Teoria Local de Curvas e o Trio de Frenet

αs 1s32 1s32 s 1 1 CURVAS NO ESPAÇO TEORIA LOCAL DE CURVAS Seja α I R³ uma CPD com αt 1 Definição 1 ηst αtαt² αtαtαt αtαtαt Se α I R³ é uma PPCA então k curvatura de α em s I é o número real empty ks αs empty Exemplos Cap para de vetores do Trio de Frenet determina um plano O plano de R³ que contém αs e é normal no vetor ts é o PLANO NORMAL à curva α em s O plano que contém αs e é normal a bs e denominase PLANO OSCULADOR à curva α em s O plano que contém ds e é normal a ns é o PLANO RETIFICANTE à curva α em s 1 αs a cossa a sinsa 0 s R Exemplo Vamos obter o Trio de Frenet a curvatura e torção da hélice circular PPCA onde αs a cos s a²b² a sin s a²b² b s a²b² s R a 0 ts αs a a²b² sin s a²b² a a²b² cos s a²b² 0 αs 1 a²b² a cos s a²b² a sin s a²b² 0 ks αs 1 a²b² a² cos² s a²b² sin² s a²b² a a²b² cujo traço é uma circunferência no plano xoy de raio a Portanto ηs αs ks cos s a²b² sin s a²b² 0 bs ts x ηs b a²b²j a a²b²k a cos s a²b² b a²b² 0 bs b sin s a²b² b cos s a²b² a a²b² bs b a²b² s 0 bs b sin s a²b² b cos s a²b² a a²b² 0 A curvatura de α¹ é ks 1a s R D E I 2 VEM QUE α¹s sinsa cossa 0 Proposição S e d a α I R ³ um a curva regular de parâmetro t e β J R ³ uma reparametrização de α PRCA isto k βαt αt t I α βoS Sempe ks 0 e τs a curvatura e a torção de β em se J então α²s 1a cossa 1a sinsa 0 Observações agora bs é paralelo a ts Definito ks α¹s sqrt1a²cos²sa sin²sa 0 1a 0 Já vimos que Aplicações Fórmulas de Frenet ts αs ksηs Lema Seja α I R³ uma curva regular com curvatura nãonula Observemos que se αs é uma curva regular de R³ então ks 0 enquanto a torção pode ser negativa Então α é uma curva plana então o plano Mas ks ρ𝛼t assim é gerado por α e o plano que contém o traço de α Proposição Seja α I R³ uma curva regular de curvatura nãonula Então α é uma curva plana se τ 0