Termodinâmica e Hidrodinâmica - Resumo Completo para Estudantes

7 A PRIMEIRA LEI APLICADA À TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA DE UM GÁS IDEAL 276 8 A PRIMEIRA LEI APLICADA À TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL 279 9 A LEI DE JOULE DOS GASES PERFEITOS 283 10 TRANSFORMAÇÃO CÍCLICA 286 11 TRANSFORMAÇÕES REVERSÍVEIS E IRREVERSÍVEIS 293 12 SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 294 13 MÁQUINAS TÉRMICAS 295 14 RENDIMENTO DA MÁQUINA TÉRMICA 296 15 MÁQUINAS FRIGORÍFICAS 296 16 MÁQUINA DE CARNOT 300 17 ESCALA ABSOLUTA TERMODINÂMICA 305 18 DEGRADAÇÃO DA ENERGIA NOÇÃO DE ENTROPIA 305 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 307 HIDRODINÂMICA 1 FLUIDOS EM MOVIMENTO 308 2 ESCOAMENTO DE FLUIDOS 311 3 VAZÃO E FLUXO DE MASSA 314 4 PRESSÃO E VELOCIDADE 318 5 EQUAÇÃO DE BERNOULLI 324 6 EQUAÇÃO DE TORRICELLI 325 7 O TUBO DE VENTURI 328 8 O TUBO DE PITOT 330 9 DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 333 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 334 ANÁLISE DIMENSIONAL GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 336 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 344 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 348 ÍNDICE REMISSIVO 357 CAPÍTULO 1 HIDROSTÁTICA 1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES O termo hidrostatica que usamos como título deste capítulo significa literalmente estática da água ou por extensão estática dos líquidos No entanto apesar de utilizarmos esse termo já consagrado pelo uso estudaremos a estática dos líquidos isto é a Fluidostatica Fluidos é o termo genérico para indicar substâncias que fluem escoam adquirindo a forma do recipiente que as contém já que não apresentam forma própria Estão nessa categoria de substâncias os líquidos e os gases Portanto nesse sentido podemos afirmar que a Hidrostática é a parte da Mecânica que estuda o equilíbrio dos fluidos Dizemos que um fluido está em equilíbrio quando não há movimentação de suas diferentes partes umas em relação às outras isto é quando não há correntes de fluido no seu interior 2 DENSIDADE Qualquer corpo independentemente do fato de ser ou não homogêneo possui certa massa m e ocupa um lugar no espaço isto é ocupa um volume V Fig 1 Define densidade do corpo a grandeza escalar dada pela relação entre sua massa m e seu volume V d m V Fig 1 A densidade tem por unidade no Sistema Internacional de Unidades SI o quilograma por metro cúbico kgm³ São usadas também outras unidades como o grama por centímetro cúbico gcm³ e o quilograma por litro kgl Quando o corpo é maciço e homogêneo a relação entre a massa m e o volume V define a massa específica μ da substância de que é feito o corpo confundindose então com sua densidade μ d m V Desse modo usando uma única substância com sua massa específica característica podemos fazer vários corpos de densidades diferentes deixando espaços vazios ocupados por ar no seu interior Por exemplo consideremos o cobre cuja massa específica é μ 89 gcm³ cada 1 cm³ de cobre tem 89 g de massa Qualquer corpo maciço de cobre um cubo uma esfera um fio terá densidade d 89 gcm³ isto é coincidente com a massa específica do cobre No entanto se o corpo for oco ele poderá ter maior volume para a mesma massa de cobre pois uma parte desse volume será ocupada por ar Em consequência a densidade será menor que a massa específica do cobre A água a 4C tem uma massa específica ou densidade supondoa homogênea que é freqüentemente adotada como padrão de referência Seu valor nas várias unidades é d água 1gcm³ 1kgℓ 1 103 kgm³ Chamamos densidade relativa de um corpo ou de uma substância à relação entre sua densidade e à densidade de outra substância tomada como referência Geralmente a densidade relativa de sólidos e líquidos é definida em relação à água Assim por exemplo o mercúrio que tem densidade dHg 136 gcm³ terá densidade relativa em relação à água dR dHg d água 136gcm³ 10gcm³ dR 136 Observe que a densidade relativa é uma grandeza adimensional não apresentando portanto unidade Logicamente é possível tomar outros padrões de referência que não a água A densidade relativa dos gases é comumente referida em relação ao oxigênio Observação A título de maior clareza evitando confusões a densidade definida anteriormente pode ser denominada densidade absoluta EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Uma amostra de dada substância apresenta 50 gramas de massa e volume de 40 cm³ Determine a densidade dessa substância expressa em gcm³ e em kgm³ Resolução Temos m 50 g e V 40 cm³ A densidade é dada por d m V d 50 40 d 125 gcm³ Mudando as unidades 1 g 10³ kg e 1 cm³ 10⁶ m³ vem d 125 10³ kg 10⁶ m³ d 125 10³ kgm³ 2 Um corpo maciço e homogêneo tem massa 20 gramas e volume 40 cm³ Calcule a densidade do material que o constitui exprimindoa em gcm³ e em kgm³ Um cubo tem 50 cm de aresta e massa igual a 60 gramas No centro esse cubo é oco tendo a parte oca forma cúbica com aresta 20 cm Determine a densidade do cubo e a densidade do material que o constitui Resolução A massa do cubo é m 60 g e o volume V a³ 50³ V 125 cm³ Sua densidade vale d m V d 60 125 d 048 gcm³ Para encontrar a densidade do material que constitui o corpo devemos descontar do volume total o volume da parte oca Voco a³ 20³ Voco 80 cm³ Vmat V Voco Vmat 125 80 Vmat 117 cm³ Desprezando a eventual quantidade de ar que exista na parte oca podemos admitir que a massa do material seja igual à massa do cubo mmat m 60 g A densidade do material vale dmat mmat Vmat dmat 60 117 dmat 051 gcm³ Uma esfera tem raio 20 cm Sua parte central também esférica é oca e tem raio 10 cm Supondo que a parte não oca é homogênea e tem massa 80 gramas determine a a densidade da esfera 27 gcm³ b a densidade do material que constitui a esfera 273 gcm³ Dado volume de uma esfera V 43 πR³ adote π 314 Dois líquidos homogêneos de densidade 20 gcm³ e 080 gcm³ são misturados Determine a densidade da mistura nos dois casos seguintes a são misturadas massas iguais dos líquidos b são misturados volumes iguais dos líquidos Resolução a Se as massas são iguais mA mB m os volumes são diferentes VA VB Aplicando o conceito de densidade vem dA m VA VA m dA dB m VB VB m dB A densidade da mistura será dada por d 2m VA VB Substituindo d 2m m m 1 1 d 2m m 1 dA dB dA dB d 2 1 dA dB d 2 dA dB d 2dA dB dA dB Sendo dA 20 gcm³ e dB 080 gcm³ vem d 2 20 080 20 080 28 d 114 gcm³ b Se os volumes são iguais VA VB V as massas são diferentes mA mB Aplicando o conceito de densidade temos dA mA V mA dA V dB mB V mB dB V A densidade da mistura será dada por d mA mB 2V Substituindo d dA V dB V 2V d dA dB V 2V d dA dB 2 Nesse caso mistura em volumes iguais a densidade da mistura é média aritmética das densidades dos líquidos misturados Sendo dA 20 gcm³ e dB 080 gcm³ vem d 20 080 2 28 2 d 14 gcm³ Determine a densidade da mistura de dois líquidos de densidades 50 gcm³ e 20 gcm³ a em massas iguais 286 gcm³ b em volumes iguais 350 gcm³ EXERCÍCIOS DE REFORÇO 7 UCBA O volume interno de uma caixa com formato de um paralelepípedo é igual a 60 dm³ Quantos litros de água essa caixa comporta a 006 b 06 c 6 d 60 e 600 8 UE LondrinaPR Qual é em gramas a massa de um volume de 50 cm³ de um líquido cuja densidade é igual a 20 gcm³ a 25 b 50 c 75 d 100 e 125 9 UNIMEPSP Se a densidade do óleo é 092 gcm³ a massa contida em 2 litros de óleo vale a 1 840 kg b 108 kg e 184 g b 184 g 10 FUVESTSP Os chamados Buracos Negros de elevada densidade seriam regiões do Universo capazes de absorver matéria que passaria a ter a densidade desses Buracos Se a Terra com massa da ordem de 10²⁷ g fosse absorvida por um Buraco Negro de densidade 10²⁴ gcm³ ocuparia um volume comparável ao a de um nêutron b de uma gota dágua c de uma bola de futebol d da Lua e do Sol 11 PUCSP Dois blocos maciços A e B têm massas respectivamente iguais a 500 g e 750 g e densidades respectivas 50 gcm³ e 75 gcm³ Sobre esses blocos podemos afirmar que a são de mesma substância b têm volumes iguais c o volume de B é maior que o de A d têm pesos iguais e têm pesos específicos iguais 12 UE LondrinaPR Um objeto maciço tem massa igual a 100 g e volume igual a 200 cm³ Qual é o valor de massa em quilogramas de outro objeto maciço feito com o mesmo material que tem volume igual a 100 cm³ Os dois objetos estão nas mesmas condições de temperatura e pressão e são homogêneos a 00500 b 0100 c 500 d 100 e 200 13 UNISASP Um cubo de gelo foi formado solidificandose completamente 576 g de água Qual é a medida da aresta do cubo A densidade do gelo é 090 gcm³ a 1 cm b 2 cm c 3 cm d 4 cm e 5 cm 14 UFPA Um cristal de quartzo de forma irregular tem massa de 425 g Quando submerso em água num tubo de ensaio de raio 15 cm o nível da água sobe de 226 cm A densidade do cristal em kgm³ é a 266 b 266 c 26610² d 26610³ e 266 10⁴ 15 FUVESTSP Duas substâncias A e B são colocadas num recipiente uma após a outra Durante o preenchimento são medidos continuamente a massa e o volume contidos no recipiente Com estes dados constroise o gráfico ao lado As massas específicas densidades de A e B em gcm³ são respectivamente a 10 e 12 b 20 e 48 c 20 e 30 d 10 e 14 CR 16 FUVESTSP Uma chapa de cobre de 2m² utilizada em um coletor de energia solar é pintada com tinta preta cuja massa específica após a secagem é 17 gcm³ A espessura da camada é da ordem de 5 µm micrômetro Qual é a massa de tinta seca existente sobre a chapa 17 FUVESTSP A densidade do óleo é 080gcm³ Supondo que a aceleração da gravidade vale 10 ms² responda a Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900 ml 72 N b Quantas latas de 900 ml podem ser preenchidas com 180 kg de óleo 2510² latas 18 FGVSP Uma peça maciça é formada de ouro densidade 20 gcm³ e prata densidade 10 gcm³ O volume e a massa da peça são respectivamente 625 cm³ e 10 kg Podemos então afirmar que a massa de ouro contida na peça é igual a a 5 000 g b 6 250 g c 6 900 g d 7 250 g e 7 500 g 19 U E LondrinaPR Dois líquidos miscíveis têm respectivamente densidades d 30 gcm³ e d 20 gcm³ Qual é a densidade em gcm³ de uma mistura homogênea dos dois líquidos composta em volume de 40 do primeiro e 60 do segundo a 15 b 22 c 24 d 28 e 34 3 TEOREMA DE ARQUIMEDES O Teorema de Arquimedes válido para corpos mergulhados em qualquer fluido gás ou líquido em equilíbrio estabelece que HEURECA Conta a lenda que certo dia o célebre cientista greg O Arquimedes durante seu banho percebeu que a partir da força que impulsiona va seu corpo para cima na água poderia resolver um problema físico que o preocupava havia algum tempo Teria então saído completa mente nu pelas ruas de Siracusa entusiasmado com sua descoberta gritando a famosa palavra Heureka Heureka Achei Achei Um corpo imerso mergulhado parcial ou totalmente num fluido em equilíbrio sofre a ação de uma força com as seguintes características direção vertical sentido de baixo para cima ponto de aplicação centro de gravidade do volume de fluido deslocado intensidade igual à do peso do volume de fluido deslocado Consideremos um recipiente completamente cheio por um fluido em equilíbrio Na figura 2 destacamos um cilindro desse fluido com eixo vertical e as forças que atuam sobre ele As forças hidrostáticas com que o resto do fluido atua lateralmente no cilindro se equilibram duas a duas Na direção vertical as forças atuantes são F1 na base superior F2 na base inferior e PF é o peso do cilindro de fluido Como há equilíbrio F2 F1 PF Chamando de empuxo E a resultante entre F1 e F2 cuja intensidade é E F2 F1 vem E PF Logicamente se em vez do cilindro fluido tivermos um corpo sólido de mesma forma e volume o empuxo E resultante das forças hidrostáticas estará atuando sobre ele Fig 3 O cilindro sólido ficará sujeito então a duas forças na direção vertical que não se equilibram necessariamente o empuxo E aplicado pelo fluido e seu próprio peso P A intensidade do empuxo igual à do peso de fluido deslocado pelo corpo pode ser expressa em função da densidade do fluido dF e o volume do fluido deslocado VF Realmente E PF mFg Mas mF dF VF donde E dF VF g Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo costumamos exprimir a última em função da densidade d e do volume V do corpo P m g Como m d V vem P d V g Logicamente se o corpo estiver totalmente mergulhado no fluido o volume de fluido deslocado VF é igual ao volume do próprio corpo V VF V 4 PESO APARENTE Quando a densidade do corpo considerado totalmente imerso no fluido é maior que a densidade do fluido a intensidade do peso do corpo é maior que a do empuxo Realmente sendo VF V as intensidades são dadas por E dF V g e P d V g Sendo d dF vem P E A resultante que atua sobre o corpo é denominada peso aparente e tem intensidade dada por Pap P E Sob a ação dessa força resultante Fig 4 o corpo deslocase para baixo e só vai atingir o equilíbrio ao encontrar o fundo do recipiente No caso de a densidade do corpo coincidir com a densidade do fluido o peso do corpo e o empuxo terão intensidades iguais e o peso aparente será nulo Nesse caso qualquer que seja a posição do corpo no seio do fluido ele estará em equilíbrio Se dF d P E Pap 0 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 20 Um corpo sólido cilíndrico cujo raio da base e 20 cm e cuja altura é 50 cm está totalmente imerso num fluido de densidade 20 gcm³ Sendo a aceleração da gravidade g 10 ms² determine a intensidade do empuxo com que o fluido age sobre ele Resolução O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura V A H π R² H onde R 20 cm e H 50 cm V 314 20² 50 V 628 cm³ Em unidades do SI V 628 10⁶ m³ O volume de fluido deslocado é igual ao volume do cilindro e portanto VF 628 10⁶ m³ Sendo dF 20 gcm³ 20 10³ kgm³ e g 10 ms² a intensidade do empuxo é dada por E dF VF g E 20 10³ 628 10⁶ 10 E 1256 10² N E 1256 N 21 Um cubo de aresta 20 cm está totalmente imerso num fluido de densidade 080 gcm³ Determine a intensidade do empuxo que o fluido exerce no cubo Adote g 10 ms² 64 10⁶ m³ 22 Um corpo de massa 20 kg está totalmente imerso num fluido de densidade 20 10² kgm³ Sendo o volume do corpo 0020 m³ e g 10 ms² determine a a densidade do corpo b o peso aparente do corpo c admitindo não haver atritos a aceleração do movimento do corpo no líquido Resolução a Sendo a massa m 20 kg e o volume V 0020 m³ a densidade do corpo vale d mV 200020 d 10 10³ kgm³ b O volume de fluido deslocado é igual ao volume do corpo pois este está totalmente imerso VF V 0020 m³ A intensidade do empuxo é dada por E dF VF g Como dF 20 10² kgm³ e g 10 ms² vem E 20 10² 0020 10 E 40 N O peso do corpo tem intensidade P m g P 20 10 P 200 N O peso aparente é a resultante entre o peso do corpo e o empuxo tendo intensidade dada por Pap P E Pap 200 40 Pap 160 N c O peso aparente é a força que acelera o corpo em seu movimento através do fluido Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica Pap m a a Papm a 16020 a 80 ms² 23 Um cubo de aresta 020 m e massa 48 kg está totalmente imerso num líquido cuja densidade é 50 10³ kgm³ Sendo a aceleração da gravidade g 10 ms² determine a a densidade do corpo 610³ kgm³ b a intensidade do empuxo que o corpo sofre 400 N c o peso aparente do corpo 80 N d a aceleração do corpo através do líquido supondo não haver resistências 41 ms² 24 Um sólido totalmente imerso num líquido de densidade 60 10² kgm³ movimentase verticalmente para baixo com uma aceleração igual a um quarto da aceleração da gravidade Determine a densidade do sólido Despreze as resistências opostas ao movimento Resolução O corpo de densidade d e volume V está totalmente imerso no fluido líquido sendo o volume de fluido deslocado igual ao do corpo VF V O corpo desce sob a ação de seu peso aparente cuja intensidade vale Pap P E I Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica sendo a a aceleração do corpo no líquido vêm Pap m a Pap d V a O peso do corpo tem intensidade P d V g A intensidade do empuxo sendo dF a densidade do fluido é dada por E dF VF g E dF V g Substituindo em I d V a d V g dF V g Mas a g4 e daí d V g4 d dFV g d 14 d dF d 4d 4dF 3d 4 60 10² d 80 10² kgm³ 25 Qual a densidade de um fluido no qual desprezadas as resistências um corpo de densidade 20 10³ kgm³ cai com aceleração igual à metade da aceleração da gravidade 26 O corpo da figura é uma esfera de massa 50 kg e volume 0020 m³ estando em equilíbrio mergulhada num líquido de densidade 80 10² kgm³ e sustentada por um fio ideal Sendo a aceleração da gravidade g 10 ms² determine a intensidade da tração no fio Resolução As forças que atuam no corpo são o empuxo E a tração no fio T e o peso do corpo P Como há equilíbrio T E P Mas o empuxo tem intensidade E dF VF g onde dF 80 10² kgm³ VF V 0020 m³ corpo totalmente imerso e g 10 ms² Assim E 80 10² 0020 10 E 160 N A intensidade do peso do corpo vale P m g onde m 50kg P 50 10 P 500 N A tração terá intensidade T P E T 500 160 T 340 N 27 Um cubo de aresta 030 m e massa 20 kg está totalmente imerso num líquido de densidade 60 10² kgm³ sustentado por um fio ideal como mostra a figura Determine a força que deve ser aplicada ao fio para manter o cubo em equilíbrio Adote g 10 ms² 38 N EXERCÍCIOS DE REFORÇO 28 UFLAMG O empuxo exercido sobre um corpo imerso em um líquido depende a do volume do líquido deslocado e da densidade do corpo b da densidade e volume do corpo c do volume e da densidade do líquido deslocado d somente do volume do líquido deslocado e somente da densidade do líquido deslocado 29 PUCRS Duas esferas metálicas A e B de mesmo volume e massas diferentes estão totalmente imersas na água Analisando essa situação é possível afirmar que a intensidade do empuxo que a água exerce nas esferas a é a mesma nas duas esferas b é maior na esfera A c é maior na esfera B d depende das massas das esferas e depende da quantidade de água no recipiente 30 U Mogi das CruzesSP Duas esferas metálicas feitas do mesmo metal uma maciça e outra oca estão totalmente imersas em um recipiente que contém água A respeito dos empuxos nas esferas concluímos que a os empuxos são iguais b o empuxo sobre a esfera oca é maior que sobre a maciça c o empuxo sobre a esfera maciça é maior que sobre a oca d nada se pode concluir sobre os empuxos e o empuxo sobre a esfera maciça é maior que o seu peso 31 FUVESTSP A figura ilustra um peixe parado num aquário a Indique as forças externas que atuam sobre ele identificandoas b O que ocorre quando mecanismos internos do peixe produzem aumento de seu volume Justifique 32 VUNESPSP Colocase água num recipiente até que o nível do líquido fique na altura do bico lateral como mostra a figura da esquerda Quando uma pedra é colocada no interior do recipiente ela afunda o nível da água sobe parte do líquido se escoa pelo bico e seu nível volta à posição original como mostra a figura da direita Sejam P₁ o peso do conjunto água recipiente antes da introdução da pedra figura da esquerda e P₂ o peso do conjunto água recipiente pedra após o líquido haver voltado ao nível original figura da direita a P₂ é igual maior ou menor que P₁ b Justifique sua resposta 33 UFAM Um corpo imerso em água e abandonado a si mesmo afunda com um movimento inicial cuja aceleração no instante inicial quando a velocidade do corpo é nula é a metade da aceleração da gravidade A densidade do corpo em relação a água é a4 b 10 c 6 2 34 MackenzieSP Um bloco maciço de ferro de densidade 8 gcm3 com 80 kg encontrase no fundo de uma piscina com água de densidade 1 gcm3 e profundidade 3 m Amarrandose a esse bloco um fio ideal e puxando esse fio de fora da água levase o bloco à superfície com velocidade constante Adote g 10 ms2 A força aplicada a esse fio tem intensidade de a 800 N c 600 N b 700 N d 300 N e 100 N 35 VUNESPSP Uma amostra de metal pendurada numa balança de nola acusa massa de 120 g Se a amostra é mergulhada em água pura sem tocar o fundo do frasco a mesma balança acusa massa de 1048 g Qual é a massa específica da amostra A massa específica da água é 100 gcm3 a 152 gcm3 d 304 gcm3 b 152 gcm3 e 79 gcm3 c 76 gcm3 36 PUCRJ Um cilindro de alumínio é pendurado à extremidade duma barra metálica homogênea que é sustentada pelo seu centro de gravidade O Do outro lado da barra é pendurado um contrapeso a uma distância l1 de O tal que a barra fique em equilíbrio na horizontal Fig 1 A seguir a experiência é repetida agora com o cilindro de alumínio totalmente imerso em um líquido homogêneo Nesta situação para restabelecerse o equilíbrio da barra o contrapeso tem que ser deslocado para uma distância l2 de O Fig 2 a Nos dois casos ilustrados isole o cilindro de alumínio representando todas as forças que atuam sobre ele e estabeleça uma expressão para a tração do fio que o sustenta Despreze o empuxo devido ao ar b Ainda nos dois casos escreva a condição de equilíbrio da barra c Finalmente sabendo que l1 100 cm I2 70 cm e que a massa específica do alumínio é 27 gcm3 determine a massa específica do líquido em questão 37 EFOAMG Um recipiente contendo água densidade 1 gcm3 encontrase num dos pratos de uma balança de braços iguais em equilíbrio Uma régua de madeira é então parcialmente imersa na água do recipiente mas sem tocálo ficando a outra ponta da régua sustentada pela mão do experimentador Se o volume da parte submersa da régua for 50 cm3 qual o valor da massa que deverá ser adicionada ao outro prato da balança de forma a restabelecer seu equilíbrio Use g 10 ms2 38 E E MauáSP Uma mola helicoidal de fio de aço de comprimento L0 1215 m está presa a um apoio fixo e sustenta na outra extremidade um corpo de massa m 200 kg e volume V 450 x 103 m3 Nessas condições o comprimento da mola é L 1315 m Imergese o sistema molacorpo num líquido de densidade d 1100 x 103 kgm3 Determine o novo comprimento L da mola Use g 10 ms2 39 FATECSP Temse uma mola disposta na vertical na sua extremidade livre pendurase um corpo Observase que a mola devido ao peso do corpo apresenta uma certa deformação x0 Mergulhandose o corpo em água conforme ilustra a figura abaixo a mola apresenta uma deformação x que queremos comparar com x0 Se a densidade do corpo é 6 vezes maior que a da água podemos afirmar que a x 1012 x0 56 x0 c x 16 x0 b x 6x0 d x 1210 x0 40 ITASP Na figura os blocos B são idênticos e de massa específica d 10 gcm3 O frasco A contém água pura e o D contém inicialmente um líquido l e de massa específica 13 gcm3 Se os blocos são colocados em repouso dentro dos líquidos para que lado se desloca a marca P colocada no cordão de ligação As polias não oferecem atrito e são consideradas de massa desprezível a Para a direita b Para a esquerda c Depende do valor de d d Permanece em repouso e Oscila em torno da posição inicial 41 FEISP A figura apresenta uma esfera de densidade de 68 gcm3 imersa num líquido de densidade d1 080 gcm3 e um cilindro de densidade d2 20 gcm3 cuja altura é igual ao seu raio imerso na água dL 10 gcm3 Os dois corpos estão ligados por um fio inextensível que passa por duas polias sem atrito Supondo que o sistema está em equilíbrio determine a relação entre os raios da esfera e do cilindro 5 FORÇA ASCENSIONAL FLUTUAÇÃO Vamos imaginar um corpo de densidade menor que a de um fluido no qual está totalmente imerso Fig 5 Nesse caso a intensidade do empuxo é maior que a do peso do corpo Realmente sendo VF V as intensidades são dadas por E dF V g c P d V g Sendo d dF vem P E A resultante que atua sobre o corpo é denominada força ascensional e tem intensidade dada por FA E P Sob a ação dessa força resultante Fig 6 o corpo deslocase para cima Se o fluido for um gás confinado num recipiente o corpo irá atingir o equilíbrio ao tocar a parede superior do recipiente No ar atmosférico à medida que o corpo sobe o empuxo diminui sua intensidade devido à diminuição da densidade do ar O corpo poderá atingir o equilíbrio quando o empuxo tiver intensidade igual à do peso do corpo E P FA 0 Quando um corpo está em equilíbrio flutuando num líquido a intensidade do empuxo é igual à do peso do corpo P E Sendo VL o volume do líquido deslocado cuja densidade é dL e V o volume do corpo cuja densidade é d temos E dL VL g e P d V g Como VL V vem dL d Portanto sempre que tivermos um corpo flutuando num líquido em equilíbrio poderemos afirmar que ele é menos denso que o líquido e está sofrendo a ação por parte do líquido do empuxo que está equilibrando o seu peso b Na figura isolamos as forças que atuam no corpo Como há equilíbrio T P E Mas P m g sendo m 20 kg P 20 10 P 20 102 N Portanto T E P 30 102 20 102 T 10 102 N c3 O fio ideal que sustenta um corpo preso ao fundo de un recipiente que contém um líquido homogêneo suporta no máximo trançoes de intensidade 200 N Qual o maior valor que pode ter a densidade do líquido para que o fio nao se rompa A massa do corpo é 80 kg e seu volume é 020 m3 Adote g 10 ms2 b6 Qual a intensidade do empuxo com que um líquido age sobre um corpo de massa 20 kg que nele flutua parcialmente imerso Adote g 10 ms2 Resolução Se o corpo está flutuando parcialmente imerso as forças que agem sobre ele empuxo e peso se equilibram Assim E P Mas P m g sendo m 20 kg e g 10 ms2 Assim P 20 10 P 20 N e portanto E 20 N 47 Um corpo de peso 100 N flutua parcialmente imerso num líquido Determine a intensidade do empuxo que age sobre o corpo 48 Um corpo de volume 020 m3 e densidade 50 102 kgm3 flutua parcialmente submerso num líquido Sendo a aceleração da gravidade g 10 ms2 determine a intensidade do empuxo com que o líquido age sobre o corpo 49 Um corpo de volume 20 cm3 e densidade 080 gcm3 flutua em água de densidade 10 gcm3 Determine a massa do corpo e o volume de líquido que ele desloca Resolução O corpo está em equilíbrio flutuando parcialmente no líquido Portanto E P A massa do corpo é dada por m d V sendo d O80 gcm3 e V 20 cm3 Substituindo m 080 20 m 16g Como P m g e P dL VL g é a equação acima fica di VL m gale L 10 gcm3 onde 10 VL 16 VL 16 cm3 5o Uma placa de cortiça tem volume 50 cm3 e densidade 025 gcm3 Ela flutua parcialmente imersa num líquido de densidade 080 gcm3 Determine a a massa da placa b o volume de líquido deslocado pela placa 5 Um corpo sólido flutua num líquido de densidade 21 gcm3 de modo que dois terços do seu volume permanecem submersos Determine a densidade do corpo Resolução O corpo flutua com 2 de seu volume submersos Mas o volume submerso do corpo corresponde ao volume de líquido que ele desloca Assim VL 2 V Como há equilíbrio E P Mas E dL VL g e P d V g Logo dL VL g d V g dL d d ShL g Sd d como dL 21 gcm3 vem d 2 21 d 14 gcm3 3 3 52 Qual a densidade de um corpo que colocado na água dL 10 gcm3 flutua com três décimos de seu volume imersos Resolução Do enunciado VL 3 V Mas E P dL VL g d V g dL 3 V d d Como dL 10 gcm3 10 3 10 d d 030 gcm3 Observação Quando um corpo está flutuando em água de densidade 10 gcm3 a proporção de seu volume mergulhado mede numericamente sua densidade Um corpo flutua num líquido de densidade 080 gcm³ com metade de seu volume imerso Determine sua densidade Um décimo do volume de um bloco de gelo permanece acima do nível da água dL10 gcm³ quando ele flutua Determine sua densidade Qual a densidade de um corpo que ao flutuar em água de densidade 10 gcm³ permanece com 40 de seu volume submerso Quando flutua em álcool de densidade 060 gcm³ um corpo permanece com metade de seu volume submerso Esse mesmo corpo flutua em outro líquido com um quarto de seu volume submerso Determine a densidade desse segundo líquido Resolução No primeiro líquido no equilíbrio PE1 No segundo líquido também há equilíbrio PE2 Comparando E1E2 Então nos dois líquidos o corpo sofre empuxos iguais Mas E1d1 V1 g e E2d2 V2 g Portanto d1 V1 d2 V2 Como d1 060 gcm³ V112 V e V214 V vem 060 12 d2 14 d2 12 gcm³ Ao flutuar em água dL10 gcm³ um corpo permanece com três quartos partes imersas Ao flutuar num líquido de densidade desconhecida o volume submerso do mesmo corpo corresponde a dois terços do volume total Determine a densidade do segundo líquido Uma balsa é improvisada com um bloco de madeira de dimensões 3 m 8 m 5 m Ao transportar um veículo de massa 500 kg verificase que 30 da balsa fica submersa na água cuja densidade é 10 gcm³ Sendo a aceleração da gravidade g10 ms² determine a densidade da madeira de que é feita a balsa Resolução O volume da balsa vale VB3 8 5 120 m³ O volume de líquido deslocado é medido pelo volume submerso da balsa e corresponde a 30 do volume total Assim VL03 VB03 120 36 m³ A densidade do líquido vale dL10 gcm³ 10 10³ kg10⁶ m³ 10 10³ kgm³ O peso do veículo é Pm g500 10 P50 10³ N Havendo equilíbrio os pesos do veículo e da balsa são equilibrados pelo empuxo Mas PBdB VB g e EdL VL g Daí P dB VB g dL VL g Substituindo os valores conhecidos 50 10³ dB 120 10 10 10³ 36 10 50 10³ dB 12 10³ 360 10³ dB 360 10³ 50 10³ 12 10³ dB 2958 kgm³ dB 296 10² kgm³ Uma jangada é construída com 5 toras tendo cada uma volume de 020 m³ Ao ser colocada na água com três pessoas de massa 70 kg sobre ela verificase que dois terços de seu volume ficam submersos Sendo a aceleração da gravidade 10 ms² e a densidade da água 10 gcm³ determine a densidade da jangada Querse construir um corpo formado de madeira cuja densidade é 030 gcm³ e de platina cuja densidade é 20 gcm³ que permaneça em equilíbrio a qualquer profundidade quando totalmente imerso num líquido de densidade 080 gcm³ Determine a relação entre os volumes de madeira e de platina que devem constituir esse corpo Resolução O empuxo E sofrido pelo sistema equilibra os pesos da platina e da madeira PP e PM Assim E PP PM Mas a intensidade do empuxo é E dLVP VMg Os pesos têm intensidades PP dP VP g e PM dM VM g Substituindo dLVP VMg dP VP g dM VM g São dados dL 080 gcm³ dP 20 gcm³ e dM 030 gcm³ Portanto 080VP VM 20 VP 030 VM 080 VP 080 VM 20 VP 030 VM 080 VM 030 VM 20 VP 080 VP 050 VM 192 VP VM VP 192 050 VM VP 384 Qual o volume de um pedaço de ferro densidade 78 gcm³ que deve ser colado a um bloco de madeira densidade 030 gcm³ de volume 20 cm³ para que o sistema fique equilibrado a qualquer profundidade num líquido de densidade 20 gcm³ Um cilindro flutua verticalmente disposto num sistema constituído por dois líquidos imiscíveis óleo cuja densidade é 080 gcm³ e água cuja densidade é 10 gcm³ Verificase que há equilíbrio quando 20 da altura do cilindro está imerso na água Determine a densidade do cilindro Resolução Há dois empuxos equilibrando o peso do cilindro o devido à água EA e o devido ao óleo EO EA Eo P As intensidades dessas três forças valem EA dA VA g Eo do Vo g P d V g Substituindo dA VA g do Vo g d V g O volume da água deslocada é 20 do volume do cilindro VA 020 V e portanto o volume de óleo deslocado é 80 desse mesmo volume Vo 080 V Assim dA 020 V g do 080 V g d V g Como dA 10 gcm³ e do 080 gcm³ vem 10 020 080 080 d d 084 gcm³ Os líquidos imiscíveis A e B representados na figura têm densidades dA20 gcm³ e dB30 gcm³ Um cubo flutua entre os dois líquidos com metade de seu volume imerso em cada líquido Determine a densidade do cubo EXERCÍCIOS DE REFORÇO 64 FEISP Sabese que a densidade do gelo é 092 gcm³ a do óleo é 08 gcm³ e a da água é de 10 gcm³ A partir destes dados podemos afirmar que a o gelo flutua no óleo e na água b o gelo afunda no óleo e flutua na água c o gelo flutua no óleo e afunda na água d o óleo flutua sobre a água e o gelo flutua sobre o óleo e a água flutua sobre o gelo e afunda sobre o óleo 65 PUCSP Considere a figura onde um recipiente A contendo água até a altura de uma abertura lateral encontrase sobre o prato de uma balança que indica 200 g Um corpo de massa igual a 60 g e 80 cm³ de volume é abandonado cuidadosamente na superfície da água Considere a densidade da água igual a 1 gcm³ Após o sistema entrar novamente em equilíbrio o volume de água que passa para o recipiente B e a leitura da balança serão respectivamente a 80 cm³ 280 g b 80 cm³ 260 g c 80 cm³ 200 g d 60 cm³ 260 g e 60 cm³ 200 g 66 FUVESTSP Um bloco de madeira de densidade relativa 080 está totalmente imerso em água densidade relativa 10 Adotar g 10 m s² e desprezar os atritos Abandonandose o bloco a sua aceleração será a 25 m s² para cima b 25 m s² para baixo c nula pois o bloco está em repouso d 080 m s² para cima e 10 m s² para baixo 67 FAAPSP Uma esfera de massa 20 g é mantida totalmente imersa em um líquido de forma que a distância entre seu ponto mais alto e a superfície livre do líquido vale 1125 cm Sabendo que a densidade da esfera em relação ao líquido é 080 determine o tempo decorrido do instante em que a esfera foi liberada até aquele em que ela chega à superfície Admita a inexistência de atrito Dado g10 ms² 68 MackenzieSP Um corpo de 050 kg imerso em um líquido apresenta movimento ascendente de velocidade 080 m s¹ constante Sabese que a densidade do líquido é 4 vezes maior que a do corpo Adote g10 m s² Nestas condições a força de resistência viscosa que age sobre o corpo é de a 50 N b 40 N c 35 N d 20 N e 15 N 69 UNISASP A figura mostra uma esfera de volume 030 L constituída de certo material de densidade 020 gcm³ imersa em água por meio de um fio ideal preso ao fundo do recipiente Qual é o valor da intensidade da força que traciona o fio É dado g10 ms² a 24 N b 48 N c 12 N d 36 N e 060 N 70 USFSP Um corpo de volume 2 litros e massa 050 kg fica completamente mergulhado em água preso ao fundo do reservatório por uma mola Considerando a aceleração local da gravidade 10 ms² e a densidade da água 10 kglitro a força exercida pela mola é em newtons a 5 b 10 c 15 d 20 e 25 71 FUVESTSP A figura mostra um líquido no recipiente A flutuando em outro líquido no recipiente B Abrese a torneira e o recipiente A sobe Podese afirmar que a a densidade do líquido em A diminui b a densidade do líquido em B aumenta c o empuxo no recipiente A aumenta d a densidade do líquido em B não se altera e o empuxo no recipiente A diminui 72 FUVESTSP Uma pessoa de densidade 11 gcm³ quando completamente submersa nas águas de uma piscina fica sujeita a um empuxo de 600 N Sendo a densidade dágua da piscina 10 gcm³ responda a Qual é a massa dessa pessoa b Apoiada numa bóia de 12 litros de volume e massa 200 g ela conseguirá manterse na superfície dágua Explique Adote g10 ms² 73 PUCSP A figura mostra um bloco maciço e homogêneo em forma de cubo com aresta 2 metros e massa 800 kg flutuando em água de densidade 10³ kgm³ contida num recipiente retangular de faces paralelas ao bloco Nestas circunstâncias a distância h entre o fundo do bloco e a superfície da água é a 2 metros b 1 metro c 02 metro d 01 metro e zero 74 MackenzieSP Um corpo flutua em água massa específica 1 gcm³ com 34 de seu volume imerso A densidade desse corpo é a 130 gcm³ b 060 gcm³ c 075 gcm³ d 050 gcm³ e 025 gcm³ 75 E E MauáSP Uma esfera maciça homogênea de raio R 015 m flutua com metade de seu volume submerso num líquido de densidade d 115 10³ kgm³ Retirada desse recipiente e colocada num outro que contém outro líquido a esfera flutua com 13 do seu volume submerso Calcule a a densidade do segundo líquido b a massa da esfera 76 MackenzieSP Um bloco de madeira flutua em água massa específica 1 gcm³ com volume imerso igual a 40 de seu volume total Esse mesmo bloco flutuará em óleo de densidade 080 gcm³ com volume imerso igual a a 20 do seu volume total b 30 do seu volume total c 40 do seu volume total d 50 do seu volume total e 60 do seu volume total 77 VUNESPSP A massa específica de uma certa madeira é 080 gcm³ Jogandose um pedaço desta madeira na água de massa específica 10 gcm³ a porção da madeira que emergirá da água após o equilíbrio será a 25 b 80 c 20 d 75 e 42 78 CESGRANRIORJ Um bloco de cortiça flutua na superfície da água Fig a Para manter o bloco inteiramente submerso devese exercer sobre a face superior uma força F de módulo F Fig b Se a experiência fosse feita com outro bloco da mesma cortiça mas com dimensões lineares duas vezes maiores que as do precedente o módulo da força necessária para manter o bloco submerso seria a F b 2F c 4F d 8F e 16F 79 VUNESPSP Na extremidade inferior de uma vela fixase um cilindro de chumbo A vela é acesa e imersa em água conforme o esquema ao lado ficando inicialmente em equilíbrio Suponhamos que não escorra cera fundida enquanto a vela queima Nestas condições enquanto a vela queima a x permanece constante e y diminui b x aumenta e y diminui c o valor da relação xy permanece constante d x chega a zero antes de y e depois de certo tempo a vela tende a tombar para o lado 80 UFAM Uma jangada de madeira é constituída de toras cujo volume é de aproximadamente 100 litros cada uma A densidade da madeira é 080 kgl Três pessoas de 70 kg cada uma fazem com que a jangada fique com 10 de seu volume emerso em água de densidade 10 kgl O número de toras que compõem a jangada é a 10 b 21 c 20 d 11 81 FCMSCSP Um barqueiro dispõe de uma chata que permite o transporte fluvial de cargas de até 10 000 N Ele aceitou um trabalho de traslado de um lote de 50 barras maciças de ferro 10 gcm³ de 200 N cada Por erro de contagem a firma enviou 51 barras Não querendo perder o freguês mas também procurando não ter prejuízo com duas viagens o barqueiro resolveu amarrar um certo número n de barras embaixo do barco completamente submersas Qual o número n mínimo para que a travessia das 51 barras pudesse ser feita numa só viagem g10 ms² a 1 b 5 c 10 d 50 e 51 6 CONCEITO DE PRESSÃO Você pode imaginar a dificuldade que encontraria ao tentar pregar na parede um prego rombudo sem ponta Por que a ponta facilita a entrada do prego A resposta é que a força exercida pelo martelo se distribui numa superfície de menor área Para se levar em conta a área onde uma força se distribui definese uma grandeza denominada pressão Assim se tivermos uma superfície de área A sobre a qual se distribuem forças perpendiculares Fig 8a cuja resultante é F Fig 8b definese pressão média sobre essa superfície a grandeza escalar dada pela relação entre a intensidade da força F e a área da superfície pm F A A pressão em determinado ponto da superfície é dada pelo limite da relação anterior para a área A tendendo a zero p lim A0 F A A pressão em uma superfície é uniforme quando ela tem o mesmo valor em todos os pontos Nesse caso a pressão em qualquer ponto da superfície coincide com o valor da pressão média A unidade de pressão corresponde à relação entre uma unidade de intensidade de força e uma unidade de área unidade de pressão unidade de intensidade de força unidade de área No Sistema Internacional de Unidades SI essa unidade é o newton por metro quadrado Nm2 denominada pascal símbolo Pa Há ainda unidades práticas de pressão estabelecidas a partir da pressão exercida por colunas líquidas como o milímetro de mercúrio mmHg e a atmosfera atm Essas unidades serão analisadas mais adiante EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 84 Em uma vitrola a agulha aplica sobre o disco uma força de intensidade 102 N Tendo a ponta da agulha área igual a 1010 m2 determine a pressão exercida pela agulha no disco Resolução Temos F 102 N e A 1010 m2 A pressão é dada por p FA 1021010 p 108 Nm2 85 Um trator de esteira tem 80 toneladas de massa e a área da esteira em seu contato com o solo é 20 m2 Determine a pressão média exercida no solo usando g 10 ms2 86 Um paralelepípedo de massa 20 kg tem dimensões 2 m 4 m e 6 m Determine a pressão exercida por esse paralelepípedo quando apoiado sobre uma superfície horizontal em cada uma de suas faces Adote g 10 ms2 87 Quatro cubos iguais de aresta a 010 m e densidade d 50 103 kgm3 estão apoiados sobre um plano horizontal como indica a figura Determine a pressão média que esses cubos exercem no plano Adote g 10 ms2 Resolução Volume de cada cubo V a3 0103 103 Área de cada face A a2 0102 102 A 102 Peso de cada cubo P d V g 50 103 103 10 P 50 N São quatro cubos apoiados em duas faces A pressão vale p 4P2A 4 50 2 102 p 10 104 Nm2 88 Seis cubos iguais de aresta a 020 m e densidade d 80 103 kgm3 são arranjados como mostra a figura Sendo g 10 ms2 determine a pressão média que os cubos exercem sobre a superfície EXERCÍCIOS DE REFORÇO 89 CESGRANRIORJ Você está em pé sobre o chão de uma sala Seja p a pressão média sobre o chão debaixo das solas dos seus sapatos Se você suspende um pé equilibrandose numa perna só essa pressão média passa a ser a p b 12 c p2 d 2p e 1p2 90 ACAFESC Um prego é colocado entre dois dedos que produzem a mesma força de modo que a ponta do prego é pressionada por um dedo e a cabeça do prego pela outra O dedo que pressiona o lado da ponta sente dor em função de a a pressão ser inversamente proporcional à área para uma mesma força b a força ser diretamente proporcional à aceleração e inversamente proporcional à pressão c a pressão ser diretamente proporcional à força para uma mesma área d a sua área de contato ser menor e em consequência a pressão também e o prego sofrer uma pressão igual em ambos os lados mas em sentidos opostos 91 UFRS Um gás encontrase contido sob a pressão de 50 103Nm2 no interior de um recipiente cúbico cujas faces possuem uma área de 20 m2 Qual é o módulo da força média exercida pelo gás sobre cada face do recipiente a 10 104N b 75 103N c 50 103N d 25 103N e 10 103N 92 CESUPAPA Confeccionouse um paralelepípedo com 110 kg de certo material e obtevese um sólido com densidade média igual a 275 gcm3 Colocandose este sólido sobre um plano horizontal de forma que a face de maior área fique em contato com o plano verificase que a pressão exercida sobre este é igual a 1 375 Nm2 Nestas condições é considerando g 10 ms2 podese afirmar que a menor das dimensões do paralelepípedo em centímetros é a 10 b 20 c 30 d 40 e 50 93 UFPR Quatro cubos metálicos homogêneos e iguais de aresta 101 m achamse dispostos sobre um plano Sabese que a pressão aplicada pelo conjunto sobre o plano é 104 Nm2 Adotando g 10 ms2 podemos afirmar que a densidade dos cubos será aproximadamente de a 4 103 kgm3 b 25 103 kgm3 c 103 kgm3 d 04 103 kgm3 e 025 103 kgm3 7 PRESSÃO HIDROSTÁTICA Consideremos um recipiente cilíndrico de eixo vertical cuja altura é H e cuja área de base é A completamente cheio por um fluido de densidade d num local onde a aceleração da gravidade é g Fig 9 Em virtude do seu peso P esse fluido exerce no fundo do recipiente uma pressão p dada por p PA Mas o peso P é dado por P m g d V g d AH g massa volume Substituindo p d A g H A p d g H A essa pressão exercida na base por uma coluna líquida em virtude do seu peso dáse o nome de pressão hidrostática Observe que o valor dessa pressão depende da natureza do líquido d densidade do local onde se encontra g aceleração da gravidade e de sua altura H Não depende da área de sua seção A As unidades práticas de pressão centímetro de mercúrio cmHg e milímetro de mercúrio mmHg são definidas como a pressão exercida na sua base por colunas de mercúrio de altura respectivamente de 1 cm e de 1 mm num local onde a aceleração da gravidade é g 98 ms2 e a 0 ºC temperatura em que a densidade do mercúrio é d 136 103 kgm3 Estabelecendo a relação com a unidade do SI temos Centímetro de mercúrio cmHg p 1 cmHg equivale em pascal a p dgH d 136 103 kgm3 H 1 cm 001 m g 98 ms2 p 136 103 98 001 p 1 3328 Pa Portanto 1 cmHg 1 3328 Pa Milímetro de mercúrio mmHg ou Torricelli Torr Logicamente 1 mmHg 01 cmHg 1 mmHg 13328 Pa Atmosfera atm Outra unidade prática de pressão é a atmosfera atm definida como a pressão exercida na sua base por uma coluna de mercúrio de altura H 76 cm 076 m num local onde a aceleração da gravidade é g 98 ms2 e a 0 ºC quando a densidade do mercúrio é d 136 103 kgm3 Logicamente 1 atm 76 cmHg 760 mmHg PRÉVESTIBULAR CENTRAL Observação Pontos situados a uma mesma profundidade como x e y da figura 12 apresentam a mesma pressão Realmente Δp dgΔH ΔH 0 Δp 0 Sendo Δp py px 0 py px px py Portanto no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio toda superfície horizontal é isobárica isto é apresenta a mesma pressão A recíproca é verdadeira toda superfície isobárica é horizontal Daí concluímos que a superfície livre do líquido é horizontal pois todos os pontos apresentam a mesma pressão a pressão atmosférica Fig 12 9 TEOREMA DE STEVIN Consideremos dois pontos A e B no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio sendo ΔH o desnível entre eles Fig 13 Aplicando a cada um deles a equação do item anterior sendo HA e HB as respectivas profundidades vem pB patm dgHB pA patm dgHA Subtraindo membro a membro pB pA dgHB dgHA pB pA dgHB HA Mas HB HA ΔH é o desnível entre os dois pontos pB pA dg ΔH ou pB pA dg ΔH Essa equação traduz analiticamente o Teorema de Stevin A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio é dada pela pressão hidrostática da coluna líquida entre os dois pontos EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 94 Determine a pressão que exerce na sua base uma coluna de água com 10 metros de altura Adote g 10 ms2 Dado água 10 103 kgm3 p d g H p 1 103 10 10 p 100000 Pa Resolução Sendo d 10 10³ kgm³ e g 10 ms² a pressão hidrostática exercida na base pela coluna de água de altura H 10 m vale p d g H 10 10³ 10 10 p 10 10⁵ Pa Observação Como vimos esse valor corresponde aproximadamente a uma atmosfera de pressão Por isso podemos dizer que quando um mergulhador se aprofunda na água a cada 10 metros de profundidade a pressão sobre ele se eleva de uma atmosfera 95 Um recipiente cilíndrico está preenchido por um líquido de densidade 80 10² kgm³ até a altura de 30 cm Determine a pressão hidrostática exercida pelo líquido no fundo do recipiente Use g 10 ms² 96 Num determinado local exercem a mesma pressão hidrostática no fundo dos recipientes que os contêm dois líquidos de densidades 50 10² kgm³ e 20 10² kgm³ Determine a relação entre a altura da coluna do líquido mais denso e a altura da coluna do líquido menos denso Resolução Exercendo a mesma pressão hidrostática terá maior altura a coluna do líquido de menor densidade p₁ d₁ g H₁ e p₂ d₂ g H₂ Igualando d₁ g H₁ d₂ g H₂ A relação pedida é dada por H₁H₂ d₂d₁ Como d₁ 50 10² kgm³ e d₂ 20 10² kgm³ vem H₁H₂ 5020 25 97 Que altura deve ter uma coluna de álcool de densidade 060 gcm³ para exercer a mesma pressão hidrostática que uma coluna de água de altura 30 cm A densidade da água é 10 gcm³ 98 Exprima nas unidades práticas de pressão atmosfera centímetro de mercúrio e milímetro de mercúrio a pressão de 24 10⁵ Pa 99 Num local onde a pressão atmosférica é 102 10⁵ Pa e a aceleração da gravidade é 10 ms² um mergulhador desce no mar até uma profundidade de 15 metros Sendo a densidade da água do mar 102 10³ kgm³ determine a pressão suportada pelo mergulhador Resolução Sobre o mergulhador atuam a pressão atmosférica patm e a pressão hidrostática da água Assim a pressão sobre ele é dada por p patm dgH Como patm 102 10⁵ Pa d 102 10³ kgm³ g 10 ms² e H 15 m vem p 102 10⁵ 102 10³ 10 15 p 102 10⁵ 153 10⁵ p 255 10⁵ Pa 100 Determine a pressão suportada por uma pessoa à profundidade de 45 metros em água de densidade 10 10³ kgm³ A pressão atmosférica é 10 10⁵ Pa e a aceleração da gravidade é 10 ms² 101 Os três recipientes da figura têm bases de mesma área e são preenchidos por um mesmo líquido de densidade 20 10³ kgm³ até uma mesma altura 20 m Sendo a pressão atmosférica 10 10⁵ Pa e g 10 ms² e a área da superfície do fundo 050 m² determine a a pressão suportada pelo fundo de cada um dos recipientes b a intensidade da força exercida no fundo de cada um dos recipientes Resolução a Analisando a expressão que nos dá a pressão no fundo de cada um dos recipientes p patm dgH observamos que essa pressão não depende da forma da coluna líquida Portanto o fundo dos três recipientes suporta a mesma pressão Sendo d 20 10³ kgm³ g 10 ms² H 20 m e patm 10 10⁵ Pa vem p 10 10⁵ 20 10³ 10 20 p 14 10⁵ Pa b Quanto à intensidade da força atuante no fundo também será a mesma porque a área do fundo é igual nos três recipientes A 050 m² Podemos calculála aplicando a definição de pressão p FA F p a F 14 10⁵ 050 F 07 10⁵ F 70 10⁴ N Observação O fato enunciado nesse exercício costuma ser denominado paradoxo hidrostático em vista de a força no fundo dos recipientes ter a mesma intensidade embora a quantidade de líquido seja diferente em cada um deles Esse fato pode ser explicado tendose em vista a reação das paredes do recipiente à força com que o líquido age sobre elas No primeiro recipiente essa reação tem direção horizontal de modo que sua ação não se faz sentir no fundo No segundo recipiente a reação pode ser decomposta numa componente horizontal e numa componente vertical que alivia o peso do líquido a mais existente nesse recipiente em relação ao primeiro No terceiro recipiente a componente vertical da reação das paredes laterais exerce sua ação sobre o fundo do recipiente como se houvesse mais líquido nele Ampliando a figura dos recipientes teríamos no segundo e no terceiro o seguinte R reação da parede à força exercida pelo líquido RH componente horizontal da reação Rv componente vertical da reação 102 Os dois recipientes representados na figura são ocupados por um mesmo líquido de densidade 15 10³ kgm³ até uma altura de 10 m A área do fundo é 020 m² no primeiro recipiente e 040 m² no segundo Sendo a pressão atmosférica igual a 98 10⁴ Pa e a aceleração da gravidade 10 ms² determine a a pressão no fundo de cada recipiente b a intensidade da força no fundo de cada recipiente 103 A pressão no interior de um fluído homogêneo em equilíbrio exposto ao ar varia com a profundidade segundo o gráfico Sendo g 10 ms² determine a a pressão atmosférica local b a densidade do líquido c a pressão na profundidade de 115 metros Resolução a De acordo com a equação p patm dgH a pressão atmosférica corresponde à pressão na profundidade nula p patm quando H 0 Do gráfico patm 10 10⁵ Pa b Quando H 100 m p 40 10⁵ Pa Sendo g 10 ms² obtemos p patm dgH 40 10⁵ 10 10⁵ d 10 100 10³ d 40 10⁵ 10 10⁵ 10³ d 30 10⁵ d 30 10² kgm³ c A pressão à profundidade H 115 m pode ser calculada pela fórmula p patm dgH Assim p 10 10⁵ 30 10² 10 115 p 10 10⁵ 345 10³ 10 10⁵ 345 10⁵ p 445 10⁵ Pa 104 A pressão no interior de um líquido contido num recipiente e exposto a um fluido gasoso varia com a profundidade segundo o gráfico Sendo a aceleração da gravidade g 10 ms² determine a a pressão exercida pelo fluido gasoso na superfície livre do líquido b a densidade do líquido c a pressão na profundidade de 15 metros EXERCÍCIOS DE REFORÇO 105 ITASP Embora a tendência geral em Ciência e Tecnologia seja a de adotar exclusivamente o Sistema Internacional de Unidades SI em algumas áreas existem pessoas que por questão de costume ainda utilizam outras unidades Na área da Tecnologia do Vácuo por exemplo alguns pesquisadores ainda costumam fornecer a pressão em milímetros de mercúrio Se alguém lhe disser que a pressão no interior de um sistema é de 10 x 104 mmHg essa grandeza deve ser expressa em unidades SI como a 132 x 102 Pa b 132 x 107 atm c 132 x 104 mbar d 132 kPa e nenhuma das anteriores 106 UFRS O fato de um centímetro cúbico de mercúrio pesar aproximadamente 14 vezes mais do que um centímetro cúbico de água permite concluir que a pressão atmosférica é capaz de sustentar uma coluna de água cuja altura mais aproximada é igual a a 07 M b 1 M c 7 M d 10 M e 100 M 107 UFMT Considere hidrosfera a unidade de pressão definida como se segue Hidrosfera é a pressão exercida por uma coluna de água de um metro de altura num local da Terra onde g 98 ms² A pressão de 10 hidrosferas é equivalente em Nm² a a 98 b 98 c 980 d 9 800 e 98 000 117 U F UberabaMG Considere os recipientes A B e C da figura cujas áreas das paredes do fundo são iguais Os recipientes contém o mesmo líquido homogêneo em equilíbrio sendo que em todos eles o nível livre do líquido atinge a altura h Em relação às pressões pA pB e pC exercidas pelo líquido nas paredes do fundo dos recipientes A B e C respectivamente é correto que a pA pB pC d pA pB pC b pA pB pC e pA pB pC c pA pB pC 118 CESUPAPA A representação gráfica da variação de pressão medida no interior de um líquido contido num recipiente aberto relativa à superfície livre do mesmo é mostrada na figura ao lado Considerando g 10 ms² podemos afirmar que a o líquido contido no recipiente pode ser a água b a pressão efetiva à profundidade h 25 cm é 25 x 104 Nm² c a densidade do líquido contido no recipiente é 085 gm³ d a pressão na superfície do líquido é menor do que a pressão atmosférica ao nível do mar e o recipiente não estava completamente cheio do líquido 10 PRESSÃO ATMOSFÉRICA BARÔMETRO A atmosfera é um fluido nãohomogêneo tornandose mais rarefeita à medida que se consideram pontos mais afastados da superfície da Terra Portanto a densidade do ar atmosférico diminui com a altitude A pressão que a atmosfera exerce é denominada pressão atmosférica e seu valor em vista do exposto diminui com a altitude A figura 14 esquematiza um dispositivo imaginado por Torricelli para a medida da pressão atmosférica constituindose num barômetro elementar Verificase que a pressão na superfície livre do mercúrio contido no recipiente cilíndrico pA patm é igual à pressão no ponto B situado na base de uma coluna de mercúrio de altura H mesma horizontal num líquido homogêneo em equilíbrio Ao nível do mar verificase que a coluna de mercúrio apresenta altura H 76 cm se a temperatura for 0C e a aceleração local da gravidade g 98 ms² patm 76 cmHg 760 mmHg 1 atm patm 105 Pa A pressão atmosférica ao nível do mar é denominada pressão atmosférica normal À medida que o dispositivo de Torricelli é levado para altitudes maiores a altura H da coluna de mercúrio diminui pois diminui a pressão atmosférica Atualmente a medida da pressão atmosférica é realizada através de barômetros mais precisos e sofisticados que o original de Torricelli 11 EQUILÍBRIO DE LÍQUIDOS IMISCÍVEIS VASOS COMUNICANTES Consideremos dois líquidos que não se misturam imiscíveis de densidades d1 e d2 tais que d1 d2 Estabelecido o equilíbrio estável verificase que o líquido mais denso situase abaixo do líquido menos denso ficando os dois separados por uma superfície horizontal Fig 15 Se líquidos imiscíveis forem colocados num sistema formado por vasos interligados pela base denominados vasos comunicantes o equilíbrio se estabelece de modo que as alturas das colunas líquidas medidas a partir da superfície de separação sejam inversamente proporcionais às respectivas densidades Assim num tubo em U dois recipientes cilíndricos ligados pela base consideremos os líquidos imiscíveis de densidades d1 e d2 em equilíbrio como mostra a figura 16 Em relação à superfície horizontal de separação as alturas das colunas são respectivamente H1 e H2 Os pontos x e y apresentam pressões iguais pois pertencem a uma mesma superfície horizontal num mesmo líquido homogêneo em equilíbrio px py Como px patm d1gH1 e py patm d2gH2 vem patm d1gH1 patm d2gH Logo d1H1 d2H2 No caso H1 H2 em vista de d1 d2 19 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 119 A figura representa um medidor de pressão manômetro constituído por um tubo recurvado contendo mercúrio De um lado o tubo é conectado a um recipiente contendo um gás cuja pressão se deseja medir e do outro ele é aberto para a atmosfera O desnível de mercúrio nos dois ramos do tubo é 14 cm a 0C e num local onde g 98 ms² A pressão atmosférica vale 76 cmHg a Determine a pressão exercida pelo gás b Qual seria o desnível entre os dois ramos do tubo se sua extremidade fosse fechada e sobre o nível de mercúrio fosse feito o vácuo Resolução a O desnível de mercúrio nos dois ramos é H 14 cm A pressão atmosférica é patm 76 cmHg A pressão nos pontos A e B é a mesma por se tratar de uma mesma horizontal num líquido homogêneo em equilíbrio pA pB Mas pA pgás e pB pcoluna patm A pressão da coluna sendo a temperatura 0C e g 98 ms² pode ser expressa numericamente pela própria altura da coluna pcoluna 14 cmHg Portanto Pgás Pcoluna Patm Pgás 14 76 Pgás 90 cmHg b Se a extremidade fosse fechada a altura da coluna deveria medir numericamente a pressão do gás isto é 90 cmHg e portanto H 90 cm 120 O gás contido no recipiente esquematizado exerce uma pressão de 85 cmHg Estando o sistema a 0C e num local onde g 98 ms² o desnível do mercúrio nos dois ramos do tubo do manômetro é 13 cm Determine a a pressão atmosférica local b a altura da coluna de mercúrio que equilibra a pressão do gás no caso do tubo do manômetro ser fechado havendo vácuo acima do mercúrio 127 UFPR Em um manômetro de tubo aberto a diferença de alturas entre as colunas de mercúrio é 38 cm Sendo a experiência realizada ao nível do mar podese afirmar que a pressão do gás é a 050 atm b 10 atm c 15 atm d 19 atm e 38 atm 128 U E LondrinaPR Para medir a pressão p exercida por um gás contido num recipiente utilizouse um manômetro de mercúrio obtendose os valores indicados na figura ao lado A pressão atmosférica local medida por um barômetro indicava 750 mmHg O valor de p em mmHg vale a 150 b 170 c 750 d 900 e 940 129 FATECSP O desenho representa um tubo em U que contém mercúrio e aprisiona gás no ramo fechado enquanto o outro ramo é aberto à atmosfera Podese afirmar que a a situação indicada é impossível b a pressão do gás é maior que a pressão do ar atmosférico c a pressão do gás é igual à pressão atmosférica d a pressão do gás é menor que a pressão atmosférica e nenhuma das anteriores 130 MackenzieSP No tubo em forma de U da figura ao lado o ramo A de extremidade fechada contém certo gás O ramo B tem extremidade aberta O desnível entre as superfícies livres da água é 10 cm A pressão do gás no ramo A excede a pressão atmosférica em a 5 10³ Nm² b 4 10³ Nm² c 3 10³ Nm² d 2 10³ Nm² e 1 10³ Nm² Obs 1 massa específica da água 1 gcm³ 2 adote g 10 ms² 131 UFAM Um sistema por suposição está em equilíbrio como indica a figura onde d1 é a densidade do mercúrio e d2 é a densidade da água igual a 10 gcm³ Então a h1 d1h2 b h2 d1h1 c h1 d2h2 d h1 h2 124 As densidades dos líquidos imiscíveis representados na figura são tais que d1 15 d2 e d3 080 gcm³ Considerando as alturas assinaladas no esquema determine as densidades dos líquidos 1 e 2 EXERCÍCIOS DE REFORÇO 125 VUNESPSP Numa experiência com o barômetro de Torricelli foi utilizado um tubo de vidro que possuía uma torneira adaptada na parte superior Com o barômetro devidamente montado torneira fechada a pressão atmosférica foi lida como 740 mmHg Inadvertidamente a torneira foi aberta e rapidamente fechada A coluna de mercúrio desceu 38 cm Nessas condições na superfície livre do mercúrio dentro do tubo a pressão em mm de Hg é de a zero b 380 c 360 d 400 e 740 126 UFPR Se um barômetro de Torricelli fosse construído com óleo de massa específica igual a 080 gcm³ a altura da coluna de óleo nas CNTP seria a 081 cm b 7655 cm c 081 m d 1046 m e 1292 m Massa específica do Hg nas CNTP 136 gcm³ Resolução a As pressões nos pontos A e B são iguais pA pB Mas pA patm d1gH1 d2gH2 e pB patm d3gH3 Logo patm d1gH1 d2gH2 patm d3gH3 Daí d1H1 d2H2 d3H3 São dados d1 050 gcm³ H1 70 cm d2 30 gcm³ H2 20 cm e H3 50 cm Substituindo 050 70 30 20 d3 50 35 60 d3 50 d3 19 gcm³ b A situação é de equilíbrio estável uma vez que o líquido de maior densidade está na parte de baixo do recipiente e sobre ele estão os líquidos menos densos 132 UNEBBA Considere o sistema de dois líquidos imiscíveis 1 e 2 de densidades d1 e d2 respectivamente representado na figura Considerando o sistema em equilíbrio podemos afirmar que 12 PRINCÍPIO DE PASCAL PRENSA HIDRÁULICA O princípio de Pascal pode ser enunciado como segue Qualquer variação de pressão ocorrida num ponto de um fluido em equilíbrio transmitese integralmente a todos os pontos desse fluido Uma ilustração simples desse princípio é dada pelo freio hidráulico de um automóvel a pressão exercida no pedal do freio é transmitida até as rodas do carro através do óleo contido num sistema de tubos comunicantes A prensa hidráulica é outra aplicação importante do princípio de Pascal que permite multiplicar a intensidade de uma força Consta como mostra a figura 17 de recipientes intercomunicantes preenchidos por um líquido em equilíbrio Sobre a superfície livre de cada lado são colocados êmbolos de áreas A1 e A2 Ao se aplicar uma força F1 ao êmbolo de menor área o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F2 em virtude da transmissão do acréscimo de pressão Δp Δp F1A1 e Δp F2A2 Logo F1A1 F2A2 Portanto as forças exercidas sobre os êmbolos têm intensidades diretamente proporcionais às áreas dos êmbolos Assim se A2 n A1 teremos F2 n F1 Em virtude de o volume do líquido que se desloca de um recipiente para outro ser o mesmo ΔV os percursos dos êmbolos não serão iguais Fig 18 Obtémse no êmbolo maior um deslocamento pequeno em comparação com o do êmbolo menor ΔV Δs1 A1 e ΔV Δs2 A2 Daí Δs1 A1 Δs2 A2 Portanto sendo A1 A2 obtémse Δs1 Δs2 Em geral nas aplicações práticas da prensa hidráulica como no elevador hidráulico dos postos de abastecimento o êmbolo menor não sofre um deslocamento único e contínuo O êmbolo é movimentado através de golpes sucessivos extraindose o líquido necessário através de um recipiente auxiliar R existindo ainda um sistema de válvulas que asseguram o sentido conveniente de escoamento para o líquido Fig 19 EXERCÍCIOS DE REFORÇO 143 UFPA O princípio no qual se baseiam os freios hidráulicos dos veículos motorizados foi estabelecido por 2m a dL VL g Nessa equação m 30 kg dL 60 102 kgm3 g 10 ms2 O volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo imerso VL V md 3015 104 VL 20 104 m3 Substituindo 2 30 ā 60 102 20 104 10 ā 020 ms2 Sendo P m g 30 10 P 30 N a substituição na equação II fornece 30 T 30 020 T 30 06 T 294 N b Quando o corpo A abandona o líquido deixa de existir o empuxo E Assim as forças que agem nos corpos são a tração T e o peso P Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica T P m a P T m a Somando membro a membro 2m a 0 a 0 Portanto T P Como P m g 30 10 30 N vem T 30 N 151 COVESTPE Dois corpos cada um de massa igual a 10 kg estão presos por um fio inextensível que passa por uma polia presa ao teto Se um dos corpos de volume igual a 104 cm3 está inteiramente imerso em água determine a aceleração dos corpos em ms2 152 UFRN O sistema ilustrado a seguir é constituído por dois corpos A e B de mesma massa M dois fios ideais um líquido cuja densidade é p e uma polia de eixo fixo de massa desprezível O corpo B de volume V está completamente imerso no líquido e nessa condição temos o sistema em equilíbrio Admitindose que a aceleração da gravidade é g podese concluir que as tensões nos fios I e II são a TI TII Mg pVg b TI TII 2 Mg pVg c TII TI 2 Mg pVg d TI pVg e TII Mg pVg e TI Mg pVg e TII pVg 153 FUVESTSP Através de um fio que passa por uma roldana um bloco metálico é erguido do interior de um recipiente contendo água conforme ilustra a figura O bloco é erguido e retirado completamente da água com velocidade constante O gráfico que melhor representa a tração T no fio em função do tempo é a Tração Tempo gráfico crescente em degraus b Tração Tempo gráfico decrescente em degraus c Tração Tempo gráfico crescente em degraus diferente d Tração Tempo gráfico decrescente com subida e Tração Tempo gráfico sobe e depois desce 154 IME Um objeto feito de uma liga de ouro e prata com massa de 400 gramas é imerso em óleo cuja massa específica vale 08 kgdm3 Observase uma perda aparente de peso correspondente a 25 g de massa Determine o percentual de ouro e de prata usado na liga sabendose que a massa específica do ouro é de 20 gcm3 e a da prata é de 10 gcm3 155 ITASP A massa de um objeto feito de liga ouroprata é 354 g Quando imerso na água cuja massa específica é 100 g cm3 sofre uma perda aparente de peso correspondente a 200 g de massa Sabendo que a massa específica do ouro é de 200 g cm3 e a da prata de 100 g cm3 podemos afirmar que o objeto contém a seguinte massa de ouro a 177 g b 118 g c 236 g d 308 g e 540 g 156 ITASP Um cubo de 10 cm de lado construído com material homogêneo de massa específica 10 g cm3 está em equilíbrio no seio de dois líquidos L1 e L2 de densidades respectivamente