Lista de Exercícios Resolvidos - Transformada Z, Sistemas Discretos e Teorema da Amostragem

1 30 pts Considerando a equação diferença de um sistema LIT abaixo yn 09yn1 xn a 15 pts Encontre a transformada Z da resposta ao impulso desse sistema e determine hn a resposta ao impulso do sistema b 15 pts Apresente no plano z os zeros e polos deste sistema Comente sobre sua estabilidade Tabela Transformada Z yn un zzy 2 20 pts Considere um sistema discreto frequência de amostragem 1000 Hz cuja resposta em frequência é dada pela seguinte equação HejΩ 11 aejΩ Encontre o ganho do sistema para Ω 100 considerando que a a 08 b a 08 3 20 pts Sobre o sinal xt 05 08 cos 2π10t cuja transformada de Fourier é Xf πδf 08π δf10δf10 pedese a Admitindo infinitas amostras esboçar o espectro densidade espectral de amplitude do sinal após amostragem à taxa de 15 amostrass Utilizar a figura abaixo e completar os valores das ordenadas b Definir uma frequência de amostragem adequada para a análise deste sinal Justificar 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 f Hz 30 pts A Transformada de Fourier de um sinal contínuo no tempo de banda limitada é apresentada abaixo Amplitude dB 1 30Hz 30Hz fHz a Determine a frequência de amostragem mínima necessária para evitar o efeito de aliasing ou seja que garanta a reconstrução do sinal original a partir do sinal amostrado aplicando um filtro passa baixa ideal b Considerando que esse sinal tenha sido amostrado a um período de amostragem de 20ms apresente o espectro de frequência do sinal amostrado 1 𝑦𝑛 09𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 a Para determinar a transformada Z de uma equação de diferenças é necessário levar em consideração a seguinte transformada Z 𝑍𝑤𝑛 𝑎 𝑧𝑎𝑊𝑧 Portanto temos as seguintes transformações para o problema citado 𝑍𝑦𝑛 𝑧0𝑌𝑧 𝑍𝑦𝑛 1 𝑧1𝑌𝑧 𝑍𝑥𝑛 𝑧0𝑋𝑧 Desta forma temos 𝑌𝑧 09𝑧1𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧1 09𝑧1 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 1 09𝑧1 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝐻𝑧 𝑧 𝑧 09 A tabela de transformadas apresenta a seguinte relação 𝛾𝑛𝑢𝑛 𝑧 𝑧 𝛾 Desta forma temos ℎ𝑛 09𝑛𝑢𝑛 b Os zeros do sistema são dados por 𝑧 0 ou seja o único zero está na origem Os polos do sistema são dados por 𝑧 09 0 ou seja 𝑧 09 o único polo está em 09 Para o domínio Z o sistema é estável caso seus polos estejam dentro do circulo unitário como o módulo do polo é 09 sendo este menor que 1 o sistema é estável 2 Ω𝑎 2𝜋 1000𝑟𝑎𝑑𝑠 Ω 100 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 𝑎𝑒𝑗Ω O módulo pode ser obtido como 𝐻𝑒𝑗Ω 2 𝐻𝑒𝑗Ω 𝐻𝑒𝑗Ω 𝐻𝑒𝑗Ω 2 1 1 𝑎𝑒𝑗Ω 1 1 𝑎𝑒𝑗Ω 𝐻𝑒𝑗Ω 2 1 1 𝑎𝑒𝑗Ω1 𝑎𝑒𝑗Ω 𝐻𝑒𝑗Ω 2 1 1 𝑎𝑒𝑗Ω 𝑎𝑒𝑗Ω 𝑎2 Como temse que o cosseno pode ser representado por exponenciais a partir da forma de Euler cosΩ 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω 2 𝑒𝑗Ω 𝑒𝑗Ω 2 cosΩ 𝑎𝑒𝑗Ω 𝑎𝑒𝑗Ω 2𝑎 cosΩ Temos que 𝐻𝑒𝑗Ω 2 1 1 2𝑎 cosΩ 𝑎2 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 2𝑎 cosΩ 𝑎2 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 2𝑎 cosΩ 𝑎2 A frequência discreta então será Ω𝑑 𝜋 1000 2𝜋 100 Ω𝑑 1 10 01 a 𝑎 08 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 2𝑎 cosΩ 𝑎2 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 16 cos 1 10 082 𝐻𝑒𝑗Ω 45665 b 𝑎 08 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 2𝑎 cosΩ 𝑎2 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1 16 cos 1 10 082 𝐻𝑒𝑗Ω 05662 O sinal 𝐻𝑒𝑗Ω 1 1𝑎𝑒𝑗Ω representa um filtro de primeira ordem onde para valores de 𝑎 negativos e maiores que 1 o filtro é um passaaltas e para valores de 𝑎 positivos menores que 1 o filtro é um passabaixas Como a frequência desejada é baixa considerando a taxa de amostragem quando 𝑎 é positivo o sinal passa e quando 𝑎 é negativo o sinal é atenuado 3 𝑥𝑡 05 08 cos2𝜋10𝑡 𝑋𝑓 𝜋𝛿𝑓 08𝜋𝛿𝑓 10 𝛿𝑓 10 a Como foi definido a amostragem como 15 amostrass serão plotados os sinais entre 75𝐻𝑧 e 75𝐻𝑧 e estes sinais irão se repetir Os sinais impulso correspondentes ao cosseno não estão nessa faixa pois a frequência do cosseno é 10Hz Para saber onde estarão os impulsos do cosseno basta percorrer os 75Hz e depois mais 25Hz voltando isto indica que eles estarão em 75 25 5𝐻𝑧 Como pode ser visto na imagem a seguir considerando um sistema qualquer a amostragem com 15Hz faz com que o sinal seja apresentado apenas entre 75Hz e 75Hz e se repete para as próximas infinitas frequências O sinal em 10Hz em vermelho considerando a repetição aparece no mesmo local do gráfico dado por 5Hz Esta conta pode ser feita da seguinte forma 𝑓𝑎𝑙𝑖𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑓 𝑁 𝑓𝑎 Onde N deve ser um valor inteiro e 𝑓𝑎𝑙𝑖𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 deve estar entre 𝑓𝑎 2 e 𝑓𝑎 2 ou seja entre 75𝐻𝑧 e 75𝐻𝑧 Para isso considerando 𝑁 1 𝑓𝑎𝑙𝑖𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 10 1 15 𝑓𝑎𝑙𝑖𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 5𝐻𝑧 Como 75 𝟓 75 a frequência está no intervalo de interesse O gráfico da questão então deve possuir amplitude 𝜋 na frequência zero e no centro de todas as repetições ou seja em 15𝑁 onde N é um valor inteiro 0 15 30 45 60 Também deve possuir os impulsos de amplitude 08𝜋 nas frequências 5Hz 10Hz e estes valores somados a 15𝑁 510 202535405065 O gráfico com o sinal em vermelho pode ser visto a seguir As linhas verdes só representam os pontos finais da representação de cada repetição não fazem parte real do gráfico b Para analisar corretamente este sinal devese levar em consideração a frequência de Nyquist que diz que a frequência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que a máxima frequência do sinal Como a máxima frequência do sinal é a do cosseno sendo esta 10𝐻𝑧 então o sinal deveria ser amostrado em pelo menos 20 amostras por segundo 𝑓𝑎 2𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑎 2 10 𝑓𝑎 20𝐻𝑧 Com isto a frequência de 10Hz estaria dentro do intervalo entre 𝑓𝑎 2 e 𝑓𝑎 2 garantindo não ter aliasing neste sinal 4 a A frequência de amostragem mímina é obtida como sendo o dobro da máxima frequência do sinal Como a máxima frequência do sinal é 30𝐻𝑧 então a frequência de amostragem mínima é 𝑓𝑎 2 30𝐻𝑧 𝑓𝑎 60𝐻𝑧 b 𝑓𝑎 1 𝑇𝑎 𝑓𝑎 1 20𝑚 𝑓𝑎 50𝐻𝑧 Como a frequência de amostragem é 50𝐻𝑧 o sinal irá se repetir a cada 25𝐻𝑧 Como é possível notar existem pontos em que o sinal de uma repetição se toca com o sinal da outra repetição nestes pontos onde ocorre o aliasing os sinais se somam desta forma Em vermelho é apresentado o espectro de frequência do sinal amostrado 1 y n09 y n1x n a Para determinar a transformada Z de uma equação de diferenças é necessário levar em consideração a seguinte transformada Z Z w na z aW z Portanto temos as seguintes transformações para o problema citado Z y nz 0Y z Z y n1 z 1Y z Z x n z 0 X z Desta forma temos Y z 09z 1Y zX z Y z 109 z 1X z Y z X z 1 109 z 1 Y z X z H z z z09 A tabela de transformadas apresenta a seguinte relação γ nu n z zγ Desta forma temos h n0 9 nu n b Os zeros do sistema são dados por z0 ou seja o único zero está na origem Os polos do sistema são dados por z090 ou seja z09 o único polo está em 09 Para o domínio Z o sistema é estável caso seus polos estejam dentro do circulo unitário como o módulo do polo é 09 sendo este menor que 1 o sistema é estável 2 Ωa2π 1000rad s Ω100rads H e jΩ 1 1ae jΩ O módulo pode ser obtido como H e j Ω 2 H e jΩ H e jΩ H e j Ω 2 1 1a e jΩ 1 1ae jΩ H e j Ω 2 1 1ae jΩ 1ae jΩ H e j Ω 2 1 1a e jΩa e jΩa 2 Como temse que o cosseno pode ser representado por exponenciais a partir da forma de Euler cos Ω e jΩe jΩ 2 e jΩe jΩ2cos Ω ae jΩae j Ω2acosΩ Temos que H e j Ω 2 1 12acos Ωa 2 H e j Ω 1 12acosΩa 2 H e j Ω 1 12acosΩa 2 A frequência discreta então será Ωd π 10002π 100 Ωd 1 1001 a a08 H e j Ω 1 12acosΩa 2 H e j Ω 1 116cos 1 1008 2 H e j Ω45665 b a08 H e j Ω 1 12acosΩa 2 H e j Ω 1 116cos 1 1008 2 H e j Ω05662 O sinal H e jΩ 1 1ae jΩ representa um filtro de primeira ordem onde para valores de a negativos e maiores que 1 o filtro é um passaaltas e para valores de a positivos menores que 1 o filtro é um passabaixas Como a frequência desejada é baixa considerando a taxa de amostragem quando a é positivo o sinal passa e quando a é negativo o sinal é atenuado 3 x t 0508cos 2π 10t X f πδ f 08π δ f 10δ f 10 a Como foi definido a amostragem como 15 amostrass serão plotados os sinais entre 75 Hz e 75 Hz e estes sinais irão se repetir Os sinais impulso correspondentes ao cosseno não estão nessa faixa pois a frequência do cosseno é 10Hz Para saber onde estarão os impulsos do cosseno basta percorrer os 75Hz e depois mais 25Hz voltando isto indica que eles estarão em 75255 Hz Como pode ser visto na imagem a seguir considerando um sistema qualquer a amostragem com 15Hz faz com que o sinal seja apresentado apenas entre 75Hz e 75Hz e se repete para as próximas infinitas frequências O sinal em 10Hz em vermelho considerando a repetição aparece no mesmo local do gráfico dado por 5Hz Esta conta pode ser feita da seguinte forma f aliasingf N f a Onde N deve ser um valor inteiro e f aliasing deve estar entre f a 2 e f a 2 ou seja entre 75 Hz e 75 Hz Para isso considerando N1 f aliasing10115 f aliasing5 Hz Como 7557 5 a frequência está no intervalo de interesse O gráfico da questão então deve possuir amplitude π na frequência zero e no centro de todas as repetições ou seja em 15 N onde N é um valor inteiro 0 15 30 45 60 Também deve possuir os impulsos de amplitude 08 π nas frequências 5Hz 10Hz e estes valores somados a 15 N 510 202535405065 O gráfico com o sinal em vermelho pode ser visto a seguir As linhas verdes só representam os pontos finais da representação de cada repetição não fazem parte real do gráfico b Para analisar corretamente este sinal devese levar em consideração a frequência de Nyquist que diz que a frequência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que a máxima frequência do sinal Como a máxima frequência do sinal é a do cosseno sendo esta 10 Hz então o sinal deveria ser amostrado em pelo menos 20 amostras por segundo f a2f max f a210 f a20 Hz Com isto a frequência de 10Hz estaria dentro do intervalo entre f a 2 e f a 2 garantindo não ter aliasing neste sinal 4 a A frequência de amostragem mímina é obtida como sendo o dobro da máxima frequência do sinal Como a máxima frequência do sinal é 30 Hz então a frequência de amostragem mínima é f a230 Hz f a60 Hz b f a 1 T a f a 1 20m f a50 Hz Como a frequência de amostragem é 50 Hz o sinal irá se repetir a cada 25 Hz Como é possível notar existem pontos em que o sinal de uma repetição se toca com o sinal da outra repetição nestes pontos onde ocorre o aliasing os sinais se somam desta forma Em vermelho é apresentado o espectro de frequência do sinal amostrado