Geometria Analítica - Exercícios Resolvidos sobre Retas e Planos no Espaço

1 Em que ponto a reta que passa por A 2 3 4 e B 1 0 2 intercepta o plano xy 2 A reta r passa pelo ponto P 1 2 0 e tem a direção do vetor v 3i j k Determinar as equações reduzidas de r com variável independente x 3 Dada a reta r como interseção de dois planos r x y z 2 0 x 3y z 2 0 Obter sua equação simétrica 4 O ponto P 0 a b pertence à reta determinada pelos pontos pelos pontos A 1 2 0 e B 2 3 1 Achar o valor de a2 b2 5 Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares onde r x 1 y 3 e s y 4x m z x 6 Obter a equação do plano que contém os pontos A 3 0 1 B 2 1 1 e C 3 2 2 7 Calcular a e b para que os planos 2x 3y 3 0 e a 2x 6y b 1z 5 0 sejam paralelos 8 Obter a equação do plano que passa pelos pontos A 1 3 0 e B 2 0 1 e é ortogonal ao plano x y z 3 0 9 Dado o ponto P 3 6 1 e um plano π x y z 13 0 achar o ponto P simétrico de P em relação ao plano π 10 Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A 0 1 1 e contém a reta r x y 3 0 x 2z 1 0 1 Em que ponto a reta que passa por 𝐴 234 e 𝐵 10 2 intercepta o plano 𝑥𝑦 Solução Seja 𝑟 a reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 Encontrando um vetor diretor de 𝑟 sabendo que 𝑟 passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 10 2 234 1 3 6 Então como 𝐴 ℝ podemos escrever uma equação vetorial para 𝑟 na forma 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 234 𝑡1 3 6 Com relação o plano 𝑥𝑦 podemos considerar os versores 𝑢 100 e 𝑣 010 e o ponto 000 para escrever a equação vetorial para este plano na forma 𝑥 𝑦 𝑥 𝜆100 ℎ010 Igualando as equações do plano que representa 𝑥𝑦 e de 𝑟 obtemos 234 𝑡1 3 6 𝜆100 ℎ010 ou ainda 2 𝑡 3 3𝑡 4 6𝑡 𝜆 ℎ 0 Pela igualdade entre a terceira componente da última equação obtemos 4 6𝑡 0 Logo 𝑡 4 6 2 3 Substituindo esse resultado na equação de 𝑟 obtemos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 234 2 3 1 3 6 234 2 3 24 4 3 10 Portanto o ponto da reta 𝑟 que intercepta o plano 𝑥𝑦 é 𝑃 4 3 10 2 A reta 𝑟 passa pelo ponto 𝑃 120 e tem a direção do vetor 𝑣 3𝑖 𝑗 𝑘 Determinar as equações reduzidas de 𝑟 com variável independente 𝑥 Solução De posse de um ponto conhecido de 𝑟 𝑃 120 e de um vetor diretor 𝑣 31 1 podemos escrever equações simétricas para 𝑟 conforme disposição a seguir 𝑥 1 3 𝑦 2 1 𝑧 0 1 𝑥 1 3 𝑦 2 𝑧 Da igualdade que relaciona as variáveis 𝑥 e 𝑦 obtemos 𝑥 1 3 𝑦 2 𝑦 1 3 𝑥 1 3 2 1 3 𝑥 5 3 E da igualdade que relaciona as variáveis 𝑥 e 𝑧 extraímos que 𝑧 1 3 𝑥 1 3 Assim obtemos as equações reduzidas de 𝑟 com relação à variável 𝑥 𝑟 𝑦 1 3 𝑥 5 3 𝑧 1 3 𝑥 1 3 3 Dada a reta 𝑟 como interseção de dois planos 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 2 0 𝑥 3𝑦 𝑧 2 0 Obter sua equação simétrica Solução Temos que 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 2 0 𝑥 3𝑦 𝑧 2 0 Subtraindo as duas equações que definem 𝑟 membro a membro obtemos 2𝑦 2𝑧 0 Ou seja 2𝑦 2𝑧 𝑦 𝑧 Substituindo o resultado obtido na equação 𝑥 𝑦 𝑧 2 0 obtemos 𝑥 𝑦 𝑦 2 0 2𝑦 𝑥 2 𝑦 𝑥 2 2 𝑥 2 2 Como 𝑦 𝑧 e 𝑦 𝑥 22 obtemos as equações simétricas para 𝑟 𝑥 2 2 𝑦 𝑧 4 O ponto 𝑃 0 𝑎 𝑏 pertence à reta determinada pelos pontos 𝐴 120 e 𝐵 231 Achar o valor de 𝑎2 𝑏2 Solução Seja 𝑟 a reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 Encontrando um vetor diretor de 𝑟 sabendo que 𝑟 passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 231 120 111 Então como 𝐴 ℝ podemos escrever uma equação vetorial para 𝑟 que segue 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 120 𝑡111 Como 𝑃 0 𝑎 𝑏 pertence a 𝑟 temos que 0 𝑎 𝑏 120 𝑡111 1 𝑡 2 𝑡 𝑡 Pela igualdade entre vetores obtemos 1 𝑡 0 2 𝑡 𝑎 𝑡 𝑏 Da primeira igualdade do sistema temos que 𝑡 1 Como consequência disso obtemos que 𝑏 𝑡 1 𝑎 𝑡 2 1 2 1 Portanto 𝑎2 𝑏2 12 12 2 5 Calcular o valor de 𝑚 para que as retas 𝑟 e 𝑠 sejam coplanares onde 𝑟 𝑥 1 𝑦 3 e 𝑠 𝑦 4𝑥 𝑚 𝑧 𝑥 Solução Observe que a reta 𝑟 passa pelo ponto 𝐴 130 e fazendo 𝑥 0 percebe se que a reta 𝑠 passa pelo ponto 𝐵 0 𝑚 0 Agora podemos definir o vetor 𝐴𝐵 como 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 0 𝑚 0 130 1 𝑚 3 0 Além disso fazendo 𝑧 𝑡 em 𝑟 e 𝑥 𝜆 em 𝑠 obtemos as equações vetoriais 𝑟 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 𝑡 e 𝑠 𝑥 𝜆 𝑦 𝑚 4𝜆 𝑧 𝜆 das quais extraímos os vetores diretores de 𝑟 e 𝑠 respectivamente dados por 𝑢 001 e 𝑣 141 Então aplicando a condição de coplanaridade chegamos em 𝑢 𝑣 𝐴𝐵 0 Calculando o produto misto e isolando a incógnita 𝑚 obtemos a sequência de igualdades que seguem 0 0 1 1 4 1 1 𝑚 3 0 0 0 4 1 𝑚 3 0 0 1 1 1 0 1 1 4 1 𝑚 3 0 𝑚 3 4 0 𝑚 7 Logo o valor de 𝑚 procurado é 𝑚 7 6 Obter a equação do plano que contém os pontos 𝐴 301 𝐵 211 e 𝐶 322 Solução Para obter uma equação para o plano que contém os pontos 𝐴 𝐵 e 𝐶 podemos utilizar os vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 paralelos ao plano 𝜋 de interesse Temos então que 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 211 301 110 𝐴𝐶 𝐶 𝐴 322 301 021 Sabendo que o plano passa pelo ponto 𝐴 301 poderíamos representar a equação de 𝜋 na forma vetorial 𝜋 𝑥 𝑦 𝑧 301 𝑡110 𝜆021 Contudo quando a configuração da equação de um plano de interesse não é informada geralmente se trata da forma geral Para obtêla precisamos de um vetor normal que pode ser obtido pelo produto vetorial 𝑛 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Assim 𝑛 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 0 0 2 1 𝑛 𝑖 1 0 2 1 𝑗 1 0 0 1 𝑘 1 1 0 2 𝑛 𝑖 1 0 𝑗 1 0 𝑘 2 0 11 2 Logo a equação geral do plano procurado é dada por 𝜋 𝑥 𝑦 2𝑧 𝑑 0 Como 𝐴 301 pertence ao plano podemos escrever 3 0 21 𝑑 0 𝑑 1 Portanto a equação procurada é 𝜋 𝑥 𝑦 2𝑧 1 0 7 Calcular 𝑎 e 𝑏 para que os planos 2𝑥 3𝑦 3 0 e 𝑎 2𝑥 6𝑦 𝑏 1𝑧 5 0 sejam paralelos Solução Para que dois planos sejam paralelos é suficiente que os vetores normais a esses dois planos sejam paralelos Das equações gerais fornecidas observamos que os vetores normais com relação aos planos dados podem ser escritos como 𝑛 1 230 𝑛 2 𝑎 26 𝑏 1 Comparando a segunda coordenada dos dois vetores observamos que a segunda componente de 𝑛 2 corresponde ao dobro da segunda componente de 𝑛 1 23 6 Então para que esses vetores sejam paralelos as demais componentes de 𝑛 2 devem equivaler ao dobro das coordenadas correspondentes de 𝑛 1 Dessa forma 𝑎 2 22 𝑎 4 2 6 𝑏 1 20 𝑏 0 1 1 Portanto 𝑎 6 𝑏 1 8 Obter a equação do plano que passa pelos pontos 𝐴 130 e 𝐵 201 e é ortogonal ao plano 𝑥 𝑦 𝑧 3 0 Solução Seja 𝜋 o plano procurado e 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 um ponto genérico de 𝜋 Como 𝜋 passa pelos pontos 𝐴 130 e 𝐵 201 podemos concluir que os vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝑃 dados por 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 201 130 1 31 𝐴𝑃 𝑃 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 130 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 estão contidos em 𝜋 Além disso o vetor normal 𝑛 11 1 também pertence a 𝜋 pois 𝜋 é ortogonal ao plano 𝑥 𝑦 𝑧 3 0 Então aplicando a condição de coplanaridade chegamos em 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝑛 0 Calculando o produto misto e organizando as expressões resultantes obtemos a sequência de igualdades que seguem 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 1 3 1 1 1 1 0 𝑥 1 3 1 1 1 𝑦 3 1 1 1 1 𝑧 1 3 1 1 0 𝑥 13 1 𝑦 31 1 𝑧1 3 0 2𝑥 1 2𝑦 3 4𝑧 0 2𝑥 2 2𝑦 6 4𝑧 0 2𝑥 2𝑦 4𝑧 8 0 𝑥 𝑦 2𝑧 4 0 Portanto a equação procurada é 𝑥 𝑦 2𝑧 4 0 9 Dado o ponto 𝑃 361 e um plano 𝜋 𝑥 𝑦 𝑧 13 0 achar o ponto 𝑃 simétrico de 𝑃 em relação ao plano 𝜋 Solução Pela equação geral de 𝜋 extraímos o vetor normal 𝑛 111 Com o vetor normal podemos definir equações paramétricas da reta 𝑟 que passar por 𝑃 e é perpendicular a 𝜋 𝑟 𝑥 3 𝑡 𝑦 6 𝑡 𝑧 1 𝑡 Substituindo as equações paramétricas obtidas na equação do plano obtemos 3 𝑡 6 𝑡 1 𝑡 13 0 3𝑡 13 10 3 𝑡 1 Logo a intersecção da reta 𝑟 com o plano 𝜋 que representa a projeção ortogonal de 𝑃 sobre 𝜋 tem coordenadas 𝑥 3 1 4 𝑦 6 1 7 𝑧 1 1 2 Como o ponto 𝑀 472 é ponto médio entre 𝑃 e 𝑃 temos que 𝑀 𝑃 𝑃 2 𝑃 2𝑀 𝑃 2472 361 583 Portanto 𝑃 583 10 Determinar a equação do plano que passa pelo ponto 𝐴 011 e contém a reta 𝑟 𝑥 𝑦 3 0 𝑥 2𝑧 1 0 Solução Definindo 𝑧 𝑡 nas equações de 𝑟 obtemos 𝑥 2𝑡 1 0 𝑥 1 2𝑡 Da primeira equação de 𝑟 vem que 1 2𝑡 𝑦 3 0 𝑦 2 2𝑡 Assim obtemos equações paramétricas para 𝑟 𝑟 𝑥 1 2𝑡 𝑦 2 2𝑡 𝑧 𝑡 Das quais extraímos que 𝑟 passa pelo ponto 𝐵 120 e tem vetor diretor 𝑣 221 Dessa forma podemos concluir que o plano procurado contém os vetores 𝑣 𝐴𝐵 e 𝐴𝑃 onde 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 é um ponto genérico do plano de interesse Dessa forma temos 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 120 011 11 1 𝐴𝑃 𝑃 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 011 𝑥 𝑦 1 𝑧 1 Aplicando a condição de coplanaridade chegamos em 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝑣 0 Calculando o produto misto e organizando as expressões resultantes obtemos a sequência de igualdades que seguem 𝑥 𝑦 1 𝑧 1 1 1 1 2 2 1 0 𝑥 1 1 2 1 𝑦 1 1 1 2 1 𝑧 1 1 1 2 2 0 𝑥1 2 𝑦 11 2 𝑧 12 2 0 3𝑥 𝑦 1 4𝑧 1 0 3𝑥 𝑦 1 4𝑧 4 0 3𝑥 𝑦 4𝑧 5 0 Portanto a equação procurada é 3𝑥 𝑦 4𝑧 5 0 1 Em que ponto a reta que passa por A234 e B102 intercepta o plano xy Solução Seja r a reta que passa pelos pontos A e B Encontrando um vetor diretor de r sabendo que r passa pelos pontos A e B ABBA10223 4136 Então como AR podemos escrever uma equação vetorial para r na forma r x y z 23 4t 136 Com relação o plano xy podemos considerar os versores u100 e v010 e o ponto 000 para escrever a equação vetorial para este plano na forma x y x λ 100h0 10 Igualando as equações do plano que representa xy e de r obtemos 234t 136 λ 100h 010 ou ainda 2t 33t 46tλ h0 Pela igualdade entre a terceira componente da última equação obtemos 46t0 Logo t4 6 2 3 Substituindo esse resultado na equação de r obtemos Px y z 234 2 3 136234 2 3 24 4 3 10 Portanto o ponto da reta r que intercepta o plano xy é P 4 3 10 2 A reta r passa pelo ponto P120 e tem a direção do vetor v3 ijk Determinar as equações reduzidas de r com variável independente x Solução De posse de um ponto conhecido de r P120 e de um vetor diretor v311 podemos escrever equações simétricas para r conforme disposição a seguir x1 3 y2 1 z0 1 x1 3 y2z Da igualdade que relaciona as variáveis x e y obtemos x1 3 y2 y1 3 x1 3 21 3 x 5 3 E da igualdade que relaciona as variáveis x e z extraímos que z1 3 x1 3 Assim obtemos as equações reduzidas de r com relação à variável x r y1 3 x 5 3 z1 3 x 1 3 3 Dada a reta r como interseção de dois planos r x yz20 x3 yz20 Obter sua equação simétrica Solução Temos que r x yz20 x3 yz20 Subtraindo as duas equações que definem r membro a membro obtemos 2 y2 z0 Ou seja 2 y2 z yz Substituindo o resultado obtido na equação x yz20 obtemos x y y202 yx2 yx2 2 x2 2 Como yz e yx22 obtemos as equações simétricas para r x2 2 yz 4 O ponto P0ab pertence à reta determinada pelos pontos A120 e B231 Achar o valor de a 2b 2 Solução Seja r a reta que passa pelos pontos A e B Encontrando um vetor diretor de r sabendo que r passa pelos pontos A e B ABBA231120111 Então como AR podemos escrever uma equação vetorial para r que segue r x y z 120t 111 Como P0ab pertence a r temos que 0ab 120t 1111t 2t t Pela igualdade entre vetores obtemos 1t0 2ta tb Da primeira igualdade do sistema temos que t1 Como consequência disso obtemos que bt1at 2121 Portanto a 2b 21 21 22 5 Calcular o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares onde r x1 y3 e s y4 xm zx Solução Observe que a reta r passa pelo ponto A130 e fazendo x0 percebese que a reta s passa pelo ponto B0m0 Agora podemos definir o vetor AB como ABBA0m 01301m30 Além disso fazendo zt em r e xλ em s obtemos as equações vetoriais r x1 y3 zt e s xλ ym4 λ zλ das quais extraímos os vetores diretores de r e s respectivamente dados por u001 e v14 1 Então aplicando a condição de coplanaridade chegamos em uv AB 0 Calculando o produto misto e isolando a incógnita m obtemos a sequência de igualdades que seguem 0 0 1 1 4 1 1 m3 0 0 0 4 1 m3 00 1 1 1 01 1 4 1 m30 m340 m7 Logo o valor de m procurado é m7 6 Obter a equação do plano que contém os pontos A301 B211 e C322 Solução Para obter uma equação para o plano que contém os pontos A B e C podemos utilizar os vetores AB e AC paralelos ao plano π de interesse Temos então que ABBA211 301110 A CCA322301021 Sabendo que o plano passa pelo ponto A301 poderíamos representar a equação de π na forma vetorial π x y z 301t 110λ021 Contudo quando a configuração da equação de um plano de interesse não é informada geralmente se trata da forma geral Para obtêla precisamos de um vetor normal que pode ser obtido pelo produto vetorial n AB AC Assim n i j k 1 1 0 0 2 1 ni 1 0 2 1j 1 0 0 1k 1 1 0 2 ni10j10k 20112 Logo a equação geral do plano procurado é dada por π x y2zd0 Como A301 pertence ao plano podemos escrever 302 1d0 d1 Portanto a equação procurada é π x y2z10 7 Calcular a e b para que os planos 2 x3 y30 e a2 x6 yb1 z50 sejam paralelos Solução Para que dois planos sejam paralelos é suficiente que os vetores normais a esses dois planos sejam paralelos Das equações gerais fornecidas observamos que os vetores normais com relação aos planos dados podem ser escritos como n1230 n2a26b1 Comparando a segunda coordenada dos dois vetores observamos que a segunda componente de n2 corresponde ao dobro da segunda componente de n1 2 36 Então para que esses vetores sejam paralelos as demais componentes de n2 devem equivaler ao dobro das coordenadas correspondentes de n1 Dessa forma a22 2a426 b12 0b011 Portanto a6b1 8 Obter a equação do plano que passa pelos pontos A130 e B201 e é ortogonal ao plano x yz30 Solução Seja π o plano procurado e Px y z um ponto genérico de π Como π passa pelos pontos A130 e B201 podemos concluir que os vetores AB e A P dados por ABBA201130 131 A PPAx y z 130 x1 y3 z estão contidos em π Além disso o vetor normal n111 também pertence a π pois π é ortogonal ao plano x yz30 Então aplicando a condição de coplanaridade chegamos em A P A Bn0 Calculando o produto misto e organizando as expressões resultantes obtemos a sequência de igualdades que seguem x1 y3 z 1 3 1 1 1 1 0 x1 3 1 1 1 y3 1 1 1 1z 1 3 1 1 0 x1 31 y3 11 z 130 2 x12 y34 z0 2 x22 y64 z0 2 x2 y4 z80 x y2z40 Portanto a equação procurada é x y2z40 9 Dado o ponto P361 e um plano π x yz130 achar o ponto P simétrico de P em relação ao plano π Solução Pela equação geral de π extraímos o vetor normal n111 Com o vetor normal podemos definir equações paramétricas da reta r que passar por P e é perpendicular a π r x3t y6t z1t Substituindo as equações paramétricas obtidas na equação do plano obtemos 3t 6t 1t130 3t13103t1 Logo a intersecção da reta r com o plano π que representa a projeção ortogonal de P sobre π tem coordenadas x314 y617 z112 Como o ponto M4 7 2 é ponto médio entre P e P temos que M PP 2 P 2MP2 472361583 Portanto P 583 10 Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A011 e contém a reta r x y30 x2 z10 Solução Definindo zt nas equações de r obtemos x2t10 x12t Da primeira equação de r vem que 12t y30 y22t Assim obtemos equações paramétricas para r r x12t y22t zt Das quais extraímos que r passa pelo ponto B120 e tem vetor diretor v221 Dessa forma podemos concluir que o plano procurado contém os vetores v AB e AP onde Px y z é um ponto genérico do plano de interesse Dessa forma temos ABBA120011 111 APPAx y z 011x y1 z1 Aplicando a condição de coplanaridade chegamos em AP AB v 0 Calculando o produto misto e organizando as expressões resultantes obtemos a sequência de igualdades que seguem x y1 z1 1 1 1 2 2 1 0 x 1 1 2 1 y1 1 1 2 1 z1 1 1 2 20 x 12 y1 12z1220 3 x y14z10 3 x y14 z40 3 x y4 z50 Portanto a equação procurada é 3 x y4 z50 This image appears to be empty or contains no text