Ângulo Entre Vetores - Exercício Resolvido com Cosseno

3 Sabendo que o ângulo entre os vetores u 21 1 e v 1 1 m 2 é π3 determine m 3 Sabendo que o ângulo entre os vetores u 21 1 e v 1 1 m 2 é π3 determine m Solução A relação utilizada para calcular o ângulo entre vetores é cosθ v u v u Então como o ângulo entre os dois vetores é conhecido e igual a π3 podemos escrever cosπ3 u v u v u v u v 12 1 Calculando as informações envolvidas na equação 1 u v 21 1 1 1 m 2 2 1 m 2 m 1 u sqrt22 12 12 sqrt4 1 1 sqrt6 v sqrt12 12 m 22 sqrt1 1 m2 4m 4 sqrtm2 4m 6 Voltando à equação 1 podemos escrever u v u v 12 m 1 sqrt6 sqrtm2 4m 6 12 m 1 sqrt6m2 24m 36 12 2m 2 sqrt6m2 24m 36 Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado 2m 22 sqrt6m2 24m 362 4m2 8m 4 6m2 24m 36 Pela definição de módulo temos que estudar dois casos distintos Caso 1 4m2 8m 4 6m2 24m 36 2m2 16m 32 0 Observe que para a equação do segundo grau obtida o discriminante é Δ b2 4ac 162 4232 256 256 0 Desta forma temos um resultado real dado por m b sqrtΔ 2a 16 22 4 Caso 2 4m2 8m4 6m2 24m36 10m2 32m40 0 Desta vez para a equação do segundo grau obtida o discriminante é b2 4ac 322 41040 10241600 576 0 Portanto para este caso não há solução real Logo o valor procurado para m é dado por m 4 2