Slide - Sistemas Lineares Homogêneos Com Duas Equações - 2023-1

SYS ReI BAM IT alot] Reo Ae) pao) 2X1 ALOR) An Ie UE-M-Le [UF [eel ots Vamos considerar 0 caso em que os autovalores sdo complexos. Resolva o PVI 1 1 1 , — x= ( 4, 1) x)=({ ) e—-_5S» —__’ A Resolucao. Note que A nao é simétrica. O polindmio caracteristico de Aé (A- 1)? +1=0. Portanto os autovalores sdo Ay =1—i, 22 =14+i=A1. Um autovetor associado a Az é v= ( 1 | —! Portanto, _ Ait — .(1-/)t 1 Xi(t) = el'Y=e _j t . 1 = e'(cost — /sint) _j _ e' cost i —e'sint — —e'sint —e' cost eux~_—q~ ~~ Ui (t) Vi(t) = Uy(t) + M(t) é uma solu¢do (complexa) do sistema. U; e Vi sdo as partes real e imaginaria de X;. Da mesma forma _ dat — (1+i)t 1 X(t) = e?'Vo=e j = U;(t) _ iV;(t) = Xi(t) é uma solucdo (complexa) do sistema. Como Xj e X1(t) sdo solucdes do sistema homogéneo, entdo sa e' cost (X + Xi(#)/2 = Re(Xi(t)) = Ui(t) = ( ° —e'sint e syn: —e'sint (Xi — Xi(8))/(2i) = Im(%(¢)) = Vit) = ( -eant também sao solucdes reais do sistema homogéneo. Por outro lado, 1 0 W(U,, V1)(0) = det(U;(0) V(0) = det 0 —-1 =-1 x 0. Portanto, a solucdo geral do sistema é X(t)=qUi(t) tovi(t) =e e' cost Le —e'sint ~ ANI C2VINT] = LY _ ot cin t *\ —etcost Encontraremos cy e cp de modo a satisfazer o PVI: | = X(0) = “ => q=1,0=-1 1 —o 1 >» 2 : O Autovalores repetidos com multiplicidade diferente da dimenssao do autoespaco associado 1 9 xX'= Xx. a A Resolucado. Note que os autovalores de A sao Ay = Ap = —2€0 autoespaco associado é a reta {a(3,—1) : a € R}. Cuja base é 0 autovetor € = (3,—1). Portanto, uma solu¢do do sistema é X, = ee. Como encontrar uma segunda solu¢do X2(t) tal que X; e X2 sejam linearmente independentes? Tentaremos uma soluc¢ao Xo(t) = (Et + ne™*. Portanto, X3 = Ee + (Et + Ae = (€ + tAE + Ane" e AX2 = (tAE + An)e*! = (tAE + An)e*. Substituindo no sistema, temos (A—Id)n =€. Portanto, devemos ter _ 3 9 m \ _ 3 Portanto, n= (1,0) ~~ a(3, —1). Podemos fazer a = 0 (verifique isso!). _{ 3 ~2t 1 \ 9+ x= (3) *(4)¢ . Note que 3 1 W(X1, X2)(0) = det ( 10 =10. Portanto, X; e X2 sao linearmente independentes. O