Limites de Funções: Definições e Propriedades

4 Limites 41 Limites de Funções Definição Intuitiva Dada uma função f DR DR considera um ponto b D Dizemos que o limite da função é L quando x tende a b pela direita xb se à medida que x se aproxima de b pela direita valores superiores a b os valores de fx se aproximam de L Notação os limites laterais lim fx L limite lateral pela esquerda xb a b x b e escrevemos lim fx56lim fx Obs O limite a direita não está interessado no que acontece em valores de x menores do que b nem mesmo na fb Atenção Se uma função é definida por polinômios px gx Dada uma função f DR DR considera um ponto b D Dizemos que o limite da função é M quando x tende a b pela esquerda xb se à medida que x se aproxima de b pela esquerda valores inferiores a b os valores de fx se aproximam de M Neste caso lim fx110lim fx Notação d lim fx lim fx lim gx desde que lim gx 0 lim fx M Ex 4 a lim x² 4x lim x² lim 4x limx² 4x 3² 43 21 xb Neste caso não podemos aplicar a propriedade d lim fx lim px lim qx pois teríamos uma divisão 0 0 que é impossível de ser calculada Obs O limite a esquerda não está interessado no que acontece em valores de x maiores do que b nem mesmo na fb fx fracx2x24 está definida para valores próximos a 2 mas diferentes de 2 e para tais valores px x2 e qx x24 são distintos de 0 Logo podemos calcular assim limx o 2 fracx2x24 limx o 2 fracx2x2x2 limx o 2 frac1x2 limx o 2 frac122 frac14 portanto limx o 2 fracx2x24 frac14 Quando o limite a esquerda e o limite a direita são iguais ou seja os limites laterais são iguais LM dizemos que existe o limite de fx quando x tende Lembretes para ajudar nos exercícios a2b2 abab ab2 a2 2ab b2 ab2 a2 2ab b2 ax2 bx c axx1xx2 onde x1 e x2 são raízes da equação ax2 bx c 0 a3 b3 aba2abb2 a3b3 aba2abb2 43 Limites infinitos Observe por exemplo a função fx frac5x3 f não é definida em x3 ou teríamos algo como frac50 Porém podemos calcular os limites laterais quando x o 3 ou x o 3 Limite lateral à direita x o 3 x fx 31 50 frac501 301 500 frac5001 3001 5000 frac50001 30001 50000 frac500001 downarrow o 3 infty Limite lateral à esquerda x o 3 x fx 29 50 frac501 299 500 frac5001 2999 5000 frac50001 29999 50000 frac500001 downarrow o 3 infty Observe que o grafico desta função fx 5x3 é do tipo lim 5x3 x3 lim 5x3 x3 Atenção Se lim fx o limite não existe pois NÃO É NÚMERO 44 Limites no infinito Parei aqui Vamos estudar os limites and x Valores de x decrescem infinitamente x Valores de x crescem infinitamente Ou seja queremos estudar limites assim do tipo lim fx x e lim fx x considere fx 1x Limite com x Vamos tentar observar o que acontece quando x assume valores cada vez maiores Limite com x Vamos tentar observar o que acontece quando x assume valores cada vez menores n fx fx x³ Neste caso observando fx para valores de x cada vez maiores temos que lim x³ x Observando fx para valores de x cada vez maiores temos que lim x³ x Ex Funções polinomiais a lim2x³ 4x 5x 9 lim x³ 2 4x 5x² 9x³ lim 2x³ x Função racional lim px lim anxn an1xn1 a0 qx bmnxm bm1xm1 b0 lim anxn bmxm 45 Continuidade de uma função Em uma ideia Uma função é contínua quando conseguimos desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel Ex 2 b fx 1x² x 0 0 x 0 f é contínua em qualquer ponto x 0 Para x 0 temos lim fx lim fx 0 f0 Assim f é descontínua no ponto 0 Observe que neste caso embora os limites laterais sejam os mesmos não existe nenhum valor que possamos redefinir f0 de tal forma que a função se torne contínua Uma descontinuidade deste tipo é dita descontinuidade não removível c fx x² 4 x 2 se x 2 3 se x 2 Neste caso f é contínua para todo x 2 porém lim x² 4 lim x 2x 2 x 2 x 2 x 2 lim x 2 2 2 4 x 2 lim x² 4 lim x 2x 2 x 2 x 2 lim x 2 2 2 4 x 2 Assim lim fx lim fx 4 f2 x 2 x 2 f é descontínua em x 2 Observe que neste caso poderíamos redefinir f2 como sendo f2 4 Assim se redefinimos f da seguinte forma gx x²4 se x2 x2 4 se x2 teríamos pelas mesmas contas lim gx lim gx 4 f2 resolveríamos o problema da descontinuidade em x2 Dizemos que este tipo de descontinuidade é removível e é contínua para todo x 46 Assintotas verticais e horizontais Se existir um número x₀ tal que um dos limites laterais de x não seja infinito ou menos infinito então a reta x x₀ é uma assintota vertical Se existirem os limites lim fx c₁ e lim fx c₂ c₁ c₂ ℝ então as retas y c₁ e y c₂ são chamadas assintotas horizontais lim fxlim 5x135x lim 5xx12x lim 5xx5 37 limite exponencial fundamental fx11xx lim 11xxe Amalogamente lim 1x1xe e 2718281828