Vibrações Mecânicas - Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou Mais Graus de Liberdade

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Vibrações Mecânicas Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou mais Graus de Liberdade NOTAS DE AULA DE VIBRAÇÕES II Autor Prof Dr José Juliano de Lima Junior 092020 2 Prof José Juliano de Lima Jr Sumário 1 Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou mais Graus de Liberdade 1 11 Modelo com Dois Graus de Liberdade 1 12 Autovalores e Frequências Naturais 13 13 Análise Modal Teórica 23 14 Sistema com Amortecimento Viscoso 31 15 Amortecimento Proporcional Viscoso 35 16 Análise da Resposta Forçada Harmônica 38 17 Análise Modal da Resposta Forçada 44 Prof José Juliano de Lima Jr Lista de Figuras 11 a Sistema translacional com 2 gdls 1 12 Sistema rotacional com 2 gdls 2 13 Sistema translacional com 2 gdl sem atrito 2 14 Diagramas de corpos livre das massas m1 e m2 3 15 Modos de vibração do sistema massa e mola com 2 gdls 10 16 Sistema amortecido com 2 gdls 36 17 a α ωni b β ωni 38 18 Vibração forçada 41 19 Vibração forçada 46 110 Vibração forçada 49 Capítulo 1 Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou mais Graus de Liberdade Esse capítulo apresenta a análise de vibrações de um sistema com 2 dois ou mais graus de liberdade Tais modelos são necessários para analisar a vibração de equipamentos mais complexos como sistemas veiculares aeronáuticos civis entre outros 11 Modelo com Dois Graus de Liberdade Um sistema é denominado ser de dois graus de liberdade quando o número de coordenadas necessárias e suficientes para a descrição do seu movimento é igual a 2 dois A figura 11 apresenta um modelo dinâmico simplificado de uma embalagem 1 p 179 Apesar do sistema possuir apenas uma massa o número de coordenadas necessárias e suficientes para descrever o movimento do sistema é 2 dois a Wire Rope b Embalagem de um instrumento Figura 11 a Sistema translacional com 2 gdls A figura 12 apresenta um modelo dinâmico torcional simplificado de um turbo compressor Este é um sistema semidefinido pois possui um autovalor nulo isto é uma Prof José Juliano de Lima Jr 2 Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou mais Graus de Liberdade frequência angular natural nula por consequência existe um modo de vibração de corpo rígido 1 p 192 a Turbocompressor b Modelo Matemático Figura 12 Sistema rotacional com 2 gdls A figura 13 apresenta um sistema translacional em vibração livre não amortecido isto é sem atrito e sem outros elementos dissipativos Figura 13 Sistema translacional com 2 gdl sem atrito Já a figura 14 apresenta os respectivos diagramas de corpo livre Aplicando a segunda Lei de Newton no sistema da figura 13 encontrase a equação diferencial de movimento do sistema assim Prof José Juliano de Lima Jr 11 Modelo com Dois Graus de Liberdade 3 Figura 14 Diagramas de corpos livre das massas m1 e m2 m1 x1t k1 x1t k2 x1t x2t m2 x2t k2 x2t x1t 11 Rearranjando essas equações conduz m1 x1t k1 k2 x1t k2 x2t 0 m2 x2t k2 x1t k2 x2t 0 12 O sistema de equações 12 consiste de duas equações diferenciais ordinárias lineares de coeficientes constantes de segunda ordem acopladas pois a coordenada x1t aparece na segunda equação e x2t aparece na primeira equação e cada qual requer duas condições iniciais para sua solução Portanto essas duas equações acopladas são sujeitas a quatro condições iniciais x10 x10 ẋ10 ẋ10 x20 x20 ẋ20 ẋ20 13 Existem vários métodos matemáticos para resolver o sistema de equações 12 Um método conveniente é resolver esse sistema usando a notação matricial isto é trabalhando com vetores e matrizes O procedimento usando a notação matricial para o sistema com 2 gdls pode ser prontamente extendido para sistemas com um número arbitrário de gdl graus de liberdade Definese o vetor 𝑥 𝑡 𝑥𝑡 ou 𝑥𝑡 como sendo o vetor coluna consistindo das duas respostas de interesse 𝑥 𝑡 𝑥𝑡 𝑥𝑡 x1t x2t 14 Prof José Juliano de Lima Jr Ele é chamado vetor de deslocamento ou vetor resposta no tempo e é um vetor 2 1 Diferenciando o vetor xt definese vetor velocidade e diferenciando novamente definese o vetor aceleração xt xt xt x1t x2t xt xt xt x1t x2t 15 Definese a matriz M ou M como sendo a matriz de massa concentrada M m1 0 0 m2 16 Por exemplo no Método dos Elementos Finitos temse a matriz de massa consistente que é simétrica M m11 m12 m21 m22 sendo m21 m12 e por consequência M MT A matriz K ou K chamase matriz de rigidez K k1 k2 k2 k2 k2 17 Finalmente podese escrever o sistema de equações 12 na forma matricial Mxt Kxt 0 18 A equação matricial 18 representa um sistema de equações diferenciais homogêneas lineares e invariantes no tempo e descreve o movimento de vibração livre não amortecida do sistema da figura 13 Escrevendose o sistema de equações 12 segundo essa notação matricial temse m1 0 0 m2 x1t x2t k1 k2 k2 k2 k2 x1t x2t 0 0 19 As matrizes massa e rigidez M e K descritas respectivamente nas equações 16 e 17 têm uma propriedade especial são simétricas Uma matriz simétrica é uma matriz que é igual a sua transposta A transporta de uma matriz denotada por AT é formada pela troca de linhas e colunas da matriz A primeira linha de AT é a primeira coluna de A e assim por diante Exemplo 11 Considere a matriz A definida por A a b c d com a b c e d números reais Determine a condição para que a matriz A seja simétrica Solução Para A ser simétrica A AT ou A a b c d a c b d AT Comparando os elementos de A e AT temse que c deve ser igual a b para que A seja simétrica As condições iniciais podem ser escritas na forma matricial x0 x10 x20 x0 x10 x20 110 A solução da equação 18 é uma solução harmônica do tipo xt u ejωnt 111 Lembrando que segundo as Fórmulas de Euler ejωnt cos ωnt j sen ωnt ejωnt cos ωnt j sen ωnt sendo u um vetor de constantes a serem determinadas modo de vibração ωn uma constantes a ser determinada frequência angular natural Derivandose a solução equação 111 e substituindo na equação 18 temse xt u ejωnt xt jωn u ejωnt xt ωn2 u ejωnt 112 e ωn2M K u ejωnt 0 Como o escalar ejωnt 0 para todo t 0 assim λM K u 0 113 com λ ωn2 Observandose também que u 0 solução não trivial pois do contrário xt 0 solução trivial e o sistema não estaria em movimento Assim detλM K 0 114 a qual conduz a uma equação algébrica em λ Substituindo os valores de M e K equações 16 e 17 na equação 114 temse λm1 k1 k2 k2 k2 λm2 k2 0 115 Usando a definição do determinante obtémse uma equação polinomial em função de λ chamada de Equação Característica do sistema e é usada para determinar o valor da constante λ na forma assumida de solução dada pela equação 111 no qual os valores dos parâmetros físicos m1 m2 k1 e k2 são conhecidos m1m2λ2 m1k2 m2k1 m2k2 λ k1k2 0 cuja solução é λ12 m1k2 m2k1 m2k2 m1k2 m2k1 m2k2² 4m1m2k1k2 2m1m2 Esses valores desconhecidos são os autovalores do autoproblema generalizado envolvendo as matrizes M e K As frequências angulares naturais do sistema são obtidas a partir dos autovalores ωni λi rads Uma vez o valor de λ estabelecido na equação 114 o valor do vetor de constantes u pode ser encontrado resolvendo a equação 113 para u obtido para cada valor de λ Isto é para cada valor de λλ1 λ2 existe um vetor uu1 u2 que satisfaz a equação 113 Para λ1 o vetor u1 satisfaz a λ1M K u1 0 e para λ2 o vetor de u2 satisfaz a λ2M K u2 0 As expressões 117 e 118 quando resolvidas permitem apenas encontrar uma relação entre os elementos de cada vetor u1 e u2 pois esses dois sistemas homogêneos de equações possuem determinante nulos assim existem menos equações do que incógnitas e os sistemas possuem infinitas soluções λiM K ui 0 ui u1i u2i Exemplo 12 Determine os valores dos elementos dos vetores u1 e u2 das equações 117 e 118 para valores de λ K e M dados por m1 9 kg m2 1 kg k1 24 Nm k2 3 Nm Prof José Juliano de Lima Jr Solução i Determinação dos autovalores A equação 114 possibilita a determinação dos autovalores λM K 0 Substituindose os valores numéricos vem 9λ 27 3 3 λ 3 9λ 27λ 3 9 0 9λ² 27λ 27λ 81 9 0 9 λ² 3λ 3λ 9 1 0 λ² 6λ 8 0 λ 2 λ 4 0 logo λ1 2 λ2 4 ou ωn1 2 rads ωn2 2 rads ii Determinação do autovetor u1 Para u1 a equação 117 com λ1 2 fica 27 9 2 3 3 3 1 2 u11 u21 0 0 então 9u11 3u21 0 3u11 u21 0 i O sistema de equações i forma um conjunto Linearmente Dependente existindo uma combinação linear entre elas que é 3 Prof José Juliano de Lima Jr Assim existem duas incógnitas u11 e u21 e uma equação A solução é adotar o valor de uma das incógnitas logo u11 u21 13 u11 u21 3 Somente a razão entre os elementos é determinada aqui isto é somente a direção do vetor e não a sua magnitude é determinada pela equação 113 u1 13 1 u21 Um valor numérico para cada elemento do vetor u pode ser obtido arbitrando o valor de um elemento Por exemplo fazendo u21 1 então o valor do vetor u1 é u1 13 1 iii Determinação do autovetor u2 Para u2 a equação 118 com λ2 4 fica 27 9 4 3 3 3 1 4 u12 u22 0 0 então 9u12 3u22 0 3u12 u22 0 ii logo da equação ii temse u12 u22 13 u12 u22 3 assim Prof José Juliano de Lima Jr u2 13 1 u22 Fazendo u22 1 temse u2 13 1 Os vetores u1 e u2 são os autovetores e representam os modos de vibração do sistema apresentados de forma gráfica na figura15 Figura 15 Modos de vibração do sistema massa e mola com 2 gdls A solução da equação 18 sujeita as condições iniciais x0 e ẋ0 pode ser construída em termos dos escalares ωn1 e ωn2 e dos vetores u1 e u2 Esse procedimento é similar a obtenção de solução para um sistema de 1 gdl já discutido Desde que as equações resolvidas são lineares a soma de qualquer solução é também solução Dos cálculos dos autovalores λ1 e λ2 obtémse quatro frequências angulares naturais ωn1 e ωn2 que formam a solução da equação 18 xt1 u1 ejωn1t xt2 u1 ejωn1t xt3 u2 ejωn2t xt4 u2 ejωn2t Prof José Juliano de Lima Jr Assim a solução homogênea é a soma da combinação linear das soluções individuais xt a1 ejωn1t a2 ejωn1t u1 a3 ejωn2t a4 ejωn2t u2 119 sendo ai constantes arbitrárias de integração determinadas pelas condições iniciais Aplicando as fórmulas de Euler ejα cos α j sen α na equação 119 conduz a uma solução alternativa xt A1 senωn1 t φ1 u1 A2 senωn2 t φ2 u2 120 sendo as constantes de integração agora A1 A2 φ1 e φ2 determinadas através das condições iniciais x0 e ẋ0 xtΣi1n Ai ui senωni t φi 121 A forma da equação 120 tem significado físico Ele indica que cada massa oscila nas duas frequências ωn1 e ωn2 Essas são chamadas frequências angulares naturais Vamos supor que A2 0 Com essa condição inicial cada massa oscila com somente uma frequência natural ωn1 e a posição relativa das massas a qualquer instante de tempo é determinado pelo vetor u1 Portanto u1 é chamado de primeiro modo de vibração do sistema De maneira similar se a condição inicial é tal que A1 é igual a zero as massas oscillam a frequência ωn2 com a posição relativa dada pelo vetor u2 chamado de segundo modo de vibração do sistema Exemplo 13 Determine a solução do sistema de equações 19 para as condições iniciais x10 1 m x20 0 ẋ10 ẋ20 0 Solução O sistema de equações 19 representa o sistema em vibração livre não amortecida portanto a solução a ser encontrada é a solução homogênea do sistema Para resolver esse problema a equação 120 é escrita como Prof José Juliano de Lima Jr xt x1t x2t A1 u11 senωn1 t φ1 A2 u21 senωn2 φ2 A1 u12 senωn1 t φ1 A2 u22 senωn2 φ2 Substituindo os valores u1 u11 u21 13 1 u2 u12 u22 13 1 λ1 2 λ2 4 vem x1t x2t 13 A1 sen2 t φ1 13 A2 sen2t φ2 A1 sen2 t φ1 A2 sen2t φ2 i Fazendo t 0 isto é aplicando as condições iniciais a equação i fica 1 0 13 A1 senφ1 13 A2 senφ2 A1 senφ1 A2 senφ2 ii Diferenciando a equação i e calculando a expressão resultante para t0 conduz 0 0 23 A1 cosφ1 23 A2 cosφ2 2 A1 cosφ1 2 A2 cosφ2 iii As equações ii e iii representam quatro equações com quatro constantes desconhecidas A1 A2 φ1 e φ2 Escrevendo essas quatro equações temse 3 A1 senφ1 A2 senφ2 0 A1 senφ1 A2 senφ2 0 2 A1 cosφ1 2 A2 cosφ2 0 2 A1 cosφ1 2 A2 cosφ2 iv Somando as duas últimas equações do sistema de equações iv temse 22 A1 cosφ1 0 tal que φ1 π2 pois A1 0 com φ1 π2 a última equação do sistema iv se reduz a Prof José Juliano de Lima Jr 2 A2 cosphi2 0 tal que phi2 pi2 pois A2 eq 0 Substituindo phi1 e phi2 nas duas primeiras equações do sistema iv conduz a A1 A2 3 A1 A2 0 cuja solução é A1 32 e A2 32 Assim left beginarrayc x1t x2t endarray right left beginarrayc frac12 sensqrt2t pi2 frac12 sen2t pi2 frac32 sensqrt2t pi2 frac32 sen2t pi2 endarray right então left beginarrayc x1t x2t endarray right left beginarrayc frac12cos sqrt2t cos 2t frac32cos sqrt2t cos 2t endarray right 12 Autovalores e Frequências Naturais Quando resolvemos um sistema com 1 grau de liberdade foi útil dividir a equação do movimento pela massa Portanto vamos resolver o sistema de duas equações descritas pela forma matricial equação 18 fazendo uma transformação de coordenadas que é equivalente a dividir a equação do movimento pela massa do sistema Para esse objetivo considere a matriz raiz quadrada definida por M12 tal que M12 M12 M a matriz massa Para o exemplo da matriz massa dada pela equação 16 matriz diagonal a matriz raiz quadrada tornase Prof José Juliano de Lima Jr M12 left beginarraycc sqrtm1 0 0 sqrtm2 endarray right 122 A regra para calcular a matriz raiz quadrada de uma matriz massa consistente que possui elementos diferentes de zero fora da diagonal principal pode ser encontrada em bibliografia de álgebra matricial A inversa de uma matriz diagonal M12 chamada de M12 tornase M12 left beginarraycc frac1sqrtm1 0 0 frac1sqrtm2 endarray right 123 Essa matriz possibilita que o autoproblema generalizado seja transformado em um autoproblema simétrico permitindo que os resultados matemáticos do problema de autovalor seja aplicado a análise de vibração Para realizar essa transformação o vetor xt da equação 18 é substituído por xt M12 qt 124 e prémultiplicando a equação resultante por M12 conduz a M12 M M12 ddotqt M12 K M12 qt 0 125 desde que M12 M M12 I matriz identidade A expressão 125 se reduz a I ddotqt ildeK qt 0 126 A matriz ildeK M12 K M12 127 Prof José Juliano de Lima Jr é uma matriz simétrica A equação 126 é resolvida como anteriormente assumindo a solução da forma qt v ej omegan t 128 com v sendo um vetor constante A substituição dessa forma na equação 126 conduz a bigg omega2 I ildeK bigg v ej omegan t 0 como ej omegan t eq 0 forall t geq 0 então bigg omegan2 I ildeK bigg v 0 ildeK v omegan2 v 129 É importante observar que o vetor constante v eq 0 pois do contrário qt 0 solução trivial não existindo movimento Fazendo lambda omegan2 na equação 129 temse ildeK v lambda v 130 com v sendo o autovetor de ildeK Esse é exatamente o estudo do problema de autovalor O escalar lambda que satisfaz a equação 130 para v diferente de zero é chamado de autovalor e v é chamado de autovetor associado O autovetor v generaliza o conceito de modo de vibração u usado anteriormente A equação 130 representa um autoproblema simétrico que implica em os autovalores lambdai de ildeK são números reais os autovalores lambdai de ildeK são números reais positivos se e somente se ildeK é positiva definida os autovetores vi de ildeK possuem elementos com números reais os autovetores vi de ildeK são ortogonais mesmo para autovalores repetidos Prof José Juliano de Lima Jr Existe uma relação entre ui e vi a saber ui M12 vi vi M12 ui Do autoproblema generalizado λ M K u 0 substituindo u vem λ M K M12 v 0 prémultiplicando por M12 vem λ M12 M M12 M12 K M12 v 0 que resulta em λ I Kv 0 Exemplo 14 Calcule a matriz K usando os vetores do exemplo 12 Solução Fazendo K M12 27 3 3 3 13 0 0 1 2713 30 270 31 313 30 30 31 9 3 1 3 Prémultiplicando esse resultado por M12 conduz Prof José Juliano de Lima Jr M12 K M12 13 0 0 1 9 3 1 3 139011330309110313 3 1 1 3 logo K 3 1 1 3 Note que M12 K M12T M12 K M12 tal que K é simétrica mas que K M12T K M12 assim K M12T 9 1 3 3 9 3 1 3 K M12 não é simétrica O problema de autovalor simétrico tem inúmeras vantagens Por exemplo pode ser mostrado que a solução da equação 130 corresponde a números reais Também pode ser mostrado que os autovetores que satisfazem a equação 130 são ortogonais como são os vetores unitários î ĵ k ê1 ê2 ê3 usados na análise vetorial de forças Dois vetores v1 e v2 são definidos como ortogonais se o produto escalar é zero isto é se v1T v2 0 131 Os autovetores que satisfazem a equação 130 tem um comprimento unitário diferentemente de como foi mostrado para o valor u1 e u2 O autovetor pode ser normalizado Prof José Juliano de Lima Jr qual que seu comprimento seja 1 A norma Euclidiana de um vetor é escrita como v é definida por v vT v i1n vi2 Norma Euclidiana 132 Um conjunto de vetores que são ortogonais entre si e possui norma unitária é chamado de ortonormal Os vetores do sistema de coordenadas cartesianas formam um conjunto de vetores ortonormais î î 1 î ĵ 0 ou eiT ej δij Condição de ortonormalidade delta de Kronecker viT vj δij ij1 ii0 Exemplo 15 Vamos resolver o problema de autovalor do exemplo 12 Solução K λ I 0 ou 3 λ 1 1 3 λ v 0 i com v 0 Portanto os coeficientes da matriz devem ser tal que a matriz é singular e portanto seu determinante é igual a zero 3 λ 1 1 3 λ λ² 6λ 8 0 λ 2 λ 4 os quais são autovalores da matriz K Prof José Juliano de Lima Jr O autovetor associado com λ1 é calculado da equação i com λ λ1 2 e v1 v11 v12T K λ1I v1 0 3 2 1 1 3 2 v11 v21 0 0 Isso resulta em duas equações linearmente dependentes v11 v21 0 v11 v21 0 Portanto v11 v21 define a direção do vetor v1 Para fixar um valor para os elementos do vetor v1 a condição de normalização 132 é usada para forçar v1 ter magnitude 1 v1 v11² v21² v21² v21² 2v21 1 v21 12 então o vetor normalizado v1 é v1 12 12 12 1 1 Da mesma forma para λ λ2 4 temse K λ2I v2 0 3 4 1 1 3 4 v12 v22 0 0 que resulta em v12 v22 0 v12 v22 0 assim v12 v22 Prof José Juliano de Lima Jr Normalizando o vetor v2 temse v2 v12² v22² v22² v22² 2v22 1 v22 12 v2 12 12 12 1 1 Os dois vetores v1 e v2 formam um conjunto ortonormal Em geral qualquer vetor v pode ser normalizado calculando v 1vTv v 133 Um procedimento alternativo frequentemente usado para normalizar o vetor modo de vibração é baseado na equação 113 ωn²M Ku 0 134 Cada vetor ui está associado a uma frequência angular natural ωni é normalizado com respeito a matriz massa M pelo escalonamento do vetor modo de vibração o que satisfaz a equação 113 ou 134 tal que o vetor wi αiui satisfaz wTi M wi 1 ou αiuiT Mαiui 1 ou 135 αi²uTi Mui 1 Isso conduz a escolha especial de Prof José Juliano de Lima Jr αi 1uTi M ui 136 O vetor wi é dito ser normalizado de massa normalização de massa Multiplicando a equação 134 pelo escalar αi conduz λiM K αi ui 0 λiM K wi 0 λi M wi K wi 0 137 prémultiplicando a equação 137 por wTi λiwTi M wi wTi K wi 0 λi wTi K wi 138 pois wTi M wi 1 Agora vamos considerar o vetor vi M12 ui sendo vi normalizado tal que vTi vi 1 Então a substituição Prof José Juliano de Lima Jr viT vi M12 uiT M12 ui uiT M12 M12 ui uiT M ui 1 tal que o vetor vi é normalizado em relação a massa alphai ui Os autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais e podem sempre ser normais Tais vetores são chamados ortonormal O número de operações de pontos flutuantes por segundo flops dos autoproblemas são apresentados a seguir lambdaM u K u Rightarrow 7n3 extflops lambda u M1 K u Rightarrow 15 n3 extflops lambda v ildeK v Rightarrow n3 extflops O fato dos autovetores vi serem ortogonais pode ser usado para desacoplar as equações do movimento de qualquer ordem de um sistema sem amortecimento ou com amortecimento proporcional definindo uma nova matriz P composta dos autovetores normalizados tal que cada vetor forme uma coluna da matriz P Assim a matriz P é definida por P v1 v2 vn 139 com n o número de gdls do sistema A matriz P tem a seguinte propriedade PT P PPT I é uma matriz ortogonal A matriz P é composta pelos autovetores de ildeK Exemplo 16 Escreva a matriz P para o sistema do exemplo 15 e calcule PT P Prof José Juliano de Lima Jr Solução Usando os valores para os vetores v1 e v2 do exemplo 15 escrevese P frac1sqrt2 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix Fazendose PT P frac1sqrt2 frac1sqrt2 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix frac12 beginbmatrix 11 11 11 11 endbmatrix frac12 beginbmatrix 2 0 0 2 endbmatrix beginbmatrix 1 0 0 1 endbmatrix I Exemplo 17 Calcule a matriz espectral PT ildeK P para o exemplo 15 Solução Substituindo os valores temse PT ildeK P frac1sqrt2 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix beginbmatrix 3 1 1 3 endbmatrix frac1sqrt2 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix frac12 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix beginbmatrix 2 2 4 4 endbmatrix frac12 beginbmatrix 4 0 0 8 endbmatrix beginbmatrix 2 0 0 4 endbmatrix beginbmatrix lambda1 0 0 lambda2 endbmatrix Lambda Os elementos da diagonal da matriz espectral Lambda são as frequências naturais ao quadrado omegan12 e omegan22 do sistema ou seus autovalores lambda1 e lambda2 Definese Lambda com a Matriz Espectral Lambda PT ildeK P 13 Análise Modal Teórica A matriz de autovetores P equação 139 pode ser usada para desacoplar as equações dinâmicas de movimento acopladas em n equações desacopladas Prof José Juliano de Lima Jr Considere a equação de vibração livre não amortecida na forma matricial Mddotxt Kxt 0 140 sujeita as condições iniciais x0 x0 e dotx0 dotx0 Como mostrado na seção 12 a substituição de xt M12 qt na equação 140 e a prémultiplicação desta por M12 conduz a Iddotqt ildeK qt 0 141 Note que as condições iniciais no novo sistema de coordenadas são encontradas resolvendo xt M12 qt 142 para o vetor qt e fazendo t 0 Para recuperar qt a equação 142 é prémultiplicada por M12 o qual conduz a qt M12 xt 143 Diferenciando essa equação com respeito ao tempo conduz dotqt M12 dotxt 144 Assim as condições iniciais no novo sistema são q0 q0 M12 x0 e dotq0 dotq0 M12 dotx0 145 Prof José Juliano de Lima Jr Vamos definir um segundo sistema de coordenadas ηtη1t η2t ηntT por qtP ηt 146 qtPηt Substituindo a equação 146 na equação 141 e prémultiplicando esse resultado por PT conduz a PT P ηt PT K P ηt 0 147 Usando o resultado que PT PI e a equação PT K P Λ Isso pode conduzir para Iηt Λ ηt 0 148 Equação Matricial em Coordenadas Modais Seguindo o mesmo procedimento para se obter a equação 144 as condições iniciais no novo sistema são qtP ηt e ηtPT qt Prof José Juliano de Lima Jr η0PT q0 e η0PT q0 149 A equação 148 pode ser escrita como 1 0 0 0 1 0 0 0 1 η1t η2t ηnt ωn12 0 0 0 ωn22 0 0 0 ωn2 η1t η2t ηnt 0 0 0 150 ou η1t ωn12 η1t 0 η2t ωn22 η2t 0 ηnt ωn2 ηnt 0 o que implica em n equações de 1 gdl desacopladas logo ηit ωni2 ηit 0 ηi0 ηi0 i12n 151 A equação 151 é chamada de Equação Modal e a coordenada do sistema ηt é chamada de Coordenada Modal Essas equações são ditas desacopladas porque cada equação depende somente de uma única coordenada Portanto cada equação pode ser resolvida separadamente como no caso de um sistema com 1 um gdl Chamando as condições iniciais por ηi0 ηi0 η20 η10 ηn0 e ηn0 e usando a equação a solução para cada coordenada modal é ηit sqrtηi02 ωni ηi02ωni2 senωni t tg1 ωni ηi0ηi0 i12n 152 Uma vez conhecida a solução modal 152 as transformações M12 e P podem ser aplicadas a ηt para recuperar a solução xt nas coordenadas físicas Para obter o vetor xt a partir do vetor ηt substituise a equação 146 na equação 142 obtendo Prof José Juliano de Lima Jr xtM12 qt xtM12 P ηt 153 O produto matricial M12 P é novamente uma matriz chamada de S que é chamada de Matriz Modal ou Matriz das Formas Modais S M12 P 154 A matriz S pode também reduzir o número de passos necessários na realização das transformações de coordenadas Coordenadas Físicas Acopladas xt ηtS1xt Coordenadas Modais Desacopladas ηt Coordenadas Modais Desacopladas ηt xtSηt Coordenadas Físicas Acopladas xt Tomando a transposta da equação 154 conduz ST M12 PT PT M12 ST PT M12 155 Tomando a inversa da equação 152 conduz S1 M12 P1 P1 M12 S1 PT M12 156 desde que ABT BT AT AB1 B1A1 e PT P I Essas matrizes resultantes podem ser usadas para auxiliar na obtenção da equação 140 pela análise modal teórica A análise modal teórica da equação 140 iniciase com a substituição de xt S ηt Prémultiplicando o resultado por ST temse ST M S ηt ST K S ηt 0 157 Prof José Juliano de Lima Jr Expandiendo a matriz S na equação 157 em seus fatores como dados pela equação 154 vem PT M12 M M12 P ηt PT M12 K M12 P ηt 0 158 ou PT P ηt PT K P ηt 0 159 Usando as propriedades de P conduz a Iηt Λ ηt 0 160 As condições iniciais para ηt são calculadas resolvendo a equação 161 ηt PT M12xt 161 As condições iniciais em ηt são η0 PT M12x0 e η0 PT M12x0 162 Exemplo 18 Obtenha a solução do sistema em vibração livre não amortecida do exemplo 12 em coordenadas modais Solução iv Dados A equação matricial que governa o problema é M xt K xt 0 i com condições iniciais x0 1 0T e x0 0 0T ii Prof José Juliano de Lima Jr 13 Análise Modal Teórica 29 v Cálculo da matriz modal S M12 P 13 0 0 1 12 1 1 1 1 logo S 12 13 13 1 1 iii vi Cálculo de S1 S1 PT M12 12 1 1 1 1 3 0 0 1 então S1 12 3 1 3 1 iv vii condições iniciais nas coordenadas modais São η0 S1 x0 η0 12 3 1 3 1 1 0 η0 12 3 3 v e η0 S1 x0 S1 0 0 Prof José Juliano de Lima Jr 30 Análise Dinâmica de Sistemas com 2 ou mais Graus de Liberdade então η0 0 0 vi viii Solução na coordenada modal Substituindo as equações v e vi na equação 152 temse Para i 1 η1t η102 ωn1 η102 ωn12 senωn1 t tg1 ωn1 η10 η10 Como η10 0 então A1 η10 e ϕ1 π2 Logo η1t η10 senωn1 t π2 η1t 32 cos 2 t vii Para i 2 η2t η202 ωn2 η202 ωn22 senωn2 t tg1 ωn2 η20 η20 Como η20 0 então A2 η20 e ϕ2 π2 Logo η2t η20 senωn2 t π2 η2t 32 cos 2t viii Na forma matricial Prof José Juliano de Lima Jr ηt 32 cos 2t 32 cos 2t ix Solução na coordenada física A solução na coordenada física xt é obtida através da equação xt Sηt xt 1213 13 1 1 32 cos 2t cos 2t xt 12cos 2t cos 2t 32cos 2t cos 2t 14 Sistema com Amortecimento Viscoso A dissipação de energia viscosa pode ser introduzida na solução por análise modal Novamente como na modelagem de um sistema com 1 gdl o amortecimento viscoso é introduzido mais por conveniência matemática do que por uma verdade física Entretanto o amortecimento viscoso é um excelente modelo em muitas situações físicas e representa um progresso significante sobre o modelo sem amortecimento Esse método de modelar o amortecimento é chamado de amortecimento modal O amortecimento modal acrescenta um termo de dissipação de energia na forma 2ζi ωni ηit na equação 151 Logo a equação 151 tornase ηit 2ζi ωni ηit ωni² ηit 0 i12n 163 a qual tem solução na forma para 0ζi1 sistema subamortecido ηit Ai eζiωnit senωdit φi 164 sendo Ai e φi constantes determinadas pelas condições iniciais e Prof José Juliano de Lima Jr ωdi ωni 1 ζi² 165 é a frequência angular natural amortecida Ai ηi0 ζiωni ηi0² ηi0ωdi² ωdi² 166 φi tg¹ ηi0 ωdi ηi0 ζiωni ηi0 167 Para sistema criticamente amortecido ζi 1 a solução é ηit ηi0 ηi0 ωni ηi0t eωnit 168 Já para sistema superamortecido ζi 1 tem a solução ηit Aieζiωnit senhωcit φi Ai ηi0 ζiωni ηi0² ηi0ωci² ωci² φi tg¹ ηi0 ωci ηi0 ζiωni ηi0 ωci ωni ζi² 1 169 Exemplo 19 Considere novamente o sistema em vibração livre do exemplo 17 e calcule a solução do mesmo para um amortecimento modal da forma ζ1 00707 e ζ2 01000 Solução i Dados Do exemplo 17 ωn1 2 rads i Prof José Juliano de Lima Jr ωn2 2 rads ii Como já calculado no exemplo 113 as condições iniciais modais são η0 123 3 iii η0 0 0 iv ii frequências angulares naturais amortecidas logo da equação 165 vem ωd1 2 1 00707² ωd1 141 rads v ωd2 2 1 01² ωd2 199 rads vi iii determinação de Ai e φi Substituindo i a iv nas equações 166 e 167 vem A1 η10 ζ1ωn1 η10² η10ωd1²12 ωd1² 0 00707 2 32² 32 14107²12 14107² A1 21266 vii Prof José Juliano de Lima Jr φ1 tg1 η10ωd1 η10 ζ1ωn1η10 tg1 32 14107 0 00707 2 32 φ1 150 rad 859º viii e A2 η20 ζ2ωn2η202 η20ωd22 ωd2212 0 01 2 322 32 1992 199212 A2 21320 ix φ2 tg1 η20ωd2 η20 ζ2ωn2η20 tg1 32 199 0 01 2 32 φ2 147 rad 842º x iv solução na coordenada física Das equações vii a x temse xt S ηt 12 13 13 1 1 21266 e01t sen141t 150 21320 e02t sen199t 147 05013 e01t sen14107t 150 05025 e02t sen199t 147 15038 e01t sen14107t 150 15076 e02t sen199t 147 Prof José Juliano de Lima Jr v Cálculo da matriz C C M12 C M12 Z PT C P 2ζ1ωn1 0 0 2ζ2ωn2 02 0 0 04 ou Z ST C S C ST Z S1 C 12 3 3 1 1 02 0 0 04 3 1 3 1 12 27 03 03 03 S 12 13 13 1 1 S1 12 3 1 3 1 ST 12 3 3 1 1 Para o sistema dado C c1 c2 c2 c2 c2 logo c1 24 Nsm c2 03 Nsm 15 Amortecimento Proporcional Viscoso O amortecimento pode ser também modelado diretamente Por exemplo considere o sistema da figura Prof José Juliano de Lima Jr Figura 16 Sistema amortecido com 2 gdls A equação do movimento de vibração livre amortecida pode ser encontrada aplicando a 2a Lei de Newton ou utilizando o Método da Energia através da Equação de EulerLagrange m1 0 0 m2 xt c1 c2 c2 c2 c2 xt k1 k2 k2 k2 k2 xt 0 170 A matriz C é simétrica e em geral quadrada em n com n o número de gdl Assim o sistema de equações para um sistema amortecido é representado pela equação 171 Mxt Cxt Kxt 0 171 A dificuldade em trabalhar com esse modelo é que a análise modal teórica não pode ser geralmente usada para resolver a equação 171 Isso é verdade porque o amortecimento impõe um acoplamento adicional entre as equações de movimento e não podem ser sempre desacopladas pela transformação S A análise modal teórica pode ser usada diretamente na solução da equação 171 se a matriz de amortecimento C puder ser escrita como uma combinação linear das matrizes massa e rigidez isto é se C αM βK 172 com α e β constantes Essa forma de amortecimento é chamada Amortecimento Proporcional Substituindo a equação 172 na equação 171 conduz a Prof José Juliano de Lima Jr 15 Amortecimento Proporcional Viscoso 37 M𝑥𝑡 αM βK𝑥𝑡 K𝑥𝑡 0 173 Substituindo 𝑥𝑡 M12 𝑞𝑡 e prémultiplicando por M12 temse I𝑞𝑡 αI β𝑲𝑞𝑡 𝑲𝑞𝑡 0 174 Agora substituindo 𝑞𝑡 P 𝜂𝑡 e prémultiplicando por PT vem I𝜂𝑡 αI βΔ𝜂𝑡 Δ𝜂𝑡 0 175 Isso corresponde a 𝑛 equações modais desacopladas 𝜂𝑖 𝑡 α β 𝜔𝑛𝑖 2 𝜂𝑖 𝑡 𝜔𝑛𝑖2 𝜂𝑖 𝑡 0 𝑖 1 2 𝑛 176 Comparando com a equação de vibração livre com amortecimento viscoso 𝜂𝑖 𝑡 2 ζ𝑖 𝜔𝑛𝑖 𝜂𝑖 𝑡 𝜔𝑛𝑖2 𝜂𝑖 𝑡 0 𝑖 1 2 𝑛 177 encontrase o fator de amortecimento modal 2 ζ𝑖 𝜔𝑛𝑖 α β 𝜔𝑛𝑖 2 ζ𝑖 α 2 𝜔𝑛𝑖 β 𝜔𝑛𝑖 2 𝑖 1 2 𝑛 178 Para determinar os valores de ζ𝑖 devese escolher os valores de α e β Uma forma de fazer esta escolha é analisar separadamente o efeitos dessas constantes nas frequências angulares naturais assim fazendose β 0 na equação 178 obtémse ω𝑛𝑖 1 2 ζ𝑖 α que significa que a alteração de α tem influência nas frequências mais altas como mostra a figura 15 Agora fazendose α 0 na equação 178 obtémse Prof José Juliano de Lima Jr ω𝑛𝑖 2 ζ𝑖 β que significa que a alteração de β tem influência nas frequências mais baixas como mostra a figura 15 Figura 17 a α ω𝑛𝑖 b β ω𝑛𝑖 A solução da equação 177 para o sistema subamortecido 0 ζ𝑖 1 é 𝜂𝑖 𝑡 A𝑖 e ζ𝑖 ω𝑛𝑖 t senω𝑑𝑖 t ϕ𝑖 179 com A𝑖 e ϕ𝑖 condições iniciais A solução para sistema criticamente amortecido é apresentado pela equação 168 e para sistema superamortecido pela equação 169 16 Análise da Resposta Forçada Harmônica Seja o sistema amortecido sujeito a uma excitação harmônica M𝑥𝑡 C𝑥𝑡 K𝑥𝑡 Ft com Ft F0 cos ω t Prof José Juliano de Lima Jr 16 Análise da Resposta Forçada Harmônica 39 A solução 𝑥𝑡 é encontrada usando o Método dos Coeficientes indeterminados no qual a solução 𝑥𝑡 é uma combinação linear da função forçante e suas derivadas 𝑥𝑡 X cos ω t Y sin ω t Derivando em relação ao tempo encontrase a velocidade e a aceleração 𝑥 t ω X sen ω t ω Y cos ω t 𝑥 t ω2 X cos ω t ω2 Y sen ω t Substituindo as derivadas na equação de movimento encontrase os valores de X e Y ω2 MX cos ω t ω2 MY sen ω t ωCY cos ω t ωCX sen ω t KX cos ω t KY sin ω t F0 cos ω t Colocando em evidência seno e cosseno vem ω2 M K X ω C Y F0 cos ω t ω2 M K Y ω C X sen ω t 0 Como essa equação tem que ser igual a zero para todo t 0 escolhese dois instantes de tempo para determinar X e Y ω t 0 e ω t π2 Assim para ω t 0 ω2 M K X ω C Y F0 0 ω2 M K X ω C Y F0 180 Prof José Juliano de Lima Jr e ωt π2 ω²M KY ωCX 0 ω²M KY ωCX 0 181 Se Ft F₀ sen ωt então ω²M KX ωCY 0 ω²M KY ωCX F₀ 182 A resposta de um sistema não amortecido sujeito a uma excitação harmônica do tipo F₀ cos ωt pode ser encontrada fazendose C 0 nas equações 182 e 181 ω²M KX F₀ ω²M KY 0 183 como ω²M K 0 para ω ωₙ implica que Y 0 então X ω²M K¹F₀ A solução da equação fica xt X cos ωt 184 Exemplo 110 Determinar a resposta forçada do sistema não amortecido da figura na coordenada física utilização a solução analítica no tempo para uma excitação harmônica Solução i dados F₁t 0 N F₂t F₂₀ cos ωt N F₂₀ 3 N ω 1 rads M 9 0 0 1 K 27 3 3 3 ii determinação de X usando a matriz inversa X ω²M K¹F₀ i Para determinar a matriz inversa devese calcular o determinante a matriz de cofatores e a matriz adjunta Seja a matriz A A a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ O cofator aᵢⱼ associado a um elemento aᵢⱼ é definido por aᵢⱼ 1ⁱʲDᵢⱼ Definese como menor principal ou complementar ao determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A representado por D D a₂₂ a₂₁ a₁₂ a₁₁ Assim a matriz de cofatores fica etait Ai ezetai omegan i t senomegad i t phii frac1omegad i ezetai omegan i t int0t fi au ezetai omegan i t senomegad i t au d au 191 com Ai e phii determinados a partir das condições iniciais modais e omegad i sqrt1 zetai2 Exemplo 111 Determinar a resposta forçada não amortecida do sistema da figura na coordenada física utilizando a análise modal teórica i dados F1t 0 N F2t 3 cos t N ii vetor de força harmônica modal ft ft PT M12 Ft frac1sqrt2 beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix beginbmatrix 13 0 0 1 endbmatrix beginbmatrix 0 F2t endbmatrix logo ft frac1sqrt2 beginbmatrix F2t F2t endbmatrix frac1sqrt2 beginbmatrix f1 cos omega1 t f2 cos omega2 t endbmatrix frac1sqrt2 beginbmatrix 3 cos t 3 cos t endbmatrix iii solução em regime permanente na coordenada modal A solução em regime permanente modal para uma excitação harmônica é Prof José Juliano de Lima Jr à a₂₂ a₂₁ a₁₂ a₁₁ Para determinar a matriz adjunta basta transpor a matriz de cofatores adjA Ãᵀ a₂₂ a₁₂ a₂₁ a₁₁ A matriz inversa de A é assim determinada A¹ 1A adjA A¹ 1a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ a₂₂ a₂₁ a₂₁ a₁₁ Fazendo A ω²M K k₁ k₂ ω²m₁ k₂ k₂ k₂ ω²m₂ Assim a inversa é A¹ 1k₁ k₂ ω²m₁k₂ ω²m₂ k₂k₂ k₂ ω²m₂ k₂ k₂ k₁ k₂ ω²m₁ Tendose a matriz inversa é possível determinar o vetor de resposta no tempo X A¹F₀ X 1k₁ k₂ ω²m₁k₂ ω²m₂ k₂k₂ k₂ ω²m₂ k₂ k₂ k₁ k₂ ω²m₁ 0 F₂₀ X 1k₁ k₂ ω²m₁k₂ ω²m₂ k₂k₂ k₂F₂₀ k₁ k₂ ω²m₁F₂₀ etait Xi cosomegai t hetai com Xi fracfiomegan i2 betai betai frac1sqrt1ri22 2 zetai ri2 hetai tg1 frac2 zetai ri1 ri2 ri fracomegaiomegan i iv determinação de ri r1 fracomega1omegan 1 frac1sqrt2 Rightarrow r1 frac1sqrt2 r2 fracomega2omegan 2 frac12 Rightarrow r2 frac12 v determinação de betai Como o sistema não é amortecido zeta1 zeta2 0 beta1 frac1sqrt1 frac1sqrt222 Rightarrow beta1 2 beta2 frac1sqrt1 frac1222 Rightarrow beta2 frac43 vi determinação de hetai heta1 tg1 frac2 zeta1 r11 r12 Rightarrow heta1 0 rad heta2 tg1 frac2 zeta2 r21 r22 Rightarrow heta2 0 rad vii determinação de Xi Prof José Juliano de Lima Jr Substituindo os valores encontrase X X 1 24 3 12 9 3 12 1 32 3 12 1 3 24 3 12 9 0 3 X 1 18 2 9 9 54 X 1 3 2 iii determinação de X usando a Regra de Crammer Sejam as matrizes A a11 a12 a21 a22 X X1 X2 F0 F1 F2 formando o sistema linear A X F0 cuja solução X é X1 D1 D X2 D2 D com D1 F1 a12 F2 a22 D2 a11 F1 a21 F2 D a11 a12 a21 a22 Substituindo os valores numéricos vem D1 0 3 3 2 9 D2 18 0 3 3 54 D 18 3 3 2 27 então Prof José Juliano de Lima Jr X1 fracf1omegan 12 beta1 frac3sqrt2 imes 2 imes 2 Rightarrow X1 frac3sqrt2 X2 fracf2omegan 22 beta2 frac3sqrt2 imes 4 imes frac43 Rightarrow X2 frac1sqrt2 viii deslocamentos na coordenada modal eta1t frac3sqrt2 cos t eta2t frac1sqrt2 cos t ix solução na coordenada física xt S etat M12P etat frac1sqrt2 beginbmatrix 13 13 1 1 endbmatrix beginbmatrix eta1t eta2t endbmatrix frac1sqrt2 beginbmatrix frac13 eta1t eta2t eta1t eta2t endbmatrix substituindo os valores xp1t frac13 sqrt2 left frac3sqrt2 cos t frac1sqrt2 cos t right xp2t frac1sqrt2 left frac3sqrt2 cos t frac1sqrt2 cos t right Finalmente xp1t frac13 cos t xp2t 2 cos t Exemplo 112 Determinar a resposta forçada do sistema da figura na coordenada física utilizando a análise modal teórica Prof José Juliano de Lima Jr X1 927 13 X2 5427 2 Assim xt X cos ωt xt 13 2 cos ωt 17 Análise Modal da Resposta Forçada A resposta forçada de um sistema sem amortecimento ou com amortecimento proporcional com n graus de liberdade pode ser determinada utilizando a análise modal teórica A equação de movimento nesse caso toma a forma Mxt Cxt Kxt Ft 185 com Ft F1t F2t FntT O procedimento aqui empregado para a análise modal teórica é o mesmo já empregado para o sistema em vibração livre sem e com amortecimento proporcional No caso do sistema com amortecimento é considerado C proporcional na forma apresentada pela equação 172 Substituindo xt M12 qt na equação 185 e prémultiplicando por M12 temse Iqt Cqt Kqt M12Ft 186 com C M12 C M12 Após o cálculo dos autovalores e dos autovetores de K podese obter a matriz modal P Fazendo qt P ηt e substituindo na equação 186 com esse resultado sendo prémultiplicado por PT temse Prof José Juliano de Lima Jr ηt Z ηt Λ ηt ft 187 com ft PT M12 Ft O vetor ft têm elementos fit o qual é uma combinação linear das forças Fi aplicadas em cada massa Portanto as equações modais desacopladas são ηit 2ζi ωni ηit ωni2 ηit fit 188 cuja solução completa isto é homogênea e particular é dada pela equação ηit ηhit ηpit 189 A solução em regime permanente ou particular pode ser obtida através da Integral de Duhamel ou Integral da Convolução ηpit 0t fiτhit τdτ 190 com hit τ resposta impulsiva hit do sistema defasado de τ A solução homogênea pode ser obtida através das equações 164 a 169 Já as respostas impulsivas são para 0 ζi 0 hit 1ωdi eζi ωni t sen ωdi t ζi 1 hit t eωni t ζi 1 hit 1ωci eζi ωni t senh ωci t Por exemplo a solução geral ηit para um sistema em vibração livre subamortecido 0 ζi 1 é Prof José Juliano de Lima Jr Figura 110 Vibração forçada Solução i dados F₁t 0 N F₂t 3 cos t N ii vetor de força harmônica modal ft ft PᵀM¹²Ft 12 1 1 1 1 13 0 0 1 0 F₂t logo ft 12 F₂t F₂t 12 f₁ cos ω₁ t f₂ cos ω₂ t 12 3 cos t 3 cos t iii solução em regime permanente na coordenada modal A solução em regime permanente modal para uma excitação harmônica é ηit Xi cosωni t θi com Xi fi ωni² βi βi 1 1 ri²² 2 ζi ri² θi tg¹ 2 ζi ri 1 ri² ri ωi ωni Prof José Juliano de Lima Jr iv Determinação de ri r₁ ωdr1 ωn₁ 12 r₁ 07071 r₂ ωdr2 ωn₂ 12 r₁ 05 v Determinação de βi β₁ 1 1 07071²² 2 00707 07071² β₁ 19612 β₂ 1 1 05²² 2 01 05² β₂ 13216 vi Determinação de θi θ₁ tg¹ 2 ζ₁ r₁ 1 r₁² 2 00707 07071 1 07071² θ₁ 020 rad θ₂ tg¹ 2 ζ₂ r₂ 1 r₂² 2 01 05 1 05² θ₂ 013 rad vii Determinação de Xi X₁ f₁ ωn₁² β₁ 3 2 2 19612 X₁ 20801 X₂ f₂ ωn₂² β₁ 3 2 4 13216 X₂ 07009 viii Deslocamentos na coordenada modal η₁t 20801 cost 020 η₂t 07009 cost 013 ix Solução na coordenada física Prof José Juliano de Lima Jr xt Sηt M¹²Pηt 12 13 13 1 1 η₁t η₂t 12 ¹₃η₁t η₂t η₁t η₂t substituindo os valores xp₁t 1 32 20801 cost 020 07009 cost 013 xp₂t 12 20801 cost 020 07009 cost 013 Finalmente xp₁t 049 cost 020 017 cost 013 xp₂t 047 cost 020 050 cost 013 Exemplo 113 Determinar a resposta forçada completa ou geral transitória mais permanente do sistema da figura 12 na coordenada física utilizando a análise modal teórica com condições iniciais x₁₀ 1 m x₂₀ x₁₀ x₂₀ 0 Solução i valores já determinados ωn₁ 2 rads ζ₁ 00707 ωd₁ 14107 rads ωn₂ 2 rads ζ₂ 01000 ωd₂ 199 rads ω₁ 1 rads θ₁ 020 X₁ 20801 ω₂ 1 rads θ₂ 013 X₂ 07009 η₁₀ 3 2 ṡ₁₀ 0 η₂₀ 3 2 ṡ₂₀ 0 ii solução geral na coordenada modal Prof José Juliano de Lima Jr ηit ηhit ηpit ηit Ai eζiωni t sen ωdi t φi Xi cosωi t θi Derivando a equação de deslocamento vem ηit ζi ωni Ai eζi ωni t senωdi t φi Ai ωdi eζi ωni t cosωdi t φi ωi Xi senωi θi iii determinação das constantes φi e Ai Para t 0 vem ηi0 Ai sen φi Xi cos θi ηi0 ζi ωni Ai sen φi Ai ωdi cos φi ωi Xi senθi Da primeira equação sen φi ηi0 Xi cos θi Ai e substituindo essa equação na segunda vem cos φi ζi ωni ηi0 Xi cos θi ηi0 ωi Xi sen θi Ai ωdi Dividindo o seno pelo cosseno encontramos o valor da tangente tg φi ωdi ηi0 Xi cos θi ζi ωni ηi0 Xi cos θi ηi0 ωi Xi sen θi Tomando o seno ao quadrado mais o cosseno ao quadrado igual a 1 encontrase o valor de Ai Ai sqrtηi0 ωi Xi sen θi ζiωniηi0 Xi cos θi2 ωdi2 ηi0 Xi cos θi2 ωdi2 Fazendo Xi 0 nas equações de φi e Ai encontrase os valores para a resposta livre amortecida ou resposta homogênea amortecida Prof José Juliano de Lima Jr tg φi ωdi ηi0 ηi0 ζi ωni ηi0 Ai sqrtηi0 ζi ωni ηi02 ωdi ηi02 ωdi2 Fazendose i 1 e substituindose os valores apresentados no item 1 encontrase respectivamente φ1 e A1 φ1 tg1 14107 x 32 20801 cos 020 00707 x 2 x 32 20801 x cos 020 0 1 x 20801 x sen 020 φ1 tg1 01166 04050 φ1 02804 rad e A12 141072 x 32 20801 cos 0202 141072 00707 x 2 x 32 20801 x cos 020 0 1 x 20801 x sen 0202 141072 A1 sqrt011662 040502 141072 A1 02949 O mesmo procedimento é adotado para encontrar φ2 e A2 φ2 tg1 199 x 32 07009 cos 013 1000 x 2 x 32 07009 x cos 013 0 1 x 070091 x sen 013 φ2 tg1 56044 57235 φ2 07749 rad e A22 1992 x 32 07009 cos 0132 1992 1000 x 2 x 32 07009 x cos 013 0 1 x 070091 x sen 0132 1992 Prof José Juliano de Lima Jr A2 sqrt560442 572352 1992 A2 40254 iv solução na coordenada modal A solução do deslocamento modal η1t é encontrada substituindo os valores de A1 e φ1 na equação de deslocamento do item ii do exemplo η1t 02949 e00707 x 2 t sen141 t 02804 20801 cost 020 η1t 02949 e01 t sen141 t 02804 20801 cost 020 Já a solução do deslocamento modal η2t é encontrada substituindo os valores de A2 e φ2 na equação de deslocamento do item ii do exemplo η2t 40254 e01000 x 2 t sen199 t 07749 07009 cost 013 η2t 40254 e02 t sen199 t 07749 07009 cost 013 v solução na coordenada física Aplicase a equação xt S ηt M12 P ηt 12 13 13 1 1 η1t η2t 12 13η1t η2t η1t η2t então x1t 00695 e01 t sen141 t 02804 04903 cost 020 094888 e02 t sen199 t 07749 01652 cost 013 e x2t 02085 e01 t sen141 t 02804 14708 cost 020 28464 e02 t sen199 t 07749 04956 cost 013 Exemplo 114 Determina a resposta da vibração livre ou resposta homogênea na coordenada física para o sistema da figura 12 usando a solução por espaço de estados Solução Prof José Juliano de Lima Jr