Lista 5 - 2023-2

Lista 5 Geometria Analítica 1. Identifique a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada. Determinando sua excentri- cidade, sua equação cartesiana, a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas cartesianas do(s) foco(s) e do(s) vértice(s): (a) r = 5 2 − 2 cos θ (b) * r = 3 2 + 4 cos θ (c) r = 4 2 − 3 cos θ (d) r = 6 3 + sen θ 2. Determine o raio e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada: (a) r = 4 cos θ (b) r = −3 sen θ (c) r = 3 2 cos θ (d) * r = −4 3 sen θ 3. Classifique as superfícies como elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico. (a) x2 36 − y2 25 + z = 0 (b) x2 36 + y2 25 − z2 = 1 (c) x2 36 + y2 25 − z2 = 0 (d) z2 − x2 36 − y2 25 = 1 (e) * x2 36 + y2 25 + z2 = 1 (f) x2 36 + y2 25 − z = 0 4. Identifique a quádrica definida pela equação reduzida e esboce seu gráfico. (a) 6x2 + 3y2 − z2 = −2 (b) x2 10 + y2 9 + z2 5 = 1 (c) x2 6 + y2 5 + z2 3 = 1 (d) −x2 + y2 + z2 = 0 (e) * 3x2 + y2 − 2z2 = 1 (f) z = 4x2 + 4y2 (g) x2 + y2 − z2 = 0 5. Dadas as seguintes superfícies (a) 4x2 + y2 + z2 = 9 (b) * 4x2 + z2 − y2 = 9 (c) 4x2 + y2 − z = 0 identifique a cônica obtida ao fixar: 1 (i) x = 0 (ii) y = 0 (iii) z = 1 6. Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos P = (x, y, z) que estão equidistantes do ponto (0, 0, 1) e do plano z = −1. Identifique a superfície. 7. Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos P = (x, y, z) tais que a soma das distâncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) é igual a 6. Identifique a superfície. 8. * Determine uma equação da superfície consistindo em todos os pontos P = (x, y, z) que equidistam do plano x = 2 e do ponto −2, 0, 0. Identifique a superfície. 9. Dadas a equação da curva diretriz e um vetor V paralelo às retas geratrizes, determine a equação da superfície cilíndrica. (a) y2 = 4x, z = 0 e V = (1, −1, 1) (b) * 4x2 +z2 +4z = 0, y = 0 e V = (4, 1, 0) (c) x2 − y2 = 1, z = 0 e V = (0, 2, −1) (d) x2 + z2 = 1, y = 0 e V = (4, 1, 0) 10. Mostre que a equação representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes. (a) 17x2 + 2y2 + z2 − 8xy − 6xz − 2 = 0 (b) x2 + y2 + 2z2 + 2xz − 2yz = 1 (c) * x2 + y + 5z2 + 2xz + 4yz − 4 = 0 (d) xz + 2yz − 1 = 0 11. Dadas as equações da curva diretriz determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem O = (0, 0, 0). (a) x2 + y2 = 4 e z = 2 (b) xz = 1 e y = 1 (c) y = x2 e z = 2 (d) * x2 − 4z2 = 4 e y = 3 12. Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O = (0, 0, 0) e determine a equação de uma curva diretriz (a) x2 − 2y2 + 4z2 = 0 (b) * 4z3 − x2y = 0 (c) 8y4 − yz3 = 0 (d) xy + xz + yz = 0 2 Geometria Analitica 1.(b) r = \frac{3}{2 + 4 cos(\theta)} r(2 + 4cos(\theta)) = 3 \Rightarrow 2r + 4rcos(\theta) = 3 \Rightarrow 2r - 4x = 3 \Rightarrow 4x = 2r - 3 \Rightarrow 4r = (3 - 4x)^{2} \Rightarrow 4(x^{2} - y^{2}) = 9 - 24x + 16x^{2} \Rightarrow 4x^{2} + 4y^{2} - 16x^{2} + 24x = 9 \Rightarrow 4y^{2} - 12(x - \frac{2x}{2}) = 9 \Rightarrow 4y^{2} - 12(x - 1)^{2} = -3 \Rightarrow 12(x\frac{-1 - y^{2}}{3}) = 3 \Rightarrow (x - 1)^{2} = \frac{y^{2} - 3}{\frac{9}{12}} \Rightarrow (x - 1)^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{4} \cdot Excentricidade e = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2}} = \frac{\sqrt{(\frac{3}{4})^{2} + \frac{3}{4}}}{\frac{1}{4}} = \frac{3\cdot\frac{9}{4}}{4 \cdot 1} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 2\nVertices: A hiperbole e centrada em (\frac{1}{2}) \Rightarrow Vertices \frac{1}{2} Focos \frac{1}{2}, onde c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} L1: x = \frac{3}{4} \Rightarrow L2: x = \frac{5}{4} \Leftarrow x^{2} - y^2 - z^{2} = 4 - 0 \Leftarrow x^{2}(\frac{y}{3} + 2^{2})^{2} \Rightarrow \frac{4x^{2} - y^{2} - 12x}{8} \Rightarrow \frac{x^{2} - y^{2} - 2z^{2} - 12xy}{3} \Rightarrow \frac{1 - \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{2}}^{2}} A equacao descreve uma circunferencia centrada em (0, -\frac{2}{3}) A equacao descreve um hiperboloide de duas folhas 5.(b) 4x^{2} + z^{2} - y^{2} = 9 (i) x = 0 \Rightarrow z^{2} - y^{2} = 9 \Rightarrow \frac{z^{2} - y^{2}}{9} = 1 \Rightarrow hiperbole (ii) y = 0 \Rightarrow 4x^{2} + z^{2} = 9 \Rightarrow \frac{x^{2} + z^{2}}{9} = 1 \Rightarrow elipse (iii) z = 1 \Rightarrow 4x^{2} + 1 - y^{2} = 8 \Rightarrow \frac{4x^{2} - y^{2}}{8} \Rightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{8} \rightarrow Hiperbole 8. Seja o plano x = 2. Temos \Rightarrow dx(0, 1) = \sqrt{(2-x)^{2} + y^{2} + z^{2}} \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} + z^{2}} \Rightarrow (x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{16 + m^{2} + z^{2}} \Rightarrow (x-2)^{2} - y^{2} - z^{2} = 16 9.(b) 4x^{2} + z^{2} + 4z^{2} = 0, \Rightarrow (4, 1, 0) x - x' - 2t \Rightarrow PP' = t \Rightarrow ( x^{2} - 16y^{2} + z^{2} - 8xy + 4z = 0) 10. (c) x^2 + y^2 - 5z^2 + 2xz + 4yz - 4 = 0 P: 5z^2, 2xz + 4yz -x^2 + 2xz + -y^2 - 4yz + 4z^2 - 4 = 0 => x^2 + 2xz + z^2 + y^2 - 4yz + 4z^2 - 4 = 0 => (x+z)^2 + (y+2z)^2 = 4 seja x'= x+z => x' - z = x y'= y+2z => y'-y = 2z Queremos PP . t . N tomando z = z' , obtemos: V = (1,2,0) => PP = (1, 2, 0) + a Υ , x^2 + y^2 = 4 { z' = 0 } 11. (d) x^2 - 4z^2 = 4 y_2 = 3 f(x,z) = x^2 - 4z^2 - 4 = 0 em y_2 = 3! => S: f(3x/x_2, 3z/x_2) = 0 => (3x/x)^2 - 4(3z/x)^2 - 4 . 0 = 0 => x^2 - 36z^2 - 4 = 0 => 3x^2 - 36z^2 - 4y_2^2 => 3x^2 - 4y^2 - 36z^2 = 0 S: 3x^2 - 9y^2 - 36z^2 = 0 12. (b) 4z^2 - x^2 * y_2 = 0 Temos que (0,0,0) é S pois 4 . 0^2 - 0 . 0^2 = 0. Agora vamos determinar Υ = f(x,y,z) = 0 tal que f(kx/kz - ky) = 0 Z / Z Reescrevendo a equações obtemos: 4z^3 = x^2 * yz => 4/z = x^2/y_2 => x^2/z => z^2 / z^2 (x/z)^2 (z^2/4) (y_2/2) - (x/z)(y/z) - 4 = 0 isto é, g( kx/z ky/z ) = ( x/z ) (y/z) (x/z) (y/z) { f = 1 } fx(x,y,z) = x^2 * yz - 4 = 0 => A { z = 1 }