James Stewart cálculo Volume 2 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br James Stewart c álculo foi escrito originalmente na forma de um curso. Sempre dando ênfase à compreensão dos conceitos, o autor inicia a obra oferecendo uma visão geral do assunto para, em seguida, apresentá-lo em detalhes, por meio da formulação de problemas, exercícios, tabelas e gráficos. A obra está dividida em dois volumes (Vol. 1 - capítulos 1 a 8, e Vol. 2 - capítulos 9 a 17). A 7ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Alguns tópicos foram reescritos para proporcionar clareza e motivação; novos exemplos foram adicionados; soluções de parte dos exemplos foram ampliadas; e dados de exemplos e exercícios atualizados. Revista e atualizada, a obra mantém o espírito das edições anteriores, apresentando desde exercícios graduados, com progressão cuidadosamente planejada dos conceitos básicos até problemas complexos e desafiadores. Neste volume: Equações Diferenciais, Equações Paramétricas e Coordenadas Polares, Sequências e Séries Infinitas, Vetores e a Geometria do Espaço, Funções Vetoriais, Derivadas Parciais, Integrais Múltiplas, Cálculo Vetorial, Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Aplicações: Livro-texto para a disciplina Cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia. Sobre o autor James Stewart é mestre pela Universidade de Stanford e Ph.D. pela Universidade de Toronto. Após dois anos na Universidade de Londres, tornou-se professor de Matemática na McMaster University. Seus livros foram traduzidos para diversos idiomas, entre os quais espanhol, português, francês, italiano, coreano, chinês e grego. Stewart foi nomeado membro do Fields Institute em 2002 e recebeu o doutorado honorário em 2003 pela McMaster University, onde o Centro de Matemática James Stewart foi aberto em outubro de 2003. cálculo Tradução da 7ª edição norte-americana Volume 2 Outras Obras Álgebra Linear David Poole Álgebra Linear e suas Aplicações Tradução da 4ª edição norte-americana Gilbert Strang Análise Numérica Tradução da 8ª edição norte-americana Richard L. Burden e J. Douglas Faires Pré-Cálculo 2ª edição revista e atualizada Valéria Zuma Medeiros (Coord.) André Machado Caldeira Luiza Maria Oliveira da Silva Maria Augusta Soares Machado Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências (também disponível em e-book) Jay L. Devore Vetores e Matrizes: Uma introdução à álgebra linear (também disponível em e-book) 4ª edição Nathan Moreira dos Santos Cálculo - Volume 1 Tradução da 7ª edição norte-americana James Stewart James Stewart cálculo Tradução da 7ª edição norte-americana Volume 2 Trilha é uma solução digital, com plataforma de acesso em português, que disponibiliza ferramentas multimídia para uma nova estratégia de ensino e aprendizagem. ISBN-13: 978-85-221-1259-3 ISBN-10: 85-221-1259-2 9 7 8 8 5 2 2 1 1 2 5 9 3 calculo.vol.2.32.5MM.final1.pdf 1 27/05/13 13:26 C ÁLCULO V O LU ME II Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page I Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo : Matemática 515 2. Exercícios : Cálculo : Matemática 515.076 3. Problemas : Cálculo : Matemática 515.076 Stewart, James Cálculo, volume 2 / James Stewart ; tradução EZ2 Translate. -- São Paulo : Cengage Learning, 2013. Título original: Calculus : early transcendentals 7. ed. americana. Bibliografia. ISBN 978-85-221-1463-4 1. Cálculo 2. Cálculo - Problemas, exercícios etc. I. Título. 13-05575 CDD-515-515.076 Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page II C ÁLCULO V O LU ME II Tra d u ç ã o d a 7 a e d i ç ã o n o r t e - a m e r i cana JAMES STEWART McMaster University e University of Toronto Tradução: EZ2translate Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page III Cálculo – Volume II – Tradução da 7a edição norte-americana Versão métrica internacional James Stewart Gerente Editorial: Patricia La Rosa Supervisora Editorial: Noelma Brocanelli Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque Editora de Desenvolvimento: Gisela Carnicelli Título Original: Calculus – Early transcendentals ISBN-13: 978-0-538-49887-6 ISBN-10: 0-538-49887-0 Tradução: EZ2Translate Tradução técnica da 6a edição: Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins Revisão Técnica: Ricardo Miranda Martins Cotejo e revisão: Cristiane Morinaga, Mônica Aguiar e Rosângela Ramos da Silva Editora de direitos de aquisição e iconografia: Vivian Rosa Diagramação: Cia. Editorial e Celina Hida Capa: Sergio Bergocce © 2012, 2008 Brooks/Cole, parte da Cengage Learning © 2014 Cengage Learning Edições Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Para informações sobre nossos produtos, entre em contato pelo telefone 0800 11 19 39 Para permissão de uso de material desta obra, envie seu pedido para direitosautorais@cengage.com © 2014 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ISBN-13: 978-85-221-1259-3 ISBN-10: 85-221-1259-2 Cengage Learning Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens, 111 – Prédio 20 – Espaço 04 Lapa de Baixo – CEP 05069-900 São Paulo – SP Tel.: (11) 3665-9900 – Fax: (11) 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br Impresso no Brasil. Printed in Brazil. 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13 Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page IV isbn 13: 978-85-221-1463-4 isbn 10: 85-221-1463-3 Prefácio xi Testes de Verificação xxi Uma Apresentação do Cálculo xxvii Equações Diferenciais 525 9.1 Modelagem com Equações Diferenciais 526 9.2 Campos de Direções e Método de Euler 531 9.3 Equações Separáveis 538 Projeto Aplicado ■ Quão Rapidamente um Tanque Esvazia? 546 Projeto Aplicado ■ O Que É Mais Rápido, Subir ou Descer? 547 9.4 Modelos para Crescimento Populacional 548 9.5 Equações Lineares 557 9.6 Sistemas Predador-Presa 563 Revisão 569 Problemas Quentes 572 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 575 10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas 576 Projeto de Laboratório ■ Rolando Círculos ao Redor de Círculos 583 10.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas 584 Projeto de Laboratório ■ Curvas de Bézier 591 10.3 Coordenadas Polares 592 Projeto de Laboratório ■ Famílias de Curvas Polares 601 10.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares 602 10.5 Seções Cônicas 606 10.6 Seções Cônicas em Coordenadas Polares 613 Revisão 619 Problemas Quentes 621 Sequências e Séries Infinitas 623 11.1 Sequências 624 Projeto de Laboratório ■ Sequências Logísticas 635 11.2 Séries 636 11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas 645 11.4 Os Testes de Comparação 652 11.5 Séries Alternadas 657 11.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz 661 11.7 Estratégia para Testes de Séries 667 11 10 9 Sumário Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page V 11.8 Séries de Potência 669 11.9 Representações de Funções como Séries de Potências 674 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin 679 Projeto de Laboratório ■ Um Limite Elusivo 691 Projeto Escrito ■ Como Newton Descobriu a Série Binomial 691 11.11 Aplicações dos Polinômios de Taylor 692 Projeto Aplicado ■ Radiação Proveniente das Estrelas 700 Revisão 701 Problemas Quentes 703 Vetores e a Geometria do Espaço 707 12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais 708 12.2 Vetores 713 12.3 O Produto Escalar 721 12.4 O Produto Vetorial 727 Projeto de Descoberta ■ A Geometria de um Tetraedro 734 12.5 Equações de Retas e Planos 735 Projeto de Laboratório ■ Colocando 3D em Perspectiva 743 12.6 Cilindros e Superfícies Quádricas 744 Revisão 750 Problemas Quentes 752 Funções Vetoriais 755 13.1 Funções Vetoriais e Curvas Espaciais 756 13.2 Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais 763 13.3 Comprimento de Arco e Curvatura 768 13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração 776 Projeto Aplicado ■ Leis de Kepler 785 Revisão 786 Problemas Quentes 789 Derivadas Parciais 791 14.1 Funções de Várias Variáveis 792 14.2 Limites e Continuidade 804 14.3 Derivadas Parciais 811 14.4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares 823 14.5 A Regra da Cadeia 831 14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 839 14.7 Valores Máximo e Mínimo 850 Projeto Aplicado ■ Projeto de uma Caçamba 858 Projeto de Descoberta ■ Aproximações Quadráticas e Pontos Críticos 859 14.8 Multiplicadores de Lagrange 860 Projeto Aplicado ■ Ciência dos Foguetes 866 Projeto Aplicado ■ Otimização de uma Turbina Hidráulica 867 Revisão 868 Problemas Quentes 871 14 13 12 VI CÁLCULO Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page VI Integrais Múltiplas 873 15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos 874 15.2 Integrais Iteradas 882 15.3 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais 887 15.4 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 895 15.5 Aplicações de Integrais Duplas 901 15.6 Área de Superfície 910 15.7 Integrais Triplas 913 Projeto de Descoberta ■ Volumes de Hiperesferas 922 15.8 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas 922 Projeto de Laboratório ■ A Intersecção de Três Cilindros 926 15.9 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 927 Projeto Aplicado ■ Corrida na Rampa 933 15.10 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas 933 Revisão 941 Problemas Quentes 944 Cálculo Vetorial 947 16.1 Campos Vetoriais 948 16.2 Integrais de Linha 954 16.3 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha 963 16.4 Teorema de Green 971 16.5 Rotacional e Divergente 977 16.6 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas 983 16.7 Integrais de Superfície 993 16.8 Teorema de Stokes 1003 Projeto Aplicado ■ Três Homens e Dois Teoremas 1007 16.9 O Teorema do Divergente 1008 16.10 Resumo 1013 Revisão 1014 Problemas Quentes 1016 Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1019 17.1 Equações Lineares de Segunda Ordem 1020 17.2 Equações Lineares Não Homogêneas 1026 17.3 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1032 17.4 Soluções em Séries 1039 Revisão 1043 Apêndices A1 A Números, Desigualdades e Valores Absolutos A2 B Geometria Analítica e Retas A9 C Gráficos de Equações de Segundo Grau A14 D Trigonometria A21 E Notação de Somatória (Ou Notação Sigma) A30 F Demonstrações dos Teoremas A35 15 17 16 SUMÁRIO VII Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page VII G O Logaritmo Definido como uma Integral A44 H Números Complexos A51 I Respostas para os Exercícios Ímpares A58 Índice Remissivo I1 Volume I Capítulo 1 Funções e Modelos Capítulo 2 Limites e Derivadas Capítulo 3 Regras de Derivação Capítulo 4 Aplicações de Derivação Capítulo 5 Integrais Capítulo 6 Aplicações de Integração Capítulo 7 Técnicas de Integração Capítulo 8 Mais Aplicações de Integração VIII CÁLCULO Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page VIII Esta edição difere da original de Cálculo, sétima edição, em vários aspectos. As unidades utilizadas em quase todos os exemplos e exercícios foram alteradas de unida- des habituais dos EUA para unidades métricas. Há um pequeno número de exceções: em algu- mas aplicações de engenharia (principalmente na Seção 8.3) pode ser útil alguns engenheiros familiarizarem-se com unidades norte-americanas. E eu quis manter alguns exercícios (por exem- plo, aqueles envolvendo beisebol) nos quais seria inapropriado o uso de unidades métricas. Alterei os exemplos e exercícios envolvendo dados reais para que eles passassem a ter abrangência internacional, de modo que a grande maioria agora vem de outros países além dos Estados Unidos. Por exemplo, agora há exercícios e exemplos referentes a tarifas postais em Hong Kong; dívida pública canadense; índices de desemprego na Austrália; horas de luz do dia em Ancara, na Turquia; isotermas na China; porcentagem da população na zona rural da Argentina; populações da Malásia, Indonésia, México e Índia; consumo de energia em Ontá- rio, entre muitos outros. Além de modificar os exercícios para que as unidades sejam métricas e os dados tenham abrangência internacional, uma série de outros também foi modificada, o que resulta em cerca de 10% dos exercícios diferentes daqueles da versão original. Filosofia do Livro A arte de ensinar, disse Mark Van Doren, é a arte de auxiliar a descoberta. Eu tentei escrever um livro que auxilie os estudantes a descobrirem o cálculo – tanto seu poder prático quanto sua surpreendente beleza. Nesta edição, assim como nas seis primeiras, minha intenção é trans- mitir ao estudante uma noção da utilidade do cálculo e desenvolver a competência técnica, mas também me esforço para propiciar certo apreço pela beleza intrínseca do tema. Newton indu- bitavelmente experimentou uma sensação de triunfo quando fez suas grandes descobertas. Quero que os estudantes compartilhem um pouco desse entusiasmo. A ênfase concentra-se na compreensão dos conceitos. Acredito que quase todos concor- dam que este deve ser o principal objetivo do ensino do cálculo. De fato, o ímpeto para o mo- vimento atual de reforma do cálculo veio da Conferência de Tulane, em 1986, que formulou como primeira recomendação: Concentrar-se na compreensão de conceitos. Tentei atingir esse objetivo por meio da Regra dos Três: “Os tópicos devem ser apresentados geométrica, numérica e algebricamente”. A visualização, a experimentação numérica e grá- fica e outras abordagens mudaram o modo como ensinamos o raciocínio conceitual de maneiras fundamentais. A Regra dos Três foi expandida para tornar-se a Regra dos Quatro, enfatizando também o ponto de vista verbal ou descritivo. Ao escrever esta sétima edição, parti da premissa de que é possível alcançar a compreen- são conceitual e ainda manter as melhores tradições do cálculo tradicional. O livro contém ele- mentos da reforma, porém, dentro do contexto de uma grade curricular tradicional. O que há de novo na 7a edição? As alterações são resultantes de conversas que tive com meus colegas e alunos da University of Toronto, da leitura de periódicos, bem como de sugestões de leitores e examinadores. Aqui estão algumas das muitas melhorias que incorporei a esta edição: Prefácio Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page IX ■ Alguns materiais foram reescritos para maior clareza ou melhor motivação. Consulte, por exemplo, a introdução a Valores Máximo e Mínimo no Capítulo 4, a Introdução a Séries no Capítulo 11 e a Motivação Para o Produto Vetorial no Capítulo 12. ■ Novos exemplos foram adicionados (consulte o Exemplo 4 da Seção 15.7) e as soluções para alguns dos exemplos existentes foram ampliadas. Adicionei detalhes à resolução do Exemplo 2.3.11, pois, quando ensinei a Seção 2.3 usando a sexta edição, percebi que os alunos precisavam de uma maior orientação ao estabelecerem desigualdades para o Teo- rema do Confronto. ■ O projeto gráfico foi renovado: novas figuras foram incorporadas e uma porcentagem subs- tancial das existentes foi redesenhada. ■ Os dados dos exemplos e exercícios foram atualizados para serem mais oportunos. ■ Três novos projetos foram adicionados: O Índice de Gini (Capítulo 6) explora como me- dir a distribuição de renda entre os habitantes de um dado país e é uma boa aplicação de áreas entre curvas. (Agradeço a Klaus Volpert por sugerir esse projeto.) ■ Famílias de Curvas Implícitas (Capítulo 16) investiga as formas mutantes de curvas defi- nidas implicitamente conforme os parâmetros em uma família variam. Famílias de Cur- vas Polares (Capítulo 10) exibe as fascinantes formas de curvas polares e como elas evo- luem dentro de uma família. ■ A seção sobre a área de superfície do gráfico de uma função de duas variáveis passou a ser a Seção 15.6, para a conveniência de professores que gostam de ensinar esse tópico depois de integrais duplas, embora todo o tratamento da área de superfície permaneça no Capítulo 16. ■ Continuo buscando exemplos de como o cálculo se aplica a tantos aspectos do mundo real. Na Seção 14.3, você verá belas imagens da força do campo magnético da Terra e sua segunda derivada vertical calculada a partir da equação de Laplace. Agradeço a Roger Watson por des- pertar minha atenção para como isso é usado na geofísica e na exploração mineral. ■ Mais de 25% dos exercícios de cada capítulo são novos. Eis alguns dos meus favoritos: 1.6.58, 2.6.51, 2.8.13–14, 3.3.56, 3.4.67, 3.5.69–72, 3.7.22, 4.3.86, 5.2.51–53, 6.4.30, 11.2.49–50, 11.10.71–72, 12.1.44, 12.4.43–44. Aprimoramentos tecnológicos ■ A mídia e a tecnologia de apoio ao texto foram aprimoradas para conceder aos professo- res maior controle sobre seu curso, oferecer uma ajuda extra para lidar com os diferentes níveis de preparação dos estudantes para o curso de cálculo e apoiar a compreensão de con- ceitos. Novos recursos – Enhanced WebAssign incluindo um Cengage YouBook personalizá- vel, revisão Just in Time, Show Your Work, Answer Evaluator, Personalized Study Plan, Master Its, vídeos de resolução, videoclipes de aulas (com perguntas associadas) e Visua- lizing Calculus (animações TEC com perguntas associadas) – foram desenvolvidos para facilitar a aprendizagem por parte dos estudantes e propiciar um ensino mais flexível na sala de aula. Para mais informações sobre como adquirir o cartão de acesso ao Enhanced WebAssign, contate vendas.cengage@cengage.com. Esta ferramenta está disponível em inglês. ■ Tools for Enriching Calculus (TEC) foram completamente reformuladas e estão disponí- veis no Enhanced WebAssign. Auxílios visuais e módulos selecionados estão disponíveis no site do autor. Acesse www.stewartcalculus.com. Na página inicial, clique em Calculus 7E – Early Transcendentals. Você terá acesso a vários recursos: Tópicos adicionais, weblinks e Homework Hints, recurso especial que vai ajudá-lo a resolver exercícios sele- cionados. Recursos EXERCÍCIOS CONCEITUAIS A maneira mais importante de promover a compreensão de con- ceitos é por meio de situações-problema. Para esse fim, concebi diversos tipos de problemas. Alguns conjuntos de exercícios começam com solicitações para explicar os significados dos conceitos básicos da seção. (Consulte, por exemplo, os primeiros exercícios das Seções 2.2, 2.5, 11.2, 14.2 e 14.3.) Da mesma forma, todas as seções de revisão começam com uma Ve- X CÁLCULO Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page X rificação de Conceitos e um Teste de Verdadeiro ou Falso. Outros exercícios testam a com- preensão de conceitos através de gráficos ou tabelas (consulte os Exercícios 2.7.17, 2.8.35– 40, 2.8.43–46, 9.1.11–13, 10.1.24–27, 11.10.2, 13.2.1–2, 13.3.33–39, 14.1.1–2, 14.1.32–42, 14.3.3–10, 14.6.1–2, 14.7.3–4, 15.1.5–10, 16.1.11–18, 16.2.17–18 e 16.3.1–2). Outro tipo de exercício utiliza a descrição verbal para testar a compreensão de conceitos (consulte os Exercícios 2.5.10, 2.8.58, 4.3.63–64 e 7.8.67). Eu particularmente valorizo pro- blemas que combinam e comparam abordagens gráficas, numéricas e algébricas (consulte os Exercícios 2.6.39-40, 3.7.27 e 9.4.2). EXERCÍCIOS COM DIFICULDADE PROGRESSIVA Cada grupo de exercícios é cuidadosamente clas- sificado, progredindo de exercícios conceituais básicos e problemas que visam ao desenvolvi- mento de habilidades, até problemas mais desafiadores, envolvendo demonstrações e aplicações. DADOS REAIS Eu e minha equipe nos empenhamos em pesquisar dados do mundo real em bi- bliotecas, empresas, órgãos governamentais e na Internet que pudessem apresentar, motivar e ilustrar os conceitos de cálculo. Por esse motivo, muitos exercícios e exemplos lidam com fun- ções definidas por tais dados numéricos ou gráficos. Eles podem ser vistos, por exemplo, na Figura 1 da Seção 1.1 (os sismogramas do terremoto de Northridge), ou no Exercício 2.8.36 (porcentagem da população acima dos 60 anos), Exercício 5.1.16 (velocidade do ônibus es- pacial Endeavour) ou na Figura 4 da Seção 5.4 (consumo de energia elétrica em São Francisco). Funções de duas variáveis são ilustradas por uma tabela de valores do índice de sensação tér- mica como uma função da temperatura do ar e da velocidade do vento (Exemplo 2 da Seção 14.1). Derivadas parciais são introduzidas na Seção 14.3, examinando uma coluna em uma ta- bela de valores do índice de conforto térmico (temperatura percebida do ar) como uma fun- ção da temperatura real e da umidade relativa. Este exemplo é aprofundado em conexão com aproximações lineares (Exemplo 3 da Seção 14.4). Derivadas direcionais são introduzidas na Seção 14.6 por meio de um mapa de contorno da temperatura para estimar a taxa de mudança da temperatura num trajeto para o leste a partir de Chongqing. Integrais duplas são usadas para estimar a precipitação de neve média no Colorado em 20-21 de dezembro de 2006 (Exemplo 4 da Seção 15.1). Campos vetoriais são introduzidos na Seção 16.1 por representações de cam- pos vetoriais de velocidade real mostrando os padrões do vento da Baía de São Francisco. PROJETOS Uma maneira de despertar o interesse dos alunos – e facilitar a aprendizagem – é fazer com que trabalhem (às vezes em grupos) em projetos mais aprofundados, que transmi- tam um verdadeiro sentimento de realização quando completados. Incluí quatro tipos de pro- jetos: os Projetos Aplicados visam despertar a imaginação dos estudantes. O projeto após a Seção 9.3 pergunta se uma bola arremessada para cima demora mais para atingir sua altura má- xima ou para cair de volta a sua altura original (a resposta pode surpreendê-lo). O projeto após a Seção 14.8 utiliza os multiplicadores de Lagrange para determinar as massas dos três está- gios de um foguete de modo a minimizar a massa total ao mesmo tempo permitindo que o fo- guete atinja a velocidade desejada. Os Projetos de Laboratório envolvem tecnologia. O pro- jeto subsequente à Seção 10.2 mostra como usar as curvas de Bézier para desenhar formas que representem letras para uma impressora a laser. Os Projetos Escritos exigem que os estudan- tes comparem os métodos atuais àqueles desenvolvidos pelos fundadores do cálculo – por exemplo, o método criado por Fermat para encontrar as tangentes. Algumas referências são dadas sobre o assunto. Os Projetos de Descoberta antecipam resultados a serem discutidos pos- teriormente ou incentivam a descoberta por meio do reconhecimento de padrões (consulte o projeto após a Seção 7.6). Outros exploram os aspectos da geometria: tetraedros (após a Se- ção 12.4), hiperesferas (após a Seção 15.7) e interseções de três cilindros (após a Seção 15.8). Projetos adicionais podem ser encontrados no Manual do Professor (consulte, por exemplo, o Exercício em Grupo 5.1: Posição de Amostras). O Manual do Professor está disponível, em inglês, na Trilha. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Os estudantes normalmente têm mais dificuldades naqueles pro- blemas em que não há um único procedimento para se chegar à solução. Acredito que não ocor- reram muitos avanços na área de resolução de problemas após a estratégia em quatro estágios proposta por George Polya. Inseri, portanto, uma versão dessa estratégia após o Capítulo 1. Esse método é utilizado explícita e implicitamente em todo o livro. Depois dos demais capí- tulos, incluí seções denominadas Problemas Quentes, apresentando exemplos de como lidar com problemas de cálculo mais desafiadores. Ao selecionar os diversos problemas nessas se- ções, tentei seguir o conselho dado por David Hilbert: “Um problema matemático deve ser di- PREFÁCIO XI Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XI fícil a ponto de nos desafiar, mas não inacessível a ponto de zombar de nossos esforços”. Ao propor problemas difíceis em tarefas e provas, costumo corrigi-los de forma diferenciada. Ne- les, procuro valorizar principalmente as ideias que levam à resposta e o reconhecimento dos princípios de resolução mais relevantes para a solução do problema. TECNOLOGIA A disponibilidade de tecnologia não diminui – pelo contrário, aumenta – a im- portância de se entender com clareza os conceitos por trás das imagens na tela. Quando utili- zados apropriadamente, computadores e calculadoras gráficas são ferramentas úteis na des- coberta e compreensão de tais conceitos. Este livro pode ser utilizado com ou sem o emprego de ferramentas tecnológicas – dois símbolos especiais são usados para indicar precisamente quando um tipo especial de aparelho é necessário. O símbolo ; indica um exercício que de- finitivamente requer o uso dessas tecnologias (o que não quer dizer que seu uso nos demais exercícios seja proibido). O símbolo aparece em problemas nos quais são empregados to- dos os recursos de um sistema de computação algébrica (como o Derive, Maple, Mathema- tica ou o TI-89/92). Mas a tecnologia não torna lápis e papel obsoletos. Frequentemente, são preferíveis os cálculos e esboços feitos a mão, para ilustrar e reforçar alguns conceitos. Tanto professores quanto estudantes precisam aprender a discernir quando é mais adequado o uso das máquinas ou o cálculo a mão. TOOLS FOR ENRICHING™ CALCULUS As TEC são um complemento ao livro e destinam-se a en- riquecer e complementar seu conteúdo. (Este recurso deve ser acessado pelo Enhanced Web- Assign. Desenvolvidas por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn e por mim, as TEC uti- lizam uma abordagem exploradora e de descoberta. Nas seções do livro onde a tecnologia é particularmente apropriada, ícones direcionam os estudantes aos módulos das TEC que ofe- recem um ambiente laboratorial no qual eles podem explorar o tópico de maneiras diferentes e em diferentes níveis. Os auxílios visuais são animações de figuras no texto; módulos são ati- vidades mais elaboradas e incluem exercícios. Os professores podem optar por se envolver em níveis diferentes, indo desde simplesmente encorajar os estudantes a usar os auxílios visuais e módulos para a exploração independente, até atribuir exercícios específicos a partir daque- les incluídos em cada módulo, ou criar exercícios adicionais, laboratórios e projetos que fa- çam uso dos auxílios visuais e dos módulos. HOMEWORK HINTS São dicas para os exercícios apresentados na forma de perguntas que tentam imitar um efetivo assistente de ensino; funcionam como um tutor silencioso. Dicas para exercí- cios selecionados (normalmente de número ímpar) são incluídas em cada seção do livro, indi- cadas pelo número do exercício em vermelho. Elas foram elaboradas de modo a não revelarem mais do que é minimamente necessário para se fazer progresso. Estão disponíveis aos estudan- tes em www.stewartcalculus.com e no Enhanced WebAssign. Recurso em inglês. ENHANCED WEBASSIGN A tecnologia está impactando sobre a forma como a lição de casa é passada aos estudantes, particularmente em classes grandes. O uso da lição de casa on-line está crescendo e sua atratividade depende da facilidade de uso, precisão na correção e confiabili- dade. Com esta edição, trabalhamos com a comunidade de cálculo e o WebAssign a fim de de- senvolver um sistema de lição de casa on-line mais vigoroso. Até 70% dos exercícios em cada seção podem ser passados como lição de casa on-line, incluindo exercícios de resposta livre, múltipla escolha e formatos de partes múltiplas. O sistema também inclui Active Examples, nos quais os estudantes são guiados em tutoriais passo a passo através de exemplos do livro, com links para o livro e resoluções em vídeo. Novas melhorias ao sistema incluem um eBook personalizado, um recurso Show Your Work, revisão Just in Time de pré-requisitos pré-cálculo, um Assignment Editor aperfeiçoado e um Answer Evalua- tor que aceita mais respostas matematicamente equivalentes e permite a correção da lição de casa de forma bem semelhante àquela feita por um instrutor. Para mais informações sobre como adquirir o cartão de acesso a esta ferramenta, contate: vendas.cengage@cengage.com. Recurso em inglês. www.stewartcalculus.com O site do autor inclui: ■ Homework Hints ■ História da Matemática, com links para os melhores sites históricos ■ Tópicos adicionais (completos, com conjuntos de exercícios): série de Fourier, fórmulas para o resto na série de Taylor, rotação dos eixos ■ Links, para tópicos específicos, para outros recursos da web SCA XII CÁLCULO Nota da Editora: Até o fechamento desta edição, todos os sites contidos neste livro estavam com o funcionamento normal. A Cengage Learning não se responsabiliza pela suspensão dos mesmos. Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XII Todo o material disponível no site do autor está em inglês. Na Trilha ■ Problemas de Desafio (para capítulos selecionados, com soluções e respostas) ■ Problemas Arquivados para todos os capítulos, com soluções e respostas ■ Slides de Power Point® ■ Revisão de Álgebra (em inglês) ■ Revisão de Geometria Analítica (em inglês) ■ Suplemento: Mentiras que minha calculadora e computador me contaram com exercícios e soluções ■ Manual do professor (material em inglês, para professores que adotam a obra) Acesso pelo site http://cursosonline.cengage.com.br. Conteúdo Testes de Verificação O livro começa com quatro testes de verificação: Álgebra Básica, Geo- metria Analítica, Funções e Trigonometria. Uma Apresentação do Cálculo Temos aqui um panorama da matéria, incluindo uma série de questões para nortear o estudo do cálculo. VOLUME I 1 Funções e Modelos Desde o princípio, a multiplicidade de representações das funções é va- lorizada: verbal, numérica, visual e algébrica. A discussão dos modelos matemáticos conduz a uma revisão das funções gerais, incluindo as funções exponenciais e logarítmicas, por meio desses quatro pontos de vista. 2 Limites e Derivadas O material sobre limites decorre da discussão prévia sobre os problemas da tangente e da velocidade. Os limites são tratados dos pontos de vista descritivo, gráfico, nu- mérico e algébrico. A Seção 2.4, sobre a definição precisa de limite por meio de epsilons e del- tas, é opcional. As Seções 2.7 e 2.8 tratam das derivadas (principalmente com funções defi- nidas gráfica e numericamente) antes da introdução das regras de derivação (que serão discutidas no Capítulo 3). Aqui, os exemplos e exercícios exploram o significado das deriva- das em diversos contextos. As derivadas de ordem superior são apresentadas na Seção 2.8. 3 Regras de Derivação Todas as funções básicas, incluindo as exponenciais, logarítmicas e tri- gonométricas inversas são derivadas aqui. Quando as derivadas são calculadas em situações aplicadas, é solicitado que o aluno explique seu significado. Nesta edição, o crescimento e de- caimento exponencial são tratados neste capítulo. 4 Aplicações de Derivação Os fatos básicos referentes aos valores extremos e formas de cur- vas são deduzidos do Teorema do Valor Médio. O uso de tecnologias gráficas ressalta a inte- ração entre o cálculo e as calculadoras e a análise de famílias de curvas. São apresentados al- guns problemas de otimização, incluindo uma explicação de por que precisamos elevar nossa cabeça a 42º para ver o topo de um arco-íris. 5 Integrais Problemas de área e distância servem para apresentar a integral definida, intro- duzindo a notação de somatória (ou notação sigma) quando necessária (esta notação é estu- dada de forma mais completa no Apêndice E). Dá-se ênfase à explicação do significado das integrais em diversos contextos e à obtenção de estimativas para seus valores a partir de ta- belas e gráficos. 6 Aplicações de Integração Aqui, são apresentadas algumas aplicações de integração – área, volume, trabalho, valor médio – que podem ser feitas sem o uso de técnicas avançadas. Dá- -se ênfase aos métodos gerais. O objetivo é que os alunos consigam dividir uma dada quanti- dade em partes menores, estimar usando somas de Riemann e que sejam capazes de reconhecer o limite como uma integral. 7 Técnicas de Integração Todos os métodos tradicionais são mencionados, mas é claro que o verdadeiro desafio é perceber qual técnica é mais adequada a cada situação. Por esse motivo, na Seção 7.5 apresentamos estratégias para calcular integrais. O uso de sistemas de compu- tação algébrica é discutido na Seção 7.6. PREFÁCIO XIII Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XIII XIV CÁLCULO XIV CÁLCULO 8 Mais Aplicações de Integração Aqui estão as aplicações de integração para as quais é útil dispor de todas as técnicas de integração – área de superfície e comprimento do arco – bem como outras aplicações à biologia, à economia e à física (força hidrostática e centros de massa). Também foi incluída uma seção tratando de probabilidades. Há mais aplicações do que se pode estudar em qualquer curso, assim, o professor deve selecionar aquelas que julgue mais inte- ressantes ou adequadas a seus alunos. VOLUME II 9 Equações Diferenciais Modelagem é o tema que unifica esse tratamento introdutório de equa- ções diferenciais. Campos direcionais e o método de Euler são estudados antes de as equações separáveis e lineares serem solucionadas explicitamente, de modo que abordagens qualitati- vas, numéricas e analíticas recebem a mesma consideração. Esses métodos são aplicados aos modelos exponenciais, logísticos dentre outros para o crescimento populacional. As quatro ou cinco primeiras seções deste capítulo servem como uma boa introdução a equações diferen- ciais de primeira ordem. Uma seção final opcional utiliza os modelos presa-predador para ilus- trar sistemas de equações diferenciais. 10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares Este capítulo introduz curvas paramétricas e polares e aplica os métodos de cálculo a elas. As curvas paramétricas são adequadas a pro- jetos laboratoriais; as apresentadas aqui envolvem famílias de curvas e curvas de Bézier. Um breve tratamento de seções cônicas em coordenadas polares prepara o caminho para as Leis de Kepler, no Capítulo 13. 11 Sequências e Séries Infinitas Os testes de convergência possuem justificativas intuitivas, bem como demonstrações formais. Estimativas numéricas de somas de séries baseiam-se em qual teste foi usado para demonstrar a convergência. A ênfase é dada à série de Taylor e aos polinômios e suas aplicações à física. Estimativas de erro incluem aquelas de dispositivos grá- ficos. 12 Vetores e a Geometria do Espaço O material sobre geometria analítica tridimensional e ve- tores está dividido em dois capítulos. O Capítulo 12 trata de vetores, produtos escalar e veto- rial, retas, planos e superfícies. 13 Funções Vetoriais Aqui, são estudadas as funções a valores vetoriais, suas derivadas e in- tegrais, o comprimento e curvatura de curvas espaciais e a velocidade e aceleração ao longo dessas curvas, finalizando com as Leis de Kepler. 14 Derivadas Parciais As funções de duas ou mais variáveis são estudadas do ponto de vista verbal, numérico, visual e algébrico. As derivadas parciais são introduzidas mediante a aná- lise de uma coluna particular de uma tabela com índices de conforto térmico (temperatura apa- rente do ar), como função da temperatura medida e da umidade relativa. 15 Integrais Múltiplas Para calcular as médias de temperatura e precipitação de neve em da- das regiões, utilizamos mapas de contorno e a Regra do Ponto Médio. São usadas integrais du- plas e triplas no cálculo de probabilidades, área de superfície e, em projetos, do volume de hi- peresferas e da interseção de três cilindros. As coordenadas esféricas e cilíndricas são introduzidas no contexto de cálculo de integrais triplas. 16 Cálculo Vetorial A apresentação de campos vetoriais é feita por meio de figuras dos cam- pos de velocidade do vento na Baía de São Francisco. Exploramos também as semelhanças entre o Teorema Fundamental para integrais de linha, o Teorema de Green, o Teorema de Sto- kes e o Teorema do Divergente. 17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Como as equações diferenciais de primeira ordem foram tratadas no Capítulo 9, este último capítulo trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem, sua aplicação em molas vibrantes e circuitos elétricos, e soluções em séries. XIV CÁLCULO Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XIV PREFÁCIO XV REVISORES DA SÉTIMA EDIÇÃO REVISORES DE TECNOLOGIA Agradecimentos Amy Austin, Texas A&M University Anthony J. Bevelacqua, University of North Da- kota Zhen-Qing Chen, University of Washington— Seattle Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Le Baron O. Ferguson, University of Califor- nia—Riverside Shari Harris, John Wood Community College Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth Uni- versity Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang, Wayne State University Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado no Den- ver and Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Co- lumbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community Col- lege Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas at Ar- lington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama in Hunts- ville Karin Reinhold, State University of New York em Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State Univer- sity Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Aca- demy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University REVISORES DA EDIÇÃO ANTERIOR B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri State Uni- versity Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University A preparação desta edição e das anteriores envolveu muito tempo de leitura e conselhos bem fundamentados (porém, às vezes, contraditórios) de um grande número de revisores astutos. Sou extremamente grato pelo tempo que levaram para compreender minha motivação pela abordagem empregada. Aprendi algo com cada um deles. Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XV Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological Uni- versity Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Bar- bara Scott Chapman, Trinity University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological Uni- versity James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minnea- polis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Mil- waukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald Janusz, University of Illinois at Urbana- Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical Uni- versity, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platte- ville Carl Jockusch, University of Illinois at Urbana- Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York at Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University of Pittsburgh Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona XVI CÁLCULO Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XVI PREFÁCIO XVII Também gostaria de agradecer a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh e Simon Smith por suas sugestões; a Al Shenk e Dennis Zill por autorizarem o uso de exercícios de seus livros de cálculo; à COMAP por autorizar o uso de material do projeto; a George Berg- man, David Bleecker, Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie e Larry Wallen pelas ideias para os exercícios; a Dan Drucker pelo pro- jeto da corrida na rampa; a Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Rid- dle, Philip Straffin e Klaus Volpert pelas ideias para os projetos; a Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker e Barbara Frank por solucionarem os novos exercícios e sugerirem formas de aprimorá-los; a Marv Riedesel, Mary Johnson e John Manalo pela revisão precisa; e a Jeff Cole e Dan Clegg por sua preparação e revisão cuidadosas do manuscrito de respostas. Agradeço também àqueles que contribuíram para as edições anteriores: Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Ko- varik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan Weinstein e Gail Wolkowicz. Também agradeço à Kathi Townes e Stephanie Kuhns, da TECHarts, por seus serviços de produção e à equipe da Brooks/Cole: Cheryll Linthicum, gerente de conteúdo do projeto; Liza Neustaetter, editora assistente; Maureen Ross, editora de mídia; Sam Subity, editor de geren- ciamento de mídia; Jennifer Jones, gerente de marketing; e Vernon Boes, diretor de arte. To- dos realizaram um trabalho excepcional. Sou muito privilegiado por ter trabalhado com alguns dos melhores editores matemáticos do mercado durante as três últimas décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton e, agora, Liz Covello. Todos eles contri- buíram substancialmente para o sucesso deste livro. Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue Uni- versity Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin– Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Tech- nology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Ar- bor Dennis H. Wortman, University of Massachu- setts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Car- bondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XVII As ferramentas de aprendizagem utilizadas até alguns anos atrás já não atraem os alunos de hoje, que dominam novas tecnologias, mas dispõem de pouco tempo para o estudo. Na realidade, muitos buscam uma nova abordagem. A Trilha está abrindo caminho para uma nova estratégia de aprendizagem e tudo teve início com alguns professores e alunos. Determinados a nos conectar verdadeiramente com os alunos, conduzimos pesquisas e entrevistas. Conversamos com eles para descobrir como aprendem, quando e onde estudam, e por quê. Conversamos, em seguida, com professores para obter suas opiniões. A resposta a essa solução inovadora de ensino e aprendizagem tem sido excelente. Trilha é uma solução de ensino e aprendizagem diferente de todas as demais! Os alunos pediram, nós atendemos! • Problemas de Desafio (para os capítulos selecionados, com soluções e respostas) • Problemas Arquivados para todos os capítulos, com soluções e respostas • Slides de Power Point® • Revisão de Álgebra (em inglês) • Revisão de Geometria Analítica (em inglês) • Suplemento: Mentiras que minha calculadora e computador me contaram com exercícios e soluções • Manual do professor (material em inglês, para professores que adotam a obra) Plataforma de acesso em português e conteúdo em português e em inglês! Acesse: http://cursosonline.cengage.com.br Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XVIII A leitura de um livro didatico de calculo difere da leitura de O simbolo aparece em problemas nos quais so emprega- um jornal ou de um romance, ou mesmo de um livro de fisica. dos todos os recursos de um sistema de computacao algébrica Nao desanime se precisar ler o mesmo trecho muitas vezes (como o Derive, Maple, Mathematica ou o TI-89/92). antes de entendé-lo. E, durante a leitura, vocé deve sempre ter Outro simbolo com o qual vocé vai deparar é 0 @, que o lapis, papel e calculadora a mao, para fazer contas e desenhar alerta para um erro comum. O simbolo registra as situagdes em diagramas. que percebi que uma boa parte dos alunos tende a cometer o Alguns estudantes preferem partir diretamente para os mesmo erro. exercicios passados como dever de casa, consultando 0 texto Tools for Enriching Calculus, que sio um material de somente ao topar com alguma dificuldade. Acredito que ler e apoio deste livro, sao indicadas por meio do simbolo e compreender toda a segao antes de lidar com os exercicios é podem ser acessadas pelo Enhanced WebAssign (em inglés). muito mais interessante. Vocé deve prestar especial aten¢ao as As Homework Hints para exercicios representativos sao in- definig6es e compreender 0 significado exato dos termos. E, dicadas pelo ntimero do exercicio em vermelho: 5. Essas dicas antes de ler cada exemplo, sugiro que vocé cubra a solugao e podem ser encontradas no site stewartcalculus.com, bem como tente resolvé-lo sozinho. Assim, sera muito mais proveitoso no Enhanced WebAssign (em inglés). As dicas para ligdes de quando vocé observar a resolugao. casa fazem perguntas que Ihe permitem avangar em diregao a Parte do objetivo deste curso é treina-lo a pensar logica- resolugao sem lhe dar a resposta. Vocé precisa seguir cada dica mente. Procure escrever os estagios da resolugao de forma ar- de maneira ativa, com lapis e papel na mao, a fim de elaborar ticulada, passo a passo, com frases explicativas — e nao somente os detalhes. Se determinada dica nao permitir que solucione o uma série de equagoes e formulas desconexas. problema, vocé pode clicar para revelar a préxima dica. As respostas da maioria dos exercicios impares sao dadas Recomendo que guarde este livro para fins de referéncia ao final do livro, no Apéndice I. Alguns exercicios pedem ex- apés o término do curso. Como vocé provavelmente esquecera plicag6es, interpretagdes ou descrig6es por extenso. Em tais ca- alguns detalhes especificos do calculo, o livro servira como um sos, nao ha uma forma Unica de escrever a resposta, entéo nao lembrete titil quando precisar us4-lo em cursos subsequentes. se preocupe se a sua ficou muito diferente. Da mesma forma, E, como este livro contém uma maior quantidade de material também ha mais de uma maneira de expressar uma resposta al- que pode ser abordada em qualquer curso, ele também pode gébrica ou numérica. Assim, se a sua resposta diferir daquela servir como um recurso valioso para um cientista ou enge- que consta no livro, nao suponha imediatamente que a sua esta nheiro em atuacao. errada. Por exemplo, se vocé chegou em vy2-lea resposta O calculo é uma matéria fascinante e, com justiga, é con- impressa é 1/(1 + V2), vocé esta certo, e a racionalizacao do siderada uma das maiores realizacGes da inteligéncia humana. denominador mostraré que ambas sao equivalentes. Espero que vocé descubra nao apenas o quanto esta disciplina O simbolo “= indica que o exercicio definitivamente exige é util, mas também o quao intrinsecamente bela ela é. o uso de uma calculadora grafica ou um computador com software adequado (na Secao 1.4 discutimos 0 uso desses dis- positivos e algumas das armadilhas que vocé pode encontrar). Mas isso nao significa que vocé nao pode utilizar esses equi- pamentos para verificar seus resultados nos demais exercicios. Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page XX || : : A Testes de Verificagao: Algebra 1. Avalie cada expresséo sem usar uma calculadora. (a) (—3)* (b) —34 (c) 3-4 5% 2\° (d) 5a (e) (2) (f) 16°" 2. Simplifique cada expressdo. Escreva sua resposta sem expoentes negativos. (a) 200 — /32 (b) (3a*b*)(4ab*)? 3x3/2y3 ~2 0 (8%) 3. Expanda e simplifique. (a) 3(x + 6) + 4(2x — 5) (b) (x + 3)(4x — 5) (c) (Va + Vb \(Va — Vb) (d) (2x + 3? (e) (x + 2) 4. Fatore cada expressao. (a) 4x? — 25 (b) 2x7 + 5x — 12 (c) x* — 3x7 — 4x + 12 (d) x* + 27x (e) 3x3? — 9x? + 6x71? (f) x°y — 4xy 5. Simplifique as expressGes racionais. x? + 3x +2 2x*7-x-1 x+3 @ Pox 2d OT -9 Beet X_* x? xt x oy Oa +2 OTT y x 6. Racionalize a expressdo e simplifique. J10 V4t+h -2 (a) F=_Z (b) -———_ 5-2 h 7. Reescreva, completando o quadrado. (a) xr +x41 (b) 2x? — 12x + 11 XXIl CALCULO 8. Resolva a equacao. (Encontre apenas as solug6es reais.) 2x 2x — 1 x+5=14-35x XAT (a) ° (b) x+1 x (c) eP —x-12=0 (d) 2x7 +4x+1=0 (e) xt — 3x7 +2=0 (f) 3]x — 4| = 10 (g) 2x(4 — x)? -—3V4—x =0 9. Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notagao de intervalos. (a) -4<5-3x<17 (b) x7 << 2x +8 (c) x(x — 1)(x + 2) >0 (d) |x —4| <3 2x — 3 Oe! 10. Diga se cada equagao é verdadeira ou falsa. (a) (p+ qP =p +g? (b) Jab = Va vb (c) V@FR =a+b (Sir a ae 1/x _ i Oa 7% y oh bk a-b 7 Respostas dos Testes de Verificagao A: Algebra 1 I. (a) 81 (b) —81 (c) a 6. (a) 5/2 + 2/10 (6) ————~ V4th+2 (d) 25 (e) 7 () § 1\2 3 2. (a) 6y2 (b) 480°” () wo 7. (a) (x +3) +3 (b) 2(x — 32 —7 3. (a) Ilx — 2 (b) 4x2 + 7x — 15 8. (a) 6 (b) 1 (c) —3,4 (c)a—b (d) 4x? + 12x +9 (d) -1 44/2 (ce) +1,4+/2 (ff 3,7? (e) x7 + 6x? + 12x + 8 (g) 2 4. (a) (2x — 5)(2x + 5) (b) (2x — 3)(x + 4) 9 43 b) (-2.4 (c) (x — 3)(x — 2)(e+ 2) (d) x(x + 3)(x? — 3x + 9) @ LF 3) >) (2.4) -1/2 (c) (—2,0) U ,%) (d) (1,7) (e) 3x-0"(x — DQw— 2) (f) xy(v — 2)(a + 2) _ (e) (-1,4] x+2 x-1 5. (a) ——_ (b) —_~ . x—2 x—3 10. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (c) — (d) -(x + y) (d) Falso (e) Falso (f) Verdadeiro Se vocé tiver dificuldade com estes problemas, consulte a Revisao de Algebra, “Review of Algebra” no site www.stewartcalculus.com. Material em inglés. TESTE DE VERIFICAGAO XxXIll BL Testes de Verificagao: Geometria Analitica 1. Encontre uma equagao para a reta que passa pelo ponto (2, —5) e (a) tem inclinagaéo —3 (b) é paralela ao eixo x (c) € paralela ao eixo y (d) é paralela a linha 2x — 4y = 3 2. Encontre uma equacao para o circulo que tem centro (—1, 4) e passa pelo ponto (3, —2). 3. Encontre o centro e o raio do circulo com equagio x? + y? — 6x + 10y + 9 = 0. 4. Sejam A(—7,4) e B(S, —12) pontos no plano: (a) Encontre a inclinagao da reta que contém A e B. (b) Encontre uma equag¢ao da reta que passa por A e B. Quais sao as intersegdes com OS eixos? (c) Encontre 0 ponto médio do segmento AB. (d) Encontre o comprimento do segmento AB. (e) Encontre uma equacao para a mediatriz de AB. (f) Encontre uma equag¢ao para o circulo para o qual AB é um diametro. 5. Esboce as regides do plano xy definidas pelas equagdes ou inequacgoes. (a) -l. y= l-—=x 2 (xt IP + (y- 4% =52 pan2ha=-- st? 3. Centro (3, —5), raio 5 — ra 0 g Oo) 2 4. (a) 3 ~ (b) 4x + 3y + 16 = 0; interseg4o com 0 eixo x, —4; inter- ~ : 16 secao Com 0 €1x0 y, — 3 (d) 2 (e) y (f) y (c) (-1, -4) 5) @ty2=4 3 (d) 20 A yo J (e-) 3x— 4y= 13 : 1 ‘ x \.0 iD x 4 x (f) (x + 1)? + (y + 4? = 100 Yay S4-? Se vocé tiver dificuldade com estes problemas, consulte a Revisao de Geometria Analitica, nos Apéndices B e C. XXIV CALCULO oc | Testes de Verificagao: Funcoes rt] PRET] 1. O grafico de uma fungao f é dado a esquerda. ri | it | ype (a) Diga o valor de f (—1). rh i ' IA | |] (b) Estime o valor de f(2). rt it | td (c) Para quais valores de x vale que f (x) = 2? i \ poy a | fe (d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0. (| ALA LL | (e) Diga qual é o dominio e a imagem de /f. Fit ttt tT 2. Se f(x) = 2°’, calcule 0 quociente da diferenga mae e simplifique sua resposta. FIGURA PARA O PROBLEMA | 3. Encontre o dominio da funcio. 2x +1 vx @MfI=sI a 9 = vt (c) h(x) = V4 -x + Ver —1 x-—2 x +1 4. Como os graficos das funcées sao obtidos a partir do grafico de f? (a) y = f(x) (b) y= 2f(x) — 1 (c) y=f(w— 3) +2 5. Sem usar uma calculadora, faga um esbo¢o grosseiro do grafico. (ay =x° (b)y = (+ 1p ()y=@— 2p +3 d)y=4-x (e) y = Vx (f) y = 2vx (g)y = —2* (hyy= 1 tx! . 1—x*? sex<0 6 Seja fo) = {}, +1 sex>0O (a) Calcule f(—2) e f(1). (b)Esboce 0 grafico de f. 7. Sef(x) = 2x7 + 2x — le g(x) = 2x — 3, encontre cada uma das seguintes funcées. (a) fog (b) ge°f () gegeg 7 Respostas dos Testes de Verificagao C: Funcgdes I. (a) —2 (b) 2,8 (d) y (e) y (f) y (c) —3,1 (d) —2,5, 0,3 4 (e) [-3, 3], [-2, 3] 2.12+ 6h+h? 0) 2 x oO] 1 x oO] 1 x 3. (a) (—%, —2) U (—2, 1) U (1, ») (b) (—%, %) (2) y (hy) oy (©) (-», “ULL 4] \ 1 4. (a) Refletindo em torno do eixo x. 0 / —_ | (b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir transla- yh ' * 0) 1 * dando 1 unidade para baixo. (c) Transladando 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima. 5. 6. (a) —3,3 7. (a) (fog)(x) = 4x? — 8x + 2 (a) y (b) y (c) y (b) » (b) (g ° f)(x) = 2x? + 4x — 5 | | 7 1 (c) (g°g°g)(x) = 8x — 21 (2,3) 1 1 —-1/ 0 x 0 1 x —1 |0 x 0 x Se vocé tiver dificuldade com estes problemas, consulte as secdes 1.1 a 1.3 deste livro. TESTE DE VERIFICAGAO XXV dD Testes de Verificagao: Trigonometria I. Converta de graus para radianos. (a) 300° (b) —18° 2. Converta de graus para radianos. (a) 57/6 (b) 2 3. Encontre o comprimento de um arco de um circulo de raio 12 cm, cujo angulo central é 30°. 4. Encontre os valores exatos. 24 a (a) tg(m/3) (b) sen(7 7/6) (c) sec(57/3) 4 5. Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de 0. b 6. Se senx =}esec y = j, onde xe y est4o entre 0 e 77/2, avalie sen (x + y). FIGURA PARA O PROBLEMA 5 7. Demonstre as identidades. (a) tg sen 6 + cos 0 = sec 0 2tgx (b) ————~ = sen 2x 1 + tgx 8. Encontre todos os valores de x tais que sen 2x = senxe0 Sx <27 9. Esboce o grafico da fungao y = 1 + sen 2x sem usar uma calculadora. 7 Respostas dos Testes de Verificacao D: Trigonometria I. (a) 52/3 (b) —7/10 6. (4 + 62) 2. (a) 150° (b) 360/7 ~ 114,6° 7. No caso de uma demonstragdo, todo o raciocinio é a resposta; o nivel esta correto com o de pré-calculo. 3. 27cm 8. 0, 7/3, 7, 52/3, 27 4. (a) V3 (b) —3 (c)2 9 , 5. (a) 24sen0 (b) 24 cos 6 /\ 7I7\ /\ —_ 0 T x Se vocé tiver dificuldade com estes problemas, consulte o Apéndice D deste livro. Calculo00A:calculo7 5/24/13 6:44 AM Page XXVI Uma Apresentação do Cálculo O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. Ele é menos estático e mais dinâmico. Trata de variação e de movimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando tentamos resolver diversos problemas. Ziga Camernik/Shutterstock Pichugin Dmitry/Shutterstock Brett Mulcahy/Shutterstock iofoto/Shutterstock Quando terminar este curso, você será capaz de estimar o número de trabalhadores necessários para construir uma pirâmide, explicar a formação e localização de arcos-íris, projetar uma montanha- -russa para que ela trafegue suavemente e calcular a força sobre um dique. Calculo00:calculo7 5/24/13 6:39 AM Page XXVII XXVIII CALCULO Ay MM 0 Problema da Area SA As origens do calculo remontam a Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atras, quando foram encontradas areas usando o chamado “método da exaustao”. Naquela €poca, os gregos ja sa- biam encontrar a drea A de qualquer poligono dividindo-o em triangulos, como na Figura | e, em seguida, somando as 4reas obtidas. A=A, + Ay +A3+ Aa + As E muito mais dificil achar a area de uma figura curva. O metodo da exaustio dos antigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com poligonos e, entéo, aumentar o nu- FIGURA | mero de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de um circulo, com poligonos regulares inscritos. — ™ a —_ —<—— <= VA \ Jn £ \ \ Aa eee / ) see LS | | \ nour? NNN Seja A,, a area do poligono inscrito com n lados. A medida que aumentamos n, fica evidente que A,, ficara cada vez mais proxima da area do circulo. Dizemos, entao, que a area do circulo € 0 limite das areas dos poligonos inscritos e escrevemos A= lim A, n> Na Pré-Visualizagao, vocé pode ver , ~ . . : . ope eg como Areas de poligonos inscritos e Os gregos, porém, nao usaram explicitamente limites. Todavia, por um raciocinio indireto, circunscritos aproximam-se da area de um Eudoxo (século V a.C.) usa o método da exaustéo para demonstrar a conhecida férmula da area circulo. do circulo: A = mr’. Usaremos uma ideia semelhante no Capitulo 5 para encontrar a drea de regides do tipo mos- trado na Figura 3. Vamos aproximar a area desejada A por areas de retangulos (como na Fi- gura 4), fazer decrescer a largura dos retangulos e, entao, calcular A como o limite dessas so- mas de Areas de retangulos. y y y y d, 1) d, 1) (i, 1) d, 1) y=x2 0 1 x 0 I 1 3 | «x 0 1 x 0}; 1 x 4 2 4 n FIGURA 3 FIGURA 4 O problema da Area é central no ramo do calculo chamado cdlculo integral. As técnicas que desenvolveremos no Capitulo 5 para encontrar areas também possibilitarao 0 calculo do volume de um sdlido, 0 comprimento de um arco, a forga da 4gua sobre um dique, a massa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a 4gua para fora de um tanque. M8 0 Problema da Tangente Considere o problema de tentar determinar a reta tangente tf a uma curva com equac¢ao y = f(x), em um dado ponto P. (Daremos uma definic¢ao precisa de reta tangente no Capitulo 2. Por ora, vocé pode pens4-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sa- bemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encontrar a equacao de t se conhecer- mos sua inclinagdo m. O problema esta no fato de que, para calcular a inclina¢ao, € necessa- rio conhecer dois pontos e, sobre t, temos somente o ponto P. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximacao para m, tomando sobre a curva um ponto pr6ximo Q e calculando a inclinagao mpg da reta secante PQ. Da Figura 6, vemos que UMA APRESENTAGAO DO CALCULO XXIX [1] _ fo) ~f@ y Mpg = ——————— ) x-—a t : . oe . y = fy) Imagine agora 0 ponto Q movendo-se ao longo da curva em diregéo a P, como na Figura 7. Vocé pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posigao-li- P mite. Isso significa que a inclinagAo mpo da reta secante fica cada vez mais préxima da incli- nacgao m da reta tangente. Isso é denotado por m= lim mpo Q->P 0 x e dizemos que m € 0 limite de mpg quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equagao | para escrever FIGURA 5 A reta tangente em P _, £6) -f@ y [2] m= lim LVL x—a x—a t ae . _ . Ox, f(x) Exemplos especificos desse procedimento serao dados no Capitulo 2. _ : , , : . Pca, fia)) f(x) — fla) O problema da tangente deu origem ao ramo do calculo chamado cdlculo diferencial, que s6 foi inventado mais de 2 mil anos apés o calculo integral. As principais ideias por tras do | X74 | calculo diferencial devem-se ao matematico francés Pierre Fermat (1601-1665) e foram de- | | senvolvidas pelos matemAticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matematico alemao Gottfried Leibniz (1646-1716). 0 a x x Os dois ramos do calculo e seus problemas principais, o da area e o da tangente, apesar de parecerem completamente diferentes, tém uma estreita conex4o. Os problemas da 4reae datan- -FIGURA 6 gente sao problemas inversos, em um sentido que sera explicado no Capitulo 5. A reta secante PQ MH Velocidade y . Quando olhamos no velocimetro de um carro e vemos que ele esta a 48 km/h, 0 que essa in- \ formagao indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, apdés uma hora 0 carro tera percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual 0 significado de a veloci- Q dade ser, em um dado momento, 48 km/h? P Para analisar essa questéo, vamos examinar 0 movimento de um carro percorrendo uma estrada reta e supodo que possamos medir a distancia percorrida por ele (em metros) em in- tervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir: 7 * ae Retas secantes aproximando-se d = Distancia (m) 2 10 25 43 78 da reta tangente Como primeiro passo para encontrar a velocidade apés 4 segundos de movimento, calcu- laremos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4 < ¢ S 8: . _ distancia percorrida velocidade média = tempo decorrido _ 43 — 10 8 — 4 = 8,25 m/s Analogamente, a velocidade média no intervalo 4 < t < 66 . . 25 — 10 velocidade média = ————— = 7,5 m/s 6-4 Nossa intui¢do é de que a velocidade no instante t = 4 nao pode ser muito diferente da ve- locidade média durante um pequeno intervalo de tempo que comega em t = 4. Assim, imagi- naremos que a distancia percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, como na tabela a seguir: XXX CALCULO 10,00 | 11,02 | 12,16 | 13,45 | 14,96 | 16,80 Entao, podemos calcular, por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5]: . . 16,80 — 10,00 velocidade média = —s24. 7 6,8 m/s Os resultados desses calculos estao mostrados na tabela: Intervalo de tempo [4, 6] [4, 5] [4.4.8] | [4.4.6] | [4.4.4] | [4 4,2] Velocidade média (m/s) | 7,5 6,8 6,2 5,75 As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez mais pr6- d ximas de 5; dessa forma, esperamos que exatamente em ft = 4 a velocidade seja cerca de 5 m/s. No Capitulo 2 definiremos a velocidade instantaénea de um objeto em movimento como o li- mite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores. Na Figura 8, mostramos uma representagao grafica do movimento de um carro tragando a distancia percorrida como uma funcao do tempo. Se escrevermos d = f(t), entao f(f) € o numero Ot fo) de metros percorridos apos t segundos. A velocidade média no intervalo de tempo [4, f] é . _ distancia percorrida fi) -f(4 velocidade média = —_____. = -—+_—— tempo decorrido t—4 20 que é a mesma coisa que a inclinagdo da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade v quando 10 P(4, fi4)) t = 4 €0 valor-limite da velocidade média quando t aproxima-se de 4; isto é, th -—f(4 0) 2 4 6 8 10 t » = lim LOTLO. 14 t-—4 FIGURA 8 e, da Equacgao 2, vemos que isso é igual a inclinagao da reta tangente 4 curva em P. Dessa forma, ao resolver 0 problema da tangente em calculo diferencial, também estamos resolvendo problemas relativos 4 velocidade. A mesma técnica se aplica a problemas relati- vos a taxa de variacao nas ciéncias naturais e sociais. M5 0 Limite de uma Sequéncia No século V a.C., 0 fildsofo grego Zenao propds quatro problemas, hoje conhecidos como Pa- radoxos de Zendo, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua época so- bre espaco e tempo. O segundo paradoxo de Zen4o diz respeito a uma corrida entre o herdi grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenao argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele comecgasse em uma posi¢Ao a, e a tartaruga em f; (veja a Figura 9), quando ele atingisse 0 ponto a2 = t, a tartaruga estaria adiante, em uma posigao t. No momento em que Aquiles atingisse a3 = h, a tartaruga estaria em #3. Esse pro- cesso continuaria indefinidamente e, dessa forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre a frente! Todavia, isso desafia 0 senso comum. a a2 a3 a4 a5 wee Aquiles Tartaruga sO FIGURA 9 ty} to t3 ty o+ee Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequéncia. As posigées sucessivas de Aquiles e da tartaruga sao respectivamente (qd), a2, a3, .. .) € (ti, t2, ts, . . .), conhecidas como sequéncias. Em geral, uma sequéncia {a,} € um conjunto de nimeros escritos em uma ordem definida. Por exemplo, a sequéncia UMA APRESENTACAO DO CALCULO XXXI 1111 {La.5.4555---} pode ser descrita pela seguinte f6rmula para o n-ésimo termo: 1 a, = — n Podemos visualizar essa sequéncia marcando seus termos sobre uma reta real, como na Fi- gura 10(a), ou desenhando seu grafico, como na Figura 10(b). Observe em ambas as figuras a4a3 a ay que os termos da sequéncia a, = 1/n tornam-se cada vez mais préximos de 0 4 medida quen = #38} +} + cresce. De fato, podemos encontrar termos tao pequenos quanto desejarmos, bastando para isso 0 ! tomarmos n suficientemente grande. Dizemos, entao, que o limite da sequéncia é 0 e indica- (a) mos isso por 1 e . i lim —=0 :. n>o nL Se eee eee n Em geral, a notagao P2345678 ; (b) lim a, =L n> FIGURA 10 sera usada se Os termos a, tendem a um nimero L quando n torna-se grande. Isso significa que podemos tornar os nimeros a, tao pr6ximos de L quanto quisermos escolhendo um n sufi- cientemente grande. O conceito de limite de uma sequéncia ocorre sempre que usamos a representac¢ao deci- mal de um ntmero real. Por exemplo, se a; = 3,1 az = 3,14 a3 = 3,141 a4 = 3,1415 das = 3,14159 dao = 3,141592 a7 = 3,1415926 entao, lim a, = 7. nx Os termos nessa sequéncia sao aproximagoes racionais de 77. Vamos voltar ao paradoxo de Zenao. As posig6es sucessivas de Aquiles e da tartaruga for- mam as sequéncias {a,} e {t,}, onde a, < t, para todo n. Podemos mostrar que ambas as se- quéncias tém o mesmo limite: lim a, = p = lim f,. ne ne E precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga. M8 A Soma de uma Série Outro paradoxo de Zenao, conforme nos foi passado por Arist6teles, é 0 seguinte: “Uma pes- soa em certo ponto de uma sala nao pode caminhar diretamente até a parede. Para fazer isso ela deveria percorrer metade da distancia, depois a metade da distancia restante e, entéo, no- XXXII CALCULO vamente a metade da distancia que restou e assim por diante, de forma que 0 processo pode ser sempre continuado e nao tera um fim”. (Veja a Figura 11.) Wp i i i L FIGURA II 2 4 8 16 Como naturalmente sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso sugere que a distancia total possa ser expressa como a soma de infinitas distancias cada vez meno- res, como a seguir: 1 1 1 1 1 [3] P=—+—4+—4+—4---4+— 4. 2 4 8 16 2" Zenao argumentava que nao fazia sentido somar um numero infinito de nimeros. Porém, ha situagdes em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notagao decimal, o simbolo, 0,3 = 0,3333... significa 3 3 3 3 — + — + —_ + ——_ +... 10 100 1000 10,000 dessa forma, em algum sentido, deve ser verdade que 3 3 3 3 1 — Ht tHE Hee ee 10 100 1000 10,000 3 Mais geralmente, se d, denotar 0 n-ésimo algarismo na representagdo decimal de um ntmero, entao, d dy d; dn 0, didsdsdy... =—— + —S + —e tee tt ee =_e 10 10? 10° 10" Portanto, algumas somas infinitas, ou, como sao chamadas, séries infinitas, tém um significado. Todavia, é€ necessario definir cuidadosamente 0 que é a soma de uma série. Retornando 4a série da Equacao 3, denotamos por s, a soma dos n primeiros termos da sé- rie. Assim, 1 s=7=0,5 1 1 S25 + 4— 0,75 1 1 1 $3 = 7 +574+ 3 = 0,875 1 1 1 1 So= a +545 + 76 = 0,9375 1 1 1 1 1 sS=atgtgt eta = 0,96875 1 1 1 1 1 1 So=H=at+tagtgtiepet yn t+ | = 0,984375 _ 1 1 1 1 1 1 i SHatgtgtREtetat p= 0,9921875 so =a +a+ +++ + jou ~ 0,99902344 i 1 1 Sig = 5 + 7 tere t 56 = 0,99998474. UMA APRESENTACAO DO CALCULO XXXIII Observe que 4 medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais proximas de 1. De fato, pode-se mostrar que tomando um n suficientemente grande (isto é, adi- cionando um numero suficientemente grande de termos da série), podemos tornar a soma par- cial s, téo proxima de 1 quanto quisermos. Parece, entao, razoavel dizer que a soma da série infinita é 1 e escrever 1 1 1 1 —+—+4+—4+---4+—4+---=]1 2 4 8 2" Em outras palavras, a razao de a soma da série ser 1 é que lim s, = 1 ne No Capitulo 11, Volume II, discutiremos mais sobre essas nog6des. Usaremos, entao, a ideia de Newton de combinar séries infinitas com calculo diferencial e integral. M8) Resumo Vimos que 0 conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a area de uma regiao, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita. Em cada um dos casos, 0 tema comum é 0 calculo de uma quantidade como o limite de outras quanti- dades mais facilmente calculaveis. E essa ideia basica que coloca o cdlculo A parte de outras areas da matematica. Na realidade, poderfamos definir 0 célculo como 0 ramo da matematica que trata de limites. Depois de inventar sua versdo de calculo, Sir Isaac Newton usou-a para explicar 0 movi- mento dos planetas em torno do Sol. Hoje, 0 calculo é usado na determinacao de érbitas de satélites e naves espaciais, na predigao do tamanho de uma populagao, na estimativa de quao rapido os pre¢os do petréleo subem ou caem, na previsao do tempo, na medida do fluxo san- guineo que sai do coragao, no calculo dos prémios dos seguros de vida e em uma grande va- riedade de outras areas. Neste livro vamos explorar algumas dessas aplicag6es do calculo. Para transmitir uma nogao da poténcia dessa mateéria, finalizaremos esta apresentagao com uma lista de perguntas que vocé podera responder usando o calculo: Lo. . . raio a partir do sol 1. Como vocé explicaria o fato, ilustrado na Figura 12, de que o angulo de elevac4o de um wet observador até 0 ponto mais alto em um arco-iris é 42°? oS 2. Como vocé poderia explicar as formas das latas nas prateleiras de um supermercado? 138° 3. Qual o melhor lugar para se sentar em um cinema? raio a partir 4. Como podemos projetar uma montanha-russacom um percurso suave? do sol 42° J 6 5. A qual distancia de um aeroporto um piloto deve comegar a descida para 0 pouso? =— — 6. Como podemos juntar curvas para desenhar formas que representam letras em uma im- / NS pressora a laser? observador ~~ 7. Como podemos estimar o numero de trabalhadores que foram necessdrios paraacons- FIGURA 12 trugao da Grande Piramide de Quéops, no antigo Egito? 8. Onde um jogador deveria se posicionar para apanhar uma bola de beisebol langada por outro jogador e manda-la para a home plate? 9. Uma bola langada para cima leva mais tempo para atingir sua altura maxima ou para cair de volta 4 sua altura original? 10. Como vocé pode explicar o fato de planetas e satélites se moverem em Orbitas elipticas? 11. Como vocé pode distribuir 0 escoamento de 4gua entre as turbinas de uma usina hidre- létrica de modo a maximizar a energia total produzida? 12. Se uma bola de gude, uma bola de squash, uma barra de aco e um cano de ferro rola- rem por uma encosta, qual deles atingira o fundo primeiro? Calculo00:calculo7 5/24/13 6:41 AM Page XXXIV Equações Diferenciais Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando cien- tistas físicos ou cientistas sociais usam cálculo, muitas vezes o fazem para analisar uma equação diferencial que tenha surgido no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando. Embora seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial, veremos que as abordagens gráficas e numéricas for- necem a informação necessária. 9 Ciurzynski/Shutterstock A relação entre as populações de predadores e presas (tubarões e peixes, joaninhas e pulgões, lobos e coelhos) é explorada pelo uso de pares de equações diferenciais na última seção deste capítulo. Calculo09_01:calculo7 5/20/13 8:42 AM Page 525 526 CALCULO 9 | Modelagem com Equacoes Diferenciais Agora é uma boa hora para ler (ou reler) a Na descrigéo do processo de modelagem na Secfo 1.2, no Volume I, falamos a respeito da discussao de modelagem matematica no formulagao de um modelo matematico de um problema real por meio de raciocinio intuitivo Capitulo 1, Volume I. sobre o fendmeno ou por meio de uma lei fisica fundamentada em evidéncia experimental. O modelo matematico frequentemente tem a forma de uma equagdo diferencial, isto é, uma equagao que contém uma funcgdo desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso nao sur- preende, porque em um problema real normalmente notamos que mudangas ocorrem e que- remos predizer 0 comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. Vamos comegar examinando varios exemplos de como as equag6es diferenciais apa- recem quando modelamos um fenémeno fisico. MM Modelos para o Crescimento Populacional Um dos modelos para 0 crescimento de uma populacdo baseia-se na hipdétese de que uma populagao cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Essa hipotese é razodvel para uma populac¢ao de bactérias ou animais em condig6es ideais (meio ambiente ilimitado, nutri- ¢ao adequada, auséncia de predadores, imunidade a doengas). Vamos identificar e dar nomes as varidveis nesse modelo: t = tempo (a variavel independente) P = ntmero de individuos da populacao (a variavel dependente) A taxa de crescimento da populacao € a derivada dP/dt. Assim, nossa hipdétese de que a taxa de crescimento da populacao é proporcional ao tamanho da populagao é escrita como a equacgdo dP [7] <= Kp dt onde k é a constante de proporcionalidade. A Equacao | é nosso primeiro modelo para 0 cres- cimento populacional; é uma equacao diferencial porque contém uma fungao desconhecida P e sua derivada dP/dt. Tendo formulado um modelo, vamos olhar para suas consequéncias. Se desconsiderar- mos uma populac¢a4o nula, entao P(t) > 0 para todo f¢. Portanto, se k > 0, entao a Equacao 1 P mostra que P’(t) > 0 para todo t. Isso significa que a populacao esta sempre aumentando. De fato, quando P(t) aumenta, a Equagao | mostra que dP/dt torna-se maior. Em outras palavras, a taxa de crescimento aumenta quando a populag¢ao cresce. Nao é dificil pensar em uma solucdo para a Equagao 1. Esta equacao nos pede para encontrar uma funcdo cuja derivada seja uma constante multiplicada por ela prdpria. Sabe- mos do Capitulo 3, no Volume 1, que as fungdes exponenciais tém esta propriedade. De fato, ‘ se fizermos P(t) = Ce", entio P(t) = C(ke) = k(Ce™) = kP(t) Portanto, qualquer fungao exponencial da forma P(t) = Ce” é uma solucao da Equacao 1. FIGURA 1 Quando estudarmos essa equagéo em detalhes na Se¢4o 9.4, veremos que nao existe outra A familia de solugdes de dP/dt = kP solucao. Se fizermos C variar em todos os niimeros reais, obtemos a familia de solucdes P(t) = Ce" cujos graficos sio mostrados na Figura 1. Mas as populacdes tém apenas valores P positivos e, assim, estamos interessados somente nas solugdes com C > 0. E estamos prova- velmente preocupados apenas com valores de t maiores que o instante inicial t = 0. A Figu- ra 2 mostra as solugdes com significado fisico. Fazendo t = 0, temos P(0) = Ce = C, de modo que a constante C acaba sendo a populagao inicial, P(0). A Equacio | é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob condig6es 9 t ideais, mas devemos reconhecer que um modelo mais realista deveria refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados. Muitas populagdes comecam crescendo expo- nencialmente, porém o nivel da populagao se estabiliza quando ela se aproxima de sua capa- FIGURA 2 cidade de suporte M (ou diminui em direcdo a M se ela excede o valor de M). Para um A familia de solugdes P(t) = Ce“ modelo considerar ambos os casos, fazemos duas hipéteses: comC>0et20 EQUACOES DIFERENCIAIS 527 dP oe ; 2 ; - =~ kP se Pfor pequeno (inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P). dP ae . he <0 seP>M _ (Pdiminui se exceder M). Uma expressdo simples que incorpora ambas as hipoteses é dada pela equacao dP P [2] <= ppl - = dt K Observe que, se P € pequeno quando comparado com M, entao P/M esta proximo de 0 e, por- tanto, dP/dt ~ kP. Se P > M, entao | — P/M é negativo e, assim, dP/dt < 0. A Equacao 2 é chamada equacdo diferencial logistica e foi proposta pelo matematico e bidlogo holandés Pierre-Francois Verhulst na década de 1840 como um modelo para o cres- cimento populacional mundial. Desenvolveremos técnicas que nos permitam encontrar solu- ges explicitas da equacdo logistica na Secdo 9.4, mas, enquanto isso, podemos deduzir as caracteristicas qualitativas das solugdes diretamente da Equacao 2. Primeiro, observamos que as fung6es constantes P(t) = 0 e P(t) = M sao solucées, porque, em qualquer um dos casos, um dos fatores do lado direito da Equagao 2 é zero. (Isso certamente tem um signifi- cado fisico: se a populagéo sempre for 0 ou estiver na capacidade de suporte, ela fica desse jeito.) Essas duas solucg6es constantes sio chamadas solugées de equilibrio. Se a populacao inicial P(O) estiver entre 0 e M, entao o lado direito da Equacao 2 € posi- tivo; assim, dP/dt > 0 e a populacao aumenta. Mas se a populacdo exceder a capacidade de suporte (P > M), entéo 1 — P/M é€ negativo, portanto dP/dt < 0 e a populacao diminui. Observe que, em qualquer um dos casos, se a populacao se aproxima da capacidade de suporte (P — M), entéo dP/dt — 0, o que significa que a populacao se estabiliza. Dessa forma, esperamos que as solugdes da equagao diferencial logistica tenham graficos que se parecam com aqueles da Figura 3. Observe que os graficos se distanciam da solugao de equi- librio P = 0 e se aproximam da solucao de equilibrio P = M. P P=M Solucao de equilibrio at FIGURA 3 Solugées da equacao logistica M8 Modelo para o Movimento de uma Mola Vamos olhar agora para um modelo fisico. Consideremos 0 movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical (como na Figura 4). Na Secao 6.4, no Volu- me I, discutimos a Lei de Hooke, que diz que, se uma mola for esticada (ou comprimida) x = > unidades a partir de seu tamanho natural, entao ela exerce uma forcga que é proporcional a x: Ss 2 ee = $ forga elastica kx Posicao | S$ onde k é€ uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos qualquer forga de equilibrio 2 externa de resisténcia (por causa da resisténcia do ar ou do atrito), entéo, pela segunda Lei Ss de Newton (forga é igual 4 massa vezes a aceleracg4o), temos x d’x / a moe = aka : dt FIGURA 4 528 CALCULO Esse € um exemplo do que chamamos equacdo diferencial de segunda ordem, porque envol- ve derivadas segundas. Vamos ver 0 que podemos deduzir da solugao diretamente da equa- cao. Podemos reescrever a Equagdo 3 na forma d’x k —>=-—x dt m que diz que a derivada segunda de x € proporcional a x, mas tem o sinal oposto. Conhecemos duas fung6es com essa propriedade, as fung6es seno e cosseno. De fato, todas as solugdes da Equacao 3 podem ser escritas como combinagoes de certas fungdes seno e cosseno (veja 0 Exercicio 4). Isso nao é surpreendente; esperamos que a mola oscile em torno de sua posicao de equilibrio e, assim, é natural pensar que fung6es trigonométricas estejam envolvidas. M0 Equacoes Diferenciais Gerais Em geral, uma equagao diferencial é aquela que contém uma fungao desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. A ordem de uma equacao diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equagao. Dessa maneira, as Equacgdes | e 2 sao de primeira ordem e a Equacao 3 é de segunda ordem. Em todas as trés equages, a varidvel independente é cha- mada ¢ e representa o tempo, mas, em geral, a variavel independente nao precisa representar o tempo. Por exemplo, quando consideramos a equagao diferencial [4] yl = xy entendemos que y seja uma fungdo desconhecida de x. Uma func¢ao f é denominada solucao de uma equagao diferencial se a equacao € satisfei- ta quando y = f (x) e suas derivadas sao substituidas na equagao. Assim, f é uma solugao da Equagao 4 se f'(x) = xf (&) para todos os valores de x em algum intervalo. Quando nos pedem para resolver uma equagao diferencial, espera-se que encontremos todas as solucées possiveis da equagao. Ja resolvemos algumas equacées diferenciais parti- cularmente simples; a saber, aquelas da forma y =f@) Por exemplo, sabemos que a solugao geral da equacao diferencial yx é dada por 4 =~ 4¢ x4 onde C é uma constante qualquer. Mas, em geral, resolver uma equacao diferencial nao é uma tarefa facil. Nao existe uma técnica sistematica que nos permita resolver todas as equagoes diferenciais. Na Secao 9.2, contudo, veremos como esbogar os graficos das solugdes mesmo quando nao temos uma f6r- mula explicita. Também aprenderemos como achar aproximag6es numéricas para as solucées. (Sie Mostre que todo membro da familia de fungdes _ l+ce' 1 = ce! é uma solucao da equagao diferencial y’ = 5 (y? — 1). SOLUCAO Usamos a Regra do Quociente para derivar a expressdo em relacdo a y: , _ (= ce')(ce') — (1 + ce')(~ce') y (1 -—¢ ey EQUACOES DIFERENCIAIS 529 cece" +ce'+ cre" ——— 2ce! (1 — ce’) (1 — ce’) O lado direito da equagao diferencial torna-se yr yat} (Lee) |b] Gt cell = Uo eel? ° 2 1 — ce’ 2 (1 — ce’) t t A Figura 5 ilustra os graficos de sete membros —_— i __ Ace! —_— __ 2cer da familia do Exemplo 1. A equacao diferencial 2 (1 - ce’? (1 — ce’ mostra que y ~ +1, ent&éo y’ ~ 0. Isso é visualizado pelo achatamento dos graficos proximo dey = ley=—l. Portanto, para todo valor de c, a fung¢ao dada é solugao da equag¢ao diferencial. | Quando aplicamos as equagées diferenciais, geralmente nao estamos tao interessados em ° encontrar uma familia de solucg6es (a solucdo geral) quanto em encontrar uma solucgdo que / satisfaga algumas condigées adicionais. Em muitos problemas fisicos precisamos encontrar __ Z| A i i ici i = é . oo OE SSS uma solugao particular que satisfaga uma condigdo do tipo y(to) Yo- Esta é chamada con 5 S== — 5 dicao inicial, e o problema de achar uma solucao da equagao diferencial que satisfaga a con- = dig&o inicial é denominado problema de valor inicial. / Geometricamente, quando impomos uma condicao inicial, olhamos para uma familia de 5 curvas solugao e escolhemos uma que passe pelo ponto (fo, yo). Fisicamente, isso correspon- de a medir 0 estado de um sistema no instante foe usar a solucdo do problema de valor ini- FIGURA 5 cial para prever o comportamento futuro do sistema. (SQM Encontre uma solucio da equaciio diferencial y’ = ; (y? — 1) que satisfaga a condi¢ao inicial y(O) = 2. SOLUCAO Substituindo os valores t = 0 e y = 2 na férmula _ ltce' oT = ce! do Exemplo 1, obtemos a 1 + ce°® tite 1 — ce° l-c Resolvendo essa equacao para c, temos 2 — 2c = 1 + c, o que fornece c = ;. Assim, a solu- ¢ao do problema de valor inicial é l+je’ 3+e y= Tote => | —37e 3-—e a Exercicios 1. Mostre que y = x — x7! € uma soluciio da equacio diferencial (b) Se r; € rz S40 os valores que vocé encontrou no item (a), mos- xy’ +y = 2x. tre que todo membro da familia de fungdes y = ae™ + be’™ . também é lugao. 2. Verifique se y = sen x cos x — cos x € uma soluc4o do problema amber © tama Sonusao de valor inicial 4. (a) Para quais valores de k a funcao y = cos kt satisfaz a equacao y’ + (tg x) y = cos*x y(0) = -1 diferencial 4y” = —25y? no intervalo ~7/2 (d) y’ = sen(xy) cos (xy) solugdes da equagao no item (a). l+e (c) Vocé pode pensar em uma solucdo da equac4o diferencial y’ = —y’ que nao seja membro da familia no item (b)? I y Il y (d) Encontre uma solugao para 0 problema de valor inicial yay y(0) = 0,5 8. (a) O que vocé pode dizer sobre 0 grafico de uma solugao da 0 Xx equagaio y’ = xy quando x esta préximo de 0? E se x for 7 > grande? (b) Verifique se todos os membros da familia y = (c — x*)~!” sio solugées da equacio diferencial y’ = xy’. AE (c) Trace varios membros da familia de solugdes na mesma tela. Ill y IV y Os graficos confirmam o que vocé predisse no item (a)? (d) Encontre uma solucao para 0 problema de valor inicial yo=xy y(0) =2 9. Uma populagao é modelada pela equacao diferencial 0 x 0 x dP P — = 1,2P\ 1 - —— dt 4 200 (a) Para quais valores de P a pop ulagao esta aumentando? 14. Suponha que vocé tenha acabado de servir uma xicara de café re- (b) Para quals valores de Pa populagao esta diminuindo? cém-coado com uma temperatura de 95°C em uma sala onde a (c) Quais sAo as solucGes de equilibrio? temperatura é de 20°C. 10. A fun¢ao y(t) satisfaz a equacao diferencial (a) Quando vocé acha que o café esfria mais rapidamente? O que dy acontece com a taxa de resfriamento com o passar do tempo? na y* — 6y? + 5y? Explique. (b) A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de res- (a) Quais sdo as solugdes constantes da equaciio? friamento de um objeto é proporcional 4 diferenga de tempe- (b) Para quais valores de y a funcd4o esta aumentando? ratura entre o objeto e sua vizinhanga, desde que essa dife- (c) Para quais valores de y a funciio esté diminuindo? renga nfo seja muito grande. Escreva uma equacao diferencial . . . . _ 8 para expressar a Lei de Resfriamento de Newton nessa situa- 11. Explique por que as fungdes cujos graficos sao dados a seguir ndo cio particular. Qual a condicdo inicial? Tendo em vista sua res- podem ser solugoes da equagao diferencial posta no item (a), vocé acha que essa equacao diferencial é um dy “ 1 modelo apropriado para o resfriamento? Ss” = py — dt » (c) Faga um esboco para o grafico da solugao do problema de va- (a) y (b) y lor inicial no item (b). 15. Os psicdlogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas de aprendizado. Seja P(t) o nivel de desempenho de al- l l guém aprendendo uma habilidade como uma fungao do tempo de treinamento ft. A derivada dP/dt representa a taxa em que o de- sempenho melhora. 1 ‘ 1 ‘ (a) Quando vocé acha que P aumenta mais rapidamente? O que acontece a dP/dt quando t aumenta? Explique. EQUACOES DIFERENCIAIS 531 (b) Se M € 0 nivel maximo de desempenho do qual o aprendiz é é um modelo razoavel para 0 aprendizado. capaz, explique a razao pela qual a equagao diferencial (c) Faga um esbogo de uma possivel solucaéo da equagao dife- dP rencial. a k(M — P) k uma constante positiva, ce Campos de Direcoes e Método de Euler Infelizmente é impossivel resolver a maioria das equagoes diferenciais de forma a obter uma formula explicita para a solugao. Nesta secéo, mostraremos que, mesmo sem uma solu¢ao explicita, podemos ainda aprender muito sobre a solugao por meio de uma abordagem grafi- ca (campos de diregdes) ou de uma abordagem numérica (método de Euler). M8 Campos de Diregoes Suponha que nos pecam para esbogar 0 grafico da solucdo do problema de valor inicial ylosxty y(0) = 1 Nao conhecemos uma férmula para a solucdo, entéo como é possivel que esbocemos seus graficos? Vamos pensar sobre o que uma equacdo diferencial significa. A equa¢ao y’ =x + ynos diz que a inclinagao em qualquer ponto (x, y) no grafico (chamado curva solu- cdo) € igual a soma das coordenadas x e y no ponto (veja a Figura 1). Em particular, como a curva passa pelo ponto (0, 1), sua inclinacao ali deve ser 0 + 1 = 1. Assim, uma pequena porcdo da curva solucdo préxima ao ponto (0, 1) parece um segmento de reta curto que passa por (0, 1) com inclinagao 1 (veja a Figura 2). y y A inclinagéo em A inclinagéo em (x1, 1) € (X2, Yo) € x+y X2 + Yo. (0, 1) | A inclinagao em (0, 1) é O+1=1. 0 x 0 x FIGURA 1 FIGURA 2 Uma solugao de y’=x + y Inicio da curva solugdo que passa por (0, 1) Como um guia para esbocar o restante da curva, vamos desenhar pequenos segmentos de reta em diversos pontos (x, y) com inclinagdéo x + y. O resultado, denominado campo de dire- ¢6es, € mostrado na Figura 3. Por exemplo, o segmento de reta no ponto (1, 2) tem inclina- cao 1 + 2 = 3. O campo de diregdes nos permite visualizar o formato geral das curvas solucao pela indicacgao da direg4o na qual as curvas prosseguem em cada ponto. y y --S// // 1 tot --7/7/ /f/ 7 1 ot No -s/ // 711i Noa Ss/ Wlet tod NN - 7 7% JY it? NO 7 7% J / 1 ft tf \V\nN- 2 a a VS ao“) / / /! V\VNN = ar a VVNNN = ZL tT 0 1 2 x 0 1 2 x VVVNN --~7/1/ VY \V\VNN --SF7/ 71 V\V\V\N N-- Ss / V\V\V VN Na - Ss / \ \ Vo VN NN 7-7 7% \ \ \V VN NN = 7 7% VY Vv AN \Y\N- 27 , \ VV AN V\N- = VV \ Vo \ VNN\N = Y VV \ A VN\N = FIGURA 3 FIGURA 4 Campo de direcGes para y’= x + y A curva solucao que passa por (0, 1) 532 CALCULO Agora, podemos esbogar a curva solucdo pelo ponto (0, 1), seguindo o campo de direcdes como na Figura 4. Observe que desenhamos a curva de modo a torna-la paralela aos seg- mentos de reta proximos. Em geral, suponha que tenhamos uma equacao diferencial de primeira ordem do tipo y' = F(x, y) onde F(x, y) € alguma expresso em xe y. A equacao diferencial diz que a inclinagao da curva solucdo no ponto (x, y) na curva é F(x, y). Se desenharmos pequenos segmentos de reta com inclinagao F(x, y) em varios pontos (x, y), o resultado sera chamado campo de diregées (ou campo de inclinagées). Esses segmentos de reta indicam a diregéo na qual uma curva solu- ¢4o esta seguindo, de modo que o campo de diregOes nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas. Een y (a) Esboce 0 campo de direcgées para a equacdo diferencial y’ = x? + y? — 1. L/] / /2¢ 7 7 Td (b) Use a parte (a) para esbogar a curva solucdo que passa pela origem. Ll/IS¥ ST TI - lf forevyy | SOLUCAO | J—-~n\n—// (a) Podemos comegar calculando a inclinagdéo em varios pontos na seguinte tabela: ee ee ee ee piven ey yp fy of of of of ott ay ty tye. pic tee ll Greweesrpa fori fetsyati peti fap] 9 Agora, podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinagGes nesses pontos. FIGURA 5 O resultado é 0 campo de diregdes mostrado na Figura 5. LL] ) i] ] 4d (b) Podemos comegar na origem e nos mover para a direita na diregao do segmento de reta I] / / Ve (que tem inclinagéo —1). Continuamos a desenhar a curva solugéo de maneira que ela se |) feowe-y / mova paralela aos segmentos de reta pr6ximos. A curva solucgao resultante é exposta na we ea Figura 6. Voltando para a origem, desenhamos a curva solucdo para a esquerda da mesma maneira. 7 = -1 0 x i J —-—~NS7/ j Quanto mais segmentos desenharmos no campo de direg6es, mais clara se tornara a figura. [/f4=1-—- 7 / | E claro que é tedioso calcular as inclinagdes e desenhar segmentos de reta para um nimero lL / / 7 a | muito grande de pontos manualmente, mas os computadores facilitam essa tarefa. A Figura // / Rel ill 7 apresenta um campo de diregdes mais detalhado, desenhado por um computador, para a equacao diferencial no Exemplo 1. Isso nos permite desenhar, com uma preciso razoavel, FIGURA 6 as curvas solucao exibidas na Figura 8 com intersecgdes com 0 eixo y iguais a —2, —1, 0, 1 e 2. 0 Module 9.2A mostra os campos 3 de diregdes e as curvas solugdo para varias 3 equacoes diferenciais. PLELLEP adr dal | LEI sa TTT } LELIIISSASS IIIA | /) } lll //7-4-7// 111 To /] 11 /-=S4N=-771 | p-~ 4 3 _3 YS ff 3 [1/1 /--~s%~s~--// 11 j Nf III /2-4-2// 111 | 7 LEI ISSSASSI TIA | LEI IT TI /a/ 7 TTI | f PEL tri i gr tri dtdl I | R 3 3 FIGURA 7 FIGURA 8 L Depois disso, vamos ver como campos de diregdes dao uma percepcio das situacées fisicas. O circuito elétrico simples, mostrado na Figura 9, contém uma forca eletromotriz (geral- mente uma pilha ou gerador) que produz uma voltagem de E(#) volts (V) e uma corrente de interruptor I(t) amperes (A) em um instante f. O circuito também possui um resistor com resisténcia FIGURA 9 de R ohms [(Q] e um indutor com indutancia de L henrys (H). EQUACOES DIFERENCIAIS 533 A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor € RI. A queda de vol- tagem por causa do indutor é L(di/dt). Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das que- das de voltagem é igual 4 voltagem fornecida E(7). Entaéo temos dl [1] L— + RI = E(t) dt que é uma equacao diferencial de primeira ordem que modela a corrente J no instante t. (SGM Suponha que no circuito simples da Figura 9 a resisténcia seja de 12 0, a indu- tancia 4 H e a pilha fornega uma voltagem constante de 60 V. (a) Desenhe um campo de diregdes para a Equacao | com esses valores. (b) O que vocé pode dizer sobre o valor-limite da corrente? (c) Identifique quaisquer solugées de equilibrio. (d) Se o interruptor for fechado quando t = 0, de forma que a corrente comece com 1(O) = 0, use 0 campo de direg6es para esbogar a curva solugao. SOLUCAO (a) Se fizermos L = 4, R = 12 e E(t) = 60 na Equagao 1, obteremos dl dl 4— + 121 = 60 ou —=15-3I] dt dt O campo de direg6es para essa equacdo diferencial €é mostrado na Figura 10. I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \N \ \ ~ \ \ \N \ \ \ 6% NN NNNNCWNDCUDNN NON NN ~~ nS on" sr o~es—dSsri io oa~_— eas —iclCrT ~TSCU TSU OTC hh eee 4 4 # Ff FH FY LF FH HK FH AH LF 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 / 7 7 / 7 7 / 7 7 / / / / / / / / / / / / / 2 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 Port dD FIGURA 10 | | / / | / I / / I I / (b) Parece, a partir do campo de direcgdes, que todas as solucdes se aproximam do valor 5 A, isto é, lim (1) = 5 (c) Parece que a fungdo constante J(t) = 5 € uma solucdo de equilibrio. De fato, podemos verificar isso diretamente da equacao diferencial di/dt = 15 — 3/. Se I(t) = 5, entao o lado esquerdo é di/dt = 0 e 0 lado direito é 15 — 3(5) = 0. (d) Usamos 0 campo de diregdes para esbogar a curva solucdo que passa por (0, 0), como indicado na Figura 11. I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 N NN NN NNN ON ON ON ON ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~ ~~ O™~ O™ SF SS eee 4 ~ FG 7“ AH 4H fC AH & 7 7 7 7 7 7 7 7 4 J 7 7 4 7 7 J ff / / / / / / / 2 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / J / / / / 0 Doro Dor / 1 1 3 FIGURA 11 | | / ! | / ! ! / I ! / rd 534 CALCULO Observe que na Figura 10 os segmentos de reta ao longo de qualquer reta horizontal sao para- lelos. Isso ocorre porque a variavel independente t nao aparece do lado direito da equacao I’ = 15 — 3/. Em geral, uma equacao diferencial do tipo y =f) onde a variavel independente nao aparece do lado direito € chamada auténoma. Para tal equac¢ao, as inclinagdes correspondentes a dois pontos diferentes com a mesma coordenada y devem ser iguais. Isso significa que, se conhecermos uma solug4o para uma equacgao dife- rencial aut6noma, entao poderemos obter infinitas outras apenas pelo deslocamento do gra- fico da solugéo conhecida para a esquerda ou para a direita. Na Figura 11, mostramos as solugdes que resultam do deslocamento da curva solugao do Exemplo 2 uma ou duas unida- des de tempo (ou seja, segundos) para a direita. Elas correspondem ao fechamento do inter- ruptor quando t = | out = 2. MM Método de Euler y A ideia basica por tras dos campos de direg6es pode ser usada para encontrar aproximag6es - numeéricas para as solugdes das equagées diferenciais. [lustramos 0 método no problema de curva solugao valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de diregGes: yaxty y(0) = 1 1 y=L(x) A x 4: wy 4: "Q) = —|- 5 incli equacao diferencial diz que y’(0) = 0 + 1 = 1; dessa forma, a curva solucao tem inclina- ¢ao | no ponto (0, 1). Como uma primeira aproximagao para a solugao, poderfamos usar uma 0 1 * aproximacgdo linear L(x) = x + 1. Em outras palavras, poderiamos usar a reta tangente em (0, 1) como uma aproximacao grosseira para a curva solugao (veja a Figura 12). FIGURA 12 A ideia de Euler era melhorar essa aproximacéo percorrendo apenas uma pequena dis- Primeira aproximacao de Euler tancia ao longo da reta tangente e, entéo, fazer uma correg4o no meio do caminho, mudan- do a direcdo, como indicado pelo campo de diregdes. A Figura 13 mostra 0 que acontece se comecamos ao longo da reta tangente, mas paramos quando x = 0,5. (Essa distancia hori- zontal percorrida €é chamada de passo.) Como L(0,5) = 1,5, temos y(0,5) ~ 1,5 e tomamos (0,5, 1,5) como o ponto de partida para um novo segmento de reta. A equacdo diferencial nos diz que y’(0,5) = 0,5 + 1,5 = 2, assim, usamos a funcao linear Euler y = 1,5 + 2@ — 0,5) = 2x + 0,5 Leonhard Euler (1707-1783) foi o principal mateméatico de meados do século XVIII e o mais como uma aproximagaéo para a solucao para x > 0,5 (veja o segmento azul-escuro na Figu- prolifico de todos os tempos. Ele nasceu na ra 13). Se diminuirmos o passo de 0,5 para 0,25, obteremos uma aproximacao de Euler Suiga, mas passou a maior parte de sua carreira melhor (veja a Figura 14). nas academias de ciéncias apoiadas por Catarina, a Grande em Sao Petersburgo e y y Frederico, o Grande em Berlim. Os trabalhos reunidos de Euler (pronunciado Oiler) completam cerca de 100 grandes volumes. Como 0 fisico francés Arago disse: “Euler calculava sem esforgo aparente, como os homens respiram ou como as aguias se sustentam no ar”. Os ! 1,5 1 calculos e as escritas de Euler nao diminufram | com o fato de ele ter que criar 13 filhos ou por 0 ~ 0 ~ ele ter ficado completamente cego nos ultimos 0,5 ! 0,25 1 17 anos de sua vida. Na verdade, quando ficou cego, ditava suas descobertas para seus FIGURA 13 FIGURA 14 ajudantes a partir de sua prodigiosa meméria e Aproximacao de Euler com 0 passo 0,5 Aproximacio de Euler com 0 passo 0,25 imaginagao. Seus tratados sobre calculo ea maioria dos outros assuntos matematicos Em geral, 0 método de Euler diz para comegarmos no ponto dado pelo valor inicial e pros- tornaram-se padrao para o ensino de seguirmos na direcdo indicada pelo campo de diregdes. Paramos apés um intervalo de tempo, matematica ¢ a equagao e+ 1= 0 que ele olhamos para a inclinacao na nova localizac4o e prosseguimos naquela direcao. Continuamos descobriu relaciona os cinco numeros mals parando e mudando de diregao de acordo com 0 campo de diregdes. O método de Euler nao famosos de toda a matematica. . yo . . produz a solugao exata para um problema de valor inicial ele fornece aproximagoées. Mas, pela diminuigao do passo (e, portanto, aumentando o nimero de corregdes no meio do cami- nho), obtemos aproximag6es sucessivamente melhores para a solucdo exata. (Compare as Figuras 12, 13 e 14.) Para o problema de valor inicial de primeira ordem geral y’ = F(x, y), y(%o) = yo, nosso objetivo é encontrar valores aproximados para a solug¢ao em ntimeros igualmente espaga- dos x0, X1 =X + h,x. =x, +h,..., onde h € 0 passo. A equagao diferencial nos diz que EQUACOES DIFERENCIAIS 535 a inclinag4o em (Xo, yo) € y’ = F(Xo, yo), assim, a Figura 15 nos mostra que o valor aproxi- y mado para a solucao quando x = x é Inclinag&io = F(X», yo) = yo + hF(o, y1 = Yo (x0, Yo) (91) Analogamente, y. = y. + AF, yi) hF (Xo; Yo) Em geral, Yn = Yn-1 + AF(Xn-1, Yn-1) n Yo Método de Euler Os valores aproximados para a solugao do problema de valor inicial y’ = F(x, y), y(%o) = yo, com passo A, em X, = Xn-1 + h, sio 0 % x * n = Yn- + hF n—-1,5 Yn—- = 1,2,3,... Yn = Yor FAR Givv Yee) FIGURA 15 (SQVRME Use o método de Euler com o passo 0,1 para construir uma tabela de valores aproximados para a solugdo do problema de valor inicial yaxty y(0) = 1 SOLUCAO Sabemos que h = 0,1, xo = 0, yo = 1 e F(x, y) = x + y. Logo, temos yi = yo + hF(x, yo) = 14+ 0,10 4+ 1) = 1,1 yo = y1 + hF(x, yi) = 1,1 + 0,100,1 + 1,1) = 1,22 y3 = yo + HF, y2) = 1,22 + 0,1(0,2 + 1,22) =1,362 Isso significa que, se y(x) € a solucao exata, entao y(0,3) ~ 1,362. Prosseguindo com calculos similares, temos os valores na tabela: método de Euler funciona numérica e 1 0,1 1,100000 6 0,6 1,943122 visualmente por varias equagdes 2 0,2 1,220000 7 0,7 2,197434 diferenciais e passos. 3 0,3 1,362000 8 0,8 2,487178 4 0,4 1,528200 9 0,9 2,815895 5 0,5 1,721020 10 1,0 3,187485 7 Para uma tabela com valores mais precisos no Exemplo 3, poderiamos diminuir 0 tama- nho do passo. Contudo, para um numero grande de pequenos passos, a quantidade de calcu- los € consideravel e, assim, precisamos programar uma calculadora ou um computador para fazer os calculos. A seguinte tabela mostra os resultados da aplicagaéo do método de Euler com diminuicgdo do tamanho do passo para o problema de valor inicial do Exemplo 3. Estimativa de Euler para y (0,5) Estimativa de Euler para y(1) 0,500 1,500000 2,500000 0,250 1,625000 2,8828 13 0,100 1,721020 3,187485 Os pacotes de software para computador que produzem aproximagdes numéricas 0,050 1,757789 3,306595 para solugdes de equagées diferenciais 0,020 1,781212 3,383176 utilizam os métodos que sao refinamentos do método de Euler. Embora 0 método de 0,010 1,789264 3,409628 Euler seja simples e nado tao preciso, é a 0.005 1.793337 3.423034 ideia basica em que os métodos mais > , , precisos sao baseados. 0,001 1,796619 3,433848 Observe que as estimativas de Euler na tabela parecem estar se aproximando de limites, a saber, os valores verdadeiros de y(0,5) e y(1). A Figura 16 mostra os graficos das aproxi- magoes de Euler com os passos 0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 e 0,005. Eles estao se apro- ximando da curva soluga4o exata 4 medida que o passo h se aproxima de 0. 536 CALCULO y 1 FIGURA 16 Aproximacées de Euler 0 0,5 1 * tendendo a solugao exata 8 (S205 No Exemplo 2 discutimos um circuito elétrico simples com resisténcia 12 Q, in- dutancia 4 H e uma pilha com voltagem 60 V. Se o interruptor for fechado quando t = 0, modelamos a corrente J no instante ¢ pelo problema de valor inicial dl — =15-3] (0) =0 dt Estime a corrente no circuito meio segundo apés o fechamento do interruptor. SOLUCAO Usamos 0 método de Euler com F(t, 1) = 15 — 3/, to = 0, lo = 0 € 0 passo h = 0,1 segundo: 1, =0+0,105 — 3-0) = 1,5 = 1,5 + 0,105 — 3+ 1,5) = 2,55 I; = 2,55 + 0,105 — 3 - 2,55) = 3,285 TI, = 3,285 + 0,1015 — 3 + 3,285) = 3,7995 Is = 3,7995 + 0,115 — 3 - 3,7995) = 4,15965 Assim, a corrente apds 0,5 s é 1(0,5) ~ 4,16 A | 92 | Exercicios 1. E mostrado um campo de diregdes para a equacdo y y’ =x COS Try. V\\V VN \2B0¢ 4 427 7 7 7 1 : Bes que sat 6 PERV SSS ESC (a) Esboce os graficos das solugGes que satisfazem as condigdes ,\Y\YVNeTs774 4 4s iniciais dadas. LLL Ls tapes eee 77 . _ . _ ees Ey eee (i) yO) =0 (ii) yO) = 0,5 i NN (iii) y(0) = 1 (iv) y(O) = 1,6 ee NNN (b) Ache todas as solugées de equilibrio. rp Gs tot < SY YL PI? tee 2 trnrnvnV VV A PI Lee ertrenvnvv vy \ lls bere ~NNN\ A \ LE LEZ EAEISS SAYS NNNNNOSO —-—--7r7 SY + VNNNNNS -—-7- 77 / / | \\VNNNNS -~ 277 4 / | | \\\VVNNNS ~4 4 4 1 fT \ \ \\N NNN -~ 4 Lf ft ff -2 -1 0 1 2* E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com EQUACOES DIFERENCIAIS 537 2. Emostrado um campo de diregées para a equacio y’ = te ¢ my). 15-16 Use um sistema de computagdo algébrica para desenhar um (a) Esboce os graficos das solugdes que satisfazem as condicées campo de diregGes para a equacao diferencial dada. Obtenha uma im- iniciais dadas. pressdo e esboce uma curva solugao que passe por (0, 1). Use o SCA . . ara desenhar a curva solucéo e compare o resultado com seu esbo¢o. @ yO)=1 Gi) y(0) = 0.2 - _ s i a4 $ (ii) (O)=2 (ivy WI) = 3 yaw seny vero 4 (b) Ache todas as solugées de equilibrio. 17. Use um sistema de computacio algébrica para desenhar um y campo de diregGes para a equacao diferencial y’ = y*? — 4y. Ob- SSD DSS 4 ene tenha uma impressao e esboce as solucGes que satisfazem a con- YN nNnNNXNINN NNN SN dig&o inicial y(0) = c para diversos valores de c. Para quais va- YN NNN NIN NNN NN a, . oe ae Yyyy y \ yyy y yy lores de c o limite lim,,,, y(‘) existe? Quais so os possiveis | | | | | / | | | | ! | valores para esse limite? rn a 8 ~ 4 . 444 4 4 4)4 4 4 7 7 7 18. Faca o esboco de um campo de direg6es para a equacao diferencial Se Ode aut6noma y’ = f(y), onde o grafico de f é como o exibido. Como a 0 comportamento limite das solugdes depende do valor de y(0)? YN NNN NIN NN NNN ee ee Jot ft f ft fit - tot 7 7 Hy) J, SLL SIL LLL 4 7 #A #4 4 4 A) 4 4 4 4 Z YZ -2 -1 0 1 2* 3-6 Ligue a equacdo diferencial a seu campo de diregdes (I-IV). Dé —2 -1 0 1 2 sy as raz6es para sua resposta. 3. y' =2-y 4. y’ =x(2—y) 5 yy =xty-1 6. y’ =senxseny 19. (a) Use o método de Euler com cada um dos passos dados para I y nt estimar o valor de y(0,4), onde y é a solucao do problema de [ILI 7SESONNAN —} valor inicial y" = y, (0) = 1 WER SRS @h=04 — Gi)h=02 Gi) n=O. LW PMXXQQ°“sww_ = ae VU EARN NANNY Ooo (b) Sabemos que a solugao exata do problema de valor inicial no SAA 427 -— ~~ NNA\ . , . . eer TOO item (a) é y = e*. Desenhe, o mais precisamente que puder, o QQNSRSSEE 5G | OO grafico de y = e*, 0 TT —-- > SyNNN A a intersecgado y 5, 2, 1, —le 2, elas irao VV VCC ate eS assemelhar-se com as curvas da Figura 4. VVVNNNS HFS TNN NVI VVVNNN SY -~NNAANAA VVVVNNSN A= —-~NNAVAVAI ,rvVVVNNS ->sNAVNVAVAI VVVAVNNS=-67>-N NV VA —6 FIGURA 3 FIGURA 4 R Sete Na Secao 9.2, modelamos a corrente /(f) no circuito elétrico mostrado na Fi- gura 5 pela equacao diferencial dl L L— + RI = E(t) dt Encontre uma expressao para a corrente em um circuito onde a resisténcia é 12 Q, a indu- . tancia é 4 H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quan- interruptor oo do t = 0. Qual o valor-limite da corrente? FIGURA 5 EQUACOES DIFERENCIAIS 541 SOLUCAO Com L = 4, R = 12 e E(t) = 60, a equacio torna-se dl dl 4— + 121 = 60 or —=15-31 dt dt e o problema de valor inicial é “15-31 0) =0 dt Reconhecemos essa equagao como separavel e a resolvemos da seguinte forma: dl |= Ja (15 — 31 40) 15 — 3I -; In | 15 -— 31| =f+cC A Figura 6 revela como a solugao no Exemplo 4 (a corrente) se aproxima de seu | 15 - 31| = ero valor-limite. A comparagao com a Figura 11 -3¢-3 3 na Secao 9.2 mostra que pudemos 15 — 31 = tee" = Ae” desenhar uma curva solugao bem precisa a artir do campo de diregdes. 1=5— ‘Ae partir do campo de det Como /(0) = 0, temos 5 — cA = 0, assim, A = 15 e a solucao é 6 KO => Se" A corrente-limite, em ampéres, é lim I(t) = lim (5 — 5e-*‘) = 5 — Slime * =5 —0=5 = t> 2 t>% to MH Trajetérias Ortogonais 2,5 Uma trajetéria ortogonal de uma familia de curvas é uma curva que intercepta cada curva 0 da familia ortogonalmente, isto é, com Angulo reto (veja a Figura 7). Por exemplo, cada FIGURA 6 membro da familia y = mx de retas que passa pela origem é uma trajetéria ortogonal da fami- lia x? + y? =r’ de circulos concéntricos com o centro na origem (veja a Figura 8). Dizemos que as duas familias sao trajetérias ortogonais uma da outra. y eth : Trajetéria Ortogonal FIGURA 7 FIGURA 8 (SQV Encontre as trajetérias ortogonais da familia de curvas x = ky”, onde k é uma constante arbitraria. SOLUCGAO As curvas x = ky* formam uma familia de parabolas cujo eixo de simetria € 0 eixo x. O primeiro passo é encontrar uma Unica equacao diferencial que seja satisfeita por todos os membros da familia. Se derivarmos x = ky’, obteremos d d 1 l=2y2 ow S=— dx dx 2ky Essa é uma equagao diferencial que depende de k, mas precisamos de uma equac¢4o que seja valida para todos os valores de k simultaneamente. Para eliminar k observamos que, da equa- cao geral da parabola dada x = ky’, temos k = x/y’ e, assim, a equaciio diferencial pode ser escrita como 542 CALCULO dy 1 1 dx 2ky x 2-5 y y ayy ou = dx 2x Isso significa que a inclinagdo da reta tangente em qualquer ponto (x, y) em uma das para- bolas é y’ = y/(2x). Em uma trajetéria ortogonal, a inclinagdo da reta tangente deve ser 0 oposto do inverso dessa inclinagao. Portanto, as trajetérias ortogonais devem satisfazer a equacao diferencial dy 2x d y * y Essa equacao diferencial é separavel e a resolvemos como segue: CRY Q x) | vay = —| 2xax sane LNA Po LAY 2 =-x +C f x Wyte] . SRS a et tec Ne acute, tvs onowona | onde C é uma constante positiva qualquer. Entao, as trajetérias ortogonais sao a familia de elipses dada pela Equacao 4 e esbocada na Figura 9. | As trajet6rias ortogonais ocorrem em varios ramos da fisica. Por exemplo, em um campo FIGURA 9 fas . ~ sy ds . 2 eletrostatico, as linhas de forga sao ortogonais as linhas de potencial constante. Também as linhas de corrente em aerodinamica sAo trajetérias ortogonais as curvas de velocidade constante. MM Problemas de Mistura Um problema tipico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa preenchido com uma solugdo completamente misturada de alguma substancia (digamos, sal). Uma solucao de uma dada concentra¢4o entra no tanque a uma taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(#) denota a quantidade de substancia no tanque no instante f¢, ent&o y’(f) é a taxa na qual a substancia esta sendo adicionada menos a taxa na qual ela esta sendo retirada. A descrigaéo matematica da situagao frequentemente leva a uma equacao diferencial de primeira ordem separdvel. Podemos usar 0 mesmo tipo de raciocinio para modelar uma variedade de fendmenos: reagdes quimicas, descarga de poluen- tes em um lago, injegao de medicamentos na corrente sanguinea, entre outros. SEM Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5 000 L de Agua. Agua salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A solugao € misturada completamente e sai do tanque 4 mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora? SOLUCAO Seja y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de ¢ minutos. Foi-nos dado que y(0) = 20 e queremos encontrar y(30). Fazemos isso encontrando uma equacao diferencial que seja satisfeita por y(t). Observe que dy/dt € a taxa de variacao da quantidade de sal, assim, dy ’ [5] ht = (taxa de entrada) — (taxa de saida) onde (taxa de entrada) € a taxa na qual o sal entra no tanque e (taxa de safda) é a taxa na qual o sal deixa o tanque. Temos kg L kg taxa de entrada = | 0,03 — }| 25 —— ] = 0,75 —— L min min EQUACOES DIFERENCIAIS 543 O tanque sempre contém 5 000 L de liquido, entéo a concentragéo no tempo ¢ é€ y(t)/5 000 (medida em quilogramas por litro). Como a Agua salgada sai a uma taxa de 25 L/min, obtemos t) k L t) k taxa de saida = 0) kg 25 — ] = yO) kg 5000 L min 200 min Entao, da Equacao 5, temos dy _ y@) _ 150 — y(t) — = 0,75 - — = —— dt 200 200 Resolvendo essa equacao diferencial separavel, obtemos | dy | | dt 150 -— y 200 —In | 150 — y| = ft +C A Figura 10 mostra 0 grafico da fungao y(t) do 200 Exemplo 6. Observe que, com o passar do tempo, a quantidade de sal se aproxima de Uma vez que y(0) = 20, temos —In 130 = C, logo 150 kg. In | 150 — y| = —~ — n 130 —In —_— = —- —- [In y “1200 Portanto, |150 — y| = 130e° 150 Como y(f) é continua, y(0) = 20 e o lado direito nunca é€ zero, deduzimos que 150 — y(t) é 100 sempre positiva. Entao, | 150 — y| = 150 — ye assim 50 y(t) = 150 — 130e°1 . . . : 0 200 400 t A quantidade de sal depois de 30 minutos é FIGURA 10 y(30) = 150 — 130e-*°/? = 38,1 kg = ce Exercicios 1-10 Resolva a equacao diferencial. 11-18 Encontre a solug4o da equacao diferencial que satisfaga a con- d d dic4o inicial dada. , we » wy _ ve dx x dx e dy x 20 — 2 2)\,/ = ui. —=-, 0) = -3 3. xyy’ =x4+1 4. (Cy? + xy’)y 1 dx y y(0) 5. (ytseny)y’ =x+ x 6 dw _ st ~ "ih sts dy 1 dx sv +s 12. ay _ nt y(1) =? dx xy i dy t 8 dy — e’sen’@ = ae Tn nec dt yet dé y sec 8 a du 24+ sec?t 0) = —5 "dt 2u , dp dz 9. —-=fp-pt+P-1 10. — + e** =0 dt pee dt . xy senx 4. y= =1 y yrl- y(0) E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagao algébrica 1. As Homeworks Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 544 CALCULO 15. xInx=y(1+v3+4 yy’, yd) =1 [Dica: Use a formula de adicao para tg(x + y) na Pagina de Re- feréncia 2.] dp we ; 16. Ut = yPI, PI) =2 37. Resolva o problema de valor inicial no Exercicio 27, na Segao 9.2, para encontrar uma express4o para a carga no instante t. En- 17. y'tex=aty, y(7/3) = a, 0 b, encontre t como uma fungfo de x. [Dica: Ao de- sempenhar a integracdo, faca a substituigéo u = /b — x i 33. yx) = 2 + { [t — ty] dt 42. Uma esfera com raio 1 m tem temperatura 15°C. Ela encontra- d -se dentro de uma esfera conc€éntrica com raio 2 m e temperatura 34. p(x) =2 + j * a x>0 25°C. A temperatura T(r) em uma distancia r do centro comum 1 ty das esferas satisfaz a equacao diferencial 35. yx) = 4 + { 2t/ y(t) dt aT 1 2 dT | 0 a dr? r dr 36. Encontre a funcao f tal que f (3) = 2 € Se fizermos S$ = dT/dr, entao S satisfaz uma equagao diferencial (2 +1 f) + FOP+1=0 t¥1 de primeira ordem. Encontre uma expressdo para a temperatura T(r) entre as duas esferas. EQUACOES DIFERENCIAIS 545 43. Uma solucao de glicose é administrada de maneira intravenosa na 3 corrente sanguinea em uma taxa constante r. A medida que a gli- m as =m a = f(v) cose é adicionada, ela é convertida em outras substancias e remo- dt dt vida da corrente sanguiea a uma taxa que € proporcional a onde v = v(t) e s = s(t) representam a velocidade e a posigao do concentracao naquele instante. Entéo, um modelo para a concen- : : : ~ . : ne objeto no instante ft, respectivamente. Por exemplo, pense em tracao C = C(t) da solugao de glicose na corrente sanguinea é um barco se movendo pela 4gua dc =1-kc (a) Suponha que a forga de resist€ncia seja proporcional a veloci- dt dade, isto é, f(v) = —kv, k uma constante positiva. (Esse mo- onde & é uma constante positiva. delo é apropriado para pequenos valores de v) Sejam v(0) = vo . . . e s(0) = so os valores iniciais de v e s. Determine v e s em qual- (a) Sup onha que a concentragao no instante t = 0 seja Co. quer instante ¢. Qual é a distancia total que o objeto viaja a par- Determine a concentrac4o em um instante qualquer ft, resol- tir do instante t = 0? vendo a equacio diferencial. . ae : . . (b) Para volumes maiores de yum melhor modelo é obtido ao su- (b) Assumindo que Co < r/k, calcule lim, _, ,, C() e interprete sua por que a forga de resisténcia seja proporcional ao quadrado resposta. da velocidade, isto é, f(v) = —kv’, k > 0. (Esse modelo foi 44. Um pequeno pais tem $ 10 bilhdes em papel-moeda em circu- sugerido primeiro por Newton.) Sejam vp e€ so os valores ini- lag&o e a cada dia $ 50 milhdes chegam aos bancos daquele ciais de v e s. Determine ve s em qualquer instante t. Qual é lugar. O governo decide introduzir uma nova moeda, fazendo a distancia total que 0 objeto viaja nesse caso? com que os bancos troquem notas velhas por novas sempre que 51. Crescimento alométrico em biologia refere-se as relagdes entre a moeda antiga entrar nos bancos. Denote por x = x(#) a quanti- os tamanhos das partes de um organismo (comprimento do cra- dade de moeda nova em circulagao no instante t, com x(0) = 0. nio e comprimento do corpo, por exemplo). Se L(t) e L2(t) sio (a) Formule um modelo matematico na forma de um problema de os tamanhos de dois 6rgéos em um organismo de idade f, entao valor inicial que represente o “fluxo” da nova moeda em cir- L, e Ly satisfazem uma lei alométrica se suas taxas de cresci- culagao. mento especificas sAo proporcionais: b) Resolva o problema de valor inicial encontrado no item (a). (b) P (a) 1 dll 1 db (c) Quanto tempo levara para a nova moeda representar 90% da ‘Ly do k Ly dt moeda em circulagaéo? . . onde k é uma constante. 45. Um tanque contém 1 000 L de agua salgada com 15 kg de sal dis- . a Lo . 1) X : (a) Use a lei alométrica para escrever uma equacio diferencial fa- solvido. Agua pura entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A so- . : ~ 2 . . zendo a relagéo de L; e Ly e solucione-a para expressar L, lugdo é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. - , ; : Z : como uma fungao de L. Quanto sal ha no tanque (a) apés ¢ minutos e (b) apdés 20 minutos? 46. O ar em uma sala com volume 180 m? contém 0,15% de dié- (b) Em um estudo de diversas ESPECIES de algas unicelulares, a : ae : constante de proporcionalidade na lei alométrica relacionando xido de carbono inicialmente. Ar mais fresco com apenas 0,05% : : : ar 3p B (biomassa celular) e V (volume celular) foi considerada de didxido de carbono entra na sala a uma taxa de 2 m?/min e o . : : . k = 0,0794. Escreva B como uma fungio de V. ar misturado sai na mesma taxa. Encontre a porcentagem de did- xido de carbono na sala como uma funcdo do tempo. O que 52. Homeostase refere-se a um estado em que 0 teor de nutrientes de acontece a longo prazo? um consumidor é independente do teor de nutrientes de seu ali- 47. Um barril com 2 000 L de cerveja contém 4% de alcool (por vo- Stame, we usenee de homeostase, um modelo sugerido por lume). Cerveja com 6% de alcool é bombeada para dentro do emer @ mNser © Caco Por barril a uma taxa de 20 L/min e a mistura é bombeada para fora dy _ i y do barril 4 mesma taxa. Qual é a porcentagem de Alcool depois dx @x de uma hora? onde x e y representam o teor de nutrientes do alimento e do con- . . : 2 > 48. Um tanque contém 1.000 L de 4gua pura.* Agua salgada com sumidor, respectivamente, e 6 € uma constante com @ > 1. 0,04 kg de sal por litro de 4gua entra no tanque a uma taxa de 10 (a) Resolva a equagao diferencial. L/min. A solugao é mantida completamente misturada e sai do (b) O que acontece quando 6 = 1? O que acontece quando tanque a uma taxa de 15 L/min. Quanto sal ha no tanque (a) de- Q— «0? pois de ¢ minutos e (b) depois de uma hora? 53. Seja A(t) a drea de uma cultura de tecido em um instante ¢ e seja 49. Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim, M a area final do tecido quando o crescimento est4 completo. A sua massa em um instante t € uma funcao de ¢, m(Z). A taxa de maioria das divisdes celulares ocorre na periferia do tecido, e 0 crescimento da massa € km(t) para alguma constante positiva k. numero de células na periferia é proporcional a ./A(¢). Assim, Quando aplicamos a Lei do Movimento de Newton a gota um modelo razoavel para 0 crescimento de tecido é obtido as- de chuva, obtemos (mv)' = gm, onde v € a velocidade da gota de sumindo-se que a taxa de crescimento da area seja conjunta- chuva (dirigida para baixo) e g é a aceleracao da gravidade. A ve- mente proporcional a A(t) e M — A(2). locidade terminal da gota de chuva é lim wt). Encontre uma ~ 4 : x . . 1% (a) Formule uma equagio diferencial e use-a para mostrar que o expressao para a velocidade terminal em termos de ge k. : is rapid _!l tecido cresce mais rapido quando A(t) = 3M. 50. Um objeto de massa m esta se movendo horizontalmente por um x. 4s : x . “ ; . (b) Resolva a equacdo diferencial para encontrar uma expressfo meio que resiste ao movimento com uma forca que é uma fun- : ~ Par 5 : 4 para A(t). Use um sistema de computagio algébrica para fa- cao da velocidade; isto é, zer a integracio * Agua salgada com 0,05 kg de cal. por litro de 4gua entra no tanque a uma taxa de 5 L/min. 546 CALCULO 54. De acordo com a Lei da Gravitagéo Universal de Newton, a (a) Suponha que um foguete seja lancado verticalmente para cima forga gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lan- com uma velocidade inicial %. Seja h a altura maxima acima cado verticalmente para cima da superficie da Terra é da superficie alcangada pelo objeto. Mostre que mgR? V 2gRh F =——~ v9 = 4/—— (x + R/ Rt+h onde x = x(t) é a distancia do objeto acima da superficie no [Dica: Pela Regra da Cadeia, m(dv/dt) = mv (dv/dx).] instante ¢; R, 0 raio da Terra; e g, a aceleragdo da gravidade. (b) Calcule v, = lim, _, ,, Vo. Esse limite é chamado velocidade de Também, pela Segunda Lei de Newton, F = ma = m(dv/dt), e escape da Terra. dessa forma (c) Use R = 6.370 kme g = 9,8 m/s? para calcular v. em quild- metros por segundo. dv mgR? at (e+ RP =a PROJETO APLICADO QUAO RAPIDAMENTE UM TANQUE ESVAZIA? Se Agua (ou outro liquido) esta vazando de um tanque, esperamos que 0 escoamento seja maior no comego (quando o tanque estiver mais cheio) e que va gradualmente diminuindo a medida que o nivel de 4gua do tanque diminui. Mas queremos uma des- crigéo matematica mais precisa de como o escoamento decresce a fim de responder as perguntas que os engenheiros fazem: quanto tempo demora para que o tanque seja esvaziado completamente? Quao cheio o tanque deve estar para garantir uma pressao minima a um sistema de irrigagao? Sejam h(t) e V(t) o volume de 4gua no tanque e a altura da 4gua no tanque num dado momento ¢. Se a 4gua escorre por um furo de 4rea a no fundo do tanque, entao a Lei de Torricelli diz que [] OY = ~a%Gh dt onde g é a aceleragao devido a gravidade. Logo, a taxa na qual a agua escoa do tan- que é proporcional a raiz quadrada da altura da agua. 1. (a) Suponha que o tanque seja cilindrico com altura igual a 2 me raio igual a | m e que 0 buraco seja um circulo com raio igual a2 cm. Se tomarmos g = 10 m/s’, mostre que h satisfaz a equacao diferencial “ = —0,0004 /20h (b) Resolva esta equacao para encontrar a altura da 4gua no instante ft, supondo que o tanque esteja cheio em ¢t = 0. (c) Quanto tempo iria demorar para o tanque ficar completamente vazio? 2. O modelo teédrico dado pela Equagao 1 nao é muito preciso, se levarmos em conta a rotacdo e viscosidade do liquido. Em vez disso, o modelo dh [2 aR é em geral usado e a constante k (que depende das propriedades fisicas do liquido) é determinada a partir dos dados relacionados com o vazamento do tanque. (a) Suponha que o buraco esteja posicionado na lateral de uma garrafa e que a al- tura h da 4gua (acima do buraco) decresga de 10 cm para 3 cm em 68 segundos. Use a Equacao 2 para encontrar uma expressao para h(t). Avalie h(t) para t = 10, 20, 30, 40, 50, 60. (b) Perfure um buraco de 4 mm perto do fundo de uma garrafa plastica de um re- frigerante de 2 litros. Faga marcas de 0 a 10, com “0” correspondendo ao topo do buraco. Com um dedo tampando o buraco, encha a garrafa com agua até a EQUACOES DIFERENCIAIS 547 O Problema 2(b) é resolvido melhor com uma marca de 10 cm. Tire seu dedo do buraco e registre os valores de h(t) para demonstragao em sala de aula ou em um pro- t = 10, 20, 30, 40, 50, 60 segundos. (Provavelmente, vocé vai descobrir que de- jeto em grupo com trés alunos em cada grupo: um para marcar o tempo em segundos, outro morara cerca de 68 segundos para o nivel chegar a h = 3 cm.) Compare seus para estimar a altura a cada 10 segundos e um dados com os valores de A(t) da parte (a). Quao bem o modelo previu os valo- terceiro para registrar esses valores eT) — 3. Em muitas partes do mundo, a 4gua para os sistemas de combate a incéndios em gran- i des hotéis e hospitais é fornecida pela acao da gravidade em tanques cilindricos co- locados nos telhados desses prédios. Suponha que cada tanque tenha um raio de 3 me o diametro da saida seja de 6 cm. Um engenheiro tem de garantir que a presso da Agua seja, no minimo, de 104 kPa por um periodo de 10 minutos. (Quando um incéndio acontece, 0 sistema elétrico pode falhar e pode levar cerca de 10 minutos para que o gerador de emergéncia e bombas anti-incéndio sejam ativados.) Qual al- tura o engenheiro deve especificar para o tanque a fim de garantir essa exigéncia? (Use o fato de que a pressao da 4gua a uma profundidade de d metros é P = 10d quilopascals. Veja a Secao 8.3.) 4. Nem todos os tanques tém a forma de cilindros. Suponha que um tanque tenha uma area transversal A(h) na altura h. Entéo, o volume de Agua até a altura h é eee V= ft A(u) du e, portanto, o Teorema Fundamental do Calculo nos da Tenesse Technological University dV/dh = A(h). Segue que av _aV dh _ sq ah dt dh dt dt e assim a Lei de Torricelli se torna A(h) “ = -ay2gh (a) Suponha que o tanque tenha o formato de uma esfera de raio igual a 2 m e que esteja cheia, inicialmente, até a metade de sua capacidade de agua. Se 0 raio do buraco circular é 1 cm e assumimos que g = 10 m/s’, mostre que h satisfaz a equacao diferencial a dh (4h —h = —0,0001 /20h (b) Em quanto tempo o tanque ficara completamente vazio? A—E PROJETO APLICADO O QUE E MAIS RAPIDO: SUBIR OU DESCER? Suponha que vocé jogue uma bola para o ar. Vocé acha que ela leva mais tempo para alcangar sua altura maxima ou para cair de volta a Terra a partir de sua altura maxi- ma? Resolveremos esse problema neste projeto, mas, antes de comegar, pense sobre a situag4o e dé um palpite com base em sua intui¢4o pratica. 1. Uma bola de massa m é lancada verticalmente para cima a partir da superficie da Terra com uma velocidade inicial positiva vp. Assumimos que as forgas agindo na bola sejam a forga da gravidade e a forga de resisténcia do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com médulo p| v(r) |, onde p € uma constante positiva e v(t) € a velocidade da bola no instante ft. Tanto na subida quanto na descida, a forca total agindo na bola é —pv — mg. (Durante a subida, v(t) é positiva e a resisténcia age para baixo; durante a descida, v(t) é negativa e a resisténcia age para cima.) Entao, de acordo com a Segunda Lei Newton, a equagéo de movimento é mv’ = —pv — mg 548 CALCULO Ao modelar a forga em virtude da Resolva essa equagdo diferencial para mostrar que a velocidade é resisténcia do ar, varias fungdes tém sido usadas, dependendo das caracteristicas mg \ nim mg fisicas e velocidade da bola. Aqui, usamos v(t) = {| » + — Jer’ — = um modelo linear, —pv, mas um modelo P P dratico (—pv? bid 2 P 9-8 ~ 2 quacratico ae Subida © pe na 2. Mostre que a altura da bola, até ela atingir 0 chao, é descida) é outra possibilidade para velocidades altas (veja o Exercicio 50 na 5 m m mgt Segao 9.3). Para uma bola de golfe, y(t) = | 1 + Lag "emmy = g experléncias mostraram que um bom Pp Pp Dp modelo 6 —pv!* na subida e plv|'3 na descida. Mas, nao importando a fungao 3. Seja ft; 0 tempo que a bola leva para alcangar sua altura maxima. Mostre que forga —f (v) usada [onde f (v) > 0 para v> Oe f(v) <0 para v < 0),a m mg + pv resposta a questdo permanece a mesma. t, = — In| ——— Veja F. Brauer, “What Goes Up Must P mg Monee! 108 (2004) on #7 a0 Calcule esse tempo para uma bola com massa | kg e velocidade inicial 20 m/s. Su- — , ponha que a forga de resist@ncia do ar seja ;5 da velocidade. 4. Seja tf 0 instante no qual a bola volta para a Terra. Para a bola do Problema 3, cal- cule f usando um grafico da fungao altura y(t). Qual é mais rapida, a subida ou a descida? 5. Em geral, nao é facil encontrar tf, porque é impossivel resolver a equagao y(7) = 0. Podemos, entretanto, usar um método indireto para determinar se a subida ou a des- cida é mais rapida; determinamos se é positivo ou negativo. Mostre que m 1 y(2t) =74 x—-—-—2Inx Dp x ondex = e?", Entaéo mostre que x > 1 e a funciio 1 f() =x-—-2Inx x estéo aumentando para x > 1. Use esse resultado para decidir se y(2t,) € positivo ou negativo. O que vocé pode concluir? A subida ou a descida é mais rapida? fA E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 94 | Modelos para o Crescimento Populacional Nesta sec¢ao investigaremos equacdes diferenciais que séo usadas para modelar o cresci- mento populacional: a lei do crescimento natural, a equacao logistica e muitas outras. M8 A Lei de Crescimento Natural Um dos modelos para 0 crescimento populacional que consideramos na Secao 9.1 baseava- -se na suposigao de que a populagao cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da populagao: dP — =kP dt Essa é€ uma hipotese razoavel? Suponha que tenhamos uma populacao (de bactérias, por exem- plo) com tamanho P = 1 000 e que, em certo instante, esteja crescendo a uma taxa de P' = 300 bactérias por hora. Agora, tomemos outras 1 000 bactérias do mesmo tipo, colocando- as com a primeira populagado. Cada metade da nova populacao cresce a uma taxa de 300 bac- térias por hora. Seria razoavel esperar que a populacaAo total de 2 000 aumentasse a uma taxa de 600 bactérias por hora inicialmente (desde que houvesse espaco e nutrientes suficientes). Assim, se dobrarmos 0 tamanho, dobraremos a taxa de crescimento. Parece possivel que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho. EQUACOES DIFERENCIAIS 549 Em geral, se P(t) for o valor de uma quantidade y no tempo f¢, e se a taxa de variacgao de P com relagao a ¢ for proporcional a seu tamanho P(t) em qualquer tempo, entao dP i a= KP dt onde k é uma constante. A Equac4o | é algumas vezes chamada lei do crescimento natural. Se k for positivo, entéo a populagd4o aumenta; se k for negativo, ela diminui. Como a Equagao | é uma equacao diferencial separavel, podemos resolvé-la pelo méto- do da Segao 9.3: dP | —-= fea P In|P| =kt+C | P| = ekttC — 6Cokt P= Ae“ onde A (= +e© ou 0) é uma constante arbitrdria. Para percebermos o significado da cons- tante A, observamos que P(O) = Ae“? =A Portanto, A é 0 valor inicial da fungao. [2 A solugao do problema de valor inicial _ ra Exemplos e exercicios sobre a utilizagao de dP sdo dados na Segao 3.8. ——=kP P(O) = Po Ht (0) é P(t) = Poe Outra maneira de escrever a Equagao | é 1 dP — ——S = k P dt que diz que a taxa de crescimento relativa (a taxa de crescimento dividida pelo tamanho da populacgao) € constante. Entao, |2| diz que a populagéo com uma taxa de crescimento relati- va constante deve crescer exponencialmente. Podemos levar em conta a emigra¢ao (ou a remocao) de uma populacao modificando a Equagao |: se a taxa de emigragao for uma constante m, entéo a taxa de mudanga da popu- lagao é modelada pela equac4o diferencial dP BB] = kP =m dt Veja o Exercicio 15 para a solucdo e consequéncias da Equagao 3. M8 0 Modelo Logistico Como discutimos na Seca4o 9.1, uma populacao com frequéncia cresce exponencialmente em seus estagios iniciais, mas em dado momento se estabiliza e se aproxima de sua capacidade de suporte por causa dos recursos limitados. Se P(t) for o tamanho da populagao no instan- te tf, assumimos que dP — ~kP se P for pequeno dt Isso diz que a taxa de crescimento inicialmente esta prdxima de ser proporcional ao tama- nho. Em outras palavras, a taxa de crescimento relativo é praticamente constante quando a populacgao é pequena. Mas também queremos refletir o fato de que a taxa de crescimento relativo diminui quando a populacgao P aumenta e torna-se negativa quando P ultrapassa sua capacidade de suporte M, a populacéo maxima que um ambiente é capaz de sustentar a 550 CALCULO longo prazo. A expressdo mais simples para a taxa de crescimento relativo que incorpora essas hipoteses é 1 aP P —— =| 1] —-— P dt K Multiplicando por P, obtemos 0 modelo para o crescimento populacional conhecido como a equacao diferencial logistica: dP P [4] — =kP\1- 7s dt K Observe na Equacao 4 que, se P for pequeno comparado com M, entao P/M esta proximo de 0 e, dessa forma, dP/dt ~ kP. Contudo, se P — M (a populagao se aproxima de sua capaci- dade de suporte), entéo P/M — 1, assim, dP/dt — 0. Podemos deduzir informag6es sobre quando as solucgdes aumentam ou diminuem diretamente da Equacao 4. Se a populacao P estiver entre 0 e M, entao o lado direito da equacao é positivo, desse modo dP/dt > 0ea populacgao aumenta. Mas se a populagdo exceder a capacidade de suporte (P > M), entao 1 — P/M & negativo, portanto dP/dt < 0 e a populac¢ao diminui. Vamos comegar nossa andlise mais detalhada da equagao diferencial logistica olhando para um campo de diregées. S520) Desenhe um campo de diregdes para a equacao logistica com k = 0,08 e capa- cidade de suporte M = 1 000. O que vocé pode deduzir sobre as solucgdes? SOLUCGAO Nesse caso a equacao diferencial logistica é e- 0,08P\ 1 P dt , 1 000 Um campo de diregdes para essa equacdo é mostrado na Figura 1. Mostramos apenas 0 pri- meiro quadrante porque as populag6es negativas nao tém significado e estamos interessados apenas no que acontece depois de ¢t = 0. P 1.400 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.200 ~ ~ N N N N N N — — ™~ ™~ ™~ ™.~ ™~ ™~ 1.00 -—- -—- -—- S—- F- e—- — — — — — — — — — 80 7 = <= - ~ ~ B~ YH = =< a = = = = = 600 a Za 7 Z 2 Za 7 a Za Za Za Za Za Za Za Za 400 Z Z Z Z 4 Z Z Z FIGURA 1 4 4. 40 40° 40° 4 0 7 y Campo de direg6es para a equac4o 20 — — — — i — _ — logistica no Exemplo 1 0 20 40 60 so ! A equacao logistica é aut6noma (dP/dt depende apenas de P, nao de 1); assim, as incli- nagGes sao as mesmas ao longo de qualquer reta horizontal. Como esperado, as inclinacgdes s4o positivas para 0 < P < 1 000 e negativas para P > 1 000. As inclinagdes sao pequenas quando P esta préximo de 0 ou 1 000 (a capacidade de suporte). Observe que as solugées se distanciam da solucao de equilibrio P = 0 e se aproxi- mam da solugao de equilibrio P = 1 000. Na Figura 2 usamos 0 campo de direg6es para esbogar as curvas solugao com populag6es iniciais P(O) = 100, P(O) = 400 e P(O) = 1 300. Observe que as curvas solugdo abaixo de P = 1 000 est&o aumentando, e aquelas que comecam acima de P = 1 000 estao diminuin- do. As inclinagdes sAo0 maiores quando P ~ 500, portanto as curvas solucao que comecam abaixo de P = 1 000 tém pontos de inflexao quando P ~ 500. De fato, podemos demonstrar que todas as curvas solugaéo que comegam abaixo de P = 500 tém um ponto de inflexdo quando P é exatamente 500. (Veja o Exercicio 11.) EQUACOES DIFERENCIAIS 551 P 1.400 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.200 N N N N N N N N —~ . ™~ ™~ ™~ —™~ ™~- ™~ 1.00! = 800 an a aa aa a a a = = a = 600 a Zz Za 4 a 7 Za Za Za a Za Za Za Za Za 400 Z Zz Z Z Z Z 7 Z 4 44 4X YY 201 — — — — — — — 0 20 40 60 so ¢ Curvas solugdo para a equacao = logistica no Exemplo 1 A equagao logistica |4| é separavel e podemos resolvé-la explicitamente usando 0 método da Secdo 9.3. Uma vez que dP P — = kP\ 1 -— dt M temos dP o [<= feat P( — P/M) Para calcularmos a integral no lado esquerdo, escrevemos — to _ MM P(l1— P/M) P(M — P) Usando fragées parciais (veja a Secao 7.4, no Volume I) temos M 1 1 os + —_—_—_—__ PM-P) P M-—P Isso nos permite reescrever a Equacao 5: 1 1 — + —— ] dP =| kdt P M-P In|P| —In|M— P| =kt+C M-—P In |——| = -kt -—C P M-P = elt O = gC kt P [6] M~P _ Ae P onde A = +e~©. Isolando P na Equacio 6, obtemos M —-1=A ~kt > Pp = _ | P . M 1+ Ae™ _ M entao P=———\, 1+ Ae“ 552 CALCULO Encontramos o valor de A colocando t = 0 na Equacao 6. Se t = 0, entéo P = Po (a popu- lagAo inicial); portanto, M-P 9 = Ae =A Po Entao, a solugao para a equagao logistica é M M — Po [7] P(t) = ——— onde A = ———— 1 + Ae Po Usando a expressdo para P(t) na Equagéo 7, vemos que lim P(t) = K que é o esperado. 95a) Escreva a solugao para o problema de valor inicial & _ cose )-— P(O) = 100 dt , 1 000 e use-a para encontrar a populagaéo quando P(40) e P(80). Quando a populagao alcangara 900? SOLUCGAO A equagao diferencial é uma equacdo logistica com k = 0,08, capacidade de supor- te M = 1.000 e populagao inicial Pp = 100. Portanto a Equacao 7 da a populacao no instan- te t como PC) 1 000 de A 1 000 — 100 9 = ——ra~ onde A = ————— = 1 + Ae °° 100 1 000 Logo, P(t) = T+ 9e-008° Assim, os tamanhos da populacgao quando t = 40 e 80 sao 1 000 1 000 P(40) = ——}j = 731,6 P(80) = ————, = 985,3 (40) 1 + 9e3" (80) 1+ 9e°% A populacgao alcangara 900 quando 1 000 ——w = 900 1 + Ye 908 Resolvendo essa equagao para t, temos 1 + 9er008 = 2 Compare a curva solucao na Figura 3 com a 0081 1 curva solugdo mais baixa que desenhamos no e ~ 81 campo de diregdes na Figura 2. 1 —0,08t = Ing; = —In 81 1000 In 81 = t = —— ~ 54,9 (A 0,08 Logo, a populacao chega a 900 quando ¢ for aproximadamente 55. Como uma verificagao de nosso trabalho, tragamos a curva da populagdo na Figura 3 e observamos onde ela intercep- ta areta P = 900. O cursor indica que t ~ 55. ° 80 Ml Comparacao do Crescimento Natural com os Modelos Logisticos FIGURA 3 Na década de 1930, 0 bidlogo G. F. Gause realizou uma experiéncia com 0 protozoario para- mécio e usou uma equacao logistica para modelar seus dados. A tabela fornece suas conta- gens didrias da populag¢ao de protozodrios. Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64. EQUACOES DIFERENCIAIS 553 ee rovenioo = Pe fef ele [ le fof) ofp mimi |e fe (SQM Encontre os modelos exponencial e logistico para os dados de Gause. Com- pare os valores previstos com os valores observados e comente 0 ajuste. SOLUCAO Dadas a taxa de crescimento relativo k = 0,7944 e a populacio inicial Py = 2, 0 modelo exponencial é P(t) = Pye = 2e%744" Gause usou 0 mesmo valor de k para seu modelo logistico. [Isso é razoavel porque Py = 2 € pequeno comparado com a capacidade de suporte (M = 64). A equacao 1 dP 2 ——| =k|1-—]—k Po dt |,=0 64 mostra que o valor de k para o modelo logistico esta muito proximo do valor para 0 modelo exponencial.] A seguir, a solugao da equagao logistica na Equacgao 7 fornece 1 + Ae 1 + Ae oo? K-P 64 —2 onde A= = —— = 31 Po 2 ~ 64 Entao P(t) = [4 31e oar Usamos essas equacoes para calcular os valores previstos (arredondados para o inteiro mais proximo) e os comparamos na tabela a seguir. ram feats] [sf o[a[*] ow] al al alu ale poowenaisy) | 2 [3/2] 16] [| 54] «| 50] 76] «| sx] so mo) 9) 59] 57 Pinker [2 [«|9[ mre] wo[ sr] sf orf ol a] ot] oa] os] oo] of or P (modelo exponencial) | 2 4 | 10} 22] 48 | 106]... Observamos na tabela e no grafico da Figura 4 que, para os primeiros trés ou quatro dias, o modelo exponencial fornece resultados comparaveis aqueles do método logifstico mais sofisticado. Para t = 5, contudo, 0 modelo exponencial é muito impreciso, mas 0 modelo logistico se ajusta bem as observac6es. P P=2¢0-7944t . 60 . Se 40 . _ 64 20 ° P= 1+ 31 e70-7944t 0 i : D 5 t FIGURA 4 7 Os modelos exponencial e logistico para a populagao de paramécios 554 CALCULO Por | Bo |e | BO) Muitos paises que anteriormente passavam por um crescimento exponencial estao des- cobrindo agora que suas taxas de crescimento populacional estaéo diminuindo e que 0 mode- 1980 | 9.847 || 1992 | 10.036 lo logistico fornece um modelo mais adequado. A tabela na margem mostra os valores em 1982 | 9.856 || 1994 | 10.109 meados do ano de B(t), a populacdo da Bélgica, em milhares, no instante ¢, de 1980 a 2000. 1984 | 9.855 || 1996 | 10.152 A Figura 5 mostra esses dados junto com uma fungao logistica transladada obtida por meio 1986 | 9.862 || 1998 | 10.175 de uma calculadora com recursos para ajustar fung6es logisticas a estes pontos por regres- 1988 | 9.884 || 2000 | 10.186 sao. Vemos que 0 modelo logistico fornece um ajuste muito bom. 1990 | 9.962 P 10.100 10.000 9.900 < - 350 9.800 P= 9.840 + ———="— FIGURA 5 9 1+ 2,05e 0480— 1990) Modelo logistico para a populaciio da Bélgica 0 1980 1984 1988 1992 1996 2000 ¢ MM Outros Modelos para o Crescimento Populacional A Lei do Crescimento Natural e a equacao diferencial logistica nao sdo as Unicas equacgdes propostas para modelar o crescimento populacional. No Exercicio 20 veremos a fungado de crescimento de Gompertz e nos Exercicios 21 e 22 investigaremos os modelos de cresci- mento sazonal. Dois dos outros modelos sao modificagdes do modelo logistico. A equagao diferencial dP P —=kP\1-—]-c dt M tem sido usada para modelar as populagGes que estao sujeitas 4 remogdo de uma maneira ou de outra. (Pense em uma populagao de peixes que é capturada a uma taxa constante.) Essa Equagao é explorada nos Exercicios 17 e 18. Para algumas espécies existe um nivel minimo populacional m abaixo do qual as espé- cies tendem a se extinguir. (Os adultos podem nao conseguir encontrar parceiros adequados.) Essas populagées sAo modeladas pela equagao diferencial dP P m — =kP\1-—]\1-— dt M P onde o fator extra, | — m/P, leva em conta as consequéncias de uma populacao esparsa (veja o Exercicio 19). 94 | Exercicios 1. Suponha que uma populag4o se desenvolva de acordo com a P equacao logistica 150* \ oN oN NON ON NONONONONUSN nN NNN NDOUNrDUDUDN NNN NS dt , , en ee onde ¢ é medido em semanas. ee (a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é 0 valor de k? SoD DD (b) Um campo de diregées para essa equagao é mostrado 4 direita. i Onde as inclinagées esto préximas de 0? Onde elas sao SD DD DD maiores? Quais solugGes so crescentes? Quais solug6es sao a decrescentes? 0 20 40 60 ! E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com EQUACOES DIFERENCIAIS 555 (c) Use o campo de diregées para esbogar as solugées para as po- (c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logistico para pulacGes iniciais de 20, 40, 60, 80, 120 e 140. O que essas so- esses dados. lugdes tem em comum? Como diferem? Quais solugées tém (d) Compare os valores previstos com os valores observados, na pontos de inflexaéo? Em qual nivel populacional elas ocorrem? tabela e nos graficos. Compare como seus modelos se ajustam (d) Quais sao as solugées de equilibrio? Como as outras solugdes aos dados. estao relacionadas a essas soluc6es? (e) Utilize seu modelo logistico para estimar o nimero de célu- 4 2. Suponha que uma populagao cresga de acordo com 0 modelo lo- las de levedura depois de sete horas. gistico com capacidade de suporte 6.000 e k = 0,0015 por ano. 7. A populacéo mundial era de aproximadamente 5,3 bilhdes em (a) Escreva uma equacio diferencial logistica para esses dados. 1990. A taxa de natalidade na década de 1990 variou entre 35 e (b) Desenhe um campo de diregées (4 m4o ou com um sistema de 40 milhGes por ano, e a taxa de mortalidade variou entre 15 e 20 computagao algébrica). O que ele lhe diz sobre as curvas so- milhGdes por ano. Vamos supor que a capacidade de suporte para lug4o0? a populacg4o mundial seja de 100 bilhGes. (c) Use 0 campo de diregées para esbogar as curvas solucéo para (a) Escreva uma equacio diferencial logistica para esses dados. iP Coes p ¢ ¢a0 p qua¢ 8 Pp as populacées iniciais de 1.000, 2.000, 4.000 e 8.000. O que (Como a populacao inicial é pequena em comparagao com a vocé pode dizer sobre a concavidade dessas curvas? Qual o capacidade de suporte, vocé pode tomar k como uma estima- significado dos pontos de inflexao? tiva da taxa de crescimento relativo inicial.) (d) Programe uma calculadora ou um computador para usar 0 mé- (b) Utilize o modelo logistico para prever a populacgéo mundial em todo de Euler com passo h = 1 para estimar a populacao de- 2000 e compare a populagao real de 6,1 bilhdes. ois de 50 anos se a populagao inicial for 1.000. (c) Use 0 modelo logistico para prever a populagéo mundial nos Pp populag 8 para p populag (e) Se a populacao inicial for 1.000, escreva uma formula para a anos 2100 e 2500. populacao depois de ¢ anos. Use-a para calcular a populacaéo (d) Quais seriam as suas previsOes se a capacidade de suporte depois de 50 anos e compare com sua estimativa no item (d). fosse de 50 bilhdes? (f) Trace a solugao da parte (e) e compare com a curva solugéo 8. (a) Faca uma conjectura para a capacidade de suporte da popu- que vocé esbogou no item (c). laco dos Estados Unidos. Use-a, e também o fato de que a 3. Ocardume de atum do Pacifico foi modelado pela equacao dife- populagao era de 250 milh6es em 1990, para formular um rencial modelo logistico para a populag4o norte-americana. d (b) Determine o valor de k em seu modelo usando o fato de que ; = w(t _ ~) a populac¢4o norte-americana em 2000 era de 275 milhGes. r (c) Use seu modelo para prever a populac4o dos Estados Unidos onde yO) éa biomassa (massa total dos membros da populagao) nos anos 2100 e 2200. em quilogramas no instante ¢ (medido em anos), a capacidade de (d) Utilize seu modelo para prever o ano no qual a populacao ul- suporte é estimada como M = 8 X 10’ kg e k = 0,71 por ano. trapassar4 350 milhdes. (a) Se y(O) = 2 X 10’ kg, calcule a biomassa um ano depois. ~ , (b) Ouan to tempo levant ara a biomassa alcancar 4 X ‘ 07 ke? 9. Um modelo para a propagacao de um boato é que a taxa de pro- P P ; s S pagacao é proporcional ao produto da frag4o y da populacao que 4, Suponha que uma populacao P(A) satisfaga ouviu 0 boato pela fragaéo que nao ouviu o boato. aP =0,4P — 0,001P2. P(0)= 50 (a) Escreva uma equacao diferencial que seja satisfeita por y. dt (b) Resolva a equacao diferencial. onde t € medido em anos (c) Uma cidade pequena tem 1.000 habitantes. As 8 horas, 80 pes- (a) Qual é a capacidade de suporte? soas tinham ouvido o boato. Ao meio-dia, metade da cidade (b) O que é P’(0)? : tinha ouvido o boato. A que horas 90% da populagao tera ou- ? : 9 (c) Quando a populagao atingira 50% da capacidade de suporte? vido 0 boato” 5. Suponha que uma populacio cresca de acordo com o modelo lo- 10. Os bidlogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a ca- gistico com populagao inicial de 1 000 e capacidade de suporte pacidade de suporte (a p opulacao maxima de peixes daquela es 1 000. Se a populacio crescer para 2 500 apés um ano, como sera pécie no lago) como 10.000. O ntimero de peixes triplicou no pri- a populacao apés outros trés anos? MeIro ano. _ . . . . (a) Presumindo que o tamanho da populagao de peixes satisfaga 6. A tabela fornece o numero de células de levedura em uma cultura a equacio logistica, encontre uma expresso para o tamanho nova de laboratorio. da populagao depois de ¢ anos. Tempo | Células de || Tempo | Células de (b) Quanto tempo levara para a populagdo aumentar para 5 000? ftom) | tendon | treo | tevedon | 11. (a) Mostre que se P satisfizer a equacao logistica [4], entao 0 18 10 509 2 2 39 12 597 vl _ 2\(1 _ 2) M M 4 80 14 640 dt 6 171 16 664 (b) Deduza que a populagao cresce mais rapidamente quando ela 8 336 18 672 atinge a metade de sua capacidade de suporte. . _ . ~ (a) Marque os dados ¢ use 0 gréfico para estimar a capacidade de (“| 12 Para um valor fixo de M (digamos M = 10), a familia de funcdes suporte para a populacao de levedura logisticas dada pela Equacao 7 depende do valor inicial Po e da (b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativa. constante de proporcionalidade k. Faga © grafico de Varios mem bros dessa familia. Como muda o grafico quando Pp varia? Como muda o grafico quando k varia? 556 CALCULO (4 13. A tabela dé a populagao do Japao em meados do ano, em milha- (a) Determine a solugao que satisfaz a condigao inicial y(0) = yo. res, de 1960 a 2005. (b) Mostre que existe um instante finito t = T (dia do juizo final) | Ano | Populagao || Ano_| a Ue san asec mente Ano Populacao | Ano Populacao (c) Uma raga especialmente fértil de coelhos tem o termo de 1960 94.092 1985 120.754 crescimento ky!°!, Se 2 destes coelhos se cruzarem inicial- 1965 98.883 1990 123.537 mente e a ninhada for de 16 coelhos depois de trés meses, 1970 104.345 1995 125.341 quando sera o dia do juizo final? 1975 111.573 2000 126.700 17. Vamos modificar a equacio logistica do Exemplo 1 como a seguir: 1980 116.807 2005 127.417 dP Pp . — = 0,08P\| 1 - —— ]} - 15 Use uma calculadora grafica para ajustar tanto uma fungio ex- dt 1 000 ponencial quanto uma fung¢4o logistica a estes dados. Marque os (a) Suponha que P(f) represente uma populagao de peixes no pontos, trace ambas as fung6es e comente a precisaéo dos mode- instante t, onde t é medido em semanas. Explique o significado los. [Dica: Subtraia 94.000 de cada uma das figuras da populagao. do termo final na equagao (—15). Entao, depois de obter um modelo de sua calculadora, some (b) Desenhe um campo de diregdes para essa equagao diferencial. 94.000 para obter seu modelo final. Pode ser util escolher como (c) Quais sao as solugdes de equilibrio? 1960 ou 1980.] (d) Use o campo de diregées para esbogar varias curvas solucao. AE 14. A tabela fornece a populagaéo da Espanha em meados do ano, em peer © que acontece 4 populagao de peixes para varias po- milhares, de 1955 a 2000. Pulagoes inciais. , (e) Resolva essa equacao diferencial explicitamente, usando fra- Populagao | Ano | Populacao ges parciais ou com um sistema de computacao algébrica. 1955 29.319 1980 37.488 Use as populace iniciais 200 e Trace as solug6es e com- 1960 | 30.641 | 1985 | 38.535 pare com seus esbogos no xem (@). 1965 32.085 1990 39.351 18. Considere a equagao diferencial 1970 33.876 1995 39.750 dP P — = 0,08P| 1 - —— ]-c 1975 35.564 2000 40.016 dt 1 000 . del lacgao de peixes, onde t é medid Use uma calculadora grafica para ajustar tanto uma fungao ex- como um moc’ © para tina Populagad ce pees, once Fe meaee : ~ oe em semanas e c é uma constante. ponencial quanto uma fung¢4o logistica a estes dados. Marque os oe : ~ i (a) Use um SCA para desenhar campos de direcdes para diversos pontos, trace ambas as fungdes e comente a precisdéo dos mode- : . . valores de c. los. [Dica: Subtraia 29.000 de cada uma das figuras da populagao. . . oe : . ~ : (b) A partir dos campos de diregdes no item (a), determine os va- Entaéo, depois de obter um modelo de sua calculadora, some 7 ~ : nas lores de c para os quais ha pelo menos uma solugao de equi- 29.000 para obter seu modelo final. Pode ser util escolher t = 0 librio. Para quais valores de c a populacio de peixes sempre como 1955 ou 1975.] rare d popunagao ce P P ; - ; desaparece? 15. Considere a populagao P = P(t) com taxas de natalidade e mor- (c) Use a equacdo diferencial para demonstrar 0 que vocé desco- talidade relativas constantes a e B, respectivamente, e uma taxa briu graficamente no item (b). de emigragao constante m, onde a, B e m sao constantes positi- (d) Qual sua recomendagao para o limite de pesca semanal para vas. Suponha que a > B. Entao, a taxa de variagdo da populacdo essa populaciio de peixes? no instante t é modelada pela equacao diferencial : Laas .y . . 19. Existe evidéncia considerdvel para apoiar a teoria de que, para al- dP gumas espécies, existe uma populacéo minima m de forma que as —=kP—m onde k =a — B espécies se tornarao extintas se o tamanho da populacao cair dt abaixo de m. Essa condicao pode ser incorporada na equagao lo- ¢a0 pi rp qua¢ (a) Encontre a solugao desta equacdo que satisfaca a condi¢ao ini- gistica ao introduzir o fator (1 — m/P). Entao o modelo logistico cial P(O) = Po. modificado é dado pela equagao diferencial (b) Que condigées sobre m levario a uma expansao exponencial da populagao? aP = KPl1— P 1 m (c) Que condigées sobre m resultaraéo em uma populac¢ao cons- dt M P tante? E em um declinio da populagéo? (a) Use a equacao diferencial para mostrar que qualquer solugao (d) Em 1847, a populagao da Irlanda era de cerca de 8 milhdes e € crescente sem < P < Me decrescente se 0 < P< m. a diferenga entre as taxas de natalidade e mortalidade relati- (b) Para 0 caso onde k = 0,08, M = 1000 e m = 200, desenhe vas era 1,6 % da populacao. Por causa da fome da batata nas um campo de diregées e use-o para esbocar varias curvas so- décadas de 1840 e 1850, cerca de 210 000 habitantes por ano lucio. Descreva 0 que acontece 4 populaciio para varias po- emigraram da Irlanda. A populagao estava crescendo ou de- pulagGes iniciais. Quais sao as solugGes de equilibrio? crescendo naquela €época? (c) Resolva a equacao diferencial explicitamente, usando fragdes 16. Seja c um ntimero positivo. Uma equacio diferencial da forma parciais ou um sistema de computagao algébrica. Use a po- pulag4o inicial Po. ay = ky! (d) Use a solucao no item (c) para mostrar que se Py < m, entaio dt a espécie sera extinta. [Dica: Mostre que o numerador em sua onde k é uma constante positiva, é chamada equacdo do dia do expressdo para P(t) € 0 para algum valor de 7.] juizo final porque 0 expoente na expressao ky! ** é maior que o 20. Outro modelo para a fung4o crescimento para uma populacio li- expoente | do crescimento natural. mitada é dado pela funcao de Gompertz, que é uma solucdo da equacao diferencial EQUACOES DIFERENCIAIS 557 dP M AE (b) Tracgando a solucao para varios valores de k, r e d, explique at =cln Pp P como os valores de k, re ¢ afetam a solugao. O que vocé pode dizer sobre lim, _, ,, P(t)? onde ¢ € uma constante e M © a cap acidade de suporte. 22. Suponha que alteremos a equacao diferencial no Exercicio 21 (a) Resolva essa equacao diferencial. como a seguir: (b) Calcule lim,— ~ P(t). (c) Trace a fungao de crescimento de Gompertz para M = 1 000, dP 3 Po= 100 e c = 0,05, e compare-a com a fungio logistica no ‘dt KP cos*(rt — 4) P(O) = Po vo vo 9 . oe Exemplo 2. Quais so as similaridades? Quais sao as dife (a) Resolva essa equacao diferencial com a ajuda de uma tabela rengas - . _ . . de integrais ou um SCA. (d) Sabemos do Exercicio 11 que a fungao logistica cresce mais ~ as : ~ 4 : AE (b) Trace a solugao para varios valores de k, r e @. Como os va- rapidamente quando P = M/2. Use a equacao diferencial de ~ a : ~ lores de k, r e @ afetam a solucao? O que vocé pode dizer so- Gompertz para mostrar que a fungio de Gompertz cresce . io. bre lim P(t) nesse caso? mais rapido quando P = Me. roe . ~ oy: 23. Os graficos das fungées logisticas (Figuras 2 e 3) sao extrema- 21. Em um modelo de crescimento sazonal, uma funcao periddica oo . ~ . ays . 7 : : Le : mente similares ao grafico da fungao tangente hiperbdlica (Figura do tempo é introduzida para considerar variagdes sazonais na ~ : ner : oe 3 na Segao 3.11). Explique a similaridade, mostrando que a fun- taxa de crescimento. Essas variagdes podem, por exemplo, ser ~ as ~ . : : cao logistica dada pela Equagao 7 pode ser escrita como causadas por mudangas sazonais na oferta de alimentos. (a) Encontre a solugao do modelo de crescimento sazonal P(t) =3K [1 + tgh($k(t - ©))] dP onde c = (In A)/k. Portanto, a fun¢ao logistica é apenas uma dat KP cos(rt — ) PO) = Po tangente hiperbdlica transladada. onde k, r e @ sao constantes positivas. 95 | Equacoes Lineares Uma equacao diferencial linear de primeira ordem é aquela que pode ser escrita na forma dy [7] “+ Plxly = Ol) dx onde P e Q sao fung6des continuas em um dado intervalo. Esse tipo de equagAo ocorre fre- quentemente em varios ramos da ciéncia, como veremos. Um exemplo de uma equacio linear é xy’ + y = 2x porque, para x ¥ 0, esta pode ser escrita na forma , 1 [2] ytyy=2 x Observe que essa equacao diferencial nao € separavel, porque € impossivel fatorar a expres- sao para y’ como uma fungfo de x vezes uma funcéo de y. Mas ainda podemos resolver a equacao observando que, pela Regra do Produto, xy’ + y = (xy) e assim podemos escrever a equagao como (xy)' = 2x Se integrarmos ambos os lados dessa equa¢4o, obteremos C xy=x7>+C ou y=xt+— x Se nos tivesse sido dada a equacao diferencial na forma da Equagao 2, teriamos de fazer uma etapa preliminar multiplicando cada lado da equagAo por x. Ocorre que toda equacao diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de uma maneira similar pela multiplicagéo de ambos os lados da Equacgao | por uma fun¢ao ade- quada I(x), chamada fator integrante. Tentamos encontrar J de modo que o lado esquerdo da Equagao 1, quando multiplicado por /(x), torna-se a derivada do produto I[(x)y: 558 CALCULO [3] I(x)(y' + Pay) = F)y)’ Se pudermos encontrar tal fungao J, a Equacao | ficara (U(x)y)' = I) Q(x) Integrando ambos os lados, teremos I(x)y = | (x) Oa) dx + C de modo que a solucao sera 1 [4] y(x) = —— J I(x) Q(x) dx + C I(x) Para encontrarmos esse J, expandimos a Equac4o 3 e cancelamos termos: I(x)y’ + Ia) Pao)y = (a)y)! = I'@)y + Iady' I(x) P(x) = I’) Esta é uma equacao separavel para J, que resolvemos como a seguir: dl J —_ = J P(x) dx I In |J| = | PO) ax l= Ae! P@® ax onde A = +e°. Estamos procurando um fator de integragdo particular, nao o mais geral; assim, tomamos A = | e usamos [5] I(x) — el PX) dx Entao, a formula para a solucao geral da Equagao 1 é fornecida pela Equagdo 4, onde J é dado pela Equacado 5. Em vez de memorizar essa férmula, contudo, apenas lembramos a forma do fator integrante. Para resolver a equacao diferencial linear y’ + P(x)y = Q(x), multiplique ambos os lados pelo fator integrante J(x) = e'“ e integre ambos os lados. ~ 4: ._, ay 2 2 Set Resolva a equagao diferencial de + 3x°y = 6x". x A Figura 1 mostra os graficos de varios SOLUCAO A equaciio dada é linear porque ela tem a forma da Equacao 1 com P(x) = 3x’ e membros da familia de solugdes no Q(x) = 6x*. Um fator integrante é Exemplo 1. Observe que todos eles se —patdr aproximam de 2 quando x > -. I(x) = e! ~e€ Multiplicando ambos os lados da equac4o diferencial por e* , obtemos 3 d 3 3 6 eo Ny 3x°e* y = 6x7e* ver a oe 04 Sey) = ere" —————- ax 4s tS faa) Integrando ambos os lados teremos 3 ey= | 6x?" dx =2e" +C FIGURA 1 y=2+Ce™ — EQUACOES DIFERENCIAIS 559 (SGP Encontre a solucao para o problema de valor inicial vy’ +xy=1 x>0 y(1) = 2 SOLUCAO Devemos primeiro dividir ambos os lados pelo coeficiente de y’ para colocar a equag¢aéo diferencial na forma padrao: , 1 1 [6| ytroy=a x>0 x x O fator integrante é I(x) _ e! (/s) dx _ em =x A multiplicagaéo de ambos os lados da Equagao 6 por x fornece 1 1 xy’ +ty=— ou (xy)' = — x x _ 1 Entao, xy = [—de=Inx +C x A solugao do problema de valor inicial no Exemplo 2 6 mostrada na Figura 2. . Inx+C e, assim, y = — x Uma vez que y(1) = 2, temos > Inl+C ee pe 1 0 4 Logo, a solugao para o problema de valor inicial é | Inx +2 y = — a x —5 FIGURA 2 (SQRME Resolva y’ + 2xy = 1. SOLUCAO A equacdo dada esta na forma padrao de uma equacao linear. Multiplicando pelo fator integrante e! 2xdx __ e Embora as solugdes da equagao diferencial no obtemos ou ey’ + 2xe*y =e™ Exemplo 3 sejam expressas em termos de uma integral, elas ainda podem ser tragadas por um ou (ey)! =e sistema de computacao algébrica (Figura 3). x? — x Portanto, ey= J e dx+C 2.5 Lembre-se, da Seco 7.5, que { e* dx nao pode ser expressa em termos de fungdes elemen- tares. Apesar disso, é uma funcgao perfeitamente boa e podemos deixar a resposta como TSS —2,5 a 2,5 Outra maneira de escrever a solucdo é 35 y= en {' e'dt+ Ce* FIGURA 3 0 (Qualquer nimero pode ser escolhido para o extremo inferior de integragAo.) | MM Aplicacgao a Circuitos Elétricos Na Se¢ao 9.2 consideramos 0 circuito elétrico simples, mostrado na Figura 4: uma forga ele- tromotriz (geralmente uma pilha ou gerador) produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente de J(t) amperes (A) em um instante ¢. O circuito também possui um resistor com resisténcia de R ohms (Q) e um indutor com indutancia de L henrys (H). 560 CALCULO R A Lei de Ohm calcula a queda na tensdo devida ao resistor como RI. A queda da tensao por causa do indutor é L(dil/dt). Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma da queda de ten- sao é igual 4 voltagem fornecida E(7). Entéo temos L 7 pt + RI = E(t) dt interruptor FIGURA 4 29(5)3"0") Suponha que no circuito simples da Figura 4 a resisténcia seja 12 0 e a indu- tancia seja 4 H. Se uma pilha fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quando ¢ = 0, entao a corrente comega com /(0) = 0. Encontre (a) I(t), (b) a cor- rente depois de | s e (c) 0 valor-limite da corrente. SOLUGAO (a) Se colocarmos L = 4, R = 12 e E(t) = 60 na Equagao 7, obteremos o problema de valor A equacao diferencial no Exemplo 4 é linear e inicial separavel; assim, um método alternativo 6 dl resolvé-la como uma equacdo separdvel 4 ah + 127 = 60 1(0) = 0 (Exemplo 4 na Seco 9.3). Se trocarmos a pilha t por um gerador, contudo, obteremos uma dl equacdo que é linear, mas no é separavel ou — + 3] = 15 1(0) =0 (Exemplo 5). dt Multiplicando pelo fator integrante e!*“ = e*', obtemos dl e*' — + 3e7] = 15e* dt d 3t — (e*T) = 15e™ dt (e") c ev | 15e"dt = 5e% + C I(t) =5+Ce* Como /(0) = 0, temos 5 + C = 0, assim, C = —5S5e I(t) =5(1 — e*) A Figura 5 mostra como a corrente no Exemplo 4 se aproxima de seu valor-limite. (b) Depois de um segundo a corrente é 11) = 50 — e 3?) = 4,75 A (c) O valor-limite da corrente é dado por 6 lim I(t) = lim 5(1 — e *) =5 — Slime *=5-0=5 = ee ~~ S520) Suponha que a resisténcia e a indutancia permanegam as mesmas que no Exem- plo 4, mas, em vez de uma pilha, usaremos um gerador que produz uma voltagem variavel de E(t) = 60 sen 30¢ volts. Encontre (2). F 25 SOLUCAO Desta vez a equagio diferencial torna-se dl dl FIGURA 5 4—+121=60sen30t ou —+3/= 15sen30F dt dt O mesmo fator integrante e* fornece d dl — (eT) = ec — + 3e°T = 15e* sen 308 a (e-T) =e Ht e e EQUACOES DIFERENCIAIS 561 Usando a Férmula 98 da Tabela de Integrais, obtemos A Figura 6 mostra o grafico da corrente quando a pilha é trocada por um gerador. 3r e ey = J 15e™ sen 301 di = 15 (3 sen 301 — 30cos 301) + C 2 I = 7; (sen 30t — 10 cos 30t) + Ce™*" 0 2,5 Como /(0) = 0, temos 50 ~ tor +C=0 —2 entio I(t) = jo; (sen 30t — 10 cos 301) + je = (1) = jor ) + joi FIGURA 6 95 | Exercicios |-4 Determine se a equacao diferencial é linear. 4 23 Uma equacio diferencial de Bernoulli (em homenagem a James Bernoulli) €é uma equacéo da forma 1. x-—y' =xy 2 yi tx’ =x anes 11 dy a 3 y= t— 4. ysenx = xy’ — x —_ + P(x)y = O)y x oy dx 5-14 Resolva a equagao diferencial. Observe que, se n = 0 ou 1, a equagao de Bernoulli é linear. Para 5. xy’ —2y=¥2 6 y=x4+5 outros valores de n, mostre que a substituigao u = y'~" trans- 7 y 7? y forma a equacgao de Bernoulli na equaco linear 7. y=x-y 8. 4x7y + xty’ = sentx au + (1 — n)P(x)u = (1 — n) O(a) 9. xy’ ty = Vx 10. y’ + y = sen(e’) dx 11. sen x a (cos x)y = sen(x’) 12, x dy _ 4y = x4e% 24-25 Use o método do Exercicio 23 para resolver a equagao dife- , dx y "dx y rencial. > 1,2 2» du 24. xy’ +y = —xy 2. y’ +—-yr=-> 132. (1+4)—+u=1+t4 t>0 x x dt OT dr 26. Resolva a equagiio de segunda ordem xy” + 2y’ = 12x? por meio “ = te! 14 ¢Int dt tr=te da substituigdo u = y’. 27. No circuito apresentado na Figura 4, uma pilha fornece uma vol- 15-20 Resolva o problema de valor inicial. tagem constante de 40 V, a indutancia é 2 H, a resisténcia é 10 Qe 10) = 0. 15. xy’ + 2xy=Inx, yl) =2 dy (a) Encontre I(t). 16. 7° at + 3ry =cost, ym) =0 (b) Calcule a corrente depois de 0,1 s. 7. + du 243 1>0 2) =4 28. No circuito mostrado na Figura 4, um gerador fornece uma vol- . t= U, » Uu2)= : : . dt tagem de E(t) = 40 sen 60r volts, a indutancia é 1 H, a resistén- 18. 2xy' +y=6x, x>0, y(4) = 20 ciaé 20 Ne 10) = 1A. (a) Encontre I(t). 19. xy’ =y+xsenx, y(a7)=0 (b) Calcule a corrente depois de 0,1 s. Pp 0. 2+) dy + 3x(y — 1) =0, 0) =2 (c) Use uma ferramenta grafica para desenhar o grafico da funcao aes —+ 3x(y — 1) = 0, = dx ” corrente. 29. A fi tr ircuit tend fi let triz, 21-22 Resolva a equacao diferencial e use uma calculadora grafica jeura mos au omen ° contendo uma Tonga oe rome me ou um computador para tracar varios membros da familia de solu- um capacitor com capacitancia de C farads (F) e um resistor com ¢des. Como a curva solucdio muda quando C varia? uma resisténcia de R de ohms ((). A queda de voltagem no ca- , , 5 pacitor é Q/C, onde Q é a carga (em coulombs); nesse caso, a Lei 2. xy tare 22, xy = ty de Kirchhoff fornece E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 562 CALCULO RI+ Q = E(t) 35. Um objeto de massa m é solto a partir do repouso e presumimos C que a resisténcia do ar seja proporcional a velocidade do objeto. Mas I = dO/dt (veja o Exemplo 3, na Secdo 3.7), assim, temos Se s(t) for a distancia percorrida depois de ? segundos, entao a velocidade é v = s(t) e a aceleragao é a = v'(t). Se g for a ace- R dQ 4 i 0 = E(t) leragéo da gravidade, entéo a forca para baixo no objeto é dt Cc mg — cv, onde c é uma constante positiva, e a Segunda Lei de . oo , . . Newton fornece Suponha que a resisténcia seja 5 0 e a capacitancia, 0,05 F; que dv a pilha fornega uma voltagem constante de 60 V e que a carga ini- ma 9 cial seja Q(0) = 0 C. Encontre a carga e a corrente no instante f. oo. (a) Resolva essa equacao linear para mostrar que Cc y= 4a — elm) c R (b) Qual é a velocidade-limite? (c) Calcule a distancia que o objeto caiu depois de ¢ segundos. 36. Se ignorarmos a resisténcia do ar, poderemos concluir que os — ; objetos mais pesados nao caem mais rapido que objetos mais 30. No circuito do Exercicio 29, R = 20, C = 0,01 F, Q(0) = Oe leves. Mas, se considerarmos a resisténcia do ar, nossa conclu- E(t) = 10 sen 607. Calcule a carga e a corrente no instante r. s4o muda. Use a expresso para a velocidade de queda de um ob- 31. Seja P(t) o nivel de desempenho de alguém aprendendo uma ha- jeto no Exercicio 35(a) para calcular dv/dm e mostrar que os bilidade como uma func4o do tempo de treinamento f. O grafico objetos mais pesados caem mais rapido que os mais leves. de P é chamado curva de aprendizagem. No Exercicio 15 na . . Seco 9.1 propusemos a equacio diferencial 37. (a) Mostre que a substituigéo z = 1/P transforma a equacao di- ferencial logistica P’ = kP(1 — P/M) na equacao diferencial dP : —=k[M - P(t)] linear dt k como um modelo razodvel para a aprendizagem, onde k é uma ut ke = M constante positiva. Resolva essa equacao diferencial linear e use sua solucao para tracgar a curva de aprendizagem. (b) Resolva a equac4o diferencial no item (a) para encontrar uma 32. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de expressao para P(r). Compare com a Equacao 9.4.7. montagem. Joao processou 25 unidades durante a primeira hora 38. Para considerarmos a variacgdo sazonal na equacao diferencial e 45 unidades durante a segunda. Marcos processou 35 unidades podemos permitir que k e M sejam as func6es de t: durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Usando 0 mo- dP P delo do Exercicio 31 e assumindo que P(0) = 0, estime o nu- at = k@P\ 1 — MO mero maximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar. (a) Verifique se a substituigéo z = 1/P transforma essa equacéo 33. Na Secao 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais 0 na equacao linear volume de fluido permanecia constante e vimos que estes for- dz k(t) necem equacGes separaveis (veja o Exemplo 6 naquela segio). dt + kD = M(t) Se as taxas de entrada e de saida do sistema forem diferentes, ~ ~ ~ 4 ~ ~ ~ 4: : (b) Escreva uma expressdo para a solucao da equagao linear no entéo o volume ndo é constante e a equacao diferencial resul- : : 4: ~ , item (a) e use-a para mostrar que se a capacidade de suporte tante é linear, mas nao separavel. x , . ~ M for constante, entao Um tanque contém 100 L de agua. Uma solucéo com uma concentracao salina de 0,4 kg/L é adicionada a taxa de 5 L/min. M A solugao é mantida misturada e é retirada do tanque na taxa de PO) = 1 + CMe 4 3 L/min. Se y(t) é a quantidade de sal (quilogramas) apés t mi- nutos, mostre que y satisfaz a equacdo diferencial (00 . my as Deduza que se |; k(t) dt = ©, entao lim,;—.. P(t) = M. [Isso dy =2-— _3y sera comprovado se k(t) = ko + acos bt com ky > 0, que des- dt 100 + 2¢t creve uma taxa de crescimento intrinseco positiva com uma va- . . : : riagdo sazonal periddica.] Resolva essa equacao e calcule a concentragao depois de 20 mi- . nutos (c) Se k € constante, mas M varia, mostre que 34. Um tanque com capacidade de 400 L esta cheio com uma mistura de 4gua e cloro com concentragao de 0,05 g de cloro eet ke® ~kt . . ~ ° z(t) = e “| ——ds + Ce por litro. Para poder reduzir a concentracao de cloro, 4gua doce “° M(s) é bombeada para o tanque na taxa de 4 L/s. A mistura é agitada e bombeada para fora em uma taxa de 10 L/s. Encontre e utilize a Regra de l’Héspital para decidir que se M(t) tem um a quantidade de cloro no tanque como uma fungao de tempo. limite quando f —> ©, entdo P(t) tem o mesmo limite. EQUACOES DIFERENCIAIS 563 cs Sistemas Predador-Presa Consideramos diversos modelos para 0 crescimento de uma Unica espécie que vive sozinha em um ambiente. Nesta sec&o estudaremos os modelos mais realistas, que levam em consi- deragdo a interagaéo de duas espécies no mesmo ambiente. Veremos que esses modelos tomam a forma de um par de equagées diferenciais acopladas. Primeiro levaremos em conta a situagdo na qual uma espécie, chamada presa, tem um amplo suprimento alimentar e a segunda espécie, denominada predador, se alimenta da presa. Exemplos de presa e predador incluem coelhos e lobos em uma floresta isolada, pei- xes e tubar6es, pulgdes e joaninhas e bactérias e amebas. Nosso modelo tera duas varidveis dependentes e ambas serao funcgdes do tempo. Seja C(t) o numero de presas (usando C de coelhos) e L(t) o nimero de predadores (com L de lobos) no instante f. Na auséncia de predadores, 0 amplo suprimento de alimentos suportaria 0 crescimento exponencial de presas, isto é, dC . we Th =kC onde k € uma constante positiva Na auséncia de presas, assumimos que a populacao de predadores declinaria a uma taxa pro- porcional a ela mesma, isto é, dL . we Th =—-rL onde r é uma constante positiva Com ambas as espécies presentes, contudo, supomos que a causa principal de morte entre as presas seja serem comidas por predadores, e as taxas de natalidade e sobrevivéncia dos pre- dadores dependam da disponibilidade de comida, ou seja, as presas. Também supomos que as duas espécies se encontrem a uma taxa que é proporcional a ambas as populacoes e é, por- tanto, proporcional ao produto CL. (Quanto mais houver de cada populac4o, mais encontros serao possiveis.) Um sistema de duas equacées diferenciais que incorpora essas hipdteses é como a seguir: dC dL [1] — =kC — aCL — = -rL + DCL dt dt L representa o predador. C representa a presa. onde k, r, a e b sao constantes positivas. Observe que o termo —aCL diminui a taxa natural de crescimento das presas e 0 termo bCL aumenta a taxa de crescimento natural dos preda- dores. As equagées em [1] s40 conhecidas como equacoes predador-presa, ou equacodes de Lotka-Volterra. Uma solucao desse sistema de equagdes € um par de funcdes C(t) e L(t), —_ As equages de Lotka-Volterra foram que descreve as populacées de presas e predadores como fungées do tempo. Como 0 siste- _Propostas como um modelo para explicar ma € acoplado (C e L ocorrem em ambas as equacées), ndo podemos resolver uma equacaio —_ 38 Ya"lagdes de tubardes € peixes no mar . A . . A . , Adriatico pelo matematico italiano Vito e depois a outra: temos de resolvé-las de maneira simultanea. Infelizmente, porém, em geral \ojiarra (1860-1940), € impossivel encontrar formulas explicitas para C e L como fungoes de t. Podemos, contudo, usar métodos graficos para analisar as equacoes. (SGV Suponha que as populacées de coelhos e lobos sejam descritas pelas equacdes de Lotka- Volterra | 1|com k = 0,08, a = 0,001, r = 0,02 e b = 0,00002. O tempo ¢ é medido em meses. (a) Encontre as solugdes constantes (chamadas solugées de equilibrio) e interprete a res- posta. (b) Use o sistema de equagoes diferenciais para encontrar uma expressdo para dL/dC. (c) Desenhe um campo de direg6es para a equacao diferencial resultante no plano CL. Entao, use 0 campo de direg6es para esbogar algumas curvas solucao. (d) Suponha que, em algum instante no tempo, existam | 000 coelhos e 40 lobos. Desenhe a curva solucdo correspondente e use-a para descrever as mudangas em ambos os niveis de populacao. (e) Use a parte (d) para fazer esbogos de C e L como funcées de f. 564 CALCULO SOLUCAO (a) Com os valores dados de k, a, r e b, as equagées de Lotka-Volterra se tornam dC — = 0,08R — 0.001CL dt dL — = —0,02L + 0,00002CL dt Tanto C e L seraéo constantes se ambas as derivadas forem 0, isto é, C' = C(0,08 — 0,001L) = 0 L' = L(—0,02 + 0,00002C) = 0 Uma solucao é dada por C = 0e L = 0. (Isso faz sentido: se nao existirem coelhos ou lobos, as populagGes n&o vao aumentar.) A outra solugao constante é 0,08 0,02 L=—— = 80 Cc = —— = 1000 0,001 0,00002 Assim, as populagées de equilibrio consistem em 80 lobos e 1.000 coelhos. Isso significa que 1.000 coelhos sao 0 suficiente para suportar uma populac¢ao constante de 80 lobos. Nao exis- tem muitos lobos (0 que resultaria em menos coelhos) nem poucos lobos (0 que resultaria em mais coelhos). (b) Usamos a Regra da Cadeia para eliminar tf: dL _ dL dC dt dC dt dL . dL dt —0,02L + 0,00002CL Entao TET SE Oooo oan dR dC 0,08C — 0,001CL dt (c) Se pensarmos em L como uma fungao de C, teremos a equacao diferencial dL _ —0,02L + 0,00002CL dc 0,08C — 0,001CL Desenhamos o campo de diregOes para essa equagaéo diferencial na Figura | e o usamos para esbogar varias curvas solucdo na Figura 2. Se nos movermos ao longo de uma curva solucao, veremos como a relacdo entre C e L muda com o passar do tempo. Observe que as curvas parecem ser fechadas no sentido de que, se viajamos ao longo de uma curva, sempre retor- namos ao mesmo ponto. Observe também que o ponto (1 000, 80) esta dentro de todas as curvas solucdo. Esse ponto é denominado ponto de equilibrio, porque corresponde a solugao de equilibrio C = 1 000, L = 80. L L Otis. 47e7-----~ ~~~ ~~~ rr Ot 17, 477-----~ ~~~ ~~~ rr Ll 44——-—-- ~~~ ~~~ NNN SN l/72= ~~ ~~~ ~NNNN~NNNN ll S4-—- 5-7-5 ~~~~n~N~NN NSN lJ +4A---- ~~ ~~ NN NNNNN | A A ec ee ee i i i LT Ilff4-—-=2s>>- ~- ~~ OT TY ~~~NNN ll SF 2~=— errr TTS TS TST S~T NNO NON ONN I 4 fo-70- Cr ~~~nrw~ew Ww NON ON 100 Pb sforw7n—-7-~~r~n~n~n~~n~n~nnnnnn 100 lft Ys-2 = => NN ~NNN NNN Pb lh sr~Rerr~~r~rn~nnnvnvnnnnNNN Il ff Ura er~~r~ese vv NN NNN NN Prob tsSryaranNNN NNN NV VV VANS ly i fl / NS VN VV VY WV VV AYA PVVNVNNF ZY SSS FT Eee ees (5 VANNNS Se ee Zee Zee Ye Ye YY Ss VW’. - - = za 7 “77°44 SS VNNN ~~ 7-H ee em em em ee er eee ee \ N ~-—----== Se eee eee 50 VNnN~ 7-H He He He Ke Ke er er er er er Ker Ke Ke 50 VN ~ eS S He He eK eH eee SO SE EE VN ~ >> o> - - rH eH eH eH RH Re e ee ee VN we DDS = ee Re Re Ke Ke eee \~n-- ee - e rr rr rrr ee ee ee ee 0 1.000 2.000 3.000 C 0 1.000 2.000 3.000 C FIGURA 1 Campo de diregées para o sistema predador-presa FIGURA 2 Retrato de fase do sistema EQUACOES DIFERENCIAIS 565 Quando representamos as solugdes de um sistema de equagées diferenciais como na Figura 2, referimo-nos ao plano CL como o plano de fase e chamamos as curvas solucao de trajetérias de fase. Assim, uma trajetéria de fase é um caminho tragado pelas solugées (C, L) com o passar do tempo. Um retrato de fase consiste em pontos de equilibrio e trajetérias de fase tipicas, como mostrado na Figura 2. (d) Comegar com 1| 000 coelhos e 40 lobos corresponde a desenhar a curva solucao no ponto P (1 000, 40). A Figura 3 mostra essa trajetéria de fase com 0 campo de diregdes removido. Comegando no instante Pp no tempo ft = 0 e deixando ¢ aumentar, movemo-nos no sentido horario ou no anti-horario ao redor da trajet6ria de fase? Se colocarmos C = 1 000 e L = 40 na primeira equacao diferencial, teremos dc a 0,08(1 000) — 0,001(1 000)(40) = 80 — 40 = 40 Como dC/dt > 0, concluimos que C esta aumentando em Pp e assim nos movemos no sen- tido anti-horario ao longo da trajetdéria de fase. L Py 140 120 100 80 P, 60 40 P, (1.000, 40) 20 FIGURA 3 Trajetoria da fase em (1.000, 40) 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 C Vemos que em Pp nao existem lobos suficientes para manter um equilibrio entre as popu- lagdes; dessa forma, a populagao de coelhos aumenta. Isso resulta em mais lobos e even- tualmente existem tantos lobos que os coelhos tém dificuldade para evita-los. Assim, o numero de coelhos comega a declinar (em P;, onde estimamos que C atinja a populacdo maxima ao redor de 2.800). Isso significa que algum tempo depois a populacgdo de lobos comega a cair (em P2, onde C = 1 000 e L ~ 140). Mas isso beneficia os coelhos; portanto, sua populacao depois come¢a a aumentar (em P3, onde L = 80 e C ~ 210). Como conse- quéncia, a populagdo de lobos eventualmente comega a aumentar também. Isso acontece quando as populagoes retornam a seus valores iniciais de C = 1 000 e L = 40 e o ciclo intei- ro comec¢a novamente. (e) Da descrig&o no item (d) de como as populagées de coelhos e lobos aumentam e dimi- nuem, podemos esbogar os graficos de C(f) e L(t). Suponha que os pontos P;, P: e P3 na Figura 3 sejam alcancgados nos instantes ft, t2 e t;. Entéo podemos esbogar os graficos de C e L como na Figura 4. CA L 2.500— 140 120 2.000 — 100 1.500 - 80 1.000 60 40 500 - 20 — ttt 9 he t 9} nn tb t FIGURA 4 Graficos das populagées de coelhos e lobos como fungao do tempo 566 CALCULO No Module 9.6 voce pode alterar Para tornarmos os graficos mais faceis de comparar, os desenhamos nos mesmos eixos, mas os coeficientes nas equagdes de Lotka- com escalas diferentes para C e L, como na Figura 5. Observe que os coelhos atingem sua -Volterra e observar as mudangas populagdéo maxima cerca de um quarto de ciclo antes dos lobos. resultantes na trajetdria de fase e nos graficos das populagdes de coelhos e lobos. c 3.000 L Cc L 120 Ntimero 2.000 Numero de de coelhos 80 lobos 1.000 40 FIGURA 5 Comparacées das populagoes de 0 hth ty t coelhos e lobos . | Uma parte importante do processo de modelagem, como discutimos na Segao 1.2, € in- terpretar nossas conclusGes matematicas como previsdes do mundo real e testar as previsdes com dados reais. A Hudson’s Bay Company, que comecou a comercializar peles de animais no Canada em 1670, mantém registros que datam de 1840. A Figura 6 mostra os graficos do numero de peles de coelho e seu predador, 0 lobo canadense, comercializadas pela empresa ha 90 anos. Vocé pode ver que as oscilagdes acopladas na populacao de lebres e linces, pre- vista pelo modelo de Lotka-Volterra, realmente ocorrem e 0 periodo desses ciclos é de apro- ximadamente dez anos. 160 coelhos 120 9 lobos Milhares 80 i 6 Milhares de de coelhos lobos FIGURA 6 Hf I / / \y 3 A abundancia relativa de (| ) \ \ coelhos e lobos dos registros u (| da Hudson’s Bay Company 9 1850 1875 1900 1925 Embora 0 modelo relativamente simples de Lotka-Volterra tivesse algum sucesso em explicar e prever as populacgGes acopladas, modelos mais sofisticados também tém sido pro- postos. Uma maneira de modificar as equagées de Lotka-Volterra é supor que, na auséncia de predadores, a presa cresga de acordo com um modelo logistico com capacidade de supor- te M. Entao as equagées de Lotka-Volterra | 1 | séo substituidas pelo sistema de equagoes dife- renciais dC ( C dL — =kcC\ 1 -——]-aCL — = —-rL + bCL dt M dt Esse modelo é investigado nos Exercicios 11 e 12. Também tém sido propostos modelos para descrever e prever niveis de populacgdo de duas espécies que competem pelos mesmos recursos ou cooperam por beneficios mtituos. Esses modelos serao explorados nos Exercicios 2-4. EQUACOES DIFERENCIAIS 567 no Exercicios 1. Para cada sistema predador-presa, determine qual das variaveis, moscas crescera exponencialmente e a populacao de crocodilos x ou y, representa a populac4o de presas e qual representa a po- diminuira exponencialmente. Na auséncia de crocodilos e mos- pulagao de predadores. O crescimento das presas é€ restrito ape- cas, a populacao de sapos diminuira exponencialmente. Se P(t), nas pelos predadores ou por outros fatores também? Os Q(t) e R(t) representam as populag6es dessas trés espécies no predadores alimentam-se apenas das presas ou eles tém outras instante ft, escreva um sistema de equagoes diferenciais como um fontes de alimentacao? Explique. modelo para sua evolucao. Se as constantes em sua equacao sao dx positivas, explique por que vocé usou sinais de mais ou de (a) an = —0,05x + 0,0001xy menos. a = 0,ly — 0,005xy 5-6 Uma trajetéria de fase €é mostrada para as populacGes de coe- dt lhos (C) e raposas (R). > dx ; (a) Descreva como cada populacéo muda com o passar do tempo. (b) dt 0,2x — 0,0002x" — 0,006xy (b) Use sua descricg&o para fazer um esboco grosseiro dos grafi- dy cos de C e R como fungées do tempo. an —0,015y + 0,00008xy t 5. R 300 2. Cada sistema de equagées diferenciais € um modelo para duas espécies que competem pelas mesmas fontes ou cooperam por mutuo beneficio (plantas em floragao e insetos polinizadores, por exemplo). Decida se cada sistema descreve competic4o ou 200 cooperacao e explique por que este é um modelo razoavel. (Per- gunte-se qual é 0 efeito que o aumento de uma das espécies tem na taxa de crescimento da outra.) 100 dx 2 (a) an = 0,12x — 0,0006x~ + 0,00001xy ® _ 0,98x + 0,00004 — = 0,08x , x dt » 0 400 800 1.200 1.600 2.000 C dx 2 (b) an 0,15x — 0,0002x° — 0,0006xy dy > 6 un 0,2y — 0,00008y~ — 0,0002xy . R 160 t=0 3. O sistema de equagées diferenciais dx 120 a: 0,5x — 0,0004x? — 0,001xy dy ah 0,4y — 0,001y” — 0,002xy 80 , _ a 40 é um modelo para as populacGes de duas espécies. (a) O modelo descreve cooperagao, ou competi¢ao, ou uma rela- ao predador-presa? sa0P P . ; 0 400 800 1.200 1.600 c (b) Encontre as solugdes de equilibrio e explique seu signifi- cado. . . . 7-8 Os graficos de populagées de duas espécies sao ilustrados. 4. Moscas, sapos e crocodilos coexistem em um ambiente. Para so- Use-os para esbocar a trajetéria de fase correspondente. breviver, os sapos precisam comer as moscas e os crocodilos precisam comer os sapos. Na auséncia de sapos, a populagao de E necessério usar um sistema de computacao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 568 CALCULO 1. y Espécie | J 200 M007 ¢oo55z5 fff tt lttlsltt Espécie 2 } oe e555 TST TTT TT TLL ssf 150 300F |) 2555 TTT T ITLL TTS S lle Pe ZED II IIIT ISSN S88 got iiritiirorr rr rrr trata 100 Py Ql alsa sec eee eee eee 100 50 SSS SSS TST TTT Te 0 5.000 1.0000 15.000 P 0 1 t (d) Suponha que no instante t = 0 existam 1 000 pulgées e 200 joaninhas. Desenhe a trajetéria de fase correspondente e use- 8. , -a para descrever como ambas as populacGes variam. y Espécie | . . . 1.200 (e) Use 0 item (d) para fazer esbogos das populacées de pulgées e joaninhas como fungées de t. De que modo esses graficos es- 1.000 tao relacionados? 800 11. NoExemplo 1 usamos as equagées de Lotka-Volterra para mo- 600 delar as populag6es de coelhos e lobos. Vamos modificar aque- las equag6es como a seguir: 400 “os dC Espécie 2 — = 0,08C(1 — 0,0002C) — 0,001CL 200 dt ah —0,02L + 0,00002CL 0 5 10 Ist dt , ; (a) De acordo com essas equagGes, 0 que acontece 4 populagao Ans 9 9. No Exemplo 1(b) mostramos que as populagées de coelhos e de coelhos na auséncia dos lobos’ lobos satisfazem a equacio diferencial (b) Calcule as solugGes de equilibrio e explique seus significados. dL ~0.02L + 0.00002CL (c) A figura mostra a trajetéria de fase que comega no ponto {T= OO (1 000, 40). Descreva 0 que acabara ocorrendo com as popu- dc 0,08C — 0,001CL lag6es de coelhos e lobos. Resolvendo essa equac4o diferencial separavel, mostre que L COL 0,08 2 0.00002C, 0.001L Cc 70 onde C é uma constante. 60 E impossivel resolver essa equaciio para L como uma funciio explicita de C (ou vice-versa). Se vocé tiver um sistema de com- 50 putacao algébrica que trace curvas definidas implicitamente, use essa equacéo e seu SCA para desenhar a curva solucao que passa pelo ponto (1 000, 40) e compare com a Figura 3. 40 10. As populacgées de pulg6es e joaninhas s4o0 modeladas pelas a > hh equagoes 800 1.000 1.200 1.400 1.600 C dP (d) Esboce os graficos das populagées de coelhos e lobos como a 2P — 0,01PJ fungdes do tempo. a = -0,5J + 0,0001P/ 12. No Exercicio 10, modelamos populacées de pulgées e joaninhas dt com um sistema Lotka-Volterra. Suponha que modifiquemos (a) Calcule as solugGes de equilibrio e explique seu significado. aquelas equag6es como a seguir: (b) Encontre uma expressao para dJ/dP. aP (c) O campo de diregées para a equagao diferencial no item (b) é a 2P(1 — 0,0001P) — 0,01P/ mostrado. Use-o para esbocar um retrato de fase. O que as tra- f Jetorias de fase ttm em comum? dJ a —0,5/ + 0,0001P/ EQUACOES DIFERENCIAIS 569 (a) Na auséncia de joaninhas, o que o modelo prevé sobre os pulgdes? (e) Suponha que no instante t = 0 existam 1.000 pulgdes e 200 (b) Encontre as solucées de equilibrio. joaninhas. Desenhe a trajetéria de fase correspondente e use- (c) Encontre uma expresso para di/dP. -a para descrever como ambas as populagées variam. (d) Use um sistema de computacao algébrica para desenhar um (f) Use 9 tem (e) para fazer esbogos das populagoes de pulgdes oe ~ 4. . . e joaninhas como fung6es de t. De que modo esses graficos es- campo de direg6es para a equacao diferencial no item (c). En- : . ~ . tao relacionados? téo, use o campo de diregGdes para esbogar um retrato de fase. O que as trajetérias de fase tém em comum? 8 Revisao Verificagao de Conceitos 1. (a) O que é uma equagao diferencial? 7. (a) Escreva a equacao diferencial que expresse a lei de cresci- (b) O que é a ordem de uma equagao diferencial? mento natural. O que ela diz em termos da taxa de crescimento (c) O que é uma condicAo inicial? relativo? 2. O que vocé pode dizer sobre as solugdes da equacio (b) Sob quais circunstancias este € um modelo apropriado para y’ = x? + y* apenas olhando para a equagdo diferencial? 0 crescimento populacional? : . : is sa lugdes d ao? 3. O que é um campo de diregdes para a equacao diferencial (c) Quais sao as solucdes dessa equacao y' = Fix, y)? 8. (a) Escreva a equacao logistica. 4. Explique como 0 método de Euler funciona. (b) Sob quais circunstancias este € um modelo apropriado para 0 crescimento populacional? 5 ho di i Avel? é - 5 O que € uma equacao diferencial separavel? Como vocé a re 9. (a) Escreva equacées de Lotka-Volterra para modelar popula- solve? = : ~ oo. ao . ges de peixes (P) e tubarées (T). 6. O que é uma equagio diferencial linear de primeira ordem? (b) O que essas equagdes dizem sobre cada populacao na au- Como vocé a resolve? séncia da outra? Teste — Verdadeiro ou Falso Determine se a afirmagao é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique 4. Aequacio y’ = 3y — 2x + 6xy — | é separavel. per we Caso contrario, explique por que ou dé um exemplo que mostre que 5. A equacio e'y’ = yé linear. é falsa. . . 6. A equacio y’ + xy = e’é linear. 1. Todas as solugdes da equacio diferencial y’ = —1 — y* sao fun- . a ~ 7. Se y for a solugdo do problema de valor inicial ¢6es decrescentes. 2. A fungao f (x) = (In x)/x € uma solucao da equac4o diferencial d vy +xy=1 & = ay — y(0) = 1 ‘ dt 5 3. A equacio y’ = x + y é separavel. ent4o lim,;—.. y = 5. Exercicios 1. (a)Um campo de direcgdes para a equacio diferencial 2. (a) Esboce um campo de diregées para a equacao diferencial y’ = y(y — 2)(y — 4) € mostrado. Esboce os graficos das so- y’ = x/y. Entao, use-o para esbogar as quatro solugdes que sa- lug6es que satisfazem as condigoes iniciais dadas. tisfazem as condicdes iniciais y(0) = 1, yO) = —1, @) (0) = — 0,3 (ii) (0) = 1 y2) = ley(—2) = 1. (ai) yO) = 3 (av) yO) = 4,3 (b) Verifique seu trabalho no item (a) resolvendo a equacio (b) Se a condig&o inicial for y(0) = c, para quais valores de c 0 diferencial explicitamente. Que tipo de curva é cada curva lim, _,,, YO) € finito? Quais sao as solugdes de equilibrio? solucgao? y 3. (a)Um campo de diregdes para a equacao diferencial 64 y’ = x* — y’ € mostrado. Esboce a solugdo do problema de a valor inicial pEELLE Laid! ver—e Ot 47 >> ppp ppc ccs Use seu grafico para estimar o valor de y(0,3). NNNNNNNDDNDEDDNN NON NN NNNNNNDWNDEUULNN EO NONON NN gf 22> FF FF TTT TOC G EEE GGG GS 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ZF A A x A AF 47 A 4A 47 ~~ A SSS yyy yyy Tae 570 CALCULO y (d) De acordo com 0 modelo logistico, quando a populagaéo mun- a dial excederé 10 bilh6es? Compare com suas previsdes no peep ks item (b). Ul 7 N\ \ \ \ \ \ \ N 4 I . poe NN ND NN 17. O modelo de crescimento de Von Bertalanffy é usado para pre- nan , Soe ver 0 comprimento L(t) de um peixe em um periodo de tempo. pot fe STR SN Se L.. for o maior comprimento para uma espécie, entao a hipé- Po To tese é que a taxa de crescimento do comprimento seja propor- a | a cional a L.. — L, o comprimento que o peixe ainda pode crescer. fre eee ene ee ee (a) Formule e resolva uma equacao diferencial para encontrar uma 1 ! / 4, = N —- 7 / ! I bor re e~y ir ys ert expressao para L(f). bop DN dot Ye (b) Para o hadoque do Mar do Norte foi determinado que poy YY Pi oI L.»= 53 cm, L(0) = 10 cme a constante de proporcionalidade gh ke € 0,2. Em que a expresso para L(7) torna-se com esses dados? . 18. Um tanque contém 100 L de gua pura. Agua salgada contendo (b) Use o método de Euler com passo 0,1 para estimar y (0,3), 0,1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. onde y(x) é a solugao do problema de valor inicial no item (a). A solucio € agitada e retirada do tanque na mesma taxa. Quanto Compare com sua estimativa da parte (a). sal permanece no tanque depois de seis minutos? (c) Em que Tetas estéo localizados os centros dos segmentos de 19. Um modelo para a propagaciio de uma epidemia é que a taxa de reta horizontais do campo de diregdes da parte (a)? O que propagaciio é€ proporcional ao ntimero de pessoas infectadas e acontece quando uma curva solugao intercepta essas retas? ao ntimero de pessoas nao infectadas. Em uma cidade isolada 4. (a) Use o método de Euler com 0 passo 0,2 para estimar y (0,4), de 5 000 habitantes, 160 pessoas tém uma doenga no comeco da onde y(x) € a solugao do problema de valor inicial semana e 1.200, no fim da semana. Quanto tempo levaraé para y’ = 2xy’ y(0) = 1 80% da populagao se contaminar? (b) Repita a parte (a) com passo 0,1. 20. A Lei de Brentano-Stevens em psicologia modela a maneira (c) Encontre a solugao exata da equagao diferencial e compare como um objeto de estudo reage a um estimulo. Ela estabelece com 0 valor em 0,4 com as aproximacées nas partes (a) e (b). que, se R representar a reacdo a quantidade S de estimulo, entao as taxas relativas de aumento s4o proporcionais: 5-8 Resolva a equacao diferencial. 1 dR kds d. > Fe 5. y’ = xe “™* — ycosx 6. Sa intten a R dt S dt onde k é uma constante positiva. Encontre R como uma fungao 7. 2yey! = 2x + 3x 8 xy —y=2wWel de S. 9-11 Resolva o problema de valor inicial. 21. O transporte de uma substancia através de uma parede capilar na fisiologia pulmonar tem sido modelado pela equacao diferencial dr 9. aire r(0) =5 a8 / h 10. (1 +cosx)y’ =(1+e™)senx y(0)=0 dt V\kth 1. xy’ -y=xInx, yd)=2 onde h é a concentragao de horm6nio na corrente sanguinea, t é = 12. Resolva o problema de valor inicial y’ = 3x2e°. WO) = le o tempo, R é a taxa maxima de transporte, V é o volume do ca- » Nesolva 0 pro ema de valor inicial y’ = 3x'e’, y(0) = Le pilar e k é aconstante positiva que mede a afinidade entre os hor- trace a solugao. As . ve m6nios e as enzimas que auxiliam o processo. Resolva essa 13-14 Encontre as trajet6rias ortogonais da familia de curvas. equagao diferencial para encontrar uma relagao entre he t. 22 As populagoes de passaros e insetos sio modeladas pelas equa- 13. y = ke* 14. y=e* gdes 15. (a) Escreva a soluc4o do problema de valor inicial dx he = 0,4x — 0,002xy v=o iP(1 P ) P(0) = 100 —=0, _ = 4 dt 2.000 ) & = —0,2y + 0,000008xy e use-a para encontrar a populacg4o quando ¢ = 20. dt (b) Quando a populagao atinge 1 200? (a) Quais das variaveis, x ou y, representa a populacdo de passa- 16. (a) A populacdo mundial era de 5,28 bilhdes em 1990 e 6,07 bi- ros e qual representa a populacao de insetos? Explique. Ihdes em 2000. Encontre um modelo exponencial para esses (b) Encontre as solucées de equilibrio e explique seu significado. dados e use-o para prever a populac4o mundial no ano 2020. (c) Encontre uma expresso para dy/dx. (b) De acordo com ° modelo no item (a), quando a populagao (d) O campo de diregées para a equacao diferencial no item (c) é mundial excedera 10 bilh6es? mostrado. Use-o para esbogar a trajetdria de fase correspon- (c) Use os dados no item (a) para encontrar um modelo logistico dente as populagées iniciais de 100 pdssaros e 40.000 insetos. para a populagao. Considere uma capacidade de suporte de A seguir, use a trajet6ria de fase para descrever como ambas 100 bilhdes. Entao use 0 modelo logistico para prever a po- as populacées variam. pulacgdo em 2020. Compare com sua previsao do modelo exponencial. EQUACOES DIFERENCIAIS 571 y (d) Esboce os graficos das populag6es de passaros e insetos como 400t |) 4 4] —-~~NNNNN fungGées do tempo. | A i to. e7ee~NNNNNN 24. Barbara tem 60 kg e esta em uma dieta de 1.600 calorias por dia, 30¢ 1 7 eo eS das quais 850 so usadas diretamente pelo metabolismo basal. fr saz~aeS~NNNNAN A Ela gasta cerca de 15 cal/kg/dia vezes seu peso fazendo exerci- | ; ° _ L > ‘ » . ‘ ‘ cios. Se 1 kg de gordura tiver 10.000 cal e assumirmos que a re- 2007, VV ey rr rt i serva de calorias na forma de gordura seja 100% eficiente, ' ‘ . Soo c c c o o formule uma equagcao diferencial e resolva-a para encontrar a wot’ Starr rm em massa dela em funcao do tempo. A massa de Barbara eventual- . SF mente se aproxima de uma massa de equilibrio? - 25. Quando um cabo flexivel de densidade uniforme é suspenso 0 20.000 40.000 60.000* entre dois pontos fixos e fica pendurado 4 mercé de seu proprio peso, a forma y = f (x) do cabo satisfaz uma equac¢ao diferencial (e) Use a parte (d) para fazer esbogos das populagées de passa- do tipo ros e insetos como fungées do tempo. De que modo esses gra- ficos estao relacionados? d?y fay) 23. Suponha que o modelo do Exercicio 22 seja trocado pelas equa- de Kyjl+ (2) we onde k € uma constante positiva. Considere o cabo mostrado na dx 0,4x(1 — 0,000005x) — 0,002xy figura. dt (a) Seja z = dy/dx na equagao diferencial. Resolva a equacao di- d ferencial de primeira ordem (em z) e depois integre para en- & = ~0.2y + 0,000008xy contrar y. dt . . (b) Determine 0 comprimento do cabo. (a) De acordo com essas equag6es, 0 que acontece 4 populacao y de insetos na auséncia dos passaros? (-b, h) (b, h) (b) Encontre as solugées de equilibrio e explique seu significado. (c) A figura mostra a trajetoria de fase que comeca com 100 pas- saros e 40.000 insetos. Descreva 0 que ocorre eventualmente (0, a) com as populacoes de pdssaros e insetos. —b 0 b x y 260 240 220 200 180 160 140 120 100 Tom hae ton ate 15.000 25.000 35.000 45.000 * 572 CALCULO mums Problemas Quentes gee 1. Encontre todas as fungGes f tais que f’ é continua e [f()? = 100 + { {Lf + Lf'O]?} de para todo x. 2. Um estudante esqueceu a Regra do Produto para a derivada e cometeu o erro de pensar que (fg)’ = f.'g'. Contudo, ele teve sorte e obteve a resposta certa. A fungéo f que ele usou era 2 aos . 1 ~ Ff (x) = e* e 0 dominio de seu problema era 0 intervalo (5, ©). Qual era a fung4o g? 3. Sejaf uma funcgao com a propriedade de que f (0) = 1, f’(0) = le f(a + b) = f (af (b) para todos os nimeros reais a e b. Mostre que f’(x) = f (x) para todo x e deduza que f (x) = e*. 4. Encontre todas as funcgées f que satisfazem a equagao (jra)(IGe) = x) dx —7 dx} =- f(x) 5. Encontre a curva y = f (x) tal que f (x) = 0, f(0) = 0, f(1) = 1 e tal que a Area sob 0 grafico f de 0 a x seja proporcional a (n + 1)-ésima pot€éncia de f (x). 6. Uma subtangente é uma parte do eixo x que fica diretamente abaixo do segmento de uma reta tan- gente do ponto de contato ao eixo x. Encontre curvas que passem pelo ponto (c, 1) e cujas subtan- gentes tenham todas comprimento c. 7. Uma torta de pera foi tirada do forno 4s 17h00. Naquela hora, a torta estava pegando fogo, com uma temperatura de 100°C. As 17h10, sua temperatura era de 80°C; As 17h20 era de 65°C. Qual é a tem- peratura do ambiente? 8. Comega a cair neve durante a manha do dia 2 de fevereiro e continua constantemente durante a tarde. Ao meio-dia, um veiculo removedor de neve comega a retira-la de uma estrada a uma taxa constante. O veiculo percorreu 6 km do meio-dia até 4s 13 horas, mas apenas 3 km das 13 as 14 horas. Quando aneve comecou a cair? [Dicas: Para comegar, seja t o instante medido em horas depois do meio-dia; seja x(t) a distancia percorrida pelo vefculo removedor de neve em um instante f; ent&o a velocidade do veiculo é dx/dt. Seja b o nimero de horas antes do meio-dia quando comegou a nevar. Encontre uma expressao para a altura da neve no instante ¢. Entao use as determinadas informagées de que a taxa de remocio R (em m*/h) € constante. ] 9. Umcachorro vé um coelho correndo em linha reta por um campo aberto e comega a cagé-lo. Em um sistema de coordenadas cartesianas (como mostrado na figura), suponha que: (i) O coelho esta na origem e 0 cachorro, no ponto (L, 0), no instante em que o cachorro primeiro vé 0 coelho. (ii) Ovcoelho corre no eixo ye o cachorro corre sempre direto para o coelho. (iii) Ocachorro corre na mesma velocidade do coelho. (a) Mostre que o caminho do cachorro é 0 grafico da fungéo y = f (x), onde y satisfaz a equagaio diferencial & dy\ x “* = i+¢(2 dx dx (b) Determine a solucao da equacao no item (a) que satisfaga as condig6es iniciais y = y’ = 0 quando x = L. [Dica: Seja z = dy/dx na equacao diferencial e resolva a equacdo de primeira ordem resultante para encontrar z; ent&o integre z para encontrar y.] (c) O cachorro alcanga 0 coelho? 10. (a) Suponha que o cachorro no Problema 9 corra duas vezes mais rapido que o coelho. Encontre uma equacao diferencial para a trajetéria do cachorro. Entao resolva-a para encontrar 0 ponto onde o cachorro pega 0 coelho. (b) Suponha que o cachorro corra com a metade da velocidade do coelho. Quo préximo o cachorro FIGURA PARA 0 PROBLEMA 9 chega do coelho? Quais so suas posigées quando eles esto o mais préximo possivel? EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 573 11. Um engenheiro deve apresentar algumas estimativas à sua companhia sobre uma nova planta de alume, considerando a capacidade de um silo desenhado para conter minério de bauxita até este ser proces- sado em alume. O minério parece pó de talco cor-de-rosa e é despejado a partir de uma esteira trans- portadora no topo do silo. O silo é um cilindro de 30 m de altura com um raio de 60 m. O silo é um cilindro de 1.500p m3/h e o minério mantém um formato cônico cujo raio é 1,5 vez a sua altura. (a) Se, em um instante t determinado, a pilha tiver 20 m de altura, quanto tempo levará para ela al- cançar o topo do silo? (b) A administração quer saber quanto espaço restará no chão do silo quando a pilha tiver 20 m de altura. Quão rápido está crescendo a área preenchida no chão quando a pilha estiver a essa al- tura? (c) Suponha que um carregador comece a remover o minério a uma taxa de 500p m3/h quando a al- tura da pilha alcança 27 m. Suponha também que a pilha continue a manter seu formato. Quanto tempo levará para a pilha atingir o topo do silo nessas condições? 12. Ache a curva que passa pelo ponto (3, 2) e que tem a propriedade de que, se a reta tangente for de- senhada em qualquer ponto P na curva, a parte da reta tangente que está no primeiro quadrante será dividida ao meio por P. 13. Lembre-se de que a reta normal a uma curva em um ponto P na curva é a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente em P. Encontre a curva que passa pelo ponto (3, 2) e que tem a pro- priedade de que, se a linha normal for desenhada em qualquer ponto na curva, a intersecção y da linha normal sempre será 6. 14. Encontre todas as curvas com a propriedade de que, se a reta normal for desenhada em qualquer ponto P na curva, a parte da reta normal entre P e o eixo x será dividida em duas partes iguais pelo eixo y. 15. Encontre todas as curvas com a propriedade de que se a linha for desenhada a partir da origem em qualquer ponto (x, y) na curva, e então uma tangente for desenhada para a curva naquele ponto e es- tender-se para encontrar o eixo x, o resultado é um triângulo isósceles com lados iguais que se en- contram se em (x, y). Calculo09_06:calculo7 5/18/13 7:35 AM Page 573 Calculo09_06:calculo7 5/18/13 7:35 AM Page 574 E ~ P 7 t 7 ry a Q 5 ; : 5 cy iz i oe 6 7 \ es * i 1 ce . : ; i a a 3 . cn - Ls a rhe: - 7 i : _ 4 ny 4 o 7 a : . Zt ae rs ee A ; sad ; * 7 . Dean Ketelsen Até agora descrevemos as curvas planas dando y como uma fungfo de x [y = f (x)] ou x como uma fungiio de y [x = g(y)] ou fornecendo uma relagio entre x e y que define y impli- citamente como uma fungao de x [ f (x, y) = 0]. Neste capitulo discutiremos dois novos métodos para descrever as curvas. Algumas curvas, como a cicloide, sio mais bem manipuladas quando x e y forem dados em termos de uma terceira varidvel t, chamada parametro [x = f (), y = g(f)]. Outras cur- vas, como a cardioide, tém sua descrigéo mais conveniente se usarmos um novo sistema de coordenadas, denominado sistema de coordenadas polares. 576 CALCULO co Curvas Definidas por Equacgoes Paramétricas y C Imagine que uma particula se mova ao longo de uma curva C, como mostrado na Figura 1. E impossivel descrever C com uma equacao do tipo y = f (x) porque C nao passa no Teste (sy) = (f9, 910) ; : x ~ da Reta Vertical. Mas as coordenadas x e y da particula sio fungdes do tempo e, assim, pode- mos escrever x = f(t) e y = g(t). Esse par de equacées é, muitas vezes, uma maneira conve- niente de descrever uma curva e faz surgir a definicao a seguir. 0 x Suponha que x e y sejam ambas dadas como fung6es de uma terceira varidvel t (denomi- nada parametro) pelas equacdes FIGURA 1 _ _ x=f@ y=gt) (chamadas equacdes paramétricas). Cada valor de ¢ determina um ponto (x, y), que pode- mos marcar em um plano coordenado. Quando ¢ varia, 0 ponto (x, y) = (f (0), g(A) varia e traga a curva C, que chamamos curva parametrizada. O paradmetro f nao representa 0 tempo necessariamente e, de fato, poderfamos usar outra letra em vez de ¢ para o parametro. Porém, em muitas aplicagdes das curvas parametrizadas, t denota tempo e, portanto, podemos inter- pretar (x, y) = (f (4), g() como a posigao de uma particula no instante ¢. 520 Esboce e identifique a curva definida pelas equag6es paramétricas x=fP—2t y=tt1 SOLUCGAO Cada valor de t fornece um ponto na curva, como mostrado na tabela. Por exem- plo, se t = 0, entao x = 0, y = 1 e assim o ponto correspondente é (0, 1). Na Figura 2 mar- camos os pontos (x, y) determinados por diversos valores do parametro e os unimos para produzir uma curva. y t=4 m3 —2 8 |-l t=2 -1 3 0 (=1 OL 0 | 0 1 (0.1) : 1 |-1 | 2 r=0 xX 2 | 0 | 3 °} raat 3 3 4 t=—2 4 8 5 FIGURA 2 Uma particula cuja posicao é dada por equagGes paramétricas se move ao longo da curva na direcgdo das setas quando ft aumenta. Observe que os pontos consecutivos marcados na curva aparecem em intervalos de tempo iguais, mas nao a distancias iguais. Isso ocorre por- que a particula desacelera e entéo acelera 4 medida que ¢ aumenta. Esta equagao em x e y nos descreve onde a Parece, a partir da Figura 2, que a curva tracada pela particula poderia ser uma parabola. particula esteve, mas nao nos diz quando Isso pode ser confirmado pela eliminac&o do pardmetro f, como a seguir. Obtemos t = y — 1 ela estava em um ponto especifico. As : x se . x . an a partir da segunda equac4o e substituimos na primeira equacao. Isso fornece equagoes parameétricas tem uma vantagem: elas nos dizem quando a particula estava x=P-2t= (y- 1? -Ay-)h= y — 4y +3 em determinado ponto. Elas também indicam a dire¢go do movimento. e assim a curva representada pelas equac6es paramétricas dadas é a parabola y x=y?— Ay + 3. = (8, 5) Nenhuma restri¢ao foi colocada no parametro tf no Exemplo 1, de modo que assumimos que ¢t poderia ser qualquer nimero real. No entanto, algumas vezes restringimos ¢ a um inter- valo finito. Por exemplo, a curva parametrizada (0, 1) x= —2t y=tt+l Oxrs4 0 * mostrada na Figura 3 é a parte da parabola do Exemplo | que comega no ponto (0, 1) e ter- mina no ponto (8, 5). A seta indica a diregado na qual a curva é tragada quando aumenta de 0 até 4. FIGURA 3 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 577 De forma geral, a curva com equacg6es paramétricas x=f@ y = g(t) axt= Quando ¢ aumenta de 0 até 277, 0 ponto (x, y) = (cos ¢, sen f) se move uma vez em torno do circulo, no sentido anti-horario, partindo do ponto (1, 0). | FIGURA 4 (SQV Que curva é representada pelas seguintes equacdes paramétricas? y x = sen 2t y = cos 2t O 1, os ramos se tornam lisos novamente e, quando a aumenta mais ainda, eles se tornam menos curvados. Observe que as curvas com a positivo sao reflexOes em torno do eixo y das curvas corres- pondentes com a negativo. Essas curvas séo denominadas conchoides de Nicomedes, em homenagem ao antigo estudioso grego Nicomedes. Ele as chamou de conchoides porque o formato de seus ramos lembra uma concha. = EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 581 co Exercicios 1-4 Esboce a curva usando as equag6es paramétricas para marcar os (a) I pontos. Indique com uma seta a direcdo na qual a curva é tragada x y y quando ¢ aumenta. 2 1 2 1 x=1+vVt, y=f—-4, 0<1t<5 2. x=2cost, y=t—cost, 0St<27 I I f ~ 3. x=cos?t, y=1—sent, 0St< 7/2 4. x=e'+t y=e-t, -2<5t<2 1 t 5-10 (a) Esboce a curva usando as equag6es paramétricas para marcar (b) iu os pontos. Indique com uma seta a direc4o na qual a curva é x y y tragada quando f aumenta. 2 (b) Elimine o parametro para encontrar uma equacdo cartesiana da curva. I Ir 4 a 5 x=3-4t, y=2-3t 6. x=1-24, y=3r-1, -2<1<4 71ox=1-P, y=t-2, -2<1r<2 (c) Il x y y 8 x=t-1, y=f+1, -2<1<2 2 2 1 9. x=Vt, y=1-t 0.x=f, y=Pr 20 21 1 x 11-18 (a) Elimine o parametro para encontrar uma equac4o cartesiana da curva. Loa. oe (d) IV (b) Esboce a curva e indique com uma seta a direcdo na qual a x y curva é tragada quando o parametro aumenta. 2 “12 *te 11. x = sen} 0, y = cos 56, —TSO5T7 12. x=4cos 0, y=2sen0, 0r. x 41. Se ae b forem ntmeros fixos, encontre as equacGes paramétricas para a curva que consiste em todas as posic6es possiveis do * > ponto P na figura, usando o angulo 6 como parametro. Entao eli- mine o parametro e identifique a curva. y F 29. Trace a curva x = y — 2 sen my. AE 30. Trace as curvas y = x°-— 4x ex = y’— 4y e encontre seus pontos de intersecg4o, com precisdo de uma casa decimal. J 31. (a) Mostre que as equag6es paramétricas QE eS X =X + (2 — xi)t y=y+ Qo - yt \ of) * onde 0 S t < 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos Pi(%1, yi) e Pa(x2, y2). (b) Encontre as equacGes paramétricas para representar 0 seg- mento de reta de (—2, 7) para (3, —1) 42. Se ae b forem ntimeros fixos, encontre as equacdes paramétricas 4 32. Usando uma ferramenta gréfica e 0 resultado do Exercicio 31(a), para a curva que consiste em todas as posig6es possiveis do desenhe 0 triangulo com vértices A (1, 1), B(4, 2) e C (1, 5). ponto P na figura, usando o 4ngulo 0 como parametro. O seg- mento de reta AB é tangente ao circulo maior. 33. Encontre equag6es paramétricas para a trajetéria de uma particula y que se move ao longo do circulo x* + (y — 1)? = 4 da seguinte maneira: A (a) Uma vez no sentido hordrio, a partir de (2, 1). 2 (b) Trés vezes no sentido anti-horario, a partir de (2, 1). > LQ IN XY P (c) Meia-volta no sentido anti-horario, a partir de (0, 3). Nea | NS B x 4 34. (a)Encontre as equagdes paramétricas para a_ elipse \ 4 / la? + y/b> = 1. [Dica: Modifique as equacGes do circulo no Exemplo 2.] EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 583 43. Uma curva, denominada bruxa de Maria Agnesi, consiste em to- mesmo lugar ao mesmo tempo? Se isso ocorrer, encontre os das as possiveis posi¢des do ponto P na figura. Mostre que equa- pontos de colisao. gdes paramétricas para essa curva podem ser escritas como (c) Descreva 0 que acontecerd se a trajetéria da segunda parti- x = 2a cotg 0 y = 2a sen’ cula for dada por Esboce a curva. X.=3+ cost yo = 1+ sent 0 0. Como muda o formato quando a aumenta? Para quais va- lores de a a curva tem pontos de minimo? /4 50. Faca um grafico com varios membros das familia de curvas x = sent + sen nt, y = cos t + cos nt, onde n é um numero in- teiro positivo. Quais as caracteristicas que essas curvas tém em co- AE 45. Suponha que a posicao de uma particula no instante t seja dada por mum? O que acontece quando n cresce? x =3sent y,=2cost O<1<20 fF 51. As curvas com equagies x = asen nt, y = bcos t so chamadas a , . figuras de Lissajous. Investigue como essas curvas mudam e que a posicao de uma segunda particula seja dada por : oe ae quando a, b en variam. (Tome 1 como um inteiro positivo.) w= —3+cost yo=1+sent OSt<27 f4 52 Investigue a familia de curvas definidas pelas equagdes paramé- (a) Trace as trajetérias de ambas as particulas. Quantos pontos tricas x = cos t, y = sent — senct, onde c > 0. Comece tomando de intersecg4o existem? c como um inteiro positivo e veja o que acontece com a forma a (b) Alguns desses pontos de intersecgao sao pontos de colisdo? medida que c cresce. A seguir, explore algumas das possibilida- Em outras palavras, essas particulas alguma vez estao no des que ocorrem quando c é uma fragao. as PROJETO DE LABORATORIO 4 ROLANDO CIRCULOS AO REDOR DE CIRCULOS y Neste projeto investigaremos as familias de curvas, chamadas hipocicloides e epici- cloides, que sio geradas pelo movimento de um ponto em um circulo que rola dentro ou fora de outro circulo. CL) 1. Uma hipocicloide é uma curva tragada por um ponto fixo P num circulo C de raio CO (a, 0} b conforme C desliza no interior do circulo com centro O e raio a. Mostre que se 4, ww ee 2 A , . ~ a A a posicao inicial P é (a, 0) e o parametro 0 é escolhido como na figura, entao as equa- x ~ oe . : : ~ ¢des paramétricas da hipocicloide sao a—b a—b v= (a= B)c0s 6+ beos( 2 0) y= (a= B)sen8 ~ bsen( =) E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 584 CALCULO 2. fe Afi hi Afi hipocicloi Olhe no Module 10.18 para ver Use uma erramenta on ne para desen| nes gra eos de oar ne com a sendo como as hipocicloides so formadas um inteiro positivo e b = 1. Como o valor de aa eta 0 grafico? ostre que, se to- pelo movimento de circulos marmos a = 4, ent&o as equag6es paramétricas da hipocicloide se reduzirao a deslizantes. P , x = 4cos’ 0 y = 4 sen’ 0 Essa curva é denominada hipocicloide de quatro ctispides, ou astroide. 3. Agora tente b = 1 ea = n/d, uma fragao onde n e d nao tém fator comum. Primeiro faga n = | e tente determinar graficamente 0 efeito do denominador d no formato do grafico. Entéo faca n variar mantendo d constante. O que acontece quando n=d+1? 4. O que acontece se b = 1 ea for irracional? Experimente com um ntimero irracio- nal do tipo /2 ou — 2. Tome valores cada vez maiores para 0 e especule sobre o que deveria acontecer se trag4ssemos a hipocicloide para todos os valores reais de 0. 5. Seo circulo C rolar do lado de fora de um circulo fixo, a curva tragada por P sera chamada epicicloide. Encontre equag6es paramétricas para a epicicloide. 6. Investigue os possiveis formatos para a epicicloide. Use métodos similares aos Pro- blemas 2-4. cr Calculo com Curvas Parametrizadas Tendo visto como representar as curvas por equagGes paramétricas, vamos agora aplicar os mé- todos de calculo a essas curvas parametrizadas. Em particular, resolveremos problemas en- volvendo tangentes, area, comprimento de arco e area de superficie. MS Tangentes Suponha que fe g sejam funcdes diferenciaveis e queremos encontrar a reta tangente a um ponto da curva x = f(t) e y = g(t) onde y também é uma funcao diferenciavel de x. A Regra da Ca- deia nos diz que dy __dy ad dt dx dt Se dx/dt ~ 0, podemos isolar dy/dx: Se pensarmos em uma curva parametrizada sendo tragada pelo movimento de uma dy particula, entéo dy/dt e dx/dt sao as dy dt dx velocidades vertical e horizontal da [1] >>, se —_-#0 : . . rs dx dx dt particula e a Formula 1 diz que a inclinagao maaee da tangente é a razdo dessas velocidades. dt A Equagao | nos permite encontrar a inclinacao dy / dx da tangente para uma curva para- métrica sem ter que eliminar o parametro ¢. Podemos ver de | 1] que a curva tem uma tangente horizontal quando dy/dt = 0 (desde que dy/dt ~ 0) e tem uma tangente vertical quando dx/dt = 0 (desde que dy/dt ~ 0). Essa informagao é util para esbogar as curvas parametrizadas. Como sabemos do Capitulo 4, no Volume I, é também ttil considerar d*y/dx’. Isso pode ser encontrado mudando y por dy/dx na Equacao 1: d [ dy _ a dy d (2) dt \ dx dy , dt = =a |S) = @ Observe que Te # Ty dx? dx \ dx dx dt dt EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 585 (SGV Uma curva C é definida pelas equacdes paramétricas x = Pe y = P— 3t. (a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3, 0) e encontre suas equacées. (b) Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou vertical. (c) Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo. (d) Esboce a curva. SOLUGAO (a) Observe que y = ¢? — 3t = «(? — 3) = 0 quandot = 0 out = +,/3. Portanto, o ponto (3, 0) em C surge de dois valores do parametro, t = V3 etr= —/3 . Isso indica que C inter- cepta a si propria em (3, 0). Uma vez que dy _ dy/dt _ 3-3 3, 1 dx dx/adt 2t 2 t a inclinagao da tangente quando t = +,/3 é dy/dx = +6/(2 V3) = +,/3; assim, as equa- ¢Oes das tangentes em (3, 0) sao y y=V3(@@-3) e© y= v3 (x- 3) y=V3 3) t=-l (b) C tem uma tangente horizontal quando dy/dx = 0, isto é, quando dy/dt = 0 e dxldt ~ 0. Uma vez que dy/dt = 3f — 3, isso ocorre quando f = 1, isto é, t = +1. Os pontos cor- respondentes em C sao (1, —2) e (1, 2). C tem uma tangente vertical quando \ dx/dt = 2t = 0, isto é, t = 0. (Observe que dy/dt ¥ 0 ali). O ponto correspondente em C é (0, 0). 5 (3,0) (c) Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada: * df(d 1 4(%)\) 3f,,4 dy dt\dx} 2 Pr} 3 + WV nd) dx? dx 2r 4t° , fies dt y= (x — 3) Entao a concavidade da curva é para cima quando t > 0 e para baixo quando ¢ < 0. FIGURA 1 (d) Usando as informacg6es das partes (b) e (c), esbogamos C na Figura 1. | Bory (a) Encontre a tangente a cicloide x = r(@ — sen 0), y = r(1 — cos @) no ponto onde 6 = 77/3. (Veja o Exemplo 7, na Secao 10.1.) (b) Em que pontos a tangente é horizontal? Quando é€ vertical? SOLUGAO (a) A inclinagao da reta tangente é dy _dy/d0 ___rsenO@__ send dx dx/d@ r(1 —cos@) 1 — cos 0 Quando 6 = 77/3, temos 7 7 a V3 7 r x =r\|— — sen— ] =r{ — - — y=r\(l-—cos—] == 3 3 3 2 3 2 d 3 3/2 . dy __sentn/3)__ V3/2 _ ig dx 1-—cos(7/3) 1-3 Portanto, a inclinagdo da tangente é V3 e sua equacao é r rr or 7 ->=¥73 |x -— +—_ ou 3x-y=r\7=- 2 yoy ays ( 3 2 vax) i v3 A tangente esta esbogada na Figura 2. (—ar, 2r) ” (ar, 2r) (377, 2r) (Sar, 2r) FIGURA 2 10 2ar 4ar x 586 CALCULO (b) A tangente € horizontal quando dy/dx = 0, o que ocorre quando sen 0 = Oe 1 — cos 6 ¥ 0, isto é, 8 = (2n — 1)z, n um inteiro. O ponto correspondente na cicloide é ((2n — 1)ar, 2r). Quando @ = 2n7, tanto dx/d@ quanto dy/d@ sao 0. A partir do grafico parece que existem tangentes verticais naqueles pontos. Podemos verificar isso usando a Regra de L’ Héspital, como a seguir: d sen cos 0 lim 2 = tim “= lim “= 0>2n7* dx 0>2n7* 1 _ cos @ 0—>2nT* sen @ Um calculo similar mostra que dy/dx —> — quando @ — 2n7‘; assim, realmente existem tangentes verticais quando 0 = 2nz7, isto €é, quando x = 2nmr. —_ MH Areas Sabemos que a drea sob uma curva y = F(x) dea atébéA = i’ F(x) dx, em que F(x) = 0. Se a curva for dada por equag6es paramétricas x = f (4), y = g(t), a = t S B, entao podemos deduzir uma férmula de drea pelo uso da Regra da Substituicdo para Integrais Definidas _ ; . . como a seguir: Qs limites de integragao para t sao encontrados da maneira usual com a Regra da Substituigao. b B a Quando x = a, t6 a ou. Quando x = b, ré0 A= { ydx = g(t) f(t) dt ou g(t) f(t) dt valor remanescente. 4 “ 8 3200 Encontre a area sob um arco da cicloide y x =r(@ — sen@) y =r(1 — cos 8@) (Veja a Figura 3.) SOLUGAO Um arco da cicloide é dado por 0 < 6 S 27. Usando a Regra da Substituigao 9 2ar * com y = r(1 — cos 6) e dx = r(1 — cos @)d6, temos FIGURA 3 A= ("y dx = ("ra — cos 6)r(1 — cos 6) dé =r |""(1 ~ cos 6) dé =r? |" (1 — 2. cos 6 + cos?) dé 0 resultado do Exemplo 3 diz que a area sob um 9 [27 [ 1 | arco da cicloide é trés vezes a area do circulo que =F { 1 — 2cos 6 + a(1 + cos 26) dé rola e gera a cicloide (veja o Exemplo 7 na Secao 10.1). Galileu conjecturou esse resultado, mas = r?[39 — 2sen@ + jsen 20|;" este foi demonstrado inicialmente pelos matematicos francés Roberval, e italiano = (3 . 27) = 37r r Torricelli. MM Comprimento de Arco Ja sabemos como encontrar 0 comprimento L de uma curva C dada na forma y = F(x), a 0. Isso significa que C é percorrida uma vez, da esquerda para a direita, quando f aumenta de a até B e f (a) = a, f (B) = b. Colocando a Formula | na Férmula 2 e usando a Regra da Substituigao, obtemos b dy \? B dy/dt \* dx L={ 1+ (2 ax= | 14 (OY & a a dx a dx/dt} at EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 587 Uma vez que dx/dt > 0, temos y Cc B dx \? dy \? P [3] L= | —_— + ay dt P, | i-1 a dt dt P, Mesmo que C nao possa ser expressa na forma y = F(x), a Formula 3 ainda é valida, mas a P, obtemos por aproximagées poligonais. Dividimos o intervalo do parametro [a, B] em n sub- P, intervalos de comprimentos iguais At. Se fo, ti, b, . . . , f, SAO as extremidades desses subin- Py tervalos, entao x; = f (t)) e yi = g(t) sao as coordenadas dos pontos Pi(x;, yi) que estéo em C 0 x e o poligono com vértices Po, Pi, ..., P, aproxima C. (Veja a Figura 4.) Como na Segao 8.1, no Volume I, definimos 0 comprimento L de C como o limite dos FIGURA 4 comprimentos dessas poligonais aproximadoras quando n — ©: L=lim > | P;-1P:| n> ja] O Teorema do Valor Médio, quando aplicado a f no intervalo [t;-1, ti], fornece um nimero ¢;* em (f;-1, ¢;) tal que S(t) — ftir) = f(t — t-1) Agora Ax; = x; — xi-1e Ay; = yi — yi-1, € essa equacao fica Ax; = f'(t#) At Analogamente, quando aplicado a g, o Teorema do Valor Médio fornece um ntimero 7;** em (t;-1, t;), de forma que Ay: = g'(t**) At Portanto | Pi-1Pi] = V(Axi)? + (Ay? = VPC ACP + [9'(e*) AtP = VIPGAP + [9G )P At e também L= lim Y VP CP + [GF At N>® jay A soma em [4] se parece com a soma de Riemann da fungio /[ f’(4) |? + [g'(f)]?, contudo, nao é exatamente uma soma de Riemann, porque em geral t* # 1;**. Mesmo assim, se f’ e g' forem continuas, pode ser mostrado que o limite em |4| é o mesmo que se ¢i* e t** fossem iguais; ou seja, B ' I L= |" POR +O at Entao, usando a notacgao de Leibniz, temos 0 seguinte resultado, que possui a mesma forma de 3. [5| Teorema Se uma curva C é descrita por equag6es paramétricas x = f (0), y = g(t), a 1 arquiteto da Catedral de $40 Paulo, em Londres. Para calcular essa integral, usamos a identidade sen*x = ; (1 — cos 2x) com @ = 2x, que fornece 1 — cos 8 = 2 sen?(6/2). Como 0 < @ < 2a, obtemos 0 < 6/2 S 7, logo, y L=8r sen(6/2) = 0. Portanto V2(1 — cos 0) = /4 sen?(6/2) = 2| sen(0/2)| = 2 sen(0/2) e também 0 2ur x lm on L=2r { sen(6/2) do = 2r[—2 cos(/2)], FIGURA 5 = 2r[2 + 2] = 8r 7 MH Area de Superficie Da mesma maneira como para 0 comprimento do arco, podemos adaptar a Férmula 8.2.5, no Volume I, para obter uma férmula para a area da superficie. Se a curva dada pelas equacgdes paramétricas x = f(t), y = g(t), a b>0,é boratério.) a/2 L= 4a | v1 —e*sen’@ d6 y onde e é€ a excentricidade da elipse (e =c/a, com a c= Ja? — b? ). 54. Calcule o comprimento total da astroide x = a cos*0, y = sen*0 coma > 0. “4 qs 55. (a) Trace a epitrocoide com equacées x = 11 cost — 4cos(11#/2) y = 11 sent — 4 sen(117/2) “4 Qual intervalo do parametro fornece a curva completa? (b) Use seu SCA para calcular o comprimento aproximado dessa 35. Encontre a area sob um arco da trocoide do Exercicio 40, na curva. Segao 10.1, para o caso d « e t > —? com precisao de quatro casas decimais. . . . . _ _ (b) Calcule o comprimento da espiral de Cornu a partir da ori- 37. x=tt+e'’, y=t-—e', 0Sts2 ‘ A gem até o ponto com o valor do parametro ¢. 38. x=P-t y=", 1srs4 : : : _ _ 0, o ponto (r, 8) esta no mesmo quadrante que 6; se r < 0, ele esta no quadrante do lado oposto ao polo. Observe que (—r, 0) representa o mesmo ponto que (r, 6 + 77). (-r, 8) FIGURA 2 Marque os pontos cujas coordenadas polares sdo dadas. (a) (1, 5727/4) (b) (2, 377) (c) (2, —277/3) (d) (—3, 37/4) SOLUCAO Os pontos est&o marcados na Figura 3. Na parte (d) o ponto (—3, 37/4) esta loca- lizado trés unidades a partir do polo no quarto quadrante, porque o angulo 37/4 esta no segundo quadrante e r = —3 € negativo. EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 593 3a 3 4 O 2,3 O (9m) O Qa \ Sa 3 aN (1.°F ) \ (= . 2, —2a \ FIGURA 3 , ("3.7 ) No sistema de coordenadas cartesianas cada ponto tem apenas uma representacgAo, mas no sistema de coordenadas polares cada ponto tem muitas representagdes. Por exemplo, 0 ponto (1, 57/4) no Exemplo l(a) poderia ser escrito como (1, —37/4) ou (1, 1377/4) ou (—1, 7/4). (Veja a Figura 4.) T Sa O Ba A 4 4 ( ee 7 4 a 0 3a O yO 4 é (57) (8) (0) H.4) FIGURA 4 De fato, como uma rotagaéo completa no sentido anti-horario é dada por um angulo 277, 0 ponto representado pelas coordenadas polares (r, 8) € também representado por (r, 0 + 2n7r) e (—r, 8 + (2n + 1)a7) onde n é qualquer inteiro. A relacao entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser vista a partir da Figura 5, na y qual o polo corresponde 4 origem e 0 eixo polar coincide com 0 eixo x positivo. Se o ponto P P(r, 0) = P(x, y) tiver coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, 0), entao, a partir da figura, temos x r r r e também | qq O x xX = 0 = 0 Embora as Equagoes | tenham sido deduzidas a partir da Figura 5, que ilustra 0 caso onde r>0e0<0< 7/2, essas equacdes sao validas para todos os valores de r e 0. (Veja a defi- nicdo geral de sen 6 e cos @ no Apéndice D, no Volume I.) As Equacgées | nos permitem encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto quando as coordenadas polares so conhecidas. Para encontrarmos r e 6 quando x e y sao conhecidos, usa- mos as equacdes [2] r=xt+y? tg => x que podem ser deduzidas a partir das Equagdes | ou simplesmente lidas a partir da Figura 5. (SQV Converta o ponto (2, 77/3) de coordenadas polares para cartesianas. SOLUCAO Como r = 2 e 6 = 77/3, as Equacées 1 fornecem 7 1 x =rcos@=2cos—=2+:-—=1 3 2 7 3 yersend=2sen = 72-2 yy 3 2 Portanto, o ponto é (1, V3 ) nas coordenadas cartesianas. 7 594 CALCULO 93/20 Represente o ponto com coordenadas cartesianas (1, — 1) em termos de coordena- das polares. SOLUCAO Se escolhermos r positivo, entéo a Equacao 2 fornece r= Vx? + y? = JI? + (1)? = V2 tga@=2=-1 x Como o ponto (1, —1) esta no quarto quadrante, podemos escolher 0 = —7/4 ou 6 = 77/4. Entao uma resposta possivel é (/2 ,—T7/ 4); e outra € (./2, 7717/4). = OBSERVAGAO As Equacées 2 nao determinam univocamente 6 quando x e y sao dados, por- que, 4 medida que 6 aumenta no intervalo 0 < @ < 27, cada valor de tg @ ocorre duas vezes. Portanto, para converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares, nao é apenas sufi- ciente encontrar r e 8 que satisfagam as Equacdes 2. Como no Exemplo 3, devemos escolher 0 de modo que o ponto (r, @) esteja no quadrante correto. -al m2 no MH Curvas Polares O grafico de uma equacao polar r = f (8), ou mais genericamente, F(r, 0) = 0, consiste em todos os pontos P que tém pelo menos uma representagao (r, 6) cujas coordenadas satisfagam ve a equagao. xX Sehr" Que curva é representada pela equacgao polar r = 2? SOLUCAO A curva consiste em todos os pontos (r, 8) com r = 2. Como r representa a distan- cia do ponto ao polo, a curva r = 2 representa o circulo com centro O e raio 2. Em geral, a equacao r = a representa um circulo com centro O e raio | a|. (Veja a Figura 6.) | FIGURA 6 |S"e"0) Esboce a curva polar 0 = 1. 3,1 ~ . : 4 e) SOLUCAO Essa curva consiste em todos os pontos (r, 8) tal que o angulo polar 6 é | radiano. E (2, 1) uma reta que passa por O e forma um Angulo de | radiano com o eixo polar (veja a Figura 7). g=1 ~ Observe que os pontos (7, 1) na reta com r > 0 estao no primeiro quadrante, enquanto aqueles (1, 1) com r < 0 estao no terceiro quadrante. = 1 O ~ EXEMPLO 6 (a) Esboce a curva com equacao polar r = 2 cos 0. CL) (b) Encontre a equagao cartesiana para essa curva. (2, J) SOLUCAO (a) Na Figura 8 encontramos os valores de r para alguns valores convenientes de 6 e marcamos FIGURA 7 Os pontos correspondentes (7, 0). Entéo juntamos esses pontos para esbocar a curva, que pare- ce ser um circulo. Usamos os valores de 6 apenas entre 0 e 77, j4 que, se deixarmos 0 aumen- tar além de 77, obtemos os mesmos pontos novamente. 0 r=2cos@ 0 2 2) W24) (ge (1.3) (V3. §) 7116 3 a/4 2 \\ a/3 1 ~ SQ (2, 0) a/2 0 0, Z 2771/3 -1 ( 7) FIGURA 8 3m/4 —\2 Tabela de valores e 51/6 —\3 (1 22) (- V3, 52) see _— -1>= 3a > 6 grafico de r= 2 cos 0 rT 2 3 (- V2, 37) EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 595 (b) Para convertermos a equacao dada em uma equagaéo cartesiana, usamos as Equagoes | e 2. A partir de x = r cos 6, temos cos 8 = x/r; assim, a equacgdo r = 2 cos @ torna-se r = 2x/r, que fornece w=PHV’+y? ou VP+y—2x=0 Completando o quadrado, obtemos (x-—1P+y=1 que é uma equacao do circulo com centro (1, 0) e raio 1. 7 y P A Figura 9 mostra em uma ilustragéo geométri- v ca que 0 circulo no Exemplo 6 tem a equagdo r = 2cos 6. 0 angulo OPQ é um angulo reto (por qué?) e assim r/2 = cos 0. KY - FIGURA 9 SM Esboce a curva polar r = 1 + sen 0. " ~ . . 4 2 SOLUCAO Em vez de marcarmos os pontos como no Exemplo 6, primeiro esbogamos o grafico de r = 1 + sen 6 em coordenadas cartesianas na Figura 10 pelo deslocamento da curva seno 1 uma unidade para cima. Isso nos permite ler de uma vez os valores de r que correspondem aos valores crescentes de 0. Por exemplo, vemos que, quando 6 aumenta de 0 até 7/2, r (a distan- 0 7 T 30 2a 9 cia a partir de O) aumenta de | até 2, assim esbocamos a parte correspondente da curva polar ° ° na Figura 11(a). Quando 6 aumenta de 77/2 até 77, a Figura 10 mostra que r diminui de 2 até 1, e dessa forma esbocamos a préxima parte da curva como na Figura 11(b). Quando 6 aumenta FIGURA 10 ; de 7 até 37/2, r diminui de | para 0, como apresentado na parte (c). Finalmente, quando 6 jcpeo @ em coordenadas cartesianas, aumenta de 37/2 até 277, r aumenta de 0 para 1, como mostrado na parte (d). Se deixassemos OS eT 0 aumentar além de 27 ou diminuir além de 0, simplesmente retragarfamos nossa trajet6ria. Juntando as partes da curva nas Figuras 11(a)-(d), esbogamos a curva completa na parte (e). Ela é chamada cardioide, porque tem 0 formato parecido com o de um coragao. _2 g=5 6=5 OK1>| 0=0 0=7 O 0=7 —S> 9=2 0 _/N— _ 3m _ 3a oe O= (a) (b) (c) (d) (e) FIGURA 11 Estagios do esboco da cardioide r = 1 + sen 6 8 (5\)o0005) Esboce a curva r = cos 26. SOLUCAO Como no Exemplo 7, fizemos 0 esboco de r = cos 26, 0 < @ S 277, em coordena- das cartesianas na Figura 12. Quando 6 aumenta de 0 até 7/4, a Figura 12 mostra que r dimi- nui de 1 até 0, e assim desenhamos a parte correspondente da curva polar na Figura 13 0 Module 10.3 ajuda vocé a ver (indicada por ®. Conforme @ aumenta de 77/4 até 7/2, r vai de 0 a —1. Isso significa que a gma as curvas polares sao tracadas distancia de O aumenta de 0 até 1, mas, em vez de ser no primeiro quadrante, essa parte da _mostrando animacoes similares as Figuras curva polar (indicada por @) esta no lado oposto ao polo no terceiro quadrante. O restante ‘10-13. da curva é desenhado de uma maneira semelhante, com numeros e setas indicando a ordem na qual as partes so tragadas. A curva resultante tem quatro lagos e é denominada rosacea de quatro pétalas. 596 CALCULO r = 5 =32 0=7 ® ® ® ® me @ of 4 ® \ ®\ 7 ® \ Zz 0=7 20 a 3a 7 Sa ‘1 2r =O = MEA , A * | \ @ ® © ® 7 ‘ 7 c ® ® ‘\ FIGURA 12 FIGURA 13 r = cos 20 em coordenadas cartesianas Rosacea de quatro pétalas r = cos 20 7 M8 Simetria Ao esbogar curvas polares, lembre-se de que é util algumas vezes levar em conta a simetria. As trés regras seguintes sao explicadas pela Figura 14. (a) Se uma equagao polar nao mudar quando 6 for trocado por —@, a curva sera simétrica em relacao ao eixo polar. (b) Se a equacgao nao mudar quando r for trocado por —r, ou quando @ for trocado por § + a, a curva sera simétrica em relacao ao polo. (Isso significa que a curva permane- cera inalterada se a girarmos 180° em torno da origem.) (c) Se a equagdo nao mudar quando @ for trocado por 7 — 6, a curva sera simétrica em re- lacgao a reta vertical 0 = 77/2. r,7—0 r,0 (7.0) ( ) (r, @) La VK NY O (-r, 8) (r,—8) (a) (b) (c) FIGURA 14 As curvas nos Exemplos 6 e 8 sao simétricas em relagéo ao eixo polar, pois cos(—@) = cos @. As curvas nos Exemplos 7 e 8 sao simétricas em relagao a 6 = 77/2 porque sen (77 — 8) = sen 8 e cos 2(7 — 0) = cos 26. A rosacea de quatro pétalas é também simétri- ca em relagao ao polo. Essas propriedades de simetria poderiam ser usadas para esbogar as cur- vas. Por exemplo, no Exemplo 6 s6 precisariamos ter marcado pontos para 0 < 6 < 77/2 e entao refleti-los em torno do eixo polar para obter o circulo completo. MH Tangentes a Curvas Polares Para encontrarmos a reta tangente a uma curva polar r = f (@), vamos considerar 9 como um parametro e escrever suas equacg6es paramétricas como x =rcos 0 =f (8) cos 6 y =rsen@ =f (0) send Entao, usando o método para encontrar inclinagées de curvas parametrizadas (Equacao 10.2.2) e a Regra do Produto, temos d dr ao sen@ + rcosé 3] dy _d@_ dé dx dx dr — —~ cosé — rsend do do EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 597 Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde dy/d@ = O (desde que dx/d@ # 0). Do mesmo modo, localizamos as tangentes verticais nos pontos onde dx/d@ = 0 (desde que dy/d0 # 0). Observe que, se estivermos olhando para as retas tangentes no polo, entaéo r = 0 e a Equa- cao 3 é simplificada para _ts¢ o 40 SY se —— dx» do Por exemplo, no Exemplo 8 achamos que r = cos 2 6 = 0 quando 0 = 77/4 ou 37/4. Isso sig- nifica que as retas 0 = 7/4 e 0 = 37/4 (ouy = xe y = —x) sAo retas tangentes ar = cos 2 6 na origem. GEL (a) Para a cardioide r = | + sen 6 do Exemplo 7, calcule a inclinacao da reta tangente quan- do 6 = w/3. (b) Encontre os pontos na cardioide onde a reta tangente é horizontal ou vertical. SOLUCAO Usando a Equacao 3 com r = 1 + sen 6, obtemos dr — send + rcosé dy _ do _ cos@ sené + (1 + sen@) cos 6 dx dr cos@ cos@ — (1 + sen@) send — cosé — rsené do _ cos@(1+2sen@) _—_ cos@ (I + 2sen@) 1—2sen@—sen@ (1+ sen@)(1 — 2sen6) (a) A inclinacao da tangente no ponto no qual 6 = 77/3 é dy —_ cos(ar/3)(1 + 2 sen(zr/3)) 31 + V3) dx |p-nj3 (1 + sen(ar/3))(1 — 2 sen(a/3)) (1 + ¥3/2)(1 — V3) _ 1+ 73 — 1+ya \ C+ 3) -1- (b) Observe que dy 0 (1 + 2sen6) =0 do @ a 30 Ta lla — = cos sen => uando => CC do 4 2° 2° 6° 6 dx 30 a ST —=(1+ 0)(1 — 2 sené) = 0 do 8 =~, >, 7 ( sen 0)( sen@) quando 0° 6° 6 Portanto, existem tangentes horizontais nos pontos (2, 77/2), G, Tt1/ 6), G, l1a/ 6) e tangen- tes verticais em (3, 7/6) e (3, 57/6). Quando 6 = 37/2, dy/d0 e dx/d@ sao 0 e, dessa forma, devemos ser cuidadosos. Usando a Regra de L’ Héspital, temos (2 rz) >2 V3 T . dy . 1 + 2sen0 . cosé (1+ 3,4) im —= im =———— im =———— 9327/2)” dx 97/27 1 — 2sen@ / \e>Ga/27 1 + send (28) 1 . cos@ 1 . —send 2°6 =-— lim —m —=-— lm — =o 3 e>Gx/2 1 + send 3 4>Gz/2) cosé Por simetria, a, d T T lim & = x (3.78) |e) 6>G7/2)* dx Entao, existe uma reta tangente vertical no polo (veja a Figura 15). | FIGURA 15 Retas tangentes para r= 1+ sen 0 598 CALCULO OBSERVAGAO Em vez de lembrarmos a Equacao 3, poderfamos empregar 0 método usado para deduzi-la. Por exemplo, no Exemplo 9, poderiamos ter escrito x =rcos 6 = (1 + sen 8) cos 8 = cos 0 + 4 sen 20 y =rsen6@ = (1 + sen @) sen @ = sen 6 + sen’ Portanto, temos dy _ dy/d0 _ cos8.+2sen@ cos@ cos @ + sen 20 dx — dx/d0 —sen 6 + cos 20 —sen 6 + cos 20 que é equivalente 4 nossa expressao prévia. M8 Tracando Curvas Polares com Ferramentas Graficas Embora seja util saber esbogar as curvas polares simples manualmente, precisamos usar uma calculadora grafica ou um computador quando nos deparamos com curvas complicadas, como as mostradas nas Figuras 16 e 17. 1 1,7 ILS \ J ARE \\ | f, Mo KCL \ V/ AV CoN \, Ay aauy, UTA SY LAD \ y i; SS YO WN YZ 153 RO —1,9_ BAZ 19 vers Boy) CA MNS VAs AY yy Uphb yy Yj | AN Up ary SEPP ge EY? [y \\ RLM EY N —l —1,7 FIGURA 16 FIGURA 17 r = sen*(2,40) + cos*(2,46) r =sen’(1,26) + cos*(68) Algumas ferramentas graficas tém comandos que nos permitem tragar curvas polares direta- mente. Com outras mdaquinas precisamos fazer a conversdo para curvas parametrizadas pri- meiro. Neste caso, tomamos a equacgéo polar r = f (0) e escrevemos suas equacgdes paramétricas como x =rcos 0 =f (@) cos 0 y =rsen 6 =f (0) send Algumas maquinas requerem que o parametro seja denominado ¢ em vez de 0. See) Trace a curva r = sen(86/5). SOLUCAO Vamos assumir que nossa ferramenta gréfica nao tenha um comando para tragar as curvas polares. Neste caso, precisamos trabalhar com as equagGes paramétricas corresponden- tes, que sao x = rcos 6 = sen(86/5) cos 0 y =r sen @ = sen(86/5) sen 0 1

Em qualquer caso, precisamos determinar 0 dominio para 0. Entéo nos perguntamos: quantas ANY DD rotagdes completas so necessarias até que a curva comece a se repetir? Se a resposta for n, ‘ON WW LAL 8(0 + 2 80 16 86 -] SWS 1 sen 86 + 2nm) = snl + Jen) = sen —_ CASS oe SERA e assim precisamos que 16n7r/5 seja um miultiplo par de 7. Isso ocorreré primeiro quando OS n = 5. Portanto, tragamos a curva inteira se especificarmos que 0 = @ < 107. Trocando de 6 1 para t, temos as equacdes FIGURA 18 r = sen(80/5) EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 599 x = sen(87/5) cos t y = sen(87/5) sen t 0 1, ha uma volta que é decrescente em tamanho conforme c diminui. Quando c = 1, o lago desaparece e a curva torna-se a cardioide que esbogamos no Exemplo 7. Para c entre 1 5, a cuispide da cardioide é suavizada e torna-se uma “covinha”. Quando c diminui de 5 Para No Exercicio 53 pediremos que vocé demonstre 0, a limagon parece oval. Essa oval se torna mais circular quando c — 0 e quando c = 0, a _analiticamente o que descobriu a partir dos curva € apenas o circulo r = 1. graficos na Figura 19. J FIGURA 19 Membros da familia de limacgons r=1+csen 0 As partes restantes da Figura 19 mostram que, quando c se torna negativo, os formatos mudam na ordem inversa. De fato, essas curvas sio reflex6es ao redor do eixo horizontal das curvas correspondentes com c positivo. | Limagons surgem do estudo de movimento planetario. Em particular, a trajet6ria de Marte, vista do planeta Terra, tem sido modelada como um limagon com uma volta, como partes da Figura 19 com |c| > 1. 103 Exercicios |-2 Marque os pontos cujas coordenadas polares sao dadas. A (i) Encontre as coordenadas polares (7, 6) do ponto, onde r < 0e seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse 05627. ponto, um com r > 0e0 outro comr < 0. 5. (a) (2, —2) (b) (-1, V3) 1. (a) Q, 7/3) (b) (1, —377/4) (c) (-1, 77/2) 6. (a)(3y3, 3) (b) (1, — 2) 2 @ (77/4) (0) (~3, 7/6) @, ~D 7-12 Esboce a regiao no plano que consiste em pontos cujas coorde- 3-4 Marque 0 ponto cujas coordenadas polares séo dadas. A seguir, nadas polares satisfazem as condigées dadas. encontre as coordenadas cartesianas do ponto. 7 #1is Oe 1. 1 1. De- ~ : monstre que isso é verdadeiro e encontre os valores de 6 que equacao cartesiana dada. : correspondam ao lago interno. 21. y=2 22. y=x (b) A partir da Figura 19 parece que a limacon perde sua covi- nha quando c = 5 Demonstre isto. 23. y=1+4 3x 24. 4 =x bo 54. Associe as curvas polares com seus respectivos graficos I-VI. 25. x + y’ = 2ex 26. xy=4 Dé razGes para suas escolhas. (Nao use uma ferramenta grafica.) 27-28 Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria (a)r=V0, 0<0< 16m (b)r=@, 0= L&4acosé 1+acos0 Investigue como o grafico muda quando o numero a varia. Em particular, vocé de- veria identificar os valores de transi¢g4o de a para os quais o formato basico da curva muda. 4. O astr6nomo Giovanni Cassini (1625-1712) estudou a familia de curvas com equacées polares r— 2c r-cos 20 + ct#— at*=0 E necessério usar uma calculadora grdfica ou computador 602 CALCULO para as quais a e c sdo nimeros reais positivos. Essas curvas s4o chamadas ovais de Cassini, mesmo que elas sejam ovais apenas para alguns valores de ae c. (Cassini pen- sava que essas curvas poderiam representar as 6rbitas dos planetas melhor que as elip- ses de Kepler.) Investigue a variedade de formas que essas curvas podem ter. Em par- ticular, como estao relacionados a e c quando a curva se divide em duas partes? cr Areas e Comprimentos em Coordenadas Polares Nesta segao deduziremos a férmula para a area de uma regiao cuja fronteira é dada por uma - equacao polar. Precisamos usar a f6rmula para a area de um setor de um circulo: r 19 [1] A=r0 /o onde, como na Figura 1, r € 0 raio e 8, a medida em radianos do angulo central. A Formula [1 segue do fato de que a drea de um setor € proporcional a seu Angulo central] FIGURA 1 A = (6/27)mr? = 4 0. (Veja também o Exercicio 35, na Secdo 7.3, no Volume I.) Seja R a regiado ilustrada na Figura 2, limitada pela curva polar r = f (0) e pelos raios 6 = ae 0 = D, onde f é uma fungao continua positiva e onde 0 < b — a S 27. Dividimos o r= f(6) intervalo [a, b] em subintervalos com extremidades 6p, 01, 02,..., 0, e larguras iguais a A@. Os raios 6 = 6; podem dividir 2% em n regides menores com Angulos centrais Ad = 6;— 6-1. 0=b Se escolhermos 6* no i-ésimo subintervalo [6;-1, 0;], entao a area A A; da i-ésima regiao sera aproximada pela drea do setor de um circulo com Angulo central A@ e raio f (6*). (Veja a d=a Figura 3.) 0 | a Entao, a partir da Formula 1 temos aed *)]2 FIGURA 2 AA; ~ aL f(0")]° 46 e, assim, uma aproximacao para a area total A de R é f(67) O= 6; n b= 6.) [2] A~ Xo fer)? Ae oA I d=b WA A partir da Figura 3 parece que a aproximagao em |2| melhora quando n — ©. Mas as somas Ad ZZ em [2] so as somas de Riemann para a funcao g(@) = 3[,f(@)], logo d=a oO" lim ¥ sL/(@*)P Ad = [aL FOP a0 FIGURA 3 el : Portanto, parece plausivel (e de fato pode ser demonstrado) que a formula para a area A da regiao polar KR é b [3] A= |’ 3[f()P a0 A Férmula 3 é frequentemente escrita como [4] A= [3 d0 r=cos 20 gat subentendendo que r = f (8). Observe a similaridade entre as Formulas | e 4. y 4 Quando aplicamos a Formula 3 ou 4, é interessante pensar na area como sendo varrida por yo um raio em rota¢g4o que passa por O e que comega com Angulo a e termina com Angulo b. Z | Siet0) Calcule a area delimitada por um laco da rosacea de quatro pétalas r = cos 20. a SOLUCAO A curva r = cos 26 foi esbogada no Exemplo 8 na Secio 10.3. Observe a partir da ‘. ; Figura 4 que a regido delimitada pelo laco direito é varrida pelo raio que gira de 0 = — a/4 0=—-Z até @ = 7/4. Dessa forma, a Formula 4 fornece FIGURA 4 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 603 A= " 1249 = rf cos?20d6 = " cos? 20.0 7/4 7/4 0 A= {70 + cos 40) do = 3[@ + j sen 40])/= = — (ERO Calcule a 4rea da regido que esta dentro do circulo r = 3 sen 6 e fora da car- dioide r = 1 + sen 0. . r=3sen0 SOLUCAO A cardioide (veja o Exemplo 7 da Secdo 10.3) e 0 circulo estaéo esbogados na Figura 5, e a regido desejada esta sombreada. Os valores de a e b na Férmula 4 sao determi- nados achando-se os pontos de intersecgéo das duas curvas. Elas se interceptam quando S Z 3 sen 0 = 1 + sen 6, 0 que fornece sen 0 = 5, ou seja, 0 = 77/6, 57/6. A area desejada pode “SN Len ser encontrada pela subtrac4o da Area dentro da cardioide entre 0 = 7/6e 0 = Sa/6dadrea 9> "6 Ky 7) 6 dentro do circulo de 7/6 até 57/6. Logo, WoO O| r=l1+sen@ A=3 ee (3 sen0)>d0 — 5 re (1 + sen@)* do 7/6 7/6 Como a regiao € simétrica em relagdo ao eixo 6 = 77/2, podemos escrever FIGURA 5 — 94/1 7”? 2 rn 2 A= a , 9 sen*é dé — rf (1 + 2sen@ + sen’) w a /2 5 = . (8 sen’?@ — 1 — 2 sen@) do a /2 = . (3 — 4cos 20 — 2 sen@) dé [porque sen?9 = 5(1 — cos 26)] = 39 — 2 sen 20 + 2cosd|., = 7 — O Exemplo 2 ilustra o procedimento para encontrar a area da regiao delimitada por duas cur- vas polares. Em geral, seja & uma regiao, como ilustrado na Figura 6, que é limitada pelas r= F(8) curvas com as equacoes polares r = f (6), r = g(0), 0 = ae 6 = B, onde f (0) = g(@) = Ve 0 + {[—) déo a dé (EVRY Calcule o comprimento da cardioide r = 1 + sen 6. SOLUCGAO A cardidoide é mostrada na Figura 8. (Esbogamos no Exemplo 7 na Secao 10.3.) Seu comprimento total é dado pelo intervalo do parametro 0 S 6 S 27, entao a Férmula 5 da Qa 2 dr 2 Qa L= ro + {[ — do = | V(1 + sen 6)? + cos?@ dé 0 do 0 (| = (" V¥2+2sen@ dé SoS Poderiamos calcular essa integral pela multiplicagdo e divisaio do integrando por 2 —2sen6, ou poderiamos usar um sistema de computacgdo algébrica. De qualquer maneira, calculamos que 0 comprimento da cardioide é L = 8. | FIGURA 8 r=1+sen 0 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 605 Exercicios 1-4 Encontre a 4rea da regiao que é delimitada pelas curvas dadas e 31. r=sen 20, r=cos 260 esta no setor especificado. 32. r=34+2c0s0, r=3+2sen0 = q2 Lor=6, 0<6< 7/4 33. 7 =sen 20, 1 = cos 20 2 r=e, TSO0S20 34. r=asen0, r=bcosé, a>0,b>0 3. P =9sen20, r=0, 0X0 7/2 cs 4. r=te0, 7/6 <0<73 35. Encontre a area dentro do lacgo maior e fora do lago menor da ee r= 3+ cos 6. 5-8 Encontre a drea da regiao sombreada. 36. [Ache a drea entre o lago maior e o lago menor da curva] 5. 6. r=1+2cos 36. 37-42 Encontre todos os pontos de intersec¢do das curvas dadas. 37. r=1+sen0, r=3sen0 38. r= 1-—cosé, r=1+sen0 39. r=2sen20, r=1 40. r=cos 30, r=sen30 4. r=sen0@, r=sen20 42. r? =sen20, r? = cos 20 FY 43. Os pontos de intersecgao da cardioide r = 1 + sen 6 e do laco es- r=\6 r=1+cos 0 piral r = 20, —7/2 < 6 S 77/2, nao podem ser encontrados exa- 7 8 tamente. Use uma ferramenta grafica para encontrar os valores aproximados de 6 nos quais eles se interceptam. Ent&o, use esses valores para estimar a 4rea que esta dentro de ambas as curvas. 44. Ao gravarem apresentag6es ao vivo, os engenheiros de som usam um padrao de captacéo em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiéncia. Suponha que o microfone esteja colocado a 4 m da frente do palco (como na figura) e que o li- mite da regido de capta¢g4o 6tima seja dado pela cardioide r=443sen 6 + =sen 20 r= 8 + 8 sen, onde r €é medido em metros e 0 microfone esta no polo. Os musicos querem saber a area que eles terao no palco dentro da 4rea de captacgdo étima do microfone. Responda a esta 9-12 Esboce a curva e calcule a 4rea delimitada por ela. pergunta. 9. r=2sen0 10. r=1-—sené 11. r=3+2cosé 12, r=4+3sen0 4 13-16 Trace a curva e calcule a drea delimitada por ela. 13. r= 2 sen 40 14. r=3-—2cos 46 15. r= 4/1 + cos*(50) 16. r=1+5sen60 \ fen 17-21 Encontre a 4rea da regiao dentro de um lago da curva. Microfone 17. r = 4cos 30 18. 7° = sen 20 Plateia 19. r= sen 40 ; 20. r= 2sen 50 45-48 Calcule o comprimento exato da curva polar. 21. r= 1+ 2sen @ (laco interno) 45. r=2cos6, 0<0<7 46. r= 5’, 0<0<2n 22. [Calcule a area delimitada pelo lago do estrofoide] 47. r=@, 050527 48. r=2(1 + cos 0) r= 2 cos @ ~ sec 9. 4 49-50 Calcule o comprimento da curva. Use uma grafico para deter- 23-28 Encontre a area da regiao que esta dentro da primeira curva e minar o intervalo de parametro. fora da segunda curva. 49. r= cos* (6/4) 50. r= cos? (6/2) 23. r=2cosé, r=1 24 r=1-—sen@, r=1 51-54 Use uma calculadora ou um computador para encontrar 0 com- 25. +r? = 8cos 20, r=2 primento do lago, com precisdo de quatro casas decimais. Se neces- 2%. r=2+sen0, r=3sen0 sdrio, use uma grafico para determinar o intervalo de parametro. 27. r=3cosé, r=1+cosé 51. Uma volta na curva r = cos 20 28. r=3sen0, r=2-— sen 52. r=tg6, w/6<05 7/3 29-34 Encontre a 4rea da regido que est4 dentro de ambas as curvas. 53. r = sen(6 sen 6) 29. r=V3cos0, r=send 54. r= sen (6/4) 30. r=1+cosé, r=1-—cosé E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. AsHomework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 606 CALCULO 55. (a) Use a Formula 10.2.6 para mostrar que a area da superficie (b) Use a formula na parte (a) para calcular a drea da superficie gerada pela rotacao da curva polar gerada pela rotagao da lemniscata r? = cos 20 em torno do r=f() a<0 0.) A pro- O Il» yp g P Pp priedade de definigéo de uma parabola é que essas distancias s4o iguais: y=—p _ vx? + (y = pP = |y + P| FIGURA 3 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 607 Obtemos uma equacao equivalente elevando ao quadrado e simplificando: + (y—py= ly + pP =O + py w+ y= 2py + p= y+ 2py + p* x? = 4py [1] | Uma equagao da parabola com foco (0, p) e diretriz y = —p é x = 4py Se escrevermos a = 1/(4p), entéo a equacdo padrao de uma parabola [1] torna-se y = ax’. A concavidade é€ para cima se p > 0 e para baixo se p < 0 [veja a Figura 4, partes (a) e (b)]. O grafico é simétrico em relagdo ao eixo y porque | 1 | nao muda quando x é trocado por — x. y y y y yp (0, p) 0 x x 0 x 0 x y="p (0?) x=—p x=—p (a) x? = 4py, p>0 (b) x? = 4py, p <0 (c) y? = 4px, p>0 (d) y* = 4px, p <0 FIGURA 4 Se trocarmos x e y em [1], obteremos 2 = Anx y 2] y° + 10x=0 que é uma equagao da parabola com foco (p, 0) e diretriz x = —p. (Trocar x e y significa refletir em relagdo a linha diagonal y = x.) A parabola abre para a direita se p > Oe paraa esquerda se p < 0 [veja a Figura 4, partes (c) e (d)]. Em ambos os casos, 0 grafico é simé- (-3, 0) trico em relagdo ao eixo x, que € 0 eixo da parabola. 0 . 5 (SQV Encontre o foco e a diretriz da parabola y? + 10x = 0 e esboce 0 grafico. x=9 SOLUCAO Se escrevermos a equagéo como y* = —10x e a compararmos com a Equaciio 2 veremos que 4p = —10, assim, p = — 3. Entao, o foco é (p, 0) = (- 3 0) e a diretriz é x = 2. O esboco é mostrado na Figura 5. —_ FIGURA 5 M8 Elipses Uma elipse é 0 conjunto de pontos em um plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos F; e F, € uma constante (veja a Figura 6). Esses dois pontos séo chamados focos. Uma das Leis de Kepler é que as 6rbitas dos planetas no sistema solar sdo elipses com o Sol em um dos focos. y P P(x, y) << NS SO Necen |e FIGURA 6 FIGURA 7 608 CALCULO Para obtermos a equacao mais simples para uma elipse, colocamos os focos no eixo x nos pontos (—c, 0) e (c, 0) como na Figura 7, de modo que a origem esteja na metade do cami- nho entre os focos. Seja a soma das distancias de um ponto na elipse até os focos 2a > 0. Entao P(x, y) € um ponto na elipse quando |PF,| + |PF2| = 2a isto é, V(x +c? + y? + J(x — ce)? + y? = 2a ou V(x — cP? + y? = 2a - V(x +c? + y? Elevando ao quadrado ambos os lados, temos x? — 2cx + c? + y? = 4a? — 4a/(x +c)? + y? +x? + 2cx +c? + y? que se simplifica para aVv(x + cP? + y? =a? + cx Elevamos ao quadrado novamente: a(x? + 2ex + c? + y*?) = a* t+ 2a*ex + €?x? que se torna (a? — c*)x* + a’y*? = a*(a’ — c’) y A partir do triangulo F\F,P na Figura 7, vemos que 2c < 2a, assim, c < a e, portanto, a — c? > 0. Por conveniéncia, seja b? = a* — c’. Entao, a equacao da elipse torna-se (-a, 0) (0, 6) b?x? + ay = a’b’, ou, se ambos os lados forem divididos por a’b?, AA NT voy a 4 ate! (0, —b) Como b? = a’ — c? < a’, segue que b < a. As intersecgdes com 0 eixo x sAo encontradas fazendo-se y = 0. Entao x’/a? = 1, ou x* = a’, assim x = +a. Os pontos correspondentes (a, 0) e (—a, 0) sfio chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é FIGURA 8 dito eixo maior. Para encontrarmos as intersecgdes com 0 eixo y fazemos x = 0 e obtemos = + a =l,a=b y’ = b’, ou seja, y = +b. O segmento de reta unindo os pontos (0, b) e (0, —b) € 0 eixo 4 menor. A Equacao 3 nao muda se x for trocado por —x ou y for trocado por —y, logo, é simé- y trica em relacd4o a ambos os eixos. Observe que, se os focos coincidirem, entaéo c = 0, por- (0, a) tanto, a = be aelipse torna-se um circulo com raio r = a = b. Resumimos essa discussao a seguir (veja também a Figura 8). (b, 0) (6,0) [4] Aclipse x x? . y? ' spo stay a= a b? tem focos (+c, 0), onde c? = a? — b’, e vértices (+a, 0). (0, —a) FIGURA 9 Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em (0, +c), entéo podemos ey encontrar sua equacao trocando x e y em [4]. (Veja a Figura 9.) rs + a =l,a=b [5] A elipse eye | =b>0 pb? D a= tem focos (0, +c), onde c? = a? — b’, e vértices (0, +a). SSN 200) Esboce o grafico de 9x7 + 16y* = 144 e localize os focos. SOLUCGAO Dividindo ambos os lados da equac¢ao por 144: 2 2 x — + ma = 1 16 9 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 609 A equacao esté agora na forma padrao para uma elipse, e assim temos a* = 16, b? = 9, y a =4eb =3.As intersecgdes com 0 eixo x s40 +4 e€ as intersecgdes com 0 eixo y sAo0 +3. Além disso, c? = a? — b? = 7, portanto c = V7, e os focos sao (+7, 0). O grafico é esbo- (0, 3) cado na Figura 10. 7 fan | (SQM Encontre uma equacio para a elipse com focos (0, +2) e vértices (0, +3). 9) xX SOLUCAO Usando a notacéo de [5], temos c = 2 e a = 3. Entao, obtemos b= a— c= 9 — 4 = 5; logo, uma equagio para a elipse é 2 2 (0, —3) ew, 5 9 Outra maneira de escrever a equacio é 9x + 5y? = 45. | FIGURA 10 9x? + 16y? = 144 Como as pardabolas, as elipses tém uma propriedade de reflexdo interessante, com conse- quéncias praticas. Se uma fonte de luz — ou som — for colocada em um foco de uma super- ficie com secg6es transversais elipticas, entaéo toda luz — ou som — é refletida da superficie y para 0 outro foco (veja o Exercicio 65). Esse principio é usado em litotripsia, um tratamen- to para pedras nos rins. Um refletor com seccao transversal eliptica € colocado de maneira Pl y) que a pedra no rim esteja em um foco. Ondas sonoras de alta intensidade geradas no outro foco sao refletidas para a pedra e a destroem sem causar dano ao tecido vizinho. O paciente F(-c, 0) 0 Fic.0) * nao sofre o trauma de uma cirurgia e se recupera em poucos dias. no “ MS Hipérbole Uma hipérbole é 0 conjunto de todos os pontos em um plano cuja diferenga entre as distancias FIGURA 11 a dois pontos fixos F; e F2 (os focos) é uma constante. Essa definicdo é ilustrada na Figura 11. Pesta na hipérbole quando As hipérboles ocorrem frequentemente como graficos de equacdes em quimica, fisica, — |PF\| — |PF.| = +2a. biologia e economia (Lei de Boyle, Lei de Ohm, curvas de demanda e de oferta). Uma apli- cacao particularmente importante de hipérboles é encontrada nos sistemas de navegacao desenvolvidos nas I e IJ Guerras Mundiais (veja o Exercicio 51). Observe que a definicao de uma hipérbole é similar Aaquela de uma elipse; a Gnica mudan- ga é que a soma das distancias torna-se uma diferenga das distancias. De fato, a dedugao da equacao de uma hipérbole é também similar aquela dada anteriormente para uma elipse. Pedi- remos para vocé mostrar no Exercicio 52 que, quando os focos estéo no eixo x em (+c, 0) e a diferenca das distancias for |PF,;| — |PF,| = +2a, entdo a equacio da hipérbole é x? y? 6] ep! onde c? = a’ + b’. Observe que as intersecgdes com 0 eixo x sfio novamente +a, e os pon- tos (a, 0) e (—a, 0) sfo os vértices da hipérbole. Mas, se colocarmos x = 0 na Equagao 6, teremos y? = —b’*, que é impossfvel; dessa forma, nao existe interseccfo com o eixo y. A hipérbole é simétrica em relagdo a ambos os eixos. Para analisarmos a hipérbole um pouco mais, olhamos a Equacao 6 e obtemos x? 2 1+ >] Isso mostra que x” = a*, de modo que |x| = Vx? = a. Portanto, temos x > a oux < —a. Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos. YX y= 2x , y=2y A Quando desenhamos uma hipérbole é titil desenhar primeiro as assintotas, que s4o as linhas oe “ LY pontilhadas y = (b/a)x e y = —(b/a)x mostradas na Figura 12. Ambos os ramos da hipérbole aN Uo atingem as assintotas; isto é, eles se tornam arbitrariamente perto das assintotas. [Veja o Exerci- (a, 0) \ os Zo L-@9 cio 73 da Se¢ao 4.5, no Volume I, onde é mostrado que estas retas s4o assintotas obliquas.] (-c,0) a (c,0) x 4 SS oo _ A hipérbole ‘0 \\ x2 y? ' oO YX a b? FIGURA 12 « 7 i =1 a 610 CALCULO y Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, entao, trocando os papéis de x e y, NY (0, c) fo obtemos a seguinte informagao, que é ilustrada na Figura 13. a» 7 a Y=rHery da 5X se \ [8] A hipérbole y? x? 4) \. -(0,-a) x —-—=1 “ ae a b? ZL A tem focos (0, +c), onde c? = a’ + b’, vértices (0, +a), e assintotas y = +(a/b)x. Zz (0, —c) S JZ NY FIGURA 13 S707) Encontre os focos e as assintotas da hipérbole 9x? — 16y” = 144 e esboce seu yx | grafico. 2 27 oo? SOLUCGAO Dividindo ambos os lados da equac¢ao por 144: \ 3. Cy 30 x y? N ysrqr ySquy + =| —~ 4 ay 16 9 N Z N Z _ Lu (4, 0)\ | “~ (4, 0) que é da forma dada em com a = 4e b = 3. Como c’*= 16 + 9 = 25, os focos sao (—5, 0) ii (5,0) * (+5, 0). As assintotas s4o as retas y = xe y= + xO grafico é visto na Figura 14. El ' y \ , oo SY 7 NL | (S\ie"0) Encontre os focos e a equacao da hipérbole com vértices (0, +1) e assintota Oe SO y = 2x. FIGURA 14 SOLUCAO A partir de e da informacao dada, vemos que a = | e a/b = 2. Entio, 9x* — l6y? = 144 b =a/2 =3ec=a+ b’ =}. Os focos sao (0, +./5/2) e a equaciio da hipérbole é y-—47?= 1 7 MH Cénicas Transladadas Como discutido no Apéndice C, no Volume I, transladamos as c6nicas tomando as equacgées- padrao [1], [2], [4], [5], [7] e [8] e trocando xe y porx —hey—k. S205 Encontre uma equagao para a elipse com focos (2, —2), (4, —2) e vértices (1, —2), 5, —2). SOLUCAO O eixo maior € 0 segmento de reta que une os vértices (1, —2), (5, —2) e tem com- primento 4; assim, a = 2. A distancia entre os focos é 2, e assim, c = 1. Entao, b? = a’ — c? = 3. Como o centro da elipse é (3, —2), trocamos x e y em [4] por x — 3 e y + 2 para obter — 3/ + 2) (w= 32 Ot, 4 3 7 3 ) como a equacao da elipse. | \\. yt l= 737 4) (/ \y // SY) Esboce a cénica 9x? — 4y? — 72x + 8y + 176 = Oe ache seus focos. \ / \ / SOLUCAO Completamos os quadrados como a seguir: \ a4, \ / A(y? — 2y) — 9(x* — 8x) = 176 (4, 1) 3 3 /\ A(y* — 2y + 1) — 9(x* — 8x + 16) = 176 + 4 — 144 0 / \ x 2 2 / (4, —2) \ A(y _ 1) _ O(x _ 4) = 36 / \ / \ — 1p — 49 / \ Gay &a-4y _, / \ 9 4 / y-1l= Ue —4) \ / \ Isso est4 na forma de [8], exceto que x e y estado trocados por x — 4e y — 1. Entao, a* = 9, b> = 4e c?= 13. A hipérbole esta deslocada quatro unidades para a direita e uma unidade FIGURA ie para cima. Os focos sao (4, 1+ V13) e (4, 1- V13) e os vértices sao (4, 4) e (4, —2). As 9x" — Ay" — Tax + By + 176=0 assintotas sio y- | = + 5 (—4).A hipérbole é esbogada na Figura 15. 7 EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 611 co Exercicios 1-8 Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parabola e esboce seu 31-48 Encontre uma equacgdo para a cénica que satisfaz as condi- grafico. ces dadas. 1. x = 6y 2. 2y°= 5x 31. Pardbola, vértice (0,0), foco (1, 0) . 2x=- . 3+ 8y= . Pardbola, foco (0,0), diretriz y = 3. 2. y 4. 3x°+ 8y=0 32. Pardbola, foco (0,0), diretriz y = 6 5. (xt 2P = &y — 3) 6 x-1l=(yt+5y 33. Pardbola, foco(—4,0), diretriz x = 2 7 y+ 2y+ 12x +25=0 8 yt 12x—-2x= 16 34. Pardbola, foco (3,6), vértice (3, 2) 9-10 Encontre uma equacao da parabola. A seguir, ache 0 foco e a 35. Pardbola, vértice (2,3), eixo vertical, passando em (1, 5) diretriz. 9. <4 10. 36. Pardbola, eixo horizontal, passando em (—1, 0), (1, —1)e(@, 1) [> [| : + Lett + EN 1 et tty 37. Elipse, focos(#2,0), vértices (+5, 0) PEL IN AT ET TA ON - | | 2 LA 4 \ I rt | 38. Elipse, focos (0, +5), vértices (0, +13) pi | te] | (OKT 2 A 39. Elipse, focos (0, 2), (0,6). vértices (0, 0), (0, 8) LK 1 40. Elipse, focos (0, —1), (8, —1), vértices (9, —1) 11-16 Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu grafico. M41. Elipse, centro(—1,4), vértice (—1,0), foco (—1, 6) x? y? x? y? . 11. —+-——=1 12, —+——=1 42. Elipse, focos(+4,0), passando por (—4, 1,8 9 5 64 =: 100 P ( » P por ( ) 43. Hipérbole, vértices (+3, 0), focos (+5, 0) 13. 49° + y= 16 14. 4x°+ 25y? = 25 44. Hipérbole, vértices (0, +2), focos (0, +5) 15. 9x? — 18x + 4)? = 27 45. Hipérbole, vértices (—3, —4), (—3, 6), 2 2 _ — 16. x°+ 3y°+ 2x — 12y + 10=0 focos (—3, —7) e (—3, 9) 17-18 Encontre uma equagao da elipse. A seguir, localize seus focos. —_ . 7 18 46. Hipérbole, vértices (—1, 2) e (7,2), focos (—2, 2) e (8, 2) (EEE PPE ipétbole, vért intotas y = AT SY | = 47. Hipérbole, vértices (+3, 0), assintotas y = +2x HA A PEC OT fy LEE 48. Hipérbole, focos (2, 0) e (2, 8), 2 1 1 sath PRET assintotas y= 3 + lxey =5 —4x | BRNSESEAE AL | L/L rEEEELLLE 49 Em uma orbita lunar 0 ponto mais préximo da superficie da Lua | NEY | | € chamado periltinio e 0 ponto mais distante da superficie da ri ett Es Lua é denominado apoliinio. A nave espacial Apollo 11 foi co- locada em uma Grbita lunar eliptica com altitude de periltinio de 19-24 Encontre os vértices, os focos e as assintotas da hipérbole e 110 km e altitude de apoltinio de 314 km (acima da Lua). En- esboce seu grafico. contre uma equagao dessa elipse se o raio da Lua for 1.728 km y? x2 x2 y? e o centro da Lua estiver em um dos focos. S359 | 0 364 50. Uma seccao transversal de um refletor parabdlico é mostrada na fi- 21. x? — y= 100 22. y’>— 16x°= 16 gura. A lampada é colocada no foco, e a abertura no foco é 10 cm. 23. 4x2 — y? — 24x — 4y + 28 =0 (a) Ache uma equacao da parabola. 24. y?— 4x2— 2y + 16x =31 (b) Encontre o didmetro da abertura |CD|, 11 cm a partir do 25-30 Identifique 0 tipo de segdo cO6nica cuja equacao é dada e C encontre os vértices e os focos. A 2. e=yt1 2. xe =yt1 Atm 27. x= dy — 2y? 28. y’— 8y = 6x — 16 a 11 cm> F 29. yt 2y = 4° +3 30. 4°+ 4x +y=0 i B D 1. As Homework Hints estéo disponiveis em www.stewartcalculus.com 612 CALCULO 51. No sistema de navegagao por radio LORAN (LOng RAnge Na- 61. Encontre a area da regiao delimitada pela hipérbole vigation), duas estagdes locais de radios situadas em A e B trans- x*/a? — y*/b? = 1 e pela reta vertical passando por um foco. mitem sinais simultaneamente para um navio ou aviao : oo . . localizados em P. O computador de bordo converte a diferenga 62. (a) Se uma elipse ¢ strada em tomo de seu eixo maior, encontre de tempo na recepcao desses sinais em diferenga de distancia (b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor. encontre 0 vo- |PA| — |PB| e isso, de acordo com a defini¢&o de uma hipér- lume resultante , bole, localiza o navio ou 0 avidéo em um ramo da hipérbole (veja , a figura). Suponha que a estacao B esteja localizada 600 km a 63. Encontre o centroide da regiao limitada pelo eixo x e a metade leste da estagéo A na costa. Um navio recebe 0 sinal de B 1 200 superior da elipse 9x? + 4y? = 36. 1 ds tes d b inal de A. muctosseguncos (us) ames ce mee oro sinan ee . 64. (a) Calcule a area da superficie da elipsoide que é gerada ao ro- (a) Assumindo que o sinal de radio viaja a uma velocidade de taci li t 4 . : 980 pés/us, encontre uma equacao da hipérbole na qual o acionar a Clipse em Torno Cle seu €1XO Malor. navies es C anes P 4 (b) Qual € a area da superficie se a elipse for rotacionada em seu . : 9 (b) Se o navio deveria estar ao norte de B, a que distancia da e1xo Menor: costa ele estara? 65. Seja Pic, y:) um ponto na elipse x7/a’ + y’/b? = 1 com focos F; e F, e sejam a e B os Angulos entre as retas PF, PF2e a elipse como na Figura. Demonstre que a = B. Isso explica como gale- PY _ rias de sussurros e litotripsia funcionam. O som vindo de um dos =A focos é refletido e passa pelo outro foco. a _— [\ a * & oh t_P(x, 1) 600 km ; iT. DS estag6es transmissoras \ NR NO 52. Use a definigao de uma hipérbole para deduzir a Equagao 6 para ( yr uma hipérbole com focos (+c, 0) e vértices (a, 0). a + be | 53. Mostre que a funcdo definida pelo ramo superior da hipérbole 66. Seja P,(x:, y:) um ponto na hipérbole x2/a? — y*/b? = 1 com focos yla? — x*/b> = 1 tem concavidade para cima. Fe F, e sejam a e B os angulos entre as retas PF), PF2 e a hi- ~ : —y pérbole, como mostrado na figura. Demonstre que a = B. (Essa 4. Encontre tima equagao para a ons com foros (1, De(“L, —) é a propriedade de reflexao da hipérbole. Isso mostra que a luz © erXo MAIO com CoMPHMENLO 1UAl as. dirigida ao foco F2 de um espelho hiperbdlico é refletida em di- 55. Determine o tipo de curva representado pela equacao Te¢ao ao outro foco F'.) 2 2 = 4+—* _=1 y k k— 16 em cada um dos seguintes casos: (a) k > 16, (b)0 < 1 DEMONSTRACAO Observe que, se a excentricidade for e = 1, entdo |PF| = |Pi|, e assim y a condigaéo dada simplesmente se torna a definigao de uma parabola, como mostrado na , Segao 10.5. #(diretriz) Vamos colocar o foco F na origem e a diretriz paralela ao eixo y e d unidades para a direi- P ta. Entao a diretriz tem a equacdo x = de é perpendicular ao eixo polar. Se o ponto P tiver - coordenadas polares (r, 8), vemos a partir da Figura 1 que A aa |PF| =r |Pl| =d-—rcosé@ reas 8 x Entao, a condicio |PF|/|P1| = e ou |PF| = e|Pi| torna-se d [2] r = e(d — rcos 0) Se elevarmos ao quadrado ambos os lados dessa equac4o polar e convertermos para coorde- FIGURA 1 nadas retangulares, teremos x+y? =e(d — x) = e(d*? — 2dx + x’) ou (1 — e*)x* + 2de*x + y? = e’d? Depois de completarmos os quadrados, temos 3] + e-d 2 + y? ed? x + ——; ———_ = 2a 1-e? l-e (Q-ey Se e < 1, reconhecemos a Equacao 3 como a equagao de uma elipse. De fato, ela €é da forma x — hy 2 (x ny + > = 1 a b onde 2 242 242 ed ed ed h=— 2 a? = 2\2 b? = 2 l-e (1 — e*) l-e Na Secao 10.5 descobrimos que os focos de uma elipse estao a uma distancia c do centro, onde 614 CALCULO 472 [5] C=a@g-—bke= evd (l-e’*) e-d Isso mostra que c= Toe =-h —e e confirma que 0 foco como definido no Teorema | significa a mesma coisa que o foco defi- nido na Secao 10.5. Também segue das Equacées 4 e 5 que a excentricidade é dada por c e=— a See > 1, entéo 1 — e?<0e vemos que a Equacfo 3 representa uma hipérbole. Da mesma maneira que fizemos anteriormente, poderiamos reescrever a Equac4o 3 na forma (xh? iy? 2 -~a=1 a b c 2 2 2 e ver que e=— onde c°=a°+b — a Isolando r na Equacao 2, vemos que a equagao polar da cénica mostrada na Figura | pode ser escrita como ed r= ———_ 1+ ecosé Se a diretriz for escolhida como estando a esquerda do foco em x = —d, ou se a diretriz for esco- lhida como estando paralela ao eixo polar em y = +d, entao a equacao polar da cénica é dada pelo seguinte teorema, que é ilustrado pela Figura 2. (Veja os Exercicios 21—23.) y y y y x=d x=-d y=d diretriz diretriz diretriz xX FP x x F > y=-d diretriz ed ed ed ed ("= Tye cos 0 (OT Te cos 8 (= Tye sen 0 (Dr Te sen 0 FIGURA 2 Equac6es polares de cénicas | 6 | Teorema A equagao polar da forma ed ed r=, ou r= 1+ ecosé 1 + esené representa uma se¢do cénica com excentricidade e. A cénica é uma elipse se e < 1, uma parabola se e = | ou uma hipérbole se e > 1. (52 Encontre uma equagao polar para uma parabola que tem seu foco na origem e cuja diretriz é a retay = —6. EQUAGOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES _—- 615 SOLUCAO Usando o Teorema 6 com e = 1 ed = 6, e usando a parte (d) da Figura 2, vemos que a equacao da parabola é 6 r= ——— — 1 — sené (SQV Uma cénica é dada pela equacio polar 10 r= —————_ 3 — 2 cosé Encontre a excentricidade, identifique a cénica, localize a diretriz e esboce a cénica. SOLUCAO Dividindo numerador e denominador por 3, escrevemos a equac¢do como 10 r= —— 1 — = cos0 Do Teorema 6, vemos que isso representa uma elipse com e = 5. Uma vez que ed = 2, temos y 10 10 -— 10 * 2 x=—-5 '= 3-2 cos 0 d=—-=7=5 (diretriz) J _ f{ two logo, a diretriz tem a equacao cartesiana x = —5. Quando 6 = 0, r = 10; quando 6 = 7, RE aoa? x r = 2. Assim os vértices tem coordenadas polares (10, 0) e (2, 77). A elipse é esbogada na 5 Figura 3. | 2,7) . 12 FIGURA 3 (SQN Esboce a cénica r = —————. 2+ 4 send SOLUCAO Escrevendo a equaciio na forma 6 r= —_— 1+ 2sen6 vemos que a excentricidade é e = 2 e, portanto, representa uma hipérbole. Como ed = 6, d = 3 ea diretriz tem a equacao y = 3. Os vértices ocorrem quando 6 = 7/2 e 37/2, assim eles sao (2, 77/2) e (—6, 37/2) = (6, 7/2). Também € Util marcar os pontos de intersecgao com 0 eixo x. Isso ocorre quando 6 = 0, 77; em ambos os casos r = 6. Para maior precisdo pode- riamos desenhar as assintotas. Observe r —> +o quando | + 2 sen@—0O*ou0 e 1 + 2 sen 0 = 0 quando sen 0 = — 5. Entao, as assintotas sao paralelas aos raios 6 = 77/6e 0 = 1177/6. A hipérbole é esbogada na Figura 4. N y - Y om oO SY (6, ) ZA “> oo es ee (2.3) >< 4 = 3 Gdiretri y (diretriz) N Za < > ~ FIGURA 4 S 7 > Zz ~ v w-_ 2 em \ 60) ~~ 2+4sen 0 foco Na rotag4o de segdes cénicas descobriremos que é muito mais conveniente usar as equates polares do que as equac6es cartesianas. Apenas usamos o fato de que (veja 0 Exercicio 73, na Secao 10.3) 0 grafico de r = f (0 — a) € 0 grafico de r = f (8) que gira no sentido anti- -horario ao redor da origem por um Angulo a. u (SGM Se aelipse do Exemplo 2 girar por um Angulo 7/4 ao redor da origem, encon- r= sya a tre uma equacao polar e trace a elipse resultante. i SOLUCAO Obtemos a equacio da elipse que gira trocando 6 por @ — 7/4 na equaciio dada (A no Exemplo 2. Assim a nova equacao é a) \ ory) 15 SS hots 10 5 r= - 3 — 2cos(0 — 7/4) FIGURA 5 616 CALCULO Usamos essa equacao para tracar a elipse girada na Figura 5. Observe que a elipse gira ao redor de seu foco esquerdo. — Na Figura 6 usamos um computador para esbogar um ntiimero de cOnicas para demons- trar o efeito de variar a excentricidade e. Note que quando e esta préximo de 0 a elipse é quase circular, enquanto ela se torna mais alongada conforme e — 1~. Quando e = 1, claro, a cOnica é€ uma parabola. e=0,1 e=0,5 e=0,68 e=0,86 e=0,96 e=1 e=1,1 e=1,4 e=4 FIGURA 6 Ml LEIS DE KEPLER Em 1609, o matematico e astrénomo alemao Johannes Kepler, com base em uma enorme quantidade de dados astrondmicos, publicou as seguintes trés leis do movimento planetario. Leis de Kepler 1. Um planeta gira em torno do Sol em uma 6rbita eliptica, com 0 Sol em um dos focos. 2. O segmento de reta ligando o Sol a um planeta varre areas iguais em tempos iguais. 3. O quadrado do periodo de revolugao de um planeta é proporcional ao cubo do com- primento do eixo maior de sua Orbita. Embora Kepler tenha formulado suas leis em termos dos movimentos dos planetas em torno do Sol, elas se aplicam igualmente bem ao movimento de luas, cometas, satélites e outros corpos sujeitos a uma tinica forga gravitacional. Na Secao 13.4 mostraremos como deduzir as leis de Kepler a partir das leis de Newton. Aqui, usamos a Primeira Lei de Kepler, com a equacao polar de uma elipse, para calcular quantidades de interesse em astronomia. Para 0 propésito de calculos astronémicos, é util expressar a equacao de uma elipse em termos de sua excentricidade e e de seu semieixo maior a. Podemos escrever a distancia d do foco A diretriz em termos de a se usarmos [4]: 242 2 2\2 2 ed a*(1 — e*) a(1 — e*) a =——,> > d= —_.— > d = ———— (1 — e’) e e Assim, ed = a(1 — e). Se a diretriz for x = d, ent&éo a equacao polar é ed a(1 — e’) r= ——__ = 1+ecos6é 1+ecosd EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 617 A equacao polar de uma elipse com foco na origem, semieixo maior a, excentri- cidade e e diretriz x = d pode ser escrita na forma a(1 — e?) r= ——_—_— 1 + ecosé As posig6es de um planeta que estéo mais proximas e mais distantes do Sol séo chama- planeta das periélio e afélio, respectivamente, e correspondem aos vértices da elipse. As distancias do Sol ao periélio e afélio sio chamadas distancia do periélio e distancia do afélio, res- pectivamente. Na Figura 1, 0 Sol esta no foco F, de modo que no periélio temos 0 = 0 e, da Equacao 7, Sol \ a(1 — e?) a(l — e)(1 + e) r= = $= al - ) 1 + ecosO lt+e FIGURA 7 De forma andloga, no afélio 0 = mer =a(1 + e). A distancia do periélio de um planeta ao Sol é a(1 — e) e a distancia do afélio é a(1 + e). Gen (a) Encontre uma equacaéo polar aproximada para a 6rbita eliptica da Terra em torno do Sol (em um foco), dado que a excentricidade € cerca de 0,017 e 0 comprimento do eixo maior é cerca de 2,99 X 108 km. (b) Encontre a distancia da Terra ao Sol no periélio e no afélio. SOLUGAO (a) O comprimento do eixo maior é 2a = 2,99 X 108, de modo que a = 1,495 X 108. Foi dado que e = 0,017 e assim, da Equacao 7, uma equacao da érbita da Terra em torno do Sol é a(1 — e?) (1,495 x 10%)[1 — (0,017)7] r SS so 20 nn LL 1 + ecosé 1 + 0,017 cosé ou, aproximadamente, 1,49 x 108 r= 1 + 0,017 cos@ (b)De [8], a distancia do periélio da Terra ao Sol é ad — e) = (1,495 X 108)(1 — 0,017) ~ 1,47 X 10° km e a distancia do afélio é acl + e) = (1,495 X 108)(1 + 0,017) = 1,52 X 108 km = 618 CALCULO ox Exercicios 1-8 Escreva uma equac4o polar de uma cénica com o foco na ori- 23. Mostre que uma c6nica com foco na origem, excentricidade e e gem e com os dados fornecidos diretriz y = —d tem a equacao polar 1. Elipse, excentricidade 5, diretriz x = 4 r= ed 2. Pardbola, diretriz x = —3 1 esen 0 3. Hipérbole, excentricidade 1,5, diretriz y = 2 24. Mostre que as pardbolas r = c/(1 + cos 0) er = d/(1 — cos @) _ . oo, se interceptam em Angulos retos. 4. Hipérbole, excentricidade 3, diretriz x = 3 5. Pardbola, vértice em (4, 37/2) 25. A 6rbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentrici- dade 0,093 e semieixo maior 2,28 X 108 km. Encontre uma 6. Elipse, excentricidade 0,8, vértice (1, 7/2) equaciio polar da érbita. 7. Elipse, excentricidade 5, diretriz r = 4 sec 0 ca. a .. . 26. A 6rbita de Jupiter tem excentricidade 0,048 e o comprimento do 8. Hipérbole, excentricidade 3, diretriz r = —6 cossec 6 seu eixo maior é 1,56 X 10° km. Encontre uma equacao polar 9-16 (a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cénica, (c) dé para a orbita. uma equagao da diretriz e (d) esboce a cOnica. 27. A 6rbita do cometa Halley, visto pela ultima vez em 1986 e com 9 r= _ 4 10. r= _ 2 retorno esperado para 2062, é uma elipse com excentricidade 5 — 4sen 6 3 — 10 cos 6 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo maior é 36,18 AU [Uma unidade astronémica (AU) é a distancia média 1 3 entre a Terra e o Sol, cerca de 93 milhdes de milhas.] Encontre Wor = ry 12, r= ae uma equacdo polar para a 6rbita do cometa Halley. Qual € a dis- sen COS tancia maxima do cometa até 0 Sol? 9 8 28. Ocometa Hale-Bopp, descoberto em 1995, tem uma orbita elip- 13. r= 6 + 2cos8 4. r= 445sen0 tica com excentricidade 0,9951 e o comprimento do eixo maior cos sen é 356,5 AU. Encontre uma equacio polar para a 6rbita desse co- meta. Quao perto do Sol chega esse cometa? 15. r= a 16 r= _ 10 4 —-8cos 0 5 — 6sen6 AE 17. (a)Encontre a excentricidade e a diretriz da cdnica r= 1/1 — 2 sen 6) e faca um grafico da cénica e sua diretriz. (b) Se a c6nica girar no sentido anti-hordario em torno da origem por um angulo 37/4, escreva a equaco resultante e trace sua curva. 3 . 7 AE 18. Trace a parabola r = 4/(5 + 6 cos @) e sua diretriz. Também & E trace a curva obtida pela rotagao dessa parabola ao redor de seu & foco por um angulo 77/3. FY 19. Trace as c6nicas r = e/(1 — e cos @) come = 0,4, 0,6, 0,8 € 1,0 29. O planeta Mercurio viaja numa orbita eliptica com excentrici- na mesma tela. Como o valor de e afeta o formato da curva? dade de 0,206. Sua distancia minima do Sol € de 4,6 * 107 km. Calcule sua distancia maxima do Sol. AE 20. (a) Faca o grafico das c6nicas r = ed/(1 + e sen @) parae = le varios valores de d. Como o valor de d afeta o formato da 30. A distancia de Plutio até o Sol € 4,43 X 10° km no periélio e curva? 7,37 X 10° km no afélio. Encontre a excentricidade da 6rbita de (b) Faga 0 grafico das c6nicas para d = 1 e varios valores de e. Pluto. Como o valor de e afeta o formato da curva? . . . . 31. Usando os dados do Exercicio 29, calcule a distancia percorrida 21. Mostre que uma c6nica com foco na origem, excentricidade e e pelo planeta Mercurio durante uma 6rbita completa ao redor do diretriz x = —d tem a equacio polar Sol. (Se sua calculadora ou sistema de computagao algébrica ed calcular integrais definidas, use-o. Caso contrario, use a Regra r= T—ecosd de Simpson.) 22. Mostre que uma c6nica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equagao polar _ ed r See 1+esend E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homeworks Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com EQUACOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 619 a Revisao Verificagao de Conceitos 1. (a) O que é uma curva parametrizada? (c) Como vocé calcula o comprimento de uma curva polar? (b) Como vocé esboga uma curva parametrizada? . . os 6. (a) Dé uma definigéo geométrica de uma parabola. 2. (a) Como voce calcula a inclinag&o de uma tangente a uma curva (b) Escreva uma equaciio de uma parabola com foco (0, p) e di- parametrizada? retriz y = —p. Entao, o foco é (p, 0) e a diretriz é x = —p. (b) Como vocé calcula a 4rea sob uma curva parametrizada? ; ; 7. (a) Dé uma definic&o de uma elipse em termos dos focos. 3. Escreva uma expressao para cada um dos seguintes itens: (b) Escreva uma equacio para a elipse com focos (+c, 0) e vér- (a) O comprimento de uma curva parametrizada. tices (+a, 0). (b) A area da superficie obtida pela rotagéo de uma curva para- metrizada em torno do eixo x. 8. (a) Dé uma definicao de uma hipérbole em termos dos focos. b)E a hipérbol f 4. (a) Use um diagrama para explicar o significado das coordena- (b) Escreva uma anaga® Pata 2 DIPERDONS CODY 08 TOC0S (+c, 0) e os vértices (+a, 0). das polares (7, 0) de um ponto. ~ 2 og . . (c) Escreva equagdes para as assintotas da _ hipérbole (b) Escreva as equag6es para expressar as coordenadas cartesia- na parte (b). nas (x, y) de um ponto em termos de coordenadas polares. (c) Quais equagGes vocé usaria para encontrar as coordenadas 9. (a) O que € a excentricidade de uma seciio cénica? polares de um ponto se soubesse as coordenadas cartesianas? (b) O que vocé pode dizer sobre a excentricidade se a seco c6- 5. (a) Como vocé calcula a inclinagfo de uma reta tangente a uma nica for uma elipse? Uma hipérbole? Uma parabola? curva polar? (c) Escreva uma equacao polar para uma sec4o cOnica com ex- (b) Como vocé calcula a drea de uma regidio limitada por uma centricidade e e diretriz x = d. O que acontece se a diretriz curva polar? forx = —d? y= d?y = —d? Teste — Verdadeiro ou Falso Determine se a afirmacao é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique 5. Ascurvas polares r = 1 — sen 20 er = sen 20 — | témo mesmo por qué. Caso contrario, explique por que ou dé um exemplo que mostre que grafico. é falsa. 6. As equagdes r = 2, 2 + yw = 4 e x = 2 sen 3t, 1. Se a curva parametrizada x = f (f), y = g(t) satisfaz y = 2 cos 3t (0 St S 277) tém todas o mesmo grafico. g'(1) = 0, ent&o ela tem uma tangente horizontal quando t = 1. 7. As equacoes paramétricas x = 2, y = r' possuem o mesmo gré- 2. Sex =f(t)e y = g(t) tém segundas derivadas, entio ficodex =P, y = f°. d’y d’y/dt? 8 O grafico de y? = 2y + 3x € uma parabola. dx? d’x /dt? 9. A reta tangente a uma parabola intercepta a parabola apenas uma 3. O-comprimento da curvax =f(jVey=g(t),a ee 25-26 Encontre dy/dx e dyidx’. 49. Encontre uma equacio da elipse com foco (+4, 0) e diretriz 2. x=t+sent, y=t-—cost (£5, 0). 2%. x=1+P, y=r-2h 50. Encontre uma equacao da hipérbole com focos (2, 1) e vértices x= —4, 4 27. Use um grafico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo . na curva x = 6 — 3t,y = +4 + 1. Entao, use o cdlculo para 51. Encontre uma equacio da hipérbole com focos (0, +4) e assin- calcular as coordenadas exatas. totas y = +3x. 28. Calcule a area da regiao delimitada pelo laco da curva no Exer- 52. Encontre uma equagao da elipse com focos (3, +2) ¢ eixo prin- cicio 27. cipal com comprimento 8. 29 Em quais pontos a curva 53. Encontre uma equacao para a elipse que compartilhe um vértice e um foco com a parabola x? + y = 100 e que tenha seu outro x = 2a cost — acos 2t y = 2a sent — asen2t foco na origem. tem tangentes verticais e horizontais? Use essa informagao para 54. Mostre que, se m for qualquer nimero real, entdo existem ajudar a esbogar a curva. exatamente duas retas de inclinacdo m tangentes A elipse 30. Calcule a area delimitada pela curva no Exercicio 29. la’ + y'lb’ = 1 @ suas equagoes sao y = mx + ya’m? + b?. 31. Calcule a drea delimitada pela curva r? = 9 cos 56. 55. Encontre uma equacao polar para a elipse com foco na origem, excentricidade : e diretriz com equagao r = 4 sec 6. 32. Calcule a area delimitada pelo lago interno da curva r=1-—3sen 0. 56. Mostre que os dngulos entre o eixo polar e as assintotas da hi- pérbole r = ed/(1 — e cos 8), e > 1, sio dados por cos7'(+ 1/e). 33. Encontre os pontos de interseccéo das curvas r = 2 e r=4cos6. 57. Uma curva chamada folio de Descartes é definida pelas equa- gdes paramétricas 34. Encontre os pontos de interseccao das curvas r = cotg 0 e 31 32 r=2cos 0. x= Oy = 1-f 1-f 35. Encontre a area da regiaio que esta dentro de ambos os circulos r=2sen0er=sen0@+ cos 06. (a) Mostre que, se (a, b) estiverem na curva, entio (b, a) também . . . esta; isto é, a curva é simétrica em relagao 4 reta y = x. Onde 36. Encontre a drea da regiaéio que esta dentro da curva : a curva intercepta essa reta? r = 2 + cos 20, mas fora da curva r = 2 + sen 0. E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagio algébrica EQUAGOES PARAMETRICAS E COORDENADAS POLARES 621 (b) Encontre os pontos na curva onde as retas tangentes sao ho- _ 3 sec 0tgé rizontais ou verticais. a 1+ tg’@ (c) Mostre que a reta y = —x — | é uma assintota obliqua. (d) Esboce a curva. (g) Encontre a drea da regido dentro do lago dessa curva. (e)Mostre que a equag&o cartesiana dessa curva € (h) Mostre que a area do laco é a mesma que esté entre a assin- x+y? = 3xy. tota e os ramos infinitos da curva. (Use um sistema de com- (f) Mostre que a equacao polar pode ser escrita na forma putagao algébrica para calcular a integral.) 1. Uma curva é definida pelas equacées paramétricas 1 COS U 1 sen u x= \ —— du y= f —— du 1 u 1 u Calcule o comprimento do arco da curva a partir da origem até 0 ponto mais préximo onde exista uma reta tangente vertical. 2. (a) Encontre os pontos mais altos e mais baixos sobre a curva x* + y*= x? + y’, (b) Esboce a curva. (Observe que ela é simétrica em relagéio a ambos os eixos e a ambas as retas y = +x; assim, inicialmente é suficiente considerar y = x = 0.) (c) Use as coordenadas polares e um sistema de computacao algébrica para encontrar a area dentro ras da curva. 3. Qual é a menor janela que contém cada membro da familia de curvas polares r = 1 + c sen 0, onde 0 eo |) x \ | Py x 7 (i) (ii) (iii) FIGURA PARA 0 PROBLEMA 6 S e [ S ari | fi it r i, = Hl L Ko i = Os PT a % tL r ba es, , : = —* . | 3 : : i ee = — Ss = eS oe a . a Se) a SS 5 — TS = ~ = = = a ee i ———— we ia — Na Ultima secao deste capitulo vocé sera fio, ' ROCCO OR MISTANICRS SIM ICRA N(CH CO a uma formula para a velocidade de uma onda oceanica. Sequéncias e séries infinitas foram introduzidas rapidamente em Uma Apresentacdo do Cadlculo em conexao com os paradoxos de Zenon e a representagaéo decimal de nimeros. Sua importancia em calculo surge da ideia de Newton da representacao de fungdes como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar areas, ele frequentemente integrava uma func4o expressando-a primeiro como uma série e entao integrando cada 2.2 Py 2 2 ~ 2 ~ _y2 termo da série. Seguiremos sua ideia na Secao 11.10 para integrar fungdes como e™ . (Lembre-se de que, anteriormente, fomos incapazes de fazer isso.) Muitas das fungdes que surgem em fisica-matematica e quimica, tais como as funcées de Bessel, so definidas como somas de séries; assim, é importante nos familiarizarmos com os conceitos basicos de convergéncia de sequéncias e séries infinitas. Os fisicos também usam séries de outra maneira, como veremos na Segao 11.11. Em areas de estudo diversas, como 6ptica, relatividade especial e eletromagnetismo, eles analisam fendmenos trocando uma fungao pelos primeiros termos da série que a representa. 624 CALCULO i Sequéncias Pode-se pensar numa sequéncia como uma lista de nimeros escritos em uma ordem definida: G1, 42, 43, A4, ..., Any... O ntimero a; é chamado primeiro termo, az € 0 segundo termo e, em geral, a, € 0 n-ésimo termo. Trataremos exclusivamente de sequéncias infinitas, de modo que cada termo a, tera um sucessor Qn+1- Observe que, para cada inteiro positivo n existe um ntiimero correspondente a, e, dessa forma, uma sequéncia pode ser definida como uma fungao cujo dominio é 0 conjunto dos in- teiros positivos. Mas, geralmente, escrevemos a, em vez da notacao de fungao f (n) para 0 va- lor da funcao no nimero n. NOTAGAO A sequéncia {a,, a2, a3, .. .} € também indicada por {an} ou {an }nmi Set Algumas sequéncias podem ser definidas dando uma formula para 0 n-ésimo termo. Nos exemplos seguintes, damos trés descrigdes da sequéncia: uma usando a notacao anterior, outra empregando a férmula da definigao e uma terceira escrevendo os termos da se- quéncia. Observe que nao é necessario comegar em 1. n | n 1234 n (a) )—__ ay = — BR grep att n+l), nt+1 23 4°55 n+1 (b) (-1)"(n + I) (-1)"( + 1) 2 3 4 5 (-1)"(n + 1) ———¢ a, = —— - >,-,-T.,. , 3” 3” 3.9 27 81 3” (c) {vn -3}%, = an=Vn—3, n=3 {0,1, V2, V3,..., Vn —3,...} nt | nT 3 1 nT (d) {cos — dn = COS—, n=O 3 1g cos 2m... 7 6 J 0 6 2 2 6 S20 Encontre uma férmula para o termo geral a, da sequéncia 3 4 5 6 7 5’ 25° 125° 625’ 3.125’ °° supondo que o padrao dos primeiros termos continue. SOLUCAO Foi-nos dado que 3 4 5 6 7 a= > a. =-= a3 =— a4=-sS as => 5 25 125 625 3.125 Observe que os numeradores dessas fragdes comecam com 3 e sao incrementados por | a me- dida que avancamos para o préximo termo. O segundo termo tem numerador 4; 0 terceiro, nu- merador 5; generalizando, o n-ésimo termo tera numerador n + 2. Os denominadores sao a poténcia de 5, logo a, tem denominador 5”. Os sinais dos termos alternam entre positivo e ne- gativo, assim, precisamos multiplicar por uma poténcia de — 1. No Exemplo 1(b) o fator (— 1)” significava que comegamos com um termo negativo. Neste exemplo, queremos comegar com um termo positivo e assim usamos (—1)”~' ou (—1)"*". Portanto n+2 an = (HY) = SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 625 (SQV Aqui estio algumas sequéncias que ndo tém uma equacdo de definicdo simples. (a) A sequéncia {p,}, onde p, é a populacdo do mundo no dia 12 de janeiro do ano n. (b) Se fizermos a, ser 0 algarismo na n-ésima casa decimal do ntimero e, entio {a,,} € uma se- quéncia bem definida cujos primeiros termos sao {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4,5,...} (c) A sequéncia de Fibonacci { f,,} € definida recursivamente pelas condigdes f= fp=lo furs frit f-2 n>3 Cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos sao {1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21,...} Essa sequéncia surgiu quando 0 matemiatico italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um problema envolvendo a reproducao de coelhos (veja o Exercicio 83). Mi Uma sequéncia como aquela no Exemplo 1(a), a, = n/(n + 1), pode ser visualizada mar- cando seus termos na reta real, como na Figura 1, ou tragando seu grafico, como na Figura 2. ds Observe que, como uma sequéncia é uma funcgado cujo dominio é 0 conjunto dos inteiros po- a an as{ oe , . . —14da—WT_ ++ 000 $>- sitivos, seu grafico consiste em pontos isolados com coordenadas 0 1 1 2 d, ay) (2, a2) (3, a3) te (n, an) te FIGURA 1 A partir da Figura 1 ou 2 parece que os termos da sequéncia a, = n/(n + 1) estao se apro- ximando de 1 quando nv se torna grande. De fato, a diferencga ay n 1 1 — — = —— n+1 n+1 Lee . . . . _- _7 pode ficar tao pequena quanto se desejar, tornando n suficientemente grande. Indicamos isso a % escrevendo 91234567 n . n lim ——— = 1 noo nt | FIGURA 2 Em geral, a notagao lim a, = L significa que os termos da sequéncia {a,} aproximam-se de L quando n torna-se grande. Ob- serve que a seguinte definigao do limite de uma sequéncia é muito parecida com a definigao do limite de uma funcAo no infinito, dada na Se¢ao 2.6, no Volume I. [1] Definicao Uma sequéncia {a,,} tem limite L e escrevemos lim a, = L ou a, — L quando n> se pudermos tornar os termos a, téo pr6ximos de L quanto quisermos ao fazer n sufi- cientemente grande. Se lim,,—... @, existir, dizemos que a sequéncia converge (ou é con- vergente). Caso contrario, dizemos que a sequéncia diverge (ou é divergente). A Figura 3 ilustra a Definicao 1 mostrando os graficos de duas sequéncias que tém limite L. 626 CALCULO ay a, L — Se ew ew L . __ — + FIGURA 3 . . , Graficos de duas . sequénci . ; quencias com 0 4 0 > lim a,=L Uma versao mais precisa da Definicao 1 é a seguinte. Compare esta definig&io com a [2] Definicao Uma sequéncia {a,} tem limite L e escrevemos Definigdo 2.6.7 lima, = L ou a, — L quando n> se, para cada € > 0) existir um inteiro correspondente WN tal que se n>wN entao |a, —L| N. Esse quadro deve ser va- lido independentemente do quao pequeno ¢é escolhido, mas geralmente um € menor exige um N maior. y Lo mo, . y=Lte L . a . y=L-e 0 n FIGURA 5 1234 N A comparacao da Definigao 2 com a Definicgao 2.6.7, no Volume 1, mostra que a tinica di- ferenga entre lim,—. a, = Le lim, f(x) = L é que n precisa ser inteiro. Entao, temos 0 se- guinte teorema, que é ilustrado pela Figura 6. [3] Teorema Se lim,—. f(x) =L e f(n) =a, quando n € um inteiro, entado lim, a, = L. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 627 » y= fx) L 0) 1234 x FIGURA 6 Em particular, como sabemos que lim,-.. (1/x") = 0 quando r > 0 (Teorema 2.6.5, no Volume I), temos . 1 lim — = 0 se r>0 n> N Se a, aumentar quando n aumentar, usaremos a notac¢4o lim, a, = ©. A seguinte defi- nigao precisa é similar 4 Definigao 2.6.9, no Volume I. [5] Definigéo lim,—.. a, = © significa que para cada numero positivo M existe um in- teiro N tal que se n>N entao a, > M Se lim,» an = %, ent&o a sequéncia {a,} é divergente, mas de maneira especial. Dize- mos que {a,,} diverge para °°. As Propriedades do Limite dadas na Se¢ao 2. 3, no Volume I, também valem para os li- mites de sequéncias, e suas demonstrag6es sao similares. Se {a,} e {b,} forem sequéncias convergentes e c for uma constante, entZo lim (a, + b,) = lim a, + lim b, lim (a, — b,) = lim a, — lim b, lim Can = C lim an lim cme Propriedades do Limite para Sequéncias lim (a,b,) = lim a, + lim b, a lim an "en lim — = +*— selimb, #0 2a, nox by, lim b, ne “heel, moe ° cep hkidaas . rp—h: P .- lim az [lim a,] se p>O0ea, >0 a, O Teorema do Confronto também pode ser adaptado para sequéncias como a seguir (veja 0 n a Figura 7). FIGURA 7 A sequéncia {b,,} fica presa . . ~ 4 entre as sequéncias {d, Se an S by S Cn paran = noe lim a, = lim c, = L, entao lim b, = L. e{e,} 4 an} Outro fato util sobre limites de sequéncias é dado pelo seguinte teorema, cuja demonstra- cao € pedida no Exercicio 87. 628 CALCULO [6] Teorema Se lim |a,| = 0, entao lim a, = 0. . n SSet0e5 Encontre lim ——. nme n + | SOLUCAO O método é semelhante ao que foi utilizado na Segado 2.6, no Volume I: dividir o numerador e denominador pela maior poténcia de n que ocorre no denominador e depois usar as Leis de limite. . n ; 1 lim | lim — = kin — = —,,— nent] nox 1 . . 1 1+— lim 1 + lim — n n> n> N 1 =—_ =] 1+0 Aqui usamos a Equagao 4 com r = 1. — n Sets A sequéncia a, = Vio rn é convergente ou divergente? n SOLUCAO Como no Exemplo 4, dividimos o numerador e 0 denominador por n: ; n . 1 lim ———— «= lim ———— = ~ nae J/1IO +N noe 10 1 > + — n n porque o numerador € constante e o denominador se aproxima de 0. Entiio {a,} € divergente. = . Inn Set) Calcule lim ——. no A SOLUCAO Observe que numerador e denominador se aproximam do infinito quando n > %, Nao podemos empregar a Regra de |’Héspital diretamente, porque ela nao se aplica a sequéncias, mas, sim, a fungdes de uma varidvel real. Contudo, podemos usar a Regra de l’H6spital para a fungao relacionada f(x) = (In x)/x e obter . Inx _ Ix lim —— = lim — = 0 x>n X xo | Temos, portanto, pelo Teorema 3, . Inn lim — = 0 —_ n> n SFE) Determine se a sequéncia a, = (—1)" é convergente ou divergente. Gn SOLUCAO Se escrevermos os termos da sequéncia, obteremos 1 . . . {-1,1, -1,1,-1,1,-1,... OS) 1 2 3 4 " O grafico desta sequéncia é mostrado na Figura 8. Uma vez que os termos oscilam entre 1 e ol ° ° ° ° —1 com frequéncia indefinida, a, n&o se aproxima de nenhum nimero. Logo lim,—.. (—1)" nao existe; Ou seja, a sequéncia {(—1)"} é divergente. FIGURA 8 _ (-1" . Siete) ~Calcule lim ——— se ele existir. noo 0 grafico da sequéncia no Exemplo 8 é SOLUCAO Primeiro calculamos o limite do valor absoluto: mostrado na Figura 9 e confirma a nossa . (-1)" . 1 resposta. lim — = lim 7 =0 Portanto, pelo Teorema 6, SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 629 ( 1)" a, lim ——— = 0 — I n> oO O seguinte teorema diz que se aplicarmos uma fungdo continua aos termos de uma se- . quéncia convergente, o resultado também sera convergente. A demonstragao é€ pedida no Exer- “ts cicio 88. 4 2 oF ” Teorema Se lim a, = Le se a fungao f for continua em L, entao 1 n> -1+- Tim f(@n) = f(L) FIGURA 9 (SQN) Encontre lim sen(z/n). n> SOLUCAO Como a fungao seno é continua em 0, o Teorema 7 nos permite escrever lim sen(ar/n) = sn Li (n/n) = sen0=0 — no no Criando Graficos de Sequéncias EERO) Discuta a convergéncia da sequéncia a, = n!/n", onde Alguns sistemas de computagao algébrica m=1°2+3+++en tém comandos especiais que nos permitem , , criar sequéncias e tragé-las diretamente. SOLUCAO Numerador e denominador se aproximam do infinito quando n — ©, mas aqui nao —_—-Com a maioria das calculadoras graficas, temos uma funcdo correspondente para usar com a Regra de |’ H6spital (x! nado esta definido veando devant paramcag ser tragadas quando x nao é um inteiro). Vamos escrever alguns termos para pensar sobre 0 que acontece exemplo, a sequéncia no Exemplo 10 pode com a, quando n cresce: ser tragada inserindo-se as equacdes 1-2 1-2-3 paramétricas a, = 1 aa = ar DD 2:+2 3-3-3 x=t y=tl/t! e fazendo o grafico no modo pontual comegando com t = | e tomando o passo 1°2°3+--- en t igual a 1. O resultado é exposto na Figura Gy ate 10. Parece, a partir dessas express6es e do grafico na Figura 10, que os termos estao decrescendo 1 e talvez se aproximem de 0. Para confirmar isso, observe na Equagao 8 que 1/2°3-+:en a, = — | —————- Observe que a expressdo em parénteses € no maximo 1, porque o numerador é menor (ou igual) ao denominador. Logo, 10 1 0 0 0 quando n — & pelo Teorema do Con- fronto. | [2G Para que valores de r a sequéncia {r”} € convergente? SOLUCAO Sabemos da Secio 2.6 e dos graficos das fungdes exponenciais na Secio 1.5, ambos do Volume I, que lim, a* = © paraa > 1 e lim,..a* = 0 para0 < a < 1. Logo, colocando a = r e usando o Teorema 3, temos . h wo ser> Il lim r" = nx 0 seO% Se —1 1, . a yy -1 1 ser=1 Definigéo Uma sequéncia {a,,} é chamada crescente se a, < a,+; paratodon = 1, isso 6, ay < d) < a3 <---.Echamado decrescente se a, > a,+; para todo n = 1. Uma sequéncia é monétona se for crescente ou decrescente. as 3 , Seta A sequéncia 4s é decrescente porque n 3 s 3 _ 3 0 lado direito € menor porque tem um n+5 (n + 1) +5 n+6 denominador maior. e, portanto, a, > d,+; para todon = 1. | n 2 (SJ EUTE] Mostre que a sequéncia a, = —,——— € decrescente. nt+1 SOLUCAO 1 Devemos mostrar que dn+1 < Qn, isto €, n+1 n 2 < 2 (n+1)/+1 n+ 1 Essa desigualdade é equivalente aquela que obteriamos pela multiplicagao cruzada: n+1 n << 5 s(n tt Dr’ + I wWewWwtntl 1 € verdadeira. Portanto dni1 < aye {an} € decrescente. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 631 ~ . _ x SOLUCAO 2 Considere a fungao f(x) = ———: x +1 Fa) x + 1 — 2x? 1 — x? <0 2S] x) = FE oo sempre que x +1? +P pied Assim, f € decrescente em (1, ©) eem f(n) > f(n + 1). Portanto, {a,} é decrescente.mmm [11] Definigéo Uma sequéncia {a,,} é limitada superiormente se existir um nimero M tal que a,=M para todo n = 1 Ela é limitada inferiormente se existir um numero m tal que ma, para todo n = 1 Se ela for limitada superior e inferiormente, entio {a,} €é uma sequéncia limitada. Por exemplo, a sequéncia a, = n é limitada inferiormente (a, > 0) mas no superiormente. A sequéncia a, = n/(n + 1) é limitada porque 0 < a, < 1 para todo n. Sabemos que nem toda sequéncia limitada € convergente [por exemplo, a sequéncia Gn = (—1)" satisfaz —1 0, L — € nao é€ um limitante superior para S (pois L é o limite superior minimo). Portanto, ay>L-e para algum inteiro N Mas a sequéncia é crescente, logo a, = ay para cada n > N. Assim, se n > N, temos 632 CALCULO a,>L-e entao O<=L-a N entao lim,-..a, = L. Uma demonstra¢ao similar (usando o maior limitante inferior) funciona se {a,,} for de- crescente. = Na demonstragao do Teorema 12 vemos que uma sequéncia que é crescente e limitada su- periormente é convergente. (Da mesma forma, uma sequéncia decrescente que é limitada infe- riormente é convergente.) Este fato € usado muitas vezes quando lidamos com séries infinitas. S(Siet0) Investigue a sequéncia {a,} definida pela relagdo de recorréncia a1=2 dnii=3(an +6) ~~ paran=1,2,3,... SOLUGAO Comegamos calculando os primeiros termos: a,=2 ag=3(2+6)=4 a3 =3(44+6)=5 as=3(5+6)=5,5 as=5,75 a6 = 5,875 A indugao matematica é frequentemente usada para trabalhar com sequéncias a7 = 5,9375 as = 5,96875 ay = 5,984375 recursivas. Veja o fim do Caitulo 1 E. foes Ate ~ (Volumel) para consultar o Principio da _ Esses termos iniciais sugerem que a sequencia é€ crescente e que os termos estado se apro- Indugdo Matematica. ximando de 6. Para confirmar que a sequéncia € crescente, usamos a inducgao matematica para mostrar que dn+1 > da, paratodon = 1. Isto é verdade paran = | porque a2 = 4 > aj. Se as- sumirmos que isso é verdadeiro para n = k, entéo temos An+1 > Ak entao Ak+1 +6> ak +6 1 1 e 3 (A+ + 6) > x(a + 6) Logo, n+. > Ak+1 Deduzirmos que a@,,+; > a, € verdadeiro paran = k + 1. Portanto, a desigualdade é verdadeira para todo n por indu¢ao matemiatica. Em seguida, verificamos que {a,,} € limitada mostrando que a, < 6 para todo n. (Uma vez que a sequéncia é crescente, ja sabemos que ela tem um limitante inferior: a, = a; = 2 para todo n). Sabemos que a; < 6, assim a afirmagao € verdadeira para n = |. Suponha que isso seja verdadeiro para n = k. Entao, ak < 6 entao a,+6< 12 e 3(ax + 6) <3(12) = 6 Logo, Ans1 <6 Isso mostra, por induga4o matemiatica, que a, < 6 para todo n. Como a sequéncia {a,,} € crescente e limitada, o Teorema 12 garante que ela tem um limite. O teorema nao nos conta qual € 0 valor do limite. Mas agora que sabemos que L = lim, —. ay existe, podemos usar a relagdo de recorréncia dada para escrever SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 633 lim a,+1 = lim }(a, + 6) = 2(lim dn + 6) =+(L + 6) Como a, — L, segue também que a,+; > L (quando n— ”, n + 1—> ©, igualmente). Uma demonstracao desse fato € pedida no Logo, temos Exercicio 70. L=3(L+6) Resolvendo essa equacao para L, temos L = 6, como previsto. | 114 Exercicios 1. (a) O que é uma sequéncia? 3+ 5n? n? (b) O que significa dizer que lim,,... a, = 8? 25. dn = n+rnr 26. a, = n+1 (c) O que significa dizer que lim,—.. a, = ©? \/n ant? 2. (a) O que é uma sequéncia convergente? Dé dois exemplos. 21. dn = € 28. a, = 5” (b) O que é uma sequéncia divergente? Dé dois exemplos. nd nt1 3-12 Liste os cinco primeiros termos da sequéncia. 29. a, = tg 1+ 8n 30. an = ont 1 3 = 4 __ nv » an =a » an = n — — 2n/int2) 4 + 31. a, = 32. an = Cpe ire On Tet an ane 5. a, = a 6. a, = cos > (-1)"'n (-1)"n3 3(-1)" 38 dn | Ban oe +1 1 a, = 8. (2-4-6: --- + (2n)} m An 35. a, = cos(n/2) 36. a, = cos(2/n) 9, a;=1, Ant: =5a, — 3 10. a; = 6, an) = — n (2n — 1)! Inn an 37.) ———_ 38. 4 —— WW. a; = 2, Anv1 = —— (2n + 1)! In 2n 1lt+a, 12,4, = 2, @=1, Ani = An ~ An-1 39. {= “| 40. a, = tgiin as e"— 1 n is-18 Encontre uma formula para o termo geral an da sequéncia, as- M. {n2e-"} 42. a, = In(n + 1) — Inn sumindo que o padrao dos primeiros termos continue. cos’n 13. {1.5, 5 7. 5s ag J 43. an = 57 44. an = n/git3n 14. {1, -i,i,-Ha,.. J 45. a, =n sen(1/n) 46. a, = 2-"cos na _ _48 _16 Ch 15. { 3,2, — 3595 see} 7 + 2 48 sen 2n an = = . dy = —— 16. {5,8, 11, 14,17,...} n 1+ Jn 1 490) (6 5 49. a, = In(2n? + 1) — In(n’? + 1) 1. (3,-3.5 5) oJ (In n)? 18. {1,0, —1, 0, 1,0,-1,0,...} 50. dy = 19-22 Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da 51. a, = arctg(In 7) 52. a, =n—vyn+ lyn + 3 sequéncia e use-os para tragar o grafico da sequéncia com a mao. Esta 53. {0, 1, 0,0, 1,0,0,0,1,...} 54 {t, i, 5, i i, z, i, i . I sequéncia parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se nao, ex- n! (—3)" li é. 55. a, = — 56. a, = ——— plique por qué a 7 a nl 3 —1)" 19, a, = 20. a,=2+ 1" TT + 6n on 57-63 Use um grafico da sequéncia para decidir se ela € convergente 21. a,=1+ (-3)" 22. a, = 1 + —~— ou divergente. Se a sequéncia for convergente, conjecture o valor do ° limite a partir do grafico e entéo demonstre sua conjectura. . . . »an=1+(- " . An = 23-56 Determine se a sequéncia converge ou diverge. Se ela conver- 57. a 1+ (2/e) 58. a vn sen(a /vn) ir, encontre o limite. 3+ 2n?* g& i 59. a, = ie 60. a, = 37/3" + 5" 23. an = 1 ~~ (0,2)" 24. an = 734 4. n n n+) E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 634 CALCULO 61 n2cosn 79. Calcule o limite da sequéncia . a, = — " 14+7r [6365s eee Qn —1) (V2. V2. VV] 62. a, = n! 80. Uma sequéncia {a,} é dada por a; = V2, dna1 = V2 + ay . 63 — 1+3+5+++++Qn-)) (a) Por inducdo, ou de outra maneira, mostre que {a,} € crescente "Ge (2n)" e limitada superiormente por 3. Aplique o Teorema da Se- OT quéncia Monotona para mostrar que lim,,—... a, existe. 64. (a) Determine se a sequéncia definida a seguir é convergente ou (b) Encontre lim, dn. divergente: 81. Mostre que a sequéncia definida por a=1 @sii1=4-a paran=l a=1 Qa =3-2 an (b) O que acontece se o primeiro termo para a, = 2? € crescente e a, < 3 para todo n. Deduza que {a,,} € convergente 65. Se $ 1.000 forem investidos a uma taxa de juros de 6%, contabi- e encontre seu limite. lizados anualmente, depois de n anos o investimento valera 82. Mostre que a sequéncia definida por an = 1.000(1,06)” délares. 1 (a) Encontre os cinco primeiros termos da sequéncia {a,}. a,=2 Qn41 = 3- a, (b) A sequéncia é convergente ou divergente? Explique. . . Gn ae - . - satisfaz 0 < a, < 2 e é decrescente. Deduza que a sequéncia é 66. Se vocé depositar $ 100 no final de cada més em uma conta que . : yee convergente e encontre seu limite. paga juros de 3% ao ano com capitalizacéo mensal, o montante . . . : , . A 83. (a) Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que coelhos de juros acumulados apdés n meses é dado pela sequéncia . . vivam para sempre e que a cada més cada par produza um novo 1,0025" — 1 par, que se torna reprodutivo com 2 meses de idade. Se come- 1, = 100 0,0025 ~n carmos com um par recém-nascido, quantos pares de coelhos te- (a) Encontre os seis primeiros termos da sequéncia. remos no n-ésimo més? Mostre que a resposta € f,,, onde {fn} € (b) O quanto de juros vocé vai ter ganho depois de dois anos? a sequéncia de Fibonacci definida no Exemplo 3(c). 67. Um piscicultor possui 5.000 bagres em sua lagoa. O numero de (b) Seja an = fu+i/fn € mostre que dy-1 = 1 + 1/an-2. bagres aumenta 8% ao més e 0 agricultor retira 300 bagres por Supondo que {a, } seja convergente, encontre seu limite. més. 84. (a)Sejam a;=a, a.=f(a), a3 =fla2) = f(f(@),---. (a) Mostre que a populagao de bagres P,, depois n meses é dada An+1 = f (an), onde fé uma fungao continua. Se lim, dn = L, recursivamente por mostre que f(L) = L. P, = 1,08P,-1 — 300 Py = 5.000 (b) Ilustre a parte (a) tomando f(x) = cos x,a = 1, e estimando (b) Quantos bagres estao na lagoa depois de seis meses? 0 valor de L com precisao de cinco casas decimais. Y se : oe 68. Calcule os primeiros 40 termos da sequéncia definida por 85. (a) Use um grafico para conjecturar o valor do limite _ {i se a, € um numero par iim nl ant = ‘ : : . 34n + 1 se ay € um numero impar (b) Use um grafico da sequéncia na parte (a) para encontrar os me- ea, = 11. Fagao mesmo se a; = 25. Faga uma conjectura sobre nores valores de N que correspondam a ¢ = 0,1 e ¢ = 0,001 este tipo de sequéncia. na Definigao 2. ; 69. Para quais valores de r a sequéncia {nr} € convergente? 86. Use a Definicao 2 diretamente para demonstrar que lim," = 0 70. (a) Se {a,} for convergente, mostre que quando |r| <1. 87. Demonstre o Teorema 6. lim a,+; = lim a, [Dica: Use a Definigéo 2 ou o Teorema do Confronto.] 88. Demonstre 0 Teorema 7. (b) Uma sequéncia {a,,} é definida por a, = Ledn+1 = 1/(1 + an) 89. Demonstre que, se lim,_.. a, = 0 e {b,} for limitada, ent&o paran = 1. Supondo que {a,,} seja convergente, encontre seu li- lim, .» (a,b,) = 0. mite. , 71. Suponha que vocé saiba que {a,} € uma sequéncia decrescente 90. Sejaa, = (1 +4 +) . e que todos os termos est4o entre os nimeros 5 e 8. Explique por n aA . a . (a) Mostre que, se 0 = a < b, entao que a sequéncia tem um limite. O que vocé pode dizer sobre 0 va- lor do limite? prt — qn 72-78 Determine se a sequéncia dada € crescente, decrescente ou nao b-—a <(n + Ib monotona. A sequéncia é limitada? (b) Deduza que b"[(n + 1)a — nb] < a™"!. — ntl 72. dn = (—2) (c) Use a=1+ 1/(n+ 1) eb=1 + 1/n na parte (b) para 3 1 4 2n — 3 mostrar que {a,} € crescente. . An = > . a, = —— 2n+ 3 3n+4 (d) Use a = 1 e b = 1 + 1/(2n) na parte (b) para mostrar que 75. a, = n(-1)" 76. a, = ne" don < 4. n 1 (e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que a, < 4 para todo n. 71. an => 78. a, =n +— . Nays n2+1 n (f) Use o Teorema 12 para mostrar que lim, —. (1 + 1/n)” existe. ee (O limite é e. Ver Equacao 3.6.6, no Volume I). SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 635 91. Sejam ae b numeros positivos com a > b. Seja a; sua média arit- encontre os oito primeiros membros da sequéncia {a, }. Entao mética e b;, sua média geométrica: use a parte (a) para mostrar que lim, +. ad, = /2. Isso dé a expansdo em fracgdes continuas a+b aaa b= ab Jr=1+—L— 1 Repita esse procedimento de modo que, em geral, a+ Q4e-5 93. O tamanho de uma populacio de peixes pode ser modelado pela Gna) = as Dust = Janda formula _ bP (a) Use a inducao matematica para mostrar que Pos at pr dn > Ans > Dost > dn onde p, €é 0 tamanho da populagao de peixes depois de 1 anos e ae b sao constantes positivas que dependem da espécie e de seu (b) Deduza que {a,}e {b,} so ambas convergentes. habitat. Suponha que a populac4o no ano 0 seja po > 0. (c) Mostre que lim, dn = lim,—. b,. Gauss chamou o valor (a) Mostre que se { p,,} € convergente, ent&o os tinicos valores pos- comum desses limites de média aritmética-geométrica dos siveis para seu limite sio Oe b — a. nuimeros ae b. (b) Mostre que py+1 < (b/a)pn. 92. (a) Mostre que, se lim,—.» do, = Le lim,» don+1 = L, entao (c) Use o item (b) para mostrar que, se a>b, entado {a,} € convergente e lim,» Qn = L. lim,,. Pn = 0; em outras palavras, a populagao se extingue. (b) Sea, = le (d) Agora suponha que a < b. Mostre que, se po < b — a, entao {pn} € crescente e 0 < p, < b — a. Mostre também que, se Qn, =1t+ — Po > b — a, entao {p,}€é decrescentee p, > b — a. Deduza V+ ay que se a < b, entio lim, p, = b — a. a PROJETO DE LABORATORIO SEQUENCIAS LOGISTICAS Uma sequéncia que aparece em ecologia como um modelo para 0 crescimento populacional é defi- nida pela equac4o de diferenga logistica Pn+i = kpn(l — pn) onde p, mede o tamanho da populacao da n-ésima geragaéo de uma Unica espécie. Para manter os nu- meros manejaveis, p, € uma fragdéo do tamanho maximo da populagao, e assim 0 S p, < 1. Observe que a forma dessa equagao é similar 4 da equagao diferencial logistica na Segao 9.4. O modelo dis- creto — com sequéncias em vez de fungées continuas — é preferivel para modelar populacées de in- setos, nas quais acasalamento e morte ocorrem de maneira periddica. Um ecologista esta interessado em prever o tamanho da populagao com o passar do tempo e faz as perguntas: ela vai estabilizar em um valor limite? Ela mudara de uma maneira ciclica? Ou ela exi- bira comportamento aleatério? Escreva um programa para calcular os n primeiros termos dessa sequéncia, comecando com uma populacao inicial po, onde 0 < po < 1. Utilize este programa para fazer o seguinte. 1. Calcule 20 ou 30 termos da sequéncia para py = 5 e para dois valores de k tal que 1 < k < 3. Faca um grafico de casa sequéncia. As sequéncias parecem convergir? Repita para um valor di- ferente de po entre 0 e 1. O limite depende da escolha de py? Depende da escolha de k? 2. Calcule termos da sequéncia para um valor de k entre 3 e 3,4 e faga seu grafico. O que vocé nota sobre o comportamento dos termos? 3. Experimente com valores de k entre 3,4 e 3,5. O que acontece com os termos? 4. Para valores de k entre 3,6 e 4, calcule e trace pelo menos 100 termos e comente sobre 0 com- portamento da sequéncia. O que acontecera se vocé mudar pp por 0,001? Esse tipo de compor- tamento é chamado cadtico e é exibido por populacées de insetos sob certas condigées. E necessario usar um sistema de computacio algébrica 636 CALCULO ir Séries O que queremos dizer quando expressamos um numero como um decimal infinito? Por exem- O recorde atual (2011) de 7 foi calculado plo, o que significa escrever arse por Shigeta Kondo e Yee Aexandet m = 3,14159265358979323846264338327950288 . . . A convengao por tras de nossa notaga4o decimal é que qualquer nimero pode ser escrito como uma soma infinita. Aqui, isso significa que 34544444, 25472+4+;%; 54 T= — ae 10 10° 10° 10* 10° 10° 10’ 108 onde os trés pontos (- - -) indicam que a soma continua para sempre, e quanto mais termos adi- cionarmos, mais nos aproximaremos do valor real de 7. Em geral, se tentarmos somar os termos de uma sequéncia infinita {a,,};_, obteremos uma expressao da forma [1] ai+da.+a3t+-++t+a,t-:: que é denominada uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade, pelo simbolo S an ou S Qn n=1 Faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos? Seria impossivel encontrar uma soma finita para a série 14+24+34+44+54+---+n+--- porque, se comegarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, n Soma dos n 15, 21,... e depois do n-ésimo termo, obtemos n(n + 1)/2, que se torna muito grande a medida primeiros termos que n aumenta. I 0.50000000 Contudo, se comegarmos a somar os termos da série 2 0,75000000 1 1 1 1 1 1 1 3 0,87500000 ~+—4+—4+—+—~ 4+ +--+ 4°: 4 0.93750000 2 4 8 16 32 8 64 2" ° oetas00 obtemos S, i, Z 2, z a ...,1 — 1/2”,....A tabela mostra que, quando adicionamos mais 7 0, 99218750 e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais préximas de 1. De fato, somando 10 0.999023 44 um numero suficiente de termos da série, podemos fazer as somas parciais se tornarem tao pro- 15 0.999969. 48 ximas quanto quisermos de 1. Assim, parece razoavel dizer que a soma dessa série infinita é 20 0,99999905 le escrever 25 0,99999997 nl 1 1 1 1 1 Sm =r tater tote tate = 1 nt 2" 2 4 8 16 2" Usamos uma ideia parecida para determinar se uma série geral | 1| tem uma soma ou nao. Consideramos as somas parciais Ss; = a So = a, + a2 $3 =da,+a.+ a3 S4= a, +a. + a3,4+ 4 e, em geral, Sn =A, +0, +03 +°*: +a, = da; i=1 SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 637 Essas somas parciais formam uma nova sequéncia {s,,}, que pode ou nao ter um limite. Se lim, —.« 5, = S existir (como um numero finito), entéo, como no exemplo anterior, o chama- mos soma da série infinita > a,. [2 Definigéo Dada uma série 7-1; a, = a; + a2 + a3 + +++, denote por s, sua n-ésima soma parcial: n Sn = Ya=artart-++ +a, i=1 Se a sequéncia {s,,} for convergente e lim,,—.. 5, = s existir como um nimero real, en- tao a série X a, &é chamada convergente, e escrevemos oo A, +a. +-++t+a,+tcr-=s ou S an = 8 n=1 O ntmero s € chamado a soma da série. Se a sequéncia {s,} € divergente, entao a sé- rie é chamada divergente. Assim, a soma de uma série é€ 0 limite da sequéncia de somas parciais. Desse modo, quando escrevemos >;=1 An = S, queremos dizer que, somando um nimero suficiente de termos da sé- rie, podemos chegar tao perto quanto quisermos do ntimero s. Observe que Compare com a integral impropria % _ | f@ dx = lim | £0) dx >Y a, = lim Y a; 1 roo I n=l moe i=l Para encontrarmos essa integral, inte- gramos de 1 até ¢ e entao fazemos t>~. (2@R2OHI Suponhamos gue se saiba que a soma dos primeiros n termos da série %_, a, Seja__ Pata uma série, somamos de 1 a ve entéo fazemos n>. t+ayter+ + an Sy =a tat-:-+a,=—— 3n +5 Em seguida, a soma da série é 0 limite da sequéncia {s,,}: . . . 2n . 2 2 SY a, = lim s, = lim ——— = lim ——— = = Yi n=l n> n> 3n+5 now 5 3 34+ — n No Exemplo | foi nos dada uma expressao para a soma dos primeiros termos n, mas ge- ralmente nao é facil encontrar tal expressio. No Exemplo 2, no entanto, olhamos para uma famosa série para a qual podemos encontrar uma formula explicita para s,,. (2@)REP) Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica x atartar+art+-+: tar"! ++++= dar"! a#O0 n=1 Cada termo é obtido a partir do anterior, multiplicando-se pela razao comum r. 2 : : 1 1 (Ja consideramos 0 caso especial onde a = ;er = 3). Se r= l,entios, =atat-:::+a=na— +, Como lim,_.. 5, ndo existe, a sé- rie geométrica diverge nesse caso. Ser # 1, temos So =atartart+:++t+ar™! e rS, = ar + ar? +++++ar"™!+ ar" Subtraindo essas equacgdes, obtemos 638 CALCULO A Figura 1 fornece uma demonstragado Sy — TS, = a — ar" geométrica do resultado no Exemplo 2. Se Os triangulos forem construidos como a(1 — r") mostrado e s for a soma da série, entdo, [3] S, = —— por semelhanga de triangulos, l-r 5 a ; a Se —1 1, a sequéncia {r”} é divergente por (11.1.9); assim, pela Equacao 3, lim, S, nao existe. Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos. — Resumimos os resultados do Exemplo 2 como a seguir. ar a7ar A série geométrica \ [4] g Sa"!=atartart+::: n=1 a a é convergente se |r| < 1 e sua soma é . n-1 a am ¥ ar" | = —— |r| <1 a n=1 l-r FIGURA 1 Se |r| = 1, a série geométrica € divergente. Em palavras: a soma de uma série geométrica convergente é |(S\\e"0e)) Encontre a soma da série geométrica primeiro termo 1 — relacio comum 5-Y4+P-B4+.--- O que realmente queremos dizer quando SOLUCAO O primeiro termo é a = 5 e arazio comum é r = —3, Como |r| = 2 < 1, a série afirmamos que a soma da sérieno Exemplo = convergente por e sua soma é 3 6 3? Claro, nado podemos somar literal- mente um nimero infinito de termos, um a en 10 20 40 5 5 um. Mas, de acordo com a Definigao 2, a 5 -— + — - SHH = 5 ET 3 rs soma total é 0 limite da sequéncia de 3 9 27 1- (- 3) 5 somas parciais. Entéo, fazendo a soma de um ndmero suficiente de termos, podemos chegar tao préximo quanto gostariamos do numero. A tabela mostra as primeiras dez ; somas parciais e 0 grafico da Figura 2 “" mostra como a sequéncia de somas . parciais se aproxima de 3. 1 5,000000 2 1,666667 - 3 3,888889 3 tet tenes 4 2,407407 . 5 3,395062 : 6 2,736626 7 3,175583 8 2,882945 0 20” 9 3,078037 10 2,947975 FIGURA 2 (SQN A série S 2"3' é convergente ou divergente? n=1 SOLUCAO Vamos reescrever 0 termo n-ésimo termo da série na forma ar” ': SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 639 . 2na1l-n _ . 2\n2-(n-1) . 4" —_ . 4)\n-l ~ ~ nl 3 utra maneira de identificar ae ré Y 273!" = ¥ (27)"3 y za = 2 46) Outra maneira de identifi nl ml nl ml escrever os primeiros termos: ae ae ae 4 gaz lp Hay... Reconhecemos essa série como uma série geométricacom a = 4er =3.Como r> l,a aT 8 série diverge por [4]. = (SQM Escreva o nimero 2,317 = 2,3171717.. . como uma razao de inteiros. SOLUGAO 2,3171717... = 2,3 + 17 + M7 + uy + , — , 10° 10° 10’ Depois do primeiro termo, temos uma série geométrica com a = 17/10? er = 1/107. Portanto, 17 17 = 10° 1.000 2,317 = 2,3 + —— = 2,3 + — 1 99 1-—,> — 10 100 23 17 1.147 = — + — = — — 10 990 495 (22 Encontre a soma da série 5) x" onde |x| < 1. n=0 SOLUCAO Observe que esta série comecga com n = 0, de modo que o primeiro termo é x° = 1. (Com a série, adotamos a convengao de que x° = 1 mesmo quando x = 0.) Assim SMxm=Lt xt? txetaxtte-- n=0 Esta € uma série geométrica com a = 1 er = x. Uma vez que |r| = |x| < 1, que converge e [4] resulta em 0 Module 11.2 explora uma oe 1 série que depende de um angulo 6 em [5 | Ss x? = ——_ yl um triangulo e permite que vocé veja n=0 1-x quao rapidamente a série converge quando @ varia. - 1 SEA Mostre que a série nln + 1) é convergente e calcule sua soma. n=1 MN SOLUCAO Essa nao é uma série geométrica e, assim, voltamos a definig&o de uma série con- vergente e calculamos as somas parciais. - 1 1 1 1 1 Sn = 4H Se 4H GH 4+ = i@i + 1) 1-2 2:3 3°4 n(n + 1) Podemos simplificar essa expressdo se usarmos a decomposic¢éo em fragG6es parciais 1 il 1 ii + 1) i i+ 1 (veja a Seco 7. 4, no Volume I). Entao, temos ~ 1 “fl 1 Si= 2apqy 7 T7777 2 G4) 3( 4) 1 Observe que os termos se cancelam em =[1- + — + — peek Ht — ——_ pares. Este 6 um exemplo de uma soma n+1 telescopica: por causa de todos os cancelamentos, a soma retrai-se (como um =|- 1 antigo telescdpio) em apenas dois termos. n+1 640 CALCULO A Figura 3 ilustra o Exemplo 7 mostrando 1 os graficos da sequéncia de termos e, assim, lim s, = lim (1 — =1-0-1 a, = 1/[n(n + 1)] ea sequéncia {s, } n—>0 n> n+1 das somas parcials. Observe que an —> 0 Portanto, a série dada é convergente e @ Ss, — 1. Veja os Exercicios 76 e 77 para duas interpretagdes geométricas do oe 1 Exemplo 7. S ——— = 1 7 n=1 n(n + 1) 245g" Mostre que a série harmonica 1 eooree wy <1 11,1 {s,} Sr-=14+=-4+-4+-4:-°: . n=1 1 2 3 4 . é divergente. SOLUCAO Para essa série particular é conveniente considerar as somas parciais 52, 54, Sg, Si6, . fa} 532,...€ mostrar que elas se tornam grandes. ay 5 seen . o=1+ so=14+3+G4+3)>14+3+G4+3)=14+3 FIGURA 3 1 1 1 1 1 1 1 se=1t54+G+a)+G+ot74+3) 1 1 1 1 1 1 1 SltatGti)tGtatsts) =1+5+5+5=1+3 1 1 1 1 1 1 1 so= 1 tat ta)tGte te) to t-++ +36) 1 1 1 1 1 1 1 Slta+G ratte ta) tGst--+ + is) =1+s+5t+5+5=14+3 Analogamente, s32 > 1 + 2. Soa > 1 + 2, e, em geral, n Son > 1 + — 2 0 método usado no Exemplo 8 para Isso mostra que 5», —> % quando n — © e assim {s,} é divergente. Portanto, a série harm6nica mostrar que a série harmonica diverge diverge. 7 deve-se ao estudioso francés Nicole Oresme (1323-1382). _f< . [6] Teorema Sea série >) a, for convergente, entdo lim a, = 0. n=1 no DEMONSTRACAO Sejasn = a1 + az + +++ + dy. Entio, dn = Sy — Sn—1. Como > a, € con- vergente, a sequéncia {s,} € convergente. Seja lim,—- s, = s. Como n — 1 — % quando n— ©, também temos lim,-.~ 5,-1 = s. Portanto lim a, = lim (s, — s,-1) = lim s, — lim s,-; =s-s=0 = OBSERVAGAO 1 Com qualquer série > a, associamos duas sequéncias: a sequéncia {s,,} de suas somas parciais e a sequéncia {a,,} de seus termos. Se > a, for convergente, o limite da se- quéncia {s,} és (a soma da série) e, como o Teorema 6 afirma, o limite da sequéncia {a,} é 0. OBSERVAGAO 2 A reciproca do Teorema 6 nao é verdadeira, em geral. Se lim, —-. a, = 0, nao a podemos concluir que © a, é convergente. Observe que, para a série harm6nica ¥ 1/n, temos Gn = 1/n — 0 quando n — ©, mas mostramos no Exemplo 8 que ¥ 1/n é divergente. [7] Teste de Divergéncia Se lim a, nao existir ou se lim a, # 0, entaoa série > a, é divergente. ~~ ml SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 641 O Teste para Divergéncia vem do Teorema 6, porque, se a série nao for divergente, ela é convergente e, assim, lim,» dn = 0. oo 2 (SQN) Mostre que a série >) _* diverge n=1 5n? +4 , SOLUGAO . . n 1 1 lim a, = lim —,—— = lim ———, = 7 #0 no n> 5p? +4 nox 5+ 4/n 5 Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergéncia. | OBSERVAGAO 3 Se descobrirmos que lim,—. an # 0, saberemos que ¥ a, € divergente. Se acharmos que lim, @, = 0, nado saberemos sobre a convergéncia ou divergéncia de = a, Lem- bre-se 0 aviso na Observacao 2: se lim, —« dn = 0, a série = a, pode convergir ou divergir. Teorema Se > a, e > b, forem séries convergentes, entéo também o serao as séries > ca, (onde c € uma constante), > (a, + b,)e> (a, — b,)e (i) XY ca,=c > an (Gi) & (an + bn) = XY an + DY dy n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 (ii) Y (a, — bn) = Y an — DY dn n=1 n=1 n=1 Essas propriedades de séries convergentes vém das Propriedades do Limite para Sequén- cias Convergentes na Secao 11.1. Por exemplo, aqui esta como a parte (ii) do Teorema 8 é de- monstrada. Sejam: in = > Gi s= Ya, th= > D t= >db, i=1 n=1 i=l n=1 A n-ésima soma parcial para a série © (a, + b,) é Un = > (ai + bi) i=1 e, usando a Equacao 5.2.10, no Volume I, temos lim u, = lim ¥ (a; + b;) = lim (3 ai+ > ) noo Ne Gay ne \ i=l i=1 = lim ¥ a; + lim ¥ 3D; n> j=] n> j=] =lims, + limt,=s +t Portanto > (a, + b,) € convergente e sua soma é Y (n+ by) =s+t= Ya,+ db — n=1 n=1 n=1 af 3 1 (SVAN) Calcule a soma da série 4) {| ———— + — ]. mi \n(n+ 1) 2” SOLUCAO A série = 1/2” é uma série geométrica com a = 5 e r = 5, assim > Sn T= 1 n=1 2 1- 2 No Exemplo 7 encontramos que - 1 y——=1 na n(n + 1) 642 CALCULO Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e ~ 3 1 - 1 = 1 —— + = ] = 3 2» mm + — 2 (= +1) ‘) 2 n(n + 1) 2 2" =3-1+1=4 = OBSERVACAO 4 Um ntimero finito de termos nao afeta a convergéncia ou divergéncia de uma série. Por exemplo: suponha que possamos mostrar que a série y n n=4 n> + 1 é convergente. Uma vez que — n 1 2 3 n S sao ata tat S =sT n=1 + 1 2 9 28 n=4 N + 1 segue que a série inteira ©7_, n/(n* + 1) é convergente. Analogamente, se soubermos que a série Sr-v+1 dn Converge, entdo a série completa oo N ~ > an = > an + > An n=1 n=1 n=N+1 também é convergente. ir Exercicios 1. (a) Qual é a diferenga entre uma sequéncia e uma série? (a) Determine se {a,} é convergente. (b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente? (b) Determine se 57; a, é convergente. 2. Explique o significado de se dizer que Sn=1 dn = 5. 16. (a) Explique a diferenca entre 3-4 Calcule a soma da série Y;=1 a, cuja somas parciais so dadas. n n nr—- 1 S aj e S aj 3. s, = 2 — 3(0,8)" 4 Ss, => i=l jel an’ + 1 (b) Explique a diferenga entre 5-8 Calcule os oito primeiros termos da sequéncia de somas parciais S ai e ¥ aj corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente . ft an . : 17-26 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. ou divergente? os wo Se for convergente, calcule sua soma. 5. yt 6. 5 —— 197.3+4+8-G4+--- 1%. ;—-f+35-1+--: mi ia In(n + 1) ‘ 38 "8 40? x 1 2 (-1y"! 19. 10-2+04-0,08+--- 7. —> 8. — Lee 275 Tn 2 20. 1 + 0.4 + 0,16 + 0,064 + - OE 21. > 6(0,9)""! 22. > —— 4 9-14 Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faga 0 grafico ml nd mt (~9) de ambas as sequéncias de termos e de somas parciais na mesma tela. 2. > (3)"" 24. > _l_ Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for conver- mt 4 n=0 (v2 ) . . A egg 9 e” gente, calcule a soma. Se for divergente, explique por qué. 2. > r 26. > — > 1 10. > cosn mos ms "4 (-5)" = re ca 2% n+l nu. > oe 12.5 an 27-42 Determine se a série € convergente ou divergente. Se for con- mi vn +4 n= 10 vergente, calcule sua soma. ~ 1 1 - 1 1 1 1 1 1 13. S- - o> 14. ——_——~ => +> tr +7 +t 3(+ sn) 2nd) 3 6 9 12° 15 i 1 2 1 2 1 2 nn 2. — +—+——+—+——+——F+--- 15. Seja a, = =——.. 3 9 27 81 243 729 3n+1 E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 643 29. S _ 30. y Kk + 2) 63. x en “e-1 ie (k + 3) a - 742" ~ 14+ 3" 64. Vimos que a série harmGnica é uma série divergente cujos termos 31. 2 an 32. 2 on tendem a 0. Mostre que 33. 2 /2 34. 2 [(0,8)""! — (0,3)"] > in(1 + +) 35. y n( 4) 36. y a também é uma série com essa propriedade. ml 2n’ +1 mil + (3)" 65-66 Use o comando de fracgGes parciais em seu SCA para encontrar ~ ( 7 ) < ; uma express4o conveniente para a soma parcial; entdo utilize essa ex- 37. 4 (= 38. > (cos 1)! ~ a . D\3 rm pressdo para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente. . 3 (3, 2 S 3n? + 3n +1 < 1 39. 2 arctg n 40. 2 ( 5" + n ) 65. 2 +n 66. 2 5h Mn. y (2 1 1 ) 42. y en 67. Se a n-ésima soma parcial de uma série Sn=1 an € m \e" n(n + 1) qn n-1 ee s, = — 43-48 Determine se a série é convergente ou divergente expressando ntl S, Como uma soma telescdpica (como no Exemplo 7). Se for conver- encontre dy © Xn=1 Gn. gente, calcule sua soma. 68. Se a n-ésima soma parcial de uma série S7=) an € S, = 3 — 12, 43, y . 2 4, y In n encontre a, €7=1 Gn. man — I mi ont 69. Um paciente toma 150 mg de um farmaco, ao mesmo tempo, to- % 3 dos os dias. Imediatamente antes de cada comprimido que é to- 45. 2 n(n + 3) mado, 5% da droga permanece no corpo. (a) Qual quantidade do farmaco no corpo depois do terceiro com- 46. y ( cos jo cos 1 ) primido? Apos 0 n-ésimo comprimido? n=l n (n + 1)? (b) Qual quantidade da droga permanece no corpo, a longo prazo? oo 00 1 70. Depois da injegéo de uma dose D de insulina, a concentragao de a7. > (e'/" — eV?) 48. > on insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso m m pode ser escrito como De~, onde t representa o tempo em horas TO ea éuma constante positiva. 49. Seja x = 0,99999 ..... (a) Se uma dose D € injetada a cada T horas, escreva uma ex- (a) Vocé pensa que x < | oux = 1? pressdo para a soma das concentrag6es residuais pouco antes (b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de x. da (n + 1)-ésima injecio. (c) Quantas representagdes decimais o ntimero | tem? (b) Determine o limite de concentracio pré-injecao. (d) Quais os nuimeros que tém mais de uma representagao deci- (c) Se a concentragao de insulina deve ser sempre igual ou supe- mal? rior a um valor critico C, determine uma dose minima D em 50. Uma sequéncia de termos é definida por termos de C,aeT. a= An = (5 — Nan 71. Quando o dinheiro é gasto em produtos e servicos, aqueles que Calcule 2n-1 dn. o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que rece- 51-86 Expresse 0 niimero como uma razao de inteiros. bem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarao uma parte, e as- 51. 0,8 = 0,8888 ... 52. 0,46 = 0,46464646 . . . sim por diante. Os economistas chamam essa reacao em cadeia 53. 2,516 = 2,516516516... de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, 54. 10,135 = 10,135353535 .. . _ o governo local comega 0 processo com gastando D délares. Su- 55. 1,5342 56. 7,12345 ponha que cada destinatario de dinheiro gasto gaste 100c% e ee guarde 100s% do dinheiro que ele ou ela recebe. Os valores c e 57-63 Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule s sao denominados propensdo marginal a consumir e propensdo a soma da série para esses valores de x. marginal a economizar e, € claro,c + s = 1. » . (a) Seja S, 0 gasto total que foi gerado depois de n transagées. En- 57. > (-5)"x" 58. S (x + 2)” contre uma equacaAo para S;,. ml , ml (b) Mostre que lim,» S, = kD, onde k = 1/s. O nimero k é 5. > fx = 2)" 60. S (—4)"@ — 5)" chamado multiplicador. Qual é 0 multiplicador se a propen- mo 3" n=0 saéo marginal para consumir for 80%? = 2" = sen"x Obs. O governo federal usa esse principio para justificar 0 gasto 61. x x" 62. x 3" deficitério. Os bancos usam esse principio para justificar o 644 CALCULO empréstimo de uma grande porcentagem do dinheiro que recebem A em depésitos. D 72. Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a par- eS tir de uma altura h em uma superficie dura e nivelada, ela volta H hs até uma altura rh, onde 0 < r < 1. Suponha que a bola seja lan- eS b cada de uma altura inicial de H metros. Re (a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule ash. L L a distancia total que ela percorre. B G E C (b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai Sgt? metros em f segundos.) 79. O que esta errado com o seguinte calculo? (c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superficie com 0=0+0+0+::- velocidade v, ela rebateré com velocidade —kv, onde =(1-)+0-)+0-NDt-:: 0 1 + xpara qualquer x > 0. (Veja o Exercicio 4.3.78, no Vo- 82. Se > a, for divergente e c ~ 0, mostre que > ca, é divergente. lume I.) a . .. a 83. Se > a, for convergente e > b, divergente, mostre que a série Se sn for a n-€sima soma parcial da série harmonica, mosire > (a, + b,) € divergente. [Dica: Argumente por contradicAo. ] que e” > n + 1. Por que isto implica que a série harmGnica é di- 84. Se Sa, eb, forem ambas divergentes, (a, + b,) é necessa- A vergente? , riamente divergente? FY 76. Trace as curvas y = x",0 < x < 1, paran = 0, 1, 2,3,4,...na as we : 85. Suponha que uma série = a, tenha termos positivos e suas somas mesma tela. Encontrando as dreas entre as curvas sucessivas, dé parciais 5, satisfacam a desigualdade s, < 1.000 para todo n. Ex- uma demonstracdo geométrica do fato, mostrado no Exemplo 7, : plique porque > a, deve ser convergente. de que x 1 86. A sequéncia de Fibonacci foi definida na Segao 11.1 pelas equa- 2 nn + 1) =1 gdes 77. A figura mostra dois circulos C e D de raio | que se tocam em P. fi=l f= fi=fearther n>=3 T € uma reta tangente comum; C; € 0 circulo que toca C, De T; C2 € 0 circulo que toca C, D e C); C3 € 0 circulo que toca C, De Mostre que cada uma das afirmacGes a seguir é verdadeira. C2. Esse procedimento pode continuar indefinidamente e produ- 1 1 1 zir uma sequéncia infinita de circulos {C,}. Encontre uma ex- (a) fife ~ fr-ify ~ fifa pressao para o didmetro de C,, e entéo fornega outra demonstra- — 1 () 2 Tri fat ! Ss __ Sn 2 Fafa > 87. O conjunto de Cantor, cujo nome é uma homenagem ao mate- matico aleméo Georg Cantor (1845-1918), é construido como a A, seguir. Comecamos com o intervalo fechado [0, 1] e removemos AX o intervalo aberto G, 3). Isso nos leva a dois intervalos, [0, t] e [3 1], e removemos cada terco intermediario aberto. Quatro in- Cc A yx D tervalos permanecem, e novamente repetimos o processo. Conti- T nuamos esse procedimento indefinidamente, em cada passo re- ¢4io geométrica do Exemplo 7. movendo o tergo do meio aberto de cada intervalo que permanece 78. Um triangulo retangulo ABC é dado com ZA = 0 e|AC| = b. do passo anterior. O conjunto de Cantor consiste nos numeros em CD é desenhado perpendicularmente a AB, DE é desenhado per- (0, 1] que Permanecem depois de todos estes intervalos terem pendicularmente a BC, EF | AB, e esse processo continua inde- sido removidos. . . finidamente, como mostrado na figura. Calcule o comprimento to- (a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que fo- tal de todas as perpendiculares ram removidos é 1. Apesar disso, 0 conjunto de Cantor con- tém infinitos nimeros. Dé exemplos de alguns nimeros no |CD| + |DE| + |EF| + |FG|+--- conjunto de Cantor. em termos de be 6. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 645 (b) O tapete de Sierpinski é 0 correspondente bidimensional do (a) Encontre as somas parciais 51, 52, 53 € 54. Vocé reconhece os de- conjunto de Cantor. Ele é construido pela remocgao do sub- nominadores? Use o padrao para conjecturar uma férmula para quadrado central de um quadrado de lado 1 dividido em nove Sn. subquadrados. A etapa seguinte consiste em remover os sub- (b) Use induga&o matematica para demonstrar sua conjectura. quadrados centrais dos oito quadrados menores que perma- (c) Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua neceram, e assim por diante. (A figura mostra os trés primei- soma. ros passos da construcg4o.) Mostre que a soma das dreas dos 90. Na figura existem infinitos circulos se aproximando dos vértices quadrados removidos é 1. Isso implica que o tapete de Sier- de um triangulo equilatero. Cada circulo toca outros circulos e la- pinski tem area 0. dos do triangulo. Se o triangulo tiver lados de comprimento 1, cal- See cule a 4rea total ocupada pelos circulos. 7 oo oo oC ee ee ee A TH RE 2 ee ae oe on A) 88. (a) Uma sequéncia {a,} é definida recursivamente pela equacdo a, = $(dn-1 + Gn-2) para n = 3, onde a; € ax podem ser quaisquer ntimeros reais. Experimente com varios valores de a) € ad e use sua calculadora para descobrir 0 limite da se- quéncia. (b) Encontre lim,—.a, em termos de a; e a2 expressando fs) oo Ant) — An em termos de a2 — a; e somando uma série. AY. IN A \ A» 89. Considere a série S7-, n/(n + 1)!. fry 0 Teste da Integral e Estimativas de Somas Em geral é dificil encontrar a soma exata de uma série. Conseguimos fazer isso para as séries geométricas e a série 1/[n(n + 1)] porque em cada um desses casos pudemos encontrar uma formula simples para a n-ésima soma parcial s,. Mas geralmente nao é facil descobrir uma f6r- mula. Portanto, nas pr6ximas secdes, desenvolveremos varios testes que nos permitem deter- minar se uma série é convergente ou divergente sem encontrar sua soma explicitamente. (Em alguns casos, contudo, nossos métodos nos permitirao encontrar boas estimativas da soma.) Nosso primeiro teste envolve integrais improprias. Comecamos investigando as séries cujos termos sao os reciprocos dos quadrados de inteiros positivos. ytutyt,ytytyty, ~ : Z : . n Sn = > 7 Nao existe uma formula simples para a soma s, dos primeiros termos n, mas a tabela de va- i=i U lores aproximados gerada por computador dada na margem sugere que as somas patciais es- 5 14636 tao se aproximando de um ntimero préximo de 1,64 quando n — ~ e, assim, parece que a sé- 10 15498 rie € convergente. 50 1,6251 Podemos confirmar essa impressao com um argumento geométrico. A Figura | mostra a 100 1,6350 curva y = 1/x’ e retangulos colocados abaixo dela. A base de cada retangulo é um intervalo 500 1,6429 de comprimento 1; a altura é igual ao valor da fungdo y = 1/x? na extremidade direita do in- 1.000 1,6439 tervalo. 5.000 1,6447 y y= x area = e \ Po 0 1 2 3 4 5 x frea = 1 frea = 1 frea = 1 frea = L FIGURA 1 2? 37 4 5 646 CALCULO Dessa forma, a soma das areas dos retangulos é Peis ti tidy -y Po? Bog 5 nm n° Se excluirmos 0 primeiro retangulo, a drea total dos retangulos remanescentes sera menor que a 4rea sob acurva y = 1/x? para x = 1, que é 0 valor da integral \r (1/x*) dx. Na Secao 7.8, no Volume I, descobrimos que essa integral imprdépria é convergente e tem valor 1. As- sim, a figura mostra que todas as somas parciais so menores que + \ \ de =2 — —dy = i 1 x? Entao, as somas parciais sao limitadas. Também sabemos que as somas parciais sdo crescen- tes (porque todos os termos sao positivos). Portanto, as somas parciais convergem (pelo Teo- rema da Sequéncia Montona) e, dessa maneira, a série € convergente. A soma da série (0 li- mite das somas parciais) €é também menor que 2: yt-t,+,4,14, <2 2 n2 {2 22 32 4Y A soma exata dessa série encontrada pelo matematico suigo Leonhard Euler (1707-1783) é ny ’/6, mas a demonstrag4o desse fato é muito dificil. (Veja o Problema 6 em Problemas Quen- n Sn = x Vi tes, no Capitulo 15.) Agora vamos olhar para a série 5 3,2317 10 5,0210 —~ 1 1 1 1 1 1 ee tt me tet ett 50 12,7524 2 vn Vi v2 VB V4 OS 100 18,5896 500 43,2834 A tabela de valores de s, sugere que as somas parciais nao estao se aproximando de um nt- 1.000 61,8010 mero; assim, suspeitamos que essa série possa ser divergente. Novamente usamos um dese- 5.000 139,9681 nho para a confirmacio. A Figura 2 mostra a curva y = 1/,/x, porém dessa vez utilizamos re- tangulos cujos topos estao acima da curva. y yok Vx 0 1 2 3 4 5 * érea = —L érea = érea = —L érea = FIGURA 2 v1 2 NE} V4 A base de cada retangulo € um intervalo de comprimento 1. A altura é igual ao valor da funcgio y = 1/ x na extremidade esquerda do intervalo. Dessa forma, a soma de todas as areas dos retangulos é Pep ty ty ty bhieyH vi y2 V3 V4 VS m1 Vn Essa drea total é maior que a drea sob a curva y = 1/./x para x = 1, que é igual a integral fr (//x ) dx. Mas sabemos, a partir da Secao 7.8, no Volume I, que essa integral impropria é divergente. Em outras palavras, a area sob a curva é infinita. Assim a soma da série deve ser infinita; isto é, a série é divergente. O mesmo tipo de argumentacao geométrica que usamos para essas duas séries pode ser usado para demonstrar 0 seguinte teste. (A demonstragao é dada no fim desta se¢ao.) SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 647 0 Teste da Integral Suponha que f seja uma fungao continua, positiva e decrescente em [1, 2%) e seja a, = f(n). Entao a série ¥;-1 a, € convergente se, e somente se, a inte- gral impropria fr f(x) dx for convergente. Em outras palavras: (i) Se \ f(x) dx for convergente, entao S a, € convergente. 1 n=1 (ii) Se \ f(x) dx for divergente, entio S) a, é divergente. 1 n=1 OBSERVAGAO Quando vocé usar 0 Teste da Integral lembre-se de que nao é necessario co- megar a série ou a integral em n = |. Por exemplo, testando a série ——~ usamos —j dx naa (Nn — 3)° 4 (x — 3)? Também nao € necessario que f seja sempre decrescente. O importante é que f seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para x maior que algum ntimero N. Entao, Dr=n dn é convergente, e assim D;=1 a, € convergente pela Observacao 4 da Secao 11.2. (SQN Teste a série ra] quanto a convergéncia ou divergéncia. n=1 11 SOLUCAO A funcao f(x) = 1/(x* + 1) € continua, positiva e decrescente em [1, %) e assim usamos 0 Teste da Integral: \ 1 d li {' 1 d li t -| |; —>——_ dx = lim | ———_ dx = lim tg “x 1x?4+] roo JI x? + J mee ' . 1 7 TT TT =lim|tg ¢-—}=—-—=— I> 4 2 4 4 Entao, fr 1/(x? + 1) dx € uma integral convergente e, dessa forma, pelo Teste da Integral, a série 1/(n? + 1) € convergente. = nie 9 J ¢ (2G) Para que valores de pa série }) — € convergente? n=1 11 SOLUCAO Se p <0, entao lim, —. (1/n’) = %. Se p = 0, ent&o lim,—. (1/n’) = 1. Em qualquer dos dois casos, lim,-... (1/n”) ¥ 0, e, assim, a série dada diverge pelo Teste de Divergéncia (11.2.7). Se p > 0, entio a funcao f(x) = 1/x? é claramente continua, positiva e decrescente em [1, 0). Encontramos no Capitulo 7, [veja (7.8.2, no Volume I)] que Para usarmos 0 Teste da Integral, » 1 precisamos ser capazes de calcular j —, dx € convergente se p > 1 e divergente se p < 1 Jf) dx e, portanto, precisamos ser 1x capazes de encontrar uma antiderivada de J. Frequentemente é dificil ou impossivel, Segue do Teste da Integral que a série = 1/n” converge se p > 1 e diverge se0 < p <1. _ porisso precisamos de outros testes de (Para p = 1, esta é a série harmGnica discutida no Exemplo 8 da Seg4o 11.2). = convergéncia tambem. A série no Exemplo 2 é chamada série p. E importante para o restante deste capitulo; desse modo, resumimos os resultados do Exemplo 2 para referéncia futura como a seguir. 2. ul, ; [1] A série p >) —, € convergente se p > | e divergente se p < 1. n=1 11 (a) A série y 1 1 1 1 4 1 1 1 4 rat n> 3 23 33 4s € convergente porque ela é uma série p com p = 3 > 1. 648 CALCULO (b) A série ee ee ee n=1 nis n=1 Jn /2 J /4 é divergente porque ela é uma série p com p = i — converge ou diverge. n=1 NN SOLUCAO A fungio f(x) = (In x)/x é positiva e continua para x > 1 porque a funcio loga- ritmo é continua. Mas nao é obvio se f é decrescente ou nao; assim, calculamos sua derivada: (i/x)x -—Inx 1-—Inx f'() = > x x Entao f'(x) < 0 quando In x > 1, isto 6, x > e. Segue que f é decrescente quando x > ee podemos aplicar o Teste da Integral « Inx pr Inx (nx)? ‘ \ — dx = lim | — dx = lim ——— 1 x tooJl xX to>2 2 1 _ (Int? = lim ——— = © to ~ 2 Como essa integral impr6pria é divergente, a série > (In n)/n também € divergente pelo Teste da Integral. — MH Estimando a Soma de uma Série Suponha que possamos usar o Teste da Integral para mostrar que uma série > a, seja conver- gente e que queremos encontrar uma aproximacao para a soma s da série. Claro, qualquer soma parcial s, € uma aproximagao para s porque lim,,_... s, = s. Mas quao precisa é tal aproxima- ¢4o0? Para descobrirmos, precisamos estimar o tamanho do resto Ry = 8S = Sn = Ansi + Ans2 + Anz3 ++ °° , y= f(x) O resto R,, € 0 erro resultante de quando s,, a soma dos n primeiros termos, é utilizada como uma aproximagao para a soma total. ~~ Usamos a mesma notacao e ideias que no Teste da Integral, supondo que f seja decrescente PN em [n, ©). Comparando as reas dos reténgulos com a d4rea sob y = f(x) para x > nna Fi- | gura 3, vemos que —— Pe] T= - Ry = nvr + dia to Sf fC) dex 0 n x n FIGURA 3 De maneira semelhante, vemos, a partir da Figura 4, que Ri = Ane, + Ang. t°°° = { f(x) dx n+1 Assim, demonstramos a seguinte estimativa para o erro: SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 649 [2] Estimativa do Resto Para o Teste da Integral Suponha que f(k) = a;,, onde fé uma fun- y y= flax) ¢4o continua, positiva, decrescente para x = n e > a, € convergente. Se R, = 8 — Sy, entao ° | = lim | —- = + ad Ea n x? 100 2x? es or? 2n? 2n? (a) A aproximacgao da soma da série pela 10* soma parcial, temos yl Py4tyty 4 1,1975 —x5,=—+—+—4--- ~ I, An 8 Bp 2B 3 10° De acordo com a estimativa do resto em [2], temos Roe {" 1 d 1 1 = —_— ax = Oooo = 1 dio x3 2(10)2 200 Por conseguinte, o tamanho do erro é no maximo 0,005. (b) A precisao de 0,0005 significa que temos de encontrar um valor de n tal que R,, < 0,0005. Uma vez que R< [ 1 d 1 n=) =dax= 7, n x? 2n? 1 queremos =z < 0,0005 2n Resolvendo esta desigualdade, obtemos 1 nr’ > —— = 1.000 ou n> 1.000 ~ 31,6 0,001 Precisamos de 32 termos para garantir a precisao em 0,0005. = Se acrescentarmos s, para cada lado das desigualdades em [2], obtemos oo 00 Embora Euler tenha sido capaz de calcular [3] Sn + Is f(x) dx Ss SS + {, F(x) dx a soma exata da série p para p = 2, ninguém foi capaz de encontrar a soma exata por p = 3. No Exemplo 6, no como s, + R, = s. As desigualdades em [3] dio um limite inferior e um limite superior paras, &"aNto, vamos mostrar como estimativa Eles fornecem uma aproximacao mais precisa para a soma da série do que a soma parcial s,. essa soma. = 1 (OA Use 3] com n = 10 para estimar a soma da série }) —. n=1 SOLUCAO As desigualdades em [3] tornam-se «x | o | so + | dx 1/Jn. Para a série geral = a,, olhe as Figuras 5 e 6. A area do primeiro retangulo sombreado na Figura 5 é o valor de f na extremidade direita de [1, 2], isto é, [ (2) = az. Assim, comparando as dreas dos retangulos sombreados com a drea sob y = f(x) — Pp 8 y > de 1 até n, vemos que aas[a.fas[ PTa 0 ve c n 1 2 3 4 5 nx [4] a tay tos tay < |" fla) de FIGURA 5 (Observe que essa desigualdade depende do fato de f'ser decrescente.) Da mesma forma, a Fi- y __y=flx) gura 6 mostra que NO [5] ["F09) dx ap = 5n-1 i=1 e também s,,-; —> ©. Isso implica que s, — © e, assim, = a, diverge. — SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 651 Gel Exercicios 1. Faga um desenho para mostrar que 29-32 Encontre os valores de p para os quais a série é convergente. 2 4 «2 | — 1 — 1 _—__ 29. — 30. ————_—_" 2 ne ~ I x} dx 2 n(In n)? x nln n [In(In n)]? O que vocé pode concluir sobre a série? 2 = Inn : ~ , we 2)p 32. 5 2. Suponha que f seja uma funcao continua, positiva e decrescente 31. x n(1 + n*) "2p para x = lea, = f(n). Desenhando uma figura, coloque em or- dem crescente as trés quantidades: . . 33. A funcio zeta de Riemann ¢ é definida por 6 5 6 (x) dx aj a; = 1 fo xa gay = Y= . ae , n=1 3-8 Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente e € usada em teoria de mimeros para estudar a distribuicio de mi- ou divergente. . ‘ ae 24 2] meros primos. Qual é o dominio de £? 3 > > 4 Y= 34. Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com ml Yn ml nv p= 2: 5 S ft 6 S i "2 Qn +1) "vn +4 _vli_@r fx) = Ya=> 2% n 0 , n=1 N 6 7. S PaT 8. S re" Utilize este fato para encontrar a soma de cada série. n=1 1 n=1 00 a 1 1 —_— b —____ ON (a) x nv ( ) x (n + 1) 9-26 Determine se a série é convergente ou divergente (co) Sy 1 © a = 9 me - ~ One 9% Ys 10. 4+ 3n7\? _ ; ; 2 no 2 (n a) 35. Euler também descobriu a soma da série p com p = 4: o 4 1 ot. 1 _yi_z Welt+ot+ata +t (4) = a= OH 8 27 64 125 n=l 1 I 1 I Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série. 12.1 + = +H +H + > H+ « x 2/2 33 4/4 55 y (3) b) y —1L— (a) (b) 7 1 1 1 1 n=1 nN. k=5 (k _ 2) 13,.1+—+2+—4+—+4+--: ; , ; 3 5 7 9 36. (a) Encontre a soma parcial 519 da série y=: 1/n*. Estime o erro 1 1 1 1 1 cometido ao usar 519 como uma aproximacio para a soma da 4,.—-+—+—+—+—+--- ee 5 8 11 14 17 série. * Jn +4 2 (b) Utilize |3 | com n = 10 para dar uma estimativa melhorada da 5. >} ——— 16. >} ——— n=1 n nmin t+1 soma. % 1 ~ 3n-—4 (c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado 17. 2 w+ 18. x ne —2n no Exercicio 35. 2 x (d) Encontre um valor de n tal que s, represente a soma com pre- y Inn y 1 qd Pp. Pp 19. —_ 20. > 56H oe oS n+6nt+ B cisdo de 0,00001. . . 37. (a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da a. > I 22. > I série D1 1/n?. Quao boa é essa estimativa? 2 ninn n= n(In n)* ee _ y ; (b) Melhore essa estimativa usando comn = 10. 2. > <— 24. > a (c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado n= A n=3 € no Exercicio 34. 2. > 1 26. > fr (d) Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproxima- . 2 3 . 4 ml Tn mia +1 cao s ~ s, seja menor que 0,001. 38. Calcule a soma da série 2%; 1/n> com precisao de trés casas de- 27-28 Explique por que o Teste da Integral nao pode ser usado para cimais. determinar se a serie € convergente. . ; 39. Estime S7_, (2n + 1)~° com precisao de cinco casas decimais. 27. > OS TN 23. > Los ne 40. Quantos termos da série 5%- 1/[n(In n)”] vocé precisaria somar n=1 vn n=1 1+ nv. so para encontrar sua soma com preciso de 0,01? E necessario usar um sistema de computagao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 652 CALCULO 41. Mostre que, se queremos aproximar a soma da série D%-, n° 1°"! tem um limite. (O valor do limite é denotado por y e é chamado de maneira que o erro seja menor que 5 na nona casa decimal, en- constante de Euler.) téo precisamos somar mais que 10!!°! termos! (a) Desenhe uma figura como a Figura 6 com f(x) = 1/x e in- 42. (a) Mostre que a série 27; (In n)’/n? € convergente. terprete f, como uma drea [ou use [5]]para mostrar que 1, > 0 (b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximacg4o para todo n. S = Sy. (b) Interprete (c) Qual é o menor valor de n tal que esse limitante superior seja 1 menor que 0,05? th — tre: = [n(n + 1) — Inn] — ——— n+1 (d) Encontre s, para esse valor de n. 43. (a) Use para mostrar que, se s, é a n-ésima soma parcial da como uma diferenga de areas para mostrar que ft, — th+1 > 0. série harm6nica, entéo Portanto, {t,} é uma sequéncia decrescente. 141 (c) Use 0 Teorema da Sequéncia Monotona para mostrar que So=1+inn ‘ " {t,} € convergente. (b) A série harmOnica diverge, mas muito lentamente. Use a 45. Encontre todos os valores positivos de b para os quais a série parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhfo de ter- ye.1 b™”" converge. mos € menor que 15 e a soma do primeiro bilhao de termos é 46. Encontre todos os valores de c para os quais a seguinte série con- menor que 22. verge: 44. Use as seguintes etapas para mostrar que a sequéncia afc 1 h=1t++—4 44-1 3(£- = ZTRQ TT inn =1\n n+1 " an) n nl fr Os Testes de Comparacao Nos testes de comparag¢ao, a ideia € comparar uma série dada com uma que sabemos ser con- vergente ou divergente. Por exemplo, a série a 2 n=l 2" + 1 Se n 2 as ae 1 li. nos remete a série X;=1 1/2”, que € uma série geométrica com a = zer = 76, portanto, con- vergente. Como a série | 1 | € muito similar a uma série convergente, temos a impressdo de que esta também deve ser convergente. Na verdade, é. A desigualdade 1 1 xa 2" + 1 2 mostra que nossa série dada | 1 | tem termos menores que aqueles da série geométrica e, dessa forma, todas as suas somas parciais sao também menores que | (a soma da série geométrica). Isso significa que suas somas parciais formam uma sequéncia crescente limitada, que é con- vergente. Também segue que a soma da série é menor que a soma da série geométrica: - 1 y —<1 n=1 2" + 1 Argumentagao semelhante pode ser usada para demonstrar 0 seguinte teste, que se aplica apenas a séries cujos termos sao positivos. A primeira parte diz que, se tivermos uma série cu- jos termos sao menores que aqueles de uma série que sabemos ser convergente, entao nossa série também sera convergente. A segunda parte diz que, se comegarmos com uma série cu- jos termos sao maiores que aqueles de uma série que sabemos ser divergente, ela também sera divergente. 0 Teste de Comparagao Suponha que > a, e = b, sejam séries com termos positivos. (i) Se > b, for convergente e a, < b, para todo n, entao > a, também sera convergente. (11) Se = b, for divergente e a, = b, para todo n, entao > a, também sera divergente. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 653 DEMON STRAGAO E importante ter em mente a diferenga n n oo entre uma sequéncia e uma série. Uma (i) Seja Sin = Da; t= db; t= >b, sequéncia é uma lista de nimeros, enquan- i=1 i=l n=1 to que uma série 6 uma soma. Com cada Como ambas as séries tém termos positivos, as sequéncias {s,} e {t,} saio crescentes série > a, nao estao associadas duas (Sni1 = Sp + dni = Sp). Também t, — t, portanto, t, < t para todo n. Como a; < b;, temos — S*auencias: a sequencia {an} de termos e . . , oe . a sequéncia {s, } de somas parciais. Sn S t,. Assim, s, < t para todo n. Isso significa que {s,,} € crescente e limitada superiormente e, portanto, converge pelo Teorema da Sequéncia Monotona. Por conseguinte, = a, converge. (ii) Se > b, for divergente, entdo t, — © (porque {t,} é crescente). Mas a; = b;, assim, Sn = ty. Entao, s, — ©. Portanto, = a, diverge. 7 Ao usarmos 0 Teste de Comparacao, devemos, é claro, ter algumas séries conhecidas > b, . . hot x : Letace Séries padrao para usar no Teste de para o propésito de comparacao. Na maior parte do tempo usamos uma destas séries: Comparagao m Uma série p [= 1/n? converge se p > 1 e diverge se p < 1; veja (11.3.1)] m Uma série geométrica [= ar”' converge se |r| < 1 e diverge se |r| = 1; veja (11.2.4)] ; wa XN 5 ; (SER Determine se a série } —=—————— converge ou diverge. na) 2n’> + 4n + 3 SOLUCAO Para um n grande, o termo dominante no denominador é 2n?, assim, comparamos a série dada com a série = 5/(2n”). Observe que 5 5 2 < 2 2n° + 4n + 3 2n pois 0 lado esquerdo tem um denominador maior. (Na nota¢ao do Teste de Comparacio, a, é 0 lado esquerdo e b, € 0 lado direito.) Sabemos que y 5 5 y 1 n=1 2n° 2 n=1 n é convergente porque é uma constante vezes uma série p com p = 2 > 1. Portanto y 5 2n? + 4n + 3 € convergente pela parte (i) do Teste de Comparacao. = OBSERVAGAO 1 Emboraacondicio a, < b, oua, = b, no Teste de Comparacio seja dada para todo n, precisamos verificar apenas que ela vale para n = N, onde N é algum inteiro fixo, porque a convergéncia de uma série nao é afetada por um ntmero finito de termos. Isso é ilus- trado no proximo exemplo. ... yy mk . as a (OM Teste a série } a quanto a convergéncia ou divergéncia. k=1 SOLUCAO Usamos o Teste da Integral para testar esta série no Exemplo 4 da Secao 11.3, mas também podemos test4-lo comparando-o com a série harm6nica. Observe que k > | para k > 3 e assim Ink 1 —_ >— k=3 k k Sabemos que > 1/k é divergente (série p com p = 1). Ent&o, a série dada é divergente pelo Teste de Comparacao. | OBSERVAGAO 2. Os termos da série sendo testada devem ser menores que aqueles de uma série convergente ou maiores que aqueles de uma série divergente. Se os termos forem maio- res que os de uma série convergente ou menores que os de uma série divergente, entao o Teste de Comparagao nao se aplica. Considere, por exemplo, a série 654 CALCULO y n=1 2" — 1 A desigualdade 1 1 ———q«" > — 2" — 1 2” é inttil para ser usada com o Teste de Comparagaéo, porque > b, = = (5)" € convergente e Gn > b,. Mesmo assim, temos a impressao de que > 1/(2” — 1) deve ser convergente, pois ela é€ muito parecida com a série geométrica convergente > 3)". Em tais casos, 0 seguinte teste pode ser usado. Ds Peeeisos #0 e 41 lidam com os casos 0 Teste de Comparagao de Limite Suponha que = a, e = b, sejam séries com termos po- eee sitivos. Se li An im—=c n>» b, onde c €é um numero finito e c > 0, entéo ambas as séries convergem ou ambas as sé- ries divergem. DEMONSTRACAO Sejam m e M ntimeros positivos tais que m < c < M. Uma vez que a/b, esta proximo de c para um n grande, existe um inteiro N tal que an m< b N e, assim, mb, < ay, < Mb, quando n > N Se = b, convergir, entaéo X Mb, também converge. Entao, = a, converge pela parte (i) do Teste de Comparacgao. Se = b, divergir, entéo © mb, também diverge, e a parte (ii) do Teste de Comparacgao mostra que > a, diverge. _ ae. WI . as ae Siete) Teste a série > 1 quanto a convergéncia ou divergéncia. n=1 ~~ SOLUCAO Usamos o Teste de Comparacio no Limite com 1 1 pe e obtemos . an . YQ" 1) . 2" . 1 lim — = lim ———— = lim ——— = lim ————— = 1>0 noe b, nm 1/2" noe 2" — J] noe ] — 1/2" Como esse limite existe e © 1/2” € uma série geométrica convergente, a série dada converge pelo Teste de Comparacao no Limite. — SEY Determi Sri y ant ton di (S@RMFI Determine se a série }, ————= converge ou diverge. nt VO + n> e e SOLUCAO A parte dominante do numerador é 2n* e a parte dominante do denominador é Vn> = n*/?, Isso sugere tomar 2n? + 3n 2n? 2 a, = = b, =— = —> /5 + n3 nil? ni? lim 2 = Ij 2n? + 3n n'? i an??? + 3n3/ im — = lim ~>—— + ——— = Lim —S_ noe b, noe /5 + nd 2 noe 2,/5 + nd 3 2+— ki n 2+0 1 = im ——— = = n> 5 2/0+ 1 24/—~— +1 n SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 655 Como > b, = 2 > 1/n'/? € divergente (série p com p = ; < 1), a série dada diverge pelo Teste de Comparacao de Limite. | Observe que ao testar muitas séries, encontramos uma série de comparagao apropriada > b, mantendo apenas as poténcias mais altas no numerador e denominador. M8 Estimando Somas Se tivéssemos usado o Teste de Comparagao para mostrar que uma série > a, converge pela comparacgao com uma série > b,, poderiamos ser capazes de estimar a soma > a, pela com- paragao dos restos. Como na Secao 11.3, consideramos 0 resto Ri = S$ ~ Sn = Anti + Antz Fe Para a série de comparacao > b, consideramos o resto correspondente Tn = t — th = Dnoi + basa + an Como a, < b, para todo n, temos R, = T,. Se > b, € uma série p, podemos estimar seu res- tante T,, como na Se¢ao 11.3. Se > b, for uma série geométrica, entao T,, € a soma de uma sé- rie geométrica e podemos soma-la exatamente (veja os Exercicios 35 e 36). Em qualquer dos dois casos, sabemos que R,, € menor que T,,. (SQM Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar a soma da série > 1/(n3 + 1). Estime o erro envolvido nessa aproximacio. SOLUCAO Uma vez que 1 c 1 n+ nr a série dada é convergente pelo Teste de Comparacao. O resto T, para a série de compara¢gao > 1/n? foi estimado no Exemplo 5 da Sedo 11.3 usando a Estimativa do Resto para o Teste da Integral. La encontramos que r< [ 1 d 1 n=) s=dax= = n x? 2n? Portanto, o resto R,, para a série dada satisfaz 1 R, ST, = = 2n* Com n = 100, temos Rio S t 0,00005 100 = Fanny ~ VY 2(100)? Usando uma calculadora programavel ou um computador, encontramos que 2 | 100 1 zt * 2 a & 0,6864538 2a 2a com erro menor que 0,00005. || 656 CALCULO fr Exercicios 1. Suponha que > a, e > b, sejam séries com termos positivos e que se 1 ey > b, seja convergente. 31. > con +) 32. > ie (a) Sea, > b, para todo n, 0 que vocé pode dizer sobre = a,? Por ml nm qué? (b) Se a, < b, para todo n, 0 que vocé pode dizer sobre = a,,? Por 33-36 Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma qué? da série. Estime o erro. 2. Suponha que > a, e > b, sejam séries com termos positivos e que 33 Sy 1 34 y sen’n > b, seja divergente. a Unt +1 “a nw (a) Sea, > b, para todo n, o que vocé pode dizer sobre > a,? Por 5 ; 5 1 Q 35. 5" 36. —— que? n=1 cos n=1 3” + 4" (b) Se a, < b, para todo n, 0 que vocé pode dizer sobre = a,,? Por ee qué? 37. O significado da representacéo decimal de um ntimero 0,didod3... 3-32 Determine se a série converge ou diverge. (onde o algarismo d; é um dos ntimeros 0, 1, 2,..., 9) € que 20 % 3 n n 3 +> 4. > —— d, do d; dy no 2n? + 1 woni—1 O,didod3dy... = — + — +9 4+ tt pen an woes 10° 10? 10°" 104 5 > n+l 6. > n—1 Mostre que essa série sempre converge. mo nln mr s/n 38. Para quais valores de p a série Y= 1/(n” In n) converge? 39. Demonstre que, se a, = 0e >a, converge, entdo > a? também q g 7. S ot 8. S 43st converge. nat 3 + 10" nt 2" 40. (a) Suponha que > a, e > b, sejam séries com termos positivos e 9 > Ink 10. > i+ senn que > b, seja convergente. Demonstre que se ji ik n=0 10” lim“ = 0 nS 2, 3 CkK= DE =D tims iar Vk + 4k + 3 imi (k + IK + 4P entao = a, também € convergente. (b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem. 13 5, aretgn 14 y vn = Inn ww Ina “a nl “n-1 i) Ya di) 7 ml 1 m2 n=1 n=1 Vne 0 qn x 1 . ae we 5. > - 16. > 41. (a) Suponha que > a, e = b, sejam séries com termos positivos e na 3" — 2 mt V30" + 1 que > b, seja divergente. Demonstre que se wo 1 % 1 a 17. SS 18. —— im — = 2 Vn +1 2 2n +3 ims 19 Sy 1+ 4" 20 y n+ 4" Entio > a, também é divergente. “= 14 3" “2 n+ 6" (b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem. S 1 — Inn 2 a> “ i) > — (ii) Y — a. ye 2. y At 0 Inn min nat 22 +n + 1 na (n + I) 42. Dé um exemplo de um par de séries = a, e = b, com termos po- = 5 42n = n2— 5n sitivos para as quais lim, —- (a,/b,) = 0e> b, diverge, mas ¥ ap 23. 2 (+n)? 24. 2 ment converge. (Compare com o Exercicio 40.) i 1 43. Mostre que, se a, > 0 e lim,—. na, ~ 0, entéo a, é diver- 2 (ATT x vee —_ ente. 25. 2 w+ n 26. 2 nj/v — 1 ‘ x n=l n=2 44. Mostre que, se a, > Oe > a, for convergente, entéo > In(1 + an) es 1\2 2 pl/n é convergente. 27. x I+ n e" 28. x n 45. Se > a, for uma série convergente com termos positivos, é ver- dade que > sen(a,,) também seré convergente? 29 y I 30. y Al 46. Se Xa, e > b, forem ambas séries convergentes com termos po- n= ni! n= in" sitivos, é verdade que > a,b, também sera convergente? 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 657 ir Séries Alternadas Os testes de convergéncia que estudamos até aqui se aplicam apenas a séries com termos po- sitivos. Nesta segao e na préxima aprenderemos como lidar com séries cujos termos nao sao necessariamente positivos. De particular importancia sao as séries alternadas, cujos termos se alternam no sinal. Uma série alternada é aquela cujos termos s4o alternadamente positivos e negativos. Aqui estao dois exemplos: 1 1 1 1 1 — 1 1--4+>-—4+2-[4---=3(-17- 2 3 4 #5 6 n=l n 1 2 3 4 5 6 ~ n a Ss (-1)" —— 2 3 4 #5 6 7 n=l n+1 Vemos desses exemplos que 0 n-ésimo termo de uma série alternada é da forma dn =(-1)"'b, ou a, = (—1)"by onde b, € um nimero positivo. (De fato, b: = | an|.) O teste a seguir diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, entao a série converge. Teste da Série Alternada Se a série alternada S (-1)" 1b, = b) — by + bs — bg + bs — Dg He b, >0 n=1 satisfaz Gi) Dati S Dn para todo n (ii) lim b, = 0 n> entao a série é convergente. Antes de demonstrarmos, vamos olhar a Figura 1, que esboga a ideia por tras da demons- tragao. Primeiro tragamos s,; = b, sobre a reta real. Para encontrarmos s2, subtraimos b2; as- sim s2 esta 4 esquerda de s). Entéo, para encontrarmos s3, adicionamos b3; assim, s3 esta a di- reita de s>. Mas, como b; < bp, s3 esta A esquerda de s;. Continuando dessa maneira, vemos que as somas parciais oscilam de um lado para outro. Como b,, — 0, as etapas subsequentes vao se tornando cada vez menores. As somas parciais pares 52, $4, 56, . . . SAO Crescentes e as somas parciais impares s), 53, Ss, . . . SAo decrescentes. Entéo, parece plausivel que ambas es- tejam convergindo para algum numero s, que € a soma da série. Portanto, consideramos as so- mas parciais pares e {mpares separadamente na demonstra¢4o a seguir. b, FIGURA 1 0 So S4 S6 s Ss S3 Sy 658 CALCULO DEMONSTRACAO DO TESTE DASERIEALTERNADA Primeiro consideramos as somas parciais pa- res: H=b-h=0 uma vez que by S b, $4 = 8. + (bs — by) = So uma vez que by < b; Em geral Son = Son—2 + (Don-1 — bon) & Son—2 uma vez que boy S don; Logo 0S S 54S 86 S00 S Syn S °° Mas podemos escrever também Son = by — (bo — bs) — (ba — bs) — ++ * = (Don-2 — Ban-1) — Don Cada termo entre parénteses é positivo, portanto 52, < b; para todo n. Dessa forma, a sequéncia {52} de somas parciais pares é crescente e limitada superiormente. E, portanto, convergente pelo Teorema da Sequéncia Monotona. Vamos chamar esse limite de s, isto é, lim s2, = s Agora, calculamos o limite das somas parciais impares: lim S2nt+1 = lim (Son + bon+1) A Figura 2 ilustra o Exemplo 1 mostrando = lim s», + lim Don+) 0s graficos dos termos a, = (—1)""'/ne no no as somas parciais s,. Observe como os =s5s+0 oo. valores de s,,. ziguezagueiam em torno de ~s [pela condigao (ii)] valor limite, 0 que parece ser cerca de 0,7. =s5 Na verdade, pode-se provar que a soma exata da série € In 2 ~ 0,693 (ver . . : Exercicio 36). Como ambas as somas parciais pares e {mpares convergem para s, temos lim, Sn = Ss [veja o Exercicio 92(a) na Secao 11.1] e, assim, a série é convergente. Seti A série harmGnica alternada 1 ° . {s,h 1 1 1 4 (=i! ee p-4t44 Fy. yO Ce eters 2 ' 3 4 o n . satisfaz i 1 . {a,} Gi) Dati < Dn uma vez que —_ < — eee ee. n+l n 0 Tee eee eee eee eee . ; ; 1 a ” Gi) lim b, = lim — = 0 . n> no n logo, a série € convergente pelo Teste da Série Alternada. — EXEMPLO 2 WAce y (“130 stterad FIGURA 2 série “in é€ alternada, mas . . 3n . 3 3 lim b, = lim ——— = lim ——— = — n> nox 4n— 1 nox 1 4 4 —_ — n assim, a condi¢ao (ii) nao é satisfeita. Em vez disto, olhamos para 0 limite do n-ésimo termo da série: ; _ (—1)"3n lim a, = im ————_ n> n>x 4n — 1 Este limite nao existe, logo a série diverge pelo Teste da Divergéncia. = SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 659 oo 2 vie nt+1 n . A . . A . (SQNEE Teste a série 4 (—1) 3 py quanto & convergéncia ou divergéncia. n=1 n SOLUCAO A série dada é alternada; assim, tentamos verificar as condicGes (i) e (ii) do Teste da Série Alternada. Ao contraério da situagao no Exemplo 1, nao é 6bvio que a sequéncia dada por b, =n’/(n? + 1) seja decrescente. Contudo, se considerarmos a func&o associada f(x) = x?/(x? + 1), descobriremos que x(2 — x3) (x? + 1) Como estamos apenas considerando x positivo, vemos que f(x) < 0 se 2 — x? < 0, isto é,x > n Entao, a série dada € convergente pelo Teste da Série Alternada. | Mi Estimando Somas Uma soma parcial s, de qualquer série convergente pode ser usada como uma aproximacao para a soma total s, porém isso nao é de muita utilidade, a menos que possamos estimar a precisdo da aproximagao. O erro envolvido usando s ~ s, € 0 resto R, = s — s,. O proximo teorema diz que, para séries que satisfazem as condicdes do Teste da Série Alternada, 0 tamanho do erro é menor que b,+1, que € o valor absoluto do primeiro termo negligenciado. Teorema da Estimativa de Séries Alternadas Se s = > (—1)""'b, for a soma de uma série alternada que satisfaz @) Dist Sd, e (i) lim b, = 0 entao, |R,| = |s — si] < Davi DEMONSTRAGAO Sabemos pela demonstraciio do Teste da Série Alternada que s esta entre duas somas parciais consecutivas quaisquer s,, € S,+,. (Mostramos que s é maior que todas as somas até mesmo parciais. Um argumento similar mostra que s é menor que todas as somas impares.) Segue-se que Por definigdo, O! = 1. |s — Sn] S| Sne1 — Sn] = Drv = ww (—1)" ; . (22 Encontre a soma da série >) fy" ) com precisdo de trés casas decimais. n=0 Nn. SOLUCAO Primeiro observamos que a série é convergente pelo Teste da Série Alternada, por- que (i) 1 1 c 1 i ———_ = —_- << — (n + 1)! ni(n+1) nl . 1 1 1 Gi) O<—<—-—~0 logo —-—O0 quando nx n! n n! Para termos uma ideia de quantos termos precisamos usar em nossa aproxima¢ao, vamos es- crever Os primeiros termos da série 660 CALCULO 1 1 1 1 1 1 1 1 SS sata to rotors ete 0! 1! 2! 3! 4! 3! 6! 7! 11 I I I 1 =1-—1+ 37-6 +24 — in + 700 — 50 + °° Observe que by = sw < sem = 0,0002 e ss =1—1+3—-¢+ 5 — i + 7 ~ 0,368056 Na Segdo 11.10 demonstraremos que . . .. e* = S%ox"/n! para todo x, assim, 0 Pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que que obtivemos no Exemplo 4 é realmente uma aproximacao para o ntimero e~!. | s — s6| < by < 0,0002 Esse erro menor que 0,0002 nao afeta a terceira casa decimal, assim, temos s ~ 0,368 com precisao de trés casas decimais. a M oOBsERVACAO A regra de que 0 erro (ao usar s, para aproximar s) é menor que o primeiro termo negligenciado é, em geral, valida apenas para séries alternadas que satisfazem as condig6es do Teorema da Estimativa da Série Alternada. A regra nao se aplica a outros tipos de séries. ir Exercicios 1. (a) O que é uma série alternada? mada da soma da série. Em seguida, use 0 Teorema de Estimativa de (b) Sob que condigées uma série alternada converge? Séries Alternadas para estimar a soma correta para quatro casas de- (c) Se essas condigées forem satisfeitas, o que vocé pode dizer so- cimais. i ? — (—0,8)" < - bre o resto depois de n termos _ a) ( ) 2. > (—1)" a 2-20 Teste a série quanto a convergéncia ou divergéncia. n=l n! n=l 8" 2 2 2 2 2 — 20 375t77-9+tn 77 ‘> 4 6 8 WO 23-26 Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série pre- 3. i +6 1 7+ 8 L ot ' 7 i cisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisdo indicada? 4. a ~ — jy"! v2 va v4 V5 Vo 23. > cy (| erro | < 0,00005) o (=)! _ (-1)"! mi On 5 ye a yy _ = (—1)" n=1 2n+ 1 n=1 In(n + 4) 24. S nS" (| erro | < 0,0001) n=1 1 < 3n—1 ~ n S (-1)" 7. — 1)" ——— 8. “YS 25. —— ({erro| < 0,000005 2 (CD 2nt+ 1 2 CD Vn +2 2 10"n! (| | ) < n < Jn — ae 9. —1)"— 10. —1)’—-— 26. —1)""'ne™ erro| < 0,01 2 ( ) 10” 2 ( ) 2n + 3 2 ( ) ( | ) oo n2 oo elln OO Ww. Y (-1)"! aA 12, > (-1)"!— 27-30 Aproxime a soma da série com a precisao de quatro casas de- n=1 n+4 n=1 n + . cimais. 13. -1 n-12/n 14. —1 n-1 t 20 —])" 0 -] n+1 Zope 2 OD aretg n a 5 CV" a 5 CU ea 1 x n=1 (2n)! n=1 n 5 sen(n + 5)a 1. S n COs nt 5 5 TTT ls n 2 (-])"- 2 (—1)" n=0 1 + Jn n=1 2 29. S ( ) n 30. S ( ) oo oo T n=1 10” n=1 3"n! 7 17. S (-1)" co =) 18. S (-1)" cos(=) n=1 n n=1 n » , » 31. A 50* soma parcial ss) da série alternada S¥_; (—1)""'/n € uma 19. S (-1)" = 20. > (-1)"(/n + 1 - Vn) superestimativa ou uma subestimativa da soma total? Explique. n= n! ‘ 32-34 Para quais valores de f cada série é convergente? ON cl —| n-1 21-22 Faga o grafico de ambas as sequéncias de termos e de somas par- 32. 3) or ciais na mesma tela. Use 0 grafico para fazer uma estimativa aproxi- min E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 661 33 y (-1)" 34 y pe (Inn)? Sejam h, e s, as somas parciais das séries harmOnica e harmGnica “Eint+p a (“1) n alternada. (a) Mostre que S2n = han — In. 35. Mostre que a série © (—1)""'b,,, onde b, = 1/n se n for impar, e (b) Do Exercicio 44 da Segao 11.3 temos b, = 1/n’ se n for par, é divergente. Por que 0 Teste da Série Al- h, -Inn>y quando n> ternada no se aplica? e, portanto, 36. Use as seguintes etapas para mostrar que hy, — In(2n) > y quando n> © y (-)"" =In2 Use esses fatos junto com a parte (a) para mostrar que 52, — In 2 nm=1 oN quando n > », ir Convergéncia Absoluta e os Testes da Razao e da Raiz Dada qualquer série = a,, podemos considerar a série correspondente 2X |an| = ai] + Jao] + fas] ++ n=1 cujos termos sao os valores absolutos dos termos da série original. Temos testes de convergéncia para séries [1] Definic¢ao Uma série = a, é dita absolutamente convergente se a série de valores com termos positivos e para séries absolutos > | a | for convergente alternadas. Mas 0 que acontece se os " & . sinais dos termos mudarem irregularmente? Veremos no Exemplo 3 que a ideia de Observe que, se > a, for uma série com termos positivos, entao |a,| = a, e, assim, a con- convergencia absolut algumas vezes ajuda vergéncia absoluta é a mesma coisa que a convergéncia nesse caso. , EET A série & (-1)"! 1 1 1 YF l- star gt n=1 n 2 3 4 é absolutamente convergente porque Sf (-1"! = 1 1 1 1 » 2 =Y’ol+Ht+wtgt n=1 n n=1 2 3 4 é uma série p convergente (p = 2). = (SQM) Sabemos que a série harmonica alternada S (-)"! 1 1 1 y oN ty tet... n=1 n 2 3 4 € convergente (veja o Exemplo | da Secdo 11.5), mas nao é absolutamente convergente, por- que a série de valores absolutos correspondente é S|(-)"! = 1 1 1 1 > |—_—| = -=l+-4+54+-4+°-:: n=1 n n=1 2 3 4 que é a série harmGnica (série p com p = 1) e é, portanto, divergente. = [2] Definigao Uma série S a, é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas nao for absolutamente convergente. O Exemplo 2 mostra que a série harm6nica alternada € condicionalmente convergente. En- tao, € possivel uma série ser convergente, porém nao absolutamente convergente. Contudo, o proximo teorema mostra que a convergéncia absoluta implica convergéncia. 662 CALCULO [3] Teorema Se uma série > a, for absolutamente convergente, entao ela é convergente. DEMONSTRACAO Observe que a desigualdade Osa, + | a, | < 2\a,| € verdadeira porque |a,| é a, ou —a,. Se > a, for absolutamente convergente, ent&o = | a,| é convergente, assim © 2| a,,| € convergente. Portanto, pelo Teste da Comparagiio, ¥ (a, + |a,|) é convergente. Entao, Yan =X (an + lanl) — Y an é a diferenga de duas séries convergentes e é, portanto, convergente. = | (S\iet0e) Determine se a série —~ cosn cos l cos2 cos3 » yp tp n=1 n 1 2 3 é convergente ou divergente. A Fie | mostra os grains dos termos SOLUCAO Essa série tem termos positivos e negativos, mas nado é€ alternada. (O primeiro n€ aS somas parclals s, da serie , ue se A ~ : A . ~ oe . . . Exemplo 3 Observe que a série nao termo é positivo, os proximos trés s4o negativos e os trés seguintes s4o positivos. Os sinais é alternada, mas tem termos positivos trocam irregularmente.) Podemos aplicar 0 teste de comparacgdo com a série de valores abso- e negativos. lutos S cos n S |cos n| . n=1 n n=1 n 0,5 , {s } Uma vez que |cos n| < 1 para todo n, temos _ - |cos n| 1 _ = — n n {a,} de os . 24 0 as Sabemos que > 1/n’ € convergente (série p com p = 2)e, assim, = | cos n|/n* é convergente .. pelo Teste da Comparacio. Entao a série dada = (cos n)/n’ € absolutamente convergente e, por- tanto, convergente pelo Teorema 3. — FIGURA 1 O teste a seguir é muito util para determinar se uma série dada é absolutamente convergente. 0 Teste da Razao . . Qn+1 ~ ye — , (i) Se lim |——] = L < 1, entdo a série S a, € absolutamente convergente ne an n=1 (e, portanto, convergente). o . Qn+1 . Qn+1 ~ poe a Gi) Se lim |——]| = L > 1 ou lim |——_| = ©, entdo a série S An no an no an n=1 é divergente. wee . Qn+1 ~ pe . . (iii) Se lim |——| = 1, o Teste da Razao é inconclusivo, ou seja, nenhuma n=] dp, conclusao pode ser tirada sobre a convergéncia ou divergéncia de > ay, DEMONSTRAGAO (i) A ideia é comparar a série dada com uma série geométrica convergente. Como L < 1, podemos escolher um ntimero r tal que L < r < 1. Uma vez que : Qn+1 lim |——| = L e L N Colocando n sucessivamente iguala N,N + 1,N + 2,...em [4], obtemos |av+i] < |an|r | av+2| < |anailr< | ay |r? | an+3| < |aws2|r< Jaw |r? e, em geral, [5| |an+xr| <|aw|r* — paratodok = 1 Agora, a série S |ay|r* = |ay|r + | ay |r? + Jay |r? tee k=1 €é convergente porque é uma série geométrica com 0 < r < 1. Assim, a desigualdade [5], junto com o Teste da Comparacao, mostra que a série > |a,,| = > | av+e| = | ant | + | av+2 | + | avs | oe n=N+1 k=1 também é convergente. Segue que a série S71 | a, | € convergente. (Lembre-se de que um nt- mero finito de termos nao afeta a convergéncia.) Portanto, > a, € absolutamente convergente. (ii) Se |an+1/an | L > 1 ou | an+i/an|— %, entdo a razao | an+1/an| eventualmente sera maior que 1; isto é, existe um inteiro N tal que An+1 —|>1 sempre que n = N an Isso significa que |d,+1| > |a,| quando n = N, e assim lim a, ~ 0 n> Portanto, > a, diverge pelo Teste da Divergéncia. a OBSERVACAO A parte (iii) do Teste da Raz&o diz que, se lim, |@n+1/dn| = 1, 0 Teste da Razao nado da nenhuma informac4o. Por exemplo, para a série convergente = 1/n* temos 1 An+1 (n + 1)° n 1 | = —_—— = —_|”}y. =§ ——_, > 1 quando n— © an 1 (n + 1) 1 n n enquanto para a série divergente > 1/n temos 1 An+1 nt+1 n 1 — | = —_ = — = 1 quando n— An 1 n+1 1 ~ . _ 1+— O teste da razdo é geralmente conclusivo n n se 0 n-ésimo termo da série contém um Portanto, se lim, —« | @n+1/an| = 1,a série = a, pode convergir ou divergir. Nesse caso, 0 Teste —_exponencial ou fatorial, como veremos nos da Razio falha e devemos usar outro teste. Exemplos 4 ¢ 5. 664 CALCULO co nw (Set) Teste a série S (—1)" 3H quanto 4 convergéncia absoluta. n=1 Estimando Somas SOLUCAO Usamos o Teste da Razio com a, = (—1)"n3/3": _4)yrtl 3 Nas Ultimas trés segdes, usamos varios (-D™i@ + métodos para estimar a soma de uma série Anti | gn! _ (n+ 1) 3” — 0 método dependia de qual teste era a ~ ea. ntl . nw usado para demonstrar a convergéncia. 0 " —_;, que acontece com a série para a qual o 3 Teste da Razao funciona? Existem duas 3 3 possibilidades: se a série for alternada, _ I n+l _ 1 1+ I a 1 <1] como no Exemplo 4, entao 6 melhor usar 3 n 3 n 3 os métodos da Secao 11.5. Se os termos sao todos positivos, entao use os métodos Entao, pelo Teste da Razio, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, conver- especiais explicados no Exercicio 38. gente = . cn" SAME Teste a convergéncia da série } —: n=1 Ne SOLUCAO Como os termos a, = n"/n! sdo positivos, nao precisamos dos simbolos de valor absoluto. ant (nt 1"! nl (ant In+1)" a} an (n+ 1)! nn” (n + 1)n! n" n+1\" 1 \" = |——] =|{1+-—-] —e quando n> © n n (Veja a Equacao 3.6.6, no Volume I). Uma vez que e > 1, a série dada é divergente pelo Teste da Razao. — OBSERVAGAO Embora o Teste da Raz&o funcione no Exemplo 5, um método mais simples é usar o Teste para Divergéncia. Uma vez que n" n . n . n eevee e n a, = = 2 n! 1°2-3-++s en segue que a,, nao tende a 0 quando n — ~. Portanto a série dada é divergente pelo Teste para Divergéncia. O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando n-ésimas poténcias ocorrem. Sua demonstrag¢ao é semelhante 4 demonstragao do teste da razdo e € deixada como Exercicio 41. 0 Teste da Raiz Gi) Se lim ¥ | an | = L < 1, entao a série S a, € absolutamente convergente ne n=1 (e, portanto, convergente). (ii) Se lim ¥//a,| =L> 1 ou lim ¥/Ja,| =~, entioasérie > a, é divergente. no no n=l (iii) Se lim | a, | = 1, o Teste da Raiz nao é conclusivo. Se lim,» V|an| = 1, ent&o a parte (iii) do Teste da Raiz diz que o teste nao da infor- macao. A série = a, pode convergir ou divergir. (Se L = 1 no Teste da Razao, nao tente o Teste da Raiz, porque L sera novamente 1. E se L = 1 no Teste da Raiz, nao tente o Teste da Ra- Za0, pois ele também falhara.) aoe .. wf 2n+3 \" SVAN Teste a convergéncia da série 4) { ——— } . n=1 3n+2 SOLUCAO 2n + 3 \" an = | —— 3n + 2 SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 665 3 2+— h 2n + 3 n 2 Ya] == =—*+ 54 <1 3n +2 2 3 34+ — n Entao, a série dada converge pelo Teste da Raiz. | M8 Rearranjos A questao de uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente tem importancia na questéo sobre se somas infinitas se comportam ou nao como somas finitas. Se rearranjarmos a ordem dos termos em uma soma finita, entao é claro que o valor da soma permanecera inalterado. Mas esse nao é sempre 0 caso para uma série infinita. Por um rear- ranjo de uma série infinita = a, queremos dizer uma série obtida simplesmente mudando a or- dem dos termos. Por exemplo, um rearranjo de = a, poderia comecar como a seguir: a, + dy + a5 + a3 + 4 + G15 + Ap + a7 + Ax + °°? Ocorre que se } a, € uma série absolutamente convergente com soma s, entao qualquer rearranjo de = a, tem a mesma soma s. Contudo, qualquer série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para dar uma soma diferente. Para ilustrarmos esse fato, vamos considerar a série harmG6nica alternada 1 1 1 1 1 1 1 _ [6| 1-543 -74+5-G4+7-3t-°:=In2 : os ~ coq Zs 1 (Veja o Exercicio 36 na Segao 11.5.) Se multiplicarmos esta série por 5, obtemos 1 1 1 1 1 a-atGgr-gteoc: Hzln2 Inserindo zeros entre os termos dessa série, teremos A soma desses zeros nao afeta a soma 0+5+0-44+0+i+0-;4+:::=4In2 da série; cada termo na sequéncia de somas parciais 6 repetido, mas o limite é 0 mesmo. Agora adicionamos as séries nas Equacées 6 e 7 usando o Teorema 11.2.8: 1 1 1 1 1 _ 3 1+3-3g4+54+7-q4+---=31n2 Observe que a série em [8] contém os mesmos termos que em [6], mas rearranjados de modo que um termo negativo ocorra depois de cada par de termos positivos. As somas dessas séries, contudo, sao diferentes. De fato, Riemann demonstrou que se > a, for uma série condicionalmente convergente e r for qualquer nimero real, entao existe um rearranjo de > a, que tem uma soma igual ar. Uma demonstragao desse fato é delineada no Exercicio 44. ir Exercicios 1. O que vocé pode dizer sobre a série = a, em cada um dos se- Gna guintes casos? () lim a, | 1 n . | Ant . Ant1 2-30 Determine se a série é absolutamente convergente, condicional- (a) lim |—| = 8 (b) lim |——| = 0,8 . n>=] Ay n—~| dy mente convergente ou divergente. 1. As Homeworks Hints estao disponfveis em www.stewartcalculus.com 666 CALCULO 2 y (—2)" 35. Para quais das seguintes séries o Teste da Raz&o nao é conclusivo A we (isto é, ele nao da uma resposta definida)? 2 oy os n 2 4 an 3. —_ 4. -1)"!'——— a = b —_ 2 5" 2 ( ) nv +4 ( ) 2 n ( ) 2 Qn ~ (-1)""! % (—3)" 2 (__)\n-1 % 5. Ya . >i (3) vn nl Vn n=0 (2n + 1)! (©) 2 Jn (d) 2 1 + n? x = al Lo. we aa, 9 7. K(2)# 8. 36. Para quais inteiros positivos k a série € convergente? 2 (3) 2 100" y (nl? < 1,1)" < n 1 (kn)! 9. —1)"—- 10. PLS 2 CD n* > CD vn +2 37. (a) Mostre que Yn=0 x"/n! converge para todo x. " Sy (-1)"el”" 2 y sen 4n (b) Deduza que lim, ....x"/n! = 0 para todo x. a n a= A" 38. Seja > a, uma série com termos positivos e seja rn = An+1/An. Su- s 10” y nal n22" ponha que lim,—. 7, = L < 1, assim, > a, converge pelo Teste 13. (n+ 1427! 4. Z (-)) nl da Razao. Como habitualmente, faga R, ser 0 resto depois de n ter- S (-1)" arctgn »~ 3—cosn mos, isto é, 5. > ( “ gr 16. > ae Ry = nti + Quin + Gnsg Fee n=1 n=1 ~ (a) Se {r, } for uma sequéncia decrescente er,+; < 1, mostre, pela x h oy q Pp 7.5 (-1" 12. > nM soma de uma série geométrica, que n=. Inn fa n" a R, < Sal cos(n7/3) Ss (—2)" 1 — Past 19. 2 n! 20. 2 n” (b) Se {r,} for uma sequéncia crescente, mostre que © ne+1\ oo ~2n 5n R< an+1 21. —— 22. — " — 3(444) 3 (=) . ! L 5 39. (a) Encontre a soma parcial ss da série =: 1/(n2”). Use 0 Exer- ia " % ! . . : 2. > ( 1+ 1) 24. > (ny cicio 38 para estimar o erro ao usar 55; como uma aproxima- n=l n nt (nt) cao da soma da série. 25 y n'100" 26 y ar (b) Encontre um valor de n tal que s, represente a soma com pre- ae n!} “= n! ciséo de 0,00005. Use este valor de n para a soma aproximada 1:3 1°3°5 1°3°5°7 da série. 27. 1 — 3) + 5! ~ 7 bree 40. Utilize a soma dos primeiros dez termos para aproximar a soma da série 1°3°5+++++(Qn—-1 oo + (-1)"" ( n ) fee. y4 (2n — 1)! na 2" Use o Exercicio 38 para estimar o erro. 28. 2 +4 2:6 +4 2:6-10 +4 2:6-10-14 foe. 41. Prove o teste de raiz. [Dica para parte (i): Tome qualquer nimero 5 5°8 5-8-1] 5+8-11:14 r tal que L (-1)" > » fa 5+8+11--+++ Bn 2) 1 22 s (4n)\(1.103 + 26.390n) as a 9.801 j= (n!)*396*" 31. Os termos de uma série séo definidos de forma recursiva pelas William Gosper usou esta série em 1985 para calcular os pri- equagoes meiros 17 milhdes de algarismos de 77. Sn +1 (a) Verifique que a série é convergente. a,=2 anv = an 43 An (b) Quantas casas decimais corretas de 7 vocé obtém se usar ape- n D . 5 di nas 0 primeiro termo da série? E se usar dois termos? etermine se Gn converse ou IWeTES- 43. Dada uma série qualquer > a, definimos uma série = at cujos ter- 32. Uma série > a, é definida pelas equag6es ~ we ae oo mos sao todos termos positivos de = a, e uma série > a; cujos ter- 2+ cosn mos sao todos termos negativos de > a,. Para ser especifico, seja a,=1 Ant) = —F=— An vn aint |an| an — | An Determine se > a, converge ou diverge. as = 2 Gn = 2 33-34 Seja {b,} uma sequéncia de numeros positivos que converge Observe que, se a, > 0, entio at = a, e a; = 0, ao passo que, se para 5. Determine se a série dada é absolutamente convergente. Gn <0, entio az = a, eat = 0. "COS NT i —1)"n! a) Se > a, for absolutamente convergente, mostre que ambas as 33 y Db 34 y (a) Se = a, for absol g q b a n “nb bob3...Dp séries = a e = a; sio convergentes. (b) Se 5 a, for condicionalmente convergente, mostre que ambas as séries = aj e > a; sao divergentes. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 667 44. Demonstre que se > a, for uma série condicionalmente conver- 45. Suponhamos que a série > a,, seja condicionalmente convergente. gente e r for qualquer numero real, ent4o existe um rearranjo de (a) Demonstre que a série = na, € convergente. > da, que tem uma soma r. [Dicas: Use a notagao de Exercicio 43. (b) A convergéncia condicional de = a, nao é suficiente para de- Tome apenas termos positivos suficientes aj de modo que a sua terminar se > na, é convergente. Mostre isso dando um exem- soma seja maior que r. Em seguida, adicione 0 menor ntimero de plo de uma série condicionalmente convergente tal que > na, termos negativos a; de modo a que a soma seja menor que r. Con- converge e um exemplo em que > na, diverge. tinue assim e use 0 Teorema 11.2.6.] cd Estratégia para Testes de Séries Agora temos diversas maneiras de testar a convergéncia ou divergéncia de uma série; 0 pro- blema é decidir qual teste usar em qual série. Nesse aspecto, testar séries é similar a integrar fungdes. Mais uma vez, nao ha regras certeiras e rapidas para determinar qual teste aplicar em cada série, mas vocé pode achar os conselhos a seguir proveitosos. Nao é uma boa estratégia aplicar uma lista de testes em uma ordem especifica até que um deles finalmente funcione. Isso seria uma perda de tempo e esforgo. Em vez disso, como na integragao, a principal estratégia é classificar a série de acordo com sua forma. 1. Se asérie for da forma > 1/n’, ela € uma série p que sabemos ser convergente se p > 1 e divergente se p < 1. 2. Sea série tiver a forma > ar" ' ou > ar", ela € uma série geométrica, que converge se |r| < 1ediverge se |r| = 1. Algumas manipulacGes algébricas podem ser necessérias para deixar a série dessa forma. 3. Sea série tiver uma forma similar a uma série p ou a uma Série geométrica, entéo um dos testes de comparacao deve ser considerado. Em particular, se a, for uma fungao racional ou uma func¢ao algébrica de n (envolvendo raizes de polindmios), a série deve ser compa- rada com uma série p. Observe que a maioria das séries nos Exercicios 11.4 tem essa forma. (O valor de p deve ser escolhido como na Secao 11.4, mantendo apenas as poténcias mais altas de n no numerador e denominador.) Os testes de comparagao se aplicam apenas a sé- ries com termos positivos, mas, se > a, tiver alguns termos negativos, entéo poderemos apli- car o Teste da Comparagao em = | a,,| e testar a convergéncia absoluta. 4. Se lim,—+ a, ¥ 0, o Teste para Divergéncia deve ser usado. 5. Seasérie for da forma > (—1)""'b, ou = (—1)"b,, entao o Teste da Série Alternada é uma possibilidade obvia. 6. Séries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma constante elevada a n- -ésima poténcia) sao com frequéncia testadas convenientemente usando-se o Teste da Ra- zo. Tenha em mente que | a,+:/a,|—> 1 quando n —> © para todas as séries p e, portanto, todas as fung6es racionais ou algébricas de n. Entao, o Teste da Razao nao deve ser usado para tais séries. 7. Se a, for da forma (b,)", o Teste da Raiz pode ser titil. 8. Sea, = f(n), onde |” f(x) dx € facilmente calculada, entio o Teste da Integral € eficaz (sa- tisfeitas as hipdteses para este teste). Nos proximos exemplos nao faremos todos os célculos, mas simplesmente indicaremos quais testes devem ser usados. Eo y -— n=1 2n+ 1 1 : A : Como a, — 3 # 0 quando n — , devemos usar o Teste para Divergéncia. | Eom y n=1 313 + An? + 2 668 CALCULO Como a, € uma funcao algébrica de n, comparamos a série dada com uma série p. A série de comparacaéo para o Teste de Comparacao de Limite é > b,, onde Jn3 n3/2 1 b, = = = — 3n3 3n3 3n3/2 Saee > ne” n=1 Como a integral fr xe dx é facilmente calculada, usamos 0 Teste da Integral. O Teste da Ra- zao também funciona. 7 0 nw 4a —1)’—>—— 2 ( ) n* + 1 Como a série é alternada, usamos o Teste da Série Alternada. 7 foo} Qk Tae x1 k! Como a série envolve k/, usamos o Teste da Razao. 7 i 1 EXEMPLO 6 > nal 2 + 3" Como a série est intimamente relacionada a série geométrica = 1/3”, usamos o Teste da Com- paragao. — i Exercicios 1-38 Teste a série quanto a convergéncia ou divergéncia. — 1 . 4 S . S 21. > (-1)"cos(1/n’) 22. >; ————_ 1 y 1 a) (2n + 1)" n=l i= 2 + senk “ 2 n+ 3” enn x x < n 2 n 23. > tg(1/n) 24. S nsen(1/n) 3. —1)"——— 4. —1)"——— + 4 2 ED 2 ( RE ml ' 2 _2gnl x 1 = on! anti 5. — 6. — a. >> 26. > ——— 2 (—5)" 2 2n+ 1 n=1 e” n=l" “ 1 < 2*k! ~ kink © 1/n 7. ——— 8. ———. A imk eo x nyInn » (k + 2)! 21. 2 (K+) 28. 2 2 9. > ket 10. >} ne” = (—1)" = fj 2 2 2. > f=)" 30. > pave n=1 coshn j=l j+5 — 1 1 — 1 11. z+ 12. SS = 2 (4 7) 2 kJ +1 _ 5k & (n!)" 31. S SRE 32. S — 13 y 3"? 14 Sy sen 2n 1 3° + 4 n=l 1 , n=1 n! , n=1 1+ 2" oo n2 x l n x yk- x 33. —— 34. ——_ 5. > 213 16. > n+ 2 (. + -) 2 n+ncos?n k=1 ké n=1 nw +1 y n! 35 y tl 36 y oe 17. TS eS . 1+1/n " Inn +58 e+ + Bn + 2) n= n=? (Inn) ye am. ¥ (2 ~ 1) w. ¥ (92-1) ‘ n=2 vn —1 ‘ n=1 , n=1 — ] a vn>—1 19. ¥ (-1)"—= 20. ) " i a Jn mint 2n? +5 SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 669 ir Séries de Poténcias Uma série de poténcias é uma série da forma [1] DY cnx" = co + crx + Cox? + xP + +e n=0 onde x é uma varidvel e c, s4o constantes chamadas coeficientes da série. Para cada x fixado, a série é uma série de constantes que podemos testar quanto a convergéncia ou divergén- cia. Uma série de poténcias pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros va- lores de x. A soma da série é uma fun¢ao Serie trigonometrica Uma série de poténcias 6 uma série em f(x) = co + rx Fx? tee tHeyx" tee: que cada termo é uma fung&o de poténcia. Uma série trigonométrica cujo dominio é 0 conjunto de todos os x para os quais a série converge. Observe que f se as- “ semelha a um polindémio. A tnica diferenga é que f tem infinitos termos. D (an cos nx + by sen nx) a As ae n=0 Por exemplo, se tomarmos c, = | para todo n, a série de pot€ncias se torna a série geO- _ uma série cujos termos sao funcdes métrica trigonométricas. Sx" H=Lt xt xr tere tatters n=0 que converge quando —1 < x < 1 e diverge quando |x| = 1 (veja a Equagao 11.2.5). Em geral, a série da forma [2] S en(x — a)" = co + (x — a) + x(x — a? +-° n=0 é chamada uma série de poténcias em (X — a) ou uma série de poténcias centrada em a ou uma série de poténcias em torno de a. Observe que, ao escrevermos 0 termo correspondente an = 0 nas Equacoes | e 2, adotamos a convengao de que (x — a)° = 1, mesmo quando x = a. Observe também que, quando x = a, todos os termos sao 0 para n = | e assim a sé- rie de poténcias sempre converge quando x = a. (SQ Para quais valores de x a série }) n!x" é convergente? n=0 SOLUCAO Usamos o Teste da Razio. Se fizermos a,, como habitualmente, denotar 0 n-ésimo —_pserve que Sri 5 = nx" termo da série, entéo a, = n!x". Se x 0, temos (nt Dl=(n + nln — Deer 3221 =(n + In! ~ | Ant — {in + ltx"! . (n lim |——) = lim |-———— = lim (n + 1)|x| = no] Ay n>% nix” n—>% Pelo Teste da Razo, a série diverge quando x # 0. Entao, a série dada converge apenas quando x=0. | | ; ge, Wy (e = 3)" (GREP) Para quais valores de x a série 5) ————— converge? n=1 n SOLUCAO Sejaa, = (x — 3)"/n. Entao, Anvi| — | (x — 3)! n An n+1 (x — 3)" 1 =— Fle > 31 > [x= 3] quando n—> 0% 1+— n Pelo Teste da Razao, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente, quando |x — 3| < le é divergente quando |x — 3| > 1. Agora Jxn- 3) <1 > -1l 4. O Teste da RazAo nao fornece informacio quando |x — 3| = 1; assim, devemos considerar x = 2ex = 4 separadamente. Se colocarmos x = 4 na série, ela se tornaré = 1/n, a série har- ménica, que é divergente. Se x = 2, a série é © (—1)"/n, que converge pelo Teste da Série Alternada. Entao a série dada converge para 2 < x < 4. = zg ° Veremos que 0 principal uso de uma série de poténcias é que ela fornece uma maneira de S ae ——— representar algumas das mais importantes fungdes que aparecem na matemiatica, na ffsica e S KS i Py) ) na quimica. Em particular, a soma da série de poténcias no proximo exemplo é chamada fun- © — = cao de Bessel, em homenagem ao astr6nomo alema4o Friedrich Bessel (1784-1846), e a fun- = : cao dada no Exercicio 35 é outro exemplo de uma fungao de Bessel. De fato, essas fungdes 2 le surgiram primeiramente quando Bessel resolveu a equagdo de Kepler da descrigao do movi- = mento planetario. Desde aquela época, essas fungdes tém sido aplicadas em muitas situagdes fisicas diferentes, incluindo a distribuigéo de temperatura em uma placa circular e a forma de —_——_—— uma membrana vibrante. B= SS ay i YAN ES Ww ANNI) 9(5"\\0"0e) Encontre o dominio da fungao de Bessel de ordem 0 definida por LIA OSE 1] I LOR {/ . on SSS EZ 4 Gi S23 ZI Jo(x) ~~ x 2?7"(n!) S551 SOLUCAO Seja a, = (—1)"x?"/[2?"(n!)’]. Entao, Observe qudo bem o modelo gerado por computador (que envolve fungdes de 41,.2(n+1) > 2 — n n n ! Bessel e fungdes cosseno) se ajusta a Gn+1 | _ (=px . 2e(n!) fotografia de uma membrana de borracha An "in + INP (—1)"x7" vibrando. one? 5 5 _ x 2°"(n!) y 27" (n + 1)°(n!)° x2" S5 D 1 So x = —7_ > 0< 1 ara todo x 4(n + 1? P Assim, pelo Teste de Razao, a série dada converge para todos os valores de x. Em outras pa- Ss eis ~ Z ‘ lavras, o dominio da funcao Bessel Jo € (—9, ©) = R. oO; | x Lembre-se de que a soma de uma série é igual ao limite da sequéncia das somas parciais. ; Assim, quando definimos a fungao de Bessel no Exemplo 3 como a soma de uma série, que- s,\ s\ °° remos dizer que, para todo nimero real x, . n (- 1)! x! FIGURA 1 Jo(x) = lim sn(x) onde Sn(x) = > DANE _. n>o i= Ll. Somas parciais da funcao de Bessel J, ° As primeiras somas parciais sao ’ 2 2 4 x x x 1 So(x) = 1 s(x) = 1 - — So(x) = 1 —- — + — a(x) ()=1-7 aa t-te y =Jo(x) 2 4 6 2 4 6 8 x x x x x x x s(x) = 1 — — + — - > s(x) = 1 — ~— + — - 2 4+ ~10 10 4 64 =. 2.304 4 64 =. 2.304 147.456 0 x . 2 a ~ cA ~ : A Figura | mostra os graficos dessas somas parciais, que s40 polinémios. Todas sao aproxi- mac6es para a funcao Jo, mas observe que as aproximacgées se tornam melhores quando mais termos sao incluidos. A Figura 2 mostra um grafico mais completo da fungao de Bessel. FIGURA 2 Para as séries de poténcias que vimos até agora, 0 conjunto de valores de x para os quais a série € convergente tem sempre sido um intervalo [um intervalo finito para a série geomé- trica e a série no Exemplo 2, o intervalo infinito (—%, %) no Exemplo 3 e um intervalo co- lapsado [0, 0] = {0} no Exemplo 1]. O teorema a seguir, demonstrado no Apéndice F, diz que isso, em geral, é verdadeiro. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 671 [3] Teorema Para dada série de poténcias >) c,(x — a)", existem apenas trés possibi- lidades: no (i) A série converge apenas quando x = a. (ii) A série converge para todo x. (iii) Existe um ntimero positivo R tal que a série converge se |x — a| < Re diverge se|x —a|>R. O numero R no caso (iii) € chamado raio de convergéncia da série de poténcias. Por con- vencao, o raio de convergéncia é R = 0 no caso (i) e R = © no caso (11). O intervalo de con- vergéncia de uma série de poténcias é aquele que consiste em todos os valores de x para os quais a série converge. No caso (i) 0 intervalo consiste em apenas um tinico ponto a. No caso (ii) 0 intervalo é (—, 2). No caso (iii) observe que a desigualdade | x —a | < R pode ser reescrita comoa — RR —— Resumimos aqui 0 raio e 0 intervalo de convergéncia para cada um dos exemplos ja con- siderados nesta secao. Série geométrica Sx" R=1 (-1, 1) n=0 Exemplo | Sal x" R=0 {0} n=0 & (x = 3)" Exemplo 2 > fa 3" R=1 [2, 4) n=1 n oo (- 1)"x?" Exemplo 3 — R= —0, 00 P 2 Pn! ( ) Em geral, o Teste da Razdo (ou algumas vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para de- terminar o raio de convergéncia R. Os Testes da Razao e da Raiz sempre falham quando x é uma extremidade do intervalo de convergéncia; assim, as extremidades devem ser estudadas com outro teste. (SQV Encontre o raio de convergéncia e 0 intervalo de convergéncia da série Sy ( _ 3 yr x" n=0 Vn + 1 SOLUCAO Seja a, = (—3)"x"/V/n + 1. Entio, An+1 (—3)"x"*! Jn +1 3 n+1 a | = |} ee. XY | = | 3, / An Vn +2 (—3)"x" n+2 672 CALCULO 1+ (1/n) = 3, /——~—_ |x| — 3]x|quando n— 1 + (2/n) Pelo Teste da Razo, a série dada converge se 3|x| < 1 e diverge se 3|x| > 1. Entao, ela converge se |x| < fe diverge se |x| > +. Isso significa que 0 raio de convergén- ciaé R= i Sabemos que a série converge no intervalo (- is ), mas devemos agora testar a conver- géncia nas extremidades desse intervalo. Se x = —}, a série torna-se 5 3" _ 5 Poot ty, S vant Svntl Vl v2) V3 V4 que diverge. (Use o Teste da Integral ou simplesmente observe que ela é uma série p com p= 5 < 1.) Se x = 4, a série é 20 n(1l\" co n 5 3" _ 3 CD n=0 Vvn+1 n=0 Vvn+ I que converge pelo Teste da Série Alternada. Portanto a série de poténcias dada converge quando 1 1 . . A . , 11 —3 1. Assim ela converge se |x + 2| < 3 e diverge se |x + 2| > 3. Entdo, 0 raio de convergéncia é R = 3. A desigualdade |x + 2| < 3 pode ser escrita como —5 < x < 1, assim, testamos a série nas extremidades —5 e 1. Quando x = —5, a série é 5 M=3)" is n ya = D(H D'n n=0 3 n=0 que diverge pelo Teste para Divergéncia [(—1)"n nao converge para 0]. Quando x = 1, a sé- rie é 5 13)" ais x antl ~3 x n que também diverge pelo Teste para Divergéncia. Entao, a série converge apenas quando —5 ntl 6. > Pe vergéncia seja [0, 2%)? Explique. ml ml AE 34. Trace na mesma tela as primeiras somas s,(x) da série Si=o x", 7 > x 8. SY n'x" junto com a funcdo-soma f(x) = 1/(1 — x), em uma tela co- nso M1! mI mum. Em que intervalo essas somas parciais parecem estar con- < n?x" 2 10"x" vergindo para f (x)? 9 Yen 10. > — gindo para f n=l 2" 1 Oo 35. A funcao J; definida por = (—3)" ax" 2 ny.2n ny ae ya. hoy =} beet = n/n mt Sin mY Zo ln + 13 y (-1)" x" 14 y (=1)" x é denominada funcdo de Bessel de ordem 1. n=2 4" Inn n=0 (2n + 1)! oo (a) Encontre seu dominio. 15 y (x — 2)" 16 y (-1)" (x — 3)" (b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela. Sn +1 “ 2n+1 (c) Se seu SCA tiver funcges de Bessel programadas, trace J; na 2 3x + 4)" % mesma tela das somas parciais na parte (b) e observe como as Wy Sat 8 SH 1)" - pe P a Jn a 4" somas parciais se aproximam de J. = (x — 2)" = (2x — 1)" 36. A funcdo A definida por 19. 5) ——— 2. > ——— Sn" Z 5"Jn x x x? A(x) = 1 + —— + ———— + ——_—__ + - - oy 2:3 2:3-5-6 2:3-5-6-°8-9 21. x ‘pb (x— a)", b>0 é chamada funcdo de Airy, em homenagem ao matematico e as- » tr6nomo inglés sir George Airy (1801-1892). 22. } —(x- a)", b>0 (a) Encontre o dominio da fungao de Airy. n=2 Inn . .. 3 (1 (b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela. 23. Yo n\(2x — 1)" a. > nx (c) Se seu SCA tiver fungdes de Airy programadas, trace A na n=l no 2+4+6+ +++ + (2n) mesma tela que as somas parciais na parte (b) e observe como 5 y (Sx — 4)" 6 y x as somas parciais aproximam A. eS Un * > n(In n)? 37. Uma funcio f € definida por ca x" 7 2 3 4 27. oo f(x) = 1+ 2x + x7 + 2x? tx74+--- 2735) One D co nix” isto é, seus coeficientes s40 C2, = 1 € Can+1 = 2 para todon = 0. 28. S Toa05.-: Gn) Ache 0 intervalo de convergéncia da série e encontre uma formula = explicita para f(x). 29. O fato de =n=-0 Cn4” ser convergente implica que as séries a seguir 38. Se f(x) = En=0 Gx", onde Cn+4 = Cn para todo n > 0, encontre o sfio convergentes? intervalo de convergéncia da série e uma f6rmula para f(x). so ss 39. Mostre que, se lim, .-. V| Ch =c, onde c # 0, entao o raio de (a) > c,(-2)" (b) > c,(—4)" convergéncia da série de poténcias ¥ c,x" € R = 1/c. no . _ _.. 40. Suponha que a série de poténcia > c,(x — a)" satisfaca c, # 0 30. Suponha que p= c,x" convirja quando x = —4 e divirja . ae ~ . . : para todo n. Mostre que, se lim,_... | Cn/Cn+1 existir, entao ele quando x = 6. O que pode ser dito sobre a convergéncia ou di- as : As a a A es . sera igual ao o raio de convergéncia da série de poténcias. vergéncia das séries a seguir? ae h . As 41. Suponha que a série ¥ c,.x" tenha raio de convergéncia 2 e que a (a) De, (b) > c,8" série > d,x" tenha raio de convergéncia 3. O que vocé pode dizer n=0 n=0 sobre 0 raio de convergéncia da série ¥ (c, + d,)x"? x % 42. Suponha que o raio de convergéncia da série de poténcias = c,x” (c) a en(—3) (d) a (—I)"en9 seja R. Qual € 0 raio da série de poténcias > c,x?"? E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 674 CALCULO ir) Representacoes de Fungoes como Series de Poténcias Nesta segao aprenderemos como representar certos tipos de fungdes como somas de séries de poténcias pela manipulacao de séries geométricas ou pela derivagao ou integracao de tais sé- ries. Vocé pode estar se perguntando por que queremos expressar uma fun¢gao conhecida como uma soma infinita de termos. Veremos mais tarde que essa estratégia é Util para integrar fun- ces que nao tém antiderivadas elementares, para resolver as equag6es diferenciais e para apro- ximar fung6es por polindmios. (Cientistas fazem isso para simplificar expressdes que eles uti- lizam; cientistas que trabalham com computadores fazem isso para representar as fungdes em calculadoras e computadores.) Comegaremos com uma equa¢ao que vimos antes: 1 2 3 . n [1] —=l+xt+x° +x terre = hx |x| <1 1-x n=0 mata ns Fgura Cone a Faas '@ Encontramos essa equacao primeiro no Exemplo 6 da Secao 11.2, onde a obtivemos observando uma série 6 0 limite da sequéncia de que ela é uma série geométrica com a = 1 er = x. Mas aqui nosso ponto de vista é diferente. somas parciais, temos Agora nos referiremos 4 Equac¢do 1 como uma expressao da funciio f(x) = 1/(1 — x) como uma 1 soma de uma série de poténcias. Tox lim s,(x) —-x n>0 onde SAX) =Ltx tx tees tx" ; y ell 6 a n-ésima soma parcial. Observe que a (ss medida que n aumenta, s,(x) se torna uma Ss aproximacao cada vez melhor de f(x) para f -l 0, entao a fungao f definida por f(x) = co + exe — a) + (x — a +++ = Dd e(x — a)" n=0 é diferenciavel (e portanto continua) no intervalo (a — R,a + R)e so Na parte (ii), [ co dx = cox + C; 6 (i) f(x) =c + 2e(x _ a) 4 3e3(x _ ay foes S nex _ a)" escrito como co(x —@ + C, onde n=l C = C, + aco; assim, todos os termos da série tem a mesma forma. - (x — a) (x — a) (ii) [£0 ax = C+ o(x-— a+ cr tte oo (x _ a)"*! =C+t+ 2, ¢, — a n+ 1 Os raios de convergéncia das séries de poténcias nas Equacées (i) e (ii) s4o ambos R. OBSERVAGAO 1 As Equacoes (i) e (ii) no Teorema 2 podem ser reescritas na forma _. a[< | 4d | (iii) ——] & cnx — a)" | = Y — [ele — a)"] dx n=0 n=0 dx (iv) J 5 Cl X — or as => J CrAlx — a)" dx n=0 n=0 Sabemos que, para somas finitas, a derivada de uma soma € a soma das derivadas, e que a integral de uma soma é a soma das integrais. As Equac6es (iii) e (iv) afirmam que o mesmo 676 CALCULO é verdadeiro para somas infinitas, desde que estejamos lidando com séries de poténcias. (Para outros tipos de séries de funcgGes a situacdo nado € tao simples; veja o Exercicio 38.) OBSERVACAO 2 Embora o Teorema 2 diga que o raio de convergéncia permanece 0 mesmo quando uma série de poténcias é derivada ou integrada, isso nao significa que 0 intervalo de convergéncia permaneca o mesmo. Pode acontecer de a série original convergir em uma ex- tremidade enquanto a série derivada diverge nesse ponto (veja 0 Exercicio 39). OBSERVAGCAO 3 A ideia de derivacao de uma série de poténcias termo a termo € a base para um método poderoso para resolver as equagées diferenciais. Discutiremos esse método no Capitulo 17. S520" No Exemplo 3 da Secao 11.8, vimos que a funcao de Bessel ~ (- 1)"x?" I(x) = 2 = 00) = 2 TH(alp é€ definida para todo x. Entao, pelo Teorema 2, Jo é diferenciavel para todo x, e sua derivada é encontrada pela derivagdo termo a termo, como a seguir: 20 d (—1)"x" oo (-1)" Qnx2"! d(x) = } — >; = S — 3() x dx 2?"(n!/? 2 2?"(n!)? SEN Expresse 1/(1 — x)’ como uma série de poténcias pela derivac4o da Equacio 1. Qual é 0 raio de convergéncia? SOLUCGAO Derivando cada lado da equacao 1 2 3 . =ltxtxr 4x8 +--+ =) x" 1-x n=0 1 2 . n-1 obtemos —— 7 = 1 + 2x + 3x +--+ =D nx (1 ~~ x) n=1 Podemos trocar n por n + | e escrever a resposta como = (nt Ds" — VT = n x dd ~ xy n=0 De acordo com o Teorema 2, 0 raio de convergéncia da série derivada €é 0 mesmo que 0 raio de convergéncia da série original, a saber, R = 1. — S70) Encontre uma representacéo em série de poténcias para In(1 + x) e seu raio de convergéncia. SOLUCAO Observamos que, a derivada desta funcdo € 1/(1 + x). Da Equacdo 1 temos 1 1 —— = =] -xtr-8+...) |xf (-x y" um SCA, tente vocé mesmo.) Na realidade 1+x’ 1- (-x’) = n=0 é muito mais facil lidar com a resposta em so série infinita obtida no Exemplo 8(a) do que _ sy (—1)"x7" =]—-x7 4x4... com a resposta finita dada por um SCA. n=0 Agora integramos termo a termo: | ~ oo xt de =f D(a = + YH lise 2 ) x ( "Tne x3 x/5 x22 =C+x-—+——-~—+-:: 8 15 22 Essa série converge para | —x’| < 1, isto é, para |x| < 1. (b) Ao aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, nao importa qual antiderivada utilizamos; assim vamos usar a antiderivada da parte (a) com C = 0: 1/2 os ol xe xB { ——{-dx =|x-—+-— >-—=+:-: o l+x 8 15 22 0 _ il 1 + 1 1 + + (—1)" 4 2 8-28 15-2 22-2” (Jn + 1)27*! 678 CALCULO Essa série infinita é o valor exato da integral definida, mas, como é uma série alternada, podemos aproximar a soma usando o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. Se parar- mos de somar depois do termo com n = 3, 0 erro é menor que 0 termo com n = 4: 1 6,4 X 107!! 29-2 , Logo, temos (" tae st 4 4 - 4 x 049951374 x= _ =~ VU, o 1+x! 2 8-28 15-2" 22 +2” Exercicios 1. Seoraio de convergéncia da série de poténcias r=0 cnx" for 10, 14. (a) Use a Equagao | para determinar uma representagdo em sé- qual ser4 o raio de convergéncia da série S=1 nc, x" '? Por qué? rie de poténcias para f(x) = In(1 + x). Qual é 0 raio de con- 2. Suponha que vocé saiba que a série ¥;=0 b,x" converge para vergéncia? |x| < 2. O que vocé pode dizer sobre a série a seguir? Por qué? (b) Use © item (a) para encontrar uma série de poténcias para f(x) =xIn(l — x). y bn yt (c) Ao colocar x = ; no seu resultado da parte (a), expresse In 2 no n+ 1 como a soma de uma série infinita. 3-10 Encontre uma representagao em série de pot€ncias para a fung&o 15-20 Encontre uma representacdo em série de poténcias para a fun- e determine o intervalo de convergéncia. cao e determine o raio de convergéncia. 1 3 15. f(x) = In(5 — x) 16. f(x) = xr tg '(°) 3. = — 4. f(x) = —— f(a) = f(s) =5 ° _Y 17. f(x) = — 18. f(x) = | —— > 1 (x — 2) 2-x 5. fx) = >— 6. = —— fO) = 3, fO) = 79 x x +x 19. f(x) = ——, 20. f(x) = ——, . x x (x — 2) (1 — x) 1. f(x) = 9+ x2 8. f(x) = Ie +] 21-24 Encontre uma representagao em série de poténcias para f, trace fe varias somas parciais s,(x) na mesma tela. O que acontece quando l+x x? ncresce? 9 f(x) = — 10. => fe) l-x f(x) ax 21. f(x) = —_ 22. f(x) = In(x? + 4) x + 16 11-12 Expresse a funcéo como a soma de uma série de poténcias l+x P . P 23. f(x) = In( —> 24. f(x) = te"(2x) usando primeiro frag6es parciais. Encontre o intervalo de conver- » LG) = In 1l—x » LO) = tg 2x géncia. 3 x +2 25-28 Calcule a integral indefinida como uma série de poténcias. 11. f(x) = ex? 12. f(x) = ae xy _1 Qual é 0 raio de convergéncia? t t ee 25. | —— dt 26. | —— dt } 1-7 J 1+f 13. (a) Use derivacao para encontrar a representagao em série de po- 7 { bin(l + x)d 08 { te-'x 1 Ana . {xin x) dx . | ——dx téncias para x _ 1 fO) = (1+ xy 29-32 Use uma série de poténcias para aproximar a integral definida Qual é iod ag com precisao de seis casas decimais. ual é o raio de convergéncia? , 1 ; (b) Use o item (a) para encontrar uma série de poténcias para 29. {" Tae dx 30. {" In(1 + x*) dx x fla) =—— x) = —~ ad +x 3 0,1 0,3 Xx ) 31. { x arctg(3x) dx 32. Tox dx (c) Use item (b) para achar uma série de poténcias para SST 5 33. Use o resultado do Exemplo 7 para calcular arctg 0,2 com preci- f@= a sao de cinco casas decimais. +x E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 679 34. Demonstre que a fungao 39. Considere = yn (= 1)"x2" f(x) = Ys f(x) = S ~ (Qn)! n=1 n “ _ Encontre os intervalos de convergéncia para f, f’e f”. € uma solugao da equacao diferencial 40. (a) Comecando com a série geométrica Sn=0 x”, encontre a soma fx) + f(x) = 0 da série 35. (a) Mostre que Jp (a fungao de Bessel de ordem 0 dada no Exem- ) nx") |x| <1 plo 4) satisfaz a equacgao diferencial n=l (b) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir. x7 I(x) + x Jo (x) + x7Jo(x) = 0 ce = 4 “1 ; a @ Yar |xl<1 @) YS (b) Calcule |, Jo(x) dx com precis&o de trés casas decimais. n=l n= 2 36. A fungio de Bessel de ordem 1 é definida por (c) Encontre a soma de cada uma das séries a seguir. = (= ])ny2nt! (i) Sat —- dx", |x| <1 J (x) = > n+l n=2 n=0 ni(n + 1)!2 ; ~ 4: ; a ow wan aay (a) Mostre que J; satisfaz a equacao diferencial (i) Y a Gii) Y oy n=2 n=1 PIMx) tx! (x) + (2 — D(x) = 0 41. Use a série de poténcias para tg~!x para demonstrar a seguinte ex- presso para 77 como a soma de uma série infinita: (b) Mostre que Jo(x) = —Ji(x). . (-1)" 37. (a) Mostre que a fungao =2,/3 ss T= V3 Doe ye f(x) = y x 42. (a) Completando o quadrado, mostre que n=0 Ne 1/2 dx T é uma solucao da equacao diferencial { eH xtl 3/3 f') = f(x) (b) Usando a fatoragado de x? + 1 como uma soma de cubos, ; reescreva a integral no item (a). Depois expresse 1/(x* + 1) (b) Mostre que f(x) = . . como a soma de uma série de poténcias e use-a para de- 38. Seja f,(x) = (sen nx)/n”. Mostre que a série > f,(x) converge monstrar a seguinte formula para 77: para todos os valores de x, mas que a série de derivadas > f(x) diverge quando x = 2n7, n um inteiro. Para quais valores de x a r= 33 y (—1)" ( 2 4 1 ) série > f,'(x) converge? 4 j= 68" 3n+1 3n+ 2 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin Na secao anterior pudemos encontrar representagOes para uma certa classe restrita de fungGes. Aqui investigaremos problemas mais gerais: Quais as fungdes que tém representagoes de sé- ries de poténcias? Como podemos achar tais representagdes? Comegaremos supondo que f seja qualquer fungdo que possa ser representada por uma sé- rie de poténcias: [1] f(x) = co + c(x — a) + eo(x — a) + x(x — a)? + cx — a) +--+ |x — al LO) an = f(0) + FO) | + £'O 2 foes série em 1715, em seu livro Methodus n=o0 =! 1! 2! incrementorum directa et inversa. A série de Maclaurin é assim denominada devido a . . ae . a Colin Maclaurin porque ele a popularizou Esse caso surge com frequéncia e lhe foi dado 0 nome especial de série de Maclaurin. em seu livro de calculo Treatise of Fluxions publicado em 1742. OBSERVAGAO Mostramos que, se f puder ser representada como uma série de poténcias em torno de a, entao f é igual 4 soma de sua série de Taylor. Mas existem fungdes que nao sao iguais 4 soma de suas séries de Taylor. Um exemplo de tal funcao é dado no Exercicio 74. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 681 (SQM Encontre a série de Maclaurin da funcdo f(x) = e* e seu raio de convergéncia. SOLUCAO Se f(x) = e*, entaio f(x) = e*, portanto f(0) = e° = 1 para todo n. Portanto, a série de Taylor para fem 0 (isto €, a série de Maclaurin) é Sf Sx" x x x y LO we ee 0 ee n=o =A} n=o 1! 1! 2! 3! Para encontrarmos o raio de convergéncia fazemos a, = x"/n!. Entao, An xt n! x Mntty fo _ |e >0<1 an (n+ 1)! x" n+1 de modo que, pelo Teste da Razao, a série converge para todo x e o raio de convergéncia é R=, 7 A conclusao que podemos tirar do Teorema 5 e do Exemplo | é que se e* tiver uma ex- pansao em série de poténcias em 0, entao yn e= S — n=0 n! Assim, como determinar se e* fem uma representacdo em série de poténcias? Vamos investigar a questao mais geral: sob quais circunstancias uma fungao é igual 4 soma de sua série de Taylor? Em outras palavras, se f tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que 3 £°@ h fi) = YA“ w=) y n=0 Nn. — 9% yre Como com qualquer série convergente, isso significa que F(x) € 0 limite da sequéncia das y= Tox) y= T(x) somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais sao y =T,(x) S fa) T(x) = YAS (x = @) ON Sy=T9 i=0 : f@) f"a) : fa) ° ‘ = f(a) + —— (x — a) + (x - a) Fs +H (x - a)" 1! 2! n! y =T;(x) Observe que T,, € um polinémio de grau n chamado polin6émio de Taylor de n-ésimo grau_—eigypa 1 de fem a. Por exemplo, para a fungao exponencial f(x) = e*, o resultado do Exemplo | mos- tra que os polindmios de Taylor em 0 (ou polinémios de Maclaurin) com n = 1, 2 e 3 sao Quando n aumenta, 7,,(x) parece aproxi- x? x x mar e* na Figura 1. Isso sugere que e* seja Tix) =1 +x T(x) =1+x+ OP T3(x) =1+x+ OL + 31 igual 4 soma de sua série de Taylor. Os graficos da funcdo exponencial e desses trés polindmios de Taylor estao desenhados na Figura 1. Em geral, f(x) € a soma da sua série de Taylor se f(x) = lim T,,(x) Se considerarmos Rix) = f(x) — Tr(x) de modo que f(x) = Tilx) + Rix) entio, R,(x) é denominado resto da série de Taylor. Se pudermos de alguma maneira mostrar que lim,,... R,(x) = 0, teremos mostrado que lim T,.(x) = lim [f(x) — Ra(x)] = f(x) — lim R,(x) = f(x) Assim, demonstramos o seguinte teorema: 682 CALCULO Teorema Se f(x) = T,(x) + R,(x), onde T, € 0 polindmio de Taylor de n-ésimo grau de femae lim R,(x) = 0 para |x — a| < R, entdo f € igual & soma de sua série de Taylor no intervalo |x —al (x — ay? 2 Um argumento similar, usando f"(x) = —M, mostra que M R(x) = —— (x - a? 2 M Entao | Ri(x) | a, calculos similares mostram que essa desigualdade é€ também verdadeira para x < a. Isso demonstra a Desigualdade de Taylor para 0 caso onde n = 1. O resultado para um n qualquer é demonstrado de maneira similar pela integragdo n + 1 vezes. (Veja 0 Exercicio 73 para o caso n = 2.) OBSERVAGAO Na Segao 11.11 exploraremos o uso da Desigualdade de Taylor para apro- ximar fungdes. Nosso uso imediato € aplica-la em conjunto com o Teorema 8. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 683 Ao aplicar os Teoremas 8 e 9, muitas vezes é util usar o fato a seguir. _ x" , lim {= 0 para todo nimero real x no n! Isso € verdade porque sabemos do Exemplo 1 que a série > x"/n! converge para todo x, e seu n-ésimo termo tende a 0. (SG) Demonstre que e* € igual 4 soma de sua série de Maclaurin. SOLUCAO Se f(x) = e’, entao f"*(x) = e* para todo n. Se d € qualquer ntimero positivo e |x| —, para todo x | n=0 Nl. Em 1748 Leonhard Euler usou a Equagdo 12 Em particular, se colocarmos x = 1 na Equacio 11, obteremos a seguinte expressao para Pa achar e valor correto de e até 23 . P > ae “4 ¢ > & P P algarismos. Em 2007 Shigeru Kondo, o numero e como a soma de uma série infinita: novamente usaram a série em [12], e calcularam e com 12 bilhdes % de casas decimais. 1 1 1 1 [12] e=Y—=1+—4+—4+—4-:: n=o 1! 1! 2! 3! (SGV Encontre a série de Taylor de f(x) = e*ema = 2. SOLUCAO Temos f'(2) = ee, assim, colocando a = 2 na definig¢o de uma série de Taylor [6], obtemos > £2) ree h (x = 2)" = Y — (x - 2) n=0 Nn. n=0 Ne Novamente pode ser verificado, como no Exemplo 1, que o raio de convergéncia é R = ~. Como no Exemplo 2, podemos verificar que lim,—.. R,(x) = 0, assim o~ e2 [13] e=)» — (x — 2)" para todo x — n=0 Ne Temos duas expans6es em série de poténcia para e*, a série Maclaurin na Equagao 11 e da série de Taylor na Equacao 13. A primeira é melhor, se estivermos interessados em valores de x préximos de 0, e a segunda é melhor se x é préximo de 2. (SGV Encontre a série de Maclaurin de sen x e demonstre que ela representa sen x para todo x. SOLUCAO Arranjamos nossos cdlculos em duas colunas como a seguir: 684 CALCULO A Figura 2 mostra 0 grafico de sen x com f(x) = sen x f(@) =0 seus polinémios de Taylor (ou Maclaurin) T(x) =x f'(x) = cos x f'0) =1 3 Tx(x) = x - 7 f"(x) = —sen x f"(0) =0 3 na) =x- 45 f"x)=—cosx — f"™0) = —1 Observe que, quando n aumenta, T,(x) f(x) = sen x f(0) =0 torna-se uma aproximagao melhor para sen x. Como as derivadas se repetem em um ciclo de quatro, podemos escrever a série de Maclau- rin da seguinte forma: y I ” my 0 0 0 1 70) 4 Lg 4 LO) 24 LO sg. 1 1! 2! 3! Ts 3 5 7 0 2n+1 x x x x _ =x - 4+ ++ = Y(- 1)" —— y= sen x 3! 5! 7! XI ) (2n + 1)! O41 * Como f(x) € +sen x ou +cos x, sabemos que | f*(x) | < 1 para todo x. Assim, pode- mos tomar M = | na Desigualdade de Taylor: T; M x nt+1 IR) | <—— et = | FIGURA 2 (n + 1)! (n + 1)! Pela Equagao 10, 0 lado direito dessa desigualdade tende a 0 quando n — %, dessa forma, | R,(x)|—> 0 pelo Teorema do Confronto. Segue que R,(x) — 0 quando n — ~, assim, sen x € igual 4 soma de sua série de Maclaurin pelo Teorema 8. — Destacamos 0 resultado do Exemplo 4 para referéncia futura. xe xy? [15] sen xX =xX ~~ ta 7 DF 3! 5! 7! 20 rth = — 1)" ———_ ara todo x a "Grepr ?P 9320) Encontre a série de Maclaurin para cos x. SOLUCAO Poderfamos proceder diretamente como no Exemplo 4, mas é mais facil derivar a série de Maclaurin de sen x dada pela Equacao 15: 3 5 7 As séries de Maclaurin para e*, sen xe cos x = @ (sen x) = a x- x + x x foeee cos x que encontramos nos Exemplos 2, 4, dx dx 3! 5! 7! e 5 foram descobertas, utilizando diferentes métodos, por Newton. Essas _ 3x? 5x4 7x° _ x? x4 x? equacoes so notaveis, porque dizem que =1- 31 + 5! ~ 71 tert = 1 Or + AL ~ 6! tees saberemos tudo sobre cada uma destas , , , , , , fungGes, se conhecermos todos as suas Como a série de Maclaurin de sen x converge para todo x, o Teorema 2 da Secao 11.9 nos diz derivadas no ponto 0. que a série derivada para cos x também converge para todo x. Assim, xe xt x8 cosx = 1 -—+———+::: 2! 4! 6! 2 2n x = ¥(-1)'—— para todo x — n=0 (2n)! S79 Encontre a série de Maclaurin da fungado f(x) = x cos x. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 685 SOLUCAO Em vez de calcular derivadas e substituir na Equacao 7, é mais facil multiplicar a série para cos x (Equagao 16) por x: 0 x2" oo x2ntl = 1)" — = ¥(-1)" —— = eos e 8 BI oy 2" Onl SNH Represente f(x) = sen x como a soma de sua série de Taylor centrada em 77/3. SOLUCAO Arranjando nosso trabalho em colunas, temos Obtivemos duas representagoes em serie diferentes para sen x, isto 6, a série de _ 7) J3 Maclaurin, no Exemplo 4, e a série de f(x) = Sen x f 3 a 2 Taylor, no Exemplo 7. E melhor usarmos a série de Maclaurin para valores de x aT 1 proximos de 0 ea série de Taylor para f(x) = cos x f\=—)=—- valores de x préximos de 2/3. Observe 3 2 que 0 terceiro polindmio de Taylor 7; na Figura 3 6 uma boa aproximagdao para sen x f"x) = —senx f" 7 —_—_ v3 proximo de zr/3, mas nao tao boa para o 3 2 proximo de 0. Compare-o com o terceiro 1 polinémio de Maclaurin 73 na Figura 2, na f'"x) = —cos x r(2) —~_+ qual 0 oposto é verdadeiro. 3 2 e esse padrao se repete indefinidamente. Portanto, a série de Taylor em 77/3 é y f' a f" T f” T T 3 T 3 a \? 3 a \? y=sin x f(—)+—-~ [«-2] +43 [«- =) + [ee - s)he 3 1! 3 2! 3 3! 3 V3 1 7 V3 mt \* 1 a\? = — + — [x -—] - soe td roo ee er sd] htt 2 2-1! 3 2+ 2! 3 2° 3! 3 0 « x 3 A demonstragao de que essa série representa sen x para todo x é muito semelhante a feita r no Exemplo 4. (Apenas troque x por x — 7/3 em [I4].) Podemos escrever a série na notac4o ; sigma se separarmos os termos que contém V3: FIGURA 3 or} —| n 3 2n ~ —]| n 2n+1 sen x = ¥ VV3 (= yO" (2 — r=0 2(2n)! 3 r-0 2(2n + 1)! 3 A série de poténcias que obtivemos por métodos indiretos nos Exemplos 5 e 6 e na Secao 11.9 sao realmente as séries de Taylor e de Maclaurin das fung6es dadas, porque 0 Teorema 5 afirma que, nfo importa como uma representagio de série de poténcias f(x) = > c,(x — a)" é obtida, é sempre verdade que c, = f\(a)/n!. Em outras palavras, os coeficientes s4o deter- minados unicamente. S20) Encontre a série de Maclaurin de f(x) = (1 + x)‘, onde k € um ntmero real qual- quer. SOLUCAO Arranjando nosso trabalho em colunas, temos f(x) = (+ 2) f(0) = 1 f'1) = KL + x f(0) =k f(x) = KR = YL + xf f"(0) = kk — VY) fx) = kk = Wk = 2) + x £0) = Kk — Ik — 2) f(x) = kk - 1+ (kK-n t+ I + x)" f°) =kk- 1)-+- (kK-n +1) Portanto, a série de Maclaurin de f(x) = (1 + x) é S f° S kk-We:-(k-nt+1 5 LO Khas k=n +), n=0 n! n=0 n\ 686 CALCULO Essa série é chamada série binomial. Observe que, se k é um inteiro nao negativo, entao os ter- mos sao, eventualmente, nulos, de modo que a série é finita. Para outros valores de k, nenhum dos termos é 0 e assim podemos tentar o Teste da Razdo. Se 0 n-ésimo termo é a, entao ansi| — | K(k — ees (kK + I(k = n)x"*! n! An (n + 1)! k(k — 1) +++ (kK — nt Ix" k 1 —_— |k —n| n = —— |x| = ——— |x| |x| quando n> n+1 1 1+— n Logo, pelo Teste da Razio, a série binomial converge se |x| < 1 e diverge se |x| > 1. Mim A notagao tradicional para os coeficientes na série binomial é k\ kk — Ik — 2)-+-(kK-n+t+ 1) n n! e esses numeros sao chamados coeficientes binomiais. O teorema a seguir afirma que (1 + x)‘ é igual 4 soma de sua série de Maclaurin. E pos- sivel demonstrar isso mostrando que o resto R,(x) tende a 0, mas assim acaba sendo muito dificil. A demonstragao delineada no Exercicio 75 € muito mais simples. A Série Binomial Se k for um ntmero real qualquer e |x| < 1, entao a [k kk -— 1 k(k — 1)(k — 2 (l+x'=% atte + OD ) 2 4 He = Wk ~ 2) i dope n=0 \N 2! 3! Embora a série binomial sempre convirja quando |x| < 1, a questéo de ser ou nao con- vergente nas extremidades, +1, depende do valor de k. Ocorre que a série converge em | se —1 k, entao a expressdo para (k ) contém um fator (k — k), de modo que ( k )=0 paran >k . Isto significa que a série acaba e se reduz ao Teorema Binomial usual quando k for um in- teiro positivo. (Veja a Pagina de Referéncia 1.) 1 SFE Encontre a série de Maclaurin da fungao f(x) = Vaan e seu raio de conver- géncia. * SOLUCAO Escrevemos f(x) em uma forma na qual podemos usar a série binomial: ot tt ty V4—x x x 2 4 441-— 24/1-— 4 4 Usando a série binomial com k = —5 e com x substituido por —x/4, temos —!__1(,;_*)"_1y(-)\(_2) Va-x 2\' 4 25\n )\ 4 —~!},,(-1)\(-2), Gils) (_ 2), Cae) (_#) 2 2 4 2! 4 3! 4 pee g Cle MeD) (ant (a n! 4 SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 687 1 1 1:3. , 1:3:5 , 1-3+5+++++(Qn-1) =—] 1 tox t x? + St "st 2 8 2!8 3!8 n!8" Sabemos de [17] que essa série converge quando | —x/4| < 1, ou seja, |x| < 4, de modo que 0 raio de convergéncia é R = 4. = Listamos na tabela a seguir, para referéncia futura, algumas séries de Maclaurin importantes que deduzimos nesta seco e na precedente. 1 ey —— = Px" =1ltxt¢vrt rte: R=1 TABELA 1 [ox n=0 Séries de Maclaurin importantes e seus © on 2 3 raios de convergéncia x x x x e=Y—=14+—4+—>4+—+4+--: R= n=o0 1! 1! 2! 3! 20 2nt+1 3 5 7 x x x x sen x = >) (—1)" ———— = x-—+2-S+::: R= n=0 (2n + 1)! 3! 5! 7! oo 2n 2 4 6 x x x x cosx = ¥(-1)" =|]-—4-—-—}4.-. R=0a n=0 (2n)! 2! 4! 6! 0 2n+1 3 5 7 x x x x to ly = —4)" =;y-—+4+— -—- — + --- R=1 es 2 3° 5 «7 0 n 2 3 A x x x x In(l +x) = D(-)"'—=x-—+>--—+°-:: R=1 ( ) aI ) n 2 3 4 a [k K(k — 1 K(k — 1)(k — 2 (d+x'=> reat ky + ED, ME ED, R=1 no \N 2! 3! a. 1 1 1 (ETO) Calcule a soma da série —~ — ——, + ->—, - — +... 1-2 2:2 3+2 4-2 SOLUCAO Com a notacao sigma podemos escrever a série dada como 2% 1 2 1 n Seyret = yey mi ner" n 0 Module 11.10/11.11 permite que Em seguida, a partir da Tabela 1 podemos ver que esta série corresponde 4 entrada para _vocé veja como sucessivos polindmios de In(1 + x) com x = 7 Logo, Taylor se aproximam da fungao original. S(—prt te 1) 3 Si (-1)""! —— = Ind + 5) = In5 = n=1 n+ 2" Uma razao pela qual as séries de Taylor sao importantes é€ que elas nos permitem integrar fung6es com as quais nao podiamos lidar anteriormente. De fato, na introdugao deste capitulo mencionamos que Newton frequentemente integrava fung6es expressando-as inicialmente . A . ~ . ~ Hy on como uma série de poténcias e entao integrando-as termo a termo. A fungao f(x) = e* nao pode ser integrada pelas técnicas discutidas até agora porque sua antiderivada nao é uma fun- cao elementar (veja a Secdo 7.5). No exemplo a seguir, usamos a ideia de Newton para inte- grar esta fungao. (a) Calcule { e* dx como uma série infinita. (b) Calcule fy e* dxcom precisao de 0,001. SOLUGAO (a) Primeiro encontramos a série de Maclaurin de f(x) = e* . Embora seja possivel usar 0 mé- todo direto, vamos encontré-la simplesmente trocando x por —x* na série para e* dada na Ta- bela 1. Entao, para todos os valores de x, 688 CALCULO 0 2\n oo 2n 2 4 6 2 (—x*) x x x x er = Y= a a a 2 n! x ( ) n! 1! 2! 3! Agora integramos termo a termo: 4 x2 x4 xo 2" fevde=[(1- 4D -S+-4+ Cnn 4+--- dade 1! 2! 3! n! x? x? x! ent =C +x —-—— + —— —- —— + «+ (- 1)" —— + - - 3+ 1! 5+ 2! 7 +3! (2n + 1)n! Essa série converge para tudo, porque a série original para en converge para todo x. (b) O Teorema Fundamental do Calculo fornece Podemos tomar C = 0 na antiderivada na 3 5 7 9 1 1 a x x x x parte (a). [eo dx= x — —— $$ + — __ 0 3-1! 5+ 2! 7+ 3! 9-4! 0 1 1 1 1 =1-3 +i - a3 +31: ~1—3+%— a +t ag ~ 0,7475 O Teorema da Estimativa da Série Alternada mostra que 0 erro envolvido nessa aproximacao é menor que 1 1 ——— = ——— < 90,001 — 11-5! 1.320 Outro uso da série de Taylor é ilustrado no pr6ximo exemplo. O limite poderia ser encon- trado com a Regra de |’ Héspital, mas, em vez disso, usamos uma série. . e-1l-x BEA Calcule lim ——_.—\. x>0 x SOLUCAO Usando a série de Maclaurin para e*, temos x x xX 1+—+—4—4+.---]-1-x . e-il-x . 1! 2! 3! lim — ,—— = la I5s]—HSY]!_.2-,——— Alguns sistemas de computacao algébrica x>0 x x>0 x calculam limites dessa maneira. 2 3 4 x x x — + — + — + eee _ 2! 3! 4! = lim — ,——— x0 x ; 1 x x x 1 =lim{(— + ——+—+—+4+---J=— x-0\2 3) 4! 3! 2 porque as séries de poténcias sao fung6des continuas. — MM Multiplicagao e Divisdo de Séries de Poténcias Se as séries de poténcias forem somadas ou subtraidas, elas se comportarao como polinémios (o Teorema 11.2.8 mostra isso). De fato, como o préximo exemplo ilustra, elas também po- dem ser multiplicadas e divididas como polinémios. Encontramos apenas os primeiros termos, pois os calculos para os termos posteriores tornam-se tediosos e os termos iniciais s40 Os mais importantes. [S@)REEH Encontre os trés primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de (a) e*sen x e (b) tg x. SOLUGAO (a) Usando a série de Maclaurin de e* e sen x na Tabela 1, temos x x xX x? e*senx=[([1+—+——+—+4+°'+][(x-— +: 1! 2! 3! 3! Multiplicamos essas expressOes, juntando os termos semelhantes como nos polinémios: SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 689 Ltxthxrtivte-- x x te pe. xt xr tgxitexttee: + — gx — ext xt x taxritee- Logo, e*senx=x+t+xr4+ 4x3 4--- (b) Usando as séries de Maclaurin da Tabela 1, obtemos xe x? x-— + —S — +r we sen x 3! 5! gx = Se Cos x x x 1 —_ — + — — eee 2! 4! Usamos um procedimento parecido com a divisdo de polinémios: xt 5+ Bx tere 1—$x2 + yxt—-+)y— ix + as ee x— 5x + yee Gx — ape tee fxs — Exh tee ax? foes Logo, tex=xtixi + 2x te: = Embora nao tenhamos tentado justificar as manipulagdes formais usadas no Exemplo 13, elas sao legitimas. Existe um teorema que afirma que, se f(x) = > c,x" e g(x) = > b,x" con- vergirem para |x| < Re as séries forem multiplicadas como se fossem polindmios, entao, a série resultante também convergira para |x| < R e representard f(x) g(x). Para a divisdo, ne- cessitamos de by # 0; a série resultante converge para |x| suficientemente pequeno. 11.10 Exercicios 1. Se f(x) = Yneo b,(x — 5)" para todo x, escreva uma férmula 3. Se f(0) = (n + 1)! paran = 0, 1, 2,..., encontre a série de para bs. Maclaurin de fe seu raio de convergéncia. 2. Edado o grafico de f. 4. Encontre a série de Maclaurin de f centrada em 4 se y —1)"n! fA) — {opal f 3"(n + 1) Qual é 0 raio de convergéncia da série de Taylor? 1 5-12 Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definigéo de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansaéo em uma série de 0 1 x poténcias. Nao mostre que R, (x) — 0.] Também encontre o raio de convergéncia associado. (a) Explique por que a série 5. f(x) = (1 — x)? 6 f(x) = In(l + x) ; ; 7. f(x) = sen 7x 8. f(x) = cos 3x 1,6 _ 0,8(x _ 1) + 0,4(x _ 1) _ 0,1(x _ 1) tree 9. f(x) =?" 10. f(x) = xe* ndo € a série de Taylor de f centrada em 1. 11. f(x) = senh x 12. f(x) = cosh x (b) Explique por que a série RUE 2,8 + 0,5(x — 2) + 1,5(x — 2)? — O1(x — 2) +++ 13-20 Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. ~ oe . [Suponha que f tenha expansaéo em uma série de poténcias. Nao ndo € a série de Taylor de f centrada em 2. E necessdrio uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 690 CALCULO mostre que R,,(x) — 0.] Também encontre o raio de convergéncia as- 49. f cosx — 1 dx 50. f arcte(x?) dx sociado. x 13. f(x) =x°-3P4+1, a=1 14. f(x) =x-x°, a=-2 51-54 Use séries para aproximar a integral definida com a precisao in- 15. f(x) =Inx, a=2 16. f(x) = 1/x, a= -3 dicada. 17. f(x) =e", a=3 18. f(x) =senx, a= 7/2 51. |” x? arcte x dx (quatro casas decimais g (q ) 0 19. f(x) =cosx, a=T7 20. f(x) = Vx, a=16 oo, FO) F(x) = vx 52. { sen(x*) dx (quatro casas decimais) SSS 0 0.4 6 21. Demonstre que a série obtida no Exercicio 7 representa sen 7x 53. { VI + x* dx (| erro| <5 x 10 ) para todo x: st. [x2 dx (Jero| < 0,001) 22. Demonstre que a série obtida no Exercicio 18 representa sen x ° para todo x. 55-57 Use séri jcul bmi 23. Demonstre que a série obtida no Exercicio 11 representa senh x / Se series para calcular 0 lumite. _ x-In(l +x) . 1 — cosx para todo x. 55. lim rr 56. lim Tex eo 24. Demonstre que a série obtida no Exercicio 12 representa cosh x : * * ve para todo x. 13 ee qe . . ~ 7 . senx— x + 6x 25-28 Use a série binomial para expandir a func¢ao como uma série de 57. lim ———_.———_ poténcia. Diga o raio de convergéncia. ee 25. \/T—x 26. 3/8 +x 58. Use a série do Exemplo 13(b) para calcular 1 27. ———, 28. (1 — x)? _ tex — x (2 +x) 9) ims a x= x 29-38 Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Encontramos esse limite no Exemplo 4 da Segao 4.4, no Volume Maclaurin da fungao dada. I, usando a Regra de 1’ Héspital trés vezes. Qual método vocé pre- ; fere? 29. f(x) = sen wx 30. f(x) = cos(ax/2) 59-62 Use multiplicagao ou divisdo de séries de poténcias para en- 31. f(x) =e* + e* 32. f(x) = e* + 2e™ contrar os trés primeiros termos diferentes de zero na série de Mac- ; (: 2 ; 5 3 laurin de cada fungao. 33. f(x) = x cos(5x 34. f(x) =x In(l + x’) 59. y =e" cos x 60. y = sec x vy x __ x 35. f(x) = Ta 36. f(x) Bae 61. y = — 62. y = e*In(1 — x) 37. f(x) = sen*x [Dica: Use sen?x = 5(1 — cos 2x), 63-70 Encontre a soma da série. x — senx £0 vy joo «SEX oo 4n 2 (— 4)" qe" 38. ff ~~), x 63. ¥(=1)"— 64. S (yn é sex =0 n=0 n! 0 6°"(2n)! oo 3" = 3n 65. >} (-1)" > 66. > = 39-42 Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu n=l ns no J’! raio de convergéncia. Trace fe seus primeiros polindmios de Taylor 67 y (=1)"0*"! na mesma tela. O que vocé observa sobre a relacao entre esses poli- * 9 4°"*1(2n + 1)! ndmios e f? (In2)? (In 2) . 2 = 68. 1 — In2 +——— ———— + ::: 39. f(x) = cos(x7) 40. f(x) =e* + cosx 2! 3! (x) = xe = tg! (x3 27 1 M1. f(x) = xe 42. f(x) = tg '(x°) 6. 3¢ 2-4 724 8a, a 2! 3! 4! . . 1 1 1 1 43. Use a série de Maclaurin para cos x para calcular cos 5° com 1. —~ + >a +p tt tt +n : Lo, 1-2 3:2 5+2 7-2 precisao de cinco casas decimais. a 44. Use a série de Maclaurin para e* para calcular 1/ Ve com precisao Z . : a ~ . i. 71. Mostre que se p é um polinomio de n-ésimo grau, entao de cinco casas decimais. p(x) 45. (a) Use a série binomial para expandir 1/./1 — x?. pat l= > a (b) Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaurin de sen™!x. _ 330 . ‘eo, 5 ‘ 46. (a) Expanda 1/4/1 + x como uma série de pot€éncias. 72. Se f(x) = (1 + x y - oque € f°°(0)’ . vy: : 4 sox a 73. Demonstre a Desigualdade de Taylor para n = 2, isto é, de- (b) Utilize a parte (a) para estimar 1/4/1,1 com precisao de trés , ae monstre que, se | f’”(x)| < M para|x — a| < d, entao casas decimais. 47-50 Calcule a integral indefinida como uma série infinita. M e-] |Ro(x)|<—|x-al? paral|x —a| b > 0, € nao é igual a sua série de Maclaurin. a/2 ° . L=4a|"" VT — e? sen0 do (b) Trace a funcao na parte (a) e comente seu comportamento pr6- 0 75. Use os sesnter paso para demonstrar 17]. onde e = va’ - b?/aéa excentricidade da clip se. Expanda o integrando como uma série binomial e use o re- (a) Seja g(x) = Si-o (f)x". Derive esta série para mostrar que sultado do Exercicio 50, na Segao 7.1, para expressar L como uma kg(x) série de poténcias da excentricidade até os termos em eé°. g(x) = ——— -l 0? 3. Tente calcular lim,— f(x) pela Regra de |’ Héspital, usando seu SCA para encontrar as deri- vadas do numerador e do denominador. O que vocé descobriu? Quantas aplicagdes da Regra de I’ H6spital so necessarias? 4. Calcule lim,—» f(x) usando seu SCA para encontrar quantos termos foram necessarios da sé- rie de Taylor do numerador e do denominador. (Use 0 comando taylor no Maple ou Se- ries no Mathematica.) 5. Use 0 comando de limite em seu SCA para encontrar 0 lim, f(x) diretamente (A maioria dos sistemas de computaca4o algébrica usa 0 método do Problema 4 para calcular limites.) 6. Tendo em vista as respostas aos Problemas 4 e 5, como vocé explica os resultados dos Pro- blemas 1 e 2? E necessdrio usar um sistema de computagao algébrica as PROJETO ESCRITO COMO NEWTON DESCOBRIU A SERIE BINOMIAL O Teorema Binomial, que dé a expansio de (a + b)‘, era conhecido pelos matematicos chineses mui- tos séculos antes da época de Newton para 0 caso em que o expoente k é um inteiro positivo. Em 1665, quando tinha 22 anos, Newton foi o primeiro a descobrir a expans4o em série infinita de (a + b) quando k é um expoente fracionario (positivo ou negativo). Ele nao publicou sua descoberta, mas enunciou-a e deu exemplos de como usa-la em uma carta (chamada hoje epistola prior) datada de 13 de junho de 1676, que ele enviou a Henry Oldenburg, secretario da Royal Society of London, para transmiti-la a Leibniz. Quando Leibniz respondeu, ele perguntou como Newton tinha des- coberto a série binomial. Newton escreveu uma segunda carta, a epistola posterior, em 24 de ou- tubro de 1676, na qual explicou detalhadamente como chegou a sua descoberta por uma rota muito indireta. Ele estava investigando as 4reas sob as curvas y = (1 — x”)"/? deOax paran = 0, 1, 2, 3, 4,.... Essas sao faceis de calcular se n for par. Ao observar padroes e interpolagaéo, Newton foi capaz de adivinhar as respostas para valores impares de n. Entao, ele percebeu que poderia obter as mesmas respostas expressando (1 — x”)? como uma série infinita. Escreva um relatério sobre a descoberta de Newton da série binomial. Comece dando um enun- ciado da série binomial na notacgao de Newton. Explique por que a versao de Newton é equiva- lente ao Teorema 17. Entao leia a epistola posterior de Newton e explique os padré6es que New- ton descobriu nas areas sob as curvas y = (1 — x”). Mostre como ele péde conjecturar as areas 692 CALCULO conjecturar as areas sob as curvas restantes e como verificou suas respostas. Finalmente, explique como essas descobertas levaram 4 série binomial. Os livros de Edwards [1] e Katz [3] contém co- mentarios sobre as cartas de Newton. 1. Edwards, C. H. The Historical Development of the Calculus. Nova York: Springer-Verlag, 1979, p. 178-187. 2. Fauvel J.; Gray J. The History of Mathematics: A Reader. Londres: MacMillan Press, 1987. 3. Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction. Nova York: HarperCollins, 1993, p. 463-466. 4. Struik, D. J. A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800. Princeton, NJ: Princeton Univer- sity Press, 1969. 11.11) Aplicagoes dos Polinomios de Taylor Nesta segéo exploraremos dois tipos de aplicagdes de polinémios de Taylor. Primeiro, vere- mos como eles sao usados para aproximar fungdes — os cientistas de computagao gostam de- les porque os polindmios séo as mais simples das fungdes. Depois, investigaremos como fi- sicos e engenheiros utilizam esses polindmios em campos como relatividade, 6ptica, radiagdes de corpos negros, dipolos elétricos, velocidade das ondas de Agua, e na construgao de rodo- vias no deserto. M8 Aproximando Fungoes por Polinémios Suponha que f(x) seja igual 4 soma de sua série de Taylor em a: % (n) fo) = J LO ay n=0 Nl. Na Sec4o 11.10 introduzimos a notagao T,,(x) para a n-ésima soma parcial dessa série, a que chamamos polinémio de Taylor de n-ésimo grau de fem a. Assim, n fli) ran) = YO oe - ay r ” (n) y = pa + tO ea + HOw at + LOG oy : 1! 2! n! YE y = Trix) y= TQ) Como f é a soma de sua série de Taylor, sabemos que T,(x) — f(x) quando n — © e, assim, (= Tx) T, pode ser usado como uma aproximacao para f: f(x) ~ T,(x). Observe que o polindmio de Taylor de primeiro grau (0, 1) T(x) = fla) + f'(a)(x — a) 0 x € 0 mesmo que a linearizacao de faté a que nds discutimos na Se¢ao 3.10, no Volume I. Observe também que T; e seus derivados tém os mesmos valores em a que fe f’ tém. Em geral, pode ser mostrado que as derivadas de T,,em a coincidem com as de f, incluindo até as derivadas de FIGURA 1 ordem n. Para ilustrarmos essas ideias, vamos olhar novamente para os graficos de y = e”* e seus pri- | x=02 | x=30 | meiros polindmios de Taylor, como mostrado na Figura 1. O grafico de T; é a reta tangente a To(x) 1,220000 8.500000 | y = e* em (0, 1); essa reta tangente é a melhor aproximagao linear para e* préximo de (0, 1). O Tix) 1,221400 16,375000 | grafico de T, é a pardbola y= 1 +x + x°/2, e o grafico de T; € a curva ctbica T(x) 1,221403 19,412500 y= l+txt x7/2 + x3/6, que é uma aproximac¢aéo melhor para a curva exponencial y = e* do T(x) 1,221403 20,009152 que 7>. O proximo polinémio de Taylor 7; seria uma aproximagao ainda melhor, e assim por diante. Tio(x) | 1,221403 | 20,079665 Os valores na tabela dao uma ilustragdo numérica da convergéncia dos polindmios de Tay- lor T,,(x) para a fung&o y = e*. Vemos que, quando x = 0,2, a convergéncia é muito répida, SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 693 mas, quando x = 3 , ela é um tanto mais lenta. De fato, quanto mais longe x esta de 0, mais lentamente T,,(x) converge para e*. Quando usamos um polinémio de Taylor T,, para aproximar uma func¢ao f, temos de fazer as seguintes pergunta: Quaéo boa é uma aproximaga4o? Quao grande devemos deixar n para ob- ter a precisdo desejada? Para respondermos a tais quest6es, precisamos olhar os valores ab- solutos do resto: | Ri) | = |£) — TO) | Existem trés métodos possiveis para estimar 0 tamanho do erro: 1. Se uma ferramenta gr&fica estiver disponfvel, podemos usé-la para tragar | R,,(x) | e assim estimar 0 erro. 2. Sea série for alternada, podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. 3. Em todos os casos podemos usar a Desigualdade de Taylor (Teorema 11.10.9), que diz que, se | f'"*"(x) | < M, entdo M | R(x) | <——— |x - a |"! (n + 1)! Een (a) Aproxime a funcao f(x) = 7*/? e, dessa forma, 2,5 ” 10 1 10 1 = f () = 55° Tan S G7 Gas < 9,0021 Portanto, podemos tomar M = 0,0021. Além disso, 7 S x = 9, assim, -Il Sx -8 <1 e |x — 8| < 1. Entdo, a Desigualdade de Taylor da 0,0021 0,0021 | Ro(x) | Ss 3) p= 6 < 0,0004 0 8 , FIGURA 2 Logo, se 7 S x S 9, a aproximacao na parte (a) tem precisdo de 0,0004. | 694 CALCULO 0,0003 Vamos usar uma ferramenta grafica para verificar os calculos no Exemplo 1. A Figura 2 mostra que os graficos de y = /x e y = T)(x) estado muito préximos um do outro quando x est4 proximo de 8. A Figura 3 mostra 0 grafico de | R2(x)| calculado a partir da expressio | Rox) | = | Ve = T(x) | Vemos a partir do grafico que 7 9 0 | Ro(x) | < 0,0003 FIGURA 3 quando 7 < x < 9. Entao, a estimativa do erro a partir de métodos graficos é ligeiramente me- lhor que a estimativa do erro a partir da Desigualdade de Taylor, nesse caso. EXEMPLO 2 (a) Qual é o maximo erro possivel ao usar a aproxima¢ao xo xX? sen x =~ Xx — -~ + 3! 3! quando —0,3 < x < 0,3? Use essa aproximagao para encontrar sen 12° com precisao de seis casas decimais. (b) Para quais valores de x essa aproximagao tem precisdo de 0,00005? SOLUCAO (a) Observe que a série de Maclaurin xe x? senx =xX-— > ~ +a 7- DWF 3! 5! 7! é alternada para todos os valores de x diferentes de zero e os termos sucessivos sao decrescentes, pois | x | < 1; dessa maneira, podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. O erro na aproximacao de sen x pelos trés primeiros termos de sua série de Maclaurin é de no maximo x! _ |x |’ 7! 5.040 Se —0,3 S x S 0,3, entao |x| < 0,3; assim, o erro é menor que (0,3)! —— = 43 x 10% 5.040 Para encontrarmos sen 12°, primeiro convertemos para radianos: 6 127 7 sen 12° = sen| ——— ]} = sen| —— 180 15 7 aw \>1 w\>1 =—-|—}]—+(—] = = 0,20791169 15 15 / 3! 15) 5! O Module 11.10/11.11 mostra Entao, com precisdo de seis casas decimais, sen 12° ~ 0,207912. graficamente os restos em aproximagoes (b) O erro sera menor que 0,00005 se polinomiais de Taylor. 7 el < 0,00005 5.040 , Resolvendo essa inequagao para x, temos |x|’ < 0,252 ou — |x| < (0,252)!/7 ~ 0,821 Assim a aproximagao dada tem precisao de 0,00005 quando |x| < 0,82. — SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 695 O que acontecera se usarmos a Desigualdade de Taylor para resolver o Exemplo 2? Como 43.10% f(x) = —cos x, obtemos | f(x) | < 1, logo 1 + 7 | Ro(x) | < = || y= |Rel2)| Assim obtemos as mesmas estimativas que usando o Teorema da Estimativa de Séries Alter- nadas. E com métodos graficos? A Figura 4 mostra 0 grafico de —0,3 0,3 0 —_ 1.3 1 5 | Ro(x) | = |sen x — (x — §x + 75x°)| FIGURA 4 e vemos a partir dele que | Re(x) | < 4,3 X 10°* quando |x| < 0,3. Esta é a mesma estima- 0,00006 tiva que obtivemos no Exemplo 2. Para a parte (b) queremos | Re(x) | < 0,00005, assim tra- ~ \y=0,00005s, = | camos y = | Re(x) | e y = 0,00005 na Figura 5. Colocando o cursor no ponto de intersegao a [ direita, descobrimos que a desigualdade é satisfeita quando |x| < 0,82. De novo, esta é a y= [Rel mesma estimativa que obtivemos na solugao do Exemplo 2. ° Se nos fosse pedido para aproximar sen 72° em vez de sen 12° no Exemplo 2, teria sido mais eficiente usar 0 polindmio de Taylor em a = 7/3 (em vez de a = 0) porque ele é uma 4 1 aproximagéo melhor para sen x para valores de x pr6ximos de 77/3. Observe que 72° esta mais 0 pr6ximo de 60° (ou 7/3 radianos) e as derivadas de sen x sAo faceis de calcular em 77/3. A Figura 6 mostra os graficos das aproximagoes por polindmios de Maclaurin FIGURA 5 x? T(x) = x T3(x) = x — 31 x xX? xe x8? Bo sx srt s MS x ae Say da curva seno. Vocé pode ver que, quando n aumenta, T,,(x) €é uma boa aproximacio para sen x em um intervalo cada vez maior. y T, 1 Ts 0 x y=senx FIGURA 6 T; \T, Um uso desse tipo de calculo feito nos Exemplos | e 2 ocorre em calculadoras e compu- tadores. Por exemplo, quando vocé pressiona as teclas sen ou e* em sua calculadora, ou quando um programador de computador usa uma sub-rotina para uma fung4o trigonométrica ou ex- ponencial ou de Bessel, em muitas maquinas é calculada uma aproximagao polinomial. O po- lindmio é com frequéncia um polinémio de Taylor que foi modificado de modo que 0 erro seja espalhado mais uniformemente por um intervalo. MM Aplicagoes a Fisica Os polinémios de Taylor s4o usados frequentemente na fisica. Para obter informag6es sobre uma equac¢ao, um fisico muitas vezes simplifica uma fung4o considerando apenas os primei- ros dois ou trés termos em sua série de Taylor. Em outras palavras, o fisico usa um polindmio de Taylor como uma aproximagao para a fungao. A Desigualdade de Taylor pode, entao, ser usada para medir a precisdo da aproximacao. O exemplo a seguir mostra uma maneira na qual essa ideia é usada em relatividade especial. (SQVRME Na teoria da relatividade especial de Einstein a massa de um objeto se movendo a uma velocidade v é Mo n= V1 — v7/c? 696 CALCULO onde mp € a massa do objeto em repouso e c € a velocidade da luz. A energia cinética do ob- jeto é a diferenca entre sua energia total e sua energia em repouso: K = mc? — moc? (a) Mostre que, quando v for muito pequeno comparado a c, essa expressdo para K coincide com a fisica classica de Newton: K = smov. (b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a diferenga entre essas expressOes para K quando |v| < 100 m/s. SOLUGAO (a) Usando as express6es dadas para K e m, obtemos 2 2 moc 2 K=mc —- mc =o — MC V1 — v?/e? ; yp? \-12 = moc 1- > — 1 c Com x = —v’/c’, a série de Maclaurin para (1 + x)? 6 calculada mais facilmente como uma série binomial com k = —3. (Observe que |x| < 1 porque v < c.) Por isso, temos 1 3 1 3 5 (1 taxa t—tet ( rl yoy ( rl al a4 ee 2! 3! =1—txt+ix?-Gxi te: A curva superior na Figura 7 6 0 grafico da expressdo para a energia cinética K de um 1 vw 3 yt 5 vy objeto com velocidade v na relatividade e K = moc’} | 1 + tatoo ataasted ol especial. A curva inferior mostra a fungdo 2c 8 ¢ 16 ¢ usada para K na fisica newtoniana classi- > 4 6 ca. Quando v 6 muito menor que a veloci- = 2 i au 3 ve = ve wee : Moc y+ 7+ eo dade da luz, as curvas sao praticamente 2c 8c l6c idénticas. Se v for muito menor que c, todos os termos depois do primeiro s40 muito menores quando K comparados com o primeiro termo. Se os omitirmos, obteremos 1 wv 1 K= me(# =) = 5Mov™ K=mc? = mc? (b) Sex = —v°/c?, f(x) = moc*[(1 + x)7'? — 1], e M for um némero tal que | f"(x)| < M, entaéo podemos usar a Desigualdade de Taylor para escrever M Ka 4m [Ri) | < 5p" = Mol 2! 0 c © Temos f"(x) = jmoc?(1 + x) *” e nos foi dado que |v| < 100 m/s, portanto 3moc* 3moc* FIGURA 7 Lf"(x) | = 0 < 0 (=M) A(1 — v?/ce?)? 41 — 100°/c?)*”? Logo, com c = 3 X 10° m/s, 1 3moc? 1004 R(x) | < = * ——. + — < (4,17 X 10°" )m JR) |S 5 A(1 — 1007/c?)?— 4 ( Jno Assim, quando |v| < 100 m/s, o médulo do erro ao usar a expresso newtoniana para a energia cinética é no maximo (4,2 < 107!°)mo. = Outra aplicagao a fisica ocorre em 6ptica. A Figura 8 é adaptada a partir de Optics, 4. ed., de Eugene Hecht (Sao Francisco, 2002). Ela mostra uma onda de uma fonte pontual S$ en- contrando uma interface esférica de raio R centrada em C. O raio SA é refratado em direcao aP. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 697 ~ 6 OA 6, 7 aoc 6 h << P ett i 9S S C P FIGURA 8 So | Refrag&o em uma interface esférica n, Ny Hecht, Eugene, Optics, 4. ed., © 2002. Impresso e reproduzido eletronicamente com permissao da Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ Usando o principio de Fermat de que a luz viaja de modo a minimizar o tempo de percurso, Hecht deduz a equacao 1] mo Me 1 [ms mS, t, €£; R\ ¢€; £, onde n; e n2 sao indices de refracio e €,, €;, s, e s; S40 as dist&ncias indicadas na Figura 8. Pela Lei dos Cossenos, aplicada aos triangulos ACS e ACP, temos Aqui usamos a identidade cos(a — ) = —cos [2] €, = JR? + (s, + R)2 — 2R(s, + R) cos £; = JR? + (s; — R)? + 2R(s; — R) cos b Como a Equacio | é dificil para se trabalhar, Gauss, em 1841, a simplificou usando a apro- ximacao linear cos ¢ ~ | para valores pequenos de @. (Isso equivale a usar os polindmios de Taylor de grau 1.) Entéo, a Equagao 1 se torna a equacao mais simples a seguir [como lhe sera solicitado demonstrar no Exercicio 34(a)]: n n nm — Nn [3] S42 So Si R A teoria 6ptica resultante é conhecida como éptica gaussiana, ou 6ptica de primeira ordem, e tornou-se a ferramenta tedrica basica usada no projeto de lentes. Uma teoria mais precisa é obtida aproximando cos ¢ por seu polinémio de Taylor de grau 3 (que € 0 mesmo que o polinédmio de Taylor de grau 2). Ela leva em consideragao raios para os quais d nao é tao pequeno, isto é, raios que atingem a superficie a distancias maiores acima do eixo. No Exercicio 34(b) lhe sera pedido para que use essa aproximacao para deduzir a equa- ¢ao mais precisa _ 2 2 m ~mimrom, fp mpl ly, mld So Si R 25, \So R 2s, \R Si A teoria 6ptica resultante é conhecida como dptica de terceira ordem. Outras aplicagdes dos polindmios de Taylor a fisica sao exploradas nos Exercicios 32, 33, 35, 36, 37 e 38, e no Projeto Aplicado Radiacdo Proveniente das Estrelas, neste capitulo. 698 CALCULO Exercicios f4 1. (a)Encontre os polindmios de Taylor até o grau 6 de 427-29 Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas ou a Desi- f(x) = cos x centradosem a = 0. Trace fe esses polindmios gualdade de Taylor para estimar a gama de valores de x para os quais na mesma tela. a aproximagao dada tem precisdo dentro do erro estabelecido. Veri- (b) Calcule fe esses polindmios em x = 77/4, 7/2 7. fique sua resposta graficamente. (c) Comente como os polinémios de Taylor convergem para f(x). x3 4 2. (a) Encontre os polinémios de Taylor até 0 grau 3 de f(x) = 1/x 27. sen x ~ x — 6 (| erro | < 0,01) centrados em a = 1. Trace fe esses polinémios na mesma tela. 7 ~ Ae _ 2 4 (b) Calcule fe esses polinomios em x = 0,9 e 1,3. 8 cosx~1— x 4 x (| erro| < 0,005) (c) Comente como os polinémios de Taylor convergem para f(x). 2 24 4 3-10 Encontre o polindémio de Taylor 7;(x) da fungao f centradas no 3 5 numero a. Faga o grafico de fe T; na mesma tela. 29. arctg x ~ x — ~~ (| erro| < 0,05) 3. f(x) =1/x, a=2 3S 4. f(x)=xte*, a=0 OO 5. f(x) =cosx, a= 1/2 30. Suponha que vocé saiba que > _1)te! 6. f(x) =e*senx, a=0 fA) = Loiat 1)"n! 7. f(x) =Inx, a=1 3"(n + 1) 8 f(x) =xcosx, a=0 e que a série de Taylor de f centrada em 4 converge para f(x) para 9. f(x)=xe, a=0 todo x no intervalo de convergéncia. Mostre que o polindmio de 10. f(x) =tg 'x, a=1 Taylor de grau 5 aproxima f(5) com erro menor que 0,0002. OO 31. Um carro esta se movendo com velocidade de 20 m/s e acelera- 11-12 Use um sistema de algebra computacional para encontrar os po- ¢4o de 2 m/s” em um dado instante. Usando um polindmio de Tay- linémios de Taylor T,, centrados em a paran = 2, 3, 4, 5. Entao trace lor de grau 2, estime a distancia que o carro percorre no proximo os grafico estes polindmios e fna mesma tela. segundo. Seria razoavel utilizar esse polinémio para estimar a dis- 11. f(x) =cotgx, a= 7/4 tancia percorrida durante o pr6ximo minuto? 12. f(x) = Vl +x?, a=0 32. A resistividade p de um fio condutor é 0 reciproco da condutivi- OE dade e é medida em unidades de ohm-metros (Q-m). A resistivi- 13-22 dade de um dado metal depende da temperatura de acordo com (a) Aproxime f por um polinémio de Taylor com grau n no numero a. a equaciio (b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisao da aproxi- (= ax(t-20) macao f(x) ~ T,(x) quando x estiver no intervalo dado. PX) = pre 4 (c) Verifique seu resultado na parte (b) tragando | Rn(x) |. onde ¢ é a temperatura em °C. Existem tabelas que listam os va- 13. f(x) = a/x. », a=4, n=2, 45x42 lores de a (0 coeficiente de temperatura) e p29 (a resistividade a 14. f(x) = x?, a=1, n=2, 09 (D+dy 26. Quantos termos da série de Maclaurin de In(1 + x) vocé precisa usar para estimar In 1,4 com precis&o de 0,001? E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints est&o disponiveis em www.stewartcalculus.com SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 699 Expandindo essa expresséo para E como uma série de poténcias 5 4 Z . : 3 L 5L de d/D, mostre que E é aproximadamente proporcional a 1/D C~—4+-——~ eer . 2R =. 24R? quando P esta muito distante do dipolo. (c) Compare as corregées dadas pelas formulas em (a) e (b) para q —q uma rodovia que tenha 100 km de percurso. (Tome 0 raio da P D d Terra como 6.370 km.) 34. (a) Deduza a Equacio 3 para a Optica gaussiana a partir da Equa- c cao | aproximando cos ¢@ na Equagao 2 por seu polinédmio de R Taylor de grau 1. R (b) Mostre que se cos ¢ for substituido por seu polindmio de Tay- lor de terceiro grau na Equacao 2, entao a Equacao | se torna Equagao 4 para terceira ordem 6ptica. [Dica: Use os dois pri- 38. O periodo de um péndulo com comprimento L que faz um Angulo meiros termos da série binomial para €;"' e €;"'. Use, também, maximo 0) coma vertical é d = sen d.] 35. Se uma onda de 4gua com comprimento L se mover com veloci- T= at (" dx dade v ao longo de um corpo de 4gua com profundidade d, como glo V1 — k* sen*x na figura, entao onde k = sen(}0o) eg €aaceleracao da gravidade. (No Exerci- gL dad cio 42 da Seco 7.7, no Volume I, essa integral foi aproximada v= oa tgh TT pela regra de Simpson.) . (a) Expanda o integrando como uma série binomial e use o re- (a) Se a agua for profunda, mostre quev* 4 gL/(27).. sultado do Exercicio 50 da Segao 7.1, no Volume I, para mos- (b) Se a 4gua for rasa, use a série de Maclaurin para tgh para mos- trar que trar que v ~ ,/gd. (Entao, em agua rasa a velocidade de uma onda tende a ser independente do comprimento da onda.) L 2 1732 123252 ate an T=20,/—Jl+a5hR 45h 45 + -:: (c) Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para mos- g ? 2742 27462 x a trar que, se L > 10d, entao a estimativa v gd tem preci Se @ nio for muito grande, a aproximacdo T ~ 27 ‘Tq 19, sao de 0,014gL. : oo. a, obtida ao se usar o primeiro termo da série, é frequente- mente utilizada. Uma aproximagao melhor seria obtida pelos NN dois primeiros termos: <——_ | —— — dD L 1p2 T ~ 2a/— (1 + jk’) g — —— (b) Observe que todos os termos da série, com excec4o do pri- . . . ; iro, tém coeficient o, no maximo, ;. U fat 36. Um disco uniformemente carregado tem raio R e densidade de me O, HAA CO’ serene qe S20 ne mane 7 se esse nee . . . a. para comparar esta série com a série geométrica e mostre que carga superficial o como na figura. O potencial eléctrico V no onto P a uma distancia d ao longo do eixo perpendicular central L L 4— 3k? eee . perp Iny/— (141k) © quando A — 0*, mas experiéncias mostraram que f(A) — 0.] Este fato € conhecido como a ca- tastrofe ultravioleta. Em 1900, Max Planck encontrou um modelo melhor (conhecido agora como a Lei de Planck) para a radiacgao do corpo negro: 8arhcaA * f(A) = el/OKT) — 7 onde A é medido em metros, T é a temperatura (em kelvins) e h = constante de Planck’s = 6,6262 X 10°*J-s c = velocidade da luz = 2,997925 X 10° m/s k = constante de Boltzmann’s = 1,3807 * 10°77 J/K 1. Use a Regra de l’Héspital para mostrar que Jim, f(A) =0 e lim f(A) =0 para a Lei de Planck. Assim, essa lei pode modelar melhor a radiagao do corpo negro que a Lei de Rayleigh-Jeans para comprimentos de onda mais curtos. 2. Use um polinémio de Taylor para mostrar que, para comprimentos de onda longos, a Lei de Planck fornece aproximadamente os mesmos valores que a Lei de Rayleigh-Jeans. f43. Trace f dada por ambas as leis na mesma tela e comente as similaridades e diferengas. Use T = 5.700 K (a temperatura do Sol). (Vocé pode querer mudar de metros para unidade mais conveniente de micr6metros: 1 ym = 10°°m.) 4. Use seu grafico no Problema 3 para estimar o valor de A para o qual f(A) é um maximo na Lei de Planck. FAs. Investigue como o grafico de f muda quando T varia. (Use a Lei de Planck.) Em particular, trace jf para as estrelas Betelgeuse (T = 3 400 K), Procyon (T = 6 400) e Sirius (T = 9 200 K), e tam- bém o Sol. Como a radiagao total emitida (a area sob a curva) varia com T? Use 0 grafico para comentar por que Sirius é conhecida como uma estrela azul e Betelgeuse, como uma estrela vermelha. E necessério usar uma calculadora grdfica ou computador SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 701 7 Revisao Verificagao de Conceitos 1. (a) O que é uma sequéncia convergente? como vocé estima sua soma? (b) O que é uma série convergente? (c) Se uma série for convergente pelo Teste da Série Alternada, (c) O que significa lim,—. a, = 3? como vocé estima sua soma? (d) O que significa Y;-1 a, = 3? 8. (a) Escreva a forma geral de uma série de poténcias. 2. (a) O que é uma sequéncia limitada? (b) O que € 0 raio de convergéncia de uma série de poténcias? (b) O que é uma sequéncia monétona? (c) O que € 0 intervalo de convergéncia de uma série de poténcias? (c) O que vocé pode dizer sobre uma sequéncia monétona limi- 9. Suponha que f(x) seja a soma de uma série de poténcias com raio tada? de convergéncia R. 3. (a) O que é uma série geométrica? Sob quais circunstancias ela (a) Como vocé deriva f? Qual € 0 raio de convergéncia da série é convergente? Qual é sua soma? para f’? (b) O que é uma série p? Sob quais circunstancias ela é conver- (b) Como vocé integra f? Qual é 0 raio de convergéncia da série gente? para [ f(x) dx? 4. Suponha que = a, = 3 es, sejaan-ésima soma parcial da série. 10. (a) Escreva uma expressao para a série de Taylor de n-ésimo O que é lim, —. a,? O que é lim,» sn? grau de f centrada em a. 5. Enuncie o seguinte: (b) Escreva uma expresso para a série de Taylor de f centrada (a) O Teste para Divergéncia. em a. (b) O Teste da Integral. (c) Escreva uma expressao para a série de Maclaurin de f. (c) O Teste da Comparagio. (d) Como vocé mostra que f (x) é igual 4 soma de sua série de Tay- (d) O Teste da Comparagao no Limite. lor? (e) O Teste da Série Alternada. (e) Enuncie a Desigualdade de Taylor. (f) O Teste da Razao. 11. Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergéncia para (g) O Teste da Raiz. cada uma das seguintes fungées: 6. (a) O que é uma série absolutamente convergente? (a) 1/(1 — x) (b) e* (c) sen x (b) O que vocé pode dizer sobre estas séries? (d) cos x (e) tg x (f) In(1 + x) (c) O que € uma série condicionalmente convergente? 12. Escreva a expansio da série binomial de (1 + x)‘. Qual € 0 raio de 7. (a) Se uma série for convergente pelo Teste da Integral, como vocé convergéncia desta série? estima sua soma? (b) Se uma série for convergente pelo Teste da Comparacao, Quiz Verdadeiro-Falso Determine se a afirmacdo é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, 11. Se —1 < a < 1, entao lim, .. a" = 0. explique por qué. Caso contrario, explique por que ou dé um exemplo que 12. Se ¥ a, é divergente, entdo ¥ | a,| é divergente. mostre que é falsa. . _ . 13. Se f(x) = 2x — x? + 4x3 — +++ converge para todo x, entio 1. Se lim,—. a, = 0, entao > a, € convergente. 0) =2 2. Asérie Si-1n S"'é te. . . SEME Sn=1 0 © convergen'e 14. Se {a,} e {b,} sio ambas divergentes, entio {a, + b,} é diver- 3. Se lim,—. a, = L, entao lim,» don+1 = L. gente. 4. Se >c,6" for convergente, entao > c,(—2)" € convergente. 15. Se {a,}e {b,} sao ambas divergentes, entdo {a,b,} € divergente. 5. Se >c,6" for convergente, entéo > c,(—6)" € convergente. 16. Se {a,,} € decrescente e a, > 0 para todo n, entao {a,} sera con- 6. Se Xc,x" diverge quando x = 6, entio ela diverge quando vergente. x= 10. 17. Se a, > 0e Da, converge, entéo > (—1)"a, também converge. 7. O Teste da Razao pode ser usado para determinar se ¥ 1/n* con- 18. Sea, > Oe lim,» (dn+1/an) < 1, ent&o lim, a, = 0. verge. S 19. 0,99999... = 1 8. O Teste da Raz&o pode ser usado para determinar se ¥ 1/n! con- 20. Se lim a, =2,entdo lim (dy:1 — a,) = 0. verge. no no . . . . 21. Se um ntimero finito de termos forem adicionados a uma série 9. Se 0 b, divergir, entao > a, diverge. 7 ae convergente, a nova série também é convergente. = (-1)" 1 ey 0 0 10. x» ~ 22. Se } a, = Ae > b, = B,entio >, a,b, = AB. n=0 . n=1 n=1 n=1 702 CALCULO Exercicios |-8 Determine se a sequéncia é convergente ou divergente. Se ela for 32. Expresse a dizima periddica 4, 17326326326... como uma fragao. convergente, encontre seu limite. 33. Mostre que cosh x = 1 + 3x? para todo x. 1 2+n > grt 34. Para quais valores de x a série Yr=, (In x)" converge? SOT On G10" ; . 2 (-1)""! . n 35. Encontre a soma da série 5) ——— com precisio de quatro ca- 3. a, = > 4. a, = cos(n7/2) a nm I+n sas decimais. nsenn Inn 36. (a) Encontre a soma parcial s; da série 5%, 1/n® e estime o erro 5. dn = n+ 6. an = Jn ao us4-la como uma aproximagao para a soma da série. 7. {+ 3/ny"} 8. {(—10)"/n!} (b) Encontre a soma da série com preciso de cinco casas deci- mais. 37. Use a soma dos oito primeiros termos para aproximar a soma da 9. Uma sequéncia € definida recursivamente pelas equag6es a; = |, série S¥_, (2 + 5”")7|. Estime o erro envolvido nessa aproxima- Anv1 = +(a, + 4). Mostre que {a,,} é crescente e a, < 2 para todo cio. n. Deduza que {an} € convergente e encontre seu limite. 38. (a) Mostre que a série 5 n é convergente. 10. Mostre que lim,...n“e~" = 0 e use um gréfico para encontrar n= (2n)! o menor valor de N que corresponde a e = 0,1 na definigao de n" limite. (b) Deduza que lim Qn! = 0. n>» (2n)! 11-22 Determine se a série € convergente ou divergente. 39. Demonstre que, se a série 2-1 a, for absolutamente convergente, % n 2 4] entio a série 11. = 12. = x Are rd 3 (4), a n n oo n> % (- 1)" 13. > — 4. > rat é absolutamente convergente também. m5 mi vat I 40-43 Encontre 0 raio de convergéncia e o intervalo de convergéncia 5 l 5 ( n ) da série. 15. SS 16. In{ ——— n=2 Ni/Inn ne 3n+1 2 x” (x + 2)" ° ' 40. > (-1)" = n. > et 2" oo 3 0 2n n=1 n 5” n=1 n4" cos 3n n 17. ———_— 18. —— 6 2 an n 2 1 + (1,2)" 2 (1 + 2n’)" { 2"(x — 2)" 2"(x — 3) 42, >, ——— 3. > n=1 (n + 2)! n=0 VN +3 yy, 5 3S On Dg y 5)" . n=1 5"n! , n=1 n’9" 44. Encontre o raio de convergéncia da série “ nl Jn SS v~nt1i-vJn- 1 21. > (-1)"' 22. <> & (2n)! n=1 n+1 n=1 n S a = n=1 (n!) : . . 45. E t srie de Taylor d = = 7/6. 23-26 Determine se a série é condicionalmente convergente, absolu- meonnne @ sue e Taylor de f(x) = sen xema = a7/ tamente convergente ou divergente. 46. Encontre a série de Taylor de f(x) = cos xema = 77/3. oo 00 47-54 Encontre a série de Maclaurin de fe seu raio de convergéncia. 23. Y (“1 no '? aa. Y (-1)" n> Vocé pode usar 0 método direto (a definigéo de série de Maclaurin) mt ml ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a 25, y (- "an + 1)3” 6. y (-1)' Jn série de Maclaurin de e*, sen x, tg-'x e In(1 + x). n=1 2°" n=2 Inn x2 a 47. f(x) = —— 48. f(x) = tg '(x’) 1+x 27-31 Encontre a soma da série. 49. f(x) = In(4 — x) 50. f(x) = xe" oo (—3)""! % 1 27. —— 28. —— x 2s xs) 51. f(x) = sent") 52. f(x) = 10 % % —1)"7" . = 4 _ _ _ -5 29, ¥ [ten + 1) — ten] 30. ¥ C )" aT 53. f(x) = 1/ ~., (c) Some uma série infinita para encontrar a 4rea dentro da curva floco de neve. Observacdao: As partes (b) e (c) mostram que a curva floco de neve é infinitamente longa, mas delimita apenas uma Area finita. 6. Encontre a soma da série 1 1 1 1 1 1 1 1+—+—+—4+—+—4+—-—4+—+4-:: 2 3 4 6 8 9 12 onde os termos sAo os reciprocos dos inteiros positivos cujos tinicos fatores primos s4o 2 e 3. 7. (a) Mostre que, para xy # —1, xy arctg x — arctg y = arctg ———_ 1+xy se o lado esquerdo estiver entre —7/2e 7/2. (b) Mostre que arctg #9 — arctg 45 = 77/4. (c) Deduza a seguinte férmula de John Machin (1680-1751): T 4 arctg § - arctg 549 =a (d) Use a série de Maclaurin para arctg para mostrar que 0,1973955597 < arctg } < 0,1973955616 (e) Mostre que 0,004184075 < arctg 45 < 0,004184077 (f) Deduza que, com precisdo de sete casas decimais, 7 ~ 3,1415927. Machin usou esse método em 1706 para encontrar 7 com preciso de 100 casas decimais. FIGURA PARA 0 PROBLEMA 5 Recentemente, com a ajuda de computadores, o valor de qr tem sido calculado com uma precisdo cada vez maior. Em 2009, T. Daisuke e sua equipe calcularam o valor de 7 para mais de dois trilhGes de casas decimais! 8. (a) Demonstre uma férmula similar aquela no Problema 7(a), mas envolvendo arccotg em vez de arctg. SEQUENCIAS E SERIES INFINITAS 705 (b) Encontre a soma da série S%~» arccotg(n? + n + 1). 9. Encontre o intervalo de convergéncia de >7_, n*x" e sua soma. 10. Se ao + a; + ay + +++ + a, = 0, mostre que lim (aoJ/n tavn+1 + aJ/nt+2 +-+++aVvn+k)=0 Se vocé nao vé como demonstrar isso, tente a estratégia de resolucdo de problemas com uso de analogias (Capitulo 1 — Volume I). Tente os casos especiais k = 1 e k = 2 primeiro. Se vocé vir como demonstrar a assergdo para esses casos, provavelmente veré como de- monstra--la no caso geral. ci YS 1 11. Encontre a soma da série }) In{ 1 — =z |. -—— n=2 n KS 1 nan . . —— 1 12. Suponha que vocé tenha um grande suprimento de livros, todos do mesmo tamanho, e os ,i 4 2 empilhe na borda de uma mesa, com cada livro se estendendo mais longe da borda da mesa 8 6 do que o livro embaixo dele. Mostre que é possivel fazer isso de maneira que o livro no topo da pilha fique inteiramente além da mesa. De fato, mostre que o livro do topo pode se estender a qualquer distancia além da borda da mesa se a pilha for alta 0 suficiente. Uti- lize o seguinte método de empilhamento: 0 livro do topo se estende por metade de seucom- —_— FIGURA PARA O PROBLEMA 12 primento além do segundo livro. O segundo livro se estende por um quarto de seu com- primento além do terceiro. O terceiro se estende por um sexto de seu comprimento além do quarto, e assim por diante. (Tente vocé mesmo com um baralho.) Considere centros de massa. 13. Se acurva y = e “"° sen x, x = 0, for girada em torno do eixo x, 0 s6lido resultante se pa- rece com uma sequéncia infinita de bolinhas decrescentes. (a) Encontre o volume exato da n-ésima bolinha. (Use uma tabela de integrais ou um sis- tema de computagao algébrica.) (b) Encontre o volume total das bolinhas. 14. Se p > 1, calcule a expressfo. 1 1 1 1+—+—4+—+H--:: 2? 3P 4P 1 1 1 1-—+—-—+H-:: 2? 3P 4P 15. Suponha que circulos de diametros iguais sejam agrupados o mais junto possivel em n fi- leiras dentro de um triangulo equilatero. (A figura ilustra o caso n = 4.) Se A for a area do triangulo e A, for a area total ocupada pelas n fileiras de circulos, mostre que FIGURA PARA O PROBLEMA 15 i An _ 7 moe A 23 16. Uma sequéncia {a,} é definida recursivamente pelas equacées a=a=1 n(n — la, = (n — 1)(n — 2)an-1 — (n — 3)an-2 Encontre a soma da série Yio an. P, Ps P, 17. Tomando o valor de x* em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, mostre que 1 2 (-1)"! { x*dx= > cy - 0 n=1 n 18. Comecgando com os vértices P,(0, 1), P2(1, 1), P3(1, 0), P4(0, 0) de um quadrado, construimos Lr \7 P, pontos adicionais conforme mostrado na figura: P; é o ponto médio de P;P2, Ps €é 0 ponto NY médio de P2P3, P; € o ponto médio de P;P., e assim por diante. O caminho espiral poligo- nal P;P.P3P;PsPsP;...tende a um ponto P dentro do quadrado. \4 (a) Se as coordenadas de P, forem (x,, y,), Mostre que 5X, + Xn+1 + Xne2 + Xne3 = 2 € EN- P, 7 P, contre uma equacéo similar para as coordenadas y. ’ (b) Encontre as coordenadas de P. FIGURA PARA O PROBLEMA 18 706 CALCULO oe EN" 19. Encontre a soma da série }) ———~—., nat (2n + 1)3 20. Efetue as seguintes etapas para mostrar que 1 1 1 1 —— + —— + —— + —— + +++ =In2 1-2 3:4 5:6 7:8 (a) Use a formula para a soma de uma série geométrica finita (11.2.3) para obter uma ex- pressao para la-xte— etree $y? — yr! (b) Integre o resultado da parte (a) de 0 a | para obter uma expressfo para 1 1 1 1 1 1-=+—-—4+--+4+—— - — 2 3 4 2n-1 2n como uma integral. (c) Deduza a partir da parte (b), que 1 1 1 1 1 dx 1 + be HE Efe 1-2 3:4 5:6 (2n — 1)(2n) ol+x 0 (d) Use a parte (c) para mostrar que a soma da série dada é In 2. 21. Encontre todas as solugdes da equacao 1 9 1 7 peg ZH yp Fy Z eee Lv | 2! 4! 6! 8! - > Dica: Considere os casos x = 0 e x < 0 separadamente. 22. Triangulos retangulos s4o construidos conforme a figura. Cada triangulo tem altura igual : 1 a 1 e sua base é a hipotenusa do triangulo anterior. Mostre que essa sequéncia faz um nu- O mero ilimitado de voltas ao redor de P, demonstrando que = 6, é uma série divergente. P 1 . ee . ~ , . woe 23. Considere a série cujos termos sao os reciprocos de inteiros positivos que podem ser es- FIGURA PARA O PROBLEMA 22 critos na base 10 sem usar o digito 0. Mostre que essa série é convergente e a soma é me- nor que 90. 24. (a) Mostre que a série de Maclaurin da fungao x . — a f(a) ==, é D fix TXT xX n=1 onde f, € o n-ésimo numero de Fibonacci, isto é, fi=1, fp = left =fr-1 + fr-2 para n = 3. [Dica: Escreva x/(1 — x — x?) = co + cx + mx? + ---e multiplique ambos os lados desta equagfo por 1 — x — x?.] (b) Ao escrever f(x) como uma soma de frag6es parciais, portanto, obtendo a série de Ma- claurin de uma maneira diferente, encontre uma formula explicita para 0 n-ésimo nt- mero de Fibonacci. 25. Considere xe x x? u=1+—+—+—+4--- 3! 6! 9! + x + x + x + y= SX y~X yp * a... “4! 7! 10! oP ee, eo St 8! Mostre que u* + v° + w? — 3u0w = 1. 26. Demonstre que se n > 1, an-ésima soma parcial da série harmonica nao é um inteiro. Dica: Seja 2‘ a maior poténcia de 2 que é menor ou igual ane seja M o produto de todos os in- teiros {mpares que séo menores ou iguais a n. Suponha que s, = m, um inteiro. Entio, M2's, = M2‘m. O lado direito dessa equagiio é par. Demonstre que o lado esquerdo é im- par, mostrando que cada um de seus termos é um inteiro par, com excecao do ultimo. Vetores e a Geometria do Espaço Neste capítulo apresentamos vetores e sistemas de coordenadas para um espaço tridimen- sional. Esta será a definição para o nosso estudo do cálculo de funções de duas variáveis no Capítulo 14 porque o gráfico de tal função é uma superfície no espaço. Neste capítulo, vere- mos que vetores fornecem uma descrição particularmente simples descrições de retas e pla- nos no espaço. 12 David Frazler/Corbis Mark C. Burnett/Photo Researchers, Inc Exemplos de superfícies e sólidos que estu- damos neste capítulo são paraboloides (usados para antenas parabólicas) e hiper- boloides (usados para torres de resfria- mento de reatores nucleares). Calculo12_01:calculo7 5/25/13 6:33 AM Page 707 708 CALCULO ca Sistemas de Coordenadas Tridimensionais z Para localizar um ponto no plano sao necessdrios dois nimeros. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser representado como um par ordenado (a, b) de nimeros reais, onde a é a coordenada x e b é a coordenada y. Por essa razao, um plano é chamado bidimensional. Para localizar um ponto no espago, necessitamos de trés nimeros. Representaremos qualquer O ponto no espaco pela tripla ordenada (a, b, c) de ntiimeros reais. Para representarmos os pontos no espaco, primeiro escolhemos um ponto fixo O (a ori- y gem) e trés retas orientadas O que sejam perpendiculares entre si, denominadas eixos coor- x denados e denotados eixo x, eixo y e eixo z. Geralmente, colocamos os eixos x e y, denotados FIGURA 1 por como retas horizontais e a reta vertical como 0 eixo z, e indicamos a orientacgao dos eixos Fixos coordenados com setas, como mostrado na Figura 1. O sentido do eixo z € determinado pela regra da mao direita, como ilustrado na Figura 2. Se vocé arredondar os dedos de sua mAo direita ao redor Zz do eixo z de forma a rodar 90° no sentido anti-horario do eixo x positivo para 0 eixo y posi- tivo, o polegar apontara para o sentido positivo do eixo z. Os trés eixos coordenados determinam trés planos coordenados ilustrados na Figura 3(a). O plano xy € o plano que contém os eixos x e y; o plano yz contém os eixos y e Z; 0 plano xz contém os eixos x e z. Estes trés planos coordenados dividem 0 espago em oito par- tes, chamadas octantes. O primeiro octante é determinado pelos eixos positivos. a , x Z FIGURA 2 | ° Regra da mao direita [| 0% Plano yz gp Parede q;...- pla" pa? io “ireita O - que’ ia | x , Ck. y a Le xa FIGURA 3 (a) Planos coordenados (b) Como muitas pessoas tém dificuldade em visualizar diagramas de figuras em trés dimen- ses, pode ser util fazer o que sugerimos a seguir [Veja a Figura 3(b)]. Olhe para algum canto inferior de um c6modo e defina-o como origem. A parede que se encontra 4 sua esquerda esta no plano xz, a parede a sua direita esta no plano yz e o chao esta no plano xy. O eixo x esta . ao longo da intersecgao do chao com a parede esquerda. O eixo y fica ao longo da intersec- . cao do chao com a parede direita. O eixo z fica ao longo da intersecc4o das duas paredes, Pia b,c) orientado no sentido do teto. Se vocé esta no primeiro octante e imagina outras sete salas situadas nos outros sete octantes (trés no mesmo andar e quatro no andar abaixo), todas tém o canto O em comum. a Q © Se P é qualquer ponto no espaco, seja a a distancia (orientada) a partir do plano yz ao ponto P; seja b, a distancia a partir do plano xz até o ponto P, e seja c, a distancia do plano x ” xy ao ponto P. Representamos o ponto de P pela tripla ordenada (a, b, c) de ntimeros reais e b chamamos a, b e c de coordenadas de P; a é a coordenada x, b é a coordenada y e c é a coor- FIGURA 4 denada z. Assim, para localizarmos 0 ponto (a, b, c), comecgamos da origem O e movemos a unidades ao longo do eixo x; em seguida, b unidades paralelamente ao eixo y e, por fim, c unidades paralelamente ao eixo z, como na Figura 4. O ponto P(a, b, c) determina uma caixa retangular como mostrada na Figura 5. Se tra- garmos uma perpendicular de P ao plano xy, encontraremos um ponto Q com coordenadas (a, b, 0), denominado proje¢ao de P no plano xy. Analogamente, R(0, b, c) e S(a,0, c) s4o as projegdes de P nos planos yz e xz, respectivamente. Como ilustragdes numéricas, os pontos (—4, 3, —5) e (3, —2, —6) estao estao mostra- dos na Figura 6. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 709 (0,0, ¢) 3 0 RO, b,c) “4 LA y S(a, 0, ¢ (4,0,¢) P(a, b, c) 0 —5 x xX (0, b, 0) ma (4, 3, -5) —6 (a, 0, 0) vo y 7 * Q(a, b, 0) (3,2, —6) FIGURA 5 FIGURA 6 O produto cartesiano R X R X R = {(x, y, z)lx, y, z € R} € 0 conjunto de todas as tri- plas ordenadas de numeros reais e é denotado por R?. Demos uma correspondéncia biunivo- ca entre os pontos P no espaco e triplas ordenadas (a, b, c) no R?. Isso é denominado um sistema de coordenadas retangular tridimensional. Observe que, em termos de coorde- nadas, 0 primeiro octante pode ser descrito como o conjunto de pontos cujas coordenadas sao todas positivas. Na geometria analitica bidimensional, 0 grafico de uma equagao envol- vendo x e y € uma curva em R?. Na geometria analitica tridimensional, uma equacdo em x, y e Z representa uma superficie em R’°. (SQM Que superficies em R? estiio representadas pelas seguintes equacdes? (a)z = 3 (b)y =5 SOLUCAO (a) A equacio z = 3 representa 0 conjunto {(x, y, z)| z = 3}, que é conjunto de todos os pon- tos em R? com coordenada z igual a 3. Este é 0 plano horizontal paralelo ao plano xy e trés unidades acima deste, como na Figura 7(a). Z Zz y 5 0 0 x x xX y y FIGURA 7 (a) z= 3, um plano em R® (b) y= 5, um plano em R® (c) y=5, uma reta em R? (b) A equagdo y = 5 representa 0 conjunto de todos os pontos em R? cuja coordenada y é€ 5. Esse € 0 plano vertical paralelo ao plano xz e cinco unidades 4 direita deste, como na Figu- ra 7(b). 7 OBSERVAGAO Quando é dada uma equacio, precisamos descobrir a partir do contexto se ela representa uma curva em R? ou uma superficie em R?. No Exemplo 1, y = 5 representa um plano em R?, mas é claro que y = 5 também pode representar uma reta em R? se esti- vermos trabalhando com geometria analitica bidimensional. Veja as Figuras 7(b) e (c). Em geral, se k € uma constante, entéo x = k representa um plano paralelo ao plano yz, y = kéum plano paralelo ao plano xz e z = k € um plano paralelo ao plano xy. Na Figura 5, as faces da caixa retangular sao formadas pelos trés planos coordenados x = 0 (0 plano yz), y = 0(0 plano xz) e z = 0 (0 plano xy), e os planos x = a,y =bez=c. (a) Quais os pontos (x, y, z) satisfazem as equagdes r+y=1 e z=3 (b) O que a equacdo x? + y? = | representa como uma superficie em R?? 710 CALCULO SOLUCAO (a) Como z = 3, os pontos estao no plano horizontal z = 3 a partir do Exemplo 1(a). Uma vez que x* + y* = 1, os pontos estao sobre 0 circulo com raio | e centro no eixo z. Veja a Figura 8. (b) Dado que x? + y? = 1, sem restrigdes em z, vemos que o ponto de (x, y, z) poderia estar sobre um circulo em qualquer plano horizontal z = k. Assim, a superficie de x7 + y? = 1 em R? é constitufda por todos os possiveis circulos horizontais x* + y* = 1, z = k, e, conse- quentemente, o cilindro circular com raio | cujo eixo € 0 eixo z. Veja a Figura 9. Z Z | A a a x y x y FIGURA 8 FIGURA 9 O circulo x7 + y?=1,z=3 O cilindro x? + y?=1 7 Zz SSE) Descreva e esboce a superficie em R? representada pela equacao y = x. SOLUCAO A equacio representa 0 conjunto de todos os pontos em R? com coordenadas x e y iguais, isto é, {(x, x, z) x € R, z € R}. Trata-se de um plano vertical que intersecta o plano xy na reta y = x, z = 0. A porcao deste plano que se encontra no primeiro octante esta esbo- 0 ” cada na Figura 10. | A férmula familiar para a distancia entre dois pontos em um plano é estendida facilmen- te para a seguinte formula tridimensional. xX FIGURA 10 Férmula da Distancia em Trés Dimensdes A distancia |P,P2| entre os pontos Pi(x, yi, Z1) O plano y= x € Px(%X2, yr, 22) € | PiP2| = V(x2 — x1)? + (2 — yi)? + (2 — 21)? Zz Px Ye 2) Para vermos por que essa férmula é verdadeira, vamos construir uma caixa retangular (como ee PN P(x, Ys Za) na Figura 11), onde P; e P2 sio vértices opostos e as faces dessa caixa s4o paralelas aos pla- nos coordenados. Se A(x, yi, Z1) € B(x2, 2, Z1) S40 Os vértices da caixa indicados na figura, <\ entao, |PiA| = |x. — x1| |AB| =|» — yi| |BP2| = |z. — z1| = X Como os triangulos P;BP2 e P,AB sao ambos triangulos retangulos, duas aplicagdes do Teo- 9 B(x, Yoo 21) rema de Pitagoras fornecem x A(X, YZ (X25 Yi» 21) > | P:P2|? = |P.B? + | BP? FIGURA 11 e |P:\B|? = |PiA/? + |AB|? Combinando essas equagdes, obtemos |P:P2|> =|PiA?? + |AB/?? + | BP2|? =|x2.-aifP + ly —ywP+lo-—afP = (2 — i)? + G2 — WP + ( — 21)? Logo, | P:P2| = J (x2 _ x1)? + (y2 _ yi)? + (z> _ 2) VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 711 (SQW A distancia do ponto P(2, —1, 7) ao ponto O(1, —3, 5) é |PO|= V0 — 27? + (-3 +12 + (5-72 =V1+4+4 =3 — (SQM Encontre a equacdo da esfera com raio r e centro C(h, k, 1). SOLUCAO Por definicao, a esfera é 0 conjunto de todos os pontos P(x, y, z) cuja distancia ao ° ponto C é r. (Veja a Figura 12.) Logo, P esté sobre a esfera se e somente se |PC| = r. Ele- P(x, y, 2) vando ao quadrado ambos os lados, temos |PC|? = r? ou (x-hY+y-ke+e-Y=r = O resultado do Exemplo 5 vale a pena ser lembrado: Equacao da Esfera A equagao de uma esfera com centro C(h, k, /) e raio r é 0 («he + - + E-DP=P xX Em particular, se 0 centro € a origem O, entéo a equacao da esfera é y ety+ gear FIGURA 12 (SQA Mostre que x? + y?+ 2+ 4x — 6y + 2z + 6 = 0 € a equacdo de uma esfera e encontre seu centro e raio. SOLUCAO Podemos reescrever a equacdo dada na forma da equacao de uma esfera se com- pletarmos os quadrados: (+ 4x +4) + 0? - by + 9) 4+ (24+ 2z4+1)=-64+44+9+1 (x + 2P+ (~—- 3P+(z+1?=8 Comparando essa equag4o com a forma padrao, vemos que esta é a equacdo de uma esfera com centro (—2, 3, —1) e raio V8 = 2y2. | STI Que regiao de R? é representada pelas seguintes inequacgées? 1sV+yr+7<4 z<=0 SOLUCAO As inequagdes z l Em outras palavras, descreva 0 conjunto de pontos (x, y, z) tal Bt US A xt yt a> 2 que y = 3ez = 5. Faca um esboco ilustrativo. 35-38 Escreva inequag6es para descrever a regiao dada. 7-8 Encontre os comprimentos dos lados do triangulo POR. Ele é 35. A regiao entre o plano yz e o plano vertical x = 5. um triangulo retangulo? E isésceles? . ae . . 36. Ocilindro sdlido que esta sobre ou abaixo do plano z = 8 e sobre 7. P3,—-2,—-3), Q7,0,1), RA, 2, 1) ou acima do disco no plano xy com centro na origem e raio 2. 8 P(2, —1, 0), Q¢4, 1, 1), R@, —-5, 4) 37. A regiao constituida em todos os pontos entre (mas nfo sobre) tein ce he et et as esferas de raio r e R centradas na origem, onde r < R. 9. Determine se os pontos esté0 em uma mesma reta. (a) A(2, 4, 2), BG, 7, —2), C(1, 3, 3) 38. Ohemisfério superior sdlido da esfera de raio 2 centrada na origem. (b) DO, —5,5), EM, —2,4), FG, 4, 2) 39. A figura mostra uma reta L; no espaco e uma segunda reta Ly», 10. Determine a distancia entre (3, 7, —5) e cada um dos seguintes. que €a pr ojegao de L, no plano xy. (Isto €, os pontos de L2 estao (a) Plano x (b) Plano diretamente abaixo ou acima dos pontos de L;.) y : ve (a) Determine as coordenadas do ponto P da reta L. (c) Plano xz (d) Eixo x (b) Localize no diagrama os pontos A, B e C, onde a reta L, in- (e) Eixo y (f) Eixo z tercepta os planos xy, o plano yz e o plano xz, respectivamente. 11. Determine uma equac4o da esfera com centro em (1, —4, 3) € raio 5. Qual é a intersecc4o dessa esfera com o plano xz? 2 12. Determine uma equacao da esfera com centro em (2, —6, 4) e raio fy 5. Descreva sua intersecgao com cada um dos planos coordenados. 13. Encontre uma equacao da esfera que passa pelo ponto (4, 3, —1) Pp e tem centro em (3, 8, 1). 14. Determine uma equacio da esfera que passa pela origem e tem centro em (1, 2, 3). 1 15-18 Mostre que a equacdo representa uma esfera e determine seu 1 y L, centro e raio. 15. x? + y?+ 2— 2x — 4y + 8z =15 x y 16. P+ yt 24+8x —- 6y+ 2z+17=0 17. 2x? + 2y? + 227 = 8x — 2424+ 1 18. 3x? + 3y? + 32?= 10 + 6y + 12z 19. (a) Prove que 0 ponto médio do segmento de reta de P(x, y1, Z1) 40. Considere os pontos P tais que a distancia de P para A(—1, 5, 3) a P(X2, yo, Z2) € seja o dobro da distancia de P para B(6, 2, —2). Mostre que 0 con- junto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro. X, + x2 yi + yn Z) + Zo 2° 2° 2 41. Determine uma equacao para o conjunto de pontos equidistan- tes dos pontos A(—1, 5, 3) e B(6, 2, —2). Descreva 0 conjunto. (b) Determine os comprimentos das medianas do triangulo com vértices A(1, 2, 3), B(—2, 0, 5) e C(4, 1, 5). 42. Determine o volume do sélido que esta contido em ambas as es- feras 20. Encontre uma equagao de uma esfera que tenha um diametro tyt 2+ 4x —2y +4245 =0 com extremidades dadas por (2, 1, 4) e (4, 3, 10). 2 2 2— 21. Encontre as equacées das esferas com centro (2, —3, 6) que toquem © etytron4 (a) o plano xy, (b) o plano yz e (c) 0 plano xz. 43. Encontre a distancia entre as esferas x7 + y?>+ 2 =4 e 2 2 2 — — 22. Determine uma equagao da maior esfera com centro em (5, 4, 9) ety t= axt dy + dz — 11. contida no primeiro octante. 44. Descreva e esboce um sélido com as seguintes propriedades. 23-34 Descreva em palavras a regiaio de R? representada pela equa- Quando iluminado POF ra1os paralelos a0 €1XO Z, a sta sombra © x : ~ um disco circular. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo cao ou inequacao. : a : y, sua sombra é um quadrado. Quando iluminado por raios pa- 23. x=5 24. y= -2 ralelos ao eixo x, sua sombra é um tridngulo isdésceles. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 713 ca Vetores O termo vetor é usado por cientistas para indicar quantidades (tais como deslocamento ou B D velocidade ou forga) que tém ao mesmo tempo mddulo, direcgdo e sentido. Um vetor é fre- u quentemente representado por uma seta ou segmento de reta orientado. O comprimento da v seta representa o médulo do vetor e a seta aponta na direcao e sentido do vetor. Denotamos um vetor por uma letra em negrito (v) ou colocando uma seta sobre a letra (U). A c Por exemplo, suponha que uma particula se mova ao longo de um segmento de reta do ponto A para o ponto B. O vetor deslocamento correspondente v, mostrado na Figura 1, FIGURA 1 possui,ponto inicial A (0 inicio) e ponto terminal B (0 fim) e indicamos isso por — Vetores equivalentes v = AB. Observe que 0 vetor u = CD tem 0 mesmo tamanho, a mesma diregao e sentido que v, embora esteja em uma posica4o diferente. Dizemos que u e v sao equivalentes (ou iguais) e escrevemos u = Vv. O vetor zero, denotado por 0, tem comprimento 0. Ele é 0 nico vetor sem nenhuma direcdo especifica. mas Combinando Vetores > Suponha que uma particula se mova de A para B, assim, seu deslocamento é AB. Em seguida, C a particula muda de diregao e move-se a partir de B para C, com vetor de deslocamento BC, como na Figura 2. O efeito combinado desses deslocamentos é que a Particula se moveu de A B para C. O vetor deslocamento resultante AC é chamado de soma de AB e BC e escrevemos —> => => AC = AB + BC A Em geral, se comecamos com os vetores u e V, primeiro movemos v de forma que seu eygyra 2 inicio coincida com o fim de u e definimos a soma de u e v como segue. Definigao da Adigao de Vetores Se u e v sao vetores posicionados de maneira que 0 ponto inicial de v é 0 ponto terminal de u, entaéo a soma u + v € 0 vetor do ponto inicial de u ao ponto final de v. A definicao de adi¢ao de vetores é ilustrada na Figura 3. Vocé pode ver por que essa defi- nigao é algumas vezes chamada Lei do Triangulo. u utv Vv v v u u FIGURA3 Lei do Triangulo FIGURA 4 Lei do Paralelogramo Na Figura 4 comecamos com os mesmos vetores u e v como na Figura 3 e desenhamos uma cdpia de v com 0 mesmo ponto inicial u. Completando o paralelogramo, vemos que a b u + v=v-+ u. Isso também fornece uma outra maneira de construir a soma: se posicionar- mos ue v de maneira que eles comecem no mesmo ponto, entao u + v estara ao longo da dia- gonal do paralelogramo com u e v como lados. (Esta é a chamada Lei do Paralelogramo.) FIGURA 5 : Visual 12.2 mostra como o Tridngulo e (SQ Desenhe a soma dos vetores a e b mostrados na Figura 5. " - Leis de Paralelogramo trabalham para varios vetores SOLUCAO Primeiro transladamos b e posicionamos seu ponto inicial no ponto final de a, aeb. tomando cuidado para desenhar uma cépia de b que tenha 0 mesmo comprimento e direcAo. A seguir, desenhamos o vetor a + b [veja a Figura 6(a)] comecando no ponto inicial de a e terminando no ponto final da cépia de b. Alternativamente, podemos posicionar b tal que ele comece onde a comega e construir a + b pela Lei do Paralelogramo, como na Figura 6(b). 714 CALCULO a a b a+b b FIGURA 6 (a) (b) | E possivel multiplicar um vetor por um ntimero real c. (Neste contexto, chamaremos 0 numero real c um escalar, a fim de distingui-lo de um vetor.) Por exemplo, queremos que 2v seja O mesmo vetor que v + v, 0 qual possui a mesma diregao e sentido de v mas tem o dobro do comprimento. Em geral, multiplicamos um vetor por um escalar da seguinte maneira. Definigao de Multiplicagao Escalar Se c é um escalar e v é um vetor, entaéo a multiplica- ¢ao escalar cv € 0 vetor cujo comprimento é |c| vezes o comprimento de v e cuja 5 1 diregdo e sentido sao os mesmos de v se c > 0 € sentido oposto a v se c < 0. Se v v A c = Oouv = 0, entdo cv = 0. Essa definicAo esta ilustrada na Figura 7. Vemos que os ntiimeros reais agem como fatores de escala aqui; € por isso que s40 denominados escalares. Observe que os dois vetores nao nulos -y -1,5v sao paralelos se sao multiplos escalares um do outro. Em particular, o vetor —v = (—1)v tem oO mesmo comprimento de v, mas aponta em sentido oposto. E denominado oposto de v. Pela diferenca u — v de dois vetores, queremos dizer FIGURA 7 Miultinlos escalares de v u—v=ut (—v) Logo, podemos construir u — v desenhando primeiro 0 opo dsto de v, —v, e entao adicio- nando a ele o vetor u usando a Lei do Paralelogramo, como na Figura 8(a). Como alternati- va, uma vez que v + (u — Vv) = u, 0 vetor u — vy, quando adicionado a v, fornece u. Assim, podemos construir u — v tal como na Figura 8(b), por meio da lei do triangulo. v u u—v u—v _y y FIGURA 8 u Desenhando u — v (a) (b) | Siietty) Se ae b sao os vetores mostrados na Figura 9, desenhe a — 2b. a SOLUCAO Primeiro, desenhamos o vetor —2b apontando no sentido oposto a b e com o dobro we A de seu tamanho. Nés 0 posicionamos com seu ponto inicial no ponto terminal de a e entao usamos a Lei do Triangulo para desenhar a + (—2b), como na Figura 10. — FIGURA 9 M5 Componentes a 2b Para alguns propésitos é melhor introduzir um sistema de coordenadas e tratar os vetores algebricamente. Se posicionarmos 0 ponto inicial de um vetor a na origem de um sistema de a-—2b x coordenadas retangulares, entao o ponto final de a tem coordenadas da forma (a, az) ou (a1, FIGURA 10 a, a3), dependendo se nosso sistema de coordenadas for em duas ou trés dimens6es (veja a Figura 11). y (a), dy, a3) (4), 43) a : a oO | N | » | SA 0 * x \ J y FIGURA 11 a= (a, a) a= (dy, a>, a3) VETORES EAGEOMETRIADOESPAGO = 715 Essas coordenadas séo denominadas componentes de a e escrevemos rT TELL PRET ast] HEELERS a = (a, a) ou a = (a, @, a) + bo), pelo menos para 0 caso em que as componentes sao positivas. Em outras palavras, para somarmos algebricamente vetores, somamos suas componentes. Analogamente, para subtrairmos vetores, subtraimos suas componentes. A partir dos triangulos semelhantes, na Figura 15, vemos que as componentes | de ca s40 ca, e caz. Assim para multiplicarmos um vetor por um escalar multiplicamos cada | componente por aquele escalar. | ca | ca 2 | | a |@2 | | | Sea= (a1, m)eb = (bi, bo), entao __I ____] a, ca, at+b=(a,+ bi, am + by) a—b= (a, — bi, & — by) FIGURA 15 ca = (cay, ca) Analogamente, para os vetores tridimensionais, (ai, a2, as) + (bi, bo, bs) = (a + bi, a. + bo, a3 + bs) (a1, d2, a3) — (bi, br, bs) = (a1 — bi, do — bo, a3 — bs) C(d, Ga, a3) = (Ca), Car, Ca3) 716 CALCULO STE Sea = (4, 0, 3) e b = (—2, 1, 5), encontre |a] e os vetores a + b, a — b, 3be 2a + 5b. SOLUCAO lal = Va2+ 02+ 32= (25 =5 a+ b= (4,0, 3) + (—2, 1,5) = (4+ (—2),0+ 1,3 +5) = (2, 1, 8) a— b= (4,0, 3) — (2, 1, 5) = (4— (—2),0—- 1,3 — 5) = (6, -1, —2) 3b = 3(—2, 1, 5) = (3(—2), 3(1), 3(5)) = (6, 3, 15) 2a + 5b = 2¢4, 0, 3) + 5(—2, 1, 5) = (8, 0, 6) + (—10, 5, 25) = (—2, 5, 31) — Denotaremos por V2 0 conjunto de todos os vetores bidimensionais e por V3 0 conjunto de todos os vetores tridimensionais. De forma mais geral, precisaremos, adiante, considerar o conjunto V, dos n vetores de dimensao. Um vetor de dimensao n € uma n-upla ordenada: Vetores em n dimensdes siio usados para listar varias a = (a), do, ... An) quontidades em um modo organiza. Por exempo, os onde qj, a2, ..., d, S40 nimeros reais chamados componentes de a. Adicdo e multiplicacao componentes do vetor de dimenstio 6 ~ . _ _ escalar sao definidas em termos das componentes, como para os casos n = 2en = 3. P = (Pi, Pr, P3s PAs Pss Po) podem representar os precos de ses itens diferentes Propriedades dos Vetores Se a, b e ¢ sdo vetores em V,, e c e d sao escalares, entao necessdrios na fabricacéio de um artigo particular. Vetores de dimensiio quatro + by) = (bi + a1, by + ar) = (bi, br) + (ai, a) =bta Q € Podemos ver por que a Propriedade 2 (a propriedade associativa) € yerdadeira olhando (a+b) +e para a Figura 16 e aplicando a Lei de Triangulo varias vezes: o vetor PQ é obtido pela pri- meira construgdo a + b e, em seguida, adicionando ¢ ou por adicao de a ao vetor b + c. =at(b+e) b Trés vetores em V3 tém papel especial. Considere i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) P a FIGURA 16 Esses vetores i, j e k sao chamados vetores da base canonica. Eles tém comprimento | e direcao e sentido dos eixos x, y e z positivos. Da mesma forma, em duas dimens6es, defi- nimos i = (1, 0) ej = (0, 1). (Veja a Figura 17). VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 717 y Z (0, 1) J k| , J 0 i x ¢ 1 (1, 0) ; FIGURA 17 x > Vetores da base canénica em V, e V; (a) (b) Se a = (a1, a>, a3), entio podemos escrever y (4), dp) a = (a1, a, a3) = (a, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, as) a = ai(1, 0,0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1) 4 [2] a= ai + aj + aak 0 ai x Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em termos de i, j e k. Por exemplo, (a) a=ait+aj (1, —2, 6) =i — 2j + 6k : Da mesma forma, em duas dimensées, podemos escrever (1, A, 43) [3] a= (ai, a) = a + aj a Veja a Figura 18 para a interpretacao geométrica das Equagoes 3 e 2 e compare com a Figu- ai ask ra 17. y xX . a2) (SGM Se a =i + 2j — 3keb = 4i + 7k, expresse 0 vetor 2a + 3b nos termos de i, jek. (b) a=ait+a,j+ask SOLUCAO Usando as Propriedades 1, 2, 5, 6 e 7 dos vetores, temos FIGURA 18 2a + 3b = 241 + 2j — 3k) + 3(4i + 7k) = 2i + 4j — 6k + 121i + 21k = 14i + 4j + 15k Gipbs ro Josiah Willard Gibbs (1839-1903), um professor de fisica matematica na Universidade de Yale, Um versor ou vetor unitario é um vetor cujo médulo é 1. Os vetores, i, je k so exem- _Publicou o primeiro livro em vetores, Vector plos de vetores unitdrios ou versores. Em geral, se a ~ 0, ent&o o vetor unitario que tem Analysis, em 1881. Objetos mais complicados, di ~ ido d h d d , chamado quatérnions, ja haviam sido inventados mesma direcdo e mesmo sentido de a, chamado versor de a, é por Hamilton como ferramentas matematicas para descrever o espago, mas eles nao eram _ oil _ a faceis para os cientistas usarem. Quatérnions [4] u= -—— a= — tém uma parte escalar e uma parte vetor. A lal lal ideia de Gibb era usar a parte vetor separada- mente. Maxwell e Heaviside tinham ideias Para verificar isso, seja c = 1/|a|. Entéo, u = cae c é um escalar positivo, de modo que u semelhantes, mas a abordagem de Gibb provou Le : . ser a maneira mais conveniente para estudar o tem a mesma direcdo e o mesmo sentido do vetor a. Além disso, espaco. 1 ful = |cal = Icllal = — lal = 1 lal (SQV Determine o versor do vetor 2i — j — 2k. SOLUCAO O vetor dado tem médulo |2i — j — 2k| = 22+ (-12 +(-2yp = 9 =3 portanto, pela Equacao 4, o versor é 1 : . 2. 1. 2 3 (21 — j — 2k) =31-3j-3k iz MH Aplicacées Vetores sao uteis em muitos aspectos da fisica e da engenharia. No Capitulo 13 veremos como eles descrevem a velocidade e a aceleragéo de objetos movendo-se no espacgo. Aqui 718 CALCULO olharemos para as forgas. Uma forga é representada por um vetor porque tem méddulo (medido em libras ou new- tons), diregao e sentido. Se varias forgas estao agindo em um objeto, a for¢a resultante experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forgas. | Sietty) Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios como é mostrado na T, T, Figura 19. Encontre as tensdes (forgas) T; e T, em ambos os fios e suas magnitudes. SOLUCAO Primeiro vamos exprimir T; e T, em funcao de suas componentes horizontal e 100 \ vertical. Da Figura 20 vemos que FIGURA 19 [5] T, = —|Tylcos 50°i + |T;|sen 50° j 50° 32° [6] T> = |T:|cos 32° + |T>|sen 32° j. T, | T, | Ke A forga de gravidade que age sobre a carga € F = —100(9,8) j = —980 j. A resultante T, + T: contrabalanga F de modo que F T, + To = —F = 980j Logo, FIGURA 20 (—|T,|cos 50° + |T2|cos 32°) i + (|T,|sen 50° + |T2|sen 32°)j = 980j Igualando as componentes, obtemos —|T;|cos 50° + |T|cos 32° = 0 IT, |sen 50° + |T2|sen 32° = 980 Resolvendo a primeira destas equacées para |T2| e substituindo na segunda, temos T|cos 50° [Ti sen 50° + ITilcos 50° oon 32° = 980 cos 32° Ou seja, os médulos das tenses sdo 980 |T,| = ————————— ~& 839N sen 50° + tg 32° cos 50° T,|cos 50° e [| = [Tileos 50° 636N cos 32° Substituindo esses valores em [5] e [6], obtemos os vetores tensao T, ~ —539i + 643 j T. ~ 539i + 337j ca Exercicios 1. Quais das seguintes grandezas sao vetoriais ou escalares? Ex- 3. Indique os vetores iguais no paralelogramo mostrado. plique. A B (a) O custo de um bilhete de cinema (b) A correnteza em um rio (c) A trajet6ria inicial do voo entre Houston e Dallas (d) A populacéo mundial 2. Qual a relacao existente entre 0 ponto (4, 7) e o vetor (4, 7)? Faga um esboco ilustrativo. D C 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 719 4. Escreva cada combinacao de vetores como um unico vetor. 15-18 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometrica- => => =>—lclcClc Of (a) PQ + QR (b) RP + PS mente. = => => => > (©) QS — PS (d) RS + SP + PQ 15. (—1,4), (6, —2) 16. (3,-1), (-1,5) Q > 17. 3,0,1), (0,8, 0) 18. (1,3,-2), (0,0, 6) 19-22 Determine a + b, 2a + 3b, lal e |a — bl. 19. a=(5,—-12), b= (-—3, —6) R S 20. a=4i+j, b=i- 2j 5. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes 21. a=i+2j-3k, b=-—2i-j+5k vetores. (a) ut+v (b) u+w 22. a=2i—-4j+4k, b=2j—k (Cc) vV+w (d) u-v 23-25 Determine o vetor unitaério com mesma direg4o e sentido que (ec) v+utw (d) u-~w-v o vetor dado. \ / 23. —3i + 7j 24. (—4, 2, 4) ya Vv w 25. 8i-j+ 4k 6. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes 26. Ache um vetor que possui a mesma diregaéo e 0 mesmo sentido vetores. que {(—2, 4, 2) mas tem comprimento 6. (a) atb (bl) a—b 27-28 O que é o Angulo entre o vetor dado e o sentido positivo do (c) 7a (d) — 3b eixo x? (ec) at+2b (f) 2b—a 2. i+ /3j 28. 81+ 6j 29. Se v esta no primeiro quadrante e faz um angulo de 77/3 com o ae eixo x positivo e |v| = 4, encontre v em forma de componente. b a 30. Se uma crianga puxa um trené na neve com forca de 50 Naum angulo de 38° com relagao 4 horizontal, ache as componentes . nae horizontal e vertical da forga. 7. Na figura, a ponta de c e a cauda de d sao ambas 0 ponto médio de OR. Expresse c e d em termos de ae b. 31. Um quarterback langa uma bola de futebol com Angulo de ele- vacao 40° e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes P horizontal e vertical do vetor velocidade. b a 32-33 Encontre o médulo da forga resultante e o Angulo que ela faz R com 0 eixo x positivo. d OQ 32. 33. » 20.N » 200 N 8. Seos al satisfizerem |u| = |v| = leu+v+w=O0, 45 300 N 600 o que é |w|? 0 30° ~ 7 > 16N u a w 34. O modulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar. ‘ Suponha que um vento esteja soprando na direcaéo N45° W a uma velocidade de 50 km/h. (Isso significa que a diregao de onde sopra 0 vento é de 45° oeste da direcao norte.) Um piloto esta pi- . - lotando um avido na diregio N60°E em uma velocidade (velo- 9-14 Determine 0 vetor a com representagaéo dada pelo segmento : . . > —> . aan cidade no ar parado) de 250 km/h. O verdadeiro curso, ou de reta orientado AB. Desenhe AB e o equivalente com inicio na . te : : : caminho, do aviao € o sentido da resultante dos vetores veloci- ongem. dade do aviao e do vento. A velocidade escalar em relagéo ao 9 A(-1,1), B(,2) 10. A(—4, —-1), B(1, 2) solo do aviao é o médulo da resultante. Determine o curso real e a velocidade escalar em relagao ao solo do avido. 11. A(—1,3), BQ, 2) 12. A(2,1), B(O, 6) 35. Uma mulher caminha para oeste no convés de um navio, a 13. A(O,3, 1), -B(2, 3, —1) 14. A(4,0,—2), BY, 2, 1) 5 km/h. O navio esta se movendo para 0 norte a uma velocidade 720 CALCULO de 35 km/h. Encontre a velocidade e direg4o da mulher em re- 44. Seja Co ponto no segmento de reta AB que esta duas vezes mais lacg&o a superficie da agua. distante de B que de A. Se a = OA, b = OB ec = OC, mostre 2 1 . quec=3a+3 3b. 36. Cordas de 3 m e 5 m de comprimento sAo atadas 4 decoragao natalina suspensa sobre uma praca. A decoragaéo tem uma massa 45. (a) Desenhe os vetores a = (3, 2), b = (2, ~1) e¢ = (7, 1). de 5 kg. As cordas, atadas em diferentes alturas, fazem angulos (b) Mostre, por um esbogo, que existem escalares se f tais que de 52° e 40° com a horizontal. Determine a tensao em cada fio e c= sat bb. o modulo de cada tensio. (c) Use 0 esbogo para estimar os valores de se ¢. 40° (d) Determine os valores exatos de se f. \ ° So 2 46. Suponha que a e b sejam vetores nao nulos, que nao sejam pa- 3m \ 5m ralelos e ¢ seja qualquer vetor no plano determinado por a e b. \ Dé um argumento geométrico para mostrar que ¢ pode ser es- crito como ¢c = sa + ¢b para escalares adequados s e ¢. Em se- guida, dé um argumento usando componentes. 47. Ser = (x, y, Z) € Fo = (Xo, Yo, Zo), descreva 0 conjunto de todos 37. Um varal de roupas é estendido entre dois postes, 8 m distantes os pontos (x, y, z) de tal forma que |r — rol = 1. um do outro. O fio do varal esta bastante esticado, de forma a ser : considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com 48. Ser = (x,y), 11 = Qi, y1) € fo = (%, Yo), descreva 0 conjunto de massa de 0,8 kg € pendurada no meio do varal, esse ponto cen- todos os pontos (x, y) de tal forma que |r — ri] + Ir — rol = k, tral € deslocado para baixo 8 cm. Determine a tenso em cada onde k > |r; ~ ro]. metade do varal. . ~ byt . 49. A Figura 16 fornece uma demonstragaéo geométrica da Proprie- 38. A tensdio T em cada extremidade da corrente tem magnitude 25 dade 2 dos vetores, Use as componentes para dar uma demons- N (veja a figura). Qual o peso da corrente? trac4o algébrica desse fato no caso n = 2. _ Ua 50. Demonstre a Propriedade 5 de vetores algebricamente para 0 37° rS “4 37° caso de n = 3. Em seguida, use semelhanga de triangulos para y FS dar uma prova geométrica. x 7 N 7 51. Utilize vetores para demonstrar que uma reta unindo os pontos médios de dois lados de um triangulo é paralela ao terceiro lado 39. Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de lar- e tem metade de seu comprimento. gura e quer atracar em um P onto 2 km rio acima do seu Ponto de 52. Suponha que os trés planos coordenados sejam todos espelhados partida. A corrente flui no canal a 3,5 km/h e a velocidade do : _ . . b £13 km/h e que um raio de luz dado pelo vetor a = (a, a>, a3) atinja pri- a) Emay * ai _ 1 deve dirigit? meiro o plano xz, como mostrado na figura. Use o fato de os ity Ou viet Trego ele deve ‘halen 9 Angulos de incidéncia e de reflex4o serem iguais para mostrar uanto tempo a viagem vai demorar? Ln . tye P g que a direciio do raio refletido é dada por b = (ai, —a, a3). De- 40. Trés forcas atuam sobre um objeto. Duas das forcas estéo a um duza que, Apos ser refletido em todos os tres espelhos perpendi- Angulo de 100° entre si e tém magnitudes de 25 N e 12 N. O ter- culares, 0 raio resultante é paralelo ao raio inicial. (Cientistas ceiro é perpendicular ao plano das duas forgas e tem magnitude norte-americanos usaram esse principio, Juntamente com um 4. Calcule o valor da forca que exatamente iria contrabalan- feixe de laser e um conjunto de espelhos em cantoneira na Lua, car essas trés forcas para calcular de modo preciso a distancia da Terra 4 Lua.x) Zz 41. Encontre os vetores unitarios que s4o paralelos 4 reta tangente a parabola y = x? no ponto (2, 4). 42. (a) Encontre os vetores unitarios que sfo paralelos 4 reta tan- gente 4 curva y = 2 sen x no ponto (77/6, 1). (b) Encontre os vetores unitarios que sAo perpendiculares a reta tangente. (c) Esboce a curva y = 2 sen x e os vetores nas partes (a) e (b), if todos comecando em (77/6, 1). a > 43. Se A, B e C sao vértices de um triangulo, determine x = => => AB + BC + CA. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 721 ci O Produto Escalar Até aqui aprendemos a somar os vetores e multiplica-los por um escalar. A questao surge: é possivel multiplicar dois vetores de modo que o valor resultante seja de alguma utilidade? Um desses produtos é o produto escalar, cuja definigéo vem a seguir. O outro € 0 produto vetorial, que sera discutido na préxima seco. [1] Definig&éo Se a = (ay, do, a3) e b = (bi, bn, bs), entao o produto escalar de a e b € o numero a - b dado por a:b =aib, + aonb + arb; Assim, para achar o produto escalar de a e b, multiplicamos as componentes correspon- dentes e somamos. O resultado nao é um vetor. E um ntmero real, isto é, um escalar, por isso o nome produto escalar. O produto escalar €é também conhecido como produto interno. Apesar de a definigao ter sido dada para os vetores tridimensionais, 0 produto escalar para os vetores bidimensionais é definido de forma andloga: (a1, a2) + (bi, bo) = arbi + arbr (2, 4) + 3, —1) = 23) + 4(-D = 2 (-1,7, 4): (6,2, — 3) = (—D©) + 72) + 4(— 3) = 6 (i + 2j — 3k) - Qj — k) = 100) + 2Q) + (-3)(-1I) = 7 — O produto escalar obedece a muitas das regras que valem para o produto de ntimeros reais. Esse fato é apresentado no seguinte teorema. [2] Propriedades do Produto Escalar Se a, b e c sao vetores em V3 e c é um escalar, entao 1.a-a= lal? 2,.a-b=b-a 3a-‘(b+c)=a:‘bta-e 4. (ca): b = c(a: b) =a: (cb) 5. 0-a=0 Essas propriedades sao facilmente demonstradas usando a Definigéo 1. Por exemplo, vamos fazer a demonstracgao das Propriedades | e 3: 1. a-a=a+a,t+a;,= lal? 3. a: (b+) = (a, a, a3) + (db, + C1, by + C2, bs + €3) = a(b, + C1) + ar(b2 + C2) + ax(b3 + C3) = aby + acy + Gob + arc2 + a3b3 + 4303 = (a,b, + Anby + az3b3) + (ac, + Qa2C2 + a3C3) =a-:bta-e ° As demonstrag6es restantes ficam como exercicio. — B b a- O produto escalar a - b tem uma interpretagdéo geométrica em termos do Angulo 6 entre b aeb, definido como o Angulo entre os representantes de a e b, ambos com ponto inicial na 0 A origem, onde 0 S @ S wz. Em outras palavras, 6 é o 4ngulo entre os segmentos de reta OA e a OB da Figura 1. Observe que, se a e b sao vetores paralelos, entao 6 = 0 ou 6 = 7. x No teorema a seguir, a formula dada € utilizada por fisicos como defini¢do do produ- ’ to escalar. FIGURA 1 722 CALCULO [3] Teorema Se @ é 0 Angulo entre os vetores a e b, entao a:b = [al |bl cos 6 DEMONSTRACAO Se aplicarmos a Lei dos Cossenos ao triangulo OAB da Figura 1, obteremos [4] |AB|? = |OA|? + |OB|? — 2|OA| |OB| cos 6 (Observe que a Lei dos Cossenos ainda se aplica nos casos limites quando 6 = 0 ou 7, ou a = 0 ou b = 0.) Mas |OA| = |al, |OB| = |b] e |AB| = |a — bl, assim, a Equaciio 4 torna-se [5] la — bl?= lal? + |bl?— 2 lal |bl cos 8 Usando as Propriedades 1, 2 e 3 do produto escalar, podemos reescrever 0 lado esquerdo dessa equacéo como: la — bl? = (a— b)- (a— b) =a:a-—a-:b-—b-:at+b-b = |al’ — 2a-b + |b/? Portanto, a Equagao 5 fornece lal? — 2a-b + |bl?= lal? + |bl? — 2 lal |bl cos 6 Logo, —2a-b = —2|al |b| cos 0 ou a:b = |al|b| cos 6 = Se os vetores a e b tém médulos 4 e 6 € o Angulo entre eles é 77/3, determine a - b. SOLUCAO Usando o Teorema 3, temos a:b = |al |b| cos (7/3) = 4-6-3 = 12 = A férmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar 0 angulo entre dois vetores. [6] Corolario Se 6 € o Angulo entre dois vetores nao nulos a e b, entao a-b cos 86 = ————_ lal |b| (SQN Determine o Angulo entre os vetores a = (2, 2, —1) e b = (5, —3, 2). SOLUCAO Uma vez que Ja] = J27+ 27+ (-1P =3 ec — |b] = J/5? + (-3) + 2? = 38 e uma vez que a-b = 2(5) + 2(—3) + (-)DQ) = 2 temos, do Corolario 6, 9 a:b 2 cos 9 = ——_ = —— > lal|b] 338 Assim, 0 angulo entre ae b é 6=cos"! 2 _) 1.46 (ou 84°) = 3/38 , Dois vetores nao nulos a e b sao perpendiculares ou ortogonais se o angulo entre eles € 0 = m/2 .O Teorema 3 nos fornece a:b = [al |b] cos(z/2) = 0 VETORES EAGEOMETRIADOESPAGO 723 e reciprocamente se a - b = 0, entao cos 6 = 0, portanto, 96 = 7/2. O vetor nulo 0 é consi- derado perpendicular a todos os vetores. Temos, portanto, um método para determinar se dois vetores sdo ortogonais. Dois vetores a e b sao ortogonais se e somente se a - b = 0. (SQA Mostre que 2i + 2j — k € perpendicular a 5i — 4j + 2k. SOLUCAO Uma vez que (2i + 2j — k) - (Gi — 4j + 2k) = 2(5) + 2(-4) + (- 12) = 0 be a-b>0 b esses vetores s4o perpendiculares por [7]. | A agudo Como cos 6 > 0 se 0 $0 < w/2 ecos 0 < 0 se m/2 < 0 S m7, vemos que a - b € positi- a-b=0 vo para 0 < 77/2 e negativo para 0 > 77/2. Podemos pensar que a - b mede o quao proxima a b 0= 7/2 esta a direcdo de a da de b. O produto escalar a - b € positivo se a e b apontam para diregdes prdximas, 0 se eles sao perpendiculares, e negativo se apontam em direcdes prdéximas, mas a-b<0 com sentidos opostos (veja a Figura 2). No caso extremo, onde a e b tém mesma diregdo e 0 b 6 obtuso sentido, temos 6 = 0, portanto, cos 0 = le a FIGURA 2 a-b = [al [bl Se ae b tém a mesma direcdo, mas sentidos opostos, entéo 0 = 7re, assim, cos 8 = —le Visual 12.3A mostra uma animacao a-b= —lal |bl. da Figura 2. M8 Angulos Diretores e Cossenos Diretores Os Aangulos diretores de um vetor nao nulo a so os angulos a, B e y (no intervalo [0, z]) 2 que a faz com os eixos coordenados positivos x, y e z. (Veja a Figura 3.) tt Os cossenos desses angulos diretores, cos a, cos B e cos y, sio chamados cossenos dire- / v tores do vetor a. Usando 0 Corolario 6 com b substituido por i, obtemos _ ~-LLL yy” | . | y eT) acl a | B | | cos @ = ——— = — 1a fallil [al Wa a . : . So ly ) (Isso pode ser visto diretamente na Figura 3.) x TTY Da mesma forma, temos FIGURA 3 a2 a3 [9] cos B = —— cos y = —— [a| |a| Elevando as expressdes nas Equacées 8 e 9 ao quadrado e somando, obtemos cos’a + cos?B + cos*y = 1 Podemos ainda usar as Equacgoes 8 e 9 para escrever a = (di, a, a3) = (|al cos a, |al cos B, |al cos y) = |al(cos a, cos B, cos y) Portanto 1 [11] Tal a = (cos a, cos B, cos y) a que diz que os cossenos diretores de a séo as componentes do vetor unitario de a. (SQM Determine os Angulos diretores do vetor a = (1, 2, 3). SOLUCAO Como |a| = /1? + 2? + 3? = /14, as Equacées 8 e 9 fornecem 1 B 2 3 cos a = —— cos B = —— cos y = = V4 V4 YY /i4 724 CALCULO e também cos | — 74° B=cos! — 58° cos | 3 37° a= = = = = = J14 J14 Y V4 MM Projecdes A Figura 4 mostra as representag6es PO e PR de dois vetores a e b com a mesma origem P. Se Sé 0, pé do perpendicular a partir de R 4 reta contendo PQ, entao o vetor com represen- Visual 12.38 mostra como a Figura tagaéo PS é chamado vetor projecao de b sobre a e é denotado por projab. (Vocé pode pen- 4 muda quando variamos a é b. sar nele como uma sombra de b.) R A projecao escalar de b sobre a (também chamada componente de b ao longo de a) é definida como o médulo com sinal do vetor projegéo, cujo valor é dado pelo ntimero b \ Ib| cos 6, onde @ € o Angulo entre a e b. (Veja a Figura 5.) Isso é indicado por comp, b. \ Observe que esse numero é negativo se 77/2 < 0 < 7. A equacao a > S Q a-b = |al |b] cos 6 = [al(|blcos 0) proj, b mostra que 0 produto escalar de a por b pode ser interpretado como o mddulo de a multi- plicado pela projecao escalar de b sobre a. Uma vez que R a:b a \ b |b| cos 0 = ——-=-— -b \ a lal fal Q Ss \ P a componente de b ao longo de a pode ser calculada tomando-se 0 produto escalar de b pelo proj,b versor de a. Resumindo, temos: FIGURA 4 Projecao de vetores a:b Projecao escalar de b sobre a: compa b = Tal. a R \ a:b) a a:b b \ Vetor projecdo de b sobre a: proj, b = (24) T= 77a \ lal / lal fal a g Q =——s P |b| cos 6 = comp, b Observe que o vetor projecdo € a projecao escalar vezes o versor de a. FIGURA 5 Projegao escalar SIH Determine a projecio escalar de b = (1, 1, 2) sobre a = (—2, 3, 1). SOLUCAO Como |a| = ¥(—2)? + 3? + 1? = /14, a projecio escalar de b sobre a é b a:b = (—2)0) + 3(1) + 1(2) 3 com la SS SS — Sa — = P la| V14 Ji4 O vetor de projecao é esse escalar multiplicado pelo versor de a: “b 3 0a 3 3. 9 3 1Ojab = T= 77 = a= \ 7-7 — me Vi4 jal 14 7°14’ 14 Um uso de projegdes ocorre em fisica, no calculo do trabalho. Na Secao 6.4, no Volume I, definimos o trabalho exercido por uma forga constante F movendo um objeto por uma dis- tancia d como W = Fd, mas isso so se aplicava quando a forga era exercida ao longo da reta R de deslocamento do objeto. Suponha agora que a forca constante seja um vetor F = PR com F | dire¢ao diferente da reta de deslocamento do objeto, como indicado na Figura 6. Se a forca | move 0 objeto de P a Q, entao o vetor de deslocamento é D = PQ. O trabalho realizado é 6 s | definido como o produto da componente da forga ao longo de D pela distancia percorrida: Poo W = (|F| cos 6)|D| D Do Teorema 3, temos FIGURA 6 [12] W = |F||DIcos@ =F-D VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 725 Assim, 0 trabalho realizado por uma forga constante F é 0 produto escalar F - D, onde D é o vetor deslocamento. 2453007) Um carrinho é puxado uma distancia de 100 m ao longo de um caminho hori- 7 zontal por uma forcga constante de 70 N. A alca do carrinho é mantida a um Angulo de 35° A acima da horizontal. Encontre o trabalho feito pela forga. SOLUCAO Se F ec D sao os vetores forca e deslocamento, respectivamente, como mostrado na Figura 7, entao o trabalho realizado é F W=F-D = |F||D| cos 35° 435° D = (70)(100) cos 35° ~ 5 734 N-m = 5 734 J | FIGURA 7 9(3\20) Uma forca é dada pelo vetor F = 3i + 4j + 5k move uma particula do ponto P(2, 1, 0) para o ponto QO(4, 6, 2). Determine o trabalho realizado. ~ —=> SOLUCAO O vetor deslocamento é D = PQ = (2, 5, 2), portanto, utilizando a Equacao 12, o trabalho realizado é W=F-D=Q,4,5)- (2,5, 2) =6+ 20+ 10 = 36 Se a unidade de comprimento é 0 metro e a forca é medida em newtons, o trabalho realiza- do € de 36 J. — ce Exercicios 1. Quais das seguintes expresses tém significado? Quais nao 13. (a) Mostre quei:-j=j-k=k-i=0. fazem sentido? Explique. (b) Mostre quei-i=j-j=k-k=1. (a) (a-b)-e (b) (a- be (c) lal(b-e) (d) a-(b+e) 14. Um vendedor vende a hambirgueres, b cachorros-quentes e c (ce) a-bt+e (f) lal-(b +0) refrigerantes em um determinado dia. Ele cobra $ 2 pelo ham- burguer, $ 1,50 pelo cachorro-quente e $ | pelo refrigerante. Se 2-10 Defina a-b. A = (a, b,c) e P = (2, 1,5, 1), qual o significado do produto es- -P? 2. a=(-2,3), b = (0,7, 1,2) calar A» PY 3 a= (-2, 3s b = (-5, 12) 15-20 Determine o angulo entre Os vetores. (Encontre inicialmente uma expresso exata e depois aproxime o valor até a preciso de um grau.) 4. a=(6, —2,3), b = (2,5, —1) 15. a = (4, 3), b = (2, -1) 5. a= (4, 1,9), b = (6, —3, —8) ‘ 16. a = (—2,5), b = (5, 12) 6. a= (s, 2s, 35), b = (t, —t, 52) 17. a= (3, -1,5), b = (-2, 4, 3) 7. a=i-2j+ 3k, b = 5i+ 9k 18. a = (4,0, 2), b = (2, -1,0) 8 a= 3i+ 2j —k, b = 4i + 5k 19. a=4i-—3j +k, b = 2i-k 9. |al=6, |b| =5, eo angulo entre ae b é 27/3. 20. a=i+ 2j — 2k, b = 4i — 3k 10. lal =3, |b| = V6, 0 Angulo entreae b é 45°. ee ee 21-22 Determine, aproximando o valor até a precis4o de um grau, os 11-12 Se u for um vetor unitdrio, defina u- ve u- w. trés 4ngulos do triangulo cujos vértices sao dados. 11. 12. 21. P(2,0), Q(0,3), R(3,4) 22, AU,0,—-1), B(3, —2,0), CU, 3, 3) u Vv 23-24 Determine se os vetores dados sao ortogonais, paralelos ou w nenhum dos dois. 23. (a)a = (—5, 3,7), b = (, —8, 2) (b) a = (4, 6), b = (3, 2) “ N (c)a = —i + 2j + 5k, b = 3i+ 4j —k a (d) a = 2i + 6j — 4k, b = —3i — 9j + 6k 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 726 CALCULO 24. (a)u = (3, 9, 6), v = (4, -12, —8) 49. Encontre o trabalho feito por uma forga F = 8i — 6j + 9k que (b) u=i—j + 2k, v=2i-jt+k move um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao (c) u = (a,b, 0), v = (-b,a, 0) longo de uma reta. A distancia € medida em metros e a forga em i newtons. 25. Use vetores para decidir se 0 triangulo com vértices P(1, —3, —2), aha ‘ach brad (2, 0, —4) e R(6, —2, —5) é retangulo. 50. Um caminhao-guincho puxa um carro quebrado por uma es- trada. A corrente faz um angulo de 30° com a estrada e a tensao 26. Determine os valores de x tais que o Angulo entre os vetores na corrente € 1.500 N. Quanto trabalho € feito pelo caminhao ao (2, 1, —1) e (1, x, 0) seja 45°. puxar o carro por | km? 27. Determine dois vetores unitarios que sejam ortogonais ai + j e 51. Uma mulher exerce uma forga horizontal de 140 N em um en- i+k. gradado quando ela o empurra para subir uma rampa de 4 m de comprimento e com um Angulo de inclinagao de 20° acima da 28. Ache dois vetores unitérios que fagam um Angulo de 60° com horizontal. Calcule o trabalho realizado sobre a caixa. v = (3, 4). . 52. Encontre o trabalho feito por uma forga de 100 N agindo na di- 29-30 Encontre o angulo agudo entre as retas. regio N50° W ao mover um objeto 5 metros para oeste. 29. 2x-y=3, 3xty=7 53. Use projecao escalar para mostrar que a distancia de um ponto 30. x+2y=7, Sxy-y=2 Pi(m, yi) Aretaax + by +c=06 31-32 Encontre os angulos agudos entre as curvas nos seus pontos jax + by +e] de interseg4o. (O angulo entre as duas curvas é 0 Angulo entre as va> + b? suas retas tangentes no ponto de intersec¢ao.) Use essa formula para determinar a distancia do ponto (—2, 3) 31. y=x, y=x areta3x —-4y+5=0. 32. y=senx, y=cosx, 0OSx 0 uma de suas faces. 38. Se um vetor tem Angulos diretores a = 7/4 e B = 77/3, determine 57. Uma molécula de metano, CHy, é estruturada com os quatro ato- 0 terceiro Angulo diretor y. mos de hidrogénio nos vértices de um tetraedro regular e 0 car- . — a bono no centro. O dngulo de vinculo é 0 angulo formado pela 39-44 Determine o vetor projecao e a projecao escalar de b sobre a. ligacdo H-C-H; € 0 Angulo entre as retas que ligam 0 carbono a 39. a=(-5, 12), b = (4,6) dois dtomos de hidrogénio. Mostre que esse angulo de vinculo é de aproximadamente 109,5°. Dica: Tome os vértices do te- 40. a= (1,4), b = (2, 3) traedro nos pontos (1, 0, 0), (0, 1,0) , (0, 0,1) e C1, 1, 1), como mostra a figura. Mostre ent&o que o centro é G, , 5). M. a= (3,6, —2), b = (1, 2, 3) 42. a = (—2, 3, —6), b=, —1,4) li 43. a=2i—j+ 4k, b=jt+3k Me 44. a=i+j+k, b=i-jt+k H 45. Mostre que o vetor ort, b = b — proj, b é ortogonal a a. (Este » vetor é chamado projecao ortogonal de b sobre a.) a x 46. Para os vetores do Exercicio 40, determine ort, b e ilustre esbo- gando os vetores a, b, proja b € ort, b. 58. Sec = |alb + |bla, onde a, b ec sdo vetores nao nulos, mos- 47. Sea = (3, 0, —1), determine um vetor b tal que comp, b = 2. tre que ¢ € a bissetriz. do angulo entre ae b. 48. Suponha que ae b sejam vetores nao nulos. 59. Demonstre as Propriedades 2, 4 e 5 do produto escalar (Teorema 2). (a) Sob quais circunstaincias compa b= comp a? 60. Suponha que todos os lados de um quadrilatero tenham o mesmo (b) Sob quais circunstancias proja b = projp a? comprimento e que os lados opostos sejam paralelos. Use veto- res para demonstrar que as diagonais sao perpendiculares. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 727 61. Utilize o Teorema 3 para demonstrar a Desigualdade de Cau- la + b|?= (a + b)- (a + b) e use a Propriedade 3 do pro- chy-Schwarz: duto escalar.] la- b| < [al|bl 63. A Lei do Paralelogramo afirma que 62. A Desigualdade Triangular para vetores é la + bl? + la — bl? = 2 lal? + 2/bl? <= a é uma interpretagao geometrica da Lei do Paralelogramo. la + bl < [al + [bl (a) Dé uma interpretagéo geométrica da Lei do Paralelog . . . . (b) Demonstre a Lei do Paralelogramo. (Veja a sugestaéo do (a) Dé uma interpretac4o geométrica para a Desigualdade Trian- Exercicio 62.) gular. (b) Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz do Exercicio 61 para 64. Mostre que seu + veu — v forem ortogonais, entao os vetores provar a Desigualdade Triangular. [Dica: Use 0 fato de que ue v devem ter 0 mesmo comprimento. cz 0 Produto Vetorial Dados dois vetores diferentes de zero a = (a), do, a3) e b = (bi, bo, bs), € muito ttil encon- trar um vetor nao nulo ¢ que € perpendicular a a e b, como veremos na secao seguinte e nos capitulos 13 e 14. Se ec = (ci, co, c3) for tal vetor, entio a: c =0eb-c = 0, e assim [1] ac, + a2C2 + a3C3 >= 0 [2] bicy +hocr + b303 =0 Para eliminarmos c3, multiplicamos [1] por b3 e |2| por a3 e subtraimos: [3] (aib3 — a3b,)c1 + (a2b3 — a3b2)c2 = 0 A Equagaéo 3 tem a forma pc; + qc2 = 0, para a qual uma solucdo ébvia é c) = ge Co = — p. Entao, uma solucao de [3] é C= ab; —azbr c+ a3b, —ayb3 Substituindo estes valores em [1] e [2], obtemos entio CoB ayb> —arb, Isso significa que um vetor perpendicular a ambos ae b é (C1, C2, C3) = (debs — a3b2, asb, — ayb3, arb, — arbi) Hamilton O vetor resultante €é chamado produto vetorial de a e b e é€ denotado por a X b. 0 produto vetorial fot inventado pelo matemati- co irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805- 1865), que tinha criado um precursor de vetores, [4] Definigéo Se a = (a, a, a3) e b = (bi, by, bs), entio o produto vetorial de a e b chamado quatérions. Aos 5 anos de idade, é 0 vetor Hamilton podia ler em latim, grego e hebraico. Aos 8, acrescentou o francés ¢€ 0 italiano, e aos aXb= (aob3 — a3b2, a3b; — ayb3, ayb2 — arb) 10 podia ler em arabe e sanscrito. Na idade de 21 anos, quando ainda era aluno de graduagado no Trinity College, em Dublin, Hamilton foi Observe que o produto vetorial a < b e dois vetores ae b, ao contrario do produto esca- _nomeado professor de Astronomia na Universi- lar, é um vetor, também chamado de produto cruzado. Observe que a X b s6 é definido se _dade e Astronomo Real da Irlanda! ae b sao vetores tridimensionais. A fim de tornarmos a Definigaéo 4 mais facil de lembrar, usamos a notacao de determi- nantes. Um determinante de ordem 2 é definido por a b = ad — bc c d 2 1 Por exemplo, 64 = 2(4) — 1(-6) = 14 Um determinante de ordem 3 pode ser definido em termos dos determinantes de segunda ordem como: 728 CALCULO a, a a3 by b b, b b, b [5] by soft 7) — a ' *) +4 a, ' ° C2 63 Ci) C3 Cy C2 Cl C2 C3 Observe que cada termo do lado direito da Equagao 5 envolve um ntimero q; da primeira linha do determinante, e a; € multiplicado por um determinante de segunda ordem obtido do determinante do lado esquerdo pela remogao da linha e da coluna em que aparece 0 elemento a;. Observe também que o sinal de menos aparece no segundo termo. Por exemplo, 12 -1 0 1 3 1 3 0 3 0 1}=1 —2 + (-1) 4 2 -5 2 —-5 4 -5 4 2 = 100 — 4) — 2(6 + 5) + (-1)(12 — 0) = —38 Se reescrevermos a Definicao 4 utilizando determinantes de segunda ordem e a base can6nica de vetores i, j e k, veremos que o produto vetorial do vetor a = aii + aj + a3k por b = bil + boj + b3k é a a aq, a a a aXb= i- jt+ k | b2 bs bi bs? bi b2 Em vista da semelhanga entre as Equacoes 5 e 6, geralmente escrevemos ij k [7] axXb= a @& a; b, bo by; Apesar de a primeira reta do determinante simbdlico da Equagao 7 ser constituida de veto- res, se fizermos a expansdo como se fosse um determinante comum usando a regra dada pela Equagao 5, obteremos a Equacao 6. A férmula simbdlica dada pela Equacao 7 € provavel- mente o modo mais facil de lembrarmos e calcularmos o produto vetorial. ST Sea = (1, 3, 4) e b = (2, 7, —5), entao ij k axXb=]1 3 4 2 7 —-5 3 4}, 1 4], 1 3 = i- jt k 7 -5 2 —-5 2 7 = (-15 — 28)i- (-5 - 8)j + (7 -6)k = —-43i+ 133 +k Mm 2(5\2007) Mostre que a X a = 0 para qualquer vetor a em V3. SOLUCAO Sea = (a, a, a3), entao ij k axa=/]a@ @ a, a2 a3 = (a2a3 —_ a3d2) i —_ (a1a3 —_ a3ai)j + (aa —_ a2a1)k = 0i-0j+0k=0 7 Nos construimos 0 produto cruzado a X b de modo que ele seria perpendicular a ambos a e b. Esta € uma das propriedades mais importantes de um produto cruzado, entaéo vamos enfa- tiza-la e confirma-la no seguinte teorema. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 729 Teorema O vetor a X b € ortogonal tanto a a quanto a b. DEMONSTRACAO Para mostrarmos que a X b € ortogonal a a, vamos efetuar seu produto escalar com segue: a a3 a a a a2 aX b)-a= ay — ay + a ( ) by bs) | db; b3| > b, b| > = a,(ayb3 — a3b2) — a2(aib3 — axb,) + a3(aib2 — arb) = a1d2b3 — aybra3 — ad2b3 + bia2a3 + aibra3 — bia2a3 =0 Um cAlculo semelhante mostra que a (a X b) - b = 0. Portanto a X b é ortogonal tanto a a quanto a b. — Se ae b sao representados por segmentos de retas orientados com mesma origem (como na Figura 1), entéo o Teorema 8 diz que a X b é um vetor perpendicular ao plano que passa por ae b. O sentido da direcdo de a X b € dado pela regra da mao direita: Se os dedos de sua mao direita se curvarem na direcao (através de um Angulo inferior a 180°) de a para b, entao aXb seu polegar esta apontando na dire¢ao e sentido de a X b. t : : ~ ow ae n Conhecendo o sentido e a direcao do vetor a X b, resta a descrigéo geométrica de seu mddulo |a X bl. Isso é dado pelo teorema seguinte. a b 0 [9] Teorema Se 6 é 0 Angulo entre ae b (portanto 0 < 0 S 7), entao la X b| = |allb] sen 0 FIGURA 1 A regra da mAo direita DEMONSTRACAO Das definigées de produto vetorial e norma de um vetor, temos fornece a diregao de a x b. 2 _ 2 _ 2 _ 2 Ja * b| = (dabs — abo)’ + (asbi — aibs)’ + (aib2 ~ arbi) Visual 12.4 mostra como a X b = asbs _ 2ara3b2b3 + abs + asb7 _ 2a,a3b\b3 + aib3 muda quando b muda. + atb3 — 2ayazbib, + aibi = (a? + az + a3)(bi + BF + D3) — (arbi + anby + a3bs) = |al"|b|’ — (a+ by’ = | a "| b | _- | a "| b |? cos*0 (pelo Teorema 12.3.3) = |al|’|b/>(1 — cos’6) = |a|*|b|?sen’0 Extraindo a raiz e observando que ./sen’6 = sen 6 porque sen 0 = 0 quando 0 = 6 < 7, temos ja X b| = |al|b| sen 6 a . , Loe Caracterizagao geométrica de a X b Como um vetor fica completamente determinado se conhecermos seu modulo, diregao e sentido, podemos dizer que a X b € 0 vetor perpendicular aos vetores a e b, cuja orientagao é determinada pela regra da mao direita, e cujo comprimento é |a||b| sen 6. De fato, é exa- tamente assim que os fisicos definem a X b. Corolario Dois vetores diferentes de zero a e b sao paralelos se e somente se axb=0 DEMONSTRACAO Dois vetores nao nulos a e b sao paralelos se e somente se 9 = 0 ou 7. Em ambos os casos sen 6 = 0, de modo que |a X b| = 0 e, por conseguinte, a X b = 0. EN 730 CALCULO A interpretagéo geométrica do Teorema 9 pode ser vista examinando-se a Figura 2. Se a eb sao tomados como segmentos de reta orientados com 0 mesmo ponto inicial, determi- \ nam um paralelogramo com base é |al, altura |b|sen 6 e com drea \ b [bl sen A = |a|(|blsen 6) = |a X b| 60 a Entao temos a seguinte forma de interpretar o mddulo do produto escalar. FIGURA 2 . O modulo do produto cruzado a X b é igual a area do paralelogramo determinado por ach. (Siete) Encontre um vetor perpendicular ao plano que passa através dos pontos PC, 4, 6), O(—2, 5, —1) e RU, —1, 1). ~ —> —> > => SOLUCAO O vetor PQ X PR é perpendicular a ambos PQ e PR e, portanto, perpendicular ao plano que passa por P, Q e R. Sabemos de (12.2.1) que PO = (-2- 1)i + 6 —4)j + (-1 — Ok = -31+j — 7k PR = (1 — Di+ (—-1 —4j + 1 — 0k = —5j — 5k Calculando o produto cruzado desses vetores: i j k —> => PQ X PR=|-3 1 -7 0 -5 —5 = (-5 — 35)i— (15 — 0)j + 15 — 0)Kk = —40i — 15j + 15k Logo, o vetor (—40, —15, 15) é perpendicular ao plano dado. Qualquer miultiplo por escalar nao nulo desse vetor, tal como (—8, —3, 3), € também perpendicular ao plano. 7 S320" Encontre a area do tridangulo com vértices P(1, 4, 6), Q(-2, 5, —l) e Rd, —1, 1). ~ —> —> SOLUGAO No Exemplo 3 calculamos que PQ X PR = (—40, —15, 15). A drea do paralelo- gramo com lados adjacentes PQ e PR € 0 comprimento do produto vetorial: |PO x PR| = /(—40)? + (—15)2 + 152 = 5/82 A area A do tridangulo POR é metade da area desse paralelogramo, ou seja, }\/82. Mill Se aplicarmos os Teoremas 8 e 9 aos vetores da base canGénica i, j e k usando @ = 77/2, obtemos ixj=k jxk=i kxi=j jx 7/2.) Por conseguin- bxXe UT te, o volume do paralelepipedo é hi\é V = Ah = |b X c||al|cos 6| = |a- (b X o)| / Assim, demonstramos a seguinte formula. b , . ‘ Z FIGURA 3 O volume do paralelepipedo determinado pelos vetores a, b e c € 0 médulo do produto misto: V=l|a-(bXxo)| Se usarmos a Férmula [14] e descobrirmoXs que o volume do paralelepipedo determina- do a, be c € 0, os trés vetores precisam pertencer ao mesmo plano; isso quer dizer que eles sao coplanares. (S@Q\RDH Utilize o produto misto para mostrar que os vetores a = (1, 4, —7), b = (2, -1, 4) ec = (0, —9, 18) sao coplanares. SOLUCAO Se usarmos a Equacao 13 para calcular 0 produto misto, teremos: 732 CALCULO 1 4-7 a-(bXc)=]2 —l 4 0 -9 18 -1 4 2 4 2 -1 = 1 -—4 —7 —-9 18 0 18 0 -9 = 1(18) — 46) — 7(-18) = 0 Portanto, por [14], o volume do paralelepipedo determinado por a, b e c € 0. Isso significa que a, b e c sao coplanares. — O produto a X (b X c) que ocorre na Propriedade 6 é chamado triplo produto vetorial de a, b ec. A Propriedade 6 sera usada para deduzir a Primeira Lei de Kepler do movimen- to planetario no Capitulo 13. Sua demonstrac4o é pedida no Exercicio 50. MS Torque A ideia de produto vetorial aparece muito frequentemente em fisica. Em particular, conside- ra-se uma forga F agindo sobre um corpo rigido em um determinado ponto de um vetor posi- cao r. (Por exemplo, ao apertarmos um parafuso aplicando uma forga a uma chave de boca, como na Figura 4, iremos girar 0 parafuso). O torque 7 (em relacdo a origem) é definido 4 como sendo o produto cruzado dos vetores posi¢ao e forga: oa & r T=rxXF ¢ ~~ e mede a tendéncia do corpo para girar em torno da origem. A diregao do vetor torque indi- F ca 0 eixo de rotagdo. De acordo com o Teorema 9, 0 mddulo do torque é FIGURA 4 |7| = |r X F| = [r||F| sen 8, onde 0 € o angulo entre o vetor posi¢4o e o vetor forga. Observe que a tnica componente da forga F que pode causar a rotacao do objeto é a perpendicular ar, ou seja, |F| sen 8. O médu- lo do torque é igual 4 area do paralelogramo determinado por re F. yo 252005) Um parafuso é€ apertado aplicando-se uma forca de 40 N a uma chave de boca de yo ; 0,25 m, como mostrado na Figura 5. Determine o médulo do torque em relacao ao centro do -B parafuso. 0,25 m AON SOLUCAO O médulo do vetor torque é |7| = Ir X F| = Irl|F| sen 75° = (0,25) (40) sen 75° FF = 10 sen 75° = 9,66 N-m Se o parafuso tem a rosca para a direita, o vetor torque é FIGURA 5 7 = |7|ln ~ 9,66n onde n é um vetor unitaério com dire¢ao perpendicular 4 pagina e sentido para dentro do papel. 7 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 733 ca Exercicios |-7 Determine o produto vetorial a X b e verifique que ele é orto- 20. Determine dois vetores unitérios que sejam ortogonais a j — k gonalaaeb. eit+j. 1. a= 6,0, —2), b = (0,8, 0) 21. Mostre que 0 X a = 0 = a X O para qualquer vetor a em V3. 2. a=(1,1,-)), b = (2,4, 6) 22. Mostre que (a X b) - b = 0 para todo vetor ae b em V3. 3. a=i+3j—2k, b=—i+5k 23. Demonstre a Propriedade 1 do Teorema 11. . oo. 24. Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 11. 4. a=j+ 7k, b = 2i-—j + 4k 1 1 25. Demonstre a Propriedade 3 do Teorema 11. 5 a=i-j-k, b=;i+jt+>k 26. Demonstre a Propriedade 4 do Teorema 11. 6 a=ri + costj + sentk, b=i- sent j + cost k 27. Encontre a area do paralelogramo com vértices A(—2,1), 7. a=(t,1,1/), b = (f, ?, 1) BOO, 4), C(4, 2) e D(2, —1). . . 28. Encontre a 4rea do paralelogramo com vértices K(1, 2, 3), 8. Sea =i- 2keb=j+k, calculea X b. Esbocea, bea X b L(1, 3, 6) MG, 8, 6) e N(3, 7, 3). como vetores com inicio na origem. . 29-32 (a) Encontre um vetor nao nulo ortogonal ao plano que passa 9-12 Encontre o vetor, sem usar determinantes, mas usando pro- pelos pontos P, Qe Re (b) calcule a 4rea do triangulo POR. priedades do produto vetorial. 29. P(1,0, 1) Q(-2, 1, 3) R(4, 2, 5) 9 (xj xk 10. k X (i — 2j) 30. P(0, 0, —3), Q(4, 2,0), = R(3,3, 1) ‘ . fin vas 31. PO, —2,0), O(4,1,-2), RG, 3, 1) MW G7WHxXk~) 2 GF )xG-D 32. P(—1,3,1), Q(0,5,2), R43, -1) 13. Diga se cada expressao a seguir tem sentido. Se nao, explique 33-34 Calcule o volume do paralelepfpedo determinado pelos veto- por qué. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar. res a, bec. (a) a-:(bXc) (b) a X (b-c) () aX(bXo) (d) a-(b-e) 33. a=(6,3,-1), b=(0,1,2), ec=(4,—-2,5) (e) (a:b) X (c- d) (f) (a Xb): (ce X d) 34. a=i+j-—k, b=i-j+k, e=-i+jt+k 14-15 Calcule |u X v| e determine se u X v tem o sentido de entrar 35-36 Calcule o volume do paralelepipedo com lados adjacentes ou sair da pagina. PQ, PRe PS. 14, ves 15. \v|=16 35. P(-2,1,0), (2.3.2), RU4,-D, SG,6, 1) 36. P(3, 0, 1), Q(-1,2,5), R(5,1,-1), S(0,4,2) 459 ° Se ee _ 120 ~ ; -4 ju|=12 37. Utilize o produto misto para mostrar que os_vetores jul= u =i+ 5j — 2k, v = 3i — je w = 5i + 9j — 4k sao coplanares. 38. Use o produto misto para determinar se os pontos A(1, 3, 2), BG, —1, 6), C(S, 2, 0) e DB, 6, —4) pertencem ao mesmo plano. 16. A figura mostra um vetor a no plano xy e um vetor b na direcao .. . . . ~ — _ 39. O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com forca de de k. Os seus comprimentos sAo |a| = 3 e |b| = 2. : 60 N, como mostrado. A haste do pedal tem 18 cm de compri- (a) Encontre la x bl. . . mento. Determine o médulo do torque em relacao a P. (a) Utilize a regra da mAo direita para decidir se as componentes de a X b sao positivas, negativas ou 0. Z 60N 70° b > a y 40. Determine a intensidade do torque em relacao a P se for apli- x cada uma forca de 240 N, como mostrado. 2m P 17. Sea = (2, —1,3)eb = (4, 2, 1), encontrea X beb Xa. 18. Sea = (1, 0, 1), b = (2, 1, —1) ee = (0, 1, 3), mostre que 2m aX (b Xc) #(aXb) Xe. 19. Determine dois vetores unitdrios que sejam ortogonais a (3, 2, 1) 30 240 N e(—1, 1,0). 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 734 CALCULO 41. Uma chave de boca com 30 cm de comprimento posicionada ao 48. Sea+b+c = 0, mostre que longo do eixo y aperta um parafuso colocado na origem. Uma axb=bXc=cXa forga é aplicada no final do cabo da chave com dire¢o dada por (0, 3, —4). Determine o médulo da forga necessdria para que o 49. Demonstre que (a — b) x (a + b) = 2(a X b). torque resultante no parafuso seja de 100 N-m. 50. Demonstre a Propriedade 6 do Teorema 11, isto é, 42. Sejav =Sje sejau um vetor com comprimento 3 com inicio na a X (b X c) =(a- ob — (a: b)e origem e que gira no plano xy. Determine o maximo e 0 minimo valor possivel para u X v. Qual a direcdo e o sentido de u X v? 51. Utilize o Exercicio 50 para demonstrar que 43. Sea: b=vV3eaXb= (1, 2, 2), defina o 4ngulo entre a e b. aX (b Xe) + bX (ce Xa) t+ecX (aX b) = 0 44. (a) Defina todos os vetores v tal que 52. Demonstre que (1, 2, 1) X v= G, 1, —5) (aX b)- (eX a) =|" © b-c¢ (b) Explique por que nao ha nenhum vetor v tal que a:d b-d (1, 2, 1) x v = G3, 1, 5) 53. Suponha que a # 0. 45. (a) Seja P um ponto fora da reta L que passa através dos pontos (a) Sea: b =a-c, é verdade que b = c? Qe R. Mostre que a distancia d a partir do ponto P para a reta (b) Sea X b =a X ¢, 6 verdade que b = c? Lé (c)Sea-b=a-ceaX b=a XC, é verdade que b = c? d= la X bl ~ lal 54. Se vi, V2 € V3 sAo vetores nado coplanares, defina onde a = OReb = OP. v2 X Vs v3 XV (b) Use a formula da parte (a) para encontrar a distancia 0 ponto ki = Vi (V2 X vs) ko = Vi * (Vo X vs) P(1, 1, 1) a reta que passa por Q (0, 6, 8) eR (—1, 4, 7). 46. (a) Seja P um ponto fora do plano que passa pelos pontos Q, R k= vi x vo e S. Mostre que a distAncia d de P para o plano é 2 vi + (V2 X Vs) d= la-(bxo) (Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. Vetores da laXbl forma mV, + mov2 + 13V3, em que cada n; é um nimero inteiro, for- Se. 3S mam um reticulado para um cristal. Vetores escritos de forma seme- onde a = OR, b = OS ec = OP. lhante, em termos de ki, ky e k; formam o reticulado reciproco). (b) Use a formula da parte (a) para encontrar a distancia do (a) Mostre que k; é perpendicular a v; se i ¥ j. ponto P(2, 1, 4) em relacao ao plano que passa pelos pontos (b) Mostre que k; - v;= 1 para i = 1, 2, 3. Q(1, 0, 0), R(O, 2, 0) e S(O, 0, 3). __! (c) Mostre que ki - (Kz X k3) = Vi + (V2 X V3)" 47. Mostre que |a X b|? = |a|? |b]? — (a: b). ° Le PROJETO DE DESCOBERTA A GEOMETRIA DE UM TETRAEDRO Um tetraedro é um sélido com quatro vértices, P, Q, R e S, e quatro faces triangula- res, como mostrado na figura. P 1. Sejam vi, V2, V3 € V4 vetores de comprimentos iguais 4 area das faces opostas aos vértices P, Q, R e S, respectivamente, e diregdes perpendiculares as res- pectivas faces e apontando para fora do tetraedro. Mostre que vVitwivwytw=0 2. Ovolume V de um tetraedro é um terco da distancia de um vértice 4 face oposta Q a vezes a area dessa face. (a) Determine uma férmula para 0 volume do tetraedro em termos das coorde- nadas de seus vértices P, O, Re S. (b) Encontre o volume do tetraedro cujos vértices sao P(1, 1, 1), QC, 2, 3), Rd, 1, 2) e SG, —1, 2). 3. Suponhamos que o tetraedro na figura tenha um vértice trirretangular S. (Isto significa que os trés 4ngulos de S s4o todos angulos retos.) Sejam A, B e C as areas das trés faces que encontram o vértice S, e seja D a area da face oposta POR. Utilizando o resultado do Problema 1, mostre que D? = A? + BP +C? (Essa é uma versao tridimensional do Teorema de Pitagoras.) VETORES EAGEOMETRIADOESPAGO = 735 ca Equacoes de Retas e Planos Uma reta no plano xy é determinada quando um ponto e uma diregdo (inclinaga4o ou coefi- ciente angular da reta) sao dados. A equagdo da reta pode ser entao escrita utilizando-se a forma ponto-inclinagao. Da mesma forma, uma reta L no espaco tridimensional é determinada quando conhece- z mos um ponto Po(xo, yo, Zo) em L e a direcao de L. Em trés dimensGes, a diregdo de uma reta P)(Xo Yos Zo) € convenientemente descrita por um vetor. Seja v um vetor paralelo a L. Seja P(x, y, z) um / a ? ponto arbitrario sobre Le sejam ro e r Os vetores posi¢do de Poe P (isto é, eles tem repre- (922) sentantes OP) e OP). Se a € 0 vetor com representante PoP, como na Figura 1, entao pela r on ~ Vv Regra do Triangulo para soma dos vetores temos r = ro + a. Mas, uma vez que a e v sdo O vetores paralelos, ha um escalar ¢ de tal modo que a = tv. Assim, x y que é a equacao vetorial de L. Cada valor do parametro ¢ fornece 0 vetor posicao r de um z ponto em L. Em outras palavras, como ¢ varia, a reta é tragada pela ponta do vetor r. Como t=0 t>0 a Figura 2 indica, os valores positivos de ¢t correspondem a pontos em L que se encontram de t<0 eT um lado de Po, enquanto os valores negativos de t correspondem a pontos que se encontram do outro lado de Po. Se o vetor v, que fornece a direcdo da reta L, € escrito sob a forma de componentes v = (a, b, c), temos que tv = (ta, tb, tc). Também podemos escrever r = (x, y, Z) € ‘ Yo = (Xo, Yo, Zo), de modo a equagao do vetor |1 | se torna y (x, y, 2) = (xo + ta, yo + th, z + tc) FIGURA 2 Dois vetores iguais tém as componentes correspondentes iguais. Assim, temos trés equagdes escalares: [2] xX = Xo + at y=yt bt Z=z2a+ct onde ¢t e R. Essas equacgdes sio chamadas equacoes paramétricas da reta L, que passa pelo ponto Po(Xo, Yo, Zo) e € paralela ao vetor v = (a, b, c). Cada valor do parametro t fornece um ponto (x, y, z) em L. | EXEMPLO 1 | A Figura 3 mostra a reta L do Exemplo 1 e (a) Determine as equac6es vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto (5, 1, 3) ‘in relagao com 0 ponto dado 0 vetor 4 : : Iregao. e € paralela ao vetor i + 4j — 2k. . (b) Determine outros dois pontos na reta. 2 SOLUCAO L (a) Aqui ro = (5, 1, 3) = 5i + j + 3k e V=i + 4j — 2k, portanto, a equacao do vetor | 1] se ro torna (5, 1, 3) r= (i + j + 3k) + ti + 4j — 2k) v=it+4j-2k y xX ou r=(5+Ai+(+4)j+ B3-20)k As equagoes paramétricas sao FIGURA 3 x=5+t y=1+4t z=3-2t (b) Escolhendo o valor do parametro t = 1 temos x = 6, y = 5ez = 1, assim (6, 5, 1) € um ponto sobre a reta. Da mesma forma, t = —1 corresponde ao ponto (4, —3, 5). | | A equacao vetorial e as equag6es paramétricas de uma reta nao sao unicas. Se trocarmos 0 ponto ou o parametro ou escolhermos um vetor paralelo diferente, a equagéo muda. Por exemplo, se, em vez do ponto (5, 1, 3) escolhermos o ponto (6, 5, 1) no Exemplo 1, as equa- ¢Oes paramétricas da reta se tornam x=6+t y=5+4t z=1-2t 736 CALCULO Ou, se mantivermos o ponto (5, 1, 3), mas escolhermos o vetor paralelo 2i + 8j — 4k, che- garemos as equacdes x=5+2t y=1+8t z=3-4t Em geral, se um vetor v = (a, b, c) € usado para descrever a direcgéo de uma reta L, entao os numeros a, b e c so as componentes do vetor diretor de L. Uma vez que qualquer vetor paralelo v também pode ser usado, vemos que quaisquer trés nimeros proporcionais a a, be c poderiam também ser usados como componentes do vetor diretor de L. Outra maneira de descrever uma reta L é eliminar 0 parametro ¢t das Equagées 2. Se nenhum dos numeros a, b e c for 0, podemos isolar tf em cada uma das equac6es e igualar os resultados, obtendo X—X0 Y— yo 27 Z% [3] a b c Essas equac6es sao chamadas equacoes simétricas de L. Observe que os ntimeros a, b ec que aparecem nos denominadores das Equagées 3 sao as componentes do vetor diretor de L, isto é, as componentes de um vetor paralelo ao vetor diretor de L. Se a, b ou c € 0, ainda podemos eliminar ¢. Por exemplo, se a = 0, podemos escrever as equacdes de L como y~ Yo _ 27 20 Xx = Xo — = — b Cc Isso indica que a reta L pertence ao plano vertical x = xo. . EXEMPLO 2 A Figura 4 mostra a reta L do Exemplo 2 e 0 Det . ~ seri imétri d t 1 ti ponto Pde intersecgao com o plano xy. (a) Determine as equacdes paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(2, 4, —3) e B3, —1, 1). (b) Qual a intersecg¢4o dessa reta com o plano xy? 1 SOLUCAO (a) Nao nos foi dado de forma explicita o vetor paralelo 4 reta, mas observe que o vetor v B 1 2 4 com representagaéo AB é paralelo a reta e oP Y v=3-2,-1-4,1~(-3)) = (1, -5, 4) L Assim, os nimeros diretores sio a = 1,b = —5 ec = 4. Considerando o ponto (2, 4, —3) como Po, vemos que as equag6es paramétricas |2 | s4o A x=2+t y=4-5t z=—-3+4t e as equacées simétricas |3 | sao FIGURA 4 x-2 y-4 2+3 1 —5 4 (b) A reta intercepta o plano xy quando z = 0; entéo, tomando z = 0 nas equacées simétri- cas, obtemos: x-2 y-4 3 1 —5 4 o que fornece x = te y= i, portanto a reta intercepta o plano xy no ponto (7, i 0). Em geral, o procedimento do Exemplo 2 mostra que as componentes do vetor diretor da reta L que passa pelos ponto Po(Xo, yo, Zo) € Pi(%, yi, Z1) SAO X1 — Xo, V1 — Yoe Z1 — Ze as equagoes simétricas de L sao X—X0 Y Yo 27 %Z X1 — Xo yi — Yo Z1 — Zo Frequentemente precisamos de uma descri¢4o, nao de uma reta inteira, mas apenas de um segmento de reta. Como, por exemplo, poderfamos descrever 0 segmento de reta AB no VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 737 Exemplo 2? Se colocarmos t = 0 nas equag6es paramétricas no Exemplo 2(a), temos 0 ponto (2, 4, —3) e se colocarmos t = 1, temos (3, —1, 1). Assim, 0 segmento de reta é descrito pelas equac6des paramétricas x=2+t y=4-5t z=—-3+ 4t 0—lUc oO Z SOLUCAO Os vetores a e b correspondentes a PQ e PR sao 215, “1 6) a= (2,-4.4) b= (4, -1, -2) 132 Como tanto a quanto b pertencem ao plano, seu produto vetorial a X b é ortogonal ao plano Pil, 3, 2) e pode ser tomado como 0 vetor normal. Assim, : i j k * n=aXb=|2 -4 4) =12i+ 20j+ 14k x R(5, 2, 0) 4-1 —2 FIGURA 8 Com o ponto P(1, 3, 2) e o vetor normal n, uma equagao do plano é 12( — 1) + 20 — 3) + 14(z — 2) = 0 ou 6x + 10y + 7z = 50 7 3432005 Determine o ponto no qual a reta com equacg6es paramétricas x = 2 + 3f, y = —4t,z =5 + tintercepta o plano 4x + 5y — 2z = 18. SOLUCAO Substituimos as expressGes x, y e z das equac6es paramétricas na equacio do plano: 42 + 3t) + 5(—41) — 26 + 9 = 18 Isto simplifica a —10t = 20, portanto, t = —2. Por conseguinte, o ponto de interseg4o ocorre quando o valor do parametro é t = —2. Entéo x = 2 + 3(—2) = —4, y = —4(—2) = 8, VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 739 z=5-—2=3e, portanto, o ponto de intersegao é (—4, 8, 3). | Dois planos sao paralelos se seus vetores normais sao paralelos. Por exemplo, os planos x + 2y — 3z = 4e 2x + 4y — 6z = 3 sao paralelos porque os seus vetores normais sao g n, = (1, 2, —3) e m = (2, 4, —6) e m = 2n,. Se dois planos nao sao paralelos, eles se inter- y ceptam em uma reta, e o 4ngulo entre os dois plano é definido como o Angulo entre os veto- la res normais aos planos (veja o angulo 6 na Figura 9). FIGURA 9 EXEMPLO 7 (a) Determine o angulo entre os planosx + y+z=lex-2y+3z=1. (b) Determine as equagGes simétricas da reta interseccao L desses dois planos. A Figura 10 mostra os planos do Exemplo 7 ¢ a reta de interseccao L. SOLUCAG ctytz=1 (—2y+32=1 (a) Os vetores normais a esses planos séo ar aa iN wenn SRY. nm, = (1, 1,1) nz = (1, ~2, 3) SERN Sf RRR ERS, Portanto, se 6 € o angulo entre os dois planos, 0 Corolario 12.3.6 fornece ; ) SRR LOCOS cos Qe 8 11) + 1(—2) +13) — 2 7 0 SOE 8S ee _ BOA Imjjm| Viti+1Vyi+4+9 42 2 BORO “4 VI QV -1 2 ° ~? 0 QP 0 6 = cos Van = 72 y 2 2 x (b) Primeiro precisamos encontrar um ponto em L. Por exemplo, podemos achar o ponto FIGURA 10 onde a reta intercepta o plano xy tomando z = 0 na equacao dos dois planos. Isso fornece as equagdes x + y = lex — 2y = 1, cuja solugao é x = 1, y = 0. Portanto, o ponto (1, 0, 0) encontra-se em L. Observe que, como L pertence a ambos os planos, € perpendicular ao vetor normal de ambos os planos. Entaéo, um vetor v paralelo a L é dado pelo produto vetorial . i ok Outro modo de determinar a reta de intersecgao 1 J é resolver a equacao do plano para duas v=n, Xn,=| 1 1 1] =S5i-—2j—-—3k varidveis em fungao da terceira, que sera 1 —2 3 tomada como parametro. e assim as equacOes simétricas de L podem ser escritas como x- 1 Z a — 5 2 -3 < ¥-35y 2 =o LH. q _ . oe . aa SSA = OBSERVACAO Como uma equagaio linear nas variaveis x, y e z representa um plano e dois 1 BEES Ze L : ~ : ZAZA planos nao paralelos se interceptam em uma reta, segue que duas equagoes lineares podem 0 BEA Ee : ~ 4 VZA { Sse representar uma reta. Os pontos (x, y, z) que satisfazem a ambas as equacdes Bee SI : - Ht He ax + by + az td; = 0¢€ ax + bry + coz + d) = 0 pertencem a ambos os planos, e assim | JAAR ECE esse par de equagoes lineares representa a reta intersegao dos planos (se eles nao forem para- 2 A eee lelos). Por exemplo, no Exemplo 7, a reta de L foi dada como a reta de intersecgao dos pla- -1 6 | 0 -1? nosx+y+z=lex-—2y + 3z= 1. As equag6es simétricas que encontramos para L podem y 2 * ser escritas como x-1 y y z FIGURA 11 5 ~ —2 © —2 ~ 3 A Figura 11 mostra como a reta / do Exemplo 7 pode também ser vista como a intersecgao dos que € um par de equag6es lineares. Elas descrevem L como a reta intersecg4o dos planos _planos obtidos a partir de suas equacoes (x — 1)/5 = y(—2) e y(—2) = z/(—3). (Veja a Figura 11.) simetricas. Em geral, quando escrevemos as equagées de uma reta na forma simétrica x7 %o _ YT Yo _ 27 70 a b c podemos pensar na reta como a intersecgao de dois planos x7 x0 _ Y~ Yo e Y~ Yo _ 27 20 a b b c 740 CALCULO 5 (52008 Determine a formula da distancia D de um ponto P\(x%, yi, z1) ao plano ax + by+cz+d=0. SOLUCAO Seja Po(xo, yo, Zo) um ponto qualquer do plano dado e seja b o vetor correspondente a PoP. Entao, b = 1 — Xo, Yi — Yo, Z1 — Zo) P, Da Figura 12 podemos ver que a distancia D de P; até o plano é igual ao valor absoluto da jf projecao escalar de b sobre o vetor normal n = (a, b, c). (Veja a Secao 12.3.) Assim, D n-b b D =|comp,b| = PL [n| DO P _ | a(x _ Xo) + by _ yo) + c(z _ zo) | : Va+b?+c? FIGURA 12 — |[(axi + by: + cz1) = (axo + byo + €20) | Va>+b? +c? Uma vez que Pp se situa no plano, as suas coordenadas satisfazem a equacao do plano e por isso temos axo + byo + czo + d = 0. Assim, a férmula para D pode ser escrita como [9] p — Let by + cz + d| = Va? +b? 4+ c? |S\iet0e) Determine a distancia entre os dois planos paralelos 10x + 2y — 2z =S5e Sx+y-ze=l. SOLUCAO Observemos primeiro que os dois planos s&o paralelos, pois seus vetores normais (10, 2, —2) e (5, 1, —1) sao vetores paralelos. Para achar a distancia D entre os planos, esco- Ihemos um ponto qualquer em um plano e calculamos sua distancia ao outro plano. Em par- ticular, se tomarmos y = z = 0 na equacao do primeiro plano, obteremos 10x = 5 e, portanto, (3, 0, 0) é um ponto desse plano. Pela Férmula 9, a distancia entre (3, 0, 0) e o plano 5xty—-—z-1=06é p — 15(2) +10) = 10) = 1) 3 V3 V5? + 2 + (-1P 3/36 Assim, a distancia entre os planos é 3/6. | 85/200) No Exemplo 3 mostramos que as retas Li: x=1+t y=-2+3t z=4-t Ln: x = 2s y=3+s z=—-3+4s sao retas reversas. Determine a distancia entre elas. SOLUGAO Como as duas retas L; e Ly sao reversas, elas podem ser vistas como pertencentes aos planos paralelos P; e P2. A distancia entre L; e Lz é igual 4 distancia entre P; e P2, que pode ser calculada como no Exemplo 9. O vetor normal a ambos os planos precisa ser orto- gonal aos vetores v,; = (1, 3, —1) (vetor diretor de Li) e v2 = (2, 1, 4) (vetor diretor de LZ). Assim, o vetor normal é dado por ij k n=vXvw=]1 3 —-1| = 13i- 6j — 5k 2 1 4 Se colocarmos s = 0 nas equagées de Lz, temos o ponto (0, 3, —3) em Lz e entao a equacao de P, é VETORES E A GEOMETRIA DO ESPACO 741 13(x — 0) — 6(7 — 3) — 5(z + 3) = 0 ou 13x — 6y —-5z+3=0 Tomando agora t = 0 na equacao de L;, obtemos 0 ponto (1, —2, 4) em P;. Assim, a distan- cia entre L; e Lz € a mesma que a distancia a partir de (1, —2, 4) até 13x — 6y — 5z +3 = 0. Pela Formula 9, esta distancia é | 13(1) — 6(—2) — 5(4) + 3| 8 Doo = — ~&~ 0,53 7 J 132 + (-6) + (—5)? 230 ca Exercicios 1. Determine se s4o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmag6es. 14. A reta que passa por (—2, 4, 0) e (1, 1, 1) é perpendicular 4 reta (a) Duas retas paralelas a uma terceira sao paralelas. que passa pelos pontos (2, 3, 4) e (3, —1, —8)? (b) Duas retas perpendiculares a uma terceira s4o paralelas. ; ; (c) Dois planos paralelos a um terceiro sAo paralelos. 15. (a) Encontre equagGes simétricas para a reta que passa pelo (d) Dois planos perpendiculares a um terceiro sao paralelos. ponto (1, —S; 6) e € paralela ao vetor (1, 2, —3). ; (e) Duas retas paralelas a um plano sao paralelas. (b) Determine os pontos nos quais a reta da parte (a) intercepta (f) Duas retas perpendiculares a um plano sAo paralelas. os planos coordenados. (g) Dois planos paralelos auma reta sao paralelos. 16. (a) Encontre as equacGées paramétricas da reta que passa por (h) Dois planos perpendiculares a uma reta sao paralelos. (2, 4, 6) e € perpendicular ao plano x — y + 3z = 7. (i) Dois planos ou se interceptam ou sao paralelos. (b) Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados? (j) Duas retas ou se interceptam ou sao paralelas. (k) Um plano e uma reta ou se interceptam ou sao paralelos. 17. Ache a equacao vetorial para o segmento de reta de (2, —1, 4) a 2-5 Determine uma equacio vetorial e equagdes paramétricas para (4, 6, 1). a reta. 18. Encontre as equag6es paramétricas para o segmento de reta de _ P (10, 3, 1) a (5, 6, —3). 2. A reta que passa pelo ponto (6, —5, 2) e é paralela ao vetor 1,3, -3 . ( 3) 19-22 Determine se as retas Li e Lz sao paralelas, reversas ou con- 3. A reta que passa pelo ponto (2, 2,4, 3,5) e é paralela ao vetor correntes. Se forem concorrentes, determine seu ponto de intersec- 3i + 2j -k gao. 4. A reta que passa pelo ponto (0, 14, —10) e é paralela a reta 19. Liix=3+2t~, y=4—-t, z= 1+3t x=-1+2ty=6-34,2=3+9 In x=1+4s, y=3-25s, z=44+5s8 5. A reta que passa pelo ponto (1, 0, 6) e €é perpendicular ao plano 20. Li:x=5—- 12, y=3 49s, c= 1 —3t x+3yt+z=5 Innx=34+ 85, y=-—6s, z=7+4 258 6-12 Determine as equag6es paramétricas e as equacGes simétricas 21. Li: X72 _yT3 zd para a reta. I —2 —3 ee 6. A reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3) * 1 3. -79 7. A reta que passa pelos pontos (0, , 1) e (2, 1, —3) ” LL: x y-l 7-2 . LoS 8. A reta que passa pelos pontos (1,0, 2,4, 4,6) e (2,6, 1,2, 0,3) 1 2 —1 3 3 x yo Zz L3. — = — => 9. A reta que passa pelos pontos (— 8, 1, 4) e (3, —2, 4) ; 2 —2 7 10. A reta que passa por (2, 1, 0) e é perpendicular tanto ai + j 23-40 Determine a equacio do plano. quanto j + k . . 23. O plano que passa pelo ponto (6, 3, 2) e € perpendicular ao vetor 11. A reta que passa por (1, —1, 1) e é€ paralela a reta I (—2, 1, 5) x+2=5,y=z-3 24. Pl 1 to (4, 0, —3 j t lé 12. A reta de intersecgao dos planos x + 2y + 3z=lex-y+z=1 j an Passa pelo ponto ( ) € cujo vetor normal ¢ 13. A reta que passa por (—4, —6, 1) e (—2, 0 —3) € paralela a reta que passa pelos pontos (10, 18, 4) e (5, 3, 14)? 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 742 CALCULO 25. O plano que passa pelo ponto (—1, 5, 3) e cujo vetor normal é ex + 2y + 3z¢= 1. i+ 4j+k 51-56 Determine se os planos s4o paralelos, perpendiculares ou , . nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule 0 4ngulo 26. O plano que passa pelo ponto (2, 0, 1) e € perpendicular a reta entre eles. x=3,y=2-472=34+4 51. x + 4y —3z= 1, —3x + 6y + 7z=0 27. O plano que passa pelo ponto (1, —1, —1) e € paralelo ao plano * y ‘ * y 6 5x —y—z=6 52. 22=4y-—x, 3x-12y+6z=1 28. O plano que passa pelo ponto (2, 4, 6) e é paralelo ao plano 53. xty+z=1, x-y+z=1 Z=xty 54. 2x-—3y+4z2=5, x+6y+4z=3 11 29. O plano que passa pelos pontos (1, 3, 3) e € paralelo ao plano xtyt+z=0 55. x = 4y — 2z, 8y =1+2x4+ 4z . . 56. x + 2y + 2z=1, 2x-yt2z=1 30. O plano que contémaretax=1+ty=2-—tz72=4-3teé ee paralelo ao plano 5x + 2y +z=1 57-58 (a) Determine as equacgGes simétricas da reta intersecgdo dos planos e (b) determine o Angulo entre os planos. 31. O plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1), e C1, 1, 0) 52. xty+z=1, x+2y+2z=1 32. O plano que passa pela origem e pelos pontos (2, —4, 6) e (5, 1, 3) 58. 3x —2y+z=1, 2x + y —3z=3 33. O plano que passa pelos pontos (3, —1, 2), (8, 2, 4),e(—1, —2, 59-60 Encontre equagGes simétricas para a reta de intersecgao dos ~% planos. 34. O plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) e contém a reta x = 31, 59. 5x —2y—2z7=1, 4x +y+z2=6 y=1l+tz2=2-¢t 60. cz=2x-y—-5, z2=4x+3y—5 35. O plano que passa pelo ponto (6, 0, —2) e contém a reta ee x=4-2t,y=3+5,z2=74+ 4 61. Determine uma equacao do plano constituido de todos os pon- tos que sdo equidistantes dos pontos (1, 0, —2) e (3, 4, 0). 36. O plano que passa pelo ponto (1, —1, 1) e contém a reta com equacoes simétricas x = 2y = 3z 62. Determine uma equacio do plano constituido de todos os pon- tos que sdo equidistantes dos pontos (2, 5, 5) e (—6, 3, 1). 37. O plano que passa pelo ponto (—1, 2, 1) e contém a reta de in- tersecdo dos planosx + y-— z=2e2x-—y+3z=1 63. Determine a equacao do plano que x intercepta 0 eixo x em a, 0 eixo yembeoeixozemc. 38. O plano que passa pelos pontos (0, —2, 5) e (—1, 3, 1) e € per- pendicular ao plano 2z = 5x + 4y 64. (a) Determine o ponto dado pela intersecgao das retas: r= (1,1,0) +741, -1, 2) 39. O plano que passa pelo ponto (1, 5, 1) e €é perpendicular aos pla- r = (2,0, 2) + s(—1, 1, 0) nos 2x +y — 2z=2ex+ 3z2=4 (b) Determine a equac4o do plano que contém essas retas. 40. Oplano que passa pela reta de interseccao dos planos * —z=1 65. Encontre as equacg6es paramétricas da reta que passa pelo ponto ey + 2z = 3 e€ perpendicular ao plano x + y — 2z =1 (0, 1, 2), € paralela ao plano x + y + z = 2 e € perpendicular a 41-44 Use as intersecgdes com os eixos coordenados como uma retax=1+ty=1—t2= 21. ajuda para esbogar o plano. . . 66. Determine as equacgées paramétricas da reta que passa pelo M1. 2x+ 5y+z= 10 42. 3x+y+2z=6 ponto (0, 1, 2), €é perpendicular a retax =1+t,y=1-tf4, Z = 2te intercepta essa reta. 43. 6x — 3y + 4z =6 44. 6x + 5y — 3z= 15 a : : ~ 9 By . 45-47 Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. 67. Quais dos quatro planos seguintes sao paralelos? Existem dois coincidentes? 45. x=3-f, y=2+t 2z=S5h x-y+t2z=9 P,: 3x + 6y — 3z = 6 Po: 4x — 12y + 82 =5 46. x=14+21, y=4t, 2=2-35 xt+2y—-zt+1=0 Px Qy= 1+ 3x+6c¢ Paz=xt 2y— 2 47. x=y—-1=2 4x—-y+3z2=8 68. Quais das quatro retas seguintes sAo paralelas? Existem duas SSS... = coincidentes? 48. Em que ponto a reta que passa por (1, 0, 1) e (4, —2, 2) inter- Lyix=1+6, y=1-34, z= 12t+5 cepta o planox +y +z=6? Lyx=14+24 y= z=1+4t 49. Determine as coordenadas do vetor diretor da reta intersecc4o Lyi 2x ~2=4—dy=z2+ 1 dos planosx t+y+z=lex+z=0. Lav = (3, 1,5) + 14, 2, 8) 50. Determine o cosseno do 4ngulo entre os planosx + y+ z=0 89-70 Utilize a formula qhe aparece “ Exercicio 45 da Secao 12.4 para determinar a distancia do ponto 4 reta dada. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 743 69. (4,1, —2); x=1+4, y=3-24, z=4-3t 78. Encontre a distancia entre as retas de inclinag&o com equagées paramétricasx = 1+4,y = 1+ 64,7 = 2tex=1+ 2s, 70. (0, 1, 3); x=2t, y=6-24, z=3+t y=5+4 15s,2= —2 + 6s. 71-72 Determine a distancia do ponto ao plano dado. . . . 79. Seja L; a reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 0, — 1). Seja 71. 1, —2, 4), 3x + 2y+6z=5 Ly a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, —1, 1) e (4, 1, 3). Encontre a distancia entre L; e Ly. 72. (—6, 3, 5), x—2y—-4z=8 73-74 Determine a distancia entre os planos paralelos dados. 80. Seja Li a reta que passa pela ongem © pelo ponto (1, 2, 6) (2, 4, 8). Seja L, a reta de intersegao dos planos 77 e 77, onde 73. 2x -—3y+72=4, 4x — 6y + 2z =3 7, €0 plano x—y + 2z + 1 = Oe 7 € 0 plano que passa pelos pontos (3, 2, —1), (0, 0, 1) e C1, 2, 1). Encontre a distancia entre 74. 6z = 4y — 2x, 9z = 1 —- 3x + 6y Lie Ln. 75. Mostre que a distancia entre os planos paralelos 81. Se a, b e c nao sao todos nulos, mostre que a equacdo ax + by tcc +d) =O0car + byt cctd=06 ax + by + cz + d = O representa um plano e (a, b, c) € 0 vetor normal ao plano. D= |di — do | Dica: Suponha a # 0 e reescreva a equacao na forma Va+ b> +c? d (+4) + b(y — 0) + c(z — 0) = 0 76. Determine as equagées dos planos que s4o paralelos ao plano a x + 2y — 2z =1 e que distam duas unidades dele. . . . 82. Dé a interpretacéo geométrica de cada familia de planos. 71. Mostre que as retas com equacgées simétricas x = y = ze (ajxt+y+z=c (b) x+y+cz=1 x + 1 =y/2 = 2/3 sao reversas e determine a distancia entre elas. (c) ycos @ + zsen6 = 1 Es PROJETO DE LABORATORIO COLOCANDO O 3D EM PERSPECTIVA Programadores de computacao grafica enfrentam o mesmo desafio que os grandes pintores do passado: como representar uma cena tridimensional como uma imagem n plana em um plano bidimensional (a tela ou um monitor). Para criar a ilusdo de pers- m1 pectiva, na qual os objetos pr6ximos parecem maiores que aqueles mais distantes, os objetos tridimensionais na memoria do computador so projetados em uma tela retan- gular a partir do ponto de visaéo onde o olho ou a camera estao localizados. O volume de visio — a por¢do do espaco que estara visivel — é a regiao contida nos quatro pla- nos que passam pelo ponto de visdo e por uma aresta da tela retangular. Se os obje- tos na cena se estendem além dos quatro planos, eles sao truncados antes que os dados sejam enviados para a tela. Esses planos sao, portanto, chamados plano cortantes. 1. Suponha que a tela seja representada por um retangulo no plano yz com vértices (0, +400, 0) e (0, £400, 600), e a camera esteja localizada em (1 000, 0, 0). Uma reta L na cena passa pelos pontos (230, —285, 102) e (860, 105, 264). Em quais pontos L sera contada pelos planos cortantes? 2. Se o segmento de reta cortado for projetado na tela, identifique o segmento de reta resultante. 3. Use equacGes paramétricas para tragar as arestas da tela, o segmento de reta cortado e sua projecao na tela. A seguir, adicione retas que conectem o ponto de visao a cada extremidade dos segmentos cortados para verificar que a projecao esta correta. 4. Um retangulo com vértices (621, —147, 206), (563, 31, 242), (657, —111, 86) e (599, 67, 122) é adicionado a cena. A reta L intercepta esse retangulo. Para fazer o retangulo parecer opaco, um programador pode usar retas escondidas, as quais removem partes do objeto que estao atras de outros objetos. Identifique a parte de L que deve ser removida. 744 CALCULO ca Cilindros e Superficies Quadricas Ja olhamos para dois tipos especiais de superficies — planos (Seco 12.5) e esferas (Sedo 12.1). Aqui, estudaremos outros dois tipos de superficies — cilindros e superficies quadricas. Para esbocar 0 grafico dessas superficies é util determinar a intersecgao da superficie com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas sao denominadas cortes (ou secgdes transversais) da superficie. MS Cilindros 2 Um cilindro é uma superficie constituida de todas as retas (chamadas geratrizes) que sao paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana. SYR Esboce o grafico da superficie z = x. SOLUCAO Observe que a equacao do grafico, z = x’, nao envolve y. Isto significa que qual- quer plano vertical com a equacao y = k (em paralelo com o plano xz) intersecta o grafico 0 de uma curva com a equagio z = x’. Os cortes verticais so, portanto, pardbolas. A Figura | x y mostra como o gréafico é formado tornando a parébola z = x? no plano xz e movendo-a na FIGURA 1 diregao do eixo y. O grafico é uma superficie chamada de cilindro parabdlico, constituida A superficie 7 = x2 é por um ntimero infinito de cdpias deslocadas da mesma parabola. Aqui, as geratrizes do cilin- Z= : Pe ays dro sao paralelas ao eixo y. = um cilindro parabdlico. o . . . Observamos que a variavel y nao aparece na equac4o do cilindro do Exemplo 1. Esse fato é comum as superficies cujas geratrizes sao paralelas a um dos eixos coordenados. Se uma das variaveis x, y ou z esta faltando na equagao da superficie, a superficie é um cilindro. z 5(5/2007) Identifique e esboce as superficies. G (a)x2+ y= 1 (by 2+ 2=1 SOLUCAO (a) Como z nao aparece e as equacgées x? + y= 1, z = k representam uma circunferéncia de raio | no plano z = k, a superficie x* + y? = 1 € um cilindro circular cujo eixo € 0 eixo z. - (Veja a Figura 2.) Aqui, as geratrizes sao retas verticais. (b) Nesse caso, a varidvel x é que esta faltando, e a superficie é um cilindro circular cujo eixo y é o eixo x. (Veja a Figura 3.) Ela é obtida tomando-se a circunferéncia y? + 2 = 1, x x = 0 no plano yz e deslocando-a paralelamente ao eixo x. 2 2— ~ . se FIGURA 2 x+y =1 {@ OBSERVACAO Quando estamos tratando de superficies, é importante reconhecer que uma equacéo como x? + y? = | representa um cilindro e nao uma circunferéncia. O corte desse zZ cilindro x? + y= 1 no plano xy € a circunferéncia de equacées x7 + y?= 1,z = 0. MM Superficies Quadricas Uma superficie quadrica é 0 grafico de uma equagao de segundo grau nas trés varidveis x, \ yez. A equacado mais geral é y Ax’? + By? + C2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy +Iz+J=0 onde A, B, C,..., J sao constantes, mas por rotacdo e translagdo essa equac¢ao pode ser posta em uma de duas formas padrao FIGURA3 y?+2°=1 Ax + BY +C2+J=0 ou Ax? + By? + Iz =0 As superficies quadricas so as correspondentes tridimensionais das cénicas no plano. (Veja a Secao 10.5 para uma revisado das segdes cénicas.) S(5\2008) Utilize cortes para fazer 0 esboco da superficie quadrica com equac4o 2 2 Zz | 9 4 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 745 SOLUCAO Substituindo z = 0, determinamos que o corte no plano xy € x7 + y’/9 = 1, que reconhecemos ser a equac4o de uma elipse. Em geral, 0 corte horizontal no plano z = k é og My LK xo + 9 1 4 z=k que € uma elipse, desde que k? < 4, ou seja, —-2 (0, 3, 0) A Figura 4 mostra como desenhar alguns cortes para indicar a forma da superficie. Essa su- fa coll : y perficie é chamada elipsoide, visto que todos os seus cortes sao elipses. Observe a simetria x em relacao a cada plano coordenado; isto é reflexo do fato de s6 aparecerem poténcias pares de x, ye z. 7 FIGURA 4 was 2 wee (QL Utilize cortes para esbocar a superficie z = 4x? + y*. Elipsoide x" +g +g =! SOLUCAO Impondo x = 0, obtemos z = y*, de forma que o plano yz intercepta a superficie em uma parabola. Impondo x = k (uma constante), obtemos z = y* + 4k’. Isso significa que, se cortarmos o grafico por qualquer plano paralelo ao plano yz, obteremos uma nova para- bola com concavidade para cima. Da mesma forma, tomando y = k, o corte é z = 4x° + k’, que corresponde novamente a uma parabola com concavidade para cima. Tomando z = k, obteremos os cortes horizontais 4x° + y? = k, que reconhecemos como uma familia de elip- ses. Sabendo a forma dos cortes, podemos esbogar o grafico da Figura 5. Pelo fato de os cor- tes serem pardbolas e elipses, a superficie quadrica z = 4x + y? é denominada paraboloide eliptico. (SGV Esboce a superficie z = y? — x. _ Z FIGURA 5 J A superficie z = 4x? + y* é um paraboloide eliptico. Os cortes horizontais sao elipses 0 e os cortes verticais sao parabolas x y | SOLUCAO Os cortes nos planos verticais x = k séo pardbolas z = y? — k?, com concavidade para cima. Os cortes em y = k sio parabolas z = —x? + k’, com concavidade para baixo. Os tracos horizontais sao y* — x° = k, uma familia de hipérboles. Na Figura 6 desenhamos esses cortes e mostramos como eles aparecem quando colocados nos planos corretos na Figura 7. Na Figura 8 colocamos juntos os cortes da Figura 7 para formar a superficie z = y’ — x’, um paraboloide hiperbélico. Observe que o formato da superficie perto da origem se asse- Zz ° +2 , | 0 -l Tl 0 y x x FIGURA 6 0 Os cortes verticais sao parabolas; os cortes horizontais sao hipérboles. +2 i Todos os cortes s4o identificados por um valor de k. Cortes em x = k so z= y* — k? Cortes em y = k so z= —x? + k? Cortes em z =k s4o y>— x? =k 746 CALCULO Zs ZA Z / 1 Cc! N Wy / SE 7 al \ = 0 7 \7 y y tae x —l y * 0 1 FIGURA 7 1 4 ~ iN Cortes movidos para ! 1 seus planos corretos Cortes em x =k Cortes em y =k Cortes em z =k Em Module 12.64 voce pode melha a uma sela. Essa superficie sera alvo de estudos futuros na Seg4o 14.7, quando discu- investigar como cortes determinam a forma tirmos os pontos de sela. D D de uma superficie. a Esboce a superficie x + y? _ 2 = |. 4 4 Z y FIGURA 8 A superficie z= y?—x? é um paraboloide hiperb6lico. 7 SOLUCAO O corte em qualquer plano horizontal z = k € a elipse x +y?=1+ Ke k a = a z= 4 > 4 mas os cortes nos planos xz e yz sao as hipérboles MF Ly 0 > Fy 0 _-- = = e -—_—_ = x= 4. 4 y 4 Essa superficie é chamada hiperboloide de uma folha e esta esbocada na Figura 9. A ideia de usar os cortes para desenhar a superficie é empregada em programas de com- putadores que fazem graficos tridimensionais. Na maioria desses programas, os cortes nos planos verticais x = k e y = k séo desenhados para valores de k, igualmente espagados, e par- Z ae (2, 0, 0) ¥ (0, 1, 0) x } y FIGURA 9 tes do grafico sao eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas. A Tabe- la 1 mostra graficos de computador de seis quadricas basicas na forma padrao. Todas as superficies sAo simétricas em relacao ao eixo z. Se uma quadrica é simétrica em relacéo a um eixo diferente, sua equacgéo se modifica de modo apropriado. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 747 TABELA | Grdfico de Superficies Quadricas a —_ 2 y 2 2 2 y Elipsoide —+—+—=1 Cone —_—=— + — a bY Ce z Cc a b? 2 Todos os cortes sAo elipses. SS xy SY Cortes horizontais sAo elipses. AE - SMM . ff LTR Sea = b =c, o elipsoide é SY Cortes verticais nos planos TAOS uma esfera. SF x =key =k sao hipérboles se x= RQ WA y x ar \ y k ~ 0, mas so um par de retas AX quando k = 0. ) ) Z xe y ) ) x y Zz Paraboloide Eliptico -=— + Hiperboloide de Uma Folha —_—+——-—=1 c a b a b Ce Z a Cortes horizontais s4o elipses. SEY Cortes horizontais sdo elipses. Nig Cortes verticais so parabolas. WH Cortes verticais sao hipérboles. \ MOV) A variavel elevada a primeira Wie O eixo de simetria corresponde WW poténcia indica 0 eixo do x ir i Hi a varidvel cujo coeficiente é Wy : LI XN y . paraboloide. HEN negativo. . \ z x2 y x2 y 2 Paraboloide Hiperbdlico - = - Hiperboloide de Duas Folhas -—-——+——-=!1 c a b a b? Ce Z Cortes horizontais sao << Cortes horizontais em z = k SSSQPp7 WY . 2 hipérboles. Cortes verticais SG sdo elipses se k > c ou se i Uf, s4o parabolas. O caso aqui k < —c. Cortes verticais sao \ ) Ni - iy My . : : : : \ NSS} Hf} / ilustrado corresponde ac < 0. hipérboles. Os dois sinais de iY i P x p N y La: HH y menos indicam duas folhas. xX SEV Identifique e esboce as superficies 4x* — y? + 277+ 4=0. Em Module 12.6B vocé pode _ oo . . verificar como mudangas em a, be cna SOLUCAO Dividindo por —4, colocamos a equagéo na forma padrao: Tabela 1 afetam a forma da superficie quadrica. 2 2 Zz _— x? + a —_—=]| 4 2 Comparando essa equac4o com as da Tabela 1, vemos que ela representa um hiperboloide de 02 , duas folhas, exceto que aqui 0 eixo do hiperboloide é 0 eixo y. Os cortes nos planos xy e yz (0, =2, 0) sao as hipérboles / 0 2 2 2 Zz -?4+2=1 z=0 e » f=] x=0 / y 4 4 2 x (0, 2, 0) A superficie nao tem corte no plano xz, mas os cortes nos planos verticais y = k para |k| > 2 sao as elipses FIGURA 10 5 2 4x? — y?4+277+4=0 Zz 2 x +—=—-1 =k 2° 4 » que podem ser escritas como 2 2 x Z @ tye yh ok —-1 2}—- 1 4 4 Esses cortes foram usados para fazer 0 esboco na Figura 10. 7 748 CALCULO SEYRO Classifique a superficie quadratica x? + 2z7- 6x —y + 10 = 0. SOLUCAO Completando os quadrados, reescrevemos a equacdo como yr1=@-3P +22 Comparando essa equac4o com a Tabela 1, vemos que se trata de um paraboloide eliptico. Aqui, entretanto, o eixo do paraboloide é paralelo ao eixo y e foi transladado de forma que 0 vértice é o ponto (3, 1, 0). Os cortes nos planos y = k (k > 1) sao as elipses (x—-3P+2?=k-1 y=k O corte no plano xy é a parabola com a equacaéo y = 1 + (x — 3)*, z = 0.A parabola é apre- sentada na Figura 11. Z 0 — . (3, 1, 0) | FIGURA 11 x x? +27—6x-y+10=0 y = MM Aplicacoes de Superficies Quadricas Exemplos de superficies quadricas podem ser encontrados no mundo a nossa volta. De fato, o mundo propriamente dito é um bom exemplo. Embora a Terra seja usualmente modelada como uma esfera, um modelo mais preciso é um elipsoide, pois a rotagéo da Terra causa um achatamento nos polos. (Veja o Exercicio 47.) Paraboloides circulares, obtidos pela rotagéo de uma parabola em torno de seu eixo, s4o usados para coletar e refletir luz, som e sinais de radio e televiséo. Em um radiotelescépio, por exemplo, sinais das estrelas distantes que atingem a bacia sao todos refletidos para 0 receptor no foco e assim amplificados. O mesmo principio se aplica a microfones e antenas de satélite na forma de paraboloides. Torres de resfriamento para reatores nucleares séo usualmente projetadas na forma de hiperboloides de uma folha, por raz6es de estabilidade estrutural. Pares de hiperboloides saio usados para transmitir movimento de rotacfo entre eixos transversais. (Os dentes das engre- nagens sdo as retas geradoras do hiperboloide. Veja o Exercicio 49.) . p fe g Z | | (\ Z Z ‘ ; 1 \\ y se ' ; Z ff i SE ZZ NN | ee \ ‘ ES A AN LQ ss pal a ii ’ Sj be = ; = WN Ai Uma antena parabdlica reflete sinais para Reatores nucleares tém torres de arrefecimento com a Hiperboloides produzem transmissao por engrenagens. 0 foco de um paraboloide. forma de hiperboloides. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 749 ca Exercicios 1. (a) O que a equacao y = x’ representa como uma curva em R?? Vv z VI z (b) O que ela representa como uma superficie em R*? (c) O que a equagio z = y” representa? 2. (a) Esboce 0 grafico de y = e* como uma curva em R’. (b) Esboce 0 grafico de y = e* como uma superficie em R°. 5 5 (c) Descreva e esboce a superficie z = e”. * * 3-8 Descreva e esboce a superficie. 3 y+ 4?=4 4. z=4-x? VII Z VI Z 5 z=l1-y 6 y=r lL x= 8 z=seny a y 9. (a)Encontre e identifique os cortes da superficie quadrica > x x + y— 2= 1 eexplique por que o grafico parece com 0 * grafico do hiperboloide de uma folha da Tabela 1. (b) Se trocarmos a equacio na parte (a) parax? — y>+ 2= 1, 29-36 Coloque a equagao na forma padrao, classifique a superficie como isso afeta o grafico? e esboce-a. (c) E se trocarmos a equagao em (a) parax’? + y?+ 2y — 2 = 0? 23, y= tig 30. 4x2— y +222 =0 10. (a) Encontre e identifique os cortes da superficie quadrica 5 5 3 5 —x?— y + 2= 1 e explique por que o grafico se parece 31. x + 2y— 22° = 0 32. rat 4h +4 com o grafico do hiperboloide de duas folhas da Tabela 1. 33. 4x2+ y?+ 422 — dy — 24 + 36 =0 (b) Se a equacao na parte (a) for trocada para x? — y?— 2? = 1, 0 que acontece com 0 grafico? Esboce o novo grafico. 34. 4y°+ 2—x—- loy — 47+ 20=0 11-20 Use cortes para esbogar e identificar as superficies. 35. x — y+ 2- 4x —-2y-27 +4=0 We x= + 4¢° 12, 9x8 — yh + = 0 36. xP — y+ 2- It 2vt+4z2+2=0 13. x= y+ 42° 14, 25x + 4y’ + z= 100 37-40 Use um computador com um programa que trace superficies tri- 3 bo 3 5 _ dimensionais. Experimente diversos pontos de vista e diversos tama- 15. —x tay = 4 16. 4x + Oy + z= 0 nhos de janela retangular até conseguir uma boa vis&o da superficie. 2 2 2— 2 2 2— 17. 36° + y? + 367° = 36 18. 4x°— l6oy+ 2= 16 37. 42 -y+2=1 38. x —y—2=0 — 2_ 2 — wy 2 yar m0 x= yz 39. 4-2 +2=0 40. x2 — 6x + 4y?-z=0 21-28 Faga uma correspondente entre a equacfo e seu grafico (iden- _ tificado por I-VIII). Justifique sua escolha. 41. Esboce a regido delimitada pelas superficies z = Vx? + y? e VP+y=1paral ; : u X (v X w) = (u X Vv) X w. 7. Para quaisquer vetores ue v em V3, Ju X v| = |v X ul. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 751 13. Para quaisquer vetores ue v em V3, (u X v)-u = 0. 18. Em R’ o grafico de y = x? é um paraboloide. 14. Para quaisquer vetores ue v em V3, (u + v) X V=u X Vv. 19. Seu-v =0, entéou = 0 ouv = 0. 15. O vetor (3, —1, 2) € paralelo ao plano 6x — 2y + 4z = 1. 20. Seu X v = 0, entéo u = Oouv = 0 16. Uma equacfo linear Ax + By + Cz + D = 0 representa uma 21. Seu: v =Oeu X v = 0, entéo u = Oouv = 0. reta no espacgo. 22. Seue vestao em V3, entaéo |u - v| < |Jullvi. 17. Oconjunto de pontos {(x, y, z) |x? + y? = 1} é um circulo. Exercicios 1. (a) Encontre uma equacéo da esfera que passa pelo ponto 10. Dados os pontos A(1, 0, 1), B(2, 3, 0), C(-1, 1, 4 e (6, —2, 3) e tem centro (—1, 2, 1). D(O, 3, 2), determine o volume do paralelepipedo com lados ad- (b) Encontre a curva na qual esta esfera intercepta o plano yz. jacentes AB, AC e AD. (b) Encontre o centro e o raio da esfera . . 5 24 Be 4 tO 41 <0 11. (a) Encontre um vetor perpendicular ao plano através dos pon- vty ten br tay Foz l= tos A(1, 0, 0), B(2, 0, —1) e C(L, 4, 3). 2. Copie os vetores da figura e utilize-os para desenhar os seguin- (b) Determine a area do triangulo ABC. tes vetores. \ 12. Uma forga constante F = 3i + 5j + 10k move um objeto ao (a)at+b (b)a—b (c)— a (d) 2a +b longo do segmento de reta de (1, 0, 2) a (5, 3, 8). Determine o trabalho realizado se a distancia é medida em metros e a forca em newtons. a 13. Um barco é puxado para a praia usando duas cordas, como mos- b trado no diagrama. Se é necessdria uma forca de 255 N, deter- mine o médulo da forga exercida em cada corda. 3. Se ue v sao os vetores mostrados na figura, determine SS u: ve |u X y|. O sentido do vetor u X v é entrando ou saindo 20° 255N do papel? 30° lv|=3 45° 14. Encontre a magnitude do torque em relacgdo ao ponto P se uma forga de 50 N é€ aplicada como mostrado. ju|=2 50N 4. Calcule a quantidade dada se — 30° | _ a=i+j-2k b=3i-2j+k c=j-—5k (a)2a+ 3b (b) IbI 40 cm (c)a-b (dja Xb (e) |b X e| (f)a- (bX ¢) 7 (g)e Xe (h) a X (b X c) (i) compa b (j) proja b 15-17 Determine as equagGes paramétricas da reta. (k) O Angulo entre a e b (com precisdo de um grau) 15. A reta que passa por (4, —1, 2) e (1, 1, 5) 5. Determine os valores de x tais que os vetores (3, 2, x) e . . (2x, 4, x) sejam ortogonais. 16. A reta que passa por (1, 0, —1) e € paralela a reta 3-4) =sy=c42 6. Determine dois vetores unitarios que sejam ortogonais j + 2k e i— 2j + 3k. 17. A reta que passa por (—2, 2, 4) e é perpendicular ao plano 2x — y + 5z =12 7. Suponha que u - (v X w) = 2. Encontre : _ (a) (u Xv) «Ww (b) u- (w X v) 18-20 Determine a equacao do plano. (c) v- (u X w) (d)(u X v)-v 18. O plano que passa por (2, 1, 0) e é paralelo 4x + 4y — 3z = 1 8. Mostre que, se a, b e c esto em V3, entao 19. O plano que passa por (3, —1, 1), (4, 0, 2) e (6, 3, 1) (a X b)- [(b X ce) X (ec X a)] = [a: (b X ©)? 20. O plano que passa por (1, 2, —2) e contém a reta x = 21, 9. Determine o Angulo agudo entre duas diagonais de um cubo. y=3-t,z=1+43t 752 CALCULO 21. Determine o ponto no qual a reta com equagG6es paramétricas (b) Encontre as equag6es simétricas da reta que passa por B e é x =2- ty = 1 +4 3t, z = 4t intercepta o plano perpendicular ao plano da parte (a). 2x-y+z=2. (c) Um segundo plano passa por (2, 0, 4) e tem vetor normal (2, —4, —3). Mostre que o Angulo agudo entre os planos é 22. Encontre a distancia desde a origem até a retax = 1 + f, aproximadamente 43°. y=2-t, 7=—-1 4 20. (d) Encontre as equag6es paramétricas para a reta interseccao dos dois pl. . 23. Determine se as retas dadas pelas equagoes simétricas Os Gols Planes 27. Determine a distancia entre os dois planos 3x + y — 4z = 2e 3x x-—1 y-2 z—-3 +y— 4z = 24. 2 3 4 28-36 Identifique e esboce o grafico de cada superficie. 28. x =3 29. x =z ° xT _yr3 _ ts 30. y=2 3. eat 42 6 _ 1 2 = 2 2 2— 32. 4x —y + 2z =4 33. —4x°+ y°— 47° =4 sao paralelas, se inclinam ou intersectam. 34. Oy t PH lt x? 24. (a) Mostre que os planos x + y — z=le2x — 3y + 4z = 5 nao 35. 4x2+ 4y’- 8y + 2=0 s4o nem paralelos nem perpendiculares. (b) Determine, com precisao de um grau, o Angulo entre os pla- 36. x= yt e—2y—4z24+5 nos. 37. Um elipsoide é criado pela rotacao da elipse 4x? + y’ = 16 sobre 25. Encontre uma equacfo do plano que passa pela reta de interse- 0 eixo x. Encontre uma equacao do elipsoide. cao dos planos x — z = le y + 2z = 3 e & perpendicular ao Deo. oo : planox + y—2z2=1, 38. Uma superficie é constituida de todos os pontos P tais que a distancia de P ao plano y = 1 € 0 dobro da distancia de P ao 26. (a) Encontre uma equacao do plano que passa através dos pon- ponto (0, —1, 0). Determine a equacao dessa superficie e iden- tos A(2, 1, 1), B(—1, —1, 10) e CC, 3, —4). tifique-a. mums Problemas Quentes — 1. Cada borda de uma caixa ctibica tem comprimento de | m. A caixa contém nove bolas esféricas com Oo mesmo raio r. O centro de uma esfera esta no centro do cubo e ela toca as outras oito bolas. Cada uma das oito bolas toca 3 lados da caixa. As bolas estaéo firmemente alojadas na caixa. (Veja a figura.) Determine r. lm 2. Seja B uma caixa solida com comprimento L, largura W e altura H. Seja S o conjunto de todos os pontos que est&o a uma distancia de no maximo 1 de algum ponto B. Expresse 0 volume de S$ nos termos de L, We H. lm lm 3. Seja La reta obtida pela interseccAo dos planos cx + y + z=cex—cy+cz= —1l,ondecéum FIGURA PARA 0 PROBLEMA 1 numero real. (a) Determine as equacgGes simétricas da reta L. (b) A medida que o ntimero de c varia, a reta L varre uma superficie S. Encontre uma equaciio para a curva de intersegao de S$ com o plano horizontal z = ¢ (0 corte de S no plano z = 1). (c) Determine 0 volume do sélido limitado por Se pelos planos z = 0ez = 1. 4. Um aviao é capaz de viajar a 180 km/h em condigées normais. O piloto decola e voa em direc4o ao norte, guiado pela bussola do aviéo. Depois de 30 minutos de voo, o piloto constata que, em decor- réncia do vento, viajou 80 km a um Angulo de 5° a leste do norte. (a) Qual a velocidade do vento? (b) Para que diregao o piloto deveria ter dirigido 0 aviao para alcangar o destino pretendido? 5. Suponha que vi e v2 sejam vetores com | v; | = 2,| v2 | = 3. e vi - v2 = 5. Seja v3 = projy, V2, V4 = rj v V3, Vs = proj v,V4 € assim por diante. Calcule 5)", | va |. 6. Encontre uma equacfo da esfera maior que passa através do ponto (—1, 1, 4) e é tal que cada um VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAGO 753 dos pontos (x, y, z) no interior da esfera satisfaz a condicao Pty + 2< 136 + 2 + 2y + 3z) 7. Suponha que um bloco de massa m seja colocado em um plano inclinado, como mostrado na figura. A descida do bloco pelo plano inclinado é freada pela forca de atrito; se 6 nao for grande o sufi- ciente, o atrito impedira qualquer deslocamento do bloco. As forgas que agem sobre o bloco sao seu NF peso W, onde |W| = mg (g € a aceleracao da gravidade); a forga normal N (o componente normal da forca de reagao no plano do bloco), onde |N| = n; e a forca F devida ao atrito, que age paralela- mente ao plano inclinado, no sentido contrario ao movimento. Se o bloco estiver parado e 6 for au- Ww mentado, |F| aumentaré até atingir um valor mdximo, além do qual o bloco comegaré a deslizar. Neste Angulo 6s, pode ser observado que |F| € proporcional a n. Entao, quando |F| é maximo, podemos dizer que |F| = psn, onde px, € chamado coeficiente de atrito estdtico e depende dos ma- g teriais que esta&o em contato. (a) Observe que N + F + W = Oe deduza que p, = tg (4). FIGURA PARA 0 PROBLEMA 7 (b) Suponha que, para 0 > 0,, uma forga adicional exterior H seja aplicada ao bloco, na horizontal a partir da esquerda, e seja |H| = h. Se h € pequeno, o bloco pode ainda deslizar para baixo do plano; se h é suficientemente grande, o bloco ira mover-se no aviao. Seja Amin 0 menor valor de h que permita ao bloco permanecer parado (de modo que |F| é maximo). Escolhendo os eixos coordenados de modo que F esteja na direcdo do eixo x, determine para cada forga atuante suas componentes paralela e perpendicular ao plano inclinado e mostre que Amin Sen 0 + mg cos 0 =n e Amin COS 9 + pusn = mg sen 0 (c) Mostre que hmin = mg tg (0 — 4s) Isso parece razoavel? Faz sentido para 0 = 0,? E quando 6 — 90°? Explique. (d) Seja Amax 0 maior valor que permita ao bloco permanecer parado. (Nesse caso, qual o sentido de F?) Mostre que hmax = mg tg (8 + 8s) Isso parece razodvel? Explique. 8. Um sdlido tem as seguintes propriedades. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo z, a sua sombra é um disco circular. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo y, sua sombra é um quadrado. Quando iluminado por raios paralelos ao eixo, sua sombra é um triangulo isdsceles. (No Exercicio 44 na Secao 12.1 foi solicitado que se descrevesse e se esbogasse um exemplo de um s6lido, mas ha muitos outros sdlidos). Suponha que a projecao sobre o plano xz seja um quadrado cujos lados tem comprimento 1. (a) Qual é o volume do maior sélido? (b) Existe um menor volume? Calculo12_06:calculo7 5/25/13 6:40 AM Page 754 Funções Vetoriais As funções que usamos até agora foram funções a valores reais. Agora estudaremos funções cujos valores são vetores, pois estas são necessárias para descrever curvas e superfícies no espaço. Usaremos funções a valores vetoriais também para descrever o movimento de objetos no espaço. Em particular, as usaremos para deduzir as leis de Kepler para o movimento planetário. 13 Christos Georghiou/Shutterstock A Primeira Lei de Kepler diz que os planetas giram em torno do Sol em órbitas elípticas. Na Seção 13.4 você vai ver como o material deste capítulo é usado em uma das grandes conquistas do cálculo: provando as leis de Kepler. Calculo13:calculo7 5/27/13 9:25 AM Page 755 756 CALCULO ca Funcoes Vetoriais e Curvas Espaciais Em geral, uma fungao é uma regra que associa a cada elemento de seu dominio um elemento de sua imagem. Uma fungao vetorial, ou funcao a valores vetoriais, é uma fungado cujo do- minio é um conjunto de nimeros reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Estamos par- ticularmente interessados em fung6es vetoriais r cujos valores s4o vetores tridimensionais. Isso significa que, para todo numero ¢ no dominio de r existe um unico vetor de V3 denotado por r(t). Se f(A), g(t) e A(t) sio as componentes do vetor r(f), entao f, g e h sao fungées a valores reais chamadas funcgdes componentes de r e podemos escrever rt) = (f, 9, h()) = FOI + GO j+ hOk Usamos a letra f para denotar a varidvel independente porque ela representa 0 tempo na maioria das aplicagGdes de fungGes vetoriais. EXEMPLO 1 BY r(t) = (#, In(3 — A), V7) entaéo, as fungdes componentes sao fae g(t) = In3 — 4) h(t) = vt Pela convencao usual, 0 dominio de r é constituido por todos os valores de t para os quais a expressdo r(f) esté definida. As express6es #7, In(3 — t)e Jt sao definidas quando 3 — t > 0 et = 0. Portanto, o dominio de r é 0 intervalo [0, 3). a . Le O limite de uma fungao vetorial r é definido tomando-se os limites de suas fungdes Se lim,.,r(t) = L, essa definigao : equivale a dizer que o comprimento, a componentes como a seguir. diregao e o sentido do vetor r(t) se aproxi- mam do comprimento, da diregao e do sentido do vetor L. [1] Se r(t) = (f(t), g(t), h(t)), entdo lim r(f) = (tim f(t), lim g(2), lim h(o)) t>a t>a t>a t>a desde que os limites das fung¢des componentes existam. Da mesma forma, poderiamos ter usado uma definigéo usando o ¢€-6 (veja o Exercicio 51). Os limites de fung6es vetoriais obedecem as mesmas regras que os limites de fungdes reais (veja o Exercicio 49). Lo. 3\. “hs sen t SFY) Determine lim r(4), onde r(t) = (1 + f°? )i t+ te'j + a k. t>0 SOLUCGAO De acordo com a Definigao 1, o limite de r é 0 vetor cujas componentes so os limites das fungdes componentes de r: . ; 473 ads . sent lim r(t) = [tim (1 +t di + [lim re |i + | lim — |k t>0 t>0 t>0 t>0 t =i+k (Pela Equagio 3.3.2) | Uma funcao vetorial r é continua em a se lim r(t) = r(a) t >a Em vista da Definigéo 1, vemos que r é continua em a se e somente se suas fungdes com- ponentes f, g e h forem continuas em a. As curvas espaciais e as fungdes vetoriais continuas estao intimamente relacionadas. Suponha que f, g e h sejam fung6es reais continuas em um intervalo J. Em seguida, 0 con- junto C de todos os pontos (x, y, z) no espaco, onde FUNGOES VETORIAIS 757 [2] x=f y=g) z=hl : P(F(t), g(t), A(t) e ¢ varia no intervalo J, € chamado curva espacial. As equagdes em sao denominadas equacoes paramétricas de C e t é conhecido como paraémetro. Podemos pensar em C como C tendo sido tragada pelo movimento de uma particula cuja posigéo no instante ¢ é (f (0), g(t), h(t)). Se considerarmos agora a funcao vetorial r(t) = (f(t), g(a), A(t)), entao r(t) 0 r(t)=(f(t), g(t), A(t)) € 0 vetor posicao do ponto de P( f(t), g(t), A(t) em C. Assim, qualquer fungao vetorial con- tinua r define uma curva espacial C que é tragada pela ponta do vetor em movimento r(f), y como se mostra na Figura 1. FIGURA 1 (SQVRME Descreva a curva definida pela funcdo vetorial C ¢ tragada pelo movimento da ponta do vetor de posicao r(f). r(t) = (1 + 4,2 + 5t, -1 + 6) SOLUCAO As equacées paramétricas correspondentes sao Visual 13.1A mostra diversas curvas serem tracadas por vetores posi¢ao, x=1+t y=2+5t z=-1+6t incluindo aquelas nas Figuras 1 e 2. que reconhecemos, a partir da Equagao 12.5.2, como as equagdes paramétricas de uma reta passando pelo ponto (1, 2, —1) e paralela ao vetor (1, 5, 6). Como alternativa, podemos ob- servar que a funcdo pode ser escrita como r=ro + tv, quando ro = (1,2,—-1) e v = (1,5, 6), e esta é a equacdo vetorial da reta dada pela Equacao 12.5.1. | Curvas planas também podem ser representadas utilizando-se notacAo vetorial. Por exem- plo, a curva determinada pelas equac6es paramétricas x = t? — 2te y =f + 1 (vejao Exem- plo 1, na Secao 10.1) poderia também ser descrita pela equacao vetorial r(t) = (? — 240+ 1) =(P — 2i+ (+ 1)j onde i= (1,0) ej = (0, 1). z (SQV Esboce a curva cuja equacio vetorial é dada por Cty << r(t) = costi + sentj + tk SOLUCAO As equacées paramétricas para essa curva sao _ _ _ (0.1.3) x = cost y = sent z=t _@ Uma vez que x? + y? = cos*t + sent = 1, a curva deve situar-se no cilindro circular (00) y x? + y? = 1. O ponto (x, y, z) esta diretamente acima do ponto (x, y, 0), que se move para a esquerda em torno do circulo x* + y* = 1 no plano xy. (A projecio da curva para o plano xy‘ FIGURA 2 tem equagéo vetorial r(¢) = (cos t, sen ¢, 0). Veja o Exemplo 2 na Secao 10.1.) Como z = ¢ a curva gira para cima ao redor do cilindro quando ¢ aumenta. A curva, mostrada na Figura 2, é chamada hélice. | A forma de saca-rolha da hélice circular do Exemplo 4 é a mesma das molas. Elas tam- bém aparecem no modelo do DNA (acido desoxirribonucleico, material genético de células vivas). Em 1953, James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura da molécula de DNA € de duas hélices circulares paralelas interligadas, como na Figura 3. Nos Exemplos 3 e 4 demos as equagoées vetoriais das curvas e pedimos uma descri¢ao geométrica ou esbo¢o delas. Nos dois exemplos a seguir, daremos uma descri¢4o geométrica da curva e pediremos para encontrar equacg6es paramétricas para ela. (SQ.MM Determine uma equacio vetorial e as equacdes paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto P(1, 3, —2) ao ponto Q(2, —1, 3). FIGURA 3 Uma hélice dupla SOLUCAO Na Segao 12.5 encontramos uma equacio vetorial para 0 segmento de reta que une a extremidade do vetor ry a extremidade do vetor r;: r(t) = (1 — Aro + tr, Os 0. As particulas colidem? 31. r(t) = (cos f sen 2t, sent sen 2t, cos 2) 48. Duas particulas se movem ao longo das curvas espaciais 32. r(t) = (1°, Int, t) n@j=(,0,0) m(t)= (1 +2414 61,1 4+ 142) 33. r(t) = (t, 1 sen 1, f cos ¢) As particulas colidem? Suas trajetérias se interceptam? 34. r(t) = (t, e', cos t) 49. Suponha que u e v sejam fung6es vetoriais que possuem limites 35. r(t) = (cos 21, cos 34, cos 41) quando t — ae seja c uma constante. Demonstre as seguintes TO propriedades de limites. AE 36. Trace a curva com equacées paramétricas x = sen ft, y = sen 21, (a) lim [u(¢) + v(t)] = lim u(z) + lim v(r) z = cos 4t. Explique sua forma representando por graficos suas me me ms projecGes para os trés planos coordenados. (b) lim cu(t) =¢ lim u() AE 37. Trace a curva com equagOes paramétricas (c) lim [u(s) « v()] = lim u(s) « lim v(0) x = (1 + cos 16f) cos t va wa va y = (1 + cos 162) sent (d) tim [u(x v(9] = lim ul) x lim vw) z=1+ cos 16t. 50. A visao do né de trevo apresentada na Figura 8 é correta, mas nao muito reveladora. Use as equacGes paramétricas Explique a aparéncia da curva, mostrando que ela est4 em um x = (2 + cos 1,51) cost cone. 4 38. Trace a curva com equacées paramétricas y = (2 + cos 1,51) sent x = VT — 0,25 cos? 10F cos t z = sen 1,5¢ para esbogar 4 mo a curva vista de cima, deixando pequenas fa- y = v1 — 0,25 cos? 10¢ sen t lhas para indicar os pontos onde a curva se sobrepde. Comece z = 0,5 cos 10t mostrando que sua projec4o sobre o plano xy tem coordenadas Explique a aparéncia da curva, mostrando que ela est4é em uma polares r = 2 + cos 1,5te @ = t, de forma que r varia entre | esfera. 3. Mostre ent&o que z tem um valor maximo e um minimo quando 39. Mostre que a curva com equacdes paramétricas x = ?P, a projegao esta entre r= ler = 3. y = 1 — 34,z = 1+ PB passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9, —8, 28), AE Quando vocé terminar 0 esboco 4 mio livre, utilize um com- mas no passa pelo ponto (4, 7, —6). putador para tracgar a curva com o observador vendo de cima e 40-44 Determine a fungao vetorial que representa a curva obtida pela compare-a ao seu desenho. Trace a curva sob outros pontos de interseccao das duas superficies. vista. Vocé alcancara melhor resultado se tragar um tubo de raio 40. O cilindro de x? + y? = 4e a superficie z = xy 0,2 em torno da curva. (Utilize o comando tubeplot do Maple 41. Ocone z= Vx? + y2 eoplanoz=1+y ou 0 curvetube ou comando Tube no Mathematica.) 42. O paraboloide z = 4x? + y?e 0 cilindro parabélico y = 2 51. Mostre que lim,_., r(t) = b se e somente se para todo « > 0 43. A hipérbole z = x? — y?e o cilindro x? + y?=1 existe um numero 6 > 0 tal que se 0<|t—a|<6 entéo |r(t)-—bl 0, o miiltiplo escalar (1/h)(r(t + h) — r(t)) tem o mesmo sentido que r(t + A) — r(Z). Quando h — 0, parece que esse vetor Se aproxima de um vetor que esta sobre a reta tangente. Por essa razdo, o vetor r'(t) é chamado o vetor tangente a curva definida por r no ponto P, desde que r’(¢) exista e r'(t) ~ 0.A reta tangente a C em P é definida como a reta que passa por P e € paralela ao vetor r’(t). Teremos ocasiao de considerar 0 vetor tangente unitario, dado por rd) Ta) =—— [ro | r(tt+h)—r(t) ' h 0 rd / Visual 13.2 mostra uma animagao Pm > P. 9 da Figura 1. r(¢+h) r(t+h) Cc Cc 0 0 x y x y (a) O vetor secante PO (b) O vetor tangente r'(r) FIGURA 1 O teorema seguinte fornece um método conveniente para calcular a derivada de uma fun- ¢ao vetorial r por derivagao de cada componente de r. [2 Teorema Se r(t) = (f(t), 9), A) = fi + gj + hk, onde f, geh sao fung6es diferencidveis, entao ry) = (f'0,9'O, KO) = f'Oi+ g'Oj + h'Ok DEMONSTRACAO I ‘ 1 r(t) = iim Ay [r(t + At) — r(a)] . 1 = lim [¢f(t + Ax), g(t + Ad), h(t + At)) — (f, 9), hO)] _ (| fie+ Ad ~fO gt + Ad — gO Ate+ Ad) — AC) = im ¢ —_.,, m_., Om At>0 At At At 764 CALCULO _ f(t+An—f) .. gt+Ath—gt) .. h(t + At) — A(t) = ( lim ——_——__, lim AA. lim At>0 At At>0 At At—0 At = (f'0, 90, AO) — aR (a) Determine a derivada de r(f) = (1 + #)i + te“j + sen 2rk. (b) Encontre 0 vetor tangente unitario no ponto onde t = 0. SOLUCAO (a) De acordo com o Teorema 2, derivando cada componente de r, obtemos: r(t) = 307i + (1 — de“j + 2cos 2tk (b) Uma vez que r(0) = ier’(0) = j + 2k, o vetor unitério da tangente no ponto (1, 0, 0) é r'(0) jt 2k 1 2 TO) = — 5 OS FE Ej + ek = ) iO) vied V5? VS SE Paraacurva r(t) = Vt i + (2 — Aj, determine r'(t) e desenhe o vetor posicaio r(1) eo vetor tangente r'(1). y 2 SOLUCAO Temos 1 1 (1, 1) r()=—=i-j ee r(l)=~i-j 0 i \ x A curva é plana, e a eliminagao do parametro das equagdes x = vt, y =2-—t nos da y =2 — x’, x = 0. Na Figura 2, desenhamos o vetor posicdo r(1) = i + j comecando na origem e 0 vetor tangente r'(1) comegando no ponto correspondente (1, 1). — FIGURA 2 5320 Determine as equacdes paramétricas para a reta tangente a hélice com equagées : paramétricas Observe na Figura 2 os pontos de vetor tangente na diregao de aumentar. (Veja o x =2cost y = sent z=t Exercicio 56.) no ponto (0, 1, 7/2). SOLUCAO A equacao vetorial da hélice € r(t) = (2 cos t, sen t, t), de modo que r(t) = (—2 sent, cos t, 1) O valor do parémetro correspondente ao ponto (0, 1, 7/2) €é t = m/2, e o vetor tangente é r'(77/2) = (—2, 0, 1). A reta tangente passa por (0, 1, 77/2) e é paralela ao vetor (—2, 0, 1), entao, pela equac4o 12.5.2, suas equacgdes paramétricas sao 7 A hélice e a reta tangente do Exemplo 3 x= -—2t y=1 z= > +t =z estao na Figura 3. 12 8 4 0 ~ i 0, FIGURA 3 % 50 05 72 FUNGOES VETORIAIS 765 Do mesmo modo que para as fung6es reais, a segunda derivada da fungao vetorialréade- _Na Segao 13.4 veremos como r‘(t) e r”(¢) rivada de r’, ou seja, r” = (r’)'. Por exemplo, a segunda derivada da fungao do Exemplo 3 é podem ser interpretados como os vetores velocidade e aceleracao de uma particula r’(t) = (-2 cos t, —sen t. 0) se movendo pelo espaco com vetor posigdo , , r(t) no instante ¢. M8 Regras de Derivagao O proximo teorema mostra que as formulas de derivagdo para funcées reais tém suas equiva- lentes para as fungGes vetoriais. [3] Teorema Suponha que u e v sejam funcoées vetoriais diferencidveis, c um escalar e f uma fungao real. Entao, d 1. at [u(t) + v()] = ud) + vd 2 “[eu(s)] = ew) Th cu cu d , I 3. [fut] = f'Oud) + fOu'o d I I 4, a [u(t) - vi] = u’() - VW) + ud) - WD) d I , 5. a [u(t) X v(4)] = ud) X v(t) + ud) X Vd) d ' I 6. Wt [u(f(s))] = f'(du'(f() (Regra da Cadeia) Esse teorema pode ser demonstrado usando-se diretamente a Definigao | ou empregando- -se o Teorema 2 e as formulas de derivag4o correspondentes para as fungGes a valores reais. A demonstracgao da Formula 4 esta a seguir; as formulas restantes sio deixadas como exercicios. DEMONSTRACAO DA FORMULA 4 Sejam u(t) = (fil), ACO, ACO) v(1) = (gilt), gold), g3(0)) 3 Entao u(t) vi) = fil alt) + AO gl) + HO GO = XL FO gl i=1 e as regras usuais de derivacdo do produto fornecem d d 2d — |u(t) + v(t)} = — Dg) = 2 LID gilt 7 He) VOL =D flO gl) = ¥ LA 9] 3 = DA Og + FO gi] i=l 3 3 = LVAOGO) + Y (gil i=1 i=1 =u(t)- v(t) + u(t) - W(d) a (GYRO Mostre que, se | r(t)| = c (uma constante), entdo r'(t) € ortogonal a r(¢) para todo ft. SOLUCAO Uma vez que r(t) + r(t) = |r(a)|? = c? ec’ € uma constante, da Férmula 4 do Teorema 3 vem d I , , 0= a ra -rXQl=r'O-rd +rO-r'(O = 2rd - rd) 766 CALCULO Assim, r'(t) - r(t) = 0, que diz que r‘(t) é ortogonal a r(t). Geometricamente, esse resultado indica que, se a curva esta em uma esfera com 0 centro na origem, entdo o vetor tangente r'(t) &é sempre perpendicular ao vetor posicdo r(t). Ml MM Integrais A integral definida de uma fungao vetorial continua r(¢) pode ser definida da mesma forma que para a fungao real, exceto que a integral resulta em um vetor. Mas podemos expressar a integral de r como a integral de suas fungdes componentes f, g e h como segue. (Utilizamos a notaga4o do Capitulo 5, no Volume I.) [x00 dt = lim r(e) At a n> j=] = lim (Sven a1) i+ (3 g(t") a) + (3 h(t;*) a1) | ne i=l i=l i=l e também b b b b { r(t) dt = ( ra i+ ( g(t) in) + ( h(t) i) k Isso mostra que podemos calcular a integral da fungdo vetorial integrando cada componente dela. Podemos estender o Teorema Fundamental do Calculo para as fung6es vetoriais continuas como segue: { (1) dt = R(D|? = R(b) — R(a) onde R é uma primitiva de r, ou seja, R(t) = r(¢) . Usaremos a notacao { r(t) dt para as inte- grais indefinidas (primitivas). SIE Se r(t) = 2 costi + senrj + 2tk, entao | rar = (| 2cos ar) i+ ( send) + ( 2a) k =2senti-—costj+?k+C onde C é um vetor constante de integracao, e 2 [Pr dt = [2 sen ri — cos rj + Pk)y” = 25 + j + Tk — FUNGOES VETORIAIS 767 cy Exercicios 1. A figura mostra uma curva C dada pela funcao vetorial r(¢). 16. r(t) =ta X (b+ fe) (a) Desenhe os vetores r(4,5) — r(4) e r(4,2) — r(4). cs (b) Esboce os vetores 17-20 Determine o vetor tangente unitario T(f) no ponto com valor de parametro dado t. r(4,5) — (4) e r(4,2) — r(4) 17. r(t) = (te, 2 arctg t,2e'), r=0 0,5 0,2 18. r() = (PF + 34° +1,3t+4), t=1 (c) Escreva a expressio para r’(4) e para seu vetor tangente 19. r(t) = costi+ 3rj +2 sen2tk, t=0 unitério T(4). 20. r(t) = sen’?rit+ cos*tj + te?tk, t= 7/4 (d) Desenhe o vetor T(4). ee y 21. Se r(t) = (t, 27, t°), encontre r’(), T(1), r’() er’(t) X r’(0). oN 22. Se r(t) = (e”, ee”, te*'), encontre T(0), r”(0) er'(t) - r”(Z). r(4,5) 23-26 Determine as equacGes paramétricas para a reta tangente a 1 OQ curva dada pelas equa¢g6es paramétricas, no ponto especificado. 23.x=1+2/7, y=f—-t z=f +r (,0,2) P a.x=e', y=te, z= te’; (1,0,0) 25. x=e'cost, y=e‘sent, z=e'; (1,0,1) 2.x= JF +3; y= In(? + 3); z=f; (2,1n4,1 0 —— 1 x —_ a 27. Encontre uma equacio para a reta tangente a curva de intersec- Ao dos cilindros x7 + y = 25ey? + 2 = 20 no ponto (3, 4, 2). 2. (a) Faca um esboco grande da curva descrita pela fung4o veto- s y » _ ( P ( ial r(t) = (12.1), 0 <1 <2, e desenhe os vetores r(1) 28. Encontre 0 ponto na curva de r(t) = (2 cost, 2 sent, e'), + Der 1). ‘D. 7 , 0 > 3x +y=1. (b) Desenhe o vetor r'(1) comegando em (1, 1) e 0 compare v3 y . ~ es . 29-31 Determine as equag6es paramétricas para a reta tangente a com 0 vetor r(1,1) — r(1) curva dada pelas equacGes paramétricas, no ponto especificado. Ilus- oO tre tragando o grafico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. . , oo 29. x=t, y=e',z=2t-—?r; (0,1,0) Explique por que esses vetores est&o tao préximos um do , oe . 30. x = 2cost, y= 2sent, z = 4 cos 2; (V3, 1,2) outro tanto em médulo quanto em direcao e sentido. 3-8 31. x =fcost, y=t, z=tsent; (—7, 7,0) aie ° 0. da curva plana com a equacao vetorial dada, 32. (a) Determine o ponto de interseccAo das retas tangentes a ncontre r’(f). r(t) = t,2 t, t tos t = 0 (c) Esboce o vetor posicao r(t) e o vetor tangente r’(t) para o 0 n ) = (sen mt, 2 sen 71, cos 771) nos pontos ° alor dado de ft. “ 3 @-t a 3 : +1), t=-1 fH (b) lustre tragando o grafico da curva e ambas as tangentes. 4. ) _ (? p). i= i — 33. As curvas de r,(‘) = (t, 1°, t?) era(t) = (sen f, sen 21, t) se in- 5. r () _ ti in 5 7 i, t= 7/4 terceptam na origem. Determine o Angulo de intersec¢4o destas 6. mi _ ai . ot a a 0 ~ 7 com precisao de um grau. 1 ri) = ei + an +=0 34. Em que ponto as curvas ri(t) = (t,1-—14,3+?)e 8 r() = (1 + cos Si + (24+sen)j, 1= 2/6 r2(s) = (3 — s,s — 2,5”) se cruzam? Determine o Angulo de , J intersecg4o destas com precisdo de um grau. 9-16 Determine a derivada da func4o vetorial. 35-40 Calcule a integral. 2 9. r(t) = (t sent, t’, t cos 2t) 35. { (ti — Pj + 3k) dt 10. r(t) = (tg t, sec #, 1/t7) 11. r(f) =i-jtek 36. | 54k dt 1 t Pr 0 1l+t 1l+t 12. r(t) = ——i + ——_j + ——-k 1+t 1+t 1+t a/2 2 . 2: 13. r() = ei —j + In(l + 3k 37. { (3 sen*t cos ti + 3 sent cos*tj + 2 sent cos tk) dt 14. r(¢) = at tit bsen*tj + ccos*tk 5 na _ . on . 6 sem FJ COS 38. \ (i + tt — 1j + tsen wtk) dt AE E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 768 CALCULO 39. J (e'i + 2tj + Intk) dt 50. Se r(t) = u (A) X vif), onde ue v sao as funcGes de vetor no Exercicio 49, encontre r’(2). 40. J (cos wri + sen rt j + tk) dt 51. Mostre que se r é uma funcao vetorial tal que exista r”, entao d ON — (rt) Xr] =r) Xr’ 41. Encontre r(¢) se r'(t) = 2ti + 30°? j + Vt ker(1) =i + j. dt 42. Encontre r(t) ser’(t) = ti+ e'j + te’ker(0) =it+jt+k. d 43. Demonstre a Formula 1 do Teorema 3. 52. Determine uma expressdo para a [u(t) - (v(t) X w(2))]. 44. Demonstre a Formula 3 do Teorema 3. 6 d 1 45. Demonstre a Formula 5 do Teorema 3. 53. Se r(t) * 0, mostre que — | r() | _ r() + r'(i). 46. Demonstre a Férmula 6 do Teorema 3. dt | r(x) | 47. Se u(t) = (sent, cos ft, t) e v(t) = (tf, cos f, sen ft), utilize a Fér- mula 4 do Teorema 3 para encontrar [Dica: |r(f) |? = r(t) - r(] d 54. Se uma curva tem a propriedade de o vetor posic&o r(r) estar dt [u(s) + v(¢)] sempre perpendicular ao vetor tangente r’(t), mostre que essa 48. Se ue v sao as funcoes de vetor no Exercicio 47, utilize a Fér- curva esta em uma esfera com 0 centro na origem. mula 5 do Teorema 3 para encontrar 55. Se u(t) = r(4) + [r'() X r"()], mostre que d wd) =r) [ro Xr") — [u(t) X v(A)] : x dt 56. Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma fungao 49. Determine f'(2), onde f(f) = u(A) + v(t), u(2) = (1, 2, —1), vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. u’(2) = 33, 0, 4) e w(t) = (t, 7, f°). [Dica: Consulte a Figura | e considere os casos h > 0 eh < 0 se- paradamente.] cy Comprimento de Arco e Curvatura Na Secao 10.2 definimos o comprimento de uma curva plana com equacgOes paramétricas x = f(t), y = g(t), a < t < b, como o limite do comprimento das poligonais inscritas e, para 0 caso no qual f’ e g’ sao continuas, chegamos a seguinte formula b b dx \? dy \? i=’ vFOF* OP a =|" \/(S) + (4) a i * FOP FOF a=} y/(S) + (4 O comprimento de uma curva espacial é definido exatamente da mesma forma (veja a Fi- gura 1). Suponha que a curva tenha equacio vetorial r(t) = (f(t), g(t), h(t), a S t < b, ou, z o que € equivalente, equacdes paramétricas x = f(4), y = g(t), z = A(t), onde f',g’ eh’ sao fung6es continuas. Se a curva é percorrida exatamente uma vez a medida que f cresce, a par- Q 7 tir de a para b, é possivel mostrar que b [2] L=|' VFOP +(VOF + TOF ar 0 2 2 2 b dx d dz = | A“) 4+(2)4+(S) a y a dt dt dt x FIGURA 1 Observe que os comprimentos dos arcos de curva dados pelas Formulas e podem O comprimento de uma curva espacial _ ser escritos de forma mais compacta € o limite dos comprimentos das poligonais inscritas. b [3] L=| |r'(t) | dt porque, para curvas planas r(t) = f(‘)i + g(t)j, Ir’ | = | f'Oi+ g'O5| = VIFOFP + Ly OP e para as curvas espaciais r(t) = f(t)i + g(t)j + A(t)k, FUNGOES VETORIAIS 769 Ir’) | = | f'Oi+ g' Oj + h'OR| = VIFOP + [g'OP + L'OP (SETWO Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equag&o A Figura 2 mostra o arco de hélice cujo r(t) = costi+ sentj + tk do ponto (1, 0, 0) até 0 ponto (1, 0, 277). comprimento € calculado no Exemplo 1. SOLUCAO Uma vez que r’(t) = —senti+ costj + k, temos z |r'(t)| = J sen 0? + cos’t + 1 = J2 Co O arco de (1, 0, 0) até (1,0, 27) € descrito quando o parémetro percorre o intervalo (1, 0, 277) 0 < t S 27re, assim, da Formula 3, temos Qa Qa L={. |r |dr = | V2 dt =2J20 = (1, 0,0) * y Uma tinica curva C pode ser representada por mais de uma funco vetorial. Porexemplo, FIGURA 2 a cubica retorcida ri(t) = (t,t, 2) 1 FT ___ s (ds/dt) jr’ P | T’ | | Yr’ x r” | e k= 7, = | [r'| [r’| (SQV Determine a curvatura da ctibica retorcida r(t) = (1, t*, 2°) em um ponto gené- rico e em (0, 0, 0). SOLUCAO Calculemos inicialmente os ingredientes necessérios: r’(t) = (1, 2t, 32°) r’(t) = (0, 2, 6r) |r’(t)| = V1 + 41? + 944 ij k r(t)xXr'(t)=]1 2t 3¢? | = 607i -— 6tj] + 2k 0 2 6t 772 CALCULO |r’(t) X r"() | = V36t4 + 36r7 + 4 = 2./9t4 + 997 + 1 Entao, aplicando o Teorema 10, temos (i) |r’(t) X r'(d)| 2/1 + 902 + 9F4 Kt) = ooops OT |r'(t) (1 + 422 + 914)3/2 Na origem, onde t = 0, a curvatura € «(0) = 2. = Para o caso especial de uma curva plana com a equacao y = f(x), escolhemos x como parametro e escrevemos r(x) = xi + f(x) j. Entéo r(x) =i + f'a)je ry) =f") j. Como i X j =k e j X j = 0, segue que r(x) X r(x) = f"(x) k. N6és também temos |r’(x)| = V1 + [f’@)F e, assim, pelo Teorema 10, _ | fF") | [11] K(x) a ' 2793/2 [1+ (f'@))] SAA) Encontre a curvatura da pardbola y = x? nos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 4). SOLUGCAO Como y’ = 2xe y” = 2, a Formula 11 nos da k(x) = Ly"| _ 2 [1 + (y' Pf? ( + 4x?) A curvatura em (0, 0) é k(0) = 2. Em (1, 1) isso é K(1) = 2/5°”” ~ 0,18. Em (2, 4) isso é k(2) = 2/17°? = 0,03. Observe a partir da expresso de x(x) ou o grafico de « na Figura 5 que k(x) — 0 quando x — +. Isso corresponde ao fato de que a pardbola parece tornar-se mais plana quando x > +, | y 2 yar FIGURA 5 y = k(x) A parabola y = x? e sua 0 - fung¢do curvatura | “ Podemos pensar no vetor normal como = Vetores Normal e Binormal indicador da eee te a qual a curva Em um ponto dado de uma curva suave r(t), existem muitos vetores que sdo ortogonais ao esta se viranco em cada ponto. vetor tangente unitério T(t). Escolhemos um observando que, como | T(¢)| = 1 para todo 1, temos T(t) - T’(t) = 0 pelo Exemplo 4 da Secao 13.2, de modo que T(t) é ortogonal a T(t) . Observe, no entanto, que T’(t) pode nao ser um vetor unitdrio. Mas se r’ também for suave, k Opodemos definir o vetor normal unitario principal N(t) (ou simplesmente normal TW) am unitario) como B(t) T(t N(t) = To Nit) |T'O| O vetor B(t) = T(t) X N(#) é chamado vetor binormal. Ele é perpendicular a ambos T FIGURA 6 e Ne também é unitdrio (veja a Figura 6). FUNGOES VETORIAIS 773 (GQ Determine os vetores normal e binormal da hélice circular A Figura 7 ilustra 0 Exemplo 6 mostrando os vetores T, Ne B em dois pontos da hélice . . circular. Em geral, os vetores T, N e B, r(t) = costi+ sentj + tk comecando nos varios pontos da curva, _ oo. . . a . formam um conjunto de vetores ortogonais, SOLUCAO Vamos, inicialmente, calcular os ingredientes necessarios para 0 calculo do vetor —denominados referencial TNB, que se normal unitario: move ao longo da curva quando t varia. Esse referencial TNB tem um papel r’(t) = —sentit+ costj +k |r’(1) | = J2 importante em um ramo da matematica chamado geometria diferencial e em suas (0) 1 aplicagdes em movimento de naves r _ TO) =— == (-senti + costj + k) espacial. Ir'(t)| V2 Z T(t) = —_ (—cos ti — sent j) | T’()| = —_ T 2 2 B T(t N N(t) = TO = —cos ti — sentj = (—cost, —sent, 0) | T'(s) | T B Isso mostra que o vetor normal em um ponto da hélice circular é horizontal e aponta em di- N recdo ao eixo z. O vetor binormal é 1 ' j K 1 , B(t) = T(t) X N(@) = Va —sen t cost l]= Vr (sen t, —cos ¢, 1) Mil * —cost —sent 0O FIGURA 7 O plano determinado pelos vetores normal e binormal N e B num ponto P sobre uma curva C é€ chamado plano normal de C em P. E constituida por todas as linhas que sao ortogonais ao vetor tan : 4 Visual 13.3B mostra como a gente T. O plano determinado pelos vetores T e N é chamado plano osculador . . . fat . . estrutura TNB move ao longo de diversas de Ca P. O nome vem do latim osculum, que significa “beijo”. E 0 plano que se aproxima mais 4, do que contém a parte da curva proxima P. (Para uma curva plana, o plano osculador é sim- plesmente o plano que contém a curva.) O circulo que esta no plano osculador de C em P, tem a mesma tangente que C em P, fica do lado c6ncavo de C (na direg&o em que N aponta) e tem raio p = 1/k (0 reciproco da cur- vatura) € conhecido como circulo osculador (ou circulo da curvatura) de C em P. E 0 cir- culo que melhor descreve como C se comporta perto de P; que compartilha a mesma tangente, normal e curvatura P. S5"\2h0y, Determine as equacées do plano normal e do plano osculador da hélice circular Argues npenwlen | € 0 plano do Exemplo 6 no ponto P(0, 1, 7/2). , SOLUCAO Oplano normal em P tem vetor normal r'(77/2) = (—1, 0, 1), portanto sua equa- cio é ? 7 7 —l(x-0)+0y-1)+1fz-—]=0 ou z=x+— ze—xtF 2 2 \ O plano osculador em P contém os vetores T e N, e assim seu vetor normal éT X N = B.A partir do Exemplo 6, temos xX B() = = (sent, —cos t, 1) (2) (5.0.45) ° = —= (sent, —cos ft, —]=(—.,0,= V2 2 27° V2 FIGURA 8 Um vetor normal mais simples é (1, 0, 1), ent&éo uma equagio do plano osculador é 7 7 I(x — 0) + 0 — D+ Iz- > =0 ou za ox tS — S=RNFI Determine e desenhe o circulo osculador da parébola y = x* na origem. SOLUCAO Do Exemplo 5, a curvatura da parabola na origem é «(0) = 2. Dessa forma, o raio do circulo osculador é 1/K = 5 e seu centro é (0, ft). Sua equacao é, portanto, 774 CALCULO » 2 x? + (y 7 2) =j osculador yur circular Para o grafico da Figura 9 usamos as equacées parameétricas do circulo: x = 4cost y=4++4sent | Resumimos aqui as f6rmulas para os vetores tangente unitario, normal unitario e binormal 0 ' ~ e para a curvatura. FIGURA 9 r(t) Td) T(t) = ———| N(t) = ——— B(t) = T(t) X N(t) [ro | [To | ' I nn Visual 13.3C mostra como o circulo k= aT _ |T (0) | _ [r () xr" | osculador muda conforme um ponto se ds | r’(2) | |r’(a) |? move ao longo de uma curva. cy Exercicios |-6 Determine o comprimento da curva dada. = _ 2 2t 1. r(t) = (t, cos t, 3 sent), 50 > > > ~ ~ _ t _ 9. r(f) = (sent, cost,tgt), O ©? des ao longo da curva x = 3 sen ft, y = 4t, z = 3 cos tna direcdo ws Ae 30. y=Inx 31. y=e positiva. Onde vocé esta agora? 16. Reparametrize a curva . P 32. Determine a equacgdo de uma parabola que tenha curvatura 4 na origem. E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com FUNGOES VETORIAIS 775 33. (a) A curvatura da curva C mostrada na figura é maior em P ou 48. r(t) = (cost, sent,Incost), (1,0, 0) em Q? Explique. as (b) Estime a curvatura em P e QO desenhando o circulo osculador 49-50 Determine as equacGes dos planos normal e osculador da curva nesses pontos. no ponto indicado. y P 49. x =2sen3t, y=t, z=2cos3t; (0,7, —2) C .x=f, y=", c=; U1) AE 51. Encontre as equac6es para o circulo osculador da elipse 1 9x* + 4y? = 36 nos pontos (2, 0) e (0, 3). Utilize uma calcula- dora grafica ou computador para tracar a elipse e ambos os cir- O g Pp Pp ¢ Pp culos osculadores na mesma tela. 0 1 x AE 52. Encontre as equag6es para o circulo osculador da parabola y= tx? nos pontos (0, 0) e (1, 5), Trace os dois circulos oscula- 34-35 Utilize uma calculadora grafica ou um computador para tragar dores ¢ a parabola na mesma tela. ~ . ‘ 53. Em qual ponto da curva x = f°, y = 3t, z = f* 0 plano normal na mesma tela a curva e sua func4o curvatura k(x). Esse é 0 grafico ; que vocé esperava? é paralelo ao plano 6x + 6y — 8z = 1? 34. y = x4 — 2x? : 35. y= x7 54. Existe um ponto da curva do Exercicio 53 onde o plano oscula- ‘ dor é paralelo ao planox + y+ z= 1? 36-37 Trace a curva espacial e sua func¢ao curvatura k(t). Comente [Observagao: Vocé precisara de um SCA para derivar, simplifi- como a curvatura reflete a forma da curva. car ¢ calcular um produto vetorial.] 36. r(t) = (r — sent, 1 — cost, 4cos(t/2)), 0<1<8r 55. Determine as equacgées dos planos normais e osculador da curva ne _ , , e intersecao dos cilindros parabélicos x = y? e z = x? no ponto 37. r(t) = (te’,e, J21), -5<1<5 d gao dos cilindros parabél y’ *no p a d, 1, 1). 38-39 Dois graficos, a e b, sio mostrados. Um é a curva y = f(x) eo 56. Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva outro € o grafico da sua funcAo curvatura y = x(x). Identifique cada r(t) = (t + 2,1 — t,54°) € 0 mesmo plano. O que vocé pode uma e justifique suas escolhas. concluir sobre a curva? . Mostre que a curvatura x esta relacionada com os vetores tan- 38. 39. 57. Mostre q A relacionad Y Y gente e normal pela equagao a a dT N S- =. b ds 58. Mostre que a curvatura de uma curva plana € «x = |dd/ds|, x x onde ¢ € 0 Angulo entre T ei, isto é, @ é 0 Angulo de inclinacg4o da reta tangente. (Isso mostra que a definicao de curvatura é con- 40 Desenh () = 3 5 31).E sistente com a definicdo dada para curvas planas no Exercicio 69 . (a) Desenhe acurva r(t) = (sen t, sen 2t, sen 3f). m quantos da Seco 10.2.) Pontos da oye mse impress de que a curvatura possui 59. (a) Mostre que dB/ds é perpendicular a B. um maximo local ou absoluto? ‘ ‘ (b) Mostre que dB/ds € perpendicular a T. (b) Use um SCA para determinar e fazer o grafico da fungao cur- (c) Deduza das partes (a) e (b) que dB/ds = —7(s)N para algum vatura. Esse grafico confirma sua conclusao na parte (a)? ntimero 7(s) chamado toredo da curva. (A toreiio mede 41. O grafico de r(t) = (t —3 sent, 1 —3 cost, t) € mostrado na quanto a curva é retorcida,) Figura 12(b) da Sega&o 13.1. Onde vocé acha que a curvatura é (d) Mostre que para uma curva plana a toredo é r(s) = 0. maior? a SCA ee mn ¢ fazer 0 grafico da fungao 60. As formulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, curvatura. Para quais valores de f a curvatura é maior? x . A arr “a. sao de fundamental importancia em geometria diferencial: 42. Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana d parametrizada x = f(), y = g(t) é 1. dT/ds = KN 2. dN/ds = —xT + 7B = ed = 54 | 3. dB/ds = — rN [x7 + yf? (A Formula 1 é fornecida a partir do Exercicio 57 e da Férmula 3 onde os pontos indicam as derivadas em relacio a t. vem de Exercicio 59.) Use 0 fato de que N = B x T para dedu- 43-45 Use a formula do Exercicio 42 para calcular a curvatura. zir Formula 2 a partir das Formulas | e 3. B.x=P, y =P 61. Utilize as férmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um 44.x=acost, y=bsenot dos seguintes itens. (Ap6strofo denota derivadas com relagao a ¢. 45. x=e'cost, y=e'sent Comece como na demonstrag4o do Teorema 10.) ee (a) rv" = s"T + K(s’P?N 46. Considere a curvatura em x = 0 para cada membro da familia de (b) rv’ Xr” = k(s’B fungdes f(x) = e. Para quais membros «(0) é maior? (c) v= [s" — «As'P ]T + [3 xs's" + «(SP JN + «r(s")B 47-48 Encontre os vetores T, N e B no ponto indicado. (e! Xr") = x" 47. x(t) = (17,20, t), (1,3,1) d) r=—_—_— |r’ X r"| 776 CALCULO 62. Mostre que a hélice circular r(t) = (a cos t, a sen t, bt), onde a 66. Consideremos o problema de projetar uma linha férrea de modo e b sao as constantes positivas, tem curvatura e torcAo constantes. a fazer transigoes lisas entre as segées de trilhos retos. Um trilho [Use 0 resultado do Exercicio 61(d).] existente ao longo da parte negativa do eixo x precisa ser ligado 63. Utilize a formula do Exercicio 61(d) para calcular a torgao da aum trilho que corre ao longo da reta y = 1 parax > 1. curva r(t) = (t, 5,50 ). (a) Determine um polindmio P = P(x) de grau 5 tal que a fungao 64. Encontre a curvatura e torg¢4o da curva x = senht, y = cosh tf, F definida por Zz = tno ponto (0, 1, 0). 65. A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares. O 0 sex <0 raio de cada uma das hélices € de cerca de 10 angstréms (1 F(x) = P(x) se O 1 e existem cerca de 2,9 X 10* voltas completas. Estime o com- seja continua e tenha derivada e curvatura continuas. primento de cada hélice circular. (b) Utilize uma calculadora grafica ou um computador para tra- car o grafico de F. ca Movimento no Espaco: Velocidade e Aceleracgao Nesta seco, mostraremos como as ideias dos vetores tangente e normal, assim como as de cur- Zz r(t+h)—r(t) vatura, podem ser usadas na fisica para estudar 0 movimento de objetos, sua velocidade e sua h aceleracgao, quando estaéo se movendo ao longo de uma curva espacial. Em particular, segui- remos os passos de Newton, usando seu método para deduzir a Primeira Lei de Kepler para o rO 7 9 passos de N d Stodo para ded P Lei de Kepler p P movimento planetario. r(t) Suponha que uma particula se mova no espaco de forma que seu vetor posic¢4o no instante r(t +h) t ér(t). Observe da Figura | que, para pequenos valores de h, o vetor Cc O 7] r(t + h) — r(t) h x y FIGURA 1 se aproxima da diregaéo de movimento da particula que se move ao longo da curva r(f). Seu modulo mede o tamanho do vetor deslocamento por unidade de tempo. O vetor |1| fornece a velocidade média no intervalo de tempo de comprimento h e seu limite é o vetor velocidade v(t) no instante f: r(t + h) — r(t [2] v(i) = tim 149 — FO _ ip h—0 h Portanto, o vetor velocidade é também o vetor tangente e tem a direcao da reta tangente a curva. A velocidade escalar da particula no instante t é a magnitude do vetor velocidade, ou seja, | v(z) |. Isso € apropriado, pois, de [2] e da Equagao 13.3.7, temos , ds 1s a x | v(7)| = |r’ | = 74 taxa de variacao da distancia com relacio ao tempo Como no caso de movimento unidimensional, a aceleracao da particula é definida como a de- rivada da velocidade: a(t) = v(t) = r'(t) Set O vetor posigaéo de um objeto em movimento em um plano é dado por r(f) = #?i + t?j. Determine a sua velocidade, a velocidade escalar aceleraco quando t = 1 e ilustre geometricamente. SOLUCGAO A velocidade e a acelerac&o no instante t sao v(t) =r'(t) = 30° i + 2tj FUNGOES VETORIAIS 777 a(t) =r"(t) = 6ti + 2j y e a velocidade escalar é v(1) | v(t)| = V(30?)? + (21% = J/9t4 + 477 a a(1) (1, 1) Quando t = 1, temos 0 * v(1) = 3i + 2j a(1) = 61 + 2j |v(1)| = V13 FIGURA 2 : ~ ~ . Visual 13.4 mostra vetores Os vetores velocidade e aceleragdo estaéo mostrados na Figura 2. | animados de velocidade e aceleracao para objetos que se movem ao longo de varias (2G) Determine a velocidade, a aceleracdo e a velocidade escalar de uma particula ““"Y* com vetor posicao r(t) = (t’, e’, te’). SOLUGAO v(t) =r'(t) = (20, e', (1 + Ne’) A Figura 3 mostra a trajetéria da particula a do Exemplo 2 com vetores velocidade e a(t) = v(t) = (2, e!, (2 + de!) aceleragdo quando t = 1. |v(t)| = J40? + e + (1 + ter" = ° a(l) A integracdo de vetores introduzida na Secao 13.2 pode ser usada para achar o vetor po- v(1) sigao quando os vetores velocidade ou aceleragao s4o conhecidos, como no seguinte exemplo. (SQM Uma particula movendo-se comeca numa posicio inicial r(0) = (1, 0,0) com uma velocidade inicial v(0) = i — j + k. Sua aceleracéo é a(t) = 4ti + 6rj + k. Deter- 1 mine a sua velocidade e posigao no momento f. y x SOLUCAO Uma vez que a(t) = v(t), temos FIGURA 3 v(t) = [al dr = | (4ri + 6tj + k)dt ae ae A expressdo para r(t) que obtivemos no =2rit 3rjrtk+C Exemplo 3 foi usada para tracar a trajetoria . ol da particula na Figura 4 paraO < ¢ <3. Para determinarmos o valor da constante do vetor C, usamos o fato de que v(0) = i — j + k . A equacao anterior permite v(0) = C, de modo que C =i-—j+ke v(t) = 2P?i+ 3° jttk+i-jt+k =(2°+1)i+ BP -1lj+@¢+1k Uma vez que v(t) = r’(t) temos Li r(1) = | v(o) at Aan | 4 ={[@P + Dit GP-Dj+ + Yar 2 | 2t 0000) 77 0 Zz 2 : : 1 0 : =(GPt+a)it+(P-)j+Ge+)k+D 0 5 GO sap 0 y Tomando t = 0, achamos que D = r(0) = i, entéo a posicao no tempo t é dada por FIGURA 4 — (2,3 . 3 . 1,2 r() =(Ge+¢4+ 1)i¢+ (PP -)j+GP+dk = Em geral, por integragao vetorial podemos recuperar a velocidade quando a aceleracgao for conhecida e a posig&o quando a velocidade for conhecida: v(t) = v(t) + [' alu) du rt) = (00) + [* v(w) du %9 %9 778 CALCULO Se a forga que age sobre a particula é conhecida, entao a aceleragado pode ser determinada a partir da Segunda Lei de Newton para o Movimento. A versio vetorial dessa lei nos diz que, se em qualquer instante de tempo ¢, uma for¢a F(t) age sobre um objeto m produzindo uma aceleracgao a(t), entao F(t) = ma(t) A velocidade angular do objeto em movi- SEY Um objeto de massa m que se move em uma trajetéria circular com velocidade mento com posigao P 6 w = dé/dt, onde sw _ : : : fA . angular constante w tem vetor posicéo dado por r(t) = acos wti + asen wt j. Determine a 0 € 0 angulo mostrado na Figura 5. . . : _ forga que age sobre 0 objeto e mostre que sua diregdo e sentido sao dados pela reta que passa pela origem, apontando em diregdo a origem. y p SOLUCAO Para encontrarmos a forga, precisamos primeiro saber a aceleracao: Ye v(t) = r'(t) = —aw sen wti + aw cos wt j x a(t) = v(t) = —aw’ cos wti — aw’ sen wt j Portanto, pela Segunda Lei de Newton, temos a forga FIGURA 5 F(t) = ma(t) = —mw°(a cos wt i + a sen wt j) Observe que F(t) = —mw*r(t). Isso mostra que a forca age na direcdo oposta ao vetor radial y r(f) e, portanto, aponta para a origem (veja a Figura 5). Essa forca é chamada for¢a centripeta. 7 Vo SS iets) Um projétil € disparado com Angulo de elevacdo a e velocidade inicial Vo. (Veja a Figura 6.) Assumindo que a resisténcia do ar seja desprezivel e que a unica forga externa seja ok 7 devida a gravidade, determine a fungao posig¢ao r(z) do projétil. Para qual valor de a obtemos d maior alcance (distancia horizontal percorrida)? FIGURA 6 SOLUCAO Fixamos os eixos coordenados de forma que a origem coincida com o ponto ini- cial da trajetéria do projétil. Como a forga devida a gravidade age para baixo, temos F = ma= —-mgj onde g = |a| ~ 9,8 m/s’. Assim, a= —gj Uma vez que v(t) = a, temos v(t) = —gtj + C onde C = v(0) = vo. Portanto r'(t) = v(t) = —gtj + vo Integrando novamente, obtemos r(t) = —3g?j+tv+D Mas D = r(0) = 0, e entao 0 vetor posigao do projétil é dado por _ 1 2s [3] r(t) = —3gt°j + tvo Se escrevermos | Vo | = vp (a velocidade escalar inicial do projétil), entao Vo = ucosai+ vosena j e a Equacao 3 se torna FUNGOES VETORIAIS 779 r(t) = (vocos a)ti + [(vo sen a@)t — ‘gt? | j Se vocé eliminar ¢ das Equagdes 4, vera que y 6 uma fungdao quadratica de x. As equacgGes paramétricas da trajetéria sao Assim, 0 caminho do projétil faz parte de uma parabola. x = (vo cos a)t y = (vp sen a)t — 3g? A distancia horizontal d é dada pelo valor de x quando y = 0. Ajustando y = 0, obtemos t = 0 out = (2v9sen a)/g. O ultimo valor de ¢ fornece 2uosena vg(2 sen a cos a) ve sen 2a d = x = (v cos a) —— = = g g g Claramente, d tem valor méximo quando sen 2a = 1, ou seja, quandoa = 7/4. Mi (ERMA Um projétil é lancado com velocidade de disparo de 150 m/s e Angulo de eleva- cao de 45° de um ponto 10 m acima do nivel do solo. Onde o projétil vai atingir 0 solo e com que velocidade escalar? SOLUCAO Se tomarmos a origem no nivel do solo, entio a posicao inicial do projétil € (0, 10) e, portanto, precisamos adequar a Equacao 4 adicionando 10 na expresso para y. Com vo = 150 m/s, a = 45° eg = 9,8 m/s’, temos x = 150 cos(a/4)t = 75/2 t y = 10 + 150 sen(a/4)t — $(9,8)2? = 10 + 75,/2 t — 4,927 O impacto ocorrera quando y = 0, isto 6, 4,9t? — 75./2t — 10 = 0. Resolvendo essa equa- ¢ao quadratica (e usando somente o valor positivo de 7), temos 75/2 + /11 250 + 196 t= 752 + V11 250 + 196 =~ 21,74 9,8 Entio x ~ 75,/2 (21,74) ~ 2.306, assim 0 projétil atinge o solo a uma distancia de cerca de 2.306 m. A velocidade do projétil é v(t) = r'(t) = 75/2 i + (75/2 — 9,82) j Portanto, sua velocidade escalar no impacto é | v(21,74) | = V (15/2) + (75,/2 — 9,8 + 21,74) ~ 151 m/s — M8 Componentes Tangencial e Normal da Aceleragao Quando estudamos o movimento de uma particula, é frequentemente util decompor a acele- racgdo em duas componentes, uma na direcdo da tangente e outra na direcdo da normal. Se es- crevemos v = |v| para a velocidade escalar da particula, entao x(t t T(t) = ry) _ v(t) _\ | r’(1) | |v()| ov e, assim, v=0T Se derivarmos ambos os lados em relagdo a ft, obteremos [5] a=v =0'T+0T’ Se usarmos a expressao da curvatura dada pela Equagao 13.3.9, temos 780 CALCULO [6] <- ttl _ {Tl logo |T’| = Kv Ir] oe O vetor normal unitdrio foi definido na seco anterior como N = T’/| T’|, entao [6] fornece T’ =|T'|N= «oN e a Equacao 5 se torna 7] Escrevendo a; e ay para as componentes tangencial e normal da aceleracgao, temos ar Oy t SS a=arT + ayN NY d onde a Sy N ? / \ / arp =0' e ady= kv ay S74 <7 FIGURA7 Essa conclusao esta ilustrada na Figura 7. — Vamos olhar agora 0 que a Formula 7 nos diz. A primeira coisa a observar é que o vetor binormal B nao aparece. Independentemente de como o objeto se move no espago, sua ace- lerag4o sempre esta nos planos de T e N (0 plano osculador). (Lembre-se de que T fornece a diregdo e sentido do movimento e N aponta a diregdo na qual a curva esta se entortando.) Em seguida, observamos que a componente tangencial da aceleracao é v’, a taxa de variacéo da ve- locidade escalar, e a componente normal da aceleracdo € Kv’, a curvatura vezes 0 quadrado da velocidade escalar. Isso explica 0 que acontece com um passageiro em um carro — uma virada brusca em uma rua pode ser vista como um valor grande de curvatura x, de forma que a componente da aceleragao perpendicular ao movimento é grande e 0 passageiro é jogado contra a porta do carro. A alta velocidade em uma curva tem 0 mesmo efeito: de fato, se do- brarmos nossa velocidade escalar, an sera aumentada por um fator de 4. Apesar de termos uma expresso para as componentes tangencial e normal da aceleracgao na Equacao 8, é desejavel obter expresses que dependam somente de r, r’ er”. Com essa fi- nalidade, tomamos o produto escalar de v = vT com a como dada na Equagao 7: v-a=o0T: (v'T + Kv’N) =vv'T-T+ «Kv°T-N = py’ (uma vez que T: T= le T- N=0) Portanto 9] » vera rier) a = DvD —— " v | r'(z) | Usando a férmula da curvatura dada pelo Teorema 13.3.10, temos 4 [rk Xr'O| [er Xr" | dy = kv = ——____.—|r'(0) | = —, |r'(z)| |r’) | SERO Uma particula se move com funcio posigao r(t) = (t’, t’, #°). Determine as componentes tangencial e normal da aceleracao. FUNGOES VETORIAIS 781 SOLUCAO rj) =PitePjy+ ek r(t) = 2ti+ 2tj + 30°k r'(t) = 2i + 2j + 6tk |r'(t) | = 812 + 974 Portanto, da Equacgao 9 vem que a componente tangencial é r(t):r"(t) 8r + 1877 ar = a= . | r'(z) | V8r + 944 ij k Uma vez que rj) Xr) =|2t 2t 30° | = 6r i — 607] O 2 2 6t da Equacao 10 obtemos a componente normal |r(t) xX r"(t)| 6/20? w= OS S| = ‘ |r'(2) | V8? + 944 MH Leis de Kepler para o Movimento Planetario @ x Descreveremos agora um dos principais feitos do calculo mostrando como o material deste ca- pitulo pode ser usado para demonstrar as leis de Kepler para o movimento planetario. Depois de 20 anos estudando as observagées do astr6nomo dinamarqués Tycho Brahe, o astr6nomo e matematico alemao Johannes Kepler (1571-1630) formulou as seguintes trés leis: Leis de Kepler 1. Um planeta gira em torno do Sol em uma Orbita eliptica, com o Sol em um dos e focos. 2. Osegmento de reta que liga o Sol a um planeta varre areas iguais em intervalos de 6 tempo iguais. 3. O quadrado do periodo de revolucao de um planeta € proporcional ao cubo do com- ° ~~ primento do eixo maior de sua Orbita. Em seu livro Principia Mathematica, de 1687, sir Isaac Newton mostrou que as trés leis e de Kepler podem ser obtidas como consequéncias de outras duas leis de sua autoria, a Se- gunda Lei do Movimento e a Lei da Gravitagao Universal. A seguir, demonstraremos a Pri- meira Lei de Kepler. As leis restantes sio deixadas como exercicios (com sugestdes). Como a forga gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que as forgas exerc das por outros corpos celestes, podemos ignorar todos os outros corpos do Universo, excet o Sol e um planeta girando em torno dele. Usaremos um sistema de coordenadas com origem no Sole sejar =r (f) 0 vetor posicdo do planeta. (Poderiamos igualmente considerar ro vetor posi¢éo da Lua ou de um satélite girando em torno da Terra, ou um cometa movendo-se em torno de uma estrela.) O vetor velocidade é v =r’ e 0 vetor aceleragio éa=r" . Utilizaremos as seguintes leis de Newton: Segunda Lei do Movimento: F = ma . on GMm GMm Lei de Gravitacao: F=-—,r=-—u r r onde F é a forca da gravidade sobre 0 planeta, m e M sao as massas do planeta e do Sol, G é a constante gravitacional, r = |r|,e u = (1/r)r € 0 vetor unitario na diregio de r. Mostraremos inicialmente que o planeta se move em um plano. Igualando a expressao para F nas duas leis de Newton, chegamos a 782 CALCULO GM a=-——_, Pr r e, assim, a é paralelo ar. Segue que r X a = 0. Usamos a Formula 5 no Teorema 13.2.3 para escrever d , , —(rXv=r’Xvt+rxv dt =vxXvtrxa=0+0=0 Logo, rxXv=h onde h é um vetor constante. (Podemos assumir que h ¥ 0; isto é, r e v nao sao paralelos.) Isto significa que o vetor r = r(t) é perpendicular a h para todos os valores de t, de modo que 0 planeta sempre se situa no plano através da origem perpendicular de h. Assim, a 6rbita do planeta é uma curva plana. Para demonstrarmos a Primeira Lei de Kepler, vamos reescrever 0 vetor h como segue: h=rXv=rXr' =ruX (ru) =ruX (ru + 7r'u) =r7(u X w’) + r7'(u X u) =r(u X w) Entao, —GM a X h = ——u X (ru X w’) = —GMu X (u X w) r = —GM[(u . uw)u _ (u : u)u’] (pelo Teorema 12.4.11, Propriedade 6) Mas u: u = |u|* = 1 e, uma vez que |u(s)| = 1, segue-se a partir do Exemplo 4, na Secao 13.2, que u - u’ = 0. Portanto aXh=GMu' e (vx h)' =v Xh=axXh=GMu Integrando ambos os lados da equagao, obtemos | [11] vxh=GMu-e h c 0 onde ¢ é um vetor constante. r y ’ Neste ponto é conveniente escolher os eixos coordenados de forma que o vetor da base ca- S/o ndnica k aponte na direcdo do vetor h. Em seguida, o planeta se move no plano xy. Como * u ambos v X he u sao perpendiculares a h, a Equacaéo 11 mostra que ¢ pertence ao plano xy. Isso significa que podemos escolher os eixos x e y de forma que o vetor i esteja na diregao de FIGURA 8 c, como mostrado na Figura 8. Se 6 € 0 Angulo entre c e r, entao (r, 6) sao as coordenadas polares do planeta. Da Equa- cao 11, temos r-(vXh)=r-(GMu+c)=GMr-ucr-c = GMru-u + |r||¢|cos@ = GMr + rc cos@ onde c = |c|. Entao, r-(v X h) 1 r-(vxXh) r= = GM+ccos@ GM 1+ ecosé FUNGOES VETORIAIS 783 onde e = c/(GM). Mas r-(vXh)=(rX v):h=h-h=|[h|? =A’ onde h = |h|. Logo, h?/(GM) eh*/c r= 5 1+ ecosé 1 + ecosé Escrevendo d = h?/c, obtemos a equac¢do ed ra r= 1 + ecosé Comparando com o Teorema 10.6.6, vemos que a Equagao 12 € aquela da forma polar da secdo cOnica com foco na origem e excentricidade e. Sabemos que a 6rbita de um planeta é uma curva fechada e assim a c6nica deve ser uma elipse. Isso completa a dedugdo da Primeira Lei de Kepler. Vamos orienta-lo através da deriva- cao das Segunda e Terceira Leis do Projeto Aplicado. As demonstragées dessas trés leis mos- tram que 0 método deste capitulo fornece uma ferramenta poderosa na descri¢ao de leis da natureza. cy Exercicios 1. A tabela fornece coordenadas de uma particula movendo-se no y espaco ao longo de uma curva suave. (a) Determine a velocidade média nos intervalos de tempo [0, 1], [0,5; 1], [1, 2] e [1; 1,5]. (b) Estime a velocidade e a velocidade escalar da particula no 2 instante ¢ = 1. 1 r(1,5) 0 1 2 xX 0 2,7 9,8 3,7 0,5 3,5 7,2 3,3 1,0 4,5 6,0 3,0 3-8 Determine a velocidade, a aceleracio e a velocidade escalar da 1,5 5,9 6,4 2,8 particula cuja funcao posicao é dada. Esboce a trajet6ria da particula 2,0 7,3 7,8 2,7 e desenhe os vetores velocidade e aceleragiio para os valores de t es- pecificados. 3 r() = (-7,1), t=2 2. A figura mostra a trajetéria de uma particula que se move com 4. r() = (2 —t, Avi), t=1 vetor posic¢ao r(f) no instante t. 5. r(t)=3costit2sentj, t= 7/3 (a) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da par- . ors , : 6 ri) =e'it+e”"j, r=0 ticula no intervalo de tempo 2 St S 2,4. (b) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da par- 2 or) =tit+e?j+2k, r=1 ticula no intervalo de tempo 1,5 < t < 2. 8 r(t)}=tit+2costj + senrtk, t=0 (c) Escreva uma expressdo para o vetor velocidade v(2). ae (d) Desenhe uma aproximacio do vetor v(2) e estime a veloci- 9-14 Determine a velocidade, a aceleracao e a velocidade escalar da dade escalar da particula em t = 2. particula cuja fungao posicao é dada. 9 rf) = (4+ 1,0,0? -— 1) E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 784 CALCULO 10. r(t) = (2 cost, 34, 2 sen t) Vocé é 0 comandante de um exército de ataque e o mais pr6ximo UW. r() = Y2tit+ e'j+e'k que vocé pode chegar da muralha é 100 m. Seu plano é incendiar 12. r() =P i+ 2j + Intk a cidade catapultando rochas aquecidas sobre a parede (com uma velocidade inicial de 80 m/s). Em que intervalo de angulos vocé 13. r() = e'(cos ti + sentj + tk) deve dizer a seus homens para armar a catapulta? (Suponha que a 14. r(t) =tsentit tcostj + 7?k trajet6ria das rochas seja perpendicular 4 muralha.) i 30. Mostre que um projétil atinge trés quartos da sua altura maxima 15-16 Determine os vetores velocidade e posig&o de uma particula, em metade do tempo necessario para atingir a sua altura maxima. ; dadas a sua aceleracdo, velocidade e posicao iniciais. 31. Uma bola € langada para o ar para leste a partir da origem (na di- 15. al) =i +2), vi0)=—k, 10) =i recao do eixo x positivo). A velocidade inicial é 501 + 80k, com a velocidade medida em pés por segundo. A rotag¢4o da bola re- 16. a(t) = 2i + 6rj + 120°k, vO) =i, r(0)=j-—k sulta em uma aceleracao em direcao ao sul de 4 pés/s”, de modo que o vetor aceleracgéo é a = —4j — 32k. Onde a bola cai e com 17-18 ; ; que velocidade escalar? (a) Determine 0 vetor posigéo de uma particula, dada a sua acelera- 32. Uma bola com massa 0,8 kg € arremessada ao ar em direcdo ao gao © suas velocidade e posi¢ao micials, sul com velocidade escalar de 30 m/s e Angulo de 30° com o solo. AE (b) Utilize o computador para tracar a trajetéria percorrida pela par- Um vento do oeste aplica uma forca constante de 4 N a bola na ticula. direc&o leste. Onde a bola cai e com que velocidade escalar? 17. a(t) = 2ti + sentj + cos2tk, vw(0) =i, r(0)=j 4 33. A agua, descendo por um trecho reto de um rio, em geral escoa 18. al) =tite'jte’k, v0)=k, r0)-jt+k mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase zero nas margens. Considere um trecho longo de rio es- 19. A funcio posicio de uma particula é dada por coando para o norte com as margens paralelas distando 40 m uma r(t) = (12, 5t, 2 — 161). Quando sua velocidade escalar é mf- da outra. Se a velocidade maxima da agua é de 3 ms, pode-se nima? utilizar uma fungaéo quadratica como um modelo basico para a 20. Qual a forca necessaria para que uma particula de massa m tenha taxa de fluxo we agua x unidades de distancia da margem a funcao posicdo r(t) = Pi+ Pj + Pk? oeste: f(x) = a9 «(40 — 2). ; 21. Uma forga com magnitude 20 N atua diretamente para cima do (a) Um barco se move com uma velocidade escalar constante de plano xy em um objeto com massa de 4 kg. O objeto comega na 5 m/s ap artir de um ponto de A na margem oeste enquanto se : : wee _s_: mantém direcionado perpendicularmente 4 margem. A que origem com velocidade inicial v(0) = i — j. Encontre a sua fun- : oo : ood x x : : distancia rio abaixo, na margem oposta, o barco vai atingir a Gao posig4o e a sua velocidade no instante ¢. oe , : terra firme? Faca um grafico da trajetéria do barco. 22. Mostre que, se uma particula se move com velocidade escalar ; : x : x ox (b) Suponha que quiséssemos pilotar o barco para terra no ponto B constante, entéo os vetores velocidade e aceleragéo sao ortogo- : : nais na margem leste em frente A. Se mantivermos uma velocidade 23. Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de constante de 5 m/s, € uma diregao constante, encontre ° angulo 200 m/s e angulo de elevagao de 60°. Determine (a) 0 alcance do em que o barco deve dirigir. Dep O1S, faca ° grafico do caminho re sos - : real que o barco segue. Essa trajetéria parece realista? projétil, (b) a altura maxima atingida e (c) a velocidade escalar no . . impacto 34. Outro modelo razoavel para a velocidade escalar da agua do rio . ; «ay a Exercicio 33 é uma funga idal: f(x) = 40). 24. Repita o Exercicio 23, considerando agora o projétil disparado no XEPETCTO 33¢ ume tngao senora I (») 3 sen(x/ 10) on : Se o piloto do barco quiser atravessar 0 rio de A até B com dire- de uma posicao 100 m acima do solo. . : . . ¢ao constante e velocidade escalar constante de 5 m/s, determine 25. Uma bola é atirada em um Angulo de elevagao de 45° em relagao 0 Angulo no qual o barco deve seguir ao oe Sea bola cal no poe a uma distancia de 90 m, qual a ve- 35. Uma particula tem funcdo posicio r(s). Se r/(t) = ¢ X r(Z), onde locidade escalar inicial da bola’ c é um vetor constante, descrevem o caminho da particula. 26. Uma arma € disparada com angulo de elevagao de 30°. Qual a 36. (a) Se uma particula se move ao longo de uma linha reta, 0 que velocidade de disparo se 0 maximo de altura que a bala atinge é vocé pode dizer sobre seu vetor aceleracio? de 500 m? (b) Se uma particula se move com velocidade constante ao longo de 27. A velocidade de disparo de uma arma é 150 m/s. Determine dois uma curva, 0 que vocé pode dizer sobre seu vetor acelerac’io? angulos de elevag&o que podem ser utilizados para atingir um 37-42 Determine as componentes tangencial e normal do vetor ace- alvo que esta a 800 m de distancia. leraciio. 28. No beisebol, um batedor rebate uma bola, que esta 3 pés acima 37. r(t) = Gr — P)i+ 3775 do chao, em direcao 4 parte central da cerca do campo, que tem . 38. rf) =(1 t+ di+ (? — 20j 10 pés de altura e dista 400 pés da base do langamento. A bola r(o) = ( i+ ( dj deixa o bastfio com uma velocidade escalar de 115 pés/s e com 39. r(t) = costi + sentj + tk Angulo de 50° acima da horizontal. Foi home run? (Em outras pa- 40. r(t) = tit tj + 3rk lavras, a bola passou por cima da cerca?) 4. r() =ei + V2tj + etk 29. Uma cidade medieval tem a forma de um quadrado e esta protegida 42. r(t) = ti+ cos’ j + sen*tk pelas muralhas com comprimento de 500 m de altura de 15 m. oo FUNGOES VETORIAIS 785 43. O médulo do vetor aceleragao a é 10 cm/s”. Use a figura para es- timar as Componentes tangencial e normal de a. r(t) = (3 + Nit (2+ Indjt (; ie - ; ) k e as coordenadas de uma estagao espacial sao (6, 4, 9). O capitao a quer que a nave atraque na estacdo espacial. Quando os motores da nave devem ser desligados? 46. Um foguete queimando seu combustivel a bordo enquanto se move através do espaco tem velocidade v(t) e massa m(f) no mo- mento ¢. Se os gases de exaustéo escapam com velocidade de v, 0 x ~ : : : em relacgdo ao foguete, pode deduzir-se a partir da Segunda Lei de Newton do Movimento que 44. Se uma particula com massa m se move com vetor posicao r(t), dv dm entdo seu momento angular é definido como L(t) = mr(t) X v(t) mh dav e seu torque é definido como 7(t) = mr(t) X a(t). Mostre que m(0) L'(«) = (2). Deduza que, se 7(t) = 0 para todo t, entéo L(t) é (a) Mostre que v(‘) = v(0) — In m(d) Ve. constante. (Essa é a lei de conservacado do momento angular.) (b) Para que, em linha reta, 0 foguete acelere do repouso para 0 45. A fungao posi¢ao de uma nave espacial € dobro da velocidade escalar de escape de seus gases de com- bustéo, que fragao de sua massa inicial o foguete devera quei- mar como combustivel? Es PROJETO APLICADO LEIS DE KEPLER Johannes Kepler enunciou trés leis sobre 0 movimento planetario, baseando-se em uma grande quantidade de dados relativos 4 posic4o dos planetas em diferentes instantes de tempo. LEIS DE KEPLER 1. Um planeta gira em torno do Sol em uma 6rbita eliptica, com o Sol em um dos focos. 2. O segmento de reta que liga o Sol a um planeta varre areas iguais em intervalos de tempo iguais. 3. O quadrado do periodo de revolugdo de um planeta é proporcional ao cubo do compri- mento do eixo maior de sua 6rbita. Kepler formulou essas leis, pois elas se ajustavam aos dados astronémicos. Ele nao foi capaz de perceber por que elas eram validas nem como se relacionavam umas com as outras. Mas sir Isaac Newton, em seu Principia Mathematica, de 1687, mostrou como deduzir as trés leis de Kepler de duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento e a Lei da Gravitagéo Universal. Na Secao 13.4 demontramos a Primeira Lei de Kepler usando o calculo de fungGes vetoriais. Neste projeto, guiaremos vocé pela demonstragaéo da Segunda e da Terceira Leis de Kepler e exploraremos suas consequéncias. 1. Utilize os seguintes passos para demonstrar a Segunda Lei de Kepler. A notagao sera a mesma que foi empregada na demonstracao da Primeira Lei na Segao 13.4. Em particular, use coorde- nadas polares r = (r cos 0) i + (r sen @) j. (a) Mostre que h = r? “ k. » , d0 r(t) (b) Deduza que r 7. =h., Y(fo) (c) Se A = A(t) é a drea varrida pelo vetor radical r = r(t) no intervalo de tempo [t, t] como / XD na figura, mostre que GA _ 1,240 LY a ai (d) Deduza que dA, he = 5h = constante Essa equacao mostra que a taxa na qual A é€ percorrida é constante e demonstra a Segunda Lei de Kepler. 786 CALCULO 2. Seja T o periodo de um planeta em torno do Sol; ou seja, T é o tempo necessario para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua 6rbita eliptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam 2a e 2b. (a) Use a parte (d) do Problema 1 para mostrar que T = 27rab/h. h? b? b) Mostre que —— = ed = —. (b) que Gu a ,_4n , (c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que T° = GM a. Isso demonstra a Terceira Lei de Kepler. [Observe que a constante de proporcionalidade 47r?/(GM) independe do planeta. ] 3. O periodo da Terra girando em torno do Sol é de aproximadamente 365,25 dias. Utilize esse fato e a Terceira Lei de Kepler para determinar 0 eixo maior da 6rbita terrestre. Vocé preci- sara do valor da massa do Sol, M = 1,99 xX 10*° kg, e da constante gravitacional, G = 6,67 X 10°"! N-m*/kg?’. 4. E possivel colocar um satélite em 6rbita em torno da Terra de modo que ele permaneca fixo em uma posicao localizada sobre 0 equador. Calcule a altitude necessaria para esse satélite. A massa da Terra € 5,98 X 10% kg; seu raio € 6,37 X 10°m. (Esta 6rbita é chamada Orbita Geoesta- cionaria Clarke, em homenagem a Arthur C. Clarke, quem primeiro propés a idéia, em 1945. O primeiro satélite, Syncom IT, foi langado em julho de 1963.) 13 | Revisao Verificagao de Conceitos 1. O que é uma funcAo vetorial? Como calcular sua derivada e sua (b) Escreva a formula para curvatura em funcao de r’(r) e T’(t). integral? (c) Escreva a f6rmula para curvatura em fungao de r‘(t) e r”(t). 2. Qual a relac&o entre fungées vetoriais e curvas espaciais? (d) Escreva a formula para curvatura de uma curva plana com 3. Como achar o vetor tangente a uma curva suave em um ponto? equacio y = f(x). Como achar a reta tangente? Como determinar o vetor tangente 7. (a) Escreva as formulas para os vetores normal e binormal de unitdrio? uma curva suave espacial r(t). 4. Seuev sao funcées vetoriais diferencidveis, c é um escalar e fé (b) O que é 0 plano normal de uma curva em um ponto? E o uma fung4o real, escreva as regras para derivar as seguintes fun- plano osculador? O que é 0 circulo osculador? g6es vetoriais: 8. (a) Como determinar a velocidade, a velocidade escalar e a ace- (a) u() + v(t) (b) cu(t) (c) ful) leragdo de uma particula que se move ao longo de uma curva (d) u(¢) + vit) (e) u(t) X v(t) (f) uf (0) espacial? 5. Como achar o comprimento de uma curva espacial dada pela fun- (b) Escreva a aceleracio em termos de suas componentes tan- go vetorial r(t)? gencial e normal. 6. (a) Qual a definigdo de curvatura? 9. Quais so as leis de Kepler? Quiz Verdadeiro-Falso Determine se a afirmacao é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique d por qué. Caso contrario, explique por que ou dé um exemplo que mostre que an Ir) | =|r'(| é falsa. , ‘ ae x . . 3s 3s aye 7. Se T(s) € 0 vetor tangente unitério de uma curva suave, entio a 1. A curva com equacio vetorial r(t) = ri + 20°j + 3¢°k € uma . curvatura € k = | dT/dt|. reta. . , 8. O vetor binormal é B(t) = N(t) X T(Z). 2. Acurvar(t) = (0, ?, 4t) é uma parabola. . . . 7 ; . . 9. Suponha que fseja duas vezes continuamente diferenciavel. Em 3. Acurva r(t) = (21,3 — t,0) é uma linha que passa através da : ~ . . . um ponto de inflexao da curva y = f(x), a curvatura é 0. origem. _ 2 : . oo, . 10. Se «(t) = 0 para todo f, a curva é uma reta. 4. A derivada da fungfo vetorial é obtida derivando cada compo- ~ | , . 11. Se |r(t)| = 1 para todo ¢, entao | r’(t) | € constante. nente da fungao. ~ iy ez _ . ooo i, . 12. Se |r(t)| = 1 para todo ¢, ent&o r’(t) € ortogonal a r(t) para 5. Se u(t) e v(t) sdo funcées vetoriais diferencidveis, entio todot d , , 13. O circulo osculador de uma curva C em um ponto tem 0 mesmo dt [u) x vi] = u(x vO) vetor tangente, vetor normal e curvatura que C naquele ponto. 6. Se r(t) é uma funcio vetorial diferencidvel, entao 14. As parametrizagoes diferentes de uma mesma curva resultam em vetores tangentes idénticos em um mesmo ponto da curva. FUNGOES VETORIAIS 787 Exercicios 1. (a) Esboce a curva com fungao vetorial y r(t) = ti+ cos mtj + sen awrtk t=0 (b) Encontre r’(t) e r”(#). c 2. Seja r(t) = (/2 — t, (e' — 1)/t, In(t + 1)). 1 (a) Determine o dominio de r. (b) Encontre lim,—so r(#). r(3,2) (c) Encontre r’(t). 3. Determine uma equacio vetorial que represente a curva obtida pela 7 . ~ “4: xX intersecdo do cilindro x? + y? = 16como planox + z= 5. I 4. Determine as equacg6es paramétricas da reta tangente 4 curva . x = 2sent, y = 2 sen 2t, z = 2 sen 3f no ponto (1, V3, 2). De- 17. Uma __ particula’ se move com fungao posi¢ao senhe a curva e a tangente em uma mesma tela r(t) = t Inti + tj + e‘k. Determine a velocidade, a veloci- 5. Se r(f) = i+ tcosmtj + senark, calcule {} r(s) dt. dade escalar e a aceleragao da particula. ; . 6. Seja C a curva com equacio x = 2 — 13, y = oF —1.z=Int 18. Uma particula comega na origem com velocidade inicial . ° > . . ~ 2 = . 22 _ Encontre (a) o ponto em que C intersecta o plano xz, ! J + 3k. Sua aceleragao é a(t) = 6ri + 127°j — 6rk. De (b) as equacgdes paramétricas da reta tangente em (1, 1, 0), e termine sua fungao p Osigao. (c) uma equacio do plano normal ao C em (1, 1, 0) 19. Um atleta arremessa um disco em um Angulo de 45° em relacgao 7. Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento a horizontal com velocidade escalar inicial de 13 m/s. Ele deixa do arco da curva com as equagdes x = 1°, y=, z= 2", sua mao 2m acima do solo. ; 0<1<3 (a) Onde esta 0 disco 2 segundos depois? : . zoe . - a9 8. Determine o comprimento da curva r(t) = (217, cos 2t, sen 2t), (b) Qual a altura maxima que 0 disco atinge? O] * (c) Suponha que o projétil seja langado sobre um plano inclinado para cima cujo Angulo de inclinagao é 6. Mostre que, a fim de maximizar o alcance (ladeira acima), o projé- > \ til devera ser disparado em direc4o 4 metade do Angulo entre o plano e a vertical. (d) Em um artigo apresentado em 1686, Edmond Halley resumiu as leis da gravitacao e do movimento de projéteis e as aplicou 4 artilharia. Um dos problemas propostos por ele envolvia disparar um projétil para atingir um alvo a uma distancia Rem um plano in- _FIGURA PARA 0 PROBLEMA 2 clinado para cima. Mostre que o 4ngulo no qual o projétil deve ser disparado para atin- gir o alvo, mas usando a menor quantidade de energia, 6 o mesmo que o Angulo da parte (c). (Use 0 fato de que a energia necessdria para disparar o projétil é proporcio- nal ao quadrado da velocidade inicial; assim, minimizar a energia equivale a minimi- zar a velocidade inicial.) 3. Uma bola rola de uma mesa com velocidade escalar de 0,5 m/s. A mesa tem 1,2 m de al- o~ es tura. ‘y (a) Determine 0 ponto no qual a bola atinge o solo e encontre sua velocidade escalar no 12m \\ 6| 9 O instante do impacto. | \ / (b) Encontre 0 4ngulo 6 entre a trajetéria da bola e a reta vertical que passa pelo ponto de impacto (veja a figura). (c) Suponha que a bola repique no solo no mesmo Angulo com o qual ela o atinge, mas que FIGURA PARA 0 PROBLEMA 3 perca 20% de sua velocidade escalar em virtude da energia absorvida no impacto. Onde a bola atinge 0 chao no segundo repique? 4. Determine a curvatura da curva com equacées paramétricas x= { sen(}7r07) d0 y= { cos($ 707) d0 45. Se um projétil € disparado com Angulo de elevacio a e velocidade escalar inicial v, as equac6es paramétricas de sua trajetéria so x = (v cos a)t, y = (v sen a)t — Sgt”. (Veja o Exemplo 5, na Segao 13.4.) Sabemos que o alcance (distancia horizontal percorrida) é ma- ximizado quando a = 45°. Qual valor de a maximiza a distancia total percorrida pelo pro- jétil? (Dé sua resposta com precisAo de um grau.) 790 CALCULO 6. Umcabo tem raio re comprimento L e é enrolado em torno de um carretel com raio R sem excesso de lapidag4o. Qual é 0 comprimento mais curto ao longo da bobina, que é coberta pelo cabo? 7. Mostre que a curva com equacfo vetorial r(t) = (ayt? + bit + C1, at? + bot + C2, a;t? + bst + C3 ) encontra-se em um plano e encontre uma equacao do plano. Derivadas Parciais Até aqui tratamos o cálculo de funções de uma única variável. No entanto, no mundo real, quantidades físicas frequentemente dependem de duas ou mais variáveis, de modo que, neste capítulo, focalizaremos nossa atenção em funções de várias variáveis e estenderemos nossas ideias básicas do cálculo diferencial para tais funções. 14 Stan Wagon, Macalester College Os gráficos das funções de duas variáveis são superfícies que podem assumir uma variedade de formatos, incluindo sela ou estrada montanhosa. Nesta localização no sudeste de Utah (Arco de Phipps), você pode ver um ponto que é um mínimo em uma direção, mas um máximo em outra. Essas superfícies são discutidas na Seção 14.7. Calculo14_01:calculo7 5/24/13 12:02 PM Page 791 792 CALCULO co Fungoes de Varias Variaveis Nesta seco estudaremos as fung6des de duas ou mais varidveis sob quatro pontos de vista diferentes: = verbalmente (pela descrigéo em palavras) = numericamente (por uma tabela de valores) « algebricamente (por uma férmula explicita) = visualmente (por um grafico ou curvas de nivel) M5) Funcées de Duas Variaveis A temperatura T em um ponto da superficie da Terra em dado instante de tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma fungao de duas varia- veis x e y, ou como uma fungao do par (x, y). Indicamos essa dependéncia funcional escre- vendo T = f (x, y). O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. De fato, sabe- mos que V = wrh. Podemos dizer que V é uma funcgao de r e de h, e escrevemos V(r, h) = arrh. Definigéo Uma fungao f de duas variaveis é uma regra que associa a cada par orde- nado de nimeros reais (x, y) de um conjunto D um Unico valor real, denotado por f @, y). O conjunto D é o dominio de fe sua imagem é 0 conjunto de valores possi- veis de f, ou seja, {f (x, y)|(@, y) € D}. Frequentemente escrevemos z = f (x, y) para tornar explicitos os valores tomados por f em um ponto genérico (x, y). As varidveis x e y sao variaveis independentes e z é a varia- vel dependente. [Compare com a nota¢4o y = f (x) para as fungdes de uma Unica varidvel.] Uma fun¢ao de duas varidveis é simplesmente aquela cujo dominio € um subconjunto de IR? e cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualizar essa fungao é pelo dia- y 7 grama de setas (veja a Figura 1), no qual o dominio D é representado como um subconjun- f(x,y) to do plano xy e a imagem é um conjunto de ntimeros na reta real, mostrado como um eixo z. Por exemplo, se f (x, y) representa a temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal chata com o formato de D, podemos pensar que 0 eixo z €é um termémetro exibindo as tem- po . 0 peraturas registradas. Se a fungao f é dada por uma férmula e seu dominio nao é especificado, fica subtendido F(a, b) que o dominio de f é 0 conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expresso dada for- nece um numero real bem definido. FIGURA 1 | Set) Para cada uma das seguintes fungoes, calcule f(3, 2) e encontre o dominio. vx ty+1 5 @ f(xy) = (b) f (x, y) = x InG? — x) SOLUCAO V3 +241 6 x+y+1=0 (a) 3,2 = 234241 _ v6 y 3-1 2 | x=1 A expressao para f esta bem definida se o denominador for diferente de 0 e o nimero cuja | raiz quadrada sera extraida for nao negativo. Portanto, o dominio de f é -1 / D={%ylxtyt+120,.x.4 1} -1 | A desigualdade x + y + 1 = 0, ou y 2 —x — 1, descreve os pontos que estao na linha y = —x — | ou acima dela, enquanto x 1 significa que os pontos na linha x = | devem ser FIGURA 2 excluidos do dominio. (Veja a Figura 2.) t+y+1 = 2— 3) = = Dominio de f(x, y) = ve x (b) f@G, 2) = 3 In@*- 3) =3Inl =0 DERIVADAS PARCIAIS 793 Ja que In(y” — x) é definido somente quando y* —x > 0, isto é, x < y’, o dominio de y féD = {(x, y)|x < y’}. Isso representa 0 conjunto de pontos 4 esquerda da parabola x = y”. _—_ (Veja a Figura 3.) | ooo ; 7 x=y Nem todas as fungdes podem ser representadas por férmulas explicitas. A fungao do pro6- 7 - ximo exemplo é descrita verbalmente e por estimativas numéricas de seus valores. > “ (SGM) Em regides com inverno severo, 0 indice de sensacdo térmica é frequentemente a utilizado para descrever a severidade aparente do frio. Esse indice W mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da velocidade do vento, v. Assim, Wéumafun- _-FIGURA 3 cio de Te de v, e podemos escrever W = f (T, v). A Tabela 1 apresenta valores de Wcom- = Dominio de f(x, y) = xIn(y? — x) pilados pelo Servigo Nacional de Meteorologia dos Estados Unidos e pelo Servico a oo . Meteorolégico do Canada. 4 Novo Indie te Sensagao Termica troduzid m novo Indice de sensagao termica Tol Introduzido TABELA 1 Indice de sensagdo térmica como func¢ao da temperatura do ar e velocidade do vento em novembro de 2001 e € muito mais preciso que o velho indice de medigao de quanto frio se sente . quando esta ventando. 0 novo indice é baseado em Velocidade do vento (km/h) um modelo de quao rapido um rosto humano perde Se 5 10 15 20 25 30 40 50 70 calor. Foi desenvolvido por meio de ensaios clinicos nos quais voluntarios eram expostos a uma varie- um tunel de vento refrigerado. 0) -2) -3) -4) -5 | -6| ~6| -7) -8 | ~9 | 9 | -10 G8) 7) 9 nn 12 12 | 13 | 14 | 15 | =16 | 16 | =17 | a 5 ee (235-41 =45 48 | ~49 | 51 52 | 54 56-57 —58 | 60 an oat) oat 8 aT 9) oat oat 8 7 wa Por exemplo, a tabela mostra que, se a temperatura € —5 °C e a velocidade do vento, 50 km/h, entao subjetivamente parecerda tao frio quanto uma temperatura de cerca de —15 °C 1899 | 100 | 100 100 sem vento. Portanto, 1900 | 101 105 107 f(-5, 50) = —-15 = 1901 | 112 | 110 114 1902 | 122 | 117 122 (SGM Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modela- 1903 | 124 | 122 | 131 ram o crescimento da economia norte-americana durante o perfodo de 1899-1922. Eles con- 1904 | 122 | 121 138 sideraram uma visao simplificada da economia em que a saida da produgao é determinada 1905 143 125 149 pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de exis- 1906 | 152 | 134 163 tirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, 0 modelo mostrou-se bas- . wags ~ 1907 | 151 | 140 176 tante preciso. A fungao utilizada para modelar a produgao era da forma 1908 | 126 | 123 185 PUL — preR'-2 1909 | 155 | 143 198 1 (L, K) = 1910 | 159 | 147 208 . . . 1911 | 153 | 148 216 onde P é a producgao total (valor monetario dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de , . . 1912 | 177 | 155 226 trabalho (ntimero total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capi- . . as se . 4: ~ 1913 | 184 | 156 236 tal investido (valor monetario das maquinas, equipamentos e prédios). Na Secao 14.3, mos- traremos como obter a Equacao | a partir de algumas hipdteses econdmicas. 1914 | 169 | 152 244 Cobb e Douglas usaram dados econémicos publicados pelo governo para construir a Tabe- 1915 189 | 156 266 la 2. Eles tomaram o ano de 1899 como base e P, Le K foram tomados valendo 100 nesse 1916 225 183 298 ano. Os valores para outros anos foram expressos como porcentagens dos valores de 1899. 1917 | 227 | 198 335 Cobb e Douglas utilizaram 0 método dos minimos quadrados para ajustar os dados da 1918 | 223 | 201 366 Tabela 2 4 funcao 1919 | 218 | 196 387 1920 | 231 | 194 407 [2 | P(L, K) = 1,01L°k®?> 1921 | 179 | 146 417 1922 | 240 | 161 431 794 CALCULO (Veja o Exercicio 79 para detalhes.) Se usarmos 0 modelo dado pela fun¢ao na Equacao 2 para calcular a producdo nos anos de 1910 e 1920, obteremos os valores P(147, 208) = 1,01(147)°5(208)°?> = 161,9 P(194, 407) = 1,01(194)°79(407)?5 = 235,8 que s4o muito proximos dos valores reais, 159 e 231. A fungao de produg¢ao [1] foi usada posteriormente em muitos contextos, de empresas individuais até quest6es globais de economia. Ela passou a ser conhecida como fungao de producao de Cobb-Douglas. Seu dominio é {(L, K)| L = 0, K = 0}, pois, como Le K repre- sentam mao de obra e capital, nao podem ser negativos. | SS) Determine o dominio e a imagem de g(x, y) = /9 — x? — y?. SOLUGAO O dominio de g é y +y=9 D = {(x,y)|9 — x? — y? = OF = {(x, y) |x? + y? < 9} que € o disco com centro (0, 0) e raio 3 (veja a Figura 4). A imagem de g é 3 3 8 {2|z2= /9 —x? —y?, (x,y) € D} Como z é a raiz quadrada positiva, z = 0. Da mesma forma, por causa de 9 — x°- yw <9, temos VI-x-y? <3 FIGURA 4 Assim, a imagem é Dominio de g(x, y) =/9—x?—y? {z|0 A fungao do Exemplo 5 é um caso especial da fung¢ao xX f@, y) =ax+ by +c FIGURA 6 — : e é chamada fungao linear. O grafico de uma dessas fungdes tem a equacgao z=axt+by+c ou ax + by-z+c=0 e, portanto, 6 um plano. Do mesmo modo que as fungées lineares de uma Unica varidvel sao importantes no calculo de uma variavel, veremos que as fung6es lineares de duas varidveis tém um papel central no célculo com muitas variaveis. SS Esboce o grafico de g(x, y) = /9 — x? — y?. DERIVADAS PARCIAIS 795 SOLUCAO O grafico tem a equacio z = ./9 — x? — y?. Elevando ao quadrado ambos os ° (0, 0,3) lados da equag4o, obtemos z? = 9 — x? — y*, oux? + y? + z7 = 9, que reconhecemos como a - equacao da esfera de centro na origem e raio 3. Mas, como z = 0, 0 grafico de g é somente a metade superior da esfera (veja a Figura 7). = 0.3.0) OBSERVACAO Uma esfera inteira nfo pode ser representada por uma tinica fungéio de x (3, 0, 0) ; e y. Como vimos no Exemplo 6, 0 hemisfério superior da esfera x? + y* + z?= 9 & repre- x sentado pela fungao g(x, y) = /9 — x? — y?. O hemisfério inferior é representado pela fun- cao h(x, y) = —J/9 — x? — y?. FIGURA 7 a Grafico de g(x, y)=V9—x?—y? 243207) Utilize o computador para tragar o grafico da fun¢4o de produgao de Cobb-Dou- glas P(L, K) = 1,01L°K°, SOLUCAO A Figura 8 mostra o grafico de P para os valores de mao de obra L e capital K que estaéo entre 0 e 300. O computador utilizou os cortes verticais para desenhar a superficie. Vemos a partir desses cortes que o valor da producao P aumenta com o crescimento de L ou de K, como esperado. LS SS> 300 SESE —_ Soe 200 ESESSSSSSSSSS SESS P SEES 100 SSS 0 300 500 300 100 200 FIGURA 8 K oo 100 | — S90) Determine o dominio e a imagem e esboce o grafico de h(x, y) = 4x° + y’. SOLUCAO Observe que h(x, y) é definida para todos os possiveis pares ordenados de ntimeros reais (x, y) e seu dominio é R?, o plano xy todo. A imagem de h é 0 conjunto [0, 2) de todos os reais nao negativos. [Observe que x* = 0 e y*= 0, portanto h(x, y) = 0 para todo xe y.] O grafico de h tem a equacao z = 4x? + y’, que é o paraboloide elfptico que esbocamos no Exemplo 4 na Secgao 12.6. Os cortes horizontais sao elipses e os cortes verticas sao para- bolas (veja a Figura 9). NY in Ny NO My NI ] FIGURA 9 ; Grafico de h(x, y) = 4x? + y? * y — Existem programas de computador desenvolvidos para tragar os graficos de fungdes de duas varidveis. Na maioria desses programas, sao desenhados os cortes nos planos verticais x = key =k para os valores de k igualmente espagados, e as linhas do grafico que estariam escondidas sao removidas. A Figura 10 mostra uma série de graficos de diversas fungdes, gerados por computador. Observe que obtemos uma viséo melhor da fun¢4o quando a giramos de modo a olha-la por diferentes pontos de vista. Nos itens (a) e (b) 0 grafico de f é achatado e préximo do plano xy, exceto perto da origem; isso se da porque e~*~”é muito pequeno quando x ou y é grande. 796 CALCULO Z Z A\ AN NM X y/N \ \\ i IN KXAN VV \A. x y xX (a) fla, y) = 0? + 3y?)e™ (b) fla, y) = 0? + 3y?}er Z Z ¢ Vy YN PYLON x Te EN . * y (0) fir, y) =senx + seny (@) fle. 9) = FIGURA 10 MS Curvas de Nivel Até aqui vimos dois métodos diferentes para visualizar fung6es: diagramas de flechas e grafi- cos. Um terceiro método, emprestado dos cartégrafos, 6 um mapa de contorno, em que os pon- tos com elevagGes constantes sao ligados para formar curvas de contorno ou curvas de nivel. Definigéo As curvas de nivel de uma fungdo f de duas varidveis sio aquelas com equacao f (x, y) = k, onde k é uma constante (na imagem de f). Zz 7 at SQ — \ i g Xo | —-—s y A SS 4 ~< 3 d - i La i | > _— — \ . ie ae eRe = — ‘ } CO — Wi | | | | I yy | I Be % x | PN y kaa I) ) oN hs NOR Zee fix, y)=20 a0 aN FIGURA 11 FIGURA 12 DERIVADAS PARCIAIS 797 Uma curva de nivel f (x, y) = k € 0 conjunto de todos os pontos do dominio de fnos quais Visual 14.1 A apresenta uma o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde o grafico de f tem altura k. animagdo da Figura 11 ao mostrar as curvas Vocé pode ver na Figura 11 a relacdo entre as curvas de nivel e os cortes horizontais. As _de nivel sendo elevadas para os graficos curvas de nivel f (x, y) = k sao apenas cortes do grafico de f no plano horizontal z = k pro- _1@8 funsoes. jetados sobre o plano xy. Assim, se vocé tragar as curvas de nivel da fungao e visualizé-las elevadas para a superficie na altura indicada, poderé imaginar o grafico da fungao colocan- do as duas informagées juntas. A superficie sera mais inclinada onde as curvas de nivel esti- verem mais proximas umas das outras. Ela sera um pouco mais achatada onde as curvas de nivel estéo distantes umas das outras. Um exemplo comum de curvas de nivel ocorre em mapas topograficos de regides monta- nhosas, como o mapa da Figura 12. As curvas de nivel sao aquelas em que a elevacdo em rela- ¢4o ao nivel do mar é constante. Se vocé andar sobre um desses contornos, nem descera nem subira. Outro exemplo comum é a fungéo temperatura apresentada no pardgrafo inicial desta secao. Aqui as curvas de nivel sao chamadas curvas isotérmicas e ligam localidades que tém a mesma temperatura. A Figura 13 mostra um mapa de clima indicando as temperaturas médias do més de janeiro. Isotérmicas so as curvas que separam as bandas destacadas. : Ae ji es Be a . ae ee ae C J F 5 i PA : E oe m “Nighy ae en x = a a Ny — Som $ Et at es - = a ¢ nis ny a; Ss ’ ' FIGURA 13 = = > eS -= 7 : ae ny a Temperaturas médias ao nivel do mar Se ae Le : no més de janeiro, em graus Celsius i : an i ae! ce TARBUCK, EDWARD J.; TASA, DENNIS, ATMOSPHERE, THE: -- a ‘ 4 . AN INTRODUCTION TO METEOROLOGY , 11. ed. = a — : - - =. _ 5 © 2010. Impresso e reproduzido eletronicamente com i ot : ae permissao da Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ . y (SQN) Um mapa de contorno para uma funcio f é mostrado na Figura 14. Use-o para 5 50 TN estimar os valores de f (1, 3) ef (4, 5). LA | (eS x , 2 . ~ 4 ZN NIN SOLUCAO O ponto (1, 3) esta na parte entre as curvas de nivel cujos valores de z sio 70 e 80. AMAIA Estimamos que 3 | (\ (\ (~) 1,3)=73 AM 7) has LEY Da mesma forma, estimamos que f (4,5) = 56 — 1 IN 70 a pNe | [SYREN Esboce as curvas de nivel da funcdo f (x, y) = 6 — 3x — 2y para os valores 0) yo 3 4 5% k = —6,0, 6, 12. x 2 ~ FIGURA 14 SOLUCAO As curvas de nivel sao 6—3x-2y=k ou 3x + 2y + (k — 6) =0 y Essa é uma familia de retas com inclinago — 3. As quatro curvas de nivel particulares pedi- das com k = —6, 0, 6 e 12 so 3x + 2y — 12 = 0, 3x + 2y -6 = 0, 3x + 2y =Oe 3x + 2y + 6 = 0. Elas estao esbogadas na Figura 15. As curvas de nivel sAo retas paralelas, 7 igualmente espacgadas, porque o grafico de f é um plano (veja a Figura 6). wl\e« \n« \«” \ \ \ \ 2 Se “S \ \e (S320 Esboce as curvas de nivel da fungao g(x, y) = V9 — x? — y? para k= 0, 1, 2,3 FIGURA 15 Mapa de contorno de f(x, y) =6— 3x—2y | 798 CALCULO SOLUCAO As curvas de nivel sao V9 -x2-y2=k ou erty=9-k Essa é uma familia de circunferéncias concéntricas com centro em (0, 0) e raio /9 — k?. Os casos k = 0, 1, 2, 3 s4o mostrados na Figura 16. Tente visualizar essas curvas de nivel ele- vadas para formar uma superficie e compare com o grafico de g (um hemisfério) na Figura 7. (Veja a TEC Visual 14.1A.) *t K=3 | [| k=2 HSK k=1 (|r (3,0) x FIGURA 16 Mapa de contorno de gx 9) =V9 =x? = y? S70) Esboce algumas curvas de nivel da funcdo h(x, y) = 4x? + y+ 1. SOLUCAO As curvas de nivel sao x2 y 4° +y+1=k ou + — = 1 a(k — 1) k-1 Visual 14.1B demonstra a conexao 1 entre as superficies e seus mapas de con- © que, para k > 1, descrevem uma familia de elipses com semieixos 7x/k — le /k — 1.A torno. Figura 17(a) mostra um mapa de contorno de h desenhado por um computador. A Figura 17(b) apresenta essas curvas de nivel elevadas para o grafico de h (um paraboloide eliptico), onde elas se tornam os cortes horizontais. Vemos na Figura 17 como o grafico de h é mon- tado a partir de suas curvas de nivel. y cm if; \\ NG ; {) ‘ ee D \ /) is \\ Y} = y é formado levantando-se as curvas de nivel. (a) Mapa de contorno (b) Cortes horizontais s4o curvas de nivel elevadas = K 94520075) Trace as curvas de nivel da fungao de produgao de Cobb-Douglas do Exemplo 3. 300 SOLUCAO Na Figura 18 usamos o computador para desenhar um mapa de contorno da fun- ¢ao de produgao de Cobb-Douglas 200 P(L, K) = 1,01L°75K®?5 220 As curvas de nivel sao rotuladas com o valor da produgao P. Por exemplo, a curva de nivel 100 180 \ indicada com 140 mostra todos os valores da mao de obra L e do capital de investimento K 140 x _ 100 SX que resultam em uma producao de P = 140. Vemos que, para um valor fixo de P, L aumen- We tae K decresce e vice-versa. 7 Para alguns propositos, o mapa de contorno é mais util que um grafico. Certamente isto 100 200 300 L —& verdadeiro no Exemplo 13. (Compare a Figura 18 com a Figura 8.) Isso também é verda- FIGURA 18 deiro na estimativa dos valores da fungéo, como no Exemplo 9. DERIVADAS PARCIAIS 799 A Figura 19 apresenta algumas curvas de nivel geradas por computador juntamente com os graficos correspondentes. Observe que as curvas de nivel na parte (c) da figura aparecem muito amontoadas perto da origem. Isso corresponde ao fato de o grafico na parte (d) ser muito ingreme perto da origem. y Zz Zz (\ A KI NN K\ IN ALI NVTN\ fhi\\\ IKK HINTANY\ K\\\\ ANN TL QMS ANI UH mW sn 7 ZA ll Kan AZZ W/Z x ZAX\|\\ wf I] KoSS = * 0, assim, 0 dominio de f é D={(,y,2 € Rilz> y} Esse é um semiespaco que consiste em todos pontos que estéo acima do plano z = y. Ml E muito dificil visualizar uma fungi de f de trés varidveis por seu grafico, j4 que ele esta- ria em um espaco de quatro dimensGes. No entanto, obtemos certo conhecimento de fao exa- minar suas superficies de nivel, que sfo aquelas com equacoes f (x, y, z) = k, onde k é uma constante. Se o ponto (x, y, z) move-se ao longo de uma superficie de nivel, o valor ft (, y, Z) permanece fixo. [S02 055 Encontre as superficies de nivel da funcao. fO&YVD=P+y~te 800 CALCULO . e+yt22=9 SOLUCAO As superficies de nivel so x? + y? + 2?= k, onde k = 0. Elas formam uma fami- P4yt2=4 lia de esferas concéntricas com raio Vk. (Veja a Figura 20.) Assim, enquanto (x, y, Z) varia Z By TS sobre qualquer esfera com centro O, o valor de f (x, y, z) permanece fixo. = g SS ~ , ae . ~ LI SQ Fung6es com qualquer nimero de varidveis podem ser consideradas. Uma fun¢ao com UT y \ n variaveis é uma regra que associa um nimero z = f (%1, %, . ~~. , Xn) a uma n-upla [ ZAR 1A , . . A FERS) Y\) (X1, X2, ... , Xn) de nimeros reais. Denotamos por R" 0 conjunto de todas essas n-uplas. Por j Roy IP A exemplo, se uma companhia usa n ingredientes diferentes na fabricagéo de um produto ali- AL Lay y menticio, c; € o custo por unidade do i-ésimo ingrediente e x; unidades do ingrediente sao usadas; ent&o o custo total C dos ingredientes é uma funcfo das n varidveis x1, %2, .. Xn! x YA : = ee Xn) = + Hee $OnXn | eyed [3] C=f (x1, %, »Xn) = CX, + Cox2 CX FIGURA 20 A fungao de f é de valor real cujo dominio é um subconjunto de R”. Por vezes, usamos uma notacao vetorial para escrever estas fungdes de maneira mais compacta: Se x = (x1, x2, ...,4n), frequentemente escrevemos f (x) no lugar f (x1, %2, . .. , Xn). Com essa notagao, pode- mos reescrever a funcdo definida na Equag4o 3 como f(x) =e-x onde ¢ = (ci, C2,..., Cn) € € + X denota o produto escalar dos vetores c e x em V;. Em vista da correspondéncia de um-para-um entre os pontos (11, x2, ..., Xn) em R” e seus vetores posigao x = (x1, X2,..., X%,) em V,, temos trés maneiras de ver uma fungao f defini- da em um subconjunto de R”: 1. Como uma funcfo de n varidveis reais x), X2,.. . 5 Xn 2. Como uma fung4o de um tinico ponto n-dimensional (1%, x2, . . . , Xn) 3. Como uma fungao de um tinico vetor n-dimensional x = (x1, X2, . . . 5 Xn) Veremos que todos os trés pontos de vista sao Uteis. 141 Exercicios 1. No Exemplo 2 consideramos a fungao W = f(T, v), onde W era TABELA 3 o indice de sensacao térmica, T é a temperatura real, e uv é a ve- Temperatura aparente como funcao da temperatura e da umidade locidade do vento. A representag&o numérica foi fornecida pela Umidade relativa(%) Tabela 1. (a) Qual é 0 valor de f (—15, 40)? Qual é 0 seu significado? “pt 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 (b) Descreva em palavras o significado da questao “Para quais ) Deserev 0 isn (c) Descreva 0 significado da questao “Para quais valores de 5 questao. = (d) Qual o significado da fungaéo W = f (—5, v)? Descreva seu & comportamento. . 40 43 47 51 55 59 63 (e) Qual o significado da fungio W = f (T, 50)? Descreva seu 40 ar st | ss | 9 | os | t to. Lo, comporramento (a) Qual é o valor de f (35, 60)? Qual é 0 seu significado? 2. O indice I de temperatura-umidade (ou simplesmente humidex) (b) Para que valor de h temos f (30, 1) = 36? é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real é T e (c) Para que valor de T temos f (T, 40) = a2? a umidade relativa é h, de modo que podemos escrever (d) Quais sao os significados das fungdes J = f (20, h) e I = f(T, h). A tabela seguinte com valores de J foi extrafda de 1 = f (40, h)? Compare o comportamento dessas duas fun- uma tabela do Environment Canada. goes de h. E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homeworks Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 801 3. Um fabricante modelou sua fungao P da produgao anual (0 valor caixa pequena, $ 4,00 para uma caixa média e $ 4,50 para uma monetario de toda a produg4o em milhdes de délares) como uma caixa grande. Os custos fixos sao de $ 8.000. fungao de Cobb-Douglas (a) Expresse o custo da fabricagao de x caixas pequenas, y cai- P(L, K) = 1,47L°K®#5 xas médias e z caixas grandes como uma fungao de trés va- , , . , ridveis: C = f (x, y, Z). onde L é o nimero de horas trabalhadas (em milhares) e K é 0 . capital investido (em milhGes de délares). Encontre P(120, 20) (b) Encontre f(3 000, > 900, 4 000) e interprete-a. . (c) Qual 0 dominio de f? e interprete-o. 4. Verifique se, para a fungfo de produgio de Cobb-Douglas 9. cd we ) oS + 2y). _ 510, a cule g(2, —1). PCL, K) = 1,01L0 °K (b) Determine 0 dominio de g. discutida no Exemplo 3, a produgao dobrara se as quantidades de (c) Determine a imagem de g. trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma fungao de produc4o genérica 10. SejaF@y)=1+ V4—y. _ (a) Calcule F (3,1). = aKl-a P(L, K) = bL*K (b) Determine e esboce 0 dominio de F. . oe . (c) Determine a imagem de F. 5. Um modelo para a area da superficie de um corpo humano é dado pela fungao 1. Sejafix,y,2 = Ve t+ Vy + Vz t+In4-r-y- 2). (a) Calcule f (1, 1, 1). _ h) = 0.1091 w425h9725 : . S= fw, h) = 0,109 Iw (b) Determine 0 dominio de f. onde w é 0 peso (em libras), h é a altura (em polegadas) e S é medida em pés quadrados. 12. Sejaga.yz =x yzVl0-x-y-z. (a) Encontre f (160, 70) e interprete-a. (a) Calcule g(1, 2, 3). (b) Qual é sua propria area de superficie? (b) Determine 0 dominio de g. 6. O indicador de sensagao térmica W discutido no Exemplo 2 foi 13-22 Determine e esboce 0 dominio da fungao. modelado pela seguinte fungao: () 13. X,y)= Vx + 14. f(x,y) = Vx W(T, v) = 13,12 + 0,6215T — 11,37v°!® + 0,3965Tv%!® Posy » fey) » Verifique qudo pr6ximo este modelo esta dos valores da Tabela 15. fy) =mMO-x2-9y) 16 f(x,y) = Ver -—y 1 para alguns valores de Te v. ; 17. fix y= JI -* -V1-y¥ 7. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do ; vento u e do tempo ¢ durante o qual 0 vento se manteve naquela 18. fix,y) = vy + V25— 3 —y intensidade. Os valores da funcgdo h = f (v, t), dados em metros, vy — x? sao apresentados na Tabela 4. 19. flxy) = l-x (a) Qual é o valor de f (80, 15)? Qual é 0 seu significado? (b) Qual o significado da fungao h = f (60, 1)? Descreva seu 20. f(x, y) = arcsen(x? + y? — 2) comportamento. (c) Qual o significado da fungéo h = f (v, 30)? Descreva seu 21. f(x,y,2z) = Vl — x? — ye = 2? t to. comportamento 22. f(x,y, 2 = In(16 — 42 — 4y?— 2) Duragao (horas) 23-31 Esboce o grafico da fungao. Se» [= [= T= 23. f(x, y)=1+y 24. f(x,y) =2-x Z| 06 | 06 | 96 | 06 | 06 | 06) 06 § 25. f(x, y) = 10 — 4x — Sy 2. f(x,y) =e” Sofie | us| is) ua | ss] ae) 10 ° 2 27. fy =yt1 28. f(x, y) = 1 + 2x + 2y° Fla is[ae) ae) asl ar an ae) BPEIM fin V ae ° ; —9_— »_— 0,2 _— 24 y2 ST an | ao | a) sa] ae] sa) a9) MFOIS OE f= VEEP Ss * = — — S 32. Faca uma correspondente entre a funcdo e seu grafico (identifi- cado por I-VI). Justifique sua escolha. Sree a [ee ee [om |e as) ea ye 1 _ , = (2 — y2)2 8. Uma empresa fabrica caixas de papelao de trés tamanhos: pe- (FG y) Ltx2+y? DFG, y) = Gy) uena, média e grande. O custo é de $ 2,50 para fabricar uma . 4 . P (©) f(y) = @ = yp (FG y) =sen(lxl + ly) 802 CALCULO I : I : uma fung4o de profundidade e da época do ano. Estime a tempe- ratura do lago em 9 de junho (dia 160) em uma profundidade de AX \ 10 me em 29 de junho (dia 180) em uma profundidade de 5 m. NY 0 | 1246 20 e 8 x y x y & 5 3 3 20 16 Il Zz IV Zz g 10 12 — g jae (Xi NY 15 DYNA y 120 160 200-240-280 * x y Dia de 1998 Vv z VI Z 36. Dois mapas de contorno séo mostrados na figura. Um é de uma fung¢4o f cujo grafico é um cone. O outro é de uma fungao g cujo grafico é um paraboloide. Qual é qual? Por qué? ESS I Yf73 y \ II Y YY x y x y x x 33. Um mapa de contorno de uma fung4o f é apresentado. Use-o para estimar os valores de f (—3, 3) ef (3, —2). O que vocé pode WS Y SS YW dizer sobre a forma do grafico? \ Y \ / p==e 37. Localize os pontos A e B no mapa da Montanha Solitaria (Fi- LIAL LL EN, EA gura 12). Como vocé descreveria 0 terreno perto de A? E perto Porc - AEE HH 38. Faca um esboco de um mapa de contorno da fungfo cujo grafico L—T™ . HAL 60 50 40 esta mostrado. AIT TET AY : NAAAPOAZE 304 SSS heSESEET TT 19 R r— + — 4 7 | ANN nN HN 34. Um mapa de contorno da pressaéo atmosférica na América do INN Norte é mostrado em 12 de agosto de 2008. Nas curvas de nivel (chamadas isobaricas) a pressao é indicada em milibares (mb). Y (a) Estime a pressio em C (Chicago), N (Nashville), S (Sao Francisco) e V (Vancouver). (b) Em quais desses lugares os ventos eram mais fortes? * 39-42 Um mapa de contorno de uma funga4o é mostrado. Use-o para fazer um esbo¢o do grafico da f. 39. y 40. y 14 13 8 J; 12 “A u . 1) GN 4 WC x Xs 35. As curvas de nivel (isotérmicas) so mostradas para a tempera- tura da 4gua (em °C) em Long Lake (Minnesota) em 1998 como DERIVADAS PARCIAIS 803 a. y 42. tém a mesma temperatura. Faca o esboco de algumas isotérmi- SEE ” cas se a funcao temperatura for dada por 3 ; T(x, y) 100 _ x, y) = —————— 5 ae y 1l4+x+ 2y 0, 1 2! 54. Se V(x, y) €0 potencial elétrico em um ponto (x, y) no plano xy, 0 0 4 (5 x entao as curvas de nivel de V séo chamadas curvas equipoten- 2 3 ciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elé- 0 : trico 6 o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de * V(x, y) = c//r? — x? — y?, onde c é uma constante positiva. a | 55-58 Utilize um computador para tragar o grafico da fungao usando 43-50 Facga o mapa de contorno da fungaéo mostrando varias curvas varios dominios e pontos de vista. Imprima a que; em Sua OPIniad, de nivel oferece a melhor viséo. Se seu programa também produz curvas de , nivel, trace o mapa de contorno da mesma fun¢4o e compare. 43. f(x, y) = (y — 2x)? 4. fix,y)=xe-y 55. f(x, y) = xy’ — x (sela do macaco) = yd — 373 45. fix, y) = Va ty 46. f(x,y) = InGe2 + 4y°) 56. f(x,y) ny » (sela do cachorro) 57. fix, y) = @& © *(sen(a*) + cos(y’)) 47. f(x,y) = ye 48. f(x,y) =ysecx 58. f(x, y) = cos xcos y 49. f(x,y) = vy? — x° 50. f(x, y) = WP + y") 59-64 Faca uma correspondéncia entre a fun¢ao (a) e seu grafico 51-52 Faga o esbogo do mapa de contorno e do grafico da fungio e ae EVD P I siifgte can eccolha, seus mapas de contorno (indicado compare-os. . , 51. f(x,y) =x + Oy? 52. f(x, y) = /36 — 9x? — 4y? 59. z= sen (ay) 60. z= e'cos y 2 - 62. <= - 53. Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem tempera- 61. z= sen (x — y) z= senx seny tura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nivel de T séo chama- -(— _y —~_*7y 6. z=(1-x\1-y) 64 2 —— das isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas L+x°+y A Z B Z Cc Z IW Sa iw SSS HWW Py x ION D Zz E Zz F Zz 5 A ZX \\ 5 EN AX =a EXSY ip : Sy HAYS IEL NY igen Ws * SS PC SIN ‘ Yie® Was POSTE iim . xe WUE CY > x y IS I Il Ill y y y Yi OZOx | - OO Zi, OXOxX Y YWE-SBErWV LES (fj Ox 0x0) //, OXOxX« OXOXO 804 CALCULO IV y Vv y VI y —_-_~_ >> / Y; W ee 2) \ —Kata< @ x —Yyi/- x x SEE / \\ ( 65-68 Descreva as superficies de nivel da fungao. 76. Use um computador para investigar a familia de superficies = -y-y" 65. f(y.) =x + 3y +5¢ z= (ae + byes Como a forma do grafico depende dos nimeros a e b? 66. fi, y,z) =x + 3y + 52 FG y, 2) » 77. Use um computador para investigar a familia de superficies 67. fi. yD=y~P+2 z= x? + y? + cxy. Em particular, vocé deve determinar os va- lores de transig&o de c para os quais a superficie muda de um 68. fy ga=r-y-—2 tipo de superficie quadrica para outro. 69-70 Descreva como o grafico de g é obtido a partir do grafico de f. 78. Faga o grafico da funcao f(x,y) = Vx? + y? 69. (a)g@ y) =f, y) +2 (b) g(x, y) = 2 f (, y) = vet (©) gx, y) = FC. ») (@) gi, y) = 2-fesy) [ae S(x,y) = Invx? + y? 70. (a) g(x, y) =f (x — 2, y) (b) g(x, y) = f(x, y + 2) f(x, y) = sen(/x? + y?) (c) glx, y) = f(x + 3,9 — 4) 4 71-72 Utilize um computador para tragar o grafico da fungao © FO y) = [x2 + y? usando varios dominios e pontos de vista. Imprima aquela que apre- . . . sente melhor os “picos e vales”. Vocé acha que essa fun¢ao tem um Em geral, se g(t) € uma fun¢ao de uma varidvel, como obter o valor méximo? Vocé poderia identificar os pontos do grafico corres- grafico de pondentes aos “maximos locais”? E aos “minimos locais”? fiuy) = gls /x?2 + y? ) Nh. f(y) = 3x —x¢— 4y?= 10xy a partir do grafico de g? 1 79. (a) Mostre que, tomando logaritmos, a funcao geral de Cobb- 72. f(x,y) = xye* co -Douglas P = bL*K'~* pode ser expressa como 4 73-14 Utilize um computador para tragar o grafico da fungdo P L a a : In= = 1nd + aln— usando varios dominios e pontos de vista. Comente 0 comporta- K K cite dla ne 0 limite. ° que vando (x ee ve y se hod (b) Se deixarmos x = In(L/K) e y = In(P/K), a equacdo no item mut . grandes due acontece quando (> Y) Se APrOXina Ca OF- (a) torna-se a equacao linear y = ax + In b. Use a Tabela 2 gem (no Exemplo 3) para fazer a tabela dos valores de In(L/K) e B. f(x,y) = * + a m4. f(x.y)=—5 xy ; In(P/K) para os anos 1899-1922. Em seguida, use uma cal- x+y xo +y culadora grafica ou o computador para encontrar a linha de regressao dos quadrado minimos pelos pontos (In(L/K), AE 75. Use um computador para investigar a familia de funcdes In(P/K)). f(y) =e". De que maneira a forma do grafico depende de c? (c) Deduza que a fung4o de produgéo de Cobb-Douglas é P = 1,01L°>k°*>. 142) Limites e Continuidade Vamos comparar 0 comportamento das fun¢gdes sen(x? + y’) x? —y? x,y) = e x,y) => f(x, y) ay g(x, y) pry quando x e y se aproximam de 0 [e, portanto, 0 ponto (x, y) se aproxima da origem]. As Tabelas | e 2 mostram valores de f (x, y) e g(x, y), com precisdo de trés casas deci- mais, para pontos (x, y) proximos da origem. (Observe que nenhuma das fungoes esta defi- nida na origem.) DERIVADAS PARCIAIS 805 TABELA 1 Valores de f (x, y) TABELA 2 Valores de g(x, y) lobe beleTefeta) hes peps fe pepe 0,455 | 0,759 | 0,829 | 0,841 | 0,829 | 0,759 | 0,455 0,000} 0,600) 0,923] 1,000 0,923 0,600 0,000 0,759 | 0,959 | 0,986 | 0,990 | 0,986 | 0,959 | 0,759 —0,600} 0,000} 0,724] 1,000 | 0,724] 0,000 | —0,600 0,829 | 0,986 | 0,999 | 1,000 | 0,999 | 0,986 | 0,829 —0,923 | —0,724] 0,000] 1,000 | 0,000 | —0,724 | —0,923 | o | 0,841 | 0,990 | 1,000 | | 1,000 | 0,990 | 0,841 | o | —1,000 | —1,000 | —1,000 | | —1,000 | —1,000 | —1,000 0,829 | 0,986 | 0,999 | 1,000 | 0,999 | 0,986 | 0,829 —0,923 | —0,724] 0,000] 1,000 | 0,000 | —0,724 | —0,923 0,759 | 0,959 | 0,986 | 0,990 | 0,986 | 0,959 | 0,759 —0,600} 0,000} 0,724] 1,000 | 0,724] 0,000 | —0,600 0,455 | 0,759 | 0,829 | 0,841 | 0,829 | 0,759 0,000] 0,600] 0,923] 1,000 | 0,923] 0,600) 0,000 Parece que, quando (x, y) se aproxima de (0, 0), os valores de f (x, y) se aproximam de 1, ao passo que os valores de g(x, y) nao se aproximam de valor algum. Essa nossa observacgao baseada em evidéncias numéricas esta correta, e podemos escrever . sen(x? + y’) . eam yo lim —,—>— =1 e lim ———, nao existe (uy) 00 x7 ty (40,0) x° + y Em geral, usamos a notagao lim xy =L (x, y)> (a, b) fl ») para indicar que os valores de f (x, y) se aproximam do nimero L 4 medida que o ponto (x, y) se aproxima do ponto (a, b) ao longo de qualquer caminho que esteja no dominio de f. Em outras palavras, podemos fazer os valores de f (x, y) tio pr6ximos de L quanto quisermos tornando o ponto (x, y) suficientemente préximo do ponto (a, b), mas nao igual a (a, b). Uma definicgéo mais precisa é a seguinte: [1 Definigdao Sejafuma fun¢gao de duas variaveis cujo dominio D contém pontos ar- bitrariamente préximos de (a, b). Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é Le escrevemos lim xXxy=L (x, y)>(@, b) ft ») se para todo nimero e > 0 houver um numero correspondente de 6 > 0 tal que se(x,y) ED e 0 L as (x, y) > (a, b) I Observe que |f (x, y) — L| corresponde a distancia entre os nimeros f(x, y) e L, e (x — a)? + (y — b)? €a distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (a, b). Assim, a Definicao 1 diz que a distancia entre f (x, y) e L pode ser feita arbitrariamente pequena se tomarmos a y z 2 Lt+e (x,y) L (a,b) f Lt+e 0 ‘ on x L-e | | | 0 ry 0 x Ss Ds y (a, b) FIGURA 1 FIGURA 2 806 CALCULO distancia de (x, y) a (a, b) suficientemente pequena (mas nao nula). A Figura | ilustra a Defi- nicdo 1 por meio de um diagrama de setas. Se qualquer intervalo pequeno (L — «,L + e) for dado em volta de L, poderemos encontrar um disco D; com 0 centro em (a, b) e raio 6 > 0 tal que f mapeia todos os pontos em Ds; [exceto, possivelmente, (a, b)] no intervalo (L—e,L+ ©). Outra ilustragdo da Definicado 1 é dada na Figura 2, onde a superficie S é 0 grafico de f. Se e > 0 for dado, podemos achar 6 > 0 tal que se (x, y) for restrito ao disco Ds e (x, y) # (a, b), entao a parte correspondente de S fica entre os planos horizontais z = L — e ez=Lte. Para as fungdes de uma Unica varidvel, quando fazemos x tender a a, s6 existem duas diregdes possiveis de aproximagao: pela esquerda ou pela direita. Lembremos a partir do Capitulo 2 que se lim,—,- f(x) ¥ lim,—.+ f (x), entao lim,—, f(x) nao existe. Ja para as fungoes de duas varidveis essa situagdo nao é tao simples porque existem infi- nitas maneiras de (x, y) se aproximar de (a, b) por uma quantidade infinita de diregdes e de qualquer maneira que se queira (veja a Figura 3), bastando que (x, y) se mantenha no domi- > nio de f. A Definigao | diz que a distancia entre f (x, y) e L pode ser feita arbitrariamente peque- bL---—= na se tomarmos a distancia de (x, y) para (a, b) suficientemente pequena (mas nao nula). A | defini¢ao refere-se somente a distancia entre (x, y) e (a, b). Ela nao se refere 4 diregdo da 0 a * abordagem. Portanto, se o limite existe, f (x, y) deve se aproximar do mesmo valor-limite, independentemente do modo como (x, y) se aproxima de (a, b). Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de aproximacgado ao longo dos quais f (x, y) tenha limites diferentes, FIGURA 3 segue entao que lime, y) — (a, » f (x, y) nao existe. Se f (x, y) = Li quando (x, y) — (a, b) ao longo do caminho C; e f (x, y) + Ly quan- do (x, y) > (a, b) ao longo do caminho C2, com L; # Ln, entdo lime, y > @» f (x, y) nao existe. x2 y? SASiJE0T Mostreque lim ———, nao existe. (60.0) x7 + y SOLUCAO Seja f (x, y) = G2 — y’W(x? + y). Primeiro vamos considerar (0, 0) ao longo do y eixo x. Entéo y = 0 da f (x, 0) = x°/x? = 1 para todo x ¥ 0, portanto fa-t fay) 1 quando (x, y) = (0, 0) ao longo do eixo x Agora vamos nos aproximar ao longo do eixo y, colocando x = 0. Entao f=l * f(O, y) = as = —1 para todo y ¥ 0, portanto y f (x, y) ~ —1 quando (x, y) — (0, 0) ao longo do eixo y (veja a Figura 4). Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite nao existe. (Isso confirma a conjectura que fizemos com base na evidéncia numérica no ini- FIGURA 4 . ~ cio desta secao.) 7 SEYROY Se f(x, y) = xy/e + y’), serd que (Lig, of Os y) existe? SOLUCAO Se y = 0, entdo f (x, 0) = 0/x* = 0. Portanto, Ff, y) 0 quando (x, y) = (0, 0) ao longo do eixo x Se x = 0, entao f (0, y) = O/y? = 0, portanto y yaw f@,y)—0 quando (x, y) — (0, 0) ao longo do eixo y f=0 f= 5 Apesar de termos encontrado valores idénticos ao longo dos eixos, nado podemos afirmar que o limite exista e seja 0. Vamos agora nos aproximar de (0, 0) ao longo de outra reta; por f=0 x exemplo, y = x. Para todo x # 0, x? 1 x, x) => ET FO») etx 2 FIGURA 5 DERIVADAS PARCIAIS 807 Portanto fay) 5 quando (x, y) — (0, 0) ao longo de y = x (Veja a Figura 5.) Como obtivemos valores diferentes para o limite ao longo de caminhos diferentes, podemos afirmar que o limite dado no existe. 7 A Figura 6 nos da uma ideia do que acontece no Exemplo 2. A cumeeira que ocorre acima da reta y = x corresponde ao fato de que f (x, y) = 5 para todos os pontos (x, y) dessa reta, exceto na origem. Z y ZEEE BERRY EY EK? LO NS x FIGURA 6 = ty f(x, y) we+y? xy? Se f(x, y) = >=. Sera que _ lim xX, y) existe? SEINE Se f(s, 9) =F" send que im, £09) SOLUCAO Com a Solucg&o do Exemplo 2 em mente, vamos tentar economizar tempo dei- xando (x, y) — (0, 0) ao longo de qualquer reta nao vertical através da origem. Tomemos y = mx, onde m é a inclinagao da reta e x(mx)y* mx? mx f(x, y) = f(x, mx) = +m etm Lame A Figura 7 mostra 0 grafico da fungao do Exemplo 3. Observe a cumeeira sobre a pa- Portanto fy) 0 quando (x, y) — (0, 0) ao longo de y = mx Logo, f tem o mesmo limite ao longo de qualquer reta nao vertical que passe pela origem. 05 gill Mas isso ainda nao garante que o limite seja 0, pois, se tomarmos agora (x, y) — (0, 0) ao BE el longo da parabola x = y’, teremos z 0 lg Uiienaratt a 7 4 05 AS tn 072 2 yoy y ! 0, 5 2” y X, = ; =S — = = 0 2 FO y) = f(y, y) Gp ty aye 2 ‘ Portanto f (x, y) = 5 quando (x, y) — (0, 0) ao longo de x = y” FIGURA 7 Como caminhos diferentes levaram a resultados diferentes, 0 limite nao existe. | Vamos agora olhar 0 caso em que 0 limite existe. Como para a fungao de uma tunica varia- vel, o calculo do limite de fungdes com duas varidveis pode ser muito simplificado usando- -se as propriedades dos limites. As Propriedades do Limite listadas na Segao 2.3, no Volume I, podem ser estendidas para as fungdes de duas variaveis: 0 limite da soma é a soma dos limites; o limite do produto é 0 produto dos limites; e assim por diante. Em particular, as seguintes equag6es sdo verdadeiras: [2] lim x=a lm y=b lim c=c (x, y)>(@, b) (x, y)>(@, b) (x,y) >(@, b) O Teorema do Confronto também vale. ; 3x* aa: (SQM Ache lim > se existir. (x.y) >0,0) x? + y SOLUCAO Como no Exemplo 3, podemos mostrar que 0 limite ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem é 0. Isso nao prova que o limite seja 0, mas o limite ao longo das para- bolas y = x* e x = y’ também obtemos o limite 0, portanto comegamos a suspeitar que o limite existe e é igual a 0. 808 CALCULO Seja e > 0. Queremos encontrar 6 > 0 tal que «| oxy se O (a, b) Dizemos que f é continua em D se f for continua em todo ponto (a, b) de D. O significado intuitivo de continuidade é que, se o ponto (x, y) varia por uma pequena quantidade, o valor de f (x, y) variara por uma pequena quantidade. Isso quer dizer que a superficie que corresponde ao grafico de uma fun¢4o continua nao tem buracos ou rupturas. Usando as propriedades de limites, podemos ver que soma, diferenga, produto e quo- ciente de fung6es continuas sao continuos em seus dominios. Vamos usar esse fato para dar exemplos de fung6es continuas. Uma func¢ao polinomial de duas variaveis (ou simplesmente polindmio) é uma soma de termos da forma cx”y", onde c é uma constante e m e n sao nimeros inteiros nao negativos. Uma fungao racional é uma razdo de polinémios. Por exemplo, fy) = x4 + S5xy? + 6xy?— Ty + 6 é um polinémio, ao passo que (x,y) 2xy + 1 x,y) = > y\% Y ety é uma funcao racional. Os limites em |Z] mostram que as funcoes f (x, y) = x, g(x, y) = y e h(x, y) = c sao con- tinuas. Como qualquer polinémio pode ser obtido a partir das funcdes f, g e h por multipli- cacio e adic&o, segue que todos os polindmios sdo funcdes continuas em R*. Da mesma forma, qualquer fungaéo racional é continua em seu dominio, porque ela é 0 quociente de fun- ces continuas. EXEMPLO 5 Calcule | lim (x*y? — x4y? + 3x + 2y). x,y) (1,2 DERIVADAS PARCIAIS 809 SOLUCAO Como f (x, y) = x? y> — xy? + 3x + 2y € um polinémio, ela é continua em qual- quer lugar, portanto podemos calcular seu limite pela substitui¢ao direta: ( lim (wy? = xy? + 3x + 2y) = 1+ 2° — 13-2?+3-14+2-2=11 om x,y) (1, 2) xR y? (SQ Onde a funcdo f(x, y) = Day € continua? x Ty SOLUCAO A fungao f é descontinua em (0, 0), pois ela nao estd definida nesse ponto. Como f € uma fungao racional, ela é continua em seu dominio, o que corresponde ao conjunto D = {(x, y)I@, y) 4 (0, O)}. = EXEMPLO 7 JaNr 2_ 12 XY se (x,y) ¥ (0,0) g(x,y) = yx? + y? 0 se (x, y) = (0, 0) Aqui g esta definida em (0, 0), mas g ainda é descontinua porque lim(,, y)—.¢,0) g(x, y) nao existe (veja o Exemplo 1). | aR = Seja 2 3x"y se (x, y) # (0, 0) A Figura 8 mostra 0 grafico da funcao con- f(x, y) = xe + y? tinua do Exemplo 8. 0 se (x, y) = (0, 0) 2 Sabemos que fé continua para (x, y) ~ (0, 0), uma vez que ela é uma fungao racional definida Le nessa regiao. Do Exemplo 4, temos que CIS MEE LOSS ILLLT LESSEE (x,y) ey (0,0) Meir» lim x,y) = lim =0=f/(0,0 SO . bot I ey) 0,0) 2 + y? f NY * Portanto f é continua em (0, 0) e, consequentemente, continua em R’. | Como para as fung6es de uma variavel, a composicao é outra maneira de combinar fungdes FIGURA 8 continuas para obter outra também continua. De fato, pode ser mostrado que, se f é uma fun- cao continua de duas varidveis e g é uma fungado continua de uma tnica varidvel definida na imagem de f, a fun¢4o composta h = g° f definida por h(x, y) = g(f @, y)) também é continua. SSS SE (SQM Onde a funciio A(x, y) = arctg(y/x) é continua? 2 SS FLL ~ . . LT ALA SOLUCAO A fungao f (x, y) = y/x é racional e, desse modo, continua em todo lugar, exceto sobre —z 0 =. Z wee SS Zz areta x = 0. A funcgao g(t) = arctg t é continua em toda parte. Logo, a fungaéo composta LIK —2 —2 <7 1 g(f (x, y)) = arctgQy/x) = h(x, y) —2 > f ~~ x é continua, exceto onde x = 0. O desenho da Figura 9 mostra a ruptura existente no grafico y? 1 1 da fungao h acima do eixo y. | 22 ~ n . wee FIGURA 9 M0 Funcées de Trés ou Mais Variaveis - _ A fungao A(x, y) = arctg (y/x) Tudo o que fizemos até aqui pode ser estendido para as fungdes com trés ou mais varidveis. _ é descontinua, onde x = 0. A nota¢ao lim x,y, z)=L (x, y, 2) > (a, b, ©) fl y ) significa que os valores de f (x, y, z) se aproximam do numero L a medida que o ponto (x, y, Z) se aproxima do ponto (a, b, c) ao longo de qualquer caminho que esteja no dominio de f. Como a distancia entre dois pontos (x, y, z) e (a, b, c) em R? é dada por (x — a)? + (y — b)? + (z — c)?, podemos escrever a definic&o precisa da seguinte forma: para todo nimero « > 0 existe um nimero correspondente 6 > 0 tal que se (x, y, z) esta no dominio de fe 0 < V(x — a)? + (y— b)? + (2 -c)? <6 entio | f(x,y,z) —L| (a, b,c) Por exemplo, a fungao 1 x, y, Z) = > FC y, 2) rtyt27—-)1 é uma fungao racional em trés varidveis, e portanto é continua em todo ponto de R°, exceto onde x? + y* + z?= 1. Em outras palavras, é descontinua na esfera com o centro na origem e raio |. Se usarmos a nota¢ao vetorial introduzida no fim da Segao 14.1, poderemos escrever as definigdes de limite para as fungdes de duas ou trés varidveis de uma forma compacta, como a seguir. [5] Se f é definida em um subconjunto D de R’, entao lim,_.4f (x) = L significa que para todo numero ¢ > 0 existe um numero correspondente 5 > 0 tal que sex € De 0 < |x — al <6, entio [f(x) — L| 10. lim —,——> ~ . : (0,0) x*° + 2y (0,0) 2x" + y (a) A temperatura externa como fungao da latitude, da longitude XY COS xy — edo tempo. "1. lim aes 12. lim yy (b) A altura acima do nivel do mar como fungio da longitude, da (90.0 3x° + y (my. (x — I + y latitude e do tempo. xy xi —y4 i Axi a istanci - B in 4. lm ——,> (c) O custo da tarifa do taxi como fung4o da distancia percor. (3) 200.0) x2 + y? (sy) (0,0) x? + y? rida e do tempo gasto. ty + 3-4 Utilize uma tabela de valores numéricos de f (x, y) para (x, y) 15. lim x yer 16. lim — : ° wee »y)P y (x00) x4 + 4y? (ny @0) x? + 2y? perto da origem para conjecturar sobre o limite de f (x, y) quando 5 5 4 (x, y) — (0, 0). Em seguida, explique por que sua conjectura esta 17 lim xity 18. lim xy correta. (4900) Jx2 +y2+ 1-1 (xy) 0,0) x? + y8 2,,3 3,,2 xy) + xy — 5 2xy xy + yz 3 f(x,y) = =. 4. f(x. ) = = Y ce 2—xy x? + 2y? 19. od, 1 e” tg(xz) 20. coy EM 0.0) etyt+7 5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite nao : xy + yz? + xz° . yz . 21. lim — ay 2 22. lim Ta existe. (wyJ>0,00) X° ty +z (xy. 0,00) x° + 4y° + 9z 5. lim (5x° — xy?) 6. lime cos(x + y) 4 23-24 Utilize um grafico feito por computador para explicar por que (02) @yeaed o limite nao existe. 4-x l+y? 2 2 3 lim —— 8 lim Inf ——— 93. lm oe Og im = (ay>AD xo + By (sy>0,0) XT +b xy (x,y) (0,0) 3x* + Sy? (0,0) x7 + y® E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 811 25-26 Determine h(x, y) = g( f(x, y)) € 0 conjunto no qual / é continua. 39-41 Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se (r, 8) sAo as coordenadas polares do ponto (x, y) com r = 0, observe 25. gt=P+ Vt, f(y) = 2x + 3y —6 que r — 0* quando (x, y) — (0, 0).] I~ xy . ety . =t+ " => 39. 1 >= 2% g=1t+int f(xy) 1+ x?y? (90,0) x24 y? as 40. lim = (x? + y*) In(@x? + y’) FY 21-28 Trace o grafico da fungdo e observe onde ela é descontinua. (29> O.9) ; Em seguida, utilize a férmula para explicar 0 que vocé observou. . e**—1 41. lim = ——— 1 (ny) 0,0) x? + y 27. f(x,y) = el-» 28. f(x, y) = ——.—> a 1-x°'-y O82. No inicio desta segiio consideramos a fungdo 29-38 Determine o maior conjunto no qual a fungao é continua. f(xy) sen(x? + y?) x, y) = > 29. Pls y) = oy 30. F(x, y) =cos /1 +x — y ety? oe e conjecturamos que f (x, y) > 1 quando (x, y) — (0, 0) com base 31. F(ny) = lt+x?+y? 32. H(x,y) = ete em evidéncias numéricas. Utilize coordenadas polares para com- ; 1-—x?-y? , e-—1 Fg provar o valor do limite. Em seguida, faca o grafico da funcao. 43. Trace o grafico e analise a continuidade da fun¢4o 33. G(x, y) = InQ@’ + y’— 4) sen xy . —— se xy #0 34. GO, y) = tg (at y)?) f(xy) = xy . 1 se xy = 0 35. f(x, y, z) = arcsen (x7 + y? + 2’) 44. Seja 0 sey <0 or y>x* — Fa») = 1 seQ 5s d_ ITT a0 h h—0 h Podemos aproximar seu valor usando a Tabela 1 e tomando h = 2 e —2: , g(32) — g(30) f(32, 60) — f(30,60) 42 — 38 g'(30) = 5+ 2 2 2 2 28) — g(30 28, 60) — f(30, 60 35 — 38 10) ~ 228) = 980) ___F28, 60) = (30, 60) _ “45 —2 —2 —2 Calculando a média desses valores, podemos dizer que a derivada g’(30) é aproximadamen- te 1,75. Isso significa que, quando a temperatura real é 30 °C e a umidade relativa € 60%, a temperatura aparente (humidex) aumenta cerca de 1,75 °C para cada grau que a temperatu- ra real sobe. Olhemos agora para a linha sombreada da Tabela 1, que corresponde a temperatura fixa de T = 30 °C. Os ntmeros nesta linha sao valores da fungao G(H) = f (30, H), que descreve como o humidex aumenta a medida que a umidade relativa H aumenta quando a temperatu- ra real € T = 30 °C. A derivada dessa fungao quando H = 60% € a taxa de variagao de J com relacao a H quando T = 60%: G(60 + h) — G(60 30, 60 + h) — f(30, 60 G'(60) = tim LOOM = (60) _ fl ) = £30, 60) a0 h h—0 h Tomando h = 5 e —5, aproximamos o valor de G'(60) usando os valores tabelados: G(65) — G(60 30, 65) — f(30, 60 40 — 38 G'(60) ~ G69) = G60) __f(30. 65) = F(30, 60) _ -o4 5 5 5 G(55) — G(60 30, 55) — f(30, 60 37 — 38 G'(60) ~ 295) = G60) __ F130. 55) = F30. 60) _ _ 02 —5 —5 —5 Ao calcularmos média desses valores, obtemos a estimativa G’(60) ~ 0,3. Isso nos diz que, quando a temperatura é de 30 °C e a umidade relativa é de 60%, o humidex aumenta em cerca de 0,3 °C para cada ponto percentual que a umidade relativa aumenta. Em geral, se f €é uma funcao de duas varidveis x e y, suponha que deixemos somente x variar enquanto mantemos fixo o valor de y, por exemplo, fazendo y = b, onde b é uma cons- tante. Estaremos entéo considerando, realmente, uma fungao de uma Unica varidvel x, a saber, g(x) = f (x, b). Se g tem derivada em a, nds a chamaremos derivada parcial de fem relacéo a x em (a, b) e a denotaremos por f(a, b). Assim, [1] fila, b)= gia) onde gx) = f (x, b) Pela definigao de derivada, temos (a) = lim gla + h) — g(a) g h>0 h e assim a Equagao | torna-se +h, b) — fla, b a fila, b) = fim LEA RO) LG.) DERIVADAS PARCIAIS 813 Da mesma forma, a derivada parcial de f em relacao a y em (a, b), denotada por f,(a, b), é obtida mantendo-se x fixo (x = a) e determinando-se a derivada em b da funcio GW) = f(a, y): _,.. fla,b + h) — f(a, b) [3] f(a, b) = lim h Com essa notacao para as derivadas parciais, podemos escrever as taxas de variacao do humidex J com relag4o a temperatura real T e umidade relativa H quando T = 30 °Ce H = 60% como segue: F130, 60) ~ 1,75 fu(30, 60) ~ 0,3 Se agora deixamos 0 ponto (a, b) variar nas Equacées 2 e 3, f, e fy se tornam fungGdes de duas variaveis. Se fé uma funga4o de duas variaveis, suas derivadas parciais sao as funcoes f, e Jy definidas por _ 4. f(x +h, y) — f(x, y) fGs y) = lim , fy + h) — f(x,y) Existem diversas notag6es alternativas para as derivadas parciais. Por exemplo, em vez de f,, podemos escrever f; ou D, f (para indicar a derivagdo em relacdo a primeira variavel) ou df/ox. Mas aqui df/dx nao pode ser interpretada como uma razao de diferenciais. Notacées para as Derivadas Parciais Sez =f (x, y), escrevemos ofa az fx, y) = fe = 57 = fly) =~ = fi = Dif = Dif Ox Ox Ox ofa az Als») =f = 5 = fly) = 2 = f= Dif = Daf yoy dy Para calcularmos as derivadas parciais, tudo 0 que temos a fazer é nos lembrarmos, a par- tir da Equacao 1, que a derivada parcial com relacao a x é a derivada ordindria da funcao g de uma Unica varidvel obtida mantendo-se fixo o valor de y. Entéo, temos a seguinte regra. Regra para Determinar as Derivadas Parciais de z = f(x, y) 1. Para determinar f,, trate y como uma constante e derive f (x, y) com relagao a x. 2. Para determinar f,, trate x como uma constante e derive f (x, y) com relagao a y. (EIR Se f(, y) = + xy? — 2y’, encontre f,(2, 1) e f,(2, 1). SOLUCAO Mantendo y constante e derivando em relacao a x, obtemos SFX, Y) = 3x7 + 2xy? e, assim, f(2, 1) =3:-2?+2-2-P=16 Mantendo x constante e derivando em relacgao a y, obtemos AQ, y) = 3x*y? — 4y fp2, 1) =3-2?- 2? -4-1=8 | 814 CALCULO z r, MH Interpretagdes das Derivadas Parciais Para darmos uma interpretag4o geométrica para as derivadas parciais, lembremo-nos de que a equacao z = f (x, y) representa uma superficie S (0 grafico de f). Se f (a, b) = c, entao o C ponto P(a, b, c) esta em S. Ao fixar y = b, estamos restringindo nossa atengado a curva C), na ° qual o plano vertical y = b intersecciona S. (Em outras palavras, C, é 0 corte de S no plano | y = b.) Dessa maneira, o plano vertical x = a intersecciona S em uma curva C). As curvas ‘ ~~. UI y C, e Cy passam pelo ponto P (Veja a Figura 1.) ~ b, 0) Observe que a curva C; é 0 grafico da fungao g(x) = f (x, b), de modo que a inclinacao da tangente 7, em P é g(a) = f(a, b). A curva C2 é 0 grafico da fungio G(y) = f(a, y), de FIGURA 1 modo que a inclinagao da tangente T, em P é G'(b) = f(a, b). As derivadas parciais de f em (a, 5) Entao, as derivadas parciais f,(a, b) e f,(a, b) podem ser interpretadas geometricamente sao as inclinagGes das retas tangentes como as inclinagées das retas tangentes em P(a, b, c) aos cortes C, e C, de S nos planos aC, eC. y=bex=a. Z Como vimos no caso da fun¢a4o humidex, as derivadas parciais podem ser interpretadas 7=4-x7-2y? como taxas de variacdo. Se z = f (x, y), entéo dz/dx representa a taxa de variagdo de z com relagéo a x quando y é mantido fixo. Da mesma forma, 0z/dy representa a taxa de variag4o de z em relagao a y quando x é mantido fixo. ) SOY) Se f(x, y) = 4 — x — 2y’, determine f.(1, 1) e fC, 1) e interprete esses nimeros y=1 como inclinacées. SOLUCAO Temos Si, y) = 2x Six, y) = —4y fl, 1) = -2 fr, 1) = -4 (1, 1) , 2 O grafico de f é 0 paraboloide z = 4 — x* — 2y’, e o plano vertical y = 1| intercepta-o na pard- * bola z = 2 — x, y = 1. (Como na discussfo anterior, rotulamos C; na Figura 2.) A inclina- FIGURA 2 ¢4o da reta tangente a essa parabola no ponto (1, 1, 1) éf(1, 1) = —2. Da mesma forma, a curva C) na qual o plano x = | intercepta o paraboloide é a pardbola z = 3 — 2y’, ° x = 1, ea inclinacdo da reta tangente em (1, 1, 1) éf, (1, 1) = —4. (Vejaa Figura 3.) [i z=4-7?-2y? A Figura 4 nos mostra o grafico desenhado pelo computador correspondente 4 Figura 2. O item (a) exibe 0 plano y = | interceptando a superficie para formar a curva C), e o item (b) mostra C, e 7;. [Usamos as equacdes vetoriais r(t) = (ft, 1, 2 — f) para Ci e Cy iN r(f) = (1 + 4, 1, 1 — 22) para T;.] Do mesmo modo, a Figura 5 corresponde 4 Figura 3. x=1 \ t (1, 1, 1) Se: 4 —¢ [= 4 y 3 LAY 3 2 i i Y i A : 1,1 ALROKL FIGURA 3 ALY AX 1 AX 1 0 0 °9 ee °9 i y 1 2 * y 1 2 “ FIGURA 4 (a) (b) Zz SS 4 =< | 4 3 LAR 3 22 RU | > 1 XK 1 0 ee 0 0 0 — | 1 x 0 1 x FIGURA 5 y 1 2 y 1 2 DERIVADAS PARCIAIS 815 x 0 0 | EXEMPLO 3 ys f(x, y) = sen| ——— ], calcule ff l+y ox ody SOLUCAO Usando a Regra da Cadeia para fungdes de uma varidvel, temos of x 0 x x 1 — = cos{| ——— ]} +: — | ——— ] = cos| ——— ] - ——— Ox l+y ox \1lt+y l+y l+y of x 0 x x x — = cos{| ——— ] -—— | —— } = —cos| ——— ] - ~——., Ba oy l+y dy \1l+y lt+y (1 + y) Boy Determine dz/dx € Az/dy se z € definido implicitamente como uma fungdo de x € _jguns sistemas de computagéio algébrica y pela equagao podem tracar superficies definidas por 34 y34 34 =| equagées implicitas com trés variaveis. A * y < Oxyz Figura 6 mostra o desenho da superficie SOLUCAO Para determinarmos 0z/dx, diferenciando implicitamente em relacdo a x, tomando crerala inplctamente pela equacao do o cuidado de tratar y como constante: , dz dz , 3x? + 32? — + 6yz + 6xy — = 0 ax ax t Resolvendo essa equacao para 0z/dx, obtemos Oz x? + 2yz ax z+ 2xy ee ’ Da mesma forma, derivando implicitamente em relagao a y, temos dz y? + 2xz FIGURA 6 — = -- — oy z+ 2xy M8 Funcées de Mais de Duas Variaveis As derivadas parciais também podem ser definidas para fungées de trés ou mais variaveis. Por exemplo, se f é uma fungao de trés varidveis x, y e z, entao sua derivada parcial em rela- cao a x é definida como _ f(x + hyy,z) — fy, 2) EX, 2) = a A fas, y, 2) = Tim 7 e € determinada olhando-se y e z como constantes e derivando f (x, y, z) em relagdo a x. Se w =f (x, y, z), entéo f, = dw/dx pode ser interpretada como a taxa de variagao de w com relagéo a x quando y e z sao mantidos fixos. Entretanto, nao podemos interpreta-la geome- tricamente porque o grafico de f pertence ao espaco de dimens4o quatro. Em geral, se u é uma fungao de n varidveis, u = f (11, %2, ..., Xn), Sua derivada parcial em relagao a i-ésima variavel x; é ou i S(%1, oo Minty HEF A, X41, Xn) — fl, «6 Xig ee es Xn) — = hn rom Ox; ho h e podemos também escrever mT Mp a p= DS Ox; Ox; “ ‘ ‘ (SQM Determine f,, f, ¢ f, se f (x, y, 2) = e” Inz. SOLUCAO Mantendo y e z constantes e derivando em relacéo a x, temos i: = ye’ ln z e° Da mesma forma, fy = xe Inz e £=— — Zz 816 CALCULO MM Derivadas de Ordem Superior Se fé uma fungao de duas variaveis, suas derivadas parciais f, e f, sao fungdes de duas varia- veis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais (fi), (Soy, (fx e ( f,)y, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se z = f (x, y), usamos a seguinte notagao: ad [ of ef az (fox =fa =f =|) Hea ea ox \ ox Ox Ox a [ of of az (fo = fo =f = >>| 52) = Fras = Gran ry \ ox Oy Ox oy Ox a [ of of Oz (hs = fu =f = (50) =a > aw ox \ dy Ox Oy ox Oy a [ of Of 2 (fy = fy = fa = Fa} = 5 = a y \ dy dy dy Portanto, a notac&o fi; (ou d?f/dy dx) significa que primeiro derivamos com relagao a x e depois em relacgado a y, ao passo que no calculo de f,, a ordem é invertida. 2(3")2005) Determine as derivadas parciais de f(a, y) = x + xy? 2y? SOLUCAO No Exemplo 1, descobrimos que fix, y) = 3x7 + 2xy3 AO, y) = 3x°y? — 4y Portanto, d 2 3 3 d 2 3 2 foe = — Bx? + 2xy*) = 6x + 2y Sov = — (3x? + 2xy*) = 6xy Ox oy d 2,,2 2 d 2,,2 2 Sox = — Bx’*y* — 4y) = 6xy fy = — Bx’y*? — 4y) = 6x*y — 4 ax dy A Figura 7 mostra 0 grafico da fungao f do 20 ws Exemplo 6 e os graficos de suas derivadas = eer parciais de primeira e segunda ordens para z 0 SS —2 Oe B > 0. Observe que, pela Equa¢ao 9, se o trabalho e o capital sio ambos aumentados por um fator m, temos P(mL, mK) = b(mL)*(mK)’ = m**8bL?K8 = m**8P(L, K) Se a + B = 1, entéo P(mL, mK) = mP(L, K), 0 que significa que a producdo também é aumentada pelo fator m. Essa é a raza4o pela qual Cobb e Douglas supuseram que a + B = 1, portanto, P(L, K) = bL*K'~* Essa é€ a funcao de producgao de Cobb-Douglas, discutida na Se¢ao 14.1. 820 CALCULO ce Exercicios 1. A temperatura T (em °C)de uma localidade do Hemisfério Norte (a) Qual o significado das derivadas parciais dh/du e dh/dt? depende da longitude x, da latitude y e do tempo ft, de modo que (b) Estime os valores de f,(80, 15) e f,(80, 15). Quais sao as in- podemos escrever T = f (x, y, ft). Vamos medir 0 tempo em horas terpretacgGes praticas desses valores? a partir do inicio de janeiro. (c) Qual parece ser o valor do seguinte limite? (a) Qual o significado das derivadas parciais 0T/dx, dT/dy e ah OT/dt? lim Or : ° : ° tox (b) Honolulu tem longitude de 158° W e latitude de 21° N. Su- 5-8 Determine os sinais das derivadas parciais da fungao f cujo gra- ponha que as 9 horas em 1° de janeiro esteja ventando para , : fico esta mostrado. noroeste uma brisa quente, de forma que a Oeste e a Sul 0 ar ; esteja quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio. Vocé es- aw peraria que f, (158, 21, 9), f, (158, 21, 9) ef, (158, 21, 9) fos- (1 im t 4 WY sem positivos ou negativos? Explique. ray" a Th se ee . (MASE 2. No inicio desta sec4o discutimos a fungao J = f(T, H), onde J era Vg SSS LX o humidex; T, a temperatura; e H, a umidade relativa. Utilize a LIFES NY) ; ya os AF WSS) Tabela | para estimar fr (34, 75) e fz (34, 75). Quais sao as in- Wey terpretacgGes praticas desses valores? ay 3. O indice de sensacao térmica W é a temperatura sentida quando Uy i ] yp a temperatura real é T e a velocidade do vento, v. Portanto, po- demos escrever W = f(T, v). A tabela de valores a seguir foi ex- 5. (a) fe(1, 2) (b) ACL, 2) traida da Tabela 1 da Secdo 14.1. 6. (a) f(—1, 2) (b) f,(— 1, 2) Velocidade do vento (km/h) 7. (a) fo(—1, 2) (b) f(— 1, 2) 8. (a) fo(1, 2) (b) f(— 1, 2) sff@[=[~ [sf pa] bee ___omcie ____ L 9. As seguintes superficies, rotuladas a, b ec, sio graficos de uma 5 fungao fe de suas derivadas parciais f, e f. Identifique cada su- § ban es [ae as [a [| 7 w- OA eee | gee (a) Estime os valores de fr (— 15, 30) e f.(— 15, 30). Quais sao as 4 RE _ ROY interpretagdes praticas desses valores? WY Hy (b) Em geral, 0 que se pode dizer sobre o sinal de dW/dT e 8 0 72 aWiav? “3-2-1 0 7 5 G72 4 (c) Qual parece ser o valor do seguinte limite? y . ow lim —— vox OV 4. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do < Be vento v e do tempo ¢ durante o qual o vento se manteve naquela 4 Ve | intensidade. Os valores da funcg4o h = f (v, t) sio apresentados oN Y Wt: na seguinte tabela. 7 0 fv SSS Duragao (horas) —4 —2 Pee Serpe y z| 2 06 | 06 | 06 | 06 | 06 | 06) 06 | fo taf tal is) as | as ei ——— ° S és SN 3 4 ESN see eee go 3 z 0 MES [eee ar 95 em 1a g Fw) ae | as | oe | | 3 . a -3 -2 -] 0 19 2 x Sia | |e | | as a rs E necessério usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagiio algébrica 1. As Homework Hints esto disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 821 10. Um mapa de contorno de uma fungao f € apresentado. Utilize- 45-46 Use a definicao de derivadas parciais como limites para -O para estimar f,(2, 1) ef,(2, 1). encontrar FAX, y) e fix, y). y . x TL tree a moate J x+y Vy | 6 8 / | 47-50 Use a derivagao implicita para encontrar 0z/dx e dz/dy. (7 ( 107] 2 2 2— 2424 29,5 weAw Ae > || A. 24+2P432=1 48 P-yt+2-27=4 At— 14 » C= xyz | yztxIny=z 7 : ML | 49 y 50. y Iny=2 16 | / | WALL | 51-52 Determine 0z/dx e dz/dy. 3 7 18 TELYIELE LANA @e=s09+49 — @rmF0+y 52. (az = f(x)g(y) (b) z = f (xy) 11. Sef (x, y) = 16 — 4x? — y’, determine f.(1, 2) ef, (1, 2) e inter- (c)z = fly) prete esses nimeros como inclinagées. Ilustre ou com um es- eo boco A mao ou utilizando o computador. 53-58 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. 12, Se f(x,y) = V4 — x2 — 4y2, determine f,(1, 0) e f(1, 0) e in- 53. f(x,y) = xy t+ 2x4ty 5A. f(x, y) = sen’(mx + ny) terprete esses nimeros como inclinagées. [lustre ou com um es- _ pao _ xy bogo 4 mao ou utilizando o computador. Sw = vue +0 56. 9 = x-y fH 13-14 Determine f. e f; e faga os graficos f, fc e fr com dominios e _ xt+y oe pontos de vista que lhe permitam ver a relacfo entre eles. 57. z = arctg 1—xy 58. v=e y ee . = +243 . = 13. $y) = xy 14 fy) = 1+xy 59-62 Verifique se a concluséo do Teorema de Clairaut é valida, isto ee 6, Uxy = Uyx. 15-40 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da fung4o. 59. uw = xtyi— 4 60. v = esen y 15. f(x,y) = y> — 3xy 16. f(x,y) =xty + 8xy 61. uw = cos (x’y) 62. uw = In@ + 2y) 17. f (x,t) =e-'cos mx 18. f(x,1) = vk int 63-70 Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s). ; _ 2 34 19. <= (2x + 3y)” 20. <= tgxy 63. FO Y= PY Ys fom fon 64. f(x,y) = 2x + Sy); fray a. fa.y) = 2. f(x,y) = PO YS SEMEL S 29 Sow y “ry 65. f(y.) =e foe . + by e 23. f(x,y) =“ 24. w= —“— Psy cx + dy u+ Uv 66. g (r,s, t) = e’sen(st); Gust 3 25. g (u, v) = (wou — v*) 26. f(x, 1) = arctg(x-y/t ) 67. u =e” sen; re r 27. w =senacos B 28. f(x, y) = x” 93 Zz ox p 68. 2z=usjv-—w; — 29. F(x, y) = f¥cos (e') dt 30. F (a, B) = {@Ve+ 1d FUN OS on av Ow 3 3 31. f(x, y, z) =xz — Sx’y%zt 32. f (x, y, Z) =x sen(y — z) 69. w= —_. ow ow yt+2z’ dzdydx’ dx*dy 33. w = In(x + 2y + 32) 34. w = ze 96 70. u=x"y"2’; 1 5 35. u = xy sen7!(yz) 36. u = x" Ox dy? dz _ 5 1. Se f(x, y, z) = xy2z3 + arcsen (x /z), determine Suzy [Dica: Qual 37. AG, yz) = ¥’y cos(z /1) ordem de diferenciagao é a mais facil?] 38 j= & + By" + PO YZ = y+ dy? 72. Se g(x, y,z) = V1 + xz + V1 — xy, determine g,y-. [Dica: Use uma ordem de diferenciagao diferente para cada termo.] 39. w= Vxp tap tes HHP 73. Use a tabela de valores de f(x, y) para estimar os valores de 40. u = sen(x + 2x. +--+ + nXx,) FB, 2), FB, 2,2) € fy, 2). 41-44 Determine as derivadas parciais indicadas. “= S22] M. f(xy) =Inet+ Ve? Fy?) £64) PSS 2 fls.y) = atea(yiv—£2,3) 3. fi, y,.)0=—~—; fQ21L-D 44. f(x, y,z) = /sen*x + sen*y + sen’z; —_ (0, 0, 77/4) 822 CALCULO 74. As curvas de nivel so mostradas para uma fungao f. Determine 84. Mostre que a funcgdo produgio de Cobb-Douglas P = bL*K® sa- se as seguintes derivadas parciais sAo positivas ou negativas no tisfaz a equacéo ponto P. (af (b) ()f pee ee ( + B)P os h Ofe aL OKO (d) fry (©) fy x x ; 85. Mostre que a fungao produgao de Cobb-Douglas satisfaz y / / J P(L, Ko) = Ci(Ko)L* resolvendo a equacao diferencial 10 8° 6 / Jo a_i. 42 dL L (Veja a Equacao 6.) P 86. Cobb e Douglas usaram a equacio P(L, K) = 1,01L°” K®> para o modelo de economia norte-americana de 1899 a 1922, onde L * é a quantidade de trabalho e K, a quantidade de capital. (Veja o Exemplo 3 na Secao 14.1.) 75. Verifique se a fung4o u = et sen kx € solugao da equacdao de (a) Calcule P; € Px. . . . . ~ . _ 9 (b) Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produti- conducd@o do calor u; =a7 Ux. : . : vidade marginal de capital no ano de 1920, quando L = 194 76. Determine se cada uma das seguintes fung6es é solugao da equa- e K = 407 (em comparagéo com os valores atribuidos cao de Laplace uy, + uy = 0. L = 100e K = 100 em 1899). Interprete os resultados. (aju=x+ y? (b)u=x-y (c) No ano de 1920, o que trouxe mais beneficios para a produ- (c) u = 8+ 3x7? (d)u=InVJx2 + y? co: um aumento no capital de investimento ou um aumento _ nos gastos com mAo de obra? (e) u = senx cosh y + cos x senh y (f) u =e * cosy — e* cosx 87. A equacdo de van der Waals para n mols de um gas é 77. Verifique se a fungao uu = 1/x?2 + y2 + z? € uma solucio P+ nwa V — nb) = aRT da equagao de Laplace tridimensional u,. + uy + uz, = 0. Vv? ( nb) =n 78. Mostre que cada uma das seguintes fungdes é uma solugdo da onde P € a pressao, V € 0 volume e T € a temperatura do gas. A equacao da onda uy = aux. constante R é a constante universal de gas e a e b so constantes (a) u = sen(kx) sen(akt) positivas que sao caracteristicas de um gas em particular. Calcule OT/0P e OP/aV. (b) u = Ha? — x) © (c) u = (x — at)’+ (x + at)® 88. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gas ideal 4 tem- (d) u = sen(x — at) + In(x + af) peratura absoluta 7, pressio P e volume V é PV = mRT, onde R . oo , . é a constante do gas. Mostre que 79. Se feg sao fungdes duas vezes diferenciaveis de uma tnica va- ridvel, mostre que a fungao OP OV OT _ 1 u(x, 1) = f (x + at) + gx — at) dV OT OP é solucao da equacao de onda dada no Exercicio 78. . oe 89. Para o gas ideal do Exercicio 88, mostre que 80. Seu = etext tax» onde a? + az +--+ + a? = 1, mos- oP aV tre que T—— =™R eu eu au or or yt aa tt TSU . : Oxi x2 Xn 90. O indice de sensagao térmica é modelado pela funcao 81. Verifique que a funcio z = In(e*+ e”) é uma solucao das equa- W = 13,12 + 0,6215T — 11,37v°"* + 0,3965Tv""® Ses dif OCS OE ES onde T é a temperatura (°C) e vu, a velocidade do vento (km/h). Oz + Oz =] Quando T = —15 °C ev = 30 km/h, quanto vocé espera que a ox dy temperatura aparente W caia se a temperatura real decrescer em e 1°C? Ese a velocidade do vento aumentar em 1 km/h? @: a (#\_, ax” dy? ax dy 91. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade vu é . K= 5 mv. Mostre que 82. A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y) = 60/(1 + x? + y’), onde T é medido em °C ex, yem OK aK _ K metros. Determine a taxa de variag4o da temperatura no ponto am ove (2, 1) em (a) a diregao xe (b) a diregao y. 92. Sea, bec sao os lados de um triangulo e A, B e C sao os angu- 83. A resisténcia total R produzida por trés condutores com resis- los opostos, determine dA/da, dA/b e dA/dc pela derivagao im- téncia R;, R2 e R3 conectados em paralelo em um circuito elé- plicita da Lei dos Cossenos. trico € dada pela formula 93. Disseram-lhe que existe uma fungao f cujas derivadas parciais sao i _ i 4 i 4 i Sax, y) = x + Ay eff, y) = 3x — y. Vocé deve acreditar nisso? R R, R R3 Determine 0R/0R. DERIVADAS PARCIAIS 823 4 94. Oparaboloide z = 6 — x — x? — 2y° intercepta o plano x = 1 em 98. (a) Quantas derivadas parciais de n-ésima ordem tém uma fun- uma parabola. Determine as equacg6es paramétricas para a reta ¢ao de duas variaveis? tangente a essa parabola no ponto (1, 2, —4). Use um computa- (b) Se essas derivadas parciais forem continuas, quantas delas dor para fazer o grafico do paraboloide, da parabola e da reta podem ser distintas? tangente em uma mesma tela. (c) Responda a parte (a) da questao para uma fungao de trés va- Tlavels. 95. O elipsoide 4x? + 2y? + z= 16 intercepta o plano y = 2 em 5 uma elipse. Determine as equac6es paramétricas da reta tangente 99. (a) Se f(x, y) = x0? + y*) Mere, determine f.(1, 0). a essa elipse no ponto (1, 2, 2). [Dica: Em vez de determinar f,(x, y) primeiro, observe que é mais facil utilizar a Equagao 1 ou a Equacio 2.] 96. No estudo de penetrag4o do congelamento descobriu-se que a . _ sf Ln temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundi- 100. (a) Se f(x, y) = va° + y", determine (0, 0). dade x (medida em metros) pode ser modelada pela fungao 101. (a) . Seja -dx 3, 3 T(x, t) = Ty + Tie sen(wt — Ax) . - : » xy se (x,y) ¥ (0,0) onde w = 277/365 e A é uma constante positiva. f(uyl=y x+y (a) Determine 07/dx. Qual seu significado fisico? 0. se (x, y) = (0, 0) (b) Determine 07/dt. Qual seu significado fisico? FY (a) Use um computador para tragar o grafico de f. (c) Mostre que T satisfaz a equacgao do calor T, = kT. para uma (b) Determine f(x, y) e f(x, y) quando (x, y) # (0, 0). certa constante k. (c) Determine f,(0, 0) ef,(0, 0) usando as Equacoes 2 e 3. AE (d) Se A = 0,2, To = 0 e T; = 10, use um computador para tra- (d) Mostre que f,(0, 0) = —1 efx.(0, 0) = 1. car o grafico de T(x, t). (e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? (e) Qual é o significado fisico do termo —Ax na expressio Use os graficos de f,, e fx para ilustrar sua resposta. sen(wt — Ax)? 97. Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem continuas, entao Soy = fry = fyx co Planos Tangentes e Aproximacoes Lineares Uma das ideias mais importantes em calculo de fungdes com uma Unica variavel é que, 4 me- dida que damos zoom em torno de um ponto no grafico de uma fungao diferenciavel, esse gra- fico vai se tornando indistinguivel de sua reta tangente, e podemos aproximar a fung¢ao por uma funcAo linear (veja a Secao 3.10, no Volume I.) Desenvolveremos ideias semelhantes em trés dimensdes. A medida que damos zoom em torno de um ponto na superficie que é 0 gra- fico de uma fungao diferenciavel de duas variaveis, essa superficie parece mais e mais com um plano (seu plano tangente) e podemos aproximar a fun¢4o, nas proximidades do ponto, por uma fungao linear de duas variaveis. Estenderemos também a ideia de diferencial para as fung6es de duas ou mais variaveis. M8 Planos Tangentes Suponha que uma superficie S tenha a equacao z = f (x, y), onde ftenha derivadas parciais con- z tinuas de primeira ordem, e seja P(Xo, yo, Zo) um ponto em S. Como na se¢4o anterior, sejam Ce Cz as curvas obtidas pela interseccdo dos planos verticais y = yo e x = xo com a superfi- qT cie S. Entao o ponto P fica em C;e C2. Sejam T; e T2 as retas tangentes 4 curva C; e C2 no ponto VC, P. Entao o plano tangente a superficie S no ponto P é definido como o plano que contém as (veja a Figura 1.) 37 AP G Veremos na Secao 14.6 que, se C é outra curva qualquer que esteja contida na superficie a , S e que passe pelo ponto P, entao sua reta tangente no ponto P também pertence ao plano tan- > we gente. Portanto, podemos pensar no plano tangente a Sem P como o plano que contém todas oF? as retas tangentes a curvas contidas em S que passam pelo ponto P. O plano tangente em P é y o plano que melhor aproxima a superficie S perto do ponto P. x Sabemos da Equacao 12.5.7 que qualquer plano passando pelo ponto P(xo, yo, Zo) tem equacao da forma FIGURA 1 O plano tangente contém Ae ~ 0) + By ~ yo) + CE ~ 20) = 0 as retas tangentes T, eT). Dividindo essa equagaéo por C e tomando a = —A/C e b = —B/C, podemos escrevé-la como 824 CALCULO [1] Z— Z = a(x — Xo) + bly — yo) Se a Equacao | representa o plano tangente em P, sua intersecg¢4o com o plano y = yo pre- cisa ser a reta T;. Impondo y = yo na Equacéo 1, obtemos Z— Z = ax — Xo) onde y= yo e reconhecemos isso como a equac4o (na forma ponto-inclina¢géo) de uma linha com a incli- nacao a. Mas a partir da Secdo 14.3 sabemos que a inclinacAo da tangente T; é f-(xo0, yo). Por- tanto, a = fi(Xo, yo). Da mesma forma, tomando x = x9 na Equagao 1, obtemos z — z = b(y — yo), que pre- cisa representar a reta tangente 7> e, portanto, b = f,(Xo, yo). [2] Suponha que f tenha derivadas parciais continuas. Uma equacao do plano tan- Observe a semelhanga entre a equagao do gente a superficie z = f(x, y) no ponto P(X, yo, Zo) € dada por plano tangente e a equacao da reta tangente _ + y yo =f Cadre — x0) Z— Zo = felon YoNX — Xo) + fio, YoY — Yo) S70) Determine o plano tangente ao paraboloide elfptico z = 2x? + y’ no ponto d, 1, 3). SOLUCAO Sejaf (x, y) = 2x? + y’. Entéio Si, y) = 4x Six, y) = 2y fe, 1) =4 AC, 1) = 2 Portanto, por [2] temos a equagao do plano tangente em (1, 1, 3) como z-3=4a@-1+20-) ou z=4x+2y-3 7 0 Visual 14.44 mostra uma A Figura 2(a) mostra 0 paraboloide eliptico e seu plano tangente em (1, 1, 3) que encontra- animacdio das Figuras 2 e 3. mos no Exemplo 1. Nas partes (b) e (c) damos zoom em direcao ao ponto (1, 1, 3) restringindo o dominio da fungiio f (x, y) = 2x? + y’. Observe que, quanto mais ampliamos a regiao préxima ao ponto, mais plano parece o grafico da superficie e mais se parece com o plano tangente. 40 —hL 40 40 <> 20 at 20 20 SSE SL z 0 SSS oz z 0 zo s SSS ~20 SSS 4 —20 —20 — —4 2 } ” -2 2 0 0 0 0 0 1 1 y 2 4 2 4 44 * ’ 22 * y 22 * (a) (b) (c) FIGURA 2 O paraboloide eliptico z = 2x? + y parece coincidir com o plano tangente quando damos zoom em torno de.(1, 1, 3). Na Figura 3 reforgamos essa impressao dando zoom em torno de (1, 1) no mapa de con- torno da funcao f (x, y) =2x* + y*. Observe que, quanto mais ampliamos, mais as curvas de nivel parecem retas igualmente espagadas, o que caracteriza uma regido plana. 1,5 1,2 1,05 \\ \ \ FIGURA 3 Dando zoom em torno do ponto (1, 1) no mapa de contorno de \ \ flx,y) = 2x7 + y? 0.5 15 og. 1,2 0.95 1,05 DERIVADAS PARCIAIS 825 MM Aproximacoes Lineares No Exemplo 1 descobrimos que uma equac¢4o do plano tangente ao grafico da fungao f@, y) = 2x? + y*no ponto (1, 1, 3) 6 z = 4x + 2y — 3. Portanto, em vista da evidéncia visual nas Figuras 2 e 3, a funcdo linear de duas varidveis L(x, y) = 4x + 2y — 3 é uma boa aproximacao de f (x, y) quando (x, y) esta proximo de (1, 1). A fungao L é cha- mada linearizacdo de f em (1, 1), e a aproximacao S(, y) = 4x + 2y — 3 é€ denominada aproximacdo linear ou aproximagdo pelo plano tangente de f em (1, 1). Por exemplo, no ponto (1,1, 0,95), a aproximagao linear fornece fC,1, 0,95) ~ 41,1) + 2(0,95) — 3 = 3,3 que esta bastante préximo do valor verdadeiro de f (1,1, 0,95) = 2(1,1)? + (0,95)? = 3,3225. Se, entretanto, tomarmos um ponto longe de (1, 1), como (2, 3), nao teremos mais uma boa aproximagao. De fato, L(2, 3) = 11, ao passo que f (2, 3) = 17. Em geral, sabemos de |2| que uma equacao do plano tangente ao grafico de uma funcao f de duas varidveis que tem derivadas parciais continuas em um ponto (a, b, f (a, b)) é z=f (a, b) + fila, b)\(x — a) + f(a, b)y — b) A fung4o linear cujo grafico é esse plano tangente, a saber, [3] L(x, y) = f(a, b) + fila, b\(x — a) + fila, bly — b) ° y Z . : . : ~ ZZELEI é denominada linearizacao de f em (a, b), e a aproximag¢ao tee RRC KX Me f(x,y) ~ f(a, b) + fila, Bx — a) + fila, bly — b) BY Ley é chamada aproximagao linear ou aproximacao pelo plano tangente de f em (a, D). Definimos o plano tangente para as superficies z = f (x, y), onde f tem derivadas parciais x de primeira ordem continuas. O que acontece se f, e f, nado sao continuas? A Figura 4 apre- senta uma tal fungao. Sua equacgao é x _ se (x, y) # (0, 0) fy yx ty FIGURA 4 0 se (x,y) = (0,0) oxy f(x,y) = x+y? se (x, y) # (0, 0), Podemos verificar (veja o Exercicio 46) que suas derivadas parciais existem na origem e sao f(0, 0) =0 f(0, 0) = 0 e f,(0, 0) = 0, mas f, e f, nao sao continuas. A aproximacao linear seria , f(@, y) ~ 0, mas f (x, y) = 5 em todos os pontos na reta y = x. Portanto a funcgao de duas variaveis pode comportar-se mal mesmo se ambas as derivadas parciais existirem. Para evi- tar esse comportamento, introduzimos a ideia de fun¢4o diferencidvel de duas variaveis. Lembremo-nos de que para uma fungao de uma varidvel, y = f (x), se x varia de a para a + Ax, definimos o incremento de y como Ay=f(a+ Ax)—f(@ No Capitulo 3, no Volume I, mostramos que, se f é diferencidvel em a, entio [5| Ay=f'(ajAxt eAx onde e— 0 quando Ax—0 , ; Esta é a Equactio 3.4.7. Considere agora uma fungao de duas variaveis, z = f (x, y), e suponha que x varie de a paraa + Axe y varie de b para b + Ay. Entao, o incremento correspondente de z é [6| Az=f(at+Ax,b+ Ay) —f(a,b) Portanto, o incremento A z representa a variagdo de valor de f quando (x, y) varia de (a, b) para (a + Ax, b + Ay). Por analogia a [5], definimos a diferenciabilidade de uma funcdo de duas varidveis como segue. 826 CALCULO [7] Definigdéo Sez =f (x, y), entio fé diferenciavel em (a, b) se A z puder ser ex- presso na forma Az=fa, Ax + fia, Ay + eAxt+ eAy onde €; e €2 — 0 quando (A x, A y) — (0, 0). A Definig4o 7 diz que uma fungao diferenciavel é aquela para a qual a aproximagao linear é uma boa aproxima¢ao quando (x, y) esta proximo de (a, b). Em outras palavras, o plano tangente aproxima bem o grafico de f perto do ponto de tangéncia. Algumas vezes é dificil usar a Definigéo 7 diretamente para verificar a diferenciabilida- de da funcao, mas 0 préximo teorema nos dé uma condicAo suficientemente conveniente para a diferenciabilidade. 0 Teorema 8 est demonstado no Apénic Teorema Se as derivadas parciais f, ef, existirem perto do ponto (a, b) e forem con- tinuas em (a, b), entaio f é diferenciavel em (a, b). . - a | Set0y) Mostre que f (x, y) = xe” é diferenciavel em (1, 0) e encontre sua linearizacao pig 5 mostra o grafico da funcio fe sua linearizactio L no ali. Em seguida, use a linearizac4o para aproximar f (1,1, —0,1). Exemplo 2. > ae SOLUCGAO As derivadas parciais sao SX, y) = e? + xye” fi, y) = xe” oT\ fC, 0) = 1 A/C, 0) = 1 \ 4 \ . Tanto f, quanto f, séo fungdes continuas; portanto, f é diferenciavel pelo Teorema 8. A linea- z ; s\n rizacdo é dada por SS L(x, y) = fC, 0) + fC, Oe — 1) + fC, O)(y — 0) ‘ wh 0, 1 A aproximagao linear correspondente é xev = x+y FIGURA 5 Assim, f(,1, -0,1) ~ 11-01 =1 Compare esse valor com o valor real de f (1,1, —0,1) = 1,1 e~°!! = 0,98542. | | Sie80e) ~=No inicio da Secao 14.3 discutimos o humidex (temperatura aparente) J como uma fungao da temperatura real T e da umidade relativa H e fornecemos a seguinte tabela de valores: Umidade relativa (%) ok EE er eee Csescsceceeeeseseees Escseseeceeerseseses Temperatura Sil ao) |y |e |e) ee lao [sl»iaielels|«| «| sissies iw as ele Determine uma aproximagao linear para o humidex J = f (7, H) quando T esta proximo de 30°C e H esta préximo de 60%. Use essa estimativa do humidex quando a temperatura esti- ver a 31°C e a umidade relativa for 62%. SOLUCAO Lemos na tabela que f (30, 60) = 38. Na Secao 14.3 usamos os valores tabelados para estimar f7(30, 60) ~ 1,75 e f(30, 60) ~ 0,3. Assim, a aproximacao linear é DERIVADAS PARCIAIS 827 S(T, A) = f (30, 60) + fr(30, 60)(T — 30) + fx(30, 60)(H — 60) =~ 38 + 1,75(T — 30) + 0,3(H — 60) Em particular, f Gl, 62) ~ 38 + 1,751) + 0,3(2) = 40,35 Portanto, quando T = 31 °C e H = 62%, o humidex é I~ 40,4 °C 7 MS Diferenciais Para uma fungao de uma tinica variavel, y = f (x), definimos a diferencial dx como uma varia- y vel independente; ou seja, dx pode valer qualquer nimero real. A diferencial de y é definida Y= FX) como [3] dy = f'(x) dx = [ay (Veja a Secao 3.10.) A Figura 6 mostra as relag6es entre 0 incremento Ay e a diferencial dy: dx= Ax dy Ay representa a variacdo de altura da curva y = f (x) e dy representa a variagdo de altura da | reta tangente quando x varia da quantidade dx = Ax. ~ tes : . ee 0 a at+Ax x Para uma fungao de duas variaveis, z =f (x, y), definimos as diferenciais dx e dy como reta tangente variaveis independentes; ou seja, podem ter qualquer valor. Entao a diferencial dz também y=fla) + fla\lx—a) chamada de diferenciagao total, ¢ definida por FIGURA 6 dz = f(x,y) de + fla.y)dy = ax + Za iz = f(x, (x, =— — y y\%, y) ay ax ay y (Compare com a Equacao 9.) Algumas vezes a notacao df é usada no lugar de dz. Se tomamos dx = Ax = x — ae dy = Ay = y — b na Equacao 10, entao a diferencial de zé dz = f(a, b)(x — a) + f(a, b\(y — b) E assim, com a notacao de diferencial, a aproximagao linear |4| pode ser escrita como f[@, ») =fl(a b) + dz A Figura 7 € uma correspondente tridimensional da Figura 6 e mostra a interpretacdo geo- métrica da diferencial dz e o incremento A z:dz representa a alterac4o da altura do plano tan- gente, ao passo que Az representa a alteracgaéo da altura da superficie z = f (x, y) quando (x, y) varia de (a, b) para (a + Ax, b + Ay). 2 (a+ Ax, b + Ay, f(a + Ax, b + Ay)) superficie z = f(x, y) Jf — = => Az dz (a, b, f(a, b)) de y (a+ Ax, b+ Ay, 0) x (a, b, 0) Ay =dy plano tangente FIGURA 7 z— f(a, b) = f(a, b)(x — a) + fy(a, b)(y — b) Een (a) Sez =f (x, y) = x? + 3xy — y’, determine a diferencial dz. (b) Se x varia de 2 para 2,05 e y varia de 3 a 2,96, compare os valores de Az e dz. 828 CALCULO No Exemplo 4, dz estd proximo de Az porque o plano tor ==©SOLUCAO gente é uma boa aproximacdo da superficiez = x°+ 3xy (a) Da Definicdo 10 vem — y* perto do ponto (2, 3, 13). (Veja a Figura 8.) Oz Oz dz = — dx + — dy = (2x + 3y) dx + (x — 2y) dy ox oy ao (b) Tomando x = 2, dx = Ax = 0,05, y = 3 edy = Ay = —0,04, obtemos ‘0 SK. 40 SS dz = [2(2) + 3(3)]0,05 + [3(2) — 2(3)](—0,04) = 0,65 z 20 SS Se O incremento de z é ° SS 20 y 7 Az = f (2,05, 2,96) — f (2, 3) 5 4 3 2 1 6 4 5 * = [(2,05)° + 3(2,05)(2,96) — (2,96)"] — [27 + 3(2)(3) — 37] FIGURA 8 = 0,6449 Observe que Az ~ dz, mas dz € mais simples de calcular. — 3520) Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obti- vemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possivel erro nessas medidas de, no maximo, 0,1 cm. Utilize a diferencial para estimar 0 erro maximo cometido no calculo do volume do cone. SOLUCAO O volume V do cone com raio da base r e altura h é V = mr°h/3. Logo, a diferen- cial de Vé ov ov 2arh ur? dV = — dr + — dh = ——dr + ——dh or oh 3 3 Como cada erro é de, no maximo, 0,1 cm, temos |Ar| < 0,1, |AA| < 0,1. Para estimarmos 0 maior erro no volume, tomamos o maior erro na mensuragao de r e de h; portanto, toma- mos dr = 0,1 edh = 0,1 parar = 10, h = 25. Isso da 500 100: dv = (0,1) + —" 1) = 207 3 3 Assim, 0 erro maximo cometido no cdlculo do volume é de cerca de 2077 cm? ~ 63 cm?.E M5) Funcoes de Trés ou Mais Variaveis Aproximacoes lineares, diferenciabilidade e diferenciais podem ser definidas de maneira ana- loga para as fung6es de mais que duas variaveis. Uma funcao diferencidvel é definida por uma expressao semelhante aquela da Definicao 7. Para essas fungdes a aproximagao linear é LO, ys z) ~f (a, b, c) + fla, b, c)(x ~~ a) + f(a, b, cy ~ b) + f(a, b, cz ~~ c) e a linearizagao L(x, y, z) € o lado direito dessa expressao. Se w = f (x, y, Z), entéo o incremento de w é Aw =f(x + Ax,y + Ay, z+ Az) —f(@, y, 2) A diferencial dw é definida em termos das diferenciais dx, dy e dz das variaveis indepen- dentes por ow ow ow dw = —dx + —dy+—dz Ox oy Oz | Siets) As dimensdes de uma caixa retangular so medidas como 75 cm, 60 cm e 40 cm, e cada medida foi feita com precisdo de 0,2 cm. Use diferenciais para estimar 0 maior erro possivel quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas. SOLUCAO Se as dimensGes da caixa sao x, y e z, seu volume é V = xyz; portanto, OV oV aV dV = — dx + —dy + —dz=yzdx + xzdy + xy dz Ox oy Oz DERIVADAS PARCIAIS 829 Foi-nos dado que |Ax| < 0,2, |Ay| = 0,2 e |Az| < 0,2. Para estimarmos 0 maior erro no volume, utilizamos, portanto, dx = 0,2, dy = 0,2 e dz = 0,2 junto com x = 75, y = 60e z= 40: AV = dV = (60)(40)(0,2) + (75)(40)(0,2) + (75)(60)(0,2) = 1980 Portanto, um erro de apenas 0,2 cm nas medidas de cada dimensao pode nos levar a um erro da ordem de 1.980 cm? no calculo do volume! Isso pode parecer um erro muito grande, mas, na verdade, é um erro de apenas cerca de 1% do volume da caixa. _ co Exercicios 1-6 Determine uma equac4o do plano tangente 4 superficie no 19. Dado que fé uma funcao diferenciavel f (2, 5) = 6, f(2, 5) = 1 ponto especificado. e f,(2, 5) = —1, use uma aproximagao linear para estimar f (2,2, 4,9). 10 7 =3y— 2x? +x, (2, -1, -3) 4 20. Determine a aproximacio linear da funcao f (x, y) = 1 — xy cos 20 2= 3-1) + 20+ 3P +7, (2, —2, 12) ay em (1, 1) e use-a para aproximar o numero f(1,02, 0,97). 3 7H Jy. (LD Ilustre, tragando o grafico de fe do plano tangente. _ oy 21. Determine a aproximagao linear da funcgao 40 c= xe, (2, 0, 2) S(x,y, Zz) = Vx? + y? + 2? em (3, 2, 6) e use-a para aproxi- 5. z=xsen(x+y), (-1, 1,0) mar o numero ./ (3,02)? + (1,97)? + (5,99)?. 6. z= In(x —2y), (3, 1, 0) 22. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do _____ ooo vento v e do tempo ¢ durante o qual o vento se manteve naquela f4 7-8 Desenhe a superficie e o plano tangente no ponto dado. (Esco- intensidade. Os valores da funcgao h = f (vu, t) siéo apresentados lha 0 dominio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superficie na seguinte tabela. Use a tabela para determinar uma aproxima- quanto o plano tangente.) Em seguida, dé zoom até que a superficie co linear da fung¢ao altura da onda quando vu esté préximo de e o plano tangente se tornem indistinguiveis. 80 km/h e ¢ esté proximo de 20 horas. Em seguida, estime a al- tura das ondas quando esta ventando por 24 horas a 84 km/h. 1 7=x + xy + 3y’, qd, 1, 5) Duragao (horas) 8. = arctg(xy’), 1,1, 7/4 scam due es 2 [sl 9-10 Desenhe o grafico de fe de seu plano tangente no ponto dado. e (Utilize um sistema de computacao algébrica tanto para calcular as S derivadas parciais quanto para tragar os graficos da fun¢gao e de seu 5 plano tangente.) Em seguida, dé zoom até que a superficie e 0 plano S eur aren ie eee oy Se Zim [ss | 99 no 22 | 3s | 47 | sa | 9. ,y) = — —,, (1, 1,0 1,1,0 100 5,8 8.9 | 11,0 | 12,2 | 13,8 | 14,7 15,3 FEM = Tyra ye? 10) (1, 1, 0) 8 > 1. flay) = (Ve + VF + Vi) 1 3") 11-16 Explique por que a fungao é diferenciavel no ponto dado. A ae oo, : . sn ~ 23. Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximagao li- seguir, encontre a linearizag4o L(x, y) da fungéo naquele ponto. is : De near da fung4o humidex quando a temperatura esta prdxima de 1. f(y) = 14x In(ay —5), (2, 3) 32 °C e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 65%. Estime também o humidex quando a temperatura é de 33 °C ea 12. f(x,y) = xy, (1, 1) umidade relativa, 63%. x 13. f(x,y) = Tey’ (2, 1) 24. O indice de sensacdo térmica W é a temperatura sentida quando xy a temperatura real é T e a velocidade do vento, v. Portanto, po- 14. f(x,y) = Vx + e®, (3, 0) demos escrever W = f(T, v). A tabela de valores a seguir foi ex- 5. f(y)=e (x, 0) traida da Tabela 1 da Segao 14.1. Use essa tabela para determinar + Gy) = e cos y, 7 a aproximagao linear da fun¢4o de sensagao térmica quando T 16. f(x,y) =y +sen(x/y), (0, 3) estiver a—15°Cev estiver proximo de 50 km/h. Estime, a se- OT guir, a sensag4o térmica quando a temperatura estiver a —17 °C 17-18 Verifique a aproximacao linear em (0, 0). e a velocidade do vento for de 55 km/h. 2x + 3 17. Tt 3 4 2x y 1% Vy +costx ~1 + 4y y E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 830 CALCULO Velocidade do vento (km /h) 38. A pressdo, o volume e a temperatura de um mol de um gas ideal estao relacionados pela equacéo PV = 8,317, onde P é medida _ pel 2 | 30 | 4 | 50 | 6 | 70 em quilopascals, Vem litros e T em kelvins. Utilize diferenciais Y para determinar a variag4o aproximada da press4o se 0 volume 3 aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura decresce de 310 K para 308 3 39. Se R éa resisténcia equivalente de trés resistores conectados em & paralelo, com resisténcias Ri, R2 e R3, entao 1 1 1 1 — = — + — +H R RR RR; 25-30 Determine a diferencial da fungao. 5 Se as resisténcias sao medidas em ohms como R, = 25 (, Ro = 25. 2 =e cos 2at 26. u= yx + 3y 40 Oe R3 = 50 O, com margem de erro de 0,5% em cada uma, 21. m= pq 8. T= v estime o erro maximo no valor calculado de R. 1 + uvw d 50 4 oo 40. Quatro numeros positivos, cada um menor que 50, sao arredon- 29. R= ap’ A 30. L = ye . . : a. ye a" cos ace dados até a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize 31. Sez = 5x2 + y?e (x, y) varia de (1, 2) a (1,05, 2,1), compare os diferenciais para estimar o maximo erro possivel no calculo do valores de Aze dz. produto que pode resultar do arredondamento. 32. Sez = x°— xy + 3y’e (x, y) varia de (3, —1) a (2,96, —0,95), 41. Um modelo para a area da superficie do corpo humano é dado compare os valores de Aze dz. por S = 72,09w> h®75, onde w é 0 peso (em quilogramas), h é a altura (em centimetros) e S é medida em centimetros qua- 33. O comprimento e a largura de um reténgulo foram medidos drados. Se os erros nas medidas de w e h forem no maximo de como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida 2%, use diferenciais para estimar a porcentagem de erro maxima de, no maximo, 0,1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o na area da superficie calculada. erro maximo cometido no calculo da area do retangulo. 42. Suponha que vocé precise saber uma equacao do plano tangente 34. Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata a superficie S$ no ponto P(2, 1, 3). Vocé nao tem uma equacao cilindrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diametro se o para S, mas sabe que as curvas metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura ri(t) = (2 +3t,1-2,3-41+ 2) e o das laterais tem espessura de 0,05 cm. ; ; oo, . . . ro(u) = (1 + vw’, 2u?— 1, 2u + 1) 35. Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma b . SE . 1 lata cilindrica fechada com 8 cm de diametro e 12 cm de altura am > estao em 5. Encontre uma equa¢ao para o plano tangente se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm. em" 36. O indice de sensacdo térmica é modelado pela funcdo 43-44 Mostre que a fungao € diferencidvel achando valores de ¢; e &2 que satisfagam a Definic¢ao 7. W = 13,12 + 0,62157 — 11,37v%'6 + 0,39657Tv"!® = ;2 2 ° = — 5,2 onde T é a temperatura (em °C) e v, a velocidade do vento (em 8. f@yaxrty a4. f(y) = xy — Sy km/h). A velocidade do vento € medida como 26 km/h, com uma 45. Demonstre que se f é uma fungao de duas variaveis diferencia- possibilidade de erro de +2 km/h, e a temperatura é medida como veis em (a, b), entao fé continua em (a, b) —11 °C, com a possibilidade de erro de +1 °C. Utilize as diferen- Dica: M ostre qu e , ciais para estimar 0 erro maximo cometido no valor calculado de W em decorréncia dos erros de medida em Te v. lim f(a+Ax,b+ Ay) =f(a, b) (Ax, Ay), 0) 37. A tensao T no cordel do ioi6 na figura é 46. (a) A funcao _ mgR T = —2W xy ap + R >= se (x, y) ~ (0, 0) . . .. fy=yxrty onde m é a massa do ioi6 e g é a aceleracao pela gravidade. Utilize 0 se (x, y) = (0, 0) as diferenciais para estimar a variac¢ao na tensao se R aumentar de 3 . , . , , ; cm para 3,1 cm e r aumentar de 0,7 cm para 0,8 cm. A tensdo foi representada em um grafico na Figura 4. Mostre que f,(0, 0) aumenta ou decresce? ef,(0, 0) existem, mas fnao é diferencidvel em (0, 0). [Dica: Uti- TA lize o resultado do Exercicio 45.] (b) Explique por que f, e f, nao sao continuas em (0, 0). R “4 DERIVADAS PARCIAIS 831 co Regra da Cadeia Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma funga4o de uma Unica varidvel nos dava uma regra para derivar uma fungéo composta: se y = f(x) e x = g(t), onde fe g sao funcg6es diferencidveis, entaéo y é uma fungdo indiretamente diferencidvel de t e dy _ dy dx 1] dt dx dt Para as fungdes de mais de uma variavel, a Regra da Cadeia tem muitas vers6es, cada uma delas fornecendo uma regra de derivagéo de uma fun¢gao composta. A primeira versao (Teorema 2) lida com 0 caso onde z = f (x, y) e cada uma das varidveis x e y é, por sua vez, uma fungao de uma varidvel t. Isso significa que z é indiretamente uma fungao de f, z = f (g(t), h(t), e a Regra da Cadeia da uma férmula para diferenciar z como uma fungao de ¢. Presumimos que f seja diferenciavel (Definigao 14.4.7.) Lembremo-nos de que este é 0 caso quando f, e f; so continuas (Teorema 14.4.8). [2 | A Regra da Cadeia (Caso 1) Suponha que z = f (x, y) seja uma fungao diferencidvel de x e y, onde x = g(t) e y = A(t) sao fungoes diferencidveis de ¢. Entaéo z é uma fun- cao diferencidvel de te dz _ afd of ay dt ox dt dy dt DEMONSTRACAO Uma variacao de At em t produz variagdes de Ax em x e Ay em y. Essas, por sua vez, produzem uma variacgaéo de Az em z e, da Definigao 14.4.7, temos 0 0 Az= Of ay + xy + e, Ax + e Ay Ox oy onde €, — 0 e €, — 0 quando (Ax, A y) — (0, 0). [Se as fungGdes €; e €2 nao estado definidas em (0, 0), podemos defini-las como 0.] Dividindo ambos os lados desta equa¢4o por At, temos A of A of A A A Az _ Of Ax, of Ay Ae Ay At ox At oy At At At Se fizermos At — 0, entéo Ax = g(t + Ad) — g(t) — 0 porque g é diferencidvel e, portanto, continua. Da mesma forma, A y — 0. Isso, por sua vez, implica que ¢; — 0 e €2 — 0, por- tanto dz i Az = jim — dt Aro At 0 A 0 A A A = Pim 4 2 jim 22+ (tim a1) lim — + (im e) lim dx Aro At dy Aro At Ar—>0 Aro At At—0 Aro At of d. of d d. d _~ fa, FY i 7 Bi ox dt dy dt dt dt of d. 0 _ af de | af dy = ox dt dy dt Como frequentemente escrevemos 0z/dx no lugar de df/dx, podemos reescrever a Regra da Cadeia na forma 832 CALCULO Observe a semelhanga com a definicao da di- ferencial: dz = Oz ade + oz by az az dt ox dt oy dt dz = — dx + —dy Ox oy STI Se z = x’y + 3xy'*, onde x = sen 2te y = cos ¢, determine dz/dt quando t = 0 SOLUCGAO A Regra da Cadeia fornece de _ a2 de, a2 dy dt ox dt dy dt = (2xy + 3y*)(2 cos 21) + (x° + 12xy?)(—sen f) N§&o é necessArio substituir as expresses por x e y em termos de ¢. Nés simplesmente obser- vamos que quando ¢ = 0, temos x = sen 0 = 0e y = cos 0 = 1. Portanto, dz Then (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)(—sen 0) = 6 t=0 A derivada no Exemplo | pode ser interpretada como a taxa de variag4o de z com relacao a y t quando o ponto (x, y) se move ao longo da curva C com equacgGes paramétricas x = sen 2t, (0,1) y = cos ¢t (Veja a Figura 1.) Em particular, quando t = 0, o ponto (x, y) é (0, 1), e dz/dt = 6 Cc é a taxa de aumento quando nos movemos ao longo da curva C por (0, 1). Se, por exemplo, z= TQ, y) = xy + 3xy* representar a temperatura no ponto (x, y), entaéo a fungdo composta z = T(sen 2t, cos f) representa a temperatura dos pontos da curva C e sua derivada dz/dt cor- x responde a taxa de variacdo de temperatura ao longo da curva C. Sat A pressio em P (em kilopascals), volume V (em litros) e temperatura T (em kel- vins) de um mol de um gas ideal relacionam-se pela equagéo PV = 8,31T. Determine a taxa de variagao da pressdo quando a temperatura é 300 K e esta aumentando com a taxa de 0,1 K/s e 0 volume é 100 L e esté aumentando com a taxa de 0,2 L/s. FIGURA 1 A curva x = sen 2t, y= cos ¢ SOLUCAO Se tf representa 0 tempo decorrido, medido em segundos, entéo em um dado ins- tante temos T = 300, d7T/dt = 0,1, V = 100, dV/dt = 0,2. Como T P= 831— V pela Regra da Cadeia ap _ OP aT | OP WV _ 831 aT _ 8,317 dV dt oT dt av dt V dt Vv’ dt 8,31 8,31(300 = —— (0,1) - 8,31(300) (0,2) = —0,04155 100 100 A pressao esta decrescendo com a taxa de 0,042 kPa/s. —_ Vamos considerar agora a situagao onde z = f (x, y), mas x e y sao fungoes de outras duas variaveis s e t: x = g(s, 1), y = h(s, t). Entao z é indiretamente uma fung¢ao de s e ¢ e deseja- mos determinar 0z/ds e 0z/dt. Lembre-se de que para calcular 0z/dt mantemos s fixo e calcu- lamos a derivada ordinaria de z em relagdo a ft. Portanto, aplicando 0 Teorema 2, obtemos az _ dz ax, az ay ot ox ot oy ot Argumento andalogo serve para 0z/ds, e assim demonstramos a seguinte versdo da Regra da Cadeia. DERIVADAS PARCIAIS 833 [3] A Regra da Cadeia (Caso 2) Suponha que z = f(x, y) seja uma fungao diferencidvel de xe y, onde x = g(s, t)e y = h(s, t) sdo funcgoes diferencidveis de s e t. Entao oz _ 02 Ox | Oz dy oz _ 02 Ox | Oz dy os ox Os oy Os ot Ox ot oy ot (SQXRME Se z = e* sen y, onde x = sf e y = st, determine 02/ds e z/dt. SOLUCAO Aplicando o Caso 2 da Regra da Cadeia, obtemos 0z 0z Ox oz Oy — =—— + —— = (e’*sen y(t’) + (e* cos y)(2st os ax as tay ap 7 SPIE) + (e* cos y)st) = fe" sen(s2t) + 2ste" cos(s?t) Oz 0z Ox oz Oy — = — — + —— = (e’ sen y)(2st) + (e* cos y)(s? or de art dy ar 7 Ce SeR NIST) + (eos y)s*) = 2ste* sen(s2t) + s2e" cos(s?t) — O Caso 2 da Regra da Cadeia contém trés tipos de variaveis: s e t so variaveis inde- pendentes, x e y sido chamadas de varidveis intermediarias, e z é a varidvel dependente. 5 2 5 Observe que 0 Teorema 3 tem um termo para cada variavel intermediaria e que cada um des- ae / \G ses termos se assemelha a Regra da Cadeia unidimensional da Equacao 1. Para lembrar a Regra da Cadeia, é titil desenhar o diagrama em arvore da Figura 2. ax * ax ay y ay Desenhamos os ramos da 4rvore saindo da variavel dependente z para as varidveis interme- as / \n as / \n diarias x e y a fim de indicar que z €é uma fun¢ao de x e y. Entaéo desenhamos os ramos sain- 5 t 5 t do de x e y para as varidveis independentes s e t. Em cada ramo indicamos a derivada parcial correspondente. Para determinar 0z/ds, nds determinamos o produto das derivadas parciais FIGURA 2 ao longo de cada caminho de z a s e somamos esses produtos: oz _ 02 OX | OZ oy Os ox Os oy os Da mesma forma, para determinar 0z/dt usamos os caminhos de z a f. Consideremos agora uma situagdo mais geral, na qual a variavel dependente u € uma fun- ¢ao de n variaveis intermediarias x1, ... , x,, cada uma das quais, por seu turno, é funcgao de m variaveis independentes t), . . . , tn. Observe que existem n termos, um para cada variavel intermedidria. A demonstra¢4o é semelhante 4 do Caso 1. A Regra da Cadeia (Versao Geral) Suponha que u seja uma funcao diferenciavel de n variaveis x1, X2,..., Xn onde cada x; é uma fungao diferenciavel de m variaveis ti, bo, ..., tm. Entaéo u é uma fungao de fi, t,..., tne ou ou Ox, Ou Ox Ou OX, Ot; Ox Ot; OX? Ot; OXn Ot; para cadai=1,2,...,m. (SQM Escreva a Regra da Cadeia para 0 caso onde w = f (x, y, z, t)e x = x(u, Vv), W y = yu, 0), 2 = cu, 0) et = tu, 0). aA On SOLUCAO Aplicamos o Teorema 4 com n = 4e m = 2. A Figura 3 mostra o diagrama em x y z t arvore. Apesar de nao termos escrito as derivadas nos ramos, entendemos que se um ramo / \ / \ / \ / \ liga y e u, entao a derivada parcial para este ramo € dy/du. Com a ajuda do diagramaem > nek > ut » arvore, podemos escrever as expresses pedidas: FIGURA 3 834 CALCULO ow ow Ox ow oy ow Oz ow ot SS HH H+ ou Ox Ou oy Ou oz Ou ot ou ow ow Ox ow doy ow Oz ow ot SH SH eH = ov Ox dv oy dv oz ov ot ov SEYRME Seu = x+y + yz, onde x = rse’, y = rs’e'e z = r’s sen t, determine o valor de du/ds quando r = 2,s = 1,t=0. SOLUCAO Com o auxilio do diagrama em 4rvore da Figura 4, obtemos ou Ou Ox ou oy ou Oz Os ox Os oy os dz Os u = (4x3y)(re’) + Ot + 2yz3)\(2rse™) + Byz?)(r? sen ft) a lS Quando r = 2,5 = let = 0, temos x = 2, y = 2e z = 0, portanto ou /\\ /I\. /\\ 84 — (642) + (46)(4) + (OO) = 192 — ros t rs t rs t Os FIGURA 4 SAVVY Se g(s, 1) = f(s? — 7, ? — s*) ef é diferencidvel, mostre que g satisfaz a equacao 0 0 to + Ss FX 0 os ot SOLUCAO Sejax = s?— Pey =P — s*. Entao g(s, ft) = f (x, y) e a Regra da Cadeia nos for- nece 0 of ox of a 0 0 og _ of dx + of a _ Ff iy + fF (95) Os ox Os dy os ox oy 0 of ox of a 0 0 og _ Of dx + of a _ F (_5y + fF (ay) at ox dt dy dt ax ay Portanto, 0 0 0 0 0 0 129 5% = (a7 2 — a7 2) + (27h 4 25724) =0 os ot Ox oy ox oy SYR Se z =f (x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem continuas e x = r+ s’e y = 2rs, determine (a) 0z/dr e (b) 0°z/dr’. SOLUGAO (a) A Regra da Cadeia fornece 0 0z Ox 0z 0 0 0 Sa S EO OVS (29) 4 (5) or ox or oy or ox oy (b) Aplicando a Regra do Produto na expressao da parte (a), obtemos az 9 dz dz [5 — = —| 2r = + 25 — or or ox oy Oz 0 [ Oz 0 [ az =2— + 2r— | —] + 2s— | — ox or \ ox or \ oy Mas, usando a Regra da Cadeia novamente (veja a Figura 5), temos d (az d [dz\ ax 0 [dz)\a az az —|— J = tl) e+ (le = (ay) + = (25) or \ ox ox \ ox / or oy \ ox / or Ox Oy Ox DERIVADAS PARCIAIS 835 az a(a d(dz\oax a f[dz\a a a ax — oF = — oF — + — OF SF (ay) + 25) or \ oy ox \ dy / or dy \ oy / or ox dy oy Colocando essas expressGes na Equacdo 5 e usando a igualdade das derivadas parciais de * y segunda ordem mistas, obtemos / \ / \ az 0z az az az oz " .! . sz = 2 + Or\ 2r—, + 285 ]} + 25) 2r —_ + 285 or ox Ox Oy Ox Ox dy oy FIGURA 5 0z 2 az Oz > az =2— + 4r°—, + 8rs —_ + 48°, | Ox Ox ox dy oy M8 Diferenciacao Implicita A Regra da Cadeia pode ser usada para dar uma descri¢ao mais completa do processo de derivacdo implicita introduzida nas Secdes 3.5, no Volume I, e 14.3. Supomos que uma equacao da forma F(x, y) = 0 defina y implicitamente como uma fung¢ao diferenciavel de x, isto 6, y = f (x), onde F(x, f (x)) = 0 para todo x no dominio de f. Se F é diferencidvel, pode- mos aplicar 0 Casa | da Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da equacdo F(x, y) = 0 com relacao a x. Ja que x e y sao fungdes de x, obtemos OF dx OF dy —— +——=0 ox dx dy dx No entanto, dx/dx = 1, entao se 0F/dy € 0 resolvemos para dy/dx e obtemos ar G dy Oe Fe dx OF F, dy Para deduzir essa equacdo, presumimos que F(x, y) = 0 define y implicitamente como fun- cao de x. O Teorema da Fungao Implicita, demonstrado em calculo avancgado, fornece con- digdes sob as quais essa suposicao é valida: Ele afirma que se F é definida em uma bola aberta contendo (a, b), onde F(a, b) = 0, F\(a, b) # 0 e F, e Fy sao fung6es continuas nessa bola, entao a equag4o F(x, y) = 0 define y como uma funcao de x perto do ponto (a, b) ea derivada dessa funcdo é dada pela Equacao 6. SFE} Determine y’ se x7 + y? = 6xy. SOLUCAO A equacao dada pode ser escrita como F(x, y) = 7+ y— b6xy = 0 e, dessa forma, a Equacao 6 nos da dy F, 3x* — 6y x? — 2y UR OR hy Oy — dx F, 3y” — 6x y — 2x Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma fun¢a4o z = f (x, y) por uma equacao da forma F(x, y, z) = 0. Isso significa que F(x, y, f (x, y)) = 0 para todo (x, y) no dominio def. Se F e fforem diferenciaveis, utilizamos a Regra da Cadeia para derivaraequa- solugo do Exemplo 8 deve ser comparada com cao F(x, y, z) = 0 da seguinte forma: a do Exemplo 2 da Secao 3.5, no Volume |. dF dx OF dy . aF az —— + —— +—— =0 Ox Ox oy Ox Oz Ox 836 CALCULO 0 0 Mas, —(x)=1 e —(y) =0 ox ox portanto, essa equacg4o se torna OF OF dz — + ——=0 ox 0z Ox Se 0F/dz ¥ 0, resolvemos para 0z/dx e obtemos a primeira formula das Equacées 7. A for- mula para dz/dy é obtida de uma maneira semelhante. OF OF [7] Oz Ox Oz oy ax OF ay OF Oz Oz Novamente, uma versio do Teorema da Funcao Implicita estipula condigdes sob as quais nossa suposi¢4o é valida: se F' é definida dentro de uma esfera contendo (a, b, c), onde F(a, b, c) = 0, Fa, b, c) ¥ Ve F,, F, e F, s40 continuas dentro da esfera, ent&o a equac4o F(x, y, Z) = O define z como uma fungao de x e y perto do ponto (a, b, c), e as derivadas par- ciais dessa funcdo sao dadas por [7]. . OZ Oz SAS GS0E) Determine ox 8 gy 8° P+ P+ 34 bxyz = 1. x oy SOLUCAO Seja F(x, y, z) = 2° + + 2+ Oxyz — 1. Entdo, das Equacées 7, temos A solugdo do Exemplo 9 deve ser > 2 comparada com a do Exemplo 4 Oz _ _ Fy __ 3x° + 6yz —__%* + 2yz na Segao 14.3. ax F, 32° + 6xy 2 + 2xy az Fy 3y? + 6xz 2+ 2xz SB Bi Gee ot tas _ oy F; 3z° + Oxy z + 2xy co Exercicios 1-6 Use a Regra da Cadeia para achar dz/dt ou dw/dt. 11. z= e'cos 6, r= st, 6= J/e+Pr 1. g=e+y+xy, x=sen, ye 12. z=tg(u/v), u=2st+3t v=3s—2t 2. z=cos(xt+4y), x«x=5t*, y= lit 13. Sez=f (x, y), onde fé diferenciavel, e 3 z=VJlt+xt+y’,, x=Int, y=cost x = g(t) y=h® 3) =2 h(3) =7 4 c=tg' Qi), x=e, y=l—e7 93) (3) g'(3) =5 h'(3) = —4, 5. w= xe”, x= P, y= 1- t, LZ 1+ 2t fl2 7) =6 fr (2 7) = -8 6 w=lInJvx?+y?+2°, x=sent, y=cost, z=tgt determine dz/dt quando t = 3. 7-12 Use a Regra da Cadeia para achar dz/ds e dz/dt. 14. Seja Ws, t) = F(u(s, #), v(s, 0), onde F, ue v sao diferencidveis, e 71 z=xy, x=scost, y=ssent u(1, 0) = 2 v1, 0) = 3 8 z=aresen(x—y) x=s+P, y=I1-—2st us(1, 0) = ~2 v1, 0) = 5 u(1, 0) = 6 v1, 0) = 4 9. z=sen6cos d, 0 = st?, db = st F,(2,3) = —-1 F,(2, 3) = 10 1 z=e, x= sit, y= tls Encontre W,(1, 0) e W,(1, 0). 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 837 15. Suponha que f seja uma fungao diferencidvel de x e y, e 35. A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus glu, v) = f (e" + sen v, e“ + cos v). Use a tabela de valores para Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posi¢4o apés t se- calcular g,(0, 0) e g,(0, 0). gundos é dada porx = Vi +t,y=2+ it, onde x e y sao me- didos em centimetros. A fungao da temperatura satisfaz | of tf lg | ff A T.(2, 3) = 4e T,(2, 3) = 3. Quao rapido a temperatura aumenta (0, 0) | 3 | 6 | 4 [8 | no caminho do inseto depois de trés segundos? (1, 2) fo | 3 | 2 [5 | 36. A producao de trigo Wem um determinado ano depende da tem- peratura média T e do volume anual das chuvas R. Cientistas es- 16. Suponha que f seja uma funcao diferencidvel de x e y, e timam que a temperatura média anual esta crescendo a taxa de g(r, s) = f 2r — s, s*— 4r). Use a tabela de valores do Exerci- 0,15 °C/ano e a quantidade anual de chuva esta decrescendo a cio 15 para calcular g,(1, 2) e g(1, 2). taxa de 0,1 cm/ano. Eles também estimam que, no atual nivel de wy: . dugao, W/dT = —2e AW/dR = 8. 17-20 Utilize um diagrama em 4rvore para escrever a Regra da pre “eae, Lo. con : .. . - : (a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais? Cadeia para 0 caso dado. Suponha que todas as fungdes sejam . Le ~ : : oa (b) Estime a taxa de variacgao corrente da producao de trigo diferenciaveis. dWidt 17. u=f(,y), onde x = x(r, 5,0), y = yr, 5, 0) 37. A velocidade da propagacao do som através do oceano com sa- 18. R= f(x,y, 21, onde x = xu, v, w), y = yu, v, w), linidade de 35 partes por milhar foi modelada pela equagao z= 2U, V, w), t = tu, v, w) C = 1449,2 + 4,6T — 0,055T? + 0,00029T? + 0,016D _ _ _ _ onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a 19. w=f(r,s,f), onder = r(x, y), 5 = s(x, y), t = tx, y) temperatura (em graus Celsius) e D é a profundidade abaixo do 20. 1 =f (u,v, w), onde u = up, g, 7, 5), 0 = WD, Gr, 8), nivel do mar (em metros). Um mergulhador comega um mergu- _ lho tranquilo nas aguas oceanicas, e a profundidade do mergu- w = w(p, 4,1, S) . x ot . ee lho e a temperatura da 4gua ao redor sao registradas nos graficos 21-26 Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas par- a seguir. Estime a taxa de variac4o (em relaco ao tempo) da ve- ciais indicadas. locidade do som através do oceano experimentada pelo mergu- lIhador 20 minutos depois do inicio do mergulho. Quais s&o as 2. 2=xXr tay, x= uv?t+w, y=urt ver; unidades? dz Oz az —, —, — quandou=2, v=1, w=0 T du’ dv? dw D 16 oe LEC BSE 22. u= Vr°+s*, r=y+xcost s=xt+ysent 15 ri ttt) peo 2 | | Pee ou uu a SCOCLD EE BCC ax’ ay’ ap andox=1, y= 2, 1=0 s-t Ltt tt a tt et ES Let Tf yy pty ye yy = = = =r: 10 20 30 40 ¢ 10 20 30 40 ¢ 23. w=xytyzt+tz, x=rcosé, y=rsend, z=r6; (min) (min) ow dw —, = quandor = 2,6 = w/2 . . or 00 38. Oraio de um cone circular reto esta aumentando em uma taxa de 5 : 5 / 4,6 cm/s enquanto sua altura esta decrescendo em uma taxa de 24 P= Vue ++ we, u=xe’, v=ye, w= ers 6,5 cm/s. Em qual taxa 0 volume do cone esta variando quando oP oP o raio €é 300 cm e a altura é 350 cm? —, — quandox=0, y=2 dx dy 39. Ocomprimento ¢, a largura w e a altura h de uma caixa variam ptq com o tempo. Em um determinado momento, as dimensdes s4o 2. N= Dar p=utvw, q=utuw, r=wt ww, €=1mew =h=2m, €ewestao aumentando em uma taxa de P 2 m/s enquanto h esta decrescendo em uma taxa de 3 m/s. Nesse dN ON ON _ _ _ instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estao —, —, — quandou=2. v=3, w=4 : du dv aw variando. 26. u=xe®, x=a°B, y=By, t=ya; (a) O volume au du du quandoa=~-1, B=2, y=1 (b) A area da superficie da a B ay , , (c) O comprimento da diagonal 27-30 Utilize a Equacdo 6 para determinar dy/dx. 40. A voltagem Vem um circuito elétrico simples decresce lenta- mente a medida que a pilha se descarrega. A resisténcia R au- 27. ycosx=x+y 28. cos(xy) = 1 + seny menta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = JR, para achar como a corrente J esta variando no 29. tg Oey) = xt xy? 30. e’ senx =x+ xy momento em que R = 400 ©, J = 0,08 A, dV/dt = —0,01 V/s e dR/dt = 0,03 Q/s. 31-34 Utilize as Equac6es 7 para determinar 02z/dx e dz/dy. 41. A pressao de 1 mol de um gas ideal est4 aumentando em uma 31. 4+ 2y°+37=1 32. P-ytr-27=4 taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura est4 aumentando em uma taxa 5 de 0,15 K/s. Use a equagéo no Exemplo 2 para determinar a taxa 33. c= xyz 34. ye+xIny=z de variagaéo do volume quando a pressdo for 20 kPa e a tempe- ratura for 320 K. 838 CALCULO 42. Um fabricante modelou sua fungao P da produgao anual (0 valor 50. Seu = f(x, y), onde x = e’ cos te y = e’ sen ¢, mostre que de toda essa produgéo em milhGes de délares) como uma fungao Cobb-Douglas ou 1 au 4} eu 1 eu P(L, K) = 1,47 L950 a ay (Cl ast oP onde L é o nimero de horas trabalhadas (em milhares) e K é 0 51. Sez =f(x, y), onde x = 1° + s?, y = 2rs, determine 0°z/dr as. capital investido (em milhGes de délares). Suponha que quando (Compare com o Exemplo 7.) L = 30e K = 8, a forca de trabalho esteja decrescendo em uma ; . taxa de 2.000 horas trabalhadas por ano e 0 capital esteja au- 52, Sez = f(x, y), onde x = r cos 8, e y = r sen 8, determine mentando em uma taxa de $ 500.000 por ano. Encontre a taxa de (a) 62/Ar, (b) 42/00 e (c) #°z/dr 36. variagao da produgao. 53. Sez =f (x, y), onde x = rcos 6,e y =r sen 6, mostre que 43. Um lado de um triangulo esta aumentando em uma taxa de 3 5 5 3 3cm/s e um segundo lado esta decrescendo em uma taxa de 2 oz +4 oz = oz +4 joa +4 1 oz cm/s. Se a 4rea do triangulo permanece constante, a que taxa ax? ay? ar? r 0? r or varia o Angulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm 54. Suponha que z = f(x, y), onde x = g(s, the y = H(s, 2). de comprimento, 0 segundo lado tem 30 cm de comprimento e (a) Mostre que o angulo é 7/6? 44. S Anci : oz oz oxy 4 Oe ox dy | Oz ay \? . Se um som com frequéncia f, for produzido por uma fonte se op ax? \ ar axdy at of ay? at movendo ao longo de uma reta com velocidade v, e um obser- 5 5 vador estiver se movendo com velocidade v, ao longo da mesma +4 Oz ox +4 Oz oy reta a partir da diregéo oposta, em dire¢4o a fonte, entao a fre- ax or? dy ar? quéncia do som ouvido pelo observador é (b) Determine uma formula semelhante para 07z/ds dt. fo = ot ji 55. Uma funcao f é chamada homogénea de n-ésimo grau se sa- ° tisfaz a equacao f (tx, ty) = t’f (x, y) para todo t, onde n é um in- onde c é a velocidade do som, cerca de 332m/s. (Este é 0 efeito teiro positivo e f tem derivadas parciais de segunda ordem Doppler.) Suponha que, em um dado momento, vocé esteja em continuas. um trem que se move a 34 m/s e acelera a 1,2 m/s”. Um trem se (a) Verifique se f(x, y) = xy + 2xy’ + Sy? é homogénea de grau aproxima de vocé da diregao oposta no outro trilho a 40 m/s, 3, acelerando a 1,4 m/s’, e toca seu apito, com frequéncia de (b) Mostre que, se f €é homogénea de grau n, entio 460 Hz. Neste instante, qual é a frequéncia aparente que vocé ; ouve e quao rapidamente ela esta variando? x oF +y ft nf (x, y) ~ og vas dx dy 45-48 Suponha que todas as fungées dadas sejam diferenciaveis. [Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f (tx, ty) com rela- 45. Sez=f(x, y), onde x =rcos #ey = rsen 6, (a) determine dz/dr ¢ao a t.] © 62/00 ¢ (b) mostre que 56. Se fé homogénea de grau n, mostre que az \ (az) _ (az), 1 (a) vf a a” (=) * (=) 7 () TP (4) eit + 2x + pit = n(n — I)f(x, y) 46. Seu =f (x,y), onde x = e* cos te y = e* sen t, mostre que 57. Se fé homogénea de grau n, mostre que (55) + (55) LCS) + GB] woh) —]+{—] =e*) (—]} + {[— ox dy ds ot 58. Suponha que a equacao F(x, y, z) = 0 defina implicitamente cada az az uma das trés varidveis x, y e z como fungées das outras duas: 47. Sez =f( — y), mostre que Ox + ey = 0. z=f(@,y), y = g(x, z), xX = h&, z). Se F for diferencidvel e F,, F, e F, forem todas nao nulas, mostre que 48. Sez =f (x,y), ondex =s + tey =s — t, mostre que dz Ox dy az \? Oz > az Oz ax ay az ax ay) as at 59. A Equacao 6 é uma formula para a derivada dy/ dx de uma fun- 49-54 Suponha que todas as fungdes dadas tenham derivadas par- ¢ao definida implicitamente por uma equacao F (x, y) = 0, sendo ciais de segunda ordem continuas. que F é diferenciavel e F, ~ 0. Comprove que se F tem deriva- das continuas de segunda ordem, entéo uma formula para a se- 49. Mostre que qualquer funcdo da forma gunda derivada de y é z= f(x + at) + g(x — at) @y _ FoF? — FoF Fy+ Pyke é uma soluc4o da equacgao de onda dx F} 2 2 02 ar ax? [Dica: Sejau = x + at, v = x — at.] DERIVADAS PARCIAIS 839 | 146 | Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente A Figura | mostra um mapa de contorno da fun¢4o temperatura T(x, y) para a China as 15 horas em 28 de dezembro de 2004. As curvas de nivel, ou isotérmicas, ligam-se as localida- jing des que tém a mesma temperatura. A derivada parcial T, em um local como Chongqing é a taxa de variac4o da temperatura com relacAo a distancia se nos movermos para o leste a par- tir de Chongqing; 7, é a taxa de variagao da temperatura se nos movermos para o norte. Mas, e se quisermos saber a taxa de variacéo da temperatura quando viajamos para sudoeste ou em alguma outra direg¢4o? Nesta seco, introduziremos um tipo de derivada, chamada deri- vada direcional, que nos permite encontrar a taxa de variag4o de uma fungao de duas ou mais variaveis em qualquer direcao. ( (} J M8 Derivadas Direcionais FIGURA 1 Lembremo-nos de que, se z = f (x, y), as derivadas parciais f, e f, sio definidas como _ £O%0 + h, yo) — f%, Yo) 7 f(x, Yo) = lim h f(x, yo + h) — fo, yo) fy(xo, yo) = 00 __iavy_—_ ho h e representam as taxas de mudang¢a de z nas direcGes x e y, ou seja, na diregdo dos vetores de y unidade ie j. Suponha que queiramos determinar a taxa de variagéo de z em (Xo, yo) na direcéo de um | vetor unitério arbitraério u = (a, b). (Veja a Figura 2.) Para fazé-lo, devemos considerar a u 4 superficie S com equacgao z = f (x, y) (grafico de f) e tomar zo = f (Xo, yo). Entéo o ponto jon P(Xo, Yo, Zo) esta em S. O plano vertical que passa por P na direcao de u intercepta S em uma \6 I curva C. (Veja a Figura 3.) A inclinagao da reta tangente T a C em P é a taxa de variacao de (%o» Yo) coed.” z na direcao de u. 0 x Z FIGURA 2 T »~ Plies Yor Zo) Um vetor unitario u = (a, b) = (cos @, sen 0) > 0> 40> -0. y Visual 14.6A mostra uma animagao } da Figura 3 ao rotacionar u e, portanto 7. FIGURA 3 x eer Se O(, y, ye outro ponto sobre C e P’, Q' sao as projecées de P, Q sobre o plano xy, entao o vetor P'Q’ é paralelo a u e, portanto — P’O' = hu = sha, hb) para alguma escalar h. Logo, x — x9 = ha, y — yo = hb, portanto x = xo + ha, y = yo + hb,e Az z~2 _ f(xo + ha, yo + hb) — f(%o, yo) h h h 840 CALCULO Se tomarmos o limite quando h — 0, obteremos a taxa de variacao de z na direcfo de u, que é chamada derivada direcional de f na direcgao e sentido de u. [2] Definigdéo A derivada direcionada de f em (Xo, yo) na direcao do vetor unitario u = (a, byé Xo + ha, yo + hb) — f(xo, Duflto, yo) = Jim LO0* ha yo + NP) ~ flew yo) h>0 h se esse limite existir. Comparando a Definicao 2 com as Equacées [1], vemos que, se u = i = (1, 0), entio Dif = fce se u = j = (0, 1), entao D; f = f,. Em outras palavras, as derivadas parciais de f relacionadas a x e y s40 apenas casos especiais da derivada direcional. 95000 Use 0 mapa climatico na Figura | para estimar o valor da derivada direcional da funcao da em Chongqing na direcao Sudoeste. SOLUCAO O vetor unitdrio na direcio Sudeste é dado por u = —(i + j)/:/2, mas nao neces- sitaremos dessa expresséo. Em vez disso, inicialmente tragamos uma reta que passa por Chongqing na direcdo sudeste. (Veja a Figura 4.) FIGURA 4 —4 Aproximamos a derivada direcional DT pela taxa média da variagéo da temperatura entre os pontos onde essa linha intercepta as isotérmicas T = 5 e T = 10. A temperatura no ponto sudoeste de Chongqing é T = 10 °C e a temperatura no ponto nordeste de Chongqing é T = 5 °C.A distancia entre esses pontos parece ser aproximadamente de 380 km. Portan- to a taxa de variagdo da temperatura na direcAo sudoeste é 10-5 5 DT = —— = => = 0,013 °C/km 7 ° 380 380 / Quando calculamos a derivada direcional de uma fungao definida por uma foérmula, geralmente usamos 0 seguinte teorema: [3] Teorema Se f é uma funcao diferencidvel de x e y, entao f tem derivada direcio- nal na direcdo de qualquer vetor u = (a, b) e Daf (, y) = fx, y)a + fr, y)b DEMONSTRACAO Se definirmos uma funcao g de uma tnica varidvel h por gth) = f (x0 + ha, yo + hb) DERIVADAS PARCIAIS 841 entao, pela definigdo de derivada direcional, temos ' _ gh) — 90) _,. f (xo + ha, yo + hb) — f (xo, yo) g (0) = im — 8 i ad, x YY HSH h—>0 h h—0 h = Du f (Xo, yo) Por outro lado, podemos escrever g(h) = f (x, y), onde x = x» + ha, y = yo + hbe, pela Regra da Cadeia (Teorema 14.5.2), vem of dx of dy ‘(h) = —— — + — = flax, + filx, y)b gh) =~ ay dh fel, y)a + fol y) Se tomarmos h = 0, entéo x = Xo, y = yo, € [5] gO) = fc%o, yo) a + fil%o, Yo) b Comparando as Equacées 4 e 5, vemos que Duf (Xo, Yo) = fc(Xo, Yo) a + fy(Xo, Yo) b 7 Se o vetor unitario u faz um 4ngulo 6 com o eixo x positivo (como na Figura 2), entao podemos escrever u = (cos 6, sen 0) e a f6rmula do Teorema 3 fica [6] Duf (x, y) = f(x, y) cosé + f(x, y) send (SRO Encontre a derivada direcional Dy f (x, y) se f , y) = 28 — 3xy + 4y’ eu é 0 vetor unitario dado pelo angulo 6 = 77/6. Qual sera Du f (1, 2)? So LUCAO A Formula 6 da A derivada direcional Dy f (1, 2) no Exemplo 2 representa a taxa de variagdo de z na diregao 7 7 de u. Isso é a inclinagao da reta da tangente Duf (x, y) = Silx, y) cos — + fila, y) sen — para a curva de intersecgdo da superficie 6 6 z= x>— 3xy + 4y*e 0 plano vertical por V3 (1, 2, 0) na diregao de u mostrado na Figura 5. = (3x? = 3y) “+ (3x + 8y)3 = 3[3 3x? - 3x + (8 — 3v3)p] ; Portanto, Bent ff RSS 13 — 33 SEH D,f(t,2) = $[3v3(y ~ 311) + (8 — 3v3)@)] = 393 A , fet ME 0 Vetor Gradiente 0 aot ry (1, 2,0) Q Observe no Teorema 3 que a derivada direcional de uma fungao diferenciavel pode ser escri- x 7 u ta como o produto escalar de dois vetores: 6 FIGURA 5 Daf y) = fis ya + fO% Yb = (fx, y), Oy) + (a, b) = (fax, y), FOL Y)) U O primeiro vetor no produto escalar ocorre néo somente no c6mputo da derivada direcional, mas também em muitas outras situagdes. Assim, daremos a ele um nome especial (0 gra- diente de f) e uma notacao especial (grad f ou Vf, que lemos “del f”). Definigao Se fé uma fungao de duas variaveis x e y, entéo o gradiente de f é a funcao vetorial Vf definida por of... of, V(x, y) = (fy), HO Y)) = sri t+ sj ox oy 842 CALCULO Siete Sef, y) = sen x + e”, entao Vf (x, y) = (fs fy) = (cos x + ye”, xe”) e Vf (0, 1) = (2, 0) 7 Com a notacao de vetor gradiente, podemos reescrever a Equacao 7 para a derivada dire- cional de uma fungao diferenciavel como [9] Def 9) =Vfy)-u Isso expressa a derivada direcional na diregéo de u como a projecao escalar do vetor gra- diente sobre u. 0 vetor gradiente Vf, —D do Exemplo #€ S709 Determine a derivada direcional da funcio f (x, y) = x’y? — 4y no ponto mostrado na Figura 6 com ponto inicial (2, —1). (2, —1) na diregao do vetor v = W+ 5j. Também é mostrado 0 vetor v, que da a direcdio da derivada direcional. Ambos os SOLUCAO Primeiramente, vamos calcular o vetor gradiente em (2, —1): vetores estado sobrepostos ao mapa de contorno Vi (x, y) = 2xyhi + Bry? — 4 do grafico de f. Vf (2, -1) = —4i + 8j Observe que v nao é um vetor unitério, mas, como | Vv | = /29, o vetor unitario na diregao Zt SS devé v 2, 4 5, u = — = —~= 1 — VF(2,-1) . lv) v2 29? > Portanto, pela Equagao 9, temos (2,—I) Duf (2, -1) = Vf(2, -1) (—4i + 8) — i+ j u > = > -“u=(—-4!1 ° 1 QY i oe — 74524 8°5 32 FIGURA 6 V 29 29 MH Funcées de Trés Variaveis Para as fungées de trés varidveis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhan- te. Novamente D, f (x, y, z) pode ser interpretado como a taxa de variaga4o da fungao na dire- ¢ao de um vetor unitario u. Definigéo A derivada direcionada de f em (x0, yo, Zo) na diregado do vetor uni- tério u = (a, b, c) é Xo + ha, yo + hb, z + hc) — f(xo, yo, Dy flv, Yoo 20) = fim LER MSS MPs ay Ne) Jue) h—>0 h se esse limite existir. Se usarmos a notac4o vetorial, poderemos escrever tanto a definigao (2) quanto a (10) da derivada direcional na forma compacta _ .. f%o + hu) — f(Xo) [11] Du f(Xo) = lim h onde Xo = (Xo, yo) Se n = 2 € Xo = (Xo, Yo, Zo) Se 1 = 3. Isso era esperado, porque a equacaéo vetorial da reta que passa por Xo na direcao do vetor u é dada por x = Xo + tu (Equacdo 12.5.1), e, portanto, f (xo + hu) representa o valor de fem um ponto dessa reta. Se f (x, y, z) for diferencidvel e u = (a, b, c), entéo o mesmo método usado na demons- tracao do Teorema 3 pode ser usado para mostrar que DERIVADAS PARCIAIS 843 [12 Daf (% Ys 2) = fi Ys 2a + AO Ys DD + fil y, De Para uma funcao f de trés varidveis, o vetor gradiente, denotado por Vf ou grad f, é VE, y, z) = (fx, y, 2) AO, y, 2), F(x, y> z)) ou, de modo mais abreviado, of. Of, , of [13] Vf=(fofh>of) =—it+—j+—k ox oy Oz Entao, como para as fungoes de duas variaveis, a Formula 12 para a derivada direcional pode ser reescrita como Duf (x,y,z) = Vf y, 2° U (SGM Se f (, y, z) = x sen yz, (a) determine o gradiente de fe (b) determine a deri- vada direcional de fem (1, 3, 0) na diregéo de v =i + 2j — k. SOLUGAO (a) O gradiente de f é VE (x, y> Zz) = ( flx, y> 2), AO, y> 2) Sx, y, z)) = (sen yz, XZ COS yz, Xy COS yz) (b) No ponto (1, 3, 0) temos Vf (1, 3, 0) = (0, 0, 3). O vetor unitério na direcao de v=i+2j—ké 1, 1 2, 1 k u=—i+ ~j- se vo'' Vo) Vo Portanto, da Equacao 14, vem Duf(, 3, 0) = VfC, 3,0) -u 3k ti + oa : k = .{——4 4 “| - vo'' Vo) Vo 1 3 =3(-—=]=-,/= — V6 2 M8 Maximizando a Derivada Direcional Suponha que tenhamos uma func4o f de duas ou trés varidveis e consideremos todas as deri- vadas direcionais possiveis de fem um ponto determinado. Isso nos dara a taxa de variagao de fem todas as diregdes possiveis. Podemos entaéo perguntar: em qual dessas diregoes f varia mais rapidamente e qual a taxa maxima de variag4o? A resposta a essas perguntas é dada pelo seguinte teorema. [15] Teorema Suponha que f seja uma fungao diferenciavel de duas ou trés variaveis. O valor maximo da derivada direcional Dy f (x) €|Vf(x)| ocorre quando u tem a mesma / / ; oo. . Visual 14.6B realiza uma confirma- direcao do vetor gradiente Vf (x). cdo visual do Teorema 15. DEMONSTRACAO Da Equagao 9 ou 14 temos Du f = Vf: u = |Vf|lul cos 6 = |Vf| cos 6 844 CALCULO onde 6 é o angulo entre Vfe u. O valor maximo de cos 6 é 1 e isso ocorre quando 6 = 0. Logo, o valor maximo de Du f é |Vf | e ocorre quando 6 = 0, ou seja, quando u tem a mesma direcéo que Vf. — EXEMPLO 6 YA Q (a) Se f (x, y) = xe’, determine a taxa de variacao de f no ponto P(2, 0) na direcgdo de Pa 2 OG, 2). (b) Em que diregao f tem a maxima taxa de variag4o? Qual é a maxima taxa de variag4o? SOLUGAO I (a) Primeiro calcularemos 0 vetor gradiente: Vf (2, 0) Vf y) = (fofr) = (e, xe”) 0 x po Ps VF (2, 0) = (1, 2) toes sos Op” _ eo 3 4 sw FIGURA 7 O vetor unitdrio na direcgéo PO = (—1,5,2)éu = (- 5 3)s logo a taxa de variacao de fna Em (2, 0) a fungao no Exemplo 6 aumenta mais diregao que val de PaQe rapido na diregdo do vetor gradiente _ n= (34 Vf (2, 0) = (1, 2). Na Figura 7 observe que Duf 2,0) = V2, 0) w= (1, 2) ( * 5) esse vetor parece ser perpendicular a curva de nivel que passa por (2, 0). A Figura 8 mostra o = 1(— 5) + 2(5) =1 grafico de,fe o vetor graciente. (b) De acordo com o Teorema 15, f aumenta mais depressa na direcdo do gradiente Vf (2, 0) = (1, 2). A taxa maxima de variacao é =< OF IVe (2, 0)| = 1X1, 2)| = v5 — oy 20 wT 15 MEE S320) Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaco seja dada por 7 10 GLEE T(x, y, Z) = 80/1 + x? + 2y? + 32’), onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. 5 Em que diregao no ponto (1, 1, —2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa a 9 oo : 2 maxima de aumento x ’ SOLUCAO O gradiente de T é FIGURA 8 oT, or, oT VT =—i+—j+—k ox oy 0z 160x . 320y . 480z k =S -— sO I TOO rs OOOO SSS (1 + x* + 2y? + 327) (Qtx24+2y 4323 A 4x? + 2y? +32) 160 = (jf — 2yj - 372k (txt + 2y + 3ey | xi 2yj ~ 32k) No ponto (1, 1, —2), o vetor gradiente é VT(1, 1, —2) = 35¢(—i — 2j + 6k) = 3(-i — 2j + 6k) Pelo Teorema 15, a temperatura aumenta mais rapidamente na direcdo do vetor gradiente V7, 1, —2) = 3 (—i — 2j + 6k) ou, de forma equivalente, na diregdo de —i — 2j + 6k ou o vetor unitaério (—i — 2j + 6k)/./41. A taxa maxima de aumento é 0 médulo do vetor gra- diente | V7(1, 1, -2)| =3|-i — 25 + 6k| =3 41 Portanto, a taxa maxima de aumento da temperatura é ; 41 ~ 4°C/m. | M5 Planos Tangente as Superficies de Nivel Suponha que S seja a superficie com a equacao F(x, y, z) = k, ou seja, uma superficie de nivel de uma func¢ao F de trés variaveis, e seja P(Xo, Yo, Zo) um ponto em S. Seja C qualquer curva na superficie S e que passe pelo ponto P. Lembremo-nos da Secao 13.1 que a curva C é des- crita por uma func4o vetorial continua r(t) = (x(t), y(d, z(t)). Seja to 0 valor do parametro DERIVADAS PARCIAIS 845 correspondente ao ponto P; ou seja, r(to) = (xo, yo, Zo). Como C pertence a S, qualquer ponto (x(t), y(t), z(f)) precisa satisfazer a equacao de S, ou seja, F(x(t), WO), 21) = k Se x, y e z sao fung6ées diferenciaveis de t e F também diferenciavel, entaéo podemos usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da Equagéo 16 como segue: OF dx OF dy OF dz [i] OF de, OF dy | OF dz _ 9 ox dt dy dt oz dt Mas, jé que VF = (Fy, Fy, FD er'(f) = (x'(d, yO, z'(O), a Equagiio 17 pode ser escrita em termos de produto notavel como VF -r'(t) =0 Em particular, quando t = fo, temos r(fo) = (Xo, yo, Zo), € assim Z VF (xo, Yos Zo) * r'(t.) =0 VF (Xo, Yoo Zo) A Equagao 18 nos diz que o vetor gradiente em P, VF(x, yo, 20), € perpendicular ao vetor | A i) tangent tangente r'(to) a qualquer curva C em S que passe por P. (Veja Figura 9.) Se VF (Xo, yo, Zo) ‘é ~ 0, é natural definir o plano tangente a superficie de nivel F(x, y, z) = k em P(X, yo, 20) . como o plano que passa por P e tem vetor normal VF(%, yo, Zo). Utilizando a equacao geral do plano (Equagao 12.5.7), podemos escrever a equacao do plano tangente como y x F (x0, Yo, Zo(x — Xo) + Fy(Xo, Yo, Z0)(y — Yo) + F-(Xo, Yo, Zo)(Z — Zo) = O FIGURA 9 A reta normal a S em P é a reta passando através de P e perpendicular ao plano tangen- te. A direcdo da reta normal é, portanto, dada pelo vetor gradiente VF(Xo, yo, Zo) €, assim, pela Equacao 12.5.3, suas equag6es simétricas sao _— x7 _ VT F (Xo, Yo, 20) Fy(%0, Yo, 20) F(Xo, Yo, 20) No caso especial em que a equacao de uma superficie S é da forma z = f (x, y) (ou seja, S € 0 grafico da fungao f de duas varidveis), podemos reescrever a equacéo como F(x, y, 2) = fy) — 2 = 0 e considerar S como uma superficie de nivel (com k = 0) de F. Entao F(X, Yo, Z0) = f(Xo, Yo) F (Xo, Yo, Zo) = fy(%o, Yo) F{%0, Yo, 0) = —1 de modo que a Equagao 19 se torna S:Xos YoMX — Xo) + fio, YY — Yo)~ (Z — Zo) = O que é equivalente 4 Equacao 14.4.2. Entao, nossa nova, mais geral, definicéo de plano tan- gente é consistente com a definigéo que foi dada no caso especial da Secao 14.4. Ssii2t0) Determine as equagdes do plano tangente e da reta normal no ponto (—2, 1, —3) ao elipsoide x + y? + a 3 45> "9 SOLUCAO O elipsoide € a superficie de nivel (com k = 3) da funcgao x? 2 F(x, y,z) =—+y? +— (ayJapty to 846 CALCULO A Figura 10 mostra 0 elipsoide, o plano Portanto, temos tangente e a reta normal do Exemplo 8. x 2z F,(x, y, z) = 2y P.O; y, 2) = fi EO fie F.(—2, 1, —3) = —1 Fy(—2, 1, —3) = 2 FA—2, 1, —3) = 3 , Lh | nm rt ‘ 0 Cee i] Entao, da Equacgdo 19, temos que a equacao do plano tangente no ponto (—2, 1, —3) é Ieee EE Ii 2 2-2 ay =I +2) + 2-1) -3@ +3) =0 EE aH . —4 Wer F/ que pode ser simplificada para 3x — 6y + 2z + 18 = 0. —6 / Pela Equagao 20, as equag6es simétricas da reta normal sao x+2 y-1 z+3 0 0 ~2 —— = —_ = — > = yo? 2 6 =I 2 3 FIGURA 10 M8 Importancia do Vetor Gradiente Vamos resumir agora as maneiras pelas quais o vetor gradiente €é importante. Primeiro, con- sideramos uma fungao f de trés variaveis e um ponto P(xo, yo, Zo) em seu dominio. Por um lado, sabemos do Teorema 15 que o vetor gradiente Vf (xo, yo, Zo) dé a diregao de um aumen- to mais rapido de f. Por outro, sabemos que Vf (Xo, yo, Zo) € ortogonal A superficie de nivel S$ de f em P. (Consulte a Figura 9.) Essas duas propriedades sao compativeis intuitivamente porque, quando nos afastamos de P em uma superficie de nivel S, o valor da fun¢ao f nao se altera. Parece razodvel que, se nos movermos em uma diregdo perpendicular, obteremos o maior aumento. De maneira semelhante, consideramos uma fungao f de duas variaveis e um ponto P(Xo, yo) em seu dominio. Novamente, o vetor gradiente Vf (xo, yo) da a direga&o de um aumen- to mais rapido de f. Da mesma forma, pelas consideragdes semelhantes a nossa discussao dos planos tangente, pode ser mostrado que Vf (%0, yo) € perpendicular 4 curva de nivel Ff (, y) = k que passa por P. Mais uma vez, isso é intuitivamente plausivel porque os valores de f continuam constantes 4 medida que movemos ao longo da curva. (Veja a Figura 11.) y VF (Xo. Yo) © a curva de nivel 300 f(x, y)=k curva de 200 mMmalor 9 * crescimento 100 FIGURA 11 FIGURA 12 Se considerarmos um mapa topografico de um morro e se f (x, y) representar a altura acima do nivel do mar do ponto de coordenadas (x, y), entéo a curva de aclive maximo pode ser desenhada como na Figura 12, fazendo-a perpendicular a todas as curvas de contorno. Esse fendmeno pode ser observado na Figura 12 na Secao 14.1, onde o Lonesome Creek segue a curva de declive maximo. Os sistemas de computacao algébrica tém comandos que tragam alguns vetores gradien- tes. Cada vetor gradiente Vf (a, b) é tracgado partindo-se do ponto (a, b). A Figura 13 mostra esse grafico (chamado campo de vetor gradiente) para a fungao f (x, y) = x? — y’ sobreim- posto a um mapa de contornos de f. Como esperado, os vetores gradientes apontam na dire- cao "ladeira acima’” e sao perpendiculares as curvas de nivel. DERIVADAS PARCIAIS 847 y ys \ Xr 6 Oa 3 as \ 4—| « ~ — We SX XE FIGURA 13 \ / to Exercicios 1. E dado o mapa de contornos mostrando a pressao barométrica 3. Uma tabela de valores do indice de sensacgaéo térmica em hectopascais (hPa) na Australia em 28 de dezembro de 2004. W=f(T, v) é dada no Exercicio 3 da Sec4o 14.3. Use-a para es- Estime o valor da derivada direcional da fungaéo pressio em timar o valor de Dy f (—20, 30), onde u = (i + j)//2. Alice Springs na diregdo de Adelaide. Quais so as unidades da derivada direcianal? 4-6 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na dire- S ¢4o indicada pelo Angulo 0. 2 = 4 fay) =xsyt-xy, UD, 6 = 7/6 g 2 5. f(xys=ye*, (0,4), 0= 27/3 5 6 f(x,y)=e'cosy, (0,0), O=7/4 2 7-10 g (a) Determine o gradiente de f. a (b) Calcule o gradiente no ponto P. 2 (c) Determine a taxa de variagAo de fem P na dire¢ao do vetor u. 5 7. f(y) =sen(2x+3y), P(-6,4), w= H(V3i — i) * 8 f(x.y)=yix, PU,2), u=3(2it V5j) 0500 1000 1500 (Distancia em quil6metros) 9. fs, y, z) = xe”, PB, 0, 2), u= Gj. _ x, 3) 2. O mapa de contorno mostra a temperatura maxima média em 10. f(x y2=Vxt+ yz, Pd,3,), u= G ;, 7) novembro de 2004 (em °C). Estime o valor da derivada direcio- TT nal da fungado da temperatura em Dubbo, New South Wales, na 11-17 Determine a derivada direcional da fungao no ponto dado na diregao de Sydney. Quais sao as unidades? direcao do vetor v. < 1. f(x y)=eseny, (0,7/3), v= (-6,8) & x 2 12. f(x,y) = =—, 1,2), v=@,5 = Sixy) e+ y 1, 2) (3, 5) z 13. gip.g)=p'— pg, (2,1), v=it3i € € 3 14. g(r,s)=te (rs), (1,2), v=S5i+ 10j E 15. f(x,y,d =xe t+ ye+ ze, 0,0,0), v= (5, 1, —2) 8 16. f(uy2=VJoz, G26, v=(-1,-2,2) 2 17. h(r,s,f) =InGrt+6s+90, (11,1), v=4it 12j + 6k E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints est&o disponiveis em www.stewartcalculus.com 848 CALCULO 18. Use a figura para estimar D, f (2, 2). (b) Em que diregao V varia mais rapidamente em P? y 35 (c) Qual a taxa maxima de variacgao em P? u oF 34. Suponha que vocé esteja subindo uma montanha cuja forma é Vf(2, 2) dada pela equac4o z = 1 000 — 0,005x? — 0,01y”, onde x, ye z s4o medidos em metros e vocé esta em um ponto com coorde- nadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para o leste e o 0 * eixo y positivo aponta para o norte. (a) Se vocé andar exatamente para o Sul, comegara a subir ou a 19. Determine a derivada direcional de f(x, y) = Vxy em P(2, 8) descer? A que taxa? na direcAo de QO(5, 4). (b) Se vocé caminhar em direg4o ao Noroeste, comegara a subir . . i, ou a descer? A que taxa? 20. Determine a derivada direcional de f(x, yz) = xy + yz + zxem (c) Em que diregao a inclinagdo é maior? Qual é a taxa de ele- PCI, —1, 3) na diregao de Q(2, 4, 5). vacao nessa direc40? Qual é 0 angulo que o inicio desse ca- 21-26 Determine a taxa de variacdo maxima de f no ponto dado e a minho faz em relagao a horizontal? diregao em que isso ocorre. 35. Seja fuma fungao de duas varidveis que tenha derivadas parciais a1. f(x,y) =4yvx, (4,0) continuas e considere os pontos A(1, 3), B®, 3), CU, 7) e . _ D(6, 15). A derivada direcional de f em A na direg&o do vetor 22. f(s, 1) = te", (0, 2) AB €3,ea derivada direcional em A na direcao AC é 26. De- 23. f(x, y) = sen(xy), (1, 0) termine a derivada direcional de fem A na diregao do vetor AD. 24. f(x,y,2 = (x + yz, (1,1,-1) 36. Um mapa topografico de Blue River Pine Provincial Park em . British Columbia é mostrado. Desenhe as curvas da descida mais 25. f(x, y,2) = yar + y? + 2°, (3, 6, 2) ingreme do ponto A (descendo até o Mud Lake) e do ponto B. 26. f (p,q, r) = arctg(pqr), d, 2, 1) — : _ 27. (a) Mostre que uma fung4o diferencidvel f decresce mais rapi- i fir Jue woe) INS 7 Cc damente em x na direc4o oposta a do vetor gradiente, ou seja, Rt Ne River: Pind® Wo na diregao de —Vf (x). 74 mg iN had (b) Utilize o resultado do item (a) para determinar a diregdo onde > / bho Oye at f(, y) = xy — xy? decresce mais rapido no ponto (2, —3). \ Won * \ M 28. Determine as diregdes em que a derivada direcional de gy ge Yo ; J&R. Ff (% y) = ye™ no ponto (0, 2) tem valor 1. a a 4269 9 . . . oe . . Ls if ( 29. Determine todos os pontos nos quais a diregao de maior varia- bo S ce cao da funcao f (x, y) = 2? + y?— 2x — 4y éi + j. f i SON 4 ( # \ 0 ~\r > 30. Prdximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordena- a\ ——— - - 7300 m das (x, y) € z = 200 + 0,02x? — 0,001y%, onde x, y, e z sio me- EE ON hyn pe) c~ . © Department of Natural Resources Canada. Todos os direitos reservados. didos em metros. Um pescador que esta em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direc4o a boia, que esta localizada no 37. Mostre que a operacao de calcular 0 gradiente de uma fungéo ponto (0, 0). A Agua sob o barco esta ficando mais profunda ou tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam fungoes mais rasa quando ele comega a se mover? Explique. diferencidveis de x e y e que a, b sejam constantes. 31. A temperatura Tem uma bola de metal é inversamente propor- (a) V(au + bv) =aVu+ bVv (b) Vu) = uVo + 0 Vu cional a distancia do centro da bola, que tomamos como a ori- u vVu —uVov / gem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120°. (c) V ype (d) Vu" = nu"! Vu (a) Determine a taxa de variacgaéo de T em (1, 2, 2) em direg4o ao ponto (2, 1, 3). 38. Esboce o vetor gradiente Vf (4, 6) para a fungiio f cujas curvas (b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direcdo de maior de nivel sao mostradas. Explique como vocé escolheu a diregao crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta e sentido e o comprimento desse vetor. para a origem. 32. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por > LG T(x, y, 2) = 2000-39 > . 6 3 (4,6 onde T é medido em °C e x, y, z em metros. (a) Determine a taxa de variacgéo da temperatura no ponto 4 Wf P(2, —1, 2) em diregao ao ponto (3, —3, 3). 4 0 (b) Qual é a diregao de maior crescimento da temperatura em P? 1 { (c) Encontre a taxa maxima de crescimento em P. 5 5 33. Suponha que em uma certa regiao do espaco o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z) = 5x? — 3xy + xyz. (a) Determine a taxa de variag4o do potencial em P(3, 4, 5) na 0 2 4 6 x direcdo do vetor v =i+j—k. DERIVADAS PARCIAIS 849 39. A segunda derivada direcional de f (x, y) é 55. Existem pontos no hiperboloide x? — y? — 2? = 1 nos quais o Dif, y) = DulDuf@ y)] plano tangente é paralelo ao plano z = x + y? . = 3 2 3 — 34 2 Se f(y) =x + 5xy + yeu (5. 5) calcule Dy’ f (2, 1). 56. Mostre que o elipsoide 3x° + 2y? + 7 = 9 e a esfera 2 2 2_ _ _ = i 40. (a)Seu= (a, b) é uma unidade vetorial e f tem derivadas par- wry tz 8x . oy — 82 + 24 0 se tangenciam no ponto oe , (1, 1, 2). (Isso significa que eles tém um plano tangente comum ciais de segunda ordem continuas, mostre que to.) nesse ponto. Def = fea? + Yoab + fyb? P (b) Determine a derivada direcional de f(x, y) = xe” na diregao 57. Mostre que todo plano que é tangente ao cone x* + y* = 2” passa de v = (4, 6). pela origem. 41-46 Encontre uma equagao (a) do plano tangente e (b) da reta nor- 58. Mostre que toda reta normal a esfera x? + y? + z? = r’ passa pelo mal a superficie dada no ponto especificado. centro da esfera. 1. [2@ -2P+Q-1P+@—-3P= 10, (3, 3,5) 59. Onde a reta normal a pardbola z = x* + y’ no ponto (1, 1, 2) in- tercepta o paraboloide uma segunda vez? 4 y=xr-27, (47,3) 43 2=6 01 60. Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto (1, 2, 1) no elip- » xyz =6, (3,2, 1) soide 4x? + y?+ 47? = 12 intercepta a esfera x7 + y+ 2= 102? 4. xy tye + a= 5, (1,2, 1) 61. Mostre que a soma das interseccgées x, y e z de qualquer plano 45. xt+y+z=e%, (0, 0, 1) tangente a superficie Jx + Jy + Jz = Je é uma constante. 46. xt + yt + ct = 222, (1, 1,1) 62. Mostre que as piramides cortadas do primeiro octante por qual- i quer plano tangente 4 superficie xyz = 1 em pontos do primeiro 4 47-48 Utilize um computador para tracar o grafico da superficie, do octante tém o mesmo volume. plano tangente e da reta normal na mesma tela. Escolha o dominio . _ . . com cuidado para evitar planos verticais estranhos. Escolha 0 ponto 63. Determine as equagoes P arametricas da reta fangente a curva de vista de modo que vocé possa ver bem os trés objetos. formada pela intersecgao do paraboloide z = x* + y’ com 0 elip- soide 4x? + y? + 2? = 9 no ponto (—1, 1, 2). 47. + yz+ ex = 3, 1,1,1 : - we ( ) 64. (a)O plano y + z = 3 intercepta o cilindro x’ + y*= 5 em uma 48. xyz = 6, (1, 2, 3) elipse. Determine as equag6es paramétricas da reta tangente a $< essa elipse no ponto (1, 2, 1). 49. Se f(x, y) = xy, encontre o vetor gradiente Vf (3, 2) e use-o para AE (b) Desenhe 0 cilindro, o plano e a reta tangente na mesma tela. encontrar a reta tangente a curva de nivel f(x, y) = 6 no ponto (3, ficies sio di . de j 2). Esboce a curva de nivel, a reta tangente e o vetor gradiente. 65. (a) Duas super Icles sao ditas ortogonals em um ponto de in- tersecgfo se suas normais séo perpendiculares nesse ponto. 50. Se g(x, y) = x°+ y’— 4x, encontre o vetor gradiente Vg(1, 2) e Mostre que superficies com equagdes F(x, y, z) = Oe use-o para encontrar a reta tangente a curva de nivel g(x, y) = 1 G(x, y, z) = 0 sao ortogonais no ponto P onde VF ¥ Ve no ponto (1, 2). Esboce a curva de nivel, a reta tangente e 0 vetor VG # 0 se e somente se gradiente. FG, + FyGy + F-G;= 0 em P (b) Use 0 item (a) para mostrar que as superficies 2 = x° + y’e 51. Mostre que a equacgéo do plano tangente ao elipsoide x+y + 2= r’ sio ortogonais em todo ponto de intersec- la + lb’ + 2lc? = 1 no ponto (%, yo, Zo) pode ser escrita como gao. Vocé pode ver isso sem fazer os calculos? “ + 2x0 + “ =] 66. (a) Mostre que a funcgdo f(x, y) = Xo X — Xo | . [Dica: Use a Definicg&o 14.4.7 diretamente.] 850 CALCULO co Valores Maximo e Minimo Z Maximo Como vimos no Capitulo 4, no Volume I, um dos principais usos da derivada ordinaria é na g» absoluto determinac¢ao dos valores maximo e minimo (valores extremos). Nesta segao veremos como Maximo AN usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maximo e minimo de uma fungao de loca ANN duas variaveis. Em particular, no Exemplo 6 veremos como maximizar o volume de uma AREER caixa sem tampa se tivermos uma quantidade limitada de cartolina para trabalhar. ~ Se pr y Olhe os picos e vales no grafico de f mostrado na Figura 1. Existem dois pontos (a, b) nos “NN WN cs Y ; quais f tem um mdximo local, ou seja, onde f (a, b) é maior que os valores proximos de Minimo WW Minimo f (x, y). O maior destes dois valores é 0 mdximo absoluto. Do mesmo modo, f tem dois mini- absoluto mos locais onde f (a, b) € menor que os valores proximos. O maior destes dois valores é 0 minimo absoluto. FIGURA 1 [1] Definigao Uma fungao de duas varidveis tem um maximo local em (a, b) se f(, y) =f (q@ b) quando (x, y) esta préximo de (a, b.) [Isso significa que f (x, y) < f (a, b) para todos os pontos (x, y) em alguma bola aberta com centro (a, b).] O nimero f (a, b) € chamado valor maximo local. Se f (x, y) = f (a, b) quando (x, y) esta pr6ximo (a, b), entéo f tem um minimo local em (a, b) e f (a, b) € um valor minimo local. Se as inequagoes da Definicao 1 valerem para todos os pontos (x, y) do dominio de f, entao f tem um maximo absoluto (ou minimo absoluto) em (a, b). Observe que a conclusdo do Teorema 2 [2] Teorema Se f tem um maximo ou minimo local em (a, b) e as derivadas parciais pode ser enunciada na notacdo de vetores oo . a gradientes como Vf (a, b) = 0. de primeira ordem de f existem nesses pontos, entao f,(a, b) = Oe f,(a, b) = 0. DEMONSTRACAO Seja g(x) = f (x, b). Se f tem um maximo (ou minimo) local em (a, b), entao g tem um maximo (ou minimo) local em a, portanto g(a) = 0 pelo Teorema de Fermat (veja o Teorema 4.1.4). Mas g'(a) = f,(a, b) (veja a Equagao 14.3.1) e, portanto, f(a, b) = 0. Da mesma forma, pela aplicagéo do Teorema de Fermat a funcio G(y) = f (a, y), obtemos Sia, b) = 0. — Se impusermos f(a, b) = 0 e f(a, b) = O na equacao do plano tangente (Equacao 14.4.2), obteremos z = Zo. Assim, a interpretagdo geométrica do Teorema 2 é que 0 grafico de f tem um plano tangente em um maximo ou minimo local, portanto, o plano tangente deve ser horizontal. Um ponto (a, b) €é chamado ponto critico (ou ponto estaciondrio) de f se f(a, b) = Oe Ji(a, b) = 0, ou se uma das derivadas parciais nao existir. O Teorema 2 diz que se f tem um maximo ou minimo local em (a, b), ent&éo (a, b) é um ponto critico de f. No entanto, como no calculo varidvel tnico, nem todos os pontos criticos originam maximos ou minimos. Em um ponto critico, a fun¢ao pode ter um maximo local ou um minimo local, ou ainda nenhum dos dois. Z Seja f (x, y) = x7 + y?— 2x — 6y + 14. Entio Six, y) = 2x — 2 Si, y) = 2y — 6 Essas derivadas parciais sao nulas quando x = | e y = 3, portanto, o tinico ponto critico é 3.4) (1, 3). Completando os quadrados, achamos 0 f@y)=4+@—1?+ (- 3P Ja que (x — 1° = 0e (y — 3)? = O, temos f (x, y) = 4 para todos os valores de x e y. Logo, x y fC, 3) = 4€um minimo local e, de fato, € o minimo absoluto de f. Isso pode ser confirma- do geometricamente a partir do grafico de f, que € 0 paraboloide eliptico com vértice (1, 3, FIGURA 2 4) mostrado na Figura 2. | z=x?+y-2x-6y+14 Determine os valores extremos de f (x, y) = y? — x’. DERIVADAS PARCIAIS 851 SOLUCAO Como f, = —2x ef, = 2y, 0 tinico ponto critico é (0, 0). Observe que, para os pon- z tos sobre 0 eixo x, temos y = 0, portanto f(x, y) = —x?< 0 (se x ¥ 0). Entretanto, para os ffi pontos sobre 0 eixo y, temos x = 0, portanto f (x, y) = y’ > 0 (se y ¥ 0). Logo, todo disco fi com centro (0, 0) contém pontos onde a fungéo tem valores positivos, assim como pontos y _ ff} onde f tem valores negativos. Entao, f (0, 0) = 0 nao pode ser um valor extremo de f, por- I} Hi i y tanto f nao tem valor extremo. —_ | O Exemplo 2 ilustra 0 fato de que uma fungao pode nfo ter nem maximo nem minimo em um ponto critico. A Figura 3 mostra como isso é possivel. O grafico de f é 0 paraboloide hiperbélico z = y* — x’, que tem plano horizontal tangente (z = 0) na origem. E possivel FIGURA 3 observar que f (0, 0) = 0 € um maximo na diregdo do eixo x, mas um minimo na diregéo do z= y?— x? eixo y. Proximo a origem do grafico existe o formato de uma sela e, portanto, (0, 0) é cha- mado ponto de sela de f. Uma montanha tem um formato de sela. Conforme a fotografia da formacao geolégica ilustra, para as pessoas que escalam em uma direcAo, 0 ponto de sela é 0 ponto mais baixo na rota, enquanto para aqueles que viajam em uma direcdo diferente, 0 ponto de sela é 0 ponto mais alto. Precisamos ser capazes de determinar se uma fungdo tem um valor extremo em um ponto critico. O teste a seguir, que sera demonstrado no fim desta segéo, é andlogo ao Teste da Segunda Derivada para as funcdes de uma tnica variavel. [3] Teste da Segunda Derivada Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam continuas em uma bola aberta com centro em (a, b), e suponha que f(a, b) = Oe fi(a, b) = 0 [ou seja, (a, b) € um ponto critico de f]. Seja @, D = D(a, b) = fea, b) f(a, b) — [fo(a, 6)P 5 (a) SeD > Oe fila, b) > 0, entaéo f (a, b) €é um minimo local. 5 (b) Se D > Oe f.x(a, b) < 0, entao f (a, b) € um maximo local. 5 (c) Se D < 0, entio f (a, b) n4o é minimo local nem maximo local. & OBSERVAGAO 1 No caso (c) 0 ponto (a, b) € chamado ponto de sela de f e 0 grafico de f cruza seu plano tangente em (a, b). OBSERVAGAO 2. Se D = 0, nao dé nenhuma informagado: f pode ter um méximo local ou minimo local em (a, b), ou (a, b) pode ser um ponto de sela de f. OBSERVAGAO 3 Para lembrar a férmula de D, é util escrevé-la como um determinante: fx fey 2 D= = fasfiy ~ (fe) fe x fi y yy y (SGVRME Determine os valores méximos e minimos locais e os pontos de sela de f@,y) =x4+ yt— 4xy + 1, SOLUCAO Primeiro localizamos os pontos criticos: fc = 40 — 4y fr = 4° - 40 . Igualando essas derivadas parciais a zero, obtemos as equagdes RL Wary Tm NNANY AN IV 1 ih Para resolvé-las, substituimos y = x? da primeira equacao na segunda. Isso da \ \ at i 0=x -— x =x08- 1) = x04 - DOF DY = x0? -— DN? + DOs 1) | Wilt e existem trés raizes reais: x = 0, 1, —1. Os trés pontos criticos sao (0, 0), (1, 1) e (—1, —1). M4 / Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais e D(x, y): y f= 12 fy =—-4 fy = 129? * FIGURA 4 D(x, y) = forfy — (fo) = 144x°y* — 16 zaxityl—dxyt1 852 CALCULO Como D(0, 0) = —16 < 0, segue do caso (c) do Teste da Segunda Derivada que a origem é um ponto de sela; ou seja, fnao tem nem maximo local nem minimo local em (0, 0). Como Dd, 1) = 128 > Oe fC, 1) = 12 > 0, vemos do caso (a) do teste que f(1, 1) = —1 é um minimo local. Da mesma forma, temos D(—1, —1) = 128 > Oe fi.(—1, —1) = 12 > 0, por- tanto f(—1, —1) = —1 é também um minimo local. Um mapa de contorno da fungao fdo O grafico de f € mostrado na Figura 4. i Exemplo 3 é6 mostrado na Figura 5. As curvas de nivel perto de (1, 1) e (—1, —1) tém forma oval e indicam que, y quando nos movemos para longe de (1, 1) LZ ou (—1, —1) em qualquer diregdo, os 7 \" valores de f crescem. As curvas de nivel Vy } perto de (0, 0), por outro lado, parecem J} hipérboles. Elas revelam que, quando nos Yy movemos para longe da origem (onde o y valor de fé 1), os valores de f decrescem em algumas diregdes, mas crescem em Fy outras. Portanto, o mapa de contornos x sugere a presenca dos minimos e do ponto J" de sela que encontramos no Exemplo 3. Yf Yj 3 Y \ Y \ Ye FIGURA 5 Em Module 14.7, é possivel utilizar S520" Determine e classifique os pontos criticos da fungao os mapas de contorno para estimar as localizagées dos pontos criticos f(x,y) = 10x’ y — Sx° — 4y* —x* — Dy? Determine também o ponto mais alto do grafico de f. SOLUCAO As derivadas parciais de primeira ordem sao fc = 20xy — 10x — 4x3 fy = 10x? — 8y — By? Para acharmos os pontos criticos precisamos resolver as equagdes [4] 2x(10y — 5 — 2x2) = 0 [5] 5x2 — 4y — 4y°= 0 Da Equagao 4, vemos que x=0 ou 10y —5 — 2x°=0 No primeiro caso (x = 0), a Equacao 5 fica —4y(1 + y*) = 0, assim, y = 0 e temos um ponto critico (0, 0). No segundo caso (10y — 5 — 2x? = 0), temos [6 | = 5y — 2,5 e, substituindo na Equagao 5, temos 25y — 12,5 — 4y — 4y? = 0. Logo, temos de resolver a equacao cuibica [7] 4y>— 2ly + 12,5 =0 Utilizando uma calculadora grafica ou um computador para tragar o grafico da funcgado g(y) = 4y? — 21ly + 12,5 LN como na Figura 6, vemos que a Equacao 7 tem trés raizes reais. Dando zoom podemos achar 3 IN 27 as raizes com quatro casas decimais: T7 , (Como alternativa, podemos usar 0 método de Newton ou um programa para localizar raizes FIGURA 6 para determina-las.) Da Equagao 6, os valores x correspondentes sao dados por x= £V/5y — 2.5 DERIVADAS PARCIAIS 853 Se y ~ —2,5452, entaéo x nao tem valor real correspondente. Se y ~ 0,6468, entao x ~ £0,8567. Se y ~ 1,8984, entao x ~ +2,6442. Assim, temos o total de cinco pontos cri- ticos, que séo analisados na tabela a seguir. Todos os valores esto arredondados para duas casas decimais. (0, 0) 0,00 —10,00 80,00 maximo local (+2,64, 1,90) 8,50 —55,93 2.488,72 maximo local (+0,86, 0,65) —1,48 —5,87 — 187,64 ponto de sela As Figuras 7 e 8 mostram o grafico de f sob dois pontos de vista diferentes, e vemos que a superficie se abre para baixo. [Isso pode ser visto da express4o de f (x, y): os termos domi- nantes sio —x*+— 2y* quando |x| e |y| sao grandes.] Comparando os valores de f nos maxi- mos locais, vemos que 0 maximo absoluto de f é f (+2,64, 1,90) ~ 8,50. Em outras palavras, os pontos mais altos do grafico de f so (+2,64, 1,90, 8,50). Z Z TX KN fii A ih ih of = {| | (| ‘ IM lI ||| | VY y / \K\ ALY * MTV iM ANY KNVY f Hl in| HAN | Ni Visual 14.7 mostra diversas LN || familias de superficies. A superficie nas Figuras 7 e 8 6 um membro de uma dessas familias. FIGURA 7 FIGURA 8 y « > Y y) Os cinco pontos criticos da fungao f do \ 2 A fe / Exemplo 4 estao destacados em azul no LSS mapa de contorno de f na Figura 9. SKS ~0,8 / —1,48 » C |) o> »x we FIGURA 9 (SGM Determine a menor distancia entre 0 ponto (1, 0, —2) e o plano x + 2y + z =4. SOLUCAO A distancia entre um ponto qualquer (x, y, z) e 0 ponto (1, 0, —2) é d= J/(x — 1)? + y? + (2 + 2) Mas, se (x, y, Z) pertence ao plano x + 2y + z = 4, entéao z = 4 — x — 2y e assim temos d= J/(x — 1)? + y? + (6 — x — 2y)?. Podemos minimizar d minimizando a expressao mais simples a=f(x,y)=(- 1? + y+ (6 -—x — 2y? Resolvendo as equacg6es fe = 2(x — 1) — 2066 — x — 2y) = 4x + 4y—- 14=0 fy = 2y — 46 — x — 2y) = 4x + 10y — 24 =0 854 CALCULO achamos que o Unico ponto critico é (2, 5). Como fx = 4, fy = 4 e fy = 10, temos D(x, y) = fa fy — fy)? = 24 > Oe fix > 0, portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, f tem um minimo local em (2, °), Intuitivamente podemos ver que esse minimo local é, na verda- 0 Exemplo 5 poderia ser resolvido de, um minimo absoluto, porque precisa haver um ponto no plano dado que esteja mais pr6- utilizando-se vetores. Compare com os ximo de (1, 0, —2). Sex = a ey= 2 entaéo métodos da Segdo 12.5. a= V@= I ty + 65 Dy = VO HO FO = ive A menor distancia de (1, 0, —2) ao planox + 2y +z=46é 24/6. —_ | Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m? de papelao. Deter- mine o volume maximo dessa caixa. ° Le SOLUCAO Sejam x, ye zo comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros) como mos- a7 * trado na Figura 10. Entaéo, o volume da caixa é y V=xyz FIGURA 10 Podemos expressar V como fungao sé de x e y usando o fato de que a area dos quatro lados e do fundo da caixa é 2xz + 2yz + xy = 12 Isolando z nessa equagao, obtemos z = (12 — xy)/[2(x + y)], e V fica v= 12—xy | 1l2xy — xy? e+ y) Ae + y) Calculamos as derivadas parciais: dV y*(12 — 2xy — x’) dV x*(12 — 2xy — y’) ax 2(x + yP ay 2(x + y) Se V é um maximo, entao dV/dx = dV/dy = 0, mas x = 0 ou y = 0 da V = 0, de modo que precisamos resolver as equagdes 12 — 2xy - =0 12 —2xy-y=0 Isso implica que x* = y’ e, portanto, x = y. (Observe que ambos devem ser positivos neste problema.) Se colocarmos x = y em qualquer uma das equagGes obtemos 12 — 3x? = 0, 0 que d4x=2,y=2ez= (12-2: 2)/202 + 2)) = 1. Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para mostrar que 0 ponto obtido é um maxi- mo local de V, ou podemos argumentar que a natureza fisica do problema exige a existéncia de um maximo absoluto, que deve ocorrer em um ponto critico de V, portanto, esse maximo pode ocorrer quando x = 2, y = 2, z = 1. Assim, V= 2-2-1 = 4,e0 volume maximo da caixa é 4 m’. = M5 Valores Maximo e Minimo Absolutos Para uma fungao f de uma variavel, o Teorema do Valor Extremo diz que, se f é continua em um intervalo fechado [a, b], entéo ftem um valor minimo absoluto e um valor maximo absolu- to. De acordo com o Método dos Intervalos Fechados da Se¢ao 4.1, no Volume I, achamos esses valores calculando f nao somente nos pontos criticos, mas também nas extremidades a e b. (a) Conjuntos fechados Para as fungGes de duas variaveis, a situagao €é semelhante. Do mesmo modo que os inter- valos fechados contém suas extremidades, um conjunto fechado de IR? contém todos os seus ~ a pontos da fronteira. [Um ponto da fronteira de D é um ponto (a, b) tal que qualquer bola aberta ff \ | com centro em (a, b) contém pontos de D e pontos nao pertencentes a D.] Por exemplo, o disco Vy | | D={(x,ylety<1} . ~ constitufdo de todos os pontos sobre e dentro da circunferéncia x° + y? = 1 € um conjunto (b) Conjuntos que nao sao fechados , . . . fechado porque contém todos os seus pontos da fronteira (que so os pontos sobre a circun- FIGURA 11 feréncia x? + y?= 1). Mas se um tinico ponto da fronteira for omitido, 0 conjunto deixa de ser fechado (veja a Figura 11.) Um conjunto limitado em R? é aquele que est contido em alguma bola aberta. Em outras palavras, ele é finito em extens4o. Entéo, em termos de conjuntos fechados e limita- dos, podemos enunciar 0 correspondente ao Teorema do Valor Extremo para duas dimenso6es. DERIVADAS PARCIAIS 855 Teorema do Valor Extremo para as Fungoes de Duas Variaveis Se f é continua em um conjunto fechado e limitado D em R’, entéo f assume um valor maximo absoluto f(a, y1) e um valor minimo absoluto f (x2, y2) em alguns pontos (x1, y1) € (2, y2) de D. Para acharmos os pontos extremos, cuja existéncia é garantida pelo Teorema 8, observa- mos que, pelo Teorema 2, se ftem um valor extremo em (x1, y1), entao (x1, yi) ou € um ponto critico de f, ou um ponto da fronteira de D. Portanto, temos a seguinte extensao do Método dos Intervalos Fechados. [9] Para determinar os valores maximo e minimo absolutos de uma funcao continua fem um conjunto fechado e limitado D: 1. Determine os valores de f nos pontos criticos de fem D. 2. Determine os valores extremos de fna fronteira de D. 3. O maior dos valores dos passos | e 2 € 0 valor maximo absoluto; o menor des- ses valores é 0 valor minimo absoluto. S5"i2h0y) Determine os valores m4ximo e minimo absolutos da fungao f(@, y) =x? — 2xy + 2y no reténgulo D = {(7, yy |O 0 e D(a, b) > 0. Mas fix e D = fix fy — fe S40 fungdes conti- nuas, portanto ha uma bola aberta B com centro (a, b) e raio 6 > 0 tal que fi.(x, y) > Oe D(x, y) > 0 sempre que (x, y) esta em B. Logo, ao olhar na Equacao 10, vemos que Dj f (x, y) > O sempre que (x, y) pertencer a B. Isso significa que se C é a curva obtida pela inter- secgao do grafico de f com o plano vertical que passa por P(a, b, f (a, b)) na direcgao de u, entao C é c6ncava para cima no intervalo do comprimento 26. Isso é verdadeiro na diregao de cada vetor u, portanto se restringirmos (x, y) para ficar em B, o grafico de f fica acima de seu plano horizontal tangente em P. Assim, f (x, y) = f(a, b) sempre que (x, y) estiver em B. Isso mostra que f (a, b) é um minimo local. — ca Exercicios 1. Suponha que (1, 1) seja um ponto critico de uma fungao f com 4. f(x,y) =3x—-x-2y+ yt derivadas de segunda ordem continuas. Em cada caso, 0 que se pode dizer sobre f? _ y @fll D=4, fol D=1, fl, = 2 fl SQ. FZ (fel D=4, fol, D=3, fo, 1) = 2 ° 2. Suponha que (0, 2) seja um ponto critico de uma fungao g com derivadas de segunda ordem continuas. Em cada caso, 0 que se | pode dizer sobre g? » WW) ~ (a) gx(O, 2) = —1, gx(0, 2) = 6, gy(0, 2) = 1 (b) gxx(0, 2)=-1, 9x0, 2) = 2, gry(0, 2)= -8 (c) gx(O, 2) = 4, gx(0, 2) = 6, Gy(0, 2) = 9 (C) | 3-4 Utilize as curvas de nivel da figura para predizer a localizagao SX a \ SN dos pontos criticos de fe se f tem um ponto de sela ou um maximo _ ~ ou minimo local em cada um desses pontos. Explique seu racioci- a nio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para con- 5-18 Determine os valores mAximos e minimos locais e pontos de firmar suas predi¢6es. sela da fungao. Se vocé tiver um programa de computador para . desenhar em trés dimens6es, trace 0 grafico da fung4o usando um 3 fa, y) =4 424+ y— 3xy . ae . ponto de vista e dominio convenientes para mostrar os aspectos y importantes da fungao. 5. fy) =9-2x+ 4y-¥—- 4 1 () 6 f(y) = xy + 12x — By 3,2 . 7. f(y) = («— y) I ~ xy) 3,7 4 8 f(x,y) = xe —1 37 4,2 1 x IN 3,2 5 9 f(x,y) = y+ 3x°y — 6x? — 6y? + 2 2 o! ‘ 10. f(x,y) =xy(1—x-y) SS M1. f(x,y) = 28 — 12xy + 8y3 E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 857 12. fluy)=ay+—+— 34. f(xy) = D= (x. ylx=0,y = 0,22 + y <3} xy 13. f(x, y) = e’cos y 35. f(x,y) =23+y4, D={Q@, y)|eP+y<1} 14. f(x,y) = ycosx 36. f(x,y) =~—-— 3x—y%+ 12y, D€o quadrildtero cujos vérti- 1 ces sao (—2, 3), (2, 3), (2, 2) e (—2, —2). 15. f(x,y) = @2+ yer Se 16. f(x,y) =e? —¥) FY 37. Para as fungGes de uma varidvel, é impossivel uma funcio con- » LO y= er ~ x tinua ter dois pontos de maximo local e nenhum de minimo 17. f(x,y) = y? — 2y cos x —-l1, d, a soma dos quadrados dos desvios. 53. Seo comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser Mostre que, de acordo com esse método, a reta de melhor ajuste L, qual é o maior volume possivel? € obtida quando 54. Trés alelos (vers6es alternativas de um gene) A, B e O determinam m S x; + bn = S yi os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) i=l i=l e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a propor¢ao de indi- n n n viduos em uma populagao que carregam dois alelos diferentes é m x xi +b x xi = x XiVi i= i= i= P= 2pq + 2pr + 2rq Dessa forma, a reta é determinada ao resolver essas duas equa- onde pPqger sao as propor¢oes de A, Be Ona populagao. Use ¢oes nas incégnitas meb. (Veja a Secao 1.2, no Volume I, para o fato de que p + gq + r = 1 para mostrar que P é no maximo 2 mais discussdes e aplicagdes do método dos quadrados mini- mos.) 55. Suponha que um cientista tenha razGes para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, 56. Determine uma equacao do plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) y = mx + b, pelo menos aproximadamente, para algum valor de e que corta o menor volume do primeiro octante. ns PROJETO APLICADO PROJETO DE UMA CACAMBA Para esse projeto, inicialmente localizamos uma cagamba de entulho retangular para estudar sua forma e construgaéo. Tentaremos entéo determinar as dimens6es de um recipiente de forma similar e que minimize o custo de construgao. 1. Primeiro localize uma cagamba de entulho. Estude e descreva cuidadosamente todos os detalhes de sua construgao e determine seu volume. Inclua um esbog¢o do recipiente. 2. Mantendo a mesma forma geral e o método de construgao, determine as dimensGes que tal recipiente deveria ter para minimizar o custo de construgao. Utilize as seguintes hipdteses para sua andlise: = Os lados, a parte de tras e a da frente devem ser feitos com folhas de aco de tipo 12 (2,657 mm de espessura), que custam $ 8,00 por metro quadrado (incluindo quaisquer cortes ou dobras necessarios). = A base deve ser feita de uma folha de aco de tipo 10 (3,416 mm de espessura), que custa $ 10,00 por metro quadrado. = As tampas custam aproximadamente $ 50,00 cada, independentemente das dimensGes. = A soldagem custa aproximadamente $ 0,60 por metro para material e servigo combinados. Dé sua justificativa para qualquer hipdtese adicional ou simplificagdo feita dos detalhes de construgao. 3. Descreva como qualquer hipotese ou simplificagao feita pode afetar o resultado. 4. Se vocé fosse contratado como consultor nessa pesquisa, quais seriam suas conclusdes? Vocé recomendaria a alteragdo do projeto da cagamba? Se sim, descreva a economia resultante. DERIVADAS PARCIAIS 859 a PROJETO DE DESCOBERTA APROXIMACAO QUADRATICA E PONTOS CRITICOS A aproximacao por polindmio de Taylor de uma fungao de uma variavel discutida no Capitulo 11 pode ser estendida para as fungdes de duas ou mais varidveis. Estudaremos aqui a aproxi- macao quadratica para as funcées de duas varidveis e usaremos esse estudo para melhor enten- der o Teste da Segunda Derivada para classificar pontos criticos. Na Secao 14.4 discutimos a linearizagao de uma fungao f de duas varidveis em um ponto (a, b): L(x, y) = f (a, b) + fila, bx — a) + fila, by(y — b) Lembre-se de que o grafico de L é o plano tangente a superficie z = f(x, y) em (a, b, f (a, b)), e a aproximagao linear correspondente é f (x, y) ~ L(x, y). A linearizacao L também é chamada polinémio de Taylor de primeiro grau de f em (a, D). 1. Sef tiver derivadas parciais de segunda ordem continuas em (a, b), entéio o polindmio de Taylor de segundo grau de f em (a, b) é O(x, y) = f(a, b) + fla, bx — a) + fa, by — b) + 3 fesla, byw — a) + fora, BY — ally — b) + 3,fla, by — bY e a aproximagao f (x, y) ~ Q(x, y) é denominada aproximagao quadratica de f em (a, b). Verifique que Q tem as mesmas derivadas parciais de primeira e segunda ordens que f em (a, b). 2. (a) Determine os polindmios de Taylor de primeiro e segundo graus L e Q de f(x, y) =e em (0, 0). (b) Esboce 0 grafico de f, L e Q. Comente o quanto L e Q se aproximam de f. 3. (a) Determine os polindmios de Taylor de primeiro e segundo graus L e Q para Ff (@, y) = xe’ em (1, 0). (b) Compare os valores de L, Q e f em (0,9, 0,1). (c) Esboce 0 grafico de f, L e Q. Comente o quanto L e Q se aproximam de f. 4. Nesse problema analisaremos o comportamento do polinémio f (x, y) = ax? + bxy + cy” (sem utilizar o Teste da Segunda Derivada) identificando 0 grafico como um paraboloide. (a) Completando os quadrados, mostre que, se a # 0, entiio b \ 4ac — b? f(x% y) = ax? + bxy t+ cy? = ol (x a 45) a ("| 2a 4a (b) Seja D = 4ac — b’. Mostre que se D > 0 e a > 0, entao f tem um minimo local em (0, 0). (c) Demonstre que se D > Oe a < 0, ent&o f tem um maximo local em (0, 0). (d) Demonstre que se D < 0, entao (0, 0) € um ponto de sela. 5. (a) Suponha que f seja uma fungao qualquer com derivadas parciais de segunda ordem con- tinuas, tal que f (0, 0) = 0 e que (0, 0) seja um ponto critico de f, Escreva uma expres- so para o polindmio de Taylor de segundo grau Q de fem (0, 0). (b) O que vocé conclui sobre Q usando os resultados do Problema 4? (c) Em vista da aproximagao quadratica f (x, y) ~ Q(x, y), o que a parte (b) sugere sobre f°? E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 860 CALCULO ce Multiplicadores de Lagrange y No Exemplo 6 da Sec4o 14.7 maximizamos a fungaéo volume V = xyz sujeita a restri¢ado 2xz + 2yz + xy = 12, que expressa a condi¢ao de a drea da superficie ser de 12 m?. Nesta U secao apresentaremos o método de Lagrange para maximizar uma fungao genérica f (x, y, Z) foxy) = sujeita a uma restri¢ao (ou vinculo) da forma g(x, y, Z) =k. ; . F(x, y) =10 E facil explicar a base geométrica do metodo de Lagrange para as fungGdes de duas varia- f(x, y) =9 veis. Entéo, vamos comegar tentando determinar os valores extremos de f (x, y) sujeita a uma g(x, y)=k Flor, y)=8 restrigdo da forma g(x, y) = k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de Flor, y)=7 SG, y) quando ° ponto (x, y) pertencer a curva de nivel g(x, y) = k. A Figura | mostra essa 7 ~ curva junto de diversas curvas de nivel de f, Estas tém as equacoes f (x, y) = c onde c = 7, 8, 9, 10, 11. Para maximizar f (x, y) sujeita a g(x, y) = k é preciso determinar o maior valor de c, tal que a curva de nivel f (x, y) = c intercepte g(x, y) = k. Parece, da Figura 1, que isso FIGURA 1 acontece quando essas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas tém uma reta tangente comum. (Caso contrdario, poderiamos aumentar o valor de c.) Isso significa que as retas nor- mais ao ponto (Xo, Yo) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores Visual 14.8 mostra uma animagao gradientes sao paralelos, ou seja, Vf (xo, yo) = AVg(Xo, yo) para algum escalar A. da Figura 1 para as curvas de nivel e Esse tipo de argumento também se aplica ao problema de achar os valores extremos de superticies de nivel. f @, y, Z) sujeita a restricAo g(x, y, z) = k. Assim, 0 ponto (x, y, z) esta restrito a pertencer a superficie S com equacao g(x, y, z) = k. Em vez das curvas de nivel na Figura 1, devemos considerar as superficies de nivel f (x, y, z) = c e argumentar que, se o valor maximo de f é F (Xo, Yo, Zo) = c, entao a superficie de nivel f (x, y, z) = c é tangente a superficie de nivel g(x, y, Z) = k, e entao os correspondentes gradientes sao paralelos. Esse argumento intuitivo pode se tornar preciso da seguinte forma. Suponha que uma funcao f tenha um valor extremo no ponto P(X, yo, Zo) sobre a superficie S e seja C uma curva com equacao vetorial r(¢) = (x(t), y(t), z(t) que pertenca a S e passe pelo ponto P. Se tf € 0 valor do parametro correspondente ao ponto P, entao r(to) = (Xo, Yo, Zo). A fun¢ao composta h(t) = f &@, yO, z() representa os valores que f assume sobre a curva C. Como f tem um valor extremo em (Xo, yo, Zo), Segue que A tem um valor extremo em fo, portanto, A’(to) = 0. Porém, se f for diferencidvel, usando a Regra da Cadeia, podemos escrever 0 = h'(t) = filo, Yo, Z0)X'(to) + fro, Yo, Zo)y’ (to) + fe(%o5 Yo, Z0)z' (to) = Vf (Xo, Yo, Zo) * ¥'(to) Isso mostra que o vetor gradiente Vf (Xo, yo, Zo) € ortogonal ao vetor da tangente r’(f) para todas as curvas C. Mas ja sabemos da Secfo 14.6 que o vetor gradiente de g, Vg(%o, yo, Zo), também é ortogonal a r’(f) para todas as curvas. (Veja a Equacao 14.6.18.) Isso significa que os vetores Vf (Xo, yo, Zo) € Vg(Xo, Yo, Zo) precisam ser paralelos. Logo, se Vg(xo, Yo, 20) ~ 0, exis- te um numero A tal que Multiplicadores de Lagrange tém esse [1] nome em homenagem ao matematico franco-italiano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). O numero A na Equacéo 1 é chamado multiplicador de Lagrange. O procedimento baseado na Equacio | € 0 seguinte: Metodo dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores maximo e minimo Ao deduzirmos o Método de Lagrange, de f (x, y, z) Sujeitos a restri¢ao g(x, y, z) = k [supondo que esses valores extremos exis- supusemos que Vg ~ 0. Em cada um de tam e que Vg ¥ 0 sobre a superficie g(x, y, z) = k]: nossos exemplos, vocé pode verificar que (a) Determine todos os valores de x, y, ze A tais que Vg ~ 0 em todos os pontos onde g(x, y, Z) = k. Veja o Exercicio 23 para Vf (x, yzl=a Vg(x, ys 2) descobrir 0 que pode sair errado e G(X yz) =k se Vg = 0. (b) Calcule fem todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses valores sera 0 valor maximo de f, e o menor sera 0 valor minimo de f. DERIVADAS PARCIAIS 861 Se escrevermos a equacio vetorial Vf = A Vg em termos de suas componentes, as equa- ges do passo (a) ficarao fe = Age Sy = Ags f= Ag: GX, Y,2) = k Isso € um sistema de quatro equacg6es a quatro incégnitas, x, y, ze A. Mas nao é necessario calcular de modo explicito valores para A. Para as fung6es de duas varidveis, o método dos multiplicadores de Lagrange é anélogo aquele que acabamos de descrever. Para acharmos os valores extremos de f (x, y) sujeitos a restrigao g(x, y) = k, olhamos para todos os valores de x, y e A, tais que Vf (x, y) = A Vg(x, y) e g(x, y) = k Isso leva 4 solugdo de um sistema de trés equag6es a trés incdgnitas: Sc = Age Sy = Agy gx, y) =k Nosso primeiro exemplo de método de Lagrange é reconsiderar 0 problema dado no Exemplo 6 da Secao 14.7. (SGM Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m? de papelao. Deter- mine o volume maximo dessa caixa. SOLUCAO Como no Exemplo 6 na Segao 14.7, sejam x, y e z 0 comprimento, a largura e a altura, respectivamente, da caixa em metros. Queremos maximizar V = xyz sujeita a restrigao g(x, y, Z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, olhamos para os valores de x, y, z € A, tais que VV = AVge g(x, y, z) = 12. Isso gera as equacgdes V. = AQx, V, = Ag, V, = Ag: 2xz + 2yz + xy = 12 ou seja: [2] yz = A(2z + y) [3] xz =A(2z + x) xy = A(2x + 2y) [5] Qxz + 2yz + xy = 12 Nao ha regras gerais de como resolver esse sistema de equagdes. Algumas vezes precisamos de certa engenhosidade. No presente caso, vocé pode observar que, se multiplicarmos |2 | por x, |3| por y, e [4] por z, os lados esquerdos dessas equag6es ficam idénticos. Fazendo isso, temos [6] xyz = A(2xz + xy) Outro método de resolver o sistema de _ EquagGes (2-5) é isolar A em cada uma das + 7 xyz = Aye + xy) Equacdes 2, 3 e 4 para A e depois igualar xyz = A(2xz + 2yz) as express6es resultantes. Observamos que A ¥ 0 porque A = 0 implicaria yz = xz = xy = 0 de [2], [3] e [4], e isso contradiz [5]. Logo, de [6] e [7], temos 2xz + xy = 2yz + xy que nos fornece xz = yz. Mas z ~ O (uma vez que z = 0 daria V = 0), portanto x = y. De e temos 2yz + xy = 2xz + 2yz que dé 2xz = xy e assim (como x # 0), y = 2z. Se colocarmos x = y = 2z em [5], obtemos 47° + 47+ 47 = 12 862 CALCULO Como x, y e z todos sao positivos, teremos z = | e, portanto, x = 2 e y = 2. Isso concorda com nossa resposta na Secao 14.7. 7 Em termos geométricos, o Exemplo 2 pede os . . > > , pontos mais altos e os pontos mais baixos da Sat Determine os valores extremos da funcgao f (x, y) = x° + 2y’ no circulo curva C da Figura 2 que pertence ao paraboloide e+ y” =1. z= x° + 2y’ e que esta diretamente acima do ~ . . . to rs circulo de restrigdo x2 + y? = 1. SOLUCAO Foi-nos pedido para determinar os valores extremos de f sujeita 4 restri¢do 2 g(x, y) = x7 + y? = 1. Usando os multiplicadores de Lagrange, resolvemos as equacGes z=x?+2y? Vf = AVg e g(x, y) = 1, que podem ser escritas como RAVAN Y if Fe= Ags fy = AY g(x,y) = 1 Wp ou \ MUN [9] 2x = 2xA NOON - CAAT ty =A Wen a On a vee $$ a De [9] temos x = Q0oudA = 1. Sex = 0, entao [I] leva a y = +1.SeA = 1, entéo y = 0 de J y [10], e assim [11] dé x = +1. Dessa forma, os valores extremos possiveis de f s40 os pontos (0, -2 2— * ty al 1), (0, —1), C1, 0) e ( —1, 0). Calculando f nesses quatro pontos, achamos FIGURA 2 fOV=2 fO@-YD=2 fat — f(-1,0)=1 A geometria por tras do uso de multiplicadores Portanto, o valor méximo de f no circulo x7 + y?= 1 € f (0, +1) = 2, e o valor minimo é de Lagrange no Exemplo 2 € mostrada na Figura +1.) = 1. Verificando na Figura 2, vemos que esses valores sao razodveis. = 3. Os valores extremos de f (x, y) = x? + 2y? correspondem as curvas de nivel que tocam a . 5 5 . 5 5 circunferéncia x2 + y? = 1. 95/20 Determine os valores extremos de f (x, y) = x* + 2y’ no disco x* + y’< 1. SOLUGAO De acordo com o procedimento em (14.7.9), comparamos os valores de f nos pon- y Pe +2y?=2 tos criticos com os pontos na fronteira. Uma vez que f, = 2x e f, = 4y, 0 unico ponto critico =, é (0, 0). Comparamos o valor de fno ponto com os valores extremos no limite do Exemplo 2: (aS f(0, 0) = 0 f(41,0) =1 f(O, £1) = 2 /7-T~\ Assim, 0 valor maximo de f no disco x7 + yw < 1 éf (0, £1) = 2, e 0 valor minimo é WS ey) x f(0,0) =0. = SE SS) 209 Determine os pontos da esfera x* + y? + z? = 4 que estdo mais préximos e mais | distantes do ponto (3, 1, —1). x? 4+ 2y?=1 . . . SOLUCAO A distancia de um ponto (x, y, z) ao ponto (3, 1, —1) é FIGURA 3 d= (x _ 3)? + (y _ 1)? + (z + 1)? mas a Algebra fica mais simples se maximizarmos e minimizarmos o quadrado dessa distan- cia: P=fay,2=(%-3¥+0- 1°+ (+ 1P A restrigao € que 0 ponto (x, y, z) pertenga a esfera, ou seja, gxy2gartyt+7=4 De acordo com 0 método dos multiplicadores de Lagrange, resolvemos Vf = AVg, g = 4. Isso da [12] 2(x — 3) = 2xA [13] Ay — 1) = 2yA 2(z +1) = 22d [15] P+yte=4 O modo mais simples de resolver essas equagdes € determinar x, y e z em termos de A de [12}, e (14), e substituir esses valores em [15]. De [12] temos DERIVADAS PARCIAIS 863 3 x—-—3=xdr ou x11 — A) =3 ou x= 1-A _ yas ; : ~ A Figura 4 mostra a esfera e 0 ponto mais [Observe 1 — A 4 0 porque A = 1 é impossivel a partir de [I2].] Da mesma forma, [13] e [14] dao proximo P do Exemplo 4. Vocé pode pensar 1 1 em um modo de calcular as coordenadas de y = — z= —-——_ P sem usar 0 calculo? 1-A 1-A Portanto, de |15| temos 2 3° 1? -1P A (l-ae G-ap 7 — 7 ~4 LoS PS SSL SSN (Rees MSO EEE A OX XA KRSSRSEFEEE que nos dé (1 — Av = #4, 1 — A= +y/11/2, logo ISSSSER EEE \V SS 277) yay wv a” RSSSEE ta SSS 7 y Esses valores de A entao fornecem os pontos correspondentes (x, y, z) (3,1, ~1) FIGURA 4 6 2 2 6 2 2 Fs > fa > A e a TT vll° V1 Vv 11 v1l1 vill 11 E facil ver que f tem valor menor no primeiro desses pontos; dessa forma, 0 ponto mais proxi- mo € (6/11, 2/V11, —2/,/11) e o mais distante é (—6//11, —2//11, 2/11). mm MN Duas Restricées Suponha agora que queiramos determinar os valores maximo e minimo de f (x, y, z) sujeita a duas restrigdes (vinculos) da forma g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c. Geometricamente, isso . significa que estamos procurando pelos valores extremos de f quando (x, y, z) esta restrito a h=c Da “| pertencer 4 curva C, obtida pela intersecg4o das superficies de nivel g(x, y, z) = ke ) h(x, y, z) = c. (Veja a Figura 5.) Suponha que f tenha um tal valor extremo no ponto Le A P(Xo, Yo, Zo). Sabemos que do inicio dessa secio que Vf é ortogonal a C em P. Mas também L > sabemos que Vg é ortogonal a g(x, y, z) = k e VA é ortogonal a h(x, y, z) = c, portanto Vg e _) Vh sao ortogonais a C. Isso significa que 0 vetor gradiente Vf (Xo, yo, Zo) est4 no plano deter- a minado por Vg(%o, yo, Zo) e VA(xo, Yor Zo). (Presumimos que esses vetores gradientes nao sdo FIGURA 5 nulos nem paralelos.) Portanto, existem nimeros A e mw (chamados multiplicadores de Lagrange) tais que Vf (Xo, Yo. Z0) = A Vg(xo0, Yo, Zo) + w VA(Xo, Yo, Zo) Nesse caso 0 método de Lagrange nos leva a procurar por valores extremos ao resolver cinco equagoes nas cinco incégnitas x, y, z, A e w. Essas equacg6es sao obtidas ao escrever a Equa- cao 16 em termos de seus componentes e ao utilizar as equacgées de restri¢ao : fe =Agx + phy fy =Agy + phy Fi =Ag: + ph, g(x, yz) =k A(x, y, Z) = (SQ) RH Determine o valor maximo da funcio f (x, y, z) = x + 2y + 3z na curva da in- terseccao do plano x — y + z= 1 como cilindro x? + y?= 1. 864 CALCULO Ocilindro x + y= 1 intercepta o plano SOLUCAO Maximizamos a funcao f(x, y, z) = x +2y + 3z sujeita as restricdes x—y+z=Lemumaclipse(Figura6.0 gy yz) =x —y + z= Le h(x, y,z) = x + y? = 1. A condicao de Lagrange é Exemplo 5 questiona o valor maximo de f _ ~ ; Vf =AVg + pVhA, de modo que devemos resolver as equagdes quando (x, y, z) pertence a essa elipse. 1=) + 2xp Listen J 2= = + 2m 4 sarang EEE EEE A] [19] = BREE [19] 3=A 3 REE HEH _ raat x-ytc=l EEE EHH 2 BEE 2 2 — Yt) [21] rty=l (eS a zo i yy Substituindo A = 3 [de [19] em [17], obtemos 2xu = —2, e entao x = —1/p. Analogamente, by HWA , oe 0 Hy sitet da y = 5/(2u). Substituindo em 21], temos Oy fee WY H _ Wye i 1 25 1 1 EHH = He | we ae! 1 0 1 y ew = 2, = +/29/2. Entio x = ¥2//29, y = +5//29, e, de 20, FIGURA 6 z=1-—x+y=1 + 7//29. Os valores correspondentes de f sao 2 5 7 +a t+ 2 +——S— J] + 3 1 t = |] KH 3 = V9 29 ( 29 ( 29 Portanto, o valor maximo de fna curva dada é 3 + 29. — cy Exercicios 1. Na figura estéo um mapa de contorno de fe a curva de equacao 3. f(xy yHxrty’; xy=1 g(x, y) = 8. Estime os valores maximo e minimo de f sujeita a restri¢ao g(x, y) = 8. Explique suas razGes. 4 f@y=3xty xrty=10 y 5 fmy=v—-x; ety=l 6 fay) =e; e+ y= 16 g(x,y) =8 \ 1 f(xy Q=2et2+y wtyY+Z=9 40 50 8 fayg=Hrtyr7; x+tyt+z=12 (| 9 f(xy, 2 = xyz V+ 2y + 32=6 RG tena sen SSE 1. fy d=Ptyre tty ttl 12. fy, 2j=xettyit 2; VP+ytZ=l 4 2. (a) Use uma calculadora grafica ou um computador para tragar tte o circulo x* + y? = 1. Na mesma tela, trace diversas curvas da 3. f@yYaoaxtytetn x+y rerrad 2 = s 6 - forma x * y = c até que vocé encontre duas que apenas to 14. fix. -y%) =x tate ta quem o circulo. Qual o significado dos valores de c dessas D1 2D > xo +x>tes+- tx = 1 duas curvas? a (b) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os 15-18 Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restri- valores extremos de f (x, y) = x? + y sujeita a restricgéo Coes. 2 2 x* + y= 1. Compare sua resposta com a da parte (a). 15. f(uy,d =x +2); xty+z=1, yt2=4 3-14 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os 16. fx, yz =3x-y-3z, xty-z=0, #+27=1 valores maximo e minimo da fung&o sujeita a(s) restrigdo(Ges) 7. fy, =yz +49; xy=1, ~+2=1 ada(s). 8. fy 2ga=rtryt+ 2; x-y=1, y-27=1 E necessério usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagiio algébrica 1. As Homework Hints estéo disponiveis em www.stewartcalculus.com DERIVADAS PARCIAIS 865 19-21 Determine os valores extremos de f na regiao descrita pela 29-41 Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solugao desigualdade. alternativa aos exercicios da Segao 14.7 indicados. 19. f(,y)=et¥t4r—4y, ety <9 29. Exercicio 39 30. Exercicio 40 31. Exercicio 41 32. Exercicio 42 20. f(x,y) = 2+ 3y—4x—5, x tys< 16 33. Exercicio 43 34. Exercicio 44 21. fy) =e” e+ 4ye<1 35. Exercicio 45 36. Exercicio 46 TT 37. Exercicio 47 38. Exercicio 48 22. Considere 0 problema de maximizar a fungdo f(x, y) = 2x + 3y 39. Exercicio 49 40. Exercicio 50 sujeita a restricdo Vx + Vy = 5. . (a) Tente usar multiplicadores de Lagrange para resolver este 41. Exercicio 53 problema. ; ; 42. Determine os volumes maximo e minimo da caixa retangular (b) f (25,0) da um valor maior que o obtido na parte (a)? cuja superficie tem 1 500 cm? e cuja soma dos comprimentos das AE (c) Resolva o problema tragando a equagao da restrigao e diver- arestas € 200 cm. sas curvas de nivel de f. (d) Explique por que o método dos multiplicadores de Lagrange 43. Oplanox + y + 2z = 2 intercepta 0 paraboloide z =x? + y? em falha em resolver 0 problema. uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que est&éo mais (e) Qual € o significado de f (9, 4)? proximo e mais longe da origem. 23. Considere o problema de minimizar a funcao f (x, y) = x na 44. O plano 4x — 3y + 8z = 5 intercepta 0 cone z7 = x7 + y? em curva y? + x* — x3 = 0 (uma piriforme). uma elipse. (a) Tente usar multiplicadores de Lagrange para resolver este (4 (a) Faga os graficos do cone, do plano e da elipse. problema. (b) Use os multiplicadores de Lagrange para achar os pontos (b) Mostre que o valor minimo é f (0, 0) = 0 mas que a condi- mais alto e mais baixo da elipse. cao Vf (0, 0) = AVg(0, 0) nao é satisfeita para nenhum valor deX. 45-46 Ache os valores de maximo e minimo da fungao f sujeita as (c) Explique por que os multiplicadores de Lagrange falham em restrigdes dadas. Utilize um sistema de computac¢4o algébrica para encontrar o minimo neste caso. resolver 0 sistema de equacdes proveniente do uso dos multiplica- . . . dores de Lagrange. (Se seu SCA achar somente uma solucao, vocé 24. (a) Se seu sistema de computagao algébrica traga o grafico de pode precisar do uso de comandos adicionais.) curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valo- res minimo e maximo de f (x, y) = x° + y? + 3xy sujeita a res- 45. f (x,y,z) = ye; 9x° + Ay? + 36z?= 36, xy + yz =1 trigéo (x — 3)? + (y — 3)? = 9 por métodos graficos. %. f(x,y Daxtytn P-y=z P+ 2=4 (b) Resolva o problema da parte (a) com 0 auxilio dos multipli- ——<$— Ss cadores de Lagrange. Use um SCA para resolver as equacgdes 47. (a) Determine o valor maximo de numericamente. Compare sua resposta com a da parte (a). S (21, X25 62+ Xn) = VANI Xn 25. A produgao total P de certo produto depende da quantidade L de ~ P sas . oo, : sendo que x), %2, .. . , X, Sao nimeros positivos e trabalho empregado e da quantidade K de capital investido. Nas _ Z ~ . . Xi +X. + +++ +X, = c, onde c é uma constante. Segdes 14.1 e 14.3 discutimos como 0 modelo Cobb-Douglas : ~ wes _ . . ~ (b) Deduza do item (a) que se x1, x2, .. . , Xn S40 numeros positi- P = bL*’K'~ segue a partir de determinadas suposig6es econé- vos. entdo micas, onde b e a sao constantes positivas e a < 1. Se 0 custo , por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital eX st, X Mt xe ta for n, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p n de dinheiro como despesa total, entao a maximizagao da produ- Essa desigualdade diz que a média geométrica de n ntimeros gao P estara sujeita restrigao mL + nK = p. Mostre que a pro- nao pode ser maior que a média aritmética deles. Sob que cir- dugdo maxima ocorre quando cunstancias as duas médias s4o iguais? L= OP. e K= {= ap 48. (a) Maximize S7_,x:y; sujeita as restrigdes Six? =1 e m n yi, ye=1 i=1 Yi . (b) Tome 26. Em relagdo ao Problema 25, suponha agora que a produgao seja a; b; fixada em bL*K'~* = Q, onde Q é uma constante. Quais valores xi = e y= > V>a? V> b? de Le K minimizam a fungao custo C(L, K) = mL + nK? J / para mostrar que 27. Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o re- tangulo com area maxima, e que tem um perimetro constante p, ¥ ab; < JS a? /> be é um quadrado. 28. U Itiplicad de L 4 . para todos os nuimeros di, ..., Gn, bi, ... , bn». Essa desigual- Sse mu up ica Ores © Lagrange para emonstrar que 0 tran- dade é conhecida como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. gulo com area maxima, e que tem um perimetro constante p, é equilatero. Dica: Utilize a formula de Heron para a area: A = /s(s — x)(s — y)(s — z) onde s = p/2 e x, y, z sio os comprimentos dos lados. 866 CALCULO EEL PROJETO APLICADO CIENCIA DOS FOGUETES Pel " x Muitos foguetes, tais como o Pegasus XL, usado atualmente para o langamento de satélites, e le i o Saturno V, que colocou o primeiro homem na Lua, s4o projetados para usar trés estagios em i X\eq as sua subida para o espaco. O primeiro e maior estagio impulsiona o foguete até que seu com- S\N , an SS r bustivel seja consumido, quando esse estagio é ejetado para decrescer a massa do foguete. O e a Fs Beg a a a” segundo e terceiro estagios, que séo menores, funcionam da mesma forma, colocando a carga : 2 ¥ = Bis do foguete em 6rbita em torno da Terra. (Com esse projeto sao necessdrios pelo menos dois estaégios para que o foguete atinja a velocidade necessaria, e 0 uso de trés estagios provou ofe- — recer boa relacgAo entre custo e desempenho.) Nosso objetivo aqui é determinar as massas indi- viduais dos trés estagios, que foram projetados de forma a minimizar a massa total do foguete e€ ao mesmo tempo permitir que ele atinja a velocidade desejada. Para um foguete com um Unico estégio consumindo combustivel a uma taxa constante, a variagao na velocidade resultante da aceleragio do foguete foi modelada por = 1— S)M, _— AV = -cln op eee 5 _——— P+M, onde M, é a massa do propulsor do foguete, incluindo 0 combustivel inicial, P é a massa da s carga, S é o fator estrutural determinado pelo projeto do foguete (especificamente, é a raz4o z entre a massa do foguete sem combustivel e sem carga e a massa do foguete com carga e com- 8 bustivel) e c é a velocidade (constante) de exaustao relativa do foguete. 2 Considere agora um foguete de trés estagios e carga de massa A. Vamos supor que as for- 2 gas externas sejam despreziveis e que c e S permanegam constantes em cada estdgio. Se M; é 5 a massa do i-ésimo est4gio, podemos inicialmente considerar que 0 propulsor do foguete tenha s massa M; e sua carga tenha massa M, + M3 + A; 0 segundo e terceiro estagios podem ser eS tratados da mesma forma. 1. Mostre que a velocidade atingida depois que os trés estagios s4o ejetados é dada por M,+M.+M;,+A M,+M3+A M3+A vp = c} In| ———————__ } + In{ ———_———_ } + In| —-—_— SM, + M.+M3+A SM,+M,;+A SM;+A 2. Desejamos minimizar a massa total M = M, + M, + Ms; do propulsor do foguete sujeita a restrigao que a velocidade desejada uv; do Problema 1 seja atingida. O método dos multi- plicadores de Lagrange é apropriado, mas é dificil implementa-lo usando as expressdes de que dispomos até aqui. Para simplificarmos, definimos varidveis N; de modo que a restri- cao possa ser expressa como Uy = c(In Ni + In N2 + In N3). Como é dificil exprimir Mem termos dos Nj, é desejavel usar uma funcgdo mais simples, que ao ser minimizada leve tam- bém 4 minimizacao de M. Mostre que M,+M.+M3;+A _ d—- S)M M> ate M; ate A 1 ~~ SN. 1 Mo+M3;+A _ (1 — S)N2 M,+A 1 — SN, M;+A — (1 —S)N3 A 1 — SN; e conclua que M+A _ (1 — S)PNN2Ns3 A (1 — SN,)(1 — SN2)(1 — SN3) 3. Verifique se In((M + A)/A) tem os mesmos pontos de minimo que M; utilize os multiplica- dores de Lagrange e o resultado do Problema 2 para determinar as expressGes para os va- lores de N; onde o minimo ocorre sujeito a restrigéo uy = cn NM, + In N2 + In N3). [Dica: Utilize as propriedades dos logaritmos para ajudar na simplificacgao das express6es.] DERIVADAS PARCIAIS 867 as 4. Determine uma expressao para o valor minimo de M como fungao de vu, 5. Se desejarmos colocar um foguete de trés estagios em uma 6rbita 160 km acima da super- ficie terrestre, a velocidade final necessaria é de aproximadamente 28 000 km/h. Suponha que cada estagio seja construido com um fator estrutural S = 0,2 e que a velocidade de exaustao seja c = 9 600 km/h. (a) Determine a massa total minima M do propulsor do foguete como fungao de A. (b) Determine a massa de cada estagio como fungao de A. (Eles nao precisam ter tama- nhos iguais!) 6. Omesmo foguete precisaria de uma velocidade final de 39.700 km/h, aproximadamente, para escapar da gravidade terrestre. Determine a massa de cada estégio que minimizaria a massa total do propulsor do foguete e Ihe permitiria carregar uma sonda de 200 kg para 0 espaco. a PROJETO APLICADO OTIMIZAGAO DE UMA TURBINA HIDRAULICA A Katahdin Paper Company, de Millinocket, no estado de Maine, opera uma usina hidroelétri- ca no rio Penobscot. A 4gua é bombeada de uma represa para a usina geradora de poténcia. A taxa pela qual a 4gua flui nas tubulacGes varia, dependendo de condic¢Ges externas. A usina geradora de poténcia tem trés turbinas hidroelétricas diferentes; para cada uma delas, é conhecida a quantidade da poténcia elétrica gerada em funcao do fluxo de 4gua que chega a turbina (funcao de poténcia da turbina). A 4gua que chega pode ser distribuida em quantidades diferentes entre as turbinas, e nosso objetivo é determinar como programar essa distribuigéo de agua para obter maxima produg4o de energia total para qualquer vazao. Usando dados experimentais e a equacdo de Bernoulli, chegou-se ao modelo quadratico mos- trado para a saida de poténcia de cada turbina, com as seguintes vazGes de operacdo permitidas: KW, = (—18,89 + 0,1277Q, — 4,08 - 10-5Q;)(170 —1,6- 10-°Q7) KW, = (—24,51 + 0,1358Q2 — 4,69 - 10-5Q3)(170 — 1,6- 10-607) KW; = (—27,02 + 0,1380Q3 — 3,84 - 10-5Q3)(170 — 1,6- 10-607) 250 = Q; = 1.110, 250 <= Q = 1.110, 250 S Q3 S 1.225 onde Q; = fluxo pela turbina i em pés ctibicos por segundo KW; = pot€éncia gerada pela turbina i em quilowatts Qr = fluxo total pela turbina em pés ctibicos por segundo 1. Se todas as trés turbinas estiverem sendo usadas, queremos determinar o fluxo Q; em cada turbina que resultar4 na produc¢4o total maxima de energia. Nossas limitag6es so que o fluxo total precisa ser igual ao fluxo que chega a usina e que para cada turbina o fluxo es- teja na faixa permitida. Consequentemente, utilize os multiplicadores de Lagrange para achar os valores de cada fluxo individual (como fung4o de Q7) que maximizem a produgao total de energia KW, + KW. + KW; sujeita as restrigdes Q; + Q2 + Q3 = Qre restrig6es de dominio de cada Qj. 2. Para que valores de Q; seu resultado é valido? 3. Para uma vazao de entrada de 2 500 pés?/s, determine a distribuicgdo para as turbinas e ve- rifique (tentando algumas distribuigdes semelhantes) se seu resultado corresponde real- mente a um maximo. 4, Até agora supusemos que as trés turbinas estavam em operagio. E possivel que mais potén- cia possa ser obtida usando somente uma turbina em algumas situag6es? Facga um grafico das fung6es poténcia e utilize-o para decidir se uma vazao de entrada de 1 000 pés*/s deveria ser distribuida para as trés turbinas ou concentrada em uma so. (Se vocé concluir que s6 uma tur- bina deverd ser utilizada, responda: qual é ela?) E se a vazao for de somente 600 pés*/s? 5. Talvez para alguns niveis de vazao seja vantajoso usar duas turbinas. Se a vazio de chegada for de 1 500 pés?/s, quais duas turbinas devem ser utilizadas? Use os multiplicadores de La- grange para determinar como a vazao deveria ser distribuida entre as duas turbinas para maximizar a energia produzida. Para essa vazao, o uso de duas turbinas é mais eficiente que o emprego das trés? 6. Sea vazao de entrada for de 3 400 pés?/s, o que vocé recomendaria para a empresa? 868 CALCULO i 7 Revisao Verificagao de Conceitos 1. (a) O que é uma fungao de duas variaveis? uma equagéo da forma F(x, y, z) = 0, como determinar (b) Descreva trés métodos para visualizar uma func4o de duas dz/dx e dz/dy? vanayeds- 13. (a) Escreva uma express4o limitando a derivada direcional de f 2. Oque é uma fungio de trés variéveis? Como vocé pode visuali- em (Xo, Yo) na diregao do vetor unitario u = (a, b). Como in- zar tal funcaio? terpreta-la como taxa de variagéo? Como interpreta-la geo- metricamente? 3. Oque (b)Se f € diferencidvel, escreva uma express4o para lim f(x,y) =L Du f (Xo, Yo) em termos de fe fy. (x, y) > (a, b) significa? Como mostrar que esse limite nao existe? 14. (a) Defina o vetor gradiente Vf de uma funcao fe duas ou trés variaveis. 4. (a) O que significa dizer que f é continua em (a, b)? (b) Expresse Dy f em termos de Vf. (b) Se fé continua em R?, 0 que vocé pode dizer de seu grafico? (c) Explique o significado geométrico do gradiente. 5. (a) Escreva as expresses para as derivadas parciais f,(a, b) e 15. O que as seguintes sentencas significam? Ji(a, b) como limites. ; . (a) f tem um maximo local em (a, b). (b) Como vocé interpreta f,(a, b) e f(a, b) geometricamente? ae . oS (b) ftem um maximo absoluto em (a, b). Como as interpreta como taxas de variagio? _. (c) Sef (x, y) € dada por uma férmula, como calcular fe fy? (c) ftem um minimo local em (a, 5). (d) ftem um minimo absoluto em (a, b). 6. O que o Teorema de Clairaut diz? (ec) f tem um ponto de sela em (a, b). 7. Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de 16. (a) Se f tem um maximo local em (a, b), 0 que vocé pode dizer superficie? de suas derivadas parciais em (a, b)? (a) Um grafico de uma fungao de duas variaveis, z = f (x, y) (b) O que é um ponto critico de f? (b) Uma superficie de nivel de uma fungao de trés varidveis, Fix, y, 2 =k 17. Qual é o Teste da Segunda Derivada? , : 29 2 : 8. Defina a linearizac4o de f em (a, b). Qual é a correspondente 18. (a) , wack . conjunto fechado em R°? O que € um conjunto aproximacio linear? Qual é a interpretacAo geométrica da apro- imita OF : ~ 4 (b) Dé 0 enunciado do Teorema dos Valores Extremos para as ximagao linear? _ a fung6es de duas variaveis. 9. (a) O que significa dizer que f é diferenciavel em (a, b)? (c) Como achar os valores que 0 Teorema dos Valores Extremos (b) Como usualmente verificamos que f é diferencidvel? garante existirem? 10. Sez =f(x, y), 0 que sao as diferenciais dx, dy e dz? 19. Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange fun- . . ; ciona para determinar os valores extremos de f (x, y, z) sujeita a 11. Enuncie a Regra da Cadeia para o caso em que z = f(x, y)exe restric4o g(x, y, z) = k. Ese tivermos uma segunda restricdo A(x, y sao fung6es de uma varidvel. E se x e y forem fung6es de duas y,z) =e? variaveis? 12. Se z é definido implicitamente como uma fungao de x e y por Teste — Verdadeiro ou Falso Determine se a afirmagdo é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por 6. Sef,(a, b) e f(a, b) existem, entio f é diferenciavel em (a, b). qué. Caso contrario, explique por que ou dé um exemplo que mostre que é falsa. 7. Se ftem um minimo local em (a, b) e f é diferenciavel em (a, b), . tao Vf (a, b) = 0. , ») = tim Led) — flab) entaio Vf (a, >) - fila, b) = lim ~ yb 8. Sef é uma funcio, entio __lim, , £059) = £25) 2. Existe uma func¢do f com derivadas parciais de segunda ordem oo continuas, tais que f(x, y) =x + wefi(x, y) =x — y?. 9. Sef(x, y) = In y, entio Vf(, y) = l/y ef 10. Se (2, 1) €um ponto critico de fe 3 fy == fy ax dy ful2, D fy, D < Lfy(2, DP 4 Dflxy.2 =fly.2 entao f tem um ponto de sela em oe ae " = fo —/2 < "| < 5. Sef (x, y) > L quando (x, y) — (a, b) ao longo de toda reta que M1. Sef y) = sen.x + sen y, ent&o 2 < Dif y) 2. passa por (a, b), entao lime, (anf @ y) = L. 12. Se f(x, y) tem dois maximos locais, entaéo f tem um minimo local. DERIVADAS PARCIAIS 869 Exercicios |-2 Determine e esboce 0 dominio da funcao. Peto f 2 feds fs | 1. (x,y) =Inat+yt1 = J4— x2 = y? — x2 3-4 Esboce o grafico da funcao. 4 78 74 72 . =1_y2 » faye 6 | 7 | son t pe 80m See ew fw 5-6 Esboce varias curvas de nivel da funcao. 5. f(xy) = V/4x2+ yy? 6. f@ay=et+y oo 12. Determine uma aproximacio linear para a fungéo temperatura 7. Faca um esboco de um mapa de contorno da fungao cujo grafico T(x, y) do Exercicio 11 perto do ponto (6, 4). Em seguida use-a esta mostrado. para estimar a temperatura no ponto (5, 3,8). Z 13-17 Determine as derivadas parciais de primeira ordem. LES 13. f(x,y) = (y+ 2x*y)® 14. g(u, v) ut 20 LGLI OS ' ; = . ; = ————_— LEE ~ y y » 4 w+ vw x RLY. YEHLIR SWS fA SOZLTTELIESSOOSSFKA 17. S (u, v, W) = uwarctg (vw) oo 18. A velocidade da propagacao da onda sonora no oceano é uma 8. Um mapa de contorno de uma fungao f € apresentado. Use-o fungdo da temperatura, da salinidade e da press4o. Foi mode- para fazer um esbo¢o do grafico de f. lada como y C = 1 449,2 + 4,6T — 0,055T? + 0,00029T? 1 + (1,34 — 0,017)(S — 35) + 0,016D onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a temperatura (em graus Celsius), S é a salinidade (concentragao 1,5 de sal em partes por milhar, o que significa o nimero de gra 2 mas de sdlidos dissolvidos por 1 000 g de dgua) e D é a pro- fundidade abaixo da superficie do oceano (em metros). Calcule dC/OT, dC/dS, C/dD, quando T = 10°C, S = 35 partes por mi- 4 - lhar e D = 100 m. Explique o significado fisico dessas deriva- * das parciais. 9-10 Calcule o limite ou mostre que ele nao existe. 19-22 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de f. 2Qxy 2Qxy 19. f(x,y) = 4° — xy’ 20. z= xe” 9. lin + 10. in —+—7 — ykylom = (y>U.) x? + 2y? (x9) ,0) x? + 2y? 21. f(x,y, 2) = x'y'z 22. v =rcos(s + 2t) 11. Uma placa de metal esta situada no plano xy e ocupa o retan- az az gulo0 f(x*) Ax a n> j=] No caso especial em que f(x) = 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das areas dos retangulos aproximadores da Figura | e i f(x) dx representa a drea sob a curva y = f(x) dea até b. y \ Ax — ce ——~ NL iF FH | N | | Sat} tl IN i] | N | ffl) | | | | | | 0 a] x | X> [% 1] Xj Xy—1 [* x FIGURA 1 xf x} xt x xe M5 Volumes e Integrais Duplas De modo semelhante, vamos considerar uma fun¢ao f de duas varidveis definida em um re- z tangulo fechado z= f(x y) - R = [a,b] X [c,d] = (x,y) € R|a! (Veja a Figura 2.) Nosso objetivo é determinar 0 volume de S. FIGURA 2 O primeiro passo consiste em dividir 0 retangulo R em sub-retangulos. Faremos isso divi- dindo o intervalo [a, b] em m subintervalos [x;_1, x; ] de mesmo comprimento Ax = (b — a)/m e dividindo o intervalo [c,d] em n subintervalos [y;-1, y;] de mesmo comprimento Ay = (d — c)/n. Tracando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelas extremida- des dos subintervalos, como na Figura 3, formamos os sub-retangulos INTEGRAIS MULTIPLAS 875 Ry = Le-1, xi) X Ly. yi] = L(x, y) |x Sx 0 existe um inteiro N Embora tenhamos definido a integral dupla tal que dividindo R em sub-retangulos de mesmo tamanho, poderiamos ter usado sub-retan- m n gulos Rj de tamanhos diferentes. Mas [| Fe. y) dA — > > fai, yit) AA| <é entao terfamos de garantir que todas as R i=l j=l dimenses deles tendessem a zero no processo de limite. para todos os inteiros m en maiores que N e para qualquer escolha de (x;*, y;*) em Ri. Uma fungao f é dita integravel se o limite na Definicao 5 existir. E mostrado em cursos de calculo avangado que todas as fung6es continuas sao integraveis. Na realidade, a integral dupla de f existe contanto que f “nao seja descontinua demais’”. Em particular, se f for limi- tada [isto é, existe uma constante M tal que | f(x, y)| < M para todo (x, y) em R], e se f for continua ali, exceto em um numero finito de curvas suaves, entao f é integravel em R. O ponto de amostragem (x;*, vy) pode ser tomado como qualquer ponto no sub-retangulo R;;, porém, se o escolhermos como o canto superior direito de R;;[ou seja, (x;, y;), veja a Fi- gura 3], a expresso da soma dupla ficara mais simples: m n [5] [7G 9) 4A = tim YY feu y)) AA R min i=1 j=1 Comparando as Definig6es 4 e 5, vemos que 0 volume pode ser escrito como uma integral du- pla: Se f(x, y) = 0, entéo o volume V do sdlido que esté acima do retangulo R e abaixo da superficie z = f(x, y) é v= |[ f(y) dA R A soma na Definicao 5, m n » dX f(xi', yi) AA i=1 j=1 é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximacao do valor da integral du- pla. [Observe a semelhanga dessa soma com a de Riemann em {1 | para fungdes de uma tinica va- riavel.] Se ffor uma fungao positiva, entaéo a soma dupla de Riemann representa a soma dos vo- lumes das colunas, como na Figura 5, e € uma aproximagao do volume abaixo do grafico de f. INTEGRAIS MULTIPLAS 877 (SQV Estime o volume do sdlido que est4 acima do quadrado R = [0, 2] X [0, 2] e y 1,2) abaixo do paraboloide eliptico z = 16 — x” — 2y?. Divida R em quatro quadrados iguais e es- 2 ‘ (2, 2) colha o ponto de amostragem como 0 canto superior direito de cada quadrado R;;. Faga um es- R R bogo do sélido e das caixas retangulares aproximadoras. ® * 1 (2, 1) SOLUCAO Os quadrados esto ilustrados na Figura 6. O paraboloide elfptico € 0 grafico de n ) R f(x, y) = 16 — x* — 2y* ea drea de cada quadrado é AA = 1. Aproximando o volume pela u 2 soma de Riemann com m = n = 2, temos 0 1 2 x 2 2 V~ Xd Yr, y) AA FIGURA 6 i=1 j=l z = f(1, I) AA + f(1, 2) AA + f(2, 1) AA + f(2, 2) AA 16| 27 = 163° 2y? = 13(1) + 711) + 10(1) + 401) = 34 Esse é 0 volume das caixas aproximadoras mostradas na Figura 7. 7 Obtemos melhores aproximacées do volume no Exemplo | quando aumentamos o niimero de quadrados. A Figura 8 mostra como as colunas comegam a parecer mais com 0 sélido ver- dadeiro e as aproximag6ées correspondentes vao se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. Na pr6xima seco mostraremos que 0 volume exato é 48. 2 y SS SB 2 SS eS SRS, x <> ESERIES ESS sre <=> Ds SA Aye SESS | Ze Se JSR BESET — > 2 ESE PSS . Lk FIGURA 8 <= —— . As aproximago6es para as somas de Riemann do volume abaixo de z=16 — x°— 2y’ ficam mais precisas (a)m=n=4,V~ 41,5 (b) m=n=8, V~ 44,875 (c)m=n=16, V~ 46,46875 quando m en aumentam. (EO Se R = {(%, y)| -1 cilindro. Portanto FIGURA 9 ()v = dA=!a(1P X4=20 = R 878 CALCULO M8 A Regra do Ponto Médio Os métodos usados para aproximar as integrais de fungdes de uma varidvel real (a Regra do Ponto Médio, a Regra dos Trapézios, a Regra de Simpson) tém seus correspondentes para in- tegrais duplas. Consideraremos aqui somente a Regra do Ponto Médio para integrais duplas. Isso significa que usaremos a soma dupla de Riemann para aproximar a integral dupla, na qual 0 ponto de amostragem (x;*, yj) em Rj € tomado como o ponto central (x;, y;) de R;;. Em ou- tras palavras, x; € 0 ponto médio de [x;-1, x;] e y; € 0 ponto médio de [y,-1, yj]. Regra do Ponto Medio para Integrais Miltiplas [| fe.) a4 ~ DD AG 5) AA ; i=1 j=l onde x; € 0 ponto médio de [x;-1, x;] e y; € 0 ponto médio de [y,-1, y;]. | Siiette) Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o valor da integral {fp (x — 3y”) dA, onde R = {(x, y)|0 = |. A rea de cada sub-retangulo é AA = 3. Assim, 2 2 [| @ - 3y)4a ~ > DAG HAA B i=l j=l = f(a, y1) AA + f(%, yr) AA + f(%, y1) AA + f(%, yr) AA =f(2 i) AA + FG.) AA + (0,4) MA + fG, 2) AA 67\1 139\1 51\1 123\1 = (=%0)3 + (46 )2 + (-i6)3 + (46) y = —2 = —11,875 2 (2,2) Portanto, temos { | (x — 3y?) dA ~ —11,875 — 3 12 22 R 2 1 OBSERVACAO Napr6xima secdo desenvolveremos um processo eficiente para calcular in- | | tegrais duplas e veremos que o valor exato da integral dupla do Exemplo 3 é — 12. (Lembre- -se de que a interpretacgao da integral dupla como volume s6 é valida quando a fungao f é uma funcao positiva. O integrando no Exemplo 3 nao é uma fung4o positiva, dessa forma, a inte- 0 1 2 x xa x oe . gral dupla nao é um volume. Nos Exemplos 2 e 3 na Sec¢ao 15.2, discutiremos como interpretar FIGURA integrais de uma fungdo que nao é sempre positiva em termos de volumes.) Se continuarmos 10 dividindo cada sub-retangulo da Figura 10 em quatro menores, todos com a mesma forma, ob- teremos as aproximagoes pela Regra do Ponto Médio exibidas no grafico na margem. Ob- serve como esses valores estéo se aproximando do valor exato da integral dupla, — 12. Numero de Aproximacao sub-retangulos pela Regra do MS Valor Médio Ponto Médio Na Seco 6.5, no Volume I, mostramos que o valor médio de uma fungao f de uma variavel 1 — 11,5000 definida em um intervalo [a, b] é 4 — 11,8750 16 11,9687 fa =—— "r0) dx 64 —11,9922 b— a va 256 —11,9980 1 024 —11,9995 De modo semelhante, definimos o valor médio de uma fungao f de duas varidveis em um re- tangulo R contido em seu dominio como fas =< || flo. y) A med — 7 x, YAIR) onde A(R) € a area de R. INTEGRAIS MULTIPLAS 879 Se f(x, y) = 0, a equacéo A(R) X finea = [| f(y) dA R diz que a caixa com base R e altura finea tem O mesmo volume que o sélido sob o grafico de f. [Se z = f(x, y) descreve uma regiao montanhosa e vocé corta os topos dos morros na altura Jmea, entéo pode usa-los para encher os vales de forma a tornar a regidéo completamente plana. Veja a Figura 11.] 245/950" O mapa de contorno na Figura 12 mostra a precipitagao de neve, em polegadas, no estado do Colorado em 20 e 21 de dezembro de 2006. (O Estado tem a forma de um re- tangulo que mede 388 milhas de Oeste a Leste e 276 milhas do Sul ao Norte.) Use 0 mapa de FIGURA 11 contorno para estimar a queda de neve média em todo o Estado do Colorado naqueles dias. L Q 4 g fo FIGURA 12 SOLUCAO Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado. Entio, 0 < x S 388, 0 DeG.5) AA e i=1 j=l = AAJ(O+ 154+8+74+2+ 254 18,54 11 + 4,5 + 28 + 17+ 13,5 + 12 + 15+ 17,5 + 13] = (6 693)(207) (6 693)(207) Logo, med © > = 12,9 eee Ines ~~ 3 88)(276) Em 20 e 21 de dezembro de 2006, 0 Colorado recebeu uma média de aproximadamente 13 po- legadas de neve. a M5 Propriedades das Integrais Duplas Listaremos aqui trés propriedades das integrais duplas que podem ser demonstradas como na Secao 5.2, no Volume I. Admitiremos que todas as integrais existam. As Propriedades 7 e 8 sao conhecidas como linearidade da integral. Integrais duplas se comportam assim [7] {| Lf (x, y) + glx, y)] dA = [fe y)dA + {| g(x, y) dA porque as somas duplas que as definem se R R R comportam dessa forma. {| cf(x, y)dA =c {| f(x, y) dA, onde c é uma constante R R Se f(x, y) = g(x, y) para todo (x, y) em R, entao [9] {| f(x, y) dA = {| g(x, y) dA R R INTEGRAIS MULTIPLAS 881 ca Exercicios 1. (a) Estime o volume do sdélido que esta abaixo da superficie | fof2{]4fo|{s | | 2 | Z = xy e acima do retangulo 0 1 1,5 2 2,4 2,8 3 3 R={(x,y)|0 R = [0,4] X [2, 4]. (a) Estime |{, f(x,y) dA utilizando a Regra do Ponto Médio I » comm =n = 2. (b) Estime a integral dupla com m = n = 4, escolhendo como 9 1 2 * pontos de amostragem os pontos mais proximos da origem. 9. A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado PX 20 | 28 | 30 | as | 40 | es (0.4) (04h (a) Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o 9) a) as fe a valor de 03) dA y tf oa a | NO [4 — \ 6. Uma piscina de 8 por 12 metros esta cheia de agua. A profundi- 2 Ys |__| 10 N XQ dade é medida em intervalos de 2 metros, comegando em um on 20 NO canto da piscina, e os valores foram registrados na tabela. Estime / —— 30 \ \ o volume de agua na piscina. (| \ 0 2 4 x 1. As Homework Hints est&o disponiveis em www.stewartcalculus.com 882 CALCULO 10. O mapa de contorno mostra a temperatura, em graus Fahrenheit, as 1. Th 3dA, R={(x,y)|-2 x2 2 nao ha nada errado com isso. A fungdo f = { (x — 7) dx =— — 7x] =-12 nao é positiva e a integral nado representa 9 2 0 um volume. Da Figura 3 vemos que, se f i R lor d x . oe : ical moos volume ae ests cima S 9 LUCAO 2 Novamente, aplicando o Teorema de Fubini, mas dessa vez integrando com rela- do grafico de _f e abaixo de R. ¢ao a x primeiro, temos 2 2 (2 2 A [J @ - 3y )dA = |" |" (x — 3y?)de dy 0 ‘ 1 JO NSS \ | WG x=2 -4 XQ 2] x? z RG = — - 3xy? dy OM 1 | 2 _ —8 WA x=0 —12 0 = 2 _— 2 = — 3]? = — 0 Ts 1 r [) @ - 6 )ay = 2y — 2y'] = -12 — y FIGURA 3 SETA Calcule ff, y sen(xy) dA, onde R = [1, 2] X [0, 7]. SOLUCAO 1 Se integrarmos primeiro em relagiio a x, obteremos {| ysen(xy) dA = {" \ ysen(xy) dx dy = (° [—cos(xy) dy R = (" (—cos 2y + cos y) dy =-} sen 2y + sen y|, =0 SOLUCAO 2 Se invertermos a ordem de integracao, obteremos 2 (a {| ysen(xy) dA = \ { ysen(xy) dy dx R Para calcularmos a integral interna, usamos a integracdo por partes com INTEGRAIS MULTIPLAS 885 u=y dv = sen(xy) dy Para uma fungao f com valores positivos e negativos, ||, f(x, y) dA éa diferenca dos cos(xy) volumes: V; — Vo, onde V; € 0 volume du = dy = x acima de R e abaixo do grafico de f e V2 é 0 volume abaixo de R e acima do grdfico. (xy) you 1 O fato de a integral do Exemplo 3 ser 0 e, entio, {" y sen(xy) dy =- JY COS\XY) 4+ [ cos(xy) dy significa que os dois volumes V; e V> sao 0 x y=0 x J0 iguais. (Veja a Figura 4.) TT COS 17X 1 yon = —— + Zz [sen(xy)]=9 aa x x LEERY x TCosSmx sen 7x FOSS NNN | Se agora integrarmos o primeiro termo por partes com u = —1/x e dv = mcos 7x dx, obte- WY yy I remos du = dx/x*, v = sen xe 0 i 5 “ y 3 7 COS 1X sent x sen 77x [(-22) dx = ~~ [ax FIGURA 4 x x x TcosmxX sen mx sen 7x Logo, + —— }| dx = —— x x x No Exemplo 2, as Solugdes 1 e 2 sao ; 2 fm sen 17x igualmente simples, mas no Exemplo 3 a e, assim, j { ysen(xy) dy dx = | —-——— primeira solugao é muito mais simples que ro x 1 a segunda. Portanto, ao calcular uma integral dupla, 6 recomendavel escolher a sen 2a ordem de integragdo que fornega integrais = ———_ + gsenz = 0 r | mais simples. 2 (S@Q\RHFI Determine o volume do solido S que é limitado pelo paraboloide eliptico 16 _- So x° + 2y* + z = 16, pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos trés planos coordenados. Ae SOLUCAO Observemos primeiro que S$ € 0 s6lido que esté abaixo da superficie g “SES . . : v4 Zz SVR z= 16 — x? — 2y? e acima do quadrado R = [0, 2] X [0, 2]. (Veja a Figura 5.) Esse sdlido BEERS . . ~ ow . QAP foi considerado no Exemplo 1 da Segao 15.1, mas agora temos condig6es de calcular a inte- 4 See gral dupla usando o Teorema de Fubini. Portanto, 6 0 0 i 1 2 2 2? 2 2 22 * V = |[ (16 ~ x? — 2y*)da = |" |" 16 — x? — 2y*) dx dy y 0 J0 ‘ FIGURA 5 2 x=2 = { [16x — 3x3 - 2y2x].-9 dy = [°(8 - 4y?) dy = [Sy - 4y'], = 48 ~ J 83 TTY = L3Y 3 Jo = = No caso especial em que f(x, y) pode ser fatorado como o produto de uma funcio sé de x por uma fungio sé de y, a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente sim- ples. Para sermos especificos, suponha que f(x, y) = g(x)h(y) e R = [a, b] X [c, d]. Entao, o Teorema de Fubini nos da d [(b d b [[pe. 9 44 = ["[" gal) de ay = [*] [? gdh) ae | ay R Na integral interna, y é uma constante, entaéo h(y) é uma constante e podemos escrever d b d b b d [P| FP acon) dx | dy = ["] ad J" 90 ax) | ay = [960 ax |" aCy) ay ja que iM g(x) dx € uma constante. Portanto, nesse caso, a integral dupla de f pode ser escrita como o produto de duas integrais unidimensionais: 886 CALCULO b d [5] {| g(x) h(y) dA = { g(x) dx | h(y) dy onde R = [a, b] X [c, d] R as iothey Se R = |[0, 7/2] X |0, 7/2], entéo, pela Equacao 5, Pp quag¢ A fungado f(x, y) = sen x cos y do pz a/2 Exemplo 5 é positiva em R, assim, a {| sen x cos y dA = { sen x dx { cos y dy integral representa o volume do sdlido que R esté acima de R e entre 0 grafico de f, = [—cos xl” [sen yh = 1-1=1 — como mostrado na Figura 6. SA 0 AXA. \ y FIGURA 6 * ce Exercicios 1-2 Determine [ f(x, y) dxe [} f(x,y) dy. 20. {/ Tiw R=[0, 1] x [0,1] 1. f(x,y) = 12x’y? 2. f(x,y) =y + xe’ ‘ i, {| ye’ dA, R= [0,2] x [0,3] 3-14 Calcule a integral iterada. R 1 22. || —————dA, R=[1,3] X [1,2] 3. \ { (6x° — 2x) dy dx 4. { \ (4x° — 9x*y*) dy dx \) I+xty 2a/2 a/2 ps : : . : 5. { { x sen y dy dx 6. I ‘6 f cos y dx dy 23-24 Esboce 0 sélido cujo volume é dado pela integral iterada. —— oo xe* 23. |" |! (4 — x — 2y) dedy 7. { (y+ ycosx)dxdy 8. { j — dy dx -3 Jo oJl oy 0 {'{'e ; 2) ay d ap2(x oy 173 yay “Jodo MO TV aV ae 9. f \ (2 +2) avay 10. { [re dx dy 11. { ' { ' v(u — v°)* du dv 12. { ' { ' xyVx2 + y? dy dx 25. Determine 0 volume do solido que se encontra abaixo do plano ove ove 4x + 6y — 2z + 15 = 0e acima do retangulo 13. [; [7 rsen?0 ao ar 14. [ [ve ¥ 8 as ae R= {(x,y)|-1 g(x) porque (x, y) esta fora da regido D. Por- tanto, 0 a x b x [PG 9) ay = [" Fey dy = [flay FIGURA 6 EN Jay OPO Jay FY porque F(x, y) = f(x, y) quando gi(x) < y S g(x). Portanto, temos a seguinte formula, que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada. [3] Se fé continua em uma regiao D do tipo I tal que D=((xy)|a -— 2 —_ 2 24 y 3 4y 5 36 (0, 0, 2) Se tivéssemos expressado D como uma regiao do tipo I usando a Figura 12(a), obterfamos [ol pv2xr6 5 py2x+6 x=2y xt+2y+z=2 [Jayda = [0 [YP aydyde + [P [O° xyay dx D y : : . : , 0 (0, 1, 0) mas isso daria muito mais trabalho que o outro método. = (1, 3,0) (SGV Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2,x = 2y, x=O0ez=0. * x ~ ‘ . ays . FIGURA 13 SOLUCAO Em uma questao como essa, € prudente desenhar dois diagramas: um do solido tri- dimensional e outro da regiao plana D sobre a qual o sdlido se encontra. A Figura 13 mos- tra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, pelo plano vertical x = 2y y yt2y=2 e pelo plano x + 2y + z= 2. Como o plano x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (cuja (ou — 1—x/2) equagao é z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que TJ esta acima da regiao triangular D no ! J plano xy limitado pelas retas x = 2y, x + 2y = 2ex = 0. (Veja a Figura 14.) O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 — x — 2y, de modo que o volume (1,4) pedido esta sob o grafico da fungéo z = 2 — x — 2y e acima de / yrx 0 x D={(x,y)|0e z = 8 — x’ — 2y’ e dentro 17-22 Calcule a integral dupla. do cilindro x? + y? = 1 41. Limitado por z= 1 — x? —y’ez=0 ‘limi = =~ x= 17. {| x cos y dA, D é limitada por y = 0, y = x7,x = 1 42. Limitado por z = 2 + ye z = 2y D 2 S Jimi => =x = . . . 18. i (x° + 2y) dA, D € limitada por y = x, y = x°,x > 0 43-48 Esboce a regido de integracdo e mude a ordem de integracao. D 19. {| y dA, D € a regiao triangular com vértices (0, 1), (1, 2), (4, D 43. Ct f(x, y) dy dx 44. ae f(x, y) dy dx D 0/0 0 dx 20. || xy?dA, Dé limitada porx =Oex = 4/1 — y? m/2 [cos x 2 pyea2 \) 45. { { f(x, y) dy dx 46. U { f(x, y) dx dy 21. { | (2x — y) dA, D é limitada pelo circulo de centro na origem e 2 Pinx . 1 pa/4 3 47. \ { I (x, y) dy dx 48. { i f(x, y) dy dx raio 2 . . . 49-54 Calcule a integral trocando a ordem de integracao. 22. {| 2xy dA, D € a regiao triangular com vértices (0, 0), (1, 2) e 1h Zoe D 49. { \ e* dx dy 50. \° . cos(x’) dx dy (0, 3) 0 Jay o dy 1 cs 51. (lea wax 52. [ [lev ayax 23-32 Determine 0 volume do sdlido dado. ore y +d on 23. Abaixo do plano x — 2y + z = 1 e acima da regiao limitada por 1 pa/2 VI + cos? xty=lerty=1 83 J Jay £28* 1 + cos?x dx dy 24. Abaixo da superficie z = 2x + y’ e acima da regiao limitada por op x=yex=y 54. { [ie dx dy 25. Abaixo da superficie z = xy e acima do triangulo e vértices (1, 1), * (4, ) e (1, 2) . 55-56 Expresse D como a unifo de regides do tipo I ou do tipo II e cal- 26. Limitado pelo paraboloide z = x? + 3y’ e pelos planos x = 0, cule a integral y=Ly=xz=0 65. [f x2aa 52. || ydA 27. Limitado pelos planos coordenados e pelo plano ‘ a 3x + 2y+z=6 y 28. Limitado pelos planos z= x,y=x,x +y=2ez=0 y ILx=y-y? 29. Limitado pelos cilindros z = x*, y = x° e pelos planos z = 0, ! (1, 1) yard? Limi IN 30. Limitado pelo cilindro y’ + 2? = 4e pelos planos x = 2y, x = 0, -1 z = 0 no primeiro octante ol 1 ox 0 x 31. Limitado pelo cilindro x° + y? = 1 e pelos planos y = z, x = 0, z = Ono primeiro octante —l 32. Limitado pelos cilindrosx? + y>=r’ey+2=r 1 33. Utilize uma calculadora grafica ou um computador para estimar 57-58 Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. a coordenada x dos pontos de interseccéo da curva y = x‘ e fH y= 3x — x. Se D € a regiao limitada por essas curvas, estime 57. { | e **y¥ dA, Q é 0 quarto de circulo com centro na origem e Ip x dA. e sod : : d 34. Encontre o volume aproximado do sélido no primeiro octante li- Talo 7 No primeiro quacrante _ mitado pelos planos y = x, z = 0 e z = x e pelo cilindro 58. {| sen*(x + y) dA, T € o triangulo limitado pelas retas y = 0, y = cos x. (Utilize uma ferramenta grafica para estimar os pon- T 4 1 tos de intersec¢4o.) YT ARON 35-36 Determine ° volume do solido por subtragao de dois volumes. 59-60 Encontre o valor médio de fna regio D 35. O sdlido limitado pelos cilindros parabélicos y = 1 — x?, 59. f(x, y) = xy, D € 0 triangulo com vértices, (0, 0), (1, 0) e (1, 3) y =x — lepelos planosx + y+ z=2,2x+2y—z+10=0 ‘ ee ne , _ , _ 2 _ ae . . oa 60. f(x, y) = x sen y, D é limitada pelas curvas y = 0, y = x°ex = 1 36. O sdlido limitado pelo paraboloide cilfndrico y = x’ e pelos pla- nos z= 3y,c=2+y 61. Demonstre a Propriedade 11. a. . . . . 62. No calculo de uma integral dupla sobre uma regiao D, obtivemos 37-38 Esboce 0 s6lido cujo volume é dado pela integral iterada. de inteerais iterad . 37 i po (xy) dyde 38. i pe (x) dyde uma soma de in es iteradas como a ame seeues eee [Jey da = [oP ren yd ay + J [PFs y) dedy D 33-42 Use um sistema de computagao algébrica para determinar 0 vo- Esboce a regiao D e expresse a integral dupla como uma integral lume exato do solido. iterada com ordem de integracao contraria. INTEGRAIS MULTIPLAS 895 63-67 Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral 65. { | (2x + 3y) dA, D éo retangulo0 =lex?+y?=4. SOLUCGAO A regiado R pode ser descrita como R={(x,y) |y 20,1 — INTEGRAIS MULTIPLAS 899 [SQV] Determine o volume do sélido que esta sob o paraboloide z = x* + y’, acima do plano xy e dentro do cilindro x7 + y* = 2x. SOLUCAO O sélido esté acima do disco D cujo limite tem equacio x? + y* = 2x ou, apds completar os quadrados, (x-1P+y=1 (Veja as Figuras 9 e 10.) y a (x- 1)? +y?=1 E (ou r=2 cos 8) hee = SS x y FIGURA 9 FIGURA 10 Em coordenadas polares, temos x* + y? = r* e x = rcos4@, assim, o limite circular fica r> = 2rcos 6 our = 2 cos 6. Portanto, 0 disco D é dado por D =({(r, 0) | —7/2 < 0 < 7/2, 0 hora para a regiao dentro do circulo de raio R centrada no pul- raio a izador? 13. {f, arctg( y/x) dA, onde VenZaeor . . oa: . R ={(x,y)|1 > p(x%, y#) AA = { | p(x, y) dA Rocco Kloe CSCCCCEC eee eee D LT] PEAT TT Tet Et TT [TTT ttt eA ttt ttt ty LTT TTT TT? NTT Terry | LETT TT tt TTT Ae eT | Fisicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma ma- neira. Por exemplo: se uma carga elétrica esta distribuida sobre uma regiao D e a densidade ° * de carga (em unidades de carga por unidade de area) é dada por o(x, y) em um ponto (x, y) em D, entao a carga total Q é dada por FIGURA 2 [2] Q = |{ o(xy) dA D y yet 11 (QTR Uma carga esta distribuida na regido triangular D da Figura 3 de modo que a | (1) densidade de carga em (x, y) € a(x, y) = xy, medida em coulombs por metro quadrado (C/m’). Determine a carga total. SOLUGAO Da Equacdo 2 e da Figura 3, temos a - Q= || o(x,y) d= ff xy dy dx 0 x 0 Jl-x D FIGURA 3 902 CALCULO 1 2 1x =| x dx = | —[V? -— (1 — x) ]dx 0 2 | 0 2 y x 1 3 4 fl 3 3 1 | 2x x 5 =| Q2x°-x)dx = -)——- 7] FT ° \ ( 2 3 4 | 24 Logo, a carga total é 3; C. — M8 Momentos e Centros de Massa Na Sec4o 8.3, no Volume I, determinamos o centro de massa de uma lamina de densidade cons- tante; aqui, consideraremos uma lamina de densidade variavel. Suponha que a lamina ocupe uma regiao D e que tenha p(x, y) como fungao densidade. Lembre-se de que no Capitulo 8 de- finimos 0 momento de uma particula em relagdo a um eixo como 0 produto de sua massa pela distancia (perpendicular) ao eixo. Dividimos D em reténgulos pequenos, como na Figura 2. Entao a massa de R;; € aproximadamente p(xj;, yi;) AA, e podemos aproximar 0 momento de R;; com relag4o ao eixo x por Lo(xij, yij) AA yi Se somarmos essas quantidades e tomarmos 0 limite quando o numero de sub-retangulos cresce indefinidamente, obteremos o momento da lamina inteira em relacAo ao eixo x: [3] M.= lim Y Y yi pri, yi) AA = {| y p(x, y) dA m,n j=] j=] D Da mesma forma, o momento em relac&o ao eixo y é [4] M,= lim YY xi port. yi) AA = |[ xplx,y) aA m,N—> j=] j=] D Como anteriormente, definimos 0 centro de massa (x, y) de modo que mx = M,e my = M,. O significado fisico disso é que a lamina se comporta como se toda sua massa estivesse con- ; = i centrada em seu centro de massa. Assim, a lamina permanece horizontal quando equilibrada ~ em seu centro de massa (veja a Figura 4). I [5] As coordenadas (x, y) do centro de massa de uma lamina ocupando a regiaio De tendo funcao densidade p(x, y) sao FIGURA 4 . p(x. y) _ ™M, 1 _ MM, 1 ¥=—=— |[ xp(xy) dA F=— =— |[yplx,y) dA m m m m D D onde a massa m é dada por m = || plx,y) dA D y (0, 2) y=2-2x (52007) Determine a massa e 0 centro de massa de uma l4mina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0, 2), se a fungao densidade for p(x, y) = 1 + 3x + y. 3 i ~ (3 ; is) SOLUCAO O triangulo esta mostrado na Figura 5. (Observe que a equac¢4o do limite superior é y = 2 — 2x.) A massa da lamina é 0 x 1 (2-2x (1, 0) m= || ply) dA =| | (1 + 3x + y)dydx D FIGURA 5 INTEGRAIS MULTIPLAS 903 1 2 y=2-2x =| fy +30 + | dx 0 2 y=0 | 8 =4/'C —x)dx=4|x-—| == 0 3 |, 3 Entao, as formulas em fornecem _ 1 3 [1 (2-2x 3 ¥=— [| xplxy dd =a | (x + 3x* + xy) dy dx m D 3 1 y? y=2-2x =| xy + 3x*y +x dx 8 Jo 2 | y 3 3[ x2 xt] 3 => | @-s)de=> —-—| == 2 Jo 2) 2 4}, 8 _ 1 3 [1 (2-2x 3 y= — {I y p(x, y) dA = {| { (y + 3xy + y")dy dx D 3/1 2 2 3 22-28 => | 43545 dx =3 |) (7 ~ 9x — 3x? + 5x*) dx 8 Jo | 2 2 3 J,-0 0 1 eo. xt fh oa =—| 7x -9—- x +5—] = 4 2 4 |, 16 O centro de massa € 0 ponto (G. ie) 7 (SQ.MM A densidade em qualquer ponto de uma l4mina semicircular é proporcional a distancia ao centro do circulo. Determine 0 centro de massa da lamina. SOLUCAO Vamos posicionar a lamina na metade superior do cfrculo x? + y* = a’. (Veja a Figura 6.) Entao a distancia do ponto (x, y) ao centro do circulo (origem) é Vx? + y?. Por- tanto, a funcdo densidade é y p(x, y) = KVx? + y? a et+y=a onde K é alguma constante. Tanto a fungao densidade como o formato da lamina sugerem a con- versio para coordenadas polares. Entio ./x? + y? = rea regiaio D é dada por0 =r t _ 7 a no Exemplo 3 com o Exemplo 4 na Segado y m i y p(x, y) dA Kira \, {, rsen@ (Kr) r dr d0 8.3, no Volume |, onde encontramos que o D centro de massa da lamina com 0 mesmo 3 7 a 3 r4 a formato, mas com densidade uniforme, =z { sen@ dé { redr= es [—cos alr — esta localizado no ponto (0, 4a/(37)). Ta 0 0 Ta 4 |, _ 3 2a* _ 3a mae 4 27 Portanto, o centro de massa esta localizado no ponto (0, 3a/(27)). — 904 CALCULO M8 Momento de Inércia O momento de inércia (também chamado segundo momento) de uma particula de massa m em relacdo a um eixo é definido como mr’, onde r é a distancia da particula ao eixo. Esten- demos 0 conceito a uma lamina com fungfo densidade p(x, y) e que ocupa uma regiao D pelo mesmo processo que fizemos para os momentos normais. Dividimos D em pequenos retan- gulos, aproximamos 0 momento de inércia de cada sub-reténgulo em relac4o ao eixo x e to- mamos 0 limite da soma quando o ntimero de sub-retangulos aumenta indefinidamente. O re- sultado é o momento de inércia da lamina em relac4o ao eixo x: [6] I= lim YY (vitP pce.) 44 = |] y%oGe.y) aA mn j—] j=] D Da mesma forma, o momento de inércia em relacao ao eixo y é 7] 1, = lim & Y (xP pF. yf) 44 = | x2(x,y) aA m,n j—] j=] D E de interesse, ainda, considerar o momento de inércia em relacao 4 origem, também cha- mado momento polar de inércia: I= tim YY [Od Y + Of)" pv. vf) 44 = |f + y)pla.y) dA m,n j=] j=] D Observe que Jp = I, + J. S(S\ 200") Determine os momentos de inércia J,, J, e Jp do disco homogéneo D com den- sidade p(x, y) = p, centro na origem e raio a. SOLUCAO O limite de D €é 0 circulo x? + y” = a’, que em coordenadas polares D é descrito por 0 = 6 27,0 6.05405 P(3,98 < X < 4,02, 5,98 < Y < 6,02) = { : [ "fla, y) dy de FIGURA 9 Grafico da fungao densidade normal = 5 000 { “02 I 6.02 5 000[(4- 4)" +(y-6)"] dy dx conjunta em duas variaveis TT #398 15,98 do Exemplo 8 ~ 0.91 Entao, a probabilidade de X ou Y diferir de seu valor médio em 0,02 cm ou mais é de aproxi- madamente 1 — 0,91 = 0,09 7 INTEGRAIS MULTIPLAS 909 cy Exercicios 1. Uma carga elétrica é distribuida sobre 0 retangulo 0 = x <5, 21. Oretanguo0 I ) P (i) P(X slyec! ) tancia do ponto a origem. on oo 13 O limit ° en ° ~ ns m ist icircul i 5 (c) Determine os valores esperados de X e Y. . O limite de uma lamina consiste nos semicirculos y = /1 — x 7: . y 29. Suponha que X e Y sejam variaveis aleatérias com fungao densi- ey = /4 — x* juntamente com as partes do eixo x que os une. dade conjunta Encontre o centro de massa da lamina se a densidade em qualquer J — (05x40) /Sx+0.2y > > ponto é proporcional a sua distancia da origem. f(xy) = {ers se x > 0, > -_ 9 14. Encontre o centro de massa da lamina do Exercicio 13 se a den- . ' 0 caso contrarlo : sidade em qualquer ponto for inversamente proporcional a sua dis- (a) Verifique que f ¢ de fato uma fungao densidade conjunta. tancia da origem. (b) Determine as seguintes probabilidades. 15. Encontre o centro de massa de uma l4mina em forma de triangulo (i) P (Y> I (ii) P(X <2, ¥< 4) retangulo isésceles, com os lados iguais tendo comprimento a, se 30 (c) pee os eres men adios fe x ey. . 4 a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da - (a) ce vetio de 1000 he se - €um tipo com ann © distancia do vértice oposto 4 hipotenusa. vida Meco de Oras. Supondo que possamos Mocelar 16. A lami ido d do ci 2 2 a probabilidade de falha dessas lampadas por uma fungao den- , amina ocupa a regido dentro do circulo x" + y" = 2y, mas sidade exponencial com média yz = 1 000, determine a pro: fora do cfrculo x? + y? = 1. Encontre 0 centro de massa se a den- — , ” . y . . . . babilidade de que ambas as lampadas venham a falhar dentro sidade em qualquer ponto for inversamente proporcional a sua dis- 4 ‘odo de 1000 h As . e um periodo de oras. t d . ancia Ca origem Lo as (b) Outra lumindria tem somente uma l4mpada do mesmo tipo das 17. Encontre os momentos de inércia /,, J, Jy para a lamina do Exer- da parte (a). Se ala 4 . St d tra d a a parte (a). Se a lampada queima e é trocada por outra do 7. . : ue “cre ae as mesmo tipo, determine a probabilidade de que as duas venham 18. Encontre os momentos de inércia /,, J, Jy para a lamina do Exer- a falhar dentro de 1 000 horas cicio 12. ok. a 31. Suponha que X e Y sejam variaveis aleatérias, onde X tem distri- 19. Encontre os momentos de inércia /,, J, Jy para a lamina do Exer- buicdo normal com média 45 e desvio-padrao 0,5 e ¥ tem distri- ciclo IS. . buicao normal com média 20 e desvio-padrao 0,1. 20. Considere uma pa quadrada de um ventilador com lados de com- (a) Encontre P(40 < X < 50,20 < Y < 25) primento 2 ecomo canto inferior esquerdo colocado na origem. (b) Encontre P(4(X — 45)? ¢ 100(Y — 20)? < 2). Se a densidade da pa for p(x, y) = 1 + 0,1x, € mais dificil girar 32. Xavier e Yolanda tém aulas que terminam ao meio-dia e concor- a pa em torno do eixo x ou do eixo y? daram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em 21-24 Uma lamina com densidade constante p(x, y) = p ocupa a re- um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é X e 0 giao dada. Encontre os momentos de inércia J, e I, e os raios de gi- da Yolanda é Y, onde X e Y so medidos em minutos apés 0 meio- Tagao x € y. -dia. As fungdes densidade individuais sao 1. As Homework Hints estao disponfveis em www.stewartcalculus.com E necessario usar um sistema de computagio algébrica 910 CALCULO fl) e* sex20 AG) ay se0? FIGURA 4 A Figura 4 mostra a por¢ao da superficie cuja 4rea acabamos de calcular. | (S@)RHP) Determine a area da parte do paraboloide z = x? + y? que esta abaixo do plano ° z=9. ft SOLUCAO O plano intercepta o paraboloide no circulo x* + y* = 9, z = 9. Portanto, a super- | ficie dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3. (Veja a Figura 5.) Usando a Formula 3, temos A i} ,/i + (2) + (=) dA {| JI + @x)? +)? dA = — — = x y 0 0 y D * y D cp 3 y = || v4 402 +) aA x ° FIGURA 5 912 CALCULO Convertendo para coordenadas polares, obtemos A=(["[' V04 4r rdrdo= |" a0 [rv + 4r ar = 2n(4)20 + 4p?) = ~ (3737 —1) — cy Exercicios |-12 Determine a area da superficie. (b) Use um sistema de computacao algébrica para aproximar a 1. A parte do plano z = 2 + 3x + 4y que esta acima do retangulo area de superficie da parte (a) até a quarta casa decimal. (0,5] < [1,4] Compare com sua resposta para a parte (a). 2. A parte do plano 2x + Sy + z = 10 que esta dentro do cilindro 17. Determine a drea exata da superficie z = 1 + 2x + 3y + 4y’, VP+y=9 1 R fm, N—>© j=} j=1 k=1 @ se esse limite existir. x y Novamente, a integral tripla sempre existe se f for continua. Escolhemos 0 ponto de amos-_— igypa 4 tragem como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto (xi, y;, Zc), obte- remos uma express4o com aparéncia menos complicada para a integral tripla: lo min [Jfesy.dav= tim YY Y fos,y, a) AV R £m, n> jt j= k=1 Assim como para as integrais duplas, o método pratico para calcular uma integral tripla con- siste em expressa-la como uma integral iterada, como segue. Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Se fé continua em uma caixa retangular B =[a, b] X [c, d] X [r, s], entao s (d (b es y,z)dV= | | { f(x, y, z) dx dy dz R r Cc a A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relagdo a x (mantendo y e z fixados), em seguida integramos em relagdo a y (mantendo z fi- xado) e, finalmente, em relagao a z. Existem cinco outras ordens possiveis de integrac¢Ao, 914 CALCULO todas fornecendo 0 mesmo resultado. Por exemplo, se primeiro integrarmos em relac4o a y, entéo em relagdo a z e depois a x, teremos b fs (d Niacs y,z)dV= { f(x, y, 2) dy dz dx R a r Cc SETA Calcule a integral tripla [f, xyz’ dV, onde B é a caixa retangular dada por B={(x,y,)|0 relac4o a z. FIGURA 3 Em particular, se a projegao D de E sobre o plano xy é uma regiao plana do tipo I (como Uma regiao sélida do tipo | na qual a na Figura 3), entao projecdo D é uma regido plana de tipo I E={(ay.dlasx E={(x,y.d|¢ E={(x,y,2)|-2] =— — 3 5 |, 15 INTEGRAIS MULTIPLAS 917 (SUNY Expresse a integral iteradaf},{* [) fix, y, 2) dz dy dx como a integral tripla e, entao, y reescreva-a como uma integral iterada em uma ordem diferente, integrando primeiro em re- 1 lagdo a x, entao z, e entado y. 5 y=x SOLUGAO Podemos escrever 1 (x fy 0 1 x ftesoaedsae= lf ftes.a a E Z 1 onde E = {ix y, Z|O 0, entao a integral |? f(x) dx representa a rea abaixo dacurva vax y = f(x) de aaté b,e se f(x, y) = 0, entdo a integral dupla |, f(x, y) dA representa o volume x=1 sob a superficie z = f(x, y) acima de D. A interpretagao correspondente para a integral tripla FIGURA 13 Jil, f(x, y, 2) dV, onde f(x, y, z) = 0, nao é muito util, porque seria um “hipervolume” deum 9 .ajidg F objeto de quatro dimensées e, é claro, de muito dificil visualizagéo. (Lembre-se de que E é so- mente 0 dominio da fungao f; 0 grafico de f pertence ao espago quadridimensional.) Apesar disso, a integral tripla the f(x, y, z) dV pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situagGes fisicas, dependendo das interpretagGes fisicas de x, y, ze f(x, y, z). Vamos comegar com 0 caso especial onde f(x, y, z) = 1 para todos os pontos em E. Nesse caso, a integral tripla representa o volume de E: [12] WE) = {|| av E Por exemplo, vocé pode ver isso no caso de uma regiao do tipo | colocando f (x, y, z) = Ina Formula 6: u(x, y) fnev=ff pus | aA = ff bets») — mle yd s 3 u(x, y) S e, da Secao 15.3, sabemos que isso representa o volume que esta entre as superficies z= u(x, y) ez = u(x, y). (S@)RHH Use a integral tripla para determinar 0 volume do tetraedro T limitado pelos pla- nos x + 2y+z=2,x =2y,x=O0ez=0. 918 CALCULO SOLUCAO O tetraedro Te sua projecdo D sobre o plano xy séo mostrados nas Figuras 14 e 15. O limite inferior de T é 0 plano z = 0 € 0 limite superior é 0 plano x + 2y + z = 2, isto é, Z=2-—x- 2y. (0, 0, 2) y x+2y=2 x= 2y xX+2y+z=2 1 (ou y=1— x/2) a y i 0 (0, 1, 0) (1, 2 ) y=x/2 (1, 4,0) . 0 l x Xx FIGURA 14 FIGURA 15 Portanto, temos 1 (1-x/2 (2-x-2y ver) = fffav= [i fet pe dea a 0 Jx/2 0 T _ 1 fi-x/2 _ _ 1 { (., (2 — x — 2y)dydx =} pelo mesmo cAlculo usado no Exemplo 4 da Segao 15.3. (Observe que nao é necessario usar as integrais triplas para calcular volumes. As integrais triplas simplesmente fornecem um método alternativo para descrever os calculos.) Ml Todas as aplicac6es de integrais duplas da Secdo 15.5 podem ser imediatamente estendi- das para as integrais triplas. Por exemplo, se a funcdo densidade de um objeto sdlido que ocupa a regido E é p(x, y, z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, Z), entéo sua massa é [13] m= {i p(x, y,z) dV E e seus momentos em relac4o aos trés planos coordenados sao My. = {IV xp(x,y,z) dV My: = {IV yp(x,y,z) dV E E Myy = {iy zp(x,y,2) dV E O centro de massa esta localizado no ponto (x, y, Zz), onde z= My. = M,, = My m m m Se a densidade é constante, 0 centro de massa do sélido é chamado centroide de E. Os mo- mentos de inércia em relac4o aos trés eixos coordenados sao I= {i (y? + 2*)p(x,y,z) dV l= {iy (x? + 2)p(x, y,z) dV E E INTEGRAIS MULTIPLAS 919 I= {iy (x? + y*)p(x, y, z) dV E Como na Secao 15.5, a carga elétrica total sobre um objeto sélido ocupando a regiao Ee tendo uma densidade de carga o (x, y, z) é 2 = ||| oy. dav E Se tivermos trés variaveis aleatérias X, Y e Z, sua fun¢éo densidade conjunta é uma fun- ¢ao das trés variaveis, de forma que a probabilidade de (X, Y, Z) estar em E é PU(X,¥,Z) € E) = ||] flsy,2) av E Em particular, PasX dy 0 x -1 dy? “1 2 ry? pri 1 = 5| (1 — y*)dy = p| (1 — y*)dy -1 0 _ y> |) 4p FIGURA 16 ~ PLY TS ; ~ 5 Por causa da simetria de E e p em relacao ao plano xz, podemos dizer imediatamente que M,, = Oe, portanto, y = 0. Os outros momentos sao me= [nav ff fandeava E ore e0 1 fl, 1 | x =“ =p| | Paxdy =p = dy -1 dy? _,| 3 wey? 2p fi 2p y! 4p =—| (-y)dy=—]y->] =— + |, ( y’)dy | a 7 920 CALCULO 1 1 fx Mo fffsoav— ff (ended E hero 1 opi] 2? o lot =p| | =| dxdy=" | [) Pardy -1dy? 2 70 2 J-1 Jy Pp {' 6 2p => 1- dy = — 3) Uva = Logo, o centro de massa é =--ct My, Mx. My 5 5 (%, 9,2) = (Ms, Me, Me) = (5,0, i4) — mmm 157 Exercicios 1. Calcule a integral do Exemplo 1, integrando primeiro em relacao 19-22 Use a integral tripla para determinar 0 volume do sélido dado. ay, depois z e entao x. 19. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2. Calcule a integral [ ff, (xz — y*) dV, onde wty+z=4 20. O sélido limitado pelos paraboloides y = x7 + 2 e E=({(x,y,2|-1 48. Ohemisfério x7 + y? + 2° <1, 220; yave p(x.y.z) = Vx? Fy? + 2? x Oo 49. Seja E o sélido no primeiro octante limitado pelo cilindro 34. A figura mostra a regiao de integrac4o da integral x? + y> = 1 e pelos planos y = z, x = 0 e z = 0 com funcao densidade p(x, y,z) = 1 + x + y + z. Use um sistema de com- { ' { x { rs f(x,y, z) dy dz dx putagdo algébrica para determinar os valores exatos das seguin- o 0 ° tes quantidades para E. Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas (a) A massa cinco outras ordens. (b) O centro de massa (c) O momento de inércia em relag4o ao eixo z ° 50. Se E é 0 sdlido do Exercicio 18 com fungaéo densidade 1 p(x, y,z) = x* + y’, determine as seguintes quantidades, com z=1-x precisdo de trés casas decimais. (a) A massa (b) O centro de massa (c) O momento de inércia em relag4o ao eixo z | y 51. A funcao densidade conjunta das variaveis aleatérias X, Ye Zé VK! y=l~x f(x, y,2) = Cxyz se OX x<2,0 Z=Z x INTEGRAIS MULTIPLAS 923 P(r, 6, z) EEL 0 z (a) Marque o ponto com coordenadas cilfndricas (2, 27r/3, 1) e encontre suas coordenadas re- ) tangulares. y (b) Encontre as coordenadas cilindricas do ponto com coordenadas retangulares (3, —3, —7). x (r, 8, 0) SOLUGAO FIGURA 2 (a) O ponto com coordenadas cilindricas (2, 27r/3, 1) esté marcado na Figura 3. Das Equagdes_ _ As coordenadas cilindricas de 1, suas coordenadas retangulares sao um ponto P Qar 1 ° x =2cos—=2|-—-]=-1 3 2 on 5 (°F 1) 21 3 y = 2sen— = 2| —— = /3 1 3 2 2 z=1 0 Logo, o ponto é (- 1,/3, 1) em coordenadas retangulares. 22 7 (b) Das Equag6es 2 temos x r= /32 + (-3" =3V2 FIGURA 3 @=—=-1 1 g= 7 42 =—=- ogo =— nt Z g 3 8 4 a 5 Portanto, um conjunto de coordenadas cilindricas é (3 J2 ,77/4, -7). Outro é I (3 V2 ,— 7/4, —7). Como no caso das coordenadas polares, existem infinitas escolhas. HM ( (0, c, 0) (c, 0, 0) a y Coordenadas cilindricas sao Uteis em problemas que envolvem simetria em torno de um x I eixo e 0 eixo z é escolhido de modo a coincidir com 0 eixo de simetria. Por exemplo, 0 eixo do cilindro circular com equagio cartesiana x* + y* = c* € 0 eixo z. Em coordenadas cilin- dricas, este cilindro tem a equacdo muito simples r = c. (Veja a Figura 4.) Estaé arazao para FIGURA 4 oO nome coordenadas “‘cilindricas”’. r=c, um cilindro (S@)RHP) Descreva a superficie cuja equac&o em coordenadas cilindricas é z = r. ° SOLUCGAO A equacfo diz que o valor z, ou altura, de cada ponto da superficie é o mesmo que [| J r,a distancia do ponto ao eixo z. Como 6 nao aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano z = k (k > 0) € um circulo de raio k. Esses cortes sugerem que a super- = ficie é um cone. Essa previsdo pode ser confirmada convertendo a equagao para coordena- J das retangulares. Da primeira equacdo em [2], temos ” x \ Paepaxrt y? R x 2— 42 2 x x FIGURA 5 econhecemos a equagéo z° = x° + y* (pela comparacao com a Tabela | na Seco 12.6) _ como 0 cone circular cujo eixo € 0 eixo Z. (Veja a Figura 5.) | eh ulm cone M8 Calculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilindricas Suponha que E seja uma regiao do tipo 1, cuja projecao D no plano xy tenha uma representa- ¢ao conveniente em coordenadas polares (veja a Figura 6). Em particular, suponha que f seja continua e E={(x.y.2)|(.y) ED, wiley) <2 < wl, y)} 924 CALCULO onde D é dado em coordenadas polares por Z Z=Uy(X, y) | y I | | [z= u,(x, y) | r=h(6) of || 7 mi 0=B | FIGURA 6 x r=h,(0) Sabemos da Equac4o 15.7.6 que u(x, y) [3] [ll fe.y.2 av = [] i “poxy.2 | dA . 5 u(x, y) Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato, combinando a Equacao 3 com a Equacao 15.4.3, obtemos Z [4] [Il ve. y,2dV= {' on in contr en) Cy cos 0, r sen @, z) r dz dr dO a_-—nt . a Jh(6) Ju(r cos 6,r sen @) dz oes . r dr A Formula 4 é a formula para a integracao tripla em coordenadas cilindricas. Ela nos diz rdo que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilindri- cas escrevendo x = rcos 6, y = rsen@ e deixando z como esta, utilizando os limites apro- FIGURA 7 priados de integra¢4o para z, re 6, e trocando dV por r dz dr d6. (A Figura 7 mostra como lem- Elemento de volume em brar disto.) E recomendavel a utilizacdo dessa formula quando E for uma regio sélida cuja coordenadas cilindricas: descrigdéo é mais simples em coordenadas cilindricas e, especialmente, quando a fungao dV =r dz dr do f(x, y, z) envolver a expressfo x? + y?. SEIRME Um sélido E esta contido no cilindro x? + y? = 1, abaixo do plano z= 4 e acima do paraboloide z = 1 — x? — y’. (Veja a Figura 8.) A densidade em qualquer ponto é proporcional a distancia do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E. 7=4 ° SOLUCAO Em coordenadas cilindricas, o cilindro € r = 1 e 0 paraboloide € z=1-—r’e CS b0,0.4) podemos escrever E={(r,0,2|0 <6 <27,0+—| =—— = 5 |, 5 2 pv4-e 2 Z BEY Calcule | (x2 + y?) dedy dx. ~2 J- ae Jyarty? z=2 SOLUCAO Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a regiao s6lida E={,y,9|-2 + 2 =4. a quantidade de trabalho necessaria para erguer uma montanha a 23. Determine 0 volume do sélido que é limitado pelo cone partir do nivel do mar. Considere uma montanha que tenha es- z= /x¢ + ye abaixo daesfera x? + y? + 27 =2. sencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a 24. Determine 0 volume do sdlido que esta entre o paraboloide densidade do material na vizinhanga de um ponto P seja g(P) e z=x?+y’ eaesferax? + y? + 7 =2. a altura seja h(P). 25. (a) Encontre o volume da regiaéo E limitada pelos paraboloides (a) Determine a integral definida que representa o trabalho total z=x t+ yrez = 36 — 3x? — 3y”. exercido para formar a montanha. (b) Encontre 0 centroide do E (centro de massa no caso em que (b) Assuma que 0 monte Fuji no Japao tenha o formato de um a densidade é constante). cone circular reto com raio de 19 000 m, altura de 3 800 me 26. (a) Determine 0 volume do sélido que o cilindro r = acos @ densidade constante de 3 200 kg/m*. Quanto trabalho foi corta da esfera de raio a centrada na origem. feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente (b) Ilustre o sélido da parte (a) desenhando a esfera e 0 cilindro ao nivel do mar? na mesma tela. 27. Determine a massa e 0 centro de massa do sélido S limitado pelo paraboloide z = 4x” + 4y’e pelo plano z = a (a > 0), se S tem densidade constante K. ; = 28. Determine a massa da bola B dada por x* + y? + 2? 1? E necessario usar um sistema de computacio algébrica INTEGRAIS MULTIPLAS 927 cz Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais util é 0 sistema de coordenadas esféricas. Ele z simplifica 0 calculo de integrais triplas em regides limitadas por esferas ou cones. b P(p, 6, @) M9 Coordenadas Esféricas p As coordenadas esféricas (p, 0, &) de um ponto P no espaco sfo mostradas na Figura 1, onde 6 p =|OP| €a distancia da origem a P, 6 € 0 mesmo Angulo que nas coordenadas cilindricas O e @é 0 Angulo entre 0 eixo z positivo e o segmento de reta OP. Observe que 0 p=0 0<¢<7 x y O sistema de coordenadas esféricas é especialmente util em problemas nos quais exista sime- tria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto. Por exemplo,aesferacom =FIGURA 1 centro na origem e raio c tem a equacao simples p = c (vejaa Figura 2)—essaéarazéodonome Ag coordenadas esféricas “coordenadas esféricas”. O grafico da equagéo 6 = c 6 um semiplano vertical (veja a Figura3) deum ponto e aequacdo @ = c representa um semicone com 0 eixo z como seu eixo (veja a Figura 4). Cc +f 0 o) e 0 7 y Cc y y ( \ y Vil x : : . — | : yt 0 0.) Portanto, as coordenadas esféricas do ponto dado sao (4, 7/2, 27/3). = ME Calculo de Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas Neste sistema de coordenadas, o correspondente 4 caixa retangular é uma cunha esférica E={(p,0,6)|a €dada por x rj = pj sen dy aay , \ AVin ~ (Ap)(0:AG)(p: sendy A8) = p2sen dy Ap AO AG r, AO = p,seng, Ad FIGURA 7 De fato, pode ser mostrado, com a ajuda do Teorema do Valor Médio (Exercicio 47), que 0 va- lor exato do volume de E;;. € dado por AVix = p’; send, Ap Ad Ad onde (fj, 6), ¢,) € algum ponto em Ejj,. Sejam (x74, yi, zi) as coordenadas retangulares desse ponto. Entao lo mon [lJ Fo.y.2.av = lim YY D fot, his ct) AVin n INN G1 j=] k=] lo mon _ . . . _ _ = lim > > Dd (pi send: cos 6; ; send; sen6;, p; cos dx) p? send, Ap Ad Ad »M,N—>* j—] j=] k=] Mas essa € uma soma de Riemann para a funcao F(p, 0, 6) = f(p sen d cos 0, p send sen 6, p cos d) p’ send INTEGRAIS MULTIPLAS 929 Consequentemente, chegamos 4 seguinte formula para a integracao tripla em coordena- das esféricas. [3] (I) fe.y.2 av E d (B fb 2 = | { { f(p sen@ cos 6, p send send, p cos d) p* send dp dé db onde E é uma cunha esférica dada por E={(p,06)|a send cos'¢ db = — | -—— |] = > 3 | ® db 3 4 | 8 Visual 15.9 mostra uma animacgao da Figura 11. INTEGRAIS MULTIPLAS 931 , y | y x y p varia de 0 a cos ¢, enquanto ¢ varia de 0 a 77/4, 6 varia de 0a 27. FIGURA 11 de 6 sao constantes. enquanto @ é constante. 7 ce Exercicios |-2 Marque o ponto cujas coordenadas esféricas sfo dadas. A seguir, 17-18 Esboce 0 sélido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. encontre as coordenadas retangulares do ponto. a/6 pri2 34 1. (a) (6, 7/3, 7/6) (b) (3, 7/2, 30/4) 17. Jovy {e%sen & dp do de 2. (a) (2, 7/2, 7/2) (b) (4, —7/4, 77/3) po 18. [ [" [; p? sen g dp db do 0 Jz/2 JI 3-4 Mude de coordenadas retangulares para esféricas. as 3. (a) (0, —2, 0) (b) (-1, 1, — V2) 19-20 Escreva a integral tripla de uma func4o continua arbitraria f (x, y, Z) em coordenadas cilindricas ou esféricas sobre o s6lido mostrado. 4. (a) (1,0, V3) (b) (V3, -1, 2V3) 19. 20. Z Z 5-6 Descreva com palavras a superficie cuja equacao é dada. 5. b= 7/3 6. p=3 WA 7-8 Identifique a superficie cuja equagao é dada. A 7. p =sené send i 8. p’(sen’d sen’6 + cos’) = 9 x y 1 <<< x 2 y 9-10 Escreva a equagaéo em coordenadas esféricas. 9 (a) 2 =x? +y? (b) x? +2=9 21-34 Utilize coordenadas esféricas. 10. (a) x2 -2xe+y2+22=0 (b) x+2y+32=1 21. Calcule fl, (x? + y* + z’)’dV, onde B é a bola com centro na a origem e raio 5. 11-14 Esboce 0 sélido descrito pelas desigualdades dadas. 22. Calcule Whe (9 — x? — y’) dV, onde H € o hemisfério sdlido 1.2+y?+z27=4, acima do plano xy e abaixo do cone Tomamos a origem como o centro da Terra e 0 eixo z passando ZH Vxr- + y?. pelo polo norte. O eixo x positivo passa pelo ponto onde o meri- 31. (a) Encontre o centroide do sdlido no Exemplo 4. diano principal (0 meridiano por Greenwich, na Inglaterra) in- (b) Encontre o momento de inércia em torno do eixo z para este tercepta o equador. Entao a latitude de P € a = 90° — ° ea lon- solido. gitude é B = 360° — 6°. Encontre a distancia sobre um circulo 32. Seja H um hemisfério sdlido de raio a cuja densidade em qual- maximo de Los Angeles (lat. 34,06° N, long. 118,25° W) a Mon- quer ponto é proporcional a distancia ao centro da base. treal (lat. 45,50° N, long. 73,60° W). Tome o raio da Terra como (a) Determine a massa de H. 6 370 km. (Um circulo maximo é 0 circulo de intersecgao de uma (b) Determine 0 centro de massa de H. esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.) (c) Determine o momento de inércia de H em relagao a seu eixo. 45. As superficies p = 1 + 4 sen mé sen n@ tém sido usadas para 33. (a) Determine o centroide do hemisfério sdlido homogéneo de modelar tumores. A “esfera rugosa” com m = 6 en = 5 esta ralo a. mostrada. Utilize um sistema de computacao algébrica para de- (b) Determine 0 momento de inércia do sdlido da parte (a) em re- terminar seu volume. laga&o a um diadmetro de sua base. me. (0 : ope as US e\yp—. 34. Determine a massa e 0 centro de massa do hemisfério sdlido de get TAS ; en CERAM raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional 4 sua KX KNW Ra distancia da base. { BASS NEADS SS, » PROT ) ee p RISER EEE YS a. a ASSES 35-38 Dentre as coordenadas cilindricas ou esféricas, utilize a que lhe ) SRSSEEEERESSE Zs : . A i parecer mais apropriada. : SEE ONG . a oa SAYER Ty 35. Determine 0 volume e 0 centroide do sélido EF que esté acima do N WEES cone z = x2 + y? eabaixo daesferax? + y*?+ 7 = 1. aS=aeEe | 36. Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma es- (LES WY " fera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diametro com um Angulo de 77/6. 46. Mostre que 37. Calcule Vf. z dV, onde E esta acima do paraboloide z = x? + y* co fm fe b 3 ixo d = lj : : I I \ Vx Fy? + Fe) dx dy dz = 2a e abaixo do plano z = 2y. Utilize a Tabela de Integrais (veja as 20 Joe Jo Paginas de Referéncia 6-11) ou um sistema de computacio al- (A integral impropria tripla é definida como o limite da integral gébrica para calcular a integral. tripla sobre uma esfera sdlida quando o raio da esfera aumenta in- 38. (a) Determine 0 volume limitado pelo toro p = sen @. definidamente.) (b) Utilize um computador para desenhar o toro. 47. (a) Utilize coordenadas cilindricas para mostrar que 0 volume do s6lido limitado por cima pela esferar? + z* = a? e por baixo 39-41 Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. pelo cone z = r cotg bo (ou @ = do), onde 0 < do < 77/2, 1 pyi-e pyr? é 39. {, {, _ xy dz dy dx a pea? pVeaP . . 2ma* 40. {" — [Vos (2g + yz + 23) dz dx dyy V= 3 (1 — cos do) Mn. f { | 4 = y (2+ y+ 2) de de dy (b) Deduza que o volume da cunha esférica dada por 2 Jovaox! Jovi xy Pi r? 6. Mostre que /* = 2 para a bola sélida e /* = $ para a bola oca. Assim, os objetos terminam a corrida na seguinte ordem: bola sdlida, cilindro sdlido, bola oca, cilindro oco. 15.10 Mudanga de Variaveis em Integrais Multiplas Em calculo unidimensional, frequentemente usamos uma mudanga de variavel (uma substi- tuig4o) para simplificar uma integral. Revertendo os papéis de x e u, podemos escrever a Re- gra da Substitui¢gdo (5.5.6, no Volume I) como b d , [7] [P00 ax = [*F(gw)g'w) du onde x = g(u) e a = g(c), b = g(d). Outro modo de escrever a Formula | € 0 seguinte: b d dx [2] [709 dx = |") — au a c du Uma mudanga de varidveis pode também ser util em integrais duplas. Ja vimos um exem- plo disso: a convers4o para coordenadas polares. As novas varidveis r e 0 estado relacionadas as velhas variaveis x e y pelas equagdes 934 CALCULO x =rcosé y =rsené e a formula de mudanga de variaveis (15.4.2) pode ser escrita como [| Fe. y)dA= [| Fecose, rsen@) rdrd0 R s onde S € a regiao no plano ré que corresponde a regiao R no plano xy. De modo mais geral, consideremos uma mudanga de variavel dada pela transformacao T do plano uv no plano xy: T(u, v) = (x, y) onde x e y estao relacionados com u e v pelas equagdes [3] x=glu,v) y= hu, ») ou, como as vezes escrevemos, x=x(u,v) y= yu, v) Em geral, consideramos T uma transformacdao C', 0 que significa que g e h tém derivadas par- ciais de primeira ordem continuas. Uma transformacgao T é de fato somente uma fungado cujo dominio e imagem sao ambos sub- conjuntos de R*. Se T(u;, 1) = (x1, y1), entao o ponto (x), y,) €é denominado imagem do ponto (uj, 01). Se nao existem dois pontos com a mesma imagem, T é injetora. A Figura | mostra o efeito de uma transforma¢gao T em uma regiao S do plano uv. T transforma S em uma regiao R no plano xy denominada imagem de S, constituida das imagens de todos os pontos de S. v y T —q@ox~ T~ 1 <_< 0 u 0 x FIGURA 1 Se T é injetora, ent4o existe uma transformacao inversa T ' do plano xy para o plano uv e pode ser possivel inverter as Equacées 3 para escrever u e v em termos de x e y: u = G(x, y) v = H(x, y) | Setti) Uma transformacao é definida pelas equacdes x=w-v y = 2uv Determine a imagem do quadrado S = {(u, v)|0 0) y? [5] x=—-1 -1 J ou ou Da mesma forma, o vetor tangente em (Xo, yo) & curva imagem do lado esquerdo de S é (a sa- ber, u = uo) é . . Ox, | Oy, Ty = go(uo, Vo) i + h,(uo, vo.) j = —i + —j ov ov Podemos aproximar a regifio imagem R = T(S) pelo paralelogramo determinado pelos veto- res secantes a =r(uo + Au, v0) — r(uo, vo) b = r(uo, v0 + Av) — r(uo, v0) mostrados na Figura 4. Mas _ F(uo + Au, v9) — (uo, Vo) Y= aa YA Au—0 Au e assim r(uo + Au, v9) — r(uo, vo) = Aur, 936 CALCULO F (Ugly + Av) Da mesma forma r(uo, vo + Av) — r(uo, 00) ~ Avr, fo Isso significa que podemos aproximar R por um paralelogramo determinado pelos veto- F (Upsto) res Aur, e Av r,. (Veja a Figura 5.) Portanto, podemos aproximar a drea de R pela drea desse U9 U ~ Z _ paralelogramo, que, da Secao 12.4, é a rut Auty [6] |(Awr,) X (Avr,)| = [ru X r.| Au Av FIGURA 4 Calculando o produto vetorial, obtemos , i j k Avr, J ax ay ax ax ax dy —_— = —_— — —- — 0 ou Ou ou ov F (Uosto) Yr Xr, =| ou ou = k= k ox oy oy oy ax dy — = =— = —- — 0 dv ov ou dv ov. ov O determinante que aparece nesse calculo €é chamado jacobiano da transformacaéo e tem uma FIGURA 5 notacAo especial: 0 jacobiano recebeu esse nome em [7] Definig¢éo O jacobiano da transformacio T dada por x = g(u, v) e y = h(u, v) é homenagem ao matematico alemao Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Apesar Ox Ox de 0 matematico francés Cauchy ter sido o a(x, y) du ov ox dy ax dy primeiro a usar estes determinantes TN Sa especiais, envolvendo derivadas parciais, au, v) oy oy. du ov dv du Jacobi usou-os para desenvolver um ou ov método para calculo de integrais multiplas. Com essa notagao, podemos utilizar a Equagao 6 para obter uma aproximagao da drea AA de R: O(x, vA ~ [22 ay av a(u, v) onde o jacobiano é calculado em (uo, vo). Em seguida, dividimos a regiao S do plano uv em retangulos S;;e chamamos suas imagens no plano xy de Rj. (Veja a Figura 6.) v y | ky UT TN SS 7T eT TT RL—Kaa S ~ LT KOIRESS | | [aw TT r LEK OES, AL YI Tt — OIE KOD CETTE ORLY 1 RP (u;, v;) (xi, Yj) 0 y a(r, 6) dy dy sen? —rcosé SS 0=B r=b or 00 Assim, 0 Teorema 9 fornece / = a(x.y) ra a\ 0-0 [| fe. y) dx dy = [| Fe-cose, rsen@)|——>—| dr d0 3 ‘ : a(r, 0) (ln a 0 x Bb = { { f(rcosé, rsen@) r dr dé a va FIGURA 7 Transformagdo para as coordenadas que é 0 mesmo que a Férmula 15.4.2 polares (SGV) Utilize a mudanca de varidveis x = u* — v’, y = 2uv para calcular a integral {{,y dA, onde R é a regio limitada pelo eixo x e pelas pardbolas y* = 4 — 4xey? = 4 + 4x ,y 20. SOLUCGAO A regiao R estd mostrada na Figura 2, (na pagina 935). No Exemplo 1, descobri- mos que 7T(S) = R, onde S € o quadrado [0, 1] X [0, 1]. De fato, a razio que nos levou a fazer a mudanga de variavel para calcular a integral é que S € uma regido muito mais simples que R. Vamos calcular o jacobiano: 938 CALCULO ax ax O(x, ou ov 2u —2v 3G») = = = 4u? + 40? >0 a(u, v) oy ay 2v 2u ou ov Portanto, pelo Teorema 9, O(x, [J yaa = {| au C&”)| aa = { { (2uv)4 (02 + v2) du do a(u, v) 0 Jo R S _ 1fl 3 3 _ oT 4 123 u=1 = 8 | { (uv + uv®) du dv = 8 [buy +4}, dv | 3 2 4]! = |) 2v + 40°) dv = [v + |) =2 7 OBSERVACAO O Exemplo 2 nao foi um problema muito dificil de resolver porque ja co- nheciamos uma mudanga de variaveis apropriada. Se nao a conhecéssemos de antemao, en- tao o primeiro passo seria descobrir uma mudanga de variaveis apropriada. Se f (x, y) for di- ficil de integrar, entéo a forma de f (x, y) pode sugerir uma transformacao. Se a regiao de integragdo R € complicada, entao a transformagao deve ser escolhida para que a regiao S cor- respondente no plano uv tenha uma descrig4o mais conveniente. SS iet0e) Calcule a integral the e/")) dA, onde R € a regido trapezoidal com vértices (1, 0), (2, 0), (0, —2) e (0, —1). SOLUCAO Como nao € facil integrar e°*/“~, vamos fazer a mudanga de variaveis sugerida pela forma da fungao: u=xty v=x-y Essas equagoes definem a transformagao T' do plano xy para o plano uv. O Teorema 9 diz respeito a transformagao T do plano wv para o plano xy. Esta é obtida isolando-se x e y nas Equa- goes 10 dexey: v 1 1 (-2, 2) v=2 (2,2) [11] x=3;(u+v) y=3(u-») u=—v u=vU (-1, 1) (1, 1) O jacobiano de T é v=l1 0 i ax ax ax,y) | aw av) js 3) 4 | |r au,v) | ay ay} fy -3 ° ou ov y Para determinarmos a regiao S do plano uv correspondente a R, observamos que os lados de R estao sobre as retas x-y=l y=0 x-y=2 x=0 x-y=1 1 2 0 x e, das Equagoées 10 ou 11, as retas imagem do plano uv sao —] ye voy=2 u=v v=2 u=-v v=1 —2 Entio, a regiao S é a regido trapezoidal com vértices (1, 1), (2, 2), (—2, 2) e(—1, 1) mostrada FIGURA 8 na Figura 8. Como INTEGRAIS MULTIPLAS 939 S = {(u, ») | l + v* <1; x=au, y= bv duas curvas isotérmicas xy = a, xy = be duas curvas adiabaticas cs xy!4 = c, xy!4 = d, onde0 2 => 2 j- 39. Determine a area da parte da superficie z = x” + y que esté acima 50. Utilize a ansformacto . ‘ 7Y 1 u “ . w" para determi do triangulo com vértices (0, 0), (1, 0) € (0, 2. UE + Jy + Jp=1 « nelos > Peeve cocsdonados [sca] 40. Trace a superficie z = x sen y, -3 > * y eee Utilize o Teorema do Valor Extremo (14.7.8) e a Propriedade termine o valor aproximado da integral ||, y" dA. (Utilize uma fer- 15.3.11 das integrais para demonstrar esse teorema. (Use a de- ramenta grafica para estimar os pontos de intersec¢ao das curvas.) a ~ Ly: : ~ : : oe _ monstrac4o da versao unidimensional da Sec4o 6.5, no Volume I, AE 44. Determine o centro de massa do tetraedro sdlido com vértices como guia.) 0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) e fungao densidad vo, , . : ( ( ( 24 ) ‘ 2 ¢ ) e fungao densidade 53. Suponha que f seja continua sobre um disco que contém o ponto x =x . . . : : Pe Ys é . y < .. oe . (a, b). Seja D, 0 disco fechado com centro em (a, b) e raio r. Uti- 45. A funcao densidade conjunta das variaveis aleatorias X e Y é . 24: . . . lize o Teorema do Valor Médio para as integrais duplas (veja o Cix+y) seO {fre y) dA = f(a, b) (a) Determine o valor da constante C. roo TT (b) Encontre P(X S 2, Y= 1). 1 (c) Encontre P(X + Y < 1). 54. (a) Calcule { | @eyy? dA, onde n é um inteiro e D é a regiaio 46. Uma luminaria tem trés lampadas, cada uma com vida média de limitada chos " ireulo < com centro na origem e tajos re R 800 horas. Se modelarmos a probabilidade de falha das lampadas Q0,b>0,c>0 a boc corta 0 elipsoide sélido x 2 Z zt x +r>s 1 a b c em dois pedagos. Encontre 0 volume do pedago menor. Calculo15B:calculo7 5/25/13 10:45 AM Page 946 Cálculo Vetorial Neste capítulo, estudaremos os cálculos de campos vetoriais. (Estes são as funções que asso- ciam vetores a pontos no espaço.) Em particular, definiremos integrais de linha (que podem ser usadas para encontrar o trabalho realizado por um campo de força para mover um obje- to ao longo de uma curva). Em seguida, definiremos integrais de superfície (que podem ser usadas para encontrar a taxa de fluxo do fluido através de uma superfície). As conexões entre esses novos tipos de integrais e as integrais unidimensionais, duplas e triplas que já vimos são dadas por versões em maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo: Teorema de Green, Teorema de Stokes e o Teorema do Divergente. 16 Dreamworks/Photofest Superfícies parametrizadas, estudadas na Seção 16.6, são frequentemente utilizadas por programadores na criação de filmes de animação. Nesta cena de FormiguinhaZ, Princesa Bala está prestes a tentar resgatar Z, que está preso em uma gota de orvalho. A superfície parametrizada representa a gota de orvalho, e uma família de tais superfícies descreve o seu movimento. Um dos programadores para este filme disse: "Eu gostaria de ter prestado mais atenção na aula de cálculo, quando estávamos estudando superfícies parametrizadas. Com certeza me ajudaria hoje." Calculo16_01:calculo7 6/10/13 9:46 AM Page 947 948 CALCULO ca Campos Vetoriais Os vetores da Figura | representam os vetores velocidade do ar e indicam a velocidade esca- lar, a direc4o e o sentido do vento em pontos a 10 m da superficie, na 4rea da Baia de Sao Francisco. Nés vemos num relance a partir das maiores setas na parte (a) que as velocidades do vento maiores naquele tempo ocorreram quando entraram na baia do outro lado da Ponte Golden Gate. A parte (b) mostra 0 padrao de vento muito diferente 12 horas antes. Associa- do a cada ponto do ar, podemos imaginar um vetor velocidade do vento. Este é um exemplo de campo vetorial de velocidade. Sa Le, yr ae a oe ee ae TP A it A OY a ae le Se enna ie a” ba eet Oe GUS Are ae SS a hn aE A A A All bet OA ee ae a a ia ln a OG, OO ti nNnnNntsse SS Sn aa ei nik. Akh, Oa Sk 7 besa ESS ge try NA ts 7 Eee EE CS nee me Ga a ie) 7 a TS al ke ea 1 ie ee nee a eared Bs) Miia ts Reg SPANLIRSE PS ch Gh SUA 9 a Sh SOS i i aid Me aM aa 50h ae Ma tb > mT SS i veee aS Dac) | SMa S Wom ria Coll © GR UMM WY Gum OT be aaeee aN SDSS AOR Onn On Ck bet iRy ste fs i Oe AF as ~S SNNA fFAN sy Gia ee 7, Rett tal le od di SWS A LLNS be ee ra A a7 Pl of eA allel ad be SR iad F mcAy i’ 7 a ap FA oll of tll atl ot adel iad i soy NR: tte ict Leh ain VA ne ee lal al a Me otal NESE SSIS SAL J SV a ence We lk Pall Ae A ll al ol ae aed a Sa Dn Dn ia Sia Seka. Sia aR GRRL, OL UO WS etal «adh aad SAA SESE SS Re Lt Ra en ON ie, al ee ak A ee A a od SS it Sin GG Ges an 0 en lt ler le A teas ae td Ra SS Sk EM r ai nS StI SEO Sd RGM cag Re E ' ao dtd a Se Mia Aik We) SU Soke Se) am Deas ee 7 7 Si Sonia ai i i SSE, OG ea SAAAS AS NNNNNN WSS 1 ENN NS SN SOS SES IN SY Vl, Vea hn no, Sul OE Hy 2 2 WS SLO (a) 18:00, 1° margo de 2010 (b) 6:00, 1° marco de 2010 FIGURA 1 Campos vetoriais de velocidade mostrando aspectos do vento na Baia de Sao Francisco Outros exemplos de campos vetoriais de velocidade estao ilustrados na Figura 2: correntes oceanicas e do fluxo passando por um aerofoélio. yA mF ~ A a. + pera eg 8S Xie ———— ee aS vy . 4 « ne =e OB: Lo —$ ee ae SSS DET Le x ee yas er a aay > Se ———— = ——— ™ a, ar >! 2 SE eee ? Le Z Pgh IN a 2 y s SS = ‘oy rape hie hut gia, 3 —— z BSG ea se Oe + kee ta 5 ee So * A SEL A>”, pe esis § — —— a "ey VR Dean = eager tase Sees re % vy fee pe LA Bate S a eS NE aoe i My SEE ALEX ELPRLN ES ata 7, ee We Fe EE gh ae EE A, y” 4 cl) 2 [eee Ke eR LE ae BLS 7 rg a7, 7 = cnn nmememenmeenennen oot ee he aa Ty 7 Aa 7 s —————— a eos ape AG 7 _ x ol s SSM MLE pg a 1 ” ——— —_—— (a) Correntes oceanicas em frente 4 costa de Nova Escécia (b) Escoamento do ar por um aerofolio inclinado FIGURA 2 Campos vetoriais de velocidade Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de forca, associa um vetor for¢ga a cada ponto da regido. Um exemplo é 0 campo de forc¢a gravitacional que examinaremos no Exemplo 4. Em geral, um campo vetorial é uma funga4o cujo dominio é um conjunto de pontos de R? (ou R?) e cuja imagem é um conjunto de vetores em V> (ou V3). [1 Definigaéo Seja D um conjunto em R? (uma regido plana). Um campo vetorial em IR? é uma funcao F que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y). CALCULO VETORIAL 949 A melhor maneira de enxergar um campo vetorial € desenhar a seta representando o vetor y F(x, y) comecando no ponto (x, y). E claro que é impossivel fazer isso para todos os pontos F(x, y) . . . . —_, (x, y), mas podemos visualizar F fazendo isso para alguns pontos representativos em D, como na Figura 3. Uma vez que F(x, y) € um vetor bidimensional, podemos escrevé-lo em (% y) termos de suas funcdes componentes P e Q da seguinte forma: 7 “ F(x, y) = PQ, y)i + OC, y) j = (PQ, y), OG, y)) ou, de forma mais compacta, F=Pi+Qj Observe que P e Q sao fungoes escalares de duas varidveis e sio chamadas, algumas vezes, campos escalares, para distingui-los dos campos vetoriais. FIGURA 3 Campo vetorial em R? [2] Definigéo Seja E um subconjunto de R?. Um campo vetorial em R? é uma fun- cao F que associa a cada ponto (x, y, z) em FE um vetor tridimensional F(x, y, z). Um campo vetorial F em R? esta ilustrado na Figura 4. Podemos escrevé-lo em termos ° F(x, y,2) das fungdes componentes P, Q e R como / | N, a Fa, y,z) = P@, y,zi+ OG, y, DJ + RO, y, Dk 0 (x, y, Z) Como nas funcées vetoriais na Secao 13.1, podemos definir a continuidade dos campos veto- x“, we | riais e mostrar que F sera continua se e somente se suas fungdes componentes P, Q e R forem ~ yf? continuas. x ~ TSH As vezes identificamos um ponto (x, y, z) com seu vetor posicao x = (x, y, z) e escreve- mos F(x) em vez de F(x, y, z). Entéo F se torna uma fungao que associa um vetor F(x) a um FIGURA 4 vetor x. Campo vetorial em R* (SQW Um campo vetorial em R? é definido por F(x, y) = —yi+t xj. Descreva F es- bogando alguns dos vetores F(x, y) como na Figura 3. SOLUCAO Uma vez que F(1, 0) = j, desenhamos o vetor j = (0, 1) comecgando no ponto (1, 0) na Figura 5. Uma vez que F(0, 1) = —i, desenhamos o vetor (—1, 0) com ponto ini- y cial (0, 1). Continuando desta maneira, podemos calcular varios outros valores representati- F003 FO? vos de F(x, y) na tabela e extrair os vetores correspondentes para representar 0 campo 0.9) (2,2) vetorial na Figura 5. Foy | @y | Few Fo C, 0) (0, 1) (—1, 0) (0, —1) 0 x (2, 2) (—2, 2) (—2,-2) | (2, -2) (3, 0) (0, 3) (—3, 0) (0, —3) (0, 1) (—1, 0) (0, —1) (1, 0) (—2, 2) (—2, —2) (2, —2) (2, 2) (0, 3) (—3, 0) (0, —3) (3, 0) FIGURA 5 Na Figura 5, parece que cada seta é tangente a um circulo com centro na origem. Para’ F(x, y)=—yi+xj confirmarmos isso, vamos tomar o produto escalar do vetor posicgéo x = xi + yj com o vetor F(x) = F(x, y): x: Fx) =(@it yj): (-yit+x«j) = -xy + yx =0 Isso mostra que F(x, y) é perpendicular ao vetor posicdo (x, y) e, portanto, tangente ao cir- culo com centro na origem e raio |x| = ./x? + y*. Observe também que | F(x, y)| = Vy? + x? = Vx? + y? = |x| de modo que 0 comprimento do vetor F(x, y) € igual ao raio do circulo. | Alguns sistemas de computa¢4o algébrica sio capazes de tragar um campo vetorial em duas ou trés dimensoes. Eles fornecem melhor visualizagao do campo que 0 esbogo feito a mao, pois 0 computador pode desenhar grande nimero de vetores representativos. A Figura 6 apresenta uma saida de computador para o campo vetorial do Exemplo 1; as Figuras 7 e 8 mostram outros dois campos vetoriais. Observe que o computador muda a escala de 950 CALCULO comprimento do vetor para que ele nao fique comprido demais, embora ainda seja propor- cional ao verdadeiro comprimento. 5 6 5 ffm NSN AN anne PP Aaa AAP lo eer H|\-NNNNA ee ee mee P7727 24777 LlceH|-x00K Kaa lay PPr2l-277 7 ee i Prre-l-rrrt ddree]de err ere ew ede eh ew frre-le ot ttt er rr Oo St 5 VV Nw sle 477 f Nee ele Ne ee ne VN Nw -l4- 24777 Wie eerie ee P7227 NNN Se 7 AZ —— Azra 4A7/7 —5 —-6 —5 FIGURA 6 FIGURA 7 FIGURA 8 F(x, y) = (-y, x) F(x, y) = (y, sen x) F(x, y) = (In(1 + y?), In(1 + x?) S77) Esboce o campo vetorial em R? dado por F(x, y, z) = zk. SOLUCAO O desenho esta mostrado na Figura 9. Observe que todos os vetores sfio verticais, apontando para cima, quando acima do plano xy ou para baixo, quando abaixo do plano xy. O comprimento aumenta a medida que nos distanciamos do plano xy. pg Pt t ry 1y oY ° | FIGURA 9 | F(x, y, 2) =zk — Somos capazes de desenhar o campo vetorial do Exemplo 2 4 mio, pois ele é especial- mente simples. A maioria dos campos vetoriais tridimensionais, no entanto, sao virtualmente impossiveis de serem desenhados a mAo e, por isso, precisamos recorrer a um sistema de com- putagdo algébrica. Exemplos sao mostrados nas Figuras 10, 11 e 12. Observe que os campos vetoriais nas Figuras 10 e 11 tém formulas semelhantes, mas todos os vetores na Figura 11 apontam na diregdo geral do eixo negativo y porque seus componentes y sdo todos —2. Se o campo vetorial na Figura 12 representa um campo de velocidades, entéo uma particula seria levada para cima e iria espiralar em torno do eixo z no sentido horario quando visto de cima. / ly fo \, A a I 7 af \ . | ‘4, / 4 / ; OS \ | | x S> = 5 al a / VTS 11 ASE nego Z 0 / /,/ * Nef Z 0 ih -<> p 3 \ 1 \/ ee “oy rfov tps * “ A YN at f haces CIA “pV ARS TRIS Np VCR OY WEN 1 ‘ Waheed \ NN XC \ NN xT \ ~ NI) YH \ —™ —l \ —-1 -l +t = 0 " ot OF 1 Ox 105 1 Oy yom y y l FIGURA 10 FIGURA 11 FIGURA 12 F(x, y,z)=yitzjtxk F(x, y,z)=yi-2jtxk F(x, y,z)=2 i-~ j+= k >)» Zz 7377 CALCULO VETORIAL 951 (SQM Imagine um liquido escoando uniformemente em um cano e seja V(x, y, z) 0 Em Visual 16.1 vocé pode girar os vetor velocidade em um ponto (x, y, z). Entéo V associa um vetor a cada ponto (x, y,z) de certo campos de vetores nas Figuras 10-12, bem dominio E (interior do cano) e assim, V é um campo vetorial em R3 chamado campo de ve- — °00.08 campos adicionais. locidade. Um possivel campo de velocidade é ilustrado na Figura 13. A velocidade em qual- z quer ponto é indicada pelo comprimento da seta. Campos de velocidade ocorrem em outras areas da fisica. Por exemplo: 0 campo vetorial do Exemplo 1 pode ser usado como o campo de velocidade descrevendo a rotagao no sentido anti-horario de uma roda. Vimos outros exemplos de campo de velocidade nas Figu- 0 ras le 2. | y x (SQM A Lei da Gravitacdo de Newton afirma que a intensidade da forca gravitacional entre dois objetos com massas me M é FIGURA 13 Campo de velocidade do | F | _ mMG escoamento de um fluido r onde r é a distancia entre os objetos e G € a constante gravitacional. (Este € um exemplo de uma lei inversa da raiz quadrada.) Vamos supor que 0 objeto com massa M esteja localizado na origem em R?. (Por exemplo, M pode ser a massa da Terra e a origem estaria em seu cen- tro.) Seja o vetor posigéo do objeto com massa m x = (x, y, z). Entéo r = |xl, logo, r’ = |x|*. A forga gravitacional exercida nesse segundo objeto age em direcfo a origem e 0 vetor unitario em sua direcao é x [x Portanto, a forca gravitacional agindo no objeto em x = (x, y, z) é mMG . L ‘ ’ [3] F(x) = 3 xX . \ 2 | ) - | x | ~ \ \ ! 4, ¢ ° [Os fisicos usam frequentemente a notacao r ao invés de x para 0 vetor posi¢do, entao vocé ~~ \ \ / 4 ce pode ver a Férmula 3 escrita na forma F = —(mMG/r*)r.] A fungao dada pela Equacao 3 é ~ LS on “oe um exemplo de campo vetorial, chamado campo gravitacional, porque associa um vetor [a 27 Se Le ee forga F(x)] a cada ponto x do espago. Tee : ~\ SS A Férmula 3 € um modo compacto de escrever 0 campo gravitacional, mas podemos - 2 J. | \ Ke escrevé-lo em termos de suas fungdes componentes, usando 0 fato de quex=xityjtzk ~ ~*~ °, /, rn / t ~ e |x| = Vx? + y? + 2?: oor yO ’ , 1 . —mMGx . —mMG . —mMGz ‘ F(x, y> z)= (x? +4 y +4 23 i+ (x? +4 y +4 air Jt (x? 4 y +4 2 k FIGURA 14 O campo gravitacional F esta ilustrado na Figura 14. | Campo de forga gravitacional (S@)RMH) Suponha que uma carga elétrica O esteja localizada na origem. Pela Lei de Cou- lomb, a forga elétrica F(x) exercida por essa carga sobre uma carga g localizada no ponto (x, y, z) com vetor posicfo x = (x, y, z) é E F(x) = £42 x [x onde e é uma constante (que depende da unidade usada). Para cargas de mesmo sinal, temos qQ > 0 ea forga é repulsiva; para cargas opostas temos gQ < 0 e a forga € atrativa. Obser- ve a semelhanga entre as Formulas 3 e 4. Ambas sao exemplos de campos de forg¢a. Em vez de considerarem a forga elétrica F, os fisicos frequentemente consideram a forga por unidade de carga: 1 € E(x) = — F(x) = 0. q |x| Entio E é um campo vetorial em RR? chamado campo elétrico de Q. = 952 CALCULO M8 Campos Gradiente Se f é uma fungao escalar de duas varidveis, sabemos da Secio 14.6 que seu gradiente Vf (ou grad f ) é definido por Vf Ox, y) = fel Y) E+ HO Y) J Portanto, Vf é realmente um campo vetorial em R? e é denominado campo vetorial gra- diente. Da mesma forma, se f for uma fungao escalar de trés varidveis, seu gradiente é um campo vetorial em R? dado por VE, y, z) = filx, y> Zz) i + fx, y> Zj + fx, y, z) k S70 Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x°y — y*®. Desenhe 0 campo vetorial gradiente juntamente com um mapa de contorno de f. Como eles estao relacionados? SOLUCAO O campo vetorial gradiente é dado por 0 0 Vf(x, y) = of, + a, = 2xyi + (x? — 3y*)j ox oy 4 A Figura 15 mostra o mapa de contorno de fcom o campo vetorial gradiente. Observe que os Sees i A i 5 i i A SE HEE vetores gradientes sao perpendiculares as curvas de nivel, como deviamos esperar da Segao SSE. 14.6. Observe também que os vetores gradientes sAo mais longos onde as curvas de nivel estao mais proximas umas das outras e mais curtos quando elas estao mais distantes entre si. Isso se deve ao fato de 0 comprimento do vetor gradiente ser o valor da derivada direcional de fe “4 4 a proximidade das curvas de nivel indicar uma grande inclinag¢ao no grafico. — Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de OAT alguma funcao escalar, ou seja, se existir uma funcio f tal que F = Vf. Nessa situacao, f é SEIS i SKE RFS ss denominada funcdo potencial de F. —4 Nem todos os campos vetoriais s40 conservativos, mas estes campos aparecem frequen- FIGURA 15 temente em fisica. Por exemplo: o campo gravitacional F do Exemplo 4 é conservativo, pois, se definimos fos y,2) = x, > 2 S| y Vx? + y? + 2? entao 0 0 0 Vf (x y, Zz) = ay + af, + fy Ox oy Oz —mMGx 4 —mMGy oy —mMGz k = ooo ab to Ooo va ny Tey 3 (x? + y? + z° yp? (x? + y? + ppd (x? + y? + zy? = F(x, ys z) Nas Secées 16.3 e 16.5, aprenderemos a determinar se um campo vetorial € conservativo ou nao. ca Exercicios 1-10 Esboce 0 campo vetorial F desenhando um diagrama como o 7. Fa,y,z)=k 8 Fay, z) = -yk da Figura 5 ou da Figura 9. ; 9 «6Fa,y,z) =xk 10. Fa, y,z)=j-i 1 Fa, y) =031~ 0.4) 2. F(x, y) = sat + yj 11-14 Faga a correspondéncia entre o campo vetorial F e a figura 3. F(Q,y)= hi +(y- Xj 4. Fox,y)=yit(@tyj rotulada de I-IV. Justifique suas escolhas. yitxj yi-xj 11. F(x, y) = Gy, —y) 12. F(x, y) = (yx, -y) 5. F(x, y) = Very? 6. F(x,y) = Vey? y y 13. F(x,y) = (yy + 2) 14. F(x, y) = (cos (x + y), x) E necessério usar um sistema de computacao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com CALCULO VETORIAL 953 I 3 Ul 3 25-26 Determine o campo vetorial gradiente Vf de fe esboce-o. FIFA ISS Vere te 2. f(xy)=eP—y 26. f(x,y) = Vx? + y? STP SP MSS SSS VYYeefe sat f ee rrr rire rte Y\YNv cfs sn AF 27-28 Desenhe 0 campo vetorial gradiente de f juntamente com um t / / ’ / / ’ ; ; ; q i : . ~|- : ‘ : : mapa de contorno de f. Explique como eles estao relacionados entre si. t ~|- Sip aa dra aa a? Oe rity 27. f(x,y) =Ind +2? +2y’) = 28. f(x, y) = cosx — 2seny Sw fs ees éves|- srr t so we ee a fe eR RK tive elo rer ff 29-32 Facga uma correspondéncia entre as funcdes f e os desenhos Ree ee ele ee ee ’ ‘ ‘ ° “|. : ; ; / de seus campos vetoriais gradientes rotulados de I-IV. Justifique el 3 nn 3 suas escolhas. 29. f(x y= rty 30. f(x, y) = x(x +y) Ill 3 IV 3 = 2 . — 2 2 31. x,y) =(x+ 32. f(x, y) = senVx* + A WLSLSIIVVNNN PY) = Oy) fy) » VN N NIN SN + > 4 WX LJ IY VNNN I 4 I 4 N VN N AfS eee WK LILY NY NN™N er re +p elAr PPP YYVV «uw sfe oe eee ae ee SSNVA S22 - pp pel PP ge ee ~NNN VE SSO - coe tele PP PAP fobotoe wpe os to tod me SNA are cee ler, 2 2 A boeie we sts ye NAS he ee He gee Doe a eee wR NAAN KRNN Aa 2a -4 SS 4 HS NAIR AAAN KRNNA TEL AAA eee RR a HN NAINANAA! ANAA TPL AZZ -AAPTYNRKRN- SLL Lele rae 3 3 et APPR NN SS MLL Leese Serr tttrs»sN Lil slloee- 15-18 Faca a correspondéncia entre 0 campo vetorial F em R? ea —4 —4 figura rotulada de I-IV. Justifique suas escolhas. oo, oo, nt 4 IV 4 15. Fo, y,z)=i1+2j+3k 16. F(x, y,z) =i+2j+ zk TA tt fr a tae aa WN TP ZAZA C0 ee 7. Fay,z)=xityjt+3k 18 Fa, y,z)=xit+yj+ zk wep ee Coe fee I I \ eH BH Ne we a He wee wwe lee wD —4 4 —4 4 , , da linha de escoamento que passa através do ponto (1, 1). 20. Seja F(x) = (7° — 2r)x, onde x = (x, ye r= Ix. Use am SCA 36. (a) Esboce o campo vetorial F(x, y) = i+ x je algumas linhas para tracgar esse campo vetorial em varios dominios, até conse- de escoamento. Qual é 0 formato que essas linhas de escoa- guir visualizar 0 que ocorre. Descreva a aparéncia do desenho e mento parecem ter? explique-o, determinando os pontos onde F(x) = 0. (b) Se as equagdes paramétricas das linhas de escoamento sfo 21-24 Determine o campo vetorial gradiente f. x = x(f), y = y(1), que equag6es diferenciais essas fungdes sa- ; tisfazem? Deduza que dy/dx = x. 21. f(x, y) = xe" 22. f(x, y) = tg(3x — 4y) (c) Se uma particula esta na origem no instante inicial e o campo . de velocidade é dado por F, determine uma equac4o para a 23. fiuy.2)=J/eryre MW fluyo= noone fs ¥2) wey? FO Y, 2) = x Cos(yiz) trajetoria percorrida por ela. 954 CALCULO ce Integrais de Linha Nesta secao, definiremos uma integral que é semelhante a integral unidimensional, exceto que, ao invés de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integraremos sobre uma curva C. Tais integrais s4o chamadas integrais de linha, embora "integrais de curva" seria melhor termi- nologia. Elas foram inventadas no comec¢o do século XIX para resolver problemas que envol- viam escoamento de fluidos, forgas, eletricidade e magnetismo. Comegamos com uma curva plana C dada pelas equag6es paramétricas [1] x = x(t) y= y(t) axt® j=] se esse limite existir. Na Secao 10.2 verificamos que 0 comprimento da curva C é b dx \? dy \? L= —] + |—]}) at a dt dt Argumentagao semelhante pode ser usada para mostrar que, se f é uma fungado continua, entao o limite na Definigao 2 sempre existe e a formula seguinte pode ser empregada para calcular a integral de linha: b dx \* dy \ [3] Xx, ds = | x(t), y(t —] + |—] dt [_ fosy ds = [ro vo)|($) (4) O valor da integral de linha nao depende da parametrizac4o da curva, desde que a curva seja percorrida uma Unica vez quando ft cresce de a para b. Se s(t) € 0 comprimento de C entre r(a) e r(t), entao 2 2 A fungao comprimento de arco s foi discutida na as. = a + dy dt dt dt Um modo de memorizar a Férmula 3 é escrever tudo em termos do parametro t: Use a para- metrizacgao para exprimir x e y em termos de t e escreva ds como dx \* dy \? 0 ds = —]+|—}) at dt dt y . Z : c | f(x, y) No caso especial em que C é um segmento de reta unindo (a, 0) a (b, 0), usando x como x,y) parametro, escrevemos as equagdes paramétricas de C da seguinte forma: x = x, y = 0,a Suponha agora que C seja uma curva suave por partes; ou seja, C é a unido de um numero finito de curvas suaves C\, C2,..., C, onde, como ilustrado na Figura 4, 0 ponto ini- FIGURA 4 cial de C;+; € 0 ponto final de C;. Nesse caso, definimos a integral de fao longo de Ccomo Curva suave por partes a soma das integrais de f ao longo de cada parte suave de C: [fe y) ds = {. f(x, y) ds + {. f(xy) ds Ferre + {. f(x, y) ds 1 2 n y (EW Calcule |. 2x ds, onde C é formada pelo arco C; da parabola y = x? de (0, 0) a (1, 2) (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a C, 2). C, SOLUCAO A curva C é mostrada na Figura 5. C; € 0 grafico de uma fungao de x, entéo pode- (1, 1) mos escolher x como parametro e as equacdes de C; se tornam C1 x =x yx O p(x*, y*) As; = {. p(x, y) ds n>® j=] [Por exemplo, se f (x, y) = 2 + xy representa a densidade de um fio semicircular, ent&io a integral no Exemplo | representa a massa do fio.] O centro de massa do fio com a fungdo densidade p encontra-se no ponto (x, y), onde _ i _ i [4] ¥=—| xp(x,y) ds F=—| yplx,y) ds m JC m Jc Outras interpretacées fisicas das integrais de linha serao discutidas adiante neste capitulo. SS) 20) Um arame tem o formato de um semicirculo x? + y= 1, y = 0, € mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a fungdo densi- dade linear em qualquer ponto for proporcional a sua distancia a reta y = 1. SOLUCAO Como no Exemplo 1, usamos a parametrizacdo x = cos t, y = sent,0 1 1 1 i y -—, | (sen t — sen t) dt = ——~|-cost — 41 + ! sen 21], 7-2 Jo a —2 1 centro de 4—q7 Massa => —_ 2(a — 2) 1 0 l * Por simetria, vemos que x = 0, portanto o centro de massa é 0, —=7_) ~ 0,038) FIGURA 6 Ur — 2) 7 (Veja a Figura 6.) —_ Duas outras integrais de linha sao obtidas trocando-se As; por Ax; = x; — Xxi-1 ou Ayi = y; — yi-1 na Definig&o 2. Elas sao chamadas, respectivamente, integrais de linha de f ao longo de C com relacaéo a xe y: [5] {. f(x, y) dx = lim > f (xi, yi) Ax; n>? j=] (6 [FG ») dy = lim Y fC, yi) Ay, n>? j=] Quando queremos distinguir a integral de linha original fc Ft (x, y) ds das Equacées 5 e 6, esta € chamada de integral de linha com relagdo ao comprimento do arco. As formulas seguintes dizem que as integrais de linha com relago a x e y podem ser cal- culadas escrevendo-se tudo em termos de t: x = x(t), y = y(t), dx = x'(t) dt, dy = y'(t) dt. b 7] [.fG.9) de = |" FO, yO) 0 at b [.f@.9) a = ['F0, yO) yO at CALCULO VETORIAL 957 Frequentemente acontece de as integrais de linha com relagdo a x e y ocorrerem em con- junto. Quando isso acontece, é costume abreviar escrevendo [Py dx + | OG, ») dy = [PG y) dx + OCs y) dy Quando estamos nos preparando para resolver uma integral de linha, as vezes o mais diff- cil é pensar na representacgdo paramétrica da curva cuja descrigéo geométrica foi dada. Em especial, frequentemente precisamos parametrizar um segmento de reta e, portanto, é Util lembrar que a representagdo vetorial do segmento de reta que inicia em ro e termina em r; é dada por rt) = -d)r+tri Oxrxil (Veja a Equagao 12.5.4.) y (EO Calcule f.y*dx + x dy, onde (a) C = C, € 0 segmento de reta de (—5, —3) a (0, 2) e (b) C = C) € o arco da pardbola x = 4 — y’de (—5, —3) a (0, 2). (Veja a Figura 7.) (0, 2) ~ C, SOLUGAO C, S (a) A representacgao parametrizada para o segmento de reta é , x x=5t—5 y=5t-—3 O f(t, yt, 2) As, n>? j=] Calculamos essa integral utilizando uma férmula andloga a Equagao 3: b dx \? dy \? dz \? .y,2)ds = | t), y(t), z(t —) +{(—] + |—}] a 9] [fla y2ds= P00. 90 -)|(4) (2) (=) Observe que as integrais das Equacées 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto pela notacAo vetorial b [°£0-@) |r" [at Para 0 caso especial em que f (x, y, z) = 1, temos [as = [ |r'(t)|dt = L onde L é 0 comprimento da curva C (veja a Secao 13.3.3). Também podemos definir integrais de linha ao longo de C em relacdo a x, y e z. Por exemplo, [fe y, z) dz = lim >) f(x*, y#, z*) Az; N>® jay b I 6 = |" FeO, v0, 20) 20 at 4 Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma Z 2 {. P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parametro f. 0 | I Sets) Calcule fc y sen z ds, onde C € a hélice circular dada pelas equagdes x = cos f, 0 0 y =sent,z=1t,0 St S 27. (Veja a Figura 9.) y x 11 SOLUCAO A Férmula 9 nos da 7 dx \* dy \? dz \* FIGURA 9 [_ysenzas = [° (sen f) sen t KW\V4(2)4(4 dt c 0 dt dt dt CALCULO VETORIAL 959 = (" sen’t,/sen2t + cos?t + 1 dt = v2 |" (1 — cos 21) dt Jz (3, 4, 5) 2 7 = Y= [; — ! sen 27], = /2a | 2 Cc, C 2 0 (EWA Calcule {. y dx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C; de (2, 0, 0) y (2, 0, 0) a G, 4, 5), seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0). (3, 4, 0) xX SOLUCAO A curva C é mostrada na Figura 10. Usando a Equagao 8, escrevemos C; como FIGURA 10 r(t) = (1 — £(2, 0, 0) + 43, 4,5) = (2 + ¢, 4t, 52) ou, na forma paramétrica, como x=2+t y=4t Z=5t 0O LF OS, yi, 2) + TOF, vit, 2#*)] As; i=1 960 CALCULO onde T(x, y, z) € 0 vetor tangente unitario no ponto (x, y, z) em C. Intuitivamente, vemos que estas aproximagOes devem se tornar melhor quando n torna-se maior. Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de forga F como o limite da soma de Riemann dada por , ou seja, [12] W= [F(x y,2)* T(x y,2)ds = | P+ Tas A Equagao 12 nos diz que o trabalho é a integral com relacdo ao comprimento do arco da componente tangencial da for¢a. Se a curva C é dada pela equacado vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + zd) k, entao T@ =r'(/|r'(l, e, pela Equagao 9, podemos reescrever a Equagao 12 como b r'(t b W= | Few ao | |r| de = [ FOO) - vO at a [r'(o)| a Essa Ultima integral é frequentemente abreviada como fc F - dr e ocorre também em outras areas da fisica. Portanto, definimos a integral de linha de qualquer campo vetorial continuo como a seguir: [13] Definigaéo Seja F um campo vetorial continuo definido sobre uma curva suave C dada pela funcdo vetorial r(‘), a < t < b. Entao, a integral de linha de F ao longo de Cé b . [Fear =| FOO) -r'@dr= | F- Tas A Figura 12 mostra o campo de forga e a c a c curva do Exemplo 7. O trabalho realizado é negativo porque 0 campo impede o Ao utilizar a Definigao 13, tenha em mente que F(r(#)) €é apenas uma abreviacao de F(x(d), movimento ao longo da curva. y(t), z(t), entéo podemos avaliar F(r(4)) simplesmente colocando x = x(f), y = y(t) ez = z(t) na expressao para F(x, y, z). Observe também que podemos formalmente escrever que dr = r'(t) dt. y S27) Determine o trabalho feito pelo campo de forca F(x, y) = x?i — xy j ao se mover ! WSN \y ‘Ny uma particula ao longo de um quarto de circulo r(t) = cos ti + sentj,O>¥rNNY\ 9. Ic xyzds, C:x=2sent, y=t, z=—2cost, OStS7 Prprpe tte svy\ 10. f. xyz ds, C € o segmento de reta de (—1, 5, 0) a (1, 6, 4). Prarele vy yd . —3 Lai 1 PF {fad 3% 11. Ie xe” ds, C é 0 segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3). V\ \ A-ctte evs 12. {. @ + ° + 2) ds, C:x=t, y=cos2t, z= sen 2r, VN NSipln c e oo 0 34. Um arame fino tem a forma da parte que esta no primeiro qua- drante da circunferéncia com centro na origem e raio a. Se a fun- 19-22 Calcule a integral de linha {.F - dr, onde C é dada pela fun- cao densidade for p(x, y) = kxy, encontre a massa e 0 centro de ¢4o vetorial r(t). massa do arame. 19. F(x, y) = xit 3yj, ro =1lfiterj, O inicial A(x, y1) e ponto terminal B(x2, y2), como na Figura 1, entéo o Teorema 2 torna-se [.¥f- ar = fe, y2) — fOr yi) Se f € uma funcao de trés variaveis e C, uma curva espacial ligando 0 ponto A(@, yi, Z1) ao (a) ponto BO, y2, Zz), entao temos z [.vF- dr = f(X2, y2, 22) — f(x1, yi, 21) Cc Vejamos agora a demonstragdo do Teorema 2 para este caso. A(X, Yi 21) . me Bla, Yo. 2) DEMONSTRACAO DO TEOREMA 2 Usando a Definic¢’o 16.2.13, temos 0 {. Vf-dr= { ” Vf(r()) « r'(0) at y “ xX of d 0 -p(Ee 4H, Fe), (b) a \ax dt dy dt dz dt FIGURA 1 d = [ a f(r) at (pela Regra de Cadeia) = f(r(b)) — fr(a)) O tltimo passo segue do Teorema Fundamental do Calculo (Equagao 1). a Apesar de termos demonstrado o Teorema 2 para curvas suaves, ele também vale para curvas suaves por partes. Isso pode ser confirmado subdividindo C em um ntmero finito de curvas suaves e somando as integrais resultantes. 95/2) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional mMG F(x) = -——, x [x ao mover uma particula de massa m do ponto (3, 4, 12) para o ponto (2, 2, 0) ao longo da curva suave por partes C. (Veja o Exemplo 4 da Secao 16.1.) SOLUCAO Da Segao 16.1, sabemos que F é um campo vetorial conservador e, de fato, F = Vf, onde mMG f(x, y, 2) = Verpee Portanto, pelo Teorema 2, o trabalho realizado é w= | F-dr= { Vf-dr c c = f(2, 2,0) — f(3, 4, 12) mMG mMG MG 1 1 = —— — —__ esa a = Jer? 32+424+ 12? 2y2 13 M8 Independéncia do Caminho Suponha que C; e C2 sejam curvas suaves por partes (denominadas caminhos) que tém o mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto final B. Sabemos do Exemplo 4 da Seco 16.2 que, em geral, Se F-dr#¥ Jo F - dr. Mas uma decorréncia do Teorema 2 é que [rae fp CALCULO VETORIAL 965 sempre que Vf for continua. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva. Em geral, se F for um campo vetorial continuo com dominio D, dizemos que a integral de linha |, F + dr é independente do caminho se |. F - dr = |. F « dr para quaisquer dois caminhos C; e C; em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com essa ter- C minologia, podemos dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos sdo independentes do caminho. FIGURA 2 Uma curva é denominada fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial, ou = Uma curva fechada seja, r(b) = r(a) (veja a Figura 2). Se fo F - dr é independente do caminho em De C é uma C, curva fechada em D, podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C como ~ composta por um caminho C; de A a B seguido de um caminho C; de B a A. (Veja a Figura B 3.) Entao [.Fedr=| Fedr+| Fedr=[ F-dr—| F-dr=0 A c CQ OQ CQ -O C, ja que C; e —C, tém os mesmos pontos inicial e final. Por outro lado, se € verdade que |. F - dr = 0 sempre que C for um caminho fechadoem —_- FIGURA 3 D, podemos demonstrar a independéncia do caminho da seguinte forma. Tome quaisquer dois caminhos C; e C2 de A a B em D e defina C como a curva constituida por C; seguida por —C). Entao O=| Fedr=| Fedr+[ Fedr=| F-dr—{ Fear Cc Cc -C, CQ Q e assim to F-dr= Nos F - dr. Assim, demonstramos 0 seguinte teorema: para todo caminho fechado C em D. Como sabemos que a integral de linha de qualquer campo vetorial conservativo F é inde- pendente do caminho, segue que fe F - dr = 0 = 0 para qualquer caminho fechado. A inter- pretacdo fisica é que o trabalho realizado por qualquer campo de for¢a conservativo (tal como 0 campo gravitacional ou 0 campo elétrico da Secdo 16.1) para mover um objeto ao redor de um caminho fechado é 0. O teorema a seguir diz que todos os campos vetoriais independentes do caminho sao con- servativos. Ele foi enunciado e demonstrado para curvas planas, mas existe uma versdo espa- cial desse teorema. Admita que D seja aberto, 0 que significa que para todo ponto P em D existira uma bola aberta com centro em P inteiramente contida em D. (Portanto, D nao tem nenhum ponto de sua fronteira.) Além disso, vamos supor que D seja conexo por caminhos: isso significa que quaisquer dois pontos em D podem ser ligados por um caminho que se encontra em D. [4] Teorema Suponha que F seja um campo vetorial continuo em uma regido aberta conexa por caminhos D. Se fe F - dr for independente do caminho em D, entao F é um campo vetorial conservativo em D, ou seja, existe uma fungio f tal que Vf = F. DEMONSTRACAO Seja A(a, b) um ponto fixo em D. Vamos construir a fungdo potencial f desejada definindo fx, y) = J Be dr , (a, b) Cy para qualquer ponto (x, y) em D. Como fo F - dr é independente do caminho, nao interessa J qual o caminho C de integragao utilizado de (a, b) a (x, y) para calcular f (x, y). Como D é C (x, y) aberto, existe uma bola aberta contida em D com centro em (x, y). Escolha qualquer ponto ) (x1, y) no disco com x; < x e considere C como qualquer caminho C; de (a, b) a (m1, y), segui- D do pelo segmento de reta horizontal C2 de (x1, y) a (x, y). (Veja a Figura 4.) Entao (2, 8) (x1, y) 0 x flxsy) = | F-dr+ { F-dr={ F-dr+ { F-dr Cc QO (a, b) QC Observe que a primeira dessas integrais néo depende de x, e assim FIGURA 4 966 CALCULO ° x,y) =0+— [Fea — f(x,y) = —_— - ar ox * Ox JC Se escrevemos F = Pi + Qj, entao [.F-dr=| Pax + Ody C: C Em C, y € constante, portanto dy = 0. Usando t como paradmetro, onde x; S t S x, temos 0 0 O px — fly) =—— | Pdx + Ody =— |" Pty) dt = P(x, y) Ox Ox IC: Ox Jx, pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo (veja a Segao 5.3, no Volume I). Uma argu- mentacgado semelhante, usando um segmento de reta vertical (veja a Figura 5), mostra que a a a py =~ S(x.y) =< | Pdx + Ody =— |’ O(x,0) dt = O(x,y) oy Oy JC oy Jy, y . . of, Of, Logo, F=Pi+ Qj=—i+—j=Vf Ox oy 0 que mostra que F é conservativo. = A questéo permanece: como é possivel saber se um campo vetorial F é conservativo ou nao? Suponha que saibamos que F = Pi + Qj é conservativo, onde P e Q tém derivadas parciais de primeira ordem continuas. Entao existe uma fungao f tal que F = Vf, ou seja, 0 x 0 0 P = a e Q = ww FIGURA 5 * y Portanto, pelo Teorema de Clairaut, a of = =f 8 oy oy Ox ox dy ox [5] Teorema Se F(x, y) = P(x, y)i + OQ, y) j é um campo vetorial conservativo, onde Pe Qtém derivadas parciais de primeira ordem continuas em um dominio D, entao em todos os pontos de D temos simples, nao simples, nao fechada nao fechada oP dO dy ox A reciproca do Teorema 5 s6 é verdadeira para um tipo especial de regiao. Para expli- carmos isso, precisamos do conceito de curva simples, que é uma curva que n4o se autoin- simples, nao simples, tercepta em nenhum ponto entre as extremidades. [Veja a Figura 6; r(a) = r(b) para uma fechada fechada curva fechada simples, mas r(t) ~ r(#) quando a < t} 0 = = >; 2 JC SOLUCAO Seja PC, y) 3 + 2xy e Ox, y) = x 3y". Entao e portanto F nao seria conservativo. Os calculos oP _ _ dQ no Exemplo 2 confirmam essa impressao. Alguns ay =2x= ax dos vetores perto das curvas C; e C, na Figura 9 apontam aproximadamente para a mesma diregdo Além disso, 0 dominio de F é€ 0 plano inteiro (D = R?), que é aberto e simplesmente cone- ‘We 48 Curvas, enquanto outros apontam para a : : z : diregao oposta. Portanto, parece razoavel que as xo. Portanto, podemos aplicar o Teorema 6 e concluir que F é conservativo. = . so ; integrais de linha sobre toda curva fechada sejam No Exemplo 3, o Teorema 6 diz que F é conservativo, mas nado mostra como encontrar a —_9- 0 Exemplo 3 mostra que, de fato, F é fungao (potencial) ftal que F = Vf. A demonstragao do Teorema 4 nos da uma pista de como conservative. encontrar f. Usamos "integra¢4o parcial", como no exemplo a seguir. 5 \ ~ BEL \ (a) Se F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x? — 3y’) j, encontre uma funcdo de f tal que F = Vf. C3 (b) Calcule a integral de linha fe F - dr, onde C é€ a curva dada por 5 1 --+|, r(f) = e’sen ti + e'cos tj, OStS7. Ey SOLUGAO (a) Do Exemplo 3 sabemos que F é conservativo e, assim, existe uma funcao fcom Vf = F, ou seja, ~2 FIGURA 9 [7] fAx, y) = 3 + 2xy AQ, y) = x" — 3y? Integrando |7| com relagdo a x, obtemos [9] SQ, y) = 3x + xy + Gg) Observe que a constante de integracgdo € uma constante em relacgdo a x, ou seja, uma funcdo de y, que chamamos g(y). Em seguida, derivamos ambos os lados de [9] em relacdo a y: fia, y) = 2 + 9/0) Comparando [8] e [10], vemos que g'(y) = —3y° Integrando com relagao a y, obtemos gy) =—y +k onde K é uma constante. Substituindo em [9], temos f@y) =3x+xry-y+K como a funcao potencial desejada. (b) Para aplicarmos o Teorema 2, devemos conhecer os pontos inicial e final de C, isto é, r(0) = (0, 1) e r(z) = (0, —e”). Na expressao para f (x, y) da parte (a), qualquer valor da cons- tante K serve. Entéo tomemos K = 0. Assim, temos 968 CALCULO (.F -dr = {. Vf- dr = f(0, —e”) — f(0, 1) =e" — (-l) =e" + 1 Esse método é mais curto que 0 método direto de calculo para as integrais de linha que apren- demos na Seco 16.2. —_ Um critério para determinar se um campo vetorial F em R? é conservativo é dado na Secdo 16.5. Entretanto, o exemplo seguinte demonstra que a técnica para encontrar a funcao potencial é da mesma forma que nos campos vetoriais em R?. SVE Se Fx, y, z) = yi + (2xy + e*) j + 3ye*k, encontre uma funcao f tal que Vf =F. SOLUCAO Se existe tal funcao f, entéio [11] fx, y, 2) = [12] Aix, y, Z) = 2xy + e& [13] FAX, Y, 2) = 3ye* Integrando [11] em relagdo a x, obtemos f(y, 2) = xy + gQ, 2) onde g(y, z) € uma constante em relacgao a x. Em seguida, derivando [14] em relagao a y, temos AiO, Y, 2) = 2xy + gyly, Z) e, comparando com [12] vem gO, 2) =e Entao g(y, z) = ye* + h(z) e reescrevemos [14] como SO, y, 2) = xy + ye® + h(z) Finalmente, derivando em relagaéo a z e comparando com [13], obtemos h'(z) = Oe, portanto, h(z) = K, uma constante. A fun¢ao desejada é fy, 2) = xy’ + yeX + K E facil verificar que Vf = F. — MM Conservagao de Energia Vamos aplicar as ideias deste capitulo a um campo de forga continuo F que move um obje- to ao longo de um caminho C dado por r(f), a S t S b, onde r(a) = A € o ponto inicial e r(b) = B € 0 ponto terminal de C. De acordo com a Segunda Lei do Movimento de Newton (ver Secéo 13.4), a forgca F(r(4)) a um ponto em C esta relacionada com a aceleragao a(t) = r’(t) pela a equacgao F(r(Q) = mr") Assim, 0 trabalho realizado pela forga sobre o objeto é w= [Pedr = |’ FOO) rd = |’ me" edt m pod = >I —_ [r’(t) : r(t)] dt (Teorema 13.2.3, Formula 4) 2 Ja dt m pb d ! 2 m ! 2] = —_ { —_ | r (t) | dt =— | r (t) | i (Teorema Fundamental do Calculo) 2 Ja dt 2 m = 2 (rw - lr) CALCULO VETORIAL 969 Portanto, [5] W =4m|v(b) 2 — tm| va)? onde v = r’ é a velocidade. A quantidade 5m |v(t)|?, ou seja, a metade da massa multiplicada pelo quadrado da velo- cidade escalar, é chamada energia cinética do objeto. Portanto, podemos reescrever a Equa- cao 15 como W = K(B) — K(A) que diz que o trabalho realizado pelo campo de forgas ao longo do caminho C é€ igual a varia- cao da energia cinética nas extremidades de C. Agora vamos admitir que F seja um campo de forgas conservativo, ou seja, podemos escrever F = Vf. Em fisica, a energia potencial de um objeto no ponto de (x, y, z) é defini- da como P(x, y, z) = —f (%, y, Z), portanto temos F = —VP. Entao, pelo Teorema 2, temos W= | F-dr=—| VP-dr = -[P(rb)) — P(r(@))] = P(A) ~ PCB) c c Comparando essa equacdo com a Equacao 16, vemos que P(A) + K(A) = P(B) + K(B) que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influéncia de um campo de forgas conservativo, entaéo a soma de sua energia potencial e sua energia cinética perma- nece constante. Essa é a chamada Lei da Conservacao de Energia e é a razdo pela qual o campo vetorial € denominado conservativo. 163 | Exercicios 1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma 4. Fa, y) =e'senyit+ esenyj fungao f cujo gradiente é continuo. Determine fo Vf: dr. 5. F(x, y) = e'cosyite'senyj y 6 F(x, y) = Gx? — 29°) i + 4xy t+ 3)j Ngo 7. F(x, y) = (Ge* + sen y)i + (e* + x cos y) j 50. \ 23 3) Cc 40 oN 8 F(x, y) = Qry ty )i + @ — Ay) j.y<0 50 30 9. F(x, y) = (ny + ey) i + By? + x/y)j 10 10. F(x, y) = (xy cosh xy + senh xy) i + (x cosh xy) j 11. A figura mostra 0 campo vetorial F(x, y) = (2xy, x*) e trés cur- vas que comecam em (1, 2) e terminam em (3, 2). 0 x (a) Explique por que fo F - dr tem o mesmo valor para as trés curvas. . . (b) Qual é esse valor comum? 2. Edada uma tabela de valores de uma fungao fcom gradiente con- tinuo. Determine fo Vf + dr, onde C tem equac6es paramétricas y x=fP+l, y=Prrt, O0) C:r(t) = senti+ tj + 2tk,O desses pontos a origem. mover a particula ao longo de outra curva C2 entre os mesmos (b) Um exemplo de um campo de quadrado inverso é 0 campo dois pontos é de 1,4 J. O que vocé pode dizer sobre F? Por qué? gravitacional F = —(mMG)r/|r|> discutido no Exemplo 4 na 23-24 Determine o trabalho realizado pelo campo de forcga F ao Segao 16.1. Use ap arte (a) para determinar o trabalho reali- mover um objeto de P para Q. zado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distancia maxima de 1,52 X 10° km do Sol ) 23. F(x, y) = 2y?2i + 3xVyj; P(1, 1), O(2, 4) ao periélio (em uma distancia minima de 1,47 X 10° km). (Use os valores m = 5,97 X 10%kg, M = 1,99 X 10° kge 24. F(x,y)=e%i-xe%j; PO, 1), Q(2, 0) G = 6,67 X 107" N-m?/kg?.) 25-26 A partir do grafico de F vocé diria que o campo é conserva- (b) Outro exemplo de Campo mverso do quadrado € 0 camp oele- tivo? Explique. trico F = egQr/|r|? discutido no Exemplo 5 da Secao 16.1. Suponha que um elétron com carga de —1,6 X 107!°C esteja 25. 26. localizado na origem. Uma carga positiva unitaria é colocada y y > distanci —12 ‘ _ | | Ll \f eae seer | 7 f t a distancia de 10° m do eletron € se move para uma posi | ll vlee ce sol, ft ‘ cao que esta 4 metade da distancia original do elétron. Use a \ | we . rt ay parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo ee Hh ~s oss \ ‘ elétrico. (Use o valor ¢ = 8,985 X 10°.) NW fe RNR es A NM yf NN NX NON YEP NN NX Mate tr tv VV bt]. ee®R ol, ft ff Ll t)e n-ne CALCULO VETORIAL 971 ca Teorema de Green O teorema de Green fornece a relagdo entre uma integral de linha ao redor de uma curva y fechada simples C e uma integral dupla sobre a regiao do plano D delimitada por C. (Veja a Figura 1. Assumimos que D é constituido por todos os pontos dentro de C, bem como todos os pontos de C.) Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convencao de que a orien- tacgdo positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-hordrio de C, per- corrido uma s6 vez. Assim, se C é dada pela fungao vetorial r(‘), a < t < b, entao a regiao C D esta sempre do lado esquerdo quando r(f) percorre C. (Veja a Figura 2.) F 4 y y FIGURA 1 Cc | » Cc 0 () x 0 x Lembre-se de que o lado esquerdo desta equagdao é outra forma de escrever FIGURA 2 (a) Orientacao positiva (b) Orientagao negativa |. F + dr, onde F = Pit Qj. Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, continua por partes, orien- tada positivamente, e seja D a regiao delimitada por C. Se P e Q tém derivadas par- ciais de primeira ordem continuas sobre uma regido aberta que contenha D, entao dO OP i) pas ody fj (22-2) an c Ox oy D OBSERVAGAO A notacao f Pdx+Qdy ou $ P dx + Ody co . “| . George Green é algumas vezes usada para indicar que a integral de linha é calculada usando a orientagao0_—_—_@_-<#4-$#42a2AHNYYNY}YA positiva da curva fechada C. Outra notagao para a curva na fronteira de D, positivamente 0 Teorema de Breen tem esse wales Cor : orientada e dD, dai a equagdo do Teorema de Green pode ser escrita como Green (1793-18411). Ele tabalhe, em tempo 00 aP snes de adeeapende serio [1 {| (22 — w) dA = {,, Pdx + Q dy matematica em livros da biblioteca. Em D 1828, Green publicou An Essay on the O Teorema de Green pode ser olhado como o correspondente do Teorema Fundamental — Application of Mathematical Analysis to do CAlculo para integrais duplas. Compare a Equaciio 1 com o enunciado da segunda parte —_“e Theories of Electricity and Magnetism, do Teorema Fundamental do CAlculo, na seguinte equacao: contudo, somente foram impressas 100 coplas, a Maloria presenteada a seus [ F(x) dx = F(b) _ F(a) amigos. Esse panfleto continha um teorema a equivalente ao que conhecemos como Em ambos os casos existe uma integral envolvendo as derivadas (F’, dQ/dx e 0P/dy) do lado _Teorema de Green hoje, mas nao se tornou esquerdo da equacao. E em ambos os casos, 0 lado direito envolve os valores das fungdes — “*nhecido na epoca. Finalmente, aos 40 originais (F, Qe P) apenas na fronteira do dominio. (No caso unidimensional, o dominio é Condos vm alone ‘o oreduion de um intervalo [a, b] cuja fronteira consiste em apenas dois pontos, a e b.) porém morreu quatro anos apés ter se O Teorema de Green nao é facil de demonstrar no caso geral apresentado no Teorema 1, _formado. Em 1846, William Thompson mas faremos uma demonstracao para o caso especial onde a regido é tanto de tipo I como de _[lorde Kelvin) encontrou uma cépia dos tipo II (veja a Sec&o 15.3). Chamamos tais regides de regides simples. ensaios de Green, percebeu sua importancia e os reimprimiu. Green foi a DEMOSTRACAO DO TEOREMA DE GREEN NOS CASOS ONDE DE UMA REGIAO SIMPLES Observe _ primeira pessoa a tentar formular uma que o Teorema de Green estaré demonstrado se mostrarmos que teoria matematica da eletricidade e do magnetismo. Seu estudo serviu de base para os trabalhos de teoria do [2| { Pdx= all OP dA eletromagnetismo subsequentes de e Cc ; oy Thomson, Stokes, Rayleigh e Maxwell. dQ [3] [.oay i] aA 972 CALCULO Vamos demonstrar a Equacgao 2 exprimindo D como uma regiao do tipo I: D= (x, y)laSx Sb, g(x) Sy < gox)} onde gi e g2 sao fungées continuas. Isso nos permite calcular a integral dupla do lado direito da Equacao 2, como segue: oP b (glx) OP b [4] {| —dA= { {’ — (x, y) dy dx = { [P(x, go(x)) — P(x, gi(x))] dx 5 OY a Jg(x) OY a y oe onde o ultimo passo segue do Teorema Fundamental do Calculo. y= gal) Vamos agora calcular 0 lado esquerdo da Equagao 2, quebrando C como a uniao das qua- Z . A C3 tro curvas Ci, Co, C3; e Cy, mostradas na Figura 3. Sobre C; tomamos x como parametro e C escrevemos as equagées paramétricas como x = x, y = gi(x), a = x S b. Logo, 4 Cc [POs y) dx = J" P(x, gil) ax y=ol a “ Observe que C3 vai da direita para a esquerda, mas —C;3 vai da esquerda para a direita, entaéo 1 podemos escrever as equag6es paramétricas de —C3 como x = x, y =g2(x), a < x S b. Portanto, 0 a b x b [. Posy ax = —[_ Ply) dx = —[" Px gala) dx FIGURA 3 “ co ‘ Sobre C2 ou C4 (qualquer uma delas pode se reduzir a um Unico ponto), x € constante e, assim, dx = Oe {. P(x, y)dx =0 = {. P(x, y) dx Portanto, : {. P(x, y) dx = {. P(x, y) dx + {. P(x, y) dx + {. P(x, y) dx + {. P(x, y) dx b b = |" P(x, gila)) dx — |” P(x, gota) dx Comparando essa expressdo com a da Equagao 4, vemos que oP { P(x, y) dx = -{j dA Cc oy D A Equacao 3 pode ser demonstrada de forma semelhante, exprimindo D como regiao do tipo II (veja o Exercicio 30). Entéo, somando as Equagées 2 e 3, obtemos o Teorema de y Green. = (0, 1) y=l-x . a“ EXEMPLO 1 @.\ (oul (a x*dx + xy dy, onde C € a curva triangular constituida pelos segmen- C tos de reta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1), e de (0, 1) a (0, 0). SOLUCAO Apesar desta integral poder ser calculada pelos métodos usuais da Secao 16.2, isto envolveria 0 calculo de trés integrais separadas sobre os trés lados do triangulo. Em vez (0, 0) (1, 0) x disso, vamos usar 0 Teorema de Green. Observe que a regiao D englobada por C é simples e que C tem orientacao positiva (veja a Figura 4). Se tomarmos P(x, y) = x* FIGURA 4 e O(x, y) = xy, entao teremos dQ oP 1 pi-x 4dx + ay= {| ——<—)da=|' | "(y- O)dyd [xtax xy dy ax ay oh ) dy dx D 1 y=1—x 1 = | by Para = 3 [0 = Pade — _! 3]h _ 1 = 401 — xP], = 6 — SETA Calcule 4. By — e%*) dx + (7x + yt + 1) dy dy, onde C € o circulo vr+y=9 . y . SOLUCAO A regiao D delimitada por C € 0 circulo x? + y* S 9, ent&éo vamos mudar para coor- denadas polares depois de aplicar o Teorema de Green: f (By — e*)dx + (7x + yt + 1) dy CALCULO VETORIAL 973 Q a Em vez de utilizarmos as coordenadas = {| — (7x + /y4 + 1) —_ —_— (By _ esinx) dA polares, podemos simplesmente usar o fato Ox oy de que D é um circulo de raio 3 e escrever D dn p3 on ps [[ 444 =4- 7G) = 367 =|" | -3)rarao=4[" a0 [rar = 360 — : Nos Exemplos | e 2, consideramos que a integral dupla era mais facil de calcular que a inte- gral de linha. (Tente configurar a integral de linha no Exemplo 2 e em breve vocé vai ser con- vencido!) Mas as vezes é mais simples calcular a integral de linha, e, nesses casos, usaremos 0 Teorema de Green na ordem inversa. Por exemplo, se sabemos que P(x, y) = Q(x, y) = 0 sobre uma curva C, entéo o Teorema de Green fornece dO OP So dA = | Pdx + Qdy =0 Ox oy c D nao importando quais os valores das fungdes P e Q em D. Outra aplicac4o da direc4o inversa do Teorema de Green esta no calculo de areas. Como a area de uma regiao D é {fp 1 dA, desejamos escolher P e Q tais que sQ oP _, ox oy Existem varias possibilidades: P(x, y) = 0 Pay)=—-y Pay) =~ 2 Olx, y) =x Q(x, y) = 0 Olx, y) = 3x Assim, 0 Teorema de Green da as seguintes formulas para a area de D: A= xdy=—) ydx=14 xdy—yd [5] Famed oo OE 2p Kay ~ yan . . .. x y? [SQ RHE) Determine a Area delimitada pela elipse a + a 1. SOLUCAO A elipse tem equaces paramétricas x = a coste y = b sent, onde 0 St S 27. Usando a terceira f6rmula da Equacao 5 temos A= | xdy ~ydx Qa =} { (acos t)(b cos t) dt — (b sen t)(—a sen ft) dt ab Qa = al dt = trab | 2 Jo A formula 5 pode ser usada para explicar como planimetros trabalham. Um planimetro —_ Roda é um instrumento mecanico usado para medir a area de uma regido, tragando a curva limite. Braco polar Esses dispositivos sao Uteis em todas as ciéncias: em biologia para medir a area de folhas ou { \ asas, na medicina para medir o tamanho da sec¢Ao transversal de 6rgéos ou tumores, em sil- Ponto central vicultura, para estimar o tamanho das regides florestais a partir de fotografias. = Polo A Figura 5 mostra o funcionamento de um planimetro polar: 0 polo é fixo e, como o tra- cador € movido ao longo da curva limite da regiao, a roda desliza parcialmente e parcial- mente rola perpendicular ao bracgo do tragador. O planimetro mede a distancia a que a roda Braco tragador gira e é proporcional a area da regiao fechada. A explicagao como consequéncia de Férmu- la 5 pode ser encontrada nos seguintes artigos: = R. W. Gatterman, “The planimeter as an example of Green’s Theorem”. Amer. Mat. Tracador Monthly, Vol. 88 (1981), p. 701-4. a = Tanya Leise, “As the planimeter wheel turns”. College Math. Journal, Vol. 38 FIGURA 5 (2007), p. 24 31. Um planimetro polar Keuffel e Esser 974 CALCULO M8 Versdes estendidas do Teorema de Green Apesar de termos demonstrado 0 Teorema de Green somente para 0 caso particular onde D é simples, podemos estendé-lo agora para 0 caso em que D é a unido finita de regides simples. C Por exemplo, se D é uma regiao como a mostrada na Figura 6, entéo podemos escrever D = C, D, U Dy, onde D; e D2 sio ambas simples. A fronteira de D, €é C; U C; e a fronteira de D, é C, U (—C>); portanto, aplicando o Teorema de Green em D, e D2 separadamente, obtemos 0 oP FIGURA 6 | Pdx + Qdy= || 9Q _ OP) aA C\UC3 Ox oy Dy dO OP. Pdx+Qdy= —-——]dA C,UC C3) Ox oy Dy c Se somarmos essas duas equacées, as integrais de linha sobre C3 e —C3 se cancelam e obtemos dO OP Pdx+ Qdy= — -——]dA C\UC; : Ox oy que € o Teorema de Green para D = D,; U D2 uma vez que sua fronteira é C = C; U @. O mesmo tipo de argumentac4o nos permite estabelecer o Teorema de Green para qual- quer uniao finita de regides simples que nao se sobreponham (veja a Figura 7). FIGURA 7 EXEMPLO 4 en renio $. y’dx + 3xy dy, onde C € 0 limite da regifio semianular D contida no y semiplano superior entre os circulos x7 + y>= lexw+y'= 4. V w+y=4 SOLUCAO Observe que, apesar de D nfo ser simples, 0 eixo y divide em duas regides simples (veja a Figura 8). Em coordenadas polares, podemos escrever Cc D={(7,0|1 > x +y?=1 a a wry f yedx + 3xydy = || — (3xy) — = (y2) }dA c Ox oy FIGURA 8 D am (2 = |[ yaa =|" [° (sen) rar ao 5 0 Ji 7 7 14 = { sen 6 d6 \ redr = [-cos al, Leh ~ 3) _— O Teorema de Green pode ser aplicado para regides com furos, ou seja, regides que nao sao simplesmente conexas. Observe que a fronteira C da regido D na Figura 9 € constituida por duas curvas fechadas simples C; e C2. Nés assumimos que estas curvas de contorno sao CO) orientadas de modo que a regiao D esta sempre do lado esquerdo enquanto a curva C é€ per- D corrida. Assim, o sentido anti-horario é positivo para a curva exterior C), mas no sentido C hordrio para o interior da curva C2. Se dividirmos D em duas regides D’ e D", pela introdu- cdo das retas mostradas na Figura 10, e entaéo aplicarmos o Teorema de Green a cada uma FIGURA 9 das regides D' e D”, obteremos 0 oP 0 oP 0 oP i} so _ a= || so _ aA + || 22 PY aa ox oy Ox oy Ox oy - , ° =| Pdx + Qdy + { Pdx + Ody aD' aD" Como as integrais de linha sobre a fronteira comum sao em sentidos opostos, elas se can- FIGURA 10 celam e obtemos dO oP. SS dA =| Pdx + Qdy + | Pdx + Qdy={ Pdx + Qdy Ox oy C, CO c D que € o Teorema de Green para a regiao D. CALCULO VETORIAL 975 (GEO Se Ft, y) = (-yi+ xj)/G? + y’), mostre que [.F + dr = 27 para todo cami- y nho fechado simples que circunde a origem. C SOLUGAO Como C é um caminho fechado arbitrdrio contendo a origem em seu interior, é diff- moh cil calcular a integral dada diretamente. Entéo, vamos considerar um circulo anti-horario orien- \ TJ Xt tado C’ com origem no centro e raio a, onde a é escolhido para ser pequeno o suficiente para que C’ esteja contido em C (ver Figura 11). Seja D a regiao limitada por C e C’. Entao a orien- tacdo positiva do limite é C U (—C’) e, aplicando a versao geral do Teorema de Green, temos FIGURA 11 dO OP. [Pax + Ody+ | Pdx + Ody=|] (<=-——]aa c ou Ox oy D 2 2 2 2 —x —x = {| er Sas | aA = 0 wWLO ty) + y’) Logo, [Pax + Qdy=| Pax + Qdy isto é, [.Fear=| Fear Cc Cc' Agora podemos calcular facilmente essa ultima integral usando a parametrizagao dada por r(t) = acostit+asentj,0 Oeb>0. C € ocirculo (x — 3 + (y + 4) = 4 orientado no sentido ho- 25. Uma lamina plana com densidade constante p(x, y) = p ocupa rario uma regio do plano xy limitada por um caminho fechado sim- 14. F(x, y) = ( [e+ 1, tg'x), C € 0 triangulo de (0, 0) a (1, l)a ples C. Mostre que seus momentos de inércia em relac&o aos (0, 1) a (0, 0) eixos so Tene Ve h=-£h yrax h=fh rd 15-16 Verifique o Teorema de Green usando um sistema de compu- * 3 Jc y ~ 3/e y tacao algébrica para calcular tanto a integral de linha como a inte- gral dupla. 26. Utilize o Exercicio 25 para achar o momento de inércia de um 15. P(x, y) = ye, Olx, y) = xe", arcu de ae acom densidad onan p em resacie aum C consiste no segmento de reta de (—1, 1) a (1, 1) seguido lametro. (Compare com 0 Exemplo 4 da esa0 5.) pelo arco da parabola y = 2 — x? de (1, 1)a(-1, 1) 27. Use 0 método do Exercicio 5 para calcular |. F - dr, onde 16. P(x, y) = 2x— Fy, Ola, y) = ay’, Fi, y) = 2Vit OF = 2) J C éaelipse 4x° + y? =4 , 2+ yy 17. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela e C € qualquer curva fechada simples positivamente orientada forga F(x, y) = x(x +y) i + xy’j ao mover uma particula da ori- que envolve a origem. gem ao longo do eixo x para (1, 0), em seguida ao longo de um 28. Calcule Jc F - dr, onde F(x, y) = (2 +y, 3x — y?)e C éa fron- segmento de reta até (0, 1), e ent&o de volta a origem ao longo teira positivamente orientada de uma regiao D que tem 4rea 6. do eixo y. 29. Se F é0 campo vetorial do Exemplo 5, mostre que |. F - dr = 0 18. Uma particula inicialmente no ponto (—2, 0) se move ao longo para todo caminho fechado simples que nao passe pela origem do eixo x para (2, 0), e entaéo ao longo da semicircunferéncia e nem a circunde. y= v4 — * até 0 ponto inicial. Utilize o Teorema de Green 30. Complete a demonstragéo do Teorema de Green demonstrando para determinar o trabalho realizado nessa particula pelo campo a Equacio 3 de forga F(x, y) = (x, x7 + 3xy’). _ ‘ . . 31. Utilize o Teorema de Green para demonstrar a f6rmula de mu- 19. Use uma das férmulas em [5 | para achar a area sob um arco da a : : Z aan danga de variaveis para as integrais duplas (Formula 15.10.9) cicloide x = t — sent, y= 1 — cost. er para o caso onde f (x, y) = 1: 4 20. Se uma circunferéncia C de raio | rola ao longo do interior da éncia x? + y? = a(x, circunferéncia x y= 16, um ponto fixo P de Cc descreve uma {i dx dy = {i (x, y) du do curva chamada epicicloide, com equag6es paramétricas a(u, v) x = 5 cos t —cos 5t, y = 5 sent — sen 5t. Faca o grafico da epi- * . cicloide e use |5 | para calcular a area da regiao que ela envolve. Aqui, R é a regiaéo do plano xy que corresponde 4 regiaéo S no i b a transf ao dad. = glu, v), y = hu, v). 21. (a) Se C é o segmento de reta ligando 0 ponto (x, y1) ao ponto plano uv sob a transformagao dada por x = g(u v) y ( v) (x2, y2), Mostre que [Dica: Observe que o lado esquerdo é€ A(R) e aplique a primeira parte da Equagao 5. Converta a integral de linha sobre dR para { xdy — ydx =x yr — x2y1 uma integral sobre 0S e aplique o Teorema de Green no plano wv.] Cc CALCULO VETORIAL 977 ce Rotacional e Divergente Nesta secao, definiremos duas operagG6es que podem ser realizadas com campos vetoriais e que sao essenciais nas aplicag6des de calculo vetorial em mecanica dos fluidos e em eletrici- dade e magnetismo. Cada operagado lembra uma derivagao, mas uma produz um campo veto- rial enquanto a outra gera um campo escalar. M8 Rotacional Se F = Pi+ Qj + Rk é umcampo vetorial em R? e as derivadas parciais de P, Q e R exis- tem, entao o rotacional de F é 0 campo vetorial em R? definido por oR a oP OR 0 oP [1] rot F = aR 90 i+ |—-—]jt+ ao _ WF), oy 0z 0z ox Ox oy Para auxiliarmos na memorizac4o, vamos reescrever a Equacao | usando notacao de ope- radores. Introduziremos o operador diferencial vetorial V (“del”) como . oO . 0 0 V =i—+j—+k— ox oy Oz Quando ele opera sobre uma fungao escalar, produz o gradiente de f: a 0 0 a 0 a vpaeitiap tent Ht, t;,, 4, ox oy 0z ox oy Oz Se pensarmos em V como um vetor de componentes 0/dx, d/dy e d/dz, podemos também con- siderar o produto vetorial formal de V pelo campo vetorial F como segue: i j k 0 0 0 Vx F=|— — — Ox oy az P Q R oR a oP OR 0 oP = OR _ 9Q i+ |— - — jt 0Q oP k oy Oz 0z ox Ox oy = rotF Assim, 0 modo mais facil de lembrar a Definigao 1 é pela expresso simbolica [2] rotF=VXF (SG Se Fa, y, z) = xzi + xyzj — y’k, determine rot F. SOLUCAO Usando a Equacio 2, temos i j k 0 0 0 culF=VxXF= — — — ox oy Oz xz xyz —y* 0 > 0 . 0 2 0 : = |—(-y°) — — (xyz) |i -— | — (-y") - — (xz [29 “(| l2o% * (]j 0 0 A maioria dos sistemas de computagdo + | — (xyz) -— — (xz) | k algébrica tem comandos para calcular Ox oy rotacional e divergéncia de campos = (—2y _ xy) i _ (0 _ x)j + (yz _ 0) k vetoriais. Se vocé tem acesso a um SCA, use esses comandos para verificar as = -y2+xitxjtyzk — respostas dos exemplos e exercicios desta secao. 978 CALCULO Lembre-se de que o gradiente de uma fungao f de trés variaveis € um campo vetorial sobre IR?, de modo que podemos calcular seu rotacional. O préximo teorema diz que o rota- cional do gradiente de um campo vetorial é 0. [3] Teorema Se f é uma funcao de trés varidveis que tem derivadas parciais de se- gunda ordem continuas, entao rot (Vf) =0 DEMONSTRACAO Temos i j k Observe a semelhanga com 0 que sabemos oO oO a da Secdo 12.4:a X a = O para cada vetor rot(Vf) =V X (Vf) =| dx ody dz tridimensional a. af of of Ox oy az a a an a a a -(f __o/ \;, (of _ _*f )\, (of __@s ), Oy 0z oz Oy Oz Ox Ox 0z ox dy oy Ox =0i+0j+0k=0 pelo Teorema de Clairaut. — Como um campo vetorial conservativo é da forma F = Vf, o Teorema 3 pode ser rees- Compare isso com o Exercicio 29 da crito como segue: Segao 16.3 Se F é conservativo, entao rot F = 0. E assim obtemos um modo de verificar que um campo vetorial nado é conservativo. S70) Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj — yk nao € conservativo. SOLUCAO No Exemplo 1, mostramos que rot.F = -y2+xit+xjt+yzk Isso mostra que rot F ¥ 0 e portanto, pelo Teorema 3, F nao é conservativo. — Em geral, a reciproca do Teorema 3 nao é verdadeira, mas 0 proximo teorema afirma que, se F for definido em todo o espaco, a reciproca vale. (Mais especificamente, a reciproca vale se 0 dominio € simplesmente conexo, ou seja, “nao apresenta furos”.) O teorema 4 é a ver- sao tridimensional do Teorema 16.3.6. Sua demonstrag4o requer o teorema de Stokes e sera esbocgada no final da Secao 16.8. [4] Teorema Se F for um campo vetorial definido sobre todo R* cujas fungdes com- ponentes tenham derivadas parciais de segunda ordem continuas e rot F = 0, F sera um campo vetorial conservativo. EXEMPLO 3 Mostre que F(x, y, 2) = Wi + 2xyz3j + 3xy?2?k é um campo vetorial conservativo. (b) Determine uma fungao f tal que F = Vf. SOLUCAO (a) Calculemos 0 rotacional de F: i j k 0 0 0 rotF=VXF= — — —_ Ox oy Oz y?z? 2xyz? 3xy?z? = (6xyz? — 6xyz*)i — (By?z* — 3y?z*)j + (2yz*? — 2yz?)k =0 CALCULO VETORIAL 979 Como rot F = 0 e 0 dominio de F é R’, F é um campo vetorial conservativo pelo Teorema 4. (b) A técnica para encontrar f foi dada na Secao 16.3. Temos [5] Six, Y, 2) = ye? [6] AQ Y, 2) = 2xyz? SAX, y, 2) = 3xy?2? Integrando [5| em relagdo a x, obtemos fy, 2) = xy’2? + gly, 2) Derivando [8] em relacdo a y, obtemos f(x, y, z) = 2xyz? + g,(y, z). Comparando com [6], obtemos g,(y, z) = 0. Assim, g(y, z) = A(z) e FAX, Y, 2) = 3xy’z? + h'(z) Entao |7| fornece h'(z) = 0. Portanto, fQ@yY,2 =a +K 7 A razao para 0 nome rotacional € que o vetor rotacional esta associado com rotagoes. Uma conex4o sera explicada no Exercicio 37. Outra ocorre quando F representa um campo de velocidade em mecAnica dos fluidos (veja o Exemplo 3 na Secao 16.1). Particulas perto de (x, y, z) no fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na diregao de rot F (x, y, a ™™ rot F(x, y, 2) z), € 0 comprimento do vetor rotacional é a medida de quao rapido as particulas se movem Kx _ em torno desse eixo (veja a Figura 1). Se rot F = 0 no ponto P, entao o fluido é isento de rotagdes em P e F é chamado irrotacional em P. Em outras palavras, nao ha nenhum turbi- (x, y, z) * Ihao ou redemoinho em P. Se rot F = 0, uma pequena roda de pas move-se com o liquido, a _) mas nao roda em torno do seu eixo. Se rot F # 0, a roda com pas giraria em torno de seu os eixo. Veremos mais detalhes sobre essa explanagao na Secdo 16.8, como consequéncia do FIGURA 1 Teorema de Stokes. MS Divergente Se F = Pi+ Qj + Rk é€ umcampo vetorial em R’ e dP/ax, dQ/dy e AR/dz existem, ent&o o divergente de F é a funcao de trés varidveis definida por [9] dP 00 OR div F = — + — + — Ox oy Oz Observe que rot F é um campo vetorial, mas div F €é um campo escalar. Em termos do ope- rador gradiente V = (0/dx) i + (d/dy) j + (0/0z) k, o divergente de F pode ser escrito sim- bolicamente como o produto escalar de V e F: divF=V-F (SQ Se Fa, y, z) = xzi + xyzj — y’k, determine div F. SOLUCAO Pela definig&o de divergente (Equacdo 9 ou 10), temos 0 0 0 div F = V- F = — (xz) + — (xyz) + —(-y’?) =z + xz = Ox oy Oz Se F é um campo vetorial sobre R’, entéo rot F também é um campo vetorial sobre R°. Como tal, podemos calcular seu divergente. O proximo teorema mostra que o resultado é 0. [11] Teorema Se F = Pi+ Qj + Rk éumcampo vetorial sobre R* e P, Oe R tém de- rivadas parciais de segunda ordem continuas, entao div rot F = 0 980 CALCULO DEMONSTRACAO Usando as definigdes de divergente e rotacional, temos Observe a analogia com o produto misto: div rotF = V- (V X F) a:(aXb)=0. _ 9 (dR 9Q)\, a (oP _ AR) | 4 (IQ _ AP ox \ dy 0z oy \ az Ox oz \ ox oy _ oR vO + oP OR + vO oP ox dy Ox 0z Oy 0z oy Ox Oz Ox 0z Oy =0 pois os termos se cancelam aos pares, pelo Teorema de Clairaut. — SF EY Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyz j — y’ k nao pode ser es- crito como 0 rotacional de outro campo vetorial, ou seja, F ¥ rot G. SOLUCAO No Exemplo 4 mostramos que div F=z + xz e, portanto, F ~ 0. Se fosse verdade que F = rot G, entaéo o Teorema 11 daria div F = div rot G = 0 0 que contradiz F # 0. Portanto F nao € o rotacional de outro campo vetorial. | A raz4o para essa interpretacao de div F Novamente, a razio para 0 nome divergente pode ser entendida no contexto da mecani- sera explicada ao final da Secao 16.9como —_ ca dos fluidos. Se F(x, y, z) € a velocidade de um fluido (ou gas), entéo div F(x, y, z) repre- consequéncia do Teorema do Divergente. senta a taxa de variacdo total (com relac&o ao tempo) da massa do fluido (ou gds) escoando do ponto (x, y, z) por unidade de volume. Em outras palavras, div F(x, y, z) mede a tendén- cia de o fluido divergir do ponto (x, y, z). Se F = 0, entao F é dito incompressivel. Outro operador diferencial aparece quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial Vf. Se f é uma fungao de trés varidveis, temos af of oaf div(Vf) =V°- (Vf) =—G +5 +5 (WA= VW = sa tar tas e essa expressdo aparece tao frequentemente que vamos abrevid-la como V’f. Esse operador V=V-V é chamado operador de Laplace por sua relagéo com a equacao de Laplace a a a Vf= of + of + of =0 Ox oy 0z Podemos também aplicar o laplaciano V? a um campo vetorial F=Pi+Qj+Rk em termos de suas componentes: WF=WPit+t VOj+ WRK M5 Formas Vetoriais do Teorema de Green Os operadores divergente e rotacional nos permitem escrever o Teorema de Green em uma vers4o que sera util futuramente. Consideramos uma regiao plana D, sua curva fronteira C e fungdes P e Q que satisfagam as hipdteses do Teorema de Green. Em seguida, consideramos o campo vetorial F = Pi + Qj. A sua integral de linha é F-dr=4 Pdx+Qd {. r Cc * Q y e, considerando F como um campo vetorial em R? com terceira componente 0, temos i j k j a j dO OP rotF =| — — —| =|— -—]k Ox oy 0z ox oy Pix,y) Oy) 0 CALCULO VETORIAL 981 Portanto, p 5p p ap (otF)-k= (22-2) yp 22 - ox oy ox oy e podemos reescrever a equacdo do Teorema de Green na forma vetorial [2] fF -dr=|{ (otk) -kdA c D A Equagao 12 expressa a integral de linha da componente tangencial de F ao longo de C como uma integral dupla da componente vertical rotacional F sobre a regiao D delimitada por C. Vamos deduzir, agora, uma f6rmula semelhante, envolvendo a componente normal de F. Se C é dada pela equacao vetorial ri) =xQHi+ yOj axt i - TT Ir] |r’ (Veja a Figura 2). Entéo, da Equaga4o 16.2.3, temos y b f Fonds = ['(F- n)(Q|r'(0| at TW) al _ i | Pe. yO)y'@) — Ax, yO) x0 | 1) | a nit) a Ir’ | [ro | c b , , 0 x = [' PO, yO) yO at — OC), yO) x" at ap a0 FIGURA 2 = |.Pdy — Qdx= || (<—+—*]aa c ox oy D pelo Teorema de Green. Mas o integrando na integral dupla é 0 divergente de F. Logo, temos uma segunda forma vetorial do Teorema de Green: [3] fF + mds = jf div F(x, y) dA c D Essa versado diz que a integral de linha da componente normal de F ao longo de C é igual a integral dupla do divergente de F na regiao D delimitada por C. 165 Exercicios 1-8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. 5. F(uy,2) = = 1 = (i+ yj+2k) 1. Fa, y, 2) =xyzi- ryk wen? 6 Fa, y,z) =e"senzj+ytgla/2ak 2 F(x, y,2) = VP yzit x2 j + xyv7k 7. F(a, y, z) = (e'sen y, e’ sen z, e* sen x) 3. FQ, y, z) = xye?i + yze*k 4. FQ, y, z) = sen yzi + sen zxj + sen xy k , A Ys 2) y zx 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 982 CALCULO 9-11 O campo vetorial F é mostrado no plano xy e € 0 mesmo em 23-29 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais todos os planos horizontais (em outras palavras, F é independente apropriadas existem e sao continuas. Se ffor um campo escalar e F, G de z e sua componente z € 0). forem campos vetoriais, entao fF, F - G e F X G serio definidos por (a) O div F sera positivo, negativo ou nulo? Explique. . (b) Determine se rot F = 0. Se nao, em que direcao rot F aponta? (PENG y, 2) = £05 ¥ 2 FG Y, 2) (F - G)x, y, z) = FQ, y, 2) + GO, y, 2) 9. y ft 4 4 4 10. y ti L/S (F X Ges y, 2) = Fy.) X CO, 1 | 1 1/,f/Z7 23. div(F + G) = divF + divG | J 7 7 7 24. rot(F + G) = rot F + rotG > 25. div (fF) =fdivF + F- Vf 0 x 0 x 26. rot( fF) =frotF + (Vf) X F 1.0} 27. div(F XG) = G- rot F — F- rotG > ee errr a> 28. div(V f X Vg) = 0 ee ew ek 29. rot (rot F) = grad(div F) — V’F ~~ S 30-32 Sejamr =xit+yj+zker= Irl. 0 - * 30. Verifique as identidades. $$ (a) V-r=3 (b) V- (rr) = 4r 12. Sejafum campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada ex- (c) Vr? = 12r pressdo tem significado. Em caso negativo, explique por qué. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. 31. Verifique as identidades. (a) rot f (b) grad f (a) Vr = r/r (b)VxXr=0 (c) div F (d) rot(grad f ) (c) VU/r) = —r/r3 (d) Vinr = r/r? (e) grad F ( grad(div F) 32. Se F = r/r’, determine div F. Existe um valor de p para que (g) div(grad f) (h) grad(div f) div F = 0? (i) rot(rot F) (j) div(div F) (k) (grad f) X (div F) (1) div(rot(grad f)) 33. Use o Teorema de Green na forma da Equacao 13 para de- monstrar a primeira identidade de Green: 13-18 Determine se 0 campo vetorial é conservativo ou nao. Se for VadA = Vv = -nds — \| Vf: VgdA conservativo, determine uma funcio f tal que F = Vf. \) fv"9 {, V9) \) f° Ng 1. F = 2344 Qe} + Ie? k onde D e C satisfazem as hipdteses do Teorema de Green e as » Fayaayel AYES xye derivadas parciais apropriadas de fe g existem e sAo continuas. 14. FQ, y,2 =o2it ey2jt eyck (A quantidade Vg “n= Dog aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direcao do vetor normal n e é chamada 15. F(x, y, 2) = 3xy?2i + Wy jf + 3x2y7272k derivada normal de g.) 16. F(x, y,z) =i+ senzj + ycos zk 34. Use a primeira identidade de Green (Exercicio 33) para de- monstrar a segunda identidade de Green: 17. F(x, y, z) = ei + xze*%j + xye™k . . . [J (V9 - gV2A) dA = f (709 — GVA) + nds 18. Fo, y,z) =e i+ ze* j + ye’ k D . . 18. Bos yg) = et sem yeh + ze cosyej yelcos ye onde D e C satisfazem as hipdteses do Teorema de Green e as 19. Existe um campo vetorial G em R° tal que derivadas parciais apropriadas de fe g existem e sao continuas. rot G = (x sen y, cos y, z — xy)? Explique. 35. Lembre-se, da Segdo 14.3, de que uma fungao g é chamada har- a : ~ sen S 2, = 20. Existe um campo vetorial G em R° tal que ménica em D se satisfaz a equacao de Laplace, isto é, Vg 0 _ 2 2 : em D. Utilize primeira identidade de Green (com as mesmas hi- rot G = (xyz, —y’z, yz’)? Explique. ; a . a pOteses que no Exercicio 33) para mostrar que se g é harmGnica 21. Mostre que qualquer campo vetorial da forma em D, entao >. Dag ds = 0. Aqui, Dng € a derivada normal de g oo . definida no Exercicio 33. Fay. 2 =fOit go) j+ h@k onde f, g e h sao diferenciaveis, é irrotacional. 36. Use a primeira identidade de Green para mostrar que se f for harm6nica em D, e se f (x, y) = 0 na curva limite C, entio 22. Mostre que qualquer campo vetorial da forma ff p| Vf |? dA = 0. (Suponha que sao validas as mesmas hipote- Fa, y,2 =f, di tg Dj +h yk ses que no Exercicio 33.) é incompressivel. 37. Este exercicio ilustra a relacdo entre vetor rotacional e rotagées. Seja B ser um corpo rigido girando sobre 0 eixo z. A rotacao CALCULO VETORIAL 983 pode ser descrita pelo vetor w = wk, onde w é a velocidade an- divE=0 divH =0 gular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P 1 oH 1 JE em B dividida pela distancia d do eixo de rotagaéo. Seja rot E = Oar rot H = OF r = (x, y, z) 0 vetor posicao de P. , : _ (a) Considerando o Angulo @ da figura, mostre que o campo de onde c éa velocidade da luz. Use essas equag6es para demons- velocidade de B é dado por v = w Xr. trar o seguinte: (b) Mostre que v = —wyi+t wxj. 1 @E (c) Mostre que rot v = 2w. (a) V x (V X E) = 62 af? | 1 @?H b) V X (V X H) = -~>— w (b) ( ) Cc? or? > 1 @E . a (c) VE= 2 ap [Sugestdo: Use 0 Exercicio 29.] Cc B 1 @H Lo d Vv (d) V-H = => - ~ f P Cc ot iy 39. Vimos que todos os campos vetoriais da forma F = Vg satisfa- zem a equacao rot F = 0 e que todos os campos vetoriais da forma F = rot G satisfazem a equacao div F = 0 (supondo a con- 0 tinuidade das correspondentes derivadas parciais). Isto sugere a pergunta: existe alguma equac4o que todas as funcées da forma y = div G devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa per- q Pp p p ; gunta é “Nao” demonstrando que toda fungao continua fem R? “ é a divergéncia de algum campo de vetores. [Dica: Seja ; ; +, Z) = (g(x, y, 2), 0, 0), onde g(x, y, z) = Ip f(t y, 2) dt. 38. As equacgdes de Maxwell relacionam o campo elétrico E e 0 GO ¥, 2) = GE y, 2), 0, 0), onde g(x y, 2) = Jp FU, y, 2) dt] campo magnético H, quando eles variam com 0 tempo em uma regiaéo que n4o contenha carga nem corrente, como segue: 166 Superficies Parametrizadas e suas Areas Até agora temos considerado tipos especiais de superficies: cilindros, superficies quadricas, graficos de fungG6es de duas variaveis e superficies de nivel de fungées de trés varidveis. Aqui, usaremos fungdes vetoriais para descrever superficies mais gerais, chamadas superficies parametrizadas e calcularemos suas areas. A seguir, tomaremos a férmula para a 4rea de superficies gerais e veremos como se aplica a superficies especiais. M8 Superficies Parametrizadas De modo muito semelhante 4 nossa descrigdo de curvas espaciais por uma fungao vetorial r(t) de um Unico parametro t, podemos descrever uma superficie por uma fungdo vetorial r(u, v) de dois parametros u e v. Suponhamos que [1] r(u, Vv) = x(u, Vv) i + yu, Vv) j + zu, v) k seja uma funcao a valores vetoriais definida sobre uma regiao D do plano wv. Entao x, y e z, os componentes de fungoes de r, serao fung6es das duas varidveis u e v com dominio D. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R? tal que [2 | x = x(U, v) y = yu, v) z = 2(U, Vv) e (u, UV) varia ao longo de D, é chamado de superficie parametrizada S e EquacGes 2 sio chamados equagoées parametrizadas de S. Cada escolha de u e v resulta um ponto em S; fazendo todas as escolhas, temos todos os pontos de S$. Em outras palavras, a superficie é 984 CALCULO tragada pela ponta do vetor posicgéo r(u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da regiao D. (Veja a Figura 1.) v Z [we ———> pS rue) FIGURA 1 Uma superficie parametrizada * y Z |(s200) Identifique e esboce a superficie com equagao vetorial (0, 0,2) r(u, Vv) = 2cosuit+t vj +2senuk TA SOLUCAO As equag6es paramétricas para essa superficie so x =2cosu y=v z=2senu x entao, para qualquer ponto (x, y, z) da superficie, temos (2, 0, 0) tay P+ 2=4cos2u + 4 sen2u = 4 Isso significa que todas as secGes transversais paralelas ao plano xz (isto é, com y constante) s4o circunferéncias de raio 2. Como y = vu e nao existe restrigéo ao valor de v, a superficie FIGURA 2 é um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é 0 eixo y (veja a Figura 2). = No Exemplo | nao existiam restrigdes quanto aos parametros u e v e assim obtivemos o cilindro inteiro. Se, por exemplo, restringissemos u e v, escrevendo o dominio dos parame- : tros como O %) r movimento das curvas de grade, para \ > diversas superficies parametrizadas. - Uu=Uy 0 ) Nf" y FIGURA 4 x Da mesma forma, se mantivermos v constante tomando v = Uo, obteremos a curva C2 dada por r(u, Uo) que esta sobre S. Chamamos essas curvas curva da grade. (No Exemplo 1, por exemplo, as curvas da grade obtidas tornando u constante sao linhas horizontais, enquanto as curvas da grade obtidas com vu constante sao circuferéncias.) Na verdade, quando um com- putador elabora em grafico uma superficie parametrizada, que normalmente apresenta a superficie tragando as curvas da grade, como podemos ver no exemplo a seguir. CALCULO VETORIAL 985 (SQM) Use um sistema de computacdo algébrica para tracar o grafico da superficie 2 LAX r(u, v) = ((2 + sen v) cos u, (2 + sen v) sen u, u + cos v) AER . _. Wy Quais sao as curvas da grade com u constante? Quais tém vu constante? eS S SOLUCAO Tragamos o pedaco da superficie com os parametros delimitados por 0 < u < 47, SOARS a 0 D : x . FIGURA 5 (SQV Determine a func3o vetorial que representa o plano que passa pelo ponto Py com vetor posicao rp e que contenha dois vetores nao paralelos a e b x z : Z : P SOLUCAO Se P é qualquer ponto no plano, podemos ir de Pp até P movendo uma certa dis- tancia na direg4o de a e uma outra distancia na diregd4o de b. Entao, existem escalares ue v vb tais que PoP =ua + vb. (A Figura 6 ilustra como isto funciona, por meio da lei do parale- b logramo, para o caso em que u e€ VU Sao positivos. Veja também o Exercicio 46 na Secao 12.2.) Se r é 0 vetor posicao de P, entao P a > > ° ua r= OP) +PoP =Yro + ua + vb FIGURA 6 Assim, a equacao vetorial do plano pode ser escrita como r(u, V) =¥ro + ua t+ vb 6 onde u e v sdo nimeros reais. 2a Se escrevermos r = (x, y, Z), Fo = (Xo, Yo, Zo), A = (a1, do, a3) eb = (di, by, b3), podemos D escrever as equag6es parameétricas do plano pelo ponto (Xo, yo, Zo) como segue: d=c xX =Xo + ua, + vb, y = yo + uan + vb, Z=2 + uaz, + vb; iz k 0=k (SQV Determine uma representacdo parametrizada da esfera P] r+y~t+2=a 7 ¢ 7 ¢ x ~ a ~ r SOLUCAO A esfera tem uma representacgao simples p = a em coordenadas esféricas, entao | vamos escolher os angulos ¢ e 6 das coordenadas esféricas como parametros (veja a Sedo 15.9). Tomando p = a nas equag6es para conversado de coordenadas esféricas para coorde- 4 nadas retangulares (Equacao 15.9.1), obtemos x=asendcos9 y=asend@sen6 z=acosd como equagoes parametrizadas da esfera. A equac¢ao vetorial correspondente é é =C r(%, 0) = asend cos 0i+ asend senédj +acos¢k Temos 0 <= ¢ S we 0 S 8 & 27, de modo que 0 dominio dos parametros é 0 retangulo ‘ » D = [0, z] X [0, 277]. As curvas da grade com ¢ constante s4o as circunferéncias de latitu- =k de constante (incluindo 0 equador). As curvas da grade com @ constante sao os meridianos (semicircunferéncias), que ligam os Polos Norte e Sul (veja a Figura 7). iz FIGURA 7 986 CALCULO OBSERVACAO Vimos no Exemplo 4 que as curvas de grade para uma esfera sdo curvas de latitude e longitude constantes. Para uma superficie parametrizada geral, estamos realmente fazendo um mapa e as curvas da grade sio semelhantes a linhas de latitude e longitude. Des- crever um ponto sobre uma superficie parametrizada (como o da Figura 5) dando valores especificos de u e v é como dar a latitude e a longitude de um ponto. Um dos usos de superficies parametrizadas L___[S_ LETTE SSS 4 Re rat ‘ ULE REOO WN GLE T TEES 6 na computagao grafica. A Figura 8 mostra [ERR s RASS o resultado de tentar tracar a esfera HPL PR x+y? + 2= 1 resolvendo a equacao } JLUNNMYN \ REE . . Peet para z e tragando os hemisférios de cima e ! " | AEE EEE EE eee de baixo separadamente. Parte da esfera \ ’ uh { 1h SESE parece estar ausente por causa do sistema \\\ \ x MN TY EE +t gy de grade retangular utilizado pelo \ SS 0 LY computador. A imagem, muito melhor na See Figura 9, foi produzida por um computador, utilizando as equacdes parametrizadas FIGURA 8 FIGURA 9 encontradas no Exemplo 4. (520) Determine uma representaca4o parametrizada do cilindro rP+y=4 O 0e0 <0 < 27. — CALCULO VETORIAL 987 MH Superficies de Revolugao As superficies de revolugéo podem ser representadas na forma parametrizada e, portanto, Zz seus graficos podem ser tragados usando-se um computador. Por exemplo, vamos considerar a superficie S obtida pela rotagao da curva y = f (x), a < x P| yf pee | ', Akl PQ P| | fat | ft Lf 7 CQ Coy Coe SLY) | FIGURA 14 (ui, vj) 0 | RSS A imagem do sub-retangulo 0 u R;; €o retalho S; x y inferior esquerdo do retangulo Rj. (Veja a Figura 14.) A parte S; da superficie § que corresponde a Rj €é chamada de retalho e tem um ponto Pj com vetor posi¢ao r(uj*, vj‘) como um de seus cantos. Sejam ri = r(ui*, 0}*) e ri = r(ui*, 07) os vetores tangentes em P;; calculados pelas Equagoes 5 e 4. A Figura 15(a) mostra como os dois lados do retalho que se encontram em P;; podem ser aproximados por vetores. Esses vetores, por sua vez, podem ser aproximados pelos vetores Aurj e Av r# porque as derivadas parciais podem ser aproximadas pelos quocientes de dife- rengas. Assim, aproximamos Sj; pelo paralelogramo determinado pelos vetores Au rj‘ e Av rx. Esse paralelogramo esta representado na Figura 15(b) e esta contido no plano tan- gente a Sem Pj. A area desse paralelogramo é (Aur) X (Av rs)| = Ink X ré| Au Av CALCULO VETORIAL 989 e entao uma aproximagao da area de S é > D [rk X r#| Au Av i=1 j=l A intuigao nos diz que essa aproximagao fica melhor 4 medida que aumentamos 0 nimero de sub-retangulos e reconhecemos a soma dupla como a soma de Riemann para a integral ——— dupla [{p lt. X rol du dv. Isso justifica a seguinte defini¢ao: ’ (a) [6| Definigdéo Se uma superficie parametrizada suave S é dada pela equacdo r(u, Vv) = x(u, v)i + y(u, v) j + zu, v) k (u,v) € D e S é coberta uma tinica vez quando (u, v) abrange todo 0 dominio D dos paradmetros, Avr, entdo a area da superficie de S é A(S) = [f [ru x ro] dA ; D (b) d Ox, a OZ ox, OY. OZ onde r, = —i+— — r,=—i+— a au au Ou av! av av FIGURA 15 Aproximando um retalho por um paralelogramo [S(2MNM) Determine a area da esfera de raio a. SOLUCAO No Exemplo 4 encontramos a representac4o parametrizada x =asen ¢ cos 0 y =asen¢ sen 6 Z=acos¢ onde o dominio dos parametros é D={(@¢,0)|0<¢<7,056 27} Vamos calcular primeiro o produto cruzado dos vetores tangentes: i j k ox oy az i j k reXtru=| 0d dbf dd |=| acosd cos? acosd sen@ —asend ox dy a —asend send asend cosdé 0 00 «600~=«(00 =a’sen’d cos0i+ a*sen’d sendj + a*send cosdk Logo, |ry X re| = Va*sen*d cos?6 + a*sen*d sen?@ + a*sen* cosh = Ja‘sen‘d + atsen*d cos*h = a*,/sen*d = a*send uma vez que sen d = 0 para 0 S d S a. Portanto, pela Definicao 6, a drea da esfera é Qa (Tr A= {| [ry X re|dA =| { a°sen d db dO D 0 0 Qa 7 = a | do { sen db = a(2m)2 = 4a? — MN Area de Superficie do Grafico de uma Fungao Para 0 caso especial de uma superficie S com equacao z = f (x, y), onde (x, y) estaéem De f'tem derivadas parciais continuas, tomamos x e y como parametros. As equagOes paramétricas sao x= xX y=y z= f( y) 0 0 assim, ry =it+ of k rn=jt ms k Ox oy 990 CALCULO e ij k 0 0 0 rXrn= 1 0 of --£; y+. [7] Ox Ox oy 0 01 2 dy Entao temos af \? af \ az \? az \ Ir, X ny] = TV (HV ope 4 (@) 4 (% ox oy ox oy e a formula de area da superficie na Definigao 6 fica Observe a semelhanga entre a formula da 5 5 area da superficie da Equagdo 9 e a Oz Oz formula do comprimento do arco [8] A(S) = i} \/ I+ (=) + (=) dA 2 D b dy L =| \/1+ (*) dx a dk {SNE Determine a Area da parte do paraboloide z = x? + y* que esta abaixo do plano da Segao 8.1, no Volume |. z= 9. SOLUCAO O plano intercepta 0 paraboloide no circulo x? + y* = 9, z = 9. Portanto, a super- ficie dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3. (Veja a Figura 16.) Usando Z a Formula 9, temos | i dz \* dz \? | A= || + (4) «(=) dA = |{ VI + @x? + Q)? aA ' Ox oy 1 D D = || Vi+ 40 +97) aA D Convertendo para coordenadas polares, obtemos 2 A= ("() /1 +4? rdrao= [do [ ry + 4? ar 3 Y o Jo 0 0 x 3 T FIGURA 16 = 2n(3)3(1 + 4r?)°?]) = & (37v37 — 1) — Precisamos ainda verificar se nossa definicdo da drea de superficie [6] € coerente com a formula da drea de superficie obtida no calculo com uma tnica variavel (8.2.4). Consideremos a superficie S obtida pela rotagéo da curva y = f (x), a S x < b, em torno do eixo x, onde f (x) = Oe f' é continua. Da Equagao 3, sabemos que as equag6es paramé- tricas de S sao x=xXx y =f (x) cos 6 z=f (x) sen 0 axx LSS” 12. x=senu, y=cosusenv, z=senv, ——} | 4 BETIS y TTS OS grafico semelhante ao das figuras. 43. A superficie z = 30°? + y*”),0 > (PF) AS; PTT rrr) lo , mae Sy 0 : . : : Z : "Observe a analogia com a defini¢ao de integral de linha (16.2.2) e também a analogia com a definicdo de integral dupla (15.1.5). r Para calcularmos a integral de superficie na Equacao 1, aproximamos a 4rea do retalho ASj pela area de um paralelogramo aproximador no plano tangente. Em nossa discussao sobre a area de superficie na Secado 16.6, fizemos a aproximacao ° Ps ASi ~ lt X rol AuAv s Ox , oy, Oz Ox , oy, Oz Sij onde r= —it+t—j+—k r= —i+—j+—k ou ou ou ov ov ov s4o Os vetores tangentes em um canto de Sj. Se as componentes sao continuas e r, e€ ry S40 0 ~ ~ : : . on nao nulos e nao paralelos no interior de D, pode ser mostrado, da Defini¢ao 1, mesmo quan- do D nao é retangular, que y xX [2] { | f(xy, 2) dS = | f(r(u, v)) [te X ro [dA S D FIGURA 1 Compare com a formula para a integral de linha: b , | | [ fe.» 2) ds = J" fer) |r" [at Nds assumimos que a superficie 6 coberta c a apenas uma vez quando (uw, v) varia ao Observe também que longo de D. O valor do integral de superficie ndo depende da parametrizagao {| ldS = {| |r. x r, | dA = A(S) usada. Ss D A Formula 2 permite calcular uma integral de superficie, convertendo-a em uma integral dupla sobre o dominio do parametro D. Ao usar essa formula, lembre-se de que f (r(u, v)) € avaliado ao escrever x = x(u, UV), y = y(u, Vv) e z = 2(u, v) na formula f (x, y, z). Ssietti Calcule a integral de superficie ff 5 x dS, onde S é a esfera unitdria P+y~+7= 1. SOLUCAO Como no Exemplo 4 da Secao 16.6, utilizamos a representacg4o parametrizada x=sengdcos@ y=sendsend Z=cosd 0 = { 5(1 + cos 20) dé { (seng@ — send cos*d) dh = ![0 + tsen20}* [cove + Joos'gh, = = 5]0 + 5 sen 26], cosh + 3 COs'b|o = —— = As integrais de superficie tém aplicagdes semelhantes aquelas das integrais que estuda- mos anteriormente. Por exemplo, se uma folha fina (digamos, uma folha de aluminio) tiver a forma de uma superficie S e se a densidade (massa por unidade de Area) no ponto (x, y, z) for p(x, y, Zz), entao o total da massa da folha sera CALCULO VETORIAL 995 m = || p(x, y.2) ds s e o centro de massa serd (Xx, y, z), onde - il _ i _ ol ¥=—|[ xpluyzds F=—|[ veluyds F=—|| zolx,y,2) a8 m m m S s s Os momentos de inércia também podem ser definidos como antes (veja o Exercicio 41). MS Graficos Qualquer superficie S com equac4o z = g(x, y) pode ser considerada uma superficie parame- trizada com equacgGes parametrizadas x= Xx y=y z= gl, y) x . og . dg e, entao, temos r,=i+|—]k r=jt+|—]k ox oy de modo que 0 0 [3] r Xr, = —-i- Sj+k Ox oy az \* dz \* e |r. X ry| = —}+{—] +1 Ox oy Logo, neste caso, a Formula 2 se torna dz \? az \? {| f(x, y, 2) dS = {| f(xy. 905 y)) 4] (=) + (=) + Lda ox oy S D Existem formulas andlogas para quando for mais conveniente projetar S$ no plano yz ou no plano xz. Por exemplo, se S for a superficie com equagao y = h(x, z) e D for sua projecao no plano xz, entaéo dy \? ay \? [J £05 y, 2) ds = |] £0, AG 2), 2) (2) + (2) +1dA Ox Oz S D BETRO Calcule ff, y dS, onde S é a superficie z = x + y,0 Como S> esta no plano z = 0, temos || 24s = [Jods =0 Sa So A superficie superior S3 se encontra acima do disco D e faz parte do plano z = 1 + x. Assim, tomando g(x, y) = 1 + x na Formula 4 e convertendo para coordenadas polares, temos dz \? az \* [J 24s = |[ a +9 1+ (4) +(=) aa ox oy Ss D = ("| (1+ rcos@)V/1 +1+0rdrdé = /2 (" { (r + r?cos 0) dr d6 = v2 |" G + cos 6) do 0 0 Qa sen = /2}/-—+———] =v2 Portanto, || 2as = |[ eas + |[ as + |[zas S Sy Sa Ss 37 3 => +0+ V2m=() + y2)m — 5. MM Superficies Orientadas Para definir integrais de superficie de campos vetoriais, precisamos descartar superficies nao orientaveis tais como a faixa de MGbius mostrado na Figura 4. [Nomeado assim por causa FIGURA 4 do gedmetra alemao August Mobius (1790-1868).] Vocé pode construir uma tomando uma Uma faixa de Mobius faixa retangular longa de papel, dando-lhe uma meia-torcAo e juntando as arestas curtas, CALCULO VETORIAL 997 como na Figura 5. Se uma formiga andasse sobre uma faixa de Mobius comegando no ponto P, ela acabaria do “outro lado” da faixa (ou seja, com sua parte de cima apontando para o sentido oposto). Entao, se a formiga continuasse a andar na mesma dire¢do, ela acabaria de volta no mesmo ponto P sem ter nunca cruzado uma aresta (se vocé construiu uma faixa de Mobius, tente desenhar uma linha a lapis pelo meio). Portanto, uma fita de MGbius realmen- Visual 16.7 mostra uma faixa de Mé- te tem apenas um lado. Vocé pode tragar a faixa de Mobius usando as equag6es parametri- _bius com um vetor normal que pode ser mo- zadas no Exercicio 32 da Secao 16.6. vido ao longo da superficie. B C Be? —/ee |. «J FIGURA 5 Construg4o de uma faixa de Mobius Daqui para a frente consideraremos somente as superficies orientaveis (com dois lados). 2 h . 1 Comegaremos com uma superficie S que tenha um plano tangente em todos os pontos (x, y, z) em S (exceto nos pontos da fronteira). Existem dois vetores normais unitdrios n; e Ny = —n em (x, y, Z) (veja a Figura 6). Se for possivel escolher um vetor normal n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, entéo S é chamada superficie orientada e a escolha dada de n for- nece S$ com uma orientac&o. Existem duas possiveis orientagdes para qualquer superficie 0 orientada (veja a Figura 7). y x n n n n FIGURA 6 n lll FIGURA 7 , As duas orientagGes de uma superficie orientavel Para uma superficie z = g(x, y) dada como 0 grafico de g, usamos a Equac4o 3 e vemos que a orientacdo induzida é dada pelo vetor normal unitario 0 0 9, 9 5 4 Ox oy [5] a” 2 2 0 0 1+ (4%) +(4 Ox oy Como a componente na direcado de k é positiva, isso fornece a orientagéo ascendente da superficie. Se S for uma superficie orientada suave dada na forma parametrizada pela equacao veto- rial r(u, Vv), entéo ela est4 automaticamente associada a orientacdo do vetor normal unitdrio. Yr, Xr, [6] me Tr, Xr) |r. X r.| e a orientacdo oposta é dada por —n. Por exemplo, no Exemplo 4 na Secao 16.6 nés encon- tramos a representag4o parametrizada r(¢, 0) = asend cos 0i+ asendsendj +acos¢dk para a esfera x? + y? + 2?= a’. Entao, no Exemplo 10 da Seco 16.6, encontramos que ry X Yo = a sen’ cos Oi + a? sen’ sen 8 j + a? send cos dk e Irs X rel = a? send Assim, a orientacgao induzida por r(@, 0) é definida pelo vetor normal unitario 998 CALCULO Yo X Yo . . 1 n = -~——— = sen¢ cos@i + send send j + cosd k = —r(d, 8) | Yo x ro | a Observe que n aponta na mesma direg&o que o vetor posi¢4o, ou seja, para fora da esfera (veja a Figura 8). A orientagdo oposta (para dentro) poderia ser obtida (veja a Figura 9) se tivéssemos trocado a ordem dos parametros, porque rg X rg= —Vre X Yo. Z Z x x FIGURA 8 FIGURA 9 Orienta¢ao positiva Orientagao negativa Para uma superficie fechada, isto é, uma superficie que seja a fronteira de uma regiao solida E, a convencao é que a orientacao positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E, e os vetores normais que apontam para dentro correspondem a orientagdo negativa (veja as Figuras 8 e 9). MH Integrais de Superficie de Campos Vetoriais : Suponha que S seja uma superficie orientada com vetor unitario normal n, e imagine um flui- do com densidade p(x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) que flui através de S. (Pense em F= pv S como uma superficie imaginaria que nao impede o fluxo de fluido, tal como uma rede de n¢ p pesca por um fluxo.) Em seguida, a taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unida- ~~ de de area é pv. Se dividirmos S em pequenos retalhos S;, como na Figura 10 (compare com a Figura 1), entéo Sj é aproximadamente plana, de modo que podemos aproximar a massa 0 de fluido que passa por S$; na diregéo da normal n por unidade de tempo pela quantidade (pv - n)A(S;j) x y onde p, v en sao avaliados em algum ponto em Sj. (Recorde-se de que 0 componente do vetor FIGURA 10 de pv na diregao da unidade de vetor n € pv - n.) Somando essas quantidades e tomando o limi- te, obtemos, de acordo com a Definicao 1, a integral de superficie da fungao pv - n sobre S: [7] {| pv -ndS = {| p(x, y, z) v(x, y, z) * n(x, y, z) dS S s e ela é interpretada fisicamente como a vazao através de S. Se escrevermos F = pv, entaéo F também é um campo vetorial em R? e a integral da Equa- cao 7 fica || F- nas s Uma integral de superficie dessa forma aparece frequentemente em fisica, mesmo quando F nao € pv, e € denominada integral de superficie (ou integral de fluxo) de F em S. Definigao Se F for um campo vetorial continuo definido sobre uma superficie orientada S com vetor normal unitdrio n, entao a superficie integral de F sobre S é || F-as = | F-nas s S Essa integral € também chamada fluxo de F através de S. Em palavras, a Definicao 8 diz que a integral de superficie de um campo vetorial sobre S é igual a integral de superficie de sua componente normal em S (como definido anteriormente). CALCULO VETORIAL 999 Se S é uma func4o vetorial dada por r(u, v), entéo n é dado pela Equagao 6 da Definigao 8 e, da Equacao 2, temos ry. X Ty [eas = ff r- 22 as s r, X r,| AY | Yr, x Yr, = i} F(r(u, v)) * ————_ ||. X r,| dA |r. X ro | D onde D é 0 dominio dos parametros. Assim, temos Compare a Equagdo 9 com a expressao analoga para o calculo da integral de linha de campos vetoriais da Definigado 16.2.13: [3] [J F-as = |[ P+, x1) aA . , : , |. F-dr= | F(r()) + r'(#) dt Een Determine 0 fluxo do campo vetorial F(x, y,z) = zit yj+xkatravésdaes- Figura 11 mostra o campo vetorial F do fera unitaria x° + yroal. Exemplo 4 em pontos da esfera unitaria SOLUCAO Como no Exemplo 1, utilizamos a representac&o parametrizada Zz r(¢, 6) = send cos 0i + send sené6j + cosdk 0<¢57 0<¢ 527 aa a Zp, ZHHHIKRNSN Entao F(r(@, 0)) = cos di + send sen 6 j + sendcos dk % AT, 61] ' KY e, do Exemplo 10 da Secao 16.6, 4 TL : / yet HALL LT LC rca. rg X Yo = sen*d cos Oi + sen’ sen 6 j + sendcos dk Nt | ret reae , YY TA Portanto, LEE x Fr(d, 0)) - We X re) = cos d sen’ cos 6 + sen?h sen’@ + sen’d cos ¢ cos 0 FIGURA 11 e, pela Formula 9, o fluxo é [J Fas = |] (ro x ro) aa S D = (" (" (2 sen’ cos d cos 6 + sen*d sen’6) dd do =2 {" sen’ cos b db (" cos 6 d@ + {" sen’ db (" sen’6 dO =O+ (" sen*d dob (" sen’6 do (une vez que [cos 0d0= 0) _ 47 3 pelos mesmos calculos que no Exemplo 1. = Se, por exemplo, o campo vetorial do Exemplo 4 € um campo de velocidade descreven- do o escoamento de um fluido de densidade 1, ent&o a resposta 47/3 representa a vazao atra- vés da esfera unitaria em unidade de massa por unidade de tempo. No caso de uma superficie § dada por um grafico z = g(x, y), podemos considerar x e y como parametros e usar a Equacao 3 para escrever 0 0 Pein xny = (ri + a5 + ew) (21-25 +e) Ox oy Logo, a Formula 9 se torna 0 0 Je-as={[(-p2-o% +e) : y Ox oy 1000 CALCULO Esta formula pressupde uma orientacdo ascendente de S; para uma orientacdo descendente, multiplicamos por — 1. Férmulas semelhantes podem ser trabalhadas se S é dada por y = h(x, Z) ou x = kQy, z). (Veja os Exercicios 37 e 38.) SETA Calcule ff, F - dS, onde F(x, y, z) = yit+ xj + zkeS €0 limite da regiao s6- lida E delimitada pelo paraboloide z = 1 — x* — ye 0 plano z = 0. Zz SOLUCAO A superficie S é constituida pela superficie parab6lica superior S, e pela superficie circular do fundo S> (veja a Figura 12). Como S$ é uma superficie fechada, usamos a con- vengao de orientagao positiva (para fora). Isso significa que S, é orientada para cima e pode- mos usar a Equacao 10 com D sendo a projegao de S; sobre o plano xy, ou seja, 0 circulo x+y <1. Como i Pay d=y On%yd=x Ry =z=l—e-¥ y * 0 0 sobre S| e <9 _ —2x <9 _ —2y FIGURA 12 Ox oy temos 0 0 [JF as =| -p“Z_9gF%ipr)aa ox oy Si D = [J [-v(-22) — x(-2y) + 1-2? — y?]dA D = {| (1 + 4xy — x? — y2)dA D = (" { (1 + 4r?cos@ sen@ — r?)rdr do = (" { (r — r° + 4r°cos@ sen@) dr dO = (" (; + cos6 sen9) dd = { (27) +0 = > O disco S) é orientado para baixo, entéo seu vetor normal unitério én = —k e temos [J F- as = [J F- (as = |] (-2) da = [| 04a =0 Sa Sp D D uma vez que z = 0 em 5S». Finalmente, calculamos, pela definicao, Shs F - dS como a soma das integrais de superficie de F sobre as partes S; e $2: [[P-as=|[F-as+ |[F-as=>+0-7 — S Si Sp Embora tenhamos exemplificado a integral de superficie de um campo de vetores com seu uso em mec4nica dos fluidos, esse conceito também aparece em outras situag6es fisicas. Por exemplo, se E é um campo elétrico (veja o Exemplo 5 da Secao 16.1), entao a integral de superficie || E-as S chama-se a fluxo elétrico de E através da superficie S. Uma importante lei de eletrostatica é a Lei de Gauss, que diz que a carga total englobada por uma superficie S é i] 0 = & { | E-dS S onde &€ é uma constante (denominada permissividade no vacuo) que depende das unidades usadas (no sistema SI, 9 ~ 8,8542 X 107! C?/N-m”). Portanto, se o campo vetorial F do Exemplo 4 representa um campo elétrico, podemos concluir que a carga envolvida por S é Q= tire. CALCULO VETORIAL 1001 Outra aplicacao de integrais de superficie ocorre no estudo de fluxo de calor. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Entao, o fluxo de calor é definido como 0 campo vetorial F=—-KVu onde K é uma constante determinada experimentalmente, chamada condutividade da subs- tancia. A taxa de transmissao de calor através da superficie S no corpo é entao dada pela inte- gral de superficie || Fas =—K | vu-as S S (SQ) RH A temperatura u em uma bola metélica € proporcional ao quadrado da distancia do centro da bola. Determine a taxa de transmissao de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola. SOLUCAO Tomando o centro da bola como origem, temos u(x, y,Z) = CO? + y+ 2’) onde C é a constante de proporcionalidade. Entao o fluxo de calor é F(x, y, 2) = —K Vu = —KCQxi + 2yj + 2zk) onde K é a condutividade do metal. Em vez de usar a parametrizagao usual da esfera dada no Exemplo 4, observamos que o vetor normal a esfera x? + y? + 2? = a? que aponta para fora no ponto (x, y, z) é 1 n=—(xi+yj+zk) a . 2KC e assim Fen = —-— (x? + y? +2’) a Mas, sobre S temos x7 + y?+ 2 = a’, entéo F - n = —2aKC. Portanto, a taxa de transmis- sao de calor através de S é || F- as = |] F- mas = —2axc [J as S S S = —2aKCA(S) = —2aKC(4ma’) = —8KC7ra?* — cc Exercicios 1. Seja S a superficie que é fronteira da caixa delimitada pelos pla- 5-20 Calcule a integral de superficie. nosx=0,x=2,y=0,y =4,z = 0ez = 6. Aproxime . {Ise ~O1e+y+2 GS usando uma soma de Riemann, como na Defi- 5. |i;aty+t 2) ds, - nigdo 1, tomando os retalhos S,, como os retangulos que s4o as S € 0 paralelogramo com equag6es paramétricas x = u + v, faces da caixa S e os pontos P# como os centros destes retangulos. ysu-—v,z=1+t+2utv,0 F(H3,4 5) 9ef(—3, w 4, 5) = 12. Ao dividir H em quatro S éa parte do plano z = 1 + 2x + 3y que esta acima do retan- partes, estime o valor de ||; f (x, y, z) dS. gulo [0, 3] X [0, 2] 4. Suponha que f(x, y,z) = g(Vx? + y? + z?), onde g é uma 10. |{_xcdS _ . __ rr * Is > fungao de uma varidvel tal que g(2) = —5. Calcule J), f(s ys 2) S éa parte do plano 2x + 2y + z = 4 que esta no primeiro oc- dS, onde S éaesferax?+ y+ 2= 4. t ante E necessério usar um sistema de computacao algébrica 1. As Homework Hints estao disponiveis em www.stewartcalculus.com 1002 CALCULO 11. [l, xd, 28. F(x, y, 2) =xyit 4° + yzk, S é a regiao triangular com vértices (1, 0, 0), (0, —2, 0) S éa superficie z= xe, O=4,0 0). Entao C é a cir- cunferéncia dada pelas equagées x? + y?= 1, z = \/3. A equacio vetorial de C é -—--\--- V7 Lo, > r(t) = cos ti+ sentj + Bk 0 ZS 5 Assim, r’(t) = —sen ti + cos tj x r+y=l Temos também FIGURA 4 F(r(t)) = /3 costi + /3 sentj + cost sentk Portanto, pelo Teorema de Stokes, | rot F - dS = {. F-dr= (" F(r(0) + r'(0) dt S = (" (—/3 cost sent + 3 sen t cos t) dt Qa = V3 ["oa=0 — Observe que no Exemplo 2, calculamos uma integral de superficie simplesmente conhe- cendo os valores de F na fronteira C. Isso significa que, se tivermos outra superficie orientada com a mesma fronteira C, obteremos 0 mesmo valor para a integral de superficie! Em geral, se S; e Sz sao superficies orientadas com mesma fronteira orientada C e ambas satisfazem as hipdteses do Teorema de Stokes, entao 3] [J rot - a8 = | F-dr= [[ rot F - as Si S2 Esse fato é muito util quando for dificil integrar sobre uma das superficies, mas for mais facil integrar sobre a outra. Usaremos agora 0 Teorema de Stokes para tentar explicar 0 significado do vetor rotacio- nal. Suponha que C seja uma curva fechada orientada e v represente 0 campo de velocidade de um fluido. Considere a integral de linha [.v-ar= |v Tas Cc Cc e recorde que v - T € a componente do vetor v na direcao do vetor tangente unitario T. Isto significa que quanto mais perto a direcdo de v € a direcdo de T, maior é€ 0 valor de v - T. Assim, fe v: dr é€ a medida da tendéncia de o fluido se mover em torno de C e é chamada circulagao de v em torno de C. (Veja a Figura 5.) 1006 CALCULO T T Cc Cc v v FIGURA 5 (a) Je v- dr > 0, circulagao positiva (b) I. v- dr <0, circulacdo negativa Seja agora Po(xo, yo, Zo) um ponto do fluido e seja S, um pequeno circulo com raio a e cen- tro Po. Entaéo (rot F)(P) ~ (rot F)(Po) para todos os pontos P em S, porque rot F é continuo. Entao, pelo Teorema de Stokes, temos a seguinte aproximacao do fluxo em torno do circulo fronteira C,: { v-dr = || rotv- dS = [| rotv- nds Ca Sa Sa ~ || rot v(Po) « (Po) dS = rot v(Po) * n(Po)ra? Sa Essa aproximagao se torna melhor quando a — 0 e temos 1 [4] rot vV(Po) - n(Po) = lim —; | v-dr Imagine uma roda pequena formada por a0 Ta” ¥Ca pas colocadas em um fluido em um ponto A Equacao 4 fornece a relagao entre o rotacional e a circulacgao. Ela mostra que rot v- n é P, como na Figura 6; essa roda vai girar uma medida do efeito de rotagdo do fluido em torno do eixo n. O efeito de ondulacgdo é maior mais rapidamente quando seu eixo for sobre 0 eixo paralelo a rot v paralelo a rot v. . P . . Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser usado para demonstrar 0 Teo- rema 16.5.4 (que afirma que, se rot F = 0 sobre R’, entéo F é conservativo). Do nosso traba- rot V lho anterior (16.3.3 e 16.3.4 Teoremas), sabemos que F é conservativo se fe F - dr = 0 para cada caminho fechado C. Dado C, suponha que possamos encontrar uma superficie orientavel ( S cuja fronteira é C. (Isso pode ser feito, mas a demonstragdo exige técnicas avangadas.) Em seguida, o teorema de Stokes fornece Se ) [Far = |[ rotF- ds = |[ 0-as=0 Cc S S Uma curva que nao seja simples pode ser quebrada em diversas curvas simples e as integrais FIGURA 6 ao longo dessas curvas simples sao todas 0. Somando essas integrais, obtemos fo F-dr=0 para qualquer curva fechada C. co Exercicios 1. Umhemisfério H e uma porcao P de um paraboloide so mostra- 2-6 Use o Teorema de Stokes para calcular ffs curl F - dS. dos. Suponha que F seja um campo vetorial sobre R* cujas com- ponentes tenham derivadas parciais continuas. Explique por qué 2. F(x, y, 2) = 2y cos zi + e* sen zj + xe’k, S é 0 hemisfério {| rotF: dS = {| rot F- dS P+ yt 2=9, z= 0, de orientagio ascendente a , 3. FO, y, 2) = X2i + yj t+ xyzk, S éa parte do paraboloide Z =x? + y* que esta dentro do cilindro x7 + y? = 4, com orien- tacao ascendente 4. Fa, y, 2 = tg! Gy) i try j + 2k, S € 0 cone x= Vi — 2,0 ) |- | a= -3f) [e? + 1 - sax ("| sof a= if le t's 184 = —[" (x8 + 3x4 + 3x? — 1) dx = = — 0 35 m Apesar de termos demonstrado o Teorema do Divergente somente para 0 caso de regides am s6lidas simples, ele pode ser demonstrado para regides que sdo a unido finita de regides séli- ‘ ~ das simples. (O procedimento é semelhante ao usado na Segao 16.4 para estender o Teore- { ma de Green.) n Por exemplo, vamos considerar a regiaéo E que esta entre as superficies fechadas S| e S», — onde S; esta dentro de $2. Sejam n; e nm: as normais apontando para fora de S; e $2. Entao, a fronteira de FE é S = S; U S;e a sua normal n é dada porn = —n; em S; en = mem S$) (veja a Figura 3). Aplicando o Teorema do Divergente para S$, obtemos FIGURA 3 7] [If aiv Fav = [fF - as = |[ F- nas E S Ss = {J F- (mas + [J P+ m as AY Sy =-|/F-as+ [/F-as S, Sy SAS /IgEUET No exemplo 5 na Secdo 16.1 consideramos 0 campo elétrico E(x) = £2 x |x| onde a carga elétrica Q esta localizada na origem e x = (x, y, z) € um vetor posicdo. Use 0 Teorema do Divergente para mostrar que o fluxo elétrico de E através de qualquer superficie fechada S$, que inclui a origem é [J E- a8 = 4720 Sy CALCULO VETORIAL 1011 SOLUCAO A dificuldade é que nao temos uma equacio explicita para S, porque S> é qualquer superficie fechada envolvendo a origem. O exemplo mais simples de tal superficie seria uma esfera. Seja entaéo S; uma pequena esfera de raio a e centrada a origem. Vocé pode verificar que div E = 0. (Veja a Exercicio 23.) Portanto, a Equacgdo 7 da |) e+ as = [[E-as + |{f divEav = |[ E-as = |/E- nas Sy Sy E Si Si O ponto importante nesse calculo €é que podemos calcular a integral de superficie sobre S, porque S, é uma esfera. O vetor normal em x é x/|x|. Portanto, EQ x eQ eQ eQ E-n=7—;x: — =x x= 7G FT [x Ix]/ |x| [x]? a uma vez que a equacao de S; é |x| = a. Assim, temos € E € | E- as = |[E-nas = <2 tf as = £2 4(5,) = 2 ana? = an00 Sp Si es, 4 4 Isso mostra que 0 fluxo elétrico de E é 47reQ através de qualquer superficie fechada S2 que contenha a origem. [Esse é um caso especial da Lei de Gauss (Equagao 16.7.11) para uma unica carga. A relagdo entre € e & € € = 1/(477&0).] 7 Outra aplicagéo do Teorema do Divergente aparece no escoamento de fluidos. Seja v(x, y, Z) 0 campo de velocidade de um fluido com densidade constante p. Entéo F = pv éa taxa de vazao do fluido por unidade de area. Se Po(xo, yo, Zo) € um ponto no fluido e B, é uma bola com centro em Po e raio muito pequeno a, entaéo div F(P) ~ div F(Po) para todos os pontos em B, uma vez que div F é continuo. Aproximamos o fluxo sobre a fronteira esféri- ca S, como segue: [J Fas = [|f aiv Fav ~ |[f div F(R.) av = div F(Po) VB.) Sa Ba Ba Essa aproximagao se torna melhor 4 medida que a — 0 e sugere que ; ; 1 div F(Po) = lim ~~ || F- dS om) VB.) + So | | zrrretr rrr, A Equagio 8 diz que div F(Po) € a taxa liquida de fluxo para o exterior por unidade de volu- App oetlrpp, 7 me em Pp». (Esta é a razo para o nome divergente). Se div F(P) > 0, o fluxo liquido € exte- oe ee AP, riormente perto de P e P é chamado uma fonte. Se div F(P) < 0, 0 escoamento total perto eee fe ee de P é para dentro e P € denominado sorvedouro. sa ee - + Para o campo vetorial da Figura 4, parece que os vetores que terminam proximo de P, ody s4o menores que os vetores que iniciam perto do mesmo ponto P;. Entao, o fluxo total é para eee le ee oe fora perto de P;, assim, div F(P;) > 0 e P; é uma fonte. Por outro lado, perto de P2, os veto- re ee res que chegam sao maiores que os que saem. Aqui o fluxo total é para dentro, assim ZA nk tlt ts AL div F(P2) < 0 e P2 € um sorvedouro. Podemos usar a formula para F para confirmar essa AAP Tt tPA, impresséo. Uma vez que F = x? i + y’ j, temos div F = 2x + 2y, que é positivo quando y > —x. Assim, os pontos acima da linha y = —x so fontes e os que estado abaixo sdo sor- = FIGURA 4 vedouros. Campo vetorial F = x7i+ y?j 169) Exercicios 1-4 Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o 3 Fay,d= (z, y, Xx), campo vetorial F na regiado E. E éabola solida x2 + y?+ 2< 16 1. F(a, y, z) = 3xi + xyj + 2xzk, E é 0 cubo limitado pelos pla- 4. Fay. d= (x2, -y, z)s nosx=0,x=l1y=0,y=1,z=0Oez=1 E € ocilindro s6lido y2+ 2 <9,0 0 e onde S € a superficie do sdlido limitado pelo paraboloide . ~ : . : a div F < 0. Entao calcule div F para verificar 0 seu palpite. zZ=x+yeoplanoz=4 21. F = + y 22. F = 0, y” 12. FO, y,) =i-x2jt 4uy’ck, A Bays oyrty) Re Faye hy) S € a superficie do sdlido limitado pelo cilindro sO 2+ y= Leos planosz=x+2ez=0 23. Verifique se div E = 0 para o campo elétrico E(x) = TxP xf x. 13. F=rlr|,onder =xi+yj+czk, 24. Use o Teorema do Divergente para avaliar S consiste no hemisfério z = 1 — x? — y? eno disco {| (x + 2y + 2) dS x’ + y* <1 no plano xy 5 onde S éaesferax?+ y+ 2= 1. = |r? = xi i 14. 5 . Ir| f r, onde r . R. + YJ + zk, t 25-30 Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfagam as © a estera com fala Xe onigem No Ceniro condicgées do Teorema do Divergente e que as funcGes escalares e as 15. F(x, y,z) =e tezit+ yV3 —x2 jf t+ xsenyk, componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de S é a superficie do sdlido que esta acima do plano xy e abaixo segunda ordem continuas. da superficie z =2 — xt— y*, -l Sx <1,-1l