Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática Discreta - Conjuntos e Funções

Matematica Discreta Segunda Lista Prof Matheus Haddad 1 Para os conjuntos abaixo indicar uma propriedade que caracterize seus elementos a A 5 10 15 20 b B 7 17 27 37 c C 300 301 302 399 400 d D 1 4 9 16 25 36 49 e E 1 12 14 18 116 2 Provar que A B A B 3 Provar que A B A B 4 Provar que A B A B 5 Indicar quais dos conjuntos que se seguem sao iguais a A 1 1 2 b B 1 2 1 c C 0 1 2 d D 2 1 1 2 e E xx2 4 ou x2 1 6 Seja U 0 1 2 3 4 5 67 8 9 o conjunto universal Dados os conjuntos A 1 3 5 7 B 2 3 4 5 6 e C 0 2 4 6 8 definir os conjuntos a A B b B C c A B C d A B A C e A B C 7 Seja A x3x 6 entao A 2 8 Determine a diferenca entre 0 9 Encontre o conjunto PS do conjunto S 1 2 3 10 Seja V d W c d X a b c Y a b e Z a b d Determine quais das afirmacoes sao verdadeiras 1 Y X W Z V X X W 11 Encontre o PS do conjunto S 3 1 4 12 Seja A 1 2 3 B 2 4 e C 3 4 5 Encontre A B C 13 Seja A a b B 2 3 e C 3 4 Encontre A B C A B A C 14 Prova que A B C A B A C 15 Diga se cada diagrama define ou não uma função de A a b c para B x y z 16 Seja A 1 2 3 4 55 6 e f A A a função definida por fx x 1 se x 6 1 se x 6 a Determinar f3 f6 fo f3 e ff2 b Demonstrar que f é injetora 17 Mostrar que a função g R R dada por gx x² 1 não é injetora nem sobrejetora 18 Seja A 1 2 3 4 5 e f A A a função definida no diagrama Encontre a imagem de f Escreva f como um conjunto de pares ordenados 19 Determine se cada relação é ou não é uma função de X em X com X 1 2 3 4 a f 2 3 1 4 2 1 3 2 4 4 b g 3 1 4 2 1 1 c h 2 1 3 4 1 4 2 1 4 4 20 Seja A a b c d e e B o conjunto das letras no alfabeto Sejam f g e h funcoes definidas de A em B como segue f g h a r a z a a b a b y b c c s c x c e d r d y d r e e e z e s Diga se as funcoes sao injetoras 21 Determine se cada funcao e injetora a para cada pessoa da terra e associado um numero que corresponde a sua idade b para cada paıs no mundo e associada uma latitude e uma longitude representando sua capital c para cada pais no mundo que tem primeiro ministro e associado seu primeiro ministro 22 Seja W 1 2 3 4 5 e f W W g W W e h W W definidas pelos diagramas abaixo Determine se cada funcao tem inversa 23 Seja f R R definida por fx 2x3 f e bijetora portanto tem inversa Calcule a funcao inversa f1 24 Liste os pares ordenados na relacao R de A 0 1 2 3 4 em B 0 1 2 3 em que a b R se e somente se a a b b a b 4 3 c a b d a b e mdca b 1 f mmca b 2 25 Para cada uma destas relacoes no conjunto 1 2 3 4 decida se ela e reflexiva simetrica anti simetrica e se e transitiva a 2 2 2 3 2 4 3 2 3 3 3 4 b 2 4 4 2 c 1 3 1 4 2 3 2 4 3 1 3 4 26 Determine se a relacao R no conjunto de todas as pessoas e reflexiva simetrica antisimetrica eou transitiva em que a b R se e somente se a a e mais alto que b b a e b nasceram no mesmo dia c a tem o mesmo prenome que b d a e b tˆem um avˆo ou avo em comum 27 Determine se a relacao R no conjunto de todos os inteiros e reflexiva simetrica antisimetrica eou transitiva em que x y R se e somente se a x y b x y 1 ou x y 1 c x e um multiplo de y d x e y sao ambos negativos ou ambos nao negativos e x y2 28 Seja R a relacao R a b a divide b no conjunto dos inteiros positivos Encontre a R1 b R 29 Liste os trios na relacao a b c a b c sao inteiros com 0 a b c 5 30 Quais 4uplas estao na relacao a b c d a b c d sao inteiros positivos com abcd 6 31 Represente cada uma destas relacoes em 1 2 3 por uma matriz com os elementos deste con junto listados em ordem crescente a 1 2 2 1 2 2 3 3 4 b 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 32 Liste os pares ordenados nas relacoes em 1 2 3 correspondentes a estas matrizes em que linhas e colunas correspondem aos inteiros listados em ordem crescente a 1 0 0 0 1 0 1 1 1 b 0 1 0 1 1 0 1 0 0 c 1 1 1 0 1 0 1 1 1 33 Trace os grafos orientados que representam cada uma das relacoes do exercıcio anterior 34 Quais destas relacoes em 0 1 2 3 sao relacoes de equivalˆencia Determine as propriedades de uma relacao de equivalˆencia que faltam para as outras a 0 0 1 1 2 2 3 3 b 0 0 0 2 2 0 2 2 2 3 3 2 3 3 c 0 0 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 d 0 0 1 1 1 3 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 e 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 2 3 3 35 Quais destas relacoes no conjunto de todas as pessoas sao relacoes de equivalˆencia Determine as propriedades de uma relacao de equivalˆencia que faltam para as outras a a b a e b tˆem a mesma idade b a b a e b tˆem os mesmos pais c a b a e b tˆem um progenitor em comum d a b a e b ja se encontraram e a b a e b falam uma mesma lıngua 36 Determine se a relacao cujo grafo orientado e mostrado e uma relacao de equivalˆencia a 5 b c 37 Quais destes sao particoes do conjunto dos numeros reais a os numeros reais negativos 0 os numeros reais positivos b o conjunto dos numeros irracionais o conjunto dos numeros racionais c o conjunto de intervalos k k 1 k 2 1 0 1 2 d o conjunto de intervalos k k 1 k 2 1 0 1 2 e o conjunto de intervalos k k 1 k 2 1 0 1 2 f os conjuntos x n n Z para todo x 0 1 38 Considere a relacao de equivalˆencia R x y x y e um inteiro a Qual e a classe de equivalˆencia de 1 para essa relacao de equivalˆencia b Qual e a classe de equivalˆencia de 12 para essa relacao de equivalˆencia 39 Quais destas relacoes em 0 1 2 3 sao ordenacoes parciais Determine as propriedades de uma ordem parcial que estao faltando nas outras a 0 0 1 1 2 2 3 3 b 0 0 1 1 2 0 2 2 2 3 3 2 3 3 c 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 d 0 0 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 e 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 2 3 3 40 Liste todos os pares ordenados na ordem parcial com o diagrama de Hasse a b 6 c