Lista 4 - 2023-2

9) VETOR DIRECAO r: L (+1,3,4) I VETOR DIRECAO S = I [l +1, +3,-3] (1,4,-5) 1 (-1,3,5) 7 1 (03,1) VETOR DIRECA 8) PARALELO P=I- U V =i p (2,0,-4) 09 38 pi: (3,3,1) VETOR DIRETO PA 3 -=t3 5 3t-l =-3 t 33t-4t-16 43+22-6 33+5 + t 3 Se temos com todo Este ARRIBA? LO 1ta EN INTERSECAO. 6) VETOR DIRETOR RL L -1,3) CALCULADORUES DESEJADO!! PR I I se L n+ L (2-2), 02 5 L6,-44 59 tio (34429 7 - {1=2, YRISTGN59 (33.34-2 3+35-4+7 ee sò HA ABSURDO siO: 49 se intersecams M +2 1+r L LL 38 A wirers! 5°) RG) TECALULHAR A L 13) 1 -4 LA 3ABLE LOCO no. SIGNIFICADO. A 32 DE = 7T TOU -=(SPANTEE. = 1t, -tinch-) DEINIENTACAECIO’ IS dir. re Banca (pi 1+tan2 da MCA E T— BASNG) I AMEN L(AEN ET. 191 PLANOr a 2 FA2,22 Jébrica CE? 14 40 OFk Xiao t root I “IOSEOLOOSO TRADLE (AIGO, SETA CONTROLA) YZ CETE-2 i20 LOCO. ESTA CONTROVALATEDR CAVMENTY 0, A 1-0-77104 CONOC. 15) PA L LLIADW CA ORIGEM Y oHR tes piini JAK 1-0-H CHNME CITAR PARA PIATRIA maes relgal MTR. 2) ) MATOU CC > ill Mat ANU SE IBRO. 10 PARALELO AYL.UF CA JAN, TULES HT 2) REVERESO“, mt= |. 24x^3 + 4y = [x^4] - 4 * Joness = [x^2] - f(x) = x2, -4 + g(y)2 cos 60 = 12 cos -2 * (log - 360) Os vectores percetos tem que ser paralelos cos paradoxo linear a * b = 1/4 = m-n = 2 [ X] 25x - 3 = 30y2, y2 = (95x) - cos2 + dx150x - c150 _Vertice_ = (250, 1) - (-30) _Foco_ = (150), (-150, f153) - [(1, 4y)] - fx4x4 ] - [(Hotel, 6x4 = 4,4) d- = 1.40/0.8 G-1/0.3 - (4.3) radian =a/b=3, (e-4) ve = N p. RV1) [ST] Lista 4 Geometria Analítica 1. Encontre a distância entre o plano π : 2x + 2y − z = 6 e o ponto P = (2, 2, −4). 2. * Dados os planos π1 : ax + 4y + 4z + d = 0 e π2 : 6x + 8y + cz − 2 = 0, determine as constantes a, c e d tais que dist(π1, π2) = √ 41. 3. Considere os planos π1 : x − 2y − 2z − 2 = 0 e π2 : 3x + y − 3z − 16 = 0. (a) * Qual a posição relativa entre π1 e π2? Determine a interseção, se houver. (b) Seja r a reta perpendicular ao plano π1 e que passa pelo ponto P = (0, −5, −5). Sendo A = r ∩ π1 e B = r ∩ π2, dtermine a distância entre A e B. 4. A interseção das retas r1 :    x = 3 + t y = −1 + 3t z = 2 − 2t , t ∈ R e r2 :    x = −1 − 3s y = −2 − 4s z = 5 + 5s , s ∈ R, é um ponto P. Determine a distância de P ao plano π : x + y + z − 2 = 0. 5. Dados o ponto A = (3, 4, −2) e a reta r :      x = 1 + t y = 2 − t z = 4 + 2t , (a) Determinar as equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r. (b) * Calcular a distância de A a r. 6. Verifique a posição relativa do seguinte par de retas (isto é, verifique se são paralelas, con- correntes ou reversas): (a)    x = 2 − t y = 3 + 2t z = 1 + t ,    x = 5 − 2s y = 2 + 4s z = 1 + 2s (b) *    x = 1 − 2t y = −1 − t z = 3 + 3t ,    x = 3 + 4s y = −4 + 2s z = 1 + s (c) r : (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(1, −2, 3), s : (x, y, z) = (−1, 3, 2) + s(4, −1, 2) (d) r : (x, y, z) = (2, 1, −1) + t(3, 2, −1), s :    x = −1 + 2s y = 3s z = 4 + 5s 1 7. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: (a) r1: { y = 2x - 3 z = -x + 5 r2: { y = 3x + 7 z = x + 1 (b) r1: { x = 2 - t y = 3 - 5t z = 6 - 6t e r2: { x = -3 + 6h y = 1 + 7h z = -1 + 13h (c) r1: { x = 2 + t y = 4 - t z = -t e r2: { y = 6 - x z = 2 - x (d) r1: (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(1, -2, 3) e r2: (x, y, z) = (-1, 2, 5) + t(4, 3, -2) (e) r1: { y = 2x - 3 z = -x - 10 e r2: { y = 3x + 7 z = x + 1 (f) * r1: x - 2 / 3 = y + 1 / -3 = z - 2 / 4 e r2: { x = -1 + t y = 4 - t z = -8 + 3t 8. Considere as retas r e s de respectivas equações r: x - 2 / 2 = y = z + 1, s: x = y + 1 = z - 2 (a) Verifique se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas. (b) * Calcule o ângulo e a distância entre as retas r e s. 9. Dados o ponto P = (5, 2, 3) e o plano π: 2x + y + z - 3 = 0, determinar: (a) A equação paramétrica da reta que passar por P e é perpendicular a π; (b) A distância de P ao plano π. 10. * Considere os planos π1 : x - y + z - 3 = 0 e π2 : 2m^2x - (m + 1)y + 2z = 0. Determine m para que os planos π1 e π2 possam ser paralelos, concorrentes, e concorrentes ortogonais (Um m para cada caso, se for possível). 11. Considere a reta s : { x = 1 + t y = 2 + 2t , t ∈ R z = 3 + t (a) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1). (b) Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes. (c) Calcule a distância entre as retas r e s. 12. Considre as retas r1 e r2 dadas por r1 :    x = 0 y = 2 + t z = 1 + t , t ∈ R ; r2 : x − 2 = z + 1 e y = 3. (a) Mostre que r1 e r2 são reversas. (b) Encontre a distância entre as retas r1 e r2. 13. Encontre a distância perpendicular entre os planos(paralelos): 4x − 8y − z = 9 e 2x − 4y − z 2 = 5. 14. Verifique que a reta x − 1 = z − 2y = 3 é paralela ao plano x + 2y − z = 3 e encontre a distância perpendicular entre eles. 15. * Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta r que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π. 16. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta x − 2 = y − 3 2 = z − 4 3 . (a) Encontre as equações da reta perpendicular às retas r1 e r2. (b) Calcule a distância entre r1 e r2. 17. Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B. 18. (a) Verifique que a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 1)+t(1, −1, 0) é paralela ao plano π : x+y+z = 0. (b) Calcule a distância de r a π. 19. (a) Determine as equações da reta r que é a interseção dos planos π1 : x − 2y + 2z = 0 e π2 : 3x − 5y + 7z = 0. (b) * Qual a posição relativa da reta r e do plao y + z = 0. 20. Sejam as retas r1 :    x = 1 + 2t y = t z = 2 + 3t , t ∈ R e r2 :    x = t y = 1 + mt z = −1 + 2mt , s ∈ R duas retas. (a) Determine m para que as retas não sejam reversas. (b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r1 e r2. 21. * Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(2, m, 1) e o plano π : 2x − y − 2z = 0, Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. 3 22. Escreva as equações das seguintes elipses: (a) Os focos são F1 = (−1, 2) e F2 = (3, 2) e satisfaz dist(P, F1) + dist(P, F2) = 6. (b) Os focos são F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz dist(P, F1) + dist(P, F2) = 4. 23. Escreva as equações das seguintes hipérboles: (a) Os focos são F1 = (3, −1) e F2 = (3, 4) e satisfaz dist(P, F1) − dist(P, F2) = 3. (b) Os focos são F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz dist(P, F1) − dist(P, F2) = 2. 24. Escreva as equações das seguintes parábolas: (a) O foco é F = (0, 2) e reta diretriz y = −2. (b) O foco é F = (0, 0) e reta diretriz x + y = 2. (c) * O foco é F = (1, 1) e reta diretriz y = −x − 2. 25. Encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e a excentricidade da cônica descrita. Esboce também o gráfico. (a) 4x2 + 9y = 144 (b)* 49x2 − 9y2 = 441 (c) 3x2 − 14y = 0 (d) 9x2 − y2 = −36 (e) 4x2 + 2y2 = 1 (f) x2 − 9y2 = 9 26. Determinar a equação reduzida das seguintes cônicas: (a) Elipse com vértices A1 = (5, 0), A2 = (−5, 0), B1 = (0, 2), B2 = (0, −2). (b) Hipérbole com assíntotas y = ±x e um ponto da hipérbole P = (2, 7). (c) Elipse com vértices A1 = (10, 0), A2 = (−10, 0), B1 = (0, 6), B2 = (0, −6). (d) Hipérbole com assíntotas y = ±2x e um ponto da hipérbole P = (5, 6). (e) Hipérbole com assíntotas 3y = ±2x e vértices (±10, 0). (f) Parábola com vértices na origem e foco F = (3, 0). (g) * Hipérbole com vértices (0, ±3) e excentricidade e = 5 3. 27. Transformar a equação em coordenadas cartesianas (retangulares) em uma equação em co- ordenadas polares: (a) x2 + y2 = 4 (b) x2 − y2 = 4 (c) x2 + y2 − 2y = 0 (d) x2 − 4y − 4 = 0 (d)* (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) (e) 2xy = 25 (f) x3 + y3 − 6xy = 0 (g) x2 − y2 = 16 28. Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas cartesianas: 4 (a) r = 2 1 − 3 cos θ (b) r = 4 sen θ (c) r2 = cos θ (d) r = 3 2 + sen θ (d) r = tan θ (e)* r = 6 2 − 3 sen θ (f) r = 5 2 − 2 cos θ (g) r2 = 2 sen 2θ 29. Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas cartesianas para polares: (a) (7, 7)) (b) (1, − √ 3) (c) (−3, −3 √ 3) (d) (0, −2) 30. Para cada um dos pontos abaixo faça a mudança de coordenadas de polares para cartesianas: (a) (3, π 4 ) (b) (6, 2π 3 ) (c) (−2, π 6 ) (d) (−2, −16π 3 ) 5