Lista 1 - 2023-2

Lista 1 Geometria Analítica 1. Sejam u = (2, −4, 6), v = (−3, 12, −4) e w = (6, 3, −1). Determine o vetor x tal que: (a) x = 3u + 2w (b) x = 2u − v (c) x = 2(u + v) + 3w (d) x = 2(3u + 2w) − 3(5v) (e)* u + 2v = x − w (f) 3(u + 2x) = 4x + 2w 2. Determine o vetor w, tal que w = 3u+2v, se u = 3⃗i−2⃗j+5⃗k e v = −5⃗i+6⃗j−3⃗k. 3. O vetor −→ AB é tal que A = (2x + 1, 3y − 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem é v = (−4, 12), determine os valores de x e y. 4. * Dados os pontos A = (−3, 2) e B = (5, 4): (a) Faça um esboço de −→ AB. (b) Calcule a distância de A até B. (c) Ache o ponto médio entre A e B. (d) Ache o vetor −→ BA. (e) Ache o ponto em −→ AB cuja coordenada x é igual a 2. (f) Ache o ponto em −→ AB cuja coordenada y é igual a 5. 5. Seja (4, 5) o ponto médio de um segmento de reta tal que uma extremidade é (−1, 2). Ache a outra extremidade. 6. Dados os vetores no plano u = (2, −5) e v = (1, 1) pede-se (a) O vetor soma u + v; o vetor diferença u − v; o vetor 3u − 2v (b) ∥u + v∥; (c) O produto escalar u · v; (d) * O ângulo formado pelos vetores u e v. 7. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) e C = (0, 1, 2). (a) * Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo. (b) Determine o ponto médio entre A e C e o ponto médio entre B e D. 8. Determine o valor de m se a norma do vetor v = (2m + 2, m − 1, 2m − 7) é ∥v∥ = 13. 9. Dados u = (1, 4, 5), v = (3, 3, −2) e w = (−5, 7, 1), pede-se: (a) u · v (b) w · u (c) 3u · 2w (d) (3u − 4v) · 5w (e) (u · v)w 1 10. * Determine o ponto C tal que −→ AC = 2−→ AB sendo A = (0, −2) e B = (1, 0). 11. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v = (3, 0, −3), sabendo-se que sua origem está no ponto P = (2, 3, −5). 12. * Dados os vetores u = (2, −3, 6) e v = (−1, 2, −2), calcule as coordenadas do vetor w bissetriz do ângulo formado pelos vetores u e v, sabendo-se que ∥w∥ = 3 √ 42. 13. Determinar os ângulos internos de um triângulo ABC, sendo A = (3, −3, 3), B = (2, −1, 2) e C = (1, 0, 2). 14. Considere o paralelogramo ABCD e sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente. Mostre que −−→ CN + −−→ CM = 3 2 −→ CA. 15. No triângulo equilátero ABC, sejam M e N os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero. 16. Em um triângulo ABC seja, M, N e P os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente. Mostre que −→ AP + −−→ CM + −−→ BN = 0 17. * Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento9 é a media aritmética dos comprimentos das bases. 18. * Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugestão: Sejam M e N os pontos médios das diagonais. Mostre que −−→ MN = ⃗0). 19. Sabendo que ∥u∥ = √ 2, ∥v∥ = √ 3 e que u e v formam ângulo de 3π 4 , determinar: (a) |(2u − v) · (u − 2v)|; (b) ∥u − 2v∥. 20. Para cada u dos pares de vetores u e v, encontrar a projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo v1 paralelo a u (v1∥u) e v2 perpendicular a u (v2 ⊥ u). (a) u = (1, 2, −2) e v = (3, −2, 1). (b) u = (1, 1, 1) e v = (3, 1, −1). (c) u = (2, 0, 0) e v = (3, 5, 4). (d) * u = (3, 1, −3) e v = (2, −3, 1). 21. Prove que se u é ortogonal a v − w e v é ortogonal a w − u, então w é ortogonal a u − v. 2 1. e) \vec{u} = (2, -9, 6) \quad \vec{u} + \vec{v} = \vec{z} - \vec{w} \vec{v} = (-6, 24, -8) \quad \vec{z} = \vec{u} + 3\vec{v} + \vec{w} \vec{w} = (6, 3, -1) \quad \vec{z} = (0, 23, -3) 4. e) \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} = (-8, 2) a = 2 : 4 7 - 5 b = 11 BE : 9, 5 - 4 + 6 6 - 4 = 9 x_{y} = \frac{9}{4} 2 : 5 = 4 2/3/4 BE : 5 6 x = 9 \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} p) b) Y = \frac{x + 11}{4} \vec{AC} = \vec{BD} BE \overrightarrow{BA} c) d=6 \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} = (-3, 2) \vec{A+} = \vec{D} \vec{M} \left(1,2\right) BE\ v_{a} \frac{1}{3} = \overrightarrow{AB} \mid SA = 2 A + C = BD \frac{1}{3} 7.a) On parallelogram. A+C=B+D => (4,0,1)+(0,1,2)+(a1,a2)=(3 +1,4+1,1)+(Dx1,Py1,B2) => (1,1,3)=(Dx1-1,Py2+1,B2+1) }Dx-1=1.; Dx=2 i) Dx+1=1.; Dy=0 ii) But =3.: B2=2 D=(2,0,2) Q0). AC = 2AB C-A=2(B-A) C=A+2B-2A C=2(B-A) C=(2,1,1)-(0-2) C=(2,2) 5 q. |u .*v* = |int||IVI.cog0 (2-5(1,1)=[0(2.5)]. /sqr i(5) cos0=./58 .cos0=-.3 [352)/E58 =>0= arccos(3,[53(358) = (2-3,6)*(1,2-2)=(4) v = (2-3,6) v = (2/4) => |V1-1 yU = {w, =1 => | UI = M/3/E15(3,4) v = (2-3,0)(-2) = (-1,5,4) {-1 = 2 /={U). } = ESTA. (ABISSEZ12) u+ V=4 = -1,5,4 - 5/21] ./v (2. */.(2*. v=|W| M.c./21 w = 7*V(V)5/41 i-(e1/uw21) u/(ce1).y/ (1/251, iw n-w)012) 17. A B M = \frac{A+D}{2} N = \frac{B+C}{2} \overrightarrow{MN} = \frac{B+C-(A+D)}{2} \overrightarrow{MN} = \frac{B-A+C-D}{2} \overrightarrow{ADO}=\frac{\overrightarrow{A}B+\overrightarrow{D}C}{2} A+D = B+C B+C=A+D \Rightarrow ASI GON\VICENTE:10\nAC10 20. \overrightarrow{d}=\left(3,1,-3\right) \overrightarrow{v}=\left(2,-3,1\right) \frac{\left[\left(3,1,-3\right)-2\left(3,1,-3\right)\right].\left(3,1,-3\right)\right)}{\left(3,1,-3\right)}=0 \overrightarrow{v_2}=\left(0,0,0\right)\overrightarrow{x_i}=\left(2,3,-1\right) \therefore\left(6-9-1+3-3-9=0\right)\nq = 0\Rightarrow\overrightarrow{v_1}=0\land\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v} \therefore\left(3-1+3-1\right)=(1+3\right)}=0 \left(2,-3,1\right).\left(3,1,-3\right)=0 \frac{0}{\overrightarrow{m}\overrightarrow{p}}=0 \frac{x}{2}=1\Rightarrow x=1 23~ W_d =~?\n\left[\overrightarrow{n}para \#u \cap #v\frac{\overrightarrow{x_3}-a.\overrightarrow{n}}{2}\] =~0\ 24\ \Rightarrow ~ \underbrace{\phi_{2}\overrightarrow{n}\cdot(\cdot)\overrightarrow{A}B-(a)CD)\cdot 0} \therefore =\left(9,-3\right) \circ \left(5,6\right)=0 \Rightarrow\left(1}\frac{2}{3} \phi_c=\left(9,-3,5,9\right)=\left(3,1\right)o}\alendaroghaet1\n[a_2+\overrightarrow{n}\cap \boxadd} =\left(\frac{v1-2}{2}\right)*1=\left(6,-9\right)=(a}=0\frac{9-3}{1}*\phi{1}o}\rightarrow \frac{AB-#div(a)CD-{(\div)}=2\times9-3\,5,9}=\therefore 26. \vec{v}.\vec{w}=0. \Rightarrow (x -2)(x-2\sqrt{3})=0 x^{2} - 4x +12=0 x=8 \rightarrow x\in \mathbb{R} x=\sqrt{5} 28. b) \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6\hat{i}-2\hat{k}+8\hat{j}+12\hat{k}+2\hat{i}-6\hat{j} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + 10\hat{k} |\vec{v} \times \vec{w}| = |\vec{v}||\vec{w}|.sen \theta \Rightarrow \sqrt{132} = \sqrt{17}\cdot\sqrt{21}\cdot .sen \theta \Rightarrow sen \theta= \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{119}} = \frac{\sqrt{44}}{11}\frac{119} 30. ||\vec{v} \times \vec{w}||^2 = ||\vec{v}||^2||\vec{w}||^2-(\vec{v}.\vec{w})^2 I. \vec{v} \times \vec{w} = (x_v, y_v, z_v ) \times (x_w, y_w, z_w ) = (y_vz_w - z_vy_w, x_vz_w - z_vx_w, x_vy_w - y_vx_w ) ||\vec{v} \times \vec{w}||^2 = (y_vz_w - z_vy_w)^2 + (x_vz_w - z_vx_w)^2 + (x_vy_w - y_vx_w)^2 = y_vz_wz_v^2y_w + y_vy_wz_v^2 + z_v^2z_w^2 + y_vz_wx_v^2 + x_v^2x_w^2 + x_v^2y_w^2 + z_v^2x_vy_w - 2(y_vz_wx_vz_vx_w + x_vz_wz_v^2x_w + y_vx_wy_wx_w) II. ||\vec{v}||||\vec{w}||^2 = (x_v^2 + y_v^2 + z_v^2 )(x_w^2+y_w^2+z_w^2) = x_v^2x_w^2 + x_vy_w^2 + x_vy_w^2 + y_v^2z_w^2 + y_vy_wx_v^2 + y_vz_wx_vy_w^2 + + z_w^2z_vw_x_x^2 + z_w^2z_vw_y_v + z_v^2z_w^2 III. (\vec{v}. \vec{w})^2 =(x_vx_w + y_vy_w + z_vz_w )^2 = x_vy_wx_vy_w + x_vx_wx_vz_w x_w+ + y_vy_wx^2_v + y_w^2x_w^2y_vx_vw_x_v + z_wz_xx_z \hat{z_w} x_y_v \hat{y_w}z_w = x_v^2x_w^2+ y_v^2y_w^2+z_v^2z_w^2+z_w^2x_y_w d(o)). (x_vx_y_w + x_vx_w x_zv^2x_w + z_w^2 y_w) Dai, e facil ver que. I = II-III. e.q.d