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Zootecnia ·
Cálculo 1
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Universidade Federal de Alagoas Centro de Engenharias e Ciˆencias Agrarias Disciplina Matematica Aplicada as Ciˆencias Agrarias 20231 Professor Valter Moitinho Lista 03 1 Nesta prova os numeros d1 a d8 representam os dıgitos da sua matrıcula Por exemplo o aluno com matrıcula 87654321 usara d1 8 d2 7 d3 6 d4 5 d5 4 d6 3 d7 2 e d8 1 Em cada questao antes de resolver substitua os valores de d1 a d8 2 Questoes sem as suas justificativas nao serao consideradas Questao 1 a Considerando a producao de materia seca de feijao f gvaso como funcao da dose de fosforo x ppm em que 0 x 230 descrita por fx 67287 0061792x 00000678x2 000000083x3 encontre os pontos de maximo e mınimo globais b A expressao do item a e matematicamente conveniente embora biologicamente nao seja a funcao mais adequada Uma equacao mais apropriada e da forma gx ax x b a qual descreve a resposta de crescimento de uma planta em funcao da adicao de fertilizante x Analise se gx tem ponto crıtico para valores de a 10 d8 e b 10 d7 e esboce o grafico correspondente Questao 2 Considere V 6000 d8 100 d7 10 d6 Para construir um reservatorio de base quadrada com volume V cm3 temse R3 00 por cm2 o preco por material da tampa e da base e R1 50 por cm2 o valor do material para os lados Calcule as dimensoes desse reservatorio de modo que o custo total do material seja mınimo Questao 3 Um experimento relacionou a producao com o manejo de fatores como aplicacao de nitrogˆenio N eficacia da agua e intervalo de epoca de colheita No caso da pastagem a producao fx kgha como funcao da aplicacao de N e obtida pelo modelo logıstico estendido da seguinte forma fx 156 1 e06100054x em que 0 x 250 e a quantidade aplicada de N em kgha Encontre a quantidade de N na qual a producao esta crescendo mais rapidamente Guru Márcio Peixoto A 1 a Derivando f obtemos f x 006179200001356 x000000249 x 2 cujas raízes são aproximadamente iguais a 1326 e 1871 Como a concavidade de f é para baixo temos que f x 0 para 1326x 1871 enquanto f x 0 caso contrário Ou seja f x é crescente para 1326x 1871 e é decrescente caso contrário Sendo assim considerando 0 x230 podemos afirmar que f possui um máximo global em x 187 1 Além disso f 187 16728700617921871000006781871 20000000831871 3 152 Portanto o máximo global de f é o ponto 1871152 Por outro lado o mínimo global de f pode ocorrer em x0 ou em x230 Veja que f 0 672870061792 0000006780 2000000083 0 367287 f 230 67287006179223000000678230 2000000083230 3144 Portanto o mínimo global de f é o ponto 067287 b Derivando g pela Regra do Quociente obtemos g x ax xb ax xb xb 2 Assim g x axb ax 1 xb 2 Simplificando g x ab xb 2 Logo g x 0 se e somente se ab0 Isto é g possui ponto crítico se e somente se a0 ou b0 Como 10d810515 e 10d71091 concluímos que g não possui pontos críticos para a10d8 e b10d7 Neste caso a função é g x 15 x x1 1 Guru Márcio Peixoto A Seu gráfico fica As seguintes informações nos permitem obter o gráfico acima Como x1 20 e ab0 Assim g x 0 para todo x R Isto é g é crescente O único ponto de descontinuidade de g é x1 pois zera o denominador Além disso lim x1 g xe lim x1 g x Temos que lim x g x lim x g x 15 2 Guru Márcio Peixoto A 2 O volume do reservatório em cm 3 será V6000d8100d710d660005 1009104 6000500904659 4 Denotemos por l o comprimento dos lados da base e por h a altura desse reservatório ambos em cm Assim Vl l hVl 2hhV l 2 h6594 l 2 Por outro lado as áreas da base e da face lateral desse reservatório são respectivamente l 2 e hl Logo o custo C do material do reservatório é C3l 215hl3l 215 6594 l 2 l3l 2 9891 l Para determinarmos o custo mínimo do material vamos derivar a função C l encontrada acima C l3l 2 9891 l 3l 2 9891 1 l 32l9891 1 l 2 6l9891 l 2 Em seguida vamos encontrar os pontos críticos de C l calculando as raízes de sua derivada C l06l9891 l 2 06l9891 l 2 6l 39891l 3164 85 l 316485 Dessa forma C l possui um único ponto crítico em l 316485 Além disso é fácil ver substituindo valores que C l0 para l 316485 enquanto C l0 para l 316485 Assim C l decresce para l 316485 e cresce para l 316485 Isto nos diz que C l possui mínimo global em l 316485 Consequentemente as dimensões do reservatório para que o custo do material seja mínimo são l 316485118cm e h659 4 l 2 6594 316485 26594 316485 16485 4 3164 85 473 cm 3 Guru Márcio Peixoto A 3 Primeiramente vamos derivar a função f x f x 156 1e 06100054 x 156 1 1e 0 6100054 x Aplicando a Regra da Cadeia 156 1 1e 06100054 x 21e 06100054 x 156 1 1e 0 6100054 x 2 0e 0 6100054 x 156 e 0 6100054 x 1e 06100054 x 2 Novamente pela Regra da Cadeia temos que e 06100054 x e 06100054 x 0 6100054 x e 06100054 x000054 00054e 06100054 x Assim f x 156e 06100054 x 1e 06100054 x 2 156 00054e 06100054 x 1e 06100054 x 2 008424e 06100054 x 1e 06100054 x 2 Como a derivada de uma função representa sua taxa de variação temos que a produção cresce mais rapidamente quando f x atinge seu valor máximo Para encontrarmos o x correspondente a este valor vamos encontrar os pontos críticos de f x Para isto derivaremos f x f x 008424e 06100054 x 1e 06100054 x 2 008424 e 06100054 x 1e 06100054 x 2 Aplicando a Regra do Quociente 008424 e 06100054 x 1e 06100054 x 2e 0 6100054 x1e 0 6100054 x 2 1e 06100054 x 4 008424 00054 e 06100054 x1e 0 6100054 x 2e 06100054 x2 1e 06100054 x1e 06100054 x 1e 06100054 x 4 4 Guru Márcio Peixoto A 008424 00054 e 0 6100054 x1e 06100054 x 22e 06100054 x 1e 06100054 x00054e 06100054 x 1e 06100054 x 4 008424 00054 e 0 6100054 x1e 06100054 x 200108e 12200108 x1e 0 6100054 x 1e 0 6100054 x 4 0000454896e 06100054 x1e 0 6100054 x0000909792e 12200108 x 1e 0 6100054 x 3 e 06100054 x0000454896 1e 06100054 x0000909792e 06100054 x 1e 06100054 x 3 e 06100054 x0000454896 e 0 6100054 x0000454896 1e 0 6100054 x 3 0000454896e 06100054 xe 0 6100054 x1 1e 0 6100054 x 3 Agora encontremos as raízes de f x f x 0 0000454896e 06100054 x e 06100054 x1 1e 06100054 x 3 0 e 06100054 x10e 06100054 x106100054 x0 00054 x061x 061 00054 x6100 54 x3050 27 113 Além disso pela monotonicidade da função exponencial é fácil ver que f x 0 quando x3050 27 enquanto f x 0 quando x3050 27 Ou seja f x cresce para x3050 27 e decresce para x3050 27 Isto nos diz que f x possui máximo global em x3050 27 Como 0 3050 27 250 concluímos que a taxa de crescimento de f x será máxima quando a quantidade de nitrogênio for x3050 27 113 5 A 1 Guru Márcio Peixoto 1 a Derivando 𝑓 obtemos 𝑓𝑥 0061792 00001356𝑥 000000249𝑥2 cujas raízes são aproximadamente iguais a 1326 e 1871 Como a concavidade de 𝑓 é para baixo temos que 𝑓𝑥 0 para 1326 𝑥 1871 enquanto 𝑓𝑥 0 caso contrário Ou seja 𝑓𝑥 é crescente para 1326 𝑥 1871 e é decrescente caso contrário Sendo assim considerando 0 𝑥 230 podemos afirmar que 𝑓 possui um máximo global em 𝑥 1871 Além disso 𝑓1871 67287 0061792 1871 00000678 18712 000000083 18713 152 Portanto o máximo global de 𝑓 é o ponto 1871 152 Por outro lado o mínimo global de 𝑓 pode ocorrer em 𝑥 0 ou em 𝑥 230 Veja que 𝑓0 67287 0061792 0 00000678 02 000000083 03 67287 𝑓230 67287 0061792 230 00000678 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face lateral desse reservatório são respectivamente ℓ2 e ℎℓ Logo o custo 𝐶 do material do reservatório é 𝐶 3ℓ2 15ℎℓ 3ℓ2 15 6594 ℓ2 ℓ 3ℓ2 9891 ℓ Para determinarmos o custo mínimo do material vamos derivar a função 𝐶ℓ encontrada acima 𝐶ℓ 3ℓ2 9891 ℓ 3ℓ2 9891 1 ℓ 3 2ℓ 9891 1 ℓ2 6ℓ 9891 ℓ2 Em seguida vamos encontrar os pontos críticos de 𝐶ℓ calculando as raízes de sua derivada 𝐶ℓ 0 6ℓ 9891 ℓ2 0 6ℓ 9891 ℓ2 6ℓ3 9891 ℓ3 16485 ℓ 16485 3 Dessa forma 𝐶ℓ possui um único ponto crítico em ℓ 16485 3 Além disso é fácil ver substituindo valores que 𝐶ℓ 0 para ℓ 16485 3 enquanto 𝐶ℓ 0 para ℓ 16485 3 Assim 𝐶ℓ decresce para ℓ 16485 3 e cresce para ℓ 16485 3 Isto nos diz que 𝐶ℓ possui mínimo global em ℓ 16485 3 Consequentemente as dimensões do reservatório para que o custo do material seja mínimo são ℓ 16485 3 118 cm e ℎ 6594 ℓ2 6594 16485 3 2 659416485 3 16485 416485 3 473 cm A 4 Guru Márcio Peixoto 3 Primeiramente vamos derivar a função 𝑓𝑥 𝑓𝑥 156 1 𝑒06100054𝑥 156 1 1 𝑒06100054𝑥 Aplicando a Regra da Cadeia 156 1 1 𝑒06100054𝑥2 1 𝑒06100054𝑥 156 1 1 𝑒06100054𝑥2 0 𝑒06100054𝑥 156𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Novamente pela Regra da Cadeia temos que 𝑒06100054𝑥 𝑒06100054𝑥 061 00054𝑥 𝑒06100054𝑥 0 00054 00054𝑒06100054𝑥 Assim 𝑓𝑥 156𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 156 00054𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 008424𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Como a derivada de uma função representa sua taxa de variação temos que a produção cresce mais rapidamente quando 𝑓𝑥 atinge seu valor máximo Para encontrarmos o 𝑥 correspondente a este valor vamos encontrar os pontos críticos de 𝑓𝑥 Para isto derivaremos 𝑓𝑥 𝑓𝑥 008424𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 008424 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Aplicando a Regra do Quociente 008424 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 𝑒06100054𝑥 21 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 2𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥00054𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 00108𝑒12200108𝑥1 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 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Universidade Federal de Alagoas Centro de Engenharias e Ciˆencias Agrarias Disciplina Matematica Aplicada as Ciˆencias Agrarias 20231 Professor Valter Moitinho Lista 03 1 Nesta prova os numeros d1 a d8 representam os dıgitos da sua matrıcula Por exemplo o aluno com matrıcula 87654321 usara d1 8 d2 7 d3 6 d4 5 d5 4 d6 3 d7 2 e d8 1 Em cada questao antes de resolver substitua os valores de d1 a d8 2 Questoes sem as suas justificativas nao serao consideradas Questao 1 a Considerando a producao de materia seca de feijao f gvaso como funcao da dose de fosforo x ppm em que 0 x 230 descrita por fx 67287 0061792x 00000678x2 000000083x3 encontre os pontos de maximo e mınimo globais b A expressao do item a e matematicamente conveniente embora biologicamente nao seja a funcao mais adequada Uma equacao mais apropriada e da forma gx ax x b a qual descreve a resposta de crescimento de uma planta em funcao da adicao de fertilizante x Analise se gx tem ponto crıtico para valores de a 10 d8 e b 10 d7 e esboce o grafico correspondente Questao 2 Considere V 6000 d8 100 d7 10 d6 Para construir um reservatorio de base quadrada com volume V cm3 temse R3 00 por cm2 o preco por material da tampa e da base e R1 50 por cm2 o valor do material para os lados Calcule as dimensoes desse reservatorio de modo que o custo total do material seja mınimo Questao 3 Um experimento relacionou a producao com o manejo de fatores como aplicacao de nitrogˆenio N eficacia da agua e intervalo de epoca de colheita No caso da pastagem a producao fx kgha como funcao da aplicacao de N e obtida pelo modelo logıstico estendido da seguinte forma fx 156 1 e06100054x em que 0 x 250 e a quantidade aplicada de N em kgha Encontre a quantidade de N na qual a producao esta crescendo mais rapidamente Guru Márcio Peixoto A 1 a Derivando f obtemos f x 006179200001356 x000000249 x 2 cujas raízes são aproximadamente iguais a 1326 e 1871 Como a concavidade de f é para baixo temos que f x 0 para 1326x 1871 enquanto f x 0 caso contrário Ou seja f x é crescente para 1326x 1871 e é decrescente caso contrário Sendo assim considerando 0 x230 podemos afirmar que f possui um máximo global em x 187 1 Além disso f 187 16728700617921871000006781871 20000000831871 3 152 Portanto o máximo global de f é o ponto 1871152 Por outro lado o mínimo global de f pode ocorrer em x0 ou em x230 Veja que f 0 672870061792 0000006780 2000000083 0 367287 f 230 67287006179223000000678230 2000000083230 3144 Portanto o mínimo global de f é o ponto 067287 b Derivando g pela Regra do Quociente obtemos g x ax xb ax xb xb 2 Assim g x axb ax 1 xb 2 Simplificando g x ab xb 2 Logo g x 0 se e somente se ab0 Isto é g possui ponto crítico se e somente se a0 ou b0 Como 10d810515 e 10d71091 concluímos que g não possui pontos críticos para a10d8 e b10d7 Neste caso a função é g x 15 x x1 1 Guru Márcio Peixoto A Seu gráfico fica As seguintes informações nos permitem obter o gráfico acima Como x1 20 e ab0 Assim g x 0 para todo x R Isto é g é crescente O único ponto de descontinuidade de g é x1 pois zera o denominador Além disso lim x1 g xe lim x1 g x Temos que lim x g x lim x g x 15 2 Guru Márcio Peixoto A 2 O volume do reservatório em cm 3 será V6000d8100d710d660005 1009104 6000500904659 4 Denotemos por l o comprimento dos lados da base e por h a altura desse reservatório ambos em cm Assim Vl l hVl 2hhV l 2 h6594 l 2 Por outro lado as áreas da base e da face lateral desse reservatório são respectivamente l 2 e hl Logo o custo C do material do reservatório é C3l 215hl3l 215 6594 l 2 l3l 2 9891 l Para determinarmos o custo mínimo do material vamos derivar a função C l encontrada acima C l3l 2 9891 l 3l 2 9891 1 l 32l9891 1 l 2 6l9891 l 2 Em seguida vamos encontrar os pontos críticos de C l calculando as raízes de sua derivada C l06l9891 l 2 06l9891 l 2 6l 39891l 3164 85 l 316485 Dessa forma C l possui um único ponto crítico em l 316485 Além disso é fácil ver substituindo valores que C l0 para l 316485 enquanto C l0 para l 316485 Assim C l decresce para l 316485 e cresce para l 316485 Isto nos diz que C l possui mínimo global em l 316485 Consequentemente as dimensões do reservatório para que o custo do material seja mínimo são l 316485118cm e h659 4 l 2 6594 316485 26594 316485 16485 4 3164 85 473 cm 3 Guru Márcio Peixoto A 3 Primeiramente vamos derivar a função f x f x 156 1e 06100054 x 156 1 1e 0 6100054 x Aplicando a Regra da Cadeia 156 1 1e 06100054 x 21e 06100054 x 156 1 1e 0 6100054 x 2 0e 0 6100054 x 156 e 0 6100054 x 1e 06100054 x 2 Novamente pela Regra da Cadeia temos que e 06100054 x e 06100054 x 0 6100054 x e 06100054 x000054 00054e 06100054 x Assim f x 156e 06100054 x 1e 06100054 x 2 156 00054e 06100054 x 1e 06100054 x 2 008424e 06100054 x 1e 06100054 x 2 Como a derivada de uma função representa sua taxa de variação temos que a produção cresce mais rapidamente quando f x atinge seu valor máximo Para encontrarmos o x correspondente a este valor vamos encontrar os pontos críticos de f x Para isto derivaremos f x f x 008424e 06100054 x 1e 06100054 x 2 008424 e 06100054 x 1e 06100054 x 2 Aplicando a Regra do Quociente 008424 e 06100054 x 1e 06100054 x 2e 0 6100054 x1e 0 6100054 x 2 1e 06100054 x 4 008424 00054 e 06100054 x1e 0 6100054 x 2e 06100054 x2 1e 06100054 x1e 06100054 x 1e 06100054 x 4 4 Guru Márcio Peixoto A 008424 00054 e 0 6100054 x1e 06100054 x 22e 06100054 x 1e 06100054 x00054e 06100054 x 1e 06100054 x 4 008424 00054 e 0 6100054 x1e 06100054 x 200108e 12200108 x1e 0 6100054 x 1e 0 6100054 x 4 0000454896e 06100054 x1e 0 6100054 x0000909792e 12200108 x 1e 0 6100054 x 3 e 06100054 x0000454896 1e 06100054 x0000909792e 06100054 x 1e 06100054 x 3 e 06100054 x0000454896 e 0 6100054 x0000454896 1e 0 6100054 x 3 0000454896e 06100054 xe 0 6100054 x1 1e 0 6100054 x 3 Agora encontremos as raízes de f x f x 0 0000454896e 06100054 x e 06100054 x1 1e 06100054 x 3 0 e 06100054 x10e 06100054 x106100054 x0 00054 x061x 061 00054 x6100 54 x3050 27 113 Além disso pela monotonicidade da função exponencial é fácil ver que f x 0 quando x3050 27 enquanto f x 0 quando x3050 27 Ou seja f x cresce para x3050 27 e decresce para x3050 27 Isto nos diz que f x possui máximo global em x3050 27 Como 0 3050 27 250 concluímos que a taxa de crescimento de f x será máxima quando a quantidade de nitrogênio for x3050 27 113 5 A 1 Guru Márcio Peixoto 1 a Derivando 𝑓 obtemos 𝑓𝑥 0061792 00001356𝑥 000000249𝑥2 cujas raízes são aproximadamente iguais a 1326 e 1871 Como a concavidade de 𝑓 é para baixo temos que 𝑓𝑥 0 para 1326 𝑥 1871 enquanto 𝑓𝑥 0 caso contrário Ou seja 𝑓𝑥 é crescente para 1326 𝑥 1871 e é decrescente caso contrário Sendo assim considerando 0 𝑥 230 podemos afirmar que 𝑓 possui um máximo global em 𝑥 1871 Além disso 𝑓1871 67287 0061792 1871 00000678 18712 000000083 18713 152 Portanto o máximo global de 𝑓 é o ponto 1871 152 Por outro lado o mínimo global de 𝑓 pode ocorrer em 𝑥 0 ou em 𝑥 230 Veja que 𝑓0 67287 0061792 0 00000678 02 000000083 03 67287 𝑓230 67287 0061792 230 00000678 2302 000000083 2303 144 Portanto o mínimo global de 𝑓 é o ponto 067287 b Derivando 𝑔 pela Regra do Quociente obtemos 𝑔𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑏 𝑎𝑥 𝑥 𝑏 𝑥 𝑏2 Assim 𝑔𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑎𝑥 1 𝑥 𝑏2 Simplificando 𝑔𝑥 𝑎𝑏 𝑥 𝑏2 Logo 𝑔𝑥 0 se e somente se 𝑎𝑏 0 Isto é 𝑔 possui ponto crítico se e somente se 𝑎 0 ou 𝑏 0 Como 10 𝑑8 10 5 15 e 10 𝑑7 10 9 1 concluímos que 𝑔 não possui pontos críticos para 𝑎 10 𝑑8 e 𝑏 10 𝑑7 Neste caso a função é 𝑔𝑥 15𝑥 𝑥 1 A 2 Guru Márcio Peixoto Seu gráfico fica As seguintes informações nos permitem obter o gráfico acima Como 𝑥 12 0 e 𝑎𝑏 0 Assim 𝑔𝑥 0 para todo 𝑥 ℝ Isto é 𝑔 é crescente O único ponto de descontinuidade de 𝑔 é 𝑥 1 pois zera o denominador Além disso lim 𝑥1 𝑔𝑥 e lim 𝑥1 𝑔𝑥 Temos que lim 𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥 𝑔𝑥 15 A 3 Guru Márcio Peixoto 2 O volume do reservatório em cm3 será 𝑉 6000 𝑑8 100 𝑑7 10 𝑑6 6000 5 100 9 10 4 6000 500 90 4 6594 Denotemos por ℓ o comprimento dos lados da base e por ℎ a altura desse reservatório ambos em cm Assim 𝑉 ℓ ℓ ℎ 𝑉 ℓ2ℎ ℎ 𝑉 ℓ2 ℎ 6594 ℓ2 Por outro lado as áreas da base e da face lateral desse reservatório são respectivamente ℓ2 e ℎℓ Logo o custo 𝐶 do material do reservatório é 𝐶 3ℓ2 15ℎℓ 3ℓ2 15 6594 ℓ2 ℓ 3ℓ2 9891 ℓ Para determinarmos o custo mínimo do material vamos derivar a função 𝐶ℓ encontrada acima 𝐶ℓ 3ℓ2 9891 ℓ 3ℓ2 9891 1 ℓ 3 2ℓ 9891 1 ℓ2 6ℓ 9891 ℓ2 Em seguida vamos encontrar os pontos críticos de 𝐶ℓ calculando as raízes de sua derivada 𝐶ℓ 0 6ℓ 9891 ℓ2 0 6ℓ 9891 ℓ2 6ℓ3 9891 ℓ3 16485 ℓ 16485 3 Dessa forma 𝐶ℓ possui um único ponto crítico em ℓ 16485 3 Além disso é fácil ver substituindo valores que 𝐶ℓ 0 para ℓ 16485 3 enquanto 𝐶ℓ 0 para ℓ 16485 3 Assim 𝐶ℓ decresce para ℓ 16485 3 e cresce para ℓ 16485 3 Isto nos diz que 𝐶ℓ possui mínimo global em ℓ 16485 3 Consequentemente as dimensões do reservatório para que o custo do material seja mínimo são ℓ 16485 3 118 cm e ℎ 6594 ℓ2 6594 16485 3 2 659416485 3 16485 416485 3 473 cm A 4 Guru Márcio Peixoto 3 Primeiramente vamos derivar a função 𝑓𝑥 𝑓𝑥 156 1 𝑒06100054𝑥 156 1 1 𝑒06100054𝑥 Aplicando a Regra da Cadeia 156 1 1 𝑒06100054𝑥2 1 𝑒06100054𝑥 156 1 1 𝑒06100054𝑥2 0 𝑒06100054𝑥 156𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Novamente pela Regra da Cadeia temos que 𝑒06100054𝑥 𝑒06100054𝑥 061 00054𝑥 𝑒06100054𝑥 0 00054 00054𝑒06100054𝑥 Assim 𝑓𝑥 156𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 156 00054𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 008424𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Como a derivada de uma função representa sua taxa de variação temos que a produção cresce mais rapidamente quando 𝑓𝑥 atinge seu valor máximo Para encontrarmos o 𝑥 correspondente a este valor vamos encontrar os pontos críticos de 𝑓𝑥 Para isto derivaremos 𝑓𝑥 𝑓𝑥 008424𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 008424 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥2 Aplicando a Regra do Quociente 008424 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 𝑒06100054𝑥 21 𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 2𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥00054𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 008424 00054𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥2 00108𝑒12200108𝑥1 𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥4 0000454896𝑒06100054𝑥1 𝑒06100054𝑥 0000909792𝑒12200108𝑥 1 𝑒06100054𝑥3 A 5 Guru Márcio Peixoto 𝑒06100054𝑥00004548961 𝑒06100054𝑥 0000909792𝑒06100054𝑥 1 𝑒06100054𝑥3 𝑒06100054𝑥0000454896𝑒06100054𝑥 0000454896 1 𝑒06100054𝑥3 0000454896𝑒06100054𝑥𝑒06100054𝑥 1 1 𝑒06100054𝑥3 Agora encontremos as raízes de 𝑓𝑥 𝑓𝑥 0 0000454896𝑒06100054𝑥𝑒06100054𝑥 1 1 𝑒06100054𝑥3 0 𝑒06100054𝑥 1 0 𝑒06100054𝑥 1 061 00054𝑥 0 00054𝑥 061 𝑥 061 00054 𝑥 6100 54 𝑥 3050 27 113 Além disso pela monotonicidade da função exponencial é fácil ver que 𝑓𝑥 0 quando 𝑥 3050 27 enquanto 𝑓𝑥 0 quando 𝑥 3050 27 Ou seja 𝑓𝑥 cresce para 𝑥 3050 27 e decresce para 𝑥 3050 27 Isto nos diz que 𝑓𝑥 possui máximo global em 𝑥 3050 27 Como 0 3050 27 250 concluímos que a taxa de crescimento de 𝑓𝑥 será máxima quando a quantidade de nitrogênio for 𝑥 3050 27 113