Cinética e Projeto de Reatores - Determinação da Velocidade por Método Diferencial

11092025 EXERCÍCIO INTRODUÇÃO A CINÉTICA E PROJETO DE REATORES IRN020 Sistemas de Tratamento de Águas Residuárias Industriais UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE RECURSOS NATURAIS Profa Dra Herlane Costa Calheiros DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE A PARTIR DE EXPERIMENTOS PELO MÉTODO DIFERENCIAL Objetivo utilização da diferenciação numérica para determinação da ordem n e constante de velocidade de reação k EXEMPLO 1 Uma reação homogênea e irreversível A P foi realizada em um reator em batelada e a Tabela 11 apresenta os valores da concentração do reagente A CA em função do tempo DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE A PARTIR DE EXPERIMENTOS PELO MÉTODO DIFERENCIAL Reação homogênea todos os reagentes estão na mesma fase líquida Reação irreversível existe pelo menos um reagente limitante Reator em batelada temperatura e volume constantes entra sai 0 Reação Balanço de massa no reator Acúmulo dentro do reator entra sai reage Acúmulo A reage A e V cte dCAVdt rAV VdCAdt rAV dCAdt rA kCAn dCAdt kCAn Ln dCAdt LnkCAn Lnk nLnCA Ln dCAdt Lnk nLnCA Equação de uma reta com o coeficiente angular corresponde a ordem da reação n e o coeficiente linear ao logaritmo natural da constante de velocidade da reação lnk Para obter n e k preciso plotar x LnCA e y LndCAdt DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE A PARTIR DE EXPERIMENTOS PELO MÉTODO DIFERENCIAL Para obter y LndCAdt preciso calcular a derivada total da concentração do reagente A em função do tempo t O método mais utilizados para isso é o ajuste de polinômio consiste em ajustar um polinômio com grau m pequeno 3 a 5 aos dados da concentração do reagente em função do tempo Uma vez ajustado o polinômio os valores da derivada da concentração do reagente podem ser estimados em qualquer tempo Cuidado na escolha do polinômio Polinômios com elevado grau acima de 5 podem gerar curvas com picos e vales no ajuste da concentração e reproduzir ruído experimental Por outro lado polinômios com baixo grau 1 ou 2 podem não capturar a tendência dos dados Ex Polinômio de grau 4 𝑝𝑡𝑎4𝑡4 𝑎3𝑡3 𝑎2𝑡2 𝑎1𝑡 𝑎0 derivada analítica do polinômio de grau 4 𝑝𝑡 4𝑎4𝑡3 3𝑎3𝑡2 2𝑎2𝑡 𝑎1 RESOLUÇÃO EXEMPLO 1 1º passo obter os valores da derivada da concentração do reagente A dCAdt e do logaritmo natural da concentração LnCA Para o cálculo da derivada utilizouse o ajuste polinomial de grau 4 pt 0004263t4 0130262t3 1528389t2 8417086t 19118333 Obtevese analiticamente a derivada do polinômio pt 40004263t3 30130262t2 21528389t 8417086 pt 0017052t3 0390786t2 3056778t 8417086 RESOLUÇÃO EXEMPLO 1 2º passo construir o gráfico de ln dCAdt em função de lnCA Assim é possível determinar a ordem da reação coeficiente angular e a constante de velocidade coeficiente linear da equação linear ajustada regressão linear A partir da equação ajustada encontrase Coeficiente angular 09381 Coeficiente linear 06306 Logo a ordem da reação n é 094 e a constante de velocidade da reação k é igual a 05323 lnk 063 k exp0631 05323 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t min 013 022 037 060 100 164 1213 736 446 271 2000 CA moldm3 012 013 024 032 046 077 573 373 230 135 842 dCAdt moldm3 min1 204 000 051 099 151 049 250 200 150 100 300 LnCA 175 132 083 030 026 077 114 142 205NÚM 213 ln dCAdt dCAdt 05323CA094 dCAdt 05323CA094 dCACA094 05323dt 1 2 3 4 5 6 11092025 EXEMPLO 6 No Exemplo 2 foi assumido que o reator se comporte hidraulicamente com um reator de mistura completa com um volume total igual a 500 m3 O que ocorreria com a qualidade do efluente caso este reator fosse desmembrado em um conjunto de reatores de mistura completa em série cuja somatória de volumes permanecesse igual a 500 m3 Resposta A qualidade do efluente melhora com o número de CSTRs em série A Figura apresenta um fluxograma de um sistema de tratamento de águas residuárias de um indústria Inicialmente a água residuária industrial passa por um processo de separação sólidolíquido por gravidade decantação apresentando este uma taxa de remoção de sólidos de 85 A seguir a fase líquida é encaminhada para um sistema de microfiltração objetivando remover todas as demais partículas não retidas nos decantadores Os sólidos concentrados de ambas as linhas é a seguir encaminhada para um filtroprensa de placas para desidratação e posterior retorno ao início do tratamento da água residuária industrial Com base nas informações fornecidas calcule todas as vazões sólidas e líquidas do processo de tratamento apresentado Admita que a massa específica do lodo desidratado seja igual a 1100 kgm3 e dos lodos gerados no decantador e no sistema de microfiltração sejam iguais a 1000 kgm3 Decantação Microfiltração Filtroprensa Teor de sólidos 1 Teor de sólidos 60 Teor de sólidos 4 Vazão 100 Ls C01000 mgL Taxa de captura de sólidos 85 Taxa de captura de sólidos 100 Taxa de captura de sólidos 95 EXEMPLO 7 RESOLUÇÃO EXEMPLO 7 Dados Vazão externa alimentação fresca Qext 100 Ls 01 m3s Concentração de sólidos na alimentação externa C0 1000 mgL 10 kgm3 Massa de sólidos externa Mext QextC0 0110 01 kgs 360 kgh Decantador captura 85 dos sólidos Microfiltração MF captura 100 dos sólidos que chegam nela Teor fração mássica de sólidos nos lodos lodo do decantador xdec 4 004 lodo da microfiltração xmf 1 001 Filtroprensa captura 95 dos sólidos que entram nele ou seja 5 dos sólidos saem do filtroprensa e é recirculado ao início conforme o fluxograma Teor da torta do filtroprensa cake xcake 60 060 Densidades usadas lodos decantador e MF ρlodo1000 kgm3 1 kg de lodo 1 L torta desidratada ρcake 1100 kgm3 Observação sobre recirculação o efluente do filtroprensa retorna ao ponto antes dos decantadores seta do fluxograma Isso gera um loop de sólidoságua que altera os valores dentro do sistema RESOLUÇÃO EXEMPLO 7 Balanço de massa de sólidos que entra no decantador incluindo a parcela reciclada Carga de sólidos da água residuária M0 Q0C0 01 m3s 10 kgm3 01 kgs Carga de sólidos que entra no decantador M M0 5M0 M01 005 01 kgs 105 0105 kgs Sólidos removidos nos decantadores Carga de sólidos removida no decantador Mdec 85M 0850105 kgs 08925 kgs Lodo produzido nos decantadores do decantador Mlododec Mdec 4 08925 kgs 004 223125 kgs Volume de lodo no decantador Vlododec Mlododec ρlodo 223125 kgs 1000 kgm3 223125 103 m3s 103 Lm3 223125 Ls Decantação Microfiltração Filtroprensa Teor de sólidos 1 Teor de sólidos 60 Teor de sólidos 4 Vazão 100 Ls C01000 mgL Taxa de captura de sólidos 85 Taxa de captura de sólidos 100 Taxa de captura de sólidos 95 RESOLUÇÃO EXEMPLO 7 Sólidos removidos na microfiltração 15 de M que saiu dos decantadores captura de 100 Carga de sólidos removida na microfiltração Mmf 15M 0150105 kgs 001575 kgs Lodo produzido na microfiltração Mlodomf Mmf 1 001575 kgs 001 1575 kgs Volume de lodo no decantador Vlodomf Mlodomf ρlodo 1575 kgs 1000 kgm3 1575 103 m3s 103 Lm3 1575 Ls Entrada total de lodo a filtroprensa Carga de sólidos no filtroprensa Mfp Mdec Mmf 08925 001575 090825 kgs Carga de lodo no filtroprensa Mlodofp Mlododec Mlodomf 223125 1575 380625 kgs Volume de lodo no filtroprensa Vlodofp Mlodofp ρcake 380625 kgs 1100 kgm3 103 Lm3 34602 Ls Decantação Microfiltração Filtroprensa Teor de sólidos 1 Teor de sólidos 60 Teor de sólidos 4 Vazão 100 Ls C01000 mgL Taxa de captura de sólidos 85 Taxa de captura de sólidos 100 Taxa de captura de sólidos 95 RESOLUÇÃO EXEMPLO 7 Filtroprensa captura 95 dos sólidos torta 5 fica no filtrado Sólidos retidos na torta Mcakes 095M 0100 kgs 360 kgh Observação importante a massa de sólidos na torta equivale exatamente à massa de sólidos que entra externamente 360 kgh Ou seja o sistema retém em regime toda a fração sólida proveniente da alimentação externa na torta a pequena parcela 5 de M fica no filtrado mas é recirculada até ser novamente capturada pelo filtroprensa de modo que a torta final contém a massa externa Massa total da torta com 60 de sólidos Mcaketotal Mcakes060 01666667 kgs Volume da torta densidade 1100 kgm³ Vcake 01666667 1100 0000151515 m3s 0151515 Ls Filtrado do filtroprensa retorna ao início recirculação Massa de filtrado total de lodo total da torta 380625 01666667 36491228 kgs volume 36491 Ls assumindo densidade 1000 kgm³ Sólidos no filtrado 005M 000526316 kgs Concentração de sólidos no filtrado cfil 000526316 kgs 00036491228 m3s 14423 kgm3 1442 mgL Decantação Microfiltração Filtroprensa Teor de sólidos 1 Teor de sólidos 60 Teor de sólidos 4 Vazão 100 Ls C01000 mgL Taxa de captura de sólidos 85 Taxa de captura de sólidos 100 Taxa de captura de sólidos 95 19 20 21 22 23 24 11092025 RESOLUÇÃO EXEMPLO 7 Permeado final saída após MF Vazão do permeado que sai para jusante após MF Qperm Q Vdec Vmf 100 223125 1575 9819375 Ls Como a MF retém 100 dos sólidos que lhe chegam o permeado teoricamente sai praticamente sem sólidos a parcela sólida é enviada ao filtroprensa Em regime a torta do filtroprensa contém os 360 kgh de sólidos externos Decantação Microfiltração Filtroprensa Teor de sólidos 1 Teor de sólidos 60 Teor de sólidos 4 Vazão 100 Ls C01000 mgL Taxa de captura de sólidos 85 Taxa de captura de sólidos 100 Taxa de captura de sólidos 95 25 26 RESOLUÇÃO EXEMPLO 1 0ª ordem reta decrescente até zero 1ª ordem decaimento exponencial mais suave com o tempo 2ª ordem decaimento mais rápido no início e depois mais lento com forma hiperbólica Resultados dos ajustes lineares 0ª ordem CA vs t slope 16126 intercept 126680 R² 07154 se fosse 0ª ordem k 16126 moldm³min¹ 1ª ordem ln CA vs t slope 05018 intercept 30013 R² 0999962 se é 1ª ordem lnCA lnC₀kt k 05018 min¹ CA₀ 30013 2008 moldm³ 2ª ordem 1 CA vs t slope 0611636 intercept 1323780 R² 07046 se fosse 2ª ordem 1CA 1CA₀ kt k 0611636 dm¹mol¹min¹ Conclusão isso indica que a reação experimental é de primeira ordem A constante de velocidade estimada é k 05018 min¹ e o CA₀ estimado pelo ajuste é 2008 moldm³ coincide com o dado inicial 2000 RESOLUÇÃO EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 Um reator é utilizado para tratar uma água residuária industrial utilizando uma reação que remove o poluente seguindo cinética de primeira ordem com constante de velocidade k de 0216 dia¹ O volume do reator é 600 m³ e a vazão do despejo é de 50 m³dia Sabendose que a concentração do poluente na corrente de descarga da indústria é 100 mgL descubra qual é a concentração após o tratamento Qual a eficiência do sistema grau de conversão Responda essas questões considerando a seguir e compare os resultados a Um reator de mistura completa CFSTR ou CSTR b Um reator tubular ideal PFR RESOLUÇÃO EXEMPLO 2 Dados Cinética de primeira ordem r kC Constante de velocidade k 0216 dia¹ Volume do reator V 600 m³ Vazão Q 50 m³dia Concentração de entrada C₀ 100 mgL Eficiência E C₀ CC₀ 100 Cálculo do tempo de detenção hidráulica TDH que é igual a θ VQ 60050 10 dias CSTR C C₀1 kθ PFR C C₀eᵏθ RESOLUÇÃO EXEMPLO 2 1 Reator de Mistura Completa CSTR Para um CSTR com reação de primeira ordem a concentração na saída C é dada por C C₀1 kθ Substituindo os valores C 1001 0216 x 10 100316 3165 mgL Eficiência grau de conversão do poluente Eficiência C₀ CC₀ x 100 1003165100 x 100 6835 2 Reator Tubular Ideal PFR Para um PFR Plug Flow Reactor com reação de primeira ordem a relação é C C₀eᵏθ Substituindo os valores C 100exp021610 100exp216 Calculando exp216 exp216 0115 Então C 100 0115 115 mgL Eficiência Eficiência 100115100 x 100 885 RESOLUÇÃO EXEMPLO 2 Conclusão O PFR tubular ideal é mais eficiente do que o CSTR mistura completa para a mesma condição hidráulica e reações de primeira ordem porque no PFR não há mistura completa permitindo que cada elemento de fluido tenha maior tempo de contato favorecendo a reação CSTR X PFR Características CSTR PFR Concentração dentro do reator Homogênea igual à saída Varia ao longo do reator máxima no início mínima no fim Tempo de residência Uniforme para todo o líquido Distribuído cada elemento de fluído tem tempo definido Conversão para mesma ordem e volume Geralmente menor Geralmente maior O CSTR é mais eficiente que o PFR quando A reação é de ordem zero e pode alcançar a conversão desejada com menos volume de reator do que o PFR Existe inibição ou reversibilidade que se beneficia da homogeneização evitando formação excessiva do produto reverso A concentração inicial do poluente é muito baixa O processo exige controle uniforme da concentração O PFR é mais eficiente que o CSTR quando A reação depende da concentração do poluente ordem 1 Se deseja menor volume de reator O poluente é instável porque o tempo de residência no CFR ajuda a evitar degradação ou formação de subprodutos Há alta concentração inicial de contaminantes porque o CFR aproveita melhor a concentração inicial alta reagindo rapidamente em menor volume enquanto no CSTR a homogeneização diminui a taxa média de reação EXEMPLO 3 Uma água residuária industrial com vazão de 20 m³dia e DQO de 5000 mgL deve ser tratada antes de ser lançada em um corpo dágua De acordo com a legislação do local onde está instalada a indústria a DQO deve ser menor que 100 mgL para ser lançada no corpo receptor Considerando a aplicação de processo biológico com organismos que degradam a matéria orgânica seguindo reação de primeira ordem com constante cinética de 06 h¹ qual o tempo de residência tempo de detenção hidráulica e volume necessários para um reator de mistura completa Este reator poderia ser substituído por reator tubular ideal com vantagens RESOLUÇÃO EXEMPLO 3 Dados Vazão Q 20 m³dia Concentração inicial C₀ 5000 mgL Concentração final desejada C 100 mgL Constante cinética primeira ordem k 06 h¹ Tipo de reator CSTR Mistura completa Pedese θ e V Conversão da unidade da vazão Q 20 m³dia 24 hdia Q 0833 m³h Reação de 1ª ordem em CFSTR C C₀ 1 kθ Reação de 1ª ordem em PFR C C₀eᵏθ RESULTADO EXEMPLO 3 O CSTR precisa de 68 m³ e 82 h para atingir a mesma remoção O PFR precisa de apenas 54 m³ e 65 h muito mais eficiente em termos de volume e tempo de detenção Vantagens do PFR Menor volume de reator Menor tempo de detenção Menor custo de construção e operação Observação PFR pode não ser adequado se houver riscos de instabilidade do efluente ou necessidade de controle mais uniforme da mistura mas em termos de eficiência para uma reação de primeira ordem ele é muito superior