Atividade de Eletromagnetismo

Trabalho sobre Equações de Maxwell e Magnetismo Realizar a solução da lista em uma folha separada e escrita a mão A lista deve ser escaneada em formato PDF e enviada no link do Moodle até dia 1608 às 2359 O trabalho é individual 1 Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos 2 Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo a Nos materiais paramagnéticos A O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material B Existe um momento dipolar nos atomos do material mesmo na ausˆencia de um campo externo C A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie D A e B e são corretos E B e C são corretos b Os materiais diamagnéticos A Possuem átomos com momento dipolar mesmo na ausência de um campo externo B Podem sofrer uma transição de fase e virar ferromagnéticos C Desenvolvem um campo magnético interno na mesma direção que o campo externo portanto o campo resultante tem sempre maior amplitude D Reagem a um campo externo criando momentos de dipolo nos seus átomos em sentido oposto ao campo externo E nenhuma das anteriores c A radiação eletromagnética A São ondas de natureza mecânica que se propagam à velocidade da luz B É a variação de campos elétrico e magnético que oscilam com qualquer fase entre eles C É formada exclusivamente por ondas planas polarizadas D Consiste de ondas eletromagnéticas onde a oscilação dos campos elétrico e magnético estão sincronizados E São ondas com o mesmo comprimento de onda da luz visível 3 Escreva todas as equações de Maxwell e descreva seu significado físico e ilustre diferentes aplicações 4 A Figura 1 abaixo mostra uma espira de área A que está girando em torno do eixo y com velocidade angular 𝜔 Sabendo que existe um campo magnético uniforme de módulo B na direção x e que a resistência da espira é R calcule qual é a corrente induzida na espira Figura 1 5 Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais 0 0 g Sabendo que o vetor de onda da luz é onde 1 é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é 234 onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de e 1 O campo elétrico entre as placas do capacitor será variável no tempo pois o campo é proporcional à carga e a carga está variando Por AmpèreMaxwell podemos calcular o campo magnético entre as placas Se r R com R raio da placa circular B d l B 2πr μ0 ε0 ddt E d A μ0 ε0 π r2 dEdt B μ0 ε0 r 2 dEdt Se r R B d l B 2 π r μ0 ε0 ddt E dA μ0 ε0 π R2 dEdt B μ0 ε0 R2 2r dEdt a Temos dEdt 1ε0 π R2 dqdt logo se r 002 m B 4 π 107 002 10 2 π 0052 16 106 T 16 μT b Se r 012 m B 4 π 107 10 2 π 012 167 106 T 167 μT 2 a Alternativa E b Alternativa D c Alternativa D 3 Lei de Gauss Forma integral E d A Qintε0 Forma diferencial E ρε0 A Lei de Gauss descreve como cargas elétricas geram campos elétricos relacionando o fluxo total do campo numa superfície fechada com a quantidade de carga englobada por essa superfície De um modo geral usamos a Lei de Gauss para atacarmos problemas com alguma simetria Nessas situações o campo é facilmente calculado Por exemplo o campo de um fio infinito com densidade de carga λ E d A E 2 π r L Qε0 E λ2 π ε0 r Lei de Gauss do magnetismo Forma integral B d A 0 Forma diferencial B 0 Essas equações implicam que as linhas de campo magnético sempre formam loops fechados Em outras palavras elas atestam a ausência de cargas magnéticas Podem ser utilizadas como auxílio para representarmos as linhas de campo de determinado sistema Lei de Faraday Forma integral 𝐸d𝐿 ddt 𝐵d𝐴 Forma diferencial 𝐸 𝐵t A Lei de Faraday atesta que campos magnéticos que variam no tempo geram um campo elétrico circulante e portanto nãoconservativo Um exemplo de aplicação desse resultado será resolvido na questão 4 onde calcularemos a corrente induzida num circuito devido à variação de fluxo magnético Lei de AmpèreMaxwell Forma integral 𝐵d𝐿 μ₀Iₙₜ μ₀ε₀ ddt 𝐸d𝐴 Forma diferencial 𝐵 μ₀𝐽 μ₀ε₀ 𝐸t As relações acima mostram que campos magnéticos são gerados por corrente elétrica e por campos elétricos que Variam temporalmente Um exemplo de aplicação é por exemplo o cálculo do campo de um fio infinito com uma corrente I 𝐵d𝐿 2πr μ₀I 𝐵 μ₀I2πr 4 Pela Lei de Faraday 𝐸d𝐿 𝓔 ddt 𝐵d𝐴 ddt BAcosΦ O sistema gira com ω dΦdt ou seja Φ ωt Daí 𝓔 BA ddt cosωt ωBA sinωt A corrente portanto é i 𝓔R i ωBA sinωtR 5 a Fixamos comi 𝐸d𝐴 0 𝐸 0 𝐵d𝐴 0 𝐵 0 𝐸d𝐿 ddt 𝐵d𝐴 𝐸 𝐵t 𝐵d𝐿 μ₀ε₀ ddt 𝐸d𝐴 𝐵 μ₀ε₀ 𝐸t b Nesse caso teremos 𝐸 𝐱 𝐲 𝐳 x y z 0 E 0 Ex 𝐳 Logo pela Lei de Faraday 𝐸 Ex 𝐳 𝐵t 𝐳 ou então Ex Bt c Nesse caso temos B x y z x y z 0 0 B Bx ŷ Logo pela Lev de Ampère B Bx ŷ μ₀ε₀ Et ŷ ou então Bx μ₀ε₀ Et d Deja x Ex x Bt t Bx Mas Bx μ₀ε₀ Et de modo que ²Ex² μ₀ε₀ ²Et² a Deja x Bx μ₀ε₀ t Ex μ₀ε₀ ²Bt² logo ²Bx² μ₀ε₀ ²Bt² F Deja Ex kE₀ senkx ωt com isso calculamos ²Ex² k²E₀ coskx ωt Além disso Et ωE₀ senkx ωt e com isso calculamos ²Et² ω²E₀ coskx ωt Voltando na equação de onda ²Ex² μ₀ε₀ ²Et² k²E₀ coskx ωt ω² μ₀ ε₀ E₀ coskx ωt k²ω² μ₀ε₀ Logo Ext satisfaz a equação se k²ω² μ₀ε₀ O mesmo vale para Bxt g k²ω² μ₀ε₀ 2πλ2πλ₀² μ₀ε₀ 1λ₀f² 1v² μ₀ε₀ V 1μ₀ε₀ Logo a velocidade das ondas eletromagnéticas é V 1μ₀ε₀