Modelagem e Simulacao de Processos II - Notas de Aula UFMT

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO UFMT Modelagem e Simulação de Processos II Notas de Aula Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Notas de aula do curso de Modelagem e Simulação de Processos II ministrado como parte do currículo de graduação em Engenharia Química na Universidade Federal de Mato Grosso UFMT Várzea Grande MT 27 de Julho de 2021 Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Sumário 1 Métodos de Diferenças Finitas 5 11 Introdução 5 12 Operadores Simbólicos 6 13 Diferenças finitas regressivas 9 14 Diferenças finitas progressivas 12 15 Diferenças finitas centrais 14 16 Equações da diferença e suas soluções 19 2 Interpolação 25 21 Polinômios interpoladores 25 22 Interpolação de pontos igualmente espaçados 27 221 Interpolação GregoryNewton 27 222 Interpolação Stirling 31 23 Interpolação de pontos desigualmente espaçados 32 231 Polinômios de Lagrange 32 24 Interpolação por Splines 33 25 Polinômios Ortogonais 36 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais Parte I 41 31 Introdução 41 32 Classificação de equações diferenciais parciais 44 33 Condições iniciais e de contorno 45 34 Solução de equações diferenciais parciais usando diferenças finitas 47 4 Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais 3 53 41 Equações diferenciais parciais elípticas 53 42 Equações diferenciais parciais parabólicas 57 421 Métodos Explícitos 58 422 Métodos Implícitos 61 423 Método das Linhas 62 43 Equações diferenciais Hiperbólicas 64 431 Métodos Explícitos 64 432 Métodos Implícitos 65 44 Fronteiras irregulares e Sistemas com coordenadas polares 66 45 Estabilidade 70 46 Elementos Finitos 72 5 Regressão linear e nãolinear 1 75 51 Introdução 75 52 Ajuste de curvas e a prática da engenharia 76 53 Revisão de estatística 77 531 Estatísticas básicas 77 532 A distribuição normal 80 533 Estimativa dos intervalos de confiança 81 54 Regressão por mínimos quadrados 85 55 Regressão linear 85 551 Critério para um melhor ajuste 87 552 Ajuste dos mínimos quadrados de uma linha reta 89 553 Quantificação do erro na regressão linear 90 554 Linearização de relações nãolineares 93 555 Considerações sobre a regressão linear 97 56 Regressão Polinomial 97 57 Regressão linear múltipla 100 6 Regressão linear e nãolinear 2 103 62 Generalização da abordagem por mínimos quadrado linear 103 621 Formulação matricial geral para o método dos mínimos quadrados linear103 622 Aspectos estatísticos da teoria dos mínimos quadrados 105 63 Regressão nãolinear 108 64 Métodos alternativos para a regressão nãolinear 112 641 Método da Descida mais ingrime Steepest Descendent 114 642 Método de GaussNewton 114 643 Método de Newton 116 644 Método de Marquardt 117 65 Regressão nãolinear múltipla 118 Aula 1 Métodos de Diferenças Finitas Conteúdo 11 Introdução 5 12 Operadores Simbólicos 6 13 Diferenças finitas regressivas 9 14 Diferenças finitas progressivas 12 15 Diferenças finitas centrais 14 16 Equações da diferença e suas soluções 19 11 Introdução Os modelos mais encontrados em Engenharia e Ciência estão na forma de equações diferenciais A dinâmica de sistemas físicos que possuem uma variável independente podem ser modelados por equações diferenciais ordinárias enquanto que sistemas com duas ou mais variáveis independentes demandam o uso de equações diferenciais parciais Vários tipos de equações diferenciais ordinárias e alguns poucos de equações parciais dão origem a soluções analíticas Essas soluções podem ser obtidas através de métodos que foram estudados através dos anos e hoje fazem parte do cálculo diferencial No entanto a grande maioria das equações diferenciais especialmente as não lineares e aquelas que envolvem grandes conjuntos de equações diferenciais simultâneas não possuem solução analítica necessitam da aplicação de várias técnicas numéricas para sua solução Os vários métodos numéricos para diferenciação integração e a solução de equações diferenciais ordinárias e parciais são baseados no conceito de diferenças finitas Assim nessa primeira etapa do curso de Modelagem e Simulação de Processos Químicos II a proposta é desenvolver uma terminologia sistemática utilizada no cálculo das diferenças finitas e descrever as relações entre diferenças finitas e operadores diferenciais os quais são necessários na solução numérica de equações diferenciais ordinárias e parciais O cálculo das diferenças finitas pode ser caracterizado como uma via de duas mãos que permite o usuário tomar uma equação diferencial e integrála numericamente calculando os valores da função em um número de pontos discretos finito Ou no outro sentido se um número finito de valores está disponível como dados experimentais estes podem ser diferenciados ou integrados utilizando o cálculo das diferenças finitas Deve ser observado no Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda entretanto que a diferenciação numérica é inerentemente menos acurada do que a integração numérica Outra aplicação útil do cálculo das diferenças finitas é na derivação de formulações de extrapolaçãointerpolação os chamados polinômios interpoladores os quais podem ser usados para representar dados experimentais quando a funcionalidade real desses dados não é conhecida Um exemplo muito como da aplicação da interpolação é na extração de propriedades físicas da água de tabelas de vapor Polinômios interpoladores são também utilizados para estimar as derivadas e integrais numéricas a partir de dados tabulados 12 Operadores Simbólicos No cálculo diferencial a definição de derivada é dada por dfxdx at x0 fx0 lim x x0 fx fx0x x0 11 No cálculo das diferenças finitas o valor de x x0 não se aproxima de zero mas permanece como uma quantidade finita Se essa quantidade é representada por h h x x0 12 então a derivada pode ser aproximada por fx0 fx0 h fx0h 13 Sob certas circunstâncias há um ponto ξ no intervalo a b para o qual a derivada pode ser calculada exatamente da equação acima Isso é confirmado pelo teorema do valor intermediário do cálculo diferencial Teorema do valor intermediário Seja fx contínua no intervalo a x b e diferenciável no intervalo a x b então existe pelo menos um ξ tal que a ξ b para o qual fξ fb fab a 14 Esse teorema é a base de ambos o cálculo diferencial e o cálculo das diferenças finitas Uma função fx a qual é contínua e diferenciável no intervalo x0 x pode ser representada por uma série de Taylor fx fx0 x x0fx0 x x02 fx02 x x03 fx03 15 x x0n fnx0n Rnx onde Rnx é chamado resíduo Esse termo reúne o restante dos termos de uma série infinita de n 1 até o infinito ele portanto representa o erro de truncamento quando a função é avaliada utilizando termos até e incluindo o termo de nésima ordem da série infinita ehD 1 Delta 176 Efetuando o logaritmo natural em ambos os lados dessa equação ln ehD hD ln 1 Delta 177 Utilizando a expansão em série infinita ln1 Delta Delta fracDelta22 fracDelta33 fracDelta44 fracDelta55 ldots 178 Combinando as duas equações acima obtémse hD Delta fracDelta22 fracDelta33 fracDelta44 fracDelta55 ldots 179 Os operadores diferenciais de ordem superior podem ser obtidos elevandose ambos os lados da equação a potências de ordem superior h2D2 Delta2 Delta3 frac1112 Delta4 frac56 Delta5 ldots 180 h3D3 Delta3 frac32 Delta4 frac74 Delta5 ldots 181 vdots 182 hnDn left Delta fracDelta22 fracDelta33 fracDelta44 fracDelta55 ldots right n 183 O conjunto completo de relações entre os operadores da diferença finita progressiva e os operadores diferenciais estão resumidos na tabela abaixo begintabularcc hline Operador da diferença progressiva Operador diferencial hline Delta hD frach2D22 frach3D36 ldots hD Delta fracDelta22 fracDelta33 fracDelta44 ldots Delta2 h2D2 h3D3 frac712 h4D4 ldots h2D2 Delta2 Delta3 frac1112 Delta4 frac56 Delta5 ldots Delta3 h3D3 frac32 h4D4 frac54 h5D5 ldots h3D3 Delta3 frac32 Delta4 frac74 Delta5 ldots Deltan ehD 1n hnDn left Delta fracDelta22 fracDelta33 fracDelta44 ldots right n hline endtabular 15 Diferenças finitas centrais Tal como o nome indica as diferenças finitas centrais são centralizadas na posição pivô e são avaliadas utilizando os valores da função à direita e à esquerda da posição pivô mas localizadas somente a h2 de distância 13 Diferenças progressivas de ordem superior são derivadas de maneira similar Delta4 yi yi4 4 yi3 6 yi2 4 yi1 yi 162 Delta5 yi5 5 yi4 10 yi3 10 yi2 5 yi1 yi 163 Similarmente às diferenças finitas regressivas as diferenças finitas progressivas também possuem coeficientes que correspondem àqueles da expansão binomial a bn Dessa forma a fórmula geral para a diferença finita de nésima ordem pode ser expressa por Deltan yi summ0n 1m fracnnmm yimn 164 No Scilab a função diffy retorna a diferença finita progressiva de y Valores da diferença finita de nésima ordem podem ser obtidos da função diffyn A relação entre operadores da diferença progressiva e operadores diferenciais podem agora ser desenvolvidas Combinando as equações 153 e 117 para obter Delta yx yxh yx 165 ehDyx yx 166 ehD 1yx 167 o que mostra que o operador para a diferença progressiva é dado por Delta ehD 1 168 Usando a expressão em série infinita de ehD Delta hD frach2D22 frach3D36 ldots 169 Os operadores da diferença progressiva de ordem superior Delta2 Delta3 ldots podem ser obtidos elevandose o operador da primeira diferença progressiva a potências de ordem superior Delta2 ehD 12 e2hD 2 ehD 1 170 Delta3 ehD 1 3 e3hD 3 e2hD 3 ehD 1 171 vdots 172 Deltan ehD 1n 173 A expansão dos termos exponenciais e o rearranjamento resultam nas seguintes equações para o segundo e o terceiro operadores da diferença progressiva Delta2 h2D2 h3D3 frac712 h4D4 ldots 174 Delta3 h3D3 frac32 h4D4 frac54 h5D5 ldots 175 Com a finalidade de completar o conjunto de relações equações que expressam operadores diferenciais em termos dos operadores da diferença progressiva também serão derivadas Para fazer isso a Equação 168 é rearranjada para ser resolvida para ehD 15 Considerase a série de valores utilizada para o cálculo das diferenças finitas progressivas e regressivas mas com a adição dos valores no ponto médio dos intervalos yi2 yi32 yi1 yi12 yi yi12 yi1 yi32 yi2 ou o conjunto equivalente yx2h yx32h yxh yx12h yx yx12h yxh yx32h yx2h A primeira diferença central de y em i ou x é definida como delta yi yi12 yi12 184 ou delta yx yx12h yx12h 185 A segunda diferença finita central de y em i ou x é definida como delta2 yi deltadelta yi delta yi12 yi12 delta yi12 delta yi12 186 yi1 yi yi yi1 187 delta2 yi1 2 yi yi1 188 ou delta2 yx yxh 2 yx yxh 189 A terceira diferença central de y em i é definida como delta3 yi deltadelta2 yi deltayi1 2 yi yi1 190 delta yi1 2 delta yi delta yi1 191 yi32 yi12 2 yi12 yi12 yi12 yi32 192 yi32 3 yi12 3 yi12 yi32 193 As diferenças centrais de ordem superior são derivadas de maneira similar delta4 yi2 4 yi1 6 yi 4 yi1 yi2 194 delta5 yi52 5 yi32 10 yi12 yi12 5 yi32 yi52 195 Consistentemente com as outras diferenças finitas a diferença finita central também tem coeficientes que correspondem à expansão binomial a bn Dessa forma a fórmula geral para a diferença finita de nésima ordem pode ser expressa como deltan yi summ0n 1m fracnnmm yimn2 196 Devese notar que as diferenças centrais de ordem ímpar envolvem valores da função no ponto médio dos intervalos enquanto que os valores nas diferenças finitas centrais de ordem par envolvem valores nos nos pontos do intervalo Para utilizar completamente diferenças centrais de ordem ímpar e ordem par é necessário um conjunto de valores da função y que inclua duas vezes mais pontos do que o número utilizado tanto nas diferenças finitas progressivas como nas diferenças finitas regressivas Essa situação não é econômica especialmente no caso onde esses valores devem ser obtidos experimentalmente Para aliviar essa dificuldade podese utilizar o operador médio μ o qual é definido como μ 12 E12 E12 197 O operador médio desloca seu operando em metade do intervalo para a direita do intervalo e em metade do intervalo para a esquerda do pivô avaliandoo nessas duas posições e calculando a média entre os dois valores A aplicação do operador médio na diferença central ímpar fornece a primeira diferença central média como segue μδyi 12 E12δyi E12δyi 198 12 δyi12 δyi12 199 12 yi1 yi yi yi1 1100 12 yi1 yi1 1101 A diferença central de terceira ordem é dada por μδ3 yi 12 E12δ3 yi E12δ3 yi 1102 12 δ3 yi12 δ3 yi12 1103 12 yi2 3yi1 3yi yi1 yi1 3yi 3yi1 yi2 1104 12 yi2 2yi1 2yi1 yi2 1105 Como esperado o efeito do operador médio é remover os valores nos pontos médios da função y das diferenças centrais ímpares As diferenças centrais são mais acuradas do que as diferenças regressivas ou progressivas quando utilizadas para avaliar derivadas de funções A relação entre os operadores da diferença central podem então ser desenvolvidos A partir da primeira diferença central média 1101 combinada com as equações 117 e 122 para resultar em μδ yx 12 yx h yx h 1106 12 ehD yx ehD yx 1107 12 ehD ehD yx 1108 o qual mostra que a primeira diferença central média é dada por μδ 12 ehD ehD sinh hD 1109 Utilizando a expansão em série infinita de ehD e ehD ou equivalentemente a expansão em série infinita do seno hiperbólico sinh hD hD hD3 3 hD5 5 hD7 7 1110 A equação 1109 se torna então μδ hD h3 D3 6 h5 D5 120 h7 D7 5040 1111 De maneira similar usando 189 para a segunda diferença central e combinando com as equações 117 e 122 obtémse δ2 yx yx h 2yx yx h 1112 ehD yx 2yx ehD yx 1113 ehD 2 ehD yx 1114 1115 o que mostra que o operador da segunda diferença central é equivalente a δ2 ehD ehD 2 2cosh hD 1 E E1 2 1116 Expandindo as exponenciais em suas séries infinitas ou equivalentemente a expansão em série infinita do cosseno hiperbólico obtémse δ2 h2 D2 h4 D4 12 h6 D6 360 h8 D8 20160 1117 Os operadores das diferenças centrais médias ímpares de ordem superior podem ser obtidos através do produto das diferenças finitas de primeira e segunda ordem E os operadores das diferenças centrais médias pares podem ser obtidas através da potenciação da diferença central média de segunda ordem Dessa forma os operadores de terceira e quarta ordem obtidos são listados abaixo μδ3 h3 D3 h5 D5 4 h7 D7 40 1118 δ4 h4 D4 h6 D6 6 h8 D8 80 1119 Com a finalidade de se desenvolver as relações inversas ou seja equações para os operadores diferenciais em termos na diferença central devese primeiramente estabelecer uma relação algébrica entre μ e δ Para isso iniciase com as equações 197 e 1116 elevandose ambos os lados da equação 197 obtémse μ2 14 E E1 2 1120 Rearranjando 1116 obtémse δ2 2 E E1 1121 Combinando as duas equações obtidas acima e rearranjando a equação resultante μ2 δ2 4 1 1122 Tomandose a inversa da equação 1109 hD sinh1 μδ 1123 A expansão em série infinita da inversa do seno hiperbólico é sinh1 μδ μδ μδ3 6 3μδ5 40 1124 Dessa forma a equação 1123 pode ser expandida hD μδ μ3 δ3 6 3μ5 δ5 40 1125 As potências pares de μ são eliminadas da equação acima utilizando a equação 1122 para obter o primeiro operador diferencial em termos do operador das diferenças centrais hD μ δ δ3 6 δ5 30 1126 Os operadores diferenciais de ordem superior são obtidos elevandose a equação 1126 à potência apropriada e utilizando a equação 1122 para eliminar as potências pares de μ Os operadores diferenciais de segunda terceira e quarta ordem obtidos através desse método são h2 D2 δ2 δ4 12 δ6 90 1127 h3 D3 μ δ3 δ5 4 7 δ7 120 1128 h4 D4 δ4 δ6 6 7 δ8 240 1129 O conjunto completo de relações entre os operadores da diferença centra e os operadores diferenciais é resumida na tabela abaixo Essas relações são as utilizadas para desenvolver um conjunto de fórmulas para expressar as derivadas em termos das diferenças finitas centrais A utilização dessas formas levam a uma maior acurácia em relação àquelas desenvolvidas para diferenças finitas progressivas e regressivas Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Operador da diferença central Operador diferencial μδ hD h³D³6 h⁵D⁵120 h⁷D⁷5040 hD μ δ δ³6 δ⁵30 δ⁷140 δ² h²D² h⁴D⁴12 h⁶D⁶360 h⁸D⁸20160 h²D² δ² δ⁴12 δ⁶90 μδ³ h³D³ h⁵D⁵4 h⁷D⁷40 h³D³ μ δ³ δ⁵4 7δ⁷120 δ⁴ h⁴D⁴ h⁶D⁶6 h⁸D⁸80 h⁴D⁴ δ⁴ δ⁶6 7δ⁸240 16 Equações da diferença e suas soluções A aplicação das diferenças finitas progressivas regressivas e centrais na solução de equações diferenciais transforma essas equações em equações da diferença na forma de fyk yk1 ykn 0 1130 Ademais equações da diferença são obtidas da aplicação de balanços materiais em operações multiestágio tal como destilação e extração Dependendo de sua origem equações da diferença podem ser lineares ou nãolineares homogêneas ou não homogêneas com coeficientes constantes ou variáveis Nessa seção serão relembrados os métodos de solução de equações da diferença homogêneas com coeficientes constantes A ordem de uma equação da diferença é a diferença entre o maior e o menor subscrito da variável dependente na equação isto é é o número de passos finitos abrangidos pela equação A ordem da equação 1130 é dada por Ordem k n k n 1131 O processo de obtenção de yk é chamado resolução da equação da diferença Os métodos de se obter tais soluções são análogos àqueles utilizados para encontrar soluções analíticas para equações diferenciais De fato a teoria das equações da diferença é paralela à teoria correspondente das equações diferenciais Equações da diferença assemelhamse a equações diferenciais em vários aspectos Por exemplo a equação abaixo é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y 3y 4y 0 1132 Enquanto que a equação a seguir é uma equação da diferença linear homogênea de segunda ordem yk2 3yk1 4yk 0 1133 A solução da equação diferencial pode ser obtida da aplicação dos métodos do cálculo diferencial como a seguir 19 Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda 1 Substituição das derivadas da equação por operadores diferenciais D²y 3Dy 4y 0 2 Fatoração de y D² 3D 4y 0 3 Encontrase as raízes da equação característica D² 3D 4 0 Essas raízes são chamadas os autovalores da equação diferencial Nesse caso eles são λ₁ 1 e λ₂ 4 4 Podese então construir a solução da equação diferencial homogênea como segue y C₁ eλ₁ x C₂ eλ₂ x C₁ e1 x C₂ e4 x onde C₁ e C₂ são constantes que devem ser avaliadas nas condições de contorno da equação diferencial De maneira similar a solução da equação da diferença pode ser obtida utilizando o operador de deslocamento E 1 Substituição de cada termo da equação por seu equivalente utilizando o operador de deslocamento E² yk 3E yk 4yk 0 2 Fatoração de yk E² 3E 4yk 0 3 Encontrase as raízes da Equação característica E² 3E 4 0 Essas raízes são λ₁ 1 e λ₂ 4 4 Podese então construir a solução da equação da diferença homogênea como segue yk C₁ λ₁k C₂ λ₂k C₁ 1k C₂ 4k onde C₁ e C₂ são constantes que devem ser avaliadas a partir das condições de contorno da equação da diferença No caso acima ambos os autovalores são reais e distintos Quando os autovalores são reais e repetidos a solução para uma equação de segunda ordem com ambas as raízes iguais é formada como a seguir yk C₁ C₂ k λk 1134 20 Modelagem e Simulação de Processos II Prof Dr Júlio Cesar de Carvalho Miranda Para uma equação de nésima ordem a qual possui m raízes repetidas λm e uma raiz distinta λn a formulação geral para a solução é obtida por superposição yk C₁ C₂ k C₃ k² Cm km1 λmk Cn knk 1135 No caso em que a equação característica possui duas raízes complexas λ1 α β i e λ2 α β i 1136 a solução é yk C₁ α β ik C₂ α β ik 1137 Essa solução pode ser também expressa em termos de quantidades trigonométricas utilizando a forma trigonométrica polar dos números complexos α β i rcos θ i sin θ 1138 Essa relação é obtida mostrandose que um número complexo é um vetor no plano complexo representado na figura abaixo O módulo r do número complexo é obtido do teorema de Pitágoras r α² β² 1139 Os valores de α e β são expressos em termos do ângulo fase θ α r cos θ 1140 β r sin θ 1141 e o ângulo fase é dado por θ tan¹ β α 1142 Substituindo 1138 em 1137 e utilizando o teorema de de Moivre¹ ¹cosx i sinxⁿ cos nx i sin nx 21 cosθ i sinθk cos kθ i sin kθ Obtémse a solução para a equação da diferença como yk rkC1 cos kθ C2 sin kθ onde C1 C1 C2 e C2 C1 C2i Podese Concluir da discussão acima que a solução para equações da diferença homogêneas lineares com coeficientes constantes são da forma yk fk λ onde k é o contador progressivo e λ é o vetor dos autovalores da equação característica A estabilidade e convergência dessas soluções dependem dos valores dos autovalores Os casos de estabilidade a seguir se aplicam às soluções das equações da diferença 1 A equação é estável converge sem oscilações quando a todos os autovalores são reais e distintos e possuem valores absolutos menores que ou iguais à unidade λ real e distinto λ 10 b real mas repetido e possui valores absolutos menores do que a unidade λ real e repetido λ 10 2 A solução é estável convergindo com oscilações amortecidas quando a Autovalores complexos distintos estão presentes e os módulos dos autovalores são menores que ou iguais a unidade λ complexo e distinto r 10 b Autovalores complexos repetidos estão presentes e os módulos dos autovalores são menores do que a unidade λ complexo repetido r 10 3 A solução é instável e nãooscilatória quando a Todos os autovalores são reais distintos e um ou mais desses valores tem valores absolutos maiores do que a unidade λ real distinto λ 10 b Os autovalores são reais mas repetidos e um ou mais desses possui valores absolutos igual a ou maior do que a unidade λ real repetido λ 10 4 A solução é instável e oscilatória quando a Autovalores distintos e complexos estão presentes e os módulos de um ou mais desses são maiores do que a unidade λ complexo distinto r 10 b Autovalores complexos repetidos estão presentes e os módulos de um ou mais desses são iguais ou maiores do que a unidade λ complexo repetido r 10 As soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias e parciais são baseada na formulação em diferenças finitas dessas equações diferenciais Dessa maneira as considerações quanto à estabilidade e à convergência das soluções por diferenças finitas têm implicações na solução numérica das equações diferenciais Bibliografia 1 A Constantinides and N Mostoufi Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications Prentice Hall PTR 1999 2 S C Chapra and R P Canale Numerical Methods for Engineers McGrawHill 2015