Tópicos em Probabilidade: Distribuições Discretas e Contínuas

7 ye Tépicos em Probabilidade Klayver H Pricinote August 21 2023 1 Distribuicgao Discreta 11 Distribuigao de Bernoulli A distribuicao de Bernoulli modela um experimento com dois resultados possiveis geralmente denotados como sucesso S e fracasso F A probabilidade de sucesso é representada por p e a de fracasso 6 gq 1 p Formula 1 PX 2 a se x q sex0 Exemplo Suponha que a probabilidade de um time de futebol marcar um gol em um determinado jogo seja de 03 Podemos modelar isso como uma distribuigéo de Bernoulli onde p 03 A probabilidade de o time marcar um gol X 1 é 03 e a probabilidade de nao marcar um gol X 0 é 07 12 Distribuigao Binomial A distribuicao binomial descreve o nimero de sucessos em uma série de ensaios independentes e idénticos onde cada ensaio tem duas possibilidades bindrio e a probabilidade de sucesso é p Formula Px k feh apy Exemplo Suponha que um dado seja lancado 10 vezes e queremos encon trar a probabilidade de obter exatamente 3 langamentos com resultado 6 Isso pode ser modelado como uma distribuicaéo binomial onde n 10 numero de langamentos e p é probabilidade de obter um 6 em um langamento A probabilidade de obter exatamente 3 resultados 6 X 3 é dada pela formula acima 13 Distribuigao de Poisson A distribuigaéo de Poisson modela a contagem de eventos raros em um intervalo fixo de tempo ou espaco E caracterizada por um parametro que representa a taxa média de ocorréncia dos eventos 1 Formula vk eA Exemplo Suponha que em média 5 carros passem por uma ponte em um intervalo de 15 minutos Queremos encontrar a probabilidade de exatamente 3 carros passarem pela ponte em um intervalo de 15 minutos Isso pode ser modelado como uma distribuigaéo de Poisson onde 5 A probabilidade de 3 carros passarem X 3 é dada pela formula acima 2 Distribuigao Continua 21 Distribuigao Normal Gaussiana A distribuicéo normal é amplamente utilizada na estatistica e descreve muitos fendmenos naturais E caracterizada por dois parametros a média 4 e o desvio padrao o Formula 1 5 wh xv e 202 I Tee Exemplo Suponha que as alturas de uma populacao sejam normalmente distribuidas com média 4 170 cm e desvio padrao o 10 cm Queremos en contrar a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter uma altura entre 160 cm e 180 cm Isso pode ser calculado usando a formula da distribuigao normal 22 Distribuigao Exponencial A distribuicgao exponencial modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson E caracterizada pelo parametro A que representa a taxa de ocorréncia dos eventos Formula re sex 0 fx 0 sex 0 Exemplo Suponha que a taxa média de chegada de clientes a um caixa de supermercado seja de 4 por minuto Queremos encontrar a probabilidade de esperar mais de 2 minutos antes que o prdéximo cliente chegue Isso pode ser calculado usando a férmula da distribuigao exponencial 23 Distribuigao Uniforme A distribuicaéo uniforme atribui a mesma probabilidade a todos os valores em um intervalo especifico E caracterizada pelos parametros a minimo e b maximo Formula 1 seaxab fayre SOS 0 sexaouxb 2 Exemplo Suponha que o tempo de espera em uma fila de supermercado seja uniformemente distribuıdo entre 2 minutos e 5 minutos Queremos encon trar a probabilidade de esperar entre 3 minutos e 4 minutos Isso pode ser calculado usando a formula da distribuicao uniforme 3 Variaveis Aleatorias Uma variavel aleatoria e uma funcao que associa resultados de um experimento a valores numericos Existem dois tipos principais de variaveis aleatorias disc retas e contınuas 31 Variavel Aleatoria Discreta Uma variavel aleatoria discreta assume um conjunto finito ou infinito contavel de valores Exemplo O numero de caras em 3 lancamentos de uma moeda justa 32 Variavel Aleatoria Contınua Uma variavel aleatoria contınua pode assumir qualquer valor em um intervalo contınuo Exemplo A altura das pessoas em centımetros 4 Funcao de Probabilidade Variaveis Discretas A funcao de probabilidade PX x de uma variavel aleatoria discreta X atribui probabilidades a cada valor possıvel de X 41 Distribuicao Uniforme Uma variavel aleatoria discreta segue uma distribuicao uniforme quando todos os valores possıveis tˆem a mesma probabilidade Formula PX x 1 n Exemplo Lancamento de um dado justo de 6 faces Cada face tem prob abilidade 1 6 5 Funcao de Densidade de Probabilidade Variaveis Contınuas A funcao de densidade de probabilidade fx de uma variavel aleatoria contınua descreve a densidade de probabilidade em um ponto especıfico x 3 51 Distribuigao Normal A distribuigao normal é uma das distribuigdes mais comuns e é caracterizada por uma média yu e um desvio padrao c Formula 1 5 wp gv 20 ft Te Exemplo Altura de estudantes do ensino médio segue uma distribuicdéo normal com média yz 160 cm e desvio padrao o 10 cm Encontre a proba bilidade de um estudante ter altura entre 150 cm e 170 cm Solugao P150 X 170 f ta e 200 ae 150 10V 20 Calculando esta integral obtemos a probabilidade desejada 6 Verificando se fx axe 6 uma FDP Vamos seguir 0 passo a passo para verificar se fx a2xe 6 uma funcao de distribuigao de probabilidade FDP 61 Passo 1 Dominio da Varidvel Aleatéria O dominio da varidvel aleatéria X é x 0 62 Passo 2 Funcgao Nao Negativa Vamos verificar se fx axe é nao negativa para x 0 fx axe para x 0 Para x 0 a 0 x 6 nao negativo e e também 6 nao negativo Portanto fa é nao negativa para x 0 63 Passo 3 Integracao até 1 Vamos calcular a integral da fungéo fx em todo o seu dominio para verificar se é igual a 1 CO axe da 0 Usando técnicas de integracao encontre o valor da integral 64 Passo 4 Verificagao Final Se a integral calculada no Passo 3 for igual a 1 entao fx axe é uma FDP 4 7 Encontrando a Fungao de Distribuigao Acu mulada FDA Se fa é uma FDP a fungao de distribuigéo acumulada FDA Fa é dada por Fa ft dt Neste caso a integral é de 0 até x pois fx 0 para x 0 Fx ate dt 0 Calcule a integral para obter Fx 8 Encontrando o Valor Médio EX O valor médio ou esperanga de X é dado por Bx xu fa dx Neste caso calcule EX xaxe dx 0 Calcule a integral para encontrar EX 9 Encontrando a Variancia VX A variancia de X é dada por VX BX BX Calcule EX e EX encontrados nos passos anteriores e em seguida calcule a variadncia VX 10 Andalise Estatistica de uma Varidvel Aleatéria Discreta Z XY Nesta segéo vamos analisar a varidvel aleatéria discreta Z XY cujos val ores estao disponiveis em uma tabela Vamos calcular as distribuigoes marginais fxx e fyy as médias EX e EY as variancias VX e VY e as dis tribuigdes condicionais fXY e fYX 5 101 Distribuigoes Marginais fxx e fyy Para calcular as distribuigoes marginais vocé pode somar ou marginalizar os val ores da tabela para cada varidvel normalizando as probabilidades se necessario fxv 5 PX 2Y y y fry PX 2Y y 102 Médias EX e EY As médias das varidveis X e Y podem ser calculadas como EX Soa fx2 BY Soy fry y 103 Variancias VX e VY As variancias de X e Y sao dadas por VX Soe EX fxa VY S0y E fry y 104 Distribuigoes Condicionais fXY e fYX As distribuicdes condicionais podem ser calculadas usando a férmula de Bayes PX 2Y y xXY PX 2Y y YX 105 Exemplo Considere a seguinte tabela de probabilidades para a varidvel aleatoria discreta Z XY 6 X Y PX Y 1 2 02 1 3 01 2 2 03 2 3 04 Agora vamos calcular as distribuicoes marginais medias variˆancias e dis tribuicoes condicionais com base nesta tabela Vamos calcular as distribuicoes condicionais fXY e fY X Distribuicao Condicional fXY Para calcular fXY usamos a formula de Bayes fX xY y PX x Y y PY y Por exemplo fX 1Y 2 P X1Y 2 P Y 2 02 05 04 fX 2Y 2 P X2Y 2 P Y 2 03 05 06 fX 1Y 3 P X1Y 3 P Y 3 01 05 02 fX 2Y 3 P X2Y 3 P Y 3 04 05 08 Distribuicao Condicional fY X Da mesma forma calculamos fY X usando a formula de Bayes fY yX x PX x Y y PX x Por exemplo fY 2X 1 P X1Y 2 P X1 02 03 0667 fY 3X 1 P X1Y 3 P X1 01 03 0333 fY 2X 2 P X2Y 2 P X2 03 07 0429 fY 3X 2 P X2Y 3 P X2 04 07 0571 Resumo dos Resultados Distribuicao Marginal de X fXx fX1 03 fX2 07 Distribuicao Marginal de Y fY y fY 2 05 fY 3 05 Media de X EX 17 Media de Y EY 25 Variˆancia de X V X 021 Variˆancia de Y V Y 025 Distribuicao Condicional de XY fX 1Y 2 04 fX 2Y 2 06 fX 1Y 3 02 fX 2Y 3 08 Distribuicao Condicional de Y X fY 2X 1 0667 fY 3X 1 0333 fY 2X 2 0429 fY 3X 2 0571 7 11 Andalise Estatistica de Varidveis Aleatoérias Bidimensionais A andlise estatistica de varidveis aleatérias bidimensionais envolve varias etapas importantes incluindo a determinacao das funcoes marginais Fx e Fy 0 calculo dos valores médios EX e EY a obtengao das variancias VX e VY a determinacao da covariancia covXY e o calculo do coeficiente de correlagao pX Y Também é necessdrio encontrar as fungdes de distribuicéo acumulada FDAs marginais Fy x e Fyy Aqui esté um resumo passo a passo de como realizar essas andlises 111 Funcoes Marginais Fy e Fy Para encontrar as funcoes marginais integre a funcao de densidade de proba bilidade FDP conjunta em relacao 4 varidvel que deseja marginalizar Feo ff tewayae y oo Fw tauavdy onde fxy 6a FDP conjunta 112 Valores Médios EX e EY Calcule os valores médios das varidveis X e Y usando as FDAs marginais Bx xu fxx dx EY y fyy dy 113 Variadncias VX e VY Use os valores médios e as FDAs marginais para calcular as variancias VX EX EX VY BY EYP 8 114 Covariancia covX Y A covariadncia entre X e Y é dada por covXY EXY EXEY onde EX e EY sao os valores médios e EXY 60 valor médio do produto XY 115 Calculo de EXY Para calcular E XY vocé precisa seguir estas etapas 1 Encontre a FDP conjunta f2y das varidveis aleatérias X e Y 2 Calcule a integral dupla do produto xy em relagao a x e y sobre todos os valores possiveis do espacgo amostral BxY ff ey fleydedy Aqui esta um exemplo para ilustrar 0 cdlculo de EXY Exemplo Calculo de EXY Suponha que temos duas varidveis aleatérias X e Y com a seguinte FDP con junta czy O 20yl fy 44 caso contrarlo onde c é uma constante de normalizacao Vamos calcular EXY para este exemplo 9 EXY vy fxy dx dy p2 pl xy cxy dy dx 0 Jo 2 1 xy in dx 0 0 2 1 1 cc saury dx exe 2 52 dx O 3 J 7 la 0 8c 9 Portanto EXY Se para este exemplo Lembrese de que 0 célculo de EXY depende da FDP conjunta das varidveis aleatérias X e Y Em problemas do mundo real a FDP pode ser diferente entao adapte o processo de acordo com a FDP fornecida 116 Coeficiente de Correlagao pX Y O coeficiente de correlacao entre X e Y é dado por covX Y pX Y Ee VVXVY 117 Fungoes de Distribuigao Acumulada FDAs Marginais Fxx e Fyy As FDAs marginais podem ser encontradas a partir das fungdes marginais Fy e Fy encontradas anteriormente Fx a fx t dt y Fyy frat Este processo fornece uma analise estatistica completa de varidveis aleatérias bidimensionais Certifiquese de adaptar essas etapas ao seu problema especifico 10 12 Integrais Importantes em Probabilidade Aqui estao algumas integrais importantes em probabilidade juntamente com seus resultados analiticos 1 Integral da Distribuigao Normal Padrao en dy V2n 2 Integral da Funcao Densidade de Probabilidade fxdx 1 3 Integral da Fungao de Distribuigéo Acumulada foar F 4 Valor Esperado Média Bx xu fadx 5 Variancia so VX f en Fade 6 Covariancia coX Y ff px ny Fewaray 7 Correlagao covX Y AXY ae VVXVY 8 Esperanga Condicional BYX fo Flulzdy 9 Integral da Distribuigao Exponencial re dx 1 0 10 Integral da Distribuigao de Poisson co 4Ayk oN ie 1 0 k 11 11 Integral da Distribuigao Uniforme Continua b 1 dzr 1 ba 12 Integral da Funcao de Densidade Exponencial re dx 1 0 13 Integral da Funcao de Densidade da Distribuigao LogNormal 1 inw 2 e 22 dx 1 cov 20 14 Integral da Funcao de Densidade da Distribuigao de Cauchy 1 dr1 I mL a 15 Integral da Funcao de Densidade da Distribuigao de Weibull k fuk1 k 2 d de 1 EG ore 12