Estudo das Funções: Definições e Propriedades Básicas

Parte 3 Funções 31 Estudo das funções Def Dados dos conjuntos A e B uma função é toda relação que a cada elemento de A corresponde a um único elemento de B Neste caso f A B A domínio B contradomínio CDf Se x A e fx y B então y é a imagem de x por f logo Imf fx x A o conjunto imagem de função Df A domínio de f Ex 1 A 1 2 3 B 2 3 4 5 f A B tal que fx x 1 Dominío Df A 1 2 3 Contradomínio CDf B 2 3 4 5 Imagem Imf 2 3 4 Ex 2 A 1 2 B 2 3 4 Considere a relação que associa a cada elemento y em B tal que y x Esta relação NÃO é função pois a cada elemento de A se associam vários de B Def O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados Graff x fx x A Ex A 1 2 3 B 2 3 4 5 f A B fx x 1 Ex f A ℝ A 1 2 3 4 fx 2x f1 2 f2 4 f3 6 Ex f ℝ ℝ fx 2x Ex f 1 1 ℝ fx x3 x ATENÇÃO Para ver se uma figura no plano cartesiano pode ser gráfico de alguma função basta traçar retas paralelas ao eixo y em toda extensão da figura Caso alguma dessas paralelas intersectar 2 pontos então a figura NÃO será gráfico de nenhuma função 32 Primeiras normas elementares para o estudo de funções 321 Domínio Considere uma função y fx Se não é mencionado o domínio da função convencese Df sendo todos os valores reais de x para os quais existam respectivas imagens y Ex a fx 2x3 Neste caso x30 x3 Df x ℝ x3 ℝ 3 b fx x2 x20 x2 Df x ℝ x2 2 c fx x² 5x Df ℝ pois neste exemplo x pode ser qualquer valor real 322 Interseção com os eixos São os pontos 0 fx1 interseção com eixo y x1 0 neste caso x é chamado de raiz de f Ex y fx y x²1x2 Interseção com o eixo y x0 y f0 0²102 12 2 02 interseção com y Interseção com o eixo x y0 0 fx x²1x2 0 x²10 x1 x20 x2 Raízes x1 x1 x2 10 Pontos de interseção 10 com o eixo x 323 Funções crescentes e decrescentes Def Uma função f é crescente em um intervalo ab quando x₁ x₂ ab se x₁x₂ então fx₁fx₂ f crescente Uma função f é dita decrescente em um intervalo ab quando xy ab se xy então fxfy f é dita mão decrescente em um intervalo ab quando x₁x₂ab se x₁ x₂ então fx₁ fx₂ 324 Pontos de máximo e de mínimo Def Seja fDℝ uma função Um ponto x₀ é dito ponto de máximo relativo ou ponto de máximo se existir um intervalo aberto A com centro em x₀ tal que fx fx₀ x A D Neste caso fx₀ valor de máximo de f Um ponto x₀ é dito ponto de máximo absoluto quando fx fx₀ x D Um ponto x₀ é dito ponto de mínimo relativo ou ponto de mínimo se existir um intervalo aberto A com centro em x₀ tal que fx fx₀ x A D Neste caso fx₀ valor de mínimo de f Um ponto x₀ é dito ponto de mínimo absoluto quando fx fx₀ x D x₀ e x₁ pontos de mínimo relativos x₀ ponto de mínimo absoluto 325 Estudo de sinal de uma função f A ℝ A ℝ função Sinal positivo Valores de x quando fx 0 quando o gráfico da função está acima do eixo x Sinal negativo Valores de x quando fx 0 quando o gráfico da função está abaixo do eixo x Raíz Valores de x quando fn 0 quando o gráfico encontra o eixo x Ex fx 0 em x 23 57 fx 0 em x 35 fx 0 em x 3 e x 5 39 Funções Especiais 331 Função Constante Função do tipo f ℝ ℝ fx K K é real constante Ex f ℝ ℝ fx 2 332 Função do primeiro grau reta Ex a y y₀ ax x₀ y y₀ Ex 1 fx 3x 5 a 0 crescente fx 0 3x 5 0 x 53 raiz fx 0 em x 53 fx 0 em x 53 Ex 2 fx 5x 10 a 5 decrescente 5x 10 0 x 2 raiz fx 0 em x 2 fx 0 em x 2 Ex fx 3 a 0 constante fx 0 em x R Ex fx 2 a 0 constante fx 0 em x R 333 Função quadrática parábola f R R fx ax² bx c a 0 v vértice a 0 concavidade para cima a 0 concavidade para baixo Temos que se fx ax² bx c Δ b² 4ac Raízes x b Δ2a Δ 0 2 raízes Δ 0 1 raiz Δ 0 0 raízes Δ 0 a 0 Δ 0 a 0 Vértice xv b2 yv fxv Ex 1 fx x² 4x 3 Δ b² 4ac Δ 4² 413 Δ 16 12 4 4 4 Δ 0 2 raízes a 1 0 concavidade para cima Raízes x b Δ 2a x₁ 3 x₂ 1 c 3 P 03 pertence à parábola xv b 2 4 2 yv f2 2² 42 3 yv 1 Observe que neste caso Ex 2 fx x² 9 Ex Domínio da função fx x² 7x 6 334 Função racional II hx x 2 reta Um exemplo especial Se fx Kx com K 0 constante o gráfico será simétrico ao gráfico acima em relação ao eixo x Ex y 1 2x 3 gráfico de função tipo fx Kx x0 x0 3 e y0 1 335 Função potência f ℝ ℝ fx xn Se n 0 fx 1 função constante Se n 1 fx x função do 1 grau Se n 2 fx x² função do 2 grau Se n 1 qualquer o gráfico é do tipo Se 0n1 qualquer o gráfico é do tipo Se a 1 o gráfico da função é do tipo am frac1an e a0 1 Observe que 2x 222 2 23 Logo x 3 Na real o que acabamos de fazer foi resolver um logaritmo log2 8 3 Assim temos loga x bx ab Ex log2 64 x 2x 64 2x 26 x 6 log2 64 6 Notação log a log a10 logaritmos naturais ln a log ae logaritmos neperianos onde e é o número de Euler aproximadamente e 2718 Propriedades P1 log bc log b log ca P2 loga bc log b log ca P3 loga bx xlog ba P4 log ba logc b logb c mudança de base Exemplos P5 aloga b b 1 Considerando as aproximações log 2 030 e log 3 048 resolve 2x 3 2x 3 log 3 x 2 x log 3 log 3 log 2 x log 3 048 030 48 30 x 16 2 log125 625 625 125 5 125 5 25 5 25 5 5 5 5 5 1 1 log 625 x 125x 625 53x 54 53x 54 3x 4 x 43 E 5 1 0 6 log 5 log 512 12 log 5 log 5 0898 0449 se 0a1