Tratamento Estatístico de Dados em Química Analítica - Notas de Aula

TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE DADOS QUÍMICA ANALÍTICA 1 Livro Fundamentos de Química Analítica Skoog capítulo 5 Livro Análise Química Quantitativa Harris capítulo 4 Livro Fundamentos de Química Analítica Skoog capítulo 7 Profa Fabiana Felix fabianafelixuflabr 2 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Alguns números são ou muito grandes ou muito pequenos emprego do sistema decimal usual mostrase inadequado e incômodo Exemplo É mais conveniente escrever o número 00000000000000000000472 como 472 x 1020 Esta notação é conhecida por notação científica ou na forma de exponencial O número é escrito como um produto de um coeficiente e de um multiplicador O coeficiente é um número com apenas um dígito do lado esquerdo da vírgula O multiplicador é o número 10 elevado a alguma potência Exemplo O número 9876543 é escrito como 9876543 x 106 3 MEDIDAS EXATIDÃO E PRECISÃO Os números podem ser exatos ou aproximados Em ciência e na vida diária a maioria dos números encontrados não são exatos Números aproximados resultam de medidas diretas ou indiretas e apresentam algum grau de incerteza A confiança de uma medida é dada pela exatidão e precisão desta medida Exatidão é relativa ao verdadeiro valor da quantidade medida Precisão é relativa à repetibilidade e reprodutibilidade do número medido 4 MEDIDAS EXATIDÃO E PRECISÃO Exemplo Imagine um lápis de exatamente 22 centímetros O comprimento do lápis é medido com um dispositivo que permite aproximações de 001 cm 2014 cm 2017 cm 2012 cm 2016 cm 2015 cm 2012 cm Média 2014 cm 5 MEDIDAS EXATIDÃO E PRECISÃO Embora estes números oscilem em torno da média nenhuma medida está próxima do verdadeiro valor do comprimento do lápis 22 cm Como a repetibilidade do comprimento medido 2014 cm é boa sua precisão é considerada alta Nem os números individuais e nem sua média estão próximos do verdadeiro comprimento do lápis a exatidão do resultado é considerada baixa Exemplo Exatidão e precisão em números são comparáveis à exatidão e precisão quando se tem uma série de projéteis atirados em um alvo Exatidão e Precisão 6 Baixa precisão Baixa exatidão Alta precisão Baixa exatidão Baixa precisão Alta exatidão Alta precisão Alta exatidão 7 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS A importância dos números significativos é que eles indicam a precisão das medidas Nenhuma ciência pode progredir muito sem se valer de observações quantitativas devemos fazer medidas Um processo de medida envolve geralmente a leitura de números em algum instrumento Temse quase sempre alguma limitação no número de dígitos que expressam um determinado valor experimentalmente Exemplo Considerese a medida do comprimento de uma peça de madeira utilizandose duas réguas diferentes 8 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Para a régua A podese ler o comprimento da peça de madeira como sendo igual a 32cm O segundo algarismo significativo teve que ser estimado 32 ou 33cm Existe sempre incerteza quanto ao segundo algarismo 2 Terceiro algarismo é inteiramente desconhecido 9 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Não se justifica a referência a números com mais de dois algarismos Os dígitos obtidos como resultado de uma medida chamamse Algarismos Significativos Dígitos que servem para determinar o valor tamanho do número e não para indicar meramente a posição da vírgula no número decimal 10 Para a régua B Os dígitos 3 e 2 são conhecidos com certeza Podese estimar o terceiro dígito Uma estimativa do comprimento pode ser 324 cm 323 ou 325 cm Esta medida contém três algarismos significativos 3 e 2 são efetivamente conhecidos e somente o número 4 possui alguma incerteza ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 11 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Os dígitos a direita de 4 não podem ser estimados usandose esta régua e não são escritos O valor mais confiável é aquele que tem maior número de algarismos significativos O último algarismo significativo à direita é aquele que pode apresentar uma certa incerteza ou dúvida 12 Determinação do número de algarismos significativos Conte seus dígitos iniciando pelo primeiro dígito diferente de zero à esquerda 13 Determinação do número de algarismos significativos Os zeros terminais posteriores à vírgula são contados como algarismos significativos assim como os zeros do interior do número 14 Determinação do número de algarismos significativos ATENÇÃO NÃO SÃO NÚMEROS SIGNIFICATIVOS Os zeros usados em números menores do que um com a única finalidade de posicionar a vírgula Aqueles zeros que algumas vezes são colocados à esquerda da vírgula dos mesmos números 15 Determinação do número de algarismos significativos Quando um número é escrito em notação científica Seu número de algarismos significativos é determinado somente pelos dígitos do coeficiente 16 Cada resultado deve ser expresso com o número exato de algarismos significativos Resultado calculado não deve expressar uma precisão maior ou menor do que a especificada pelos números usados para o cálculo OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 17 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra da AdiçãoSubtração Para somar dois números utilizando algarismos significativos o resultado da soma deve possuir a mesma quantidade de algarismos significativos que o número com menor quantidade de algarismos significativos antes da soma Válido também para a subtração Exemplo Uma amostra de açúcar de 1151 g de massa é colocada em um recipiente de 137 g Qual a massa total Massa de açúcar 1151 g Massa do recipiente 137 g Massa Total g Resultado com aproximação em grama Não há dígitos para serem adicionados ao 5 e ao 1 do primeiro número Resultado final 125 g 18 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra da Multiplicação Divisão Quando multiplicamos utilizando algarismos significativos o resultado da multiplicação deve ter a mesma quantidade de algarismos significativos que o número com menor quantidade de algarismos significativos antes da operação Isso é válido também para a divisão Exemplo 1 1473 0566538461 057 26 Quociente é expresso por dois algarismos significativos 26 19 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Arredondamentos 1 Se o dígito a ser eliminado é maior do que 5 O dígito precedente é aumentado de uma unidade Exemplo 2776 é arredondado para 278 2 Se o dígito a ser eliminado é menor do que 5 O dígito precedente permanece como está Exemplo 2774 é arredondado para 277 As medidas invariavelmente envolvem erros e incertezas Uma análise química que seja totalmente livre de erros ou incertezas é impossível de ser realizada 20 Apenas alguns deles ocorrem devido a equívocos cometidos pelos analistas Erros Padronizações ou calibrações malfeitas Variações aleatórias e incertezas nos resultados Toda medida é influenciada por muitas incertezas As medidas nas incertezas nunca podem ser completamente eliminadas A magnitude provável do erro envolvido em uma medida pode ser frequentemente avaliada Experimentos planejados para revelar a presença de erros podem ser realizados Análise de padrões de composição conhecida Calibração de equipamentos Aplicação de testes estatísticos aos dados 21 Efeito de erros em dados analíticos Exemplo 1 Seis porções iguais de uma solução aquosa contendo uma concentração conhecida de 200 ppm de ferro III foram analisadas exatamente da mesma forma Resultado 22 194 ppm 203 ppm Média Dispersão dos dados Alguns termos importantes Média Em experimentos feitos em réplicas replicatas é comum expressar o resultado como a média das réplicas Mediana é o resultado central quando as replicatas de dados são organizadas de acordo com uma sequência crescente ou decrescente Para a determinação de ferro do exemplo 1 temse Média 194 195 196 198 201 203 6 198 ppm de Fe Mediana 196 198 2 197 ppm de Fe Precisão é a proximidade dos resultados em relação aos demais obtidos exatamente da mesma forma Termos empregados para descrever a precisão de um conjunto de dados de uma amostra Desviopadrão da amostra n1 grau de liberdade do sistema Desviopadrão relativo da amostra Variância s² Coeficiente de variação CV sx x 100 Exemplo Suponha que sejam efetuadas quatro medidas 821 783 834 e 855 Calcule a média aritmética o desviopadrão e o coeficiente de variação Exatidão indica a proximidade da medida do valor verdadeiro ou aceito e é expressa em termos do erro relativo ou absoluto Erro absoluto E xi xv Onde xi é o valor medido xv é o valor verdadeiro Erro relativo porcentual Er xi xv xv x 100 Tipos de erros Erro indeterminado aleatório faz com que os dados se distribuam de forma mais ou menos simétrica Erro determinado sistemático faz com que a média de um conjunto de dados seja diferente do valor aceito Erro grosseiro sistemático normalmente são resultados de erros humanos e levam à ocorrência de resultados marcadamente diferente de todos os outros dados valores anômalos 26 Em geral afetam a precisão Em geral afetam a exatidão Toda medida possui alguma incerteza que é chamada de erro experimental Erros sistemáticos Possuem um valor definido e uma causa identificável e são da mesma ordem de grandeza para réplicas de medidas realizadas de maneira semelhante Existem três fontes de erros sistemáticos Erros instrumentais causados pelo não comportamento ideal de um instrumento por calibrações inadequadas ou pelo uso de condições inadequadas Exemplos decréscimo de voltagem da bateria de um instrumento devido ao uso pipetas buretas e frascos volumétricos descalibrados 27 Erros de método causados pelo comportamento químico ou físico não ideal de reagentes e de reações Exemplos Lentidão de uma reação Reações incompletas Ocorrência de reações laterais Erros pessoais causados devido a demanda de julgamentos pessoais Exemplos Uma pessoa pode estimar a posição de um ponteiro de maneira consistentemente mais alta Um analista que é insensível a mudanças de cor tende a usar excesso de reagente em uma análise volumétrica Tendência de estimar leituras de escalas na direção da melhoria da precisão em um conjunto de resultados 28 Detecção e correção de erros sistemáticos instrumentais e pessoais Alguns erros sistemáticos instrumentais podem ser determinados e corrigidos pela calibração periódica A maioria dos erros pessoais pode ser minimizada por meio de cuidado e disciplina Os erros devido a limitações do analista podem ser evitados pela escolha cuidadosa do método analítico Detecção e correção de erros sistemáticos de método Análise de amostras padrão materiais de referência padrão Uso de um segundo método analítico independente e confiável Análise de branco para correções das medidas feitas com a amostra 29 Erros Aleatórios Todas as medidas contém erros aleatórios Os erros aleatórios são provocados por muitas variáveis incontroláveis Exemplo Na calibração de uma pipeta uma variação no volume obtido é observada Algumas fontes de incerteza Flutuações na temperatura que afeta a viscosidade do líquido e o desempenho da balança Vibrações e correntes de ar que causam pequenas variações na leitura da balança Variações no tempo de escoamento do líquido e no ângulo da pipeta 30 Erros Aleatórios Eles são imprevisíveis e não podem ser eliminados completamente Eles tendem a se distribuir de forma simétrica em torno do valor médio seguindo uma distribuição normal A maioria estará próximo do valor verdadeiro da medida enquanto alguns podem se afastar mais São independentes uns dos outros Cada medição é afetada por seus próprios erros aleatórios que não estão relacionados a eventos anteriores ou futuros A compreensão dos erros aleatórios é fundamental para garantir a confiabilidade e precisão das medições e experimentos 31 TABELA 62 Réplicas de Dados de Calibração de uma Pipeta de 10 mL Tentativa Volume mL Tentativa Volume mL Tentativa Volume mL 1 9988 18 9975 35 9976 2 9973 19 9980 36 9990 3 9986 20 9994 37 9988 4 9980 21 9992 38 9971 5 9975 22 9984 39 9986 6 9982 23 9981 40 9978 7 9986 24 9987 41 9986 8 9982 25 9978 42 9982 9 9981 26 9983 43 9977 10 9990 27 9982 44 9977 11 9980 28 9991 45 9986 12 9989 29 9981 46 9978 13 9978 30 9969 47 9983 14 9971 31 9985 48 9980 15 9982 32 9977 49 9984 16 9983 33 9976 50 9979 17 9988 34 9983 Dados listados na ordem da obtenção Média 9982 Máximo 9994 Mediana 9982 Mínimo 9969 Desvio padrão 00056 Faixa 0025 Erros Aleatórios Eles possibilitam a identificação de tendências e padrões nos dados Ao analisar a distribuição de erros é possível identificar possíveis fontes de variação e realizar ajustes nos processos ou instrumentos de medição melhorando a qualidade dos resultados Possibilidade de realizar comparações entre diferentes experimentos ou medições Ao considerar esses erros é possível determinar se as diferenças observadas entre os resultados são estatisticamente significativas ou se podem ser atribuídas apenas a variações aleatórias 33 34 quatro incertezas aleatórias dez incertezas aleatórias número grande de erros individuais os resultados tendem a se agrupar simetricamente em torno de um valor médio Esta curva é denominada curva gaussiana ou curva normal de erro Tratamento estatístico de erros aleatórios O termo estatística referese à estimativa de um parâmetro que é feito a partir de uma amostra de dados A média da amostra e seu desvio padrão são exemplos de estatísticas que estimam os parâmetros μ e σ 35 μ média da população σ desvio padrão da população Equação de uma curva gaussiana Média da população μ Desvio padrão da população σ O desvio padrão da população é uma medida da precisão de uma população 36 As duas populações de dados representadas nas curvas A e B diferem apenas em seus desvios A precisão do conjunto de dados que gera a curva A é melhor que de B As leis da estatística têm sido desenvolvidas para as populações Muitas vezes essas leis precisam ser substancialmente modificadas quando aplicadas a pequenas amostras uma vez que poucos dados não representam a população inteira Diferença entre população e amostra População é a coleção de todas as medidas de interesse Amostra é o subconjunto de medidas selecionadas a partir da população 37 Exemplo Análise de cálcio em uma amostra de caixa dágua Análise populacional análise de toda a água presente na caixa Análise amostral análise de alíquotas de água retirada da caixa dágua Em muitos casos encontrados na química analítica a população é conceitual 38 Amostra Exemplo Na análise de glicose no sangue somente uma parte do sangue é analisada Nestes casos características da população são inferidas a partir da amostra 39 Média da população μ Média da amostra Desvio padrão da população σ Desviopadrão da amostra s Na maioria dos casos não conhecemos μ e o seu valor é inferido a partir de Os valores de e s aproximamse de μ e σ com o aumento do número de medidas se não houver erro sistemático Desvio padrão a partir de resultados calculados Muitas vezes é preciso estimar o desvio padrão de um resultado que tenha sido calculado a partir de dois ou mais dados experimentais cada qual com um desvio padrão da amostra conhecida A maneira pela qual essas estimativas são feitas depende do tipo de cálculo Soma ou subtração Multiplicação ou divisão 40 Exemplo Desvio padrão de y Multiplicação ou divisão A massa de NaCl pesada 06580 00003 g foi dissolvida em água e transferida para um balão volumétrico de 10000 mL que teve seu volume completado com água Adotando o desvio padrão da aferição do balão de 008 mL calcule a concentração de NaCl gmL C 06580g 100 mL s 6580x10³ 00003 06580² 008 100² 920798x10⁴ S 920798x10⁴ 6580x10³ 0000006 Resposta 0006580 0000006 Exemplos Soma ou subtração O volume transferido por uma bureta é a diferença entre a leitura final e a leitura inicial Se o desviopadrão em cada leitura é 002 qual é desvio padrão do volume transferido considerando a leitura inicial de 005 002 mL e a final de 1788 002 sy sa² sb² sc² Subtração 1788 005 1783 mL Desviopadrão Sy 002² 002² 0028 Resposta 1783 003 Apresentação dos resultados calculados Um resultado numérico não tem qualquer utilidade para os usuário dos dados a menos que eles saibam alguma coisa sobre sua qualidade Formas de indicar a confiabilidade dos dados Desviopadrão absoluto ou o coeficiente de variação dos dados Intervalo de confiança umas das melhores maneiras Algarismos significativos menos satisfatório porém mais comum 43 Intervalo de Confiança Na maioria das situações encontradas em análises químicas o valor verdadeiro da média μ não pode ser determinado seriam necessárias infinitas medidas Com a estatística podese estabelecer um intervalo numérico ao redor da média 𝑥 determinado experimentalmente no qual se espera que a média da população μ possa estar contida com uma certa probabilidade Esse intervalo é conhecido como intervalo de confiança e os limites são chamados limites de confiança 44 O intervalo de confiança σ não conhecido é calculado pela equação No qual t de Student é um parâmetro tabelado que depende do número de graus de liberdade e do nível de confiança desejado 45 Significado do intervalo de confiança Se repetirmos as n medidas muitas vezes para calcular a média e o desviopadrão o intervalo de confiança de 95 incluira a média real da população cujo valor desconhecemos em 95 dos conjuntos de n medidas Dizemos que nós temos 95 de confiança de que o valor real está dentro do intervalo de confiança 46 Exemplo 1 A média x de 4 determinações do conteúdo de cobre de uma liga foi de 827 e seu desviopadrão foi s 017 Calcule o intervalo de confiança a 95 do valor verdadeiro Resolução Consultando a tabela de Teste t de Student t tabelado ou crítico 3182 IC 827 3182 x 017 4 827 03 95 de confiança de que o valor verdadeiro da concentração de cobre na liga está entre 800 e 854 Exemplo 2 O teor de carboidratos de uma glicoproteína foi determinado como igual a 126 119 130 127 e 125 g de carboidratos por 100 g de proteína Calcule os intervalos de confiança de 50 e 90 para o teor de carboidrato 48 MÉDIAA3A7 Argumentos da função MÉDIA Núm1 A3A7 12611913127125 Núm2 número 1254 Retorna a média aritmética dos argumentos que podem ser números ou nomes matrizes ou referências que contêm números Núm1 núm1núm2 de 1 255 argumentos numéricos cuja média se deseja obter Resultado da fórmula 1254 Ajuda sobre esta função OK Cancelar DESVPADA3A8 Argumentos da função DESVPAD Núm1 A3A8 126119131271251254 Núm2 número 0361109402 Esta função está disponível para compatibilidade com o Excel 2007 e anterior Estima o desvio padrão com base em uma amostra ignora os valores lógicos e texto da amostra Núm1 núm1núm2 de 1 a 255 números que correspondem a uma amostra de uma população podendo ser números ou referências que contenham números Resultado da fórmula 0361109402 Ajuda sobre esta função OK Cancelar Exemplo 2 O teor de carboidratos de uma glicoproteína foi determinado como igual a 126 119 130 127 e 125 g de carboidratos por 100 g de proteína Calcule os intervalos de confiança de 50 e 90 para o teor de carboidrato 51 Solução Primeiro calculamos média 𝑥 125 e desviopadrão s 0400 para as cinco medidas Para encontrarmos o intervalo de confiança de 50 obtemos o valor de t na tabela na coluna encabeçada por 50 e na linha correspondente a quatro graus de liberdade graus de liberdade n 1 Para 50 o valor de t é 0741 Para 90 o valor de t é 2132 52 Tabela t Teste bicaudal Para IC de 50 teríamos Para IC de 90 teríamos 53 Comparação entre médias utilizando o Teste t de Student Fonte Prof Edson Martinez USP População 1 População 2 Quando o conjunto de dados 1 for comparado com o conjunto de dados 2 normalmente os valores de médias obtidos serão diferentes pequenas variações aleatórias Amostra 1 Amostra 2 54 O teste t de Student é utilizado para comparar duas médias e decidir se existe uma diferença com significado estatístico entre elas Hipotése nula Ho estabelece que as médias de dois conjuntos de medidas não são significativamente diferentes Normalmente rejeitamos a hipótese nula quando existe uma chance menor que 5 de que a diferença observada provenha de variações aleatórias Assim temos uma chance de 95 de que nossa conclusão esteja correta A diferença entre os valores pode ser explicado pelo erro aleatório 55 μ μ0 Comparação dos desviospadrão com o Teste F O teste F é utilizado para saber se dois desviospadrão são significativamente diferentes entre si F é o quociente entre os quadrados dos desviospadrão Sempre colocamos o maior desviopadrão no numerador de modo que F 1 Fcalculado é comparado com o Ftabelado Se Fcalculado é maior que Ftabelado então a diferença é significativa 56 Exemplo Comparação dos desviospadrão de dois métodos distintos desenvolvidos para análise de ar Método 1 s 000014 n7 Método 2 s 000138 n8 57 Cálculo do F F calculado 0001382 0000142 93 F tabelado F calculado F tabelado logo a diferença é significativa Testes t utilizados Caso I Comparação de um resultado medido usando a média com um valor conhecido Caso II Comparação entre medidas repetidas Caso III Teste t emparelhado para comparação de diferenças individuais No Caso II é necessário a comparação dos desviospadrão Teste F é utilizado para este fim 59 Caso I Comparação de um resultado medido com um valor conhecido Quando é aplicado Quando medimos uma grandeza várias vezes obtendo um valor médio e um desviopadrão e precisamos comparar o nosso resultado com um determinado valor que é conhecido e aceito Exemplo Análise de uma material de referência utilizando um novo método analítico para análise de enxofre em carvão Dados Material de referência 319 mm Valores medidos com o novo método em mm de enxofre 329 322 330 e 323 60 Para 95 o valor de t é 3182 A resposta do método é estatisticamente igual ao valor conhecido Resolução x 326 s 004 Graus de liberdade 3 logo t 3182 Para verificar isso calcule o intervalo de confiança de 95 para a sua resposta e veja se esta faixa inclui a resposta conhecida IC 326 3182 x 004 4 326 006 IC de 95 320 a 332 mm O valor conhecido 319 está fora do intervalo de confiança portanto concluise que o novo método fornece um resultado diferente do valor conhecido Caso II Comparação entre medidas repetidas Quando é aplicado Utilizado na comparação de dois conjuntos de dados distintos Para saber se os conjuntos de dados são estatisticamente iguais calculamos o t e comparamos com o t de Student tabelado Se tcalculado for maior que o ttabelado no nível de confiança de 95 os dois resultados são considerados significativamente diferentes 63 Para um conjunto de dados consistindo em n1 e n2 medidas no qual o desviopadrão para cada método é o mesmo calculase o valor de t utilizando a equação sagrupado pode ser calculado pela equação no qual n1 n2 2 é o grau de liberdade 64 Se o desviopadrão é diferente para os dois conjuntos de medidas utilizase a equação Para comparação com o t de student tabelado o grau de liberdade deve ser calculado 65 Exemplo Determinação da porcentagem de níquel em um aço especial por dois métodos diferentes Parâmetro Método I Método II 785 803 s 0130 0095 n 5 6 Resolução Teste F Cálculo de F Fcalculado s12s22 0130200952 187 Pela tabela Ftabelado 519 Fcalculado Ftabelado não há diferença entre os desviospadrão Equações que devem ser utilizadas Cálculo de sagrupado sqrt0130251 00952 61562 0112 Cálculo de tcalculado 7858030112 sqrt5656 265 ttabelado para 9 graus de liberdade n1 n2 2 226 talculado ttabelado Há diferença entre as médias em um nível de confiança de 95 TABELA 42 Valores do teste t de Student Nível de confiança Graus de liberdade 50 90 95 98 99 995 999 1 1000 6314 12706 31821 63656 127321 636578 2 0816 2920 4303 6965 9925 14089 31598 3 0765 2353 3182 4541 5841 7453 12924 4 0741 2132 2776 3747 4604 5598 8610 5 0727 2015 2571 3365 4032 4773 6869 6 0718 1943 2447 3143 3707 4317 5959 7 0711 1895 2365 2998 3500 4029 5408 8 0706 1860 2306 2896 3355 3832 5041 9 0703 1833 2262 2821 3250 3690 4781 10 0700 1812 2228 2764 3169 3581 4587 15 0691 1753 2131 2602 2947 3252 4073 20 0687 1725 2086 2528 2845 3153 3850 25 0684 1708 2060 2485 2787 3078 3725 30 0683 1697 2042 2457 2750 3030 3646 40 0681 1684 2021 2423 2704 2971 3551 60 0679 1671 2000 2390 2660 2915 3460 120 0677 1658 1980 2358 2617 2860 3373 0674 1645 1960 2326 2576 2807 3291 Para 95 o valor de t é 2262 Caso III Teste t emparelhado para comparaçãode diferençasindividuais Utilizado para comparar dois métodos diferentes no qual medidas individuais são feitas em várias amostras diferentes Neste caso nenhuma medida foi duplicada Se tcalculado for maior que ttabelado os métodos são significativamente diferentes Onde I 𝑑I é o valor absoluto da diferença média e sd é o desvio padrão das diferenças 69 Exemplo Medida da concentração de alumínio em água potável Como tcalculado ttabelado os métodos não são significativamente diferentes tcalculado ttabelado 2228 I 𝑑I 2491 70 TABELA 42 Valores do teste t de Student Nível de confiança Graus de liberdade 50 90 95 98 99 995 999 1 1000 6314 12706 31821 63656 127321 636578 2 0816 2920 4303 6965 9925 14089 31598 3 0765 2353 3182 4541 5841 7453 12924 4 0741 2132 2776 3747 4604 5598 8610 5 0727 2015 2571 3365 4032 4773 6869 6 0718 1943 2447 3143 3707 4317 5959 7 0711 1895 2365 2998 3500 4029 5408 8 0706 1860 2306 2896 3355 3832 5041 9 0703 1833 2262 2821 3250 3690 4781 10 0700 1812 2228 2764 3169 3581 4587 15 0691 1753 2131 2602 2947 3252 4073 20 0687 1725 2086 2528 2845 3153 3850 25 0684 1708 2060 2485 2787 3078 3725 30 0683 1697 2042 2457 2750 3030 3646 40 0681 1684 2021 2423 2704 2971 3551 60 0679 1671 2000 2390 2660 2915 3460 120 0677 1658 1980 2358 2617 2860 3373 0674 1645 1960 2326 2576 2807 3291 Para 95 o valor de t é 2228 Teste G de Grubbs para valores dispersos Utilizado para avaliar um valor discrepante de um conjunto de medições Exemplo Estudantes dissolveram zinco a partir de um prego galvanizado e mediram a perda de massa desse prego para calcular qual é o seu conteúdo de zinco A seguir apresentam se 12 resultados obtidos Perda de massa 102 108 116 99 94 78 100 92 113 95 106 116 Valor discrepante questionável 78 72 Para verificar se o valor questionável permanece no conjunto de dado calculase o G de Grubbs O G calculado é comparado com o valor tabelado Se o valor de Gcalculado for maior do que o valor de Gtabelado o dado questionável deve ser descartado 73 Para o exemplo citado x 1016 s 111 Gcalculado 78 1016 111 213 Gtabelado 2285 Pelo fato de Gcalculado Gtabelado o ponto questionável deve ser mantido