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Gestão da Informação ·
Probabilidade e Estatística 2
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e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr Probabilidade List Ole Groth Joersboe IMEUFG 20231 List of exercises Ole Groth Joersboe 13 Um varidvel estacdstico x tem os valores 1 2 N com probabilidade g PX k Ay KEN q01 Encontre o constante A Solution oco 00 q PX kA 1 LUPX k AD k1 k1 Lembramos para x 1 00 1 Seet 12 k0 Uma série potancia é uniformamente convergente no seu intervalo de convergéncia Assim podemos trocar integracao e soma cao Lado direito dt log1 log 1 2 9 Lt Lado esquerda t dt t dt aa S at So a 0 k0 k07 9 k0 kl 0 tao 1 ta Concluimospara x 1 00 lik logl2 og12 Sire k1 Assim 0 q 1 oo F log 14 k1 E 1 A log 1 q 14 Investigue se a funcao 4kzx x 06 fx 0 otherwise pode ser fungao de frequéncia para algum conveniente Solution e0 64 1 1 flv dv ka dx aka 636k1 o 2 2 5 2 1 6 36k 26 36k 46k 9 Isto é 14 a7 9 LE 0 6 fx 0 otherwise 15 Determine k tal que ka1a27 01 fx 0 otherwise é uma funcao de frequéncia e a esboga Calcule também o valor média e a varianga desta distribuigao de probabilidade Solution Larepat Ka 1 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr oo 1 1 I fa de ks1a d 0 Fa k 55 Ghesl k6 Entao 6a1 2 2 01 fx 0 otherwise Extremos da f 2 f a 62a 5a 6a2520 0Ax 5 t0Ax 07368 2 2 2 18 2 io 6e2 1L i 1954 f V2 62 5 5 5 95438 Fa 2 x van Valor médio 1 p EX 62 1 dx O14 87 3671P 9 0 4 7 2 7 14 14 Varianca 1 1 65 6 6 3 2415 9 EX 401 2 dx 7 73 2 Pee x 6 wi de ee ee 54 00 20 E 5 9 9 91 9 9 4945 9 X EX B 2a2 2S S VX BX Bay 55 3 a 4 549 245 16 Um variavel estocastica X tem a fungao de freqiencia Caa aa fzCb2 2 ab 0 otherwise a Encontre o constante C b Encontre a fungao de distribuigao c Calcule P x ate d Calcule P 252 xX 428 e Encontre o valor média do varidvel estocastica X f Encontre a varianga do varidvel estocastica X Esta distribuigo é conhecida como a distribuiao triangular sobre Ja DJ Solution Dado a b ab ab ab 1 124 02F8 0 02t5 0 2e00 Larepat Ka 2 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr f 2 2 ba CEI re x a arb b 2 a Area abaixo 1 ba 1 1 2 4 A2CbaCb 1 S Se C py gC a ea ba Entao 4gste asa soe fv4gne saxsb 0 elsewise Particularmente a altura do triangulo no ponto médio é ab 1 1 4 2 oF Cb a b a SS 5000 5A b Calculamos v2 1 2 1 ot oa 5A al 5 03 2 alee 01 21 25 0 ry Ly Funcio de distribuigo a x at Pe PX 2 e f t a dt Cwa 72 a Cwa il 2 a a 5 Oa 4 2 Gra Particularmente 7 at PF ats 4s a 10 1 2 ba 2ba2 Para 2 a b ab 1 Fx F Fa btdt FSr pc 00 ola ath 5 tt 16 2 o ab 2 2 2 2 2 2 ab ab 4 27 fg9 27 b ay 2 2 Substituindo varidvel auxiliatbx2 axbt 2 ab ab 2 ab ab bt 2b tb bt b0 4t ap t 5 2 SP tt Gap HS OH 2 ba ba 2 ba 45 1 2 4 f 2 iy 24 yt s 22 p one Oa Gt wa 5 2 bap Ou seja 11 2 2 F35 oa Ly SS b a Fx 12 x a Particularmente x b 2 2 Fb 1 b b 1 0 1 Gb Juntando 0 wa aa a a Fa b2 a 1 zb LareparrKa 3 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr c ab 1 ST a Px 1 2ab 2 ba2 P x at Sera 4 CS 2 3 b a ba 9 a 2b 4 6 FP 7 l1 l1 px 5 12 Gy 12 9 Subtraindo 2ab a 2b a 2b 2ab 7 2 5 P X PX PX J ear Epe ses See P sa Pe ano Fx 2 x a 2ab ate a3b b 3 3 e 4 b EX Gop xx a et fo xb x dx OSS OT OO Ty To Calculamosuxa axuta ab bra 2 2 n ea dx f uau du a 0 ubx SS wrbu b 0 0 f wb2de fb wudu fb wud 2 2 2 Adicionando bs 0 Bey ba htb K audu f 6 yudua0 udu 5a85 0 bse 0 2 2 Enfim 1 1 qa ot Ble Goes gat Hba f 2 2 4 X 2 2 vx n fa de 5 c neade f en 02 ae a a be UXPLAUtUA wb 0 0 Ji c pe a de Wut pa du w ut wa du a an as uxpbxbutpbpu b bm I f ew baae Wb pw du ubpu du wb 0 0 Somando boa 0 1 neha f wutuajdus wepu du 1 0 0 1 0 1 ba ve dusna wi du b fw du 1 0 l 0 2 14 0 Puro fv du 31 L6ayt 4 f F 0 2 3 7 4 2 1a 43 ba 1a 3 2 6 2 48 Inserindo 4 1 1 2 4 2 VX bat b 7 EVA Gra BO Be9 Larepat Ka 4 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr 52 Um variavel aleatério bidimensional Z XY tem fungao de frequéncia Ha y 1 no tridngulo limitado por 0 0 0 2 e 1 1 e zero no resto do pano xy a Encontre fungao de frequéncia dos varidveis aleatérias X e Y b Demostre que X e Y sao nao correladas porém dependentes c Encontre fungao de freqéncia e de distribuigdo para as varidvies aleatérias 7 X YeZxXY Solution y N yo2 y1 LD y22 x Bx a O0al1 22 fxe ey ay f dy Wl 22 202 20 R x Para y precisamos dividir em 2 intervalos O0yk y fy ay de de olf y 20 R 0 1ly2 2y fy hay de 0 de elf 2y 20 R 0 b Esta claro que fx x fy y 4 ha y assim X e Y sao independentes Calcumos 1 1 2 2 1 BX f afxade 2001 2 de v e 1 0 0 3 Jo 3 3 Mais 4 i 1 2 13 ny vfvy dy y ay y2ydystyay 0 0 1 3 34h 1 8 1 8 2 413l1 rtHa rales Enfim 1 22 1 1 pxy vy dy ae Fe dx z0 yxu xz0 2 x 1 1 1 o22 2 de 2 x12dx2 5 25 3 5 Covarianga CovXY EXY BXBY 10 E X ey sao nao correladas pois CouX Y 0 c 110 Seja X1 e X2 varidveis aleatérias independentes ambos com a fungao de frequéncia 1 1 L e 220 ft F a Encontre a fungiio freqéncia gy para a varidvel aleatéria Y X1 Xo b Mostre que se Z é uma varidvel aleat6ria com distribuicaio normal com média 0 e variana 1 entio Z tem fungdo frequéncia fz c Encontre média e varianga de Y Solution Se X Y tem fungao de freqencia hx y entéo Z X Y tema funcao de frequéncia us fo has x dx Se X e Y sao independentes com fungoes de fregéncia fa resp gy 00 us Fegs 2 ae Similarmente 0 varidvel Z XY tem funcao de frequéncia us ha a dx dx LareparrKa 5 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr a A fungao freqéncia do de Y X1 X2 0jaquex Oesax0é 00 s 1 1 1 e738 s dx s xfs2dx 9 2 289 ar S as f Fsaae mas las Lembramos3 x Felyl ysing x Arcsiny o cose Visinta VIF XL de ot oy ie Ou seja 1 Vize dx Arcsin x O 1 embaixo do raiz é importante 1 1 1 t Geer sf hoa Comu du Ada dxradu I Hee Arcsin Vemos 5 2s2 as22 19 xts 4 2 Primitivo 1 L 5s Aresin veea SF fie hs a Aplicando limites ea om FEI Arcsin xs x is 0 sths 04s Arcsin 2 Arcsin 4 Arcsin 1 Arcsin 1 tytan 58 38 2 2 E finalmente gs dents s0 2 b Z N0 1 fungao de freqéncia 1 2 hx e 22ER t Te Funcio de distribuigao do X Z x 0 Fa PZ a P2 Z Va PVa PV2 FV2 Fv2 Derivando 1 1 1 ve x Fx e 2 e 2VY Flo Pa 5 Fa MV eh V8 see se c Y uma distribuigdo exponencial 3 com média EY 2e varianca VY xy 4 LareparrKa 6 Made in ETpX 10 de agosto de 2023
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a esboga Calcule também o valor média e a varianga desta distribuigao de probabilidade Solution Larepat Ka 1 Made in ETRX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr oo 1 1 I fa de ks1a d 0 Fa k 55 Ghesl k6 Entao 6a1 2 2 01 fx 0 otherwise Extremos da f 2 f a 62a 5a 6a2520 0Ax 5 t0Ax 07368 2 2 2 18 2 io 6e2 1L i 1954 f V2 62 5 5 5 95438 Fa 2 x van Valor médio 1 p EX 62 1 dx O14 87 3671P 9 0 4 7 2 7 14 14 Varianca 1 1 65 6 6 3 2415 9 EX 401 2 dx 7 73 2 Pee x 6 wi de ee ee 54 00 20 E 5 9 9 91 9 9 4945 9 X EX B 2a2 2S S VX BX Bay 55 3 a 4 549 245 16 Um variavel estocastica X tem a fungao de freqiencia Caa aa fzCb2 2 ab 0 otherwise a Encontre o constante C b Encontre a fungao de distribuigao c Calcule P x ate d Calcule P 252 xX 428 e Encontre o valor média do varidvel estocastica X f Encontre a varianga do varidvel estocastica X Esta distribuigo é conhecida como a distribuiao triangular sobre Ja DJ Solution Dado a b ab ab ab 1 124 02F8 0 02t5 0 2e00 Larepat Ka 2 Made in ETpX 10 de agosto de 2023 e Dr Ole Peter Smith eg Instituto de Matematica e Estatistica U F G Universidade Federal de Goias oleufgbr httpwwwolesmithcombr f 2 2 ba CEI re x a arb b 2 a Area abaixo 1 ba 1 1 2 4 A2CbaCb 1 S Se C py gC a ea ba Entao 4gste asa soe fv4gne saxsb 0 elsewise Particularmente a altura do triangulo no ponto médio é ab 1 1 4 2 oF Cb a b a SS 5000 5A b Calculamos v2 1 2 1 ot oa 5A al 5 03 2 alee 01 21 25 0 ry Ly Funcio de distribuigo a x at Pe PX 2 e f t a dt Cwa 72 a Cwa il 2 a a 5 Oa 4 2 Gra Particularmente 7 at PF ats 4s a 10 1 2 ba 2ba2 Para 2 a b ab 1 Fx F Fa btdt FSr pc 00 ola ath 5 tt 16 2 o ab 2 2 2 2 2 2 ab ab 4 27 fg9 27 b ay 2 2 Substituindo varidvel auxiliatbx2 axbt 2 ab ab 2 ab ab bt 2b tb bt b0 4t ap t 5 2 SP tt Gap HS OH 2 ba ba 2 ba 45 1 2 4 f 2 iy 24 yt s 22 p one Oa Gt wa 5 2 bap Ou seja 11 2 2 F35 oa Ly SS b a Fx 12 x a Particularmente x b 2 2 Fb 1 b b 1 0 1 Gb 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Visinta VIF XL de ot oy ie Ou seja 1 Vize dx Arcsin x O 1 embaixo do raiz é importante 1 1 1 t Geer sf hoa Comu du Ada dxradu I Hee Arcsin Vemos 5 2s2 as22 19 xts 4 2 Primitivo 1 L 5s Aresin veea SF fie hs a Aplicando limites ea om FEI Arcsin xs x is 0 sths 04s Arcsin 2 Arcsin 4 Arcsin 1 Arcsin 1 tytan 58 38 2 2 E finalmente gs dents s0 2 b Z N0 1 fungao de freqéncia 1 2 hx e 22ER t Te Funcio de distribuigao do X Z x 0 Fa PZ a P2 Z Va PVa PV2 FV2 Fv2 Derivando 1 1 1 ve x Fx e 2 e 2VY Flo Pa 5 Fa MV eh V8 see se c Y uma distribuigdo exponencial 3 com média EY 2e varianca VY xy 4 LareparrKa 6 Made in ETpX 10 de agosto de 2023