Termodinâmica

Um reservatório com capacidade de 20 m³ de água contém inicialmente metade de sua capacidade preenchida com água A média de uso diário é de 075 m³ Se a água é adicionada ao tanque a uma taxa média de 075et30 m³dia em que t é o tempo em dias por quanto tempo haverá água no reservatório considerando que as propriedades do fluido não se alteram na entrada e na saída 20 pts Resposta dias Um reservatório com capacidade de 30 m³ de água contém inicialmente metade de sua capacidade preenchida com água A média de uso diário é de 15 m³ Se a água é adicionada ao tanque a uma taxa média de 3e15t m³dia em que t é o tempo em dias por quanto tempo haverá água no reservatório considerando que as propriedades do fluido não se alteram na entrada e na saída 20 pts Resposta dias Lista 1 1 Aplicando um balanço de volume no reservatório teremos 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑉𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑉 𝑑𝑡 3𝑒15𝑡 15 𝑑𝑉 3𝑒15𝑡 15𝑑𝑡 Integrando ambos os lados da equação teremos 𝑑𝑉 3𝑒15𝑡 15𝑑𝑡 𝑡 0 𝑉𝑡 2𝑒15𝑡 15𝑡 𝐶 Para determinar a constante de integração temos a seguinte condição inicial 𝑉0 15 A condição acima destaca que inicialmente o volume do tanque é 15 𝑚3 pois no enunciado diz que o tanque está pela metade inicialmente Aplicando a condição de contorno 2𝑒150 15 0 𝐶 15 2 𝐶 15 𝐶 17 Portanto temos que a equação da variação do volume no tanque será 𝑉𝑡 2𝑒15𝑡 15𝑡 17 O tanque estará completamente vazio quando 𝑉𝑡 0 Portanto teremos 2𝑒15𝑡 15𝑡 17 0 Esta é uma equação que não é possível de se resolver analiticamente portanto se faz necessário o uso de algum método numérico Utilizando o software EES obtemos 𝑡 1133 𝑑𝑖𝑎𝑠 2 a Primeiro vamos calcular o fluxo de massa na entrada para isso utilizaremos a seguinte equação 𝑚 𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑉𝐴 Desta forma precisamos determinar a densidade da água na entrada Analisando a temperatura e pressão de entrada podemos afirmar que a água entra no reservatório como vapor superaquecido Considerando o vapor na entrada como um gás ideal teremos 𝑃𝑉 𝑚𝑅𝑇 𝑃 𝑚 𝑉 𝑅𝑇 𝑃 𝜌𝑅𝑇 𝜌 𝑃 𝑅𝑇 Para determinar a constante R para o vapor de entrada teremos 𝑅 𝑅𝑢 𝑀 Onde 𝑅𝑢 Constante universal dos gases ideais 8314 𝑘𝐽𝑘𝑚𝑜𝑙 𝑀 Massa molar da substância no nosso caso a água 18 𝑘𝑔𝑘𝑚𝑜𝑙 Substituindo na equação para a densidade 𝜌 𝑃𝑀 𝑅𝑢𝑇 Substituindo agora na equação para o fluxo de massa na entrada 𝑚 𝑒𝑛𝑡 𝑃𝑀𝑉𝐴 𝑅𝑢𝑇 𝑚 𝑒𝑛𝑡 2 106 18 20 102 8314 600 27315 𝑚 𝑒𝑛𝑡 099 𝑘𝑔𝑠 Para determinar o fluxo de massa na saída temos a mesma expressão 𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝜌𝑉𝐴 No entanto como agora temos a água no estado liquido não podemos utilizar a equação dos gases ideais Para determinar a densidade agora necessitaremos buscar na literatura tabelas para obter esse parâmetro Temos que a água na saída se encontra como liquido comprimido desta forma podemos aproximar para liquido saturado a mesma temperatura Da tabela A9 do livro Transferência e calor e massa do Çengel teremos 𝜌 9166 𝑘𝑔𝑚3 Desta forma o fluxo de massa na saída 𝑚 𝑠𝑎𝑖 9166 1 6 103 𝑚 𝑠𝑎𝑖 55 𝑘𝑔𝑠 b A taxa de variação de massa no tanque será 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑒𝑛𝑡 𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑚 𝑑𝑡 099 55 𝑑𝑚 𝑑𝑡 451 𝑘𝑔𝑠 O sinal negativo indica que a massa do tanque está diminuindo 3 a Para determinar a temperatura na saída da válvula necessitamos de mais 1 propriedade referente a saída Temos em uma válvula de expansão um processo isoentálpico ou seja ℎ1 ℎ2 Desta forma precisamos determinar inicialmente a entalpia na entrada da válvula Na entrada temos o refrigerante R134 no estado de liquido saturado da tabela A12 do livro de Termodinâmica do Çengel para a pressão de 900 kPa ℎ1 1016 𝑘𝐽𝑘𝑔 Consequentemente ℎ2 1016 𝑘𝐽𝑘𝑔 Da mesma tabela destacada acima para a pressão agora na saída de 200 kPa podemos afirmar que o refrigerante está no estado de mistura liquidovapor dessa forma a temperatura na saída da válvula 𝑇2 1009𝐶 b Para determinar o fluxo de massa do refrigerante aplicamos um volume de controle no trocador de calor Aplicando a primeira lei da termodinâmica 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 Considerando o sistema operando em regime permanente e que o trocador de calor não consome ou produz trabalho teremos 0 𝑚 2ℎ2 𝑚 4ℎ4 𝑚 3ℎ3 𝑚 5ℎ5 Como o sistema está operando em regime permanente temos que 𝑚 2 𝑚 3 𝑚 𝑟 𝑚 4 𝑚 5 2 𝑘𝑔𝑠 Portanto teremos 𝑚 𝑟ℎ2 𝑚 4ℎ4 𝑚 𝑟ℎ3 𝑚 4ℎ5 0 𝑚 𝑟ℎ2 ℎ3 𝑚 4ℎ5 ℎ4 𝑚 𝑟 𝑚 4ℎ5 ℎ4 ℎ2 ℎ3 No ponto 3 o refrigerante está no estado de vapor superaquecido desta forma para determinar a entalpia neste ponto utilizaremos a tabela A13 do Çengel ℎ3 26158 𝑘𝐽𝑘𝑔 No ponto 4 a água entra no trocador de calor como liquido comprimido no entanto vamos aproximar para liquido saturado a mesma temperatura já que nas tabelas não tem as propriedades para a pressão indicada Da tabela A4 do Çengel ℎ4 10483 𝑘𝐽𝑘𝑔 No ponto 5 ainda temos a água como liquido comprimido a 15C da mesma tabela acima temos que ℎ5 62982 𝑘𝐽𝑘𝑔 Agora podemos calcular o fluxo de massa do refrigerante 𝑚 𝑟 2 62982 10483 1016 26158 𝑚 𝑟 052 𝑘𝑔𝑠 4 a Para determinar a potência requerida pelo compressor aplicamos um volume de controle no mesmo Da primeira lei da termodinâmica 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 Simplificando a equação teremos 0 𝑊 𝑚 𝑎𝑟ℎ1 ℎ2 𝑊 𝑚 𝑎𝑟ℎ1 ℎ2 Temos a seguinte relação 𝑑ℎ 𝑑𝑇 𝑐𝑝 𝑑ℎ 𝑐𝑝𝑑𝑇 Desta forma nossa equação ficará da seguinte forma 𝑊 𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑝𝑇1 𝑇2 Precisamos então determinar o fluxo de massa do ar entrando no compressor 𝑚 𝑎𝑟 𝜌𝑉 Para calcular a densidade do ar teremos 𝑃𝑉 𝑚𝑅𝑇 𝑃 𝑚 𝑉 𝑅𝑇 𝑃 𝜌𝑅𝑇 𝜌 𝑃 𝑅𝑇 Substituindo na equação para o fluxo de massa de ar 𝑚 𝑎𝑟 𝑃𝑉 𝑅𝑇 Substituindo agora na equação para a potência no compressor 𝑊 𝑃𝑉 𝑐𝑝𝑇1 𝑇2 𝑅𝑇 𝑊 95 103 900 3600 1005 20 320 287 20 27315 𝑊 8511 𝑘𝑊 O sinal de negativo indica que o compressor está realizando trabalho b Aplicando agora um volume de controle na camisa dágua 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 0 𝑄 𝑚 ℎ3 ℎ4 𝑄 𝑚 ℎ4 ℎ3 Da tabela A4 destacada no exercício 3 para as temperatura de 20ºC e 30C temos as seguintes entalpias respectivamente ℎ3 83915 𝑘𝐽𝑘𝑔 ℎ4 12574 𝑘𝐽𝑘𝑔 Portanto teremos que o calor transferido do compressor será 𝑄 900 3600 12574 83915 𝑄 1046 𝑘𝑊 Lista 2 1 Aplicando um balanço de volume no reservatório teremos 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑉𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑉 𝑑𝑡 075𝑒5𝑡 075 𝑑𝑉 075𝑒5𝑡 075𝑑𝑡 Integrando ambos os lados da equação teremos 𝑑𝑉 075𝑒5𝑡 075𝑑𝑡 𝑉𝑡 015𝑒5𝑡 075𝑡 𝐶 Para determinar a constante de integração temos a seguinte condição inicial 𝑉0 10 A condição acima destaca que inicialmente o volume do tanque é 10 𝑚3 pois no enunciado diz que o tanque está pela metade inicialmente Aplicando a condição de contorno 015𝑒50 075 0 𝐶 10 015 𝐶 10 𝐶 1015 Portanto temos que a equação da variação do volume no tanque será 𝑉𝑡 015𝑒5𝑡 075𝑡 1015 O tanque estará completamente vazio quando 𝑉𝑡 0 Portanto teremos 015𝑒5𝑡 075𝑡 1015 0 Esta é uma equação que não é possível de se resolver analiticamente portanto se faz necessário o uso de algum método numérico Utilizando o software EES obtemos 𝑡 1353 𝑑𝑖𝑎𝑠 2 a Para determinar a massa de óleo após 24 horas precisamos inicialmente determinar a taxa de variação de massa 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚 1 𝑚 2 Onde 𝑚 1 𝑉1 𝑣 2 60 00015 80000 𝑘𝑔ℎ 𝑚 2 𝑉2 𝑣 𝜋 0152 4 15 3600 00015 6361725 𝑘𝑔ℎ Calculando a taxa de variação de massa 𝑑𝑚 𝑑𝑡 80000 6361725 𝑑𝑚 𝑑𝑡 1638275 𝑘𝑔ℎ Portanto a massa final após 24 horas 𝑚𝑇 24 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚𝑖 𝑚𝑇 24 1638275 1000 00015 𝑚𝑇 106 106 𝑘𝑔 3 Para determinar a temperatura no ponto 3 precisamos determinar mais uma propriedade neste ponto para isso apliquemos um volume de controle no trocador de calor 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 Fazendo as simplificações pertinentes 0 𝑚 2ℎ2 𝑚 5ℎ5 𝑚 3ℎ3 𝑚 6ℎ6 Como o sistema opera em regime permanente temos 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 3 𝑚 5 𝑚 6 1500 60 Isolando a entalpia no ponto 3 na equação para o volume de controle no trocador de calor 𝑚 1ℎ2 𝑚 5ℎ5 𝑚 1ℎ3 𝑚 5ℎ6 0 𝑚 1ℎ3 𝑚 1ℎ2 𝑚 5ℎ5 𝑚 5ℎ6 ℎ3 𝑚 1ℎ2 𝑚 5ℎ5 ℎ6 𝑚 1 Agora vamos determinar o fluxo de massa 1 aplicando um volume de controle na turbina 1 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 0 𝑊 𝑚 1ℎ1 ℎ2 𝑚 1 𝑊 ℎ1 ℎ2 No ponto 1 temos vapor superaquecido na pressão de 2Mpa e temperatura de 600C da tabela A6 do Çengel ℎ1 36907 𝑘𝐽𝑘𝑔 No ponto 2 temos vapor superaquecido na pressão de 1Mpa e temperatura de 400C da tabela A6 do Çengel ℎ2 32645 𝑘𝐽𝑘𝑔 Calculando o fluxo de massa 1 𝑚 1 10000 36907 32645 𝑚 1 2346 𝑘𝑔𝑠 Agora precisamos determinar as entalpias no ponto 5 e no ponto 6 da tabela A17 do Çengel ℎ5 163597 𝑘𝐽𝑘𝑔 ℎ6 127779 𝑘𝐽𝑘𝑔 Desta forma a entalpia no ponto 3 ℎ3 2346 32645 1500 60 163597 127779 2346 ℎ3 364619 𝑘𝐽𝑘𝑔 Da tabela A6 do Çengel para a pressão de 1 MPa e entalpia encontrado no ponto 3 temos que a temperatura 𝑇3 500 600 500 364619 34791 36986 34791 𝑇3 57612𝐶 b Para determinar a potência na segunda turbina aplicamos o volume de controle na mesma 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 0 𝑊 𝑚 3ℎ3 ℎ4 𝑊 𝑚 3ℎ3 ℎ4 No ponto 4 temos vapor superaquecido a 100 kpa e temperatura de 240C calculando a entalpia 240 200 250 200 ℎ4 28755 29745 28755 ℎ4 29547 𝑘𝐽𝑘𝑔 Por fim calculando a potência na segunda turbina 𝑊 2346 364619 29547 𝑊 1622 𝑘𝑊 4 a Para calcular o fluxo de massa de vapor teremos 𝑚 𝑉 𝑣1 Da tabela A6 do Çengel para a temperatura e pressão dada no ponto 1 𝑣1 008644 𝑚3𝑘𝑔 Portanto o fluxo de massa 𝑚 90 60 008644 𝑚 6247 103 𝑘𝑔ℎ b Aplicando o volume de controle na turbina 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 𝑊 𝑚 ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ4 As entalpias em cada ponto será Dados retirados da tabela do Çengel ℎ1 3446 𝑘𝐽𝑘𝑔 ℎ2 32484 𝑘𝐽𝑘𝑔 ℎ3 34683 𝑘𝐽𝑘𝑔 ℎ4 26535 𝑘𝐽𝑘𝑔 Portanto a potência desenvolvida na turbina 𝑊 6247 3600 1033446 32484 34683 26535 𝑊 1757 𝑘𝑊 c Aplicando o volume de controle no reaquecedor 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑉𝑐 𝑄 𝑊 𝑚 𝑒ℎ𝑒 𝑇 𝑚 𝑠ℎ𝑠 𝑇 𝑄 6247 3600 103 34683 32484 𝑄 382 𝑘𝑊