Exercícios Resolvidos - Estruturas de Madeira

1) Para a viga bi-apoiada da figura de seção transversal de 6 cm x 20 cm, de paraju ou maçaranduba, calcular o vão máximo admissível para o carregamento dado. Dados: fc0 = fc0,m = 82,9 MPa; ft0 = ft0,m = 139 MPa; fv0 = fv0,m = 14,9 MPa; Ec0 = Ec0,m = 22733 MPa; Revisão de transformação de unidades: 1 MPa= N mm 2=1 MN m 2 1kN=10 3 N=100kgf ; 1 MPa=10 kgf cm 2=0,1 kN cm 2 1kgf =10 N MN=10 6 N=10 5kgf Tem que trazer calculadora!!!! Solução:  Combinações das ações normais: Estadoslimitesúltimos:qd=1,4×40+1,4×120=224 kgf m Estadoslimitesdeutilização:quti=40+120×0,4=88 kgf m  Resistências de cálculo: fc 0d= kmod fc 0k γc =0,56×(0,7×82,9) 1,4 =23,2 MPa ft 0d= kmod ft 0k γt =0,56×(0,7×139) 1,8 =30,27 MPa fv 0d=kmod fv 0k γ v =0,56×(0,54×14 ,9) 1,8 =2,5 MPa Conclusão: como a seção transversal é simétrica em relação ao eixo x , as tensões máximas atuantes em compressão serão iguais às tensões máximas em tração. Como a resistência à compressão é menor, basta verificar as fibras comprimidas.  Verificação das tensões normais M I × H 2 ≤ fcod(1) M=qdl 2 8 =224×l 2 8 =28l 2 I= B H 3 12 =0,06×0,2 3 12 =4×10 −5m 4 Substituindo-se na Eq. (1) tem-se 28l 2 4×10 −5 × 0,20 2 ≤23,2×10 5 kgf m 2 l≤√ 23,2×10 5×4×10 −5×2 28×0,20 =5,76m  Verificação das tensões de cisalhamento 1,5× V BH ≤ fv 0d(2) V =qd×l 2 =224l 2 =112l Substituindo-se na Eq.(2) tem-se 1,5× 112l 0,06×0,20 ≤2,5×10 5 kgf m 2 l≤ 2,5×10 5×0,06×0,20 1,5×112 ∴l≤17,8m Obs: até o momento a tensão normal está sendo limitante do vão!  Verificação da flecha máxima 5qutil 4 384 Eef I ≤ l 200 ¿ (3) *Supondo-se que não haja material frágil fixo à viga que pudesse fissurar pela fluência da madeira. Caso houvesse material frágil, admitiríamos uma flecha máxima de l 350. Eef=kmod Ec 0=0,56×22733=12730 MPa I=4×10 −5m 4 Substituindo-se na Eq. (3) tem-se 5×88×l 4 384×12730×10 5×4×10 −5 ≤ l 200 l≤ 3√ 384×12730×4 200×5×88 ∴l≤6,06m Resposta: o vão l que satisfaz às três desigualdades é o vão de 5,76m ( a tensão normal foi limitante do problema) Verifique que caso houvesse material frágil ligado à viga na Eq. (3) teríamos l≤5,29m E essa teria sido a resposta, ou seja, a flecha seria o fator limitante do problema. Podemos imaginar diferentes problemas envolvendo as 3 desigualdades que permitem o controle da viga. Qualquer das variáveis que compõem essas expressões poderia ser deixada como incógnita com o objetivo de obter o seu valor. O problema se resolveria com a mesma formulação. Montadas as desigualdades, iríamos simplesmente isolar a variável que nos interessasse. Um problema mais simples ainda seria apenas fazer uma verificação do tipo: Suponhamos que para o mesmo problema proposto acima, fosse dado que o vão livre da viga fosse 6,5 metros. O que aconteceria?  Ao montarmos a equação 1, verificaríamos que a tensão atuante, equação à esquerda da desigualdade, daria uma tensão maior que a tensão resistente ❑ ⇒ nãook !  Ao montarmos a equação 2, não haveria problemas, ou seja, a tensão de cisalhamento atuante – equação à esquerda da desigualdade, daria um valor inferior à tensão resistente ao cisalhamento.  Ao montarmos a equação da flecha, da mesma forma, encontraríamos uma flecha elástica superior ao que fixamos como limite!!! Comentário: na realidade, ao encontrarmos uma primeira desigualdade não satisfeita, não precisaríamos fazer as demais, pois a viga em teste não teria passado e deveríamos aumentar a altura da viga.