Modelagem em Bioprocessos

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE RECURSOS NATURAIS EBP029 MODELAGEM E DINÂMICA DE BIOPROCESSOS Prof Guilherme Youssef Rodriguez 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS 2º SEMESTRE2024 Esta lista de exercícios aborda os modelos matemáticos contemplados nos Capítulos 4 e 5 ou seja equações algébricas nãolineares e sistemas de equações algébricas lineares respectivamente Todas as técnicas e conceitos de modelagem vistos até o momento serão utilizados porém com ênfase nos dois tipos de modelos supracitados Além disso a lista cumprirá o propósito de explicar como ocorre o elo entre a modelagem matemática de processos e o cálculo numérico Os modelos matemáticos serão numericamente resolvidos evidentemente dentro do escopo dos capítulos A matéria da P1 se encerra no Capítulo 5 portanto esta é a última lista de exercícios Exercício 1 O intuito deste exercício é fazer um aquecimento sobre equações algébricas nãolineares e a resolução numérica destas A modelagem matemática que recai em equações algébricas nãolineares será tratada nos próximos exercícios a Considere a equação algébrica nãolinear x2cos025xlnx Escreva ela na forma padrão e com base nisso determine quem é fx b Conhecida a função fx prepare a equação para ser resolvida pelo método de Newton Não resolva Apenas monte o procedimento iterativo considerando a função fx obtida no item a sem fazer as iterações c Use qualquer ferramenta de plotagem gráfica da sua preferência Excel Scilab Desmos calculadora HP etc para plotar o gráfico da função fx no intervalo 01 x 15 Quantas raízes há nesse intervalo Apenas aponte quantas são não calcule d Usando o Excel faça seis iterações do método de Newton Inicie com o chute inicial x001 Como você sabe se houve convergência em seis iterações Dica No Excel crie uma primeira célula com o chute inicial 01 Depois crie uma segunda célula contendo o lado direito do método de Newton aplicado para o chute inicial Então o resultado na segunda célula será o valor da primeira iteração x1 Agora copie esse valor e cole APENAS VALORES recurso do Excel na primeira célula Então você terá x2 na segunda célula Feito isso simplesmente clique em Colar Valores direto sem fazer mais nada Note que ele fará as iterações apenas com o seu clique Repita esse procedimento até x6 Resp x10234 x20370 x30442 x40456 x50456 x60456 e Use o Solver do Excel para resolver a equação ou seja calcule quais os dois valores de x que tornam fx0 O Solver retorna apenas uma única raiz Então olhe para o gráfico item c e use um chute inicial próximo da primeira raiz Ele convergirá para ela Depois chame 2 o Solver de novo e coloque um chute inicial próximo da segunda raiz Ele convergirá para ela Compare com a resposta obtida no item d Resp As duas soluções são 0456 e 0969 Exercício 2 Considere um reator CSTR isotérmico operando em estado estacionário Seu volume é V e nele é conduzida a reação química de isomerização AB cuja lei cinética é rAkCA15 A corrente de alimentação possui vazão volumétrica F e consiste de uma solução aquosa do reagente A na concentração CAO Ao mesmo tempo a corrente de saída é retirada pelo fundo do CSTR e possui vazão volumétrica F e concentração molar CA Com base nesse enunciado que já contempla as hipóteses do problema faça o que se pede nos itens seguintes a Desenhe um esboço do processo anotando todas as correntes variáveis informações e hipóteses importantes b Desenvolva um modelo matemático que quando resolvido permite calcular a concentração molar do reagente A na saída do CSTR ou seja CA Assuma que tudo já é conhecido exceto CA Dica Inicie a modelagem matemática com um balanço molar para o reagente A c Que tipo de modelo matemático você obteve d Escreva o modelo matemático na forma padrão e determine quem é a função f tendo em mente que CA é a incógnita e Prepare o procedimento iterativo conforme o método de Newton Apenas prepare não tente avançar até porque nenhuma outra informação foi passada até o momento f Considerando que os valores das informações conhecidas são CAO2 molL F1 m3h V6 m3 e k8x103 L05mol05min faça dez iterações do método de Newton no Excel para resolver o modelo matemático e calcular a concentração molar de A na saída do CSTR CA Escolha um chute inicial adequado considerando o que foi comentado na aula Resp CA0614 molL Exercício 3 A Biocontal é uma empresa especializada em Engenharia de Bioprocessos Sediada em CampinasSP a Biocontal atua no projeto e consultoria de bioprocessos em escala industrial Acesse wwwbiocontalcombr para saber mais sobre ela e verifique que os conceitos vistos ao longo do curso de EBP estão mencionados no site A empresa atenta à excelência nacional do curso de Engenharia de Bioprocessos da UNIFEI possui preferência pelos profissionais nele graduados dada à formação sólida e multidisciplinar Recentemente a Biocontal foi contratada por uma indústria farmacêutica que pretendia modificar o microrganismo que ela empregava para produzir um biofármaco em escala industrial O problema é que o modelo cinético de crescimento desse novo microrganismo é muito mais complicado do que o tradicional modelo de Monod Três Engenheiras de Bioprocessos empoderadas todas formadas pela UNIFEI e contratadas pela Biocontal estão analisando o biorreator CSTR da indústria de fármacos sem reciclo de células apresentado abaixo 3 A corrente de entrada é isenta de células e consiste apenas de nutrientes substratos necessários ao crescimento do microrganismo A corrente de saída apresenta os nutrientes não convertidos no metabolismo celular bem como a biomassa gerada internamente no biorreator As três engenheiras orgulhosas com a base técnica que o curso de EBP da UNIFEI forneceu a elas receberam a incumbência de verificar se a troca do microrganismo causava o temido fenômeno de washout desde que mantidas as condições operacionais Foi necessário fazer a modelagem matemática do referido bioprocesso industrial para que houvesse melhor entendimento dos fenômenos envolvidos Elas consideraram as seguintes hipóteses I Estado estacionário II Não há variação apreciável entre a densidade da corrente de entrada e saída III O biorreator é cilíndrico bem agitado e possui volume V IV A cinética de crescimento celular é descrita pelo modelo matemático de Wu et al 1988 que considera o substrato como um agente limitante e inibidor n i s a K S S K 1 μ μ onde μ é a velocidade específica de crescimento h1 S é a concentração de substrato gL e as demais variáveis são parâmetros do modelo cinético todos conhecidos e obtidos por regressão nãolinear de dados experimentais no Excel V Há ocorrência de morte celular representada pela velocidade específica de morte celular kd h1 VI Efeitos térmicos podem ser desprezados VII Não há presença de biomassa celular na alimentação Dados μa05 h1 KS01 gL SO6 gL n143 Ki5 gL kd008 h1 V2000 L F300 Lh F XO SO PO F X S P V 4 No relatório que elas deverão disponibilizar à Diretoria de Projetos deve constar a O modelo matemático que quando resolvido fornece a concentração de substrato na saída do biorreator CSTR Os valores dos parâmetros NÃO devem ser substituídos ainda e o modelo não deve ser resolvido Dica aplique um balanço de massa para a biomassa celular Consulte o caderno pois uma das aulas teóricas de Modelagem vai auxiliar nesse item b A preparação desse modelo matemático para ser implementado pelo método numérico de QuasiNewton Apenas prepare não resolva c A resolução do modelo matemático do item a usando o Scilab ou o Solver do Excel a fim de calcular a concentração de substrato na saída do biorreator CSTR S565 gL d A conversão do substrato em na saída do CSTR XS583 e Veredito final esse bioprocesso industrial com o novo microrganismo está condenado a washout Exercício 4 O modelo matemático de BeattieBridgeman é uma equação constitutiva usada para calcular o volume molar de um gás real nãoideal Tratase de uma equação algébrica nãolinear mostrada a seguir cuja incógnita é o volume molar V 3 2 V δ V γ V β P RT 1 V Onde 2 o o T Rc A RTB β 2 o o o T RB c aA RTB b γ 2 o T δ RB bc Dados R008206 atmLmolK Ao166037 Bo02354 a011171 b007697 c300x104 Pedese 5 a Apresente o procedimento iterativo referente ao método de Newton aplicado para o problema em questão Não resolva apenas prepare conforme foi feito em aula Tudo é constante e conhecido exceto o volume molar V b Use qualquer recurso do Scilab ou do Excel para efetivamente resolver o modelo matemático e calcular o volume molar do gás isobutano a 408 K e 36 atm sabendo que ele se comporta como gás real nessas condições Que chute inicial é uma boa escolha para iniciar as iterações do método numérico V035 Lmol Exercício 5 Um reator CSTR processa a reação química em fase líquida A2B2C A corrente de alimentação é uma mistura entre os reagentes A e B presentes na concentração molar CAO e CBO respectivamente sendo que o reagente B está em excesso estequiométrico em relação ao reagente A A corrente de saída contém os reagentes não convertidos e o produto formado Ambas as correntes operam a vazão volumétrica F sendo que o volume do CSTR é também conhecido e vale V Considere as hipóteses e orientações abaixo I Regime permanente II Densidade e demais propriedades constantes III Processo contínuo e reator de mistura perfeita IV A lei cinética de consumo do reagente A é elementar ou seja rAkCACB 2 V CA e CB estão relacionados à XA por CACAO1XA CBCAOϴB2XA onde ϴBCBOCAO VI Todos os parâmetros são conhecidos e constantes Faça o que se pede a Modele matematicamente o processo no intuito de obter uma equação que quando resolvida permita calcular a conversão do reagente A XA na saída do CSTR Não resolva apenas modele b Escreva o modelo matemático na forma padrão c Prepare o modelo matemático para ser resolvido por qualquer método numérico da sua escolha d Independentemente da sua escolha no item c resolva o modelo matemático usando qualquer recurso visto nas aulas práticas de Modelagem É livre Para isso considere os seguintes valores dos parâmetros V3 m3 F513 m3h CAO3 molL CBO85 molL k014 L2mol2h XA064 ou 64 6 Exercício 6 O intuito deste exercício é fazer um aquecimento sobre sistemas de equações algébricas lineares e a resolução numérica destas A modelagem matemática que recai em sistemas de equações algébricas lineares será tratada nos próximos exercícios Considere o sistema linear 3x3 e responda o que se pede nos itens seguintes 3𝑥 11𝑦 25𝑧 6 5𝑥 12𝑦 14𝑧 20 18𝑥 6𝑦 5𝑧 5 a Escreva o sistema linear na forma padrão 𝐴 𝑥 𝑏 b Calcule o determinante da matriz 𝐴 para avaliar de haverá singularidade Resp det𝐴 2675 c Prepare o sistema linear para ser implementado no método numérico de Gauss Jacobi Não resolva apenas prepare o procedimento iterativo d Utilize o Excel para fazer 10 iterações do método de GaussJacobi e verifique que para qualquer conjunto de chutes iniciais x0 y0 e z0 o método diverge Há uma explicação sobre isso no Cálculo Numérico e envolve um teorema chamado Critério das Linhas porém isso não será abordado aqui Apenas verifique que para qualquer conjunto de chutes iniciais o método de GaussJacobi nunca vai convergir quando aplicado para o sistema linear dessa questão Dica Crie três células no Excel com os chutes iniciais para x y e z Ao lado crie outras três células que calculam cada lado direito do método de GaussJacobi Cada uma das três células à direita conterá o valor da primeira iteração Então copie esse conteúdo e COLE APENAS VALORES nas três células da esquerda Agora você terá os valores da segunda iteração Basta ficar clicando no botão COLAR VALORES sem fazer mais nada para acompanhar o progresso das iterações e Utilize o Scilab ou o Solver do Excel para resolver o sistema linear Resp x0191 y0294 z1335 Exercício 7 Considere o arranjo de colunas de destilação apresentado a seguir O processo se encontra em regime permanente As composições descritas estão em base molar Pedese a Obtenha um modelo matemático do processo que quando resolvido permita calcular as vazões molares D1 B1 D2 e B2 Não resolva apenas modele Dica você aplicará 4 balanços molares para se chegar ao modelo matemático b Pela natureza das equações que método numérico você usaria para resolvêlas Apenas aplique o método que você citou no modelo obtido no item a c Resolva o modelo matemático no Scilab usando quaisquer recursos vistos nas aulas práticas D12625 kmolmin B11750 kmolmin D2875 kmolmin B21750 kmolmin 7 Exercício 8 Desenvolva um modelo matemático que quando resolvido permite calcular as concentrações molares da espécie reagente A na saída de cada reator O processo é composto por quatro reatores contínuos de mistura perfeita conectados em série com reciclo do último para o primeiro reator onde se processa isotermicamente a reação AB ilustrado na figura abaixo O processo encontrase em regime permanente Considere que a reação é de primeira ordem rAkCA e que a vazão volumétrica na entrada em cada reator é F cujos volumes são conhecidos e valem V1 V2 V3 e V4 A razão de reciclo é r Após a modelagem matemática calcule os valores das concentrações CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 e CAR usando recursos do Scilab vistos em aula Dados V110 m3 V220 m3 V305 m3 V430 m3 Fo10 m3h CAO 10 kmolm3 k 01 h1 r 02 CA1085 kmolm3 CA2073 kmolm3 CA3070 kmolm3 CA4056 kmolm3 CA5056 kmolm3 CA6056 kmolm3 15 xileno 10 estireno 54 tolueno 21 benzeno 18 xileno 24 estireno 42 tolueno 16 benzeno 24 xileno 65 estireno 10 tolueno 1 benzeno 7 xileno 4 estireno 54 tolueno 35 benzeno 70 kmolmin D1 B1 D2 B2 D B 15 xileno 25 estireno 40 tolueno 20 benzeno 8 Exercício 9 Um tanque industrial opera em estado estacionário e tem a função de promover a mistura de 3 substratos glicose S1 frutose S2 e maltose S3 Ele é alimentado por 3 correntes de processo cujas vazões volumétricas são desconhecidas porém cada uma delas possui concentração padronizada de cada um dos substratos a saber Corrente 1 18 kgm3 de S1 54 kgm3 de S2 28 kgm3 de S3 Corrente 2 23 kgm3 de S1 37 kgm3 de S2 40 kgm3 de S3 Corrente 3 67 kgm3 de S1 10 kgm3 de S2 23 kgm3 de S3 Além disso a corrente de saída deve atender a especificação abaixo Corrente 4 308 kgm3 de S1 35 kgm3 de S2 342 kgm3 de S3 Obtenha um modelo matemático que quando resolvido permite calcular as vazões volumétricas de cada corrente de entrada F1 F2 e F3 em m3h sabendo que a corrente de saída deve operar a 500 m3h Escreva o modelo na forma padrão realize a preparação para resolvêlo mediante um dos métodos numéricos vistos em aula e por último resolvao utilizando quaisquer recursos abordados nas aulas práticas F1100 m3h F2300 m3h F3100 m3h