Capítulo 1: Eletricidade - Carga Elétrica e Campo Elétrico

F203 Física III Prof Ms Luiz Felipe Simões de Godoy 2021 2 Capítulo 1 Eletricidade Carga Elétrica Força Elétrica e Campo Elétrico 11 CARGA ELÉTRICA 111 Introdução Toda a matéria é formada por moléculas e toda molécula é formada de átomos que são formados por três partículas elementares são elas elétrons prótons e nêutrons A estrutura atômica é formada por um núcleo onde ficam os prótons e os nêutrons em torno do qual se movimentam os elétrons em uma órbita denominada eletrosfera Na figura abaixo está uma representação de um átomo 112 Definição Carga elétrica que pode ser tanto positiva quanto negativa é uma propriedade física fundamental que determina as interações eletromagnéticas entre os corpos A unidade de carga elétrica no SI é o Coulomb C uma homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb 1736 1806 que entre as várias contribuições à ciência destacamse aquelas nos campos da eletrostática e do eletromagnetismo 113 Carga Elementar A menor carga elétrica encontrada na natureza é a carga de um elétron ou de um próton que vale C 10 61 19 e negativa para os elétrons e positiva para os prótons 114 Propriedades das Cargas Elétricas Corpos carregados com cargas de mesmo sinal se repelem e corpos carregados com cargas de sinais contrários se atraem Um corpo que contém quantidades iguais dos dois tipos de cargas positivas e negativas está eletricamente neutro caso tenha um desequilíbrio com relação às quantidades de cargas positivas e negativas este corpo estará eletricamente carregado Eletrosfera Elétron Próton Nêutron 3 115 Princípio da Conservação das Cargas Elétricas Dentro de um sistema isolado a soma algébrica tanto das cargas positivas como negativas irão permanecer constantes Isto é o somatório das cargas antes do contato será igual ao somatório das cargas após o contato 116 Condutores e Isolantes Condutores são materiais nos quais um número significativo de partículas carregadas está livre para se mover Isolantes ou nãocondutores são materiais que não permitem o movimento de cargas elétricas Quando uma quantidade de carga elétrica se move através de um material dizemos que existe uma corrente elétrica no material Obs Os semicondutores são definidos como uma classe de materiais entre os condutores e isolantes e as suas propriedades elétricas podem ser alteradas por várias ordens de grandeza pela adição de quantidades controladas de átomos diversos ao material 117 Processos de eletrização I Atrito Atritamse dois corpos neutros um deles perderá uma quantidade x de elétrons enquanto o outro recebe esta mesma quantidade Assim ao final do processo teremos dois corpos eletrizados com cargas de mesmo módulo mas de sinais contrários Esse processo ocorre por transferência de cargas não há criação de cargas II Contato Fazse o contato direto ou indireto através de um fio condutor entre um corpo eletrizado positivamente e um corpo neutro elétrons fluem do corpo neutro para o corpo eletrizado positivamente Ao final do processo teremos dois corpos eletrizados positivamente pois o corpo neutro ficará com excesso de cargas positivas Caso particular Se na eletrização por contato os corpos forem geometricamente idênticos por exemplo duas esferas de mesmo raio ao final do processo além dos corpos possuírem cargas de mesmo sinal terão a mesma intensidade III Indução Eletrostática Aproximase um corpo eletrizado positivamente indutor de um corpo neutro induzido neste momento ocorre dentro do corpo neutro a separação das cargas negativas e positivas por indução Fazse um terra no corpo neutro através de um fio condutor e elétrons subiram para o hemisfério positivo neutralizandoo Em seguida desfazse o terra e por último afastase o indutor do induzido Após Antes Q Q Ocorre a indução 4 Exercício Proposto 1 Podese utilizar um corpo eletrizado negativamente para eletrizar um corpo neutro no processo de contato Como ocorre o processo Exercício Proposto 2 Refaça em seu caderno o processo de indução eletrostática considerando o indutor negativo Exercício Proposto 3 Três esferas A B e C de mesmo raio estão eletrizadas inicialmente com cargas iguais a 5Q 9Q e 4Q respectivamente Após encostar A e B e separálas a esfera C é colocada em contato com a esfera B e por fim são isoladas uma da outra Ao final de todo o processo qual a carga de cada uma das esferas Exercício Proposto 4 Quatro esferas idênticas são colocadas em contato simultaneamente e em seguida separadas uma das outras Sabendose que a primeira e a segunda esfera possuem cargas iguais a 3Q a terceira esfera tem carga 7Q e que a quarta esfera está neutra qual a carga final de cada uma das esferas 12 LEI DE COULOMB FORÇA ELÉTRICA 121 Introdução A Lei de Coulomb foi estabelecida empiricamente por Charles Augustin de Coulomb no ano de 1785 Coulomb verificou que a força elétrica de interação entre duas partículas estacionárias e carregadas eletricamente segue as seguintes propriedades A força elétrica é diretamente proporcional ao produto dos módulos das cargas A força elétrica é inversamente proporcional ao quadrado da distância r em linha reta que separa as duas partículas 2º Passo Fazse um terra no induzido Elétrons fluem para o induzido 3º Passo Desfazse o terra 4º Passo Afastase o indutor do induzido 5 A força elétrica depende de uma característica do meio em que as cargas estão inseridas esta característica Coulomb denominou de constante de Coulomb também conhecida como constante eletrostática do meio k A constante eletrostática depende das unidades de medidas utilizadas em unidades do SI o valor da constante é A constante k também pode ser descrita em função da constante de permissividade elétrica do meio ε No vácuo a permissividade vale Lembrando que força é uma grandeza vetorial a equação para determinar a força elétrica que uma partícula exerce em outra é expressa por r r r ˆ e rˆ o versor dirigido de 1q para 2 q Exercício Proposto 5 O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio são separados por uma distância de m 10 55 11 Encontre o valor da força que as partículas exercem uma sobre a outra Resposta 7 61 10 8 N Exercício Proposto 6 Duas cargas puntiformes eletrizadas estão fixadas a 3 mm uma da outra Suas cargas elétricas são idênticas e iguais a 2 nC positivas Determine a intensidade da força elétrica de interação entre as cargas Resposta 0004 N Exercício Proposto 7 Duas cargas elétricas puntiformes positivas e de mesma intensidade estão separadas por uma distância de 30 cm Sendo que a força de repulsão mútua tem intensidade de N 10 04 1 Determine o valor da carga Q Resposta 2μC Exercício Proposto 8 Duas cargas elétricas positivas e iguais a 1µC se repelem com uma força de repulsão de N 10 63 2 Determine a distância entre as cargas elétricas Exercício Proposto 9 As cargas elétricas Q18µC e Q22µC estão fixas a uma distância de 15m Determine a posição de equilíbrio para uma carga Q3 4µC sob ação exclusiva das forças eletrostáticas colocada entre as cargas Q1 e Q2 Resposta x 05m de Q2 2 2 9 10 N m C 09 k 2 2 12 C N m 8 854 10 o o k 4 1 r r q q k F ˆ 2 2 1 6 Exercício Proposto 10 Considere três cargas puntiformes colocadas nos vértices de um triângulo tal como mostra a figura abaixo com 5μC 3 1 q q e 2μC 2 q Sabendo se que 10 a m determine a força elétrica resultante sobre 3 q Resposta FR 802 N Exercício Proposto 11 Duas pequenas esferas idênticas carregadas cada qual com massa de 10 2 03 kg estão penduradas e em equilíbrio conforme mostra a figura abaixo Se o comprimento de cada fio for 015 m e o ângulo entre eles for θ 10º determine o módulo da carga sobre cada esfera admitindo que as esferas tenham cargas idênticas Resposta 10 8 44 C Exercício Proposto 12 Quatro cargas puntiformes idênticas q 10 μC estão localizadas nos vértices de um retângulo como mostra a figura abaixo As dimensões do retângulo são L 60 cm e W 15 cm Calcular o módulo e a direção da força eletrostática resultante exercida pelas outras cargas sobre a carga que está no canto inferior esquerdo do retângulo Resposta 4087 N Exercício Proposto 13 Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 sendo 1 2 Q 4Q estão fixas em dois pontos A e B distantes 30cm um do outro a A que distância do ponto A deve ser colocada uma carga Q3 para ficar em equilíbrio sob a ação exclusiva das forças elétricas b Se a carga Q3 for colocada no ponto médio da distância entre A e B qual será a direção e o sentido da força resultante sobre ela Considere Q3 2Q1 x y a a L L q q L W q q q q 7 Exercício Proposto 14 Duas pequenas esferas idênticas estão eletrizadas com cargas Q e 5Q e se atraem com uma força elétrica de intensidade F quando estão separadas de uma distância d Colocandoas em contato e posicionadoas em seguidas a uma distância 2d uma da outra qual será a intensidade da nova força de interação elétrica entre as esferas Resposta F F5 repulsão Exercício Proposto 15 Três partículas carregadas eletricamente são colocadas sobre os vértices de um triângulo equilátero de lado d 40cm conforme a figura abaixo Considerando que a carga Q1 esteja sobre a origem do sistema de coordenadas Determine o vetor força elétrica resultante que atua sobre a carga Q3 Exercício Proposto 16 Dois corpos puntiformes e condutores estão eletrizados com cargas de mesmo sinal e estão separados por uma distancia r no vácuo Nessas condições eles se repelem com uma força elétrica de intensidade F É correto afirmar a Dobrandose a distância entre eles a intensidade da força de interação eletrostática fica 4 vezes menor b Dobrandose a quantidade de carga elétrica em cada corpo a intensidade da força elétrica fica 4 vezes menor c Se os corpos forem colocados em contato e em seguida retornarem à posição original a força elétrica entre eles passa a ser de atração d Se os corpos forem colocados em contato e em seguida retornarem à posição original a força elétrica entre eles apresenta a mesma intensidade 13 CAMPO ELÉTRICO 131 Definição Campo Elétrico é uma região do espaço na qual uma partícula eletrizada denominada carga de prova fica sob a ação de uma força elétrica A grandeza física Campo Elétrico é vetorial e como tal deve ser definida pela intensidade direção e sentido Podemos dizer que o vetor Campo Elétrico em um determinado local do espaço é definido como o vetor força elétrica F que atua sobre uma carga de prova positiva qo colocada neste local 8 A unidade de Campo Elétrico no SI é o NC Considerando uma carga puntiforme q geradora de campo elétrico localizada à uma distância r de uma carga de prova qo podemos determinar o vetor campo elétrico pela relação Lembrando que rˆ é um vetor unitário dirigido de q para qo Exercício Proposto 17 Qual é a força atuante sobre um elétron colocado em um ponto onde o campo elétrico é i E 10 ˆ 04 4 NC Resposta i F ˆ 10 46 15 Exercício Proposto 18 Uma carga Q1 8μC está localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas e uma segunda carga Q2 5 μC está situada no eixo das abscissas a 20 cm da origem Determine o vetor campo elétrico e o seu módulo no ponto P cujas coordenadas são dadas por 0 60 cm Resposta j i E 10 ˆ 39 10 ˆ 63 4 4 e 99 104 E NC Exercício Proposto 19 Uma carga puntiforme de 25 C está localizada na origem do sistema cartesiano de coordenadas Determinar o vetor campo elétrico a Sobre o eixo dos x em x 3 m Resposta i E 103 25 NC b Sobre o eixo dos y em y 4 m Resposta j E 2 93 103 NC c No ponto com as coordenadas 2 3 metros Resp j i E 3 3 2 99 10 198 10 Exercício Proposto 20 Achar o campo elétrico resultante sobre a reta que une as duas cargas da figura abaixo no ponto médio entre elas Resposta 5 48 104 NC qo F E r r r ˆ ˆ r q k q F ˆ r k q q F 2 o 2 o 2r k q E 3 m 47 μC 90 μC 9 132 Linhas de Força de um Campo Elétrico São conjuntos de retas ou curvas que apontam sempre na mesma direção do vetor campo elétrico com a intenção de facilitar a visualização do campo elétrico Precisamos conhecer algumas características das linhas de força de um campo elétrico são elas a O vetor campo elétrico E é tangente em cada ponto à linha do campo elétrico que passa pelo ponto b O número de linhas por unidade de área que atravessam uma superfície perpendicular às linhas do campo é proporcional ao valor do campo elétrico na região Isto é quanto mais juntas as linhas maior densidade de linhas maior o módulo do campo elétrico Se imaginarmos inúmeras partículas de prova ao redor da partícula geradora de carga podemos verificar que as linhas de campo elétrico que vão de Q a qo têm forma radial dirigida para fora figura 3a se a carga Q for positiva e dirigida para dentro chegando em Q se a carga Q for negativa figura 3b 133 Campo Elétrico Uniforme Dizemos que um campo elétrico é uniforme em uma região quando suas linhas de força são paralelas e igualmente espaçadas umas das outras o que implica que seu vetor campo elétrico nesta região tem em todos os pontos a mesma intensidade mesma direção e sentido Podemos obter um campo elétrico uniforme utilizando duas placas condutoras planas e iguais colocadas em paralelo e tendo carga elétrica de mesma intensidade e sinais opostos o campo elétrico gerado entre elas será uniforme Q figura 3a Q figura 3b A B B A E E A B C Neste caso em qualquer posição dentro do campo elétrico teremos a mesma intensidade de campo EA EB EC Divergente Convergente 10 134 Movimento de partículas carregadas num campo elétrico uniforme Quando uma partícula eletricamente carregada é colocada em um campo elétrico uniforme passa a atuar nesta partícula uma força elétrica dada por q E F Considerando que esta força seja a única a atuar sobre a partícula pela segunda lei de Newton Princípio Fundamental da Dinâmica podemos escrever Exercício Proposto 21 Um próton é acelerado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de 640 NC Em certo instante depois a sua velocidade é 106 21 ms Massa do próton Kg 1672 10 27 a Achar a aceleração do próton 613 1010 ms2 b Quanto tempo leva o próton para atingir essa velocidade 196 μs c Qual a distância que percorreu nesse intervalo de tempo 118 m d Qual a sua energia cinética nesse instante 10 15 21 J Exercício Proposto 22 Um elétron entra na região de um campo elétrico uniforme como mostra a figura abaixo Sua velocidade inicial é de 106 03 ms e a intensidade do campo elétrico é de 200NC Considerando que o elétron está sujeito apenas ao campo elétrico e que o comprimento das placas é de 01 m determine Dado massa do elétron 10 31 19 Kg a Desenhe na figura linhas de campo elétrico b A aceleração do elétron enquanto estiver no campo elétrico 1013 53 ms2 c O tempo que o elétron gasta para atravessar a região do campo elétrico 10 8 33 s d O deslocamento vertical do elétron no interior do campo elétrico 194 10 2 m e A velocidade do elétron ao sair do campo 3 21 106 ms m q E q E m a F F E R a 01 m 11 Exercício Proposto 23 Três cargas puntiformes idênticas C q 72 estão colocadas nos vértices de um triângulo equilátero cujos lados têm o comprimento de 35 cm Qual o módulo do campo elétrico resultante no centro do triângulo Resposta ER 0 Nulo Exercício Proposto 24 Uma pequena esfera de plástico de 2 g está pendurada por um fio de 20 cm num campo elétrico uniforme A esfera está em equilíbrio quando o fio faz um ângulo de 15º com a vertical conforme a figura abaixo Qual a carga elétrica da esfera Resposta 52μC Exercício Proposto 25 Os elétrons num feixe de partículas têm cada qual uma energia cinética de 10 17 J 61 Qual o módulo do campo elétrico capaz de parar esses elétrons em uma distância de 10cm Exercício Proposto 26 Uma gota de tinta de massa 10 10 31 m kg e carga negativa de módulo 10 13 51 q C entra na região entre duas placas de comprimento x 16 cm com velocidade inicial i vo 18 ms O campo elétrico entre as placas é uniforme j E 41 106 NC Calcule a o deslocamento vertical b o tempo de percurso c as componentes da velocidade quando a gota sai da região entre as placas Respostas a 064 mm b 10 4 98 s c v 18 ms i 144 ms j 135 Campo Elétrico Distribuição Contínua de Cargas Como vimos anteriormente o campo elétrico total de um grupo de cargas puntiformes se calcula através da soma vetorial dos campos individuais devidos às respectivas cargas Contudo em alguns casos as cargas estão muito juntas em comparação com as distâncias aos pontos do campo Neste caso o sistema de cargas pode ser considerado contínuo Podemos pensar que este sistema equivale a uma carga total distribuída continuamente em certo volume ou sobre certa superfície Para calcularmos o campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas procedemos da mesma forma considerando vários pequenos elementos de carga elétrica cada qual com uma pequena carga Δq calculamos o campo como um somatório dos campos gerados por cada elemento 20cm 15º i i i i r r q k E ˆ 2 12 Onde o índice i identifica o iésimo elemento da distribuição Se considerarmos a separação entre os elementos de carga muitíssimo pequena em comparação com a distância ao ponto P no qual se deseja obter a intensidade do campo a distribuição pode ser considerada contínua e portanto o campo total em P será o limite Δq 0 assim teremos Onde rˆ é um versor orientado da fonte puntiforme para o ponto P do campo Observação A integração acima é uma operação vetorial São diversos casos em que podemos admitir a distribuição contínua de cargas sobre uma linha sobre uma superfície e sobre certo volume Para efetuarmos os cálculos utilizaremos o conceito de densidade de carga a Se a carga estiver distribuída uniformemente num volume a carga por unidade de volume será dada por denominada Densidade volumétrica de carga V q em unidades m3 C portanto temos V q Podemos considerar que dV dq V q V q b Se a carga estiver distribuída uniformemente em uma superfície de área A a densidade de carga por unidade de área será dada por denominada Densidade superficial de carga A q em unidades m2 C portanto temos A q Podemos considerar que dA dq A q A q c Se a carga estiver distribuída uniformemente sobre uma linha de comprimento l a densidade de carga será dada por denominada Densidade linear de carga l q em unidades m C portanto temos l q Podemos considerar que dl dq l q l q i i i i i q r r dq r r q k E ˆ ˆ lim 2 2 0 13 136 Campo Elétrico de Um Bastão Carregado Um bastão com o comprimento l tem uma carga positiva q distribuída uniformemente pela sua densidade linear λ isto é a carga por unidade de comprimento Calcular o campo elétrico num ponto P sobre o eixo que contém o bastão a uma distância d de uma de suas extremidades Podemos considerar o bastão formado por infinitas partículas carregadas com carga infinitesimais dq que podem ser descritas pela relação dq λ dx 2x dE k dq dx dq 2x dx k dE O campo elétrico total em P devido a todas as cargas infinitesimais distribuídas sobre o bastão em diferentes distâncias de P será determinado pela integral definida no intervalo que se estende de uma extremidade do bastão x d até a outra extremidade x d l Resolvendo a integral temos l d d k x k E l d d 1 1 1 Colocando o resultado em função da carga elétrica l q l q Assim Obs Se o ponto P estiver a uma distância muito maior que o próprio comprimento do bastão isto é d l podemos desprezar o valor de l no denominador da equação final e o campo elétrico será determinado como o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme d2 E k q l d d l d d l d d x dx k E x dx k E dE E 2 2 1 l d d k q E A intensidade do campo elétrico gerado por cada uma das cargas infinitesimais pode ser calculado por x dx l d x y dq λ dx P 14 Exercício Proposto 27 Um bastão de 14 cm de comprimento uniformemente carregado tem carga total de 22C Determinar o módulo e a direção do campo elétrico sobre o eixo do bastão a 36 cm do seu centro Resp 1587 10 ˆ NC 6 i Exercício Proposto 28 Um fio retilíneo carregado conforme a figura abaixo se estende desde y 250 cm até y 250 cm A carga total distribuída uniformemente sobre o fio é igual a 90 nC a Obtenha o vetor campo elétrico sobre o eixo Ox para x 10 cm b Compare o resultado do item a com o campo elétrico gerado por partícula com carga 90 nC a uma distância de 10 cm c Para que distância x o resultado do fio finito difere de 10 do resultado do item b 137 Campo Elétrico de um Anel de Cargas Uniformes Um anel de raio a tem uma carga positiva uniforme por unidade de comprimento e carga total q Calcular o campo elétrico sobre o eixo do anel num ponto P que está à distância x do centro do anel Podemos dividir o anel em segmentos infinitesimais cada segmento com uma carga dq Cada carga deverá gerar no ponto P um campo elétrico E d Assim o campo elétrico total será a soma de todos os campos E d de todos os segmentos infinitesimais do anel Neste caso a determinação do campo elétrico resultante é simples pois o ponto P está situado sobre um eixo de simetria do anel Se tomarmos como exemplo dois pontos diametralmente opostos como na figura acima veremos que o campo elétrico gerado por cada partícula de carga dq no ponto P terá componentes iguais na direção do eixo x e componentes opostas na direção 25 25 x y P Resposta a 7 858 10 ˆ NC 3 i b 8100 NC c 18 cm 15 perpendicular ao eixo x estas se anulam Quando somamos todos os campos gerados por cargas diametralmente opostas concluímos que o campo elétrico resultante deverá ter apenas uma componente ao longo do eixo de simetria do anel neste caso eixo x e não possuirá nenhuma componente perpendicular Portanto o campo elétrico será a soma de todo as componentes Ex d Calculando a intensidade do vetor Ex d 2 2 a x dq k dE como 2 2 cos a x x r x temos 2 2 2 2 cos a x x a x dq k dE dEx podemos escrever 2 32 2 a x xdq k dEx Para calcularmos a componente resultante 2 32 2 a x xdq k Ex como x não varia quando percorremos todas as cargas do anel podemos tirar da integral todas as constantes lembrando que a carga total é q teremos 138 Campo Elétrico de um Disco Uniformemente Carregado Um disco de raio R tem uma carga uniforme por unidade de área σ Calcular o campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância x do seu centro Para isto basta considerarmos o disco sendo formado por um conjunto de infinitos anéis concêntricos desta forma aplicaremos o conceito visto no item 137 campo elétrico gerado por um anel em um determinado ponto do eixo de simetria do anel Em seguida somaremos os campos elétricos gerados por todos os anéis Tomemos o anel de raio r e largura de faixa dr este anel terá área igual a 2πrdr para visualizar esta área basta cortar este anel esticálo e considerar a área do retângulo b x h A carga dq sobre este anel é igual à área do anel multiplicada pela densidade superficial de carga σ isto é dq 2πrdrσ ou de forma mais adequada dq 2πrσ dr Portanto se tomarmos a equação do campo elétrico na componente x estudada no tópico anterior e substituirmos a por r e o diferencial da carga dq adequadamente teremos 2 3 2 2 2 3 2 2 2 r x dr r k x dE a x xdq k dE x x lembrando que este é o campo gerado por uma carga diferencial para o cálculo do campo elétrico total em um ponto P do eixo de simetria basta aplicarmos a integral definida entre os limites r 0 e r R lembrando que x é uma constante temos i a x xq k E i E x ˆ ˆ 2 32 2 16 R R r dr r x kx E dr r x r x k E 0 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 2 x R x kx r x kx E R 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 1 2 2 2 Para obtermos o campo elétrico nas proximidades do disco sobre o eixo podemos fazer x 0 assim teremos Exercício Proposto 29 Uma chapa de carga horizontal grande e plana tem uma carga por unidade de área igual a 90 μCm2 Determine a intensidade do campo elétrico localizado a uma pequena distância acima do seu ponto central Exercício Proposto 30 Um pedaço de isopor de 100 g tem carga líquida de 070 µC e está suspenso em equilíbrio acima do centro de uma grande chapa horizontal de plástico que tem uma densidade uniforme de carga em sua superfície Qual é a carga por unidade de área na chapa de plástico Exercício Proposto 31 Um anel uniformemente carregado de raio 100 cm possui uma carga total de 75 μC Determine o campo elétrico no eixo do anel para as seguintes distâncias do centro a 10 cm b 50 cm c 100 cm Exercício Proposto 32 Um disco de raio 350 cm uniformemente carregado possui uma densidade superficial de carga igual a 10 3 97 Cm2 Calcule o campo elétrico no eixo do disco nos pontos distantes do seu centro de a 50 cm b 100 cm c 200 0 cm Exercício Proposto 33 Uma linha de carga contínua ao longo do eixo x estendese de x x0 até o infinito positivo A linha possui carga positiva com uma densidade linear uniforme dada por λ Determine o vetor campo elétrico na origem do sistema de coordenadas cartesianas 2 1 2 2 1 2 R x x k E o k E 2 2 17 14 Dipolos Elétricos 141 Definição Um dipolo elétrico é um par de cargas puntiformes com mesmo módulo porém de sinais contrários uma carga positiva q e uma carga negativa q separadas por uma distância d Uma molécula de água é um dipolo elétrico Na molécula de água os átomos de O e H não estão em linha reta e fazem um ângulo de 105º Os 10 elétrons da molécula tendem a permanecer mais próximo do núcleo de oxigênio do que do núcleo de hidrogênio Isto faz com que o lado do O seja ligeiramente mais negativo do que o lado do H O momento de dipolo resultante aponta ao longo do eixo de simetria da molécula O momento de dipolo da água é o principal responsável pela absorção de energia pelos alimentos colocados num forno microondas O fato das moléculas de água serem dipolos elétricos concede a água a característica de ser um excelente solvente de substâncias iônicas como o sal de cozinha NaCl quando dissolvidos em água o sal se dissocia em um íon de sódio positivo cátion Na e um íon negativo ânion Cl que são atraídos respectivamente pelas extremidades negativas e positivas da molécula de água 142 Força e Torque Consideremos um dipolo elétrico imerso em um campo elétrico externo e uniforme Nesta situação as forças elétricas que estarão atuando nos dipolos terão as seguintes características mesmo módulo mesma direção e sentidos opostos Portanto a força resultante será nula como visto em Física I isto implica no equilíbrio de translação do dipolo Devido às forças e suas características o dipolo elétrico funciona como um braço binário e teremos um torque gerando uma tendência de rotação Cada uma das forças é capaz de gerar um torque relativo ao centro do dipolo portanto para o cálculo de cada um dos torques lembramos que é o produto da componente normal da força elétrica em relação ao eixo pela distância ao centro isto é a metade da distância entre as extremidades eletrizadas O módulo do torque resultante será o dobro do módulo do torque gerado por cada força individualmente assim teremos q E d sen F d sen Extremidade negativa Extremidade positiva O momento do dipolo elétrico p aponta da extremidade negativa para a extremidade positiva da molécula 18 Definimos uma outra grandeza física que nos será muito importante Momento de Dipolo Elétrico p que é uma grandeza vetorial com as seguintes características Módulo do momento de dipolo elétrico q d p unidade Cm Direção o eixo do dipolo Sentido Orientado da carga negativa para a carga positiva Podemos agora escrever a equação do torque em função do momento do dipolo elétrico sen E p Como é o ângulo entre as direções do vetor p e do vetor E verificamos que o módulo do torque pode ser dado pelo módulo do produto vetorial como visto na disciplina de Álgebra Assim a relação do torque sobre um dipolo usando a notação vetorial pode ser escrita E p Para determinar a direção e sentido do vetor torque podemos utilizar a regra da mão direita No exemplo acima verificamos que o torque está orientado perpendicularmente no sentido para dentro da folha O torque é o agente dinâmico da rotação Quando aplicamos um torque sobre algum corpo esse corpo pode ganhar velocidade angular passando a descrever um movimento de rotação Dizemos que quando um corpo está em rotação ele apresenta momento angular O momento angular é o análogo rotacional do momento linear também conhecido como quantidade de movimento por isso podemos entender que o momento angular é a quantidade de movimento rotacional de um corpo ou sistema Figura 1 O torque tende a alinhar o dipolo na direção do campo elétrico O campo elétrico aplica um torque ao dipolo em direção perpendicular ao plano formado entre o Campo e o momento 19 143 Energia potencial de um dipolo elétrico Quando um dipolo muda de direção em um campo elétrico o torque do campo elétrico realiza um trabalho sobre ele produzindo uma correspondente variação da energia potencial O trabalho dW realizado pelo torque durante um deslocamento infinitesimal d é dado pela equação dW d Como o torque possui o sentido da diminuição de o torque será negativo e escrevemos como d pE sen d dW p E sen Em um deslocamento finito de 1 até 2 o trabalho total realizado sobre o dipolo é dado por 1 2 cos cos 2 1 p E d p E sen W Como o trabalho realizado é igual à variação da energia potencial com o sinal contrário 2 1 U U W Assim podemos escrever a energia potencial U cos p E U do segundo membro desta equação podemos reconhecer o produto escalar cos p E E p então poderemos escrever a energia potencial de um dipolo elétrico em um campo elétrico como o produto escalar p E U A energia potencial possui um valor mínimo que corresponde a uma posição de equilíbrio estável quando 0º neste caso E p e são paralelos E a energia potencial terá valor máximo que corresponde a uma posição de equilíbrio instável quando 180º neste caso p E U cos π 1 Quando 90º ou seja E p teremos a energia potencial nula U 0 Resumindo uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico A energia potencial do dipolo será mínima quando o momento p está alinhado com o campo elétrico E Contudo as equações podem ficar mais simples se definirmos a energia potencial como sendo nula quando o ângulo 90º isto é quando o momento forma um ângulo reto com o campo elétrico Neste caso podemos determinar a energia potencial U do dipolo para qualquer outro valor de 90º º 90 d p E sen d W U 20 Exercício Proposto 34 Uma molécula de água H2O neutra no estado de vapor tem um momento dipolar elétrico cujo módulo é 10 30 26 Cm Dado Uma molécula de água neutra possui 10 elétrons e 10 prótons a Qual é a distância entre o centro das cargas positivas e o centro das cargas negativas da molécula b Se a molécula é submetida a um campo elétrico de 51 104 NC qual é o máximo torque que o campo elétrico pode exercer sobre a molécula c Que trabalho deve ser realizado por uma agente externo para fazer a molécula girar de 180º na presença deste campo elétrico partindo da posição em que a energia potencial é mínima Exercício Proposto 35 A figura abaixo indica um dipolo elétrico no interior de um campo elétrico uniforme com módulo igual a 105 05 NC orientado paralelamente ao plano da figura As cargas são 10 19 61 C e ambas as cargas estão sobre o plano da figura sendo que a distância entre elas é de 0125 nm Calcule a A força resultante exercida pelo campo elétrico sobre o dipolo b O módulo a direção e o sentido do momento de dipolo elétrico c O módulo a direção e o sentido do torque d A energia potencial do sistema na posição indicada Exercício Proposto 36 Duas esfera com massas de 10 g estão conectadas por um bastão isolante com 20 cm de comprimento e massa desprezível Uma das esferas tem carga positiva de 10nC e a outra um carga de 10 nC O bastão é suspenso em um campo elétrico uniforme de 100 kNC formando um ângulo de 30º em relação ao campo e então é solto Qual será sua aceleração angular inicial Exercício Proposto 37 Um dipolo com momento de 002e nm faz um ângulo de 20º com um campo elétrico uniforme de 30103 NC determine a A intensidade do torque sobre o dipolo b A energia potencial sobre o sistema 35º q q 30º E q q 21 144 Campo Elétrico produzido por um dipolo elétrico Por simetria o campo elétrico no ponto P deve ser paralelo ao eixo do dipolo elétrico que foi tomado neste caso como o eixo z Aplicando o princípio de superposição aos campos elétricos vemos que o módulo E do campo elétrico no ponto P é dado por 2 2 r q k r q k E E E E E E E para simplificação vamos substituir 0 4 1 k 2 2 2 0 2 2 0 2 1 2 1 4 2 1 2 1 4 1 z d z d z q E d z d z q E A resolução da última equação requer um desenvolvimento da série binomial que neste momento não iremos apresentar aqui Do desenvolvimento da série tomando os dois primeiros termos e desconsiderando os demais devido a diferença de magnitude podemos escrever 3 0 2 z p E Observação A equação do campo elétrico é inversamente proporcional ao cubo da distância do ponto ao centro do dipolo considerando o centro do dipolo na origem do eixo seja ele x y ou z Na figura a temos um dipolo elétrico As distâncias entre o ponto P e as duas carga que formam o dipolo são r e r Na figura b está representado o momento do dipolo que aponta da carga negativa para a carga positiva d2 d2 22 Exercício Proposto 38 Os sprites são clarões que às vezes são vistos no céu acima de grandes tempestades Esses fenômenos foram de fato compreendidos há poucos anos Eles são produzidos quando ocorre um relâmpago muito intenso entre a terra e uma nuvem de tempestade mais precisamente quando o relâmpago transfere grande quantidade de carga negativa q da terra para a base da nuvem Vale a pena assistir httpswwwyoutubecomwatchvtGPQ5kzJ9Tg Podemos modelar o campo elétrico produzido pelas cargas da nuvem supondo que existe um dipolo vertical formado por uma carga q na altura h da nuvem e uma carga q a uma distância h abaixo da superfície Se q 200 C e h 60 km qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma altitude z1 30 km ou seja a uma altitude um pouco acima das nuvens e a uma altitude z2 60 km ou seja um pouco acima da estratosfera Aplicando a equação 3 0 3 0 2 2 2 z h q z p E onde 2h é a distância entre as cargas q e q Assim o campo elétrico a uma altitude z1 30 km pode ser calculado por 10 NC 61 30 10 8 854 10 2 10 06 2 200 3 3 3 12 3 E O campo elétrico a uma altitude z2 60 km será 10 NC 02 60 10 8 854 10 2 10 06 2 200 2 3 3 12 3 E 23 Capítulo 2 Lei de Gauss Fluxo Elétrico 211 Fluxo Elétrico O Fluxo mede o quanto o campo elétrico atravessa uma superfície mede densidade de linhas de campo elétrico Uma vez que o campo elétrico E é proporcional ao número de linhas de campo por unidade de área o fluxo também é proporcional ao número de linhas de campo que atravessam a superfície Fluxo elétrico é uma medida do número de linhas do campo elétrico que atravessam certa superfície O Fluxo elétrico é dado pelo produto do módulo do campo elétrico E pela área da superfície A perpendicular ao campo A unidade do Fluxo Elétrico no SI será Nm2C Se a superfície considerada não for perpendicular ao campo teremos Onde θ é o ângulo formado entre a reta normal ou vetor normal à superfície e o Campo Elétrico E A cos E A Fluxo de E uniforme perpendicularmente através do plano A Serway Fluxo de E uniforme através do plano A formando um ângulo θ Serway 24 Generalizando para um campo elétrico qualquer e uma superfície qualquer o fluxo elétrico ou A E através de A é definido como A dA E Onde A d é o vetor área perpendicular à superfície Lembrando que98 cos E dA dA E onde θ é o ângulo entre d A E Exercício Proposto 39 Uma superfície plana com área de 32 m2 gira num campo elétrico uniforme de intensidade 105 26 E NC Calcular o fluxo elétrico através dessa área quando o campo elétrico a For perpendicular à superfície b For paralelo à superfície c For inclinado de 75º com o plano da superfície Exercício Proposto 40 Um campo elétrico de intensidade 103 53 E NC é paralelo ao eixo dos x Calcular o fluxo elétrico através de um retângulo com 035 m de largura e 070 de comprimento quando a O retângulo for paralelo ao plano yz b O retângulo for paralelo ao plano xy c O retângulo contiver o eixo dos y e a sua normal fizer um ângulo de 40º com o eixo dos x Fluxo elétrico através da superfície A O fluxo é positivo zero ou negativo como mostrado respectivamente nos pontos 1 2 e 3 de acordo com o ângulo θ Serway Para θ 90º 0 fluxo saindo da superfície Para θ 90º 0 fluxo entrando da superfície Para θ 90º 0 não há fluxo 25 Exercício Proposto 41 Um anel circular de 40 cm de diâmetro gira num campo elétrico uniforme até que se encontre a posição de fluxo elétrico máximo através dele O fluxo nesta posição vale 105 25 Nm2C Qual a intensidade do Campo Elétrico Exercício Proposto 42 Um disco com raio igual a 010 m está orientado de modo que seu vetor unitário normal nˆ forme um ângulo de 30º com um campo elétrico uniforme E cujo módulo é igual a 103 02 NC conforme figura abaixo a Qual é o fluxo elétrico através do disco b Qual é o fluxo elétrico através do disco depois que ele girar e passar a ocupar uma posição perpendicular ao E c Qual é o fluxo elétrico através do disco quando sua normal é paralela ao vetor E Exercício Proposto 43 Um cubo de lado L está colocado em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo quando a Ele está orientado com duas de suas faces perpendiculares ao campo elétrico E b Ele sofre um giro de um ângulo α como indica a figura item b Solução a Para o cálculo do fluxo elétrico através de cada face basta aplicarmos a equação cos E A tendo atenção no ângulo θ entre a direção e sentido do vetor campo elétrico e o vetor normal nˆ de cada uma das faces Lembrando que a área da face do cubo de aresta L será L2 30º r 010 m 26 2 2 1 cos180 º EL E L Considerase negativo o fluxo entrando na superfície 2 2 2 cos0 º EL E L Considerase positivo o fluxo saindo da superfície Verificamos que nas outras quatro faces o ângulo θ 90º portanto nestas faces o fluxo é nulo Para calcular o fluxo elétrico total através do cubo basta somar o fluxo nas seis faces 0 0 0 0 0 2 2 6 5 4 3 2 1 EL EL Total Total b Observemos na figura item b que os fluxos através das faces 1 e 3 são negativos porque as linhas de campo elétrico estão entrando nessas faces e será positivo nas faces 2 e 4 por onde as linhas de campo elétrico estão saindo cos cos180º 2 2 1 EL E L cos 2 2 EL cos90º 2 2 3 EL sen E L cos90º 2 2 4 EL sen E L 0 cos90 º 2 6 5 EL O fluxo elétrico total será 0 0 0 cos cos 2 2 2 2 Total Total EL sen EL sen EL EL Podemos concluir que o fluxo elétrico de um campo elétrico uniforme que atravessa uma superfície fechada será nulo desde que não exista nenhuma carga elétrica no interior da superfície fechada Exercício Proposto 44 Uma carga puntiforme C q 03 está no centro de uma esfera de raio igual a 020 m Calcule o fluxo elétrico produzido por essa carga através da esfera 221 Lei de Gauss Carl Friedrich Gauss 1777 1855 ajudou a desenvolver diversos ramos da matemática incluindo a geometria diferencial a análise real e a teoria dos números A curva do sino da estatística é uma de suas invenções Curva de Gauss Gauss também realizou sofisticadas investigações sobre campos magnéticos da Terra e calculou a órbita do primeiro asteroide a ser descoberto A lei de Gauss embora seja equivalente à lei de Coulomb apresenta uma forma diferente de expressar a relação entre o campo elétrico e uma carga elétrica A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é proporcional à carga elétrica total líquida existente no interior da superfície 27 222 Carga puntiforme no interior de uma superfície esférica A Lei de Gauss é uma das Equações de Maxwell ou seja é uma lei fundamental do eletromagnetismo Na figura abaixo considere uma carga pontual cujo campo elétrico a uma distância r é dado pela Lei de Coulomb Vamos avaliar o fluxo elétrico através da superfície Gaussiana esférica de raio r e centro na carga cos0 º E dA dA E Como o campo elétrico é constante para o mesmo raio e que a área da superfície esférica é dada por 4 2r A podemos escrever a integral de forma mais simples 0 2 2 0 4 4 q r r q E A E dA Obs A circunferência em torno do sinal da integral serve para lembrar que a integração deve ser feita sobre uma superfície fechada Concluímos que o fluxo elétrico é independente do raio da esfera depende apenas da carga no interior da esfera 223 Carga puntiforme no interior de uma superfície não esférica Neste caso temos uma superfície fechada qualquer irregular circundando a esfera de raio R Podemos considerar que um elemento de área dA tomado sobre a superfície irregular será maior do que um elemento dA tomado sobre uma superfície esférica no mesmo local isto é à mesma distância da carga Se o elemento dA irregular forma um ângulo α com o elemento dA esférica a projeção de dA irregular sobre a superfície esférica seria dAcosα A figura mostra o fluxo por uma superfície qualquer devido a uma carga pontual Young O campo elétrico gerado pela carga q é paralelo ao vetor normal à A d isto é o ângulo θ 0º Fig do livro Halliday A d 28 0 q E A E dA Para o cálculo do fluxo total basta dividir toda superfície irregular em elementos dA calcular o fluxo elétrico E dA cosα para cada elemento e fazer o somatório utilizando a integral Como cada um dos elementos de área se projeta sobre um elemento correspondente da superfície esférica o fluxo elétrico total através da superfície irregular deve ser igual ao fluxo elétrico total sobre uma superfície esférica já estudado Podemos concluir que a equação acima é utilizada para o cálculo do fluxo elétrico de qualquer superfície desde que seja fechada e contenha uma carga em seu interior Se a carga interna à superfície for positiva o campo elétrico aponta para fora da superfície e o fluxo elétrico será positivo Se a carga interna à superfície for negativa o campo elétrico aponta para dentro da superfície e o fluxo elétrico será negativo Se no interior de uma superfície não existir nenhuma carga o fluxo é nulo Generalizando a Lei de Gauss podemos pensar que dentro de uma superfície gaussiana existam diversas cargas q1 q2 q3 qn a carga elétrica resultante será dada por 3 2 1 int qn q q q Q Portanto o fluxo elétrico pode ser obtido pela equação acima considerando q Qint 0 int Q E A E dA O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica total líquida existente no interior da superfície dividida por 0 As superfícies gaussianas são imaginárias isto é não é necessário um objeto material na posição analisada Podemos encontrar a lei de Gauss em uma das formas 0 int cos Q E dA E dA dA E 224 Aplicação da Lei de Gauss A lei de Gauss é válida para qualquer distribuição de cargas para qualquer superfície fechada Além disso a lei de Gauss é muito mais prática quando a distribuição de cargas obedece uma simetria esférica ou cilíndrica ou ainda quando está distribuída uniformemente sobre um plano É importante destacar que existindo um excesso de carga em um condutor sólido em equilíbrio eletrostático estas cargas em excesso ficam localizadas sobre a superfície do condutor e não no interior do material 29 2241 Campo Elétrico de uma esfera condutora carregada Colocamos uma carga positiva q sobre uma esfera condutora sólida de raio R Determine o campo elétrico dentro e fora da esfera No equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior de uma esfera condutora sólida é igual a zero Fora da esfera o campo elétrico diminui inversamente proporcional ao quadrado da distância 1r2 como se todo excesso de cargas da esfera estivesse concentrado em seu centro 1 Campo elétrico no interior da esfera condutora E 0 nulo pois não há movimento de cargas elétricas no interior de uma esfera condutora 2 Campo elétrico sobre a superfície da esfera condutora 2 2 0 ou 4 1 R q k E R q E 3 Campo elétrico fora de uma esfera condutora No equilíbrio eletrostático qualquer excesso de carga deve ficar localizado sobre a superfície de um condutor sólido como representado na figura abaixo Partes de superfícies gaussianas 2 2 0 ou 4 1 r q k E r q E 30 2242 Campo de uma carga distribuída ao longo de um fio retilíneo Uma carga elétrica é distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo infinito Supondo que a carga por unidade de comprimento λ seja positiva calcule o campo elétrico Devemos considerar que um fio infinito significa que a distância entre o ponto do campo e o fio é muito menor do que o comprimento do fio Uma superfície gaussiana cilíndrica é usada para a determinação do campo elétrico produzido por uma carga distribuída uniformemente ao longo de um fio carregado O fluxo elétrico sobre cada plano da extremidade do cilindro é igual a zero pois o campo elétrico é radial ao fio isto é está contido nos dois planos logo não atravessam os planos O campo elétrico em cada ponto da superfície lateral do cilindro é perpendicular à superfície além disso é constante A área da superfície lateral do cilindro e analisada cortando o cilindro longitudinalmente e abrindoo em um plano A sua área será dada pelo comprimento h altura vezes 2πr comprimento da circunferência Assim temos 0 2 h r h E dA E 0 2 r E Campo de um fio infinito h Q h Q Detalhar a passagem 2243 Campo de uma carga distribuída ao longo de um plano Seja uma plano muito extenso carregado eletricamente com uma densidade superficial de cargas uniforme σ Determinar o campo elétrico num ponto a uma distância r da distribuição de cargas como está ilustrado na figura abaixo As dimensões da região de cargas são muito maiores do que a distância r h 31 Como o campo elétrico é perpendicular à superfície plana ele é paralelo à superfície lateral do cilindro de modo que não há fluxo elétrico na superfície lateral Portanto o fluxo elétrico total será dado por 0 0 2 2 2 2 A EA q E A E dA dA E 20 E Campo de um plano infinito carregado Resumo A tabela mostra campos elétricos produzidos por diversas distribuições de cargas simétricas Distribuição de cargas Ponto de campo elétrico Módulo do campo elétrico Carga puntiforme q Distância R de q 2 2 0 ou 4 1 R q k E R q E Carga q sobre a superfície de uma esfera condutora com raio R Fora da esfera r R Dentro da esfera r R 2 2 0 ou 4 1 r q k E r q E E 0 Fio infinito com carga por unidade de comprimento λ Distância r do fio 0 2 r E Cilindro condutor infinito com raio R e carga por unidade de comprimento λ Fora do cilindro r R Dentro do cilindro r R 0 2 r E E 0 Esfera isolante sólida com raio R e carga Q uniformemente distribuída no volume Fora da esfera r R Dentro da esfera r R 2 2 0 ou 4 1 r k Q E r Q E 3 3 0 ou 4 1 R k Qr E R Qr E Plano nãocondutor infinito com distribuição superficial e uniforme de carga σ Qualquer ponto 20 E Duas placas condutoras com cargas opostas e densidades superficiais σ e σ Qualquer ponto entre as placas 0 E Superfície guassiana 32 Exercício Proposto 45 Uma superfície esférica de raio R 3 m tem seu centro na origem do sistema de coordenadas retangulares a densidade de carga na superfície é de σ 3 nCm2 Uma carga puntiforme q 250nC é posicionada sobre o eixo y em y 2m Determine o campo elétrico sobre o eixo x nos seguintes casos a x 2m b x 4m Exercício Proposto 46 Ao assistir um programa científico sobre a atmosfera você ficou sabendo que na média o campo elétrico da Terra é de aproximadamente 100 NC direcionado verticalmente para baixo Tendo estudado sobre campos elétricos em suas aulas de física você ficou curioso em determinar o valor da carga total sobre a superfície da terra Calcule esta carga total Exercício Proposto 47 Uma esfera oca com paredes finas possui raio de 0250 m e uma quantidade desconhecida de carga distribuída uniformemente sobre sua superfície A uma distância de 03 metros do centro da esfera o campo elétrico aponta diretamente para o centro da esfera e possui módulo 81 102 NC Qual a quantidade de carga na esfera Exercício Proposto 48 Um campo elétrico vale i E 200 NC na região em que x 0 e i E 200 NC na região em que x 0 Uma superfície cilíndrica imaginária com comprimento de 20 cm e raio R 5 cm tem seu centro geométrico na origem e seu eixo longitudinal coincidente com o eixo x de modo que uma de sua extremidades está em x 10 cm a Qual o valor do fluxo elétrico que atravessa toda a superfície fechada definida pelo cilindro b Qual é a carga resultante no interior da superfície fechada Exercício Proposto 49 Um plano infinito com densidade superficial de carga σ 45nCm2 situase no plano de coordenada x 0 e um segundo plano infinito com densidade superficial de carga σ 45nCm2 situase em um plano paralelo ao anterior na coordenada x 2 m Determine o campo elétrico em a x 18 m b x 50 m 33 Capítulo 3 Potencial Elétrico 311 Energia potencial elétrica Toda partícula eletrizada que se encontra imersa em um campo elétrico tem uma energia armazenada na forma de energia potencial elétrica U Assim como visto em Mecânica a energia potencial depende de um referencial isto é depende da posição em relação a um referencial adotado Isto vale para energia potencial gravitacional energia potencial elástica e energia potencial elétrica Colocandose uma carga de prova q0 na presença de um campo elétrico sua energia potencial é proporcional à q0 Denominase de Potencial Elétrico V a grandeza física escalar dada pela relação entre a energia potencial elétrica pela carga elétrica colocada em uma posição do espaço dentro do campo elétrico Em geral quando o ponto de aplicação de uma força conservativa F sofre um deslocamento ld de A para B temos a realização de um trabalho W que é calculado por B A B A AB dl F ld F W cos No qual ld é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partícula e θ é o ângulo entre F e ld em cada ponto da trajetória Quando uma partícula elétrica se move de um ponto A no qual a energia potencial é UA até um ponto no qual a energia potencial é UB a variação da energia potencial é dada por ΔU UB UA e o trabalho WAB UA UB UB UA portanto W ΔU Quando o trabalho é positivo UA é maior que UB e a energia potencial diminui Quando o trabalho é negativo UA é menor que UB e a energia potencial aumenta Como a força elétrica é conservativa podemos aplicar o Teorema da Energia Cinética trabalho da força resultante é igual a variação da energia cinética ΔK Assim teremos W ΔK KB KA UB UA Logo KB KA UA UB e KB UB KA UA Que é o Princípio da Conservação da Energia Mecânica 312 Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes A energia potencial elétrica não é particularidade do campo elétrico uniforme Quando uma carga de prova q0 está imersa em um campo elétrico gerado por uma ou mais partículas eletrizadas teremos uma energia armazenada na carga q0 Quando esta partícula de prova q0 é abandonada em uma região de campo elétrico gerado por uma partícula q geradora de campo a força elétrica irá promover seu deslocamento aproximando da carga geradora caso tenham sinais contrários ou de afastamento caso tenham o mesmo sinal A força de interação entre as cargas durante o deslocamento não é constante por 34 isso devese integrar para calcular o trabalho realizado por essa força elétrica durante o deslocamento rb k qq ra k qq rb ra k q q dr r k q q F dr W rb ra rb ra AB 0 0 0 2 0 1 1 A energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes q e q0 é dada por r k qq U 0 Exercício Proposto 50 Conservação da energia com forças elétricas O pósitron possui massa igual a 911 10 31 kg e carga 10 19 61 e C Suponha que um pósitron esteja se movendo nas vizinhanças de uma partícula alfa que possui carga 2e A partícula alfa possui massa aproximadamente 7000 vezes maior do que a massa do pósitron de modo que vamos considerar a partícula alfa em repouso em algum sistema de referência inercial Quando o pósitron está a uma distância igual a 10 10 01 m da partícula alfa ele se afasta da partícula alfa com uma velocidade igual a 106 03 ms a Qual é a velocidade do pósitron quando ele está a uma distância de 10 10 02 m da partícula alfa b Qual é a velocidade do pósitron quando ele está a uma distância muito grande da partícula alfa c Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que se descola fosse em vez de uma pósitron um elétron mesma massa do pósitron mas de carga contrária 313 Energia potencial elétrica com diversas cargas puntiformes Como teremos várias cargas e também distâncias variadas podemos determinar a energia potencial sobre a partícula de prova q0 através da expressão i i i r q k q r q r q r q k q U 0 3 3 2 2 1 1 0 Contudo também existe uma energia potencial associada ao conjunto de todas as cargas podemos denominar de energia potencial total ou do sistema e será dada por j i ij i j r q q k U Essa soma deve ser estendida para todos os pares de cargas não podemos fazer i j para não considerarmos uma carga com ela mesma 35 Exercício Proposto 51 Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo 0x q1 e no ponto x 0 e q2 e no ponto x a a Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer uma terceira carga puntiforme q3 e do infinito até o ponto x 2a b Calcule a energia potencial total do sistema constituído pelas três cargas 321 Potencial Elétrico V Denominase potencial elétrico a grandeza escalar definida pela energia potencial por unidade de carga 0q V U Unidade do Potencial Elétrico Volt V 1JC b a ab V V V é a diferença de potencial elétrico ou potencial de a em relação a b Podemos escrever que ab V é o trabalho realizado contra a força elétrica para deslocar lentamente uma carga unitária de b até a Substituindo a energia potencial na equação do potencial elétrico teremos 0 0 1 q r k q q V r V k q Para um conjunto de cargas geradoras de campo elétrico teremos o potencial total em um determinado ponto dado por 3 2 1 V V V V ou i i i r q k V No caso de uma distribuição contínua de cargas ao longo de uma linha sobre uma superfície ou através de um volume dividimos as cargas em elementos de carga infinitesimal dq e o potencial resultante será calculado pela integral r k dq V Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar se a carga geradora de campo elétrico for negativa o potencial será negativo se a carga for positiva o potencial será positivo Elétronvolt é a energia necessária para deslocar um elétron entre dois pontos cuja diferença de potencial é Vab 1V e vale 1 602 10 19 J eV 36 Exercício Proposto 52 Um próton se move ao longo de uma linha reta de um ponto a até um ponto b no interior de um a acelerador linear sendo d 05 m a distância percorrida O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui módulo E 15107 NC no sentido de a para b Determine a A força que atua sobre o próton b O trabalho realizado sobre o próton pelo campo elétrico c A diferença de potencial Va Vb Exercício Proposto 53 Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes q1 12 nC e q2 12nC sendo a distância entre elas igual a 10 cm conforme a figura a seguir a Calcule os potenciais nos pontos a b e c somando os potenciais produzidos pelas cargas individuais o triângulo é isósceles b Calcule a energia potencial associada à carga puntiforme de 4nC quando ela é colocada nos pontos a b e c Exercício Proposto 54 Uma partícula de poeira com massa m 50 109 Kg e carga q0 20 nC parte do repouso no ponto a e se desloca em linha reta até o ponto b Qual é sua velocidade escalar no ponto b q1 q2 b a c 4 cm 4 cm 6 cm 13 cm a b 1 cm 1 cm 1 cm 30 nC 30 nC 37 Capítulo 4 Campo Magnético e Forças Magnéticas 41 Magnetismo De acordo com a história da Ciências os fenômenos magnéticos foram observados há mais de 2500 anos por pastores que perceberam a atração que certas pedras exerciam sobre outras partículas que estavam ao seu redor Tales de Mileto 640 550 aC relatou as propriedades de atração e repulsão entre pedaços de um óxido de ferro chamado de magnetita cujo nome deriva da região da Ásia Menor denominada Magnésia onde esses fragmentos de pedra eram encontrados Esses fragmentos são denominados de imãs permanentes Suas características primárias estão relacionadas ao que denominamos polo o imã possui dois polos polo sul e polo norte Polos de mesmo nome se repelem N com N e S com S e polos de nomes distintos se atraem N com S Analogamente ao efeito elétrico no qual uma carga elétrica gera um campo elétrico em torno de si um imã cria um campo magnético na região ao seu entorno A Terra se assemelha a um imenso imã cujo Polo Norte Geográfico está próximo do polo sul magnético e o Polo Sul Geográfico está próximo ao polo norte magnético O eixo de simetria do campo magnético da Terra não é coincidente ao eixo geográfico existe uma declinação entre esses eixos denominada declinação magnética Os polos de um imã sempre ocorrem aos pares não existe um polo magnético isolado assim a propriedade da inseparabilidade dos polos enuncia que mesmo partindo um imã em forma de barra sempre teremos polo norte e polo sul 42 Campo Magnético A primeira evidência da relação entre magnetismo e o movimento de cargas foi descoberto em 1819 pelo cientista dinamarquês Hans Christian Oersted Ele verificou que a agulha de uma bússola sofria uma deflexão quando na proximidade de um condutor quando percorrido por uma corrente elétrica Alguns anos mais tarde Michael Faraday na Inglaterra e Joseph Henry nos Estados Unidos descobriram que o movimento de um imã nas vizinhanças de uma espira condutora pode produzir corrente elétrica na espira 38 O campo magnético é uma grandeza vetorial associada a cada ponto do espaço na proximidade de um imã ou de uma carga em movimento O campo magnético será representado pela letra B e sua unidade no sistema internacional é o tesla T em homenagem a Nikola Tesla Portanto já sabemos que uma carga móvel ou uma corrente elétrica cria um campo magnético em sua vizinhança Veremos também que um campo magnético exerce uma força sobre qualquer outra corrente ou carga que se mova no interior Obs Unidade do campo magnético no sistema cgs de unidades é o gauss 1T 1NA m e 1G 104 T O Campo magnético da Terra é da ordem de 1G ou 104 T 43 Força Magnética 431 Força Magnética em uma partícula carregada Características da força magnética que atua em uma carga elétrica em movimento É diretamente proporcional ao módulo da carga elétrica É diretamente proporcional à velocidade da carga elétrica É diretamente proporcional à intensidade do campo magnético Tem direção perpendicular à direção de B e perpendicular à direção de v Obs Quando B e v forem paralelos isto é o movimento da carga tem a mesma direção do campo magnético em que ela está inserida no mesmo sentido ou sentido contrário a força magnética é nula q v B sen F Onde θ é o ângulo medido no sentido de rotação de v para B A força magnética pode ser dada pelo produto vetorial B qv F Vamos analisar o sentido da força magnética utilizando a regra da mão direita Força magnética Serway Regra da mão direita para uma carga negativa Halliday 39 Exercício Proposto 55 O campo magnético da Terra medido em um ponto sobre a superfície tem módulo 06 G e está direcionado para baixo e no hemisfério norte no sentido norte como mostrado na figura abaixo O campo magnético da Terra varia de local para local Esses dados estão aproximadamente corretos para o centro dos Estados Unidos Um próton está se movendo horizontalmente na direção norte com velocidade v 10Mms Determine o vetor força magnética sobre o próton Exercício Proposto 56 Encontre o vetor força magnética sobre um próton se movendo com uma velocidade 4 10 ˆ 6 m s i v dentro de um campo magnético ˆ 02 k T B Resposta ˆ 128 10 12 N j 432 Força magnética atuando em um condutor Quando uma corrente passa por um condutor retilíneo imerso em um campo magnético existe uma força magnética sobre o fio que é igual à soma das forças magnéticas sobre as partículas carregadas que formam a corrente elétrica Esta força pode ser calculada pela equação B i L F Onde i intensidade de corrente elétrica em ampère L vetor cujo o módulo é o comprimento do fio dentro do campo B intensidade do campo magnético Caso o ângulo θ entre os vetores L e B seja dado podemos calcular o módulo da força magnética sobre o fio pela equação B i l sen F Exercício Proposto 57 Em um segmento de fio com 3 mm de comprimento passa uma corrente de 3 A no sentido x O fio se encontra em repouso em um campo magnético de módulo 002 T que está no plano xy e faz um ângulo de 30º com a direção x Qual a força magnética exercida sobre o segmento do fio N S L O x y z 70º q θ 40 Exercício Proposto 58 Uma barra de cobre retilínea conduz uma corrente de 50 A de oeste para leste em uma região entre os polos de um grande eletroímã Nessa região existe um campo magnético no plano horizontal orientado para o nordeste ou seja considerando uma rotação de 45º do leste para o norte com modulo igual a 120 T Determine a O módulo a direção e o sentido da força magnética que atua sobre um comprimento de 10 m da barra b Mantendose a barra no plano horizontal como ela deve ser orientada para que o módulo da força seja máximo Qual é o módulo da força nesse caso 44 Fluxo Magnético e Lei de Gauss para o Magnetismo O fluxo magnético m através de uma superfície é análogo ao fluxo elétrico relacionado com a lei de Gauss B dA dA B dA B cos O fluxo magnético é uma grandeza escalar no caso especial para o qual o campo magnético B é uniforme sobre uma superfície plana temos cos B A A unidade do fluxo magnético no sistema internacional de unidades é o Wb weber em homenagem ao físico alemão Wilhelm Weber 1T m2 1 Wb O fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é nulo Podemos escrever dA d B isto é o campo magnético é igual ao fluxo por unidade de área ao longo de uma área ortogonal ao campo Por essa razão o campo magnético é também denominado de densidade de fluxo magnético 41 Exercício Proposto 59 A figura mostra a vista de perfil de um plano com área de 30 cm2 em um campo magnético uniforme Sabendo que o fluxo magnético através da área é igual a 090 mWb calcule o módulo do campo magnético e determine a direção e o sentido do vetor da área 45 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético Quando uma partícula carregada se move em uma região onde só existe campo magnético o módulo de sua velocidade permanece sempre constante 451 Partícula movimentandose em uma direção perpendicular ao campo magnético Quando uma partícula é lançada em uma direção cujo vetor velocidade forme um ângulo de 90º com o vetor campo magnético a força magnética que surgirá na partícula irá promover uma deflexão no movimento provocando uma trajetória circular esta força magnética será centrípeta Como o ângulo θ 90º temos r m v q v B F F r v a m a F qv B q v B sen F cp m cp cp cp m 2 2 º 90 Assim podemos escrever o raio da trajetória como B q m v r Da Mecânica sabemos que a velocidade angular é m B q w v m B v q w r v w 2 2 2 w f f w T w a frequência de rotação da partícula não depende do raio da órbita circular esta frequência é denominada frequência ciclotrônica Figura MCU Serway 42 Em um acelerador de partículas chamado cíclotron as partículas se movem em órbitas quase circulares e recebem uma aceleração duas vezes em cada ciclo fazendo aumentar a energia e o raio da órbita porém sem alterar a frequência nem a velocidade angular Obs Um magnetron tipo de fonte utilizada para gerar frequências de microondas para um forno de microondas e para sistemas de radar emite uma radiação com frequência igual a de um movimento circular de elétrons em câmara a vácuo entre os polos de um imã 452 Partícula movendose em uma direção nãoperpendicular ao campo magnético Quando uma partícula carregada é lançada em um campo magnético com direção não perpendicular ao campo a componente da velocidade que é paralela ao campo magnético permanece constante pois nesta direção a força magnética é nula Desta forma a componente paralela provocará um movimento retilíneo e uniforme na partícula e a componente da velocidade que é perpendicular ao campo provocará um movimento circular uniforme como visto anteriormente Neste caso a composição destes dois movimentos resultará em uma trajetória helicoidal da partícula dentro do campo Exercício Proposto 60 Um magnétron de um forno de microondas emite ondas eletromagnéticas com frequência f 2450 MHz Qual é o módulo do campo magnético necessário para que os elétrons se movam em órbitas circulares com essa frequência Exercício Proposto 61 Um próton de massa 1 67 10 27 m kg foi lançado dentro de um campo magnético uniforme formando um ângulo 0 θ 90º com o vetor campo magnético Este campo magnético uniforme tem direção paralela ao eixo Ox e possui módulo igual a 0500 T Considere que apenas a força magnética esteja atuando no próton No instante t 0 o próton possui componentes da velocidade dados por 51 105 xv ms yv 0 e 105 02 zv ms Determine a Para t 0 a força que atua sobre o próton e sua aceleração b O raio da trajetória helicoidal a velocidade angular e o passo da hélice Exercício Proposto 62 Um próton de massa 1 67 10 27 m kg se move em círculo de raio r 21 cm perpendicular a um campo magnético B 4000 G Determine a O período do movimento circular do próton b A velocidade linear do próton Movimento helicoidal de uma carga dentro de um campo magnético uniforme Serway p θ 43 453 Força e torque sobre uma espira de corrente Uma espira é um condutor fechado por onde circula corrente Vamos analisar uma espira retangular em um campo magnético uniforme Veremos que a força resultante que atua na espira considerando todas as quatro partes da espira é nula Assim a espira não terá um movimento de translação devido às características eletromagnéticas que atuam nesta espira Entretanto poderemos ter um torque atuando nesta espira e promovendo um movimento rotacional da mesma em relação à um eixo de referência A figura abaixo mostra uma espira retangular onde são omitidos a entrada e saída da corrente elétrica para simplificar o circuito Podemos verificar que as forças F2 e F4 não exercem torque na espira pois estão aplicadas na mesma linha Mas as forças F1 e F3 que não estão na mesma linha mas em linhas paralelas formam um binário com a linha a O torque gerado pelo binário de forças na espira será dado por i B A sen Onde i Intensidade da corrente elétrica que percorre a espira B Campo magnético no qual a espira está imersa A Área da região limitada pela espira θ O ângulo formado entre B e n vetor normal ao plano da espira O produto i A denominase momento de dipolo magnético ou momento magnético da espira para o qual usamos a letra μ Assim podemos escrever Bsen O torque tende a fazer a espira girar no sentido decrescente do ângulo θ ou seja no sentido da posição de equilíbrio estável no qual a espira fica no plano perpendicular à direção do vetor B Onde θ é o ângulo entre o vetor momento magnético e o vetor campo magnético B 44 O torque magnético pode ser calculado vetorialmente por B 454 Energia potencial para um dipolo magnético Quando um dipolo magnético muda de orientação isto é sofre uma deflexão angular em um campo magnético o campo realiza um trabalho sobre o dipolo Este trabalho está relacionado à variação da energia potencial Fazendo uma analogia com o que foi estudado em dipolo elétrico temos Torque elétrico E p Energia potencial cos p E p E U Torque Magnético B Energia potencial cos B B U Exercício Proposto 63 Uma bobina circular com raio de 005 m possui 30 espiras e está situada sobre um plano horizontal Ela conduz uma corrente de 50 A no sentido antihorário quando observada de cima para baixo A bobina está em um campo magnético uniforme orientado da esquerda para direita com módulo igual a 12 T Calcule o módulo do momento magnético e o módulo do torque sobre a bobina Exercício Proposto 64 Energia potencial de uma bobina em um campo magnético Se a bobina do exemplo anterior girar a partir de sua posição inicial até uma posição na qual seu momento magnético seja paralelo a B qual a variação da sua energia potencial Exercício Proposto 65 Uma bobina retangular de dimensões 54 cm x 85 cm é constituída por 25 espiras de fio condutor A bobina é percorrida por uma corrente de 15 mA a Calcule o módulo do momento magnético da bobina b Supondo que um campo magnético de módulo 0350 T seja aplicado paralelamente ao plano da espira Qual o módulo do torque que atua sobre a bobina 45 Capítulo 5 Fontes de Campo Magnético 51 Campo Magnético de uma carga em movimento Uma partícula de carga em movimento cria um campo magnético que pode ser calculado pela equação 2 0 4 r q v sen B ou através do produto vetorial da forma 2 0 ˆ 4 r r q v B A direção e o sentido do vetor campo magnético é tangente à circunferência formada pela linha de campo no ponto em que se deseja determinálo O sentido é dado pela regra da mão direita 52 Campo magnético de um elemento de corrente O campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais O campo magnético de um elemento de corrente é dado por 2 0 ˆ 4 r r ld i dB Onde dl é um vetor de comprimento que possui o mesmo sentido da corrente que flui no condutor Pela Lei de Biot e Savart podemos calcular o campo magnético produzido em qualquer ponto do espaço por uma corrente que flui em um circuito completo basta integrar a equação acima 2 0 ˆ 4 r r ld i B 46 Nas proximidades de um condutor retilíneo fio transportando corrente elétrica a equação de Biot Savart nos permite calcular a intensidade do campo magnético r i B 2 0 mTA 10 4 7 0 Exercício Proposto 66 Um fio de cobre conduz uma corrente constante de 125 A Determine o campo magnético produzido por um segmento de fio de 10 cm de comprimento em um ponto situado a uma distância de 12 m do fio considerando que o ponto seja a P1 situado sobre a perpendicular superior do fio b P2 situado sobre uma linha que forma um ângulo de 30º com o fio Exercício Proposto 67 Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente de 10 A Para qual distância a partir do eixo do condutor o módulo do campo magnético produzido pela corrente é igual ao módulo aproximado do campo magnético médio da superfície da Terra que é de 10 4 50 T Exercício Proposto 68 A figura abaixo mostra um plano xy que corta perpendicularmente dois fios longos paralelos cada um deles conduzindo uma corrente i de mesma intensidade porém de sentidos contrários Determine o módulo a direção e o sentido do campo magnético B nos pontos P1 P2 e P3 P1 12 m 125A P2 30º 12 m P3 2d y 47 53 Força entre condutores paralelos Quando temos dois fios paralelos sendo percorridos por correntes i e i devemos considerar que cada um dos fios está imerso no campo magnético gerado pelo outro portanto sofre ação de uma força magnética A força magnética que atua sobre um comprimento L de um fio imerso em um campo magnético perpendicular ao fio é dada por B i L F como o campo magnético é r i B 2 substituindo r i i L F r i L i F 2 2 A força por unidade de comprimento será r i i L F 2 0 Verificamos na figura acima que para correntes que tem o mesmo sentido a força magnética que atua nos condutores é de atração Exercício Proposto 69 Dois fios supercondutores retilíneos e paralelos separados por uma distância 45 mm conduzem correntes iguais porém em sentidos contrários com módulo igual a 15000 A Determine a força por unidade de comprimento de interação entre os fios e se a força é de atração ou repulsão 45 mm i i 48 Exercício Proposto 70 Dois fios condutores N e M retos paralelos e muito compridos conduzem correntes de forma que o campo magnético produzido por elas resulta nulo sobre uma linha entre os dois conforme a figura abaixo a Determine a corrente que circula pelo condutor N b Ache a força por unidade de comprimento que atua sobre os fio e diga se esta força é atrativa ou repulsiva 54 Campo magnético de uma espira circular Para calcularmos o campo magnético em um ponto P sobre o eixo de simetria da espira situado a uma distância x do seu centro podemos utilizar a equação de BiotSavart Como a figura abaixo mostra ld e r são perpendiculares e a direção de B d produzida pelo elemento ld indicado na figura está sobre o plano xy Como 2 2 2 a x r o módulo do campo magnético produzido pelo elemento ld é 4 4 2 2 0 2 0 a x dl i r i dl dB fazendo a decomposição do vetor B d nos eixos x e y 3 2 2 2 0 2 12 2 2 2 0 4 4 cos a x dl a i a x a a x i dl dB dBx 3 2 2 2 0 2 12 2 2 2 0 4 4 a x dl x i a x x a x i dl dB sen dBy não vai interessar 49 Como a componente em y irá se anular devido a simetria rotacional em torno do eixo Ox não teremos componente perpendicular ao eixo Ox Para obtermos a componente x do campo magnético total B integramos a equação do elemento Bx d para todos os elementos ld em torno da espira 32 2 2 0 4 a x i dl a Bx como todos os parâmetros com exceção de dl são constantes poderemos simplificar a integral dl a x i a Bx 3 2 2 2 0 4 a integral de dl é dada pelo comprimento da circunferência portanto teremos 2 32 2 2 0 x a x 2 i a μ B a a x i a Bx 2 4 2 32 02 O sentido do campo magnético sobre o eixo da espira é dado pela regra da mão direita 55 Campo magnético sobre o eixo de uma bobina Da mesma forma como foi analisado o campo magnético sobre o eixo de simetria de uma espira na bobina levamos em consideração que temos N espiras sobrepostas Assim o valor do campo magnético será N vezes o campo de uma espira 32 2 2 2 0 2 a x i a N Bx Para o ponto no centro da bobina x 0 temos a i N Bx 2 0 Exercício Proposto 71 Uma bobina conduzindo uma corrente de 50 A é constituída por 100 espiras circulares com raio igual a 060 m a Determine o campo magnético ao longo do eixo da bobina situado a uma distância de 080 m do seu centro b Em que ponto ao longo do eixo da bobina o campo magnético se reduz a 18 do valor do campo no centro da bobina Sobre o eixo de uma espira circular 50 56 Lei de Ampère A circulação do vetor indução magnética em um caminho fechado C é diretamente proporcional à corrente elétrica envolvida por este caminho 561 A Lei de Ampère para um condutor longo e retilíneo A lei de Ampère é definida com base em uma integral de linha de B em torno de uma trajetória fechada e é assim representada ld B Obs a circunferência na integral indica que a integral deve ser sempre calculada em uma curva fechada aquela para a qual o ponto final coincide com o ponto inicial Utilizamos a equação de BiotSavart para o cálculo do campo magnético a uma distância r do condutor r i B 2 0 Sabemos que as linhas de campo magnético são circunferências centradas no condutor Vamos calcular a integral de linha de B em torno de uma dessas circunferências com raio r Para o produto escalar ld B como o campo magnético tem a mesma direção do elemento de comprimento dl ambos tangentes a linha de campo que são circunferências cos0 º B dl ld B portanto podemos escrever B dl ld B logo na resolução da integral de linha retiramos a constante B da integração simplificando os cálculos dl r i B dl ld B 2 0 a integral de linha de dl é o próprio comprimento da circunferência resultando em i r r i ld B 0 0 2 2 i ld B 0 Quando 0 ld B não significa que o B 0 em todos os pontos do percurso mas apenas que a soma algébrica das correntes no interior do percurso de integração é igual a zero 51 562 O campo magnético de um fio comprido Um fio retilíneo comprido de raio R tem uma corrente constante i uniformemente distribuída pela seção reta do fio como mostrado na figura O campo magnético a uma distância r do eixo do fio é calculado utilizando as seguintes equações para os respectivos casos r R 2 0 2 R r i B r R r i B 2 0 523 Campo magnético de um solenoide O indutor solenoide ou bobina é um componente elétrico capaz de armazenar energia em um campo magnético gerado pela corrente que o circula Essa capacidade é chamada de indutância e é medida em Henrys H Um indutor é composto por um fio condutor enrolado em forma de espiral Cada volta da bobina é chamada de espira e a sua quantidade influencia diretamente na intensidade do campo magnético gerado Indutores são utilizados em circuitos analógicos e em processamento de sinais Juntamente com capacitores e outros componentes formam circuitos ressonantes os quais podem enfatizar ou atenuar frequências específicas As aplicações possíveis vão desde o uso de grandes indutores em fontes de alimentação como forma de remoção de ruídos residuais além de bobinas de ferrite ou toroidais para filtragem de rádiofrequência até pequenos indutores utilizados em transmissores e receptores de rádio e TV Indutores também são empregados para armazenamento de energia em algumas fontes de alimentação chaveadas Dois ou mais indutores acondicionados juntos em um mesmo circuito magnético formam os chamados transformadores os quais são elementos fundamentais em inúmeros sistemas elétricos Onde n N é o número de espiras por unidade de comprimento n I N I B 0 0 52 Campo magnético de uma bobina toroidal caso especial Uma bobina toroidal é constituída por N espiras de fio enroladas em torno de um toro como mostrado na figura Admitindo que as espiras sejam muito cerradas calcular o campo magnético no interior da bobina a uma distância r de seu centro Bobinas Toroidais Em indutores na forma de bastão o campo magnético circula não só pelo núcleo mas também pelo ar entre uma extremidade e outra da bobina Isso causa grandes perdas diminuindo o valor da indutância Um núcleo toroidal é feito geralmente de ferrite e possui o formato de uma rosca criando um caminho fechado para a circulação do campo magnético aumentando com isso o valor da indutância httpwwweletronicadidaticacombrcomponentesindutorindutorhtm Resumo Módulo do campo magnético produzido por diversas distribuições de correntes Distribuição de corrente Ponto do campo magnético Módulo do campo Magnético Condutor retilíneo infinito A uma distância r do condutor r i B 2 0 Espira circular com raio a Sobre o eixo da espira No centro da espira 2 32 2 2 0 2 a x i a B a i B 2 0 Cilindro infinito com raio r No interior do condutor r R No exterior do condutor r R 2 0 2 R r i B r i B 2 0 Solenoide longo com n espiras por unidade de comprimento No interior do solenoide perto do centro No exterior do solenoide n i B 0 onde n N B 0 53 Exercício Proposto 72 Algumas ligas supercondutoras em temperaturas muito baixas podem suportar correntes muito elevadas Por exemplo um fio de Nb3Sn a 10K pode conduzir 103A e manter a supercondutividade Determinar o campo B máximo que pode ser atingido num solenoide de 25 cm de comprimento com 1000 espiras de fio de Nb3Sn enroladas regularmente Exercício Proposto 73 Um solenoide é projetado para produzir um campo magnético igual a 0027T em seu centro Ele possui raio de 14cm comprimento 40cm e o fio conduz uma corrente máxima de 12A a Qual é o número mínimo de espiras que o solenoide deve possuir b Qual é o comprimento total do fio necessário Exercício Proposto 74 Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância de 10 m como está indicado na figura O fio superior conduz uma corrente i1 60 A entrando no plano da página a Qual é o módulo e o sentido da corrente i2 para que o campo magnético no ponto P seja igual a zero b Qual deve ser então o campo magnético resultante no ponto Q e no ponto S c Qual é a força por unidade de comprimento que a corrente i2 exerce sobre a corrente i1 Exercício Proposto 75 Por um condutor cilíndrico maciço passa uma corrente i 20 A O raio do condutor é R 050 cm Calcular o campo magnético gerado pela corrente a distância a 020 cm e b 10 m do eixo do condutor se a corrente está distribuída uniformemente no condutor Exercício Proposto 76 Dois condutores retilíneos e muito longos conduzem cada um uma corrente de 60 A no ar Um dos condutores é colocado sobre o eixo dos x com a corrente fluindo no sentido de i e outro condutor está sobre o eixo dos y com a corrente fluindo no sentido j Calcular o campo magnético devido a essas correntes no ponto P11 54 Exercício Proposto 77 Um fio retilíneo longo está situado sobre o eixo y e conduz uma corrente i 80 A no sentido j Além do campo magnético produzido pelo fio existe um campo magnético uniforme B0 com módulo 10 6 51 T apontando no sentido do semieixo positivo de x Calcule o módulo direção e sentido do campo magnético total nos seguintes pontos sobre o plano xz a x 0 z 10 m b x 10m z 0 c x 0 z 025 m Exercício Proposto 78 Quatro fios longos que transportam corrente no mesmo plano se cruzam para formar um quadrado com 400 cm de lado como mostra a figura abaixo Determine o módulo e o sentido da corrente i de modo que o campo magnético no centro do quadrado seja igual a zero 55 Capítulo 6 A Lei de Faraday 61 Introdução Os estudos e experiências conduzidas por Michael Faraday na Inglaterra em 1831 e também independentemente por Joseph Henry nos Estados Unidos no mesmo ano mostraram que era possível induzir uma corrente elétrica num circuito pela variação de um campo magnético Os resultados desses estudos levaram à formulação de uma lei importante e básica do eletromagnetismo conhecida como Lei da Indução de Faraday Esta leia afirma que o módulo da força eletromotriz fem induzida num circuito é igual à taxa temporal de variação do fluxo magnético através do circuito a Princípio de funcionamento do Transformador Nos instantes de fechamento e abertura do comutador Ch aparece uma indicação de uma fem no voltímetro 56 b 62 Lei de Faraday A força eletromotriz em uma espira fechada é igual a taxa de variação do fluxo magnético no tempo com sinal negativo dentro da área delimitada pela espira 63 Lei de Lenz O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem Lenz observou que o sentido do campo magnético gerado pela corrente induzida em um circuito fechado depende do aumento ou da diminuição do fluxo magnético que deu origem à fem induzida e consequentemente à corrente elétrica induzida A lei de Lenz estabelece que o sentido do campo magnético produzido pela corrente induzida é contrário a variação do fluxo magnético Isto é se o fluxo magnético aumenta aparecerá no circuito uma corrente induzida que criará um campo magnético induzido em sentido oposto ao do campo magnético que o circuito está imerso Na imagem abaixo temos um ímã se aproximando de uma espira Essa aproximação produz um aumento durante um intervalo de tempo do fluxo magnético através da espira Nos instantes de aproximação e afastamento do imã aparece uma indicação de uma fem no voltímetro dt d fem ind 57 Nesta situação o campo magnético criado pela corrente induzida surge para anular esse aumento portanto tem o sentido contrário do campo magnético do ímã Na próxima figura está representado o imã se afastando da espira Neste caso o campo criado pela corrente induzida surge para impedir que ocorra redução do fluxo desta forma terá o mesmo sentido do campo do ímã Veja que fluxo magnético diminui o sentido da corrente será tal que o campo produzido por ela terá o mesmo sentido do campo magnético criado pelo ímã se opondo à redução do fluxo httpswwwyoutubecomwatchvkPG5oYUnP5ct7s 631 LEI DE LENZFARADAY Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida Se o circuito for fechado circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às variações do fluxo que lhe deu origem d t V d e R A e i Fatores que influenciam na variação do fluxo magnético BAcos Mudança da intensidade do campo magnético Variação da área Alteração no ângulo 58 Exercício Proposto 77 Na figura abaixo o campo magnético entre os polos do eletroímã permanece sempre uniforme porém seu módulo aumenta com uma taxa crescente de 0020 Ts A área da espira condutora imersa no campo é igual a 120 cm2 e a resistência total do circuito incluindo o galvanômetro é igual a 50 Ω a Calcule a fem induzida e a corrente induzida no circuito b O que ocorreria com a fem induzida e a corrente induzida no circuito se a espira condutora fosse substituída por uma espira isolante Exercício Proposto 78 Uma bobina de 500 espiras circulares com raio igual a 40 cm é colocada entre os polos de um grande eletroímã onde o campo magnético é uniforme e forma um ângulo de 60º com o plano da bobina O campo magnético diminui com uma taxa igual a 0200 Ts Qual é o módulo e o sentido da fem induzida Exercício Proposto 79 A figura indica um condutor em forma de U em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da figura direcionado para dentro da página Colocamos uma haste metálica de comprimento L entre os dois braços do condutor formando um circuito a seguir fazemos a haste se deslocar para a direita com velocidade constante Em virtude deste deslocamento surge uma fem e uma corrente induzida razão pela qual esse dispositivo é chamado de gerador com haste deslizante Determine o sentido da fem e da corrente induzida resultante 59 Para um condutor retilíneo movendose em campo magnético uniforme como no último exemplo podemos calcular a fem induzida pela equação Onde B é o vetor indução magnética v é a velocidade de deslizamento da barra condutora l é o comprimento da barra condutora Exercício Proposto 80 Uma espira retangular de área A 020 m2 está imersa em um campo de indução magnética uniforme de modo que o plano da espira é perpendicular a B Em um intervalo de tempo 04 t s a intensidade de B aumenta de B1 50T para B2 13T A resistência da espira é R 20Ω Para esse intervalo de tempo calcule a o módulo da força eletromotriz média induzida na espira b a intensidade da corrente média induzida na espira c a carga elétrica que passou por uma seção reta qualquer do fio que forma a espira Exercício Proposto 81 Um condutor retilíneo CD de resistência R 50Ω está em contato com um condutor de resistência desprezível e dobrado em forma de U O conjunto está imerso em um campo de indução magnética uniforme de intensidade B 40T de modo que B é perpendicular ao plano do circuito Um operador puxa o condutor CD de modo que este movese com velocidade constante e igual a v 30 ms a Calcule a fem induzida no circuito b Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida no circuito Falta a Figura B v l