Empuxo Lateral de Terra-Conceitos-Teorias e Aplicações

CAPÍTULO 6 EMPUXO LATERAL DE TERRA Informações gerais Empuxo de terra em repouso Empuxo ativo Empuxo passivo Teoria de Rankine Teoria de Coulomb 2 Causa tensão lateral total gerada pelo peso dos sólidos da água h u e de estruturas sobrejacentes sobrecarga q agindo sobre a contenção Empuxo de Terra P EMPUXO LATERAL DE TERRA Força lateral por unidade de comprimento vertical do muro 3 Fatores Intervenientes propriedades físicas do solo dependência da resistência do solo em relação ao tempo interação na interface soloestrutura características gerais da deformação soloestrutura sobrecarga carga imposta q EMPUXO LATERAL DE TERRA 4 EMPUXO EM REPOUSO 𝝈𝒉 𝝈𝒉 𝑲𝟎𝝈𝒗 Sem deslocamento do muro solo seco 𝜺𝒉 𝟎 𝑲𝟎 𝜎ℎ 𝜎𝑣 SOLO SECO Ko Coef de Empuxo em Repouso Fonte Das 2007 5 EMPUXO EM REPOUSO Sem deslocamento do muro solo saturado 𝝈𝒉 𝑲𝟎𝝈𝒗 𝒖 𝝈𝒉 𝝈𝒉 𝒖 SOLO SATURADO 𝑲𝟎 𝜎ℎ 𝜎𝑣 6 EMPUXO EM REPOUSO Determinação de K0 ensaios triaxiais h 0 devido à sincronizaçãoc d relações empíricas Aplicação Escavações escoradas Muros de subsolos Bueiros e galerias Muros de contenção em balanço Ombreiras de pórticos rígidos de pontes 𝜺𝒉 𝟎 7 EMPUXO DE TERRA EM RESPOUSO Areias compactas Fang Sherif 1984 Solos sobreadensados de todas as granulometrias Mayne Kulhawy 1982 Argilas NA Massarsch 1979 𝐾0 1 𝑠𝑒𝑛 Areias fofas NA Jaky 1944 Relações Empíricas Ko 𝐾𝑜 1 𝑠𝑒𝑛 𝑂𝐶𝑅𝑠𝑒𝑛 8 VALORES TÍPICOS Fonte Bodó Jones 2017 Solo Ko Areia Compacta 04 06 Areia Fofa 045 05 Argila Norm Adensada 05 075 Argila Sobreadensada 10 40 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO 9 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO Empuxo Total P0 força punidade de comprimento do muro kNm SOLO SECO Área do triângulo Resultante Fonte Das 2007 𝑷𝟎 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝝈𝒗𝑯 𝑷𝟎 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝑯𝟐 𝑷𝟎 𝑬𝟏 𝑬𝟏 𝝈𝒗 𝝈𝒗 𝑷𝟎 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝑯𝑯 𝑷𝟎 න 𝟎 𝑯 𝝈𝒉𝒅𝑯 𝑬𝟏 𝟏 𝟐 𝝈𝒉𝑯 10 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO 𝝈𝒉 𝒖 𝑲𝟎 𝜸𝑯𝟏 𝜸𝒔𝒖𝒃𝑯𝟐 𝜸𝒘𝑯𝟐 SOLO PARCIALMENTE SATURADO 10 Fonte Das 2007 Tensões laterais na base do muro sub 11 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO SOLO PARCIALMENTE SATURADO 𝑷𝟎 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝑯𝟏 𝟐 𝑲𝒐𝜸𝑯𝟏𝑯𝟐 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝒔𝒖𝒃 𝜸𝒘 𝑯𝟐 𝟐 Empuxo Total P0 força por metro vertical de muro 12 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO SOLO PARCIALMENTE SATURADO 𝑷𝟎 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝑬𝟒 13 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO Areia parcialmente submersa muro estável a Calcular o empuxo total por metro de muro P0 b Localizar a resultante em relação à base do muro NA 𝐾𝑜 1 𝑠𝑒𝑛 𝑂𝐶𝑅𝑠𝑒𝑛 𝐾𝑜 1 𝑠𝑒𝑛30𝑜 2𝑠𝑒𝑛30𝑜 𝐾𝑜 0707 14 Resposta ℎ 0 𝜎𝑣 0 𝜎ℎ 0 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ℎ 35 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 𝛾ℎ 1572 35 5502 𝑘𝑃𝑎 𝜎ℎ 𝑘𝑜𝜎𝑣 0707 5502 389 𝑘𝑃𝑎 ℎ 46 𝑚 𝜎𝑣 1572 35 924 11 6518 𝑘𝑃𝑎 𝜎ℎ 𝑘𝑜𝜎𝑣 0707 6518 46 1𝑘𝑃𝑎 𝑢 𝛾𝑤ℎ𝑝 10 11 11 𝑘𝑃𝑎 𝜎ℎ 𝜎ℎ 𝑢 461 11 571 𝑘𝑃𝑎 Tensão horizontal total no muro Abaixo do NA 35 m 11 m Acima do NA 15 𝑎 𝑃0 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸4 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐸1 𝐴1 05𝜎ℎℎ 05 389 35 6807 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 𝐴2 𝜎ℎℎ 389 11 4279 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 𝐴3 05𝜎ℎℎ 05 72 11 396 𝑘𝑁𝑚 𝐸4 𝐴4 05𝑢ℎ 05 11 11 605 𝑘𝑁𝑚 𝑃0 6807 4279 396 605 12088 𝑘𝑁𝑚 35 m 11 m Diagramas das tensões efetivas poropressões 𝜎ℎ 16 16 a Diagrama das Tensões Totais E1 05 x 389 x 35 6807 kNm E2 389 x 11 4279 kNm E3 05 x 182 x 11 1001 kNm P0 6807 4279 1001 120 88 kNm 𝜎ℎ 𝜎ℎ 𝑢 461 11 571 𝑘𝑃𝑎 17 35 m 11 m b Resultante em z 46 m Base do Muro തℎ σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 𝐸1ℎ1 𝐸2ℎ2 𝐸3ℎ3 𝐸4ℎ4 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸4 തℎ 6807 35 3 11 4208 11 2 396 11 3 605 11 3 12088 തℎ 1501 𝑚 18 തℎ σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 𝐸1ℎ1 𝐸2ℎ2 𝐸3ℎ3 𝐸1 𝐸2 𝐸3 E1 6807 kNm E2 4279 kNm E3 1001 kNm P0 120 88 kNm തℎ 6807 35 3 11 4279 11 2 1001 11 3 12088 തℎ 1501 𝑚 1501 𝑚 b Resultante em z 46 m Tensões Totais Base do Muro 19 CONDIÇÃO ATIVA X PASSIVA 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝟒𝟓𝒐 𝟐 v constante h redução tração v constante h aumento compressão 20 EMPUXO ATIVO Afastamento do muro em relação ao maciço de solo Rotação de pé Translação Fonte Das 2007 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝑲 𝑲𝒂 𝝈𝒉 𝝈𝒗 𝝈𝒂 𝝈𝒗 21 EMPUXO PASSIVO Deslocamento do muro contra o maciço de solo Rotação de pé Translação Fonte Das 2007 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝑲 𝑲𝒑 𝝈𝒉 𝝈𝒗 𝝈𝒑 𝝈𝒗 22 EMPUXOS DE TERRA Condição de Repouso sem movimentação do muro K0 coeficiente de empuxo em repouso v tensão efetiva vertical h tensão efetiva horizontal Condição Ativa movimentação do muro para longe do maciço Ka coeficiente de empuxo ativo v tensão efetiva vertical a tensão horizontal ativa Condição Passiva movimentação do muro para dentro do maciço Kp coeficiente de empuxo passivo v tensão efetiva vertical p tensão horizontal passiva VALORES TÍPICOS Rotação de Pé EMPUXOS ATIVO E PASSIVO H ALTURA DO MURO EM RELAÇÃO AO SOLO DIST AB 23 Equilíbrio Limite Fonte Das 2007 24 EMPUXOS ATIVO E PASSIVO Gerscovich 2010 Estado Limite deformações mínimas para mobilização do estado plástico 25 EMPUXOS DE TERRA Fonte Das 2007 Pressão no muro TEORIA DE RANKINE 1857 Hipóteses Simplificadoras Solo isotrópico e homogêneo Superfície do terreno plana A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação em estado de equilíbrio plástico eminência da ruptura Muro perfeitamente liso atrito solomuro δ 0 e de prof infinita Os empuxos de terra atuam paralelamente à superfície do terreno A parede da estrutura em contato com o solo é vertical 26 27 TEORIA DE RANKINE Estado ativo de tensões equilíbrio plástico do solo Solo coesivo Fonte Das 2007 h afast muro 28 𝑠𝑒𝑛 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝑂 𝑂𝐶 𝐶𝐷 𝜎𝑣𝑜 𝜎𝑎 2 𝐴𝑂 𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑂𝐶 𝜎𝑣𝑜 𝜎𝑎 2 𝑠𝑒𝑛 𝜎𝑣𝑜 𝜎𝑎 2 𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜎𝑣𝑜 𝜎𝑎 2 𝜎𝑎 𝜎𝑣𝑜 1 𝑠𝑒𝑛 1 𝑠𝑒𝑛 2𝑐 𝑐𝑜𝑠 1 𝑠𝑒𝑛 Estado ativo de tensões Solo Coesivo 𝝈𝒂 𝝈𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝟒𝟓𝒐 𝟐 29 𝝈𝒂 𝝈𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝟒𝟓𝒐 𝟐 Solos Coesivos 𝑲𝒂 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 𝟐 𝝈𝒂 𝝈𝒗𝒐𝑲𝒂 𝟐𝒄𝒌𝒂 Solos Não Coesivos 𝝈𝒂 𝝈𝒗𝒐𝑲𝒂 30 Estado passivo de tensões Solo Coesivo TEORIA DE RANKINE Fonte Das 2007 p muro contra o solo 31 TEORIA DE RANKINE Estado passivo de tensões muro de altura limitada LpH para qql H Fonte Das 2007 Coeficiente de empuxo passivo de Rankine 𝑘𝑝 1𝑠𝑒𝑛 1𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑔2 45𝑜 2 𝑲𝒂 𝟏 𝑲𝒑 32 Solos Coesivos 𝝈𝒑 𝝈𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 𝟐 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝟒𝟓 𝟐 Solos Não Coesivos 𝝈𝒑 𝝈𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 𝟐 TEORIA DE RANKINE Empuxo passivo de Rankine p FL2 𝝈𝒑 𝝈𝒗𝒐𝑲𝒑 𝟐𝒄𝒌𝒑 𝝈𝒑 𝝈𝒗𝒐𝑲𝒑 33 TEORIA DE RANKINE 𝑃 න 0 ℎ 𝜎ℎ𝑑𝐻 1 2 𝜎ℎ𝐻 Caso ativo em solos coesivos diagrama triangular 𝑃𝑎 1 2 𝜎𝑣𝐾𝑎𝐻 2𝑐𝐻 𝐾𝑎 𝑜𝑢 𝑃𝑎 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑎 2𝑐𝐻 𝐾𝑎 Caso passivo em solos coesivos diagrama triangular 𝑃𝑝 1 2 𝜎𝑣𝐾𝑝𝐻 2𝑐𝐻 𝐾𝑝 𝑜𝑢 𝑃𝑝 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑝 2𝑐𝐻 𝐾𝑝 a p Empuxo total Força total por unidade de comprimento do muro P Diagrama Triangular Diagrama Quadrático 𝑃 𝜎ℎ𝐻 34 TEORIA DE RANKINE Casos específicos apresentados no quadro 1 Empuxo total ativo para muro liso em maciço horizontal não coesivo estratificado e parcialmente submerso 2 Empuxo total ativo para muro liso em maciço horizontal coesivo com sobrecarga 3 Empuxos totais ativo e passivo para muro liso em maciço horizontal coesivo com balanço e sobrecarga 4 Empuxo total ativo em argila sob condições não drenadas 5 Rankine muro liso solo coesivo antes e após as fendas de tração 35 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso a Calcular o empuxo total ativo por metro de muro Pa b Localizar a resultante a partir da base do muro 36 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 0 𝜎ℎ 𝜎ℎ 0 𝑘𝑃𝑎 ℎ 3 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐴 𝜎𝑣 𝛾ℎ 16 3 48 𝑘𝑃𝑎 𝐾𝑎 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔2 45 30𝑜 2 033 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 0271 48 13 𝑘𝑃𝑎 ℎ 3 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐵 𝐾𝑎 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔2 45 35𝑜 2 0271 ℎ 6 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐵 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 0271 72 195 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑣 18 10 3 16 3 72 𝑘𝑃𝑎 𝑢 𝛾𝑤ℎ𝑝 10 3 30 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 033 48 16 𝑘𝑃𝑎 u abaixo do NA 3m 37 𝐸1 05 16 3 24 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 13 3 39 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 05 65 3 975 𝑘𝑁𝑚 𝐸4 05 30 3 45 𝑘𝑁𝑚 𝑷𝒂 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝑬𝟒 𝟏𝟏𝟕 𝟕𝟓 𝒌𝑵𝒎 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso a 38 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso Diagrama de Tensões Totais 𝐸2 13 3 39 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 365 3 05 5475 𝑘𝑁𝑚 𝐸1 05 16 3 24 𝑘𝑁𝑚 𝑷𝒂 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝟏𝟏𝟕 𝟕𝟓 𝒌𝑵𝒎 a 39 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso തℎ σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 𝐸1ℎ1 𝐸2ℎ2 𝐸3ℎ3 𝐸4ℎ4 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸4 തℎ 24 3 3 3 39 3 2 975 3 3 45 3 3 11775 𝟏 𝟖 𝒎 b 𝐸1 24 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 39 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 975 𝑘𝑁𝑚 𝐸4 45 𝑘𝑁𝑚 40 1 Rankine muro liso solo não coesivo maciço estratificado parcialmente submerso b തℎ σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 𝐸1ℎ1 𝐸2ℎ2 𝐸3ℎ3 𝐸1 𝐸2 𝐸3 തℎ 24 3 3 3 39 3 2 5475 3 3 11775 𝟏 𝟖 𝒎 𝐸1 24 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 39 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 5475 𝑘𝑁𝑚 Diagrama de Tensões Totais 41 2 Rankine muro liso solo coesivo com sobrecarga a Estimar Pa por metro de muro abaixo das fendas de tração b Estimar Pp por metro de muro 𝑘𝑎 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔2 45 26𝑜 2 039 𝑘𝑝 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔2 45 26𝑜 2 256 Camada única 42 2 Rankine muro liso solo coesivo com sobrecarga Ho profundidade das fendas de tração ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 𝑞 10 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑎 039 10 2 8 039 609 ℎ 4𝑚 𝜎𝑎 039 15 4 10 2 8 039 1731 𝑘𝑃𝑎 234 39 kPa 999 kPa 𝐾𝑎𝜎𝑣 𝑘𝑎𝑞 2𝑐 𝐾𝑎 39 kPa 999 kPa 𝐾𝑎𝜎𝑣 43 Estimativa da prof das fendas de tração Ho 𝜎𝑎 𝑘𝑎 𝛾𝐻𝑜 𝑞 2𝑐 𝑘𝑎 0 𝑘𝑎𝛾𝐻𝑜 𝑘𝑎𝑞 2𝑐 𝑘𝑎 𝐻𝑜 2𝑐 𝑘𝑎 𝑘𝑎𝑞 𝑘𝑎𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 𝑘𝑎 𝑘𝑎𝛾 𝑘𝑎 𝑘𝑎𝑞 𝑘𝑎𝛾 𝐻𝑜 2𝑐 𝛾 𝑘𝑎 𝑞 𝛾 1 𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 𝑞 𝐻𝑜 1 𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 𝑞 1 15 2 8 039 10 104 𝑚 𝐻1 4 𝐻0 4 104 296 m 𝒂 𝑷𝒂 𝟎 𝟓 𝝈𝒂 𝑯𝟏 𝟎 𝟓 𝟏𝟕 𝟑𝟏 𝟐 𝟗𝟔 2562 𝑘𝑁𝑚 44 2 Rankine muro liso solo coesivo com sobrecarga b Estimar Pp por metro de muro ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 𝑞 10 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑝 𝑘𝑝𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑝 256 10 2 8 256 𝜎𝑝 512 𝑘𝑃𝑎 ℎ 4 𝑚 𝜎𝑣 15 4 10 70 kPa 𝜎𝑝 𝑘𝑝𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑝 256 70 2 8 256 𝜎𝑝 2048 𝑘𝑃𝑎 𝑷𝒑 𝐸1 𝐸2 512 4 1536 4 2 512 𝑘𝑁𝑚 Diagrama Resultante 1792 256 256 256 1 2 45 2 Rankine muro liso solo coesivo com sobrecarga b Estimar Pp por metro de muro 𝐸1 256 4 1024 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 1536 4 05 3072 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 256 4 1024 𝑘𝑁𝑚 𝑃𝑝 𝐸1 𝐸2 𝐸3 512 𝑘𝑁𝑚 Diagramas Separados 46 3 Rankine muro liso em balanço solo coesivo com sobrecarga Ka e Kp a Estimar Pa por metro de muro e sua resultante a partir da sua base b Estimar Pp por metro de muro e sua resultante a partir da sua base 𝑘𝑎 𝑡𝑔2 45𝑜 2 𝑡𝑔2 45𝑜 25𝑜 2 0406 𝑘𝑝 𝑡𝑔2 45𝑜 2 𝑡𝑔2 45𝑜 25𝑜 2 2464 47 9m 32 m a ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 𝑞 35 kPa 𝑷𝒂 𝐸1 𝐸2 53 9 05 694 9 360 𝑘𝑁𝑚 𝜎𝑎 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑎 0406 35 2 7 0406 53 𝑘𝑃𝑎 ℎ 9 𝑚 𝜎𝑎 0406 19 9 35 2 7 0406 747 𝑘𝑃𝑎 ഥ𝒉 477 9 2 3123 9 3 360 32 𝑚 477 3123 Diagrama Resultante 89 1421 694 142 836 48 Diagramas Separados a 836 𝐸1 1421 9 1279 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 05 694 9 3123 𝑘𝑁𝑚 𝑃𝑎 𝐸1 𝐸2 𝐸3 360 𝑘𝑁𝑚 𝐸3 89 9 801 𝑘𝑁𝑚 49 𝐻𝑜 1 𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 𝑞 1 19 2 7 0406 35 068 𝑚 Observação Acima da superfície Conclusão o aumento de q reduz Ho 50 ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 0 𝑘𝑃𝑎 b 𝜎𝑝 𝑘𝑝𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑝 2464 0 2 7 2464 22 𝑘𝑃𝑎 ℎ 15 𝑚 𝜎𝑣 190 15 285 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑝 2464 285 22 9224 𝑘𝑃𝑎 𝐸1 22 15 33 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 05 7024 15 527 𝑘𝑁𝑚 𝑷𝒑 𝐸1 𝐸2 33 527 857 𝑘𝑁𝑚 ഥ𝒉 σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 33 15 2 527 15 3 857 06 𝑚 Diagrama Resultante 1 2 7022 51 Diagramas Separados b 𝐸1 05 7022 15 527 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 22 15 330 𝑘𝑁𝑚 𝑃𝑝 𝐸1 𝐸2 857 𝑘𝑁𝑚 7022 22 4 Rankine muro liso argila normalmente adensada não drenada a Estimar Pa por metro de muro após as fendas de tração b Estimar Pa por metro de muro antes da ocorrência das fendas de tração 52 0𝑜 𝑘𝑎 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔245𝑜 1 𝜎𝑎 𝑘𝑎𝜎𝑣 2𝑐 𝑘𝑎 𝜎𝑣 2𝑆𝑢 𝐻𝑜 1 𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 𝑞 2𝑆𝑢 𝛾 2 167 157 213 𝑚 𝐻1 𝐻 𝐻𝑜 61 213 397 𝑚 53 4 a Estimar Pa por metro de muro após as fendas de tração ℎ 0 𝑚 𝜎𝑎 𝜎𝑣 2𝑆𝑢 0 2 167 334 𝑘𝑃𝑎 ℎ 61 𝑚 𝜎𝑎 𝜎𝑣 2𝑆𝑢 157 61 334 624 𝑘𝑃𝑎 𝑷𝒂 𝐸1 624 397 05 1238 𝑘𝑁𝑚 213 958 54 4 b Estimar Pa por metro de muro antes da ocorrência das fendas de tração 𝐸1 05 958 61 2922 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 334 61 2037 𝑘𝑁𝑚 𝑷𝒂 𝐸1 𝐸2 885 𝑘𝑁𝑚 157 x 61 958 334 5 Rankine muro liso solo coesivo a Estimar Pa por m de muro antes da ocorrência das fendas de tração b Estimar Pa por m de muro e a resultante após a ocorrência das fendas de tração 55 𝑘𝑎 𝑡𝑔2 45 2 𝑡𝑔2 45 26𝑜 2 039 56 a Estimar Pa por m de muro antes da ocorrência das fendas de tração 𝐸1 1 2 𝜎𝑎ℎ 05 4072 6 12216 𝑘𝑁𝑚 𝐸2 𝜎𝑎ℎ 1795 6 1077 𝑘𝑁𝑚 𝑷𝒂 𝐸1 𝐸2 12215 1077 1445 𝑘𝑁𝑚 6 m ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 0 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝜎𝑣𝑘𝑎 2𝑐 𝑘𝑎 0 2 1434 0625 1795 𝑘𝑃𝑎 ℎ 6 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 174 6 1044 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝜎𝑣𝑘𝑎 2𝑐 𝑘𝑎 1044 039 2 1434 0625 2274 𝑘𝑃𝑎 4072 kPa 1795 kPa 2𝑐 𝑘𝑎 𝜎𝑣𝑘𝑎 Diagramas Separados 57 b Estimar Pa por m de muro e a resultante após a ocorrência das fendas de tração E1 𝐻𝑜 2𝑐 𝛾 𝑘𝑎 2 1434 174 0625 264 𝑚 𝑷𝒂 𝐸1 1 2 𝜎𝑎𝐻1 05 2274 336 3820 𝑘𝑁𝑚 ഥ𝒉 336 3 112 𝑚 ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 0 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝜎𝑣𝑘𝑎 2𝑐 𝑘𝑎 0 2 1434 0625 1795 𝑘𝑃𝑎 ℎ 6 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 174 6 1044 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝜎𝑣𝑘𝑎 2𝑐 𝑘𝑎 1044 039 2 1434 0625 2274 𝑘𝑃𝑎 𝐻1 𝐻 𝐻𝑜 6 264 336 𝑚 Diagrama Resultante 4072 1795 58 58 Diagramas vKa 6m 𝟐𝒄 𝑲𝒂 a 6m 59 TEORIA DE RANKINE Caso Específico muro liso em talude inclinado e solo não coesivo Das 2011 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 Estado Ativo 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 Estado Passivo 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒔𝒂 𝜶 𝑷𝒂 𝟏 𝟐 𝒂𝑯 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 𝑷𝒑 𝟏 𝟐 𝒑𝑯 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝑯𝟐 60 6 Rankine muro liso em talude inclinado solo não coesivo a Estimar o Empuxo Total Ativo Pa por metro de muro b Estimar Empuxo Total Passivo Pp por metro de muro 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝟎 𝟑𝟒 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝟐 𝟗𝟒 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒔𝒂 𝜶 61 a Estimar o Empuxo Total Ativo Pa por metro de muro 𝑷𝒂 𝟏 𝟐 𝝈𝒂𝒉 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝒉𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟑𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟗𝟕 𝟗𝟐 𝒌𝑵𝒎 𝜎𝑣 𝜎𝑣 16 6 96 𝑘𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝐾𝑎𝜎𝑣 034 96 3264 𝑘𝑃𝑎 𝑃𝑎 05 3264 6 𝟗𝟕 𝟗𝟐 𝒌𝑵𝒎 6 m Analiticamente Diagrama Triangular 0 m 𝜎𝑎 𝐾𝑎𝜎𝑣 034 0 0 𝑘𝑃𝑎 62 b Estimar Empuxo Total Passivo Pp por metro de muro 6 m 𝜎𝑝 𝐾𝑝𝜎𝑣 294 96 28224 𝑘𝑃𝑎 𝑃𝑝 05 28224 6 𝟖𝟒𝟔 𝟕𝟐 𝒌𝑵𝒎 𝑷𝒑 𝟏 𝟐 𝒑𝒉 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝒉𝟐 𝟎 𝟓 𝟐 𝟗𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟖𝟒𝟔 𝟕𝟐 𝒌𝑵𝒎 0 m 𝜎𝑝 𝐾𝑝𝜎𝑣 294 0 0 𝑘𝑃𝑎 Analiticamente Diagrama Triangular 63 TEORIA DE RANKINE Mazidrani e Ganjali 1997 Caso Específico muro liso em talude inclinado e solo coesivo 𝝈𝒂 𝜸𝒉𝑲𝒂𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑲𝒂 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝝈𝒑 𝜸𝒉𝑲𝒑𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑲𝒑 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝜶 64 TEORIA DE RANKINE Mazidrani e Ganjali 1997 Caso Específico muro liso em talude inclinado e solo coesivo Caso ativo sinal Caso passivo sinal 𝑯𝒐 𝟐𝒄 𝜸 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒔𝒆𝒏 65 Ka Ábaco Mazidrani e Ganjali 1997 66 7 Rankine muro liso em talude inclinado solo coesivo Estimar o Empuxo Total Ativo Pa por metro de muro após a ocorrência das fendas de tração 𝑯𝒐 𝟐𝒄 𝜸 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝐻𝑜 2 10 165 1 𝑠𝑒𝑛20𝑜 1 𝑠𝑒𝑛20𝑜 173 𝑚 Fonte Das 2007 ℎ 0 𝑚 𝜎𝑣 𝜎𝑣 𝜎𝑎 0 𝑘𝑃𝑎 ℎ 61 𝑚 𝜎𝑎 𝛾ℎ𝐾𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 67 𝑐 𝛾ℎ 10 165 61 01 Ábaco de Mazidrani e Ganjali 1997 Ka 0357 𝜎𝑎 𝛾ℎ𝐾𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 165 61 0357 𝑐𝑜𝑠5𝑜 3575 𝑘𝑁𝑚2 𝑃𝑎 1 2 𝑎𝐻 05 61 173 3575 781 𝑘𝑁𝑚 Abaixo das fendas de tração 20𝑜 𝛼 5𝑜 ℎ 61 𝑚 𝜎𝑎 𝛾ℎ𝐾𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 68 Hipóteses Simplificadoras Solo homogêneo e isotrópico A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação Pode existir atrito solomuro δ isto é em qualquer ponto da parede haverá a mobilização de resistência ao cisalhamento do solo por unidade de área do muro e uma componente de adesão na parede Uma pequena deformação da parede é suficiente para mobilizar o estado limite Adotase a condição de equilíbrio limite e o estado plástico desenvolvese numa cunha como um bloco rígido TEORIA DE COULOMB 1776 TEORIA DE COULOMB a Caso Ativo b Caso Passivo TEORIA DE COULOMB Empuxo Ativo Empuxo Passivo TEORIA DE COULOMB Empuxo Ativo W peso da cunha de solo F resultante da normal e cisalhante ao plano de ruptura Pa empuxo ativo por unidade de comprimento do muro ângulo de atrito solomuro Fonte Das 2007 71 Superfície plana de ruptura atrito murosolo é considerado solo não coesivo at inclinado 72 TEORIA DE COULOMB 𝑾 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝒐 𝜽 𝜹 𝜷 𝑷𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜷 𝑷𝒂 𝟏 𝟐 𝜸𝑯𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒔𝒆𝒏 𝜷 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝒐 𝜽 𝜹 𝜷 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 Lei dos Senos Empuxo variável para Pa máximo 𝒅𝑷𝒂 𝒅𝜷 𝟎 𝑷𝒂 𝟏 𝟐 𝒂𝑯 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 73 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜹 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝜶 𝟐 Para 0o 0o 0o 𝑲𝒂 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 𝟐 TEORIA DE COULOMB Coeficiente de Empuxo Ativo Ka Rankine Para um dado valor de e para 0o e 0o Ka 74 TEORIA DE COULOMB Empuxo Passivo W peso da cunha de solo F resultante da normal e cisalhante ao plano de ruptura Pa empuxo ativo por unidade de comprimento do muro ângulo de atrito solo muro Fonte Das 2007 75 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜹 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜽 𝟐 Para 0o 0o 0o 𝑲𝒑 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 𝟐 Coeficiente de Empuxo Passivo Kp TEORIA DE COULOMB 𝑷𝒑 𝟏 𝟐 𝝈𝒑𝑯 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝑯𝟐 Rankine Para um dado valor de e para 0o e 0o Kp 76 Exercício Determinar Pa e Pp e a resultante Coulomb 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎𝟎 𝟖𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟎 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟐 𝟎 𝟓𝟐 𝑷𝒂 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖𝟑 𝟓 𝒌𝑵𝒎 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜹 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝜶 𝟐 ഥ𝒉 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏 𝟒 𝒎 𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐 𝒅𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒂𝒐 𝒎𝒖𝒓𝒐 𝜽 77 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜹 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝜽 𝟐 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎𝒐 𝟖𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖𝒐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 𝟖𝒐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟎𝒐 𝟑𝟎𝒐 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒐 𝟐𝟎𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 𝟖𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 𝟖𝒐 𝟐 𝟏𝟑 𝟎𝟒 𝑷𝒑 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝑯𝟐 𝟎 𝟓 𝟏𝟑 𝟎𝟒 𝟏𝟖 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎𝟗𝟑 𝟐 𝒌𝑵𝒎 ഥ𝒉 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏 𝟒 𝒎 𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒂𝒐 𝒎𝒖𝒓𝒐