Calculo e Detalhamento de Tesoura de Madeira 2 Aguas - Exemplo Completo

DEES DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS EEUFMG EXEMPLO COMPLETO DE CALCULO E DETALHAMENTO DE UMA TESOURA DE MADEIRA DE 2 ÁGUAS SIMÉTRICA revisto no dia 240623 Prof Luís Eustáquio Moreira Prezados alunos conforme combinado segue um exemplo de projeto análise e dimensionamento de uma tesoura de 2 águas Não será considerado o efeito de vento devido a se ter uma cobertura relativamente pequena com telhas pesadas Em outros casos de maiores vãos com telhas leves as rajadas de ventos fortes poderiam tanto ter resultante para baixo puxando o telhado para baixo juntamente com as forças de gravidade pesos permanentes e sobrecargas vento que carrega bem como puxando o telhado para cima vento que alivia As ações do vento são tratadas na NBR 6123 Um cálculo mais completo em casos de maiores vãos e telhas mais leves deveria levar em conta o efeito do vento sobrepondose às demais cargas Nesse caso teríamos 2 ações variáveis sobrecarga e vento o que nos obrigaria a comparálas no somatório de ponderação das ações majoração em que uma das ações variáveis deve ser além de majorada de 14 também reduzida do coeficiente 0 EXEMPLO Resolver a tesoura da figura dados b 6m telhas francesas 50 2 seca absorção de 20 0 madeira classe C50 1 3 bitolas dos banzos e pendural 6cmx20cm bitola das diagonais e montantes 6cm x 14 cm O problema consiste em a Traçar o treliçamento b Montar o carregamento c Calcular as forças nas barras d Dimensionar as ligações entalhadas e parafusadas SOLUÇÃO a Para telhas Francesas dtr 14 m tan cos 8 Número de divisões 4 4 Para 7 8 Para 7 Vou optar por Embora a telha seja pesada em contrapartida temse DTr 3m contra DTr 5m para telha metálica por exemplo e a madeira C50 é de alta resistência Ficou assim o treliçamento Lembrete os montantes verticais são duplos D e as demais barras são simples S ou seja uma única barra O pendural montante central é também simples uma única barra de 6 x 20 b Montagem do carregamento b1 peso nodal da tesoura Se a densidade é o peso dividido pelo volume então o peso total é igual à densidade x o volume ou matematicamente Peso total da tesoura 4 4 4 4 Técnica práticca para transformar o peso total da tesoura em cargas nodais nos nós superiores Essa técnica prática consiste em se aplicar metade das cargas nos nós de extremidade não importa quantos nós internos tenha É claro que o peso da estrutura vai aumentando à medida que se aproxima do centro mas ele atua em todos os pontos das barras e não na parte superior como estamos fazendo Daí não deixa de ser válida a simplificação Fazemos então 4 4 4 4 4 4 Então fica assim o peso da estrutura nos nós superiores Para o madeiramento completo engradamento faltam ainda os pesos de terças caibros e ripas que deixarei para o final Para levar em conta ligações metálicas considerase 10 do peso total da tesoura ou o que é o mesmo multiplicar a carga nodal por 11 b2 Peso nodal das telhas Áreas de influencia AiI nós internos DTxdt 3x169 507 m2 AiE nós extremos DTxdt2beiral 3x169205 404 m2 Então o peso de telhas que vai para cada nó Extremos e Internos será 44 44 4 Se fosse telha metálica ficaria 110 desse valor Mas as telhas cerâmicas ainda são as melhores em termos de conforto termoacústico E são normalmente muito resistentes mecanicamente também e duráveis O segredo é ter o catálogo do fabricante com os dados da telha como documento Vc seguirá as instruções do catálogo para seus projetos b3Peso nodal de Sobrecarga A sobrecarga de telhado é normalmente tomada como 25 2 Essa sobrecarga previne lâminas dágua folhas poeira ou pó industrial sobre o telhado que deve sempre ter uma manutenção anual desses resíduos e desentupimento de calhas por exemplo Temse então 44 ó 8 ó b4 Peso nodal de terça Observe que sobre cada nó temos um comprimento de terça igual a DT dentro da área de influência Então o peso de cada seguimento de terça dentro da área de influência para terças de 6x20 cm2 boa medida de terças é 4 b5 Peso nodal de caibros e ripas Para caibros e ripas podemos usar os valores médios Caibros 2 Ripas 2 Então 44 44 8 Podemos agora calcular a carga de cálculo para cada nó ponderando as ações ou seja Nós internos esse código pode ser lido assim carga nodal nó interno de cálculo 4 3042telha1268sobrecarga342 terça2537caibro101ripa 7833 kgf um bocado né ç ó á 8 4 4 8 Nós extremos 4 8 44 4 8 6095 kgf Olha só a carga que foi sobre a pobre tesoura tadinha Aí estão as cargas de cálculo na tesoura Podemos antecipar que a parte de cima banzo superior da viga ficará comprimida para o sentido do carregamento indicado e a parte de baixo banzo inferior ficará tracionada mas do equilíbrio de forças nó a nó numa treliça isostática como esta podemos também chegar a essas conclusões intuitivas Uma treliça plana carregada assim é também uma viga uma viga treliçada em particular uma tesoura Assim fica o campo de forças transitando pela treliça figura abaixo veja o nó como uma entidade à parte que recebe as forças das barras e reage a elas num par açãoreação até os apoios Dos pontos de aplicação aos apoios e dos pontos de apoio até os pontos de aplicação num sistema estático autoequilibrado Podese viajar no campo em qualquer sentido Figura diagramas de corpo livre das barras e nós c Determinação das Forças nas Barras Por trigonometria podese determinar todos os ângulos entre as barras Para esse ângulo de 270 resultaram esses ângulos Eles são necessários para fazermos a decomposição de forças e obtermos as forças nas barras Essa estrutura é isostática ou seja as forças nas barras podem ser determinadas utilizandose apenas as equações de equilíbrio de forças Se caminharmos equilibrando nó a nó teremos sempre 2 incógnitas por nó e duas equações de equilíbriosomatório de forças verticais iguais a zero e somatório de forças horizontais iguais a zero Temos então devido à simetria da estrutura e carregamentos em relação ao eixo vertical Y 8 8 88 Equilibrando agora nó a nó Nó 1 88 sin 8 sin 4 O sinal negativo significa que o sentido adotado na figura para a força no banzo superior está ao contrário Ou seja o sentido correto é a seta entrando no nó que significa que a a barra está comprimida na verdade e ao entrar com a setinha saindo do nó eu indiquei previamente como se ela tivesse tracionada Não tem problema algum pois o equilíbrio me mostrou qual o sentido correto da seta Novamente nos guiando pelo sentido das setas adotadas na figura cos cos 4 8 Como o sinal da força no banzo inferior deu positivo significa que o sentido da seta com a qual fizemos o equilíbrio está correto ou seja o banzo inferior está realmente tracionado Quando a seta sai do nó significa que a barra que se liga ao nó está tracionada Esse trecho do banzo superior mais carregado irá resistir facilmente ao comprimento de 169 m sem flambagem estou adiantando para vocês por experiência Talvez poderia usar 6 x 14 cm2 é o caso de se verificar Normalmente a altura de 20 cm ajuda na hora de fazer ligações parafusadas principalmente quando há inversão de esforços nas barras pelo vento que alivia Nó 2 Vejam que entrei com o sentido de entrando no nó ou seja significando que esse trecho da barra está realmente comprimido Eu antecipei o sentido correto da seta também para o segundo trecho do banzo superior pois sabemos que o banzo superior comprime Já a diagonal central conhecida como escora sabemos que fica também comprimida mas fingi que não sei e indiquei Fe como se a barra estivesse tracionada Aí tem de aparecer um sinal negativo ao resolver Vamos lá olhando o sentido das setas adotado na figura acima cos cos cos Nesse somatório específico fica evidente que podemos cortar o cos pois as 3 parcelas estão multiplicadas por esse valor e igualadas a zero Então fica assim 2641 0 Veja que entrei com o valor positivo de na equação acima exatamente porque eu já coloquei a seta no sentido correto ao fazer o equilíbrio do nó 2 Mudando os termos acima de posição fica 4 Agora sen sen sen 8 Então ficou assim após colocarmos os termos na mesma posição da Eq 1 4 44 8 sen Temos então um sistema de 2 equações e 2 incógnitas 4 Somando na vertical termo a termo das duas equações procedimento válido temos 4 Observe que o sinal positivo do resultado acima lhe diz que o sentido adotado na seta da figura como se a barra estivesse comprimida já que a força está entrando no nó está correto Diz para você olha o sentido adotado é esse mesmo E a gente sabe que quando a seta entra no nó a barra que a ele se une está comprimida E quando a seta sai do nó a barra a ele que a ele se une está tracionada Ação e reação Substituindose agora a força em qualquer uma das equações do sistema obtémse a força na escora Escolhendo a Eq1 4 4 8 Novamente deu sinal negativo porque eu adotei a barra como se tivesse tracionada sentido da seta saindo do nó mas a barra estava comprimida com a força de 862 kgf Indo agora ao nó 3 Se a soma dos ângulos internos de um triangulo é 1800 verifique que 8 0 Do equilíbrio do nó cos 8 84 ç çã ç ç d1 Dimensionamento da ligação 1 entalhada De olho no detalhe da figura abaixo Pelo banzo superior desce a força Fcd O equilíbrio se completa com a força de tração Ftd e com a reação de apoio Va Temos 2 incógnitas a determinar a profundidade e do dente e a folga f da ponta do dente até a extremidade Cálculo da profundidade do dente A NBR 7190 exige que a profundidade do dente tenha limites 8 4 É o seguinte a força de compressão que desce pelo banzo superior que no caso vale 2641 kgf veja no equilíbrio do nó 1 tem como reações as forças na superfície verde e vermelha do banzo inferior conforme figura acima Por simplificação e a favor da segurança nós consideramos que toda a força irá para a ponta e descarregará na área vermelha Que área vermelha é essa A melhor forma de fazer o entalhe é na direção do ângulo onde 8 confira na figura A área vermelha fica deslocada da vertical de um ângulo igual a á A ideia é que a área vermelha seja tal que a força de compressão não esmague as fibras do banzo inferior já que a força entra inclinada às fibras de um ângulo Quanto maior o ângulo menos resistente fica a madeiraEquação de Hankinsson Então a desigualdade de segurança é cos cos ℎ cos á ℎ Então a desigualdade de segurança diz que a tensão de compressão atuante na área vermelha deve ser menor ou igual à resistência à compressão inclinada de Isolando e na Eq3 temos a profundidade do dente para a força atuante de compressão cos 4 Vamos então calcular 0 4 90 0 0 15 sin cos Então cos 4 cos 4 4 Que coincidência deu quase que o valor mínimo a ser adotado H820825 cm Vocês são prova de que eu nunca imaginaria tamanha coincidência pois fizemos o problema juntos Eu adianto para vocês o seguinte como esse é o trecho mais carregado da tesoura nenhuma das demais ligações entalhadas precisará de um dente maior que esse ainda que o ângulo entre as barras seja maior que Então com esse dente de 25 cm se resolveria todos os entalhes Lembrar que o ângulo é sempre o menor ângulo entre as barras que se unem por entalhe Voltemos de novo à figura acima A folga deve ser dada para evitar o cisalhamento paralelo às fibras do banzo inferior Veja que a componente horizontal da força de compressão tenderia a cortar um segmento de madeira paralelamente às fibras onde eu indiquei na figura a tensão de cisalhamento Então a desigualdade de segurança seria expressa o seguinte a tensão de cisalhamento atuante na superfície a que poderia ser cisalhada deve ser menor que a tensão resistente da madeira paralela às fibras já que essa solicitação da componente horizontal da força cos é paralela às fibras do banzo inferior cos 0 0 8 8 Isolandose a folga cos 0 4 cos 8 8 É uma boa recomendação construtiva fazer Então a folga mínima seria 20 cm Mas nem precisa uma folga tão pequena As estruturas têm também um aspecto estético e de conforto do usuário Folgas muito pequenas desenhadas em proporção incomodam E não ficam bonitas E ainda O perfeito funcionamento dessa ligação depende do correto posicionamento do apoio Va O eixo do apoio deve coincidir com a intersecção dos eixos que passam pelos centróides dos banzos superior e inferior conforme desenhei acima No desenho acima em escala eu coloquei uns 40 cm de folga percebem Percebam que 20 cm não ficaria muito interessante Daria impressão de calça curta uma usura desnecessária como se tivesse faltando Uns 30 cm ficaria interessante sem desperdício Essa coisa da economia não pode ir contra um certo equilíbrio estético e mesmo conforto de quem usa um espaço Tipo uma coluna muito esbelta pode incomodar Há algum tempo eu vi uma coluna muito esbelta num edifício Fiquei muito incomodado com aquilo Não sentia confiança O objeto arquitetônico tem de inspirar segurança no usuário Já teve situações que eu pensava esse treco vai cair Mas a Nossa Senhora do Concreto Armado deve ter ajudado O problema é que as cargas dos objetos arquitetônicos são muito elevadas Se uma cadeira quebra com uma pessoa tudo bem Pode machucar mas nada tão grave Mas se um simples telhado desabar olhem acima o peso que cairia sobre as pessoas Agora imaginem um edifício Não é brincadeira certo É muito sério Quando há desastres com as construções civis eu fico muito triste e certamente todos os meus colegas engenheiros Esperase de um profissional que ele abrace a causa da profissão com gosto e muita responsabilidade para o seu próprio bem e para o bem de todos O mundo tem de funcionar e deve haver entendimento das necessidades humanas e distribuição de riqueza e oportunidade para todos Mas de minha experiência digo que há espaço para todas as pessoas que confiam em si e procuram estar sempre melhorando É só ir tijolinho por tijolinho que todos chegam d2 Dimensionamento da ligação 2 A ligação 2 tem o detalhamento da figura abaixo Essa ligação consiste da determinação da profundidade do dente e que liga a escora ao banzo superior O entalhe foi realizado na direção vertical paralelo ao montante Observe que 80 0 Solução Da forma como o dente foi executado na posição vertical a superfície de apoio da ponta da escora faz com que o ângulo entre e e essa superfície marcada em vermelho seja exatamente o ângulo Resistência de cálculo dada pela equação de Hankinson já que a força aplicada pela extremidade da escoraveja o procedimento prático em que jogamos toda a força perpendicularmente à área marcada em vermelho irá entrar com essa inclinação em relação às fibras do banzo superior 7 sin cos Roteiro de cálculo A mesma equação usada anteriormente para esmagamento no contato da ponta do banzo superior com o banzo inferior será utilizada agora para a ponta da escora descarregando no entalhe do banzo superior Eq 4 acima cos 8 cos 4 Resposta í Lembrando que e deve ser maior ou igual a 2 cm e H8 tomar o maior valor E sempre menor ou igual a H4 Como nesse exemplo a força no montante é 0 o montante é ligado por 2 parafusos de 10 mm atenção o número mínimo de parafusos para ligar uma barra num sistema plano é igual a 2 e o diâmetro estrutural mínimo de parafusos é 10 mm Ligações parafusadas 1 Suponha agora que essa cobertura era de um pequeno galpão onde alguém resolvesse erguer um peso de Psk 250 kgf exatamente debaixo do montante Perguntase Os 2 parafusos de 10 mm seriam suficientes para suportar essa sobrecarga adicional devido a uma certa imprudência do usuário Obs ao proceder assim o usuário jogou uma sobrecarga adicional em toda a tesoura razão também para se justificar os coeficientes de majoração utilizados nas ações que acabam por suprir essas situações especiais que não foram previstas e também razão para se utilizar uma sobrecarga de cobertura de 25 kgfm2 que ainda são majoradas de 14 Sobrecarga é sobrecarga não importa se está por cima ou por baixo Solução Essa carga Psk irá transferir totalmente para o montante tracionandoo 4 4 Como comentei em sala de aula aconteceu aqui um caso particular com essa barra do montante É que estando ela perpendicular ao banzo inferior ela não teve como carregar o banzo inferior de forma que a ligação dessa barra ao banzo inferior continuaria apenas por razoes construtivas Percebem Essa força foi externa não surgiu na barra como força interna por razão das forças aplicadas nos nós superiores que são também forças externas Não havendo inclinação do banzo inferior para combater essa força por equilíbrio já que ela é perpendicular à essa força nominal de 250 kgf ela traciona a barra e vai descarregar no banzo superior onde há condições de se estabelecer o equilíbrio nodal Uma pequena parte dessa força foi sim absorvida pela rigidez de flexão do banzo inferior aliviando um pouco a força que subiu até o banzo superior Porém podese sim considerar que toda a força subiu para o encontro com o banzo superior Foi um exemplo que sugeri que acabou por ter uma análise mais complexa mas acontece Ficou curioso Na realidade não se precisaria desses parafusos para conectar essa barra ao banzo inferior Espero que tenha ficado clara minha explicação Nesse caso temos de utilizar a equação de Hankinsson para avaliar a resistência local com o banzo superior 90 0 Tabela pag 7 assunto 9 leva em conta o dobramento das fibras pelo corpo do parafuso que solicita as fibras perpendiculares a elas que são cadeias poliméricas super resistentes mergulhadas num tecido mais poroso o parênquima que armazena os nutrientes do tronco enquanto permanece ativo Da figura vêse que os parafusos farão com as fibras do banzo inferior um ângulo 0 Então a resistência local da madeira sobre o pino vale 6 sin cos Vejam que ficou um pouco maior que a resistência a 90 graus como era esperado Escolha do pino Vamos supor montantes de 6 x 14 cm razão que tenha animado o usuário que olhou e pensou há essa estrutura é muito forte Esses montantes poderiam ser adotados por exemplo como tábuas de 3 x 15 cm 3 x 15 45 cm2 embora inferiores a 50 cm2 valor mínimo para barras principais seria aceitável se a carga era nula Roteiro de cálculo Diâmetro utilizado 2 parafusos de 10 mm t menor espessura das peças ligadas 6 cm 60 mm verificação 60 Espessura convencional t menor entre t1 6 cm e t2262 3 cm Ou seja t 30 cm 0 10 Como Então a resistência de uma zona de corte vale 4 Lembrando que a redução por 04 nessa equação devese ao fato da madeira ser heterogênea em termos de resistências locais O que não garante que todos os parafusos absorvam forças iguais ou próximas O coeficiente portanto contornaria essas variabilidades Resistência de um parafuso Então o número de parafusos é ç á ê á 4 Resposta quanto à ligação a ousadia do usuário não deixou a estrutura fora dos parâmetros de segurança da NBR 7190 A estrutura suportou a sobrecarga com os valores mínimos indicados para uma barra de sistema estrutural plano o que também justifica a adoção de valores mínimos para todas as situações imagináveis d3 Dimensionar a emenda do banzo inferior conforme indicada na figura e fazer o layout da ligação Dados a parafusos de diâmetro estrutural mínimo b cobrejuntas tábuas de 20 cm x 25 cm Seguindo o roteiro de cálculo Diâmetro estrutural mínimo 10 mm t menor espessura das peças ligadas 25 cm 25 mm verificação 5 Espessura convencional t menor entre t1 25 cm e t2262 3 cm Ou seja t 25 cm 5 10 Como 4 Então a resistência de uma zona de corte vale 4 4 Resistência de um parafuso 4 Então o número de parafusos é ç á ê á 4 88 TP 6 entrega na próxima semana 1 Dimensionar a ligação entalhada da cumeeira 2 Utilizar cobrejuntas de 3 cm de espessura e recalcular o número de parafusos para a emenda acima com parafusos de 10 mm e refazer o layout da ligação para uma carga de compressão de nominal de 1500 kgf Atenção não muda em nada a abordagem do problema o fato da barra estar tracionada ou comprimida E mais o parafuso é sempre comprimido contra o furo de forma que a resistência da madeira quando se calcula parafusos é a resistência ao embutimento que é uma resistência à compressão e não à tração