específica e Pressão Quando estudamos corpos rígidos como cubos de madeira bolas de tênis e barras de metal as grandezas físicas mais importantes em termos das quais expressamos as leis de Newton são massa e força Podemos falar por exemplo de um bloco de 36 kg submetido a uma força de 25 N No caso dos fluidos que são substâncias sem forma definida é mais útil falar em massa específica e pressão do que em massa e força Tabela 141 Algumas Massas Específicas Substância ou Objeto Massa específica kgm3 Espaço interestelar 1020 Melhor vácuo em laboratório 1017 Ar 20oC e 1 atm de pressão 20oC e 50 atm 121 605 Isopor 1 102 Gelo 0917 103 Água 20oC e 1 atm 20oC e 50 atm 0998 103 1000 103 Água do mar 20oC e 1 atm 1024 103 Sangue 1060 103 Ferro 79 103 Mercúrio o metal não o planeta 1363 103 Terra média núcleo crosta 55 103 95 103 28 103 Sol média núcleo 14 103 16 105 Anã branca núcleo 1010 Núcleo de urânio 3 1017 Estrela de nêutrons núcleo 1018 Massa Específica Para determinar a massa específica ρ de um fluido em um ponto do material isolamos um pequeno elemento de volume ΔV em torno do ponto e medimos a massa Δm do fluido contido nesse elemento de volume A massa específica é dada por Teoricamente a massa específica em um ponto de um fluido é o limite dessa razão quando o volume do elemento ΔV tende a zero Na prática supomos que o volume de fluido usado para calcular a massa específica embora pequeno é muito maior que um átomo e portanto contínuo com a mesma massa específica em todos os pontos e não granulado por causa da presença de átomos Além disso em muitos casos supomos que a massa específica do fluido é a mesma em todos os elementos de volume do corpo considerado Essas duas hipóteses permitem escrever a massa específica na forma em que m e V são a massa e o volume do corpo A massa específica é uma grandeza escalar a unidade do SI é o quilograma por metro cúbico A Tabela 141 mostra a massa específica de algumas substâncias e a massa específica média de alguns objetos Observe que a massa específica de um gás veja Ar na tabela varia consideravelmente com a pressão mas a massa específica de um líquido veja Água praticamente não varia isso mostra que os gases são compressíveis mas o mesmo não acontece com os líquidos Pressão Considere um pequeno sensor de pressão suspenso em um recipiente cheio de fluido como na Fig 141a O sensor Fig 141b é formado por um êmbolo de área ΔA que pode deslizar no interior de um cilindro fechado que repousa em uma mola Um mostrador registra o deslocamento sofrido pela mola calibrada ao ser comprimida pelo fluido indicando assim o módulo ΔF da força normal que age sobre o êmbolo Definimos a pressão do fluido sobre o êmbolo por meio da equação Teoricamente a pressão em um ponto qualquer do fluido é o limite dessa razão quando a área ΔA de um êmbolo com o centro nesse ponto tende a zero Entretanto se a força é uniforme em uma superfície plana de área A podemos escrever a Eq 143 na forma em que F é o módulo da força normal a que está sujeita a superfície de área A Figura 141 a Um recipiente cheio de fluido com um pequeno sensor de pressão mostrado em b A pressão é medida pela posição relativa do êmbolo móvel Os experimentos mostram que em um fluido em repouso a pressão p definida pela Eq 144 tem o mesmo valor qualquer que seja a orientação do êmbolo A pressão é uma grandeza escalar suas propriedades não dependem da orientação É verdade que a força que age sobre o êmbolo do nosso sensor de pressão é uma grandeza vetorial mas a Eq 144 envolve apenas o módulo da força que é uma grandeza escalar A unidade de pressão do SI é o newton por metro quadrado chamado de pascal Pa Em muitos países os medidores de pressão de pneus estão calibrados em quilopascals A relação entre o pascal e outras unidades de pressão muito usadas na prática mas que não pertencem ao SI é a seguinte 1 atm 101 105 Pa 760 torr 147 lbpol2 A atmosfera atm é como o nome indica a pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar O torr nome dado em homenagem a Evangelista Torricelli que inventou o barômetro de mercúrio em 1674 já foi chamado de milímetro de mercúrio mm Hg A abreviação de libra por polegada quadrada é psi do inglês pound per square inch A Tabela 142 mostra algumas pressões em pascals Tabela 142 Algumas Pressões Pressão Pa Centro do Sol 2 1016 Centro da Terra 4 1011 Maior pressão contínua em laboratório 15 1010 Fossa oceânica mais profunda 11 108 Salto alto em uma pista de dança 106 Pneu de automóvela 2 105 Atmosfera ao nível do mar 10 105 Pressão arterial sistólica norma1ab 16 3 104 Melhor vácuo em laboratório 1012 aPressão acima da pressão atmosférica bEquivalente a 120 torr nos medidores de pressão dos médicos Exemplo 1401 Pressão atmosférica e força Uma sala de estar tem 42 m de comprimento 35 m de largura e 24 m de altura a Qual é o peso do ar contido na sala se a pressão do ar é 10 atm IDEIASCHAVE 1 O peso do ar é mg em que m é a massa do ar 2 A massa m está relacionada à massa específica ρ e ao volume V do ar por meio da Eq 142 ρ mV Cálculo Combinando as duas ideias e usando a massa específica do ar para 10 atm que aparece na Tabela 141 obtemos Esse valor corresponde ao peso de aproximadamente 110 latas de refrigerante b Qual é o módulo da força que a atmosfera exerce de cima para baixo sobre a cabeça de uma pessoa que tem uma área da ordem de 0040 m2 IDEIACHAVE Quando a pressão p que um fluido exerce em uma superfície de área A é uniforme a força que o fluido exerce sobre a superfície pode ser calculada utilizando a Eq 144 p FA Cálculo Embora a pressão do ar varie de acordo com o local e a hora do dia podemos dizer que é aproximadamente 10 atm Nesse caso a Eq 144 nos dá Essa força considerável é igual ao peso da coluna de ar acima da cabeça da pessoa que se estende até o limite superior da atmosfera terrestre 142 FLUIDOS EM REPOUSO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1404 Conhecer a relação entre pressão hidrostática massa específica e altura acima ou abaixo de um nível de referência 1405 Saber a diferença entre pressão total pressão absoluta e pressão manométrica IdeiasChave A pressão de um fluido em repouso varia com a coordenada vertical y de acordo com a equação p2 p1 ρgy1 y2 em que p2 e p1 são as pressões do fluido em pontos de coordenadas y1 e y2 respectivamente ρ é a massa específica do fluido e g é a aceleração de queda livre Se um ponto de um fluido está a uma distância h abaixo de um nível de referência no qual a pressão é p0 a equação precedente se torna p p0 ρgh em que p é a pressão no ponto considerado A pressão de um fluido é a mesma em todos os pontos situados à mesma altura Pressão manométrica é a diferença entre a pressão total ou pressão absoluta e a pressão atmosférica no mesmo ponto Fluidos em Repouso A Fig 142a mostra um tanque de água ou outro líquido qualquer aberto para a atmosfera Como todo mergulhador sabe a pressão aumenta com a profundidade abaixo da interface arágua O medidor de profundidade usado pelos mergulhadores é na verdade um sensor de pressão semelhante ao da Fig 14 1b Como todo alpinista sabe a pressão diminui com a altitude acima do nível do mar As pressões encontradas pelos mergulhadores e alpinistas são chamadas de pressões hidrostáticas porque se devem a fluidos estáticos em repouso Vamos agora obter uma expressão para a pressão hidrostática em função da profundidade ou da altitude Para começar vamos examinar o aumento da pressão com a profundidade em um tanque com água Definimos um eixo y vertical com a origem na interface arágua e o sentido positivo para cima e consideramos a água contida em um cilindro imaginário circular reto de bases A horizontais Nesse caso y1 e y2 ambos números negativos são as profundidades abaixo da superfície das bases superior e inferior do cilindro respectivamente Figura 142 a Um tanque com água no qual uma parte da água está contida em um cilindro imaginário com uma base horizontal de área A bd Uma força 1 age sobre a superfície superior do cilindro uma força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro a força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m e Diagrama de corpo livre do volume de água A Fig 142e mostra o diagrama de corpo livre da água do cilindro A água contida no cilindro está em equilíbrio estático ou seja está em repouso e a resultante das forças que agem sobre a água do cilindro é nula A água do cilindro está sujeita a três forças verticais a força 1 age sobre a superfície superior do cilindro e se deve à água que está acima do cilindro Fig 142b A força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro e se deve à água que está abaixo do cilindro Fig 142c A força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m em que m é a massa da água contida no cilindro Fig 142d O equilíbrio dessas forças pode ser escrito na forma Para transformar a Eq 145 em uma equação envolvendo pressões usamos a Eq 144 que nos dá A massa m da água contida no cilindro é segundo a Eq 142 m ρV em que o volume V do cilindro é o produto da área da base A pela a altura y1 y2 Assim m é igual a ρAy1 y2 Substituindo esse resultado e a Eq 146 na Eq 145 obtemos p2A p1A ρAgy1 y2 ou Essa equação pode ser usada para determinar a pressão tanto em um líquido em função da profundidade como na atmosfera em função da altitude ou altura No primeiro caso suponha que estejamos interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superfície do líquido Nesse caso escolhemos o nível 1 como a superfície o nível 2 como uma distância h abaixo do nível 1 como na Fig 143 e p0 como a pressão atmosférica na superfície Fazendo y1 0 p1 p0 e y2 h p2 p na Eq 147 obtemos Note que de acordo com a Eq 148 a pressão a uma dada profundidade não depende de nenhuma dimensão horizontal A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende da profundidade do ponto mas não da dimensão horizontal do fluido ou do recipiente Assim a Eq 148 é válida qualquer que seja a forma do recipiente Se a superfície inferior do recipiente está a uma profundidade h a Eq 148 fornece a pressão p no fundo do recipiente Na Eq 148 p é chamada de pressão total ou pressão absoluta no nível 2 Para compreender por que observe na Fig 143 que a pressão p no nível 2 é a soma de duas parcelas 1 p0 a pressão da atmosfera que é aplicada à superfície do líquido e 2 rgh a pressão do líquido que está acima do nível 2 que é aplicada ao nível 2 A diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é chamada de pressão manométrica O nome se deve ao uso de um instrumento chamado manômetro para medir a diferença de pressão Para a situação da Fig 143 a pressão manométrica é rgh A Eq 147 também pode ser usada acima da superfície do líquido Nesse caso ela fornece a pressão atmosférica a uma dada distância acima do nível 1 em termos da pressão atmosférica p1 no nível 1 supondo que a massa específica da atmosfera é uniforme ao longo dessa distância Assim por exemplo para calcular a pressão atmosférica a uma distância d acima do nível 1 da Fig 143 fazemos y1 0 p1 p0 e y2 d p2 p Nesse caso com ρ ρar obtemos p p0 ρargd Figura 143 A pressão p aumenta com a profundidade h abaixo da superfície do líquido de acordo com a Eq 148 Teste 1 A figura mostra quatro recipientes de azeite Ordeneos de acordo com a pressão na profundidade h começando pela maior Exemplo 1402 Pressão barométrica sobre um mergulhador Um mergulhador novato praticando em uma piscina inspira ar suficiente do tanque de mergulho para expandir totalmente os pulmões antes de abandonar o tanque a uma profundidade L e nadar para a superfície Ele ignora as instruções e não exala durante a subida Ao chegar à superfície a diferença entre a pressão externa a que está submetido e a pressão do ar nos pulmões é 93 kPa De que profundidade o mergulhador partiu Que risco possivelmente fatal ele está correndo IDEIACHAVE A pressão a uma profundidade h de um líquido de massa específica ρ é dada pela Eq 148 p p0 ρgh na qual a pressão manométrica ρgh é somada à pressão atmosférica p0 Cálculos Quando o mergulhador enche os pulmões na profundidade L a pressão externa sobre ele e portanto a pressão do ar nos pulmões está acima do normal e é dada pela Eq 148 como p p0 ρgL em que p0 é a pressão atmosférica e ρ é a massa específica da água 998 kgm3 de acordo com a Tabela 141 Quando o mergulhador sobe a pressão externa diminui até se tornar igual à pressão atmosférica p0 quando o mergulhador atinge a superfície A pressão sanguínea também diminui até voltar ao normal Entretanto como o mergulhador não exalou o ar a pressão do ar nos pulmões permanece no valor correspondente à profundidade L Na superfície a diferença entre a pressão nos pulmões e a pressão no sangue é Δp p p0 ρgL e portanto Tratase de uma profundidade muito pequena Mesmo assim a diferença de pressão de 93 kPa aproximadamente 9 da pressão atmosférica é suficiente para romper os pulmões do mergulhador e introduzir bolhas de ar na corrente sanguínea que as transporta para o coração matando o mergulhador Se ele seguir as recomendações do instrutor e exalar o ar gradualmente durante a subida permitirá que a pressão do ar nos pulmões se torne igual à pressão externa eliminando o perigo Exemplo 1403 Equilíbrio de pressões em um tubo em forma de U O tubo em forma de U da Fig 144 contém dois líquidos em equilíbrio estático no lado direito existe água de massa específica ρa 998 kgm3 e no lado esquerdo existe óleo de massa específica desconhecida ρx Os valores das distâncias indicadas na figura são l 135 mm e d 123 mm Qual é a massa específica do óleo IDEIASCHAVE 1 A pressão pint no nível correspondente à interface óleoágua do lado esquerdo depende da massa específica ρx e da altura do óleo acima da interface 2 A água do lado direito à mesma altura está submetida à mesma pressão pint Isso acontece porque como a água está em equilíbrio estático as pressões em pontos na água no mesmo nível são necessariamente iguais mesmo que os pontos estejam separados horizontalmente Cálculos No lado direito a interface está a uma distância l abaixo da superfície da água e a Eq 148 nos dá pint p0 ρagl lado direito No lado esquerdo a interface está a uma distância l d abaixo da superfície do óleo e a Eq 148 nos dá pint p0 ρxgl d lado esquerdo Figura 144 O óleo do lado esquerdo fica mais alto que a água do lado direito Igualando as duas expressões e explicitando a massa específica desconhecida obtemos Note que a resposta não depende da pressão atmosférica p0 nem da aceleração de queda livre g 143 MEDIDORES DE PRESSÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1406 Explicar como um barômetro mede a pressão atmosférica 1407 Explicar como um barômetro de tubo aberto mede a pressão manométrica de um gás IdeiasChave Um barômetro de mercúrio pode ser usado para medir a pressão atmosférica Um barômetro de tubo aberto pode ser usado para medir a pressão manométrica de um gás confinado Medidores de Pressão O Barômetro de Mercúrio A Fig 145a mostra um barômetro de mercúrio simples um aparelho usado para medir a pressão atmosférica Um tubo de vidro foi enchido com mercúrio e introduzido com a extremidade aberta para baixo em um recipiente cheio de mercúrio O espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio cuja pressão é tão baixa à temperatura ambiente que pode ser desprezada Podemos usar a Eq 147 para determinar a pressão atmosférica p0 em termos da altura h da coluna de mercúrio Chamamos de 1 o nível da interface armercúrio e de 2 o nível do alto da coluna de mercúrio Fig 145 Em seguida fazemos y1 0 p1 p0 e y2 h p2 0 na Eq 147 o que nos dá em que ρ é a massa específica do mercúrio Para uma dada pressão a altura h da coluna de mercúrio não depende da área de seção reta do tubo vertical O barômetro de mercúrio mais sofisticado da Fig 145b fornece a mesma leitura que o da Fig 145a tudo que importa é a distância vertical h entre os níveis de mercúrio A Eq 149 mostra que para uma dada pressão a altura da coluna de mercúrio depende do valor de g no local em que se encontra o barômetro e da massa específica do mercúrio que varia com a temperatura A altura da coluna em milímetros é numericamente igual à pressão em torr apenas se o barômetro estiver em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 ms2 e se a temperatura do mercúrio for 0º C Se essas condições não forem satisfeitas e raramente o são pequenas correções devem ser feitas para que a altura da coluna de mercúrio possa ser lida como pressão Figura 145 a Um barômetro de mercúrio b Outro barômetro de mercúrio A distância h é a mesma nos dois casos Figura 146 Um manômetro de tubo aberto usado para medir a pressão manométrica do gás contido no tanque da esquerda O lado direito do tubo em U está aberto para a atmosfera O Manômetro de Tubo Aberto Um manômetro de tubo aberto Fig 146 usado para medir a pressão manométrica pm de um gás consiste em um tubo em forma de U contendo um líquido com uma das extremidades ligada a um recipiente cuja pressão manométrica se deseja medir e a outra aberta para a atmosfera Podemos usar a Eq 147 para determinar a pressão manométrica em termos da altura h mostrada na Fig 146 Vamos escolher os níveis 1 e 2 como na Fig 146 Fazendo y1 0 p1 p0 e y2 2h p2 p na Eq 147 obtemos em que ρ é a massa específica do líquido contido no tubo A pressão manométrica pm é diretamente proporcional a h A pressão manométrica pode ser positiva ou negativa dependendo de se p p0 ou p p0 Nos pneus e no sistema circulatório a pressão absoluta é maior que a pressão atmosférica de modo que a pressão manométrica é uma grandeza positiva às vezes chamada de sobrepressão Quando alguém usa um canudo para beber um refrigerante a pressão absoluta do ar nos pulmões é menor que a pressão atmosférica Nesse caso a pressão manométrica do ar nos pulmões é uma grandeza negativa 144 O PRINCÍPIO DE PASCAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1408 Conhecer o princípio de Pascal 1409 Relacionar o deslocamento e área do êmbolo de entrada ao deslocamento e área do êmbolo de saída de um macaco hidráulico IdeiaChave De acordo com o princípio de Pascal uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente O Princípio de Pascal Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra extremidade estamos pondo em prática o princípio de Pascal Esse princípio é também usado na manobra de Heimlich na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta liberando um pedaço de comida ali alojado O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Figura 147 Bolinhas de chumbo colocadas sobre o êmbolo criam uma pressão pext no alto de um líquido incompressível confinado Se mais bolinhas de chumbo são colocadas sobre o êmbolo fazendo aumentar pext a pressão aumenta do mesmo valor em todos os pontos do líquido Demonstração do Princípio de Pascal Considere o caso no qual o fluido incompressível é um líquido contido em um cilindro como na Fig 14 7 O cilindro é fechado por um êmbolo no qual repousa um recipiente com bolinhas de chumbo A atmosfera o recipiente e as bolinhas de chumbo exercem uma pressão pext sobre o êmbolo e portanto sobre o líquido A pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por Vamos adicionar algumas bolinhas de chumbo ao recipiente para aumentar pext de um valor Δpext Como os valores dos parâmetros ρ g e h da Eq 1411 permanecem os mesmos a variação de pressão no ponto P é Como a variação de pressão não depende de h é a mesma para todos os pontos do interior do líquido como afirma o princípio de Pascal Figura 148 Um macaco hidráulico pode ser usado para amplificar a força e mas não o trabalho que é o mesmo para as forças de entrada e de saída O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico A Fig 148 mostra a relação entre o princípio de Pascal e o macaco hidráulico Suponha que uma força externa de módulo Fe seja aplicada de cima para baixo ao êmbolo da esquerda ou de entrada cuja área é Ae Um líquido incompressível produz uma força de baixo para cima de módulo Fs no êmbolo da direita ou de saída cuja área é As Para manter o sistema em equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída exercida por uma carga externa não mostrada na figura A força e aplicada no lado esquerdo e a força s para baixo exercida pela carga no lado direito produzem uma variação Δp da pressão do líquido que é dada por o que nos dá A Eq 1413 mostra que a força de saída Fs exercida sobre a carga é maior que a força de entrada Fe se As Ae como na Fig 148 Quando deslocamos o êmbolo de entrada para baixo de uma distância de o êmbolo de saída se desloca para cima de uma distância ds de modo que o mesmo volume V de líquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos Assim V Aede Asds que pode ser escrita como Isso mostra que se As Ae como na Fig 148 o êmbolo de saída percorre uma distância menor que o êmbolo de entrada De acordo com as Eqs 1413 e 1414 o trabalho realizado pelo êmbolo de saída é dado por o que mostra que o trabalho W realizado sobre o êmbolo de entrada pela força aplicada é igual ao trabalho W realizado pelo êmbolo de saída ao levantar uma carga A vantagem do macaco hidráulico é a seguinte Com um macaco hidráulico uma força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor Como o produto da força pela distância permanece inalterado o trabalho realizado é o mesmo Entretanto há frequentemente uma grande vantagem em poder exercer uma força maior Muitos de nós por exemplo não temos força suficiente para levantar um automóvel mas podemos fazêlo usando um macaco hidráulico ainda que ao movimentar a alavanca do macaco em uma série de movimentos curtos tenhamos que fazêla percorrer uma distância muito maior que a distância vertical percorrida pelo automóvel 145 O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1410 Conhecer o princípio de Arquimedes 1411 Conhecer a relação entre a força de empuxo e a massa do fluido deslocado por um corpo 1412 Conhecer a relação entre a força gravitacional e a força de empuxo no caso de um corpo que está flutuando em um fluido 1413 Conhecer a relação entre a força gravitacional e a massa do fluido deslocado por um corpo que está flutuando 1414 Saber a diferença entre peso aparente e peso real 1415 Calcular o peso aparente de um corpo que está total ou parcialmente submerso em um fluido IdeiasChave De acordo com o princípio de Arquimedes quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido ele sofre uma força para cima conhecida como força de empuxo cujo módulo é dado por FE mfg em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Quando um corpo está flutuando em um fluido o módulo Fe da força de empuxo que aponta para cima é igual ao módulo da força gravitacional Fg que aponta para baixo O peso aparente de um corpo submetido a uma força de empuxo está relacionado ao peso real por meio da equação Pap P FE O Princípio de Arquimedes A Fig 149 mostra uma estudante em uma piscina manuseando um saco plástico muito fino de massa desprezível cheio dágua A jovem observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático ou seja não tendem a subir nem a descer A força gravitacional para baixo g a que a água contida no saco está submetida é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco A força para cima que recebe o nome de força de empuxo e é representada pelo símbolo e se deve ao fato de que a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade Assim a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior o que faz com que as forças a que o saco está submetido devido à pressão sejam maiores em módulo na parte de baixo do saco do que na parte de cima Algumas dessas forças estão representadas na Fig 1410a em que o espaço ocupado pelo saco foi deixado vazio Note que os vetores que representam as forças na parte de baixo do saco com componentes para cima são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte de cima do saco com componentes para baixo Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água sobre o saco as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes verticais é o empuxo e que age sobre o saco A força e está representada à direita da piscina na Fig 1410a Figura 149 Um saco plástico de massa des prezível cheio dágua em equilíbrio estático em uma piscina A força gravitacional expe rimentada pelo saco é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que o cerca Como o saco de água está em equilíbrio estático o módulo de e é igual ao módulo mfg da força gravitacional g que age sobre o saco com água FE mfg O índice f significa fluido no caso a água Em palavras o módulo do empuxo é igual ao peso da água contida no saco Na Fig 1410b substituímos o saco plástico com água por uma pedra que ocupa um volume igual ao do espaço vazio da Fig 1410a Dizemos que a pedra desloca a água ou seja ocupa o espaço que de outra forma seria ocupado pela água Como a forma da cavidade não foi alterada as forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco plástico com água estava nesse lugar Assim o mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco plástico agora age sobre a pedra ou seja o módulo FE do empuxo é igual a mfg o peso da água deslocada pela pedra Ao contrário do saco com água a pedra não está em equilíbrio estático A força gravitacional g para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 1410b Assim a pedra sofre uma aceleração para baixo e desce até o fundo da piscina Vamos agora preencher a cavidade da Fig 1410a com um pedaço de madeira como na Fig 1410c Mais uma vez nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade de modo que o módulo FE do empuxo é igual a mfg o peso da água deslocada O pedaço de madeira como a pedra não está em equilíbrio estático mas nesse caso o módulo Fg da força gravitacional é menor que o módulo FE do empuxo veja o diagrama à direita da piscina de modo que a madeira sofre uma aceleração para cima e sobe até a superfície Figura 1410 a A água que está em volta da cavidade produz um empuxo para cima sobre qualquer material que ocupe a cavidade b No caso de uma pedra de mesmo volume que a cavidade a força gravitacional é maior que o empuxo c No caso de um pedaço de madeira de mesmo volume a força gravitacional é menor que o empuxo Os resultados que obtivemos para o saco plástico a pedra e o pedaço de madeira se aplicam a qualquer fluido e podem ser resumidos no princípio de Arquimedes Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido uma força de empuxo E exercida pelo fluido age sobre o corpo A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso mfg do fluido deslocado pelo corpo De acordo com o princípio de Arquimedes o módulo da força de empuxo é dado por em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Flutuação Quando pousamos um pedaço de madeira na superfície de uma piscina a madeira começa a afundar na água porque é puxada para baixo pela força gravitacional À medida que o bloco desloca mais e mais água o módulo FE da força de empuxo que aponta para cima aumenta Finalmente FE se torna igual ao módulo Fg da força gravitacional e a madeira para de afundar A partir desse momento o pedaço de madeira permanece em equilíbrio estático e dizemos que está flutuando na água Em todos os casos Quando um corpo flutua em um fluido o módulo FE da força de empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido Isso significa que De acordo com a Eq 1416 FE mfg Assim Quando um corpo flutua em um fluido o módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido é igual ao peso mfg do fluido deslocado pelo corpo Isso significa que Em palavras um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu peso Peso Aparente de um Corpo Imerso em um Fluido Quando colocamos uma pedra em uma balança calibrada para medir pesos a leitura da balança é o peso da pedra Quando porém repetimos a experiência dentro dágua a força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança A leitura passa a ser portanto um peso aparente O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo por meio da equação que pode ser escrita na forma É mais fácil por exemplo levantar uma pedra pesada dentro de uma piscina porque nesse caso a força aplicada tem que ser maior apenas que o peso aparente da pedra Em outras palavras a força de empuxo torna a pedra mais leve O módulo da força de empuxo a que está sujeito um corpo que flutua é igual ao peso do corpo A Eq 1419 nos diz portanto que um corpo que flutua tem um peso aparente nulo o corpo produziria uma leitura zero ao ser pesado em uma balança Quando os astronautas se preparam para realizar uma tarefa complexa no espaço eles utilizam uma piscina para praticar pois a pressão dos trajes especiais pode ser ajustada para tornar seu peso aparente nulo como no espaço embora por motivos diferentes Teste 2 Um pinguim flutua primeiro em um fluido de massa específica ρ0 depois em um fluido de massa específica 095ρ0 e finalmente em um fluido de massa específica 11ρ0 a Ordene as massas específicas de acordo com o módulo da força de empuxo exercida sobre o pinguim começando pela maior b Ordene as massas específicas de acordo com o volume de fluido deslocado pelo pinguim começando pelo maior Exemplo 1404 Flutuação empuxo e massa específica Na Fig 1411 um bloco de massa específica ρ 800 kgm3 flutua em um fluido de massa específica ρf 1200 kgm3 O bloco tem uma altura H 60 cm a Qual é a altura h da parte submersa do bloco IDEIASCHAVE 1 Para que o bloco flutue a força de empuxo a que está submetido deve ser igual à força gravitacional 2 A força de empuxo é igual ao peso mfg do fluido deslocado pela parte submersa do bloco Cálculos De acordo com a Eq 1416 o módulo da força de empuxo é FE mfg em que mf é a massa do fluido deslocado pelo volume submerso do bloco Vf De acordo com a Eq 142 ρ mV a massa do fluido deslocado é mf rfVf Não conhecemos Vf mas se chamarmos de C o comprimento do bloco e de L a largura o volume submerso do bloco será de acordo com a Fig 1411 Vf CLh Combinando as três expressões descobrimos que o módulo da força de empuxo é dado por Da mesma forma podemos escrever o módulo Fg da força gravitacional a que o bloco está submetido primeiro em termos da massa m do bloco e depois em termos da massa específica ρ e do volume total V do bloco que por sua vez pode ser expresso em termos das dimensões do bloco C L e H altura total Como o bloco está em repouso a aplicação da segunda lei de Newton às componentes das forças em relação a um eixo vertical y Fresy may nos dá FE Fg m0 ou de acordo com as Eqs 1420 e 1421 ρfCLhg ρCLHg 0 Figura 1411 Um bloco de altura H flutuando em um fluido com uma parte h submersa e portanto b Se o bloco for totalmente imerso e depois liberado qual será o módulo da aceleração Cálculos A força gravitacional que age sobre o bloco é a mesma mas agora com o bloco totalmente submerso o volume da água deslocada é V CLH É usada a altura total do bloco Isso significa que FE Fg e o bloco é acelerado para cima De acordo com a segunda lei de Newton FE Fg ma ou ρfCLHg ρCLHg ρCLHa em que substituímos a massa do bloco por ρCLH Explicitando a obtemos 146 A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1416 Conhecer os conceitos de escoamento laminar escoamento incompressível escoamento não viscoso e escoamento irrotacional 1417 Conhecer o conceito de linha de fluxo 1418 Usar a equação de continuidade para relacionar a área da seção reta e a velocidade de escoamento em um ponto de um tubo às mesmas grandezas em outro ponto do tubo 1419 Conhecer e aplicar o conceito de vazão 1420 Conhecer e aplicar o conceito de vazão mássica IdeiasChave Um fluido ideal é incompressível não viscoso e seu escoamento é laminar e irrotacional Uma linha de fluxo é a trajetória seguida por um pequeno elemento do fluido Um tubo de fluxo é um feixe de linhas de fluxo A vazão em todos os pontos de um tubo de fluxo obedece à equação de continuidade RV Av constante em que RV é a vazão A é a área da seção reta do tubo e v é a velocidade do fluido A vazão mássica Rm é dada pela equação Rm ρRV ρAv constante 1 2 3 Fluidos Ideais em Movimento O movimento de fluidos reais é muito complicado e ainda não está perfeitamente compreendido Por essa razão vamos discutir apenas o movimento de um fluido ideal que é mais fácil de analisar matematicamente Um fluido ideal satisfaz quatro requisitos no que diz respeito ao escoamento Will McIntyrePhoto Researchers Inc Figura 1412 Em certo ponto o escoamento ascendente de fumaça e gás aquecido muda de laminar para turbulento O escoamento é laminar No escoamento laminar a velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não varia com o tempo nem em módulo nem em orientação O escoamento suave da água na parte central de um rio de águas calmas é laminar o escoamento da água em uma corredeira ou perto das margens de um rio não A Fig 1412 mostra a transição do escoamento laminar para turbulento em uma coluna de fumaça A velocidade das partículas de fumaça aumenta à medida que essas partículas sobem para certo valor crítico da velocidade o escoamento muda de laminar para turbulento O escoamento é incompressível Supomos como no caso de fluidos em repouso que o fluido é incompressível ou seja que a massa específica tem o mesmo valor em todos os pontos do fluido e em qualquer instante de tempo O escoamento é não viscoso Em termos coloquiais a viscosidade de um fluido é uma medida da resistência que o fluido oferece ao escoamento O mel por exemplo resiste mais ao escoamento que a água e portanto é mais viscoso do que a água A viscosidade dos fluidos é análoga ao atrito dos sólidos ambos são mecanismos por meio dos quais a energia cinética de objetos em movimento é convertida em energia térmica Na ausência de atrito um bloco desliza com velocidade constante em uma superfície horizontal Analogamente um objeto imerso em um fluido não viscoso não experimenta a força de arrasto viscoso e se move com velocidade constante no fluido Como o cientista inglês Lorde Rayleigh disse uma vez se a água do mar fosse um fluido não viscoso as 4 hélices dos navios não funcionariam mas por outro lado os navios uma vez colocados em movimento não precisariam de hélices O escoamento é irrotacional Embora a rigor isso não seja necessário vamos também supor que o escoamento é irrotacional Para entender o que significa essa propriedade suponha que um pequeno grão de poeira se move com o fluido Se o escoamento é irrotacional o grão de areia não gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa embora possa girar em torno de um outro eixo qualquer O movimento de uma rodagigante por exemplo é rotacional enquanto o movimento dos passageiros é irrotacional Cortesia de D H Peregrine University of Bristol Figura 1413 O escoamento laminar de um fluido ao redor de um cilindro revelado por um corante injetado no fluido antes que esse passe pelo cilindro Para observar o escoamento de um fluido usamos traçadores por exemplo gotas de corante introduzidas em um líquido Fig 1413 ou partículas de fumaça misturadas a um gás Fig 1412 Cada gota ou partícula de um traçador torna visível uma linha de fluxo que é a trajetória seguida por um pequeno elemento do fluido Como vimos no Capítulo 4 a velocidade linear de uma partícula é tangente à trajetória da partícula No caso que estamos examinando a partícula é um elemento do fluido e a velocidade do elemento é tangente a uma linha de fluxo Fig 1414 Por essa razão duas linhas de fluxo jamais se cruzam se o fizessem uma partícula que chegasse ao ponto de interseção poderia ter ao mesmo tempo duas velocidades diferentes o que seria absurdo Figura 1414 Ao se mover um elemento do fluido traça uma linha de fluxo O vetor velocidade do elemento é tangente à linha de fluxo em todos os pontos A Equação de Continuidade O leitor provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da água que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar Essa é uma demonstração prática do fato de que a velocidade v da água depende da área de seção reta A através da qual a água escoa Vamos agora deduzir uma expressão que relaciona v e A no caso do escoamento laminar de um fluido ideal em um tubo de seção reta variável como o da Fig 1415 O escoamento é para a direita e o segmento de tubo mostrado que faz parte de um tubo mais longo tem comprimento L A velocidade do fluido é v1 na extremidade esquerda e v2 na extremidade direita A área da seção reta do tubo é A1 na extremidade esquerda e A2 na extremidade direita Suponha que em um intervalo de tempo Δt um volume ΔV do fluido o volume violeta na Fig 1415 entra no segmento de tubo pela extremidade esquerda Como o fluido é incompressível um volume igual ΔV do fluido o volume verde na Fig 1415 deve sair pela extremidade direita Figura 1415 Um fluido escoa da esquerda para a direita com vazão constante por um segmento de tubo de comprimento L A velocidade do fluido é v1 no lado esquerdo e v2 no lado direito A área de seção reta é A1 no lado esquerdo e A2 no lado direito Do instante t em a até o instante t Δt em b a quantidade de fluido mostrada em cor violeta entra do lado esquerdo e uma quantidade igual mostrada em cor verde sai do lado direito Figura 1416 Um fluido escoa com velocidade v constante em um tubo cilíndrico a No instante t o elemento do fluido e está prestes a passar pela reta tracejada b No instante t Δt o elemento e está a uma distância Δx vΔt da reta tracejada Podemos usar esse volume ΔV comum às duas extremidades para relacionar as velocidades e áreas Para isso consideramos primeiramente a Fig 1416 que mostra uma vista lateral de um tubo de seção reta uniforme de área A Na Fig 1416a um elemento e do fluido está prestes a passar pela reta tracejada perpendicular ao eixo do tubo Se a velocidade do elemento é v durante um intervalo de tempo Δt o elemento percorre uma distância Δx vDt ao longo do tubo O volume ΔV do fluido que passa pela reta tracejada durante o intervalo de tempo Δt é Quando aplicamos a Eq 1422 às duas extremidades do segmento de tubo da Fig 1415 temos ΔV A1v1 Δt A2v2 Δt ou Essa relação entre velocidade e área da seção reta é chamada de equação de continuidade para o escoamento de um fluido ideal De acordo com a Eq 1423 a velocidade do escoamento aumenta quando a área da seção reta pela qual o fluido escoa é reduzida como acontece quando fechamos parcialmente o bico de uma mangueira de jardim com o polegar A Eq 1423 se aplica não só a um tubo real mas também a qualquer tubo de fluxo um tubo imaginário formado por um feixe de linhas de fluxo Um tubo de fluxo se comporta como um tubo real porque nenhum elemento do fluido pode cruzar uma linha de fluxo assim todo o fluido contido em um tubo de fluxo permanece indefinidamente no interior do tubo A Fig 1417 mostra um tubo de fluxo no qual a área de seção reta aumenta de A1 para A2 no sentido do escoamento Com base na Eq 1423 com o aumento da área a velocidade diminui como mostra o espaçamento maior das linhas de fluxo no lado direito da Fig 1417 De modo semelhante o menor espaçamento das linhas de fluxo na Fig 1413 revela que a velocidade de escoamento é maior logo acima e logo abaixo do cilindro A Eq 1423 pode ser escrita na forma em que RV é a vazão do fluido volume que passa por uma seção reta por unidade de tempo A unidade de vazão do SI é o metro cúbico por segundo m3s Se a massa específica ρ do fluido é a mesma em todos os pontos do tubo podemos multiplicar a Eq 1424 pela massa específica para obter a vazão mássica Rm massa por unidade de tempo A unidade de vazão mássica no SI é o quilograma por segundo kgs De acordo com a Eq 1425 a massa que entra no segmento de tubo da Fig 1415 por segundo é igual à massa que sai do segmento por segundo Figura 1417 Um tubo de fluxo é definido pelas linhas de fluxo mais afastadas do eixo do tubo A vazão é a mesma em todas as seções retas de um tubo de fluxo Teste 3 A figura mostra um encanamento e indica a vazão em cm3s e o sentido do escoamento em todos os canos exceto um Quais são a vazão e o sentido do escoamento nesse cano Exemplo 1405 Largura do jato de água de uma torneira A Fig 1418 mostra que o jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda Essa variação da seção reta horizontal é característica de todos os jatos de água laminares não turbulentos descendentes porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água As áreas das seções retas indicadas são A0 12 cm2 e A 035 cm2 Os dois níveis estão separados por uma distância vertical h 45 mm Qual é a vazão da torneira Figura 1418 Quando a água cai de uma torneira a velocidade da água aumenta Como a vazão é a mesma em todas as seções retas horizontais o jorro fica progressivamente mais estreito IDEIACHAVE A vazão na seção reta maior é igual à vazão na seção reta menor Cálculos De acordo com a Eq 1424 temos em que v0 e v são as velocidades da água nos níveis correspondentes a A0 e A De acordo com a Eq 216 também podemos escrever já que a água cai livremente com aceleração g Combinando as Eqs 1426 e 1427 para eliminar v e explicitando v0 obtemos De acordo com a Eq 1424 a vazão RV é portanto 147 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1421 Calcular a energia cinética específica a partir da massa específica e da velocidade do fluido 1422 Saber que a pressão de um fluido é um tipo de energia específica 1423 Calcular a energia potencial gravitacional específica 1424 Usar a equação de Bernoulli para relacionar os valores da energia específica total em dois pontos de uma linha de fluxo 1425 Saber que a equação de Bernoulli é uma consequência da lei de conservação da energia mecânica IdeiaChave Aplicando a lei de conservação da energia mecânica à vazão de um fluido ideal obtemos a equação de Bernoulli que é válida para qualquer tubo de fluxo A Equação de Bernoulli A Fig 1419 mostra um tubo pelo qual um fluido ideal escoa com vazão constante Suponha que em um intervalo de tempo Δt um volume ΔV do fluido de cor violeta na Fig 1419 entre pela extremidade esquerda entrada do tubo e um volume igual de cor verde na Fig 1419 saia pela extremidade direita saída do tubo Como o fluido é incompressível com massa específica constante ρ o volume que sai é igual ao volume que entra Figura 1419 Um fluido escoa com vazão constante por um trecho de um tubo de comprimento L da extremidade de entrada à esquerda à extremidade de saída à direita Do instante t em a ao instante t Δt em b uma quantidade de fluido representada na cor violeta entra pela extremidade esquerda e uma quantidade igual representada na cor verde sai pela extremidade direita Sejam y1 v1 e p1 a altura a velocidade e a pressão do fluido que entra do lado esquerdo e y2 v2 e p2 os valores correspondentes do fluido que sai do lado direito Aplicando ao fluido a lei de conservação da energia mecânica vamos mostrar que esses valores estão relacionados por meio da equação em que o termo é chamado de energia cinética específica energia cinética por unidade de volume do fluido A Eq 1428 também pode ser escrita na forma As Eqs 1428 e 1429 são formas equivalentes da equação de Bernoulli que tem esse nome por causa de Daniel Bernoulli que estudou o escoamento de fluidos no século XVIII Como a equação de continuidade Eq 1424 a equação de Bernoulli não é um princípio novo mas simplesmente uma reformulação de um princípio conhecido para uma forma mais adequada à mecânica dos fluidos Como um teste vamos aplicar a equação de Bernoulli a um fluido em repouso fazendo v1 v2 0 na Eq 1428 O resultado é p2 p1 ρgy1 y2 que é a Eq 147 Uma previsão importante da equação de Bernoulli surge quando supomos que y é constante y 0 digamos ou seja que a altura do fluido não varia Nesse caso a Eq 1428 se torna ou em palavras Se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido se move horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo a pressão do fluido diminui e viceversa Isso significa que nas regiões em que as linhas de fluxo estão mais concentradas o que significa que a velocidade é maior a pressão é menor e viceversa A relação entre uma mudança de velocidade e uma mudança de pressão faz sentido quando consideramos um elemento do fluido Quando o elemento se aproxima de uma região estreita a pressão mais elevada atrás do elemento o acelera de modo que ele adquire uma velocidade maior Quando o elemento se aproxima de uma região mais larga a pressão maior à frente o desacelera de modo que ele adquire uma velocidade menor A equação de Bernoulli é estritamente válida apenas para fluidos ideais quando forças viscosas estão presentes a energia mecânica não é conservada já que parte da energia é convertida em energia térmica Na demonstração que se segue vamos supor que o fluido é ideal Demonstração da Equação de Bernoulli Vamos considerar como nosso sistema o volume inteiro do fluido ideal da Fig 1419 Vamos aplicar a lei de conservação da energia mecânica a esse sistema na passagem do estado inicial Fig 1419a para o estado final Fig 1419b No processo as propriedades do fluido que está entre os dois planos verticais separados por uma distância L na Fig 1419 permanecem as mesmas precisamos nos preocupar apenas com as mudanças que ocorrem nas extremidades de entrada e saída Para começar aplicamos a lei de conservação da energia mecânica na forma do teorema do trabalho e energia cinética que nos diz que a variação da energia cinética do sistema é igual ao trabalho total realizado sobre o sistema A variação da energia cinética é uma consequência da variação da velocidade do fluido entre as extremidades do tubo e é dada por em que Δm ρΔV é a massa do fluido que entra por uma extremidade e sai pela outra durante um pequeno intervalo de tempo Δt O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens O trabalho Wg realizado pela força gravitacional Δm sobre uma massa Δm do fluido durante a subida da massa do nível da entrada até o nível da saída é dado por Esse trabalho é negativo porque o deslocamento para cima e a força gravitacional para baixo têm sentidos opostos Algum trabalho também precisa ser realizado sobre o sistema no lado da entrada para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema no lado da saída para empurrar o fluido que está mais adiante no tubo O trabalho realizado por uma força de módulo F agindo sobre o fluido contido em um tubo de área A para fazer com que o fluido percorra uma distância Δx é F Δx pAΔx pA Δx p ΔV O trabalho realizado sobre o sistema é portanto p1 ΔV e o trabalho realizado pelo sistema é p2 ΔV A soma dos dois trabalhos Wp é Assim a Eq 1431 se torna W Wg Wp ΔK Combinando as Eqs 1432 1433 e 1434 obtemos Cancelando ΔV e reagrupando os termos obtemos a Eq 1428 que queríamos demonstrar Teste 4 A água escoa suavemente pela tubulação da figura descendo no processo Ordene as quatro seções numeradas da tubulação de acordo a com a vazão RV b com a velocidade v e c com a pressão p do fluido em ordem decrescente Exemplo 1406 Aplicação do princípio de Bernoulli a um cano de calibre variável Um cano horizontal de calibre variável como o da Fig 1415 cuja seção reta muda de A1 120 103 m2 para A2 A12 conduz um fluxo laminar de etanol de massa específica ρ 791 kgm3 A diferença de pressão entre a parte larga e a parte estreita do cano é 4120 Pa Qual é a vazão RV de etanol IDEIASCHAVE 1 Como todo o fluido que passa pela parte mais larga do cano também passa pela parte mais estreita a vazão RV deve ser a mesma nas duas partes Assim de acordo com a Eq 1424 Entretanto uma vez que não conhecemos as duas velocidades não podemos calcular RV a partir dessa equação 2 Como o escoamento é laminar podemos aplicar a equação de Bernoulli De acordo com a Eq 1428 temos em que os índices 1 e 2 se referem às partes larga e estreita do cano respectivamente e y é a altura comum às duas partes A Eq 1436 não parece muito útil para a solução do problema pois não contém a vazão procurada RV e contém as velocidades desconhecidas v1 e v2 Cálculos Existe uma forma engenhosa de fazer a Eq 1436 trabalhar para nós Primeiro podemos usar a Eq 1435 e o fato de que A2 A12 para escrever Em seguida podemos substituir essas expressões na Eq 1436 para eliminar as velocidades desconhecidas e introduzir a vazão procurada Fazendo isso e explicitando RV obtemos Ainda temos uma decisão a tomar Sabemos que a diferença de pressão entre as duas partes do cano é 4120 Pa mas isso significa que p1 p2 4120 Pa ou 4120 Pa Poderíamos supor que a primeira hipótese é a verdadeira pois de outra forma a raiz quadrada na Eq 1438 não seria um número real Em vez disso vamos raciocinar um pouco De acordo com a Eq 1435 para que os produtos v1A1 e v2A2 sejam iguais a velocidade v2 na parte estreita deve ser maior que a velocidade v1 na parte larga Sabemos também que se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido escoa em um cano horizontal como neste caso a pressão diminui Assim p1 é maior que p2 e p1 p2 4120 Pa Substituindo esse resultado e os valores conhecidos na Eq 1438 obtemos Exemplo 1407 Aplicação do princípio de Bernoulli a uma caixa dágua No Velho Oeste um bandido atira em uma caixa dágua sem tampa Fig 1420 abrindo um furo a uma distância h abaixo da superfície da água Qual é a velocidade v da água ao sair da caixa dágua IDEIASCHAVE 1 A situação descrita é equivalente à da água descendo com velocidade v0 por um cano largo de seção reta A o tanque e depois se movendo horizontalmente com velocidade v em um cano estreito de seção reta a o furo 2 Como toda a água que passa pelo cano largo passa também pelo cano estreito a vazão RV é a mesma nos dois canos 3 Podemos também relacionar v a v0 e a h por meio da equação de Bernoulli Eq 1428 Cálculos De acordo com a Eq 1424 Rv av Av0 e portanto Pelo fato de a A sabemos que v0 v Para aplicar a equação de Bernoulli tomamos o nível do furo como nível de referência para medir a altura e a energia potencial gravitacional Como a pressão no alto da caixa dágua e no furo da bala é a pressão atmosférica p0 pois os dois locais estão expostos à atmosfera a Eq 1428 se torna Figura 1420 A água sai de uma caixa dágua por um furo situado a uma distância h abaixo da superfície da água A pressão na superfície da água e no local do furo é a pressão atmosférica p0 O alto da caixa dágua é representado pelo lado esquerdo da equação e o furo pelo lado direito O zero do lado direito indica que o furo está no nível de referência Antes de explicitar v na Eq 1439 podemos usar nosso resultado de que v0 v para simplificála Vamos supor que v2 0 e portanto o termo na Eq 1439 é desprezível em comparação com os outros termos e o abandonamos Explicitando v na equação restante obtemos Essa é a mesma velocidade que um objeto adquire ao cair de uma altura h a partir do repouso Revisão e Resumo Massa Específica A massa específica ρ de um material é definida como a massa do material por unidade de volume Quando uma amostra do material é muito maior do que as dimensões atômicas podemos escrever a Eq 141 na forma Pressão de um Fluido Um fluido é uma substância que pode escoar os fluidos se amoldam aos contornos do recipiente porque não resistem a tensões de cisalhamento Podem porém exercer uma força perpendicular à superfície Essa força é descrita em termos da pressão p em que ΔF é a força que age sobre um elemento da superfície de área ΔA Se a força é uniforme em uma área plana a Eq 143 pode ser escrita na forma A força associada à pressão de um fluido tem o mesmo módulo em todas as direções A pressão manométrica é a diferença entre a pressão real ou pressão absoluta e a pressão atmosférica Variação da Pressão com a Altura e com a Profundidade A pressão em um fluido em repouso varia com a posição vertical y Tomando como positivo o sentido para cima A pressão em um fluido é a mesma em todos os pontos situados à mesma altura Se h é a profundidade de um ponto do fluido em relação a um nível de referência no qual a pressão é p0 a Eq 147 se torna em que p é a pressão nesse ponto do fluido Princípio de Pascal Uma variação da pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Princípio de Arquimedes Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido o fluido exerce sobre o corpo uma força de empuxo e A força é dirigida para cima e tem um módulo dado por em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Quando um corpo flutua em um fluido o módulo FE do empuxo para cima é igual ao módulo Fg da força gravitacional para baixo que age sobre o corpo O peso aparente de um corpo sobre o qual atua um empuxo está relacionado ao peso real por meio da equação Escoamento de Fluidos Ideais Um fluido ideal é incompressível não viscoso e seu escoamento é laminar e irrotacional Uma linha de fluxo é a trajetória seguida por uma partícula do fluido Um tubo de fluxo é um feixe de linhas de fluxo O escoamento no interior de um tubo de fluxo obedece à equação da continuidade em que RV é a vazão A é a área da seção reta do tubo de fluxo em qualquer ponto e v é a velocidade do fluido nesse ponto A vazão mássica Rm é dada por Equação de Bernoulli A aplicação da lei de conservação da energia mecânica ao escoamento de um fluido ideal leva à equação de Bernoulli ao longo de qualquer tubo de fluxo Perguntas 1 Uma peça irregular de 3 kg de um material sólido é totalmente imersa em um fluido O fluido que estaria no espaço ocupado pela peça tem massa de 2 kg a Ao ser liberada a peça sobe desce ou permanece no mesmo lugar b Se a peça é totalmente imersa em um fluido menos denso e depois liberada o que acontece 2 A Fig 1421 mostra quatro situações nas quais um líquido vermelho e um líquido cinzento foram colocados em um tubo em forma de U Em uma dessas situações os líquidos não podem estar em equilíbrio estático a Que situação é essa b Para as outras três situações suponha que o equilíbrio é estático Para cada uma a massa específica do líquido vermelho é maior menor ou igual à massa específica do líquido cinzento Figura 1421 Pergunta 2 3 Um barco com uma âncora a bordo flutua em uma piscina um pouco mais larga do que o barco O nível da água sobe desce ou permanece o mesmo a se a âncora é jogada na água e b se a âncora é jogada do lado de fora da piscina c O nível da água na piscina sobe desce ou permanece o mesmo se em vez disso uma rolha de cortiça é lançada do barco para a água onde flutua 4 A Fig 1422 mostra um tanque cheio dágua Cinco pisos e tetos horizontais estão indicados todos têm a mesma área e estão situados a uma distância L 2L ou 3L abaixo do alto do tanque Ordeneos de acordo com a força que a água exerce sobre eles começando pela maior Figura 1422 Pergunta 4 5 O efeito bule A água derramada lentamente de um bule pode mudar de sentido e escorrer por uma distância considerável por baixo do bico do bule antes de se desprender e cair A água é mantida sob o bico pela pressão atmosférica Na Fig 1423 na camada de água do lado de dentro do bico o ponto a está no alto da camada e o ponto b está no fundo da camada na camada de água do lado de fora do bico o ponto c está no alto da camada e o ponto d está no fundo da camada Ordene os quatro pontos de acordo com a pressão manométrica a que a água está sujeita da mais positiva para a mais negativa Figura 1423 Pergunta 5 6 A Fig 1424 mostra três recipientes iguais cheios até a borda patos de brinquedo flutuam em dois deles Ordene os três conjuntos de acordo com o peso total em ordem decrescente Figura 1424 Pergunta 6 7 A Fig 1425 mostra quatro tubos nos quais a água escoa suavemente para a direita Os raios das diferentes partes dos tubos estão indicados Em qual dos tubos o trabalho total realizado sobre um volume unitário de água que escoa da extremidade esquerda para a extremidade direita a é nulo b é positivo e c é negativo Figura 1425 Pergunta 7 8 Um bloco retangular é empurrado para baixo em três líquidos um de cada vez O peso aparente Pap do bloco em função da profundidade h é mostrado na Fig 1426 para os três líquidos Ordene os líquidos de acordo com o peso por unidade de volume do maior para o menor Figura 1426 Pergunta 8 9 A água flui suavemente em um cano horizontal A Fig 1427 mostra a energia cinética K de um elemento de água que se move ao longo de um eixo x paralelo ao eixo do cano Ordene os trechos A B e C de acordo com o raio do cano do maior para o menor Figura 1427 Pergunta 9 10 A Fig 1428 mostra a pressão manométrica pg em função da profundidade h para três líquidos Uma esfera de plástico é totalmente imersa nos três líquidos um de cada vez Ordene os gráficos de acordo com o empuxo exercido sobre a esfera do maior para o menor Figura 1428 Pergunta 10 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 141 Massa Específica e Pressão dos Fluidos 1 Um peixe se mantém na mesma profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água Suponha que com as bolsas de ar vazias um peixe tem uma massa específica de 108 gcm3 Para que fração de seu novo volume o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água 2 Um recipiente hermeticamente fechado e parcialmente evacuado tem uma tampa com uma área de 77 m2 e massa desprezível Se a força necessária para remover a tampa é 480 N e a pressão atmosférica é 10 105 Pa qual é a pressão do ar no interior do recipiente 3 Determine o aumento de pressão do fluido contido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N ao êmbolo circular da seringa que tem um raio de 11 cm 4 Três líquidos imiscíveis são despejados em um recipiente cilíndrico Os volumes e massas específicas dos líquidos são 050 L 26 gcm3 025 L 10 gcm3 040 L 080 gcm3 Qual é a força total exercida pelos líquidos sobre o fundo do recipiente Um litro 1 L 1000 cm3 Ignore a contribuição da atmosfera 5 Uma janela de escritório tem 34 m de largura por 21 m de altura Como resultado da passagem de uma tempestade a pressão do ar do lado de fora do edifício cai para 096 atm mas no interior do edifício permanece em 10 atm Qual é o módulo da força que empurra a janela para fora por causa da diferença de pressão 6 Você calibra os pneus do carro com 28 psi Mais tarde mede a pressão arterial obtendo uma leitura de 128 em mm Hg No SI as pressões são expressas em pascals ou seus múltiplos como o quilopascal kPa Em kPa a qual é a pressão dos pneus de seu carro e b qual é sua pressão arterial 7 Em 1654 Otto von Guericke o inventor da bomba de vácuo fez uma demonstração para os nobres do Sacro Império Romano na qual duas juntas de oito cavalos não puderam separar dois hemisférios de cobre evacuados a Supondo que os hemisférios tinham paredes finas mas resistentes de modo que R na Fig 1429 pode ser considerado tanto o raio interno como o raio externo mostre que o módulo da força necessária para separar os hemisférios é dado por F πR2Δp em que Δp pext pint é a diferença entre a pressão do lado de fora e a pressão do lado de dentro da esfera b Supondo que R 30 cm pint 010 atm e pext 100 atm determine o módulo da força que as juntas de cavalos teriam que exercer para separar os hemisférios c Explique por que uma única junta de cavalos poderia executar a mesma demonstração se um dos hemisférios estivesse preso em uma parede Figura 1429 Problema 7 Módulo 142 Fluidos em Repouso 8 Embolia gasosa em viagens de avião Os mergulhadores são aconselhados a não viajar de avião nas primeiras 24 h após um mergulho porque o ar pressurizado usado durante o mergulho pode introduzir nitrogênio na corrente sanguínea Uma redução súbita da pressão do ar como a que acontece quando um avião decola pode fazer com que o nitrogênio forme bolhas no sangue capazes de produzir embolias dolorosas ou mesmo fatais Qual é a variação de pressão experimentada por um soldado da divisão de operações especiais que mergulha a 20 m de profundidade em um dia e salta de paraquedas de uma altitude de 76 km no dia seguinte Suponha que a massa específica média do ar nessa faixa de altitudes é de 087 kgm3 9 Pressão arterial do Argentinossauro a Se a cabeça desse saurópode gigantesco ficava a 21 m de altura e o coração a 90 m que pressão manométrica hidrostática era necessária na altura do coração para que a pressão no cérebro fosse 80 torr suficiente para abastecer o cérebro Suponha que a massa específica do sangue do argentinossauro era 106 103 kgm3 b Qual era a pressão arterial em torr na altura dos pés do animal 10 O tubo de plástico da Fig 1430 tem uma seção reta de 500 cm2 Introduzse água no tubo até que o lado mais curto de comprimento d 0800 m fique cheio Em seguida o lado menor é fechado e mais água é despejada no lado maior Se a tampa do lado menor é arrancada quando a força a que está submetida excede 980 N que altura da coluna de água do lado maior deixa a tampa na iminência de ser arrancada Figura 1430 Problemas 10 e 81 11 Girafa bebendo água Em uma girafa com a cabeça 20 m acima do coração e o coração 20 m acima do solo a pressão manométrica hidrostática do sangue na altura do coração é 250 torr Suponha que a girafa está de pé e a massa específica do sangue é 106 103 kgm3 Determine a pressão arterial manométrica em torr a no cérebro a pressão deve ser suficiente para abastecer o cérebro com sangue e b nos pés a pressão deve ser compensada pela pele esticada que se comporta como uma meia elástica c Se a girafa baixasse a cabeça bruscamente para beber água sem afastar as pernas qual seria o aumento da pressão arterial no cérebro Esse aumento provavelmente causaria a morte da girafa 12 A profundidade máxima dmáx a que um mergulhador pode descer com um snorkel tubo de respiração é determinada pela massa específica da água e pelo fato de que os pulmões humanos não funcionam com uma diferença de pressão entre o interior e o exterior da cavidade torácica maior que 0050 atm Qual é a diferença entre os valores de dmáx para água doce e para a água do Mar Morto a água natural mais salgada no mundo com massa específica de 15 103 kgm3 13 Com uma profundidade de 109 km a Fossa das Marianas no Oceano Pacífico é o lugar mais profundo dos oceanos Em 1960 Donald Walsh e Jacques Piccard chegaram à Fossa das Marianas no batiscafo Trieste Supondo que a água do mar tem massa específica uniforme de 1024 kgm3 calcule a pressão hidrostática aproximada em atmosferas que o Trieste teve que suportar Mesmo um pequeno defeito na estrutura do Trieste teria sido desastroso 14 Calcule a diferença hidrostática entre a pressão arterial no cérebro e no pé de uma pessoa com 183 m de altura A massa específica do sangue é 106 103 kgm3 15 Que pressão manométrica uma máquina deve produzir para sugar lama com uma massa específica de 1800 kgm3 por meio de um tubo e fazêla subir 15 m 16 Homens e elefantes fazendo snorkel Quando uma pessoa faz snorkel os pulmões estão conectados diretamente à atmosfera por meio do tubo de respiração e portanto se encontram à pressão atmosférica Qual é a diferença Δp em atmosferas entre a pressão interna e a pressão da água sobre o corpo do mergulhador se o comprimento do tubo de respiração é a 20 cm situação normal e b 40 m situação provavelmente fatal No segundo caso a diferença de pressão faz os vasos sanguíneos das paredes dos pulmões se romperem enchendo os pulmões de sangue Como mostra a Fig 1431 um elefante pode usar a tromba como tubo de respiração e nadar com os pulmões 40 m abaixo da superfície da água porque a membrana que envolve seus pulmões contém tecido conectivo que envolve e protege os vasos sanguíneos impedindo que se rompam Figura 1431 Problema 16 17 Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado 100 m abaixo da superfície Que força deve ser aplicada a uma escotilha de emergência de 12 m por 060 m para abrila para o lado de fora nessa profundidade Suponha que a massa específica da água do oceano é 1024 kgm3 e que a pressão do ar no interior do submarino é 100 atm 18 Na Fig 1432 um tubo aberto de comprimento L 18 m e área da seção reta A 46 cm2 penetra na tampa de um barril cilíndrico de diâmetro D 12 m e altura H 18 m O barril e o tubo estão cheios dágua até o alto do tubo Calcule a razão entre a força hidrostática que age sobre o fundo do barril e a força gravitacional que age sobre a água contida no barril Por que a razão não é igual a 10 Não é necessário levar em conta a pressão atmosférica Figura 1432 Problema 18 19 Um grande aquário de 500 m de altura está cheio de água doce até uma altura de 200 m Uma das paredes do aquário é feita de plástico e tem 800 m de largura De quanto aumenta a força exercida sobre a parede se a altura da água é aumentada para 400 m 20 O tanque em forma de L mostrado na Fig 1433 está cheio dágua e é aberto na parte de cima Se d 50 m qual é a força exercida pela água a na face A e b na face B Figura 1433 Problema 20 21 Dois recipientes cilíndricos iguais com as bases no mesmo nível contêm um líquido de massa específica 130 103 kgm3 A área de cada base é 400 cm2 mas em um dos recipientes a altura do líquido é 0854 m e no outro é 1560 m Determine o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis quando os recipientes são ligados por um tubo 22 Perda de consciência dos pilotos de caça Quando um piloto faz uma curva muito fechada em um avião de caça moderno a pressão do sangue na altura do cérebro diminui e o sangue deixa de abastecer o cérebro Se o coração mantém a pressão manométrica hidrostática da aorta em 120 torr quando o piloto sofre uma aceleração centrípeta horizontal de 4g qual é a pressão sanguínea no cérebro em torr situado a 30 cm de distância do coração no sentido do centro da curva A falta de sangue no cérebro pode fazer com que o piloto passe a enxergar em preto e branco e o campo visual se estreite um fenômeno conhecido como visão de túnel Caso persista o piloto pode sofrer a chamada gLOC g induced loss of consciousness perda de consciência induzida por g A massa específica do sangue é 106 103 kgm3 23 Na análise de certos fenômenos geológicos muitas vezes é apropriado supor que a pressão em um dado nível de compensação horizontal muito abaixo da superfície é a mesma em uma vasta região e é igual à pressão produzida pelo peso das rochas que se encontram acima desse nível Assim a pressão no nível de compensação é dada pela mesma fórmula usada para calcular a pressão de um fluido Esse modelo exige entre outras coisas que as montanhas tenham raízes de rochas continentais que penetram no manto mais denso Fig 1434 Considere uma montanha de altura H 60 km em um continente de espessura T 32 km As rochas continentais têm massa específica 29 gcm3 e o manto que fica abaixo dessas rochas tem massa específica de 33 gcm3 Calcule a profundidade D da raiz Sugestão Iguale as pressões nos pontos a e b a profundidade y do nível de compensação se cancela Figura 1434 Problema 23 24 Na Fig 1435 a água atinge uma altura D 350 m atrás da face vertical de uma represa com W 314 m de largura Determine a a força horizontal a que está submetida a represa por causa da pressão manométrica da água e b o torque produzido por essa força em relação a uma reta que passa por O e é paralela à face plana da represa c Determine o braço de alavanca do torque Figura 1435 Problema 24 Módulo 143 Medidores de Pressão 25 A coluna de um barômetro de mercúrio como o da Fig 145a tem uma altura h 74035 mm A temperatura é 50 oC na qual a massa específica do mercúrio é ρ 13608 104 kgm3 A aceleração de queda livre no local em que se encontra o barômetro é g 97835 ms2 Qual é a pressão atmosférica medida pelo barômetro em pascals e em torr que é uma unidade muito usada nos barômetros 26 Para sugar limonada com uma massa específica de 1000 kgm3 usando um canudo para fazer o líquido subir 40 cm que pressão manométrica mínima em atmosferas deve ser produzida pelos pulmões 27 Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar a fosse uniforme e b diminuísse linearmente até zero com a altura Suponha que ao nível do mar a pressão do ar é 10 atm e a massa específica do ar é 13 kgm3 Módulo 144 O Princípio de Pascal 28 Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato por meio de um tubo de ligação com um êmbolo maior de seção reta A Fig 1436 a Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio b Se os diâmetros dos êmbolos são 380 cm e 530 cm qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 200 kN aplicada ao êmbolo maior Figura 1436 Problema 28 29 Na Fig 1437 uma mola de constante elástica 300 104 Nm liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico Um recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada O êmbolo de entrada tem uma área Ae e o êmbolo de saída tem uma área 180Ae Inicialmente a mola está relaxada Quantos quilogramas de areia devem ser despejados lentamente no recipiente para que a mola sofra uma compressão de 500 cm Figura 1437 Problema 29 Módulo 145 O Princípio de Arquimedes 30 Um objeto de 500 kg é liberado a partir do repouso quando está totalmente imerso em um líquido O líquido deslocado pelo objeto tem massa de 300 kg Que distância o objeto percorre em 0200 s e em que sentido supondo que se desloca livremente e que a força de arrasto exercida pelo líquido é desprezível 31 Um bloco de madeira flutua em água doce com dois terços do volume V submersos e em óleo com 090V submerso Determine a massa específica a da madeira e b do óleo 32 Na Fig 1438 um cubo de aresta L 0600 m e 450 kg de massa é suspenso por uma corda em um tanque aberto que contém um líquido de massa específica 1030 kgm3 Determine a o módulo da força total exercida sobre a face superior do cubo pelo líquido e pela atmosfera supondo que a pressão atmosférica é 100 atm b o módulo da força total exercida sobre a face inferior do cubo e c a tração da corda d Calcule o módulo da força de empuxo a que o cubo está submetido usando o princípio de Arquimedes Que relação existe entre todas essas grandezas Figura 1438 Problema 32 33 Uma âncora de ferro de massa específica 7870 kgm3 parece ser 200 N mais leve na água que no ar a Qual é o volume da âncora b Qual é o peso da âncora no ar 34 Um barco que flutua em água doce desloca um volume de água que pesa 356 kN a Qual é o peso da água que o barco desloca quando flutua em água salgada de massa específica 110 103 kgm3 b Qual é a diferença entre o volume de água doce e o volume de água salgada deslocados 35 Três crianças todas pesando 356 N fazem uma jangada com toras de madeira de 030 m de diâmetro e 180 m de comprimento Quantas toras são necessárias para mantêlas flutuando em água doce Suponha que a massa específica da madeira é 800 kgm3 36 Na Fig 1439a um bloco retangular é gradualmente empurrado para dentro de um líquido O bloco tem uma altura d a área das faces superior e inferior é A 567 cm2 A Fig 1439b mostra o peso aparente Pap do bloco em função da profundidade h da face inferior A escala do eixo vertical é definida por Ps 020 N Qual é a massa específica do líquido Figura 1439 Problema 36 37 Uma esfera de ferro oca flutua quase totalmente submersa em água O diâmetro externo é 600 cm e a massa específica do ferro é 787 gcm3 Determine o diâmetro interno 38 Uma pequena esfera totalmente imersa em um líquido é liberada a partir do repouso e sua energia cinética é medida depois que se desloca 40 cm no líquido A Fig 1440 mostra os resultados depois de muitos líquidos serem usados A energia cinética K está plotada no gráfico em função da massa específica do líquido ρlíq e a escala do eixo vertical é definida por Ks 160 J a Qual é a massa específica da bola e b qual o volume da bola Figura 1440 Problema 38 39 Uma esfera oca de raio interno 80 cm e raio externo 90 cm flutua com metade do volume submerso em um líquido de massa específica 800 kgm3 a Qual é a massa da esfera b Calcule a massa específica do material de que é feita a esfera 40 Jacarés traiçoeiros Os jacarés costumam esperar pela presa flutuando com apenas o alto da cabeça exposto para não serem vistos Um meio de que dispõem para afundar mais ou menos é controlar o tamanho dos pulmões Outro é engolir pedras gastrólitos que passam a residir no estômago A Fig 1441 mostra um modelo muito simplificado de um jacaré com uma massa de 130 kg que flutua com a cabeça parcialmente exposta O alto da cabeça tem uma área de 020 m2 Se o jacaré engolir pedras com massa total equivalente a 10 da massa do corpo um valor típico de quanto ele afundará Figura 1441 Problema 40 41 Que fração do volume de um iceberg massa específica 917 kgm3 é visível se o iceberg flutua a no mar água salgada massa específica 1024 kgm3 e b em um rio água doce massa específica 1000 kgm3 Quando a água congela para formar gelo o sal é deixado de lado Assim a água que resulta do degelo de um iceberg pode ser usada para beber 42 Um flutuador tem a forma de um cilindro reto com 0500 m de altura e 400 m2 de área das bases a massa específica é 0400 vez a massa específica da água doce Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce com a face superior na superfície da água Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar Qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida 43 Quando os paleontólogos encontram um fóssil de dinossauro razoavelmente completo eles podem determinar a massa e o peso do dinossauro vivo usando um modelo em escala esculpido em plástico baseado nas dimensões dos ossos do fóssil A escala do modelo é de 1 para 20 ou seja os comprimentos são 120 dos comprimentos reais as áreas são 1202 das áreas reais e os volumes são 1203 dos volumes reais Primeiro o modelo é pendurado em um dos braços de uma balança e são colocados pesos no outro braço até que o equilíbrio seja estabelecido Em seguida o modelo é totalmente imerso em água e são removidos pesos do outro braço até que o equilíbrio seja restabelecido Fig 1442 Para um modelo de um determinado fóssil de T rex 63776 g tiveram que ser removidos para restabelecer o equilíbrio Qual era o volume a do modelo e b do T rex original c Se a massa específica do T rex era aproximadamente igual à da água qual era a massa do dinossauro Figura 1442 Problema 43 44 Um bloco de madeira tem massa de 367 kg e massa específica de 600 kgm3 e deve receber um lastro de chumbo 114 104 kgm3 para flutuar na água com 0900 do volume submerso Que massa de chumbo é necessária se o chumbo for colado a no alto do bloco e b na base do bloco 45 Uma peça de ferro que contém certo número de cavidades pesa 6000 N no ar e 4000 N na água Qual é o volume total das cavidades A massa específica do ferro é 787 gcm3 46 Uma pequena bola é liberada sem velocidade inicial 0600 m abaixo da superfície em uma piscina com água Se a massa específica da bola é 0300 vez a da água e a força de arrasto que a água exerce sobre a bola é desprezível que altura acima da superfície da água a bola atinge ao emergir Despreze a