Questões - Convergência e Séries - 2023-1

Considere a série infinita somatório n=0 ( (-1)^n * (x - 4)^n ) / ( 3^n * n^4 ) O raio de convergência é R = 3 O intervalo de convergência é − = = Complete corretamente as lacunas. Como lim_n ( k + 1 )^(1/n)x^(k+1) / H^(1/n) = lim_n k = 1 = 1+∞ a série somatório n=1 M * x^n / H^n converge pelo teste ∞ converge converge Os limites de comprimento de onda λn de Balmer desempenha um papel na Física e na Química por determinar a energia de ionização do átomo de hidrogênio. A figura abaixo mostra os comprimentos de onda "se empilhando" no valor do limite. (image with graph) Calcule o limite dos comprimentos de onda de Balmer λn^3 = 364,5nm n^2 / (n^2 - 4) em nanômetros (nm) com n >= 3: Resposta: Dada a série a seguir, responda: lim n->oo \sum_{k=1}^{n} \frac{(e^{-k}-1)}{k} = \frac{-1}{k} A série converge ou diverge? Converge Diverge Questão 1 Precisamos calcular: 𝐿 = ∑ 364,5𝑛2 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 𝐿 = 364,5 ∑ 𝑛2 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 𝐿 = 364,5 ∑ 𝑛2 − 4 + 4 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 𝐿 = 364,5 [∑ 𝑛2 − 4 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 + ∑ 4 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 ] 𝐿 = 364,5 [∑ 1 ∞ 𝑛=3 + ∑ 4 𝑛2 − 4 ∞ 𝑛=3 ] Aqui, a série da direita converge, e a série da esquerda diverge. Logo, o limite não existe Assim, vamos supor que o enunciado quira na verdade o seguinte limite: 𝐿 = lim 𝑛→∞ 364,5𝑛2 𝑛2 − 4 𝐿 = 364,5 lim 𝑛→∞ 𝑛2 𝑛2 − 4 𝐿 = 364,5 lim 𝑛→∞ 1 1 − 4 𝑛2 𝐿 = 364,5 1 1 − 0 𝑳 = 𝟑𝟔𝟒,𝟓 Questão 2 Para convergir, devemos ter: lim 𝑛→∞ |𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞ | (𝑥 − 4)𝑛+1 3𝑛+1(𝑛 + 1) (𝑥 − 4)𝑛 3𝑛𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞ | (𝑥 − 4)1 31 𝑛 (𝑛 + 1)| < 1 |𝑥 − 4 3 | lim 𝑛→∞ | 𝑛 (𝑛 + 1)| < 1 |𝑥 − 4 3 | lim 𝑛→∞ | 1 (1 + 1 𝑛) | < 1 |𝑥 − 4 3 | 1 (1 + 0) < 1 |𝑥 − 4| < 3 Logo, o raio é igual a: 𝑹 = 𝟑 E temos o seguinte intervalo: −3 < 𝑥 − 4 < 3 𝟏 < 𝒙 < 𝟕 Questão 3 Para convergir, devemos ter: lim 𝑛→∞ |𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | < 1 Mas o enunciado nos diz que lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = ∞ Logo, esta série diverge pelo teste da razão Questão 4 Note que a função ln(𝑘) é sempre crescente Logo, 𝑏𝑘 é monotonamente decrescente Assim, a série converge pelo teste da série alternada