Introdução à Probabilidade - Material de Estudo

Dr Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás oleufgbr httpwwwolesmithcombr Probabilidade IMEUFG 20221 1 Introdução à Probabilidade µατϵµατικα Made in LATEX 10 de agosto de 2023 1 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 2 Espacos Amostrais Finitos n favoraveis em todal de N objetos n PA 21 4 21 Permutacao de r em n r objetos n Particularmente permutacao de n objetos Pnn1Lln 23 Se ordem nao importa n n mma nar h 24 r rnr r Teorema 21 Teorema Binomial xy R n N ni n ki nk ety aky 25 k0 21 Coeficientes Binomiais Simetria n n 26 7 ao n 4 n nl 27 Dp p1 ptl1 n n n n n S 5 1 tot 2 28 p0 ap r n nr ayn nr S1 5 1 0 29 p0 PH M eee a MET 210 n n n n n1 p0 n n n n 2n S to 211 p 0 1 n n p0 n m n m n m n m mn 7 6 O GB MG 2 a n n n n n1 S D 1 1 2 3 dén n2 213 p10 So yrttp 1 7 2 9 424 tn 0 214 p 1 2 n p10 22 Probabilidade Hipergeométrica Dado n objetos r do tipo 1 n r do tipo 2 Selecionando 0 k n destes objetos contamos a quantia 0 x r de objetos do tipo 1 Probabilidade hipergeométrica 2 e zt ka PX 2 215 n i Observe SoT Pony a rer er iin e ka aka k Ou seja k So PX 21 x0 Larepat Ka 2 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Dado n objetos n do tipo 1 nz do tipo 2 nN do tipo p Numero de permutag6es n Pryysnp to nslo nh Nyl Nats Np 23 Problemas 21 O seguinte grupo de pessoas esta numa sala 5 homens maiores de que 21 anos 4 homens com menos de 21 anos 6 mulheres maiores de que 21 anos 3 mulheres com menos de 21 anos Uma pessoa é escolhida ao acaso Definese os seguintes eventos A a pessoas é maior de 21 anos B a pessoas é menor de 21 anos C a pessoas é homem D a pessoas é mulher Calcule a PBUD b PANC Solution Total 18 pessoas 9 homens e 8 mulheres 11 maiores de 21 7 menores 11 PA A 33 PB 1 PA ig 9 1 PC C 18 2 9 1 PD D 18 2 Eventos mutualmente excludentes PAN B PCND0 Eventos complementares PAUBPCUD1 Maior que 21 e homem PANC 5 18 Maior que 21 e mulher 6 3 PAND 18 9 Menor que 21 e homem 4 2 PBNC 3 18 9 Menor que 21 e mulher 3 1 PBOND s3 18 6 a PBUD PB PD PBN D i4e8 2 b PANC PBND 22 Em uma sala 10 pessoas séo enumeradas de 1 até 10 Trés pessoas sao eschildas ao acaso e convidadas a sairem da sala simulta neamente O nimero do seu emblema é anotado a Qual a probabilidade de que o menor ntimero de emblema seja 5 b Qual a probabilidade de que o maior ntiimero de emblema seja 5 Solution Escolher 3 de 10 pode ser fetio em Q 10 10 10 1098 9 3 3110 3 37 6 LareparrKa 3 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr a 6 numeros 56789 e 10 séo 5 Escolher 3 de 6 pode ser feito em 5 6 6 ol 654 20 3 316 3 33 6 Os que nao contém 5 somente 678910 5 5 5 3 363 3m Contendo um 5 e os restantes maior 201010 Probabilidade procurada ti1t Pa 720 12 b 5 ntimeros 12345 siéo 5 Contém somente nimeros menor do que 5 5 10 Contém somente nimeros menor do que 4 4 4 4 3 34 3 Contendo um 5 e os restantes menor 1046 Probabilidade procurada 6 1 po 720 20 23 a Suponha que os trés digito 1 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatéria Qual a probabilidade de que ao menos um digito ocupe seu lugar proprio b O mesmo que em a com os digitos 1 23 e 4 c O mesmo que em a com os digitos 1 2 3 n Sugestdo Empregue 17 d Examine a resposta de c para n grande Solution a Podemos posicionar 1 2 e 3 em 36 maneiras 123 132 213 231 312 321 4 desses tem um digito no lugar certo 42 Po 6 3 b 1 a4em 424 maneiras 123 4 2 13 4 3 2 14 4 2 3 124 1243 2 14 3 A 3 2 4 1 4 2 13 4 13 24 2 3 14 A 3 124 4 3 2 104 13 4 3 2 3 4 1 A 3 1 42 A 4 3 1 2 4 142 3 2 4 3 1w3 4 2 1 A 4 12 308 143 2 2 4 13 A3 4 12 A 4 13 2 4 6 2 3 3 15 b5 Po 24 8 c Caso n Sugestao 17 k k k PAUA2UUAg 5 PAi 2 PAiNA SO PAINAGNAY 1 1 PAiNAjN AB i1 ij2 ijr3 A Digito 7 no lugar certo A probablidade do A ndo depende do n1 1 pn PA Wa att n n Sen 2 Ai ANAj1F j n 2 1 PA 4 pe Ais n nn 1 Sen 3 Aijyr Aj M Aj M Ar n 3 1 PA eee Ps Aiir n nn 1n 2 Sen 4 Aijrs A M Aj M A NAs n 4 1 PAjj3 MoS pa PAi irs nl nn 1n 2n 3 Em geral para k n nk 1 Peal nn1nk1 quanto 1 Pn Pn1 al nl Larepat Ka 4 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e3 Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Considerando n 2 digitos 1 1 Pl p2 3 BE 1111 m2 PA U Ao PA1 PA2 PAt M Ag a 3 2 05 Paran 3 digitos 1 Pi 3 p2 6 p P3 p2 6 Ou seja m3 PAUA2UA3 PA1PA2PA3PA1NA2PA2A3PA3NA1PA1NA2MA3 2 1 1 1 4 2 Paran 4 digitos 1 Pi 4 t PDP tl P3 A p Pa p3 4 Calculamos 4 4 4 4 m4 PA1 U Az U Az U As pat 5 p3 vs 1 1 1 1 2412441 15 5 4644 062 4 6 27 24 24 24 24 8 0625 Paran 5 digitos 1 P 5 1 pe 20 t P3 60 p p42 Ps 120 Calculamos 5 5 5 5 5 5 PA U Ag U Ag U Ag U As p 3 3 bs p bs 1 1 1 1 1 120 60 2051 76 19 25 Mag FG 8 G0 T0 SCOOSSCSCSSD BOD Paran n digitos 1 pi n 1 pas nn 1 1 Ps nn Dn 2 t 1n2 n 1 p ad n 1 Pn1 Pn at n E n n n n n n mn P U 1 a 2 Pat 3 Ps pat 1 pra 1 pn n1 n 1 i1 n1 Syn curs Temos n ni n ni nl i PNG a i nt ima Ou seja vial Lyi an So 7 F So nn 1ni1 il i1 LareparrKa 5 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 eS Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Para calcular as probabilidades podese utilizar a formula recursiva 1 tn1 2n n n 1 Define n an nlnn S17nn 1n 4 1 i1 Entao an 1 n 1an 1 Ou an nan 1 1 E em seguida an an nl Veja a tabela abaixo 1 n nn an an an 1 S en a 2 2 1 3 05000000000 06321205588 209e01 3 6 4 06666666667 06321205588 547e02 4 24 15 x 06250000000 06321205588 113e02 5 120 76 zie 06333333333 06321205588 192e03 455 6 720 455 70 06319444444 06321205588 279e04 3186 7 5040 3186 5040 06321428571 06321205588 353e05 25487 8 40320 25487 40320 06321180556 06321205588 396e06 229384 9 362880 229384 362880 06321208113 06321205588 399e07 2293839 10 3628800 2293839 3628800 06321205357 06321205588 366e08 A tabela foi gerado pela seguinte codigo Python from math import def Factorialn pl for i in range1n1 pxi return p def an sum0 for i in range1n1 prod1 for j in rangeitlnl1 prodxj if i20 prodx1 sumprod return sum print begintabular 1111111 print hline print join mathbf n mathbfn mathbfan mathbf pin mathbf pin mathbf displaystyle 1fracle mathbf epsilonn LareparrKa 6 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr print print hline hline lim1010e for n in range211 counteran denominatorFactorial n value10 counter 10 denominator resabs limvalue lim print join strn str denominator str counter displaystyle fracstrcounterstrdenominator 10f value 10f lim 2e res print bline print endtabular d Deixando n 00 00 i1 00 i 1 1 1 1 1 1 0632120559 lm i e 25 Dez fichas numeradas de 110 so misturadas em uma urna Duas fichas numeradas X Y so extrafdas da urna sucessiva mente e sem reposia0 Qual a probabilidade de que seja X Y 10 Solution Escolher 2 de 10 em 10 109 9 Las maneiras X Y 10 pode ser feito das seguintes 4 formas 1 9 2 8 3 7 46 Um total de 8 formas XY 104 p 5 26 Um lote é formado de 10 artigos bons 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves Um artigo é escolhido ao acaso Ache a probabilidade de que a Ela nao tenha defeitos b Ela nao tenha defeitos graves c Ela ou seja perfieta ou tenha defeitos Solution Total de 16 pecas Bons 105 m6 8 Defeitos mnenores 41 mie 4 Defeitos graves 21 P16 8 a 2 Pa pi 8 1 7 lp1l Pb be 8 8 c ap aby te Pe Pl p3 838 4 27 Se do lote de artigos descrito no Problema 26 dois artigos foram escolhidos sem reposigo ache a probabilidade de que Larepat Ka 7 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr a Ambos sejam perfeitos b Ambos tenham defeitos graves c Ao menus um seja perfeito d No maximo um seja perfeito e Exatamente um seja perfeito f Nenhum deles tenha defeitos graves g Nenhum deles seja perfeitos Solution a 10 9 5 33 Po 761585 8 b 2 t1 pr 16 15 120 c Um de 2 perfeito 10 660 21 P76 15 1516 8 4 Os dois perfeitos em a Soma 135 Pe 478 8 d Nenhum perfeito 6 5 30 11 P 7615 1516 8 Somando com a primeira probabilidade de item c il 4 1 3 Pasta 8 e Encontrado no item anterior 1 Pe 4 f 14 13 182 91 Pr 7615 240 120 g Do item d 1 Pg 8 212 Um mecanismo pode ser posto em uma dentre quatro posigées a b ce d Existem 8 desses mecanismos incluidos num sistema a De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto b Admita que esses mecanismos sejam instalados em determinado ordem preestabelecida De quanto maneiras 0 sistema podera ser disposto se dois mecanismos adjacentes no estiverem em igual posicao c Quantas maneiras de dispos serao possiveis se somente as posicées a e b forem usados e o forem com igual freqéncia d Quantas maneiras de dispos serao possiveis se somente duas posiées forem usados e desse posigGes uma ocorrer trés vezes mais frequente que o outro Solution a Em cada das 8 posigdes temos 4 possibilidades 4 b Na primeira posigdo temos 4 possibilidades Em todos os 7 seguintes posigdes temos apenas 413 possibilidades 4 3 c 8 8 8765 qa a6 779570 d Se fosse somente a e b 8 8 8 87 3 3 67 9 8 Agora podemos escolher duas posig6es de quatro em A 2 maneiras Multiplicando 8 4 at 91 628 168 Enfim precisamos multiplicar por mais um fator dois ja que distribuir a distribuicdo asimétrica 1 vs 3 Isto é 2168 334 maneiras LareparrKa 8 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 213 Suponha que N objetos m N sejam escolhidos ao acaso com reposiao Qual sera a probabilidade de que nenhum objetos seja escolhido mais do que uma vez Solution Total de NNNN formas Um total de Mu NN1 N 1 NI Vn aay formas sendo todos diferentes Probabilidade N N 1 P NnN Nn Nv 214 Com as seis letras a b cd e f quantas palavrascddigo de 4 letras poderao ser formados se a Nenhuma letra pode ser repetida b Qualquer letra pode ser repetida qualquer ntimero de vezes Solution a 6 6543 3 360 b 6666 1296 99 99 100 215 Supondo que a eb 1 express ea Solution Coeficiente binomial 7 wm py plnp p Coloque n1 np n nae a FS Dp pnp1 n plnp n Dp b t n 1 2 p1 p1np on p Assim res 5t2 n n p Pp Assim 100 100 99 4 99 9 V5 AS 4 216 Uma caixa contém etiquetas numerados 1 2 n Duas etiquetas sao escolhidas ao acaso Determina a probabilidade de que os ntimeros sejam inteiros consecutivos se a As etiquetas forem escolhidas sem resposi4o b As etiquetas forem escolhidas com resposiao Solution a Sem reposigio total de formas nn 1 Nimeros consecutivos 2n11 Probabilidade 2n1 2 Pa nn1 on b Com reposigao total de formas n Nimeros consecutivos 2n11 Probabilidade 2n 1 Po 2 n 217 Quantos subconjuntos se podem formar contendo ao menos um elemento de um conjunto de 100 elements Solution LareparrKa 9 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Um subconjunto pode conter ou nao um determinado elemento Assim tem um total de 100 possiveis subconjuntos de 100 elementos Um deles é 0 conjunto vasil Um total de 100 1 contém pelo menos um elemento 219 Dentre 6 ntimeros positivos e 8 numeros negativos escolhemse ao acaso 4 nimeros e multiplicamse esses numeros Qual sera a probabilidade de que o produto seja um numero positivo Solution r6n14k 4 0 2 ou 4 positivos 6 8 no 3 17070 6 8 n2 5 1528 420 6 8 na 3 15115 14 18 10 Probabilidade do produto seja positivo 7042015 505 Pe jo0ri1001 Para verificar os impares 6 8 n 5 656 336 6 8 n3 5 208 160 Probabilidade do produto seja negativo 336160 496 Pj001 1001 Ee 505 496 Pet P Tog I 221 Um lote contém n pegas das quais se sabe serem r defeituosas Se a ordem de inspecao das pecgas se fizer ao acaso qual a probabilidade de que a peca inspecionada em késimo lugar k r seja a Ultima pega defeituosa contida no lote Solution Selectionando 0 k n objetos de dois tipos r e n r probabilidade de obter 0 x r do primeiro tipo 2 x k PX x A n Particularmente obtendo x r do tipo 1 r nr nr r kr kr n n i Probabilidade de ter x objetos dentre k 1 r nT x k12 Py1X x n 7 De terz r r nr nT r kr1 kr1 DPri Pei X r n n a ee Probabilidade procurada dk Pk Pk1 Primeiramente n n ken k n k1 k1nk1 klnknk41 nk1k Substituindo nessa n porn re k pork r nr kr nr kr nr kr1 nrkr41kr nk1kr LareparrKa 10 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Inserindo em px1 nr nT E24 kr veka ber hon Pel Nn kaLURCdRSSCS nd Juntando nT nT nT tery Hed ak k n k n 7 n nk1 SG Gy r Ja que r 1 r nr nr G74 Goh 1 r 2 th 7 YC Uk L Ok On 1 re fr k pe eepeail w w a Pio 1 2 02000 01000 01000 01000 02000 Pio 16 06000 01000 01000 01000 06000 F101 8 08000 01000 01000 01000 08000 P10 19 0900001000 S 01000 01000 09000 oir eR om rmail wm ow x Pio 22 oo omer 00222 oom 00222 rio 2 6 osas3 orm FP oni 03333 Pio 2 8 0022 01556 01556 01556 06222 Pio 2 9 08000 0178 EE ors 01778 08000 nr fr ke pe peper ow ow FiO 3 3 0008 00087 ip 0008 00083 00085 Pio 3 6 te67 00833 00833 00833 01667 Ho 3 7 e297 01250 e 01250 01250 02017 rio 3 8 04eo7 01750 84 a 01750 01750 04667 Pio 3 907000 02333 02333 02333 07000 Pr irt eR om repeal wm x hoa 6 oor oor sat 00476 00476 0071s rio aps ossss ore 01667 01667 03335 Pio 4 600002667 02667 02667 06000 rir ek pe peper ow rio S 6 0023s 00198 585 a5 00198 00198 00238 Pio fs 8 02329 01389 01389 01389 02222 Pio fs 9 05000 02778 e 02778 02778 05000 Larepat Ka 11 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 Dr Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás oleufgbr httpwwwolesmithcombr n r k pk pk pk1 qk qk Σqk 10 6 6 00048 00048 6 1260 1 210 00048 00048 00048 10 6 7 00333 00286 24 840 1 35 00286 00286 00333 10 6 8 01333 01000 36 360 1 10 01000 01000 01333 10 6 9 04000 02667 24 90 4 15 02667 02667 04000 10 6 10 10000 06000 6 10 3 5 06000 06000 10000 n r k pk pk pk1 qk qk Σqk 10 7 7 00083 00083 7 840 1 120 00083 00083 00083 10 7 8 00667 00583 21 360 7 120 00583 00583 00667 10 7 9 03000 02333 21 90 7 30 02333 02333 03000 10 7 10 10000 07000 7 10 7 10 07000 07000 10000 n r k pk pk pk1 qk qk Σqk 10 8 8 00222 00222 8 360 1 45 00222 00222 00222 10 8 9 02000 01778 16 90 8 45 01778 01778 02000 10 8 10 10000 08000 8 10 4 5 08000 08000 10000 n r k pk pk pk1 qk qk Σqk 10 9 9 01000 01000 9 90 1 10 01000 01000 01000 10 9 10 10000 09000 9 10 9 10 09000 09000 10000 n r k pk pk pk1 qk qk Σqk 10 10 10 10000 10000 10 10 1 1 10000 10000 10000 usr bin python import sys re math C a l c u l a t e F a c t o r i a l def F a c t o r i a l n p1 f o r i in range 1 n 1 p i r e t u r n p F a c t o r i z e a number def F a c t o r i z e n f a c t o r s value n f o r i in range 2 n 1 while valuei 0 f a c t o r s append i value value i i f len f a c t o r s 0 f a c t o r s 1 r e t u r n f a c t o r s Remove f a c t o r once from f a c t o r s i f p r e s e n t def RemoveOne f a c t o r f a c t o r s found False r f a c t o r s f o r i in range len f a c t o r s i f f a c t o r s i f a c t o r r f a c t o r s append f a c t o r s i e l s e i f found r f a c t o r s append f a c t o r s i e l s e foundTrue i f len r f a c t o r s 0 r f a c t o r s 1 r e t u r n r f a c t o r s Multiply f a c t o r s in l s t def Multiply l s t value 1 f o r element in l s t value value element r e t u r n value Cancel f a c t o r s in p q def Cancel PQ p q f a c t o r s p F a c t o r i z e p f a c t o r s q F a c t o r i z e q µατϵµατικα Made in LATEX 10 de agosto de 2023 12 Dr Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás oleufgbr httpwwwolesmithcombr f o r f a c t o r in f a c t o r s q i f f a c t o r in f a c t o r s p f a c t o r s p RemoveOne f a c t o r f a c t o r s p f a c t o r s q RemoveOne f a c t o r f a c t o r s q r e t u r n Multiply f a c t o r s p Multiply f a c t o r s q C a l c u l a t e Binomial def Binomial n p binom1 f o r i in range np1 n 1 binombinom i f o r i in range 1 p 1 binombinom i r e t u r n binom Hypergeometric p r o b a b i l i t y def P n r k x r e t u r n 10 Binomial r x Binomial nr kx Binomial n k C a l c u l a t e pk as P n r k x r def p n r k i f k r r e t u r n 00 r e t u r n P n r k r O r i g i n a l calc simple d i f e r e n c e def q 1 n r k i f k 0 r e t u r n 0 r e t u r n p n r kp n r k1 Counter def cq n r k r e t u r n r Binomial nr kr Denominator def dq n r k r e t u r n k Binomial n k C a l c u l a t e qk def q n r k i f k 0 r e t u r n 0 r e t u r n 10 cq n r k dq n r k def Latex Frac p q i f i s i n s t a n c e p l i s t p Multiply p i f i s i n s t a n c e q l i s t q Multiply p r e t u r n f r a c s t r p s t r q Book Formula c o r r e c t e d def qq n r k r e s 10 Binomial r r 1 Binomial nr kr r e s r e s Binomial n k1 r e s r e s nk 1 r e t u r n r e s n10 r 3 sep r r r r r r r r r t i t l e s n r k pk r qk s k Sigma qk top begin c e n t e r begin t a b u l a r j o i n c c c c c c c c c c h l i n e j o i n µατϵµατικα Made in LATEX 10 de agosto de 2023 13 Dr Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás oleufgbr httpwwwolesmithcombr n r k pk pkpk1 qk qk Sigma qk h l i n e h l i n e bottom end t a b u l a r end c e n t e r n n vspace 025cm n n l a t e x f o r r in range 1 n 1 prob 00 t e x t s t e x t s t e x t s top f o r k in range r n 1 ccq n r k ddq n r k cc ddCancel PQ c d value 10 cc dd probq n r k dpp n r kp n r k1 t e x t s append j o i n s t r n s t r r s t r k 4 f p n r k 4 f dp Latex Frac c d Latex Frac cc dd 4 f value 4 f q n r k 4 f prob t e x t s append t e x t s append h l i n e t e x t s t e x t s bottom l a t e x l a t e x t e x t s p r i n t n j o i n l a t e x n µατϵµατικα Made in LATEX 10 de agosto de 2023 14 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 3 Probabilidade Condicionada e Independéncia Probabilidade de B condicionada A e vicesersa PANB PBA PANB PA PANB PAB PANB PB Segue PANB PBAPA PABPB Os eventos A e B sao ditos independentes se PANB PAPB Particao evento B B do universo U b UX By U c PB 0 Vale A ANBUAN Bo UUAN By Para i 7 ANB AANB 0 Ou seja PA PAN Bi PAN By PAN By PAB1PB1 PAB2PBa PABrPBe Formula de Bayes PA k S PABPB5 jl 31 Problemas 31 A urna contém z bolas brancas e y bolas vermelhas A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas vermelhas Uma bola é escolhida ao acaso da urna e posta na urna 2 A seguir uma bola é escvolhida da urna 2 Qual sera a probabilidade de que esta bola seja branca Solution Probabilidade de pegar um branco da primeira urna xx y Jogando esse na 2a urna probabilidade de pegar um brance dessa seria z 1z vu 1 Similarmente probabilidade de ndo pegar um branco da primeira urna yx y Jogando na 2a urna probabilidade de pegar um brance dessa seria zz v 1 Somando z1 4 z z1tyz Paty ztut1l aty ztv41 xyzv41 32 Duas valvulas defeituosas se mistram com duas vavulos perfeitas As valvulas sao ensaiadas uma a uma até que ambas defeituosas sejam encontradas a Qual sera a probabilidade de que a ultima valvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio b Qual sera a probabilidade de que a Ultima valvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio c Qual sera a probabilidade de que a ultima valvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio d Some os ntimeros obtidos em A B e C acima O resultado é surpreendente Solution Primeiro de forma direta a Primeiro de forma direta i il Po 236 b Defeituosa a 1a e 3a ou a 2a e 3a ee Pe4327432 6 B c Nao defeituosa a la e 4a 2a e 4a ou 3a e 4a 1 2 1 1 3 2224 22 P8539 2 LareparrKa 15 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr d Exhaustiva 3 3 1 A 2a defeituosa é encontrada ou na 2a ou na 3a ou na 4a posicao Usando distribuigao hipergeométrica r 2n 4 2 2 x k PyX x A 4 i Probabilidade da 2a defeituosa no lugar k 2 lee k a 2 g 2 1 Pa P27 6 2 b 2 ga24 1 DSB 34 34 3 3 c 2 2241 Pe BTV 2 4 33 Uma caixa contém 4 valvulas defeituosas e 6 perfeitas Duas valvulas sao extraidos Uma delas é ensaiada e se verifica perfeita Qual a probabilidade de que a segunda também seja perfeita Solution 61 5 Direto 101 9 A 1a valvula perfeita B 2a valvula perfeita PANB PAB AB op 34 No problema anterior as valvulas so verificadas extraindose uma valvula ao acaso ensiandoa e repetindose o procedimento até que todas as 4 valvulas defeituosas sejam encontradas Qual a probabilidade de que a quarta valvula seja encontrada a No quinto ensaio b No décimo ensaio Solution r 4 defeituosas e r n 6 perfeitas escolher k Probabilidade de que a ultima das r defeituosas seja encontrada apés k 4 ensaios 6 4 kA4 dk ke 7i0 k a 6 g487Y 64 8 gH PoP 5 f0 5 109876 10987 1097 597 537 105 5 b 6 4 104 2 Pb io 10 10 5 10 LareparrKa 16 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 35 Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual as 06 enquanto a probabilidade da ocorréncia de A for igual as 04 determine a probabilidade da ocorréncia B Solution PAUB 06 PA 04 Independentes PAN B PAPB E PAUB PAPBPANB PANB PA PB PAUB PB 02 Entao 1 04PB PB02 O06PB02 PB 3 36 Vinte pegas 12 das quais s4o defeituaosas e 8 perfeitas s4o inspecionadas uma apos a outra Se essas pecas forem extraidos ao acaso qual sera a probabilidade de que a As duas primeiras pecas sejam defeituosas b As duas primeiras pecgas sejam perfeitas c Das duas primeiras inspecionadas uma seja perfeita e outra seja defeituosa Solution a 2 38 Po 2019 95 b 7 Pr 20 19 95 c 2 8 8 By 128 48 Pe 3019 3019 2019 95 37 Suponhamos que temos duas urnas e 2 cada uma com duas gavetas A urna contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta Uma urna é escolhida ao acaso a seguir uma das gavetas é aberta ao acaso Verificase que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2 Solution Direto 2 de trés moeda de ouro é da urna 2 probabilidade 3 Com probabilidades condicionais 1 P1 P2 3 3 1 1 P PP P O5 PPF PRNO5 Assim 1 P2NO 3 2 P2QO 3 5 210 P2 3 3 38 Um saco contém trés moedas uma das quais foi cunhado com duas caras enquanto as duas moedas outras moedas sao normais e nao viciadas Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes em sequencia Se sair cara toda vez qual sera a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras Solution Evento A moeda cunhada viciada 1 PA 45 Evento B 4 caras seguidas 24 PB 8 3 Se cunhada PBA 1 Probabilidade de A dado que B aconteceu 4 PANB PB 3 24 16 PAB PBA 1384 2 AB PA BI PA 3 3327 Larepat Ka 17 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 Dr Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás oleufgbr httpwwwolesmithcombr 39 Em uma fábrica de parafusos as áquinas A B e C produzem 25 35 e 40 do total produzido respectivamente Da produção de cada máquina 5 4 e 2 respectivamente são parafusos defeituosos Escolhese ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A Da B Da C Solution PA 25 100 PB 35 100 PC 40 100 PDA 5 100 PDB 4 100 PDC 2 100 Bayes PAD PDAPA PDAPA PDBPB PDCPC 5 100 25 100 5 100 25 100 4 100 35 100 2 100 40 100 Calculamos PDAPA PDBPB PDCPC 5 100 25 100 4 100 35 100 2 100 40 100 125 140 80 1002 345 1002 Assim PAD 5 25 345 25 69 Similarmente PBD 35 4 345 28 69 E PCD 40 2 345 16 69 310 Sejam A e B dois eventos associados a um experimento Suponha que PA 04 enquanto PAB 07 Seja PB p a Para qual valor de p A e B serão mutuamente excludentes b Para qual valor de p A e B serão independentes Solution PA B PA PB PA B a A e B mutualmente excludentes PA B 0 Inserindo 07 04 p p 03 b Independentes PA B PAPB 04p Isto é 07 04 p 04p 06p 03 p 1 2 311 Três componentes C1 C2 e C3 de um mecanismo são postos em série em linha reta Suponha que esses componentes sejam disposos em ordem aleatória Seja R o evento C2 está a direita de C1 e seja S o evento C3 está a direita de C1 Os eventos R e S são independentes Por quê Solution Temos 6 permutações dos números 1 2 e 3 123 132 213 231 312 321 2 está após de 1 em 3 destes PR 3 6 1 2 3 está após de 1 também em 3 destes PS 3 6 1 2 2 e 3 está após de 1 em 2 destes PR S 2 6 1 3 PRPS 1 4 Ou seja R e s são dependentes 312 Um dado é lançado e independentemente uma carta é extraida de um baralho completo 52 cartas Qual será a probabilidade de que a O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho b O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho Solution µατϵµατικα Made in LATEX 10 de agosto de 2023 18 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Evento A dado mostre numero par 1 PA 45 Evento B carta de naipe vermelho 1 PB B 5 Ae B sao independentes 11 it 2 PA PB Pa PA PB 5 5 5 b PA PB PAnB14113 poe 9R 454 314 Um dado é atrirado n vezes Qual é a probabilidade de que 6 aparega ao menos uma vez em n jogadas Solution Probabilidade de nenhum 6 5 n 6 Probabilidade de pelo menos um 6 5 n lq1 p1q12 315 Cada uma de duas pessoas joga trés moedas equilibradas Qaul é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo numero de caras Solution X ax 0123 ntiimero de caras Distribuigao binomial 3 1 1 PX 0 5 s o 9 2 5 31 3 PX 1 5 s wn 2 3 1 3 PX 2 w22 2 5 3 1 1 PX 3 5 s w93 2 5 Notase 3 S PX 21 20 Duas pessoas jogando 3 moedas eventos independentes 3 2 2 2 2 1 3 3 1 194941 20 5 PX Y PX 2PX 2r 2 2 ftereti ie 2 d X 2 PX 2 5 3 3 5 64 64 16 316 Jogamse dois dados Desde que as faces mostrem numeros diferentes qual é a probabilidade de que uma face seja 4 Solution x1 2 mimeros de cadas dado total de 36 possibilidades 30 5 P w v1 22 36 6 1 Px1 4 Px2 4 6 Px 4V 22 4 Px 4 Px 4 Px 4A22 4 1 1 1 11 Pa 4 Pav2 4 Pa 4Pav2 454555 a1 4 Pa2 4 Pt 4Pw2 4 6 35 3g Probabilidade procurado Pa1 4V 22 4AAni F 2 Px1 4Ax 2 V x2 4Ax 2 Pa 4 4 Wwe ee ee ee Ne ee ee eee eee 1 V 2 Ia v2 Px x x2 Px x x2 Px1 4Ax1 x2 Pxe 4Ax1 x2 Px 4Ax1 x2 x2 4 aee2 0 1 Px x x2 3 3 O resultado também se verifica fazendo a contagem LareparrKa 19 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 12 13 14 415 16 1 21 23 24 25 26 1 31 32 34 35 36 1 41 42 43 45 46 5 51 52 53 54 56 1 61 62 63 64 65 1 10 317 Sabese que na fabricaao de certo artigo defeitos de um tipo ocorre com probabilidade p 01 e defeitos de outro tipo ocorre com probabilidade p2 005 Qual seria a probabilidade de que a Um artigo nao tenha ambos os tipos de defeitos b Um artigo defeituosa c Um artigo tenha apenas um tipo de defeito sabido que é defeituosa Solution Eventos A defeito 1 Ag defeito 2 D A U Aa defeituoso a pa 1 PA1PA2 1 pipe 0995 b pp PD PA1 U A2 pi po pip2 0145 c PAiND PA2ND PAD PA2D pe PAsD PAID So Soy Temos AND A A U Ag A N Ai U Ai M Ag Aj M As 1 pipe2 Similarmente 7 AoA D A2N Ai 1pepi b PAiN D PA2N D 1 pip2 1 p2pr 99005 09501 014 0965517241 PD pi pz pipe 0145 0145 318 Verifique que o numero de condig6es impostas pela Eq 38 é dado por 2 n 1 A equacio para k 23 0 PAi N PAig NN PAi PAi PAigPAi Solution Para n 2 2 21 1 condicio PA M A2 PA1PA2 Para n 3 2 3 1 4 condicées PA MN Aen A3 PA PA2PA3 PA M Ag PA1PAo2 PA2 1M As PA2PAs PA31M A1 PA3PA1 Passando para o caso geral involvendo n conjuntos teremos 1 involvendo n conjuntos PA NA2NnA An PA1PA2PAn Involvendo k n 1 conjuntos teremos ncondicg6es PAi NAN Ai 1 PAi PAizPAi Involvendo k n 2 conjuntos teremos condicg6es etc Isto continua até k 2 EG G2 Gorn se P n n 319 Demostre que se A e B forem eventos independenetes também 0 serio Ae B Ae Be Ae B Solution Ae B independentes PAN B PAPB ANBBANMB PAN B PB PANB PB PAPB PB1 PA PAPB E similarmente para PA M B Mais ANBAUB PAN B 1 PAUB 1PA PB PANB 1 PA1 PB PAPB LareparrKa 20 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 320 Na figura 311 a e b suponha que a probabilidade de que cada relé estaja fechada é p e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro Em cada caso determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R Solution a a Ai M A2U At As U Ad M As M A3 U Ae M As M Aa F UEUE3U Es eCnr ee SS eoOSrmmOO so OS Ey E2 E3 E4 Define conjuntos onde os 7s s4o0 mutualmente distintos Bi igjip At N Aig Nw NA Com probabilidades k P Bry ia p Por ex fy Bi2 Eo B34 E3 Bi35 Es Boas Probabilidades PE1 PE2p PB3 PE1 p Temos que escrever 0 Eq 17 no caso de 4 conjuntos PE PE U 2 U E3 U Es PE PE2 PEs PEs PE3 M E4 PE M E4 PE M7 Es PE M7 E4 PE E3 PE M7 E2 P20 39 Es PE 9 E39 Es PE E29 Es PE 9 E29 Es PFy Ee 1 E32 Es PB12 PBs4 PB135 PBo45 PB135 M Boa5 P B34 Bo45 PB349 Bi35 PBi2 9 Boas PBi2 9 Bi35 PBi2 N Bs PB347 Bi35 9 Boas PBi29 Bi35 A Be45 P B12 9 B34 Boa5 PB12 9 B34M Bi35 PB120 Bas Bi35 9 Boa5 PB12 PBs4 PB135 PBo45 PB12345 PBo345 PB1345 PBi245 PB1235 PB1234 PBi2345 PBi2345 PB12345 PBi2345 PB12345 2p 2p p 5p 4p p 2p 2p 5p 2p b E EU E2 Ey Ai U A3N Ao Bi2U B23 PE1 PBi2 PB23 PBi23 2p p Ey Aq U As 1 Ao Aa U Bs 6 PE2 PAa PAs NM Ae PAa As M Ae pp p E e E2 sio independentes PE1NE2 PB12UB23PAaUBs6 2ppppp 2p2p2ppp p 2pp3p p Entao PE U Es PE PE2 PE E2 2p p pp p 2p p 3p p p 3p 4p p 3p p 321 Duas maquinas A e B sendo operadas independentemente podem ter alguns desarranjos cada dia A Tabela abaixo da a distri buigao das probabilidades dos desarranjos para cada maquina Calcule as seguintes probabilidades a Ae B tenham o mesmo ntimero de desarranjos b O ntimero total de desarranjos seja menor do que k 4 menor do que k 5 c A tenha mais desarranjos que B d B tenha duas vezes mais desarranjos que A e B tenha 4 desarranjos quando se saiba que B ja tenha tido 2 desarranjos f O ntimero minimo de desarranjos das duas maquinas seja 3 seja menor do que 3 g O ntimero maximo de desarranjos das maquinas seja 3 seja maior do que 3 Larepat Ka 21 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e3 Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 0 1 2 3 4 5 6 0102 03 02009 007 004 0301 01 O01 01 015 015 Solution Desenhamos k k Ac Dla Be YJbi 10 10 kyo yi 2 3 ese ak 01 02 03 02 009 007 004 be 03 01 01 01 01 015 015 k Ar oa 01 03 06 08 089 096 10 10 k Be dob 03 04 05 06 07 085 10 10 Ax br 003 003 006 008 0089 0144 015 an Br 003 008 015 012 0063 00595 004 arbr 003 002 003 002 0009 00105 0006 k So arbi 003 005 008 01 0109 01195 01255 10 0047 0027 0006 Min k 037 058 08 092 0967 0994 Max k 003 009 018 018 0143 0193 0184 0623 0816 0377 0184 00 0377 0184 feo 3 4 5 6o 0 00 oor oor oor oor 001s 0015 FT 006 002 002 002 002 003 003 2 009 003 003 003 003 0045 0045 3 006 002 002 002 002 003 003 0027 0009 0009 0009 0009 00135 00135 0021 0007 0007 0007 0007 00105 00105 6 0012 0004 0004 0004 0004 0006 0006 Pot eS to PABk 0107 0115 0123 0115 0095 00545 0028 00165 0006 PA Bk 0447 0562 0685 08 0895 09495 09775 0994 a Ae B sao independentes 6 6 Pa PAkPBk S andy k0 k0 Pela tabela k 6 pa 01255 b Parak 02n minkn py PABk Ss abort lmazx0kn Soma menor do que 4 cf tabela PAB4PAB 3 034 Soma menor do que 5 cf tabela PAB5PAB 4 0447 Verificamos PAB121 c n1 n PBAS YS ah 04575 k0 lk1 n1 n PABS S aby 0417 k0 lk1 Repare que a soma dos dois mais a resposta do item a é 1 d 3 PA kPB 2k 008 k0 PB4AB2 PB4 01 01 1 4AB PB 4B 2 So B 2 2 PB 2 PB2 10103 06 6 Larepat Ka 22 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr f Minimo de Ae B igual a k 01 6 Considere os eventos Ly AkABk My AKABk NrBkAAk Estes eventos séo mutualmente exclusivos Ly M MN NaN Li O Minimo de Ae B igual ak 016 a uniao destes 3 n k k PMz ak S be ar 1 Som Bo Be be lk1 10 i0 n k k PNz br S ak br a bk 1 Ar Ax ax 1k1 10 10 Somando PMinA B k arbre ar1 Br be1 Ak Para k 3 veja tabela acima PMinA B 3 012 Probabilidade acumulada k k PMinA B k S PMinA B 1 S abi ax1 By b1 Ai 10 10 Para k 3 veja tabela acima PMinA B 3 092 g MazA B 3 Eventos disjuntos Ly AkABk M AKABk Ny BkAAk PLx Arbr k1 PMz ak So bx ar Br arbr 10 k1 10 Somando PMazA B k arbre arBr arbre bp Ax arbr arBr bp Ar arbre Pela tabela k 3 PMazA B 3 018 PMazA B 3 048 LareparrKa 23 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 4 Variaveis Aleat6rias Unidimensionais Varidvel Aleatéria Discreta com valores k 1 2 Funao de Frequéncia FDP pi PX i 0 Sop 1 i1 Varidvel Aleatoria Discreta Fungao de Distribuigao FD PPX iS op jl Distribuigio Binomial X Bn p n n px n f oka p Distribuigéo Hipergeométrica X Hnrk 5 20 PX2 x 4a4 Po a 25 4 Varidvel Aleatéria Continua com valores x IR Funcao de Frequéncia FDP fx 0V2 fa dx 1 Varidvel Aleatéria Continua Funcdo de Distribuiao FD Fa fat feP0 F crescente b Pas X0 f fdtFO Fla Distribuigao Uniforme 1 fz ba a x b Fx aab ba Distribuigéo Exponencial b 0 fa be a 0 Fx 1e x0 41 Problemas 41 Sabese que uma determinada moeda apresenta cara trés vezes mais frequentemente que coroa Essa moeda é jogada 3 vezes Seja x o numero de caras que aparece Estabelega a distribuigéo de probabilidade de x e também a FD Faca um grafico de ambas Solution X Bnp B3 3 1 3 nk 3 3 marocane rawa2 3 l nl Py PX k 2 7 a k0 1 3 a po Po 1p 64 k1 3p1 page 9 P 3p1 p 1 p 8p 1 p1p Qp YO 20 pi op P 96a 6a 1 vp Pp P ep P P 4p P 64 k 3 hehe pp 2 PaP o P31 k2 5 3n21 p 321 28 p 7 3 p 3p lp3i5 9 Gg Pa loP 1G Verificamos 149427497 po pi p2 ps 1 64 Larepat Ka 24 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 42 De um lote de 25 pecas das quais 5 sao defeituosas sao escolhidas 4 ao acaso Seja X o numero de defeituosas encontradas Estabelega a distribuigao de probabilidade quanto a As pegas sao escolhidas com reposicAo b As pegas sao escolhidas sem reposigao Solution a Com reposigao Distribuigao binomial X B4 k 01 23 4 A 44k m PX f Se k0 4 4 256 P12 POSE 625 k1 3 4 256 256 512 4 Ph 2 Pus BE 625 625 625 k2 4 616 96 pp 512 96 608 po 54 625 625 7 625 625 k3 4 16 4 608 16 624 42 Ppa42 2087 Pa 5i 625 BE DSSSCDH Ka 14 62441 Pas 5t 625 6B b Sem reposigao Distribuicfo hipergeométrica X Hnrk H2554 k 01 23 4 5 20 PX x 42 a r p 25 4 x0 5 20 20 pPp 0 4 4 4845 poms 735 25 12650 4 4 c 5 20 20 5 1 3 3 5700 4845 5700 10545 p OF SE Py 25 25 12650 12650 12650 4 4 x2 2 2 27 1900 Rea 10545 1900 12445 pes 25 12650 7 12650 12650 4 x3 5 20 5 20 3 1 3 2010 200 12445 200 12645 p3 OF OE FE PR 25 25 12650 12650 12650 12650 4 4 cA 5 20 4 0 5 5 12445 200 1264545 pa OS Oa ieiaiéw SS ee EF 1 25 25 12650 12650 12650 4 4 43 Suponha que a varidel aleat6ria X tenha valores possiveis 12 e PX j 12 a Calcule PX par b Calcule PX 5 c Calcule PX divisivel por 3 Solution Primeiro 00 00 00 a Ss 1 1a 4 Sia Se Se a tng Sd lq lq lq lq Com q 4 Shea i ja I LareparrKa 25 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr a o0o 00 1 25 00 1 j 1 1 po PX par PX 29 9 5 4 3 jl jl j1 4 00 00 74 25 20 742t1 4 2 p PX impat Sorex 2i 9 5 U 5 arya G j0 jl j0 4 E po pi 1 b 00 1 k1 1 PX2h 51Lig jak jl Temos k k1 k1 k fe fe wees Lee j0 4 jl 4 Ou seja q PX k xeh 7 3 1 PX 5 324 X 2 5 1 3 16 Verificando ws 1 1 1 1 1 1 168421 1 PX 5S 2 1S0 1 55 X 25 2 Ly 2 4 8 16 16 16 c 1 i 1 po PX divisivel por 3 Px 3j yaa i 717 j1 jl jl 8 ws co A111 4 pi PX deixa resto 1 de divisao por 3 S PX 3j741 S gH 5 S 310177 j0 j0 j0 8 ws wo 11 11 2 p2 PX deixa resto 2 de divisao por 3 S PX 3742 S pe S w 410177 j0 j0 j0 8 Verificamos po pi po iii 1 44 Considere uma varidvel aleatoria X com resultados possiveis 0 1 Suponha que PX j 1 aa a Para que valores de a 0 modelo tem sentido b Verifique que essa expressAo reprsenta uma legitima distribuigado de probabilidade c Mostre que para dois inteiros positivos s e t PX stX s PX t Solution a aER b Normalizagao 00 1 J Du aja 1a 1 jg0 Ou seja faz sentido para todo a R c k 1att t1 PX 11 11a X t 11aSoa 11a a 4 k0 PX tsatst PX s4tXs PX sttAXs PXst alt PX s PX s asth PX t PX t PX t 1aja a 47 Calcule PX 5 em que X é a varidvel aleatéria definida no Ex 410 Suponha que ni 10 no 15 P 03e po 02 Solution LareparrKa 26 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr XYiY2i Bn1pi e Y2 Bn2 po minknz n n 1 Tr nyT 2 kr ngokr PXk DO pia py 7 0 1 po rmazx0kn2 Inserindo os parametros mink10 r 10r kregl5kr 10 3 7 15 28 PX k r oI 1015 rmaz0k15 mink10 1 r l0r okr giskr 10 15 1025 s s7 2 8 lr kr rmazx0k15 Para k 5 py 1 Sor pl0r 95r gi55r 10 15 PIX 5 op 237 278 Oy 52 Le r pl0r 55r glor 10 15 ro 3 SN Asn me 82 nas 10 15 1025 7 2 r 5r mat 12 10 15 10 7 r5r 48 Propriedades das Probabilidades Binomiais Na explanacao do Ex 48 um padrao geral para as propriedades binomiais pe 1 p foi sugerido Vamos denotar essas probabilidades por pn k a Mostre que para0 k n temos Poklnk pp pnk kl 1p 1p b Empregando a mostre que i pnk 1 pnk sek np 1 p ii Pnk 1 pnk sek np 1 p iii Pnk1 pnk sek p1p c Mostre que se np 1 p for um inteiro pnk toma seu valor méximo para dois valores de k a saber ko np 1 pe ko np1p1 d Mostre que se np 1 p nao for um inteiro ento pp k toma seu valor méximo quando k for igual ao menor inteiro maior do que ko Solution a kn fn k74 k n k17 k1 Pnk 7 1p pnlk 1 02 1p Bimomiais n n n n nkin k knk k1 k1nk1 k1k Segunda parte Pea pyr OP SB op p E a formula segue b nk KS ke gk 1 SS lp nkpk11p npkpkkp1p npk1lp k np1p Isso estabelece o resultado ii Agora basta deducir que q 6 decrescente em k Temos nk1 c nk c nk th EI1 k11 kl c Se ko np 1 p for inteiro pnko 1 pnk pelo ii Pelo i e iii concluimos que este valor é superior aos restantes Larepat Ka 27 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr d Considere g como uma fungao de k x k nfo inteiro nx 1 111n2z n1 eeeeeeree eC OF TF 0 de fx r fz x 1 x 1 Ou seja fa é decrescente em todo 0 intervalo 0 n 49 A varidvel aleatéria continua tem para FDP fx x20 a 2 Sdo feitas duas determinagées independentes de x Qual sera a probabilidade de que ambas essas determinacGes seréo majores do que 1 Se trés determinacG6es independentes forem feitas qual a probabilidade de que duas delas sejam maiores do que 1 Solution 1 fx 52 Oax2 Verificamos 5 5 1 192 1 dx xdx 401 fx dx 5 1 7 1 Jo 1 pxi sear f dear w ten3 PX 11Pxs1 dk J 2 4 14 4 an 4 9 PX 1A X21 PX 1PX2 1 16 Probabilidade de 2 em 3 serem maior do que um 39 1492 PY a 164 64 64 410 Seja X a duracao da vida de uma valvula eletrénica e admitese que X possa ser representada por uma variavel aleatéria continua com FDP fx ce x 0 Sejap Pj X j 1 Verifique que p é da forma 1 aa e determine a Solution Primeiro roe bx ba too ba teoa be dx e 1 lime 1 R 0 0 x00 gtr be I1 bj bj1 bj b p PGSXi1f be dx e e 6 XGTY 6 1 e 1 aa j j onde a e 411 A varidvel aleatoria continua X tem FDP fx 327 1 x 0 Se b for um ntimero que satisfaga 1 b 0 calcule PX dX b2 Solution Primeiro 0 re dz 3x7 da 2 0l11 R 1 Calculando 0 PX b 327 dx 2 b 0 b E b2 3 b PX b2 32 dx x ne 10 1p 1 E b2 3 PX bAX b2 Pb X b2 3x dx x p i b Inserindo 73 PX bAX b2 gb 7b PX 0X b2 S a 8 X BX b2 PX b2 By BTS 412 Suponha que f e g sejam FDP do mesmo intervalo a x b a Verifique que f g nado é uma FDP nesse intervalo b Verifique que para todo nimero 60 6 1 Bfx 1 Bgx é uma FDP Solution a Temos b b fx dx gx dx 1 Entao b b b ee 9 ae f foae gede141241 LareparrKa 28 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr b b b b J i 0 B de6 fade 8 f gade8 418 1 413 Suponha que o grafico na Figure abaixo represente a FDP de uma variavel aleatéria X a Qual sera a relacAo entre a e b b Se a 0e b O que se pode dizer do maior valor b pode tomar Veja a figura fF Garey AA x ra a2b Solution Pela geometria da figura a b fx 0 parax ae x b Reta entre a 0 e a b yarB va 0aatB Baa La A baa6B baataa2aa 8S a B 2a 2 Isto é b b b y att 5 5 9 aaa Reta passando por a b e b 0 yyeo crb 07b6 67b La byat6yayo7ab po 7 yayouy Y 7b T6b Inserindo 5 b b b b axrb ye Gb ab ab ases Juntando Za aaKa fx b axab 0 elsewise a A area abaixo do y fa é A 5bba 1 6 ab20 Ss Wab20 Isolando a ba 2 eS a 2 b 6b b Alternativamente por integracao 6b b Ai xle a sradtab E 0 b b 1 b 2 1 A t b dt t dt a b bb ao al Dab 5 OC a Verificamos A A Ao A bob 8 a 2b 28 bbe ab 2bb 212 bA1 Com o valor de a a FDP é 2 bae 20 DE eb fe4 1d 2bab 0 elsewise LareparrKa 29 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr b Impondo a 0 obtemos 2 b 0 ou seja Ob V2 bmanz Para b V2 2 Oo J2 0 V2 Ou seja a FDP degenera a fungao 0 xz0 a fx 12 4 V2 0a2V2 J22 Ov2 0 elsewise 0 elsewise 414 A percentagem de alcool 100 X em certo composto pode ser considerada uma variavel aleatoria na qual X0 X 1 tema seguinte FDP fx 20a 12 O a 1 a Estabelece a expressio da FD Fx e esboce seu grafico b Calculo PX 2 c Suponha que o prego de venda desse composto dependa do contetido de alcool Especificamente se X 3 0 composto se vende por C délaresgalao caso contrario se vende por C2 délaresgalaéo Se custo for C3 délaresgalao calcule a distribuigao de probabilidade do lucro liquido por galao Solution a Verifique ones 3a 14 ls 54 20x 12 dx 20 2 a dz 20a a 20 1 0 0 4 5 Jo 20 No intervalo x 0 1 Fx 20 t t dt 20 ae ee ee 0 4 5 Jo Assim 0 z0 Fx 5a 42 Oa1 1 xz1 Fa 1 x 1 b 4 1 1 2 2 2 2 2 2 PIxF5 4 53427 va PG 963 4G r Os 8a 415 Seja X uma variavel aleatéria continua com FDP dada por ax Oal a la2 fa axr3a 2a23 0 elsewise a Determine a constante a b Determine a FD Fe esboce o seu grafica c Se X1 X2 e X3 forem trés observacg6es indepenedentes do X qual sera a probabilidade de exatamente um desses trés nimeros ser maior do que 15 Solution y a Sl x 1 2 3 LareparrKa 30 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr a 1 2 3 te av ax de ade aaz 3a dx R 0 1 2 1a x7 afl7a ly 3ax 2 0 1 2 5 1 1 sal 0a21 a59 4332 1 1 1 gatat 5a2a1 SS a5 b Parax 0 Fx Oex 3 Fa 1 ParaO a i Fx at dt ax 0 2 F1 4a Paral x 2 1 1 Fa Fay a dt ga ax 1 ax 3 1 F 2 3a Para2 x 3 3 1 272 x 3 1 2 Fa F2 at3a dt 527 5 t Bat5 527 gue 4 3aa 2 2 a 3 14 a yw 3ara26 gw 3ax 3 F3 3a 9a 3a 2a 1 Juntando 0 x0 sax Oal Fa 4 ax3 la2 iax 3ax 3a 223 1 xr3 0 z0 a O0al1 sa i la2 ta 3x3 223 1 xr3 c pxr3331 2 2 22 4 2 Probabilidade de exatamente 1 em 3 varidveis sejam 3 8 2 23 PE a 2 8 42 Valor Esperado e Varianca Valor esperado ou média de um fungao X de varidvel aleatéria continua com FDP fx BOX f ole Fe ae R Para uma varidvel aleatéria discreta com FDP fa PX 2 EOX S Oa fx N Em particular p Ex f ofte dx BEX of dx R R Varianga p VX EX n ew Fle ae R Mostre VX BX EXp Larepat Ka 31 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 43 Distribuicdes Notaveis Continuas 431 Distribuicao Normal Define 1 2 s e dr 2ER s V2 Demostrar lim4 s 1 Distribuigdéo Normal NV 1 0 1 1 s4 ze 2t12x2ER fa F N 0 1 tem distribuigdo zx Demostrar Nj1 7 tem valor médio ju e varianga 07 432 Distribuicao Exponencial Distribuigao Exponencial com parametro a 0 tem FDP fz ae x 0 distribuigio x Demostrar a fo fa dx 1 b Fa 1ae c EX d EX 3 e VX ae 433 Distribuicéo Gama Ia1r Funcado Gama 00 Ip xte dx p0 0 Demostrar Gamman n 1 paran N Distribuigaéo Gama de parametros a Oer 0 fle payleny te Demostrar EX FeVX 4 434 Distribuicao Distribuigaéo Gama com a er n2122 I sD S Demostrar EX neVX 2n Larepat Ka 32 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 5 Funcoes de Variaveis Aleatorias 51 Problemas 51 Suponha que X seja uniformamente distribuida sobre 1 1 Seja Y 4 X Achar a FDP de Y gy e fazer seu grafico Verifique também que gy é uma FDP adequada Solution FDP do X nao zero somente para 1 x 1 1 1 l 1 Fa Ta1 5 1 Y X X 11 Y 8 4 percorrido no sentido decrescente Yy 4 Xx y xX S4y XV4yVXV4y Assim y 8 4 Gly PY Sy PX V4y PX 2 V4y y 34 PX V4y41PX 4y 14FV4y FV4y 1 1 15 1 V4y 5 1 V49 14y Observe Gy 0 1 Derivando 1 3yc4 IM 5 Jiang 4 A FDP gy é adequada pois gy Oe 4 4 A ao au tetunls f vim a gy Gy J oN 1 3 4 1 3 4 52 Suponha que X seja uniformamente distribuida sobre 1 3 Ache a FDP das seguintes varidveis aleatdrias a Y3X 44 b Z e Verifique também que as FDPs encontradas sao adequadas Solution 1Lla3 x1 1 F 41 2 4 Se0 1 1 M 35 a SelX37Y 13 Yy 3X44y x ts Assim y4 yA4 1ly4 y7 Gly PY yPxFx414 PO yPxsrxs4 4 5 4 Observamos Gy 0 1 para y 7 13 Derivando 1 gy Gy gy adequada pois é positiva e 13 1 gy dy G13 G7 g 13 1 7 vb Sel X3eZeA fung4o exponencial é crescente Zz en z XX logz Assim e z e 1 Az PZ z PX logz Flogz 3 log z 1 LareparrKa 33 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Derivando no mesmo interval 1 hz Hz 2 H5 hz é adequada pois é positiva e 3 3 1 3 1 hz dz He He 3 log e loge 78 11 Az a z 1 e 3 hz a z 1 e e8 53 Suponha que a varidvel aleatoria continua x tenha FDP fx e x 0 Ache a FDP das seguintes varidveis aleatorias a YX b Y 3X 1 Solution x 0 Fa e dt e le 0 a SeX 0Y X 0 Yy Xy 6 Xy7 Assim 13 Gy P yPXy PY 16 gy ew 1 yt 1 2Beus 3 3 b SCX 0Z7 mp 0 3 Z é decrescente em X 3 23 rE Z X1 X1 Se X 12 XI 25 Vez Assim 0 z 3 3 3 12 Hz PZzPx ee 1PXx a e No mesmo intervalo hz e 3 vi K V3 uivt a Zz QzeVJz 54 Suponha que a variavel aleatéria discreta x tome os valores 1 2 e 3 com igual probabilidade Ache a distribuigéo de Y 2X 3 Solution PX 1 PX 2 PX 35 YQ 5 Y27 Y39 Assim 1 PY 5PY7PY9 3 55 Suponha que X seja uniformamente distribuida sobro o intervalo 0 1 Ache a FDP das seguintes varidveis aleatorias a Y X741 b Y 1X 1 Solution Larepat Ka 34 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Oal f1 Flax a SSOX11YX7412 X41iy Xy1 8 XVWyl ly2 Gy PY yPXvVylaVy1 1 Gy gy M5 Wyant b Z édecrescente0 X 1 3 Z1X 1 1 Zz oS x4ii xt4 X1 z z 1 1 1 1 Zz z z Zz hz Hz bz1 72 2 56 Suponha que X seja uniformamente distribuida sobre 1 1 Ache a FDP das seguintes varidveis aleatérias a Y sinX b ZcosX c W X Solution lal 1 1 f F5e1 a Se1 X 1 temos 1 Y sin X 1 A sin é crescente e bijetora no intervalo Zz sin 5X y ox Aresiny X 2 Aresiny T FD da Y Gy PY yP x 2 Aresiny F x 2 Aresiny T T i 2 Arcsin y 1 1 1 Arcsiny 2ar 2 57 Para a derivada observe que no intervalo em questao ysing Arcsiny a cosx V1sin a 1y Pela teorema de derivada da fungdo inversa de 2 wresiny 1 dy dy Jy Inserindo 1 y 1 1d 1 1 Gly Arcsiny b Se 1 X 1 temos 0 Z cos X 1 A cos é decrescente e ndo bijetora no intervalo Zz cos 7X z Ss ox Arccos z V ox Arccosz 2 2 X Arccosz V X Arccos z T T FD da Z Hz PZzP x 2 Arcoos P x 2 srccos T T 2 2 P x Arcoos 1P x Arcoos T T 2 2 14 F X Arccosz F X Arccosz T T 1 2 1 2 2 1 5 1 Arccos 735 1 Arccos 1 Arccos z Derivada da Arccos y no intervalo 0 1 ycosr Arccosy ou sintV1ly L a Arccos y a dy 1 4 FDP0 z 1 2 hz Hz H a LareparrKa 35 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr c W X 0 1 Ww Ss Xw wxw FD 1 1 Iw PW w Pw X w Fw Fw gw t gw 1 w FDP iw Iw 1 57 Suponha que o raio de uma esfera seja um varidvel aleatéria comntinua Em virtude de imprecisdes do processo de fabricagao os raios das diferentes esferas podem ser diferentes Suponha que o raio R tenha FDP fr 6r110 r 1 Ache a FDP do volume V e da area superficial S da esfera Solution Antes de mais nada Fr PRr 6t1 t dt 6 30 ta 3r 2r 0 2 3 Jo Verificamos F1321 a Volume distribuigéo G resp g VR i 0 5 13 Vv Ar y eo rs ay 3 An FD do volume v 0 Sr 3 13 3 13 Gv PV vPr 4 F Z 3 13 2 3 13 3 3 23 3 3 ze 2 Ze 3 a On Verificamos 23 4 34 34 7 ss 273121Vv c Fr su 32 7 an 378 Derivando obtemos a FDP a gt 3 8 38 38 38 738 b Area distribuicgéo H resp h AR 41 R 0 47 Aa 4tRa 6 R Re Jftvya An V4n 2a FD 1 1 HaPAaPR F PUAsaP Rs seve F x eva 1 1 3 2 aa aa 3 1 32 la a dn dn Jn 7 i23 2 Verificando vi 7 H4n Beh 5 3 V4 1 82 1v 4 Be 7 8 V4 32 Derivando FDP ha Ha 3 3 1 At 2 Ana dn 2V 0 59 A velocidade de uma molécula em um gas uniforme em equilibrio é uma variavel aleatéria V cuja FDP é dada por fv ave v0 na qual b m2kT ek T e m denotam respectivamente a constante de Boltzmann a temperatura absoluta e a massa da molécula a Calcular a constante a em termos de b Sugestdo Considere o fator de que f oe e dr 72 e integre por partes b Estabelece a distribuicao da varidvel aleatéria W imV a qual representa a energia cinética do molécula Solution LareparrKa 36 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Notasecomubv du2bvdv vdv a du bv 1 u 23 pT i bv ve dv D Je aul e bw op Assim oo 2 oo 2 ve dv vve dy 0 0 Ty oemyf 2 0 1 b 1 a2 va v 1e dv e dv e du 2b 0 2b Jo 2b J 2bvVb Jo 4bvb a Pelo calculo anterior Jr 4 a 1 s a bvb Abyb vr Neste caso a distribuicao é fv Saivb wre b W dmv Ww Ss Lav w oS v 2 m 2w 2w au Pew x Pv 8 r m m 1 Z f 2w 1 Qw go Ow ype vant V 1 4 Qw 2w p2 bVvb fw awe pvp Sem 4g YJ em J2mw VT m m yo Larepat Ka 37 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 6 Variaveis Aleatérias de Duas ou Mais Dimensdes X Y varidvel aleatoria discreta bidimensional 1 PX a AY y plvi yj 2 9 ViJ 2 SoS paiyj 1 tj X Y varidvel aleatéria continua bidimensional 1 fey 20 Vay a ff ten1 FD y Fvy PX 2 AY y ft s dtds FDP marginais discretas piPX 2 So plaiy a PY vlaiys j Hi Continuas px ic y dy ay fxy dx y x FDP condicionais discretas qys Pyi onde qy 0 resp px 0 Continuas fxy fzy gzly hy2 BY Hy MO ay Varidveis independentes Continuas px y pxay Discretas PX 2PY y PX 2 PY Covarianga CovXY EXY EXEY Coeficiente de correlagao EXY BXEY xy BAY BOE VVXVY XY independentes se e somente se CovXY 0 Y aX b see somente se pX Y 1 FuncgGes de variaveis aletérias XY com FDP fz y uUXYAvVXY cXUVAyYUV Com Jacobiante om a Oxy Se o 100 Gaol FDP de UV guv Ju v fy LareparrKa 38 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 61 Problemas 61 Suponha que a tabela seguinte represente a distribuigo de probabilidade conjunta da variavel aleatéria discreta XY Calcule as distribuigdes marginais e as condicionadas Dis Yi ot fale 2 ols eg Solution Probabilidades marginais Ps 2 3 os Yi Pot Pe POT ee eee ee Ps pei Pis as oe a Condicionais probabilidade de X dado Y Pel pot S as OT 2 O a Te Ps Es Condicionais probabilidade de Y dado X Pyilei 1 2 3 dX pot te tf Ot Po fT Of ge Tt 38 fl 1 62 Suponha que a varidvel aleatoria bidimensional X Y tenha a FDP conjunta fay kaay0a2rye a Calcule a constante k b Ache a FDP marginal de X c Ache a FDP marginal de Y y x2 yuu I I cdieg Ls Y Yo 0 x pS oe Y Yo 0 x XO I 1 1 y Solution Primeiro Oa2Aayu yoOAyYa42Viy0Aya2 a 2 x 2 ae 2 2 42 ey dedy fxtyl de2 ode 7 op 8 20 Jya 0 0 Ou seja k z 1 fey 5eey b Para0 x 2 px sl ax y dy xy ao c Para y 0 1 1fl13 ls y dx ia ay 5 xe ydt 5 52 gry 11 3 1 2 18 1 1 3 1135 8 8 4yy 2y y 2 5 5 y 5 4y vy 3 y 5 glegy 2t3 LareparrKa 39 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr E para y 0 1 1f13 lo i y de 2 ay 3 7 ydt 5 Fe 5 7 11 3 1 2 18 1 1 3 15 3 8 8 4yy 2 y 2 5 y 5 dy y 3 v45y glgy ts 63 Suponha que a FDP conjunta da varidvel aleatéria bidimensional X Y seja dada por 1 fay 0 30y 0al10y2 a PX 3 b PY X c PY 3X Solution Primeiro 1 2 1 MP 1 47 st dxdy E y sary dxzdy 0 Jy0 3 0 6 0 1 1 2 2 1 21 Qn 4 dx a 2 1v e 3x ao e ge 3 a 1 Pf F541 T 1 4 PXJ x ay drdy xv y axy dx 2 zt Jy0 3 nai 6 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 27 1 8 7 1 10 5 W724 2 dx ie 7 2f12 Ly a224 522 422225 G8 32 fet Ge 3 3 73 4383 4 24 BD 6 b 1 x 1 1 2 1 9 x pyxjf jeu dedy su fav dx 0 Jy0 3 0 6 0 1 1 G 0 dx 8 dz 0 6 o 6 J feta 2 24 0 24 9 1 1 1 1 PY 53AX 5 PY 5AX5 py dix 2 0 sah sa PU ca tk 2 2 2 PX 3 1 3 3 1 3 1 of G sty dxdy 6xy xy dx o Jo 3 0 1 a 2 1 1 2 1 11 441 5 3a a Ja e de 4 2 Se Se be e 52 T 3 t3a 32 32 64 Suponha que duas cartas sejam retiradas ao acaso de um baralho de cartas SejaX o nimero de azes obtido e seja Y o nimero de damas obtido a Estabelega a distribuigao de probabilidade conjunto de X e Y b Estabelega a distribuigéo marginal de X eade Y c Estabelega a distribuicéo condicionada de X dado Y e ade Y dado X Solution a XY 012com X Y 2 probabilidades simétriticas p pj PX i AY J 44 43 1892 P00 5251 2652 44 A 4 44 4442 2176 352 Por Plo 5251 52 51 5251 2652 22652 4 4 16 PLL 5251 2652 4 3 22 Poo P20 52 51 2652 Verificando 1892 42 352 49 12 4 16 1892 704 2416 2700 2652 2652 2652 2652 2652 2652 oft 2 9 poo por Po Ft pro mia 0 2 po o 0 LareparrKa 40 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr b 67 Suponha que as dimensGes X e Y de uma chapa retangular de metal possam ser consideradas varidveis aleatérias continuas independentes com as seguintes FDPs al la2 fa r3 223 1 gy 5 2yK4 Ache a FDP da chapa A XY Solution Com X e Y independentes e com FDP fxgy pelo teorema 64 A XY tem FDP oco wl hw l de w reat 22 av 20 3Q 2hw f a 3 2 gy 1 2 x log x 3 log x a3 2 1 log 2 log 1 3 2 3log3 log 2 2 3log3 4log2 Larepat Ka 41 Made in ETpX 10 de agosto de 2023