Questões - Equação da Linha Elástica - 2024-1

Para a estrutura da Figura, determinar as equações da Linha Elástica, a posição e o valor do deslocamento vertical máximo da estrutura. O binário de forças atua na barra rígida em B, que tem comprimento de 500 mm, com F = 400 kN, L1 = 3 m, L2 = 1 m e EI = constante. Um pequeno veículo está içando uma roda dentada de peso P e se move ao longo de uma viga de comprimento 3 m e seção retangular de largura e altura de, respectivamente, 2 e 12 cm, conforme esquema da Figura. Determinar a máxima distância "S", de modo que o deslocamento vertical de B não seja superior a 15 cm. Dados: E = 200 GPa; P = 50 kN. Admita que 0 < s < 3 m. MR ( ) MR + VA P ΣMA=0 VA = P -MR + P · D = 0 MR = P · D MA = -P · D HA = 0 A viga de aço biapoiada com balanço ABC suporta uma força concentrada P na extremidade C. Para a parte AB da viga, (a) determine a equação da linha elástica, (b) determine a deflexão máxima e (c) avalie ymax para os seguintes dados: W 360 x 101 P = 220 kN I = 302 x 10^6 mm^4 L = 4,5 m E = 200 GPa a = 1,2 m y = \frac{PaL^2}{6EI} \left[ \frac{x}{L} - \left( \frac{x}{L} \right)^3 \right] y_{max} = 0,0642 \frac{PaL^2}{EI} y_{max} = 5,7 x 10^{-3} m = 5,7 mm Para a viga prismática e o carregamento mostrados na Fig. 9.36, determine as reações de apoio. (Essa é a mesma viga e o carregamento do Exemplo 9.5 da Seção 9.5.) A_x = 0 \ A_y = \frac{5}{8}wL B = \frac{3}{8}wL M_A = \frac{1}{8}wL^2 Tensão Normal Correspondente Quando a Tensão de Cisalhamento é Máxima Transformações de Tensões Tensões Principais Planos das Tensões Principais Planos da Tensão de Cisalhamento Máximo Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a inclinação e a deflexão no ponto B. (\theta_B)_I = -\frac{wL^3}{6EI} (y_B)_I = -\frac{wL^4}{8EI} (y_C)_{II} = +\frac{w(L/2)^4}{8EI} = +\frac{wL^4}{128EI} (\theta_B)_{II} = (\theta_C)_{II} = +\frac{wL^3}{48EI} (y_B)_{II} = (y_C)_{II} + (\theta_C)_{II} \left( \frac{L}{2} \right) \theta_B = \frac{7wL^3}{48EI} \downarrow y_B = \frac{41wL^4}{384EI} \downarrow Questão 01 – (10%) Marque a alternativa correta: a) O momento fletor e a força cortante não dependem das características da peça. Ex: tipo do material (aço, madeira, concreto), geometria. b) A rotação da peça é mínima/máxima quando a força cortante é zero. c) A deflexão e a declividade não dependem das propriedades físicas e geométricas do material. d) A equação da linha elástica pode ser obtida através da integral dupla da equação que representa o carregamento na barra. R: a) Questão 02 – (10%) Sobre a deflexão em vigas, analise as afirmativas abaixo: I. A influência do cisalhamento nos deslocamentos é considerada significativa, uma vez que nos problemas estáticos de flexão os deslocamentos por cisalhamento representam não mais do que um pequeno percentual dos deslocamentos totais. II. Os três procedimentos mais utilizados na determinação dos deslocamentos elásticos ocorrentes nas vigas são: o método da integração, o método da superposição e os teoremas dos momentos de áreas. III. O deslocamento y é medido a partir do eixo x até a linha elástica. Um deslocamento para cima é, portanto, positivo. O ângulo de rotação θ (medido em radianos) é o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva em um ponto. É correto o que se afirma em: a) Nenhuma das afirmativas está correta; b) I apenas; c) I e III apenas; d) II e III apenas; e) Todas as afirmativas estão corretas. R: d) Questão 03 – (40%) Utilize o método da integração para determinar a equação da curva de deflexão para a viga bi apoiada submetida a um carregamento distribuído de intensidade w = 5 cos(πx/2L) kN/m. Determine também o ângulo de rotação θ_max. A viga é feita de aço W310 x 74 com módulo de elasticidade E = 200GPa, módulo de inércia I_z = 165 x 10^6 mm^4 e tem comprimento L = 3m. R: y(x) = 1 EI − 80L4 π4 ⋅ cos πx 2L + 10Lx3 3π2 − 10L2x2 π2 + 20L3x⋅ π2−12 3π4 + 80L4 π4 θ(x) = 1 EI 40L3 π3 ⋅ sen πx 2L + 10Lx2 π2 − 20L2x π2 + 20L3⋅ π2−12 3π4 θ(x)Máx = θ(0) = −1,19 x 10-4 rad θ(L) = θ(3) = 1,07 x 10-4 rad a) VA = VC = 3wL 8 VB = 5wL 4 b) yBC/2 = − wL4 192EI ❹ = y(L/2) = \frac{PL^3}{48EI} \newline L = 2A \newline P = V_β \newline \newline y(L/2) = \frac{P_o(2A)^3}{48EI} = \frac{P_o A^3}{6EI} \textcircled{I} \newline \newline ❺ = y(L/2) = -\frac{5WL^4}{384EI} = -\frac{5W (2A)^4}{384EI} = -\frac{5WA^4}{24EI} \textcircled{II} Fazendo \text{ } I + II = 0 \newline \newline \frac{VB_o \cdot A^3}{6EI} - \frac{SWA^4}{24EI} = 0 \newline \newline \frac{VB \cdot A^3}{6EI} = \frac{SWA^4}{24EI} \Rightarrow VB = \frac{SWA^4}{4} \Rightarrow \frac{5WL}{4} V_A + V_B + V_C = 2WA \newline \newline V_A + V_C = 2WA - \frac{5WA}{4} \newline \newline V_A + V_C = \frac{3WA}{4} \newline \newline V_A = \frac{3WA}{4} - \frac{3WA}{8} = \frac{3WA}{8} = \frac{3WL}{8} \newline \newline V_B = \frac{5WA}{4} ∑ MA = -VB ◦ A + 2WA ◦ A - VC ◦ 2A = 0 - SWA^2 / 4 + 2WA^2 - 2A ◦ VC = 0 2VC = 2WA - SWA / 4 VA VB VC VC = 3WA / 4 VC = 3WA / 3 = 3WL / 9 VA = VC = 3WL / 8 VB = 5WL / 4 ψ y = -P / 48EI (4x^3 - 3L^2x) ψ (A/2) = -SWA / 192EI ◦ (4 * (A/2)^3 - 3(2A) ◦ A/2) ψ (A/2) = -5WA / 192EI ◦ (A^3 / 2 - 6A^3) ψ (A/2) = -5WA / 192EI ◦ (-11/2 A^3) = ψ (L/4) = ψ (A/2) = 55SWA^4 / 384EI P = VB L = 2A y(A/2)_6 = -W/(24EI) * (A/2)^4 - 2 * (1.5A) * (A/2)^3 + (2A) * A/2 y(A/2)_6 = -W/(24EI) * (A^4/16 - A^4/2 + 4 * A^4) y(A/2)_6 = -W/(24EI) * (1 - 8 + 64)/16 * A^4 y(A/2)_6 = -W/(24EI) * A^4 * 57/16 = -57WA^4/(384EI)L = 2AL/4 x = A/2 y_f(A/2) = y(A/2)_4 + y(A/2)_6 y_f(A/2) = 55WL^4/(384EI) - 57WL^4/(384EI) = -2WL^4/(384EI) y_f(L/2) = y(3L/2) = -WL^4/(192EI) = y_f^x V(x)1 = −P M(x)1 = −Px V(x)2 = −wx + wL1 + wL2 2 M(x)2 = − wx2 2 + wL1x + wL2x 2 − wL12 2 − w⋅L1⋅L2 2 − PL1 V(x)3 = P M(x)3 = Px − 2PL1 − PL2 Determine a reação em C. O momento fletor máximo e o deslocamento máximo. Determine a reação em B. V(x) = -∫ w(x) dx V(Lx) = C_1 = P V(0) = P => C_1 = P M(x) = ∫ P dx = Px + C_2 = Px - P.o M(0) = -P.o => C_2 = -P.o EIθ(x) = ∫ Px - P_0.o x dx EIθ(x) = 𝑝𝑥^2/2 - P_0.o x + C_3 EIθ(0)=0 => C_3 = 0 EIθ(x) = 𝑝𝑥^2/2 - P_0.o x EIy(x) = ∫ (𝑝𝑥^2/2 - P_0.o x) dx EIy(x) = 𝑝𝑥^3/6 - P_0.o x^2/2 + C_4 EIy(0)=0 => C_4 = 0 EIy(x) = 𝑝𝑥^3/6 - P_0.o x^2/2 II: V(x) = \int w(x) dx V(x) = C_5 V(0)_{II} = V(0)_I - P M(x)_{II} = \int 0 dx M(x)_{II} = C_6 = 0 V(l_0)_{II} = P - P = 0 V(x)_{II} = 0 M(x)_{II} = 0 M(l_0)_{II} = M(l_0)_I M(l_0)_{II} = P \cdot l_0 - P l_0 = 0 EI \Theta(x)_{II} = C_7 EI \Theta(l_0)_I \frac{P x^2}{2} - P \cdot l_0 \cdot x EI \Theta(l_0)_{II} = P \frac{l_0^2}{2} - P \frac{l_0^2}{2} = 0 EI \Theta(x)_{II} = \int -\frac{P_0^2}{2} dx = -\frac{P_0^2}{2} x + C_8 EI y(x)_{II} = \int -\frac{P_0^2}{2} x dx = \frac{P x^3}{6} - \frac{P \cdot l_0 \cdot x^2}{2} EI y(l_0)_{II} = EI y(l_0)_I EI y(l_0)_{II} = \frac{P_0^3}{6} - P \frac{l_0^3}{2} = -2 \frac{P_0^3}{6} = -\frac{P_0^3}{3} EI y(x)_{IF} = - \frac{P_0^2 \cdot x}{2} + C_8 EI y(0)_{IF} = - \frac{P_0^3}{2} + C_8 = - \frac{P_0^3}{3} C_8 = - \frac{P_0^3}{3} + \frac{P_0^3}{2} = \left(\frac{-2 + 3}{6}\right) \cdot P_0^3 = \frac{P_0^3}{6} EI y(x)_{II} = - \frac{P_0^2 \cdot x}{2} + \frac{P_0^3}{6} Um pequeno veículo está içando uma roda dentada de peso P e se move ao longo de uma viga de comprimento 3 m e seção retangular de largura e altura de, respectivamente, 2 e 12 cm, conforme esquema da Figura. Determinar a máxima distância “s”, de modo que o deslocamento vertical de B não seja superior a 15 cm. Dados: E = 200 GPa; P = 50 kN. Admita que 0 < s < 3 m. I = \frac{2 \cdot 12^3}{12} = 288 \text{ cm}^4 = 288 \cdot 10^{-8} \text{ m}^4 E = 200 \text{ GPa} = 200 \cdot 10^6 \text{ kPa} L = 3 \text{ m} P = 50 \text{ kN} y(3) = 0,125 \text{ m} EI y(x)_{II} = - \frac{P_0^2 \cdot x}{2} + \frac{P_0^3}{6} y(x)_{IF} = \frac{1}{EI} \cdot \left(-\frac{P_0^2 \cdot x}{2} + \frac{P_0^3}{6}\right) y(3)_{IF} = 0,15 = \frac{1}{200 \cdot 10^6 \cdot 288 \cdot 10^{-8}} \cdot \left(- \frac{50 \cdot 0 \cdot 3}{2} + \frac{50 \cdot 0^3}{6}\right) 86,4 = - 75s^2 + \frac{25}{3}s^3 864 = -75s^2 + \frac{25}{3} o^3 \frac{25}{3} o^3 - 75 o^2 - 864 = 0 D_1 = 9,12\ m D_2 = -0,06\ m D_3 = -0,06\ m