Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais - Método das Diferenças Finitas

Aula 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais Parte I Conteúdo 31 Introdução 41 32 Classificação de equações diferenciais parciais 44 33 Condições iniciais e de contorno 45 34 Solução de equações diferenciais parciais usando diferenças finitas 47 31 Introdução As leis de conservação de massa momento e energia formam a base da área de fenômenos de transporte Essas leis aplicadas ao fluxo de fluídos resultam nas equações da variação equations of change tl as quais descrevem a variação na velocidade temperatura e concentração com respeito ao tempo e a posição no sistema A dinâmica desses sistemas que possuem mais do que uma variável independente são modelados por equações diferenciais parciais Por exemplo o balanço de massa Taxa de acúmulo de massa Taxa de massa entrando Taxa de massa saindo 31 aplicada a um elemento de volume estacionário ΔxΔyΔz através do qual um fluido puro escoa resulta na equação da continuidade ρt x ρvx y ρvy z ρvz 32 onde ρ é a densidade do fluido e vx vy e vz são as componentes da velocidade nas três coordenadas retangulares A aplicação de um balanço de momento Taxa de acúmulo de momento Taxa de momento entrando Taxa de momento saindo Soma das Forças Atuando no Sistema 33 Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda em um elemento de volume ΔxΔyΔz para um escoamento isotérmico de um fluído resulta na equação do movimento para as três direções t ρvj x ρvx vj y ρvy vj z ρvz vj x τxj y τyj z τzj pj ρgj j x y ou z 34 onde τij são os componentes do tensor de cisalhamento p é a pressão e gj são os componentes da aceleração gravitacional A aplicação do seguinte balanço de energia Taxa de acúmulo de energia Taxa de entrada de energia por convecção Taxa de saída de energia por convecção Taxa líquida de calor adicionado por condução Taxa líquida de trabalho feito pelo sistema nas cercanias 35 no elemento de volume ΔxΔyΔz para um escoamento nãoisotérmico de um fluido resulta na equação da energia Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda ρCv Tt vx Tx vy Ty vz Tz qxx qyy qzz T pTρ vxx vyy vzz τxy vxy vyx τxz vxz vzx τyz vyz vzy 36 onde T é a temperatura Cv é a capacidade calorífica a volume constante e qi são os componentes do fluxo de energia dado pela Lei de Fourier da condução de calor qi k Ti i x y ou z 37 onde k é a condutividade térmica Para a condução de calor em sólidos onde os termos de velocidade são zero a equação da energia é consideravelmente simplificada Quando combinada com a lei de Fourier fornece então a bem conhecida equação para condução de calor dinâmica tridimensional ρCp Tt k 2 Tx2 2 Ty2 2 Tz2 38 onde Cp a capacidade calorífica a pressão constante substitui Cv e k foi assumido constante em todo o sólido A equação da continuidade para o componente A em uma mistura binária componentes A e B de densidade constante ρ e coeficiente de difusão DAB é cAt vx cAx vy cAy vz cAz DAB 2 cAx2 2 cAy2 2 cAz2 RA 39 Essa equação se reduz à segunda lei da difusão de Fick quando RA 0 e vx vy vz 0 cAt DAB 2 cAx2 2 cAy2 2 cAz2 310 A equação acima é a equação da difusão dinâmica em três dimensões a qual tem a mesma forma da respectiva equação da condução Os tipos de equação diferencial parcial mais comumente encontrados em engenharia química são de primeira e segunda ordem A discussão aqui será direcionada a essas duas categorias No conteúdo que se seguirá essas equações e suas condições de contorno serão classificadas dando as primeiras direções para o desenvolvimento de métodos numéricos utilizando diferenças finitas e análise por elementos finitos para a solução numérica de equações diferenciais parciais de primeira e segunda ordem Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda o fluxo de calor na interface sólidofluido pode ser relacionado com a diferença entre a temperatura na interface e aquela no fluido isso é onde h é o coeficiente de transferência de calor do fluído Baseandose em suas condições iniciais ou de contorno as equações diferenciais podem ainda ser classificadas em problemas de valor iniciais ou valores de contorno No primeiro caso pelo menos uma das variáveis independentes possui uma região aberta No problema de condução de calor dinâmico a variável tempo possui o intervalo 0 t onde nenhuma condição foi especificada em t assim podese dizer que é um problema de valor inicial Quando a região é fechada para todas as variáveis independentes e condições são especificadas em todas as fronteiras então o problema é do tipo valor de contorno Um exemplo desse é o problema envolvendo a condução de calor no estado estacionário descrito pela equação com condições de contorno dadas em todas as fronteiras 34 Solução de equações diferenciais parciais usando diferenças finitas Já foi demonstrado que derivadas ordinárias podem ser aproximadas com qualquer grau de acurácia desejado substituindo os operadores diferenciais com operadores da diferença finita Aqui serão aplicados procedimentos similares para se expressar derivadas parciais em termo de diferenças finitas Uma vez que equações diferenciais parciais envolvem mais do que uma variável independente primeiramente são estabelecidas malhas bi e tridimensionais Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda em duas e três variáveis independentes respectivamente como mostrado na figura A notação ij é utilizada para designar o ponto pivô para o espaço bidimensional e ijk para o espaço tridimensional onde i j e k são os contadores na direções x y e z respectivamente Para problemas dinâmicos nos quais o tempo é uma das variáveis independentes o contador n é utilizado para designar a dimensão tempo Com o objetivo de manter a notação o mais simples possível são adicionados subscritos somente quando necessário As distancias entre pontos da malha são indicadas por Δx Δy e Δz Quando o tempo é uma das variáveis independentes o passo no tempo é dado por Δt Agora as derivadas primeira segunda e mistas podem ser expressas em termos de diferenças finitas Os desenvolvimentos são feitos utilizando diferenças centrais e ademais são tabeladas as fórmulas obtidas utilizandose as diferenças progressivas e regressivas A derivada parcial de u com respeito a x implica que y e z são mantidos constantes dessa forma Utilizandose a aproximação de primeira ordem da derivada em termos das diferenças centrais e convertendoa em um espaço tridimensional obtémse Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda De maneira similar as derivadas parciais nas direções y e z são dadas por Analogamente as derivadas parciais de segunda ordem são expressas em termos de diferenças centrais Finalmente a derivada parcial mista é desenvolvida da forma a seguir Isso é equivalente a aplicar ux nos pontos ij1k e ij1k então A seguir estão dispostas as tabelas com as aproximações para as derivadas parciais obtidas respectivamente a partir das diferenças centrais diferenças progressivas e diferenças regressivas Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Tabela 31 Diferenças Centrais Derivada Diferença Central Erro uxijk 12Δxui1jk ui1jk OΔx² uyijk 12Δyuij1k uij1k OΔy² uzijk 12Δzuijk1 uijk1 OΔz² ²ux²ijk 1Δx²ui1jk 2uijk ui1jk OΔx² ²uy²ijk 1Δy²uij1k 2uijk uij1k OΔy² ²uz²ijk 1Δz²uijk1 2uijk uijk1 OΔz² ²uyxijk 14ΔxΔyui1j1k ui1j1k ui1j1k ui1j1k OΔx² Δy² Tabela 32 Diferenças Progressivas Derivada Diferença Progressiva Erro uxijk 1Δxui1jk uijk OΔx uyijk 1Δyuij1k uijk OΔy uzijk 1Δzuijk1 uijk OΔz ²ux²ijk 1Δx²ui2jk 2ui1jk uijk OΔx ²uy²ijk 1Δy²uij2k 2uij1k uijk OΔy ²uz²ijk 1Δz²uijk2 2uijk1 uijk OΔz ²uyxijk 1ΔxΔyui1j1k uij1k ui1jk uijk OΔx Δy Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Tabela 33 Diferenças Regressivas Derivada Diferença Regressiva Erro uxijk 1Δxuijk ui1jk OΔx uyijk 1Δyuijk uij1k OΔy uzijk 1Δzuijk uijk1 OΔz ²ux²ijk 1Δx²uijk 2ui1jk ui2jk OΔx ²uy²ijk 1Δy²uijk 2uij1k uij2k OΔy ²uz²ijk 1Δz²uijk 2uijk1 uijk2 OΔz ²uyxijk 1ΔxΔyuijk uij1k ui1jk ui1j1k OΔx Δy O uso das aproximações obtidas por diferenças finitas será aprofundado no decorrer do tema através da construção de soluções numéricas para equações diferenciais parciais elípticas parabólicas e hiperbólicas Bibliografia 1 A Constantinides and N Mostoufi Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications Prentice Hall PTR 1999 2 S C Chapra and R P Canale Numerical Methods for Engineers McGrawHill 2015