Taxa de Variação e Derivadas: Conceitos Fundamentais

5 Derivadas 51 Introdução considera uma função fD R e sejam x0 e x1 dois pontos em seu domínio Sejam fx0 e fx1 suas correspondentes imagens Chamamos Taxa média de variação para x variando de x0 até x1 Δf Δx fx1 fx0 x1 x0 Esta taxa mede a variação da imagem em relação à variação de x Ex Seja a função fx x² calcule a taxa de variação de f quando x varia de x0 1 a x1 3 Δf Δx fx1 fx0 f3 f1 3 1 Δf 3² 1² 9 1 8 4 Ex 2 Considere novamente fx x² e calculemos a taxa de variação de f a partir de um ponto genérico x0 e uma variação de x igual a Δx Δf fx0 Δx fx0 Δf Δx x0 Δx² x0² Δf Δx 2x0 Δx Δf 2x₀Δx 42 Conceito de derivada Podemos entender a derivada como sendo a taxa de variação de f com relação à variação de x quando a variação Δx é tão pequena quanto se queira ou seja Δx 0 Def Seja f D ℝ D ℝ uma função no E A derivada de f no ponto x₀ se existir é o limite lim Δf lim fx₀Δxfx₀ Δx Ex Verificar se existe derivada no ponto x₀ 0 Observe que x fx x se x 0 x se x 0 lim f0Δxf0 Δx lim fΔxf0 Δx lim Δx Δx lim Δx lim Δx Δx 1 lim f0Δx f0 Δx lim Δx Δx lim Δx Δx 1 fx0 lim fx0Δx fx0 Δx lim x0Δx x0 Δx lim x0 Δx x0 Δx que associa um ponto x à sua derivada fx caso exista Ex Para a função fxx² teremos a função derivada da calculando fx ou sep fx lim fxΔxfxΔx x0 fx lim xΔx²x²Δx x0 fx lim x²2xΔxΔx²x²Δx x0 fx lim Δx2xΔxΔx x0 fx lim 2x1 fx 2x função derivada de fxx² Obs Observe que fx₀ lim Δfx₀Δx x0 fx₀ dfx₀dx 53 Derivadas das funções elementares 1 Derivada da função constante fx c fx 0 Ex fx 5 fx 0 fx π fx 0 2 Derivada da função potência fx xⁿ então fx n xm1 Ex a fx x³ fx 3x² b fx x⁸ fx 8x⁷ c fx 1x³ fx x³ fx 3x⁴ d fx x fx x12 f 12 x12 fx 12 x12 4 Derivada da função logarítmica Se fxlnx então fx1x Lembrete lnxloge x Ex a fx3x fx3xln3 b fxex fxexlneex Obs fxex fxex P4 Se fxμxνx então fxνxμxμxνx P5 Se fxμxνx então fxνxμxμxνxνx2 fx 2x frac1x A regra da Cadeia é uma regra que nos permite encontrar a derivada de uma função composta de forma encadeada a função gof A C é derivável em no ponto x₀ e sua derivada segue a regra gofx₀ gfx₀ fx₀ c fx ex2 3x 5 Ex a fx ln 3x6 b fx x2 5x 74 fx 5 x3 2 x2 3 x 2 ln 5 3 x2 4 x 3 fx frac13sqrtfracln xx2 cdot left ln x x2 1 x2 ln x right cdot frac1x2 56 Interpretação geométrica da derivada Lembrando que fx0 limΔx o 0 fracfx0 Δx fx0Δx Δfx₀ fx₀Δx fx₀ Δx é o coeficiente angular da reta r Quando tendemos Δx a zero temos então que estas retas se tornam a reta tangente à curva f no ponto x₀ Assim fx₀ representa o coeficiente angular da reta tangente ao ponto x₀ fx₀ Obs A derivada NÃO é a reta tangente mas sim o coeficiente angular dela Ex Obtenha a reta tangente ao gráfico fx x² no ponto P de abscissa x2 y mx q m coeficiente angular x2 abscissa do ponto de tangência da curva com a reta m f2 fx x² 2x f2 22 4 m y 4x q Pontos P 2 f2 f2 2² 4 P 2 4 Substituindo na reta 4 42 q q 4 8 q 4 logo y 4x 4 é a reta procurada 57 Derivadas sucessivas Dada uma função fDℝ derívalvel no ponto x temos derivada de f fx derivada segunda de f fx terceira de f fx derivada quarta de f f4x Regra de lHôpital Se fx e gx são funções deriváveis tais que lim fx xa gx é da forma 0 ou então lim fx lim fx gx lim 3x5 lim 3 3