Lista de Exercícios - Cálculo III - Integrais Múltiplas e Aplicações

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Profa Lorena Augusto 1 Lista de exercícios Cálculo III 1 Calcule as seguintes integrais a ₀³ ₂¹ x y² 1 dxdy b ₁ln8 ₀ln y exy dxdy c π²π ₀π sen x cos y dxdy d ₁⁴ ₀x eyx dydx 2 Em cada caso abaixo esboce a região de integração e calcule a integral iterada Se achar conveniente inverta a ordem de integração a ₁¹ ₀x dydx b ₀π2 ₀π2 x cos y y cos x dydx c ₀¹ ₓ³ xy dydx d ₁³ ₁ₓx xy dydx e ₀¹ ₓ²x eyx dydx f ₁² ₀¹ x 3 log y dxdx g ₀¹ ₀x² senx³ dxdx 3 Esboce a região D e calcule a integral dupla D fxydA a D xy ℝ² 0 x 1 e 2x y 2 fxy ey² b D xy ℝ² 0 y 8 e y x 2 fxy xy c D xy ℝ² x 0 e 1 x² y² 2 fxy x² d D xy ℝ² 1 x 2 e 4 x² y 4 x² fxy 1 4 Calcule D fxydA em cada um dos seguintes casos a fxy x² y² D é o triângulo de vértices 00 02 e 20 b fxy xy D é o quadrilátero delimitado pelas retas y x y 2x x 1 e x 2 c fxy 1x5y D é o triângulo de vértices 13 33 e 31 d fxy 1 D é a região delimitada por y x y 0 x 5 e xy 16 5 Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais a ₀¹ ₀y x² exy dxdy b ₀2ln 3 y2ln 3 ex² dxdx c ₀² ₀4ˣ² x e2y4 y dydx d ₀² x² y² senxy dydx 6 Usando a mudança de variável u x y e v 2x y calcule D 2x² xy y² dxdx onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas y 2x 4 y 2x 7 y x 2 e y x 1 7 Usando a mudança de variável u x y v x y calcule D x y² sen²x y dxdx onde D é a região x y π 8 Calcule D sen x yx y dxdx sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices A 11 B 22 C 40 e D 20 9 Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas x² y x² 2y y² x e y² 2x usando a mudança de variável x² yu e y² xv 10 Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas a ₀² 2yy²2yy² x dxdx b ₁² ₀x 1x² y² dydx c ₀³ ₀x x² y² dydx d x²y²1 x² y dxdx e ₀² ₀4y² x² y² dxdx f ₁¹ 1x²1x² 21 x² y²² dydx GABARITO 1 a 63 2 b 8 ln 8 e 16 c 2π d 14e1 3 2 a 1 b 0 c 1 48 d 1 e e 2 1 f 5 2 6 2 g 1 31 cos 1 3 a 1 4e4 1 b 16 c 3π 8 d 9 3 2 4π 3 4 a 8 3 b 3 ln 2 2 c 36 ln 356 ln 2 5 d 8 16 log5 4 5 a 3e 2 b 2 c e81 4 d 4 sen4 6 33 4 7 π4 3 8 31 cos 1 9 1 3 10 a 0 b π 4 log 2 c π 21 ea2 d π 4 e 2π f π 4