Trabalho 1 - Cálculo 3 - 2024-1

Calcule ∬_R x^2y^3 dA onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y = 1/x e pelas retas y = 1 e y = 2 Escolha uma opção: ○ 2/3 ○ 1/5 ○ 1/3 ○ 1 ○ 3 A integral iterada ∫_0^√ln3 ∫_2x^2√ln3 e^(y^2) dy dx vale Escolha uma opção: ○ ln 3 ○ 81 ○ 20 ○ 1 ○ 8 Seja V_S o volume do sólido S no semi-espaço z ≥ 0 delimitado pelo cilindro y = x^2, pelo cilindro y = 2 - x^2 e pelo plano x + y + z = 4. Então V_S vale Escolha uma opção: ○ 6 ○ 1 ○ 12 ○ 1/2 ○ 8 Calcule \iint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dA onde R é a região do plano no \ interior da cardioide x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}+y e no exterior do \ círculo x^2+y^2=1.\ Sugestão: use coordenadas polares Escolha uma opção: ☐ 2 ☐ \frac{\pi}{2} ☐ 1 ☐ \frac{\pi}{3} ☐ \frac{1}{2} Calcule \int_0^2\int_0^x\int_0^{y-x} (2y-x)dzdydx Escolha uma opção: ☐ \frac{5}{3} ☐ \frac{2}{3} ☐ -1 ☐ \frac{1}{2} ☐ \frac{4}{3} Calcule \iiint_E \frac{z}{x^2+y^2}dV onde E é a região de \mathbb{R}^3 interna ao cilindro \ x^2+y^2=4, externa ao\ cilindro x^2+y^2=1, limitada acima pelo semicone z =3\sqrt{x^2+y^2} e abaixo\ pelo paraboloide z=x^2+y^2. Escolha uma opção: ☐ \frac{27\pi}{4} ☐ \frac{81\pi}{4} ☐ 10\pi ☐ \frac{31\pi}{4} ☐ \frac{39\pi}{4} Calcule \(\iiint_{E} \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{2/3}} dV \text{ onde } E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z \geq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}},\ x^2+y^2+z^2 \leq 1\}\) Escolha uma opção: - \(\frac{6\pi}{5}\) - \(\frac{3\pi}{5}\) - \(\frac{2\pi}{3}\) - \(\frac{4\pi}{3}\) - \(\frac{3\pi}{7}\) Calcule \(\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{3-x^2}}^{0}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z^3 \, dzdydx\) Escolha uma opção: - \(\frac{4\pi}{3}\) - \(\frac{7\pi}{2}\) - \(\frac{5\pi}{2}\) - \(\frac{2\pi}{3}\) - \(\frac{3\pi}{2}\) 1) Temos \(1 \leq y \leq 2 \) \(0 \leq x \leq \frac{1}{y}\) Logo, \( \iint_{R} x^2 y^3 \, dA = \int_{1}^{2} \int_{0}^{1/y} x^2 y^3 \, dx \, dy = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} \frac{1}{y^3} \, y^3 \, dy \) \( \iint_{R} x^2 y^3 \, dA = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} \, dy = \frac{1}{3} \) 2) \( I = \int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{2x}^{\sqrt{\ln 3}} e^{y^2} \, dy \, dx \) Temos a região Invertendo a ordem, temos 0 <= x <= y/2 e 0 <= y <= 2 \sqrt{\ln 3} I = \int_0^{2\sqrt{\ln 3}} \int_0^{y/2} e^{x^2} \, dx dy = \frac{1}{2} \int_0^{2\sqrt{\ln 3}} ye^{y^2} \, dy . \text{ Logo,} I = \int_0^{2\sqrt{\ln 3}} \int_0^{y/2} e^{x^2} \, dx dy = \frac{1}{2} \int_0^{4\ln 3} \frac{e^u}{2} \, du I = \frac{1}{4} \left\{ e^{4\ln 3} - 1 \right\} I = \frac{1}{4} \left[ 81 - 1 \right] = 20 3) \text{ Temos} 0 <= z <= 4 - x - y x^2 <= y <= 2 - x^2 -1 <= x <= 1 \text{ Daí, } V_s = \int_{-1}^1 \int_{x^2}^{2-x^2} (4 - x - y) \, dy \, dx \text{ . Temos:} V_s = \int_{-1}^1 \left\{ 4[2-x^2-x^2] - x[2-x^2-x^2] - \frac{[(2-x^2)^2-x^2^2]}{2} \right\} dx V_s = \int_{-1}^1 \left\{ 8 - 8x^2 - 2x + 2x^3 -\frac{(2-x^2)^2 - x^4}{2} \right\} dx \text{As potências ímpares se anulam pois temos a} integral num intervalo simétrico. \text{Logo,} V_s = 16 - \frac{16}{3} - \frac{43}{15} + \frac{1}{5} = 8 4) \text{ Em coordenadas polares, } x = r\cos\theta y = r\sin\theta x^2 + y^2 = r^2 dA = r \, dr \, d\theta \text{Logo, } x^2 + y^2 = \sqrt{x^2+y^2} + y \Downarrow r^2 = r + r\sin\theta r = 1 + \sin\theta x^2 + y^2 = 1 \Downarrow r = 1 \text{Logo, } 1 <= r <= 1 + \sin\theta 0 <= \theta <= \pi \text{ e a integral é:} I = \int_0^\pi \int_1^{1+\sin\theta} \frac{rdrd\theta}{r} = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = 2 5) I = \int_0^2 \int_0^x (2y-x)(y-x) dydx I = \int_0^2 \int_0^x 2y^2 - 3xy + x^2 dydx I = \int_0^2 \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^3}{2} + x^3 dx I = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{2}{3} 6) Em coordenadas cilíndricas, x = r\cos\theta \implies r^2 = x^2 + y^2 y = r\sin\theta z = z dV = rdrd\theta dz Logo, E = 1 \leq r \leq 2 \ 0 \leq \theta \leq 2\pi \ r^2 \leq z \leq 3r Dai, I = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \int_{r^2}^{3r} \frac{z}{r} dzdrd\theta I = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \frac{9r - r^3}{2} drd\theta = \int_0^{2\pi} \frac{27}{4} - \frac{15}{8} d\theta I = \int_0^{2\pi} \frac{39}{8} d\theta = \frac{39\pi}{4} 7) Em coordenadas esfericas temos: x^2 + y^2 = r^2 \sin^2\theta ; \ dV = r^2 \sin\theta drd\theta d\phi x^2 + y^2 + z^2 = r^2 ; z = r \cos\theta ; Logo, z \geq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{3}} \implies r \cos\theta \geq \frac{r \sin\theta}{\sqrt{3}} \tan\theta \leq \sqrt{3} \implies 0 \leq \theta \leq \pi/3 Ale'm disso, x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \implies r \leq 1 . Logo, I = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \int_0^1 \frac{r^2 \sin\theta drd\theta d\phi}{r^{4/3}} I = 2\pi \int_0^{\pi/3} \int_0^1 r^{2/3} \sin\theta drd\theta = \frac{6\pi}{5} \int_0^{\pi/3} \sin\theta d\theta