Equação Diferencial Parcial

Trabalho 2 Equações diferenciais Parciais data de entrega 11092025 Objetivo Modelar numericamente a deflexão de uma membrana quadrada submetida a uma pressão uniforme utilizando o método das diferenças finitas Desenvolver um código em Scilab para resolver o problema e analisar a influência da discretização na precisão dos resultados Problema Considere uma membrana quadrada de 30 cm de lado com um orifício quadrado central de 10 cm de lado A membrana está fixada em suas bordas externas e também na borda do orifício interno conforme ilustrado na Figura 1 Quando submetida a uma pressão uniforme p 35 kPa a membrana sofre uma deflexão na direção z descrita pela seguinte equação diferencial ²wx² ²wy² pT onde 4 Análise e Comparação Apresente os resultados obtidos para diferentes discretizações da malha Discuta a precisão estabilidade e tempo de cálculo em função do refinamento da malha Explique possíveis desvios numéricos e limitações do método 5 Conclusão e recomendações Sintetize os principais achados do estudo Sugira melhorias para o modelo numérico ou propostas de continuidade Produto Final A Artigo Técnico máx 6 páginas Introdução e objetivos Metodologia numérica Principais resultados Conclusões e implicações referências B Código Fonte Clareza Comentários Bom trabalho Reescreva a equação diferencial utilizando o método das diferenças finitas Defina e justifique as condições de contorno para o problema bordas internas e externas fixas Simplifique as equações das diferenças finitas considerando as condições de contorno 3 Implementação Computacional Scilab Desenvolva um código em Scilab que Monte o sistema de equações algébricas lineares Resolva numericamente para wxy Permita variar o número de intervalos da malha 4 Análise e Comparação Apresente os resultados obtidos para diferentes discretizações da malha Discuta a precisão estabilidade e tempo de cálculo em função do refinamento da malha Explique possíveis desvios numéricos e limitações do método 5 Conclusão e recomendações Sintetize os principais achados do estudo Sugira melhorias para o modelo numérico ou propostas de continuidade Produto Final A Artigo Técnico máx 6 páginas Introdução e objetivos Metodologia numérica Principais resultados Conclusões e implicações referências B Código Fonte Clareza ²wx² ²wy² pT onde wxy é a deflexão da membrana na direção z p é a pressåo aplicada T é a Tensåo na membrana T 225 kgcm³ O desafio consiste em determinar numericamente o perfil de deflexão wxy no domínio da membrana utilizando diferenças finitas para aproximar a equação diferencial O problema deve ser resolvido considerando as condições de contorno adequadas bordas fixas e deflexão nula avaliando o comportamento da soluçåo para diferentes tamanho de malha e discutindo o impacto da discretização nos resultados Tarefas 1 Revisåo bibliográfica Conceitos fundamentais sobre membranas e seus materiais Aplicaçåes industriais de membranas separaçåo sensores estruturas mecânicas Importância da modelagem matemática para previśo de desempenho 2 Modelagem Matemática Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Trabalho 2 Equaçöes diferenciais Parciais data de entrega 11092025 Objetivo Modelar numericamente a dispersåo radial de sólidos em um leito fluidizado utilizando um modelo difusivo em coordenadas cilíndricas Implementar um código em Scilab para resolver numericamente a equação governante e comparar os resultados obtidos com a soluçåo analítica disponível Problema O coeficiente de dispersåo radial de sólidos Dsr em um leito fluidizado pode ser avaliado experimentalmente através da injeçåo de partículas traçadoras no centro do leito e monitoramento de sua dispersåo ao longo do tempo Assumindo Mistura axial instantånea Mistura radial por dispersåo a equação diferencial parcial que governa o modelo é Ct Dsr 1rrr Cr onde Crt é a concentraçåo do traçador r é a coordenada radial t é o tempo Dsr é o coeficiente de dispersåo radial dos sólidos As condiçöes de contorno e inicial såo Condiçåo inicial Cr0 100 Simetria no centro da coluna Cr 0t 0 t 0 Borda da coluna Cr Rt 0 t 0 A soluçåo analítica do problema é dada por CC 1 2a i0 J1λi a J0λi rλi J0λi R² expDsr λi² t onde C é a concentraçåo do traçador na condiçåo de estado estacionårio J0 e J1 såo funções de Bessel de primeira espécie ordens 0 e 1 respectivamente Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda λi são as raízes da equação característica J1λiR 0 Dados experimentais Diâmetro da coluna 2R 0 27 cm Diâmetro do tubo de injeção 2a 19 mm Coeciente de dispersão radial Dsr 2 0 104 m2s O objetivo é resolver numericamente a equação de dispersão plotar os pers de concentração no regime transiente e comparar com a solução analítica Tarefas 1 Revisão bibliográca Fundamentos de leitos uidizados e suas aplicações em processos industriais Importância da dispersão radial na hidrodinâmica de leitos uidizados Métodos experimentais para determinação de coecientes de dispersão 2 Modelagem Matemática Discretizar a equação de dispersão radial por um método numérico diferenças nitas explícito implícito ou CrankNicolson Denir e justicar as condições de contorno Identicar as grandezas adimensionais relevantes 3 Implementação Computacional Scilab Desenvolva um código em Scilab que Resolva numericamente a PDE governante Permita variar o número de pontos da malha e o passo temporal Plote os pers de concentração Cr t no regime transiente 4 Simulações Obter os pers de concentração para diferentes tempos Comparar os resultados numéricos com a solução analítica fornecida Discutir possíveis diferenças e limitações numéricas 5 Conclusão e recomendações Avaliar a precisão do método numérico Destacar o papel do coeciente Dsr no processo de mistura Propor melhorias na abordagem de modelagem Produto Final A Artigo Técnico máx 6 páginas 2 Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Introdução e objetivos Metodologia numérica Principais resultados Conclusões e implicações referências B Código Fonte Clareza Comentários Bom trabalho 3