Potência em Cargas Genéricas: Análise de Cargas Resistivas e Reativas

POTÊNCIA EM CARGAS GENÉRICAS Prof Antonio Sergio C de Menezes Depto de Engenharia Elétrica Muitas cargas numa instalação elétrica se comportam de forma resistiva ou muito aproximadamente como tal Exemplo lâmpadas incandescentes comuns lâmpada de Edson chuveiros elétricos todos os tipos de aquecedores como fornos elétricos por exemplo A questão é que as cargas não são sempre do tipo resistivas Há também as chamadas cargas reativas como motores em geral como ventiladores geladeiras ar condicionados e outras como lâmpadas fluorescentes transformadores cada aparelho eletrônico ligado à tomada tem um transformador de entrada sem contar com um ambiente industrial que tem normalmente muitas máquinas elétricas Vamos admitir que excitamos uma carga qualquer com uma tensão senoidal um ventilador por exemplo ou uma lâmpada ou conjunto de lâmpadas fluoerescentes Vamos admitir também que esta carga responde à excitação senoidal de voltagem com uma corrente igualmente senoidal Chamase isso de resposta linear A retificação de meiaonda mostrada é um exemplo de resposta nãolinear De maneira geral se vt Vmsenwt é a tensão aplicada a uma carga reativa esta responde com uma corrente atrasada ou adiantada de it Im senwt f Assim a potência instantânea fornecida pela fonte gerador é dada por pt VmIm senwt senwt f 1 Aplicando a esta expressão a identidade Assim temse Podemos representar graficamente o comportamento de 1 para alguns ângulos f que são mostrados nas figuras que se seguem F 1 Defasamento de 30o entre corrente e voltagem normalizadas Potência média dissipada 112cos30o 0433 senAsenB 1 2 cosA BcosAB cos2 t cos 2 I pt V m m w f f Corrigida em 170823 P i Notase pelas figuras acima a potência desenvolvida numa carga reativa é de natureza cíclica e tem uma frequência duas vezes maior que a frequência da corrente e da voltagem A parte do ciclo da potência que fica no semi plano positivo representa a potência ativa cuja média depende do defasamento quanto maior o defasamento menor é a média O semiciclo negativo representa a energia reativa não transformada e devolvida à fontealimentador Para justificar isto matematicamente temse que a potência média fornecida pela fontegerador é dada por Fig 2b Defasamento de 60o entre corrente e voltagem normalizados Potência média dissipada 1x12x cos600 A integral acima tem duas parcelas uma constante cosf e outra dependente do tempo que conforme a expressão 1 é zero pois tratase de uma função senoidal Assim ou simplesmente PVIcosf 2 pois subtendese que V e I são os valores RMS já que sempre estaremos tratando de valores alternados de voltagem e de corrente A expressão 1 representa a potência efetivamente consumida pelo circuito isto é a parte da energia fornecida pela fonte gerador transformada em outra forma de energia desde que f esteja compreendido entre 90o e 90o Fora deste intervalo P assumiria valores negativos o que significa que o circuito estaria fornecendo energia à fonte que para nossos propósitos não será considerado cosf é chamado fator de potência É o fator que multiplicado pela potência aparente VI dá a energia elétrica efetivamente transformada em outra forma de energia ou trabalho realizado dt cos2 t cos 2 I V T P 1 m m ò w f f cos2ωt f cos I V cos 2 2 cos V I 2 I P V RMS RMS m m m m f f f T 0 2 s L P E Apesar das potências médias desenvolvidas pelo indutor ou capacitor serem nulas há circulação de corrente pelos mesmos Exemplo 1 Uma voltagem do tipo vt 100senwt 30o é aplicada a um certo circuito que responde com uma corrente do tipo it 5senwt 20o Qual a potência aparente fornecida ao circuito e qual a potência efetivamente desenvolvida pelo mesmo Solução Os valores efetivos da voltagem e da corrente são e O defasamento é f 30o 20o 50o Assim a potência fornecida é S também chamada de potência aparente e tem unidade de VoltAmpére Observe que os estabilizadores de voltagem usados em computadores e outros fins tem suas potência expressas em VA pois este são fornecedores de energia e de voltagem alternada Quanto à potência efetivamente consumida P usase a Eq 24 P x cos50o S x cos50o 1607 W Z 20 Ð50o 1286 j1532 Logo R 12856 Ω P RI2 12856x 1607 W 11 Potência em cargas resistivas Pela lei de Ohm a corrente que circula por uma carga resistiva é dada por IDC ou 3 Ou ainda supondose que o resistor é excitado por uma tensão senoidal Vêse acima que o que diferencia vt de it é uma constante multiplicativa Logo concluise que a corrente e voltagem estão fase como pode ser observado pela Fig 2 2 100 V 2 5 I 250VA 2 5 x 2 100 S 2 5 x 2 100 2 2 5 ø ö ç è æ R VDC R V I RMS RMS t I sen R R V senωt it vt m m w A potência instantânea dissipada pelo resistor R é dada por pt vtit Vmsenwtx Imsenwt Vm Im sen2wt Determinando a potência média dissipada pelo resistor temse Considerando a equação 17 temse 4 O que está de acordo com a expressão 2 dado que o defasamento entre voltagem e corrente numa carga resistiva é 0o Assim o resistor dissipa toda a energia fornecida pela fontegerador Há muitos exemplos de cargas resistivas em instalações elétricas todos os tipos de aquecedores elétricos passando aí por fornos chuveiros cadinhos entre outros também lâmpadas incandescentes de filamento as chamadas lâmpadas de Edson lâmpadas usadas em todo tipo de projetores etc As lâmpadas fluorescentes comuns e as lâmpadas florescentes eletrônicas são cargas indutivas e portanto não tem comportamento resistivo Fig 2 Comportamento da corrente em relação à voltagem à potência em uma carga resistiva Observase pela figura acima que a potência é toda positiva o que significa toda a potência é dissipada e nada é devolvido sen ωtdt I V T vtitdt 1 T P 1 2 m T 0 T 0 m ò ò V I cos0 2 P V I o m m P 2 Potência em indutância Um circuito indutivo sempre tem uma resistência associada à ele pois um indutor é construído enrolandose um fio de cobre esmaltado num núcleo de ar ou de material magnetizável Mas quando se pode desprezar esta resistência dizse que o indutor é ideal Quando um indutor está submetido a um sinal senoidal como é o nosso caso podemos considerálo ideal quando wL R onde w é a frequência em radianosseg do sinal L é o valor da indutância e R é valor da resistência associada Uma das formas de se conseguir isso é enrolar a espira do indutor com um fio de cobre de grande seção com grande número de voltas sobre um núcleo ferromagnético A relação entre corrente e voltagem num indutor é dada por Admitindose que este indutor é excitado por uma corrente senoidal e aplicando se na expressão acima temse 5 Isto é o indutor reage contra variação da corrente adiantando a voltagem em 90o ou atrasando a corrente em 90o Vm Fig 3 Comportamento da corrente da voltagem e da potência em um indutor ideal Assim sendo usandose a Eq 1 e integrandoa temos que a potência média desenvolvida pelo indutor ideal é dada por P VIcos 90o 0 A expressão acima indica que o indutor ideal não dissipa energia Em outras palavras o indutor ideal não transforma energia elétrica em outra forma de energia como outras cargas como lâmpadas e motores em geral por exemplo A energia circula pelo indutor ideal de forma cíclica e simétrica em relação ao eixo dos tempos em um semiciclo a energia é armazenada no campo magnético do indutor e no outro semi ciclo esta energia é devolvida para a fontealimentador Mas esta circulação de energia implica numa circulação de corrente que sobrecarrega desnecessariamente o alimentador dt I senωt ωLI cosωt ωLI senω t 90 vt L d o m m m vt V senω t 90 o m LIm w VmCOS Nt e i p 000 S 3 Potência em capacitor ideal Tecnicamente falando é muito fácil um capacitor se aproximar da idealidade do que o indutor A indústria sempre tem apresentado evoluções na construção deste elemento Supondose mais vez que o capacitor é excitado por uma corrente senoidal pode se relacionar vt e it num capacitor da seguinte forma Considerando que senx sen x 180o temse onde 6 Num capacitor ideal a voltagem se atrasa de 90o em relação à corrente E nova mente considerandose a Eq 1 e integrandoa temse P VIcos 90o O que leva ao mesmo tipo de conclusão de dissipação de energia que se teve em relação ao indutor ideal isto é o capacitor ideal também não converte energia elétrica em outra forma de energia e o que acontece em relação ao campo magnético do indutor acontece também em relação ao campo elétrico do capacitor Exemplo 2 Ligouse na mesma tomada uma carga resistiva de 300W e um motor de 13 de HP e fator de potência 07 indutivo Determinar a corrente total fornecida pela tomada A mesma fornece 220V60Hz Solução Para a carga resistiva temse f 0o o que implica em cosϕ 1 Assim 1364A Fasorialmente temse Ir 1364Ð0o Para o motor no entanto temse Fasorialmente temse IV 1615Ð4557o 1131 j1153 A total da tomada é dada por IT Ir IV 1364 1131 j1153 296 j1154 275Ð2481o ωC senω t 90 I ωCcosωt I C I senωtdt C itdt 1 vt 1 o m m m ò ò 90 vt V senω t o m ωC I V m m rI 220 V 300 P Iv 22007 1615A cos 7463 V P f Um amperímetro colocado entre a saída da tomada e as duas cargas ler o módulo de IT ou seja 275A Observe que se somarmos os módulos das correntes de cada carga obteremos 1364 1615 298 A Um valor maior que o obtido pela soma fasorial Em diagrama fasorial temse regra do paralelogramo Fig4 Diagrama fasorial do exemplo acima Exemplo 3 Um motor indutivo de 100W e fator de potência 06 é colocado em paralelo com outro capacitivo de 150W e fator de potência 07 Ambos são ligados em 220V Calcular a corrente total do conjunto Solução Tratase de um circuito RL em paralelo com um RC Para isso empregase a expressão P VIcosθ O módulo da corrente do circuito indutivo é A corrente fasorial dele é IM1 0758Ð5313o 0455 j0606 O módulo da corrente do circuito capacitivo é A corrente fasorial dele é IM2 0974Ð4557o 0682 j0696 Somandose as duas correntes temse IMT 1137j009 1141 Ð45o Note que o ângulo da corrente total foi praticamente nulo É que a carga capacitiva tende a anular a reatividade da carga indutiva Logo o circuito tem um comportamento praticamente resistivo IM1 0758A 22006 100 cos V P f IM2 0974A 22007 150 cos V P f TRIÂNGULO DE POTÊNCIA Vimos que P VIcosf Aonde P é potência média consumida V é o valor eficaz da tensão do alimentador que no caso do Nordeste Brasileiro é de 220V I é a corrente eficaz que circula pelas cargas e f é o defasamento entre a esta corrente e aquela voltagem O produto N V I ou S VI é a potência aparente e cosf é conhecido como sendo o fator de potência isto é o fator que multiplicado pela potência aparente dá o quanto da potência entregue é transformada dissipada em outra forma de energia mecânica luminosa térmica etc Exemplo 4 Um certo motor indutivo atrasado traz as seguintes informações acerca de seu uso Alimentação 220V consumo 160W corrente 12A Logo a potência aparente entregue a este motor é NVI220X12264VA O fator de potência é facilmente calculado como sendo Assim a corrente fasorial dela é 072j0955 Se quisermos a impedância equivalente complexa associada fazemos 7 Observando acima podemos perceber que N é hipotenusa de um triangulo retângulo e P seu cateto adjacente só faltando portanto o cateto oposto deste triangulo e este cateto oposto é a potência reativa Q do motor como poderia ser de uma instalação monofásica qualquer Assim o triangulo abaixo representa graficamente a situação acima P Q N Fig 5 Triangulo de potência para uma carga reativa 0 1 0606 5270 φ cos N 0606 cosφφ P 0 G 12 5270 I 18333 5270 11110 j14583 5270 12 2200 I Z V 0 0 0 C Assim temos as seguintes relações para as potências envolvidas numa carga reativa e mesmo não reativa PNcosf 81 QNsenf 82 N2P2Q2 83 Sabese também que a potência ativa P é matematicamente justificada pela parte REAL da impedância complexa Também deduise que a potência reativa Q é justificada pela parte IMAGINÁRIA da mesma impedância Assim considerando que tem se P RI2 91 Q XI2 92 Ainda para este caso e considerando 2 61 e 62 temos P 264cos52700 160W 101 Q 264sen 52700 210 VAR 102 Por outro lado considerando 7 81 e 82 temse P 11110122 160W 111 Q 14583122 210VAR 112 Assim sendo o triangulo de potência para aquele motor é 160W 210VA 264VA Obs o ângulo da impedância é o mesmo ângulo do triangulo de potência Exemplo 5 Solução Uma voltagem do tipo vt 150senwt 10o é aplicada a um certo circuito que responde com uma corrente do tipo it 5senwt 50o Determinar o triângulo das potências Solução Os valores efetivos da voltagem e da corrente são e O defasamento é f 10o 50o 60o Assim a potência aparente é P S cos60o 1875W e Q Ssen60o 32476 VAR 2 150 V 2 5 I 375VA 2 5 x 2 S 150 Exemplo 5 Solução Uma voltagem do tipo vt 150senwt 10o é aplicada a um certo circuito que responde com uma corrente do tipo it 5senwt 50o Determinar o triângulo das potências Solução Os valores efetivos da voltagem e da corrente são e O defasamento é f 10o 50o 60o Assim a potência aparente é P S cos60o 1875W e Q Ssen60o 32476 VAR 2 150 V 2 5 I 375VA 2 5 x 2 150 S Final timax air socos