Corrente Alternada - Definições, Circuitos e Diagramas Fasoriais

Corrente alternada Prof Bruno Randazzo Baroni Roteiro da aula 1 Definições Gerais CA 2 Circuito Resistivos em CA 3 Circuito Capacitivo em CA 4 Circuito Indutivo em CA Definições Gerais variação mais lenta BS variação mais rápida BS tensão Contínua Alternada tensão tensão θ θ f 1T tempo tempo ω 2πf f 1 T vt N dφtdt vt N d BS sen ω t dt vt N B S ω cos ω t Definições Gerais Amplitudes Características do Sinal Alternado Um sinal CA tensão ou corrente pode ser especificado em termos de amplitude de várias formas diferentes Tomemos como referência uma tensão alternada cossenoidal Valor Instantâneo vt O valor instantâneo vti é a amplitude do sinal em um determinado instante ti Matematicamente ele deve ser calculado pela expressão vt VP cos ωt Valor Eficaz ou RMS Valor Eficaz ou RMS Vef VRMS ou V O valor eficaz ou RMS Root Mean Square ou Raiz Média Quadrática corresponde ao valor de uma tensão alternada que se fosse aplicada a uma resistência dissiparia uma potência média em watt de mesmo valor numérico de uma tensão contínua aplicada à mesma resistência Definição Considere uma função periódica temporal ft com período T O valor eficaz F dessa função é definido por F 1T 0T f²tdt 12 Para sinais alternados senoidais e cossenoidais a fórmula de valor eficaz pode ser convertida no domínio angular considerando o período T equivalente a 2π rad ou seja F 12π 0 2π f²θdθ 12 Valor eficaz ou RMS Assim considerando a tensão vθ VPcos θ a fórmula do seu valor eficaz pode ser deduzida facilmente V 12π 02π v²θ dθ12 12π 02π VP² cos² θ dθ12 VP²2π 02π cos² θ dθ12 VP²2π θ2 sen2θ4⁰²π12 V VP²2π 2π2 sen4π4 02 sen0412 VP²2π π12 VP²2 V VP2 Exemplo de Instalação Elétrica Diagrama fasorial Sinal Adiantado vt VPcos ωt θ Fasor Adiantado Sinal Atrasado vt VPcos ωt θ Fasor Atrasado Defasagem entre sinais alternados Defasagem Positiva φ V adiante de I Defasagem Negativa φ V atrás de I Representação temporal e fasorial Forma de Onda Tensão de pico e instantânea vt 156cos377t π3 V Diagrama Fasorial Tensão eficaz V 110V θ 60 adiantada ω 377 rads Representação Complexa Tensão eficaz V 110 60 V ω 377 rads Exercício Parâmetros do Sinal Alternado 122 Considere as formas de onda representadas ao lado a Determine T f e ω de cada sinal b Determine os valores de pico de pico a pico e eficaz de cada sinal c Determine as expressões temporais de cada sinal na forma cossenoidal d Esboce o diagrama fasorial de cada sinal e Determine os valores instantâneos de cada sinal nos instantes t1 8ms e t2 12ms a T 20 ms f 1T 50 Hz b Vp 10 mA Vpp 20 mA c i3t 10 cos 2π 50 t π2 mA e i38ms 10 cos 251 157 589 mA Impedância A impedância Z em ohm Ω é um número complexo que caracteriza um dispositivo ou circuito e reflete tanto a oposição total que ela impõe à passagem da corrente alternada quanto a defasagem total entre a tensão e a corrente Símbolo Genérico de Impedância Z Figura 131 A impedância Z é composta por uma componente real denominada resistência R e por uma componente imaginária denominada reatância X isto é Z R jX forma retangular Z Z φ forma polar Figura 132 em que Z R² X² módulo da impedância Z φ arctg XR fase da impedância Z R Zcos φ e X Zsen φ Lei de Ohm para circuito CA A lei de Ohm pode ser aplicada aos circuitos que operam em corrente alternada Como há possibilidade de defasagem entre tensão e corrente concluise que a relação entre tensão e corrente não resulta necessariamente em uma resistência pura mas em uma impedância Z em ohm Ω a lei de Ohm pode ser tratada matematicamente no campo dos números complexos Para operação em CA a lei de Ohm é dada por Considerando uma tensão complexa genérica V Vθv e uma corrente complexa genérica I Iθi a aplicação da lei de Ohm resulta em Z V θv I θi VI θv θi Z Z φ sendo Z V I módulo da impedância Z φ θv θi fase da impedância Z Reatância Capacitiva Consideremos que o capacitor esteja submetido a uma tensão CA cossenoidal com fase inicial nula isto é vct VCPcosωt ou VC VC 0 em que VC é a tensão eficaz A expressão ict da corrente no capacitor pode ser deduzida da forma seguinte ict C dvctdt C ddt VCPcosωt CVCP ddωt cosωt ddt ωt ict ωCVCP senωt De fato aplicando a lei de Ohm ao capacitor obtemos Z VC ĪC VC 0 IC 90 VC ωCVC 0 90 Z 1ωC 90 ou Z j 1 ωC Na fórmula da impedância do capacitor o seu módulo corresponde à reatância capacitiva isto é XC 1ωC Reatância Indutiva Para o indutor L suponha que a corrente através dele seja i Im cosωt ϕ A tensão no indutor é v L didt ωLIm senωt ϕ No indutor a corrente está 90 atrasada em relação à tensão ou a tensão está 90 adiantada em relação à corrente correspondendo a uma defasagem positiva isto é φ 90 A impedância do indutor é dada por Z ωL 90 ou Z jωL e por conseguinte a sua reatância vale XL ωL Passemos então a uma análise detalhada do comportamento do indutor e do capacitor em CA Impedâncias reativas puras Aplicando a lei de Ohm por meio da tensão e da corrente complexas no indutor e no capacitor obtemos as respectivas impedâncias complexas cujas fases φ são constantes já que independem de θv e de θi pois φ θv θi 90 em função da natureza da impedância No indutor obtemos Ż por ẎL e ȋL Ẑ ṼLĨL VLθvILθi VLIL θv θi Ż XL 90º forma polar Ż jXL forma retangular No capacitor obtemos Ż por ṼC e ĨC Ẑ ṼCĨC VC θv IC θi VCIC θv θi Ż XC 90º forma polar Ż jXC forma retangular Associações de impedância Divisor de tensão e corrente V1 Z1 Z1 Z2 V V2 Z2 Z1 Z2 V I1 Z2 Z1 Z2 I I2 Z1 Z1 Z2 I Exemplo 1 Determine Zent para ω50 rads Exemplo 1 Determine vt e it no circuito apresentado na Figura Determine vt e it no circuito apresentado na Figura Exemplo 2 Exemplo 3 Determine V₀t Vₛ 20 cos4t 15 Vₛ 2015 V ω 4 10 mF 1jωC 1j4 10 10³ j25 Ω 5 H jωL j4 5 j20 Ω Z₁ Impedância do resistor de 60 Ω Z₂ Impedância da associação em paralelo entre o capacitor de 10 mF e o indutor de 5 H Z₂ j25 j20 j25 j20j25 j20 j100 Ω Pelo princípio da divisão de tensão V₀ Z₂Z₁ Z₂ Vₛ j10060 j1002015 0857530962015 17151596 V Convertendo essa última para o domínio do tempo obtemos v₀t 1715 cos4t 1596 V Potência instantânea CA pt VIcos φ VIcos 2ωt φ Impedância Representação Temporal Característica Resistiva Pura pt VI VIcos 2ωt Toda a potência fornecida pelo gerador é ativa pois ela é sempre positiva variando entre 0 e 2VI Nesse caso a potência média é VI Indutiva Pura pt VIcos 2ωt π2 Não há potências ativa mas reativa pois a potência fornecida ao indutor e ao capacitor parcelas positivas é devolvida ao gerador parcelas negativas Capacitiva Pura pt VIcos 2ωt π2 Durante a devolução é como se o dispositivo fosse um gerador A potência reativa varia entre VI e VI de modo que a potência média é nula Potência instantânea CA pt VIcos φ VIcos 2ωt φ Indutiva Há potência ativa e reativa sendo por isso sempre mais positiva que negativa Portanto somente uma parcela da potência é devolvida ao gerador Nesses casos a potência média pode estar entre 0 e VI dependendo de φ Capacitiva pt VIcos φ VIcos 2ωt φ Quanto mais próximo de zero for o valor de φ maior será a potência ativa A potência total ativa reativa é chamada de potência aparente Utilizase o conjugado complexo da corrente ao invés do fasor corrente pois assim a componente imaginária da potência aparente potência reativa mantém a convenção de sinal