Prova de Sinais e Sistemas

Sinais e Sistemas 4P 2024 UFPA ITEC FCT 2 SUMÁRIO INFORMAÇÕES 3 No que iremos nos envolver 3 Reunindo e Organizando o material 3 Lembrando os conceitos e conteúdos 3 Entendendo o problema 3 Iniciando a atividade 3 Concluindo a atividade 3 Como enviar o trabalho 4 Formatando e enviando o trabalho 4 ATIVIDADES 5 Atividade 11 Análise de Sistemas através da Transformada de Fourier 5 Atividade 12 Análise de Sistemas através da Transformada de Laplace 5 Atividade 13 Análise de Sistemas através da Transformada de Laplace 6 PRINCIPAIS REFERÊNCIAS 7 Outras Referências 7 Contato 8 Nota sobre as figuras usadas neste documento 8 3 INFORMAÇÕES No que iremos nos envolver A atividade proposta tem como objetivo o desenvolvimento de habilidades na utilização de informação técnicocientífica acerca dos assuntos ligados a SINAIS e SISTEMAS Para tanto sugerese alguns procedimentos que poderão ajudálo nesse processo Reunindo e Organizando o material Defina um momento tempo e local confortável para se dedicar integralmente ao trabalho Reúna o material referências papel caneta etc Organizeos de forma a têlos facilmente acessíveis para consulta Lembrando os conceitos e conteúdos Antes de iniciar as tarefas faça um estudo do material reunido recordando reproduzindo ideias e conteúdos Reproduza a informação tentando explicálas com suas próprias palavras Entendendo o problema Entenda o problema em sua plenitude Após essa etapa reflita e formule um procedimento para resolvêlo resgatando os conhecimentos técnicos com que teve contato e leitura Iniciando a atividade É hora de filtrar os conhecimentos e selecionar dentre aqueles que estudou os que se relacionam ao problema em questão Destaque os novamente faça uma recordação dos significados Crie uma expectativa para o resultado e inicie a atividade Concluindo a atividade Ao término da atividade avalie o resultado com base em sua expectativa Observe a coerência do resultado obtido Antes de começarmos com a atividade vamos ler atentamente algumas sugestões 4 Como enviar o trabalho Formatando e enviando o trabalho Este trabalho deverá ser entregue via SIGAA até as 23h59min do dia 30032024 Observem que o SIGAA ou mesmo os meios de acesso à Internet podem apresentar instabilidades Portanto considere este cenário em sua programação e evite enviar o trabalho no limite estabelecido Trabalhos enviados por email também estarão sujeitos à problemas spam não chegar chegarem depois do prazo estabelecido etc Uma boa análise da atividade passa pelo suposto de que haverá a compreensão clara da tarefa Para tanto indicase Organização das ideias indicando os passos que estão sendo realizados Forneça subsídios para a verificação dos resultados tais como os cálculos realizados Apresente a atividade descrita de acordo com o formalismo técnico científico Envie o arquivo no fomato PDF com o nome de acordo com a indicação MATRÍCULANOMESOBRENOMEpdf Certifiquese de o arquivo apresenta boa qualidade na definição do texto figuras etc ou seja esteja LEGÍVEL A atividade é individual 5 ATIVIDADES Lembrese de atuar para facilitar o trabalho de análise da atividade não se limitando a indicar somente o resultado mas explicando todos os procedimentos realizados Atividade 11 Análise de Sistemas através da Transformada de Fourier Considere um filtro passa baixas ideal definido por 𝐻𝜔 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔 𝜔𝑐 𝐻𝜔 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔 𝜔𝑐 Sendo o sinal de entrada do filtro expresso por 𝑥𝑡 𝑒2𝑡𝑢𝑡 determine a 1 ponto A energia do sinal de entrada b 1 ponto A energia do sinal de saída dentro de uma faixa de frequências de 0 𝑎 𝜔𝑐 Atividade 12 Análise de Sistemas através da Transformada de Laplace A Figura 2 corresponde a um circuito RLC cuja equação diferencial é expressa por 𝑑2𝑣𝑡 𝑑𝑡2 7 𝑑𝑣𝑡 𝑑𝑡 10𝑣𝑡 120 e com as seguintes condições iniciais 𝑣0 4 𝑉 𝑖0 0 𝐴 𝑑𝑣0 𝑑𝑡 0 Sendo assim a 15 ponto Determine a tensão 𝑉𝑠 no domínio da frequência usando a Transformada de Laplace b 1 ponto Determine a tensão 𝑣𝑡 no domínio do tempo a partir de 𝑉𝑠 c 1 ponto Use o Geogebra ou outra ferramenta para esboçar a forma de onda de 𝑣𝑡 d 15 ponto Use o teorema do valor inicial e final para testar e verificar se equação de 𝑉𝑠 é verdadeira 6 Figura 2 para a atividade 12 Atividade 13 Análise de Sistemas através da Transformada de Laplace Para o sistema presentado na Figura 1b considere o sinal de entrada 𝑣𝑠𝑡 apresentado na Figura 1a O sinal de saída é 𝑖𝐿𝑡 𝑅 2 Ω e 𝐿 8 𝐻 Dessa forma determine a 1 ponto A partir do uso da Transformada de Laplace para resolver equações diferenciais a expressão para a corrente 𝑖𝐿𝑡 b 1 ponto A partir da representação do sistema circuito no domínio da frequência usando a Transformada de Laplace a expressão para a corrente 𝑖𝐿𝑡 c 1 ponto Plote a forma de onda 𝑖𝐿𝑡 para o intervalo de 0 𝑡 10 𝑠 Figura 3 para a atividade 13 7 PRINCIPAIS REFERÊNCIAS Lathi B P Sinais e Sistemas Lineares Tradução Gustavo Guimaraes Parma Ed 2ª Edição 2007 856 pp ISBN 8560031138 Haykin S S Veen B V Sinais e Sistemas Bookman Companhia Ed 1ª Edição 2000 668 pp ISBN 8573077417 ISBN13 9788573077414 Ziemer RE Tranter WH Fanin DR Signals and Systems Continuos and Discrete 4th Edition 1998 622 pp Prentice Hall Outras Referências Castro ALS Sinais e Sistemas Slides do curso Disponível na área do curso no SIGAA 2024 8 Boa Atividade Contato Agostinho L S Castro Email agcastroufpabr Assunto FCT Sinais e Sistemas Nota sobre as figuras usadas neste documento A exceção das figuras dos problemas as fotos usadas são de Autores Desconhecidos e estão licenciadas em CC BYSANC Todas as questões foram adaptadas da literatura Atividade 11 item B Para determinar a energia do sinal de saída do filtro dentro da faixa de frequências de 0 a ωc faço 1 Fourier do Sinal de Entrada O sinal de entrada é xt e2tut Sua transformada de Fourier é Xω ₀ e2t ejωt dt 1 2 jω de onde obtenho Xω² 1 4 ω² 2 Espectro do Sinal de Saída O filtro passa baixas ideal possui a resposta Hω 1 ω ωc 0 ω ωc Portanto a transformada do sinal de saída é Yω HωXω 12 jω ω ωc 0 ω ωc 3 Energia do Sinal de Saída na Faixa 0 a ωc Pelo Teorema de Parseval a energia de um sinal no domínio do tempo pode ser calculada no domínio da frequência por E 12π Yω² dω Como Yω 0 para ω ωc a energia do sinal de saída é Ey 12π ωcωc 14 ω² dω Observando que a função 14 ω² é par posso escrever Ey 1π ₀ωc 14 ω² dω 4 Cálculo da Integral Para calcular a integral I ₀ωc dω4 ω² utilizo a integral conhecida dωa² ω² 1a arctanωa C com a² 4 ou a 2 Assim I 12 arctanω2 ₀ωc 12 arctanωc2 12 arctan0 Como arctan0 0 tenho I 12 arctanωc2 5 Energia do Sinal de Saída Substituindo I na expressão da energia obtenho Ey 1π 12 arctanωc2 12π arctanωc2 Resposta Final Ey 12π arctanωc2 Atividade 12 A equação diferencial do circuito Fig2 é d²vtdt² 7 dvtdt 10 vt 120 com condições iniciais v0 4 i0 0 logo dv0dt 0 a Encontrar Vs usando a Transformada de Laplace 1 Escrevo a EDO no domínio de Laplace A transformada de Laplace de vt é Lvt s² Vs s v0 v0 Como v0 4 e v0 0 fica s² Vs 4s A transformada de Laplace de 7 vt é 7s Vs v0 7 s Vs 7 4 7 s Vs 28 A transformada de Laplace de 10 vt é 10 Vs A transformada de Laplace de uma constante 120 no tempo é L120 120 s 2 Monto a equação em s Somando os termos transformados do lado esquerdo e igualando ao lado direito s² Vs 4s 7 s Vs 28 10 Vs 120 s Agrupando Vs e termos constantes s² 7 s 10 Vs 4 s 28 120 s Logo s2 7s 10Vs 120s 4s 28 3 Obtenho Vs Para simplificar o numerador observo que 120s 4s 28 4s2 28s 120s Portanto Vs 4s2 28s 120s s2 7s 10 4s2 28s 120 ss2 7s 10 Como s2 7s 10 s 5s 2 segue Vs 4s2 28s 120 s s 5 s 2 b Encontrar vt a partir de Vs Para recuperar vt faço a decomposição em frações parciais 4s2 28s 120 s s 5 s 2 As Bs5 Cs2 Multiplicando ambos os lados por s s 5s 2 obtenho 4s2 28s 120 As 5s 2 B s s 2 C s s 5 Expandindo cada termo As2 7s 10 Bs2 2s Cs2 5s ou seja A B C s2 7A 2B 5C s 10A Isso deve igualar 4s2 28s 120 Assim obtenho o sistema 1 A B C 4 2 7A 2B 5C 28 3 10A 120 A 12 Com A 12 da primeira equação 12 B C 4 B C 8 Da segunda equação 7 12 2B 5C 28 84 2B 5C 28 2B 5C 56 Utilizando B 8 C em 2B 5C 56 obtenho 28 C 5C 56 16 2C 5C 56 3C 40 C 403 Então B 8 403 8 403 24 403 163 Assim A 12 B 163 C 403 Portanto Vs 12 1s 163 1s5 403 1s2 Transformada Inversa No tempo t 0 vt 12 L11s 163 L11s5 403 L11s2 Sabendo que L11sa eat ut obtenho vt 12 163 e5t 403 e2t t 0 c Grafico de vt Figura 1 Grafico de vt d Verificacao pelos Teoremas do Valor Inicial e Final 1 Teorema do Valor Inicial TVI lim t0 vt lim s s V s No tempo ja vejo que v0 4 Em V s 4s228s120 s s5 s2 analiso s V s 4s2 28s 120 s 5s 2 Quando s os termos de mais alta ordem se cancelam resultando em 4 s2 s2 4 Assim lim s s V s 4 v0 4 2 Teorema do Valor Final TVF lim t vt lim s0 s V s No tempo minha solucao indica que os termos exponenciais decaem a zero restando 12 6 Em V s s V s 4s2 28s 120 s 5s 2 Avaliando em s 0 120 0 50 2 120 10 12 Portanto limt vt 12 Esses valores inicial 4 e final 12 conferem com a solucao no tempo comprovando que V s e consequentemente vt esta correta 7 Atividade 13 Resistˆencia R 2 Ω Indutˆancia L 8 H Fonte de tensao vst que muda de valor em trˆes intervalos 1 0 t 5 s vst 3 V 2 5 t 10 s vst 2 V 3 t 10 s vst 0 V A saıda desejada e a corrente iLt atraves do indutor e do resistor pois e um circuito em serie Eu assumo que nao ha corrente antes de t 0 isto e iL0 0 a Expressao de iLt via EDO e Transformada de Laplace no tempo Passo 1 Montar a EDO do circuito A equacao da malha envolve a tensao no indutor e a queda no resistor vst R iLt L diLt dt Substituindo R 2 e L 8 8 diL dt 2 iL vst Como vst muda de valor em t 5 s e t 10 s divido o problema em intervalos garantindo a continuidade de iLt na transicao entre os intervalos Intervalo 1 0 t 5 1 Equacao 8 diLt dt 2 iLt 3 t 0 2 Condicao inicial iL0 0 3 Resolvendo a EDO Parte homogˆenea 8dih dt 2 ih 0 dih dt 2 8ih iht K et4 8 Solução particular para a fonte constante 3 V assumo ipt constante Substituindo 8 0 2 constante 3 ip 32 15 Solução geral iLt iht ipt K et4 15 Aplicando iL0 0 K 15 0 K 15 Solução final no intervalo 1 iLt 15 1 et4 0 t 5 Intervalo 2 5 t 10 1 Equação 8 diLdt 2 iL 2 5 t 10 2 Condição inicial iL5 que é o valor da corrente ao final do intervalo 1 iL5 15 1 e54 3 Solução A solução homogênea é a mesma iht K et4 Para a solução particular com fonte constante 2 V tenho 8 0 2 constante 2 constante 1 A solução geral é iLt 1 K et4 Para impor a continuidade em t 5 escrevo a solução de forma que o tempo seja relativo a t 5 iLt 1 iL5 1 et54 5 t 10 de modo que em t 5 vale iL5 iL5 4 Forma final no intervalo 2 iLt 1 iL5 1 et54 5 t 10 onde iL5 15 1 e54 Intervalo 3 t 10 1 Equação 8 diL dt 2 iL 0 t 10 pois a fonte vst 0 2 Solução homogênea iLt K et4 3 Condição inicial iL10 oriundo do intervalo 2 iL10 1 iL5 1 e54 4 Solução final iLt iL10 exp t10 4 t 10 Assim a solução completa e contínua de iLt fica em três trechos iLt 15 1 et4 0 t 5 1 15 1 e54 1 et54 5 t 10 iL10 exp t10 4 t 10 com iL10 1 15 1 e54 1 e54 Esse procedimento foi feito diretamente no tempo mas utilizando a estrutura da Transformada de Laplace solução homogênea particular e condições iniciais a cada mudança de excitação b Expressão de iLt via Representação do Sistema no Domínio de Laplace Agora em vez de resolver a EDO diretamente por intervalos eu procedo da seguinte forma 1 Montar a impedância total no domínio de Laplace Zs R s L 2 8 s 2 Corrente em Laplace ILs Vss Zs Vss 2 8 s 3 Encontrar Vss usando as funções de degrau de Heaviside O sinal de entrada vst é vst 3 0 t 5 2 5 t 10 0 t 10 Posso escrever esse sinal utilizando os degraus ut da seguinte forma vst 3 ut 3 ut5 2 ut5 2 ut10 3 ut 5 ut5 2 ut10 4 Transformada de Laplace de cada termo L3 ut 3 s L5 ut5 5 e5s 1 s L2 ut10 2 e10s 1 s Portanto Vss 3 s 5 e5s s 2 e10s s 5 Logo ILs 1 2 8 s 3 s 5 e5s s 2 e10s s A transformada inversa levará exatamente à função iLt em três trechos obtida anteriormente ILs Vss 2 8 s 1 2 8 s 3 s 5 e5s s 2 e10s s c Plotar iLt em 0 t 10 s Corrente iLt no intervalo 0 t 10 s iLt A 10 08 06 04 02 00 02 04 0 2 4 6 8 10 t s A forma final peça a peça é iLt 32 1 et4 0 t 5 1 iL5 1 et54 5 t 10 iL10 e t10 4 t 10 onde iL5 15 1 e54 e iL10 1 iL5 1 e54