Análise de Tensão em Estruturas: Conceitos e Distribuições

1 Capítulo 2 Análise de tensão 21 Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado Considere um corpo submetido às cargas F1 F2 F3 F4 como mostra a figura 21 figura 21 21 Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado 2 A natureza da distribuição de tensão em um ponto o pertence a um plano a não é uniforme porém qualquer força distribuída sobre uma pequena área DA em torno do ponto de interesse o pode ser substituída por uma força resultante DFn e um conjugado DMn estaticamente equivalente como mostra a figura 21 Note que as linhas de ação de DFn e de DMn pode não coincidir com a direção de n figura 21 21 Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado 3 As tensões resultantes no ponto o são dadas por 0 nn n A F σ lim A D D D 0 nt n A F τ lim A D D D Como a área DA é muito pequena o momento DMn tende a se anular quando a distribuição de tensão se torna mais uniforme Considere que a direção normal do plano a seja a direção x como mostra a figura 22 Neste caso temos que figura 22 21 Conceito de tensão em um ponto qualquer de um membro arbitrariamente carregado 4 Analisandose a distribuição de tensão em outros planos perpendiculares a a através do ponto o determinandose um cubo elementar submetido a um estado triaxial de tensão como mostra a figura 23 figura 23 A convenção de índices para as tensões é a seguinte a As tensões normais aqui representadas pela letra s e que tem um único índice para indicar a direção normal do plano em que atuam b As tensões tangenciais aqui representadas pela letra grega t seguida de dois índices onde o primeiro índice indica a direção normal do plano que atuam e o segundo índice indica a direção dos mesmos 22 O estado plano de tensões 5 Podese obter uma boa noção da natureza da distribuição de tensões examinando um estado de tensões conhecido como estado bidimensional ou estado plano de tensões Para este caso admitese que duas faces paralelas do elemento infinitesimal da figura 24 estão livres de tensões Para fins de análise fazemos com que essas faces sejam perpendiculares ao eixo z Assim sz tzx tzy txz tyz 0 Neste caso a representação do elemento num esquema bidimensional é mais conveniente Fig 24 figura 24 23 Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensões 6 Desejase obter as tensões normais e de cisalhamento sn e tnt referentes a um plano arbitrário cuja normal está orientada a um ângulo q em relação ao eixo de referência que passa por um ponto com as tensões conhecidas sx sy e txy tyx Considere o estado plano de tensões para a figura 25a onde a linha tracejada AA representa o traço de um plano qualquer que passa pelo ponto Na Fig 25b têmse o diagrama de corpo livre de um elemento na forma de cunha no qual as áreas da face são DA para a face inclinada plano AA DA cosq para a face vertical e DA senq para a face horizontal As forças ilustradas no diagrama de corpo livre fig 25b são decompostas segundo os eixos n e t figura 25 a b 23 Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensões 7 A Fig 26a ilustra as forças devido às tensões normais sx sy decompostas segundo os eixos n e t Enquanto que a fig 26b ilustra as componentes das forças devido às tensões de cisalhamento txy e tyx onde a b Fig 26 23 Tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer de um ponto sob um estado plano de tensões 8 O somatório das forças na direção n fornece Uma vez que txy tyx ou em termos de ângulo duplo O somatório das forças na direção t fornece da qual ou em termos de ângulo duplo 21 22 24 Tensões principais e máxima tensão de cisalhamento 9 As equações 21 e 22 de transformação para o estado plano de tensões fornecem um meio de se determinar a tensão normal sn e a tensão de cisalhamento tnt em planos diferentes que passam por um ponto de um corpo sujeito a um carregamento Tensão normal sn Tensão de cisalhamento tnt 21 22 As maiores tensões possíveis tanto normal quanto de cisalhamento e os planos em que atuam são de particular interesse uma vez que geralmente estão diretamente ligadas a uma falha estrutural 24 Tensões principais máxima e mínima tensão normal 10 Plotando as curvas de sn e tnt sob um mesmo gráfico verificase que a tensão de cisalhamento é nula para planos que estão sujeitos ao valor máximo e mínimo de tensão normal conforme exemplo da figura 27 O valor máximo e mínimo planos principais ocorrerão para valores de q para os quais dsndq 0 resultando em 23 figura 27 Os planos livres de tensão de cisalhamento são conhecidos como planos principais e as tensões normais que ocorrem nesses planos são as tensões principais ou n x y xy d sen2 2 cos2 0 d σ σ σ θ τ θ θ 24 Tensões principais máxima e mínima tensão normal 11 fig 28 De acordo com a trigonometria existem dois ângulos defasados de 180º cujas tangentes são sempre iguais tg 2q tg2q 180 conforme Fig 28 Substituindo os valores de Sen 2qp Cos 2qp na Eq 21 24 Tensões principais máxima e mínima tensão normal 12 fig 28 Obtemos as tensões principais conforme a Eq 24 24 Pode ser demonstrado que s1 s2 sx sy ou seja que a soma das tensões normais que atuam em planos ortogonais entre si é constante 24 Tensão de cisalhamento máximo no ponto 13 A tensão de cisalhamento máxima no plano xy tp ocorre sobre os planos localizados pelos valores de q para os quais dtntdq 0 resultando em 25 ou nt x y xy d cos2 2 sen2 0 d τ σ σ θ τ θ θ A tensão de cisalhamento máxima podem ser determinadas a partir da Eq 22 conforme segue abaixo Outra relação importante é obtida fazendo a subtração das tensões principais s1 s2 obtendose a Eq 27 26 27 Correlacionando a Eq 21 e a Eq acima podemos deduzir que 24 Tensão de cisalhamento máximo no ponto 14 1 s2 s1 s3 0 implica em smáx s3 e smín s2 max min 2 max 2 max 0 2 2 2 σ σ σ τ σ τ 28 Atuando em planos defasados de 45º dos planos de direção principal 3 e 2 Nestes planos atua uma tensão normal dados pela Eq 29 max min 2 n23 2 n23 0 2 2 2 σ σ σ σ σ σ 24 Tensão de cisalhamento máximo no ponto 2 s2 s3 0 s1 implica em smáx s1 e smín s2 onde max min 1 2 max 2 2 σ σ σ σ τ Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 2 Nestes planos existem tensões normais dadas por x y 1 2 n12 2 2 σ σ σ σ σ 24 Tensão de cisalhamento máximo no ponto 3 s3 0 s2 s1 implica em smáx s1 e smín 0 onde max 1 max 0 0 2 2 σ σ τ Atuando em planos defasados de 45º dos planos principais 1 e 3 Nestes planos existem tensões normais dadas por 1 3 1 n13 2 2 σ σ σ σ 1 max 2 σ τ 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões O círculo de Mohr consiste em um círculo onde as coordenadas de cada ponto deste círculo representam as tensões normais e tangenciais em um plano que passa pelo ponto submetido a tensões e onde a posição angular do raio fornece a orientação do plano Para entender como funciona o círculo de Mohr reveja as Eq 21 e 22 21 22 Elevando as Equações ao quadrado somando as expressões obtidas e simplificando obtémse 23 2 2 x y x y 2 2 n nt xy 2 2 σ σ σ σ σ τ τ 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões Percebese que a eq 23 se trata da equação de círculo conforme comparação abaixo Fig 29 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões Para efeito de análise consideremos os componentes de tensão mostrados na Fig 210a com sx maior do que sy e plotando na Fig 210b os pontos que representam as tensões dadas Fig 210 a b 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões Façamos algumas observações Os planos vertical e horizontal são determinados pelos pontos V e H da fig 210a respectivamente O ponto H é determinado pelas tensões sobre o plano horizontal que passa pelo ponto A linha CV representa o plano vertical da Fig 210a que passa pelo ponto submetido a tensões a partir do qual o ângulo q é medido ou seja estabelece a referência zero para o ângulo No sentido horário é negativo e no sentido anti horário é positivo As coordenadas de cada ponto do círculo representam sn e tnt para um plano particular de tensão A intersecção do círculo com os eixos das abcissas determina as tensões principais 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões A abcissa representa sn e a ordenada representa tnt para demonstrar essa afirmação desenhe qualquer raio CF na Fig 210b a um ângulo 2q no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do raio CV Da figura Fica aparente que OF OC CF cos2qp 2q E como CF é igual à CV a equação anterior reduzse a OF OC CV cos2qp cos2q CV sen2qp sen2q Com referência à fig 210b observe que Portanto Esta expressão é idêntica à Eq 21 portanto FF tnt 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões Como a coordenada horizontal de cada ponto do círculo representa a tensão normal sn em algum plano que passa pelo ponto a tensão normal máxima do ponto é representada por OD e seu valor é Que está de acordo com a equação 24 24 O círculo de Mohr para o estado plano de tensões Procedimento para desenhar e usar o ciclo de Mohr para obter informações específicas sobre as tensões pode ser resumido da forma que segue 1 Escolha um conjunto de eixos de referência xy 2 Identifique as tensões sx sy e txy tyx 3 Desenhe um conjunto de eixos de coordenadas s t com s e t positivos para a direita e para cima respectivamente 4 Plote o ponto sx txy e chameo de ponto V plano vertical 5 Plote o ponto sy txy e chameo de ponto H plano Horizontal 6 Desenhe uma linha entre V e H Essa linha determina o centro C e o raio R do círculo de Mohr 7 Desenhe o círculo 8 Uma extensão do raio entre C e V pode ser identificada como o eixo x ou a linha de referência para as medidas de ângulos ie q 0o