Lista 3 - 2023-2

Lista 3 Geometria Analitica 1. Obtenha, diretamente das equagoes, um ponto e um vetor diretor da reta dada. r=3-+t x=2-—3t (a) y=-l+t ,teER (b) y = 2t ,teR z=44+t z=d-t xr—-3 1-y 2-au 2W+4 2-1 () a. °* () 5 2 2. Dados A = (2,2,5), u = (1,—1,3) e v = (2, 2,3), escreva as equagdes paramétricas da reta r que passa por A, e é paralela ao vetor v — u. 3. * Dadas as retas x=1+(m+I1)t x=2+4+t r:{ y=Ot ,tER 3; gs: y=24+mt ,teER z= 2t z=1+nt z—3 . el: a+1l=y-2= > calcule m e n sabendo que / é ortogonal as outras duas. 4. Determinar as equacg6es paramétricas da reta que passa pelos pontos A = (—1,2,3)e B= (0,2, —2). z=1+3t 5. * A retar passa pelo ponto A = (4, —3, —2) eé paraleladretas: ¢ y=2-—4t ,teER. Se z=3-t P=(m,n,—5) € r, determinar m e n. 6. Determine as equacgoes da reta r definida pelos pontos A = (2,—1,4) e B =r, M1r2, com x-1l y-3 1-2 v= 3t Mi ST RTD e 12: y=1+2t ,teER. z=24+t 7. Estabeleca as equagdes paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (—1,4,5) e que é perpendicular a reta r: X = (—2,1,1) +t(1,-1,2),tER. 8. Encontrar as equagoes paramétricas da reta que passa pelo ponto A e é simultaneamente ortogonal as retas 7; e To: x ~ 3 x= 3t (a) * A=(0,0,0), m:==y=— ec 7:4 y=-t4+l1 ,teER. 2 2 z=2 _ J c=3 fy=a-3 (b) A= (8,2,-1), nif Po e mi{ Pe 1 9. Etabeleça as equaçoes simétricas da reta s, traçada pelo ponto P = (1, 3, 1), que seja con- corrente com a reta r : x + 1 3 = y − 2 2 = z e seja ortogonal ao vetor v = (2, 0, −1). 10. Encontre o ponto de interseção das retas de equações r : x − 2 2 = y 3 = z − 5 4 e s :    x = 5 + t y = 2 − t z = 7 − 2t , t ∈ R. 11. * Encontre a equação da reta r que passa por (1, −2, 3), é concorrente com a reta s :    x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = −1 , t ∈ R; e tem vetor diretor ortogonal ao vetor (1, −3, 1). 12. Sejam r e s retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (−3, 1, −4) e D = (−1, 2, −7), respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V = (1, −5, −1). 13. Achar as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas. (a) * r1 :    x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4t , t ∈ R e r2 : x + 1 = y − 1 2 = z + 2 3 . (b) r1 :    x = −1 + t y = 2 + 3t z = 4t , t ∈ R e r2 : x = y − 4 2 = z − 3 3 . 14. Encontre as equações paramétricas para a reta r que é perpendicular ao plano 2x−y+2z = 4 e passa pelo ponto de interseção das retas r1 e r2 dados por: r1 :    x = t y = 2 + t z = 1 + t , t ∈ R e r2 :    x = −1 + 2s y = 1 + s z = 0 , s ∈ R. 15. Encontre condições sobre o vetor V = (a, b, c) para que exista uma reta na direção de V que intercepte simultanemamente as retas r e s: (a) r :    x = 2 + t y = 5 − t z = 3 + t , t ∈ R e s :    x = t y = 1 − t z = −2 + t , t ∈ R (b) * r :    x = 1 + t y = −2 − t z = 3 + t , t ∈ R e s :    x = 1 + 2t y = −2 z = 3 + t , t ∈ R 16. Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (a) passa pelo ponto D = (1, −1, 2) e é ortogonal ao vetor v = (2, −3, 1); (b) possui o ponto A = (1, 2, 1) e é paralelo aos vetpores u =⃗i +⃗j − ⃗k e v =⃗i +⃗j − 2⃗k; 2 (c) passa pelos pontos A = (—2,1,0), B = (—1,4,2) e C = (0, —2, 2); (d) passa pelos pontos P = (2,1,0), Q = (1,4,2) e R = (0, 2,2); (e) * passa pelos pontos A = (2,1,5), B = (3,1,3) e C = (4, 2,3); (f) passa pelo ponto E = (1, 2,2) e contém os vetores u = (2, —1,1) e v = (—3, 1, 2); (g) possui o ponto P = (2,1,3) e é paralelo ao plano xz; —7 ee —1 2 —5 (h) contém as retas rs ——~ = 25 = —— e 5: 23- = -H =, . x t+1l y-2 2 * té t : = l= 3 > = + = -; (i) * contém as retas r 5 y+ z+3 e 5 1 5 5 r=—3+t 2 2- (j) contém as retasr: ¢ y=-t ,tEeR e ee ee 2 2 z=A4 —1 —3 —4 (k) contém a retar: —S—=5=2-1 e € paralelo a reta $15 = 2-y =. 17. Determine a equacao da reta intersegao dos planos nos seguintes casos: Qy — —- l= — — = yi t > 4 z 0 (b) ov y + &z ) 0 u+ sy + 1 = 0 x + 38y + 22 + 4 = 0 x —- 2y- z- 8 = 0 3x — 2y- z - 1 = 0 (c)* _ (d) 2-7 = 2x + 3y + 13 = 0 x + 2y z 7 = 0 x + 2y — 32 - 4 = 0 u- Y = 0 Of eile oe + z= 0 18. Encontre a equacao do plano que contém o ponto M = (2, 1,3) e que é perpendicular a reta rt a¥ot__, 2 3 19. * Determine a equacao do plano que contém os pontos A = (1,2,2) e B = (3,1,2) e é perpendicular ao plano 7: 2x%+y—z+8=0. 20. Encontrar a equacaéo do plano que passa pelos pontos P = (1,0,0) e Q@ = (1,0,1) e é perpendicular ao plano y = z. 21. Determine aequacgao do plano paralelo ao plano 2x — y + 5z — 3 = 0 e que passa por P = (1, -2,1). 22. Encontre as equacoes da reta que passa pelo ponto Q = (1, 2,1) e é perpendicular ao plano Tm:x—y+t2z—-1=0 23. Determinar as equacoes paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (—1,0,0) e é paralela a cada um dos planos 7, : 2x —y—z+1=0e7m:x4+3y+24+5=0. 24. * Ache equagoes da reta que passa pelo ponto P = (1,0,1) e é paralela aos planos 7 : 2e+3yt+2+1=O0e7m:r4—-yt+2z=0. 3 25. Determinar a equagao geral do plano 7, que contém o ponto A = (4, 1,0) e é perpendicular aos planos 7, : 27 —y—4z-6=O0em:x4+y+2z-3=0. 26. * Encontre a equacgéo do plano que passa pelo ponto P = (2,1,0) e é perpendicular aos planos 7, : 2+ 2y—3z+2=O0¢c7):2%—y+4z-1=0. 27. Seja r a reta determinada pela intersegao dos planos x + y— z =0e 2a -—y4+3z-1=0. Ache a equagao do plano que passa por A = (1,0,—1) e contém a reta r. 28. Determinar a equacao do plano que contém o ponto A = (3,2,1) ea reta x + 24y- z- 1= 0 27 + y - z+ 7 = 0 29. Determinar a equacao geral do plano 7, que passa pelo ponto P = (2,5,3) e é perpendicular a reta r, intersegao dos planos 7, : « —2y+2-1=O0e7):3x+ 2y—3z7+5=0. 30. * Determinar a equacao do plano que passa pela reta ox + 2y + 52 + 6 = 0 x + 4y + 32 + 4 = 0° e é paralelo a reta x-l y-5d z+1 $:—— = —— = -—_. 3 3 3 31. * Dados os planos 7 :2x4+y—3z+1=0,m:r+y+24+1=0e73:x4-2y+24+5=0, encontre a equacao do plano que contem 7 7 e é perpendicular a 73. 32. Seja areta r que passa pela origem e tem vetor diretor V = i+ p+ k. Determine a intersegao da reta r com o plano m7: 2~7+y+2=5. 33. Dados os planos 7, :2—-—y+2+1=0e72:x2+y—2z-—1=0, encontre a equagao do plano que contem 7M 72 e é ortogonal ao vetor (—1,1,—1). 34. Encontrar o Angulo entre o plano 7 : 2x—y+z = 0 eo plano que passa pelo ponto P = (1, 2,3) e 6 perpendicular ao vetor V = i — 27 +k. 35. * Seja 7, o plano que passa pelo ponto A = (1,1,1), B = (1,0,1), C = (1,1,0) e m o plano que passa pelos pontos P = (0,0,1) e Q = (0,0,0) e é paralelo ao vetor i+ 7. Ache o angulo entre 71 € 7. 36. Ache uma reta que passa pelo ponto (1, —2,3) e que forma Angulos de 45° e 60° com os eixos LEY. 37. (a) Determine a equacao do plano 7 que passa por A = (10,1,—-1), B = (1,9,-1) e C = (1,-1,5). (b) Determine a equagao do plano 72 que passa por D = (—1,4,—1), FE = (3,—1,10) eé paralelo ao eixo z. (c) Escreva as equacgdes paramétricas para a reta r, intersecao dos planos 7, € 7. (d) * Qual o Angulo entre os planos 7 e 72? 4 Analytic Geometry Solu¸c˜ao do Problema 5. O vetor diretor da reta r ´e dado por: u = (3, −4, −1) e como passa pelo ponto A(4, −3, −2) sua equa¸c˜ao param´etrica ´e dada por: r :            x = 4 + 3t y = −3 − 4t z = −2 − t Como o ponto P(m, n, −5) pertence `a reta r, ent˜ao:            m = 4 + 3t n = −3 − 4t −5 = −2 − t ⇒ t = 3 ⇒ m = 13, n = −15. Solu¸c˜ao do Problema 8 a) O produto vetorial dos vetores diretores das retas r1 e r2 ´e: Portanto, a equa¸c˜ao param´etrica da reta ´e:            x = 2t y = 6t z = −5t . Solu¸c˜ao do Problema 11. A equa¸c˜ao do plano que tem vetor normal n = (1, 3, −1) e cont´em o ponto P = (1, −2, 3) ´e: π : (x − 1) + 3(y + 2) − (z − 3) = 0 ⇔ x + 3y − z = −8. 1 Esse plano cont´em a reta e n˜ao cont´em a reta s. Para encontrar a equa¸c˜ao da reta r, basta tomarmos a proje¸c˜ao do vetor diretor da reta s no plano π como vetor diretor da reta r. Solu¸c˜ao do Problema 13. a) A reta desejada cont´em como vetor diretor o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas dadas: Logo o vetor: u = (1, 1, −1). Agora, basta tomar como ponto P um ponto qualquer da reta r e teremos a equa¸c˜ao da reta desejada:            x = −1 + t y = 1 + t z = −2 − t Solu¸c˜ao do Problema 15. b) Simplesmente, v = (a, b, c) precisa ser m´ultiplo do produto vetorial dos dois vetores diretores das retas dadas: ou seja, v = λ(1, 1, 0). Solu¸c˜ao do Problema 16. e) Temos os seguintes vetores no plano: AB = B − A = (1, 0, −2) e AC = C − A = (2, 1, −2) e faremos o produto vetorial: Assim, o plano ter´a uma equa¸c˜ao: π : 2(x − 2) − 2(y − 1) + (z − 5) = 0 ↔ 2x − 2y + z = 7. 2 Solu¸c˜ao do Problema 16. i) Basta tomarmos o vetor normal ao plano como o produto vetorial de um dos vetores diretores e o outro AB, onde A ´e um ponto de r e B um ponto de s: A = (0, −1, −3) e B = (−1, 2, 0), logo AB = B − A = (−1, 3, 3) e v = (2, 1, 1), donde: Logo, a equa¸c˜ao do plano ´e: π : 0x + 7(y + 1) − 7(z + 3) = 0 ⇔ 7y − 7z = 14 ⇔ y − z = 2. Solu¸c˜ao do Problema 17. Basta tomarmos como vetor diretor o produto vetorial dos vetores normais aos planos dados: Fazendo x = 0, temos z = 5, y = − 13 2 , logo a equa¸c˜ao ´e: r :            x = 3t y = − 13 2 − 2t z = 5 + 7t Solu¸c˜ao do Problema 19. Temos o vetor AB = B − A = (2, −1, 0) e o vetor v = (2, 1, −1) no plano desejado, logo basta tomarmos seu produto vetorial para ser o vetor normal ao plano: Solu¸c˜ao do Problema 24. A reta desejada tem o vetor diretor dado pelo produto vetorial dos 3 vetores normais aos planos dados: ij k 3 1 fs 2 lis 2 3 |e 28 =f Aaa felt Ale 1 -1 1 (8) - (1) — (1) - (-1))i- (2) (1) — (1) - 5 + (2) - (1) — (8) - 1) k= 4i —j —5k e contém o ponto P = (1,0,1), logo tem equacao: r= 1+4¢ Tr: y = —t z= 1-5t Solugao do Problema 26. Fazendo o produto vetorial, obtemos o vetor normal: i j k 2 -3 |+ 1 -3 {+ 1 2 |e PE Sia aii tle ale -1 4 2 A 2 -1 2-1 4 ((2) - (4) — (8) - (-1)) ¥- ((a)- (4) - (3) - (2)) 3+ (1) -(-1) — (2) - (2))k = 51 — 10j — 5k que podemos reduzir a n = (1, —2,—1). Entao a equagao sera: mw: (a@—2)-22(y-1)-z=0S24-2y—-z=0. Solugao do Problema 30. Primeiro encontramos a direcao da primeira reta: (3,2,5) x (1,4,3) = (—14, —4, 10) logo tem direcao u = (—7, —2,5). Fazendo agora o produto vetorial desse vetor com o vetor da outra reta, temos: (3, 3,3) x (—7, —2,5) = (21, —36, 15) que tem diregéo n = (7, —12,5). Tomando o ponto da primeira reta P = (0, —4, —8), temos a equacao do plano desejado: 1 8 m: Tx — Ay +7) +5(z2—-7)=0 4 Solu¸c˜ao do Problema 31. Faremos o produto vetorial da dire¸c˜ao da reta dada u = (4, −5, 1) com o vetor normal ao 3o plano: (4, −5, 1) × (1, −2, 1) = (−3, −3, −3), logo o vetor normal ao plano desejado ´e n = (1, 1, 1). Tomando o ponto P = (0, −1, 0) da reta dada, temos: π : (x − 0) + (y + 1) + (z − 0) = 0 ⇔ x + y + z = −1. Solu¸c˜ao do Problema 35. O primeiro plano tem vetor normal i = (1, 0, 0) e o segundo tem vetor normal v = (−1, 1, 0). Logo o ˆangulo entre eles ´e: cos (θ) = −1 √ 2 = − √ 2 2 ⇒ θ = 3π 4 . Solu¸c˜ao do Problema 37. d) O ˆangulo buscado ´e θ = 5π 6 pelo mesmo argumento do problema 35. 5