Lista 2 - 2023-2

Lista 2 Geometria Analítica 1. * Mostre que os vetores ⃗a, ⃗b, ⃗c, com ⃗a = ⃗u − 2⃗v + ⃗w; ⃗b = 2⃗u + ⃗v + 3⃗w; ⃗c = ⃗u + 8⃗v + 3⃗w são L.D. 2. Prove que se (⃗u,⃗v) é L.I., então (⃗u + ⃗v, ⃗u − ⃗v) também é L.I. 3. * Prove que se (⃗u,⃗v, ⃗w) é L.I., então (⃗u + ⃗v, ⃗u + ⃗w,⃗v + ⃗w) também é L.I. 4. Prove que se (⃗u,⃗v, ⃗w) é L.I., então (⃗u + ⃗v + ⃗w, ⃗u − ⃗v, 3⃗v) também é L.I. 5. * Determine a e b, sabendo que (⃗u,⃗v) é L.I. e que (a − 1)⃗u + b⃗v = b⃗u − (a + b)⃗v. 6. Sendo ⃗u = (1, −1, 3)E, ⃗v = (2, 1, 3)E, ⃗w = (−1, −1, 4)E, determine a tripla de coordenadas de: (a) ⃗u + ⃗v (b) ⃗u − 2⃗v (c) ⃗u + 2⃗v − 3⃗w 7. Verifique se ⃗u e ⃗v são L.I. ou L.D. (a) ⃗u = (0, 11, 1)E, ⃗v = (0, −22, −2)E. (b) * ⃗u = (0, 1, 1)E, ⃗v = (0, 3, 1)E. 8. * Determine m e n tais que ⃗u e ⃗v sejam L.D., sendo ⃗u = (1, m, n + 1)E e ⃗v = (m, n, 10)E. 9. Verifique se ⃗u, ⃗v e ⃗w são L.I. ou L.D. (a) ⃗u = (1, 2, 1)E, ⃗v = (1, −1, −7)E, ⃗w = (4, 5, −4)E. (b) * ⃗u = (7, 6, 1)E, ⃗v = (2, 0, 1)E, ⃗w = (1, −2, 1)E. 10. Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam L.D. (a) ⃗u = (1 − m2, 1 − m, 0)E, ⃗v = (m, m, m)E. (b) * ⃗u = (m, 1, m + 1)E, ⃗v = (1, 2, m)E, ⃗w = (1, 1, 1)E. 11. Sendo E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) base e que ⃗f1 = ⃗e1 + ⃗e2 + ⃗e3, ⃗f2 = ⃗e1 + ⃗e2, ⃗f3 = ⃗e3 Mostre que (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) é base. 12. * Sejam E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) uma base e que ⃗u = ⃗e1 + ⃗e2, ⃗v = ⃗e1 + ⃗e2 + ⃗e3, ⃗w = a⃗e1 + b⃗e2 + c⃗e3 Deduza ama condição sobre a, b e c para que (⃗u,⃗v, ⃗w) seja base. 1 13. * Sejam E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) uma base e que ⃗f1 = 2⃗e1 − ⃗e2 + ⃗e3, ⃗f2 = ⃗e2 − ⃗e3, ⃗f3 = 3⃗e3 (a) Mostre que F = (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) é base. (b) Calcule m para que (0, m, 1)E e (0, 1, −1)F sejam L.D. 14. Determine a, b e c, sabendo que (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F e que a matriz de mudança da base F para a base E é MFE =   −1 0 a 2 1 b 1 0 c   15. Exprima ⃗f1, ⃗f2 e ⃗f3 como combinação linear de ⃗e1, ⃗e2, ⃗e3, sabendo que a matriz de mudança de base E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) para a base F = (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) é MEF =   1 0 1 0 1 0 1 0 −1   16. * (a) Escreva a matriz de mudança da base E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) para base F = (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) sabendo que ⃗f1 = (−3, 1, 1)E, ⃗f2 = (1, −2, 1)E, ⃗f3 = (1, 2, 0)E. (b) Quais são as coordenadas do vetor ⃗u = (−4, 1, −1)F na base E. 17. (a) Escreva a matriz de mudança da base E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3) para base F = (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) sabendo que ⃗f1 = ⃗e3 − ⃗e1, ⃗f2 = 3⃗e1, ⃗f3 = 3⃗e2 − 4⃗e1. (b) Quais são as coordenadas do vetor ⃗u = (−3, −1, 1)F na base E. 18. * Sejam E = (⃗e1,⃗e2,⃗e3), F = (⃗f1, ⃗f2, ⃗f3) e G = (⃗g1,⃗g2,⃗g3) bases tais que 2⃗e1 = √ 3⃗f1 − ⃗f3 ⃗g1 = ⃗e1 + ⃗e2 + ⃗e3 2⃗e2 = ⃗f1 + √ 3⃗f3 ⃗g2 = ⃗e1 + ⃗e2 ⃗e3 = ⃗f2 ⃗g3 = ⃗e1 Obtenha as matrizes de mudança: MFE, MEG, MFG. 2 5. * Determine a e b, sabendo que (\vec{u},\vec{v}) é L.I. e que (a-1)\vec{u} + b\vec{v} = b\vec{u} - (a+b)\vec{v}. Com efeito, temos que: (a-1)\vec{u} + b\vec{v} = b\vec{u} - (a+b)\vec{v} (a-1-b)\vec{u} = -(a+2b)\vec{v}. Ou seja: (b+1-a)\vec{u} = (a+2b)\vec{v}. Logo, \vec{u} e \vec{v} são L.D. (Observe que se a+2b=0 então \vec{u} = 0; \vec{u} e \vec{v} serão L.D ainda. Por outro lado a igualdade acima só não implica que \vec{u} e \vec{v} são L.D se ambos os lados forem nulos ou seja: {(b+1-a)=0 => 3b+1=0, i.e. b=-\frac{1}{3} {a+2b=0 Assim, segue que: a=-2b=\frac{2}{3} \,.:\, a=\frac{2}{3} \,e\, b=-\frac{1}{3}. 7. Verifique se \vec{u} e \vec{v} são L.I. ou L.D. (a) \vec{u}=(0,11,1)E, \vec{v}=(0,-22,-2)E. (b) * \vec{u}=(0,1,1)E, \vec{v}=(0,3,1)E. (b) São L.I, basta ver que não existe \alpha \in \mathbb{R}* tq \vec{u}=\alpha \vec{v} pois a razão dos componentes não nulos não coincide, vide \frac{1}{3}\neq\frac{1}{1}. 9. Verifique se \( \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} \) sao L.I. ou L.D. (a) \( \vec{u} = (1,2,1)E, \vec{v} = (1,-1,-7)E, \vec{w} = (4,5,-4)E \). (b) *\( \vec{u} = (7,6,1)E, \vec{v} = (2,0,1)E, \vec{w} = (1,-2,1)E \). b) Calculando o determinante temos \[ \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 7 & 6 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ =6 - 4 + 14 - 6 \] \[ =10. \] Como \( \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq 0 \) segue que \( \vec{u}, \vec{v} \text{ e } \vec{w} \) sao L.I. 10. Em cada caso, calcule \( m \) para que os vetores sejam L.D. (a) \( \vec{u} = (1 - m^2, 1 - m, 0)E, \vec{v} = (m, m, m)E \). (b) *\( \vec{u} = (m, 1, m + 1)E, \vec{v} = (1, 2, m)E, \vec{w} = (1, 1, 1)E \). b) Basta impor mos que \( \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \equiv 0 \). Com efeito: \[ 0 = \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \] \[ = \begin{vmatrix} m & 1 & m + 1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = 2m + m + m + 1 - 2(m + 1) - m^2 - 1 \] \[ = 4m + 1 - 2m - 2 - m^2 - 1 \] \[ = 2m - m^2 - 2 \] \[ = -(m^2 - 2m + 2) \] Portanto, temos que: \( m^2 - 2m + 2 = 0 \Rightarrow m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \) Logo, os vetores serã o L.D. se e somente se \( m = 1 \pm i \) Como estamos trabalhando sobre o corpo dos reais, segue que não há \( m \) que garanta que os vetores sejam L.D. 12. *Sejam \( E = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) \) uma base e que \( \vec{u} = \vec{e_1} + \vec{e_2}, \vec{v} = \vec{e_1} + \vec{e_3}, \vec{w} = a\vec{e_1} + b\vec{e_2} + c\vec{e_3} \). Deduz a ama condição sobre \( a, b \text{ e } c \) para que \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) seja base. \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) será uma base sse \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) forem L.I.. Logo, queremos que: \( 0 \neq \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) \[ \neq \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} \] \[ \neq c + a - b - c \] \[ \neq a - b \] Portanto, a condição buscada é que \( a - b \neq 0 \) e \( c \) fica como um parâmetro livre. 13. *Sejam \( E = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) \) uma base e que \( \vec{f_1} = 2\vec{e_1} - \vec{e_2} + \vec{e_3}, \vec{f_2} = \vec{e_2} - \vec{e_3}, \vec{f_3} = 3\vec{e_3} \). (a) Mostre que \( F = (\vec{f_1}, \vec{f_2}, \vec{f_3}) \) é base. (b) Calcule \( m \) para que \( (0, m, 1)E \in (0, 1, -1)F \) sejam L.D. (a) Mostraremos que \( F \) é uma base. Com efeito, verificaremos que os \( f_i \) são L.I, \( i = 1, 2, 3. \ \[ \text{det}(f_1, f_2, f_3) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \] Como \( \text{det}(f_1, f_2, f_3) \neq 0 \) segue que os \( f_i \) são L.I e logo formam uma base. (b) Veja que \([0, 1, -1]F = 0f_1 + 1f_2 - 1f_3 \) \( = f_2 - f_3 \) \( = [0, 1, -1]E - (0, 0, 3)E \) \( = (0, 1, -4)E. \) Logo, queremos obter \( m \text{ t.q.} \) \( (0, m, 1)E \in \langle (0, 1, -1)F \rangle = (0, 1, -4)E. \) \( \Rightarrow \frac{m}{1} = \frac{1}{-4} \Rightarrow m = -4 \) Logo, \( m = -4. \) Por fim, M_{FG} (F para G) e' F -> E -> G. Logo: M_{FG} = M_{FE} \cdot M_{EG} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{pmatrix} \therefore M_{FG} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{pmatrix}