Lista 3 - Matemática Discreta 2021-2

UFLA – ICET Departamento de Matem´atica e Matem´atica Aplicada Prof. Jamil Abreu UFLA/ICET/DMM Sala 10 Telefone: +55-35-3821-1643 E-mail: jamil.abreu@ufla.br Matem´atica Discreta (2021/2) – Lista n◦03 – Ex. 1. Considere as rela¸c˜oes de A (conjunto `a esquerda) em B (conjunto `a direita) represen- tadas nos diagramas (i) a (iv) abaixo: Responda, justificando sua resposta: Figura 1: Os diagramas (i) a (iv) representam rela¸c˜oes de A em B. (a) Quais destas rela¸c˜oes s˜ao fun¸c˜oes? (b) Caso haja fun¸c˜oes, quais destas fun¸c˜oes s˜ao injetoras? Quais s˜ao sobrejetoras? ▲ Ex. 2. Seja f : {1, 2, 3, 4, 5} → {a, b, c, d} a fun¸c˜ao definida por f(1) = b, f(2) = d, f(3) = a, f(4) = b, f(5) = c. Responda, justificando as respostas. (a) f ´e injetora? (b) f ´e sobrejetora? ▲ 1 Ex. 3. Seja f : X — Y uma funcao. Mostre que: (a) f(AN B) Cc f(A) N f(B) para quaisquer A,B C X. Dé um exemplo onde a inclusao é estrita. (b) f(AN B) = f(A)N f(B) para quaisquer A, B C X se e somente se f é injetora. A Ex. 4. Sejam f : X — Y uma funcao e A C X um subconjunto. Mostre que f(A) = m(fN(A x Y)). A Ex. 5. Mostre que a funcao At y4 de A(X) em 2* é uma bijecao. A Ex. 6. Seja f : X — Y. Mostre que Ac f-t(f(A)) para todo AC X. A Ex. 7. Sejam f : X — Y uma funcao e B C Y um subconjunto. Mostre que f-'(B) = nlf (X x B)). A Ex. 8. Seja f : X — Y uma funcao. As seguintes afirmac6des sao equivalentes: (a) f é injetora; (b) A= f-'(f(A)) para todo A CX; (c) f(X —A) CY — f(A) para todo AC X. A Ex. 9. Seja f : X — Y uma funcao. As seguintes afirmac6des sao equivalentes: (a) f é sobrejetora; (b) f(f-1(B)) = B para todo B CY; (c) Y — f(A) C f(X — A) para todo AC X. A Ex. 10 (Inversa comuta com complementacao). Se f : X + Y entao f-\(Y —B)=X—f'(B) para todo BCY. A Ex. 11. Seja f uma funcao injetiva. Mostre que f~!o f(x) = x para todo x € domf e fof *(y) =y para todo y € Im f. A 2 Ex. 12. Sejam f e g fun¸c˜oes tais que g ◦ f(x) = x para todo x ∈ dom f. Mostre que f ´e injetiva, Im f ⊂ dom g e dom f ⊂ Im g. ▲ Ex. 13. Sejam X e Y conjuntos. Mostre: (a) Y ∅ = {∅}; (b) se X ̸= ∅ ent˜ao ∅X = ∅. ▲ Ex. 14. Seja I a rela¸c˜ao de igualdade num conjunto X, isto ´e, I = {(x, y) ∈ X × X : x = y}. (a) Verifique que I age como unidade multiplicativa no conjunto das rela¸c˜oes em X, no sentido de que IR = RI = R para toda rela¸c˜ao R em X. (b) H´a alguma conex˜ao entre I, R ◦ R−1 e R−1 ◦ R? (R uma rela¸c˜ao qualquer em X.) (c) Para uma rela¸c˜ao R em X verifique que reflexividade significa I ⊂ R, simetria significa R ⊂ R−1 e transitividade significa R ◦ R ⊂ R. ▲ 3