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Engenharia Bioquímica ·
Modelagem e Simulação de Processos
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE RECURSOS NATURAIS EBP029 MODELAGEM E DINÂMICA DE BIOPROCESSOS Prof Guilherme Youssef Rodriguez 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 2º SEMESTRE2024 PARTE I MODELAGEM MATEMÁTICA Exercício 1 A enzima betagalactosidase apresenta um papel importante na indústria de bioprocessos pois biocatalisa reações de conversão de substratos em produtos de interesse comercial Considere um biorreator enzimático tubular de geometria cilíndrica no qual a enzima betagalactosidase está imobilizada em pellets de alginato de sódio O equipamento é alimentado com uma corrente contendo solução aquosa do substrato e conforme ela avança no biorreator axialmente o substrato é convertido Use a seguinte notação S Concentração de substrato molvolume So Concentração de substrato na alimentação F Vazão volumétrica z Coordenada axial D Diâmetro do biorreator L Comprimento do biorreator XS Conversão do substrato r Velocidade ou taxa volumétrica taxavolume de consumo de substrato pela enzima Km Constante de MichaelisMenten ou constante de afinidade da enzima ao substrato rmax Velocidade máxima de consumo de substrato pela enzima Primeiramente leia as hipóteses abaixo e em seguida responda as questões Elas irão guiar a modelagem matemática Hipóteses I Regime permanente estado estacionário II Vazão volumétrica constante III Processo isotérmico IV Escoamento pistonado ausência de gradientes radiais V A cinética enzimática segue o modelo de Michaelis e Menten 1913 S K S r r m max 2 VI Processos reativos são limitantes frente aos de transferência de massa Isso significa que a transferência de massa é muito mais rápida em relação à reação bioquímica de modo que a primeira nem é considerada no modelo Apenas fenômenos limitantes são considerados VII A conversão de substrato em qualquer posição é dada por XS SOS SO VIII Parâmetros cinéticos e demais propriedades são constantes Faça o que se pede a A hipótese de regime permanente tem qual impacto no modelo matemático final b Tratase de um modelo à parâmetros concentrados ou distribuídos Por quê c Considerando as hipóteses e sem fazer qualquer modelagem ainda o modelo final será de qual tipo Dica é uma das possibilidades listadas do Capítulo 4 ao Capítulo 10 Veja a ementa d Citeaponte uma equação constitutiva usada nessa questão e Elabore um esboço do volume de controle utilizado e marque todas as principais variáveis envolvidas O volume de controle é o biorreator tubular inteiro ou um pedaço dele Por quê f Obtenha um modelo matemático que quando resolvido descreva como a conversão do substrato varia ao longo do comprimento posição axial do biorreator tubular Não é necessário resolver o modelo matemático apenas obtenha ele Dica sabendo que a concentração de substrato S está em molL então o melhor balanço a se aplicar é do tipo molar para a espécie S Exercício 2 Um termopar estava exposto inicialmente ao ar cuja temperatura era T0 Repentinamente este sensor é colocado em contato com um fluido quente à temperatura constante Tf sendo que TfT0 O termopar é uma haste metálica e cilíndrica cuja temperatura é uniforme Denote como sendo m a massa da haste cilíndrica e que a capacidade térmica específica do material do termopar seja cp Denote também o coeficiente convectivo de transferência de calor como h a área de contato termoparfluido como A Além disso Tf é a temperatura do fluido e T a temperatura do termopar em qualquer instante Inicialmente o equipamento está a temperatura ambiente T0 Considere as hipóteses abaixo e depois responda as questões que seguem Hipóteses I Regime transiente II Processos convectivos são limitantes frente aos processos condutivos III O fluxo de calor por convecção é dado por 𝑞 ℎ𝑇𝑓 𝑇 onde TfT IV Não há gradiente de temperatura na haste do termopar 3 a Se os efeitos de resistêncialimitação relacionados à condutividade térmica puderem ser ignorados o aumento de temperatura mensurado pelo termopar é devido a que tipo de mecanismo de transferência de calor b O modelo matemático é classificado como sendo de parâmetros concentrados ou distribuídos Por quê c Que tipo de modelo matemático esperase obter considerando o problema descrito e as hipóteses d Citeaponte uma equação constitutiva usada nessa questão e Obtenha um modelo matemático que quando resolvido visa descrever a variação da temperatura do termopar T com relação ao tempo t Não é necessário resolver apenas obtenha o modelo matemático f Sugira uma alteração ou proponha outra hipótese para que o modelo matemático seja uma EDP g Agrupe apropriadamente os parâmetros do modelo matemático para definir uma constante de tempo do sistema τ No semestre que vem em Instrumentação e Controle de Bioprocessos EBP030 falaremos sobre essa constante de tempo Afinal o termopar é um instrumento de medição Essa questão voltará em EBP030 para abordarmos a resposta de sistemas dinâmicos Exercício 3 Um reator contínuo de mistura perfeita CSTR apresentado na figura logo mais abaixo opera em regime transiente e foi projetado para conduzir a reação de decomposição A2B Assuma que a reação é exotérmica e por esse motivo o sistema está encamisado por uma manta de resfriamento na qual circula um fluido refrigerante Considere as hipóteses abaixo bem como o esquema do CSTR e responda as questões que seguem I Regime transiente A modelagem matemática de um reator CSTR em regime transiente é útil no start início da operação desse equipamento e na implementação de sistemas de controle EBP030 Usaremos isso no semestre que vem II Parâmetros concentrados Por quê III A reação é A2B Tratase de uma reação exotérmica com entalpia de reação ΔHA Energiamol de A Portanto ele é negativo IV A lei cinética de consumo desaparecimento do reagente A é dada por rAkCA onde RT Ea koe k V A manta de resfriamento remove calor a uma taxa dada por UATTc Observar que TcT Assuma que a temperatura do fluido térmico TC é uma constante já conhecida VI A taxa na qual o calor de reação é liberado é dada por rAVΔHA Faça a análise dimensional e confirme que essa expressão tem dimensão de energiatempo VII O volume do sistema é constante VIII Propriedades como densidade e capacidade térmica são constantes 4 Onde F Vazão volumétrica To T Temperaturas corrente de entrada e corrente de saída respectivamente CAO CA CB Concentrações molares reagente A na alimentação reagente A na saída e produto B respectivamente V Volume do reator A Área de troca térmica da manta de resfriamento Q Taxa de energia removida do sistema ρ cp ΔHA Densidade capacidade térmica específica e calor de reação por mol de A consumido U Coeficiente global de transferência de calor Tc Temperatura do fluido refrigerante contido na camisa Assuma que ela é constante em que situação isso é razoável de se admitir conforme o exposto em aula rA Velocidade volumétrica de consumo do reagente A ela tem dimensão de mol A por tempo por volume k Constante cinética da reação de primeira ordem ko Fator de frequência da reação Ea Energia de ativação da reação a O modelo matemático final será formado por apenas uma única equação ou por um sistema de equações Por quê b A constante cinética k nesse caso não é mais uma constante Por quê c Cite uma equação constitutiva usada nessa questão d Obtenha um modelo matemático que quando resolvido permite encontrar CA CB e T em função do tempo de operação do CSTR CA e CB são as concentrações molares de A e B dentro do CSTR e T é a temperatura do reator Não é necessário resolver as equações Apenas obtenha elas e Olhe para a resposta do item d Altere qualquer hipótese ou até mesmo alguma imposição original do problema para que haja mais uma equação do mesmo tipo a ser acoplada no modelo do item d FCAOTOρcP V Entrada do fluido refrigerante Saída do fluido refrigerante FCATρcP 5 Exercício 4 Em 1913 Michaelis e Menten propuseram um modelo matemático para descrever o processo de cinética enzimática na qual um substrato S é acoplado a uma enzima E para se transformar em um produto P Como todo modelo matemático os autores citados valeramse de um conjunto de hipóteses sendo que a principal delas foi assumir equilíbrio bioquímico na etapa de acoplamento enzimático Assim obtiveram a famosa equação homônima Mais adiante em 1925 Briggs e Haldane propuseram um modelo matemático que visava descrever exatamente o mesmo processo enzimático mas sob outra hipótese a de estado pseudoestacionário É essa hipótese que será o tema deste exercício a O processo que todos os autores citados visavam descrever matematicamente está representado pela seguinte equação bioquímica SE ES EP Em palavras o substrato S é acoplado a enzima E formando o complexo instável e energeticamente ativado ES mediante um mecanismo reversível Ao mesmo tempo o complexo ES se desfaz gerando irreversivelmente o produto P Assumindo que os experimentos são conduzidos em um biorreator descontínuo obtenha um modelo matemático que quando resolvido permite obter perfis transientes de S ES e P Não resolva apenas apresente o modelo Considere as seguintes hipóteses I Regime transiente II Mistura perfeita e volume constante III As leis cinéticas de desaparecimento são todas elementares ou seja são as constantes cinéticas multiplicadas pelas concentrações das respectivas espécies elevadas aos respectivos coeficientes estequiométricos Por exemplo rSk1SE IV Inicialmente estão presentes apenas o substrato na quantidade SO e a enzima na quantidade EO ambas concentrações molares conhecidas V Após o início do processo toda a concentração inicial da enzima EO está na forma livre E ou complexada ES Então EOEES Assim sempre que aparecer a enzima livre E no modelo matemático substituir por EOES Notações S E ES e P Concentrações molares ki Constantes cinéticas todas são conhecidas k1 k2 k3 6 b A hipótese de Briggs e Haldane considera que nesse tipo de reação bioquímica o complexo ES é um intermediário energeticamente ativado A sua taxa de variação é assumida quase nula conforme a reação avança caracterizando a Hipótese de Estado Pseudo Estacionário HEPE Ou seja ele é transiente mas há uma hipótese que torna uma das variáveis como sendo estacionária Valendose dessa hipótese e lembrando que a concentração molar da enzima segue a relação EOEES aplique a HEPE por meio desses passos 1 Anule a derivada do complexo ativado no item a Vai aparecer uma equação Guarde ela 2 Substitua a equação obtida no passo 1 na equação que descreve a taxa de variação de S no item a No final vai ficar tudo em função de k3 e ES Agora isole o ES na equação do passo 1 e substitua ele aqui Não é para resolver qualquer EDO que apareça 3 Faça alguns algebrismos simples no item 2 para mostrar que a equação final do modelo matemático de Briggs e Haldane para a cinética enzimática é IGUAL ao modelo de matemático de Michaelis e Menten O que muda é apenas a forma como as constantes do modelo são calculadas em função de k1 k2 k3 e EO Exercício 5 Uma serpentina confeccionada na forma de um tubo de cobre está imersa em um banho termostatizado mantido a temperatura constante Tf O líquido que escoa através do interior da serpentina entra à temperatura T0 sendo que a temperatura desse fluido interno diminui conforme ele avança na serpentina pois ele perde calor para o fluido termostatizado externo T0Tf O banho é bem agitado e a resistência térmica da parede do tubo cobre também pode ser desprezada Assim a temperatura da parede do tubo pode ser assumida igual à temperatura do banho Além disso o diâmetro da serpentina é pequeno o suficiente para desprezar a variação das propriedades ao longo da direção radial Além da descrição do problema considere as seguintes hipóteses I Estado estacionário II Processo com escoamento e distribuição axial de temperatura III A convecção de calor no sentido fluidobanho limita o processo frente à condução IV O fluxo de calor que ocorre por convecção é dado por qhTTf V A taxa na qual a entalpia é transportada no escoamento é dada por H m cpTTref VI O perfil de escoamento dentro da serpentina é pistonado sendo que a velocidade de escoamento é conhecida constante e vale vo VII Propriedades e parâmetros do modelo são constantes Agora responda as seguintes questões a Esse processo envolve balanço de energia com escoamento de fluido convecção forçada ou advecção Quando isso ocorre que variável energética aparece na equação do balanço de energia 7 b O balanço que iniciará a modelagem matemática será aplicado tendo como volume de controle a serpentina toda ou apenas uma parte bem pequena dela Por quê c Considerando a descrição do problema e as hipóteses fornecidas que tipo de modelo matemático será obtido no final Por quê d Cite uma equação constitutiva usada nessa questão e Obtenha um modelo matemático que quando resolvido permita encontrar uma função matemática que descreve como a temperatura do fluido T varia ao longo do comprimento da serpentina z f OPCIONAL Resolva analiticamente o modelo matemático obtido no item d pois esse é fácil de resolver para estimar o comprimento L que a serpentina deverá ter para que a temperatura do fluido na saída seja de 205 ºC A sugestão é usar recursos do Scilab ou do Excel para automatizar os cálculos Além disso plote o gráfico de T versus z Abaixo estão os dados e demais informações para resolver esse item T0 22 ºC temperatura na qual o fluido entra na serpentina Tf 20 º C temperatura do banho termostatizado cp 1 kcalkgºC capacidade térmica D 002 m diâmetro interno da serpentina vo 1 ms velocidade de escoamento do fluido dentro da serpentina ρ 1000 kgm3 densidade do fluido μ 0001 kgms viscosidade do fluido k 143104 kcalsmK condutividade térmica do fluido Correlação para o cálculo de h coeficiente convectivo de transferência de calor em escoamento turbulento proposta por Sider e Tate Bird et al 1960 Nu0026Re08Pr13 Onde Número de Reynolds μ ρv D Re Número de Prandtl k c μ Pr k Número de Nusselt hD Nu o p 8 PARTE II SCILAB ESTA SEÇÃO É OPCIONAL E SERVE PARA TREINAR AS HABILIDADES NO SCILAB FAÇA SOMENTE APÓS AS PRIMEIRAS AULAS PRÁTICAS Exercício 6 Defina em um arquivo do tipo script do Scilab as variáveis a1475 b592 c614 d06abc e calcule as seguintes expressões i ab d a c ab a 2 ii d c b a b 35 a cd 25 ad de 2 d iii senabc coslnalogc iv cosha 2 e e a a Exercício 7 Crie as seguintes entidades no Scilab i 6 5 8 arctg1 e sen2 52 1 π4 5 A 3 2 ii 1 4 v1 5 9 iii 7 9 8 v2 Pedese para realizar as seguintes operações no Scilab a Extrair as dimensões de cada entidade b Extrair o elemento a23 e o 2º elemento de v2 c Extrair a 2ª coluna de A e a 3ª linha de A d Extrair a submatriz quadrada compreendida entre os elementos a21 e a32 da matriz A e Extrair a submatriz de A compreendida entre a 2ª e 3ª linha e 1ª e 3ª coluna f Criar uma matriz B que se obtém pela extração da 1ª e 3ª coluna de A g Criar uma cópia da matriz A em uma matriz C e nessa nova matriz realizar uma permutação entre a 1ª linha e a 3ª linha h Calcular o determinante de A e de C i Calcular a matriz inversa de A e C Calcular seus determinantes j Criar uma matriz unitária quadrada de ordem 3 e armazenála na variável K Agora defina a primeira linha de K como sendo o cosseno da 2ª linha de A e substitua o conteúdo de v1 na 3ª linha de K k Substituir o vetor v1 na segunda linha de A l Substituir o vetor v2 na terceira coluna de A m Substituir o vetor v1 na primeira coluna de A n Calcule o produto escalar entre v1 e v2 E entre v2 e v1 o Multiplique matricialmente A e C Agora multiplique pontualmente A e C Exercício 8 Estime a máxima potência de um circuito elétrico com resistência variável R Faça da seguinte maneira a Crie um vetor de resistências de 1Ω até 100Ω em incrementos de 1Ω 10 b Calcule o valor da corrente elétrica para cada resistência conforme a Lei de Ohm 50Ω 120V e R R com U R U i int int c Calcule a potência fornecida para cada valor de R através da seguinte equação P Ri2 d Plote P versus R Coloque título e rótulos de eixos Qual o valor estimado da potência máxima e qual resistência fornece esse valor Exercício 9 O arco Gateway em St Louis tem sua forma descrita pela seguinte equação 3038 x 2097cosh 2115 y Trace o gráfico desse arco no intervalo 9121x9121 Exercício 10 Explique com suas palavras qual o objetivo de cada declaração a seguir a deffyfxf1x12x222f2x12x2291 b vetor12345 matrizones52 for i15 matrizi1vetori 11 end for i15 matrizi2vetori2 end dispmatriz c NlinhaskNcolunasksizek NlinhasVNcolunasVsizeV d a1 b2 c5 discb24ac if disc0 then x1bsqrtdisc2a x2bsqrtdisc2a elseif disc 0 x1b2a elseif disc0 parterealb2a partecompsqrtabsdisc2a end e plottC xlabelTempo s ylabelConcentração gmL Exercício 11 Programe uma rotina que determine a soma dos elementos positivos de um vetor de qualquer tamanho 12 Exercício 12 Crie um comando que determine as coordenadas polares de um ponto fornecido em coordenadas cartesianas O usuário deverá entrar com x e y para então o Scilab retornar r e θ
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE RECURSOS NATURAIS EBP029 MODELAGEM E DINÂMICA DE BIOPROCESSOS Prof Guilherme Youssef Rodriguez 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 2º SEMESTRE2024 PARTE I MODELAGEM MATEMÁTICA Exercício 1 A enzima betagalactosidase apresenta um papel importante na indústria de bioprocessos pois biocatalisa reações de conversão de substratos em produtos de interesse comercial Considere um biorreator enzimático tubular de geometria cilíndrica no qual a enzima betagalactosidase está imobilizada em pellets de alginato de sódio O equipamento é alimentado com uma corrente contendo solução aquosa do substrato e conforme ela avança no biorreator axialmente o substrato é convertido Use a seguinte notação S Concentração de substrato molvolume So Concentração de substrato na alimentação F Vazão volumétrica z Coordenada axial D Diâmetro do biorreator L Comprimento do biorreator XS Conversão do substrato r Velocidade ou taxa volumétrica taxavolume de consumo de substrato pela enzima Km Constante de MichaelisMenten ou constante de afinidade da enzima ao substrato rmax Velocidade máxima de consumo de substrato pela enzima Primeiramente leia as hipóteses abaixo e em seguida responda as questões Elas irão guiar a modelagem matemática Hipóteses I Regime permanente estado estacionário II Vazão volumétrica constante III Processo isotérmico IV Escoamento pistonado ausência de gradientes radiais V A cinética enzimática segue o modelo de Michaelis e Menten 1913 S K S r r m max 2 VI Processos reativos são limitantes frente aos de transferência de massa Isso significa que a transferência de massa é muito mais rápida em relação à reação bioquímica de modo que a primeira nem é considerada no modelo Apenas fenômenos limitantes são considerados VII A conversão de substrato em qualquer posição é dada por XS SOS SO VIII Parâmetros cinéticos e demais propriedades são constantes Faça o que se pede a A hipótese de regime permanente tem qual impacto no modelo matemático final b Tratase de um modelo à parâmetros concentrados ou distribuídos Por quê c Considerando as hipóteses e sem fazer qualquer modelagem ainda o modelo final será de qual tipo Dica é uma das possibilidades listadas do Capítulo 4 ao Capítulo 10 Veja a ementa d Citeaponte uma equação constitutiva usada nessa questão e Elabore um esboço do volume de controle utilizado e marque todas as principais variáveis envolvidas O volume de controle é o biorreator tubular inteiro ou um pedaço dele Por quê f Obtenha um modelo matemático que quando resolvido descreva como a conversão do substrato varia ao longo do comprimento posição axial do biorreator tubular Não é necessário resolver o modelo matemático apenas obtenha ele Dica sabendo que a concentração de substrato S está em molL então o melhor balanço a se aplicar é do tipo molar para a espécie S Exercício 2 Um termopar estava exposto inicialmente ao ar cuja temperatura era T0 Repentinamente este sensor é colocado em contato com um fluido quente à temperatura constante Tf sendo que TfT0 O termopar é uma haste metálica e cilíndrica cuja temperatura é uniforme Denote como sendo m a massa da haste cilíndrica e que a capacidade térmica específica do material do termopar seja cp Denote também o coeficiente convectivo de transferência de calor como h a área de contato termoparfluido como A Além disso Tf é a temperatura do fluido e T a temperatura do termopar em qualquer instante Inicialmente o equipamento está a temperatura ambiente T0 Considere as hipóteses abaixo e depois responda as questões que seguem Hipóteses I Regime transiente II Processos convectivos são limitantes frente aos processos condutivos III O fluxo de calor por convecção é dado por 𝑞 ℎ𝑇𝑓 𝑇 onde TfT IV Não há gradiente de temperatura na haste do termopar 3 a Se os efeitos de resistêncialimitação relacionados à condutividade térmica puderem ser ignorados o aumento de temperatura mensurado pelo termopar é devido a que tipo de mecanismo de transferência de calor b O modelo matemático é classificado como sendo de parâmetros concentrados ou distribuídos Por quê c Que tipo de modelo matemático esperase obter considerando o problema descrito e as hipóteses d Citeaponte uma equação constitutiva usada nessa questão e Obtenha um modelo matemático que quando resolvido visa descrever a variação da temperatura do termopar T com relação ao tempo t Não é necessário resolver apenas obtenha o modelo matemático f Sugira uma alteração ou proponha outra hipótese para que o modelo matemático seja uma EDP g Agrupe apropriadamente os parâmetros do modelo matemático para definir uma constante de tempo do sistema τ No semestre que vem em Instrumentação e Controle de Bioprocessos EBP030 falaremos sobre essa constante de tempo Afinal o termopar é um instrumento de medição Essa questão voltará em EBP030 para abordarmos a resposta de sistemas dinâmicos Exercício 3 Um reator contínuo de mistura perfeita CSTR apresentado na figura logo mais abaixo opera em regime transiente e foi projetado para conduzir a reação de decomposição A2B Assuma que a reação é exotérmica e por esse motivo o sistema está encamisado por uma manta de resfriamento na qual circula um fluido refrigerante Considere as hipóteses abaixo bem como o esquema do CSTR e responda as questões que seguem I Regime transiente A modelagem matemática de um reator CSTR em regime transiente é útil no start início da operação desse equipamento e na implementação de sistemas de controle EBP030 Usaremos isso no semestre que vem II Parâmetros concentrados Por quê III A reação é A2B Tratase de uma reação exotérmica com entalpia de reação ΔHA Energiamol de A Portanto ele é negativo IV A lei cinética de consumo desaparecimento do reagente A é dada por rAkCA onde RT Ea koe k V A manta de resfriamento remove calor a uma taxa dada por UATTc Observar que TcT Assuma que a temperatura do fluido térmico TC é uma constante já conhecida VI A taxa na qual o calor de reação é liberado é dada por rAVΔHA Faça a análise dimensional e confirme que essa expressão tem dimensão de energiatempo VII O volume do sistema é constante VIII Propriedades como densidade e capacidade térmica são constantes 4 Onde F Vazão volumétrica To T Temperaturas corrente de entrada e corrente de saída respectivamente CAO CA CB Concentrações molares reagente A na alimentação reagente A na saída e produto B respectivamente V Volume do reator A Área de troca térmica da manta de resfriamento Q Taxa de energia removida do sistema ρ cp ΔHA Densidade capacidade térmica específica e calor de reação por mol de A consumido U Coeficiente global de transferência de calor Tc Temperatura do fluido refrigerante contido na camisa Assuma que ela é constante em que situação isso é razoável de se admitir conforme o exposto em aula rA Velocidade volumétrica de consumo do reagente A ela tem dimensão de mol A por tempo por volume k Constante cinética da reação de primeira ordem ko Fator de frequência da reação Ea Energia de ativação da reação a O modelo matemático final será formado por apenas uma única equação ou por um sistema de equações Por quê b A constante cinética k nesse caso não é mais uma constante Por quê c Cite uma equação constitutiva usada nessa questão d Obtenha um modelo matemático que quando resolvido permite encontrar CA CB e T em função do tempo de operação do CSTR CA e CB são as concentrações molares de A e B dentro do CSTR e T é a temperatura do reator Não é necessário resolver as equações Apenas obtenha elas e Olhe para a resposta do item d Altere qualquer hipótese ou até mesmo alguma imposição original do problema para que haja mais uma equação do mesmo tipo a ser acoplada no modelo do item d FCAOTOρcP V Entrada do fluido refrigerante Saída do fluido refrigerante FCATρcP 5 Exercício 4 Em 1913 Michaelis e Menten propuseram um modelo matemático para descrever o processo de cinética enzimática na qual um substrato S é acoplado a uma enzima E para se transformar em um produto P Como todo modelo matemático os autores citados valeramse de um conjunto de hipóteses sendo que a principal delas foi assumir equilíbrio bioquímico na etapa de acoplamento enzimático Assim obtiveram a famosa equação homônima Mais adiante em 1925 Briggs e Haldane propuseram um modelo matemático que visava descrever exatamente o mesmo processo enzimático mas sob outra hipótese a de estado pseudoestacionário É essa hipótese que será o tema deste exercício a O processo que todos os autores citados visavam descrever matematicamente está representado pela seguinte equação bioquímica SE ES EP Em palavras o substrato S é acoplado a enzima E formando o complexo instável e energeticamente ativado ES mediante um mecanismo reversível Ao mesmo tempo o complexo ES se desfaz gerando irreversivelmente o produto P Assumindo que os experimentos são conduzidos em um biorreator descontínuo obtenha um modelo matemático que quando resolvido permite obter perfis transientes de S ES e P Não resolva apenas apresente o modelo Considere as seguintes hipóteses I Regime transiente II Mistura perfeita e volume constante III As leis cinéticas de desaparecimento são todas elementares ou seja são as constantes cinéticas multiplicadas pelas concentrações das respectivas espécies elevadas aos respectivos coeficientes estequiométricos Por exemplo rSk1SE IV Inicialmente estão presentes apenas o substrato na quantidade SO e a enzima na quantidade EO ambas concentrações molares conhecidas V Após o início do processo toda a concentração inicial da enzima EO está na forma livre E ou complexada ES Então EOEES Assim sempre que aparecer a enzima livre E no modelo matemático substituir por EOES Notações S E ES e P Concentrações molares ki Constantes cinéticas todas são conhecidas k1 k2 k3 6 b A hipótese de Briggs e Haldane considera que nesse tipo de reação bioquímica o complexo ES é um intermediário energeticamente ativado A sua taxa de variação é assumida quase nula conforme a reação avança caracterizando a Hipótese de Estado Pseudo Estacionário HEPE Ou seja ele é transiente mas há uma hipótese que torna uma das variáveis como sendo estacionária Valendose dessa hipótese e lembrando que a concentração molar da enzima segue a relação EOEES aplique a HEPE por meio desses passos 1 Anule a derivada do complexo ativado no item a Vai aparecer uma equação Guarde ela 2 Substitua a equação obtida no passo 1 na equação que descreve a taxa de variação de S no item a No final vai ficar tudo em função de k3 e ES Agora isole o ES na equação do passo 1 e substitua ele aqui Não é para resolver qualquer EDO que apareça 3 Faça alguns algebrismos simples no item 2 para mostrar que a equação final do modelo matemático de Briggs e Haldane para a cinética enzimática é IGUAL ao modelo de matemático de Michaelis e Menten O que muda é apenas a forma como as constantes do modelo são calculadas em função de k1 k2 k3 e EO Exercício 5 Uma serpentina confeccionada na forma de um tubo de cobre está imersa em um banho termostatizado mantido a temperatura constante Tf O líquido que escoa através do interior da serpentina entra à temperatura T0 sendo que a temperatura desse fluido interno diminui conforme ele avança na serpentina pois ele perde calor para o fluido termostatizado externo T0Tf O banho é bem agitado e a resistência térmica da parede do tubo cobre também pode ser desprezada Assim a temperatura da parede do tubo pode ser assumida igual à temperatura do banho Além disso o diâmetro da serpentina é pequeno o suficiente para desprezar a variação das propriedades ao longo da direção radial Além da descrição do problema considere as seguintes hipóteses I Estado estacionário II Processo com escoamento e distribuição axial de temperatura III A convecção de calor no sentido fluidobanho limita o processo frente à condução IV O fluxo de calor que ocorre por convecção é dado por qhTTf V A taxa na qual a entalpia é transportada no escoamento é dada por H m cpTTref VI O perfil de escoamento dentro da serpentina é pistonado sendo que a velocidade de escoamento é conhecida constante e vale vo VII Propriedades e parâmetros do modelo são constantes Agora responda as seguintes questões a Esse processo envolve balanço de energia com escoamento de fluido convecção forçada ou advecção Quando isso ocorre que variável energética aparece na equação do balanço de energia 7 b O balanço que iniciará a modelagem matemática será aplicado tendo como volume de controle a serpentina toda ou apenas uma parte bem pequena dela Por quê c Considerando a descrição do problema e as hipóteses fornecidas que tipo de modelo matemático será obtido no final Por quê d Cite uma equação constitutiva usada nessa questão e Obtenha um modelo matemático que quando resolvido permita encontrar uma função matemática que descreve como a temperatura do fluido T varia ao longo do comprimento da serpentina z f OPCIONAL Resolva analiticamente o modelo matemático obtido no item d pois esse é fácil de resolver para estimar o comprimento L que a serpentina deverá ter para que a temperatura do fluido na saída seja de 205 ºC A sugestão é usar recursos do Scilab ou do Excel para automatizar os cálculos Além disso plote o gráfico de T versus z Abaixo estão os dados e demais informações para resolver esse item T0 22 ºC temperatura na qual o fluido entra na serpentina Tf 20 º C temperatura do banho termostatizado cp 1 kcalkgºC capacidade térmica D 002 m diâmetro interno da serpentina vo 1 ms velocidade de escoamento do fluido dentro da serpentina ρ 1000 kgm3 densidade do fluido μ 0001 kgms viscosidade do fluido k 143104 kcalsmK condutividade térmica do fluido Correlação para o cálculo de h coeficiente convectivo de transferência de calor em escoamento turbulento proposta por Sider e Tate Bird et al 1960 Nu0026Re08Pr13 Onde Número de Reynolds μ ρv D Re Número de Prandtl k c μ Pr k Número de Nusselt hD Nu o p 8 PARTE II SCILAB ESTA SEÇÃO É OPCIONAL E SERVE PARA TREINAR AS HABILIDADES NO SCILAB FAÇA SOMENTE APÓS AS PRIMEIRAS AULAS PRÁTICAS Exercício 6 Defina em um arquivo do tipo script do Scilab as variáveis a1475 b592 c614 d06abc e calcule as seguintes expressões i ab d a c ab a 2 ii d c b a b 35 a cd 25 ad de 2 d iii senabc coslnalogc iv cosha 2 e e a a Exercício 7 Crie as seguintes entidades no Scilab i 6 5 8 arctg1 e sen2 52 1 π4 5 A 3 2 ii 1 4 v1 5 9 iii 7 9 8 v2 Pedese para realizar as seguintes operações no Scilab a Extrair as dimensões de cada entidade b Extrair o elemento a23 e o 2º elemento de v2 c Extrair a 2ª coluna de A e a 3ª linha de A d Extrair a submatriz quadrada compreendida entre os elementos a21 e a32 da matriz A e Extrair a submatriz de A compreendida entre a 2ª e 3ª linha e 1ª e 3ª coluna f Criar uma matriz B que se obtém pela extração da 1ª e 3ª coluna de A g Criar uma cópia da matriz A em uma matriz C e nessa nova matriz realizar uma permutação entre a 1ª linha e a 3ª linha h Calcular o determinante de A e de C i Calcular a matriz inversa de A e C Calcular seus determinantes j Criar uma matriz unitária quadrada de ordem 3 e armazenála na variável K Agora defina a primeira linha de K como sendo o cosseno da 2ª linha de A e substitua o conteúdo de v1 na 3ª linha de K k Substituir o vetor v1 na segunda linha de A l Substituir o vetor v2 na terceira coluna de A m Substituir o vetor v1 na primeira coluna de A n Calcule o produto escalar entre v1 e v2 E entre v2 e v1 o Multiplique matricialmente A e C Agora multiplique pontualmente A e C Exercício 8 Estime a máxima potência de um circuito elétrico com resistência variável R Faça da seguinte maneira a Crie um vetor de resistências de 1Ω até 100Ω em incrementos de 1Ω 10 b Calcule o valor da corrente elétrica para cada resistência conforme a Lei de Ohm 50Ω 120V e R R com U R U i int int c Calcule a potência fornecida para cada valor de R através da seguinte equação P Ri2 d Plote P versus R Coloque título e rótulos de eixos Qual o valor estimado da potência máxima e qual resistência fornece esse valor Exercício 9 O arco Gateway em St Louis tem sua forma descrita pela seguinte equação 3038 x 2097cosh 2115 y Trace o gráfico desse arco no intervalo 9121x9121 Exercício 10 Explique com suas palavras qual o objetivo de cada declaração a seguir a deffyfxf1x12x222f2x12x2291 b vetor12345 matrizones52 for i15 matrizi1vetori 11 end for i15 matrizi2vetori2 end dispmatriz c NlinhaskNcolunasksizek NlinhasVNcolunasVsizeV d a1 b2 c5 discb24ac if disc0 then x1bsqrtdisc2a x2bsqrtdisc2a elseif disc 0 x1b2a elseif disc0 parterealb2a partecompsqrtabsdisc2a end e plottC xlabelTempo s ylabelConcentração gmL Exercício 11 Programe uma rotina que determine a soma dos elementos positivos de um vetor de qualquer tamanho 12 Exercício 12 Crie um comando que determine as coordenadas polares de um ponto fornecido em coordenadas cartesianas O usuário deverá entrar com x e y para então o Scilab retornar r e θ