Lista 6 - 2023-2

Lista 6 Geometria Analítica 1. Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado. (a) x2 − 2z2 + 4z = 6 e y = 0 em torno do eixo x. (b) 9x2 + 4y2 = 36 e z = 0 em torno do eixo y. (c) * yz = 1 e x = 0 em torno do eixo z. (d) z = ex e y = 0 em torno do eixo z. 2. Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz. (a) x2 + y2 − z3 = 0 (b) x2 + z2 = 4 (c) * y6 − x2 − z2 = 0 (d) x2y2 + x2z2 = 1 3. Qual(is) das quádricas abaixo representa(m) uma superfície de revolução? Justifique. (a) 3x2 + y2 − 2z2 = 1 (b) * z = 4x2 + 4y2 (c) x2 + y2 − z2 = 0 (d) * 6x2 + 3y2 − z2 = −2 (e) −x2 + y2 + z2 = 0 (f) x2 6 + y2 5 + z2 3 = 1 (g) x2 10 + y2 9 + z2 5 = 1 4. Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada (a) x2 + y2 + 4z2 = 16 (b) x2 − y2 = 9 (c) * x2 − y2 = 3z2 (d) x2 + y2 = z2 5. Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordena- das cilíndricas é dada (a) r = 4 (b) r = 3 cos θ (c) * r2 cos(2θ) = z3 (d) z2 sen θ = r3 1 6. Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada (a) x2 + y2 + z2 = 9z (b) x2 + y2 = z2 (c) x2 + y2 = 9 (d) * x2 + y2 = 2z 7. Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordena- das esféricas é dada (a) ϕ = 4 (b) r = 9 sec ϕ (c) * r = 2 tan θ (d) r = 6 sen ϕ sen θ + 3 cos ϕ 2 Geometria Analítica 1.(c) yz = 1 para x = 0 A curva está contida no plano YZ e é dada pela equação g(y,z) = 0 com g(y,z) = yz - 1. Como a rotação é em torno do eixo OZ, mantemos a variável z e substituímos y por +-\sqrt{x^2+y^2}. Logo f(+-\sqrt{x^2+y^2}, z) = +-\sqrt{x^2+y^2}*z - 1 = 0 <=> \sqrt{x^2+y^2}*z = 1 <=> (x^2+y^2)*z^2 = 1 Solução: (x^2+y^2)*z^2 = 1 2.(c) y^6 - x^2 - z^2 = 0 Vamos fazer o processo reverso da questão 1. y^6 - x^2 - z^2 = 0 <=> y^6 = x^2 + z^2. Tiramos raiz quadrada dos dois lados <=> y^3 = \sqrt{x^2+z^2} <=> y^3 - \sqrt{x^2+z^2} = 0 Assim, tomamos f(y, \sqrt{x^2+z^2}) = y^3 - \sqrt{x^2+z^2} Logo, temos 4 possibilidades - g(x,z) = y^3 +- z, x = 0, eixo de rotação OY. Saia das possibilidades pois usamos i o g(x,y) = y^3 +- x, z = 0, eixo de rotação OY 3.(b) z = 4x^2+4y^2 Temos que z = 4. (x^2+y^2) = 4(\sqrt{x^2+y^2})^2 => \sqrt{z} = 4(x^2+y^2) = 0 Podemos ter - f(x,z) = z - x^2 - y^2 = 0 em torno de OZ o g(y,z) = z - y^2, x = 0 em torno de OZ Portanto z = 4x^2+y^2 é uma superfície de revolução (d) 6x^2 - 3y^2 - z^2 = -2 Esta quártica não é uma superfície de revolução, pois considerando o plano Z = k obtemos uma elipse e não uma circunferência. Similarmente, considerando os planos x = k, y = k com k ≠ z nós obtemos circunferências logo a quártica não é obtida por revolução em torno dos eixos OX, OY e OZ. 4.(c) x^2-y^2=3z^2 Temos em coordenadas cilíndricas: x = r cos(θ) y = r sen(θ) Z = z Logo, x^2 - y^2 = 3z^2 <=> (r cos(θ))^2 - (r sen(θ))^2 = 3z^2 <=> r^2 (cos^2θ - sen^2θ) = 3z^2 <=> r^2 cos(2θ) = 3z^2 Solução: 3z^2 = r^2 cos(2θ) 5.(c) r^2 cos(2θ) = z^3 r^2 cos(2θ) = z^3 <=> (r^2 (cos^2θ - sen^2θ)) = z^3 <=> r^2 cos^2θ - r^2 sen^2θ = z^3 <=> (r cos(θ))^2 - (r sen(θ))^2 = z^3 <=> x^2 - y^2 = z^3 Solução: x^2 - y^2 = z^3 6.(d) x^2+y^2=2z Temos em coordenadas esféricas. x = r cos(θ) sen(φ) y = r sen(θ) sen(φ) Z = r cos(φ) Logo, x^2 + y^2 = 2z <=> (r cos(θ) sen(φ))^2 + (r sen(θ) sen(φ))^2 = 2.r cos(φ) <=> r^2 cos^2(θ) sen^2(φ) + r^2 sen^2(θ) sen^2(φ) = 2r cos(φ) <=> r^2 sen^2(φ) . (cos^2(θ) + sen^2(θ)) = 2r cos(φ) <=> r sen(φ) = 2 r cos(φ) / sen^2(φ) => r = 2 cos(φ) / sen^2(φ) => r = 2 Cotg(φ). Cossec(φ) Solução: r = 2.Cotg(φ) Cossec(φ) 7. (c) r = 2 \tan(θ) r = 2 \tan(θ) <=> r = 2 sen(θ) / cos(θ) <= v r cos(θ) = 2 sen(θ) => r (r cos(θ) sen(θ)) = 2 r sen(θ) sen(θ) <=> x^2+y^2+z^2 - x = 2y <=> (x^2+y^2+z^2) . x^2 = 4y^2 pois em coordenadas esféricas r^2 = x^2+y^2+z^2 Solução: (x^2+y^2+z^2) . x^2 = 4y^2