Slide - Hidrodinâmica - 2023-2

Eugênio Bastos Maciel Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciência e Tecnologia Unidade Acadêmica de Física Disciplina: Física Geral II Hidrodinâmica Hidrodinâmica Como vimos o estudo dos fluidos é de certa forma muito complexo devido as suas propriedades. Se estamos interessados a dinâmica dos fluidos esta tarefa se torna ainda mais complicada devido os conceito de velocidade e força serem revistos neste âmbito. Hidrodinâmica De maneira geral podemos imagina-lo subdividido em elementos de volume muito pequenos para que possamos tratar como partículas • Regimes de Escoamento Livro do Moysés!!!! Duas foram as propostas para a descrição do escoamento de um fluido. A proposta de Lagrange e a de Euller Na proposta de Lagrange escolhe-se uma partícula em uma posição em um dado instante de tempo ⃗r0 t0 Hidrodinâmica Com o passar do tempo o vetor descreve a trajetória da partícula. Colocando um corante na partícula na posição inicial identificamos a trajetória. ⃗r Este método não é muito empregado uma vez que não desejamos a priori determinar as trajetórias de todas as partículas. Na proposta de Euller nossa atenção é fixa em um ponto do fluido e assim, descrevemos como varia com o tempo a velocidade do fluido. ⃗r ⃗v = ⃗v( ⃗r, t) Hidrodinâmica Para cada instante de tempo posterior uma partícula diferente do fluido ira passar pela posição fixa. Temos então um campo de velocidades no fluido que pode ser visto adicionando um corante em cada ponto do fluido Hidrodinâmica Este campo de velocidades pode ser representado pelas chamadas linhas de corrente, que pode ser considerada análoga ao caso das linhas de campo elétrico e magnético. Para uma determinada quantidade de linhas de corrente temos os chamados tubos de corrente Hidrodinâmica Chamamos de escoamento laminar ou de regime estacionário, o tipo de movimento do fluido em que o campo de velocidade é constante no tempo. • Escoamento Laminar ⃗v = ⃗v( ⃗r) Hidrodinâmica No escoamento não laminar ou turbulento as linhas de corrente não coincidem mais com as trajetórias uma vez que estas variam a cada instante. Hidrodinâmica • Conservação da Massa e Equação de Continuidade Usamos também aqui, o princípio de conservação para analisar a dinâmica dos fluidos. Considere a figura abaixo. (1) ρ = Δm ΔV Para o elemento teremos que o elemento de massa será Δx = vΔt Δm = ρΔV ⟹ Δm = ρAvΔt Hidrodinâmica Vamos considerar uma segunda situação em um regime estacionário. Na figura temos um fluido que se move em tuco com duas seções transversais com áreas A1 e A2 Embora as densidades e as velocidades do fluido devam ser diferentes, a massa deve permanecer constante ( ⃗v1, ρ1) , ( ⃗v2, ρ2) Hidrodinâmica Δm1 = Δm2 ⟹ ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt O que nos leva a seguinte relação (2) ρ1A1v1 = ρ2A2v2 No caso de um fluido incompressível onde teremos ρ1 = ρ2 = ρ (3) A1v1 = A2v2 O produto que aparece na equação acima é conhecida como a vazão do fluido Hidrodinâmica A vazão do fluido mede o volume de fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo. Neste caso, para um fluido compressível a velocidade é inversamente proporcional a área da seção transversal. A velocidade é maior quando as linhas de corrente estão mais próximas entre si. Hidrodinâmica Na situação onde temos fluidos compreensíveis como o ar por exemplo, a área neste caso permanece constante, assim a densidade varia conforme o inverso da velocidade!!! Se quisermos analisar o caso de conservação da massa para fluidos não estacionários devemos desconsiderar os tubos de corrente, uma vez que as linhas de corrente variam com o tempo. Hidrodinâmica As forças volumétricas externas são caracterizadas por exemplo, pela força gravitacional e pela força de “atrito" no deslizamento. Esse “atrito” é por vezes conhecido como força de viscosidade que veremos mais adiante. • A Equação de Bernoulli Vamos agora trazer as informações necessárias para enunciar a equação fundamental da Mecânica dos Fluidos, a equação de Bernoulli. Estamos considerando neste caso um fluido ideal ou perfeito, ou seja, um fluido incompressível e com escoamento estacionário Hidrodinâmica Considere a figura abaixo Para o tubo de corrente da figura teremos as áreas e com as pressões e A1 A2 p1 p2 Existe um chamado filete de corrente entre as seções 1 e 2 Existe um chamado filete de corrente entre as seções 1 e 2 Como o fluido é ideal, a porção considerada de fluido do filete se desloca para uma nova posição e 1′ 2′ Hidrodinâmica Desta forma temos mais uma vez que Δm1 = Δm2 ⟹ ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt A energia cinética neste balanço equivale à ΔT = 1 2 Δm2v2 2 − 1 2Δm1v2 1 Hidrodinâmica Pelo Teorema do Trabalho/Energia Cinética temos que W = ΔT (p1A1)(v1Δt) − (p2A2)(v2Δt) Por outro lado, temos , desta forma teremos que W = − ΔU −g(Δm2z2 − Δm1z1) Somando essas duas equações ficamos com 1 2Δm2v2 2 − 1 2 Δm1v2 1 = p1(A1v1Δt) − p2(A2v2Δt) − g(Δm2z2 − Δm1z1) Hidrodinâmica Usando o fato de que e ainda teremos ρ = Δm ΔV Δm1 = Δm2 1 2 v2 2 + gz2 + p2 ρ = 1 2 v2 1 + gz1 + p1 ρ Este resultado nos mostra a conservação da energia por unidade de massa ao longo do filete Se o fluido fosse compressível, teríamos outra forma de energia neste sistema, aquela associada a variação de energia interna Hidrodinâmica Neste caso ficado com o seguinte resultado 1 2 ρv2 + p + gρz = C Esta equação é a conhecida equação de Bernoulli, fundamental para o estudo da mecânica dos fluidos. • Aplicações da Equação de Bernoulli Veremos agora duas importantes aplicações da equação de Bernoulli. Hidrodinâmica 1- Equação de Torricelli Considere a figura abaixo Considerando orifício pequeno teremos desprezível, assim teremos v0 z + v2 2g + p0 ρg = z0 + v2 0 2g + p0 ρg v = 2gh 2- Tubos de Pitot Hidrodinâmica Para medir a velocidade em um fluido introduzimos um instrumento de medida que perturbe o escoamento. Na figura no ponto O a pressão é nula. Este ponto é chamado de ponto de estagnação Hidrodinâmica No ponto A a velocidade do escoamento não sofre praticamente variação. Sendo a pressão em A e a pressões em O da equação de Bernoulli teremos p p0 p0 = p + 1 2 ρv2 Acoplando um manômetro para medir a diferença de pressão, temos o chamado tubo de Pitot p0 − p = ρ0gh v = 2 ρ0 ρ gh